diseÑo y construccion de un banco de prueba pada
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DISEÑO Y CONSTRUCCION DE UN BANCO DE PRUEBA
PARA DETERMINAR CARGA CRITICA DE MIEMBROS
ESBELTOS CARGADOS AXIALMENTE A COMPRESION.
FELIX MENDOZA GONZALEZ.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MECANICA
BOGOTA
2003
IM-2003-I-25
Bogotá D.C., Mayo de 2003 Doctor ALVARO E. PINILLA SEPULVEDA. Director Departamento de Ingeniería Mecánica UNIVERSIDAD DE LOS ANDES La Ciudad. Apreciado Doctor: Por medio de la presente someto a consideración suya el Proyecto de Grado titulado “Diseño y construcción de banco de prueba para determinar carga critica de miembros esbeltos cargados axialmente a compresión” que tiene como objetivo el desarrollo de un prototipo para llevar a cabo pruebas de pandeo y determinar carga critica en columnas. Considero que este Proyecto de Grado cumple con los objetivos propuestos y por lo tanto, lo presento como requisito parcial para optar por el titulo de Ingeniero Mecánico. Cordialmente, FELIX MENDOZA GONZALEZ. COD: 199611275.
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Nota de aceptación.
________________________
________________________
____________________________
Asesor.
Bogotá, Mayo de 2003
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Hago extensivos mis agradecimientos
y dedico estas páginas a todas las
personas que de una u otra manera
me apoyaron, ya sea material,
intelectual o espiritualmente.
De todo corazón. Gracias.
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DISEÑO Y CONSTRUCCION DE UN BANCO DE PRUEBA PARA DETERMINAR
CARGA CRITICA DE MIEMBROS ESBELTOS CARGADOS AXIALMENTE A
COMPRESION.
FELIX MENDOZA GONZALEZ.
Proyecto de grado para optar al titulo de Ingeniero Mecánico
Asesor
LUIS M. MATEUS SANDOVAL.
M.Sc Ingeniería Mecánica
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MECANICA
BOGOTA
2003
IM-2003-I-25
CONTENIDO
CONTENIDO.................................................................................................. vi
LISTADO DE FIGURAS ................................................................................. ix
LISTADO DE TABLAS .................................................................................... x
LISTADO DE GRAFICOS .............................................................................. xi
1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................1
2. OBJETIVO DEL PROYECTO......................................................................3
3. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA...................................................................4
3.1. Introducción. .........................................................................................4
3.2. Teoría de pandeo..................................................................................5
3.2.1 Columna ideal. ................................................................................8
3.2.1.1. Material. .................................................................................13
3.2.1.2. Condiciones en los extremos.................................................14
3.2.1.3. Geometría..............................................................................15
3.2.2 Columna real.................................................................................17
3.2.2.1. Imperfección dimensional. .....................................................18
3.2.2.2. Imperfección en la carga. ......................................................18
3.2.2.3. Imperfección del material.......................................................18
4. DISEÑO DEL BANCO DE PRUEBA. ........................................................19
4.1. Cuantificación de fuerzas....................................................................19
4.1.1 Material. ........................................................................................19
vi
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4.1.2 Longitud. .......................................................................................20
4.1.3 Sección transversal. ......................................................................20
4.1.4 Condiciones en los extremos. .......................................................21
4.1.5 Memoria de cálculo. ......................................................................21
4.2. Configuración general del banco. .......................................................27
4.3. Calculo de resistencia de los elementos.............................................28
4.3.1 Varillas guías.................................................................................28
4.3.1.1. Calculo de falla por pandeo. ..................................................29
4.3.1.2. Calculo para carga de impacto. .............................................29
4.3.1.3. Calculo para carga estática. ..................................................29
4.3.1.4. Calculo de resistencia en el punto de empotramiento. ..........30
4.3.2 Placa superior. ..............................................................................30
4.3.3 Placa inferior. ................................................................................31
4.3.4 Placa intermedia. ..........................................................................31
4.3.5 Prensas de cierre rápido. ..............................................................34
4.3.6 Aditamentos. .................................................................................36
4.3.7 Bujes. ............................................................................................37
4.3.8 Tuercas. ........................................................................................38
5. RESULTADOS..........................................................................................39
6. ANALISIS DE RESULTADOS...................................................................41
7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................49
ANEXO..........................................................................................................52
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS................................................................55
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PLANOS........................................................................................................56
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LISTADO DE FIGURAS
Figura 1 Modo de falla miembro corto.............................................................7
Figura 2 Modo de falla miembro intermedio ....................................................7
Figura 3 Modo de falla miembro largo.............................................................8
Figura 4 Columna de Euler..............................................................................9
Figura 5 Comportamiento analogo entre columna y esfera...........................13
Figura 6 Comfiguracion para condiciones en los extremos...........................15
Figura 7 Criterio de falla segun categoria de las columnas...........................16
Figura 8 Carga maxima calculada con MDSolid............................................22
Figura 9 Carga minima calculada con MDSolid.............................................23
Figura 10 Configuracion general del banco de prueba..................................27
Figura 11 Arreglo para extremos articulados (platinas).................................35
Figura 12 Arreglo para extremos articulados (tubo y barra) ..........................35
Figura 13 Arreglo para extremos empotrados (platina, tubo y barra) ............36
Figura 14 Aditamentos para extremos ..........................................................37
Figura 15 Buje ...............................................................................................38
Figura 16 Prototipo en operacion ..................................................................51
ix
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LISTADO DE TABLAS
Tabla 1 Perfiles utilizados..............................................................................20
Tabla 2 Carga critica teorica para platinas ....................................................24
Tabla 3 Carga critica teorica para tubo .........................................................25
Tabla 4 Carga critica teorica para barra ........................................................26
Tabla 5 Extremos articulados........................................................................39
Tabla 6 Extremos articulado-empotrado .......................................................39
Tabla 7 Extremos empotrados ......................................................................40
Tabla 8 Analisis extremos articulados ...........................................................42
Tabla 9 Analisis extremos articulado-empotrado...........................................43
Tabla 10 Analisis extremos empotrados .......................................................43
Tabla 11 Factor de longitud efectiva k ..........................................................44
x
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LISTADO DE GRAFICOS Grafica 1 Extremos empotrados....................................................................45
Grafica 2 Extremos articulado-empotrado.....................................................46
Grafica 3 Extremos articulados .....................................................................47
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1. INTRODUCCIÓN
Algunas estructuras comunes en ingeniería, como son las columnas,
presentan una forma de falla característica llamada pandeo, la cual es
consecuencia de una inestabilidad estructural.
Dicha inestabilidad estructural se presenta en el momento en que la carga
axial compresiva alcanza un valor llamado carga crítica de pandeo Pcr, en el
cual la columna entra en una zona de equilibrio neutro o precario y como
consecuencia, se puede presentar una falla catastrófica, cuando exista un
pequeño incremento de la carga axial compresiva sobre la columna.
Por esta razón es de vital importancia, poder predecir esta carga crítica para
así poder evitar una falla súbita por sobrecarga.
Para adquirir un amplio y claro conocimiento sobre este fenómeno, es
necesario, primero que todo, entender los factores que intervienen y cuales
son sus efectos sobre la carga critica de pandeo.
Teniendo en cuenta lo anterior, este proyecto se llevará a cabo tratando de
hacer claridad sobre todos estos factores y servirá como herramienta de
trabajo, significando así un apoyo fundamental para el estudio y
entendimiento del fenómeno de pandeo, para los futuros estudiantes del
curso de resistencia de materiales de la Universidad de Los Andes.
La configuración de la estructura del banco de prueba será diseñada
teniendo en cuenta su fin ultimo, el cual radica en poder determinar la carga
1
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critica de pandeo, por la aplicación de pesas calibradas, siendo esta, una
manera muy sencilla de encontrarla.
En lo referente a la resistencia estructural, se realizaron los cálculos
necesarios, en los cuales se tuvieron en cuenta las condiciones de carga
máximas y mínimas, para garantizar un buen comportamiento general de la
estructura del banco.
