dispensa dinamica delle strutture
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Università degli Studi di Trieste
Facoltà di Ingegneria Civile
Appunti di
DINAMICA DELLE STRUTTURE
Prof. Sandra Rajgelj
A.A. 2008/2009
Adriano Rosin
INDICE Capitolo 1 : INTRODUZIONE
1. Analisi dinamica strutturale Capitolo 2 : SISTEMI DICRETI SDOF
1. Oscillatore semplice 2. Oscillatore semplice lineare 3. Oscillatore semplice non lineare 4. Equazioni del moto
4.1. Equazione del moto 4.1.1. Metodo dell’equilibrio diretto o dinamico 4.1.2. Principio dei lavori virtuali 4.1.3. Principio di Hamilton
4.2. Equazione del moto con carichi gravitazionali 4.3. Equazione del moto con movimento della base 4.4. Equazione di bilancio dell’energia
5. Oscillatore semplice generalizzato 5.1. Oscillatore semplice generalizzato di tipo A
5.1.1. Esempi 5.2. Oscillatore semplice generalizzato di tipo B
5.2.1. Esempi 6. Vibrazioni libere
6.1. Vibrazioni non smorzate 6.2. Vibrazioni smorzate
7. Vibrazioni forzate da forzante armonica 7.1. Vibrazioni non smorzate 7.2. Vibrazioni smorzate
7.2.1. Rapporto di smorzamento 8. Risposta ad un carico dinamico di breve durata
8.1. Carico di breve durata a gradino 8.1.1. Esempi
8.2. Carico di breve durata sinusoidale 8.3. Spettri di risposta
9. Risposta ad un carico dinamico periodico 9.1. Carico periodico in serie reale di Fourier 9.2. Carico periodico in serie complessa di Fourier 9.3. Metodo di analisi nel dominio delle frequenze
10. Risposta ad un carico dinamico generico 10.1. Integrale di Duhamel 10.2. Spettri di risposta con movimento della base
11. Isolamento delle vibrazioni 11.1. Trasmissibilità di forze 11.2. Trasmissibilità di spostamenti
11.2.1. Spostamenti assoluti 11.2.2. Spostamenti relativi 11.2.3. Esempi
12. Metodi numerici passo-passo 12.1. Equazione incrementale linearizzata del moto 12.2. Metodi numerici passo-passo
12.2.1. Metodo di Eulero-Gauss 12.2.2. Metodo di Newmark 12.2.3. Metodo di Newmark-Beta 12.2.4. Metodo delle differenze centrali
12.3. Errori computazionali Capitolo 3 : SISTEMI DISCRETI MDOF
1. Oscillatore multiplo 2. Oscillatore multiplo lineare 3. Oscillatore multiplo non lineare 4. Equazioni del moto 5. Matrici delle proprietà strutturali
5.1. Matrice di rigidezza 5.1.1. Telaio piano shear-type 5.1.2. Telaio piano generico
5.2. Matrice di massa 5.2.1. Matrice di massa coerente (consistent mass matrix) 5.2.2. Matrice di massa concentrata (lumped mass matrix)
5.3. Matrice di smorzamento 5.4. Carichi equivalenti nodali 5.5. Metodo della condensazione statica
5.5.1. Matrice di rigidezza condensata 5.5.2. Matrice di massa condensata 5.5.3. Matrice di smorzamento condensata
6. Vibrazioni libere 6.1. Vibrazioni non smorzate 6.2. Vibrazioni smorzate
7. Vibrazioni forzate 7.1. Vibrazioni non smorzate 7.2. Vibrazioni smorzate
7.2.1. Smorzamento viscoso classico 7.2.2. Smorzamento viscoso alla Rayleigh 7.2.3. Smorzamento viscoso alla Caughy-Kelly
7.3. Vibrazioni smorzate con movimento della base 7.3.1. Smorzamento viscoso classico
8. Metodi numerici passo-passo 8.1. Equazione incrementale linearizzata del moto 8.2. Metodi numerici passo-passo
8.2.1. Metodo di Wilson 8.3. Errori computazionali
9. Analisi modale con iterazioni matriciali 9.1. Metodo di Jacobi
9.2. Metodo di Stodola 9.3. Metodo di Rayleigh
Capitolo 4 : SISTEMI CONTINUI
1. Vibrazioni flessionali in travi uniformi 2. Vibrazioni libere
2.1. Modello di Eulero-Bernoulli 2.1.1. Trave in doppio appoggio 2.1.2. Trave incastrata
2.2. Modello di Timoshenko 2.2.1. Trave incastrata
3. Vibrazioni forzate 3.1. Modello di Eulero-Bernoulli
3.1.1. Trave in doppio appoggio 3.2. Modello di Timoshenko
Capitolo 1
INTRODUZIONE
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1 - ANALISI DINAMICA STRUTTURALE L’obiettivo della analisi dinamica strutturale è valutare la risposta strutturale in strutture soggette a carichi dinamici. Per risposta strutturale si intende una grandezza vettoriale funzione del tempo che identifica una struttura dal punto di vista dinamico (spostamento, caratteristica della sollecitazione, energia, …). Per carico dinamico si intende una grandezza vettoriale funzione del tempo che identifica una condizione di carico. In un problema dinamico le azioni esercitate su un sistema ed i loro effetti su tale sistema variano entrambi nel tempo. Per storia di carico si intende l’andamento nel tempo delle azioni esercitate su un sistema; per storia della risposta si intende l’andamento nel tempo degli effetti delle azioni esercitate su un sistema. L’analisi dinamica strutturale può essere condotta secondo due approcci:
1. approccio deterministico: la storia di carico è nota in senso deterministico; 2. approccio statistico: la storia di carico è nota in senso statistico.
Nella trattazione dell’analisi dinamica strutturale da noi seguita viene considerato solo l’approccio deterministico. Esistono le seguenti tipologie di carichi dinamici deterministici:
carichi periodici: − carico armonico semplice:
− carico generico:
carichi non periodici: − carico impulsivo di breve durata:
− carico impulsivo di lunga durata:
- 2 -
Risulta importante ricordare che all’interno della dinamica classica trova validità il principio di D’Alambert secondo il quale ogni problema di dinamica può essere visto come un problema di statica se alle forze esterne si aggiungono le forze di inerzia. L’analisi dinamica strutturale può essere effettuata con riferimento a due modelli:
a) modello continuo: → la struttura presenta un numero infinito di gradi di libertà dinamici; → si ricorre ad equazioni alle derivate parziali;
b) modello discreto: o approccio a masse concentrate:
→ le masse e le relative forze di inerzia vengono concentrate in punti discreti della struttura;
→ la struttura presenta un numero finito di gradi di libertà dinamici; o approccio a spostamenti generalizzati:
→ la deformata della struttura viene vista come combinazione lineare di forme o deformazioni assegnate:
( ) ( ) (xφtbt,xu n
N
1nn ⋅= ∑
=
) = coefficiente incognito della combinazione lineare
( )tbn
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= x
Lπnsinxφ = funzione di forma . n
Le funzioni di forma devono rispettare i vincoli della struttura.
→ il metodo agli elementi finiti costituisce un particolare tipo di approccio a spostamenti generalizzati nel quale la struttura viene suddivisa in un numero finito di elementi connessi fra loro in dei punti detti nodi ed il campo degli spostamenti dell’intera struttura viene espresso in funzione dei campi degli spostamenti dei singoli nodi.
- 3 -
Capitolo 2
SISTEMI DISCRETI SDOF
- 1 -
1 - OSCILLATORE SEMPLICE Nella realtà le strutture sono sistemi continui con masse distribuite e quindi esse presentano un numero infinito di gradi di libertà dinamici. Esistono però casi in cui le strutture possono essere modellizzate come sistemi discreti con un solo grado di libertà dinamico. Un sistema discreto con un solo grado di libertà dinamico viene definito oscillatore semplice o “single degree of freedom system” (SDOF system). Ad esempio una torre piezometrica con serbatoio in quota può essere modellizzata come un oscillatore semplice se si fanno le seguenti ipotesi semplificative:
la massa della colonna sia trascurabile rispetto alla massa del serbatoio; gli spostamenti verticali, le rotazioni attorno ad assi orizzontali e le rotazioni torsionali
attorno all’asse della colonna siano trascurabili rispetto agli spostamenti orizzontali; il serbatoio sia una massa puntiforme in grado di spostarsi solamente lungo una direzione
orizzontale.
- 2 -
2 - OSCILLATORE SEMPLICE LINEARE Un oscillatore semplice lineare è un oscillatore semplice composto dai seguenti elementi:
• una massa m indeformabile in grado di traslare in un una sola direzione; • una molla elastica lineare con rigidezza k (positiva) e di massa trascurabile; • uno smorzatore viscoso lineare con coefficiente di smorzamento c (positivo) e di massa
trascurabile. Le unità di misura adottate per i parametri m, k, c sono le seguenti:
[ ] kgm = [ ]mNk = [ ]
msNc ⋅
= .
Le forze da considerare nell’analisi dinamica di un oscillatore semplice lineare sono:
♦ la forza di inerzia FI(t) della massa m; ♦ la reazione FS(t) della molla elastica lineare; ♦ la reazione FD(t) dello smorzatore viscoso lineare; ♦ la forzante (o azione) F(t).
- 3 -
3 - OSCILLATORE SEMPLICE NON LINEARE Un oscillatore semplice non lineare è un oscillatore semplice composto dai seguenti elementi:
• una massa m indeformabile in grado di traslare in un una sola direzione; • una molla elastica non lineare o elastoplastica di massa trascurabile; • uno smorzatore viscoso lineare o non lineare di massa trascurabile.
- 4 -
4 - EQUAZIONI DEL MOTO Il problema dell’analisi dinamica di un oscillatore semplice lineare viene ricondotto a quello di un sistema con una grandezza di input e una grandezza di output. La grandezza di input è rappresentata dalla legge di variazione della forzante F(t); la grandezza di output è rappresentata dalla legge di variazione dello spostamento u(t) della massa m rispetto alla configurazione di equilibrio sotto i carichi statici e questa legge definisce la risposta del sistema in termini di spostamento. 4.1 - EQUAZIONE DEL MOTO
’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare assume la forma: L
( ) ( ) ( ) ( )tFtu ktuctum...
=++ . Tale equazione può essere scritta anche in forma contratta, considerando un operatore differenziale lineare del secondo ordine funzione dei parametri m, c, k:
kdtdc
dtdmL 2
2
++= → ( ) ( )tFtu L = .
La rappresentazione sistemistica dell’analisi dinamica di un oscillatore semplice lineare consente una formulazione sintetica dei seguenti tre problemi:
1) problema diretto: noti i parametri m, c, k e la forzante F(t) si determina la risposta u(t): con L-1 operatore inverso di L; ( ) ( )tFLtu 1−=
2) problema inverso: noti i parametri m, c, k e la risposta u(t) si determina la forzante F(t): ; ( ) ( )tLutF =
3) problema di identificazione strutturale: nota la forzante F(t) e la risposta u(t) si determinano i parametri m, c, k. L’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare può essere ricavata alternativamente con tre modalità operative:
1. metodo dell’equilibrio diretto o dinamico; 2. principio dei lavori virtuali; 3. principio di Hamilton.
4.1.1 - METODO DELL’EQULIBRIO DIRETTO O DINAMICO Il problema dinamico viene ricondotto ad un problema statico aggiungendo alle forze esterne anche la forza di inerzia (principio di D’Alambert) e si esegue l’equilibrio di tutte le forze agenti sulla massa m ad ogni istante.
Si ottiene: ( ) ( )tumtF..
I −= ( ) ( )tuctF.
D −= ( ) ( )tu ktFS −=
- 5 -
( ) ( ) ( ) ( ) 0tFtFtFtF SDI =+++
( ) ( ) ( ) ( ) 0tFtu ktuctum...
=+−−−
. ( ) ( ) ( ) ( )tFtu ktuctum...
=++ 4.1.2 - PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI Il problema dinamico viene ricondotto ad un problema statico aggiungendo alle forze esterne anche la forza di inerzia (principio di D’Alambert) e si impone che il lavoro virtuale di tutte le forze agenti sulla massa m sia nullo per ogni spostamento virtuale (spostamento infinitesimo compatibile con le condizioni di vincolo).
Si ottiene: ( ) ( )tumtF..
I −= ( ) ( )tuctF.
D −= ( ) ( )tu ktFS −= ( ) ( ) ( ) ( ) 0uδ tFuδ tFuδ tFuδ tF SDI =+++
( ) ( ) ( ) ( ) 0uδ tFuδ tkuuδ tucuδ tum...
=+−−−
( ) ( ) ( ) ( ) 0uδ tFtkutuctum...
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−− uδ ∀
. ( ) ( ) ( ) ( )tFtu ktuctum...
=++ 4.1.3 - PRINCIPIO DI HAMILTON Il problema dinamico viene ricondotto ad un problema statico aggiungendo alle forze esterne anche la forza di inerzia (principio di D’Alambert) e si ricerca il moto naturale della massa m. Il moto naturale di un corpo soggetto a forze esterne risulta essere quel moto compatibile con i vincoli che rende stazionario il funzionale Q* su un generico intervallo temporale. Il funzionale Q* viene definito come segue: nc
* WVTQ +−= T = energia cinetica V = energia potenziale Wnc = lavoro delle forze non conservative . Si ottiene: ∫ =2
1
t
t
* 0dtQδ
( )∫ =+−2
1
t
t nc 0dt WVTδ
( )∫ ∫ =+−2
1
2
1
t
t
t
t nc 0dtWδdt VTδ
( ) ( )( ) ( ) ( ) 0dt uδ tFtucdt tuk21tum
21δ 2
1
2
1
t
t
.t
t
22.
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∫∫
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −2
1
2
1
t
t
t
t
...0dt uδ tFtucdt uδ tu kuδ tum
( ) ( ) ( )( ) ( ) +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− ∫∫∫ dt uδ tucdt uδ tu kdt uδ tumuδ tum 2
1
2
1
2
1
2
1
t
t
.t
t
t
t
..t
t
.
- 6 -
( )( ) 0dt uδ tF2
1
t
t =+ ∫
( ) 0uδ tum2
1
t
t
.=
( ) ( ) ( ) ( ) 0dt uδ tFtuctu ktum2
1
t
t
...=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−−∫ 21 t,t ∀
( ) ( ) ( ) ( ) 0uδ tFtuctu ktum...
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−− uδ ∀
( ) ( ) ( ) ( ) 0tFtuctu ktum...
=+−−−
. ( ) ( ) ( ) ( )tFtu ktuctum...
=++ Applicando il principio di Hamilton ad un problema statico privo di forze non conservative si ottiene il principio di stazionarietà dell’energia potenziale totale:
problema statico → ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
0dtd
0T → ( ) 0dt WVδdtQδ 2
1
2
1
t
t nc
t
t
* =−= ∫∫ → ( ) 0WVδ nc =−
assenza forze non conservative → 0Wnc = problema statico + assenza forze non conservative ⇒ 0Vδ = . 4.2 - EQUAZIONE DEL MOTO CON CARICHI GRAVITAZIONALI L’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare può essere scritta prendendo come riferimento la configurazione di equilibrio sotto i carichi statici e considerando soli i carichi dinamici. In virtù del principio di sovrapposizione degli effetti, valido per i sistemi lineari, la risposta totale di un oscillatore semplice lineare la si ottiene sovrapponendo la risposta statica e quella dinamica. L’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare soggetto al carico statico gravitazionale W ed al carico dinamico generico p(t) assume la forma:
...( ) ( ) ( ) ( )tpWtu ktuctum
+=++ .
Lo spostamento totale dell’oscillatore può essere scomposto nella somma dello spostamento Δst dovuto al carico statico gravitazionale W e dello spostamento ū(t) dovuto al carico dinamico generico p(t):
- 7 -
( ) ( ) stΔtutu += . Con questa scomposizione dello spostamento totale dell’oscillatore l’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare soggetto al carico statico gravitazionale W e al carico dinamico generico p(t) assume la forma:
( ) ( ) ( )( ) ( )tpWΔtu ktuctum st
...
+=+++
( ) ( ) ( ) ( )tpWΔ ktu ktuctum st
...
+=+++ . Prendendo come riferimento la configurazione di equilibrio sotto il carico statico gravitazionale W considerando solo il carico dinamico generico p(t) tale equazione del moto diventa: e
( ) ( ) ( ) ( )tptu ktuctum...
=++ . 4.3 - EQUAZIONE DEL MOTO CON MOVIMENTO DELLA BASE Le tensioni e le deformazioni in una struttura possono essere indotte anche da movimenti del supporto su cui la struttura stessa risulta essere fondata. Questo accade solitamente negli edifici soggetti ad azioni sismiche. L’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare con movimento della base assume la forma: . ( ) ( ) ( ) 0tu ktuctum
.
t
..=++
Lo spostamento assoluto ut(t) dell’oscillatore può essere scomposto nella somma dello spostamento ssoluto ug(t) della base e dello spostamento relativo u(t) dell’oscillatore rispetto alla base: a
. ( ) ( ) ( )tututu gt +=Con questa scomposizione dello spostamento assoluto ut(t) dell’oscillatore l’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare con movimento della base risulta essere:
( ) ( ) ( ) ( ) 0tu ktuctutum.
g
....=++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
( ) ( ) ( ) ( )tumtu ktuctum g
.....−=++ .
- 8 -
4.4 - EQUAZIONE DI BILANCIO DELL’ENERGIA Se l’equazione del moto di un oscillatore semplice lineare viene moltiplicata per uno spostamento infinitesimo ed integrata nello spostamento si ottiene l’equazione di bilancio dell’energia di un oscillatore semplice lineare:
( ) ( ) ( ) ( )tFtu ktuctum...
=++
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ =++u
0
u
0
u
0
.u
0
..du tFdu tu kdu tucdu tum
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2.u
0
..t
0
...t
0
..u
0
..tum
21ud tumdt tutumdt
dtdu tum du tum
.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==== ∫∫∫∫
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ =++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ u
0
u
0
u
0
.2.du tFdu tu k du tuctum
21
( ) ( ) ( ) (tEtEtEtE ISDK =++ )
con ( ) ( )2.
K tum21tE ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
( ) ( )du tuc tEu
0
.
D ∫= ( ) ( )du tu k tE
u
0 S ∫= . ( ) ( )∫=
u
0 I du tF tE
- 9 -
5 - OSCILLATORE SEMPLICE GENERALIZZATO Un oscillatore semplice generalizzato è un oscillatore semplice che risulta essere composto da un insieme di corpi rigidi e/o deformabili assemblati fra loro. Un oscillatore semplice generalizzato viene detto di tipo A se risulta essere composto solo da corpi rigidi, mentre viene detto di tipo B se risulta essere composto solo da corpi deformabili. L’analisi dinamica di un oscillatore semplice generalizzato viene condotta facendo riferimento ad un oscillatore semplice equivalente strutturalmente semplificato. 5.1 - OSCILLATORE SEMPLICE GENERALIZZATO DI TIPO A Un oscillatore semplice generalizzato di tipo A presenta le seguenti particolarità:
o composto dall’assemblaggio di corpi rigidi; o deformazioni concentrate in elementi molla privi di massa; o unica forma di spostamento possibile.
5.1.1 - ESEMPI Esempio 1
Dato il seguente oscillatore semplice generalizzato lineare di tipo A si vuole determinare la sua equazione del moto. D ati:
massa specifica dell’asta rigida: ; aμmassa specifica del disco rigido: ; dμc oefficiente viscoso dello smorzatore viscoso lineare: ; crigidezza della molla elastica lineare: . k
S volgimento:
La massa e il momento di inerzia dell’asta rigida valgono: L4 μm aa =
( )12L4μI
3
aa = .
- 10 -
La massa e il momento di inerzia del disco rigido valgono: 2
dd Rπ μm =
( )4Rπ μI
3
dd = .
C ome unica variabile indipendente dell’oscillatore si assume: . ( )tθLe forze generalizzate di inerzia dell’asta rigida valgono: (verso il basso) ( ) ( )L tθmtR
..
aa I =
(antiorario) . ( ) ( )tθItM..
aa I =Le forze generalizzate di inerzia del disco rigido valgono: (verso l’alto) ( ) ( )L tθmtR
..
dd I =
(antiorario) . ( ) ( )tθItM..
dd I =L a forza esercitata dallo smorzatore viscoso lineare vale: (verso l’alto) ( ) ( )L tθtuD =
(verso l’alto) ( ) ( )L tθtu.
D
.=
(verso il basso) . → ( ) ( ) ( )L tθ ctuctF..
D ==L a forza esercitata dalla molla elastica lineare vale: (verso l’alto) ( ) ( ) L2 tθtuS = → ( ) ( ) ( ) L2 tθ ktu ktFS == (verso il basso) . La forzante e la sua distanza dall’appoggio valgono:
( ) ( )2
L tftF = (verso l’alto)
L67
3LL2d =+= .
A pplicando il principio dei lavori virtuali si ottiene l’equazione del moto: 0.V.L =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− δθ tθIL δθ Ltθmδθ tθIL δθ L tθm
..
d
..
d
..
a
..
a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0δθ L67
2L tfL2 δθ L2 tθ kL δθ Ltθ c
.=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎢⎣
⎡ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− tθIL L tθmtθIL L tθm
..
d
..
d
..
a
..
a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0δθ L67
2L tfL2 L2 tθ kL L tθ c
.=⎥
⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
( ) ( ) ( )⎢⎣⎡ +−−−−− 2
...
d2
..
d
..
a2
..
a L tθ c tθIL tθm θILθm
( ) ( ) ( ) 0δθ L tf127L4 tθ k 22 =⎥⎦
⎤+− δθ ∀
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0L tf127L4 tθ kL tθ c tθIL tθm tθIL tθm 222
...
d2
..
d
..
a2
..
a =+−−−−−−
- 11 -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22.
2..
d2
da2
a L tf127tθ L4 k tθL c tθIL mIL m =+++++
⇒ ( ) ( ) ( ) ( )tFtθ kt θc tθm **.
*..
* =++
con d2
da2
a* IL mIL mm +++=
2* L cc = 2* L4 kk =
( ) 2* L tf127F = .
Esempio 2
Dato il seguente oscillatore semplice generalizzato lineare di tipo A si vuole determinare la sua equazione del moto. D ati:
massa specifica dell’asta rigida: ; aμmassa specifica del disco rigido: ; d
oefficienti viscosi degli smorzatori viscosi lineari: ; μ
21 c ,cc rigidezze delle molle elastiche lineari: . 21 k ,k
S volgimento:
La massa e il momento di inerzia dell’asta rigida valgono: 4a μm aa =
( ) ( ) 2a
2
a
3
aa a34m
12a4m
12a4μI === .
La massa e il momento di inerzia del disco rigido valgono: 2
dd Rπ μm =
( )4Rπ μI
3
dd = .
C ome unica variabile indipendente dell’oscillatore si assume: . ( )tuE
Le forze generalizzate di inerzia dell’asta rigida valgono:
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= tu
21mtR E
..
aa I (verso il basso)
( ) ( )a4tutφ E
a = ( ) ( )a4tutφ E
..
a
..= (antiorario)
- 12 -
( ) ( ) ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛==
a4tu Itφ ItM E
..
aa
..
aa I (orario) .
Le forze generalizzate di inerzia del disco rigido valgono:
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= tu
32mtR E
..
dd I (verso il basso)
( ) ( )a3tutφ E
d = ( ) ( )a3tutφ E
..
d
..= (orario)
( ) ( ) ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛==
a3tu Itφ ItM E
..
dd
..
dd I (antiorario) .
Le forze esercitate dagli smorzatori viscosi lineari valgono:
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= tu
41ctF E
.
11D (verso il basso)
(verso il basso) . ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= tuctF E
.
22D
Le forze esercitate dalle molle elastiche lineari valgono:
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= tu
43 ktF E11S (verso il basso)
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= tu
31 ktF E22S (verso il basso) .
