diskrete strukturen · 2010. 6. 8. · diskrete strukturen 30/328 >induktive beweise aussagen...

Diskrete Strukturen

Dietmar Lammers Vorlesung SoSe 2010wissen lebenWWU Münster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER

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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 15/328

> Logik

Die Nacht war kalt und sternenklar,Da trieb im Meer bei NorderneyEin Suahelischnurrbarthaar.Die nächste Schiffsuhr wies auf drei.Mir scheint da mancherlei nicht klar,Man fragt doch, wenn man Logik hat,Was sucht ein SuahelihaarDenn nachts um drei am Kattegatt?

(J. Ringelnatz)

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> Was ist Logik?

I Formale Logik ist die Sprache der Mathematik undInformatik

I Eindeutige Sprache eindeutige und nachvollziehbareSchlüsse

I Formale Sprache formale (maschinelle) Beweise.

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> Zweiwertige Prädikatenlogik

I Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch: tertium nondatur

I Aussagen setzen sich aus Teilaussagen zusammen.I Ein (n-stelliges) Prädikat ist eine Aussage mit n

Leerstellen:_1 ist-mächtiger-als _2 [ P(x , y) ]

I Quantoren binden Freistellen:∀x : P(x) bzw. ∃x : P(x)

I Junktoren verknüpfen Aussagen:x ∧ P(y)→ Q(y)

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> Wichtige Junktoren

I A ∧ B - A und B müssen geltenI A ∨ B - A oder B muss geltenI A→ B - Wenn A gilt,gilt auch BI A↔ B - A gilt genau dann, wenn auch B gilt

Man kann die Werte der Relationen über Wahrheitstafelngenau festlegen.

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> Syntax und Semantik

I Sprache hat Syntax und SemantikI Syntax ist die Theorie, Sematik das Modell. Die

Bedeutungsfunktion liefert erst den Zusammenhang.

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> Theorien

Drei wichtge Begriffe für Theorien:I Korrektheit (soundness): Ein System ist korrekt genau

dann, wenn keine formale Ableitung in der Theorie zueinem Widerspruch im Modell führt.

I Widerspruchsfreiheit oder Konsistenz (consistency ) istgegeben, wenn es keine Formel A gibt, für die sichsowohl A als auch ¬A ableiten lässt.

I Vollständigkeit (completeness) ist gegeben, wenn sichjede im Modell wahre Aussage auch formal herleitenlässt.

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> Definitionen

DefinitionEine Definition ist ein Vereinbarung über eine abkürzendeSchreibweise für eine Reihe von Eigenschaften. Ein Begriffist wohldefiniert, wenn das definierte Objekt existiert, und dieDefinition widerspruchsfrei ist.Wichtig ist auch die Überprüfbarkeit, d.h. das man beweisenkann, das ein Objekt tatsächlich diese Definition erfüllt, odereben nicht.

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> Induktive Definitionen

Interessant sind induktive Definitionen: Man gibt einzelne(initiale) Elemente an, und Konstruktionsregeln, wie man ausdiesen zu neuen Elementen kommt. Oft kommt dann nocheine Eindeutigkeitsregel dazu, z.B. "kleinste Menge mitdieser Eigenschaft", etc.

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> BSP Induktive Definition - Binärbaum

DefinitionEin Binärbaum über einer Menge M ist ein Ausdruck B, derfolgende Bedingungen erfüllt:

1. Für alle Elemente m aus M ist m ein Binärbaum.2. Wenn a und b Binärbäume sind, so ist auch (a.b) ein

Binärbaum.

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> BSP Ind. Def. N - nach Peano

DefinitionDie Menge der natürlichen Zahlen - N

1. 0 ∈ N2. ∀n ∈ N existiert genau ein Nachfolger n

′ ∈ N.3. ¬(∃n ∈ N : 0 = n

′)

4. ∀n ∈ N : (n = m′ ∧ n = k

′)→ m = k

5. Von allen Mengen X, welche die Zahl 0 und mit jedernatürlichen Zahl n auch deren Nachfolger enthalten, istN die kleinste.