El desarrollo de este proyecto está motivado principalmente por la necesidad
de aclarar como es el comportamiento de los elementos mecánicos que
trabajan a compresión (como columnas), cuando alcanzan una situación
crítica en referencia a su estabilidad estructural.
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2. OBJETIVO DEL PROYECTO
El objetivo de este proyecto consiste en diseñar y construir un banco de
prueba para llevar a cabo la determinación de la carga critica de pandeo de
una columna, además de hacer una validación del funcionamiento del banco
para varias condiciones requeridas en las columnas. Se definen entonces
objetivos concretos que al ser cumplidos uno a uno permitan realizar el
proyecto en su totalidad. Estos son:
�� Definición y especificaciones requeridas del problema.
�� Estudio de la teoría referente al fenómeno de pandeo.
�� Escogencia de tipos de columnas y su material, que serán utilizadas
como probetas.
�� Cuantificación de las cargas máximas y mínimas que estarán
presentes.
�� Escoger la configuración del mecanismo de accionamiento más viable
en términos de fabricación, economía, seguridad y facilidad de
operación.
�� Diseño de la resistencia estructural del banco.
�� Diseño de aditamentos requeridos para simular las diferentes
condiciones de apoyo en los extremos.
�� Selección de materiales estructurales idóneos para la construcción del
banco de prueba.
�� Prueba y validación del experimento.
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3. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
3.1. Introducción.
Al iniciar el proyecto existía una ambición grandísima basada en el hecho de
querer tener en cuenta un sin numero de columnas con diferentes secciones
transversales y longitudes, además de varios materiales y todas las
condiciones existentes para sus extremos.
Siendo esto así, se determinaron las cargas criticas para varias secciones
transversales entre las cuales se encontraban perfiles T, , [, ángulos de
lados iguales y lados diferentes, sección circular, cuadrada, rectangular etc;
teniendo en cuenta varios materiales y condiciones en los extremos.
�
Como consecuencia de esto se evidenció un rango muy amplio de las cargas
y cargas excesivas debidas a las diferentes longitudes, materiales y
condiciones en los extremos tenidas en cuenta.
Por esta razón se decidió la utilización de ciertos perfiles de aluminio, entre
los cuales están las platinas (rectangular), barra (cuadrada) y tubo (circular),
con tres tipos de condiciones en los extremos, como son: 1) Ambos extremos
articulados, 2) Ambos extremos empotrados y 3) Una combinación de los dos
anteriores, un extremo empotrado y otro articulado.
Paso seguido, se explicará de la manera mas clara y completa posible toda
sustentación teórica que esta detrás del fenómeno de pandeo, que fue
utilizada para desarrollar el proyecto.
4
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3.2. Teoría de pandeo.
Cuando se considera un miembro cargado axialmente, intuitivamente,
nuestra primera aproximación es traer a colación en nuestra mente, una de
las primeras ecuaciones de estudio en el curso de resistencia, de materiales,
la del esfuerzo normal:
AP
�� [N/m2] (3.1)
Donde: P = Fuerza aplicada. [N]
= Área de la sección transversal en la cual esta aplicada la carga.
[m
A
2]
E inmediatamente después, la ecuación de la deformación elástica asociada:
AEPl
�� [m] (3.2)
Donde: = Longitud inicial del miembro. [m] l
E = Modulo de elasticidad o modulo de Young1. [N/m2]
Pero para cualquier ingeniero sensato, lo segundo que esperaría conocer es
la dirección de la carga que se estaría aplicando, en otras palabras, si es una
carga de tracción o compresión. Este último aspecto es de vital importancia,
dado que de este depende el tratamiento que se le daría al miembro en
cuestión.
Si se tratara de una carga de tracción, las ecuaciones (3.1) y (3.2) serian
suficientes para calcular dos de los parámetros de diseño mas importantes
en ingeniería; la resistencia y la deformación de los elementos, dado que
1 Thomas Young (1773-1829) Físico ingles. 1880.
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este tipo de carga nunca ocasionaría una situación de inestabilidad y así los
parámetros de diseño serian: 1) la resistencia a la cedencia del material
(en el caso de materiales dúctiles) o la resistencia ultima (en el caso de
materiales frágiles) y/o 2) la rigidez del material, la cual esta definida por su
modulo de elasticidad
yS utS
E y su modulo de Poisson2 � .
La otra posibilidad presente es cuando la fuerza aplicada al miembro es de
compresión, en este punto es importante conocer las características
geométricas del miembro, para así poder ubicarlo en algunas de las
siguientes categorías: columnas cortas (miembros cortos o puntales),
columnas intermedias (miembros intermedios) y columnas largas.
Ahora bien, dependiendo de que tipo de columna se trate, se consideran
tratamientos distintos. Si la columna es corta, de nuevo, la ecuación (3.1) es
suficiente para el cálculo de su resistencia y el tipo de falla dependerá del
material, así los materiales dúctiles fallan por aplastamiento y los frágiles por
fractura.
2 Siméon Denis Poisson (1781-1840) Matemático francés. El modulo de Poisson relaciona la elongación longitudinal � y la contracción lateral � dentro del rango elástico, por medio de: long lat
long
lat
�
�
��� .
6
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Figura 1 Modo de falla miembro corto3
Ahora, si la columna es intermedia, el tipo de falla es pandeo inelástico, la
cual se caracteriza por una cedencia localizada del material.
Figura 2 Modo de falla miembro intermedio
La última categoría es la de columnas largas (caso que atañe a nuestro
estudio), en este caso los miembros fallan por pandeo elástico4.
3 Las figuras 1, 2, 3 y 7 están basadas en la referencia [10] 4 Falla por pandeo elástico, falla por estabilidad elástica, falla de columnas esbeltas (o delgadas) o simplemente pandeo, son términos utilizados para referirse a lo mismo.
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Figura 3 Modo de falla miembro largo Ya que se ha hecho claridad sobre como fallan los miembros a compresión,
es hora de adentrarnos en el caso especifico de los miembros largos que
presentan falla por pandeo elástico.
3.2.1 Columna ideal. Leonhard Euler5 en 1759 dio a conocer su trabajo sobre la determinación de
la carga crítica de pandeo. La configuración usada por Euler fue la de una
columna esbelta con sus extremos articulados o simplemente soportada, y
cargada axialmente a compresión (Fig. 4.), a esta configuración se le conoce
también como columna de Euler o modo fundamental de pandeo6.
5 Leonhard Euler (1707-1783) Matemático y físico suizo. Pronúnciese “Oiler”.1759 6 En 3.2.1.2 se hará claridad sobre el porque de este nombre.
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Figura 4 Columna de Euler7
La relación entre la deflexión y con respecto a x está representada por una
ecuación diferencial homogénea, de segundo orden con coeficientes
constantes, dada por:
02
2
�� yEIP
dxyd (3.3)
La carga critica de pandeo8 determinada por Euler para la anterior
configuración fue:
2
2
lEIPcr
�
� (3.4)
donde: I = El menor momento de inercia del área A. [m4]
Para la determinación de la ecuación (3.3) se consideraron condiciones
ideales, como son:
7 Las figuras 4 y 6 están basadas en la referencia [14] 8 Para conocer la deducción véase ref. [1], [4], [10] y [13]. Carga critica de pandeo ó carga critica de Euler.
9
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�� La columna es perfectamente recta antes de ser cargada.
�� La carga compresiva P es axial y está aplicada exactamente en el
centroide de la sección transversal de área A.
�� Ausencia de esfuerzos residuales remanentes, producto del proceso
de fabricación.
�� El material con el que esta hecha la columna es homogéneo y
presenta un comportamiento isotropico.
Mas adelante veremos que la imposibilidad de garantizar las condiciones
anteriormente nombradas, favorece la inestabilidad estructural, y por
consiguiente, la falla por pandeo.
Hemos llegado al punto en el cual es pertinente hacer claridad sobre el
comportamiento de una columna ideal cargada.