L a forzante vale:
( ) ( ) ( )2a tf2
4a tftF == (verso l’alto) . A pplicando il principio dei lavori virtuali si ottiene l’equazione del moto: 0.V.L =
( ) ( ) ( ) +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− EE
..
dEE
..
aEE
..
a uδ32 tu
32muδ
a41
a4tuIuδ
21 tu
21m
( ) ( ) ( ) ( )+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛− EE
.
2EE
.
1EE
..
d uδ tucuδ41 tu
41cuδ
a31
a3tuI
( ) ( ) ( )( ) 0uδ21 4a tfuδ
31 tu
31kuδ
43 tu
43k EEE2EE1 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
32 tu
32m
a41
a4tuI
21 tu
21m E
..
dE
..
aE
..
a
( ) ( ) ( ) ( ) +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
43 tu
43ktuc
41 tu
41c
a31
a3tuI E1E
.
2E
.
1E
..
d
( ) ( )[ ] ( ) 0uδ 21 4a tf
31 tu
31k EE2 =
⎭⎬⎫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− Euδ ∀
- 13 -
( ) ( ) ( ) +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
32 tu
32m
a41
a4tuI
21 tu
21m E
..
dE
..
aE
..
a
( ) ( ) ( ) +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛− tuc
41 tu
41c
a31
a3tuI E
.
2E
.
1E
..
d
( ) ( ) ( )[ ] 021 4a tf
31 tu
31k
43 tu
43k E2E1 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+−−−−+− tuctu161c
a9tuI tu
94m
a 16tuItu
41m E
.
2E
.
1E
..
dE
..
dE
..
aE
..
a
( ) ( ) ( ) 02a tf tu91ktu
169k E2E1 =+−−
( ) ( ) ( ) ( )2a tftu 9k
16k 9 tuc
16c tu
a9I
9m 4
a 16I
4m
E21
E
.
21
E
..dd
2aa =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
⇒ ( ) ( ) ( ) ( )tFtu ktuc tum *E
*E
.*
E
..* =++
con a9
I9m 4
a 16I
4mm dd
2aa* ++−=
21* c
16cc +=
9k
16k 9k 21* +=
. ( )2a tfF* = Esempio 3
Dato il seguente oscillatore semplice generalizzato lineare di tipo A si vuole determinare la sua equazione del moto. D ati:
massa specifica della lastra rigida: μ ; c oefficiente viscoso dello smorzatore viscoso lineare: ; crigidezza della molla elastica lineare: . k
S volgimento:
La massa e il momento di inerzia della lastra rigida valgono: bh μm =
- 14 -
( )12
hbbh μ12
hb12bh μI
3333 +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= .
C ome unica variabile indipendente dell’oscillatore si assume: . ( )tuIl baricentro della lastra subisce i seguenti spostamenti generalizzati:
( ) ( ) ( )2tu
2b
btutu v == (traslazione verso il basso)
( ) ( )2h
btutuh = (traslazione verso destra)
( ) ( )
btutφ = (rotazione in senso orario) .
Le forze generalizzate di inerzia della lastra rigida valgono:
( )2tumF
..
vI = (verso l’alto)
( )2h
btumF
..
h I = (verso sinistra) ( )
btuIMI = (antiorario) .
L a forza esercitata dalla molla elastica lineare vale:
( ) ( )hbtutuS =
→ ( ) ( ) ( )hbtu ktu ktF SS == .
La forzante e la sua distanza dal punto A valgono: ( )tF . bd =Con l’equilibrio alla rotazione intorno al punto A si ottiene l’equazione del moto: 0MA =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0b tFh tFtM2h tF
2b tF SIh I vI =+−−−−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0b tFh hbtuk
btuI
2h
2h
btum
2b
2tum
......
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
( ) ( ) ( )b tFtu bhktu
bI
b4hm
4bm
2..2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⇒ ( ) ( ) **..
* Ftuktum =+
con bI
b4hm
4bmm
2* ++=
bhkk
2* =
. ( )b tFF* =
- 15 -
Esempio 4
Siano dati i seguenti oscillatori semplici generalizzati lineari di tipo A: Per le molle elastiche lineari in parallelo si ha quanto segue: ( ) ( ) ( ) ( )tuktu kkktF *
321 =++=
con . 321* kkkk ++=
Per le molle elastiche lineari in serie si ha quanto segue:
( ) ( ) ( )tuktu kkk
k k ktF *
321
321 =++
=
con 321
321*
kkkk k kk++
= ;
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−
=−
=
323
212
11
kFuu
kFuu
kFu
.
5.2 - OSCILLATORE SEMPLICE GENERALIZZATO DI TIPO B Un oscillatore semplice generalizzato di tipo B presenta le seguenti particolarità:
o composto dall’assemblaggio di corpi deformabili; o deformazioni continue; o molteplici forme di spostamento possibili.
5.2.1 - ESEMPI
Esempio 1
Dato il seguente oscillatore semplice generalizzato lineare di tipo B si vuole determinare la sua equazione del moto.
- 16 -
D ati:
massa specifica: ; ( )xμμ =coefficiente viscoso: ; ( )xcc =momento di inerzia: ; ( )xII =modulo elastico normale o di Young: ; Ecarico esterno: ( )t,xqq = .
S volgimento:
Come unica variabile indipendente dell’oscillatore si assume: . ( )t,xuScomponendo tale variabile nel prodotto di una funzione dipendente solo dalla ascissa per una funzione dipendente solo dal tempo t si ottiene: x
( ) ( ) (tu xφt,xu = )
con ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= x
L2πcos1xφ
( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
===
00φ1Lφ00φ
I
( ) ( ) ( ) ( )tu xφ
tt,xut,xu
..=
∂∂
=
( ) ( ) ( ) ( )tu xφt
t,xut,xu..
2
2..=
∂∂
= .
Il coefficiente m* dell’equazione del moto relativo alla forza di inerzia che si genera in seguito ad una traslazione orizzontale della massa distribuita dell’oscillatore viene alcolato come segue: c
( ) ( )dx xμxdm =
( ) ( ) ( )t,xu xdmt,xF..
I =
( )[ ] ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= tu xφ dx xμ
..
( ) ( ) ( )tu xφdx xμ..
= ( ) ( ) (tuδ xφt,xuδ = )
( ) ( )[ ]∫=L
0 II V t,xuδ t,xFL
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
L
0
..tuδ xφ tu xφdx xμ
- 17 -
( ) ( ) ( ) ( )∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
L
0
..2 tuδ tu xφdx xμ
( ) ( ) ( ) ( )[ ]dx xφ xμ tuδ tu L
0
2..
∫=
( ) ( ) *..
m tuδ tu =
( ) ( )tuδ tum..
*=
⇒ ( ) ( )[ ]dx xφ xμ mL
0
2* ∫= . Il coefficiente m* dell’equazione del moto relativo alla forza di inerzia che si genera in seguito ad una traslazione orizzontale di eventuali masse concentrate dell’oscillatore iene calcolato come segue: v
( ) ( ) (tu xφt,xu iii = )
( ) ( ) ( ) ( )tu xφt
t,xut,xu i
.
ii
i
.=
∂∂
=
( ) ( ) ( ) ( )tu xφt
t,xut,xu i
..
i2i
2
i
..=
∂∂
=
( ) ( t,xu mt,xF i
..
ii I = )
)
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= tu xφ m i
..
ii
( ) ( )tu xφ m i
..
ii= ( ) ( ) (tuδ xφt,xuδ iii =
( ) ( )[ ]∑=
=n
1iii II V t,xuδ t,xFL
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑= ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
n
1iiii
..
ii tuδ xφ tu xφ m
( ) ( ) ( )∑=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
n
1iii
..2ii tuδ tu xφ m
( ) ( ) ( )[ ]∑=
=n
1i
2iiii
..xφ m tuδ tu
( ) ( ) *ii
..m tuδ tu =
( ) ( )tuδ tum ii
..*=
⇒ ( )[ ]∑=
=n
1i
2ii
* xφ m m . Il coefficiente m* dell’equazione del moto relativo alla forza di inerzia che si genera in seguito ad una rotazione nel piano di inflessione di eventuali masse concentrate ell’oscillatore viene calcolato come segue: d
( ) ( ) (tu xφt,xu iii = ) ( ) ( ) ( ) ( )tu xφ
tt,xut,xu i
.
ii
i
.=
∂∂
=
- 18 -
( ) ( ) ( ) ( )tu xφt
t,xut,xu i
..
i2i
2
i
..=
∂∂
=
( ) ( ) ( ) ( )tu xφx
t,xut,xγ iIi
ii =
∂∂
=
( ) ( ) ( ) ( )tu xφt
t,xγt,xγ i
.Ii
ii
.=
∂∂
=
( ) ( ) ( ) ( )tu xφt
t,xγt,xγ i
..Ii
ii
..=
∂∂
=
( ) ( ) ( t,xγ xIt,xM i
..
ii I = )
)
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= tu xφ I i
..Iii
( ) ( )tu xφ I i
..Iii=
( ) ( ) (tuδ xφt,xδγ i
Iii =
( ) ( )[ ]∑=
=n
1iii II V t,xδγ t,xML
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑= ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
n
1ii
Iii
..Iii tuδ xφ tu xφ I
( )( ) ( ) ( )∑=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
n
1iii
..2Iii tuδ tu xφ I
( ) ( ) ( )( )[ ]∑=
=n
1i
2Iiiii
..xφ I tuδ tu
( ) ( ) *ii
..m tuδ tu =
( ) ( )tuδ tum ii
..*=
⇒ ( )( )[ ]∑=
=n
1i
2Iii
* xφ I m . Il coefficiente m* dell’equazione del moto relativo alla forza di inerzia che si genera in seguito ad una traslazione orizzontale della massa distribuita e delle eventuali masse concentrate dell’oscillatore ed in seguito ad una rotazione nel piano di inflessione di ventuali masse concentrate dell’oscillatore viene calcolato come segue: e
⇒ ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )( )[ ]∑∑∫==
++=n
1i
2Iii
n
1i
2ii
L
0
2* xφ I xφ m dx xφ xμ m .
Il coefficiente c* dell’equazione del moto relativo alla forza di smorzamento viscoso che si genera a causa dello smorzamento viscoso lineare distribuito dell’oscillatore iene calcolato come segue: v
( ) ( )dx xcxdc =
( ) ( ) ( )t,xu xdct,xF.
D =
( )[ ] ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= tu xφ dx xc
.
( ) ( ) ( )tu xφdx xc.
=
- 19 -
( ) ( ) (tuδ xφt,xuδ = ) ( ) ( )[ ]∫=
L
0 DD V t,xuδ t,xFL
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
L
0
.tuδ xφ tu xφdx xc
( ) ( ) ( ) ( )∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
L
0
.2 tuδ tu xφdx xc
( ) ( ) ( ) ( )[ ]dx xφ xc tuδ tu L
0
2.
∫=
( ) ( ) *.
c tuδ tu =
( ) ( )tuδ tuc.
*=
⇒ ( ) ( )[ ]dx xφ xccL
0
2* ∫= . Il coefficiente k* dell’equazione del moto relativo alla forza elastica che si genera a ausa della elasticità lineare distribuita dell’oscillatore viene calcolato come segue: c
( ) ( ) ( ) ( )tu xφx
t,xut,xγ I=∂
∂=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tu xφx
t,xux
t,xγt,xχ II2
2
=∂
∂=
∂∂
= ( ) ( ) ( tx,χ xI Et,xM = ) ( ) ( )tx,u xI E II=
( ) ( ) ( )[ ]tu xφ xI E II= ( ) ( ) ( )tu xφ xI E II=
Oss.: ( ) ( ) ( ) ( )t,xγddx
2t,xγd
12
dx
2t,xγdsen
12
dxt,xR =≅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= → ( )( )dx
t,xγdt,xR
1≅
( ) ( )t,xχt,xR
1=
⇒ ( ) ( )dx
t,xγdt,xχ = → ( ) ( )dx t,xχt,xγd = ( )[ ] ( )[ ]dx t,xχ δt,xγdδ =
( ) ( )[ ] dxtu xφ δ II=
( ) ( )[ ]dx tu xφδ II= ( ) ( )dx tuδ xφII=
( ) ( )[ ] ∫=
L
0 S V t,xγdδ t,xML
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ∫=L
0
IIII dx tuδ xφ tu xφ xI E
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]∫=L
0
2II dx tuδ tu xφ xI E
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]dx xφ xI E tuδ tu L
0
2II∫=
- 20 -
( ) ( ) *k tuδ tu= ( ) ( )tuδ tu k*=
⇒ ( ) ( )( )[ ] dxxφ xI E kL
0
2II* ∫= . Il coefficiente k* dell’equazione del moto relativo alla forza elastica che si genera a ausa di eventuali molle elastiche lineari dell’oscillatore viene calcolato come segue: c
( ) ( ) (tu xφt,xu iii = )
( ) ( ) ( ) ( )tu xφt
t,xut,xu i
.
ii
i
.=
∂∂
=
( ) ( ) ( ) ( )tu xφt
t,xut,xu i
..
i2i
2
i
..=
∂∂
= ( ) ( )t,xu kt,xF iii S = ( ) ( )[ ]tu xφ k iii= ( ) ( )tu xφ k iii= ( ) ( ) (tuδ xφt,xuδ iii = )
( ) ( )[ ]∑=
=n
1iii SS V t,xuδ t,xFL
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ∑=
=n
1iiiiii tuδ xφ tu xφ k
( ) ( ) ( )[ ]∑=
=n
1iii
2ii tuδ tu xφ k
( ) ( ) ( )[ ]∑=
=n
1i
2iiii xφ k tuδ tu
( ) ( ) *ii k tuδ tu =
( ) ( )tuδ tuk ii*=
⇒ ( )[ ]∑=
=n
1i
2ii
* xφ kk . Il coefficiente k* dell’equazione del moto relativo alla forza di elastica che si genera a causa della elasticità lineare distribuita dell’oscillatore ed a causa di eventuali molle lastiche lineari dell’oscillatore viene calcolato come segue: e
⇒ ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑∫=
+=n
1i
2ii
L
0
2II* xφ kdxxφ xI E k . Il coefficiente F* dell’equazione del moto relativo alla forzante dell’oscillatore viene alcolato come segue: c
( ) ( )dx t,xqt,xQ =
( ) ( ) (tuδ xφt,xuδ = ) ( ) ( )[ ]∫=
L
0 F V tx,uδ t,xQL
( )[ ] ( ) ( )[ ]∫=L
0 tuδ xφ dx t,xq
- 21 -
( ) ( ) ( )[ ]∫=L
0 tuδ xφdx t,xq
( ) ( ) ( )[ ]∫=L
0 dx xφ t,xq tuδ
( ) *F tuδ = ( )tuδ F *=
⇒ ( ) ( )[ ]∫=L
0
* dx xφ t,xqF .
Esempio 2
Dato il seguente oscillatore semplice generalizzato lineare di tipo B si vuole determinare a sua equazione del moto in assenza di smorzamento viscoso. l
D ati:
massa specifica: ; ( )xμμ =momento di inerzia: ; ( )xII =modulo elastico normale o di Young: ; E
accelerazione suolo: . ( )tug
..
S volgimento:
Come unica variabile indipendente dell’oscillatore si assume: . ( )t,xuScomponendo tale variabile nel prodotto di una funzione dipendente solo dalla ascissa per una funzione dipendente solo dal tempo t si ottiene: x
( ) ( ) (tu xφt,xu = )
con ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= x
L2πcos1xφ
( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
===
00φ1Lφ00φ
I
( ) ( ) ( ) ( )tu xφ
tt,xut,xu
..=
∂∂
=
( ) ( ) ( ) ( )tu xφt
t,xut,xu..
2
2..=
∂∂
= .
- 22 -
Ricordando che lo spostamento assoluto ut(x,t) dell’oscillatore risulta essere dato dalla somma dello spostamento assoluto ug(t) della base e dello spostamento relativo u(x,t) dell’oscillatore rispetto alla base si ottiene: ( ) ( ) ( tx,ututx,u gt += ) ( ) ( ) ( )[ ]tu xφtug += . ( ) ( ) ( )tu xφtug +=Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene l’equazione del moto in assenza di morzamento viscoso: s
→ ( ) ( )dx xμxdm =
( ) ( ) ( tx,u xdmt,xF t
..
I = )
( )[ ] ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ += tu xφtu dx xμ
..
g
..
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ += tu xφtudx xμ
..
g
..
( ) ( ) (tuδ xφt,xuδ = )
→ ( ) ( ) ( ) ( )tu xφ
xt,xut,xγ I=
∂∂
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tu xφx
t,xux
t,xγt,xχ II2
2
=∂
∂=
∂∂
= ( ) ( ) ( tx,χ xI Et,xM = ) ( ) ( )tx,u xI E II=
( ) ( ) ( )[ ]tu xφ xI E II= ( ) ( ) ( )tu xφ xI E II= ( )[ ] ( )[ ]dx t,xχ δt,xγdδ =
( ) ( )[ ] dxtu xφ δ II=
( ) ( )[ ]dx tu xφδ II= ( ) ( )dx tuδ xφII=
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ∫∫ +=+
L
0
L
0 ISI V tx,γdδ tx,M tx,uδ tx,FL
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] +⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += ∫
L
0
..
g
..tuδ xφ tu xφtudx xμ
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ∫+L
0
IIII dx tuδ xφ tu xφ xI E
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] +⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= ∫∫
L
0
..L
0 g
..tuδ xφ tu xφdx xμ tuδ xφ tudx xμ
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ∫+L
0
IIII dx tuδ xφ tu xφ xI E
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= ∫∫
L
0
..L
0 g
..tuδ xφ tu xφdx xμtuδ xφ tudx xμ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫+L
0
IIII dx tuδ xφ tu xφ xI E
- 23 -
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ++= ∫∫L
0
2..L
0 g
..dx xφ xμ tuδ tudx xφ xμ tuδ tu
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]∫+L
0
2II dx xφ xI E tuδ tu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) **..
*g
..k tuδ tum tuδ tuL tuδ tu ++=
con ( ) ( )[ ]∫=L
0
* dx xφ xμL
( ) ( )[ ]∫=L
0
2* dx xφ xμ m
( ) ( )( )[ ]∫=L
0
2II* dx xφ xI Ek
0.V.L = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0k tuδ tum tuδ tuL tuδ tu **..
*g
..=++ ( )tuδ ∀
( ) ( ) ( ) 0k tum tuL tu **..
*g
..=++
( ) ( ) ( ) 0tuktumtuL *..
*g
..* =++
( ) ( ) ( )tuL tuk tum g
..**
..* −=+
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]∫
∫=≡ L
0
2
L
0 *
**
dx xφ xμ
dx xφ xμ
mLg = coefficiente di partecipazione
→ ( ) costxμ =( )( )∫
∫=≡ L
0
2
L
0 *
**
dx xφ
dx xφ
mLg
⇒ ( ) ( ) ( )tumg tuk tum g
..***
..* −=+ .
- 24 -
6 - VIBRAZIONI LIBERE Un oscillatore semplice lineare si trova in regime di vibrazioni libere quando si muove in assenza di alcuna forzante F(t). 6.1 - VIBRAZIONI NON SMORZATE In assenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare in egime di vibrazioni libere assume la forma: r
( ) ( ) 0tu ktum..
=+ .
Si definiscono le seguenti grandezze:
frequenza circolare naturale o pulsazione naturale:
[ ]sradmkω ≡ ;
frequenza ciclica naturale:
[ ]1s mk
π21
π2ωf −=≡ ;
periodo naturale:
[ ]skmπ2
ωπ2
f1T ==≡ .
In assenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore semplice lineare in regime di ibrazioni libere risulta essere: v
( ) ( ) ( tωcosutωsenωvtu 0
0 += ) .
Infatti: ( ) ( ) 0tu ktum..
=+
( ) ( ) 0tu ωtu 2..
=+ Eq. caratteristica : λ + 0ω22 = 22 ωλ −= ωi λ 2,1 ±=
- 25 -
( ) tωi2
tωi1 eCeCtu −+=
Formule di Eulero: ( ) ( )tωsen itωcose tωi += ( ) ( )tωsen itωcose tωi −=− ( ) ( ) ( )tωcos Btωsen Atu +=
Condizioni iniziali: ( ) 0u0u =
( ) 0
.v0u =
00 uBeωvA ==
⇒ ( ) ( ) ( tωcosutωsenωvtu 0
0 += ) . T ale soluzione può essere scritta alternativamente come segue:
( ) ( )θtωcosρtu −=
con ( )20
20 uωv
ρ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ωuv
arctgθ0
0 .
Infatti : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )βtωcos Cαtωsen Ctωcosutωsenωvtu 0
0 −=+=+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )αsen tωcos Cαcos tωsen Cαtωsen C +=+
( ) ( ) 00 uBαsen CeωvAαcos C ====
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=+=
0
020
2022
vωuarctg
ABarctgαeu
ωvBAC
( ) ( ) ( ) ( ) ( )βsen tωsen Cβcos tωcos Cβtωcos C +=−
( ) ( ) 00 uBβcos CeωvAβsen C ====
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=+=
ωuv
arctgBAarctgβeu
ωv
BAC0
020
2022
⇒ ( ) ( )θtωcosρtu −=
con ( )20
20 uωvCρ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
ωuvarctgβθ0
0 .
In conclusione in assenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore semplice lineare in regime di vibrazioni libere risulta essere un moto armonico semplice.
- 26 -
6.2 - VIBRAZIONI SMORZATE In presenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare in egime di vibrazioni libere assume la forma: r
( ) ( ) ( ) 0tu ktuctum...
=++ . Si definisce rapporto di smorzamento la seguente grandezza:
[ ]ωm2
cξ ≡ .
A seconda del valore assunto dal rapporto di smorzamento ξ l’oscillatore semplice lineare può essere definito in modi diversi:
• 1ξ = : oscillatore con smorzamento critico; • 1ξ > : oscillatore sovrasmorzato (“overdamped”); • 1ξ < : oscillatore sottosmorzato (“underdamped”).
In presenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore semplice lineare in regime di ibrazioni libere risulta essere: v
Se 1ξ = : ( ) ( )( ) tω00 e tvtω1utu −+−=
Se 1ξ > : ( ) ( ) ( ) tξω'0
''00 e tωcoshutωsenh
ωξωuvtu −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
Se : 1ξ < ( ) ( ) ( ) tξωD0D
D
00 e tωcosutωsen ω
ξωuvtu −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
- 27 -
oppure ( ) ( ) tξω
D e θtωcosρtu −−=
con ( )20
2
D
00 uω
ξωuvρ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
0D
00
uωξωuvarctgθ .
Infatti: ( ) ( ) ( ) 0tu ktuctum...
=++
( ) ( ) ( ) 0tu ωtuξω2tu 2...
=++ Eq. caratteristica: 0ωξωλ2λ 22 =++
( ) 1ξωξωωξωξωλ 2222,1 −±−=−±−=
Se 1ξ = : ωξωλ 2,1 −=−= (radici reali coincidenti)
( ) ( ) tωe t BAtu −+= Condizioni iniziali: ( ) 0u0u =
( ) 0
.v0u =
( ) 00 vBetω1uA =−= ⇒ ( ) ( )( ) tω
00 e tvtω1utu −+−= Se 1ξ > : 1ξωξωλ 2
2,1 −±−= (radici reali distinte)
1ξωω 2' −= '
2,1 ωξωλ ±−=
( ) ( ) ( )t ωξω2
t ωξω1
''
eCeCtu −−+− +=
( ) tξωtω2
tω1 e eCeC
'' −−+= ( ) ( )( ) tξω'' e tωcosh Btωsenh A −+= Condizioni iniziali: ( ) 0u0u =
( ) 0
.v0u =
0'00 uBe
ωξωuvA =
+=
⇒ ( ) ( ) ( ) tξω'0
''
00 e tωcoshutωsenh ω
uξωvtu −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= Se 1ξ < : 2
2,1 ξ1ωiξωλ −±−= (radici complesse coniugate)
2D ξ1ωω −=
D2,1 ωiξωλ ±−=
( ) ( ) ( ) t ωiξω2
t ωiξω1
DD eCeCtu −−+− += ( ) tξωtω i
2tω i
1 e eCeC DD −−+= ( ) ( )( ) tξω
DD e tωcos Btωsen A −+= Condizioni iniziali: ( ) 0u0u =
( ) 0
.v0u =
- 28 -
0D
00 uBeω
ξωuvA =
+=
⇒ ( ) ( ) ( ) tξωD0D
D
00 e tωcosutωsen ω
ξωuvtu −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
( ) ( ) tξωD e θtωcosρtu −−=
con ( )20
2
D
0022 uω
ξωuvBAρ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
0D
00
uωξωuvarctg
BAarctgθ .