(Quelle: wikipedia, 3/2009)

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> Was ist ein Satz / Theorem?

Wichtigere Erkenntnisse, die nicht unmittelbar klar sind,formuliert man in Sätzen bzw. Theoremen. Der Aufbau istdabei i.A. so, das aus Voraussetzungen (die ggf. auchimplizit sein können) auf Folgerungen daraus geschlossenwerden:A→ B bzw.A↔ B verkürzt für (A→ B) ∧ (B → A)

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> Was ist ein Beweis?

I Streng: Eine formale Herleitung einer Aussage aus denAxiomen in einem formalen System

I Mindestens: Eine semiformale Herleitung einerFolgerung aus (allen) Voraussetzungen, bei denen dieEinzelschritte gut nachvollziehbar sind und ggf. auchvollständig im formalen System formuliert werdenkönnten.

I Nicht: Eine schwammig begründeteMeinungsäusserung oder ein Votum.

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> Beweistechniken (1)

Sei der Satz A→ B zu beweisen. Das kann man aufmehrere Arten machen.

direkt: Man nimmt an, das A gilt, und leitet daraus mitgültigen (formalen) Schritten B ab.

indirekt: Man nimmt an,das B nicht gilt, und folgertdaraus, das dann auch A nicht gilt.

durch Widerspruch: Man nimmt an, das gilt A ∧ ¬B, undleitet daraus eine Widerspruch zu einer gültigenAussage ab.

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> Beispiel: Beweis durch Widerspruch (1)

TheoremEs gibt keine bijektive Abbildung zwischen einer Menge Mund ihrer Potenzmenge 2M .

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> Beispiel: Beweis durch Widerspruch (2)

Beweis.Angenommen f : M− > 2M wäre so eine BijektiveAbbildung, und sei C := {y ∈ M|y /∈ f (y)} Es ist sicherC ∈ 2M . Dann hat C unter f ein Urbild x := f−1(C) in M. xkann nun entweder in C liegen. oder nicht. Wir können alsozwei Fälle annehmen:

1. Wenn x ∈ C, dann ist x /∈ f (x) = C - Widerspruch!2. Ist anderernfalls x /∈ C, dann ist x ∈ f (x) = C -

Widerspruch!

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> Induktive BeweiseAussagen über induktiv definierte Strukturen kann man oftam besten auch induktiv beweisen. Der Beweis vonEigenschaften aller Elemente der Struktur geht dannfolgendermassen:

1. Ich weise die Eigenschaft für die kleine Menge derbenannten (initialen) Elemente nach - derInduktionsanfang (IA)

2. Ich weise für alle Konstruktionsregeln nach, das dieEigenschaft für das konstruierte Element gilt, wenn siebereits für die zur Konstruktion verwendeten Elementegalt. - der Induktionsschritt (IS)

Da alle Elemente so erzeugt werden, ist damit dieEigenschaft für alle Elemente der Struktur bewiesen.

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> Beispiel: Induktionsbeweis (1)

Theorem (Fundamentalsatz der Artithmetik)

Jede natürliche Zahl n > 1 lässt sich

(bisaufdieReihenfolge)eindeutig

als Produkt von Primzahlen darstellen.

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> Beispiel: Induktionsbeweis (2)

Beweis.IA: Für n = 2 ist die Behauptung offenbar richtig.IS: Sei die Aussage nun für alle Zahlen, die kleiner als nsind, korrekt. Für n haben wir zwei Möglichkeiten:

1. n ist eine Primzahl. Dann stimmt die Behauptung.2. n = mk für zwei Zahlen m und k , die kleiner als n sind.

