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I
DISEÑO E IMPLANTACIÓN DE UN SISTEMA
DE CUATRO TANQUES
INTERCONECTADOS CON CONTROL PID
ROBUSTO MULTIVARIABLE
II
III
DISEÑO E IMPLANTACIÓN DE UN SISTEMA DE
CUATRO TANQUES INTERCONECTADOS CON
CONTROL PID ROBUSTO MULTIVARIABLE
Autor:
DIEGO GERARDO MOGROVEJO MERCHÁN
Ingeniero Electrónico
Egresado de la Maestría en Control y Automatización Industriales
Unidad de Posgrados
Universidad Politécnica Salesiana
Dirigido por:
ERNESTO TOMÁS GRANADO MIGLIORE
Doctorado (Especialidad sistemas automáticos)
Universidad Simón Bolívar
Cuenca – Ecuador
IV
Datos de catalogación bibliográfica
MOGROVEJO MERCHÁN DIEGO GERARDO
“DISEÑO E IMPLANTACIÓN DE UN SISTEMA DE CUATRO
TANQUES INTERCONECTADOS CON CONTROL PID ROBUSTO
MULTIVARIABLE”
Universidad Politécnica Salesiana, Cuenca – Ecuador, 2017
MAESTRÍA EN CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIALES
Formato 170 x 240 mm Páginas: 80
Breve reseña del autor e información de contacto:
Diego Gerardo Mogrovejo Merchán
Ingeniero Electrónico
Egresado de la Maestría en Control y Automatización Industriales
Unidad de Posgrados
Universidad Politécnica Salesiana, Cuenca, Ecuador
Dirigido por:
Ernesto Tomás Granado Migliore
Doctor especialidad sistemas automáticos
Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela
Investigador del programa Prometeo-SENESCYT, Ecuador
Universidad Politécnica Salesiana, Cuenca, Ecuador
Todos los derechos reservados.
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DERECHOS RESERVADOS ©2016 Universidad Politécnica Salesiana
CUENCA - ECUADOR – SUDAMÉRICA
MOGROVEJO MERCHÁN DIEGO G.
Diseño e implantación de un sistema de cuatro tanques interconectados con control PID robusto multivariable.
IMPRESO EN ECUADOR – PRINTED IN ECUADOR
V
ÍNDICE GENERAL PREFACIO ................................................................................................................ XI
PRÓLOGO .............................................................................................................. XIII
CAPÍTULO I ................................................................................................................1
INTRODUCCIÓN A UN SISTEMA MULTIVARIABLE DE CUATRO
TANQUES INTERCONECTADOS. ..........................................................................1
1.1 Sistema multivariable de cuatro tanques. .......................................................1
1.2 Controladores PID, utilización y variantes. ....................................................7
1.2.1 Utilización de los controladores PID. .....................................................8
1.2.2 Controladores PID robustos. ...................................................................9
1.2.3 Controladores PID multivariable. .........................................................10
1.3 Desigualdades lineales matriciales (LMI). ...................................................13
1.3.1 Importancia de las LMIs .......................................................................13
1.4 Criterio de estabilidad de Lyapunov. ............................................................15
1.4.1 Análisis de estabilidad de Lyapunov de sistemas de tiempo continuo .17
CAPÍTULO 2 ..............................................................................................................19
DISEÑO DEL MODELO DINÁMICO DE CUATRO TANQUES CON
MÚLTIPLES CONFIGURACIONES. .....................................................................19
2.1 Dimensionamiento, planificación del modelo dinámico de cuatro tanques. 19
2.2 Descripción de la instrumentación aplicada. ................................................21
2.2.1 Sensores de caudal. ...............................................................................21
2.2.2 Sensores de presión. .............................................................................23
2.2.3 Sensores de nivel. .................................................................................24
2.2.4 Bombas de control de flujo. ..................................................................26
2.3 Configuración utilizada. ...............................................................................27
2.4 Identificación del sistema dinámico en la configuración seleccionada y
comparación con el modelo matemático. .................................................................29
CAPÍTULO 3 ..............................................................................................................35
DISEÑO DE UN CONTROLADOR BASADO EN PID MULTIVARIABLE
ROBUSTO PARA NIVEL. ........................................................................................35
3.1 Controladores de múltiples entradas y múltiples salidas. .............................35
3.2 Diseño de un controlador PID multivariable robusto para ajuste de nivel de
líquido. ......................................................................................................................37
3.2.1 Algoritmo para diseño del controlador. ................................................42
3.3 Diseño del controlador..................................................................................43
CAPÍTULO 4 ..............................................................................................................49
VI
IMPLEMENTACIÓN DEL CONTROLADOR PID MULTIVARIABLE
ROBUSTO APLICADO AL MODELO FÍSICO CONSTRUIDO. .......................49
4.1 Implementación del programa en el controlador ..........................................49
4.2 Adaptación de la interface física entre el modelo dinámico y el controlador.
49
4.3 Simulaciones. ................................................................................................50
4.4 Resultados experimentales. ................................................................................55
CAPÍTULO 5 ..............................................................................................................59
ANÁLISIS DE RESULTADOS, CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 59
5.1 Análisis del sistema propuesto. ....................................................................59
5.2 Validación de resultados. ..............................................................................60
5.3 Conclusiones. ................................................................................................60
5.4 Recomendaciones. ........................................................................................61
5.5 Propuesta de trabajos futuros. .......................................................................61
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................63
ANEXOS .....................................................................................................................67
ANEXO 1. PROCESO DE CONSTRUCCIÓN .......................................................67
ANEXO 2. DIAGRAMA ELÉCTRICO DEL MODELO DINÁMICO ................73
ANEXO 3. PUBLICACIÓN PRESENTADA EN ETCM (GUAYAQUIL,
OCTUBRE 2016) ........................................................................................................75
VII
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Sistema de dos tanques acoplados de Quanser Consulting. ® .......................2 Figura 2: Sistema de tanques propuesto. .......................................................................3 Figura 3: Algunas configuraciones posibles. ................................................................4 Figura 4: (a) Control PID de una planta. (b) Ecuación de un PID ................................8 Figura 5: Diseño de tanque para modelo dinámico. ....................................................20 Figura 6: Montaje de tanques en estructura. ...............................................................21 Figura 7: Sensor de caudal GEMS ® tipo RFA. .........................................................22 Figura 8: Curvas de sensor de caudal. (a) Respuesta de voltaje, (b) Caída de presión en
relación a flujo ..............................................................................................................23 Figura 9: Sensor de presión. ........................................................................................24 Figura 10: Curva característica de sensor de presión ..................................................24 Figura 11: Sensor capacitivo DINGTEK ®. ...............................................................25 Figura 12: Curva característica de sensor de nivel ......................................................25 Figura 13: Composición de las bombas ......................................................................26 Figura 14: Curva característica de bombas de caudal .................................................27 Figura 15: Configuración seleccionada para el desarrollo de este trabajo ..................27 Figura 16: Planta real completa ...................................................................................28 Figura 17: Respuesta de nivel a voltaje aplicado a bombas ........................................30 Figura 18: Esquema de simulación en Simulink de MATLAB® ...............................32 Figura 19: Nivel de los tanques en simulación, (a) Tanques 1 y 2, (b) tanques 3 y 4. 33 Figura 20: Prueba de comportamiento de la planta real. .............................................33 Figura 21: Comportamiento de los niveles de tanques 1 y 2. ......................................34 Figura 22: Localización de polos (configuración de fase mínima). ............................45 Figura 23: Localización de polos (configuración de fase mínima). ............................47 Figura 24: DAQ NI-USB6212® (a) conexiones (b) apariencia ..................................50 Figura 25: Esquema de control implementado para la simulación..............................50 Figura 26: Comportamiento dinámico del nivel del tanque 1 (fase mínima) ..............51 Figura 27: Comportamiento dinámico del nivel del tanque 2 (fase mínima). .............51 Figura 28: Señal de control correspondiente a la bomba 1 (fase mínima). .................52 Figura 29: Señal de control correspondiente a la bomba 2 (fase mínima). .................52 Figura 30: Comportamiento dinámico del nivel del tanque 1 (fase no mínima). ........53 Figura 31: Comportamiento dinámico del nivel del tanque 2 (fase no mínima). ........53 Figura 32: Señal de control correspondiente a la bomba 1 (fase no mínima). ............54 Figura 33: Señal de control correspondiente a la bomba 2 (fase no mínima). ............54 Figura 34: Comportamiento del controlador (a) Gráficas tanques 1 y 2, (b) Imagen del
sistema en SP. ...............................................................................................................56 Figura 35: Comportamiento dinámico del nivel del tanque 1 (con saturación). .........57 Figura 36: Comportamiento dinámico del nivel del tanque 2 (con saturación). .........57 Figura 37: Señal de control correspondiente a la bomba 1 (con saturación). ..............58 Figura 38: Señal de control correspondiente a la bomba 2 (con saturación). ..............58
VIII
Figura 40: (a), (b), (c), (d), (e). Estructuración de modelo didáctico ..........................69 Figura 41: Proceso de pintura......................................................................................70 Figura 42: (a), (b), (c). Ensamblaje del modelo didáctico ...........................................71
IX
DEDICATORIA
Este, y todo el trabajo de mi vida va
dedicado a mis hijas, Valentina y Micaela,
mi motor, mi razón, mi sentido de vida, a
Vanessa sin su soporte simplemente no
hubiera sido posible.
Diego Gerardo Mogrovejo Merchán
X
XI
PREFACIO El aprendizaje de la teoría de control como parte multidisciplinaria de la
ingeniería tiene diversos enfoques, uno de estos es el que relaciona la teoría con la
experimentación, la necesidad de visualizar en un entorno físico el comportamiento
modelado de un sistema dinámico.
El presente trabajo está dirigido para servir de modelo de ensayo en aplicaciones
didácticas orientadas al diseño de controladores de sistemas de múltiples entradas y
múltiples salidas (MIMO), de sus siglas en inglés (Multiple Inputs-Multiple Outputs).
En los sistemas MIMO las variables controladas de salida, obedecen a la acción de un
vector de control sobre las variables de entrada.
Este desarrollo apunta en dos direcciones. La primera, al diseño y elaboración
de un sistema dinámico de cuatro tanques comunicados entre sí por medio de tubos y
válvulas. El montaje es flexible y permite la configuración de múltiples problemas de
control. La segunda parte del trabajo, consiste en el diseño e implementación de un
controlador PID multivariable robusto que permita controlar la salida del sistema
mencionado. Además, el mismo debe garantizar las condiciones de estabilidad y
desempeño del sistema para diferentes puntos de operación y ante variación en los
parámetros del modelo.
Las magnitudes físicas relacionadas con los fluidos, y en especial con niveles,
presentan propiedades intrínsecas que las hacen un buen ejemplo para el estudio de la
teoría de control. El comportamiento dinámico real de los sistemas de nivel resulta muy
cercano al modelo teórico que se obtiene desde las ecuaciones diferenciales derivadas
de las leyes físicas que los rigen. Además, los sistemas de nivel poseen una dinámica
adecuada para la realización de prácticas experimentales. Por una parte, su respuesta
temporal es lo suficientemente “lenta” como para apreciar fácilmente su
comportamiento transitorio; por otra parte, es relativamente “rápida” para poder realizar
un experimento en un tiempo razonable, menor a la media hora. Por estas razones, estos
sistemas son ampliamente utilizados en los laboratorios de automatización y control.
El sistema propuesto en el presente trabajo, por su naturaleza y su concepción
es un sistema MIMO no lineal, donde resulta fácil obtener analíticamente las ecuaciones
diferenciales que rigen su comportamiento dinámico. Posteriormente, a partir de éstas
se pueden conseguir diferentes representaciones del modelo matemático, que serán
usados dependiendo del tipo de controlador que se desee diseñar. Adicionalmente,
mediante ligeras modificaciones, es posible convertir el sistema en un SISO (single
input single output).