La carga critica de pandeo Pcr (que para el caso de la columna de Euler esta
dado por la ecuación (3.4)) es el valor de la carga compresiva P en el cual se
alcanza un equilibrio neutro o precario desde el punto de vista de la
estabilidad estructural de la columna, dicha carga marca el limite superior de
estabilidad y el limite inferior de la región inestable, en donde se presenta un
peligro inminente de falla dado el caso de existir una perturbación minúscula
sobre la columna.
Para el caso en donde P < Pcr, la columna experimenta una condición de
equilibrio estable, en la cual, el miembro está regido por la ley de Hooke9, en
otras palabras, la columna se comprime en la medida en que la carga P es
9 Robert Hooke (1635 – 1703) Físico ingles. Toda la teoría de Hooke es valida dentro del rango elástico de los materiales.
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aplicada, y nuevamente, el esfuerzo inducido y la deformación resultante
pueden ser determinados por las ecuaciones (3.1) y (3.2). Cualquier fuerza
adicional (lateral o axial) aplicada a la columna en cualquier punto, causará
una deformación adicional, la cual desaparecerá, por acción de las fuerzas
restitutivas elásticas del material de la columna, al quitar esta carga o fuerza
adicional.
Ahora, cuando P > Pcr, la columna aun no pandearía (y solo fallaría al
alcanzar el esfuerzo máximo permisible), a menos que exista una fuerza
lateral que ocasionaría una falla inmediata, producto del equilibrio inestable
en el que estaría la estructura; y un incremento abrupto en la deflexión de la
columna, haría presencia inmediatamente.
La figura 5 podría dar mayor claridad, al hacer un paralelo entre la columna y
una esfera en diferentes tipos de planos. Aquí la fuerza restitutiva elástica del
material de la columna seria análoga a la fuerza gravitacional; siendo esto
así, se presentan estos 3 casos:
�� Para el caso (a), en donde P < Pcr: Si se aplica una fuerza lateral
controlada a la columna, esta se desplazará de su posición de
equilibrio, pero al eliminar esa fuerza, la fuerza restitutiva elástica
devolverá a la columna a su posición inicial. Lo mismo ocurriría a la
esfera en la superficie cóncava, donde la fuerza de gravedad hará que
la esfera retorne a su punto inicial de equilibrio, en la parte mas baja
de la superficie.
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�� Para el caso (b), en donde P = Pcr: La fuerza lateral controlada
desplazaría la columna a una posición específica, y al retirar dicha
fuerza la columna permanecerá en esa posición, esto sucede porque
la fuerza restitutiva no es lo suficientemente grande para devolver la
columna a su posición inicial de equilibrio. De la misma manera la
esfera permanecerá quieta en su nueva posición en la superficie plana
dado que no hay ninguna componente de la fuerza de gravedad que
sea paralela a la superficie que haga que la esfera retorne a su lugar
inicial.
�� Para el caso (c), en donde P > Pcr: Al aplicar la fuerza lateral, la
columna se deflectaría, pero al momento de quitar la fuerza, la
deflexión aumentaría, hasta tal punto, que la columna fallaría. De igual
manera con la esfera, al sacarla de su posición de equilibrio, el
desplazamiento crecerá indefinidamente.
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Figura 5 Comportamiento análogo entre columna y esfera En resumen se podría decir que la condición de estabilidad o inestabilidad de
un sistema, esta dada por un balance entre fuerzas externas sobre la
columna y las fuerzas restitutivas del material.
Retomando la ecuación de la carga critica de Euler (ecuación (3.4)), es
explicita la dependencia entre Pcr, E, I y l. Seguido se hará claridad sobre
como modifican estos factores a la carga critica.
3.2.1.1. Material. La participación del material con el cual está construida la columna está
caracterizado por una propiedad física llamada el modulo de elasticidad E,
este parámetro determina la extensión de la región de equilibrio estable,
dado que de el dependen las magnitudes de las fuerzas restitutivas elásticas.
Esto quiere decir que entre mas rígido sea el material con el cual esta hecho
la columna, mayor será el valor de la carga critica asociada.
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Hay que llamar la atención sobre el hecho que la resistencia del material Syc y
Suc no tienen nada que ver con el valor de Pcr; por ejemplo una columna
fabricada con un acero de alta resistencia como es el SAE 4340 (Sy = 1586
MPa) no tiene ninguna ventaja a un acero corriente de bajo carbono como el
SAE 1010 (Sy = 179 MPa). Aunque hay una relación aproximada de 1 a 8
con respecto a su esfuerzo de cedencia, no habría ninguna mejora
significativa en el valor de su Pcr dado que todos los aceros tienen
aproximadamente el mismo valor de E.
3.2.1.2. Condiciones en los extremos. La ecuación (3.3) dada por Euler, considera solo una condición (extremos
articulados), de varias posibles en los extremos de la columna. Dado que la
condición en los extremos de la columna modifica fuertemente el valor de la
carga critica, se planteó la ecuación de la carga critica generalizada; para así,
poder tener en cuenta todas las condiciones en los extremos al sustituir el
parámetro l por leff , en donde leff es la longitud efectiva y está dada por la
distancia determinada por media onda senosoidal.
Y se puede expresar como: donde k se conoce como factor de
longitud efectiva, este factor es adimensional y representa la fracción de la
longitud l necesaria para generar la media onda senosoidal.
klleff �
eff
cr lEIP
2�
� (3.5)
Como la ecuación (3.3) esta basada en la configuración de la figura 4, la
longitud efectiva leff es igual a la longitud l de la columna.
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La figura 6 muestra las diferentes longitudes efectivas que se aplican
dependiendo la configuración que se va a usar.
Figura 6 Configuración para condiciones en los extremos
Estos valores para la longitud efectiva son considerados como valores
teóricos, pero algunos ingenieros recomiendan unos valores efectivos de
ingeniería, como son: leff = 0.8l para el caso (b) y leff = 0.65l para el (c).
3.2.1.3. Geometría. El aspecto geométrico de una estructura es de vital importancia cuando se
está trabajando bajo la influencia de cargas compresivas, porque de el
depende el modo por el cual fallaría y por consiguiente, el tratamiento que se
le dará a la estructura. La clasificación de las columnas mencionada
anteriormente (sección 3.2) también esta basado en dicho aspecto
geométrico.
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Figura 7 Criterio de falla según categoría de las columnas Por esta razón se definió la relación de esbeltez rl en donde se relaciona la
longitud de la columna l y el radio de giro r de la sección transversal de la
columna.
Dado que 2ArI � , donde I es el menor momento de inercia y A es el área
de la sección transversal; ahora, reemplazando en la ecuación (3.5) y
reordenando:
2
2
���
����
��
rl
EAPeff
cr� (3.6)
Aunque la relación de esbeltez es un parámetro netamente geométrico, sí
está relacionado con el tipo de material a través de su resistencia a la
cedencia Sy y su modulo de elasticidad E.
Para nuestro estudio es de interés solo las columnas larga, es decir, con una
relación de esbeltez que garantice que el criterio de falla sea el limite de
estabilidad elástica definido por la ecuación de Euler.
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Es necesario para poder aplicar la ecuación de Euler que el esfuerzo
inducido por la carga P, esté por debajo del esfuerzo de cedencia10 del
material. Así reordenando la ecuación (3.6):
2
2
���
����
��
rl
EA
P
eff
cr �
2
2
���
����
��
rl
E
effcr
�
�
[Pa] (3.7)
Ahora, el requerimiento estaría dado por:
2
2
���
����
��
rl
ESeff
y�
y entonces, la relación de esbeltez que nos interesa está dada por:
y
eff
SE
rl 2
�
����
����
� (3.8)
3.2.2 Columna real. Una columna real está caracterizada por sus imperfecciones, las cuales
afectan negativamente el comportamiento de la columna en lo que respecta
al fenómeno de pandeo y a la estabilidad.