In conclusione in presenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore semplice lineare in regime di vibrazioni libere risulta essere un moto dipendente dal rapporto di smorzamento ξ:
• se 1ξ = : → oscillatore semplice lineare con smorzamento critico; → la risposta non è oscillatoria e ha un andamento del seguente tipo:
→ in un sistema con smorzamento critico si ha il livello più basso di smorzamento della risposta senza che si verifichino oscillazioni.
• se 1ξ > : → oscillatore semplice lineare sovrasmorzato (“overdamped”); → la risposta non è oscillatoria e ha un andamento del seguente tipo:
→ con l’aumentare del rapporto di smorzamento ξ il ritorno alla posizione di equilibrio diventa sempre più lento.
• se 1ξ < : → oscillatore semplice lineare sottosmorzato (“underdamped”); → la risposta è oscillatoria e ha un andamento del seguente tipo:
- 29 -
1ωωξ
2D2 <⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
→ la risposta è caratterizzata da infiniti punti di massimo e minimo relativi alternati fra loro. Tra due punti di massimo o minimo relativi si ha un intervallo temporale pari a:
D
D ωπ2T = ;
→ prendendo in considerazione due punti di massimo o minimo relativi consecutivi si osserva che l’ampiezza delle oscillazioni decresce con legge logaritmica.
( )D
D
TξωTtξω
tξω
1i
i eGe
Geuu
== +−
−
+
( )DTξω
1i
i elnuuln =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
D1i
i Tξωuuln =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
⇒D1i
i
ωπ2ξω
uuln =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
nelle strutture: ωωD ≅ →2
1i
i
ξ1πξ2
uuln
−≅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
1ξ ≅ → πξ2uuln
1i
i ≅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
.
- 30 -
7 - VIBRAZIONI FORZATE DA FORZANTE ARMONICA Un oscillatore semplice lineare si trova in regime di vibrazioni forzate quando si muove in presenza di una forzante F(t). In particolare si parla di vibrazioni forzate da forzante armonica quando la forzante F(t) varia secondo una legge sinusoidale. Si osservi che nell’ambito dei sistemi lineari vale la sovrapposizione degli effetti e l’effetto di una qualsiasi forzante F(t) può essere scomposto in modo approssimato nella somma degli effetti dei termini armonici dello sviluppo in serie di Fourier della forzante stessa. 7.1 - VIBRAZIONI NON SMORZATE In assenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare in egime di vibrazioni forzate da forzante armonica assume la forma: r
( ) ( ) ( )tωsenptu ktum 0
..=+ .
Si definisce rapporto di frequenza la seguente grandezza:
[ ]ωωβ ≡ .
In assenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore semplice lineare in regime di ibrazioni forzate da forzante armonica risulta essere: v
( ) ( ) ( )( )tωsenβtωsenβ1
1kptu 2
0 −−
=
dove kpu 0
st = = spostamento prodotto dall’applicazione del carico p0 in condizioni statiche;
2β11D−
= = coefficiente di amplificazione dinamica;
( )tωsen termine legato alla forzante; → → termine legato alle vibrazioni libere. ( )tωsen
Infatti: Soluzione generale dell’equazione omogenea associata: ( ) ( ) 0tu ktum
..=+
( ) ( ) 0tu ωtu 2..
=+
Eq. caratteristica : 0ωλ 22 =+ 22 ωλ −= ωi λ 2,1 ±= ( ) tωi
2tωi
1o eCeCtu −+=
Formule di Eulero: ( ) ( )tωsen itωcose tωi +=
- 31 -
( ) ( )tωsen itωcose tωi −=− ( ) ( ) ( )tωcos Btωsen Atuo += La soluzione rappresenta la parte transitoria della risposta. ( )tuo
Soluzione particolare dell’equazione completa: ( ) ( )tωsenCtu 3p = (forma legata alla tipologia del carico dinamico)
( ) ( )tωcosC ωtu 3p
.=
( ) ( ) ( )tuωtωsenC ωtu p2
32
p
..−=−=
Sostituzione: ( ) ( ) ( )tωsenptu ktum 0pp
..=+
( ) ( ) ( )tωsenmptuωtu 0
p2
p
..=+
( ) ( ) ( )tωsenmptu ωtuω 0
p2
p2 =+−
( ) ( ) ( )tωsenmptu ωω 0
p22 =−
( ) ( ) ( )tωsenmptωsenC ωω 0
322 =−
( )mpC ωω 0
322 =−
mp
ωω1ωC 0
22
3 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
( ) 20
20
220
3 β11
kp
β11
km
mp
ωω1
1ω1
mp
C−
=−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
( ) ( )tωsenβ1
1kp
tu 20
p −=
La soluzione rappresenta la parte stazionaria della risposta. ( )tup
Soluzione generale dell’equazione completa: ( ) ( ) (tututu po += )
( ) ( ) ( ) ( )tωsenβ1
1kptcosBtAsentu 2
0
−++=
Condizioni iniziali: ( ) 0u0u =
( ) 0
.v0u =
0Beβ1β
kpA 2
0 =−
−=
⇒ ( ) ( ) ( )( )tωsenβtωsenβ1
1kptu 2
0 −−
= .
- 32 -
Se β = 1 la risposta e la forzante si trovano in condizione di risonanza e in condizione di risonanza l’ampiezza della risposta tende a crescere indefinitamente. In conclusione in assenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore semplice lineare in regime di vibrazioni forzate da forzante armonica risulta essere un moto armonico dipendente dal rapporto di frequenza β . 7.2 - VIBRAZIONI SMORZATE In presenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare in egime di vibrazioni forzate da forzante armonica assume la forma: r
( ) ( ) ( ) ( tωsenptu ktuctum 0
...=++ ) .
In presenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore semplice lineare in regime di ibrazioni forzate da forzante armonica risulta essere: v
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
−+= tωcos
ξβ2β1ξβ2
kptωsen
ξβ2β1β1
kptutu
2220
222
20
o
oppure ( ) ( ) ( )θtωsen ρtutu o ++= con
( ) ( )222
0
ξβ2β1
1kpρ
+−=
- 33 -
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
= 2β1ξβ2arctgθ
dove kpu 0
st = = spostamento prodotto dall’applicazione del carico in condizioni statiche; op
( ) ( )222 ξβ2β1
1D+−
= = coefficiente di amplificazione dinamica.
Infatti: Soluzione generale dell’equazione omogenea associata: ( ) ( ) ( ) 0tu ktuctum
...=++
( ) ( ) ( ) 0tuωtuξω2tu 2...
=++
Eq. caratteristica: 0ωξωλ2λ 22 =++
( ) 1ξωξωωξωξωλ 2222,1 −±−=−±−=
Se : 1ξ = ωξωλ 2,1 −=−= (radici reali coincidenti) ( ) ( ) tω
o e t BAtu −+= Se : 1ξ > 1ξωξωλ 2
2,1 −±−= (radici reali distinte)
1ξωω 2' −= '
2,1 ωξωλ ±−=
( ) ( ) ( )t ωξω2
t ωξω1o
''
eCeCtu −−+− +=
( ) tξωtω2
tω1 e eCeC
'' −−+= ( ) ( )( ) tξω'' e tωcosh Btωsenh A −+=
Se : 1ξ < 2
2,1 ξ1ωiξωλ −±−= (radici complesse coniugate)
2D ξ1ωω −=
D2,1 ωiξωλ ±−= ( ) ( ) ( ) t ωiξω
2t ωiξω
1oDD eCeCtu −−+− +=
( ) tξωtω2
tω1 e eCeC DD −−+=
( ) ( )( ) tξωDD e tωcos Btωsen A −+=
( ) ( ) tξωDo e θtωcos ρtu −−=
con 22 BAρ +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
BAarctgθ
La soluzione rappresenta la parte transitoria della risposta. ( )tuo
Soluzione particolare dell’equazione completa: ( ) ( ) ( )tωcosCtωsenCtu 43p += (forma legata alla tipologia del carico dinamico)
( ) ( ) ( )tωsenC ωtωcosC ωtu 43p
.−=
( ) ( ) ( ) ( )tuωtωcosC ωtωsenC ωtu p2
42
32
p
..−=−−=
Sostituzione: ( ) ( ) ( ) ( )tωsenptu ktuctum 0pp
.
p
..=++
- 34 -
( ) ( ) ( ) ( )tωsenmptu ωtuξω2tu 0
p2
p
.
p
..=++
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tωsenmptu ωtωsenCtωcosC ωξω2tu ω 0
p2
43p2 =+−+−
( ) ( ) ( )( )++− tωcosCtωsen C ωω 4322
( ) ( )( ) ( )tωsenmptωsen CtωcosC ωξω2 0
43 =−+
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+
=−−
0C ωωC ωξω2mpC ωξω2C ωω
422
3
043
22
( ) ( ) ( ) ( )222
04222
20
3ξβ2β1
ξβ2kp
Ceξβ2β1
β1kp
C+−
−=+−
−=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )tωcos ξβ2β1
ξβ2kptωsen
ξβ2β1β1
kptu
2220
222
20
p ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
−=
( ) ( )θtωsen ρtup +=
con ( ) ( )222
024
23
ξβ2β11
kp
CCρ+−
=+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
3
4
β1ξβ2arctg
CCarctgθ
La soluzione rappresenta la parte stazionaria della risposta. ( )tup
Soluzione generale dell’equazione completa: ( ) ( ) (tututu po += )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
−+= tωcos
ξβ2β1ξβ2
kptωsen
ξβ2β1β1
kptutu
2220
222
20
o
( ) ( ) ( )θtωsen ρtutu o ++=
con ( ) ( )222
0
ξβ2β11
kp
ρ+−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
= 2β1ξβ2arctgθ
Condizioni iniziali: ( ) 0u0u =
( ) 0
.v0u =
Se : 1ξ = ...Be...A == ⇒ ( ) ...tu = Se : 1ξ > ...Be...A ==
⇒ ( ) ...tu =
Se : 1ξ < ...Be...A == ⇒ ( ) ...tu =
- 35 -
A regime la risposta dell’oscillatore semplice lineare coincide con la sua parte stazionaria, perché la ua parte transitoria ha raggiunto l’esaurimento: s
( ) ( ) ( )θtωsen ρtutu p +==
con ( ) ( )222
0
ξβ2β11
kp
ρ+−
=
( )ξ,βθβ1ξβ2arctgθ 2 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
= .
Ne consegue che a regime la risposta di un oscillatore semplice lineare ha un andamento sinusoidale. L’andamento sinusoidale della risposta a regime risulta essere posticipato rispetto all’andamento sinusoidale della forzante di un angolo di fase pari a . θ Rappresentando graficamente lo sfasamento θ tra la risposta a regime e la forzante in funzione del rapporto di frequenza β per valori costanti del rapporto di smorzamento ξ si ottiene il seguente diagramma: Da questo diagramma si può osservare quanto segue:
→ se β = 1 la risposta a regime e la forzante risultano essere sfasate di un angolo θ = π/2; → imponendo ξ = 0 se β > 1 la risposta a regime e la forzante sono in opposizione di fase,
mentre se β < 1 la risposta e la forzante sono in fase.
- 36 -
Rappresentando graficamente il coefficiente di amplificazione dinamica D in funzione del rapporto di frequenza β per valori costanti del rapporto di smorzamento ξ si ottiene il seguente diagramma: Da questo diagramma si può osservare quanto segue:
→ avendo ξ > 0.7 segue D < 1 qualunque sia il valore di β; → in via approssimativa nelle strutture reali si può considerare che il valore massimo di D sia
raggiunto per β = 1, ma in realtà la presenza di uno smorzamento viscoso fa si che esso venga raggiunto per un valore di β inferiore all’unità:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≅−−
=
−=
1ξ1conξ1ξ2
1D
ξ21β2
2max
2
.
Si nota anche che la massima ampiezza della risposta a regime di un oscillatore semplice lineare risulta essere:
( ) ( )222
0st
ξβ2β1
1kpDuδ
+−=⋅= .
In conclusione in presenza di smorzamento viscoso la risposta a regime di un oscillatore semplice lineare in regime di vibrazioni forzate da forzante armonica risulta essere un moto dipendente dal rapporto di frequenza β e dal rapporto di smorzamento ξ:
• se 1β = : → zona di risonanza del grafico β-D; → la risposta e la forzante sono in condizioni di risonanza; → la risposta è controllata dallo smorzamento; → l’ampiezza della risposta è inversamente proporzionale al rapporto di smorzamento
ξ secondo la relazione:
ξ2
1D = .
• se 1β >> : → zona sismografica del grafico β-D; → ω è grande e D è prossimo a 0; → la risposta è controllata dalla massa; → la forzante varia cosi rapidamente che la struttura non riesce a seguire la sua
variazione. • se 1β << :
- 37 -
→ zona quasistatica del grafico β-D; → ω è piccolo e D è prossimo a 1; → la risposta è controllata dalla rigidezza; → la risposta si discosta di poco da quella ottenuta in condizioni statiche.
7.2.1 - RAPPORTO DI SMORZAMENTO L’ordinanza ministeriale OPCM 3274 indica quali sono i valori del rapporto di smorzamento ξ da adottare per diverse tipologie di strutture: . Sperimentalmente il rapporto di smorzamento ξ viene valutato come la perdita di energia che si verifica per un ciclo di carico in regime di vibrazioni forzate da forzante armonica in un oscillatore semplice lineare in condizioni di risonanza. Le condizioni di risonanza possono essere individuate sulla base dello sfasamento tra la forzante armonica e la risposta a regime dell’oscillatore semplice lineare. All’equilibrio il grafico che rappresenta la forzante armonica in funzione della risposta a regime dell’oscillatore semplice lineare per un ciclo di carico coincide con il grafico che rappresenta la forza di smorzamento viscoso in funzione della risposta a regime dell’oscillatore semplice lineare per un ciclo di carico. Se lo smorzamento viscoso è lineare diagrammando la forza di smorzamento viscoso in funzione della risposta a regime dell’oscillatore semplice lineare per un ciclo di carico si ottiene una funzione ellittica e l’area racchiusa da tale funzione rappresenta la perdita di energia associata allo smorzamento viscoso per un ciclo di carico.
Infatti: Condizioni di risonanza: 2πθ ωω 1β =→=→= ;
( ) ( )tωcosξ2
1kptu 0= ( ) ( )tωcos ρtu =
( ) ( )tωsenξ2
1kpωtu 0
.−= ( ) ( )tωsen ωρtu
.−=
( ) ( )tωcosξ2
1kpωtu
..− ; 02= ( ) ( )tωcos ρωtu 2
..−=
Forze: ( ) ( ) ( )tωcosξ2
1kpktu ktF 0
S ==
( )tωcosξ2
p0=
( ) ( ) ( )tωsenξ2
1kpωc tuctF 0
.
D −==
( )tωsencωm2
21
kp
mkc 0−=
- 38 -
( )tωsenmk
cm2
21
kp
mkc 0−=
( )tωsenp 0−=
( ) ( ) ( )tωcosξ2
1kpωm tumtF 02
..
I −==
( )tωcosξ2
1kp
mkm 0−=
( )tωcosξ2
p0−= ;
Equilibrio: ( ) ( )tFtF D−=
( ) ( )tωsenptF 0= ; Ellisse: ( ) ( tωcosρtu = ) ( ) ( tωsenptF 0= )
( ) ( )( ) ( )tωsenωρctF
tωcosρtu==
; ⇒ 2
0D ωρcπpπρE == . Se lo smorzamento viscoso è non lineare diagrammando la forza di smorzamento viscoso in funzione della risposta a regime dell’oscillatore semplice lineare per un ciclo di carico si ottiene una funzione chiusa non ellittica e l’area racchiusa da tale funzione rappresenta la perdita di energia associata allo smorzamento viscoso per un ciclo di carico. Il calcolo dell’area di tale funzione chiusa non ellittica può essere eseguito come il calcolo dell’area di una funzione ellittica equivalente opportunamente dimensionata tramite un coefficiente detto coefficiente di smorzamento iscoso equivalente: v
2D
2eq πωρE
πωρAreac == .
- 39 -
8 - RISPOSTA AD UN CARICO DINAMICO DI BREVE DURATA Le azioni indotte da carichi dinamici di breve durata (detti anche carichi shock) di diverso genere risultano essere molto influenti nella fase di progetto di molte comuni strutture (veicoli, gru, …). Lo studio della risposta di un oscillatore semplice lineare soggetto all’azione di un carico dinamico di breve durata viene condotto trascurando lo smorzamento viscoso. Infatti la risposta massima di un oscillatore semplice lineare soggetto all’azione di un carico dinamico di breve durata viene raggiunta molto rapidamente e prima che lo smorzamento viscoso riesca ad assorbire una significativa quantità di energia. 8.1 - CARICO DI BREVE DURATA A GRADINO Un carico dinamico di breve durata a gradino è un carico che può essere rappresentato con una unzione temporale costante del seguente tipo: f
( ) 0ptp = con 1tt0 ≤≤ La risposta di un oscillatore semplice lineare non smorzato soggetto all’azione di un carico dinamico di breve durata a gradino presenta una prima fase di vibrazioni forzate lunga quanto l’intervallo temporale di applicazione del carico e una seconda fase di vibrazioni libere. Nella fase di vibrazioni forzate si ha la seguente risposta:
( ) ( ) ( )tωcosBtωAsenkptu 0 ++=
Condizioni iniziali: ( ) 00u =
( ) 00u.
=
( ) ( )( )tωcos1kptu 0 −=
→ ( ) 11 utu =
u . ( ) 1
.
1
.ut =
- 40 -
Nella fase di vibrazioni libere si ha la seguente risposta: ( ) ( ) ( )tωcosBtωAsentu += Condizioni iniziali: ( ) 11 utu =
( ) 1
.
1
.utu =
( ) ( )( ) (( )1111
.
ttωcosuttωsenωutu −+−= ) .
Supponendo che la risposta massima si realizzi nella fase di vibrazioni forzate si ottiene quanto segue:
( ) ( )( )tωcos1kptu 0 −=
( ) ( )tωsenω
kp
dttdu 0=
( ) 0
dttdu= → πntω =
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
Tπ2ω
πntω →
21
Tt= →
2Tt = .
2Tt1 ≥ → ( )( )
kp2tu 0
max = → ( )( ) cost2kpkp2
utuD
0
0
st
max ==== .
Supponendo che la risposta massima si realizzi nella fase di vibrazioni libere si ottiene quanto segue:
( ) ( )( ) (( )1111
.
ttωcosuttωsenωutu −+−= )
( )αtωsen C +=
con ( )21
2
1
.
uωuC +⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
2Tt1 < → ( )( ) ( )21
2
1
.
max uωuCtu +⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛== → ( )( )
00st
max
pkC
kpC
utuD ⋅
=== .
8.1.1 - ESEMPI Esempio 1
Un telaio piano shear-type composto da una trave e due ritti viene sollecitato orizzontalmente da un carico dinamico di breve durata. Si vuole determinare la forza statica che induce nel telaio uno spostamento pari quello indotto nel telaio dal carico dinamico di breve durata.
- 41 -
D ati: massa della trave: ; kg 102m 4⋅=rigidezza di ciascun ritto: mN 1032k 6⋅= ; valore del carico dinamico: ; kN 100p0 =durata del carico dinamico: . s 2.0t1 =
S volgimento:
La frequenza circolare naturale vale:
srad 32.17kg 102
mN 1032mkω 4
6
=⋅⋅⋅
== .
Il periodo naturale vale:
s 35.0srad 7.321
rad π2ωrad π2T === .
Il rapporto tra la durata del carico dinamico e il periodo naturale vale:
50.057.0s .350s 2.0
Tt1 >== .
Poiché il rapporto appena calcolato assume un valore superiore a 0.5 ne consegue che la risposta massima del telaio risulta essere raggiunta nella fase di vibrazioni libere. Il coefficiente di amplificazione dinamica vale: . 2D =La risposta massima vale:
m 03.0mN 1032
N 101002kp2u 6
30
max =⋅⋅⋅
== .
L a forza statica che induce una risposta pari quella indotta dal carico dinamico vale: ( )( ) kN 200m 03.0 mN 1032uk F 6
max =⋅⋅== . 8.2 - CARICO DI BREVE DURATA SINUSOIDALE Un carico dinamico di breve durata sinusoidale è un carico che può essere rappresentato con una unzione temporale sinusoidale del seguente tipo: f
( ) ( )tωsenptp 0= con 1tt0 ≤≤ La risposta di un oscillatore semplice lineare non smorzato soggetto all’azione di un carico dinamico di breve durata sinusoidale presenta una prima fase di vibrazioni forzate lunga quanto l’intervallo temporale di applicazione del carico e una seconda fase di vibrazioni libere.
- 42 -
N ella fase di vibrazioni forzate si ha la seguente risposta:
( ) ( ) ( )( )tωsenβtωsenβ1
1kptu 2
0 −−
=
con 1t2
Tωωβ ==
→ ( ) 11 utu =
. ( ) 1
.
1
.utu =
N ella fase di vibrazioni libere si ha la seguente risposta: ( ) ( ) ( )tωcos Btωsen Atu += Condizioni iniziali: ( ) 11 utu =
( ) 1
.
1
.utu =
( ) ( )( ) (( )1111
.
ttωcosuttωsenωutu −+−= ) .
Supponendo che la risposta massima si realizzi nella fase di vibrazioni forzate si ottiene quanto segue:
( ) ( ) ( )( )tωcosωtωcosωβ1
1kp
dttdu
20 −
−=
( ) 0dt
tdu= → ( ) ( )tωcostω =cos → tωnπ2tω ±= con n = 0, ±1, ±2, … .
8.3 - SPETTRI DI RISPOSTA La risposta massima di un oscillatore semplice lineare non smorzato soggetto all’azione di un carico dinamico di breve durata dipende unicamente dal rapporto tra il tempo di applicazione t1 del carico dinamico e il periodo naturale T dell’oscillatore stesso. Plottando il coefficiente di amplificazione dinamica D in funzione di tale rapporto si ricavano gli spettri di risposta in termini di coefficiente di amplificazione dinamica (detti anche spettri di shock) dell’oscillatore. Questi spettri di risposta vengono usati per predire la risposta massima di strutture semplici sollecitate da diverse tipologie di carichi dinamici di breve durata. Conoscendo la riposta massima di una struttura soggetta all’azione di un carico dinamico di breve durata si riesce a determinare la forza statica che applicata alla struttura induce nella struttura stessa una risposta pari a quella massima indotta dal carico dinamico di breve durata.
- 43 -
Tra i carichi dinamici di breve durata che possono sollecitare una struttura vanno considerati anche quelli dovuti all’eventuale movimento della base della struttura stessa: → . ( )tug
..( )tum g
..−
In presenza di movimento della base di una struttura si ottiene il seguente coefficiente di amplificazione dinamica:
( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )max
g
..a
maxg
..max
t
..
g
..max
t
..
g
..max
g
..max
st
max
tu
S
tu
tu
tum
tum
tum
tuk
ktum
tuutuD
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
====
con Sa = pseudoaccelerazione.
