Barbosa Lpez Marco Antonio Frausto Ramrez Jaime Lona Ramos Mara Cruz Vela Alcal Martha Alexia Zamarripa Torres Rubn Emilio

Caractersticas Tiene tres niveles en cada factor, lo que permite la

estimacin de un modelo cuadrtico completo incluyendo las relaciones entre la respuesta y cada factor. Esta constituido por puntos centrales , que sirve para examinar la presencia de curvatura, dar informacin acerca de los cuadrticos y proporcionar una estimacin de la magnitud del error experimental; y puntos de superficie, de igual distancia del punto central.

3k tratamientos. Permite la estimacin de efectos de curvatura (en caso

de existir), sobre la variable de respuesta. Mayor precisin en la estimacin de los efectos.

Interaccin de factores2 02 12 22

Factor B

1

01

11

21

0

00

101 2

20

0

Factor A

Arreglos de k factores con tres niveles (bajo, medio y

alto).

Notaciones para la representacin de los niveles:

Bajo 0 -1 1

Medio 1 0 2

Alto 2 1 3

En un 3k (k=2) Es el diseo ms simple del sistema , tiene dos factores

con tres niveles cada uno, hay ocho grados de libertad entre combinaciones ya que existen 9 combinaciones de tratamientos, los efectos principales de A y B, tienen dos grados de libertad cada uno, su interaccin tiene cuatro grados de libertad. Si hay n rplicas, habr n-1 grados de libertad totales y (n-1) grados de libertad del error.donde el factor A es representado por x1 y el factor B por X2, el modelo general es:

Las sumas de cuadrados se calculan como se muestra a

continuacin Suma de cuadrados totales

Suma de efectos principales de A

Suma de efectos principales de B

Suma de cuadrados de la interaccin

Suma de cuadrados del error

Diseos Factoriales con dos Factores a Tres NivelesEl siguiente es un conjunto de contrastes ortogonales, que sirven para medir los efectos. Este conjunto constituye la Matriz del Diseo del experimento 32. Se desea medir el efecto de las dimensiones de los elementos constitutivos de la lmina bimetlica, sobre el tiempo de vida antes de perder la calibracin. Las combinaciones de tratamientos son a1b1, a2b1, a3b1, a1b2, a2b2, a3b2, a1b3, a2b3 y a3b3. Para dos factores con tres niveles cada uno y cinco rplicas.FACTORESA : DISTANCIA DEL EJE IMPULSOR A LA LAMINA BIMETALICA.B :. DISTANCIA DE LA CABEZA PILOTO A LA LAMINA BIMETALICA.

2, 3

NIVELESa1 : 1 mm. a 2 : 2 mm. a3 : 3 mm. b1 : 1 mm. b2 : 2 mm. b3 : 3 mm.

Matriz de Diseo para Analizar un Experimento 32

Matriz de Diseo para Analizar un 2 Experimento 3 Observemos que, en cada uno, la suma de sus componentes es

cero. Un contraste es una suma algebraica de combinaciones de tratamientos tales que la suma de los coeficientes positivos es igual a la suma de los coeficientes negativos. Dos contrastes son ortogonales, si el resultados de multiplicarlos es otro contraste. En la Matriz de Diseo del Experimento, podemos ver que el primer contraste, llamado A1, sirve para comparar el efecto del nivel 1 con el efecto del nivel 3 del factor A. El segundo, A2, compara el efecto del nivel 2 con los efectos de los niveles 1 y 3 en promedio, del mismo factor. Por eso, los dos primeros contrastes miden el efecto del factor A. De forma similar, los dos siguientes, B1 y B2, miden el efecto del factor B. Los ltimos cuatro, AB1 a AB4, comparan el efecto de las diferencias de niveles de un factor, a diferentes niveles del otro. Por eso decimos que los cuatro miden diversos aspectos de la interaccin entre A y B.