10 Siendo rigurosos se debería tener en cuenta el limite proporcional �pl del material pero en muchos casos �pl � Sy.
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Enseguida, se trataran cada una de estos factores que imposibilitan la
idealización de la estructura.
3.2.2.1. Imperfección dimensional. Esta se presenta por la dificultad de fabricar una columna ideal en lo que
respecta a una sección transversal constante y totalmente recta.
3.2.2.2. Imperfección en la carga. La dificultad para carga un miembro de manera perfectamente axial; ósea
garantizando que la fuerza aplicada este alineada con el eje de simetría de la
columna y por consiguiente, con una excentricidad igual a cero.
3.2.2.3. Imperfección del material. Otro aspecto que también hay que tener en cuenta es si la columna esta
hecha de un material perfectamente homogéneo, en otras palabras, que el
material tenga un comportamiento isotropico. Sumado a esto, están los
esfuerzos residuales que aparecen como resultado de los procesos de
fabricación.
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4. DISEÑO DEL BANCO DE PRUEBA.
4.1. Cuantificación de fuerzas.
La primera acción que se llevo a cabo al comenzar la tarea de diseño, fue la
de identificar y cuantificar las fuerzas presentes en el proyecto, que se
requieren para someter las columnas a la carga critica de pandeo. Así, lo
primero que se hizo fue escoger algunos materiales, la longitud de las
columnas, secciones transversales y las condiciones de los extremos de las
columnas.
Todo esto con el fin de acotar las magnitudes de las fuerzas entre valores
máximos y mínimos no muy distantes que impliquen requerimientos
estructurales bajos y posteriormente hacer del manejo de las pesas
calibradas una tarea sencilla.
4.1.1 Material. Aquí se tuvo en cuenta materiales comunes en ingeniería, pero al
presentarse una variación grande en sus propiedades se descartaron
muchos y como resultado de esta fase, se decidió el uso de aluminio como
material principal.
Los principales criterios para selección del material fueron su bajo costo, fácil
consecución, presentación y su comportamiento frente al fenómeno de
pandeo (bajo E).
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4.1.2 Longitud. La escogencia de la longitud a utilizar estuvo basada en dos aspectos
principales: 1) una longitud tal, que se presenten cargas de pandeo
relativamente bajas y 2) relaciones de esbeltez lo suficientemente grandes,
tal que la falla este caracterizada por la teoría de estabilidad elástica de
Euler.
Finalmente se utilizarán columnas de 0.9 m de longitud.
4.1.3 Sección transversal. Como se mencionó en la sección (3.1) se escogieron secciones
transversales simples, como son la rectangular, circular y cuadrada, todos
estos relacionados en el catalogo de perfiles estándar de productos extruidos
de Aluminio Nacional S.A. (ALUMINA).
Los perfiles utilizados son:
Tabla 1 Perfiles utilizados Platinas
Referencia Dimensiones [in] Dimensiones [mm] Peso [kg/m]
P-001 1/2 x 1/16 12,70 x 1,58 0,055 P-003 1/2 x 1/8 12,70 x 3,17 0,110 P-008 5/8 x 1/8 15,87 x 3,20 0,137 P-012 3/4 x 1/8 19,05 x 3,17 0,148 P-016 1 x 1/16 25,40 x 1,60 0,110 P-018 1 x 1/8 25,40 x 3,17 0,219
Barra Cuadrada Referencia Dimensiones [in] Dimensiones [mm] Peso [kg/m]
C-001 1/4 x ¼ 6,35 x 6,35 0,109 Tubo Circular Referencia Dimensiones [in] Dimensiones [mm] Peso [kg/m]
TC-002 5/16 x 0,040 7,94 x 1,01 0,059
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Se descartaron secciones más complejas debido al abrupto aumento en la
carga requerida para lograr pandeo.
4.1.4 Condiciones en los extremos. Las condiciones en los extremos se determinaron con base en la facilidad de
simular de la mejor manera posible, las condiciones ideales. Debido a esto se
utilizaron las condiciones mostradas en la figura 6.
4.1.5 Memoria de cálculo. Para determinar la carga máxima y mínima que estaría presente en el diseño
de la estructura, se procedió a calcular la carga necesaria para hacer fallar el
perfil cuadrado (C-001), para el cual se presenta la mayor carga, y de igual
manera para el perfil rectangular (P-001), para el cual se presenta la menor
carga.
Se utilizó MDSolid 2.5 Mechanics of Deformable Solids Software.
Los resultados para la carga máxima y mínima reportados fueron:
21
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Figura 8 Carga máxima calculada con MDSolid
22
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Figura 9 Carga mínima calculada con MDSolid
23
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Tabla 2 Carga critica teórica para platinas Platinas Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf, Cedencia (Pa) Aluminio 6,90E+10 0,45 5,50E+07Extremos empotrados (cargas máximas) Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) Inercia I (m^4) Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico L/r Eff Estruct
P-001 0,055 12,7 1,58 4,2E-12 2,0066E-05 5E-04 14 699614 987 26 P-003 0,11 12,7 3,17 3,4E-11 4,0259E-05 9E-04 113 2816198 492 103P-008 0,137 15,87 3,2 4,3E-11 5,0784E-05 9E-04 146 2869753 487 106P-012 0,148 19,05 3,17 5,1E-11 6,0389E-05 9E-04 170 2816198 492 115P-016 0,11 25,4 1,6 8,7E-12 4,0640E-05 5E-04 29 717438 974 27P-018 0,219 25,4 3,17 6,7E-11 8,0518E-05 9E-04 227 2816198 492 104
Platinas Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf, Cedencia (Pa) Aluminio 6,90E+10 0,63 5,50E+07Extremos articulado-empotrado (cargas intermedias) Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) Inercia I (m^4) Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico L/r Eff Estruct
P-001 0,055 12,7 1,58 4,2E-12 2,0066E-05 5E-04 7 356946 1381 13 P-003 0,11 12,7 3,17 3,4E-11 4,0259E-05 9E-04 58 1436835 688 53P-008 0,137 15,87 3,2 4,3E-11 5,0784E-05 9E-04 74 1464160 682 54P-012 0,148 19,05 3,17 5,1E-11 6,0389E-05 9E-04 87 1436835 688 59P-016 0,11 25,4 1,6 8,7E-12 4,0640E-05 5E-04 15 366040 1364 14P-018 0,219 25,4 3,17 6,7E-11 8,0518E-05 9E-04 116 1436835 688 53
Platinas Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf, Cedencia (Pa) Aluminio 6,90E+10 0,9 5,50E+07Extremos articulados (cargas mínimas) Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) Inercia I (m^4) Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico L/r Eff Estruct
P-001 0,055 12,7 1,58 4,2E-12 2,0066E-05 5E-04 4 174904 1973 6 P-003 0,11 12,7 3,17 3,4E-11 4,0259E-05 9E-04 28 704049 983 26P-008 0,137 15,87 3,2 4,3E-11 5,0784E-05 9E-04 36 717438 974 27P-012 0,148 19,05 3,17 5,1E-11 6,0389E-05 9E-04 43 704049 983 29P-016 0,11 25,4 1,6 8,7E-12 4,0640E-05 5E-04 7 179360 1949 7P-018 0,219 25,4 3,17 6,7E-11 8,0518E-05 9E-04 57 704049 983 26
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Tabla 3 Carga critica teórica para tubo
Tubos Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf. Cedencia (Pa) Aluminio 6,90E+10 0,45 5,50E+07Extremos empotrados (carga máxima)
Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) Inercia I (m^4) Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico L/r Eff Estruct TC-002 0,059 7,94 1,01 1,3E-10 2,2E-05 0,002 453 20617243 192 768
Tubos Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf. Cedencia (Pa) Aluminio 6,90E+10 0,63 5,50E+07Extremos articulado-empotrado (carga intermedia)
Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) Inercia I (m^4) Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico L/r Eff Estruct TC-002 0,059 7,94 1,01 1,3E-10 2,2E-05 0,002 231 10519002 254 392
Tubos Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf. Cedencia (Pa) Aluminio 6,90E+10 0,9 5,50E+07Extremos articulados (carga mínima)
Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) Inercia I (m^4) Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico L/r Eff Estruct TC-002 0,059 7,94 1,01 1,3E-10 2,2E-05 0,002 113 5154311 363 192
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Tabla 4 Carga critica teórica para barra
Barras Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf. Cedencia (Pa) Aluminio 6,90E+10 0,45 5,50E+07Extremos empotrados (carga máxima)
Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) Inercia I (m^4) Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico (Pa) L/r Eff Estruct C-001 0,109 6,35 6,35 1,35492E-10 4E-05 0,002 456 11300354 245 418
Barras Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf. Cedencia (Pa) Aluminio 6,90E+10 0,63 5,50E+07Extremos articulado-empotrado (carga intermedia)
Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) Inercia I (m^4) Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico (Pa) L/r Eff Estruct C-001 0,109 6,35 6,35 1,4E-10 4E-05 0,002 232 5765487 344 213
Barras Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf. Cedencia (Pa) Aluminio 6,90E+10 1 5,50E+07Extremos articulados (carga mínima)
Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) Inercia I (m^4) Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico (Pa) L/r Eff Estruct C-001 0,109 6,35 6,35 1,4E-10 4E-05 0,002 92 2288322 546 85
26
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En las anteriores tablas se muestra la carga critica teórica de pandeo para
todos los perfiles a utilizar.