Dann gilt die Induktionvoraussetzung für m und k , esgibt also Primzahlen pi mit m = pe1

1 pe22 ...p

ell und

k = qf11 qf2

2 ...qeoo , und damit eine Darstellung

n = pe11 pe2

2 ...pell qf1

1 qf22 ...q

eoo

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> Mengenalgebra

1) A = A Law of double complement2) A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B DeMorgan’s laws3) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A Commutative laws4) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C Associative laws

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C5) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Distributive laws

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

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> Mengenalgebra

6) A ∪ A = A, A ∩ A = A Idempotent laws7) A ∪ ∅ = A, A ∩ U = A Identity laws8) A ∪ A = U , A ∩ A = ∅ Inverse laws9) A ∪ U = U , A ∩ ∅ = ∅ Domination laws

10) A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A Absorption laws

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> Logik-Algebra

Man findet die gleiche Gesetze in der formalen Logik, wennman

1. ∩ durch ∧,2. ∪ durch ∨,3. durch ¬,4. ∅ durch f und5. das Universum U durch w ersetzt:

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> Logik-Algebra

1) ¬¬a = a Law of double complement2) ¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b, ¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b DeMorgan’s laws3) a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a Commutative laws4) a ∨ (b ∨ C) = (a ∨ b) ∨ C associative laws

a ∧ (b ∧ C) = (a ∧ b) ∧ C5) a ∨ (b ∧ C) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ C) Distributive laws

a ∧ (b ∨ C) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ C)

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> Logik-Algebra

6) a ∨ a = a, a ∧ a = a Idempotent laws7) a ∨ f = a, a ∧ w = a Identity laws8) a ∨ ¬a = w , a ∧ ¬a = f Inverse laws9) a ∨ w = w , a ∧ f = f Domination laws

10) a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a absorption laws

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> Logik/Mengen-Algebra - Beweise

(Einfache) Logische Aussagen kann man mit Wahrheitstafelnverifizieren, die alle möglichen Wertkombinationen erfassen.Genauso kann man die Aussagen über Mengen verifizieren,indem man den Wert der Zugehörigkeitsfunktion χMbetrachtet.

DefinitionFür jede Menge M sei die Zugehörigkeitsfunktion χMdefiniert durch

χM(x) :=

{1 falls x ∈ M0 falls x /∈ M

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> Anwendung der Algebra

Man kann mit den oben gelistetetn Regeln vieleZusammenhänge einfach direkt beweisen, etwa

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> Anwendung der Algebra

TheoremFür zwei Mengen A und B gilt

A− B = A ∪ B

Beweis.A− B = A ∩ B = A ∪ B = A ∪ B

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> Relationen

DefinitionSeien A und B, und für n ∈ N seien A1,A2, ...An Mengen

1. Eine Teilmenge R ⊆ A× B heißt (binäre) Relation von Aund B. Für zwei Elemente a ∈ A, b ∈ B schreibt manstatt (a,b) ∈ R meist kurz: aRbIst A = B, spricht man auch von einer Relation auf A.

2. Eine Teilmenge R ⊆ A1 × A2 × ...An heißt (n-Stellige)Relation über A1, ...,An.

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> Relationen - Beispiele

Für geordnete Zahlenmengen sind =, <, ≤, ... beliebteBeispiele von Relationen - so geläufig, das man sie meistgar nicht als Teilmengen sieht:3 < 4 wird meist nicht interpretiert als (3,4) ∈<,<⊆ (N× N)

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Für Wörter über einem Alphabet kann man z.B. die nützlicheRelation “ist Anfangswort von” definieren.Verwandschaftsbeziehungen bei Menschen sind Relationen- “ist Tante von”, “ist Elternteil von”, “ist Kind von”, ...

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Relationale Datenbanken bestehen im wesentlichen ausmehrstelligen Relationen, die den Zusammenhang derDaten herstellen. Sie sind in Tabellen geordnet, diewesentlichen Operationen sind:

project: Wähle Teilspalten einer Tabelleselect: Wähle aus einer Tabelle die Einträge, die angegebenen

Bedingungen genügen, undjoin: verknüpft Werte anhand von korrespondierenden

Werten

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> Relationen - Darstellung

Binäre Relationen auf kleinen Mengen kann auch als Matrixdarstellen:R ⊂ {o0, ...,om} × {p0, ...,pn}

R ∼= (rij)i=0,...,m j=0,...,n mit rij =

{1 falls (oi ,pj) ∈ R0 sonst

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> Eigenschaften von Relationen (1)

Definition (transitv, reflexiv, symmetrisch, ...)