La finalidad es proveer un sistema de control didáctico que sea versátil y que
evidencie la factibilidad de elaborar sistemas similares de manera local, sin incurrir en
XII
gastos excesivos, y para efectos de comprobación aplicar el diseño de un controlador a
una determinada configuración posible.
XIII
PRÓLOGO La necesidad por entender los fenómenos físicos es tan antigua como la
humanidad en sí misma, y con su entendimiento esa necesidad se volcó hacia el deseo
de controlarlos, modificarlos y perfeccionarlos. La teoría de control trajo consigo la
modelización que la física había iniciado, llevando los fenómenos físicos a una etapa de
mayor entendimiento aún, donde se podía interactuar con ellos de forma mucho más
directa.
¿Por qué? La pregunta que hace que los avances tecnológicos, científicos,
sociales, naturales, o culturales sucedan, la pregunta que permite a la humanidad salir
en búsqueda de las respuestas que necesita para entender lo que en un inicio no tenía
explicación. La misma pregunta que nos ha conducido al desarrollo de este trabajo de
tesis. En este libro se muestran algunas técnicas avanzadas de control automático
aplicadas a procesos de fluidos, que resultan amigables para su estudio dentro de la
teoría de control.
El capítulo I se presenta a manera de introducción, primero para entender en
qué consiste el sistema a tratarse. Se aborda de manera general los controladores de tres
términos conocidos como PID y sus variantes aplicadas para el desempeño de nuestro
trabajo de manera puntual. Se presentan las herramientas matemáticas involucradas en
el diseño como son el criterio de estabilidad de Lyapunov y las desigualdades lineales
matriciales.
En el capítulo II se muestra el proceso de diseño del modelo dinámico de cuatro
tanques interconectados. Se muestra en detalle cómo fue concebido y se describe la
instrumentación utilizada. Además, se enseñan algunas de las configuraciones que son
posibles de alcanzar. Finalmente, se muestra el proceso de identificación del sistema
con la configuración seleccionada.
El capítulo III es el capítulo medular del trabajo; se realiza el diseño del
controlador a utilizarse con las técnicas mencionadas y tomando algunos otros trabajos
previos como punto de partida. Acá se encuentra todo el desarrollo matemático que ha
sido necesario para el texto.
El capítulo IV muestra los ensayos prácticos con el controlador diseñado ya
implementado en una plataforma de trabajo y probado a diferentes puntos de trabajo, se
expone la interacción entre el modelo matemático obtenido y el modelo dinámico
construido.
Finalmente, en el capítulo V se hace el análisis de resultados, las conclusiones
y recomendaciones fruto del trabajo llevado, y la propuesta de nuevos trabajos que
pueden ser desarrollados en este mismo modelo dinámico o trabajos sobre otros
modelos factibles de construir.
XIV
En los anexos se incluye la siguiente información: en el anexo 1 el proceso de
fabricación del modelo dinámico. En el anexo 2 el diagrama eléctrico del modelo
dinámico. El anexo 3 contiene una copia del artículo derivado de este trabajo que fue
presentado en el ETCM 2016 (Ecuador Technical Chapters Meeting) organizado por la
rama IEEE de Ecuador, en la ciudad de Guayaquil.
XV
AGRADECIMIENTO
Eternamente agradecido con mis padres
Gerardo y Nancy, su apoyo y su amor
incondicional han sido mi fortaleza
siempre, a mis hermanos Fernando y
Cristina por su compañía y aliento. A
Ernesto por su guía y compromiso con
este trabajo, y a todos los que aportaron
para su realización.
Diego Gerardo Mogrovejo Merchán
XVI
1
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN A UN SISTEMA
MULTIVARIABLE DE CUATRO TANQUES
INTERCONECTADOS.
En este capítulo se explica en qué consiste el modelo dinámico de múltiples
tanques de agua interconectados entre sí, y su utilización en la enseñanza de la teoría de
control, las posibles configuraciones que se pueden obtener de un mismo sistema, así
como una breve introducción a los controladores PID y sus aplicaciones, a sus variantes
robustas, y su implementación en sistemas de múltiples variables. Finalmente, se
presentará un preámbulo del criterio de estabilidad de Lyapunov y de las desigualdades
matriciales lineales LMIs, como útiles herramientas de diseño de controladores robustos
multivariables.
1.1 Sistema multivariable de cuatro tanques.
El controlar el nivel y el flujo entre tanques es un problema básico de control
en procesos industriales, estos procesos requieren líquidos siendo bombeados y tanques
de almacenamiento, desde donde serán impulsados a otros procesos. En ocasiones estos
fluidos serán procesados químicamente o mezclados en otros tanques de tratamiento,
pero sin importar el proceso siempre el nivel de los tanques debe ser controlado, y el
flujo entre los tanques debe ser regulado. A menudo los tanques son acoplados y los
niveles interactúan entre sí, y esto tiene también que ser controlado. Dicho de otro modo,
los procesos de nivel y caudal constituyen la parte esencial de cualquier industria y por
consiguiente de cualquier sistema económico basado en producción, por citar algunas
de estas industrias tenemos:
• Industria petroquímica.
• Industria papelera.
• Industria de tratamiento de agua.
• Industria alimenticia.
• Industria de la construcción.
Nuestras vidas inclusive están regidas por procesos de control de flujo como
por ejemplo la fisiología médica involucra muchos sistemas de bio-control de flujo para
administrar la cantidad de sangre fluyendo por el cuerpo entre diferentes órganos, otros
bio-sistemas controlan los niveles de presión y concentración de químicos en cada parte
de nuestro cuerpo.
2
El asombroso embalse de Silveretta en los Alpes de Austria es una muestra
gigante de un sistema de dos tanques acoplados. Por un lado, está el Silveretta Stausse
con 2034 metros de altura, por otro lado, acoplado a éste el Vermunt Stausse de 1717
metros, junto con su sistema de generación hidroeléctrico son el sistema de dos tanques
acoplados más grandes del mundo.
Efectivamente, los sistemas de control de nivel están por todas partes, en todas
nuestras industrias, en nuestros cuerpos, en todos los procesos relacionados con flujo
que para poder funcionar necesitarán previamente un nivel acumulado. Es necesario
para los ingenieros de control entender cómo los sistemas de control de tanques
funcionan, y cómo resolver el problema de controlar su nivel [1].
Los modelos dinámicos físicos constituyen una herramienta muy útil para
reforzar el aprendizaje de la teoría de control, no siempre es simple contrastar el modelo
obtenido de un sistema a partir de las ecuaciones diferenciales que lo rigen, con los
elementos físicos disponibles comercialmente. Los sistemas que presentan un mejor
comportamiento para su utilización y comparación entre modelo matemático y modelo
físico son los que se relacionan con los fluidos y las magnitudes que los gobiernan como
son: la presión, el caudal, y el nivel.
Desde hace algún tiempo existen modelos de tanques individuales o
interconectados que están disponibles comercialmente, sobretodo de hasta dos tanques
en configuración vertical, es decir, uno sobre otro como se muestra en la figura 1.
Figura 1: Sistema de dos tanques acoplados de Quanser Consulting. ®
3
Existen diferentes variantes de los sistemas de tanques acoplados y según
aumenta el número de variables, naturalmente aumenta la dificultad para analizarlos y
establecer técnicas de control que se ajusten a su configuración.
En el año 2000 Johansson [2] presenta un sistema acoplado de cuatro tanques,
donde introduce el problema de un control de nivel multivariable, con la posibilidad de
ajustarlo para ilustrar comportamiento de fase mínima y no mínima.
Actuando sobre el modelo de Johansson, en este trabajo se propone un sistema
de cuatro tanques acoplados entre sí, dispuestos en forma de matriz de dos por dos,
donde los dos tanques superiores tienen entradas diferentes, y desde el desfogue de éstos
se abastece la entrada del par de tanques inferiores. De estos últimos también se puede
tener otro par de entradas, de este modo se va conformando un sistema de múltiples
entradas y múltiples salidas (MIMO), que es la base de nuestro estudio como se ilustra
en la figura 2.
Figura 2: Sistema de tanques propuesto.
El modelo propuesto para este trabajo, al igual que el trabajo mostrado en [3]
tiene una ventaja primordial sobre otros modelos comerciales, y es que es muy versátil
y permite una serie de configuraciones por medio del ajuste de las válvulas del sistema.
Es así como se puede ir desde un sistema sencillo de una sola entrada y una sola salida
(SISO), hasta la configuración que más variables involucre.
Por otra parte, las variables que pueden ser controladas también son diversas.
Se puede tener procesos que actúen sobre la presión en las tuberías, o en el flujo de las
mismas, y en nuestro caso el nivel de fluido en los tanques que es la magnitud en la que
centraremos nuestro análisis.
4
En el modelo propuesto se tienen dispuestas dos bombas controlables en
velocidad de flujo como actuadores, con lo que es posible operar sobre el caudal y la
presión del sistema, y por ende sobre el nivel en los tanques sabiendo que, la cantidad
de líquido que se acumula en un recipiente es igual a la diferencia entre el volumen que
ingresa y el volumen que sale del mismo.
En la figura 3 se muestran algunas de las configuraciones que son posibles de
lograr con el modelo propuesto.
Figura 3: Algunas configuraciones posibles.
Para nuestro estudio particular se utilizará la configuración de la figura 3 (e),
donde se ejercerá la manipulación sobre los dos actuadores para lograr el control de
nivel en los tanques inferiores de los que se tomará mediciones. El modelo que rige el
5
comportamiento del sistema está dado por las siguientes ecuaciones de balance de masa
[2]:
)()1()(2)(
)()1()(2)(
)()(2)(2)(
)()(2)(2)(
111444
4
222333
3
22244222
2
11133111
1
tvktghadt
thAr
tvktghadt
thAr
tvktghatghadt
thAr
tvktghatghadt
thAr
(1)
Donde:
)(thi , 4,3,2,1i , es el nivel del tanque-i.
)(tv j, 2,1j , es el voltaje de entrada de la bomba-j.
iAr , 4,3,2,1i , es el área transversal del tanque-i.
ia , 4,3,2,1i , es el área del agujero de salida del tanque-i.
)1,0(j , 2,1j es el valor de ajuste de la válvula-j de 3 vías.
jk , 2,1j , es la ganancia de la bomba-j.
g , es la aceleración de la gravedad.
El objetivo es controlar el nivel )(),( 21 thth de los dos tanques inferiores (TK1
y TK2) manipulando el voltaje aplicado a las bombas )(),( 21 tvtv .
Linealizando la ecuación (1) en el punto de operación )( ),(00 tvth ji ,
4,3,2,1i y 2,1j , el modelo en el espacio de estados está dado por:
)()(
)()()(
tCxty
tButAxtx
(2)
Donde nRtx )( ,
lRtu )( , mRty )( ,
nnRA x , lnRB x y nmRC x
son definidas como:
6
,)()(
)()()( ,
)()(
)()(
)()(
)()(
)(022
011
044
033
022
011
tvtv
tvtvtu
thth
thth
thth
thth
tx
4
3
42
4
2
31
3
1
1000
01
00
01
0
001
T
T
TAr
Ar
T
TAr
Ar
T
A
,0010
0001
,
0)1(
)1(0
0
0
4
11
3
22
2
22
1
11
C
Ar
k
Ar
k
Ar
k
Ar
k
B
(3)
Donde 4,3,2,1 ,02 0
ig
h
a
ArT i
i
ii , representa la constante de tiempo del
tanque-i.