4.2. Configuración general del banco.
Luego de someter a consideración varias configuraciones se escogió una,
que por sencillez, haría más fácil su desarrollo en lo que respecta al diseño,
fabricación y costos.
El siguiente es el esquema general del banco:
Figura 10 Configuración general del banco de prueba
De una manera muy general se puede decir que esta configuración consta de
cuatro varillas guías de aproximadamente 1.3 metros con los extremos
roscados, las cuales están unidas, en la parte de abajo a una placa de acero
27
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(de aproximadamente 20 x 20 x 2.5 cm.) por medio de una unión roscada; y
en la parte de arriba, a una platina de acero de 1/8 in, tuercas de seguridad a
ambos lados de la platina. Entre estas dos placas, y guiada por las varillas
se encuentra una placa intermedia (móvil) de HDPE, la cual servirá de
superficie para las pesas calibradas y para simular la condición en uno de los
extremo de la columna.
Luego de haber definido lo anterior, se procedió al cálculo de resistencia de
los elementos.
4.3. Calculo de resistencia de los elementos.
El paso siguiente después de escoger la configuración general de la
estructura, es el de hacer los cálculos de resistencia de los elementos que la
conforman.
Al hacer los cálculos de los elementos, no se tuvo en cuenta ni carga cíclica,
ni efectos producidos por vibraciones, por la razón de no considerarse
pertinentes o por el hecho de no existir.
4.3.1 Varillas guías. En el momento que la columna de prueba falle, toda la carga estará
soportada por una varilla guía, la carga máxima a considerar tiene una
magnitud de 455.7 N.
Se consideró la siguiente opción para las varillas:
�� Acero SAE 1020 CR de 13 mm de diámetro.
28
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4.3.1.1. Calculo de falla por pandeo. Aplicando la ecuación de Euler a la varilla guía se encuentra una carga critica
máxima permitida de 2520.68 N.
2
2
lEIPcr
�
� Donde E = 200 GPa y l = 1 m.
Dado que la carga máxima que se aplicaría seria de 455.7 N, tendríamos un
factor de seguridad de F.S = 2520.68/455.7 = 5.53
4.3.1.2. Calculo para carga de impacto. Como la falla por pandeo de las columnas de prueba se presenta
súbitamente (en la mayoría de los casos), la columna guía que soportará
dicha carga al momento en que la probeta falle sentirá una carga de impacto,
y por eso es pertinente determinar el esfuerzo inducido. Encontrando un valor
de 193.3 MPa.
21
21 �
�
���
����
LWhEA
AW
AW
S Donde W = 455.7 N y h = 2.5 cm.11
Ahora, como se tiene un esfuerzo de cedencia para el material de Sy = 250
MPa, se puede calcular el F.S resultante de 250/193.3 = 1.3
4.3.1.3. Calculo para carga estática. Aunque el esfuerzo inducido por carga estática es considerablemente menor
al de impacto, los cálculos fueron hechos para mayor claridad.
El esfuerzo inducido estático tiene un valor de 3.6 MPa y su F.S = 250/3.6 =
70
11 Esta variable h se refiere a la altura de caída de la carga. El valor de h=2.5 cm. fue escogido bajo un criterio de seguridad y fue aplicado en todas las pruebas.
29
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4.3.1.4. Calculo de resistencia en el punto de empotramiento. Dado que las cuatro columnas guías están empotradas en una placa inferior
de acero es de interés conocer cual es la carga horizontal máxima permisible
que se puede aplicar a la estructura en el extremo superior de esta, sin que
halla cedencia en el punto de empotramiento.
Cada columna tiene una longitud de 1.3 m y un diámetro de 13 mm; con el fin
de calcular el esfuerzo máximo, se considera una columna equivalente de 1.3
m de largo y un diámetro de 52 mm.
Aproximando esto a una viga en cantiliver y cargada en su extremo libre, se
puede determinar que 2654.65 N es la carga máxima permisible.
LrIS
FI
FLrI
Mr y�����
y la deflexión máxima asociada es de 27 mm en el extremo superior (libre).
EIFL
DefMax 3
3
�
4.3.2 Placa superior. Esta pieza tiene como función mantener las cuatro varillas guías alineadas
con la placa inferior y restringir el movimiento individual de las varillas. Desde
este punto de vista, la platina no estaría sometida a cargas importantes y
significativas; y por consiguiente no ameritaría ningún cálculo.
Esta pieza es una platina cuadrada de acero SAE 1020 CR de 1/8´´ de
espesor y 200 mm de lado, con cuatro agujeros de 13 mm de diámetro,
requeridos para el posterior anclaje con las varillas guías.
30
IM-2003-I-25
4.3.3 Placa inferior. La función principal de la placa inferior es soportar las cuatro columnas guías
y a su ves aferrar la estructura a tierra. Por esta razón es la pieza mas
robusta, su material es acero SAE 1020 CR con un espesor de 1´´.
Para esta pieza si es necesario el cálculo de resistencia en el punto de unión
con las varillas, cuyo cálculo es análogo al realizado en la sección 4.3.1.4
dado que en este punto estas dos partes de la estructura (base y varillas) son
solidarias.
Otro calculo requerido es el de la resistencia de los filetes de las rosca de los
elementos de sujeción de la prensa que servirá para simular la condicione en
el extremo inferior de las probetas12.
4.3.4 Placa intermedia. Esta placa representa el punto de apoyo superior de las probetas y además
sobre ella se colocaran las pesas calibradas que determinarán la carga de
colapso de las probetas. Dada su función, se requiere que esta pieza se
mueva verticalmente entre las varillas guías, y además, a ella está sujeta en
su cara inferior, la otra prensa que servirá para simular las condición en el
extremo superior de las probetas.
La condición de extremo que ameritaría cálculos esta dada por la condición
de empotramiento de la probeta, ya que en el momento de la carga se
genera un momento-par producto del desalineamiento de la fuerza respecto 12 Este calculo adquiere mas sentido hacerlo en el momento que se este verificando la resistencia de la placa intermedia, dado que esta está hecha de HDPE y su resistencia es mucho menor que la del acero.
31
IM-2003-I-25
al eje de la columna. La configuración en la que se encuentra la condición
critica es la de columnas empotradas en ambos extremos, en la cual se
presenta que el momento-par Mo en el punto de empotramiento esta dado
por: (Mo)máx. = ymax P/2 y como (Mo)máx. se presenta en el momento en que la
carga critica se alcanza, (Mo)máx.=(2�2EI/L2)ymax13.