Eine Relation R über M ×M heißt genau dann1. symmetrisch, wenn ∀a,b : aRb → bRa2. antisymmetrisch, wenn ∀a,b : (aRb ∧ bRa)→ a = b3. transitiv, wenn ∀a,b, c : (aRb ∧ bRc)→ aRc4. reflexiv, wenn ∀a ∈ M : aRa

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> Eigenschaften von Relationen (2)

Definition (transitv, reflexiv, symmetrisch, ...)

Eine Relation R über M ×M heißt genau dann1. Aequivalenzrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und

symmetrisch ist.2. partielle Ordnung oder Halbordnung, wenn sie reflexiv,

transitiv und antisymmetrisch

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> Hasse-Diagramme

Bei einer Halbordnung R spricht man bei aRb auch von a alsVorgänger von b, gibt es kein Zwischenelement z mit aRzund zRb auch von a als direktem Vorgänger von b.Halbordnungen kann man so in Hasse-Diagrammenaufzeichnen. Knoten sind dabei die Elemente der Menge,ein direkter Vorgänger wird unter seinen Nachfolgergeschrieben, und beide mit einer Kante verbunden.

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> Aequivalenzklassen

DefinitionFür eine Aequivalenzrelation A auf einer Menge M heisst fürjedes x ∈ M die Menge definiert durchEquiv(x ,A) := {y ∈ M|(x , y) ∈ A} die Aequivalenzklassevon x (bzg. A).

Für jede Aequivalenzrelation bilden die (diskunkten)Aequivalenzklassen eine Partition der Ausgangsmenge, d.h.die Vereinigung aller Aequivalenzklassen einerAequivalenzrelation ergibt die Gesamtmenge:

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> Aequivalenzklassen

TheoremAequivalenzklassen sind gleich oder haben einen leerenSchnitt

Beweis.Sei X := Equiv(x ,A) und Y := Equiv(y ,A) Wenn X ∩ Y =ist der Satz erfüllt.Es gebe also nun ein w ∈ X ∩ Y , und sei z ∈ X beliebig,Dann gilt xAz → zAx ∧ xAw → zAw , weiter yAw → wAy ,zusammen zAy , also z ∈ Y und damit X ⊂ Y .Analog folgert man Y ⊂ X , zusammen X = Y .

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> BSP Aequivalenzklassen

DefinitionSei für Z die Relation =5 definiert durch

a =5 b ↔ ∃k ∈ Z : b = k ∗ 5 + a

Beispiel

Es gilt Z = Equiv(0,=5) ∪ Equiv(1,=5) ∪ ... ∪ Equiv(4,=5)

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> Ref.-Trans. Hülle

DefinitionSei R ⊂ M ×M eine Relation. Dann ist die transitiv-reflexiveHülle R∗ von R definiert als die kleinste Menge mit folgendenEigenschaften:

1. ∀a ∈ M : (a,a) ∈ R∗

2. R ⊂ R∗

3. ∀a,b, c : ((a,b) ∈ R∗ ∧ (b, c) ∈ R∗)→ (a, c) ∈ R∗

Statt von trans.-ref. Hülle spricht man auch vontransitiv-reflexiver Fortsetzung.

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> Ref.-Trans. Hülle

I Für a,b ∈ R∗ gilt dann entweder a = b, oder∃n,a1, ...,an : a = a1,a1Ra2,a2Ra3, ...,an−1Ran = b

I Das kann man auch “mechanisch” interpretieren, z.B.bei der Interpretation von Programmen.