El sistema es estable en lazo abierto con dos ceros de transmisión, que pueden
ser ajustados para operar en ambos semiplanos, en el izquierdo (fase mínima) y en el
derecho (fase no mínima) dependiendo de la relación de flujo de los tanques superiores,
7
e inferiores. La posición de esos ceros es determinada por los parámetros 1 y 2 como
se muestra a continuación:
Si 10 21 el sistema es de fase no mínima.
Si 21 21 el sistema es de fase mínima.
Para determinar la matriz de funciones de transferencia del sistema se utiliza la
siguiente fórmula:
BAsICsG 1)()( (4)
Obteniéndose:
1)1)(1(
)1(
)1)(1(
)1(
1)(
2
22
42
12
31
21
1
11
sT
c
sTsT
c
sTsT
c
sT
c
sG
(5)
Donde:
2,1 , jAr
kTc
j
jj
j (6)
1.2 Controladores PID, utilización y variantes.
Desde sus primeras implementaciones a inicios del siglo XX, los controladores
PID han tenido una importancia trascendental en el desarrollo de la automatización y el
control industriales, tal es así que diversos autores consideran que entre el 90% y 95%
de los controladores automáticos presentes en la industria son del tipo PID. La
representación de un controlador PID es como la que se observa en la figura 4 [4]:
(a)
8
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡) + 𝐾𝑖 ∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏𝑡
0
+ 𝐾𝑑
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
(b) Figura 4: (a) Control PID de una planta. (b) Ecuación de un PID
Un controlador PID fundamenta su funcionamiento en la sintonización de tres
constantes, una ganancia proporcional KP, una ganancia de tipo integral KI (o tiempo
integral Ti), y una ganancia derivativa KD (o tiempo derivativo Td), que en conjunto
tienen como objetivo reducir el error en estado estable de un determinado proceso
tomando información del mismo error tanto en el tiempo presente, como de los errores
previos, y anticipándose a los errores futuros. Esta característica vuelve al control PID
tan útil y tan efectivo en el campo del control de procesos. Su renombre puede atribuirse
en parte a su buen comportamiento en un amplio intervalo de condiciones de operación
y en parte a su sencillez funcional. Naturalmente, con el tiempo ha pasado por algunas
mejoras y variantes que lo hacen ajustarse a la demanda de procesos más complejos,
pero manteniendo su esencia original.
1.2.1 Utilización de los controladores PID.
Los controles PID tienen una extensa gama de aplicación, se diría que de hecho
están presentes en cualquier industria, y en casi cualquier proceso (presión, temperatura,
nivel, fluidos, etc.). Son utilizados en el control de velocidad de motores, sean éstos en
corriente continua como en las imprentas rotativas o máquinas de industria textil, o de
corriente alterna, como bandas transportadoras, ventiladores, etc. También se
encuentran presentes en sistemas de bombeo, donde en los últimos años ha habido un
auge de los llamados sistemas de presión constante en el uso industrial o en
edificaciones residenciales.
Así mismo, hay un uso extenso de controladores PID en procesos de
temperatura sean éstos de calentamiento, o enfriamiento, para estos procesos resulta un
controlador que presenta unas ventajas muy claras. Los procesos de temperatura son
generalmente lentos, dependiendo del volumen de fluido a tratar y el tamaño de la
planta, los PID se adaptan muy bien a su necesidad y tienen un rendimiento mucho
mejor que un controlador proporcional simple, o de lógica difusa que tuvieron su
momento de “fama” a finales de la década de 1980 y primeros años de la década de
1990, impulsados principalmente por algunos fabricantes japoneses que empezaron a
ofertar muchos controladores difusos para diversos procesos, mercadeándolos como
controladores robustos, fáciles de diseñar y muy económicos, situación que siempre ha
estado en disputa con los teóricos del control clásico.[5]
Los controladores de tres términos PID han dominado los procesos industriales
por más de seis décadas, y lo siguen haciendo [6]. La expansión que han tenido los
9
controladores PID puede atribuirse a su estructura simplificada, su robustez, a su alto
rango de aplicaciones posibles y rendimiento ajustable, aunque limitado a problemas de
control simple. En 1939, la primera aplicación comercial fue introducida [7], y con ello
comenzó una gran investigación y desarrollo.
Desde 1942 numerosas técnicas de sintonización de PID han sido desarrolladas.
En los últimos años los avances tecnológicos en los procesos industriales han impulsado
el desarrollo de complejos problemas de control donde el PID clásico no ha sido capaz
de hacer frente, y la comunidad del control se esfuerza en la búsqueda de mejores
soluciones.
Considerando la popularidad y confiabilidad del PID, muchos investigadores
intentan concebir un PID que sea óptimo.
1.2.2 Controladores PID robustos.
Los controladores PID asumen un conocimiento del sistema, sin embargo,
muchas veces las plantas se ven afectadas por otros agentes como son el rango de
tolerancia de los elementos involucrados, omisión de algunas dinámicas, retardos que
no son modelados, ruido presente en el sensor de retroalimentación u otros elementos
que actúan como una perturbación. El objetivo del diseño de un sistema robusto es
asegurar el comportamiento del sistema a pesar de las imprecisiones y cambios
inesperados del modelo. Un sistema de control se puede considerar robusto cuando tiene
cambios que resultan aceptables en su comportamiento debido a cambios o
imprecisiones que se puedan presentar en el modelo [8].
Obtener un sistema que funcione adecuadamente sobre un rango de parámetros
inciertos es el fin último del diseño, la robustez de un controlador significa la manera
de cómo éste responde a la aparición de perturbaciones dentro de un margen para el que
fue diseñado y a parámetros del modelo que son despreciados durante la fase de análisis.
El controlador robusto basa su diseño en dos tareas, la primera de ellas es definir
la estructura del controlador, y la segunda ajustar sus parámetros para un control
satisfactorio. Para el caso de los controles de tres términos PID existen algunos métodos
para establecer las tres ganancias que el diseñador plantee.
El objetivo en este trabajo es encontrar un controlador que satisfaga ciertos
requerimientos de rendimiento para diferentes puntos de operación del sistema lineal.
Es decir, la síntesis del controlador puede ser planteada como un problema de diseño
para un sistema con incertidumbre en sus parámetros; esto debido a que la matriz del
sistema lineal varía de acuerdo al punto de operación.
10
De esta manera, el problema será tratado como el diseño de un controlador
robusto con incertidumbre poliédrica estructurada [9]. En este caso, el modelo en el
espacio de estados para el sistema linealizado (2) se expresa de manera incierta como:
)()(
)()()( )(
tCxty
tButxAtx
(7)
Donde nnRA x
)( pertenece a un dominio convexo definido por:
L
k
Lkk AAAΓ1
,:: )()(
(8)
Y:
0 ,1 :1
k
L
k
k
L
L R (9)
Observe que cualquier matriz incierta ΓA )( puede ser escrita como una
combinación convexa de los L vértices (matrices extremas) LiAi ,,1 , .
1.2.3 Controladores PID multivariable.
Se conoce de antemano la trascendencia de los controladores PID en el estudio
de la teoría de control, y cómo están involucrados en el manejo de procesos en la
industria sobre todo en procesos de una sola entrada y una sola salida. Sin embargo,
según los procesos se van complicando, o creciendo en tamaño aparece la necesidad de
controlar ya no solo una única salida de control sino varias, y además ya no solo
depender de una sola entrada de referencia y retroalimentación sino también de más de
una, se tiene entonces frente a la necesidad de controlar un sistema MIMO. En el pasado
reciente los diseños de sistemas de control multivariable han tenido un gran auge y han
tenido mayor atención, tanto en la industria, como en lo académico.
Las aproximaciones analíticas han tenido un surgimiento particular para la
sintonización de los parámetros PID, en esta categoría los métodos más populares son
los relacionados con optimización [10], métodos robustos [11], métodos de ubicación
de polos [12] y métodos iterativos [13]. Por otro lado, las desigualdades matriciales
lineales (LMIs) son las herramientas más eficientes para el diseño de controladores
dentro de este contexto.
11
Un tratamiento muy bueno sobre métodos de diseño basados en LMI fue
propuesto en [14] y más tarde utilizado para resolver diferentes problemas de diseño de
controles tipo MIMO PID [15] y [16].
En este estudio nos enfocamos en los métodos iterativos basados en
desigualdades matriciales lineales. La idea básica es transformar el problema de diseño
de un controlador PID en uno equivalente de realimentación estática de la salida SOF
(por las siglas en ingles de Static Output Feedback).
Considere el sistema incierto en tiempo continuo descrito por la ecuación (7), y
el siguiente controlador PID:
t
tyFyFtyFtu
d
)(dd)()()( 3
t
0
21 (10)
Donde mlRFFF x
321 ,, son matrices a ser calculadas y representan las
ganancias: proporcional (Kp), integral (Ki), y derivativa (Kd) del controlador.
El sistema en lazo cerrado (7) y (10) puede ser equivalentemente representado
por un sistema aumentado con retroalimentación estática de la salida (SOF) [17],
definiendo un nuevo vector de estado de la forma:
)()(
)()(
)()()(
)(
)(
tyFtu
tzCty
tuBtzAtz
(11)
Donde:
T
ytxtz
CA
I
C
CB
BC
AA
t
0
)(
)()(
)(
d)()()(
,
0
0
0
,0
,0
0
(12)
El par de términos ) ,( )()( CA pertenece a un dominio incierto en una región
convexa definida por:
12
A
A
L
k
LkkA ACACAΓ1
,),(:),(: )()( (13)
Donde:
0 ,1 :1
k
L
k
k
L
L
A
A
AR . (14)
Cualquier par de matrices inciertas AΓCA ) ,( )()( puede ser descrita como
una combinación convexa de los AL vértices Aii LiCA ,,1 ,, .
Las ganancias del controlador SOF ][ 321 FFFF son:
3
1
33
2
1
32
1
1
31
)(
)(
)(
FCBFIF
FCBFIF
FCBFIF
, (15)
El objetivo es encontrar una matriz F tal que el sistema de lazo cerrado:
)()()( )()( tzCFBAtz (16)
Sea asintóticamente estabilizable.
Una vez que la matriz compuesta ][ 321 FFFF es encontrada, las
ganancias del PID original ][ 321 FFFF pueden ser obtenidas a partir de:
131
232
1
333
)(
)(
)(
FCBFIF
FCBFIF
FCBIFF
(17)
Bajo la condición que 3FCBI sea invertible.
13
1.3 Desigualdades lineales matriciales (LMI).
Una gran variedad de problemas de control se puede formular como
desigualdades lineales matriciales (LMIs por las siglas en ingles de Linear Matrix
Inequalities) [18]. Algunos criterios de estabilidad que surgieron en los años 40 y 50
para sistemas con restricciones en los actuadores se pueden formular de forma sencilla
como LMIs.
Entre los problemas de control que pueden ser formulados mediante LMIs están
los de análisis de estabilidad, estabilización de sistemas, control sujeto a restricciones,
control robusto, control óptimo, estimación de estado, etc.
Las LMIs no empezaron a utilizarse de forma generalizada en el mundo del
control automático hasta los años 90, en parte porque los ordenadores hasta entonces no
tenían la capacidad de cálculo necesaria y además no existían algoritmos eficientes. A
principios de los 90 apareció una nueva familia de métodos de punto interior capaces
de resolver con eficiencia los problemas formulados como LMIs. Actualmente existen
poderosas herramientas computacionales para la solución de LMIs como es el caso del
LMI Toolbox de MATLAB® [19].
Una LMI es una expresión de la forma:
m
i
ii FxFxF1
0 0)( (18)
Donde mT
m Rxxx
1 ,, es un vector de valores desconocidos (variable).
Las matrices simétricas miRFF nxnTii ,,0 , son conocidas y la desigualdad
“>0” significa “definido positivo”, esto es, 0)( uxFuT para todo 0u , nRu .