- 44 -
9 - RISPOSTA AD UN CARICO DINAMICO PERIODICO Un carico dinamico periodico è un carico che può essere rappresentato con una funzione temporale periodica p(t) di periodo T: ( ) ( )kTtptp += [ ] ,...2,1k b,at =∨ℜ⊂∈∀ . Lo studio della risposta di un oscillatore semplice lineare soggetto all’azione di un carico dinamico periodico viene condotto considerando lo smorzamento viscoso. 9.1 - CARICO PERIODICO IN SERIE REALE DI FOURIER La funzione temporale periodica p(t) può essere espressa tramite il suo sviluppo in serie reale di Fourier:
( ) ∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
1nnn0 t
Tnπ2senbt
Tnπ2cosaatp
Tπ2ω1 = = armonica fondamentale
nωT
nπ2ω 1n == = armonica n-esima
. ( ) ( ) ( )( )∑∞
=
++=1n
nnnn0 tωsenbtωcosaatp
I coefficienti della serie reale di Fourier della funzione p(t) sono calcolati come segue:
( )dt tpT1a
Tt
t 01
1∫
+=
( ) ( )dt tωcos tpT2a n
Tt
t n1
1∫
+=
( ) ( )dt tωsen tpT2b n
Tt
t n1
1∫
+= .
con t1 = istante temporale generico (solitamente assunto pari a 0 oppure a π/2). Si osserva che il coefficiente a0 rappresenta la media integrale della funzione p(t) nell’intervallo temporale . [ ]Tt,t 11 +
- 45 -
Un carico dinamico periodico può quindi essere scomposto, secondo la teoria di Fourier, nella somma di un carico dinamico costante con valore pari al carico medio e di diversi carichi dinamici sinusoidali con frequenza pari alle armoniche ωn. L’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare smorzato soggetto all’azione di un carico dinamico periodico espresso tramite il suo sviluppo in serie reale di Fourier assume la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++=++ ∑
∞
=1nnnnn0
2...
tωsenbtωcosaam1tu ωtuξω2tu
( ) ( ) ( ) ( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++=++ ∑
∞
=1nnnn0
2...
φtωsencam1tu ωtuξω2tu
con 2
n2nn bac +=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
n
nn a
barctgφ .
Nell’ambito di validità del principio di sovrapposizione degli effetti la risposta a regime di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato (ξ <1) soggetto all’azione di un carico dinamico periodico espresso tramite il suo sviluppo in serie reale di Fourier risulta essere data dalla somma delle isposte di quel oscillatore rispetto a ciascun termine della serie reale di Fourier: r
( ) ( )∑∞
=
−++=1n
nnnn0 θφtωsenuutu
con kau 0
0 =
ωωβ n
n =
( ) ( )2n
22n
nn
ξβ2β1
1kcu
+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= 2n
nn β1
ξβ2arctgθ .
Per ωn = ω si raggiunge la condizione di risonanza e l’armonica della forzante coincidente con la frequenza circolare naturale dell’oscillatore viene esaltata nella risposta dell’oscillatore stesso. Si osserva che la risposta dell’oscillatore può essere ottenuta con buona approssimazione troncando lo sviluppo in serie reale di Fourier appena al quarto o quinto termine. 9.2 - CARICO PERIODICO IN SERIE COMPLESSA DI FOURIER La funzione temporale periodica p(t) può essere espressa tramite il suo sviluppo in serie complessa di Fourier:
( ) ( ) ( )( )∑∞
=
++=1n
nnnn0 tωsenbtωcosaatp
Formule di Eulero: ( ) ( )tωisentωcose nntωi n +=
( ) ( )tωisentωcose nntωi n −=−
- 46 -
( )2eetωcos
tωitωi
n
nn −+=
( )i2eetωsen
tωitωi
n
nn −−=
. ( ) ∑+∞
−∞=
=n
tωin
nePtp
Il coefficiente della serie complessa di Fourier della funzione p(t) è calcolato come segue:
( )∫+ −=
Tt
t
tωin
1
1
n dt e tpT1P con n = 0, ±1, ±2, … .
Si nota che la funzione temporale periodica p(t) rimane una funzione reale. Infatti, poiché per ogni valore positivo di n ne esiste uno uguale negativo, i termini e±iωnt, che possono essere considerati come vettori unitari rotanti con velocità angolare ωn in senso orario ed antiorario rispettivamente, presentano parti immaginarie che si eliminano a vicenda. L’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare smorzato soggetto all’azione di un carico inamico periodico espresso tramite il suo sviluppo in serie complessa di Fourier assume la forma: d
( ) ( ) ( ) ∑+∞
−∞=
=++n
tωin
2...
nePm1tu ωtuξω2tu .
Nell’ambito di validità del principio di sovrapposizione degli effetti la risposta a regime di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato (ξ <1) soggetto all’azione di un carico dinamico periodico espresso tramite il suo sviluppo in serie complessa di Fourier risulta essere data dalla somma delle isposte di quel oscillatore rispetto a ciascun termine della serie complessa di Fourier: r
( ) ∑+∞
−∞=
=n
tωinn
nePHtu
con ωωβ n
n =
n
2n
n ξβ2iβ11
k1H
+−= .
Questi risultati possono essere compresi se si esplicita la risposta dell’oscillatore rispetto al termine n-esimo della serie complessa di Fourier:
( ) ( ) ( ) tωin
...nePtu ktuctum =++
( ) ( ) ( ) tωin2...
nemPtu ωtu ξω2tu =++
( ) tωinnn
nePHtu =
( ) tωinnnn
.nePHωitu =
( ) tωinn
2nn
..nePHωtu −=
( ) tωin2n
2n
tωinn
nn emPωωiξω2ωePH =++−
m1
ωωiξω2ω1H 2
n2n
n ++−=
- 47 -
2nn
2n ωξωω2iω1
m1H
−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=
2
2nn2
2
n
ωω
ωωξ2i1 ω
1kωH
2
2nn
n
ωω
ωωξ2i1
1k1H
−+=
ωωβ n
n =
2nn
n βξβ2i11
k1H
−+=
n
2n
n ξβ2iβ11
k1H
+−= .
Per ωn = ω si raggiunge la condizione di risonanza e l’armonica della forzante coincidente con la frequenza circolare naturale dell’oscillatore viene esaltata nella risposta dell’oscillatore stesso. Si osserva che la risposta dell’oscillatore può essere ottenuta con buona approssimazione troncando lo sviluppo in serie complessa di Fourier appena al quarto o quinto termine. 9.3 - METODO DI ANALISI NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE Il metodo di analisi nel dominio delle frequenze della risposta di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato soggetto all’azione di un carico periodico si compone di tre fasi:
FASE 1: → il carico dinamico periodico viene convertito dal dominio del tempo a quello delle
frequenze tramite il suo sviluppo in serie complessa di Fourier. FASE 2:
→ si calcolano le risposte dell’oscillatore semplice lineare smorzato in corrispondenza di ciascuna frequenza dello sviluppo in serie complessa di Fourier del carico dinamico periodico;
→ si indica con Pn l’ampiezza del carico dinamico periodico di frequenza circolare ωn; si indica con Hn l’ampiezza della risposta dell’oscillatore semplice lineare smorzato soggetto ad un carico dinamico periodico di ampiezza unitaria e di frequenza circolare ωn; il prodotto nn HP ⋅ rappresenta l’ampiezza della risposta dell’oscillatore semplice lineare smorzato soggetto ad un carico dinamico periodico di ampiezza Pn e di frequenza circolare ωn.
FASE 3: → nell’ambito di validità del principio di sovrapposizione degli effetti si determina la
risposta globale dell’oscillatore semplice lineare smorzato nel dominio del tempo eseguendo la somma delle risposte dell’oscillatore semplice lineare smorzato calcolate in corrispondenza di ciascuna frequenza dello sviluppo in serie complessa di Fourier del carico dinamico periodico.
- 48 -
10 - RISPOSTA AD UN CARICO DINAMICO GENERICO Un carico dinamico generico è un carico che può essere rappresentato con una funzione temporale generica p(t). Lo studio della risposta di un oscillatore semplice lineare soggetto all’azione di un carico dinamico generico viene condotto considerando lo smorzamento viscoso e supponendo che inizialmente l’oscillatore si trovi in condizioni di quiete: ( ) 00u =
. ( ) 00u.
= 10.1 - INTEGRALE DI DUHAMEL Per valutare la risposta di un oscillatore semplice lineare soggetto all’azione di un carico dinamico generico risulta utile conoscere la risposta di quell’oscillatore soggetto all’azione di una forza impulsiva. Si definisce forza impulsiva F(τ) una forza che rimane costante per un intervallo temporale infinitesimo dτ e si definisce impulso I(τ) di una forza impulsiva all’istante τ il prodotto del modulo della forza impulsiva F(τ) per l’intervallo temporale infinitesimo dτ: . ( ) ( ) τd τFτI =L’impulso di una forza impulsiva agente su un oscillatore semplice lineare all’istante τ produce una variazione della velocità di tale oscillatore che può essere valutata applicando il teorema di conservazione della quantità di moto:
( ) ( )τFτumτd
d .=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
( )
( )τFτd
τudm
.
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
( ) ( )m
τd τFτud.
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
( ) ( )mτIτud
.=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ .
- 49 -
La velocità incrementale ottenuta applicando il teorema di conservazione della quantità di moto può essere considerata come la velocità iniziale dell’oscillatore all’istante τ. In corrispondenza dell’istante τ un oscillatore semplice lineare su cui agisce all’istante τ l’impulso di una forza impulsiva si trova quindi nelle seguenti condizioni: ( ) 0τu =
( ) ( )mτIτu
.= .
La risposta di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato (ξ < 1) su cui agisce al generico istante t l’impulso di una forza impulsiva può essere calcolato considerando la forma della risposta di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato in regime di vibrazioni libere e utilizzando le condizioni sopra scritte:
( )( ) ( ) ( ) tξωD0D
D
00 e tωcosutωsen ω
ξωuvtud −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
e ( ) 0τu = ( ) ( )mτIτu
.=
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]τtωsenωm
τd τFetud DD
τtξω −= −− .
Un carico dinamico generico può essere visto come una successione temporale di impulsi di forze impulsive. La risposta di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato (ξ < 1) soggetto ad un carico dinamico generico prende il nome di “integrale di Duhamel in forma smorzata” e nell’ambito di validità del principio di sovrapposizione degli effetti essa risulta essere data dalla somma delle risposte di quello stesso oscillatore su cui agisce ad ogni istante temporale l’impulso di una forza mpulsiva: i
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫ −= −−t
0 Dτtξω
D
τd τtωsen e τFωm1tu
- 50 -
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫ −= −−t
0 Dτtξω
D
τd τtωsen e τFωm1tu
( ) ( )[ ] ∫ −=− t
0 Dξωτ
D
tξω
τd τtωsen e τFωm
e
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫ −=− t
0 DDDDξωτ
D
tξω
τd τωsen tωcosτωcostωsene τFωm
e
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ∫∫ −=− t
0 Dξωτ
D
t
0 Dξωτ
DD
tξω
τd τωsene τF tωcosτd τωcose τF tωsen ωm
e
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tωcostBtωsen tAωm
etu DDDDD
tξω
−=−
con ( ) ( ) ( )[ ]∫=
t
0 Dξωτ
D τd τωcose τF tA
( ) ( ) ( )[ ]∫=t
0 Dξωτ
D τd τωsene τF tB .
Per valutare numericamente la risposta di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato soggetto ad un carico dinamico generico bisogna dividere in passi l’intervallo temporale sul quale si vuole conoscere la risposta dell’oscillatore e si deve calcolare l’integrale di Duhamel per ciascun passo temporale utilizzando uno dei metodi forniti dall’analisi numerica:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ −+−=
t
tΔt Dξωτ
DD τd τωcose τF tΔtAtA
. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫+−=t
tΔ-t Dξωτ
DD τd τωsene τF tΔtBtB
10.2 - SPETTRI DI RISPOSTA CON MOVIMENTO DELLA BASE Generalmente per movimento della base di una struttura si intende il movimento di origine sismica del terreno su cui la struttura poggia. I movimenti di origine sismica del terreno di diverse aree geografiche vengono registrati e plottati in accelerogrammi.
- 51 -
La risposta di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato (ξ < 1) con movimento della base può essere calcolata utilizzando l’integrale di Duhamel in forma smorzata:
( ) ( )τumτF g
..= → ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= −−t
0 Dτtξω
g
..
D
τd τtωsen e τumωm1tu
( ) ( ) ( )[ ]∫ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= −−t
0 Dτtξω
g
..
D
τd τtωsen e τuω1
( )DωtI
=
→ ( ) ( )DωtItu = .
La risposta (massima) di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato soggetto all’azione di un carico dinamico generico dovuto al movimento della base dipende unicamente dal periodo naturale T e dal rapporto di smorzamento ξ dell’oscillatore stesso. In sismica si definiscono le seguenti grandezze:
spostamento spettrale (massimo spostamento relativo):
( ) [ ]mω
tI S
D
max d = ;
pseudovelocità (massima velocità relativa per 0ξ = ):
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
smS ωS vv ;
pseudoaccelerazione (massima accelerazione assoluta per 0ξ = ):
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡== 2vd
2a s
mS ωSωS .
- 52 -
Plottando le grandezze Sd, Sv o Sa in funzione del periodo naturale T (o della frequenza circolare naturale ω) dell’oscillatore per un valore costante del rapporto di smorzamento ξ si ricavano gli spettri di risposta in termini di Sd, Sv o Sa. Osservando questi spettri di risposta si può evincere quanto segue:
T 0→ : oscillatore molto rigido ⇒ ( ) ( )tutu gt ≅ 0S lim d0T
=→
; ( )max
g
..
a0TtuS lim ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
→
∞→T : oscillatore molto flessibile ⇒ ( ) ( ) tu tu g≅ ( )( )maxtdT
tuS lim =∞→
0S lim aT=
∞→ .
Gli spettri di risposta in termini di Sd, Sv o Sa dell’oscillatore vengono usati per predire la risposta massima di strutture semplici sollecitate da carichi dinamici generici dovuti a movimenti di origine sismica del terreno. Conoscendo la riposta massima di una struttura soggetta all’azione di un carico dinamico generico dovuto al movimento della base si riesce ad individuare la forza statica che applicata alla struttura induce nella struttura stessa una risposta pari a quella massima indotta dal carico dinamico generico dovuto al movimento della base:
aa2d SmSωkSkF ⋅=⋅=⋅= .
Plottando in scala logaritmica le grandezze Sd, Sv e Sa interconnesse tra loro in funzione del periodo naturale T (o della frequenza circolare naturale ω) dell’oscillatore per un valore costante del rapporto di smorzamento ξ si ricava lo spettro tripartito di Newmark. Questo spettro viene usato per calcolare Sv e Sa noti che siano il periodo naturale T (o la frequenza circolare naturale ω) dell’oscillatore, il rapporto di smorzamento ξ e lo spostamento spettrale Sd: ( ) ( ) ( )ωlogSlogSlog ωSS dvdv +=→⋅= ( ) ( ) ( )ωlog2SlogSlog ωSS da
2da +=→⋅= .
- 53 -
11 - ISOLAMENTO DELLE VIBRAZIONI Per poter attenuare la trasmissione di vibrazioni da un sistema S1 ad un sistema S2 bisogna interporre tra i due sistemi un isolatore I. Nella dinamica delle strutture il sistema S1 rappresenta un corpo rigido di massa m1 con un solo grado di libertà dinamico, mentre il sistema S2 può rappresentare la struttura portante di un’opera o il terreno di fondazione. L’isolatore I viene schematizzato con una molla elastica lineare e uno smorzatore viscoso lineare privi di massa e disposti in parallelo. I compiti dell’isolatore sono i seguenti:
a) ridurre la forza trasmessa dal sistema S1 al sistema S2; b) ridurre lo spostamento trasmesso dal sistema S2 al sistema S1.
11.1 - TRASMISSIBILITA’ DI FORZE Supponiamo che una macchina rotante di massa m montata su un supporto rigido generi delle oscillazioni verticali dannose per il supporto e pari a: ( ) ( )tωsenptp 0= . Rendendo la macchina rotante parte di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato (ξ < 1) vincolato al supporto rigido le oscillazioni verticali che risultano essere prodotte dalla macchina nducono nell’oscillatore una risposta massima a regime pari a: i
( ) ( )θtωsen Dkptu 0 −=
( ) Dkp tu 0
max = .
- 54 -
La forza massima esercitata dall’oscillatore semplice lineare al supporto rigido risulta quindi essere:
( ) ( ) ( )θtωsen Dkpktu ktF 0
S −==
( )θtωsen Dp0 −=
( ) ( ) ( )θtωcos Dkpωctu ctF 0
.
D −==
( )θtωcos Dp ωωkmξ2 0 −=
( )θtωcos Dp ωωω1ξ2 02 −=
( )θtωcos Dp ωω1ξ2 0 −=
( )θtωcos Dp ωωξ2 0 −=
( )θtωcos Dp ξβ2 0 −= → ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θtωcos Dpξβ2θtωsen DptFtFtF 00DS −+−=+=
( ) ( )αθtωsen ξβ21Dp 20 +−+=
( ) ( )20max
ξβ21Dp tF += . Si definisce trasmissibilità T il rapporto tra l’ampiezza della forza trasmessa dall’oscillatore semplice lineare al supporto rigido e l’ampiezza della forzante agente sull’oscillatore semplice lineare:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )222
22
0
20
0
max
ξβ2β1
ξβ21ξβ21D
pξβ21Dp
p tF
T+−
+=+=
+==
( ) ( )( ) ( )222
22
ξβ2β1
ξβ21ξβ21DT
+−
+=+= .
- 55 -
Rappresentando graficamente la trasmissibilità T in funzione del rapporto di frequenza β per valori costanti del rapporto di smorzamento ξ si ottengono i seguenti diagrammi: Da questi diagrammi si può osservare quanto segue:
→ per 2β = segue D = 1 (cioè tutta la forza viene trasmessa al supporto) qualunque sia il valore di ξ;
→ per 2β = al variare di ξ non varia l’efficacia dell’isolamento; → per 2β < segue 1D > (cioè la forza trasmessa al supporto risulta superiore all’ampiezza
della forzante) qualunque sia il valore di ξ; → per 2β < all’aumentare di ξ diminuisce l’efficacia dell’isolamento e viceversa; → per 2β > segue 1D < (cioè la forza trasmessa al supporto risulta inferiore all’ampiezza
della forzante) qualunque sia il valore di ξ; → per 2β > all’aumentare di ξ aumenta l’efficacia dell’isolamento e viceversa.
Per contenere la forza trasmessa dalla macchina rotante al supporto rigido bisogna utilizzare un isolatore caratterizzato da valori bassi sia della rigidezza k (questo permette di ottenere valori bassi della frequenza circolare naturale ω) che del rapporto di smorzamento ξ. In questo modo si ottiene infatti una trasmissibilità T bassa.
- 56 -
11.2 - TRASMISSIBILITA’ DI SPOSTAMENTI Supponiamo che la fondazione rigida di un opera monolitica di massa m sia soggetta a delle oscillazioni verticali dannose per l’opera e pari a: ( ) ( )θtωsen utu 0gg −= . Rendendo l’opera monolitica parte di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato (ξ < 1) vincolato alla fondazione rigida le oscillazioni verticali a cui risulta essere soggetta la fondazione inducono nell’oscillatore una risposta a regime che può essere calcolata in termini di spostamento assoluto oppure in termini di spostamento relativo. 11.2.1 - SPOSTAMENTI ASSOLUTI L’equazione del moto assume la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0tutuktutuctum gtg
.
t
.
t
..=−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tuctu ktu ktuctum g
.
gtt
.
t
..+=++
( ) ( )θtωcos u ωcθtωsen u k 0g0g −+−=
( )αθtωsen kωc1u k
2
0g +−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
( ) ( )αθtωsen ξβ21u k 20g +−+= .
a risposta massima a regime risulta essere: L
( ) ( ) ( )ψαθtωsen D ξβ21utu 20gt −+−+=
( ) ( ) ( )( ) ( )222
2
0g2
0gmax tξβ2β1
ξβ21uD ξβ21u tu
+−
+=+= .
Si definisce trasmissibilità assoluta TA il rapporto tra l’ampiezza di oscillazione a regime dell’oscillatore semplice lineare e l’ampiezza di oscillazione della fondazione:
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )222
2
0g
222
2
0g
0g
max t
ξβ2β1
ξβ21u
ξβ2β1
ξβ21u
u tu
TA+−
+=
+−
+
==
( ) ( )( ) ( )222
22
ξβ2β1
ξβ21ξβ21DTA
+−
+=+= .
- 57 -
Per contenere lo spostamento assoluto dell’opera monolitica causato dal moto oscillatorio della fondazione rigida bisogna utilizzare un isolatore caratterizzato da valori bassi sia della rigidezza k (questo permette di ottenere valori bassi della frequenza circolare naturale ω) che del rapporto di smorzamento ξ. In questo modo si ottiene infatti una trasmissibilità relativa TA bassa. 11.2.2 - SPOSTAMENTI RELATIVI L’equazione del moto assume la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) 0tu ktuctutum.
g
....=++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
( ) ( ) ( ) ( )tumtu ktuctum g
.....−=++
( )θtωsenuωm 0g2 −−= .
La risposta massima a regime risulta essere:
( ) ( )αθtωsen D uωmk1tu 0g
2 +−−=
( )αθtωsen D uωkm
0g2 +−−=
( )αθtωsen D uωω
0g2
2
+−−=
( )αθtωsen D u β 0g2 +−−=
( ) Duβ tu 0g2
max = .
Si definisce trasmissibilità relativa TR il rapporto tra l’ampiezza di oscillazione a regime ell’oscillatore semplice lineare e l’ampiezza di oscillazione della fondazione: d
( )
( ) ( )222
2
0g
0g2
0g
max
ξβ2β1
βu
Duβu
tu TR
+−===
( ) ( )222
22
ξβ2β1
ββ DTR+−
== .
Rappresentando graficamente la trasmissibilità relativa TR in funzione del rapporto di frequenza β per valori costanti del rapporto di smorzamento ξ si ottiene il seguente diagramma:
- 58 -
Da questo diagramma si può osservare quanto segue: → per β = 1 (zona di risonanza del grafico) si verifica il fenomeno della risonanza; → per β << 1 (zona di quasistatica del grafico) il moto dell’oscillatore risulta essere trascurabile
rispetto al moto della fondazione qualunque sia il valore di ξ; → per β >> 1 (zona di sismografica del grafico) il moto dell’oscillatore risulta essere di entità
comparabile a quella del moto della fondazione qualunque sia il valore di ξ. Per contenere lo spostamento relativo dell’opera monolitica causato dal moto oscillatorio della fondazione rigida rispetto alla fondazione stessa bisogna utilizzare un isolatore caratterizzato da valori bassi sia della rigidezza k (questo permette di ottenere valori bassi della frequenza circolare naturale ω) che del rapporto di smorzamento ξ. In questo modo si ottiene infatti una trasmissibilità relativa TR bassa. 11.2.3 - ESEMPI Esempio 1
Un opera monolitica viene sollecitata da una azione sismica sussultoria del suo terreno di fondazione. Tra l’opera monolitica ed il terreno di fondazione risulta essere interposto un isolatore. Si vuole determinare la accelerazione massima assoluta sussultoria del sistema oscillatore semplice composto dall’opera monolitica e dall’isolatore. Dati:
ampiezza della accelerazione sismica sussultoria: ; g 1.0u 0 g
..=
requenza ciclica dell’accelerazione sismica sussultoria: ; -1s 10Hz 10f ==f peso dell’opera monolitica: ; N 500W =rigidezza elastica dell’isolatore: mkN 15k = ; rapporto di smorzamento: . % 10ξ =
S volgimento:
La massa dell’opera monolitica vale:
kg 97.50sm 9.81
N 500gWm 2 === .
La frequenza circolare naturale dell’oscillatore vale:
srad 16.17kg 97.50mkN 15
mkω === .
Il coefficiente di smorzamento viscoso dell’oscillatore vale:
( ) ( ) ( )m
rad s N 93.174srad kg 93.174srad 16.17 kg 97.50 % 10 2ωmξ 2c ==== .
L a frequenza circolare dell’accelerazione sismica sussultoria vale: ( ) ( ) ( ) srad 8.62s 10 rad π2f rad π2ω -1 === . La legge di variazione temporale della accelerazione sismica sussultoria vale: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t srad 8.62sen g 1.0tωsen utu 0 g
..
g
..== .
