diseño de controlador cascada para llenadora de norte 3
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DISEÑO DE CONTROLADOR PARA LLENADORA DE NORTE
VíctorNava.PasantíasOcupacionalesMarzo2009
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En un tanque sellado en donde se introducen dos elementos distintos, en
este caso CO2 el cual es un fluido compresible y un producto en estado liquido
el cual es incompresible; en donde se pretenden mantener bajo control tanto la
presión de CO2 como el nivel de producto, es necesario una identificación de
sistema en el cual se planteen las ecuaciones de comportamiento respectivo.
Para un sistema de nivel el modelado sería:
En este caso la variable a controlar seria el nivel o la altura mediante el
elemento de control V1, y en el cual el flujo de salida es desconocido, por lo cual
se toma como una perturbación. Donde q1: caudal de entrada, q2: caudal de
salida y h: altura del líquido, también se toma en cuenta el volumen el cual varia
con respecto a “h” y el cual se expresa:
€
dVdt
=A.dhdt
, donde “A” es el área del
tanque el cual es constante par este caso. La cantidad de líquido o volumen es
igual a el caudal de entrada menos el caudal de salida
€
q1− q2( ) , entonces se
tiene que:
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€
dVdt
= q1− q2 , entonces;
€
A ⋅ dhdt
= q1− q2.
Aplicando Laplace :
€
A(s) ⋅H(s) ⋅ S =Q1(s) −Q2(s);
€
Q1(s) −Q2(s) = ΔQ(s)
Entonces se tiene que:
€
H(s)ΔQ(s)
=1
A(s) ⋅ S
El tanque de la llenadora de Norte 3 posee un diámetro D = 3.24 metros, un
radio r = 1,62 metros, como este es en forma de anillo, tiene un ancho efectivo
X = 0,2134 metros y una altura h = 0,34 metros, un largo L = 9,33 metros, un
volumen V = 0,677 metros cúbicos, y un área A = 1,991 metros cuadrados,
entonces se tiene la siguiente ecuación diferencial:
€
H(s)ΔQ(s)
=1
1,991( )S
Una aproximación mas detallada seria:
Donde:
Q: Velocidad de flujo estable. q1: desviación de velocidad de flujo de entrada. q2: desviación de velocidad de flujo de salida. H: Altura en estado estacionario. h: desviación de la altura de su estado estacionario. C: Capacitancia del tanque. K: Coeficiente en m^2/seg. R: Resistencia en la válvula.
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€
Q = K H
€
R =dHdQ
; en estado laminar:
€
dHdQ
=HQ
= R
Se tiene que:
€
Q =HR
Y la función de transferencia:
€
C ⋅ dh = qi − qo( )dt ; donde
€
qo =hR
€
C ⋅ dh = qi − hR
⇒ C ⋅ dh
dt= qi − h
R
⋅ R⇒ C ⋅ R ⋅ dh
dt= qi ⋅ R( ) − h⇒ C ⋅ R ⋅ dh
dt+ h = qi ⋅ R
€
L C ⋅ R ⋅ dhdt
+ h = qi ⋅ R
⇒ C(s) ⋅ R(s) ⋅H(s) ⋅ S + H(s) =Qi(s) ⋅ R(s)
€
C(s) ⋅ R(s) ⋅ S +1(s)( ) ⋅H(s) =Qi(s) ⋅ R(s)
€
Q(s)H(s)
=R(s)
C(s) ⋅ R(s)( )S +1
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Cálculo de R.
Siendo
€
R =HQ
; done H es la altura del liquido y Q el flujo que pasa por la
válvula en donde se realiza el cálculo, se tiene que:
Suponiendo que
€
H =Hmax⋅ 30100
; donde Hmax es la altura máxima que pueda
alcanzar el líquido (100%) el cual es multiplicado por el 30%(suponiendo que se
configura un nivel de trabajo a este porcentaje).
Si
€
Hmax = 0.34m ;
€
H =0.34 × 30100
⇒ H = 0,102m.
