DISEÑO DE COMPENSADORES EN ATRASO-ADELANTO.

Primero examinaremos las características de respuesta del compensador de atraso-adelanto.Después presentaremos la técnica de compensación de atraso-adelanto basada en el enfoque de la respuesta en frecuencia.

Característica del compensador de atraso-adelanto. Considere el compensador de atraso-adelanto obtenido mediante

En donde y>ly/3>1.El término

produce el efecto de una red de adelanto, y el término

Al diseñar un compensador de atraso-adelanto, es común seleccionar y = j3. (Esto, porSupuesto, no es necesario, ya que podemos elegir A continuación, considere el caso en el que . La traza polar del compensador de atraso-adelanto con K, = 1 y y = j3 se convierte enla que aparece en la figura 9-21. Observe que, para 0 < w c 01, el compensador funciona como

Las técnicas de compensación, son una buena herramienta para ajustar las ganancias de un sistema de control para poder cumplir con las especificaciones dadas. Existen dos tipos de compensación, una en serie y otra en paralelo, la primera es sencilla en comparación con la otra, pero con la otra, generalmente, podemos ahorrarnos los amplificadores en el sistema.  Existen tres técnicas para calcular la compensación en un sistema de control, las cuales son, compensación en atraso, compensación en adelanto y compensación en adelanto - atraso. Existen dos maneras de calcular dichas técnicas son: el diseño de sistemas de control mediante el lugar geométrico de las raíces y el diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia. 

Método del lugar de las raíces.

Una de las ventajas de compensar así un sistema es que los polos y ceros adicionales se pueden agregar en el extremo de baja potencia del sistema antes de la planta. Aunque una posible desventaja es que el orden del sistema puede aumentar con un subsiguiente efecto sobre la respuesta deseada.  No solo se usa la compensación para mejorar la respuesta transitoria de un sistema, sino también se usa independientemente para mejorar las características en estado estable. La respuesta transitoria y la constante de error en estado estable están relacionadas con la ganancia, cuando mayor es la ganancia, menor es el error en estado estable, pero mayor el sobrepaso en porcentaje. Por otra parte reducir la ganancia para disminuir el sobrepaso aumenta el error en estado estable. En resumen, entonces, la respuesta transitoria se mejora con la adicción de diferenciación, y el error en estado estable, con la adiccion de integracion en la trayectoria directa.  para compensar en "error en estado estable "usamos dos técnicas: 1) Controlador Proporcional-Integral (PI), 2) Compensador de atraso de fase, para mejorar la "respuesta transitoria" tambien utilizamos dos tecnicas: 1)Control Proporcional-Derivativo (PD), y 2)Compenzador de adelanto de fase.

A continuacion se hace una descripcion breve de algunos de ellos. Despues se combinan las dos tecnicas anteriores, para obtener una mejoria en el error en estado estable y en la respuesta transitoria independientemente para ello se construye un Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID)  La respuesta transitoria de un sistema se puede seleccionar si se escoje su ubicacion apropiada del polo en lazo cerrado en el plano s.Si este punto esta sobre el Lugar Geométrico de las Raices. entonces un simple ajuste de ganancia es todo lo que necesita para satisfacer la especificacion de respuesta transitoria. Si la ubicacion del polo en lazo cerrado no esta sobr el LGR. entonces debe cambiarse la forma de LGR. para que el nuevo LGR. (compensado) pase por la ubicación seleccionada del polo en lazo cerrado. Para lograr esto ultimo se pueden agregar polos y ceros en la trayectoria directa para producir una nueva función en lazo abierto cuyo LGR. pasa por el punto de diseño sobre el plano s. Una forma de acelerar el sistema original, que generalmente trabaja, es agregar un solo cero ala trayectoria directa.

Método de respuesta en frecuencia.

A menudo han sido utilizados los métodos de respuesta en frecuencia en el diseño de compensadores. La razón básica es la sencillez de los métodos. Al llevar a cabo pruebas de respuesta en frecuencia sobre un sistema muestreado, es importante que el sistema continuo tenga un filtro de paso bajo

(generalmente un mantenedor de orden cero) antes del muestreador, de tal manera que las bandas laterales estén filtradas. De esta forma dado un sistema lineal e invariante en el tiempo y dada una entrada senoidal, el sistema conserva la frecuencia y modifica solamente la amplitud y la fase de la señal de entrada. Por lo tanto, las dos únicas cantidades que deberán ser manejadas, serán la amplitud y la fase.