Anlisis de un Experimento

2 3

Tambin se pueden tratar los contrastes como si fueran expresiones algebraicas, y factorizarlas. Es as que el primer contraste se puede simbolizar como A1 = ( a3 - a1 )( b1 + b2 + b3 ) y ahora se ve con ms claridad que se trata de una comparacin entre los efectos de los niveles 1 y 3 del factor A. Tambin tenemos A2 = ( a1 - 2a2 + a3 )( b1 + b2 + b3 ) comparacin entre a1 y a2 con a3 combinados. Anlogamente, B1 = ( a1 + a2 + a3 )( b3 - b1 ) B2 = ( a1 + a2 + a3 )( b1 - 2b2 + b3 )

Anlisis de un Experimento 32Observemos que si sumamos A1 con A2, se forma una comparacin entre los niveles a2 y a3. De forma anloga, los cuatro contrastes para la interaccin se pueden escribir como AB1 = ( a3 - a1 )( b3 - b1 ) AB2 = ( a3 - a1 )( b1 - 2b2 + b3) AB3 = (a1 - 2a2 + a3)( b3 - b1 ) AB4 = (a1 - 2a2 + a3)( b1 - 2b2 + b3)El lector puede verificar, con paciencia, que la suma de las cuatro expresiones da AB1 + AB2 + AB3 + AB4 = 4( a3 - a2 )( b3 - b2 ) una diferencia entre las diferencias de los efectos de a3 y a2 de A, a los niveles b3 y b2 de B.

Diseo

3 3

Cuando se habla de tres factores (A, B y C) bajo un

estudio, y cada factor tiene tres niveles, se trata de un diseo factorial 33. Las 27 combinaciones de tratamientos tienen 26 grados de libertad. Cada efecto principal tiene 2 grados de libertad, cada interaccin de dos factores tiene 4 grados de libertad y la interaccin de tres factores tiene 8 grados de libertad. Si hacen n rplicas, hay n331 grados de libertad total y 33 (n-1) grados de libertad del error.

Ecuacin general

Las sumas de cuadrados se calculan como se muestra a continuacin Suma de cuadrados totales

Suma de efectos principales de A

Suma de efectos principales de B

Suma de cuadrados de la interaccin

Suma de cuadrados del error

Ejemplo 1 En un laboratorio de una empresa se tiene instares en

estudiar cmo la cantidad de gas nocivo que emite una maquina puede ser reducido; la variable de respuesta es la cantidad de gas medida en ppm. Se considera que dos factores, tiempo de inyeccin y razn de volumen de la cmara, influyen en la emisin del gas; se consideran tres niveles en cada factor. Dos maquinas se utilizan para evaluar el efecto de los factores, suponga en primera instancia que las maquinas son totalmente homogneas tal que no influyen en los resultados.

Los factores y niveles:Factor/Nivel 1 2 60 3 70 T: tiempo (min) 50

V: volumen (uv) 30

35

40

Hiptesis de respuestas:Hiptesis Ho : (Nula) Para T Ho: T1=T2=T3 Para V Ho: V1=V2=V3 Para TV Ho: T1V1=T1V2= =T3V3 Ha: V1T1T1V2 V3T3

Ha: (Alternativa)

Ha: T1T2T3

Ha: V1V2V3

Datos de la variable de respuesta(2 observaciones)Tratamien to 1 2 3 4 5 6 7 8 T: tiempo 1 2 3 1 2 3 1 2 V: volumen 1 1 1 2 2 2 3 3 y1 12.3 12.9 13.2 14.1 14.5 14.7 13.3 14.6 y2 11.4 12.5 13.1 14.0 14.5 15.0 13.9 14.3 ij 11.85 12.7 13.15 14.05 14.5 14.85 13.6 14.45

9

3

3

16.0

16.1

16.05

De los datos anteriores se obtiene que:promedios para el tiempo LosLos promedios para el volumen

Con un promedio de

y**= 13.9111

Efecto de cada nivel (coeficientes)Efecto de T (tiempo) T1=13.1666-13.911=-0.7444 T2=13.8813.911=-0.0311 T2=14.68-13.911=0.7689

Efecto de V (volumen) V1=12.566-13.911=-1.3451 V2=14.466-13.911=0.5549 V3=14.70-13.911=0.7889