Ahora, como la deflexión lateral máxima esta relacionada con el
desplazamiento vertical del extremo superior de la columna, restaría poder
conocer esta relación para poder encontrar el valor de Mo máximo. Dada la
dificultad para conocer esta relación para la condición de extremos
empotrados, se cuantificó experimentalmente esta relación para una columna
de 1 metro de longitud con extremos articulados y los resultados fueron:
Como estos valores están basados en extremos libres,
y la condición que nos interesa es la de extremos
empotrados (donde los valores de las deflexiones son
considerablemente menores para un mismo valor de
desplazamiento vertical), podemos tomar el valor de 62
mm como una aproximación para poder acercarnos a la
deflexión presente en la condición de extremos
empotrados (de todas maneras, esta deflexión producirá un valor de Mo
mayor que el valor real que se presentaría, y como consecuencia, un
X [mm] Y [mm] 0 0 10 62 20 90 30 110 40 128 50 142 60 155 70 166 80 177 90 186 100 197
factor de seguridad implícito).
13 Para la deducción de esta ecuación ver: Strength of Materials, J. P. Den Hartog. First edition. McGraw-Hill.
32
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Utilizando los valores para la barra empotrada en ambos extremos (donde se
presenta la mayor carga critica de prueba, Pcr= 455.7 N) se encuentra que el
momento-par Mo máximo es 14.12 m*N.
Ahora, teniendo el momento-par, se espera que dada la distancia desde el
punto de aplicación del momento-par hasta la posición de los tornillos, se
genere una fuerza de tracción sobre los tornillos.
Esta fuerza esta dada por F = Mo/d donde d es la distancia desde el punto
de aplicación del momento-par hasta la posición de los tornillos. Siendo d =
75 mm se tiene que la fuerza F es 188.26 N y como son dos los tornillos que
resisten esta carga, el valor para cada tornillo es de 94 N.
Utilizando este valor como fuerza de tracción se puede calcular la resistencia
de los tornillos y en la rosca. Los tornillos escogidos fueron tornillos grado
SAE No. 1 de 3/16´´con una designación de tamaño 10, rosca UNC.
Dada el área tensil del tornillo At = 0.0175 in2 = 0.0000112903 m2 se genera
un esfuerzo de tensión de 8 325 731 Pa = 1207.54 psi.
Como la referencia de los tornillos son SAE grado No. 1, se tiene un esfuerzo
de prueba mínimo de 33 kpsi, así se genera un F.S = 33 000/1207.54 = 27.
Ahora se puede determinar el esfuerzo de corte medio en el filete del tornillo
y de la tuerca (placa de polietileno de alta densidad de 10 mm de espesor).
�� Para el tornillo se tiene un esfuerzo de 1 733 941 Pa = 251.5 psi.
�� Para la tuerca se tiene un esfuerzo de 1 256 527 Pa = 182.2 psi.
Como el HDPE tiene un esfuerzo de cedencia Syt = 25 MPa, su
33
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resistencia al cortante es Sys = Syt/2 = 12.5 MPa, así se presenta un
F.S = 12 500 000/1 256 527 = 10.
Una de las características principales que debe poseer esta placa es la de
tener el menor peso posible para así poder cumplir la cota inferior de la carga
mínima requerida en el proyecto. Por esto se decidió utilizar HDPE
(Polietileno de Alta Densidad) con propiedades como � = 950 kg/m3 y Sy = 25
MPa.
Como la función principal de esta placa es deslizar suavemente entre las
varillas, se construyeron bujes de bronce que se acoplaron con ajuste de
interferencia en la placa para que fueran solidarios con esta.
4.3.5 Prensas de cierre rápido. Estas prensas de cierre rápido fueron adquiridas con el fin de poder simular
las condiciones en los extremos de las probetas. En compañía de
aditamentos que tiene formas características, las prensas simulan la
condición de extremos articulados, ver siguientes figuras para mayor
claridad:
34
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Figura 11 Arreglo para extremos articulados (platinas)
Figura 12 Arreglo para extremos articulados (tubo y barra)
35
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Figura 13 Arreglo para extremos empotrados (platina, tubo y barra)
El proceso de fabricación de las prensas es una fundición de aluminio y se
caracterizan por su peso relativamente bajo.
4.3.6 Aditamentos. Los aditamentos necesarios para simular de una manera aproximada las
condiciones en los extremos son los siguientes:
36
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Figura 14 Aditamentos para extremos
En la anterior figura se muestran los aditamentos requeridos los cuales son:
�� 2 ángulos de acero de 1´´ y 30 mm de largo (se muestra solo 1), sirven
como superficie de apoyo para las probetas y simular condición de
extremos articulados en platinas.
�� 2 puntas de acero de 27 mm de largo, para simular condición de
extremos articulados en el tubo (en compañía de los 2 cilindros que
sirven como superficie de apoyo).
�� 3 platinas de aluminio de 1´´x1/8´´ y 45 mm de largo (sirve para
alineamiento de las probetas).
�� 2 platinas de acero de ¼´´x23.3 mm y 30 mm (sirve para alineamiento
de las probetas).
4.3.7 Bujes. Se construyeron bujes de bronce para mejorar el movimiento de la placa
intermedia que está en contacto con las varillas guías, las dimensiones
37
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dadas a los bujes proveen un deslizamiento suave además del bajo
coeficiente de fricción generado entre bronce y acero, el cual tiene un valor
aproximado de 0.18 cuando hay presencia de lubricantes.
Los bujes tienen dos funciones principales, 1) favorecer el deslizamiento,
dado su bajo coeficiente de fricción y 2) neutralizar la tendencia de la placa
intermedia a trabarse, dada la longitud de cada buje, la cual es de 30 mm.
Figura 15 Buje 4.3.8 Tuercas. Las tuercas que se utilizaron para el montaje, fueron tuercas de seguridad
(con inserto plástico) estandarizadas de ½´´ UNC.
38
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5. RESULTADOS
Comercialmente la perfileria de aluminio viene en longitud estándar de seis
metros, dada la disponibilidad se adquirió una 1unidad de cada referencia de
los perfiles a utilizar y se pidió todo el material cortado en tramos de 1 metro,
teniendo que evaluar tres configuraciones para los extremos (articulados,
empotrados y articulado-empotrado) se disponía de dos pruebas para cada
configuración.
Siendo esto así, se procede a declarar los resultados obtenidos.
Tabla 5 Extremos articulados
Referencia (Pcr)Teo [N] (Pcr)Exp1 [N] (Pcr)Exp2 [N] Error Exp[%] (Pcr)Exp Prom [N] Error [%]P-001 3,5 3,5 3,5 0,0 3,5 0,0 P-003 28,3 21 21,5 2,3 21,25 24,9 P-008 36,4 33,3 32,3 3,1 32,8 9,9 P-012 42,5 35 35 0,0 35 17,6 P-016 7,3 7 7,5 6,7 7,25 0,7 P-018 56,7 50,4 49,5 1,8 49,95 11,9
TC-002 113,3 83 90 7,8 86,5 23,7 C-001 92,3 97,9 97 0,9 97,45 -5,6
Tabla 6 Extremos articulado-empotrado
Referencia (Pcr)Teo [N] (Pcr)Exp1 [N] (Pcr)Exp2 [N] Error Exp[%] (Pcr)Exp Prom [N] Error [%]P-001 7,2 4,5 5 10,0 4,75 34,0 P-003 57,8 42,5 45,5 6,6 44 23,9 P-008 74,4 60 57,5 4,3 58,75 21,0 P-012 86,8 78 72 8,3 75 13,6 P-016 14,9 15 14,5 3,4 14,75 1,0 P-018 115,7 102,3 108 5,3 105,15 9,1
TC-002 231,3 180,6 177 2,0 178,8 22,7 C-001 232,5 208 206,5 0,7 207,25 10,9
39
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Tabla 7 Extremos empotrados
Referencia (Pcr)Teo [N] (Pcr)Exp1 [N] (Pcr)Exp2 [N] Error Exp[%] (Pcr)Exp Prom [N] Error [%]P-001 14 14,5 13,5 7,4 14 0,0 P-003 113,4 94,1 99,5 5,4 96,8 14,6 P-008 145,7 108 107 0,9 107,5 26,2 P-012 170,1 146 146 0,0 146 14,2 P-016 29,2 32 30,5 4,9 31,25 -7,0 P-018 226,8 163 160 1,9 161,5 28,8
TC-002 453,4 214,5 214,5 - - - C-001 455,7 214,5 214,5 - - -
40
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6. ANALISIS DE RESULTADOS
Para analizar los resultados obtenidos de las pruebas, es importante
determinar los valores máximos, mínimos y promedio de los errores, así:
Error relacionado entre valores experimentales:
�� Error máximo, (Error Exp)Máx. = 10.0%.