Il rapporto di frequenza vale:
- 59 -
66.3
srad 16.17srad 8.62
ωωβ === .
La trasmissibilità assoluta vale:
( )
( ) ( )( ) ( )[ ]
( )[ ] ( ) ( )[ ]0998.0
66.3 % 10 266.31
66.3 % 10 21
ξβ2β1
ξβ21TA
2 2 2
2
222
2
=+−
+=
+−
+= .
La massima accelerazione assoluta sussultoria dell’oscillatore vale: . ( )( ) g 0.00998g 1.0 0998.0u TAu 0 g
..
max t
..===
Si nota che per ottenere una accelerazione massima assoluta sussultoria dell’oscillatore che sia di entità inferiore a quella appena ricavata si può agire aumentando la massa dell’opera monolitica oppure diminuendo i valori dei parametri k e c dell’isolatore.
12 - METODI NUMERICI PASSO-PASSO
- 60 -
Risolvere numericamente passo-passo l’equazione del moto di un oscillatore semplice significa dividere in passi temporali l’intervallo temporale sul quale si vuole analizzare l’equazione del moto e calcolare la risposta dell’oscillatore su ciascun passo temporale in modo approssimato utilizzando uno dei metodi numerici passo-passo forniti dall’analisi numerica. Generalmente l’ampiezza Δt dei passi temporali viene presa uguale per tutti i passi di uno stesso intervallo temporale, ma viene scelta in funzione del metodo numerico passo-passo da utilizzare. Risolvere numericamente passo-passo l’equazione del moto di un oscillatore semplice risulta essere necessario se l’oscillatore presenta delle proprietà non lineari, ma può essere vantaggioso anche se l’oscillatore presenta esclusivamente proprietà lineari. 12.1 - EQUAZIONE INCREMENTALE LINEARIZZATA DEL MOTO Scrivendo l’equazione del moto di un oscillatore semplice con il metodo dell’equilibrio diretto a nizio e fine di ogni passo temporale si ottengono le seguenti due espressioni: i
( ) ( ) ( ) ( ) 1i1iS1iD1iI FFFF −−−− =++ ( ) ( ) ( ) ( )iiSiDiI FFFF =++ . L’equazione incrementale del moto di un oscillatore semplice viene ottenuta per ciascun passo emporale facendo la differenza tra le due espressioni sopra scritte: t
FΔFΔFΔFΔ SDI =++ con ( ) ( ) 1iIiII FFFΔ −−= ( ) ( ) 1iDiDD FFFΔ −−= ( ) ( ) 1iSiSS FFFΔ −−=
( ) ( ) 1ii FFFΔ −−= . L’equazione incrementale linearizzata del moto per un oscillatore semplice viene ottenuta per ciascun passo temporale dall’equazione incrementale del moto considerando i parametri propri ell’oscillatore costanti all’interno di ciascun passo temporale e pari al loro valore di inizio passo: d
FΔuΔ kuΔ cuΔ m 1i
.
1i
..=++ −−
con I
..
..I
..FΔuΔ
ud
dFuΔ m ≅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
D
.
1i
.D
.
1i FΔuΔud
dFuΔ c ≅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
−
S1i
S1i FΔuΔ
dudFuΔ k ≅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−− .
12.2 - METODI NUMERICI PASSO-PASSO
- 61 -
I metodi numerici passo-passo utilizzati per risolvere numericamente passo-passo l’equazione del moto di un oscillatore semplice sono i seguenti:
metodo di Eulero-Gauss o dell’accelerazione media costante; metodo di Newmark o dell’accelerazione lineare; metodo di Newmark-Beta; metodo delle differenze centrali.
12.2.1 - METODO DI EULERO-GAUSS Il metodo di Eulero-Gauss o dell’accelerazione media costante prevede di assumere all’interno di ciascun passo temporale una accelerazione che presenta un andamento costante e pari alla media tra i valori di accelerazione di inizio e fine passo. Questo metodo è un metodo incondizionatamente stabile. In corrispondenza di un istante τ interno ad un passo temporale (0 < τ < Δt) si ha quanto segue:
( ) cost2uΔu
2uuuτu
..
1i
..1i
..
i
..
1i
....=+=
−+= −
−−
( ) ( ) τ2uΔτuuτd τuuτu..
1i
..
1i
.i
1i
..
1i
..++=+= −−
−− ∫
( ) ( ) 2
..
21i
..
1i
.
1i
i
1i
.
1i τ4
uΔτ2
uτuuτd τuuτu +++=+= −−−−− ∫ .
In corrispondenza di un istante τ coincidente con la fine di un passo temporale (τ = Δt) si ha quanto segue:
( )2uΔutΔu..
1i
....+= −
( ) tΔ2uΔtΔuutΔu..
1i
..
1i
..++= −−
( ) 2
..
21i
..
1i
.
1i tΔ4
uΔtΔ2
utΔuutΔu +++= −−− .
Esprimendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale in funzione dell’incremento di spostamento sul passo temporale si ottiene quanto segue:
- 62 -
1i
..
1i
.
2
..u2u
tΔ4uΔ
tΔ4uΔ −− −−=
1i
..u2uΔ
tΔ2uΔ −−= .
Sostituendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale nell’equazione incrementale linearizzata del moto si giunge ad avere l’equazione pseudostatica incrementale linearizzata del moto e questa equazione risulta essere funzione unicamente dell’incremento di spostamento sul passo temporale:
FΔuΔku2uΔtΔ
2cu2utΔ
4uΔtΔ4m 1i1i
.
1i1i
..
1i
.
2 =+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −− −−−−−
** FΔuΔk =
con tΔ
2ctΔ4mkk 1i21i
*−− ++=
1i
.
1i1i
..
1i
.* u2cu2u
tΔ4mFΔFΔ −−−− +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= .
L ’incremento di spostamento sul passo temporale viene calcolato come segue:
*
*
kFΔuΔ = .
Calcolato l’incremento di spostamento sul passo temporale si possono ricavare immediatamente lo postamento e la velocità alla fine del passo temporale: s
uΔuu 1ii += −
1i
..
1i
..
1i
.
i
.u2uΔ
tΔ2uuΔuu −−− −+=+= .
L’accelerazione alla fine del passo temporale viene invece ricavata inserendo lo spostamento e la elocità alla fine del passo temporale nell’equazione incrementale linearizzata del moto: v
( ) ( ) ( )( )iSiDii
..FFF
m1u −−= .
Il metodo di Eulero-Gauss o dell’accelerazione media costante risulta quindi essere caratterizzato dal seguente algoritmo: 1i
..
1i
.
1i u;u;u −−− i** u;uΔ;FΔ;k
⇒ 1i1i k;c;m −− i
..u;uΔ
FΔ i
..
ii u;c;k . 12.2.2 - METODO DI NEWMARK Il metodo di Newmark o dell’accelerazione lineare prevede di assumere all’interno di ciascun passo temporale una accelerazione che presenta un andamento lineare. Questo metodo è un metodo ondizionatamente stabile: c
stabilità ↔ T 55.0Tπ3tΔtΔ cr ==< .
- 63 -
In corrispondenza di un istante τ interno ad un passo temporale (0 < τ < Δt) si ha quanto segue:
( ) τtΔuΔuτ
tΔuuuτu
..
1i
..1i
..
i
..
1i
....+=
−+= −
−−
( ) ( ) 2
..
1i
..
1i
.i
1i
..
1i
..τ
tΔ2uΔτuuτd τuuτu ++=+= −−
−− ∫
( ) ( ) 3
..
21i
..
1i
.
1i
i
1i
.
1i τtΔ6 uΔτ
2uτuuτd τuuτu +++=+= −
−−−− ∫ .
In corrispondenza di un istante τ coincidente con la fine di un passo temporale (τ = Δt) si ha quanto segue:
( ) i
....utΔu =
( ) tΔ2uΔtΔuutΔu..
1i
..
1i
..++= −−
( ) 2
..
21i
..
1i
.
1i tΔ6
uΔtΔ2
utΔuutΔu +++= −−− .
Esprimendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale in funzione dell’incremento di spostamento sul passo temporale si ottiene quanto segue:
...uΔ..=
1i
..
1i
..u
2tΔu3uΔ
tΔ3uΔ −− −−= .
Sostituendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale nell’equazione incrementale linearizzata del moto si giunge ad avere l’equazione pseudostatica incrementale linearizzata del moto e questa equazione risulta essere funzione unicamente dell’incremento di postamento sul passo temporale: s
** FΔuΔk =
con tΔ
3ctΔ6mkk 1i21i
*−− ++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= −−−−− 1i
..
1i
.
1i1i
..
1i
.* u
2tΔu3cu3u
tΔ6mFΔFΔ .
L ’incremento di spostamento sul passo temporale viene calcolato come segue:
- 64 -
*
*
kFΔuΔ = .
Calcolato l’incremento di spostamento sul passo temporale si possono ricavare immediatamente lo postamento e la velocità alla fine del passo temporale: s
uΔuu 1ii += −
.
1i
.
i
.uΔuu += − .
L’accelerazione alla fine del passo temporale viene invece ricavata inserendo lo spostamento e la elocità alla fine del passo temporale nell’equazione incrementale linearizzata del moto: v
( ) ( ) ( )( )iSiDii
..FFF
m1u −−= .
Il metodo di Newmark o dell’accelerazione lineare risulta quindi essere caratterizzato dal seguente algoritmo: 1i
..
1i
.
1i u;u;u −−− i** u;uΔ;FΔ;k
⇒ 1i1i k;c;m −− i
..u;uΔ
FΔ i
..
ii u;c;k . 12.2.3 - METODO DI NEWMARK-BETA Il metodo di Newmark-Beta prevede di assumere all’interno di ciascun passo temporale una velocità ed uno spostamento che presentano degli andamenti espressi in funzione dei due parametri eali γ e β. In generale questo metodo è un metodo condizionatamente stabile: r
stabilità ↔ T β2γ
12π
1tΔtΔ cr −=< .
In corrispondenza di un istante τ coincidente con la fine di un passo temporale (τ = Δt) si ha quanto segue:
( ) ( ) i
..
1i
..
1i
..utΔ γutΔ γ1utΔu +−+= −−
( ) i
..2
1i
..2
1i
.
1i utΔ βutΔ β21utΔutΔu +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −++= −−− .
Esprimendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale in funzione dell’incremento di spostamento sul passo temporale si ottiene quanto segue:
...uΔ..=
1i
..
1i
..u
β2γ1tΔu
βγuΔ
tΔβγuΔ −− ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−= .
Sostituendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale nell’equazione incrementale linearizzata del moto si giunge ad avere l’equazione pseudostatica incrementale linearizzata del moto e questa equazione risulta essere funzione unicamente dell’incremento di postamento sul passo temporale: s
** FΔuΔk =
con tΔβ
γctΔβ
1mkk 1i21i*
−− ++=
- 65 -
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= −−−−− 1i
..
1i
.
1i1i
..
1i
.* u
β2γ1tΔu
βγcu
β21u
tΔβ1mFΔFΔ .
L ’incremento di spostamento sul passo temporale viene calcolato come segue:
*
*
kFΔuΔ = .
Calcolato l’incremento di spostamento sul passo temporale si possono ricavare immediatamente lo postamento e la velocità alla fine del passo temporale: s
uΔuu 1ii += −
.
1i
.
i
.uΔuu += − .
L’accelerazione alla fine del passo temporale viene invece ricavata inserendo lo spostamento e la elocità alla fine del passo temporale nell’equazione incrementale linearizzata del moto: v
( ) ( ) ( )( )iSiDii
..FFF
m1u −−= .
Il metodo di Newmark-Beta risulta quindi essere caratterizzato dal seguente algoritmo: 1i
..
1i
.
1i u;u;u −−− i** u;uΔ;FΔ;k
⇒ 1i1i k;c;m −− i
..u;uΔ
FΔ i
..
ii u;c;k . Solitamente ai parametri reali γ e β si assegnano i seguenti valori:
21γ =
41
61β ÷= .
Si osserva che prendendo β = 1/6 si ottiene il metodo di Newmark o dell’accelerazione lineare, mentre prendendo β = 1/4 si ottiene il metodo di Eulero-Gauss o dell’accelerazione media costante. 12.2.4 - METODO DELLE DIFFERENZE CENTRALI Il metodo delle differenze centrali prevede di assumere all’interno di ciascuna coppia di passi temporali adiacenti uno spostamento che presenta un andamento quadratico. Questo metodo è un
etodo condizionatamente stabile: m
stabilità ↔ T 32.0πTtΔtΔ cr ==< .
La funzione quadratica utilizzata per rappresentare lo spostamento in corrispondenza di un istante τ nterno ad una coppia di passi temporali adiacenti (-Δt < τ < Δt) assume la forma: i
( ) cτ bτ aτû 2 ++=
- 66 -
Condizioni al contorno: ( ) 1iutΔû −=− ( ) iu0û = ( ) 1iutΔû +=
→ 21ii1i
tΔ2uu2ua +− +−
=
tΔ2uub 1i1i −+ −
=
. iuc =In corrispondenza di un istante τ a metà di una coppia di passi temporali adiacenti (τ = 0) si ha uanto segue: q
( ) iuc0u ==
( )tΔ2uub
τdûd0u 1i1i
0τ
.−+
=
−==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≅
( ) 21ii1i
0τ2
2..
tΔuu2ua2
τdûd0u +−
=
+−==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≅ .
L’equazione del moto espressa in corrispondenza di un istante τ a metà di una coppia di passi temporali adiacenti (τ = 0) risulta essere:
1i1i1i2ii
1i2i1i2i Fuk
tΔ2uuc
tΔuu2um −−−
−−
−− =+−
++−
Dall’equazione del moto sopra scritta risulta possibile ricavare lo spostamento in corrispondenza di n istante τ a metà di una coppia di passi temporali adiacenti (τ = 0): u
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
+= −
−−−−− tΔ2
ctΔ
mutΔm2kuF
tΔcm2tΔ2u 1i
22i21i1i1i1i
2
i . Per inizializzare la procedura numerica si calcolano gli spostamenti u -1 e u1 con l’ausilio delle seguenti condizioni iniziali sul moto:
tΔ2uuu 11
0
.−−
=
2101
000
.
000
..
tΔuu2uukucF
m1u +−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= − .
12.3 - ERRORI COMPUTAZIONALI L’accuratezza di un metodo numerico passo-passo dipende essenzialmente dall’ampiezza scelta per il passo temporale di integrazione numerica. L’ampiezza del passo temporale di integrazione numerica deve infatti essere sufficientemente piccola da consentire una buona rappresentazione dei seguenti tre fattori:
1) storia di carico; 2) proprietà non lineari dei materiali; 3) periodo naturale di vibrazione della struttura.
Per storie di carico non particolarmente complesse le proprietà non lineari dei materiali non costituiscono un fattore decisivo nella scelta del passo temporale di integrazione numerica che quindi viene scelto solo in funzione del periodo naturale di vibrazione della struttura. Generalmente si assume un passo temporale di integrazione numerica pari a:
- 67 -
10TtΔ ≤ .
Una scelta poco idonea del passo temporale di integrazione numerica porta alla crescita di quegli errori computazionali intrinseci di tutte le soluzioni numeriche che amplificano nelle soluzioni numeriche i seguenti fenomeni privi di alcuna origine fisica:
decadimento dell’ampiezza di oscillazione (“numerical damping”); allungamento o accorciamento del periodo di oscillazione.
- 68 -
Capitolo 3
SISTEMI DISCRETI MDOF
- 1 -
1 - OSCILLATORE MULTIPLO Nella realtà le strutture sono sistemi continui con masse distribuite e quindi esse presentano un numero infinito di gradi di libertà dinamici. Esistono però casi in cui le strutture possono essere modellizzate come sistemi discreti con più gradi di libertà dinamici. Un sistema discreto con più gradi di libertà dinamici viene definito oscillatore multiplo o “multi degree of freedom system” (MDOF system).
- 2 -
2 - OSCILLATORE MULTIPLO LINEARE Un oscillatore multiplo lineare è un oscillatore multiplo composto dai seguenti elementi:
• un numero finito di masse mi indeformabili in grado di traslare in un una sola direzione; • un numero finito di molle elastiche lineari con rigidezze ki (positive) e di masse trascurabili; • un numero finito di smorzatori viscosi lineari con coefficienti di smorzamento ci (positivi) e
di masse trascurabili. Le unità di misura adottate per i parametri mi, ki, ci sono le seguenti:
[ ][ ] kgmi =mNki = [ ]
msNci⋅
= .
Le forze da considerare nell’analisi dinamica di un oscillatore multiplo lineare sono:
♦ le forze di inerzia FIi(t) delle masse mi; ♦ le reazioni FSi(t) delle molle elastiche lineari; ♦ le reazioni FDi(t) degli smorzatori viscosi lineari; ♦ le forzanti (o azioni) Fi(t).
- 3 -
3 - OSCILLATORE MULTIPLO NON LINEARE Un oscillatore multiplo non lineare è un oscillatore multiplo composto dai seguenti elementi:
• un numero finito di masse mi indeformabili in grado di traslare in un una sola direzione; • un numero finito di molle elastiche non lineari o elastoplastiche con masse trascurabili; • un numero finito di smorzatori viscosi lineari o non lineari con masse trascurabili.
- 4 -
4 - EQUAZIONE DEL MOTO Il problema dell’analisi dinamica di un oscillatore multiplo lineare viene ricondotto a quello di un sistema con delle grandezze di input e altrettante grandezze di output. Le grandezze di input sono rappresentate dalle leggi di variazione delle forzanti Fi(t); le grandezze di output sono rappresentate dalle leggi di variazione degli spostamenti ui(t) delle masse mi rispetto alla configurazione di equilibrio sotto i carichi statici e queste leggi definiscono la risposta del sistema in termini di spostamento. L’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare risulta essere un sistema di equazioni
ifferenziali ed assume la forma: d
( ) ( ) ( ) ( )tFtuKtuCtuM...
=++ con ( )tu
..= vettore delle accelerazioni;
( )tu.
= vettore delle velocità; ( )tu = vettore degli spostamenti;
M ≡ matrice di massa; C ≡ matrice di smorzamento; K ≡ matrice di rigidezza; ( )tF = vettore delle forzanti. L’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare può essere ricavata utilizzando il metodo dell’equilibrio diretto o dinamico. Questo metodo prevede di ricondurre il problema dinamico oggetto di analisi ad un problema statico aggiungendo alle forze esterne anche le forze di inerzia (principio di D’Alambert) e successivamente di eseguire gli equilibri di tutte le forze agenti su ciascuna massa mi ad ogni istante.
Si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( )tuM...tuMtuMtF n
..
in2
..
2i1
..
1iIi +++= → ( ) ( )tuMtF..
I =
→ ( ) ( ) ( ) ( )tuC...tuCtuCtF n
.
in2
.
2i1
.
1iDi +++= ( ) ( )tuCtF.
D =
→ ( ) ( ) ( ) ( )tuK...tuKtuKtF nin22i11iSi +++= ( ) ( )tuKtFS = ( ) ( ) ( ) ( )tFtFtFtF iSiDiIi =++ → ( ) ( ) ( ) ( )tFtFtFtF SDI =++
( ) ( ) ( ) ( )tFtuKtuCtuM...
=++ .
- 5 -
5 - MATRICI DELLE PROPRIETA’ STRUTTURALI L’insieme delle matrici delle proprietà strutturali comprende le seguenti matrici:
♦ matrice di rigidezza; ♦ matrice di massa; ♦ matrice di smorzamento.
5.1 - MATRICE DI RIGIDEZZA La matrice di rigidezza risulta essere una matrice simmetrica e definita positiva: TKK =
( ) ( ) ( ) ( )( ) 0tuK tu21tF tu
21V T
ST ≥== .
Ne consegue che la matrice di rigidezza può essere invertita e la sua inversa viene detta matrice di flessibilità: 1KF −≡ → ( ) ( )tuKtFS =
( ) ( ) ( )tF FtFKtu SS-1 == .
La matrice di flessibilità risulta essere anch’essa simmetrica e definita positiva: TFF ≡
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tF F tF21tF F tF
21 tFtF F
21tF tu
21V S
TSS
TTSS
TSS
T ≥==== .
Il generico elemento Kij della matrice di rigidezza rappresenta la reazione della molla elastica lineare corrispondente alla massa i-esima dovuta ad uno spostamento unitario della massa j-esima; il generico elemento Fij della matrice di flessibilità rappresenta lo spostamento della massa i-esima dovuto ad una reazione unitaria della molla elastica lineare corrispondente alla massa j-esima. 5.1.1 - TELAIO PIANO SHEAR-TYPE Un telaio piano shear-type è un telaio piano a nodi spostabili che presenta le seguenti particolarità:
nodi incastro tra travi e pilastri; pilastri incastrati alla base; travi flessionalmente ed assialmente indeformabili (EJ = ∞ e EA = ∞); pilastri flessionalmente deformabili ed assialmente indeformabili (EJ < ∞ e EA = ∞); masse dei pilastri trascurabilmente piccole rispetto alle masse delle travi.
La matrice di rigidezza di un telaio piano shear-type può essere costruita con il metodo degli spostamenti (o delle deformazioni) a partire dalle rigidezze di piano che valgono:
(∑°
=
=.piln
1ri r3
ii J
hE 12k .)
- 6 -
La matrice di rigidezza risulta essere una matrice a banda larga la cui colonna j-esima contiene i seguenti elementi non nulli: jj,1j kK −=−
1jjj,j kkK ++=
. 1jj,1j kK ++ −=Ad esempio per un telaio piano shear-type con tre piani e due ritti si ha la seguente matrice di rigidezza:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+−
−+=
33
3322
221
kk0kkkk0kkk
K .
La matrice di flessibilità di un telaio piano shear-type può essere costruita con il metodo degli spostamenti (o delle deformazioni) a partire dalle flessibilità di piano che valgono:
( )∑
°
=
== .piln
1ri r
3i
ii
J
1 E 12
hk1f .
Ad esempio per un telaio piano shear-type con tre piani e due ritti si ha la seguente matrice di flessibilità:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
++=
321211
21211
111
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
F .
- 7 -
5.1.2 - TELAIO PIANO GENERICO Un telaio piano generico è un telaio piano a nodi spostabili che presenta le seguenti particolarità:
nodi incastro tra travi e pilastri; pilastri incastrati alla base; travi flessionalmente ed assialmente deformabili (EJ < ∞ e EA < ∞); pilastri flessionalmente ed assialmente deformabili (EJ < ∞ e EA < ∞); masse delle travi e dei pilastri confrontabili tra loro.
La matrice di rigidezza di un telaio piano generico viene costruita con il metodo degli elementi finiti. Il metodo degli elementi finiti prevede di dividere il telaio oggetto di analisi in un numero finito di elementi piani di trave che vengono connessi fra loro in dei punti detti nodi e la matrice di rigidezza del telaio viene calcolata per assemblaggio delle matrici di rigidezza dei singoli elementi piani di trave. Il campo degli spostamenti flessionali nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia flessionale variabile viene espresso in funzione del campo degli spostamenti flessionali dei nodi nelle estremità di tale elemento utilizzando delle opportune funzioni di forma. Consideriamo un generico elemento di trave sollecitato da spostamenti flessionali nei nodi I e J di estremità: Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale vale la eguente relazione: s
''' qkQ = con 'Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; 'k = matrice di rigidezza dell’elemento di trave nel sistema locale; 'q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema locale.