Efecto de interacciones Para determinar cada una de las interacciones se emplea la

siguiente formula:

Efecto de interaccionesYij 11.85 12.7 13.15 14.05 14.5 14.85 13.6 14.45 16.05 Yi* 13.166 13.88 14.68 13.166 13.88 14.68 13.166 13.88 14.68 Y*j 12.566 12.566 12.566 14.466 14.466 14.466 14.70 14.70 14.70 Y** 13.9111 13.9111 13.9111 13.9111 13.9111 13.9111 13.9111 13.9111 13.9111 TiVj 0.0291 0.1651 -0.1849 0.3291 0.0651 0.3849 0.3549 0.2189 0.5811 TiVj T1V1 T2V1 T3V1 T1V2 T2V2 T3V2 T1V3 T2V3 T3V3

Efecto de de los errores se emplea la siguiente los errores Para el calculoformula:

Efecto de los erroresYij 11.85 12.7 13.15 14.05 14.5 14.85 13.6 y1 12.3 12.9 13.2 14.1 14.5 14.7 13.3 y2 11.4 12.5 13.1 14.0 14.5 15.0 13.9 S2TiVj S2TiVj 0.405 S2T1V1 0.08 S2T2V1 0.005 S2T3V1 0.005 S2T1V2 0 S2T2V2 0.045 S2T3V2 0.18 S2T1V3 0.045 S2T2V3 0.005 S2T3V3

14.4516.05

14.616.0

14.316.1

Cuadrados seis debido ate se tienen tres niveles y medios Se multiplica pordos replicas.Valores = (-0.7444, 0.0311, 0.7689)

Valores =(-1.3451, 0.5549, 0.7889)

Interaccin

Valores =(0.0291, 0.1651, -0.1849, 0.3291, 0.0651, 0.3849, 0.3549, 0.2189, 0.5811)

Errores

Valores =(0.405, 0.08, 0.005, 0.005, 0, 0.045, 0.18, 0.045, 0.005)

Tabla de resultadosTermino Grados de libertad 2 2 4 9 Suma de cuadrados 6.8778 16.4374 1.669 0.77 Cuadrados Fc medios 3.4389 8.2187 0.4172 0.0855 40.1975 96.0689 4.8766 Valor P T(tiempo) V (volumen) TV error

MSA

SS A SS SSE SS AB MSB B MSE MS AB a 1 b 1 N ab (a 1)(b 1)

MS( factor / int eraccion) F0 MSE

Conclusin De acuerdo con los valores de p encontrados, tanto los

dos factores como la interaccin son significativos en el modelo, por lo que se rechaza Ho y se acepta Ha, es decir, tanto el volumen como el tiempos e interaccin de ambos, influye en la emisin del gas nocivo.

Interaccin cuadrtica y tiempo; De acuerdo con los promedios de volumenen el volumen si se aprecia un efecto cuadrtico, mientras que en el tiempo no.

Promedios para V (volumen)

14.566

14.466

14.70

Promedios para el T (tiempo) 13.166 13.88 14.68

Efectos lineal y se supone que los tres puntos cuadrtico Para realizar este anlisisson equidistantes entre si.

Efecto linealEfecto cuadrtico

Efecto lineal

Efecto cuadrtico

Suma de cuadrados SC Se determina empleando la siguiente formula:

Donde r es el numero de observaciones en cada uno de los promedios empleados , es decir, r=2x3=6 Tl efecto 1.516 Tc 0.084 Vl -2.13 Vc -1.1667

Efectos lineales y cuadrticosFuente de variacin Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadrados F medios P

Tiempo TlTc Volumen Vl Vc Interaccin Error Total

2 11 2 1 1 4 9 17

6.91 6.900.01 16.43 13.65 2.78 1.67 0.77 25.78 13.65 2.78 0.42 0.9 159.58 80.66 4.87 0.0000 0.0000 0.0228

6.900.01

32.470.08

0.00030.7851

Solucin en minitab

Ejemplo 2