Una compensación de atraso-adelanto basada en el enfoque de la respuesta en frecuencia.El diseño de un compensador de atraso-adelanto mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia se basa en la combinación de las técnicas de diseño analizadas en la compensación de adelanto y la compensación de atraso.Supongamos que el compensador de atraso-adelanto tiene la forma siguiente:

en donde β> 1. La parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto (la parte que contiene TI) altera la curva de respuesta en frecuencia añadiendo un ángulo de adelanto de fase e incrementando el margen de fase en la frecuencia de cruce de ganancia. La parte de atraso de fase (la parte que contiene T2) proporciona una atenuación cercana y por arriba de la frecuencia de cruce de ganancia y, por tanto, permite un incremento de la ganancia en el rango de frecuencias bajas a fin de mejorar el desempeño en estado estable.Ilustraremos los detalles de los procedimientos para diseñar un compensador de atrasoadelanto mediante un ejemplo.

Figura 9-22Trazas de Bode de un compensador de atraso-adelanto obtenido mediante la ecuación

EJEMPLO DEL DISEÑO DE UN COMPENSADOR EN ADELANTO-ATRASO. Un sistema tiene la siguiente función de transferencia:

Se quiere que el sistema de lazo cerrado con retroalimentación unitaria tenga: 1.- Coeficiente de error de velocidad: Kv = 15.

2.- MF ≥ 50º. 3.- MG ≥ 10 db.

Del requisito de coeficiente de velocidad

Se dibuja el diagrama de Bode del sistema. Margen de fase = -15º. Margen de ganancia = -6db. El próximo paso en el diseño de un compensador Adelanto-Atraso es la elección de la nueva frecuencia de transición de ganancia.

De la curva de ángulo de fase de G(jw) vemos que ∠G(jw)=-180º es en Wc=

6rad/seg. Es conveniente elegir la nueva frecuencia de transición en 6rad/seg para que el ángulo de fase requerido en W=6rad /seg sea mas o menos 50º.

EJEMPLO 2:

Considere el sistema con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es

Se quiere que la constante de error estático de velocidad sea de 10 seg-1, que el margen de fasesea de 50” y que el margen de ganancia sea de 10 dB o más.

Suponga que usamos el compensador de atraso-adelanto obtenido mediante la ecuación(9-4). La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es G,(s)G(s). Dado quela ganancia K de la planta es ajustable, suponemos que Kc = 1. En este caso, lím+o G,(s) = 1.A partir del requerimiento en la constante de error estático de velocidad, obtenemos

Por tanto,K = 20A continuación dibujamos las trazas de Bode del sistema no compensado con K = 20, como se observa en la figura 9-23. El margen de fase del sistema no compensado es de -32”, lo cual indica que el sistema es inestable.El paso siguiente en el diseño de un compensador de atraso-adelanto es seleccionar una nueva frecuencia de cruce de ganancia. A partir de la curva del ángulo de fase para G(jw), observamos que /G(h) = -180” en w = 1.5 radlseg. Es conveniente elegir la nueva frecuencia de cruce de ganancia como de 1.5 radheg, a fin de que el adelanto de ángulo de fase requerido en w = 1.5 radheg sea de alrededor de 50”, lo cual es muy posible mediante una sola red de atraso-adelanto. Una vez que seleccionamos la frecuencia de cruce de ganancia como de 1.5 radlseg determinamos la frecuencia de esquina de la parte de atraso de fase del compensador de atraso-adelanto.Seleccionamos la frecuencia de esquina w = UT2 (que corresponde al cero de la parte de atraso de fase del compensador) que se encuentra una década abajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia, o en w = 0.15 radlseg. Recuerde que,

para el compensador de adelanto, el máximo adelanto de ángulo de fase ϕm se obtiene mediante la ecuación (9-l), donde la Q de la ecuación (9-1) es l/B en el caso actual. Sustituyendoa por 118 en la ecuación (9-l), tenemos que

cuencia, de cruce de ganancia es la que se busca. A partir de este requerimiento, es posible dibujar una recta con una pendiente de 20 dBldécada y que pase por el punto (-13 dB, 1.5 radkeg).Las intersecciones de esta línea y la línea 0 dB con la línea -20 dB determinan las frecuencias de esquina. Por tanto, las frecuencias de esquina para la parte de adelanto son o = 0.7 radkeg y o = 7 radlseg.