- 8 -
Tenendo in considerazione le deformazioni associate ai soli spostamenti flessionali nodali i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente quattro. Le funzioni di forma utilizzate per esprimere il vettore degli spostamenti flessionali dell’elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale in funzione del vettore degli spostamenti flessionali nodali nel sistema di riferimento locale vengono ottenute integrando l’equazione della linea elastica risultano essere dei polinomi Hermitiani cubici: e
( ) 0xφ EJ 'IV = ( ) axφ 'III = ( ) baxxφ ''II +=
( ) ( ) cbx2
xaxφ '2'
'I ++=
( ) ( ) ( ) dcx2
xb6
xaxφ '2'3'
' +++= . I coefficienti incogniti contenuti nelle funzioni di forma vengono esplicitati imponendo che la funzione di forma sia unitaria in corrispondenza di un certo spostamento flessionale nodale e nulla n corrispondenza degli altri spostamenti flessionali nodali: i
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
====
+++=
0Lφ ,0Lφ ,00φ ,10φ
dcx2
xb6
xaxφ
I11
I11
'2'3'
'1 → ( )
3'2''
1 Lx 2
Lx 31xφ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
====
+++=
0Lφ ,0Lφ ,10φ ,00φ
dcx2
xb6
xaxφ
I22
I22
'2'3'
'2 → ( )
2'''
2 Lx1xxφ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
====
+++=
0Lφ ,1Lφ ,00φ ,00φ
dcx2
xb6
xaxφ
I33
I33
'2'3'
'3 → ( )
3'2''
3 Lx 2
Lx 3xφ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
====
+++=
1Lφ ,0Lφ ,00φ ,00φ
dcx2
xb6
xaxφ
I44
I44
'2'3'
'4 → ( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 1
Lx
Lxxφ
'2''
4 .
Il vettore degli spostamenti flessionali nel sistema di riferimento locale dell’elemento piano di trave viene determinato moltiplicando le funzioni di forma per il vettore degli spostamenti flessionali odali nel sistema di riferimento locale: n
( ) ( )∑=
=4
1i
'
i'
i' q xφxv
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '
4'
4'
3'
3'
2'
2'
1'
1' q xφq xφq xφq xφxv +++= .
- 9 -
Gli elementi della matrice di rigidezza flessionale nel sistema di riferimento locale di un generico lemento piano di trave vengono calcolati tramite la seguente relazione integrale: e
( ) ( )[ ]∫=L
0
''IIj
'IIi
'ij dx xφ xφ EJk .
Infatti ad esempio per il termine k’14 si ha quanto segue: Imponendo una rotazione unitaria nel nodo J si ottiene:
1q'4 = → ( ) ( )∑
=
=4
1i
'
i'
i' q xφxv
( ) ( ) ( ) ( ) '
4'
4'
3'
3'
2'
2'
1'
1 q xφq xφq xφq xφ +++=
( ) '
4'
4 q xφ=
( )'4 xφ=
→ ( ) ( )∑=
=4
1i
'
i'
i' qδ xφxvδ
( ) ( ) ( ) ( ) '
4'
4'
3'
3'
2'
2'
1'
1 qδ xφqδ xφqδ xφqδ xφ +++=
( ) '
1'
1 qδ xφ=
→ T'44
'34
'24
'14
' k ,k ,k ,kQ = . Il momento flettente e la variazione di curvatura valgono quindi: ( ) ( )'II
4' xφ EJxM =
( ) ( ) qδ xφxχδ 'II1
' = . Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene: '
1'14VE qδ kL =
( )[ ] ( )( )'L
0
'VI xχδd xML ∫=
→ VIVE LL = ( )[ ] ( )( )'L
0
''
1'14 xχδd xMqδ k ∫=
( )[ ] ( ) '
1''II
1
L
0
'II4
'
1'14 qδ dx xφ xφ EJqδ k ∫=
- 10 -
( )[ ] ( ) ''II1
L
0
'II4
'
1
'
1'14 dx xφ xφ EJ qδqδ k ∫= '
1qδ ∀
( )[ ] ( ) ''II1
L
0
'II4
'14 dx xφ xφ EJk ∫=
⇒ ( ) ( )[ ] 'L
0
'II1
'II4
'14 dx xφ xφ EJk ∫= .
Nel caso di un elemento piano di trave caratterizzato da una sezione trasversale costante lungo l’asse di riferimento la matrice di rigidezza flessionale nel sistema di riferimento locale risulta ssere: e
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
=
22
22
3'
L2L3LL3L36L36
LL3L23L3L63L6
LEJ 2k .
Il campo degli spostamenti assiali nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia flessionale variabile viene espresso in funzione del campo degli spostamenti assiali dei nodi nelle estremità di tale elemento utilizzando delle opportune funzioni di forma. Consideriamo un generico elemento di trave sollecitato da spostamenti assiali nei nodi I e J di estremità: Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale vale la eguente relazione: s
''' qkQ = con 'Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; 'k = matrice di rigidezza dell’elemento di trave nel sistema locale; 'q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema locale. Tenendo in considerazione le deformazioni associate ai soli spostamenti assiali nodali i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente due. Le funzioni di forma utilizzate per esprimere il vettore degli spostamenti assiali dell’elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale in funzione del vettore degli spostamenti assiali nodali nel sistema di riferimento locale vengono ottenute integrando l’equazione della linea elastica e risultano ssere dei polinomi Hermitiani lineari: e
( ) 0xφ EA 'II = ( ) axφ 'I =
( ) baxxφ '' += . I coefficienti incogniti contenuti nelle funzioni di forma vengono esplicitati imponendo che la funzione di forma sia unitaria in corrispondenza di un certo spostamento assiale nodale e nulla in orrispondenza dell’altro spostamento assiale nodale: c
→ ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
==+=
0Lφ ,10φbaxxφ
11
''1 ( )
Lx1xφ
''
1 −=
- 11 -
( )( ) ( )⎩
⎨⎧
==+=
1Lφ ,00φbaxxφ
22
''2 → ( )
Lxxφ
''
2 = . Il vettore degli spostamenti assiali nel sistema di riferimento locale dell’elemento piano di trave viene determinato moltiplicando le funzioni di forma per il vettore degli spostamenti assiali nodali el sistema di riferimento locale: n
( ) ( )∑=
=2
1i
'
i'
i' q xφxu
( ) ( ) ( ) '
2'
2'
1'
1' q xφq xφxu += .
Gli elementi della matrice di rigidezza assiale nel sistema di riferimento locale di un generico lemento piano di trave vengono calcolati tramite la seguente relazione integrale: e
( ) ( )[ ]∫=L
0
''Ij
'Ii
'ij dx xφ xφ EAk .
Infatti ad esempio per il termine k’12 si ha quanto segue: Imponendo una traslazione unitaria nel nodo J si ottiene:
→ 1q '2 = ( ) ( )∑
=
=2
1i
'
i'
i' q xφxu
( ) ( ) '
2'
2'
1'
1 q xφq xφ +=
( ) '
2'
2 q xφ=
( )'2 xφ=
→ ( ) ( )∑=
=2
1i
'
i'
i' qδ xφxuδ
( ) ( ) '
2'
2'
1'
1 qδ xφqδ xφ +=
( ) '
1'
1 qδ xφ=
→ T'22
'12
' k ,kQ = . La forza normale e la variazione di spostamento assiale valgono quindi:
( ) ( )'I2
' xφ EAxN = ( ) ( ) '
1'
1' qδ xφxuδ = .
Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene: '
1'12VE qδ kL =
( )[ ] ( )( )'L
0
'VI xuδd xNL ∫=
→ VIVE LL = ( )[ ] ( )( )'L
0
''
1'12 xuδd xNqδ k ∫=
( )[ ] ( ) '
1''I
1
L
0
'I2
'
1'12 qδ dx xφ xφ EAqδ k ∫=
( )[ ] ( ) ''I1
L
0
'I2
'
1
'
1'12 dx xφ xφ EA qδqδ k ∫= '
1qδ ∀
( )[ ] ( ) ''I1
L
0
'I2
'12 dx xφ xφ EAk ∫=
⇒ ( ) ( )[ ] 'L
0
'I1
'I2
'12 dx xφ xφ EAk ∫= .
- 12 -
Nel caso di un elemento piano di trave caratterizzato da una sezione trasversale costante lungo ’asse di riferimento la matrice di rigidezza assiale nel sistema di riferimento locale risulta essere: l
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
1111
LEAk' .
Il campo degli spostamenti totali nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia variabile viene ricavato sommando i campi degli spostamenti flessionali ed assiali nel sistema di riferimento locale di tale elemento piano di trave. Consideriamo un generico elemento di trave sollecitato da spostamenti flessionali ed assiali nei nodi I e J di estremità: Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale vale la eguente relazione: s
''' qkQ = con 'Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; 'k = matrice di rigidezza dell’elemento di trave nel sistema locale;
'q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema locale. Tenendo in considerazione le deformazioni associate sia agli spostamenti flessionali che a quelli assiali nei nodi i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente sei. Gli elementi della matrice di rigidezza totale nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave vengono ricavati combinando gli elementi delle matrici di rigidezza flessionale ed assiale nel sistema di riferimento locale di tale elemento piano di trave. Nel caso di un elemento piano di trave caratterizzato da una sezione trasversale costante lungo l’asse di riferimento a matrice di rigidezza totale nel sistema di riferimento locale risulta essere: l
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
−−
−
=
22
22
22
22
3'
L4L60L2L60L6120L6120
00J
AL00J
ALL2L60L4L60
L6120L6120
00J
AL00J
AL
LEJk .
Il campo degli spostamenti totali nel sistema di riferimento globale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia variabile viene ottenuto dal campo degli spostamenti totali del medesimo elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale tramite le seguenti rasformazioni di coordinate per le azioni nodali e gli spostamenti nodali: t
Q RQ' = e q Rq' = con R = matrice di rotazione.
'Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale;
- 13 -
'q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema globale.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
≡
1000000αcosαsen0000αsenαcos0000001000000αcosαsen0000αsenαcos
R
Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento globale vale quindi a seguente relazione: l
q kQ = con Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale; k = matrice di rigidezza dell’elemento di trave nel sistema globale; q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema globale. Infatti: ''' q kQ =
( ) ( ) q R k Q R '=
( )( ) q R k RQ 'T=
( )q R k R Q 'T= ⇒ q kQ . = Tenendo in considerazione le deformazioni associate sia agli spostamenti flessionali che a quelli assiali nei nodi i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente sei. Gli elementi della matrice di rigidezza totale nel sistema di riferimento globale di un generico elemento piano di trave vengono ricavati trasformando opportunamente gli elementi della matrice di rigidezza totale nel sistema di riferimento locale del medesimo elemento piano di trave. Il campo degli spostamenti totali nel sistema di riferimento globale di un telaio piano generico viene determinato per assemblaggio dei campi degli spostamenti totali nel sistema di riferimento globale dei singoli elementi piani di trave componenti il telaio. Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento globale vale la eguente relazione: s
- 14 -
U Cq = con q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema globale; C ≡ matrice di connessione o congruenza nel sistema globale;
U = vettore degli spostamenti nodali del telaio nel sistema globale. La matrice di rigidezza totale nel sistema di riferimento globale di un telaio piano viene ricavata assemblando le matrici di rigidezza totali nel sistema di riferimento globale dei singoli elementi iani di trave componenti il telaio: p
( )∑°
=
=.elemn
1iii
'i
Ti
Ti
C R k R C K . Infatti: Le forze nodali sono: F e
'i
Q . Gli spostamenti virtuali sono: Uδ e
'
iqδ .
Applicando il principio dei lavori virtuali al telaio piano generico si ottiene: ( ) FUδL T
VE =
( )[ ]∑°
=
=.elemn
1i
'i
T'
iVI QqδL
VIVE LL = → ( ) ( )[ ]∑°
=
=.elemn
1i
'i
T '
i
T QqδFUδ
( ) ( ) ( )[ ]∑°
=
=.elemn
1i
'
i
'i
T'
i
T q k qδFUδ
( ) ( ) ( )[ ]∑°
=
=.elemn
1i ii'i
T
iiT q R k qδ R FUδ
( ) ( ) ( )[ ]∑°
=
=.elemn
1iii
'i
Tii
T U C R k Uδ C R FUδ
( ) ( )[ ]( ) ∑°
=
=.elemn
1iii
'i
Ti
Ti
TT U C R k R CUδ FUδ
( ) ( ) ( )( )[ ]∑°
=
=.elemn
1iii
'i
Ti
Ti
TT U C R k R C UδFUδ
( )( )[ ]∑°
=
=.elemn
1iii
'i
Ti
Ti
U C R k R C F
( )( )[ ] U C R k R C F.elemn
1iii
'i
Ti
T
i ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= ∑°
=
( )( )[ ]∑°
=
=.elemn
1iii
'i
Ti
Ti
C R k R C UF
( )∑°
=
=.elemn
1iii
'i
Ti
Ti
C R k R C UF
⇒ ( )∑°
=
=.elemn
1iii
'i
Ti
Ti
C R k R C K .
5.2 - MATRICE DI MASSA
- 15 -
La matrice di massa risulta essere una matrice definita positiva:
( ) ( ) 0tu Mtu21T
.T.≥⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= .
Il generico elemento Mij della matrice di massa rappresenta la forza di inerzia specifica (per unità di accelerazione) corrispondente alla massa i-esima dovuta ad una accelerazione unitaria della massa j-esima. Esistono due tipologie di matrice di massa:
matrice di massa coerente (o consistent mass matrix): → la massa di un telaio piano viene considerata distribuita lungo tutti gli elementi che
compongono il telaio stesso; → matrice coerente per costruzione alla matrice di rigidezza di un telaio piano generico.
matrice di massa concentrata (o lumped mass matrix): → la massa di un telaio piano viene considerata concentrata in determinati punti del telaio
stesso. 5.2.1 - MATRICE DI MASSA COERENTE (CONSISTENT MASS MATRIX) La matrice di massa coerente di un telaio piano viene costruita con il metodo degli elementi finiti. Il metodo degli elementi finiti prevede di dividere il telaio oggetto di analisi in un numero finito di elementi piani di trave che vengono connessi fra loro in dei punti detti nodi e la matrice di massa coerente del telaio viene calcolata per assemblaggio delle matrici di massa coerente dei singoli elementi piani di trave. Il calcolo delle matrici di massa coerente dei singoli elementi piani di trave viene condotto supponendo che la massa di ciascun elemento piano di trave sia distribuita lungo lo sviluppo del medesimo elemento. Il campo delle accelerazioni flessionali nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia flessionale variabile viene espresso in funzione del campo delle accelerazioni flessionali dei nodi nelle estremità di tale elemento utilizzando delle opportune funzioni di forma. Consideriamo un generico elemento di trave sollecitato da accelerazioni flessionali nei nodi I e J di estremità: Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale vale la eguente relazione: s
'..
'C
' qmQ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
con 'Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; '
Cm = matrice di massa coerente dell’elemento di trave nel sistema locale;
'..q ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ = vettore delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale.
- 16 -
Tenendo in considerazione le deformazioni associate alle sole accelerazioni flessionali nodali i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente quattro. Le funzioni di forma utilizzate per esprimere il vettore delle accelerazioni flessionali dell’elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale in funzione del vettore delle accelerazioni flessionali nodali nel sistema di riferimento locale vengono ottenute integrando l’equazione della linea elastica risultano essere dei polinomi Hermitiani cubici: e
( ) 0xφ EJ 'IV = ( ) axφ 'III = ( ) baxxφ ''II +=
( ) ( ) cbx2
xaxφ '2'
'I ++=
( ) ( ) ( ) dcx2
xb6
xaxφ '2'3'
' +++= . I coefficienti incogniti contenuti nelle funzioni di forma vengono esplicitati imponendo che la funzione di forma sia unitaria in corrispondenza di un certo spostamento flessionale nodale e nulla n corrispondenza degli altri spostamenti flessionali nodali: i
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
====
+++=
0Lφ ,0Lφ ,00φ ,10φ
dcx2
xb6
xaxφ
I11
I11
'2'3'
'1 → ( )
3'2''
1 Lx 2
Lx 31xφ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
====
+++=
0Lφ ,0Lφ ,10φ ,00φ
dcx2
xb6
xaxφ
I22
I22
'2'3'
'2 → ( )
2'''
2 Lx1xxφ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
====
+++=
0Lφ ,1Lφ ,00φ ,00φ
dcx2
xb6
xaxφ
I33
I33
'2'3'
'3 → ( )
3'2''
3 Lx 2
Lx 3xφ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
====
+++=
1Lφ ,0Lφ ,00φ ,00φ
dcx2
xb6
xaxφ
I44
I44
'2'3'
'4 → ( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 1
Lx
Lxxφ
'2''
4 .
Il vettore delle accelerazioni flessionali nel sistema di riferimento locale dell’elemento piano di trave viene determinato moltiplicando le funzioni di forma per il vettore delle accelerazioni lessionali nodali nel sistema di riferimento locale: f
( ) ( )∑=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
4
1i
'
i
..'
i'
..q xφxv
( ) ( ) ( ) ( ) ( )'
4
..'
4
'
3
..'
3
'
2
..'
2
'
1
..'
1'
..q xφq xφq xφq xφxv ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= .
Gli elementi della matrice di massa coerente flessionale nel sistema di riferimento locale di un enerico elemento piano di trave vengono calcolati tramite la seguente relazione integrale: g
( ) ( )[ ]∫=L
0
''j
'i
'Cij dx xφ xφ μ m .
Infatti ad esempio per il termine k’14 si ha quanto segue: Imponendo una accelerazione angolare unitaria nel nodo J si ottiene:
- 17 -
→ 1q'
4
..=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ( ) ( )∑
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
4
1i
'
i
..'
i'
..q xφxv
( ) ( ) ( ) ( )'
4
..'
4
'
3
..'
3
'
2
..'
2
'
1
..'
1 q xφq xφq xφq xφ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
( )'
4
..'
4 q xφ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
( )'4 xφ=
→ ( ) ( )∑=
=4
1i
'
i'
i' qδ xφxvδ
( ) ( ) ( ) ( ) '
4'
4'
3'
3'
2'
2'
1'
1 qδ xφqδ xφqδ xφqδ xφ +++=
( ) '
1'
1 qδ xφ= → '
44C'
34C'
24C'
14C' m ,m ,m ,mQ = .
La forza di inerzia e la variazione dello spostamento flessionale valgono quindi:
( ) ( ) ( )'..''
I xv xμxf = ( ) ( ) '
1'
1' qδ xφxvδ = .
Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene: '
1'
14CVE qδ mL =
( )[ ] ( )( )'L
0
'IVI xvδd xfL ∫=
→ VIVE LL = ( )[ ] ( )( )'L
0
'I
'
1'
14C xvδd xfqδ m ∫=
( )[ ] ( ) '
1''
1
L
0
'4
'
1'
14C qδ dx xφ xφ μ qδ m ∫=
( )[ ] ( ) ''1
L
0
'4
'
1
'
1'
14C dx xφ xφ μ qδqδ m ∫= '
1qδ ∀
( )[ ] ( ) ''1
L
0
'4
'14C dx xφ xφ μ m ∫=
⇒ ( ) ( )[ ] 'L
0
'1
'4
'14C dx xφ xφ μ m ∫= .
Nel caso di un elemento piano di trave caratterizzato da una sezione trasversale costante lungo l’asse di riferimento la matrice di massa coerente flessionale nel sistema di riferimento locale risulta ssere: e
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
22
22'C
L4L22L3L13L22156L1354
L3L13L422L13L5422L156
420Lμm .
Il campo delle accelerazioni assiali nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia flessionale variabile viene espresso in funzione del campo delle accelerazioni assiali dei nodi nelle estremità di tale elemento utilizzando delle opportune funzioni di forma. Consideriamo un generico elemento di trave sollecitato da accelerazioni assiali nei nodi I e J di estremità:
- 18 -
Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale vale la eguente relazione: s
'..
'C
' qmQ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
con 'Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; '
Cm = matrice di massa coerente dell’elemento di trave nel sistema locale;
'..q ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ = vettore delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale.
Tenendo in considerazione le deformazioni associate alle sole accelerazioni assiali nodali i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente due. Le funzioni di forma utilizzate per esprimere il vettore delle accelerazioni assiali dell’elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale in funzione del vettore delle accelerazioni assiali nodali nel sistema di riferimento locale vengono ottenute integrando l’equazione della linea elastica risultano essere dei polinomi Hermitiani lineari: e
( ) 0xφ EA 'II = ( ) axφ 'I =
( ) baxxφ '' += . I coefficienti incogniti contenuti nelle funzioni di forma vengono esplicitati imponendo che la funzione di forma sia unitaria in corrispondenza di un certo spostamento assiale nodale e nulla in orrispondenza dell’altro spostamento assiale nodale: c
→ ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
==+=
0Lφ ,10φbaxxφ
11
''1 ( )
Lx1xφ
''
1 −=
( )( ) ( )⎩
⎨⎧
==+=
0Lφ ,00φbaxxφ
22
''2 → ( )
Lxxφ
''
2 = . Il vettore delle accelerazioni assiali nel sistema di riferimento locale dell’elemento piano di trave viene determinato moltiplicando le funzioni di forma per il vettore delle accelerazioni assiali nodali el sistema di riferimento locale: n
( ) ( )∑=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2
1i
'
i
..'
i'
..q xφxu
( ) ( ) ( )'
2
..'
2
'
1
..'
1'
..q xφq xφxu ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= .
Gli elementi della matrice di massa coerente assiale nel sistema di riferimento locale di un enerico elemento piano di trave vengono calcolati tramite la seguente relazione integrale: g
….. . Infatti ad esempio per il termine k’12 si ha quanto segue: ….. .
- 19 -
Nel caso di un elemento piano di trave caratterizzato da una sezione trasversale costante lungo l’asse di riferimento la matrice di massa coerente assiale nel sistema di riferimento locale risulta ssere: e
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1407070140
420Lμm'
C .
Il campo delle accelerazioni totali nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia variabile viene ricavato sommando i campi delle accelerazioni flessionali ed assiali nel sistema di riferimento locale di tale elemento piano di trave. Consideriamo un generico elemento di trave sollecitato da accelerazioni flessionali ed assiali nei nodi I e J di estremità: Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale vale la eguente relazione: s
'..
'C
' qmQ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
con 'Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; '
Cm = matrice di massa coerente dell’elemento di trave nel sistema locale;
'..q ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ = vettore delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale.
Tenendo in considerazione le deformazioni associate sia alle accelerazioni flessionali che a quelle assiali nei nodi i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente sei. Gli elementi della matrice di massa coerente totale nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave vengono ricavati combinando gli elementi delle matrici di massa coerente flessionale ed assiale nel sistema di riferimento locale di tale elemento piano di trave. Nel caso di un elemento piano di trave caratterizzato da una sezione trasversale costante lungo l’asse di iferimento la matrice di massa coerente totale nel sistema di riferimento locale risulta essere: r
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
=
22
22'C
L4L220L3L130L221560L13540
001400070L3L130L4L220L13540L221560
007000140
420Lμm .
Il campo delle accelerazioni totali nel sistema di riferimento globale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia variabile viene ottenuto dal campo delle accelerazioni totali del medesimo elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale tramite le seguenti rasformazioni di coordinate per le azioni nodali e le accelerazioni nodali: t
Q RQ' = e ..'..q Rq =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
- 20 -
con R = matrice di rotazione.
'Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale;
'..q ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ = vettore delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale;
..q = vettore delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
≡
1000000αcosαsen0000αsenαcos0000001000000αcosαsen0000αsenαcos
R .
Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento globale vale quindi a seguente relazione: l
..
Cq mQ =
con Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale;
Cm = matrice di massa coerente dell’elemento di trave nel sistema globale;
..q = vettore delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale.
Infatti: '..
'C
' q mQ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
..'C
q R m Q R
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
..'C
T q R m RQ
( ) ..'C
T q R mR Q =
..
Cq mQ = .
Tenendo in considerazione le deformazioni associate sia alle accelerazioni flessionali che a quelle assiali nei nodi i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente sei.