�� Error mínimo, (Error Exp)Min. = 0.0%.
�� Error promedio, (Error Exp)Prom. = 3.8%.
Estos valores hacen referencia al error de precisión (o aleatorio) presente en
el experimento. Se puede concluir, de los valores de error anteriores, que el
experimento tiene un nivel de precisión bastante bueno.
Error relacionado entre valor teórico y valor experimental promedio:
�� Error máximo, (Error)Máx. = 34%.
�� Error mínimo, (Error)Min. = 0.0%.
�� Error promedio, (Error)Prom. = 13.2%.
Estos valores hacen referencia al error de sesgo (o sistemático) y muestran
el nivel de exactitud del experimento. Al tener 34% como error máximo y un
error promedio 13%, se puede considerar como un experimento de baja
exactitud.
Estos valores también dan muestra de la diferencia entre la teoría y la
realidad.
41
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Errores relacionados entre valores experimentales promedio y valores
pivote:
Ahora, teniendo en cuenta que la carga critica de pandeo para extremos
articulados esta dada por 2
2
lEIPcr
�
� , para extremos articulado-empotrado es
el doble y para extremos empotrados, es cuatro veces mayor; teniendo
claridad sobre esto, se evidencia fácilmente que las 3 configuraciones están
relacionadas por una constante.
Como método de análisis, se escogió la carga crítica asociada al menor error
entre valores teóricos y experimentales para cada configuración de prueba; y
tomando esta carga como valor pivote (casillas de colores), se determinaron
los valores de la carga critica correspondiente a las dos condiciones de
extremos restantes (casillas sin color).
La relación de este ejercicio se muestra a continuación:
Tabla 8 Análisis extremos articulados
Referencia (Pcr)Exp Prom [N] Error [%] Val. Pivote [N] Error Prom-Pivote [%]P-001 3,5 0,3 3,5 0,0 P-003 21,25 24,9 24,2 12,2 P-008 32,8 9,9 32,8 0,0 P-012 35 17,6 37,5 6,7 P-016 7,25 0,7 7,25 0,0 P-018 49,95 11,9 52,6 5,0
TC-002 86,5 23,7 89,4 3,2 C-001 97,45 -5,6 97,45 0,0
42
IM-2003-I-25
Tabla 9 Análisis extremos articulado-empotrado
Referencia (Pcr)Exp Prom. [N] Error [%] Val. Pivote [N] Error Prom-Pivote [%]P-001 4,75 34,0 7 32,1 P-003 44 23,9 48,4 9,1 P-008 58,75 21,0 65,6 10,4 P-012 75 13,6 75 0,0 P-016 14,75 1,0 14,5 1,7 P-018 105,15 9,1 105,15 0,0
TC-002 178,8 22,7 178,8 0,0 C-001 207,25 10,9 194,9 6,3
Tabla 10 Análisis extremos empotrados
Referencia (Pcr)Exp Prom [N] Error [%] Val. Pivote [N] Error Prom-Pivote [%]P-001 14 0,3 14 0,0 P-003 96,8 14,6 96,8 0,0 P-008 107,5 26,2 131,2 18,1 P-012 146 14,2 150 2,7 P-016 31,25 -7,0 29 7,8 P-018 161,5 28,8 210,3 23,2
TC-002 214,5 - - - C-001 214,5 - - -
�� Error máximo, (Error)Máx. = 32.1%.
�� Error mínimo, (Error)Min. = 0.3%.
�� Error promedio, (Error)Prom. = 13.2%.
Estos valores se pueden interpretar como los errores inherentes al
comportamiento real de las columnas, dado que se está haciendo la
comparación directa entre las cargas de falla de las columnas y no contra la
carga teórica de Euler.
43
IM-2003-I-25
Algunos autores14 además del valor teórico del factor de longitud efectiva k,
proponen otros valores, como son el practico o de ingeniería, el conservador
y el recomendado.
Tabla 11 Factor de longitud efectiva k
Cond. Extremo KTeorico KPractico KConservador KRecomendado Articulados 1.0 1.0 1.0 1.0
Artic-Empotrado 0.7 0.8 1.0 1.2
Empotrados 0.5 0.65 1.0 1.2
Estos valores propuestos para el factor de longitud efectiva son importantes,
dado que estos, hacen que se pueda estimar de una manera mas
aproximada los puntos de falla para las columnas reales.
En la siguientes graficas se muestran las curvas teóricas (además de las
curvas modificadas por los valores de longitud efectiva, propuestos) y los
puntos experimentales de la prueba #1 y #2, para cada configuración de
extremos.
14 Ver referencias [5], [10] y [15].
44
IM-2003-I-25
EXTREMOS EMPOTRADOS
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
112 212 312 412 512 612 712 812 912 1012Rel. Esbeltez
Esf.
Crít
ico
(MPa
)
K teorico =0.5K practico =0.65K recom =1.2Prueba #1Prueba #2K conserv =1
Grafica 1 Extremos empotrados
45
IM-2003-I-25
EXTREMOS ART-EMPOTRADO
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
112 362 612 862 1112 1362
Rel. Esbeltez
Esf.
Crít
ico
(MPa
)
K teorico =0.7K practico =0.8K recom =1.2Prueba #1Prueba #2K conserv =1
Grafica 2 Extremos articulado-empotrado
46
IM-2003-I-25
E XTREMOS ARTICULADOS
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
112 362 612 862 1112 1362 1612 1862 2112Rel. Esbeltez
Esf.
Crít
ico
(MPa
)
K teorico =1Prueba #1Prueba #2
Grafica 3 Extremos articulados
47
IM-2003-I-25
Las graficas anteriores muestran claramente que el comportamiento de los
datos experimentales es bastante bueno con respecto a las curvas
correspondientes a los valores de factor de longitud efectiva, recomendados
y conservadores.
Además también se nota que el modelo se ajusta cada vez mejor, en la
medida que las columnas se hacen más esbeltas.
En la porción inicial de las graficas se hace evidente un distanciamiento
considerable entre los valores experimentales y las curvas, lo cual puede
generarse como consecuencia de los grandes aumentos en la carga de
prueba, que ocasionan condiciones de carga en la estructura, que pueden
inducir deflexiones y desaliniamientos importantes que afectan el buen
funcionamiento del prototipo.
De todas manera, se recomienda por seguridad, utilizar perfiles y longitudes
que no requieran cargar muy altas para generar la falla por pandeo, esta
recomendación es validad puesto que el fin primordial del banco es servir
como un instrumento académico, y esto se puede lograr con ciertas
condiciones optimas de seguridad.
48
IM-2003-I-25
7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
�� Como resultado de los valores obtenidos en la fase experimental, se
demuestra que el diseño y construcción del banco de pruebas culminó
de manera satisfactoria y significa un buen instrumento para
aproximarse a la determinación de la carga critica de pandeo de
columnas reales.
�� Las variaciones ente los cálculos teóricos y los valores reales son
validos, dados todas las imperfecciones inherentes a la realidad, como
son la imperfección del material de la columna, presencia de
excentricidad en la aplicación de la carga, la imposibilidad de
fabricación de una columna perfectamente recta y sin esfuerzos
remanentes producto del proceso de fabricación, además de posibles
desalineamientos de los puntos de apoyo de las columnas.