El flujo o caudal de salida de la llenadora según el manual de funcionamiento
se calcula de la siguiente manera:
Nb: Cantidad de botellas
Cb: Capacidad de botella
€
Q =Nb ⋅Cb3600
ltsseg
Siendo 60.000 botellas por hora la capacidad máxima de la llenador EuroStar
2000 y suponiendo un set point de botellas al 60% de su capacidad máxima,
tenemos:
€
Nb =60.000 × 30
100= 36.000botellas.
Suponiendo que la capacidad de líquido en cada botella es de Cb = 0,33lts.
Se tiene que:
€
Q =36.000 × 0,33
3600= 3,3lts seg
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La cantidad aproximada de válvulas de descarga de producto que se abren a
la vez es de 8 a 12. Se hace una media y se toman 10 válvulas.
El flujo total se divide entre la cantidad de válvulas abiertas en determinado
instante, en este caso 10 válvulas.
€
Qov =3,3ltsseg10válvulas
= 0,33lts seg× válvula
Donde “Qov” es flujo de salida por válvula.
Siendo entonces la Resistencia de cada válvula la siguiente:
€
Rv =HQov
=0,102m
0,33lts seg× válv.= 0,3091ltsm ⋅ seg × válvula.
Donde Rv: Resistencia por válvula.
La Resistencia total se calcula multiplicando por la cantidad de válvulas que
abre al mismo tiempo, para este caso 10 válvulas.
€
Rt = 0,3091ltsm ⋅ seg
⋅10 = 3,091lts seg
Cálculo de C.
El cálculo de la capacitancia “C” es el área transversal que ocupa el volumen
de líquido dentro del tanque y su formula es:
€
C =Volumen(m3)Altura(m)
=Vol.H
Siendo el volumen máximo del tanque 677 lts. Los cuales equivalen a
0,677
€
m3, y a este se le multiplica por el porcentaje de nivel que se requiere, para
este caso es un 30%, entonces se tiene:
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€
C =Vol.%H%
€
Vol.% =0,677lts× 30
100= 0,203m3
€
H.% =0,34m × 30
100
€
C =0,203m3
0,102m=1,99m2
Volviendo a la ecuación diferencial se tiene:
€
Q(s)H(s)
=R(s)
C(s) ⋅ R(s)( )S +1⇒
3,091,99( ) 3,09( )S +1
€
Q(s)H(s)
=3,09
6,15( )S +1
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En el análisis del sistema de presión se tiene:
Donde: P: Presión. V: Volumen. m: Flujo másico. qi: Flujo de entrada. qo: Flujo de salida. A: Área del tanque. Rg: Constante de gases. T: Temperatura.
Por la formula de gases ideales se tiene que:
€
˙ P ⋅V = ˙ m ⋅ Rg ⋅T
€
˙ m = qi − qo( )
€
VRg ⋅T
= K
€
˙ P ⋅K = qi − qo( )
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€
L ˙ P ⋅K = qi − qo( )[ ]⇒ P(s) ⋅K(s) = Qi(s) −Qo(s)
€
P(s)Qi(s) −Qo(s)
=1
K(s) ⋅ S
€
P(s)ΔQ(s)
=1
K(s) ⋅ S
NOTA: Para que el comportamiento del resultara lo mas cercano posible al de la
llenadora Euro Star 2000 se utilizo un valor constante K = 0,9351 y en el PID de
presión se usaron los valores que actualmente están configurados en el
programa los cuales son: Kp = 15, Ti = 3 y Td = 0.1, quedando así la siguiente
ecuación diferencial.
€
P(s)ΔQ(s)
=1
0,9351( )S
RELACIÓN ENTRE PRESION Y NIVEL
Para relacionar la presión con el nivel nos referimos de Nuevo a la ley de
gases ideales:
€
P ⋅V =η ⋅ Rg ⋅T
Donde:
€
η: Número de moles
Rg: Constante de gases P: Presión h: Altura V: Volumen N: Nivel A: Área T: Temperatura
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Por ser el número de moles iguales sin importar la altura del gas se tiene que:
€
η =P1⋅V1Rg1⋅T1
=P2 ⋅V2Rg2 ⋅T2
€
V = A ⋅ h
€
η =P1⋅ A1⋅ h1( )Rg1⋅T1
=P2 ⋅ A2 ⋅ h2( )Rg2 ⋅T2
Donde
€
A1= A2 ,
€
Rg1= Rg2, y para este caso
€
T1 ≈ T2, por lo tanto se cancelan.