- 21 -
Gli elementi della matrice di massa coerente totale nel sistema di riferimento globale di un generico elemento piano di trave vengono ricavati trasformando opportunamente gli elementi della matrice di massa coerente totale nel sistema di riferimento locale del medesimo elemento piano di trave. Il campo delle accelerazioni totali nel sistema di riferimento globale di un telaio piano viene determinato per assemblaggio dei campi delle accelerazioni totali nel sistema di riferimento globale dei singoli elementi piani di trave componenti il telaio. Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento globale valgono le eguenti relazioni: s
U Cq = e ....U Cq =
con q ,
..q = vettori degli spostamenti e delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel
sistema globale; U ,
..U = vettori degli spostamenti e delle accelerazioni nodali del telaio nel sistema
globale; C ≡ matrice di connessione o congruenza nel sistema globale. La matrice di massa coerente totale nel sistema di riferimento globale di un telaio piano viene ricavata assemblando le matrici di massa coerente totale nel sistema di riferimento globale dei ingoli elementi piani di trave componenti il telaio: s
( )∑°
=
=.elemn
1iii
'Ci
Ti
TiC
C R m R C M . Infatti: Le forze nodali sono: F e
'i
Q . Gli spostamenti virtuali sono: Uδ e
'
iqδ .
Applicando il principio dei lavori virtuali al telaio piano si ottiene: ( ) FUδL T
VE =
( )[ ]∑°
=
=.elemn
1i
'i
T'
iVI QqδL
VIVE LL = → ( ) ( )[ ]∑°
=
=.elemn
1i
'i
T '
i
T QqδFUδ
( ) ( )∑°
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
.elemn
1i
'
i
..'Ci
T'
i
T q mqδFUδ
( ) ( )∑°
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
.elemn
1i i
..
i'Ci
T
iiT q R m qδ R FUδ
( ) ( )∑°
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
.elemn
1i
..
ii'Ci
T
iiT U C R mUδ C R FUδ
( ) ( )[ ]∑°
= ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
.elemn
1i
..
ii'Ci
Ti
T
i
TT U C R m R CUδ FUδ
( ) ( ) ( )∑°
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
.elemn
1i
..
ii'Ci
Ti
T
i
TT U C R m R C UδFUδ
- 22 -
( )∑°
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
.elemn
1i
..
ii'Ci
Ti
T
iU C R m R C F
( )( )[ ] ...elemn
1iii
'Ci
Ti
T
iU C R m R C F
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= ∑°
=
( )( )[ ]∑°
=
=.elemn
1iii
'Ci
Ti
T
i.. C R m R C U
F
( )∑°
=
=.elemn
1iii
'Ci
Ti
Ti.. C R m R C
U
F
⇒ ( )∑°
=
=.elemn
1iii
'Ci
Ti
TiC
C R m R C M .
5.2.2 - MATRICE DI MASSA CONCENTRATA (LUMPED MASS MATRIX) La matrice di massa concentrata di un telaio piano viene costruita con il metodo degli elementi finiti. Il metodo degli elementi finiti prevede di dividere il telaio oggetto di analisi in un numero finito di elementi piani di trave che vengono connessi fra loro in dei punti detti nodi e la matrice di massa concentrata del telaio viene calcolata per assemblaggio delle matrici di massa concentrata dei singoli elementi piani di trave. Il calcolo delle matrici di massa concentrata dei singoli elementi piani di trave viene condotto supponendo che la massa di ciascun elemento piano di trave sia concentrata nei nodi di estremità del medesimo elemento. Le masse degli elementi piani di trave di un telaio piano vengono trasferite ai nodi di estremità dei medesimi elementi utilizzando le regole delle statica. A ciascun nodo di un telaio piano resta quindi associata una massa che risulta essere pari alla somma dei contributi delle masse degli elementi piani di trave connessi da quel nodo.
- 23 -
La matrice di massa concentrata totale nel sistema di riferimento locale relativa ad un generico elemento piano di trave risulta essere una matrice diagonale semidefinita positiva con elementi nulli in corrispondenza dei gradi di libertà rotazionali ed elementi pari alle masse associate ai nodi in orrispondenza dei gradi di libertà traslazionali: c
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0000000m000000m0000000000000m000000m
m
J
J
I
I
'L
.
La matrice di massa concentrata totale nel sistema di riferimento globale di un generico elemento piano di trave viene ricavata trasformando opportunamente la matrice di massa concentrata totale nel sistema di riferimento locale del medesimo elemento piano di trave. Similmente a quanto visto per la matrice di massa concentrata anche la matrice di massa concentrata totale nel sistema di riferimento globale di un telaio piano viene ricavata assemblando le matrici di massa concentrata totale nel sistema di riferimento globale dei singoli elementi piani di rave componenti il telaio: t
( )∑°
=
=.elemn
1iii
'Li
Ti
TiL
C R m R C M .
5.3 - MATRICE DI SMORZAMENTO La matrice di smorzamento viene costruita sulla base dei rapporti di smorzamento e risulta essere una matrice definita positiva. Il generico elemento Cij della matrice di smorzamento rappresenta la reazione specifica (per unità di velocità) dello smorzatore viscoso lineare corrispondente alla massa i-esima dovuta ad una velocità unitaria della massa j-esima. 5.4 - CARICHI EQUIVALENTI NODALI Un carico distribuito flessionale o assiale agente su un generico elemento piano di trave può essere trasformato con il principio dei lavori virtuali in un insieme di carichi concentrati equivalenti agenti sui nodi di estremità di tale elemento piano di trave. Consideriamo per esempio quanto segue: Il carico distribuito flessionale agente su un elemento piano di trave sia: ( )'xp . I carichi concentrati equivalenti agenti sui nodi dell’elemento piano di trave siano: . '
4'3
'2
'1 P ,P ,P ,P
Gli spostamenti virtuali siano: '
1qδ
- 24 -
( ) ( ) '
1'
1' qδ xφxvδ = .
Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene: '
1'
1VE qδ PL =
( )[ ] ( )'L
0
'VI xvd xp L ∫=
→ VIVE LL = ( )[ ] ( )'L
0
''
1'
1 xvd xp qδ P ∫=
( )[ ] ( )( )'
1''
1
L
0
''
1'
1 qδ dx xφ xp qδ P ∫=
( )[ ] ( )( )''1
L
0
''
1
'
1'
1 dx xφ xp qδqδ P ∫=
( )[ ] ( )( )''1
L
0
''1 dx xφ xp P ∫=
( ) ( )[ ] 'L
0
'1
''1 dx xφ xp P ∫= .
5.5 - METODO DELLA CONDENSAZIONE STATICA Il metodo della condensazione statica è un metodo numerico che permette di ridurre l’onere computazionale associato all’implementazione numerica delle matrici delle proprietà strutturali tramite un riarrangiamento dei gradi di libertà ad esse associati. Questo metodo risulta essere molto efficiente nell’analisi dinamica di un singolo elemento strutturale ma porta a consistenti errori nell’analisi dinamica di intere strutture in quanto modifica la forma delle matrici delle proprietà strutturali (ed in particolare della matrice di rigidezza). 5.5.1 - MATRICE DI RIGIDEZZA CONDENSATA I l vettore degli spostamenti può essere scritto scomponendo spostamenti primari e secondari:
( ) ( )( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=tutu
tuP
S con ( )tu = vettore degli spostamenti; ( ) T
21P ... ,u ,utu = = vettore degli spostamenti primari. ( ) T
21S ... ,γ ,γtu = = vettore degli spostamenti secondari. Generalmente in un telaio piano shear-type si considerano primari gli spostamenti di traslazione orizzontale delle travi e secondari gli spostamenti di rotazione dei nodi. Ipotizzando che il vettore delle azioni sia diverso da zero solo in corrispondenza degli spostamenti rimari si ha: p
( ) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=tF
0tF
P
con ( )tF = vettore delle azioni;
( )tFP = vettore delle azioni primarie.
- 25 -
La matrice di rigidezza risulta essere ripartita in quattro sottomatrici e per l’equilibrio dinamico si uò scrivere: p
( ) ( )tu KtF =
( )( )( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
tutu
KKKK
tF0
P
S
PPTSP
SPSS
P
( ) ( )
( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
+=
(2) tu Ktu KtF(1) tu Ktu K0
PPPSTSPP
PSPSSS con
SSK = sottomatrice dei momenti dovuti a rotazioni unitarie;
SP
K = sottomatrice dei momenti dovuti a traslazioni unitarie;
PPK = sottomatrice delle forze dovute a traslazioni unitarie.
Si osserva che nel caso di un telaio piano la matrice di rigidezza e le sue sottomatrici presentano le seguenti dimensioni: K ; → [ ]piani nnodi n °×°
SS
K → [ ]nodi nnodi n °×° ;
SPK → [ ]nodi npiani n °×° ;
PP
K → [ ]piani npiani n °×° .
Moltiplicando l’equazione (1) per 1SS
K− si ottiene:
( ) ( )( )tu Ktu K K0 PSPSSS1
SS+= −
( ) ( )tu K Ktu K K SSS1
SSPSP1
SS−− =−
( ) ( )tu Itu K K SPSP1
SS=− −
SP
1SS
K K T −∧
−≡ → [ ]piani nnodi n °×°
( ) ( )tutu T SP =∧
( ) ( )tu Ttu PS
∧
= . S ostituendo nell’equazione (2) quanto appena ottenuto dall’equazione (1) si ottiene: ( ) ( ) ( )tu Ktu KtF PPPS
TSPP +=
( ) ( ) ( )tu Ktu T KtF PPPPTSPP +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=∧
( ) ( )tu K T KtF PPPTSPP ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∧
SP
1SS
TSPPPPP
TSP.cond
K K KKK T KK −∧
−=+≡ ≡ matrice di rigidezza condensata ( ) ( )tu KtF P.condP = . I l vettore degli spostamenti può quindi essere scritto come segue:
( ) ( )( ) ( ) ( )tu Ttu
IT
tutu
tu PPP
S =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=∧
- 26 -
con ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡≡
∧
ITT = matrice di trasformazione → ( )[ ]piani npiani nnodi n °×°+° .
P er l’equilibrio dinamico si può quindi scrivere: ( ) ( )tu KtF = ( ) ( )( )tu T KtF P= ( ) ( )tu T KtF P= . Moltiplicando per TT l’equazione appena scritta e ricordando che ( ) ( )tu KtF P.condP = si giunge ad ttenere la matrice di rigidezza condensata: o
( ) ( )tu T K TtF T PTT =
( ) ( )tu T K TtF
0 IT P
T
P
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ∧
( ) ( )tu T K TtF PT
P = ⇒ T K TK T
.cond≡ .
5.5.2 - MATRICE DI MASSA CONDENSATA Procedendo analogamente a quanto fatto per ricavare la matrice di rigidezza condensata si giunge d ottenere anche la matrice di massa condensata: a
( ) ( )tu MtF P
..
.condP = ⇒ T M TM T
.cond≡ .
5.5.3 - MATRICE DI SMORZAMENTO CONDENSATA Procedendo analogamente a quanto fatto per ricavare la matrice di rigidezza condensata si giunge d ottenere anche la matrice di smorzamento condensata: a
( ) ( )tu CtF P
.
.condP = ⇒ T C TC T
.cond≡ .
- 27 -
6 - VIBRAZIONI LIBERE Un oscillatore multiplo lineare si trova in regime di vibrazioni libere quando si muove in assenza di alcuna forzante. 6.1 - VIBRAZIONI NON SMORZATE In assenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare in egime di vibrazioni libere assume la forma: r
( ) ( ) 0tu Ktu M..
=+ . Supponendo che in assenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere sia di tipo sinusoidale l’equazione del moto risulta fornire un problema agli autovalori ed autovettori detto problema dell’analisi modale (o problema delle vibrazioni) nel quale gli autovalori sono le frequenze circolari naturali e gli autovettori sono i modi di vibrare:
( ) ( ) 0tu Ktu M..
=+ ( ) ( )αtωsen ûtu += ( ) ( )αtωcos û ωtu
.+=
( ) ( ) ( )tuωαtωsen ûωtu 22..
−=+−= ( )( ) ( )( ) 0αtωsen û Kαtωsen ûω M 2 =+++−
( ) ( ) 0û Kûω M 2 =+− Equazione caratteristica: ( ) 0û MωK 2 =−
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−−
0...00
û...ûû
mωk...........................mωkmωk......mωkmωk
n
2
1
nn2
nn
222
22212
21
122
12112
11
Autovalori: ( ) 0MωK det 2 =− n21 ω...ωω ≤≤≤ con = frequenza circolare naturale i-esima ( viene definita frequenza iω 1ω
circolare naturale fondamentale) Autovettori: ( ) 0û MωK )i(2
i =−
)n()2()1( û ..., ,û ,û con )i(û = modo di vibrare i-esimo ( ) 0û MωK )i(2
i =−
- 28 -
( ) 0û MKωKK )i(12i
1 =− −− moltiplicando per 1K−
MKD 1−≡ ≡ matrice dinamica
( ) 0û DωI )i(2i =−
0û Dωû I )i(2
i)i( =−
)i(2i
)i( û Dωû =
)i(2i
)i( ûω1û D =
)i(2
i)i(1 ûωûD =− (forma normale) .
Gli autovalori possono essere espressi in funzione degli autovettori secondo la seguente relazione etta quoziente di Rayleigh: d
)i(û → )i(2i
)i( û M ωû K =
)i(2i
T)i()i(T)i( û Mωûû Kû = moltiplicando per T)i(û
)i(T)i(
)i(T)i(2i û Mû
û Kûω = .
Risulta importante osservare che per un oscillatore multiplo lineare a molti gradi di libertà dinamici il problema agli autovalori ed autovettori appena esposto rimane risolvibile solo numericamente. Relativamente a due modi di vibrare generici e distinti di un oscillatore multiplo lineare vale la eguente condizione di ortogonalità rispetto alla matrice di massa: s
0û Mû )j(T)i( = con . ji ≠ Infatti: Le equazioni caratteristiche per due generici e distinti modi di vibrare sono:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=)j(2
j)j(
)i(2i
)i(
û M ωû K
û M ωû K con ji ≠ .
Moltiplicando ciascuna di tali equazioni per il modo di vibrare dell’altra equazione si ottiene:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
(2) û M ωûû Kû
(1) û M ωûû Kû)j(2
jT)i()j(T)i(
)i(2i
T)j()i(T)j(
con ji ≠ .
Sottraendo l’equazione (2) dall’equazione (1) si ottiene: ( ) )j(T)i(2
j2i û Mû ωω0 −=
2j
2i ωω ≠ ⇒ 0û Mû )j(T)i( =
0û Kû )j(T)i( = . I modi di vibrare di un oscillatore multiplo lineare sono definiti a meno di una costante in quanto rappresentano solo delle forme di spostamento e possono quindi essere normalizzati: )i()i( φ û → con )i(û = modo di vibrare i-esimo )i(φ = modo di vibrare normalizzato i-esimo.
- 29 -
Generalmente la normalizzazione dei modi di vibrare viene eseguita imponendo unitaria all’interno di ciascun modo di vibrare una tra le seguenti grandezze:
il primo termine; il termine maggiore (cosi facendo tutti i coefficienti del modo di vibrare risulteranno essere
compresi tra 1 e -1); la norma euclidea:
1ûû )i(T)i( = ; la massa generalizzata (cosi facendo i coefficienti del modo di vibrare risulteranno essere
molto piccoli): 1φ Mφ )i(T)i( =
2i
)i(T)i( ωφ Kφ =
→)i(T)i(
)i()i(
û Mû
ûφ = .
Per un oscillatore multiplo lineare si definisce matrice modale la matrice che raccoglie per colonne i modi di vibrare dell’oscillatore e matrice modale normalizzata la matrice che raccoglie per olonne i modi di vibrare normalizzati dell’oscillatore: c
[ )n()2()1( û ... û û A ≡ ] ≡ matrice modale
→ IaA MAT =
IbA KAT = con ℜ∈b ,a . [ )n()2()1( φ ... φ φ Φ ≡ ] ≡ matrice modale normalizzata
→ IaΦ MΦT =
ΩΦ KΦT = con ℜ∈a I ω ..., ,ω ,ω I ωΩ T2
n22
21== .
In assenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore multiplo lineare in regime di ibrazioni libere risulta essere: v
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ∑∑==
+==n
1iiiii
)i(n
1ii tωcos Btωsen Aφ tu tu
con ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
)k(T0k
)k(T0
kk
φ M uB
φ M vω1A
con ki = .
Infatti: ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ∑∑∑===
+=+==n
1iiiii
)i(n
1iiii
)i(n
1ii tωcos Btωsen Aφ αtωsen C φ tu tu
Condizioni iniziali: ( ) 0u0u =
( ) 00
..vu0u ==
- 30 -
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
∑
∑
=
=
n
1i0ii
)i(
n
1i0i
)i(
vA ω φ
uB φ
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
∑
∑
=
=
n
1iii
)i(0
n
1ii
)i(0
A ω φ v
B φ u
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
∑
∑
=
=
n
1ii
)k(T)i(i
)k(T0
n
1ii
)k(T)i()k(T0
A φ M φ ωφ M v
B φ M φ φ M u trasponendo e moltiplicando per )k(φ M
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
kk)k(T
0
k)k(T
0
Aωφ M v
Bφ M u ponendo ki =
⇒ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
)k(T0k
)k(T0
kk
φ M uB
φ M vω1A
con ki = .
La risposta di un oscillatore multiplo lineare risulta essere influenzata essenzialmente dai primi modi di vibrare dell’oscillatore. La tecnica del troncamento modale prevede di ridurre l’onere computazionale associato al calcolo della risposta di un oscillatore multiplo lineare troncando la risposta teorica dell’oscillatore multiplo lineare in corrispondenza dei termini relativi ai soli primi modi di vibrare dell’oscillatore stesso. 6.2 - VIBRAZIONI SMORZATE Nell’analisi dinamica in regime di vibrazioni libere di una struttura civile gli smorzamenti viscosi non vengono presi in considerazione in quanto i loro effetti sulle frequenze circolari naturali e sui modi di vibrare della struttura stessa risultano essere trascurabili. Infatti per una struttura civile si ha in generale quanto segue:
• rapporti di smorzamento molto piccoli; • variazioni nelle frequenze circolari naturali prodotte dagli smorzamenti viscosi molto minori
di quelle prodotte dalle incertezze sulle proprietà strutturali (masse, moduli elastici, …).
- 31 -
7 - VIBRAZIONI FORZATE Un oscillatore multiplo lineare si trova in regime di vibrazioni forzate quando si muove in presenza di una forzante. 7.1 - VIBRAZIONI NON SMORZATE In assenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare in egime di vibrazioni forzate assume la forma: r
( ) ( ) ( )tFtu Ktu M..
=+ . L’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare risulta essere un sistema di equazioni differenziali complete che possono essere accoppiate o disaccoppiate. Se tali equazioni differenziali complete sono accoppiate per determinare la risposta dell’oscillatore multiplo lineare si addotta la tecnica della sovrapposizione modale che vale esclusivamente per i sistemi lineari e permette di trasformare l’equazione del moto da un sistema di equazioni differenziali complete accoppiate ad un sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate. Con questa tecnica si passa quindi da un problema nel quale bisogna determinare la risposta di un oscillatore multiplo lineare a n gradi di libertà dinamici ad un problema nel quale bisogna determinare le risposte di n oscillatori semplici lineari. Per un oscillatore multiplo lineare si definisce matrice modale la matrice che raccoglie per colonne i modi di vibrare dell’oscillatore e matrice modale normalizzata la matrice che raccoglie per olonne i modi di vibrare normalizzati dell’oscillatore: c
[ )n()2()1( û ... û û A ≡ ] ≡ matrice modale [ )n()2()1( φ ... φ φ Φ ≡ ] ≡ matrice modale normalizzata con )i(û = modo di vibrare i-esimo
)i(φ = modo di vibrare normalizzato i-esimo. Per un oscillatore multiplo lineare si definisce vettore delle coordinate modali (oppure vettore delle coordinate normali oppure vettore delle coordinate naturali) il vettore delle ampiezze dei modi di vibrare dell’oscillatore:
( ) ( ) ( ) ( ) Tn21 tz ..., ,tz ,tztz ≡
con = ampiezza del modo di vibrare i-esimo. ( )tzi
Per un oscillatore multiplo lineare soggetto all’azione di un carico dinamico generico le componenti del vettore delle coordinate modali possono essere determinate utilizzando l’integrale di Duhamel in forma non smorzata:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫ −= −−t
0 Diτtωξ
iDi
i τd τtωsen e τf ω1tz ii
iDii ωω 0ξ =→=
- 32 -
( ) ( ) ( )[ ] ∫ −=t
0 iii
i τd τtωsen τf ω1tz .
Secondo la tecnica della sovrapposizione modale la risposta di un oscillatore multiplo lineare può essere espressa come il prodotto della matrice modale normalizzata per il vettore delle coordinate
odali: m
( ) ( )( ) ( )( ) ( )tz Φtz φ tu tun
1iii
n
1ii === ∑∑
==
. Applicando la tecnica della sovrapposizione modale ad un oscillatore multiplo lineare si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate:
( ) ( ) ( )tFtu Ktu M..
=+
( ) ( )[ ] ( )tz Φ tz φ tun
1ii
)i( ==∑=
( ) ( ) ( )tz Φ tz φtu.n
1ii
.)i(
.=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= ∑
=
( ) ( ) ( )tz Φ tz φtu..n
1ii
..)i(
..=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∑
=
( ) ( )( ) ( )tFtz Φ Ktz Φ M..
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
( ) ( ) ( )tFtz Φ Ktz Φ M..
=+
( ) ( ) ( )tFΦtz Φ KΦtz Φ MΦ TT..
T =+ moltiplicando per TΦ
( ) ( ) ( )tFΦtz Ωtz I T..
=+
( ) ( ) ( )tFΦtz Ωtz T..
=+
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+
=+
tftz ωtz...
tftz ωtz
tftz ωtz
nn2nn
..
22222
..11
211
..
( ) ( ) ( )tftz ωtz ii2ii
..=+ con n ..., ,2 ,1i = .
La risposta di un oscillatore multiplo lineare risulta essere influenzata essenzialmente dai primi modi di vibrare di tale oscillatore. La tecnica del troncamento modale prevede di ridurre l’onere computazionale associato al calcolo della risposta di un oscillatore multiplo lineare troncando la risposta teorica dell’oscillatore multiplo lineare in corrispondenza dei termini relativi ai soli primi modi di vibrare dell’oscillatore stesso.
- 33 -
7.2 - VIBRAZIONI SMORZATE Nell’analisi dinamica in regime di vibrazioni forzate di una struttura civile gli smorzamenti viscosi vengono presi in considerazione in quanto i loro effetti sulle frequenze circolari naturali e sui modi di vibrare della struttura stessa risultano considerevoli. In presenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare in egime di vibrazioni forzate assume la forma: r
( ) ( ) ( ) ( )tFtu Ktu Ctu M...
=++ . Per un oscillatore multiplo lineare si definisce matrice modale la matrice che raccoglie per colonne i modi di vibrare dell’oscillatore e matrice modale normalizzata la matrice che raccoglie per olonne i modi di vibrare normalizzati dell’oscillatore: c
[ )n()2()1( û ... û û A ≡ ] ≡ matrice modale [ )n()2()1( φ ... φ φ Φ ≡ ] ≡ matrice modale normalizzata con )i(û = modo di vibrare i-esimo
)i(φ = modo di vibrare normalizzato i-esimo. Per un oscillatore multiplo lineare si definisce matrice di dissipazione modale la seguente matrice: Φ C ΦC T* = . Per un oscillatore multiplo lineare si definisce vettore delle coordinate modali (oppure vettore delle coordinate normali oppure vettore delle coordinate naturali) il vettore delle ampiezze dei modi di vibrare dell’oscillatore:
( ) ( ) ( ) ( ) Tn21 tz ..., ,tz ,tztz ≡
con = ampiezza del modo di vibrare i-esimo. ( )tzi
Per un oscillatore multiplo lineare soggetto all’azione di un carico dinamico generico le componenti del vettore delle coordinate modali possono essere determinate utilizzando l’integrale di Duhamel in forma smorzata:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫ −= −−t
0 Diτtωξ
iDi
i τd τtωsen e τf ω1tz ii .