Equivalentemente, el autovalor más pequeño de )(xF es positivo.
1.3.1 Importancia de las LMIs
Algunas de las propiedades más importantes de las desigualdades lineales
matriciales son:
1.3.1.1 La convexidad
Definición 1. Un conjunto C se dice que es convexo si
CyxCyx , 1 y 1,0 .
La desigualdad lineal matricial dada por la expresión (18) define un problema
convexo sobre la variable x .
14
Demostración
Dados los vectores yx, tal que 0)( xF y 0)( yF , y dado el escalar 1,0
entonces
0)(1)(
)1(1
)1()1(
11
00
1
0
yFxF
FyFxFF
FyxFyxF
m
i
ii
m
i
ii
m
i
iii
(19)
La convexidad tiene una importante consecuencia, y es que en la mayoría de los
casos la expresión (18) no tiene solución analítica. En este caso, el problema de hallar
la solución de “x”, si existe, se puede resolver numéricamente con la garantía de
encontrar una solución, mediante un problema de optimización convexa.
1.3.1.2 Múltiples LMIs pueden ser expresadas como una simple
Diversas desigualdades lineales matriciales 0)(,),(),( 21 xFxFxF p se
pueden representar como una simple LMI.
0
)(000
0
0)(0
00)(
2
1
xF
xF
xF
p
(20)
De esta manera, múltiples expresiones tipo LMI pueden plantearse sobre alguna
variable x sin perder la convexidad del problema.
1.3.1.3 Desigualdades no lineales (convexas) como desigualdades lineales
Desigualdades matriciales (convexas) no lineales pueden ser convertidas a
LMIs a través de la fórmula del complemento de Schur.
En [13] dada la matriz nxmS y las matrices simétricas nxnQ y
m xmR , las siguientes proposiciones son equivalentes:
15
0
RS
SQ
T
,
(21)
0 ;0 1 SQSRQ T , (22)
0 ;0 1 TSSRQR (23)
Demostración
Si se definen las matrices regulares:
I
SQIM
0
1
1 y
ISR
IM
T12
0, (24)
y se multiplica (21) a la izquierda por TM1 y a la derecha por 1M , se obtiene:
00
0
1
SQSR
Q
T, (25)
De manera similar, si se multiplica (21) a la izquierda por TM 2 y a la derecha
por 2M , se obtiene:
00
01
R
SRSQ T
, (26)
Una vez escrita una desigualdad matricial como una LMI, existen efectivos y
poderosas algoritmos para la solución de esta clase de problemas, estos pueden
estudiarse en: [20] y [21].
1.4 Criterio de estabilidad de Lyapunov.
En 1892, A. M. Lyapunov presentó dos métodos (denominados primer y
segundo método) para determinar la estabilidad de sistemas dinámicos descritos por
ecuaciones diferenciales [18]. El segundo método permite obtener las condiciones
suficientes de estabilidad de los sistemas.
16
Se sabe de la teoría clásica de la mecánica que un sistema vibratorio es estable
si su energía total (una función positiva definida) es continuamente decreciente (lo que
significa que la derivada temporal de la energía total debe ser negativa definida) hasta
alcanzar un estado de equilibrio.
El segundo método de Lyapunov está basado en una generalización de este
hecho, sin embargo, para sistemas puramente matemáticos no hay manera simple de
definir una función energía. Para eliminar esta dificultad, Lyapunov introdujo la
denominada función de Lyapunov, una función energía ficticia.
Considérese la ecuación diferencial autónoma:
)()( txftx •
(27)
Con nn RRf : continua y 0)0( f al cual llamaremos “el equilibrio” o el
origen.
Sea 0x la solución de (27) que en 0t pasa por
0x y que se denota 0, xt ,
es decir, esta solución es tal que 00,0 xx .
Definición 2. El equilibrio del sistema (27) es estable (en el sentido de
Lyapunov) si para cada 0 existe 0)( tal que:
0 , , 00 txtx (28)
Definición 3. El equilibrio del sistema (27) es asintóticamente estable (en el
sentido de Lyapunov), si existe 0 tal que
0 ,lim 00
xtxt
(29)
Teorema 1. (Teorema de Lyapunov). Dada la función V(x) para el sistema (27)
que satisface:
1. V(x) es continua y diferenciable.
2. V(0) = 0.
3. 0 ,0)( xxV .
El estado de equilibrio 0x de la ecuación (27) es:
(a) Estable en el sentido de Lyapunov si )(xV•
es semi definida negativa.
17
(b) Asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov si )(xV•
es definida
negativa.
Dicha función V(x) se denomina función de Lyapunov.
1.4.1 Análisis de estabilidad de Lyapunov de sistemas de tiempo continuo
Sea el sistema autónomo descrito por:
)()( tAxtx (30)
Donde ntx )( es el vector de variables de estado y nxnA es la matriz
dinámica del sistema.
Se elige una posible función de Lyapunov
)()())(( tPxtxtxV T (31)
Donde nxnRP es una matriz simétrica, definida positiva. La derivada de
))(( txV se obtiene del siguiente modo:
xPAPAx
xPxPxxxVdt
d
TT
TT
)( (32)
Como se eligió ))(( txV positiva definida, se requiere para tener estabilidad
asintótica que )(xVdt
d sea negativa definida. Por tanto,
QxxxVdt
d T)( (33)
Donde
PAPAQ T (34)
Por tanto, para estabilidad asintótica del sistema (34), es suficiente que Q sea
positiva definida. Se resume lo indicado aquí con un teorema.
18
Teorema 2. Sea el sistema descrito por la ecuación (30). Una condición
necesaria y suficiente para que el estado de equilibrio x = 0 sea asintóticamente estable,
es que exista una matriz nxnP simétrica y positiva definida tal que:
0 PAPAT (35)
19
CAPÍTULO 2
DISEÑO DEL MODELO DINÁMICO DE
CUATRO TANQUES CON MÚLTIPLES
CONFIGURACIONES.
En este capítulo se expone la propuesta de realización del modelo dinámico de
cuatro tanques interconectados entre sí. Se hace una descripción de los componentes,
sus capacidades, los materiales, e instrumentación utilizada en el diseño y la
interrelación entre ellos.
Aunque el modelo permite múltiples configuraciones, este trabajo se centra en
una específica que también es descrita en detalle. Sobre esta configuración se aplica un
procedimiento de identificación, que permite contrastar su resultado con las ecuaciones
diferenciales características del modelo que ya fueron presentadas en el capítulo
anterior.
2.1 Dimensionamiento, planificación del modelo dinámico de
cuatro tanques.
Para la implementación del sistema se han tomado en cuenta algunos modelos
existentes comercialmente y trabajos previos como referencia, así como los elementos
y materiales disponibles en el mercado local para facilitar su implementación y posterior
mantenimiento.
Se plantea utilizar cuatro tanques de igual material e iguales dimensiones de
150mm x 150mm x 320mm como medidas externas, serán construidos de acrílico
transparente de 3mm de espesor lo que deja sus medidas internas en 144mm x 144mm
x 316mm, que resulta en un volumen total de 6552cm3, la profundidad utilizable de los
tanques sin embargo será de máximo 30cm por lo que el volumen total efectivo es
6220cm3, aproximadamente. La escala de nivel se presentará en la parte frontal de cada
tanque en centímetros, con el cero inicial en el punto más bajo posible es decir, antes de
empezar a tener una lectura desde el sensor de nivel.
Los cuatro tanques se disponen en forma de matriz de dos por dos sobre un
panel vertical, y se tiene un quinto tanque en la parte inferior del arreglo que almacena
y a su vez sirve de retorno a los desfogues de los dos tanques inferiores del sistema. En
este quinto tanque se debe instalar también un sensor de nivel mínimo de seguridad para
prevenir que las bombas trabajen en vacío.
20
En los tanques se han dispuesto las perforaciones necesarias para la instalación
de las válvulas y las tuberías de desfogue, así como de las de alimentación, también las
perforaciones necesarias en la tapa superior para la fijación de los sensores de nivel. La
tapa superior a su vez queda insertada en el tanque para evitar que se deslice hacia los
costados, el diseño propuesto para los tanques puede ser observado en la figura 5.
Figura 5: Diseño de tanque para modelo dinámico.
Para el tanque de reserva se ha considerado un depósito sobredimensionado
capaz de almacenar el contenido de los cuatro tanques si estos estuvieran llenos por
completo, es decir con una capacidad de casi 30 litros.
En cada extremo lateral del tanque de reserva se dispone la salida de una bomba
que es el actuador. Desde la salida de las bombas hacia los tanques inferiores existe un
arreglo de dos válvulas de dos vías a cada lado para seleccionar el flujo que pasa hacia
los tanques superiores, o se deriva a los tanques inferiores. En la parte superior del panel
vertical que soporta los tanques hay un par de válvulas de tres vías tipo L, una a cada
lado, estas válvulas seleccionan hacia cuál de los tanques superiores se deriva el flujo.
Todos los tanques tienen en la parte inferior un orificio con una válvula manual
de aguja que regula el caudal de salida, este caudal de salida de los tanques superiores
actúa también como caudal de entrada para los tanques inferiores. También en el caso
de los tanques inferiores existe una válvula adicional que interconecta las salidas de los
dos tanques, para alguna configuración adicional.
El sistema se ensambla sobre una estructura metálica capaz de sostener el peso
de los tanques aun estando llenos, además de los accesorios, válvulas y tuberías como
se muestra en la figura 6.
21
Figura 6: Montaje de tanques en estructura.
2.2 Descripción de la instrumentación aplicada.
En el sistema se ha dispuesto los instrumentos necesarios para la toma de datos
de las magnitudes asociadas a los procesos de fluidos, esto significa presión, nivel y
caudal seleccionados de la siguiente manera:
• Cuatro sensores de caudal 0-5GPM, 0-10VDC.
• Dos sensores de presión 0-6bar, 4-20mA.
• Cuatro sensores de nivel 0-320mm, 0-5VDC.
• Dos bombas de flujo variable hasta 2400 l/h, 0-5VDC.
2.2.1 Sensores de caudal.
Los sensores de caudal que se utilizan son de la marca GEMS® reconocida
mundialmente por su desarrollo en sensores de paletas rotativas. Los rotores están
claramente visibles para tener una confirmación visual de su funcionamiento. Además,
posee un tamaño compacto para montarse sobre un panel, proporciona una salida
analógica con muy buena precisión y electrónica de estado sólido.
Para nuestro caso se seleccionó la serie RFA con salida analógica de 0 a 10VDC
proporcional al flujo presente y un rango de trabajo de 0.5 a 5GPM, si bien no son parte
de este trabajo y no van a ser utilizados para el mismo, quedan disponibles para su
utilización en trabajos futuros, son utilizados principalmente para sistemas
dosificadores, equipos de purificación y expendio de agua, intercambiadores de calor,
etc. Los puertos de conexión hidráulica son por medio de rosca de ¼” NPT. El sensor
de caudal GEMS® RFA es el que se muestran en la figura 7.
22
Figura 7: Sensor de caudal GEMS ® tipo RFA.
El visualizador frontal puede ser removido girando 45° en sentido anti horario,
siempre que la presión sea liberada para limpiar cualquier impureza que pudiera pasar
hacia el elemento. También permite fijarse de manera mecánica por medio de tornillos
al panel por lo que es cómodo en aplicaciones didácticas.
Las curvas características proporcionadas por el fabricante para la respuesta en
voltaje del sensor de caudal GEMS ®, tipo RFA y de la caída de presión en función del
flujo circulante, pueden ser vistas en la figura 8. La alimentación del sensor se hace en
24VDC.