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> Abbildende Relationen

DefinitionEine Relation R über A× B heißt

I linkstotal, wenn gilt: ∀a ∈ A∃b ∈ B : aRbI rechtsstotal, wenn gilt: ∀b ∈ B∃a ∈ A : aRbI linkseindeutig, wenn gilt: ∀a,b, c : (aRb ∧ cRb)→ a = cI rechtseindeutig, wenn gilt:∀a,b, c : (aRb ∧ aRc)→ b = c

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> Funktionen

Definition

1. Eine rechtseindeutige Relation f ⊂ A× B heißt partielleFunktion oder Abbildung von A nach B.

2. Eine linkstotale partielle Funktion (also rechtseindeutigeRelation) f ⊂ A×B heißt (totale) Funktion von A nach B.

3. Statt (a,b) ∈ f ⊂ M × N schreibt man bei Funktionenüblicherweise f : M → N,b = f (a) oder a 7→ f (a) bzw.a 7→ b

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> Funktionen

Funktionen sind also linkstotale und rechtseindeutigeRelationen.

Definition

1. Eine rechtstotale Funktion heißt surjektive Funktion oderSurjektion

2. Eine linkseindeutige Funktion heißt injektive Funktionoder Injektion

3. Eine surjektive und injektive Funktion heißt bijektiveFunktion oder auch Bijektion.

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Diskrete Strukturen 57/328

> Funktionen

Definition

1. Zu f : N → M istf (N) := {m ∈ M|∃n ∈ N : m = f (n)} das Bild von Nunter f , undf−1(M) := {n ∈ N|f (n) ∈ M} das Urbild von M bzgl. f .

2. Zu f : N → M ist für alle m ∈ Mf−1(m) := {n ∈ N|f (n) = m} das Urbild von m unter f .

3. Bei injektiven Funktionen ist das Urbild eindeutig, manidentifiziert das eine Element dann mit der Menge undspricht bei f−1 von Umkehrfunktion.

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> Bijektive Funktionen

1. Mengen M,N mit einer bijektiven Abbildung f : M → Nsind in gewisser Weise gleich.

2. DefinitionZwei Mengen M,N sind gleich mächtig (haben gleicheKardinalität), in Zeichen |M| = |N|, wenn es eine Bijektionzwischen ihnen gibt.

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> Unendliche Mengen

I |N| =∞I |Q| =∞I |R| =∞I |Z| =∞ ...I Aber: |R| = |N| ?

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> Unendliche Mengen

Es gibt offenbar unterschiedliche Unendlichkeiten.Das folgt auch schon aus dem Satz, das es keine Bijektionzwischen einer Menge und ihrer Potenzmenge gibt.

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> Unendliche Mengen

Tatsächlich gilt:I |N| = |Z| = |{n2|n ∈ N}| = ... = ℵ0

- die abzählbar unendlichen Mengen. (Beweisen!)I Auch: |N| = |Q|

(Beweis: Cantos 1. Diagonalargument)I Aber |N| 6= |R| = ℵ

- die überabzählbar unendlichen Mengen(Beweis: Cantors 2. Diagonalargument)

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> Cantors Kontinuumshypothese

TheoremEs gibt keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen derMächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit derreellen Zahlen liegt.

Diese These ist das 1. Problem auf David Hilberts Liste der23 wichtigsten ungelösten Probleme.Inzwischen ist klar, das sie unter ZFC nicht beweisbar ist,d.h. sowohl die Annahme der Kontinuumshypothese wieauch deren Verneinung führen im üblichen Axiomensystemder Mathematik nicht zu Widersprüchen.

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> Unendliche Mengen

Wie real ist das Unendliche? (SdW 3/2009)

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http://www.spektrum.de/artikel/979755&_z=798888

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> Berechenbarkeit - Das Wortproblem

I Welche Probleme können überhaupt gelöst werden?I Modellierbar: Probleme sind (universelle) Maschinen,

Lösungen sind Eingaben dazu. Man redet dann stattvon korrekten Lösungen auch von (Wörtern der)Sprache, die die Maschinen akzeptieren.

I Lösungen L := {l |l löst das Problem P}.I Wenn man eine effiziente Maschine angeben kann, die

entscheiden kann, ob eine Lösung zu L gehört, ist dasProblem entscheidbar.

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