�� Al diseñar columnas no se debe tener en cuenta el factor de longitud
efectiva teórico KTeorico, si no, los valores conservadores y
recomendados, correspondiente a la condición de extremos a la cual
esté sometida la columna.
49
IM-2003-I-25
�� Como recomendación para el uso del prototipo en procura de la
seguridad del operario, es la utilización de columnas en las cuales el
requerimiento de carga de falla no sea muy alto, además de tener
siempre en cuenta la dirección el la cual podría fallar la columna, dado
el caso que esta saliera expulsada y causar alguna herida.
�� Existe un parámetro de selección importante al momento de diseñar
columnas conocido como eficiencia estructural, este relaciona la carga
máxima soportada por la columna y el peso de la columna. Este
parámetro es muy útil al momento de evaluar columnas en
condiciones de carga similares. En nuestro estudio se evidenció la
superioridad del tubo y la barra.
�� A continuación se anexa una hoja de trabajo en la cual se propone
una metodología ordenada para realizar las pruebas.
Enseguida se muestra una figura del banco de prueba en funcionamiento,
aquí se está cargando una platina con condiciones de empotramiento en
ambos extremos.
50
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Figura 16 Prototipo en operación
51
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ANEXO
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RESISTENCIA DE MATERIALES.
NOMBRE(s):______________________________________________
FECHA:_________________________
MONITOR:______________________________________
1) Determinar el material de la columna y sus propiedades físicas y mecánicas. Material. Modulo de Elasticidad E (GPa) Esfuerzo de Cedencia �y (MPa) 2) Dimensiones físicas de la columna. Prueba 1. Tipo de sección. Rectangular. Circular. Cuadrada. Dimensiones pertinentes (mm)
Ancho espesor
Dext. Dint.
Ancho
Longitud (m)15 Prueba 2. Tipo de sección. Rectangular. Circular. Cuadrada. Dimensiones pertinentes (mm)
Ancho espesor
Dext. Dint.
Ancho
Longitud L (m) 2) Determine las propiedades geométricas de los elementos de área. Prueba 1. Momento de Inercia (menor) I (mm4) Área de la sección A (mm2) Radio de Giro r (mm) Prueba 2. Momento de Inercia (menor) I (mm4) Área de la sección A (mm2) Radio de Giro r (mm)
15 La longitud L NO se refiere a la longitud real de la columna, si no a la longitud no soportada.
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3) Determinación de longitud efectiva de la columna.
Figura 1. Condiciones en los Extremos.
Prueba. Longitud Efectiva Le (m) Prueba 1. Prueba 2.
4) Determine la Relación de Esbeltez de la columna. Prueba. Prueba 1. Prueba 2. Rel. Esbeltez mínima (Le/r)min. = � �2E/�y Rel. Esbeltez Le/r 5) Determine la Carga Crítica teórica y el Esfuerzo Crítico teórico respectivo. Prueba. Prueba 1. Prueba 2. Carga crítica de Euler (N) Esfuerzo Crítico (MPa)
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BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
1. Mechanics of Materials, R.C. Hibbeler. Third edition. Prentice Hall.
2. Design of Machine Elements, V. M. Faires. Fourth edition. Macmillan
3. Computer Integrated Machine Design, C. E. Wilson. Prentice Hall.
4. Mecánica de Materiales, J. M. Gere – S. P. Timoshenko. Segunda
edición. Grupo Editorial Iberoamerica.
5. Mechanical Engineering Design, J. E. Shigley – C. R. Mischke. Sixth
edition. McGraw-Hill.
6. El Proyecto en Ingeniería Mecánica, J. E. Shigley. McGraw-Hill.
7. Diseño de Maquinas, A. S. Hall – A. R. Holowenco – H. G. Laughlin.
McGraw-Hill.
8. Elementary Mechanics of Deformable Bodies. Smith – Sidebottom.
9. Mecánica de Cuerpos Deformables. Byars – Snyder. Tercera edición.
10. http://www.efunda.com/formulae/solid_mechanics/columns/intro.cfm
11. Estructuras, o por que las cosas no se caen, J. E. Gordon.
12. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, W.
E. Boyce – R. C. DiPrima. Sixth edition. Wiley.
13. Strength of Materials, J. P. Den Hartog. First edition. McGraw-Hill.
14. http://physics.uwstout.edu/StatStr/Columns/cols61.htm#Columns%20&
%20Buckling:%20Part%20I
15. Machine Design, R. L. Norton. Second edition. Prentice Hall.
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56
PLANOS
Universidad de los AndesBogotá D.C, Colombia
Banco de Prueba Para DeterminarCarga Crítica de Pandeo
Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez
Uds. en mm.
Mayo, 2003 Escala. Plano
Nombre de la Pieza:
Tolerancia: 0.05 mmAcabado Superficial: Comercial
Material: No. Pieza Cantidad:
1
2
6
4
5
Número de elemento Título Cantidad
1 1
2 1
3* 4
4 12
5 4
6 1
3
Base
Placa intermedia
Placa superior
Varilla-Guia
Tuerca
Buje
Conjunto
----- --- 1
1 : 5 1/7
Universidad de los AndesBogotá D.C, Colombia
Banco de Prueba Para DeterminarCarga Crítica de Pandeo
Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez
Uds. en mm.
Mayo, 2003 Escala. Plano
Nombre de la Pieza:
Tolerancia: 0.05 mmAcabado Superficial: Comercial
Material: No. Pieza Cantidad:1
2
6
4
5
3
Número de elemento Título Cantidad
1 1
2 1
3 4
4 12
5 4
6 1
Base
Placa intermedia
Placa superior
Varilla-Guia
Tuerca
Buje
1 : 10
--------- ---
Explosion
2/7
Universidad de los AndesBogotá D.C, Colombia
Banco de Prueba Para DeterminarCarga Crítica de Pandeo
Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez
Uds. en mm.
Mayo, 2003 Escala. Plano
Nombre de la Pieza:
Tolerancia: 0.05 mmAcabado Superficial: Comercial
Material: No. Pieza Cantidad:
25
25
200
25
25
200
25
O 10,58 1/2-13 UNC
Base
11Acero SAE 1020
1 : 5 3/7
Universidad de los AndesBogotá D.C, Colombia
Banco de Prueba Para DeterminarCarga Crítica de Pandeo
Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez
Uds. en mm.
Mayo, 2003 Escala. Plano
Nombre de la Pieza:
Tolerancia: 0.05 mmAcabado Superficial: Comercial
Material: No. Pieza Cantidad:
25
25
200
25
25
200
O15
,210
2 1
Placa intermedia
HDPE
1 : 5 4/7
Universidad de los AndesBogotá D.C, Colombia
Banco de Prueba Para DeterminarCarga Crítica de Pandeo
Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez
Uds. en mm.
Mayo, 2003 Escala. Plano
Nombre de la Pieza:
Tolerancia: 0.05 mmAcabado Superficial: Comercial
Material: No. Pieza Cantidad:
20 10
O 13,1
O 15,2
O19
3 4Bronce
Buje
2 : 1 5/7
Universidad de los AndesBogotá D.C, Colombia
Banco de Prueba Para DeterminarCarga Crítica de Pandeo
Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez
Uds. en mm.
Mayo, 2003 Escala. Plano
Nombre de la Pieza:
Tolerancia: 0.05 mmAcabado Superficial: Comercial
Material: No. Pieza Cantidad:
1220 40
A
DETALLE A
12,7 13
40
B
DETALLE B
R 5,15
O 12,7 1/2-13 UNC
O13
5 4
Varillas-guias
Acero SAE 1020 CR
1 : 10 6/7
Universidad de los AndesBogotá D.C, Colombia
Banco de Prueba Para DeterminarCarga Crítica de Pandeo
Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez
Uds. en mm.
Mayo, 2003 Escala. Plano
Nombre de la Pieza:
Tolerancia: 0.05 mmAcabado Superficial: Comercial
Material: No. Pieza Cantidad:
25
25200
25
25
200
O12
,7
6 1
Placa superior
Acero SAE 1020
1 : 5 7/7
3,18