(a)
23
(b)
Figura 8: Curvas de sensor de caudal. (a) Respuesta de voltaje, (b) Caída de presión en relación a flujo
2.2.2 Sensores de presión.
Los sensores de presión también están propuestos para que sirvan en trabajos
futuros. Tienen un fondo escala de 6 bar (87.02psi) y una salida de tipo analógica de 4
a 20mA proporcional a la presión aplicada.
Los sensores de presión están dotados de un sensor piezoeléctrico resistivo
como elemento de medición, esto le permite tener una compensación del punto cero
para un amplio rango de temperatura de trabajo. El circuito amplificador de
instrumentación está localizado dentro del cuerpo de acero inoxidable y se encarga de
producir la señal analógica de salida. Está diseñado para ser utilizado en industrias
petroleras, químicas, metalúrgica, generación de energía eléctrica y una variedad de
procesos industriales.
Estos sensores de presión están diseñados para trabajar en un ambiente
industrial sometido a vibraciones y ambientes corrosivos propios de múltiples procesos
productivos. La instalación mecánica es por una rosca G ¼”. Los sensores de presión
utilizados son los que se muestran en la figura 9.
24
Figura 9: Sensor de presión.
La curva característica de respuesta del sensor de presión provista por el
fabricante se muestra en la figura 10.
Figura 10: Curva característica de sensor de presión
2.2.3 Sensores de nivel.
Los sensores de nivel utilizados son de tipo capacitivo, evalúan la capacitancia
entre un núcleo interno y la carcasa cilíndrica exterior cuando el aislamiento entre estas
dos placas va modificándose por acción del fluido que entra o sale de entre ellas. Han
sido construidos a medida de los tanques para una profundidad máxima de 320mm. El
modelo F300 de DINGTEK ®.
25
La salida es de tipo analógica de 0 a 5VDC proporcional al nivel de líquido que
cubre el sensor, la alimentación tiene que ser de 24VDC, el sensor de nivel tiene una
resolución de 1mm. Está construido en acero inoxidable 304, como se muestra en la
figura 11.
Figura 11: Sensor capacitivo DINGTEK ®.
El fabricante especifica la respuesta del sensor como se muestra en la figura 12.
Figura 12: Curva característica de sensor de nivel
Como se muestra en la figura 12, el comportamiento de estos sensores es
completamente lineal, y al ser fabricados de manera personalizada, se tiene que para
26
una profundidad útil total de 320mm, y un fondo escala de 5V, la resolución del sensor
es: 5𝑉 320𝑚𝑚⁄ = 15.6𝑚𝑉/𝑚𝑚.
Estos sensores están diseñados para trabajar en ambientes industriales y de alta
vibración, así como con diferentes tipos de fluidos incluidos aguas residuales o
combustibles.
2.2.4 Bombas de control de flujo.
El flujo de entrada al sistema es manipulado por dos bombas de control modelo
DC50C-2480A fabricadas por SHYSKY TECH®. El flujo a través de éstas es
controlado por medio de una entrada de voltaje de 0 a 5VDC; las mismas tienen un
consumo medio de 87W.
Están diseñadas con un circuito interno de tres fases en DC que significa que
son tres pares de polos magnéticos, sin escobillas que controla el arranque para que sea
de manera amortiguada y evitar picos de corriente, así como un flujo desmedido al
momento de romper la inercia de la columna de agua, tienen un grado de protección
IP68 que les permitiría trabajar de manera inmersa en el tanque de reserva, en la figura
13 se señala la composición de las bombas.
Figura 13: Composición de las bombas
Las bombas deben ser precauteladas de no trabajar en vacío, eso podría dañarlas
permanentemente. La curva de respuesta de las bombas en función del flujo entregado
y la altura alcanzada se muestra en la figura 14.
27
Figura 14: Curva característica de bombas de caudal
2.3 Configuración utilizada.
En el sistema construido se puede tener una variedad de combinaciones, lo que
lo convierte en un sistema versátil y utilitario. En el capítulo uno se especificó que se
trabajaría sobre la representación de la figura 3(e), y en la figura 15 se representa ya con
los términos correspondientes de las ecuaciones diferenciales enseñadas en la ecuación
(1).
Figura 15: Configuración seleccionada para el desarrollo de este trabajo
28
En la figura 16 se muestra una fotografía de la planta real, construida y
funcionando.
Figura 16: Planta real completa
En el modelo hay que tener presente nuevamente que los niveles a controlarse
son los de los tanques 1 y 2, el flujo de líquido parte de las bombas P1 y P2 que son
controladas por los voltajes v1 y v2. Las constantes 1 y 2 representan la porción de
flujo que se deriva hacia el tanque inferior y complementariamente la que se dirige hacia
el tanque superior del mismo lado.
En la parte superior existen válvulas de tres vías que seleccionan si el flujo cae
sobre el tanque del mismo lado o va hacia el tanque superior del lado opuesto, como es
en este caso.
Es sencillo notar entonces que el flujo de entrada a los tanques inferiores es la
sumatoria del flujo procedente de los tanques superiores más el flujo derivado con las
constantes , sabiendo que el nivel de un recipiente está dado por la diferencia entre el
flujo de entrada y el flujo de salida del mismo claramente las ecuaciones (1) representan
este comportamiento.
Las cuatro válvulas de desfogue tienen un cierto grado de apertura que en la
ecuación (1) se representó como 𝑎𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3, 4). Se usan los cuatro sensores de nivel
para tener una lectura en todo momento del comportamiento del sistema nombradas
como ℎ𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3, 4).
29
2.4 Identificación del sistema dinámico en la configuración
seleccionada y comparación con el modelo matemático.
Para la identificación del proceso es necesario primero levantar algunos datos,
como las tasas de cambio de los flujos de entrada y salida de los tanques, así como el
nivel generado por un determinado voltaje aplicado a las bombas. Estas pruebas pueden
ser repetidas a diferentes tensiones de alimentación para luego establecer un modelo que
pueda ser cotejado con las ecuaciones diferenciales expuestas de manera analítica en el
primer capítulo.
Los parámetros que deben ser determinados son 𝐴𝑟𝑖, 𝑎𝑖, 𝛾𝑗 , 𝑘𝑗; 𝑖 = 1, 2, 3, 4 y j=
1, 2, de las ecuaciones en (1).
La sección transversal de los tanques 𝐴𝑟𝑖 es determinada por simple medición
de los tanques, cada tanque tiene 15cm de largo y 15cm de ancho y descontando el
espesor de las paredes del tanque la sección es 𝐴𝑟1 = 14.4 ∗ 14.4 = 207.36𝑐𝑚2, y es
igual para 𝐴𝑟2, 𝐴𝑟3, 𝐴𝑟4.
Para determinar las constantes de las bombas 𝑘1, 𝑘2 es necesario experimentar
con las bombas por separado y utilizando un solo tanque a la vez con su válvula de
desfogue cerrada, el caudal que entrega la bomba al sistema es 𝑄𝑖𝑛 = 𝑘1𝑣1(𝑡) donde
𝑣(𝑡) es el voltaje suministrado a la bomba.
De lo anterior, en primera instancia se relaciona el voltaje aplicado a las bombas
y el nivel alcanzado con un funcionamiento total de tres minutos, con la finalidad de
comprobar que tan lineal es el comportamiento de las bombas y los sensores de nivel,
estos datos se pueden apreciar en la tabla 1.
Bomba 1 Bomba 2
Voltios(V) Nivel
(cm)
Nivel
(cm)
2 4.2 4.9
3 9.3 10.4
4 14.7 15.8
5 20.0 21.4 Tabla 1: Toma de muestras de nivel
Mientras que las gráficas correspondientes se pueden observar en la figura 17
donde se aprecia la linealidad de los sensores de nivel.
30
Figura 17: Respuesta de nivel a voltaje aplicado a bombas
Con diferentes tensiones de excitación aplicada a la bomba, se tiene un
comportamiento que presenta cierta linealidad en el voltaje entregado por los sensores
de nivel, así como en la altura alcanzada en los tanques, la pendiente de las rectas más
próxima a las gráficas obtenidas es en promedio 0.16.
Por otro lado, los valores de caudal de ingreso producto de la misma
experimentación se muestran en la siguiente tabla.
Bomba 1 Bomba 2 k1 k2
Voltios(V) Caudal
(cm3/s)
Caudal
(cm3/s)
2 4.84 5.64 2.42 2.82
3 10.71 11.98 3.57 3.67
4 16.93 18.20 3.75 3.95
5 23.04 24.65 3.99 4.2 Tabla 2: Toma de muestras de caudales
Con los valores conocidos de caudal y de voltaje aplicados es posible
determinar las constantes de las bombas, k1, y k2. Estos valores se muestran en las dos
últimas columnas de la tabla 2.
Para las constantes de apertura de las válvulas, nuevamente se utiliza solo un
tanque, la válvula de desfogue del tanque es llevada a diferentes posiciones de apertura,
y en cada posición de apertura se prueba aplicando diferentes voltajes a las bombas.
31
La sección transversal de los orificios de salida de los tanques 4,3,2,1, iai se
puede determinar analíticamente conociendo la sección transversal de la tubería de
diámetro 0.625cm (1/4”) el área total del orificio de salida es 0.3068cm2, entonces para
diferentes aperturas conocidas de la válvula se tiene diferentes valores de a para
diferentes posiciones de la válvula.
El balance de energía en el tanque con una sola entrada de fluido es:
)()(2)(
11111
1 tvktghadt
thAr (36)
En cada posición de la válvula se aplica diferentes voltajes a la bomba hasta que
el nivel en el tanque se estabilice en un punto, en este instante la ecuación anterior se
transforma en:
)()(2 1111 tvktgha (37)
Como k ya se identificó anteriormente se obtiene a de la ecuación (37). En la
siguiente tabla se pueden ver los valores de a en la experimentación realizada.
Voltios
(V)
Válvula Abierta
(%)
Nivel
(cm)
a
3 100 4.1 0.1404
3.5 100 7.1 0.1245
3 75 4.3 0.1371
3.5 75 8.5 0.1138
3 50 1.5 0.2322
3.5 50 5.8 0.1378 Tabla 3: Toma de muestras de apertura de válvula.
Ahora, los parámetros 2,1; jj ; son el porcentaje del caudal de salida de la
bomba que va para el lado de los tanques superiores y para el lado de los inferiores. Esto
es fácil de determinar conociendo el caudal de que suministra la bomba y determinar
cuánto va para un lado y cuánto para el otro.
Con las constantes del modelo dinámico obtenido se plantea la siguiente
simulación (ver figura 18) utilizando Simulink de MATLAB®:
Vv 8.22,1 , 75.02,1 , 12.02,1 ar , 2301.04,3 ar
32
Y las constantes 𝑘1 y 𝑘2 mostradas en la tabla 2 fijadas para esta simulación
como 𝑘1 = 𝑘2 = 4.2.
Figura 18: Esquema de simulación en Simulink de MATLAB®
Y las gráficas correspondientes al nivel alcanzado se muestran en la figura 19.
(a)
33
(b)
Figura 19: Nivel de los tanques en simulación, (a) Tanques 1 y 2, (b) tanques 3 y 4.
Utilizando las mismas condiciones en la planta se realiza la prueba,
consiguiendo que los taques 1 y 2 se estabilicen alrededor de 4.8, 5.2 centímetros de
altura, como se ve en la figura 20. Igualmente puede verse que los tanques 3 y 4 se
estabilizan entre 0.08 a 0.1 respectivamente permitiendo corroborar los resultados
obtenidos de la simulación mostrados en la figura 19.
Figura 20: Prueba de comportamiento de la planta real.
Y las gráficas de comportamiento de los tanques 1 y 2 se pueden apreciar en la
figura 21.
34
Figura 21: Comportamiento de los niveles de tanques 1 y 2.