€
P1⋅ h1= P2 ⋅ h2
€
P2 = P1⋅ h1h2
€
h =1N⇒ N =
1h
Entonces se obtiene la siguiente formula que permite calcular la presión
según la altura o nivel que posee dentro del tanque el material que comprime a
dicho gas (para este caso líquido y CO2 respectivamente):
€
P1= P2 ⋅ N1N2
,
€
P2 = P1⋅ N2N1
€
ΔP = P1⋅ N2N1
− P1
De igual forma se puede calcular el nivel de líquido basándonos en una
presión en un determinado instante. Esta quedaría de la manera siguiente:
€
N1= N2 P1P2
y
€
N2 = N1P2P1
€
ΔN = N1⋅ P2P1
− N1
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CONTROLADOR EN CASCADA.
Entre las dos variables (CO2 y producto) la mas inestable es el nivel de
producto debido a súbitos incrementos o decrementos en las tuberías de entrada
de producto al tanque sobre los cuales no se tiene control, el CO2 por otra parte
mantiene una presión estable y aceptable, dicho esto es conveniente tomar al
sistema de nivel como controlador primario y que el controlador de CO2
reaccione para compensar esas perturbaciones y así mantener una respuesta lo
mas estacionaria posible.
En la siguiente figura se puede observar un esquema del controlador cascada
el cual mantiene la presión del CO2 de manera estable y reacciona
eficientemente a los cambios de nivel y asi aumentar o sisminuir la presion
dependiendo de si baja o sube el nivel de producto dentro del tanque.
Para lograr la asociación de nivel a presion se utilizo la siguiente formula:
€
P2 = P1⋅ N2N1
Donde:
P2: Presión convertida (Pc)
P1: Set point de presión (SP(p))
N1: Set point de nivel (SP(n))
N2: Nivel Real medido de los sensores de nivel (NR)
Quedando la formula de la siguiente manera:
€
Pc = SP(p) ⋅ NRSP(n)
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Diagrama de bloques del controlador cascada de la llenadora de Norte 3
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A continuación se mostraran las respuestas a dicho controlador:
Gráfica de comportamiento del sistema de control de nivel y su respuesta a una
perturbacion escalon.
Gráfica de comportamiento del sistema de control de presión en cascada
con el controlador de nivel, y su respuesta ante la perturbación escalón
introducida al sistema de control de nivel.
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Como puede observarse, la respuesta del controlador en cascada esta
acorde con los requerimientos de diseño en el cual se pide que la válvula de
control que regula la entrada de CO2 sea capaz de reaccionar a una subida de
nivel inesperada y de esta forma mantener la presión de CO2 lo mas cercana
posible al set point.
Sin embargo cabe destacar que no es realmente posible implementar un
controlador robusto basados en las condiciones operativas de la llenadora
EuroStar 2000. No existe una forma practica de regular la presión de forma
eficiente, introduciendo CO2 y esperando que cualquier perturbación se
compense con el consumo, cuando se tiene un nivel estacionario, por ejemplo la
presión a 2,6 bares y se genera una perturbación; la respuesta dada por el
controlador ya es demasiado tardía, ya que aun cuando este debe decrementar
la apertura de la válvula ya la presión esta por encima y la compensación aun
cuando se cierre la válvula depende de una actividad sobre la cual no se tiene
control alguno, mas aun si durante ese periodo se generan o se le suman otros
eventos como podrían ser la explosión de varias botellas aunadas a un aumento
en la presión de la entrada de producto o errores de medición de nivel debido a
fallas en los sensores.
Dicho esto, las mejores condiciones de control son aquellas en las que se
tenga un control tanto en la entrada como la salida de CO2, es decir; una válvula
de alivio por la cual se pueda liberar excesos de presión de forma controlada y
no estar a expensas de la incertidumbre.