Las perturbaciones que se ven en las gráficas a manera de ruido se deben a la
velocidad con la que hace el muestreo la tarjeta de adquisición de datos sobre la señal
de los sensores de nivel, y la salpicadura que se produce en la capa de tensión superficial
del líquido, al caer más líquido desde los tubos de abastecimiento.
35
CAPÍTULO 3
DISEÑO DE UN CONTROLADOR BASADO
EN PID MULTIVARIABLE ROBUSTO PARA
NIVEL.
En el presente capítulo se aborda el diseño del controlador PID robusto
multivariable como tal, su desarrollo y posterior simulación aplicada al modelo obtenido
en capítulos anteriores sobre la configuración seleccionada que se ha venido tratando.
El controlador diseñado deberá garantizar la estabilidad de los diferentes
modelos de sistemas lineales comprendidos entre dos diferentes puntos de operación.
Además, los autovalores del sistema controlado se encontrarán a la izquierda de una
recta vertical (Re(s)=-β/2) en el plano complejo. Con esto no sólo se garantiza la
estabilidad, sino también que el controlador garantiza requerimientos de desempeño.
3.1 Controladores de múltiples entradas y múltiples salidas.
En la teoría de control moderno se proporcionan diversas metodologías para el
diseño de controladores de sistemas MIMO utilizando retroalimentación de estados.
La interacción entre variables es una característica inherente de los procesos
multivariables. Se manifiesta por el hecho de que una variable de entrada afecta en
mayor o menor grado a todas las variables de salida, lo que dificulta la operación del
proceso y el diseño de su sistema de control. Por tanto, cualquier metodología de diseño
de control multivariable debería tener en cuenta la interacción.
Si en muchos casos no se hace así es porque la interacción es despreciable y el
control se aborda con n controladores independientes como si el proceso estuviera
compuesto de n procesos monovariables, se habla entonces de control multivariable
descentralizado. En otros casos, que sí se tiene en cuenta, se sigue utilizando la
estructura descentralizada, pero todos y cada uno de los controladores se diseñan
incorporando los efectos que los otros lazos tienen sobre el correspondiente proceso
aparente [23]. Antes de llevar a cabo el diseño de un control descentralizado es
importante escoger un emparejamiento adecuado entre las variables de entrada y salida
que presente la menor interacción posible [24]. Una de las medidas más utilizadas para
resolver este problema de emparejamiento es la RGA (relative gain array) [25].
Sin embargo, cuando la interacción es importante, lo más habitual es incorporar
una red de desacoplo en serie con el proceso con la intención de eliminar o reducir la
36
interacción, e indirectamente facilitar el diseño de los controladores del sistema de
control descentralizado, [26], [27], [28], [29], [30].
La ausencia de interacción, o en otras palabras el desacoplamiento total de
variables, es una característica deseable en muchas aplicaciones. En primer lugar,
porque ello facilitaría la labor de los técnicos a la hora de decidir cuáles son los valores
de referencia que permitirían alcanzar unos ciertos objetivos en un sistema de control
multivariable. Y en segundo lugar porque permitiría mejorar de forma aislada las
respuestas del sistema.
Las formulaciones de control por desacoplo que mejor contemplan estas
características son las que se basan en una representación del proceso mediante una
matriz de funciones de transferencia con retardos [27], [28], [30], [31]. Aun así, el
control por desacoplo también se puede abordar usando otros enfoques como el control
por realimentación de estados [30], [32], el cual necesita de una representación en
espacio de estados donde el tratamiento de los retardos de tiempo es más complejo.
Tradicionalmente las formulaciones de control por desacoplo se han centrado
en procesos 2×2 (con dos entradas y dos salidas), la razón es que estos procesos se han
considerado siempre como los más comunes bien porque hay procesos de esta
naturaleza, o bien porque procesos más complejos se descomponían en bloques 2×2 con
interacciones importantes entre sus entradas y salidas, sin embargo, trabajos más
recientes [32], [33] han apostado por metodologías para procesos de mayores
dimensiones, en los que se van a presentar ciertos problemas que no se presentaban en
procesos 2×2, por ejemplo será mucho más difícil conseguir que el desacoplo sea
perfecto y si es posible lo será a costa de emplear controladores o redes de desacoplo de
órdenes elevados.
Este capítulo presenta como parte principal de este trabajo el diseño de un
controlador PID multivariable robusto utilizando una combinación de técnicas que han
sido probadas en trabajos previos para el mismo fin. Por ejemplo, el diseño de un control
descentralizado PI en el dominio de frecuencia se presenta en [34]. Una función
cuadrática de costo de mínimo – máximo basada en MPC es enseñada en [35]. Un
método que limita las iteraciones en un control descentralizado de un sistema MIMO
fue dado en [36]. Una red neuronal de aproximaciones recurrentes para un diseño MPC
fue presentado en [37]. El diseño de un controlador robusto PID-PSD para el dominio
de tiempo y frecuencia es mostrado en [38]. Un control PID multivariable predictivo
para un sistema cuádruple de tanques se muestra en [6]. Una nueva técnica de desacoplo
se desarrolla en [39]. Finalmente, en [40] tres diferentes controles PID multivariable
basados en ILMIs se revisan y comparan.
En este trabajo una aproximación similar a la presentada en [42], [43] es
utilizada para diseñar un controlador multivariable PID para un proceso de cuatro
tanques (en dominio del tiempo), tal como en [43], el sistema de lazo cerrado es
37
representado equivalentemente por un sistema aumentado utilizando una nueva variable
de estado, al mismo tiempo el controlador es formulado como un problema de control
de retroalimentación estática de salida (SOF) en el sistema aumentado. La aproximación
se basa en métodos de desigualdades matriciales lineales iterativas ILMIs [18] para
resolver problemas de SOF como los presentados en [17]. Las ganancias del PID son
obtenidas sin cálculos computacionales adicionales una vez que la matriz SOF es
alcanzada.
El controlador es formulado como un problema de diseño robusto donde el
rendimiento del lazo cerrado β/2 estabilizable, está garantizado para el sistema
linealizado con incertidumbre politopica convexa [9]. En este trabajo se emplea una
aproximación diferente las utilizadas en [41], [42], [15], donde una simple función de
Lyapunov se utilizó en el algoritmo para las condiciones de estabilización [44], [45]. Al
contrario, en este trabajo se enfoca principalmente en funciones de Lyapunov de
parámetros dependientes [46], [47], [48]. Además, con base a [49] y [50] se introducen
nuevas matrices de variables (H, G) en las condiciones de estabilización. Estas matrices
extras que no están limitadas a ser simétricas, no solo se permite obtener un
desacoplamiento entre la matriz de Lyapunov y la matriz del sistema dinámico, también
permite introducir un grado extra de libertad para lograr una formulación de problemas
robusta menos conservadora. Después de todo, esto permite una mejor resolución de
problemas.
3.2 Diseño de un controlador PID multivariable robusto para
ajuste de nivel de líquido.
Lema 1.- [53]: El sistema autónomo incierto (7), específicamente para 0)( tu
es robustamente estable en los dominios de (8) si y sólo si existe una matriz de Lyapunov
dependiente de parámetros simétrica definida positiva nnRP x
)( tal que se cumpla
la siguiente condición L :
0)()()()( APPAT (38)
Lema 2.- [53]: la condición (38) puede ser expresada de manera equivalente
como una combinación convexa de los vértices de las matrices del sistema:
LjAPPA jjj
T
j ,,2,1,0 (39)
Con las siguientes funciones de Lyapunov dependientes de parámetros:
38
L
j
Ljj PP1
,)(
(40)
Imponiendo PP )( se tiene la condición de estabilidad cuadrática, donde la
misma matriz de Lyapunov es usada para verificar la estabilidad robusta a lo largo de
todo el dominio de incertidumbre.
La condición (38) puede ser equivalentemente expresada como:
0)()()()( TASSA (41)
Si se define 0)()(1
PS , y se multiplica la ecuación (38) a la derecha y
a la izquierda por )(S .
Lema 3.- [22], [23]: El sistema incierto (7) es estabilizable de manera robusta
en el dominio de incertidumbre (8), (9) mediante una realimentación de estado estática
)()( tKxtu , si y sólo si existen las matrices T
jj SS , G , H soluciones de las
siguientes LMIs:
Lj
S
GGSHBKAG
SHGBKABKAHHBKA
j
Tj
Tj
T
jT
jT
jT
j
,,2,1
0
0
(42)
Extendiendo la condición (41) para el caso de realimentación estática de la
salida del sistema aumentado (14) se tiene:
Lema 4: El sistema aumentado incierto (14) en el dominio de incertidumbre
(15) es robustamente estabilizable mediante una realimentación estática yFtu )( , si
y solo si existen funciones de Lyapunov dependiente de parámetros simétricas positivas
)(S tal que se cumpla la siguiente condición AL :
0)()()()()()( T
CFBASSCFBA (43)
39
Es la misma condición (41) para un sistema de lazo cerrado (14).
Definición. [18] El sistema (7), es - estabilizable mediante realimentación
estática de la salida yFtu )( , si, el controlador ubica los polos de lazo cerrado a la
izquierda de la recta )Re(s en el plano complejo.
A partir del corolario 1 de [14] aplicado al sistema incierto (11) se obtiene el
siguiente corolario.
Corolario 1. El sistema incierto (11) resulta 2/ - estabilizable mediante
realimentación estática de la salida si se satisfice la siguiente desigualdad matricial:
0 )()()()()()()( SCFBASSCFBAT
(44)
Teorema 1. El sistema incierto (11) resulta 2/ - estabilizable mediante
realimentación estática de la salida yFtu )( en el dominio de incertidumbre (12), sí
y solo sí existen las matrices T
jj SS , G , H y un escalar que sean solución de la
siguiente LMI.
.
,,2,1
0
0
1
1
j
T
jj
T
jj
A
j
T
j
T
jj
T
j
T
jj
SCFBAHHCFBAdonde
Lj
S
GGSHCFBAG
SHGCFBA
(45)
Demostración.
Necesidad: La condición (44) puede ser escrita como:
40
0
00
0
0
0
)()(
)(
)(
)()()(
TCFBA
IS
S
SCFBAI
0
00
0
0
0
)()(
)(
)()()()(
)(
)()()(
T
T
T
T
CFBA
IS
ICFBAG
HGH
I
CFBA
S
SCFBAI
(46)
)()()(
)()()()()(
3
2
3
32
donde
0
SHGCFBA
SCFBAHHCFBA
GG
T
TT
TT
Debido a que las matrices )()( , CA tienen una relación lineal en (46), si esta
condición es satisfecha en los vértices, será también satisfecha en cualquiera de sus
combinaciones convexas.
Suficiencia: Si la condición (45) es satisfecha, entonces también se satisface
para todo AΓCA ) ,( )()( . Con:
A
A
L
k
Lkk SS1
,)( ,
(47)
Y definiendo la siguiente matriz regular:
41
I
CFBAIW
0
)()(
,
(48)
Se cumple que:
)()()(
)()()()()(
5
4
5
54
donde
0
SGGCFBA
SCFBAGGCFBA
WGG
W
T
TT
T
TT
(49)
Que es igual a:
.
donde
0
)()()(
)()()()(
)()()(
7
6
7
76
TT
T
TT
GGCFBAS
SCFBAS
SCFBA
GG
(50)
El término (1,1) de (50) garantiza que se obtiene una ley de control de
realimentación estática de la salida ( yFtu )( ) 2/ - estabilizable; además )(S son
funciones de Lypunov dependientes de parámetros, de manera que la condición (47) se
satisface y se concluye la demostración.
Ya que las matrices jS F , G , H y el escalar son desconocidos, la
condición (45) es una desigualdad matricial bilineal (BMI) que no es un problema
convexo. Para resolverlo se propone un procedimiento iterativo para tornar el problema
en un problema de LMI.
Si se fijan G , H y , entonces (45) es convexo en F y jS . De manera
similar, si se fijan F y jS , entonces es convexo en G , H y .
42
3.2.1 Algoritmo para diseño del controlador.
El algoritmo propuesto basado en desigualdades matriciales lineales iterativas
ILMI para resolver el problema de diseño, se establece de la siguiente manera.
Paso 1 (Inicialización).
El punto clave del algoritmo es encontrar el punto inicial. Para hacerlo, se
propone resolver el problema de diseño de retroalimentación de estado para el sistema
(11). Entonces haciendo una extensión del lema 3 al sistema aumentado (11) y haciendo
GH , ya que no hay restricciones para esas matrices, y:
Asignando 0i ; se calcula el valor inicial 0G , y 0jS , ALj ,,1
resolviendo el siguiente problema de optimización para 00 , KGG , y 0jS , ALj ,,1
. and
donde
,,2,1
0
0
0000008
0
000000
00008
KGGBGGBAGGA
Lj
S
GGSGAGAG
SGGBGA
K
TT
KK
T
j
T
j
A
j
T
j
TT
K
T
j
T
j
T
Kj
(51)
Luego se hace 0GG , 0GH , 0jj SS , ALj ,,1 , y se continua
con el paso 2.
Paso 2.
Hacer 1 ii ; Con H , G y jS , ALj ,,1 obtenido del paso anterior,
calcular * ( min* ) y F sujeto a la condición (45).
Sí 0* entonces el algoritmo termina, y F sería una ganancia que consigue
estabilizar el sistema, en caso de que no se consiga, hay que avanzar al paso 3.
Paso 3.
43
En este paso se hace 1 ii ; dejando fijo el valor de F (obtenido en el paso
2), buscamos * , empezando un proceso de búsqueda de la variable escalar ,
calculando H , G y jS , ALj ,,1 que resuelva la condición (45); entonces se
regresa al paso 2.
El algoritmo prosigue hasta que 0* sea encontrado (y por lo tanto obtenida
una solución del controlador) o hasta que * converja a algún valor positivo (
0*
1
* ii ), en ese caso, podría existir una solución, pero el algoritmo habría fallado
en encontrarla.
La condición (51) es una condición necesaria para el control SOF, si el paso 1
falla, entonces no hay una ganancia de SOF que estabilice el sistema incierto (11).
El * obtenido en una iteración (paso 2 o paso 3) es un nuevo límite para el
que será computado en los siguientes (paso 2 o paso 3) debido a que realmente se está
buscando es un * que sea cero o negativo, en el paso 3 se puede iniciar con un valor
menor que el * previo.
Una vez que 0* es alcanzado, las soluciones asociadas F no son
necesariamente las mejores, y por lo tanto el proceso (paso 2 y paso 3) puede continuar
hasta tener una solución satisfactoria. Hay que recordar que * es una mediada del
rendimiento y este decrece iteración tras iteración. También, si las ganancias obtenidas
son muy altas es posible elegir un “menos” negativo.
3.3 Diseño del controlador.
Para ilustrar el método de diseño del controlador propuesto para graduaciones
de fase mínima, se usan los siguientes valores de parámetros para el modelo.
][cm 36.207 24321 ArArArAr .
][cm 071.0 231 aa , ][cm 057.0 2
42 aa .
s)] /(V[cm 33.3 21 k , s)] /(V[cm 35.3 2
2 k .
][cm/s 981 2g .
En configuración de fase mínima ( 7,01 , 6,02 ), los dos puntos de
operación para el sistema son:
44
[V] 7.2 02
01 vv
[cm] 93.901 h , [cm] 35.100
2 h , [cm] 32.103 h , [cm] 14.10
4 h .
[V] 8.3 02
01 vv
[cm] 68.1901 h , [cm] 51.200
2 h , [cm] 62.203 h , [cm] 26.20
4 h .
Cuando se linealiza alrededor de esos puntos se obtienen 2 vértices en nuestro
dominio incierto poliédrico.
Resolviendo el problema, después de una iteración se obtiene: 0029.0 y
la siguiente ganancia del controlador SOF:
2.733.22465.938.119.2778
16235.571121150.05.631.309F
A partir de la ecuación (17) se obtiene de F las ganancias del PID original que
son:
0.240319.6795
11.00920.0922-1F ,
0.5116-7.1180
3.69780.55052F ,
101.76105.6323
4.069389.02243F ,
Los autovalores del sistema aumentado (16) para las dos matrices vértices son,
para el caso del punto de operación que se obtiene con [V] 7.2 02
01 vv :
0.0000i + 0.0095-
0.0000i + 0.0028-
0.0601i - 0.3830-
0.0601i + 0.3830-
0.2013i - 2.7652-
0.2013i + 2.7652-
45
Y para el punto de operación que se obtiene con [V] 8.3 02
01 vv :
0.0000i + 0.0067-
0.0000i + 0.0020-
0.0613i - 0.3865-
0.0613i + 0.3865-
0.1449i - 2.7432-
0.1449i + 2.7432-
En la figura 22 se muestra los valores propios del sistema incierto de lazo
cerrado (11) para la región convexa limitada por AΓCA ) ,( )()( . Se verifica que en
todo el dominio convexo todos los autovalores se encuentran en el semiplano izquierdo,
específicamente a la izquierda de la recta 0029.0)Re( s .
Figura 22: Localización de polos (configuración de fase mínima).
Para la configuración de fase no mínima, esto es ( 45,01 , 45,02 ), los
dos puntos de operación del sistema son:
[V] 7.2 0
2
0
1 vv ,
[cm] 23.801 h , [cm] 75.120
2 h , [cm] 50.203 h , [cm] 84.30
4 h .
[V] 8.3 0
2
0
1 vv,
[cm] 30.1601 h , [cm] 26.220
2 h , [cm] 96.403 h , [cm] 60.70
4 h .
Esta configuración (fase no mínima) es más difícil de controlar que el caso
anterior (fase mínima).
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Real
Ima
gin
ari
o
46
Resolviendo el problema, después de seis iteraciones se obtiene:
^-04-1.0587x10 y la siguiente ganancia del controlador SOF:
1887.25013.10006.00006.00028.00076.0
7246.04672.00005.00005.00002.0006.0F
A partir de la ecuación (17) se obtiene de F las ganancias del PID original que
son:
2.2326-27.8581
3.5302-41.57941F ,
2.27082.14850
3.39113.20882F ,
138.98924.6320
2.2355145.17593F .
Los autovalores del sistema aumentado (16) para las dos matrices vértices son,
para el caso del punto de operación que se obtiene con [V] 7.2 02
01 vv :
0.0000i + 0.0095-
0.0000i + 0.0028-
0.0601i - 0.3830-
0.0601i + 0.3830-
0.2013i - 2.7652-
0.2013i + 2.7652-
Y para el punto de operación que se obtiene con [V] 8.3 02
01 vv :
0.0000i + 0.0067-
0.0000i + 0.0020-
0.0613i - 0.3865-
0.0613i + 0.3865-
0.1449i - 2.7432-
0.1449i + 2.7432-
47
En la figura 23 se muestra los valores propios del sistema incierto de lazo
cerrado (11) para la región convexa limitada por AΓCA ) ,( )()( . Se verifica que
en todo el dominio convexo todos los autovalores se encuentran en el semiplano
izquierdo, específicamente a la izquierda de la recta ^-04-1.0587x10)Re( s .
Figura 23: Localización de polos (configuración de fase mínima).
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
-5
Real
Ima
gin
ari
o
48
49
CAPÍTULO 4
IMPLEMENTACIÓN DEL CONTROLADOR
PID MULTIVARIABLE ROBUSTO
APLICADO AL MODELO FÍSICO
CONSTRUIDO.
En este capítulo se juntan los dos ejes que constituyen el presente trabajo, por
un lado, el controlador diseñado en el capítulo 3 es llevado a una interface física, y por
otro lado el modelo dinámico construido, que fue descrito en el capítulo 2 son acoplados
entre sí para contrastar su rendimiento con los resultados que ya han sido simulados.
Los resultados de la experimentación desarrollada en este capítulo permitirán
evaluar la factibilidad y el rendimiento del sistema completo, muestra cómo el sistema
es interconectado, y establece algunos datos en diferentes puntos de trabajo del sistema
en la configuración seleccionada, para ser analizados.
4.1 Implementación del programa en el controlador
El control PID robusto multivariable diseñado en el capítulo 3 es desarrollado
para trabajar implementado sobre la plataforma LabView® de National Instruments,
utilizando como interface física una tarjeta de adquisición de datos NI DAQ-USB6212
que estará manejando la lectura de los cuatro sensores de nivel pertenecientes a los
cuatro tanques, por medio de cuatro entradas analógicas de 0 a 5VDC. También dos
salidas analógicas de 0 a 5VDC para controlar el flujo de las bombas.
En la configuración seleccionada del modelo dinámico se implementan cuatro
lazos de control PID para el manejo de las bombas, al tratarse de un sistema de múltiples
entradas y múltiples salidas.
4.2 Adaptación de la interface física entre el modelo dinámico
y el controlador.
La interfaz utilizada para la implementación se muestra en la figura 24.
50
(a)
(b)
Figura 24: DAQ NI-USB6212® (a) conexiones (b) apariencia
4.3 Simulaciones.
A continuación, se muestra la simulación del sistema con el controlador
obtenido en el capítulo anterior. Se obtendrán los resultados tanto para la configuración
de fase mínima como la no mínima. El esquema de control utilizado es que se muestra
en la figura 25.
Figura 25: Esquema de control implementado para la simulación
51
Para la simulación con la configuración de fase mínima se utilizará el modelo
lineal del sistema en el punto de operación con [V] 7.2 02
01 vv . El
comportamiento dinámico del nivel de los tanques 1 y 2 se muestra en las figuras 26 y
27.
Figura 26: Comportamiento dinámico del nivel del tanque 1 (fase mínima)
Figura 27: Comportamiento dinámico del nivel del tanque 2 (fase mínima).
Las señales de control correspondiente a esta salida se muestran en las figuras
28 y 29.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
Tiempo (s)
Niv
el (
cm)
Nivel tanque 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
Tiempo (s)
Niv
el (
cm)
Nivel tanque 2
52
Figura 28: Señal de control correspondiente a la bomba 1 (fase mínima).
Figura 29: Señal de control correspondiente a la bomba 2 (fase mínima).
Para la simulación con la configuración de fase no mínima se también se
utilizará el modelo lineal del sistema en el punto de operación con [V]. 7.2 02
01 vv
El comportamiento dinámico del nivel de los tanques 1 y 2 se muestra en las
figuras 30 y 31.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-500
0
500
1000
1500
2000
Tiempo (s)
Vo
ltaje
(V
)
Señal de control bomba 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Tiempo (s)
Vo
ltaje
(V
)
Señal de control bomba 2
53
Figura 30: Comportamiento dinámico del nivel del tanque 1 (fase no mínima).
Figura 31: Comportamiento dinámico del nivel del tanque 2 (fase no mínima).
Las señales de control correspondiente a esta salida se muestran en las figuras
32 y 33.
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo (s)
Niv
el (
cm)
Nivel tanque 1
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
5
10
15
20
25
30
Tiempo (s)
Niv
el (
cm)
Nivel tanque 2
54
Figura 32: Señal de control correspondiente a la bomba 1 (fase no mínima).
Figura 33: Señal de control correspondiente a la bomba 2 (fase no mínima).
De las gráficas anteriores se puede comprobar como con los controladores
diseñados es posible controlar el sistema, tanto en la configuración de fase mínima como
en la de no mínima. Esto permite verificar que efectivamente se cumplió con el objetivo
del trabajo.
Como es de esperarse, para el caso de fase no mínima, el sistema resultó mucho
más difícil de controlar. Se puede observar cómo para este caso el sistema demora
aproximadamente 400 segundos en estabilizarse (ver figuras 30 y 31). Mientras que para
0 50 100 150 200 250 300 350 400-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Tiempo (s)
Vo
ltaje
(V
)Señal de control bomba 1
0 50 100 150 200 250 300 350 400-500
0
500
1000
1500
2000
2500
Tiempo (s)
Vo
ltaje
(V
)
Señal de control bomba 2
55
el caso de fase mínima el sistema logra estabilizarse en menos de 5 segundos (ver figuras
26 y 27).
4.4 Resultados experimentales.
En esta sección se muestran los resultados que se obtienen al implementar el
controlador diseñado en el capítulo anterior sobre la planta de laboratorio construida.
Sólo se verifica el desempeño del controlador para el caso de fase mínima ( 7,01 ,
6,02 ). Las ganancias de los PIDs que se implementan son:
0.240319.6795
11.00920.0922-1F ,
0.5116-7.1180
3.69780.55052F ,
101.76105.6323
4.069389.02243F ,
Donde F1 corresponde a la ganancia proporcional que se le asigna a cada uno
de los cuatro controladores, F2 es la ganancia integral y F3 la derivativa. Además, se
ajustó la referencia (set-point) de los niveles h1 y h2 en 5cm. que corresponde
aproximadamente, al valor de estabilización para el modelo lineal seleccionado en la
validación del modelo que se realizó en el capítulo 2.
En la figura 34 se muestra el comportamiento dinámico de la salida del sistema
(h1 y h2). Se puede apreciar cómo se alcanza el valor deseado en un tiempo cercano a
los 70 segundos; este tiempo es aproximadamente diez veces menor al que se obtiene a
lazo abierto y que se mostró en la figura 20.
56
(a)
(b)
Figura 34: Comportamiento del controlador (a) Gráficas tanques 1 y 2, (b) Imagen del sistema en SP.
Se puede observar que los niveles de los tanques 1 y 2 se estabilizan en el valor
deseado.
Cabe mencionar que la considerable diferencia que existe entre la respuesta
experimental obtenida (figura 34a) y la de la simulación (figuras 26 y 27) se debe a que
la saturación presente en los actuadores de la planta, no son tomados en cuenta para el
diseño del controlador. Como se ha mencionado en capítulos anteriores, las bombas de
agua tienen un rango de operación de voltaje entre 0 y 5 voltios. Si se incluye esta
saturación (comportamiento no lineal) en el modelo de simulación se obtienen los
resultados que se muestran en las figuras 35 a 38.
57
Figura 35: Comportamiento dinámico del nivel del tanque 1 (con saturación).
Figura 36: Comportamiento dinámico del nivel del tanque 2 (con saturación).
0 100 200 300 400 500 6000
1
2
3
4
5
6
Tiempo (s)
Niv
el (
V)
Nivel tanque 1 (con saturación en la señal de control)
0 100 200 300 400 500 6000
1
2
3
4
5
6
Tiempo (s)
Niv
el (
V)
Nivel tanque 2 (con saturación en la señal de control)
58
Figura 37: Señal de control correspondiente a la bomba 1 (con saturación).
Figura 38: Señal de control correspondiente a la bomba 2 (con saturación).
Se puede observar como ahora la respuesta simulada y la experimental son
similares. Es importante destacar que aunque la metodología de diseño propuesta no
contempla la saturación de los actuadores, las mismas podrían ser incorporadas como
una restricción LMI adicional similar a un problema de diseño de control multi-objetivo.
Éste podría ser un tema de investigación interesante que podría desarrollarse en
futuros trabajos de investigación.
0 100 200 300 400 500 6000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5Señal de control bomba 1 (son saturación en la señal de control)
Tiempo (s)
Vo
ltaje
(V
)
0 100 200 300 400 500 6000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Tiempo (s)
Vo
ltaje
(V
)
Señal de control bomba 2 (son saturación en la señal de control)
59
CAPÍTULO 5
ANÁLISIS DE RESULTADOS,
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Después del diseño del controlador, su simulación, se presenta el respectivo
análisis y resultados presentados en este capítulo final, validando los resultados de las
pruebas experimentales con los resultados analíticos.
También se sugiere algunos trabajos que son posibles realizar a futuro en este
mismo sistema, y algunas recomendaciones a considerar para el funcionamiento y
mantenimiento del mismo.
5.1 Análisis del sistema propuesto.
El sistema de tanques cuádruples interconectados presenta muchas ventajas en
comparación con sistemas convencionales comerciales de dos tanques, como es su
modularidad y facilidad de cambiar de configuraciones, permite realizar trabajos con
unos, dos, tres o los cuatro tanques y a su vez en diferentes disposiciones.
Con el ajuste de las válvulas se pueden introducir perturbaciones o modificar el
modelo para probar el rendimiento de diferentes controladores, lo que hace que este
sistema sea apropiado para complementar la enseñanza de la teoría de control.
Constructivamente el sistema es sencillo en su concepción y en su montaje por
lo que permite replicarlo, así también proporcionarle un mantenimiento sencillo sin
necesidad de herramientas especiales y si bien la instrumentación utilizada no es
habitual en el mercado local, tampoco es escasa o extremadamente costosa como
elementos utilizados en equipos similares comercialmente, la instrumentación utilizada
además tiene comportamientos bastante lineales y con resoluciones muy buenas para
obtener datos confiables.
Las válvulas y accesorios de tubería de tipo acople rápido permiten un
mantenimiento o reparación eficaz cuando éste sea necesario, además de una
visualización que resulta agradable y útil al practicante dada la transparencia de la
tubería lo que permite una inspección visual del comportamiento del sistema.
Económicamente es viable porque además de resultar menos oneroso que
adquirir un sistema de cualquier fabricante, el diseño, mantenimiento presente y futuro
se lo puede realizar localmente sin incurrir en gastos excesivos.
60
Como modelo didáctico es de amplia utilidad por lo que se ha mencionado
antes, la versatilidad de configuraciones, y sobre las configuraciones la variedad de
magnitudes que pueden ser relacionadas en un mismo proceso o experimento. Solo en
este trabajo se han mostrado cinco configuraciones posibles, no limitándose únicamente
a esas, así también el trabajo se orientó a controlar únicamente nivel.
5.2 Validación de resultados.
Del diseño, la simulación y la experimentación desarrolladas entre los capítulos
2, 3 y 4 podemos determinar que los resultados obtenidos han sido satisfactorios, la
simulación se corresponde con el modelo matemático propuesto al inicio del
documento.
El comportamiento de válvulas y bombas es acorde a sus especificaciones, así
como de los demás instrumentos por lo que se evidencia también otro de los tópicos que
se había comentado al inicio de este trabajo, y es que las magnitudes relacionadas con
fluidos, presentan un comportamiento deseable para su utilización en sistemas
didácticos.
Se verificó el funcionamiento del controlador para diferentes rangos de
operación de las bombas de entrada contemplados en el diseño del controlador. Este
conjunto de rangos se obtiene cuando se introduce una entrada tipo escalón, de magnitud
cinco, en la entrada del sistema.
Debido a que la relación entre el caudal y la tensión de entrada de las bombas
no es lineal, se recomienda utilizar un control en cascada para considerar la relación
entre caudal y tensión como una ganancia. De esta manera, la entrada al sistema sean
los caudales de las bombas en lugar de las tensiones de las mismas. Esto es fácil de
implementar teniendo en cuenta los sensores de caudal en la entrada de cada tanque.
5.3 Conclusiones.
En este trabajo se ha presentado el diseño de un controlador PID robusto
multivariable para un proceso no lineal de cuatro tanques. El controlador diseñado ha
sido aplicado exitosamente a dos configuraciones, una de fase mínima, y una de fase no
mínima.
El controlador diseñado asegura la estabilidad a lazo cerrado para todos los
puntos de operación del sistema y para el rango de operación entre ellos, esto ha sido
verificado en la configuración de fase mínima, y no mínima.
61
5.4 Recomendaciones.
El sistema construido está diseñado para su utilización frecuente y constante,
las bombas y las válvulas tienen especificaciones de vida útil prolongada trabajando
bajo parámetros nominales de operación, la instrumentación es de grado industrial, por
lo que su trabajo puede ser inclusive por períodos ininterrumpidos de varios días.
Es aconsejable realizar un mantenimiento periódico del sistema completo,
principalmente una limpieza general exterior de los tanques al menos una vez por
semana para prevenir la acumulación de polvo sobre el sistema, o partículas de polvo
suspendidas en el líquido utilizado en el proceso.
Sobre el mantenimiento de los instrumentos, además de su limpieza exterior se
recomienda una verificación periódica de su funcionamiento una vez por mes, las
tuberías, conectores y válvulas deben también ser revisados para constatar que se
encuentran libres de obstrucciones o sedimentos.
Es recomendable también su uso frecuente para que las bombas y otros
elementos del sistema no sufran resequedad y puedan presentar un funcionamiento
errático al momento al momento de necesitarlos.
Los tanques y tuberías deben ser verificados periódicamente para comprobar
que no presenten fisuras, o filtraciones.
5.5 Propuesta de trabajos futuros.
El sistema presentado en este trabajo tiene muchas posibilidades de
implementación y eso abre un abanico muy amplio de trabajos que son posibles de
realizar.
Lo primero que habría que tener en cuenta es la necesidad de desarrollar una
guía de procedimientos donde se incluya una planificación de mantenimiento del
sistema, así como la documentación necesaria para ello, la idea se centraría en
desarrollar un manual de usuario y un manual de servicio con la finalidad de
perfeccionar el sistema y poder ofrecerlo de manera comercial.
En el desarrollo de este trabajo se presentaron cinco configuraciones posibles
sobre las cuales se puede hacer experimentación también con variables de nivel, o en su
lugar de presión o flujo, o incluso combinar dos o más magnitudes para estudiar su
interacción.
Además de las cinco configuraciones presentadas existen al menos cinco
configuraciones adicionales posibles de lograr y con ello al menos veinte experimentos
62
diferentes que quedan abiertos para futuros trabajos de titulación en pregrado o
posgrado.
Es necesario contar en los centros de enseñanza con herramientas suficientes
para poner en práctica lo que se imparte en las aulas, sabiéndonos capaces de diseñar y
construir nuestros sistemas y hacerlos económicamente competitivos con ofertas
similares de fabricantes extranjeros.
Es posible no solamente tener el modelo fruto de este trabajo, sino proyectarnos
más allá para que los futuros profesionales del área puedan hacer intervenciones
similares y dotar a los laboratorios de los modelos y elementos útiles, versátiles, y
rentables.
63
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66
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[52] C. Scherer, and S. Weiland, “Lecture notes DISC Course on Linear Matrix
Inequalities in Control,” Version 2.0, Chapter 1, 1999.
67
ANEXOS
ANEXO 1. PROCESO DE CONSTRUCCIÓN
A continuación, se presenta una serie de imágenes de cómo fue concebido y
proyectado el modelo dinámico de cuatro tanques.
(a)
(b)
68
(c)
(d)
69
(e)
Figura 39: (a), (b), (c), (d), (e). Estructuración de modelo didáctico
(a)
70
(b)
(c)
Figura 40: Proceso de pintura
71
(a)
(b) (c) Figura 41: (a), (b), (c). Ensamblaje del modelo didáctico
72
73
ANEXO 2. DIAGRAMA ELÉCTRICO DEL
MODELO DINÁMICO
En este anexo se presenta el diagrama eléctrico del sistema de control dinámico.
74
75
ANEXO 3. PUBLICACIÓN PRESENTADA EN
ETCM (GUAYAQUIL, OCTUBRE 2016)
76
77
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79
80