L’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare risulta essere un sistema di equazioni differenziali complete che possono essere accoppiate o disaccoppiate. Se tali equazioni differenziali complete sono accoppiate per determinare la risposta dell’oscillatore multiplo lineare si addotta la tecnica della sovrapposizione modale che vale esclusivamente per i sistemi lineari e permette di trasformare l’equazione del moto da un sistema di equazioni differenziali complete accoppiate ad un sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate. Con questa tecnica si passa quindi da un problema nel quale bisogna determinare la risposta di un oscillatore multiplo lineare a n gradi di libertà dinamici ad un problema nel quale bisogna determinare le risposte di n oscillatori semplici lineari. La tecnica della sovrapposizione modale funziona però esclusivamente se la matrice di dissipazione modale presenta forma diagonale. Se la matrice di dissipazione modale reale non presenta forma diagonale per adottare la tecnica della sovrapposizione modale risulta essere necessario costruire una matrice di dissipazione modale apposita di forma diagonale utilizzando uno dei seguenti metodi:
metodo di Rayleigh; metodo di Caughey-Kelly.
- 34 -
Si parla di smorzamento viscoso classico quando la matrice di dissipazione modale reale presenta forma diagonale, mentre si parla di smorzamento viscoso alla Rayleigh o Caughey-Kelly quando la matrice di dissipazione modale reale non presenta forma diagonale e si costruisce una matrice di dissipazione modale apposita di forma diagonale con il metodo di Rayleigh o Caughey-Kelly. 7.2.1 - SMORZAMENTO VISCOSO CLASSICO Per un oscillatore multiplo lineare la matrice di dissipazione modale in condizioni di smorzamento viscoso classico risulta essere:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
nn
22
11
T*
ωξ20000...0000ωξ20000ωξ2
Φ C ΦC .
Secondo la tecnica della sovrapposizione modale la risposta di un oscillatore multiplo lineare può essere espressa come il prodotto della matrice modale normalizzata per il vettore delle coordinate
odali: m
( ) ( )( ) ( )( ) ( )tz Φtz φ tu tun
1iii
n
1ii === ∑∑
==
. Applicando la tecnica della sovrapposizione modale in condizioni di smorzamento viscoso classico ad un oscillatore multiplo lineare si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate:
( ) ( ) ( ) ( )tFtu Ktu Ctu M...
=++
( ) ( )[ ] ( )tz Φ tz φ tun
1ii
)i( ==∑=
( ) ( ) ( )tz Φ tz φtu.n
1ii
.)i(
.=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∑
=
( ) ( ) ( )tz Φ tz φtu..n
1ii
..)i(
..=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= ∑
=
( ) ( ) ( )( ) ( )tFtz Φ Ktz Φ Ctz Φ M...
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
( ) ( ) ( ) ( )tFtz Φ Ktz Φ Ctz Φ M...
=++
( ) ( ) ( ) ( )tFΦtz Φ KΦtz Φ CΦtz Φ MΦ TT.
T..
T =++ moltiplicando per TΦ
( ) ( ) ( ) ( )tFΦtz ΩtzCtz I T.
*..
=++
( ) ( ) ( ) ( )tFΦtz ΩtzCtz T.
*..
=++
- 35 -
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
tftz ωtzωξ2tz...
tftz ωtzωξ2tz
tftz ωtzωξ2tz
nn2nn
.
nnn
..
22222
.
222
..11
211
.
111
..
( ) ( ) ( ) ( )tftz ωtzωξ2tz ii2ii
.
iii
..=++ con n ..., ,2 ,1i = .
La risposta di un oscillatore multiplo lineare risulta essere influenzata essenzialmente dai primi modi di vibrare di tale oscillatore. La tecnica del troncamento modale prevede di ridurre l’onere computazionale associato al calcolo della risposta di un oscillatore multiplo lineare troncando la risposta teorica dell’oscillatore multiplo lineare in corrispondenza dei termini relativi ai soli primi modi di vibrare dell’oscillatore stesso. 7.2.2 - SMORZAMENTO VISCOSO ALLA RAYLEIGH Il metodo di Rayleigh considera una matrice di smorzamento che dipende dalle matrici di massa e igidezza secondo la seguente relazione lineare: r
K βM αC += con . ℜ∈β ,α La matrice di dissipazione modale ottenuta dalla matrice di smorzamento considerata dal metodo i Rayleigh risulta essere diagonale e assume la forma: d
Ω βI αC* += con . ℜ∈β ,α Infatti: Φ C ΦC T* =
( )Φ KβMα ΦT +=
( ) ( )Φ Kβ ΦΦ Mα Φ TT +=
Φ K Φ βΦ M Φ α TT += Ω βI α += con ℜ∈β ,α
I e Ω diagonali → *C diagonale . Supponendo che la matrice di smorzamento dipenda in modo lineare solo dalla matrice di massa l’andamento del rapporto di smorzamento in funzione della frequenza circolare naturale risulta essere iperbolico equilatero. Ne consegue che ad una frequenza circolare naturale bassa corrisponde un rapporto di smorzamento elevato e viceversa. Infatti: M αC = Φ C ΦC T* =
( )Φ M α ΦT=
Φ M Φ α T= I α=
elemento generico di *C : αωξ2 ii =
i
i ω 2αξ = .
- 36 -
Supponendo che la matrice di smorzamento dipenda in modo lineare solo dalla matrice di rigidezza l’andamento del rapporto di smorzamento in funzione della frequenza circolare naturale risulta essere lineare crescente. Ne consegue che ad una frequenza circolare naturale bassa corrisponde un rapporto di smorzamento basso e viceversa. Infatti: K βC = Φ C ΦC T* =
( )Φ K β ΦT=
Φ K Φ β T= Ω β=
elemento generico di *C : 2iii ω βωξ2 =
2ω βξ i
i = .
La matrice di smorzamento considerata dal metodo di Rayleigh dipende in modo lineare sia dalla matrice di massa che dalla matrice di rigidezza e l’andamento del rapporto di smorzamento in funzione della frequenza circolare naturale risulta essere dato dalla somma degli andamenti sopra esposti. Infatti: K βM αC +=
Ω βI αC* +=
elemento generico di *C : 2iii ω βαωξ2 +=
2ω β
ω 2αξ i
ii += .
I coefficienti α e β vengono determinati fissando i rapporti di smorzamento in corrispondenza di due modi di vibrare generici e distinti:
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
+=2jjj
2iii
ω βαωξ2ω βαωξ2
→( )
2j
2i
jjiiji
ωωωξωξ ωω 2
α−
−=
( )
2j
2i
jjii
ωωωξωξ 2
β−
−= .
Si parla di smorzamento strutturale nel caso in cui il rapporto di smorzamento sia indipendente dalla frequenza circolare naturale. In condizioni di smorzamento strutturale i coefficienti α e β isultano essere dati dalle seguenti relazioni: r
( )
ji
ji2j
2i
jiji
ωωξ ωω 2
ωωξωξω ωω 2
α+
=−
−=
( )
ji2j
2i
ji
ωωξ 2
ωωξωξω 2
β+
=−
−= .
- 37 -
L’ordinanza ministeriale OPCM 3274 indica quali sono i valori del rapporto di smorzamento da adottare per diverse tipologie di strutture in condizioni di smorzamento strutturale: . Secondo la tecnica della sovrapposizione modale la risposta di un oscillatore multiplo lineare può essere espressa come il prodotto della matrice modale normalizzata per il vettore delle coordinate
odali: m
( ) ( )( ) ( )( ) ( )tz Φtz φ tu tun
1iii
n
1ii === ∑∑
==
. Applicando la tecnica della sovrapposizione modale in condizioni di smorzamento viscoso alla Rayleigh ad un oscillatore multiplo lineare si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate:
( ) ( ) ( ) ( )tFtu Ktu Ctu M...
=++
( ) ( )[ ] ( )tz Φ tz φ tun
1ii
)i( ==∑=
( ) ( ) ( )tz Φ tz φtu.n
1ii
.)i(
.=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= ∑
=
( ) ( ) ( )tz Φ tz φtu..n
1ii
..)i(
..=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= ∑
=
( ) ( ) ( )( ) ( )tFtz Φ Ktz Φ Ctz Φ M...
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
( ) ( ) ( ) ( )tFtz Φ Ktz Φ Ctz Φ M...
=++
( ) ( ) ( ) ( )tFΦtz Φ KΦtz Φ CΦtz Φ MΦ TT.
T..
T =++ moltiplicando per TΦ
( ) ( ) ( ) ( )tFΦtz ΩtzCtz I T.
*..
=++
( ) ( ) ( ) ( )tFΦtz ΩtzCtz T.
*..
=++
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
tftz ωtzωξ2tz...
tftz ωtzωξ2tz
tftz ωtzωξ2tz
nn2nn
.
nnn
..
22222
.
222
..11
211
.
111
..
( ) ( ) ( ) ( )tftz ωtzωξ2tz ii2ii
.
iii
..=++ con n ..., ,2 ,1i = .
- 38 -
La risposta di un oscillatore multiplo lineare risulta essere influenzata essenzialmente dai primi modi di vibrare di tale oscillatore. La tecnica del troncamento modale prevede di ridurre l’onere computazionale associato al calcolo della risposta di un oscillatore multiplo lineare troncando la risposta teorica dell’oscillatore multiplo lineare in corrispondenza dei termini relativi ai soli primi modi di vibrare dell’oscillatore stesso. 7.2.3 - SMORZAMENTO VISCOSO CAUGHEY-KELLY Il metodo di Caughey-Kelly considera una matrice di smorzamento che dipende dalle matrici di
assa e rigidezza secondo la seguente relazione: m
([ ]∑=
−=n
1k
k 1k KM α MC ) con ℜ∈kα .
Si osserva che per n = 2 si ottiene la matrice di smorzamento considerata dal metodo di Rayleigh. La matrice di dissipazione modale ottenuta dalla matrice di smorzamento considerata dal metodo i Caughey-Kelly risulta essere diagonale e assume la forma: d
( ) Iω α Cn
1k
k2ik
*⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∑
=
⋅ con ℜ∈kα . Infatti: Il termine k-esimo della matrice di smorzamento è: ( ) [ ]k 1
kk K M α MC −= .
In corrispondenza di due modi di vibrare generici il termine k-esimo della matrice di
dissipazione modale risulta essere: ( ) [ ] ( )ik 1
kTj)k*(
j,i φ K M α MφC −= j,i ∀ . Per k = 3 (per semplicità di conti) si può quindi scrivere: ( ) [ ]3 1
33 K M α MC −=
( ) [ ] ( )i3 13
Tj)3*(j,i φ K M α MφC −=
( ) [ ][ ][ ] ( )i1113
Tj φ K M K M K M α Mφ −−−=
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )i2i
12i
12i
13
Tj φMωM Mω M Mω M α Mφ −−−=
( ) [ ][ ][ ] ( )i12i
12i
12i3
Tj φ MMω MMω MMω α Mφ −−−=
( ) [ ][ ][ ] ( )i2i
2i
2i3
Tj φ Iω Iω Iω α Mφ=
( ) [ ][ ][ ] ( )i2i
2i
2i3
Tj φω ω ω α Mφ=
( ) ( )i32i3
Tj φ ω α Mφ ⋅=
( ) ( )( ) φ Mφ ω α iTj32i3⋅= j,i ∀ .
Il termine k-esimo della matrice di dissipazione modale risulta essere diverso da zero
solo in corrispondenza di due modi di vibrare coincidenti: ji ≠ → ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) 0 φ Mφ ω αφ K M α MφC iTjk2
ikik 1
kTj)k*(
j,i === ⋅−
ji = → ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) k2ik
iTik2ik
ik 1k
Ti)k*(i,i ω α φ Mφ ω αφ K M α MφC ⋅⋅− === .
- 39 -
Dunque si ottiene quanto segue:
( ) Iω α Φ C ΦCn
1k
k2ik
T*⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== ∑
=
⋅
( ) n2in
k2ik
12i1
n
1k
k2ik
*i,i ωα...ωα...ωαω αC ⋅⋅⋅
=
⋅ ++++==∑ I diagonale → *C diagonale . L’andamento del rapporto di smorzamento in funzione della frequenza circolare naturale risulta essere esponenziale. Ne consegue che ad una frequenza circolare naturale bassa corrisponde un rapporto di smorzamento basso e viceversa. Infatti:
( )[ ]∑=
−=n
1k
k 1k KM α MC
( ) Iω α Cn
1k
k2ik
*⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∑
=
⋅
elemento generico di *C : ( )∑=
⋅=n
1k
k2ikii ω αωξ2
( )
∑=
−⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
n
1k
1k2ik
i 2ω αξ .
Gli n coefficienti αk vengono determinati fissando i rapporti di smorzamento in corrispondenza di n modi di vibrare generici e distinti. Ad esempio nel caso di un telaio shear-type a quattro piani si ha uanto segue: q
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+++=+++=+++=+++=
844
643
442
24144
834
633
432
23133
824
623
422
22122
814
613
412
21111
ωαωαωαωαωξ2ωαωαωαωαωξ2ωαωαωαωαωξ2ωαωαωαωαωξ2
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
4
3
2
1
74
54
344
73
53
333
72
52
322
71
51
311
ξξξξ
αααα
ωωωωωωωωωωωωωωωω
21
. →
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
4
3
2
1
αααα
Secondo la tecnica della sovrapposizione modale la risposta di un oscillatore multiplo lineare può essere espressa come il prodotto della matrice modale normalizzata per il vettore delle coordinate
odali: m
( ) ( )( ) ( )( ) ( )tz Φtz φ tu tun
1iii
n
1ii === ∑∑
==
.
- 40 -
Applicando la tecnica della sovrapposizione modale in condizioni di smorzamento alla Caughey-Kelly ad un oscillatore multiplo lineare si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate:
( ) ( ) ( ) ( )tFtu Ktu Ctu M...
=++
( ) ( )[ ] ( )tz Φ tz φ tun
1ii
)i( ==∑=
( ) ( ) ( )tz Φ tz φtu.n
1ii
.)i(
.=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= ∑
=
( ) ( ) ( )tz Φ tz φtu..n
1ii
..)i(
..=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= ∑
=
( ) ( ) ( )( ) ( )tFtz Φ Ktz Φ Ctz Φ M...
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
( ) ( ) ( ) ( )tFtz Φ Ktz Φ Ctz Φ M...
=++
( ) ( ) ( ) ( )tFΦtz Φ KΦtz Φ CΦtz Φ MΦ TT.
T..
T =++ moltiplicando per TΦ
( ) ( ) ( ) ( )tFΦtz ΩtzCtz I T.
*..
=++
( ) ( ) ( ) ( )tFΦtz ΩtzCtz T.
*..
=++
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
tftz ωtzωξ2tz...
tftz ωtzωξ2tz
tftz ωtzωξ2tz
nn2nn
.
nnn
..
22222
.
222
..11
211
.
111
..
( ) ( ) ( ) ( )tftz ωtzωξ2tz ii2ii
.
iii
..=++ con n ..., ,2 ,1i = .
La risposta di un oscillatore multiplo lineare risulta essere influenzata essenzialmente dai primi modi di vibrare di tale oscillatore. La tecnica del troncamento modale prevede di ridurre l’onere computazionale associato al calcolo della risposta di un oscillatore multiplo lineare troncando la risposta teorica dell’oscillatore multiplo lineare in corrispondenza dei termini relativi ai soli primi modi di vibrare dell’oscillatore stesso. 7.3 - VIBRAZIONI SMORZATE CON MOVIMENTO DELLA BASE In presenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare con
ovimento della base assume la forma: m
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−=++ rtu M tu Ktu Ctu M g
.....
con r ≡ vettore di trascinamento.
Infatti: ( ) ( ) ( ) 0tu Ktu Ctu M.
t
..=++ con ( ) ( ) ( ) rtutu tu gt ⋅+=
- 41 -
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−=++ rtu M tu Ktu Ctu M g
..... .
Il vettore di trascinamento rappresenta lo spostamento statico che interessa un oscillatore multiplo lineare in presenza di uno spostamento unitario della base. Generalmente il vettore di trascinamento viene assunto unitario: T1 ..., ,1 ,1r = . Per un oscillatore multiplo lineare si definisce matrice modale la matrice che raccoglie per colonne i modi di vibrare dell’oscillatore e matrice modale normalizzata la matrice che raccoglie per olonne i modi di vibrare normalizzati dell’oscillatore: c
[ )n()2()1( û ... û û A ≡ ] ≡ matrice modale [ )n()2()1( φ ... φ φ Φ ≡ ] ≡ matrice modale normalizzata con )i(û = modo di vibrare i-esimo
)i(φ = modo di vibrare normalizzato i-esimo. Per un oscillatore multiplo lineare si definisce matrice di dissipazione modale la seguente matrice: Φ C ΦC T* = . Per un oscillatore multiplo lineare si definisce vettore delle coordinate modali (oppure vettore delle coordinate normali oppure vettore delle coordinate naturali) il vettore delle ampiezze dei modi di vibrare dell’oscillatore:
( ) ( ) ( ) ( ) Tn21 tz ..., ,tz ,tztz ≡
con = ampiezza del modo di vibrare i-esimo. ( )tzi
Per un oscillatore multiplo lineare in presenza di movimento della base le componenti del vettore delle coordinate modali possono essere determinate utilizzando l’integrale di Duhamel in forma smorzata:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= −−t
0 Diτtωξ
gi
..
Dii τd τtωsen e τu
ω1tz ii .
L’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare risulta essere un sistema di equazioni differenziali complete che possono essere accoppiate o disaccoppiate. Se tali equazioni differenziali complete sono accoppiate per determinare la risposta dell’oscillatore multiplo lineare si addotta la tecnica della sovrapposizione modale che vale esclusivamente per i sistemi lineari e permette di trasformare l’equazione del moto da un sistema di equazioni differenziali complete accoppiate ad un sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate. Con questa tecnica si passa quindi da un problema nel quale bisogna determinare la risposta di un oscillatore multiplo lineare a n gradi di libertà dinamici ad un problema nel quale bisogna determinare le risposte di n oscillatori semplici lineari. La tecnica della sovrapposizione modale funziona però esclusivamente se la matrice di dissipazione modale presenta forma diagonale. Se la matrice di dissipazione modale reale non presenta forma diagonale per adottare la tecnica della sovrapposizione modale risulta essere necessario costruire una matrice di dissipazione modale apposita di forma diagonale utilizzando uno dei seguenti metodi:
metodo di Rayleigh; metodo di Caughey-Kelly.
Si parla di smorzamento viscoso classico quando la matrice di dissipazione modale reale presenta forma diagonale, mentre si parla di smorzamento viscoso alla Rayleigh o Caughey-Kelly quando la matrice di dissipazione modale reale non presenta forma diagonale e si costruisce una matrice di dissipazione modale apposita di forma diagonale con il metodo di Rayleigh o Caughey-Kelly.
- 42 -
7.3.1 - SMORZAMENTO VISCOSO CLASSICO Per un oscillatore multiplo lineare la matrice di dissipazione modale in condizioni di smorzamento viscoso classico risulta essere:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
nn
22
11
T*
ωξ20000...0000ωξ20000ωξ2
Φ C ΦC .
Secondo la tecnica della sovrapposizione modale la risposta di un oscillatore multiplo lineare può ssere espressa come il prodotto della matrice modale per il vettore delle coordinate modali: e
( ) ( )( ) ( )( ) ( )tz Φtz φ tu tun
1iii
n
1ii === ∑∑
==
. Applicando la tecnica della sovrapposizione modale in condizioni di smorzamento viscoso classico ad un oscillatore multiplo lineare con movimento della base si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate:
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−=++ rtu M tu Ktu Ctu M g
.....
( ) ( )[ ] ( )tz Φ tz φ tun
1ii
)i( ==∑=
( ) ( ) ( )tz Φ tz φtu.n
1ii
.)i(
.=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= ∑
=
( ) ( ) ( )tz Φ tz φtu..n
1ii
..)i(
..=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= ∑
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ rtu M tz Φ Ktz Φ Ctz Φ M g
.....
( ) ( ) ( ) ( ) rtu M tz Φ Ktz Φ Ctz Φ M g
.....⋅−=++
( ) ( ) ( ) ( )tur MΦ tz Φ KΦtz Φ CΦtz Φ MΦ g
..TT
.T
..T ⋅−=++ moltiplicando per TΦ
( ) ( ) ( ) ( )tuΓ tz ΩtzCtz I g
...*
..⋅−=++
r MΦΓ T≡ ≡ vettore dei fattori di partecipazione
( ) ( ) ( ) ( )tuΓ tz ΩtzCtz g
...*
..⋅−=++
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
n
2
1
G...GG
Γ
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
n
2
1
n
2
1
m...mm
1...11
m0000...0000m0000m
r M
- 43 -
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+++
++++++
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
n)n(
n2)n(
21)n(
1
n)2(
n2)2(
21)2(
1
n)1(
n2)1(
21)1(
1
n
2
1
)n(n
)n(2
)n(1
)2(n
)2(2
)2(1
)1(n
)1(2
)1(1
T
mφ...mφmφ...
mφ...mφmφmφ...mφmφ
m...mm
φ...φφ............φ...φφφ...φφ
r MΦ
r MΦΓ T= → →
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+++
++++++
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
n)n(
n2)n(
21)n(
1
n)2(
n2)2(
21)2(
1
n)1(
n2)1(
21)1(
1
n
2
1
mφ...mφmφ...
mφ...mφmφmφ...mφmφ
G...GG
( )∑=
=n
1jj
)i(ji mφG
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=++
−=++
−=++
tuG tz ωtzωξ2tz...
tuG tz ωtzωξ2tz
tuG tz ωtzωξ2tz
n g
..
nn2nn
.
nnn
..
2 g
..
22222
.
222
..1 g
..
11211
.
111
..
( ) ( ) ( ) ( )tuG tz ωtzωξ2tz i g
..
ii2ii
.
iii
..−=++ con n ..., ,2 ,1i = .
Il vettore dei fattori di partecipazione rappresenta il contributo di partecipazione al movimento della base di ciascuno modo di vibrare dell’oscillatore multiplo lineare. La risposta di un oscillatore multiplo lineare risulta essere influenzata essenzialmente dai primi modi di vibrare di tale oscillatore. La tecnica del troncamento modale prevede di ridurre l’onere computazionale associato al calcolo della risposta di un oscillatore multiplo lineare troncando la risposta teorica dell’oscillatore multiplo lineare in corrispondenza dei termini relativi ai soli primi modi di vibrare dell’oscillatore stesso. Se invece di conoscere l’accelerogramma della base si conoscesse lo spettro di risposta in termini di pseudoaccelerazione dell’oscillatore multiplo lineare si avrebbe quanto segue: pseudoaccelerazione relativa al modo di vibrare i-esimo: ii a G S ; spostamento spettrale relativo al modo di vibrare i-esimo:
2i
ii ai d ω
G SS = ;
ampiezza massima relativa al modo di vibrare i-esimo:
2i
ii ai dmax i ω
G SSz == ;
risposta massima dell’oscillatore relativa al modo di vibrare i-esimo:
( ) ( )2i
ii aimax i
imax i ω
G S φz φu == .
- 44 -
8 - METODI NUMERICI PASSO-PASSO Risolvere numericamente passo-passo l’equazione del moto di un oscillatore multiplo significa dividere in passi temporali l’intervallo temporale sul quale si vuole analizzare l’equazione del moto e calcolare la risposta dell’oscillatore su ciascun passo temporale in modo approssimato utilizzando uno dei metodi numerici passo-passo forniti dall’analisi numerica. Generalmente l’ampiezza Δt dei passi temporali viene presa uguale per tutti i passi di uno stesso intervallo temporale, ma viene scelta in funzione del metodo numerico passo-passo da utilizzare. Risolvere numericamente passo-passo l’equazione del moto di un oscillatore multiplo risulta essere necessario se l’oscillatore presenta delle proprietà non lineari, ma può essere vantaggioso anche se l’oscillatore presenta esclusivamente proprietà lineari. 8.1 - EQUAZIONE INCREMENTALE LINEARIZZATA DEL MOTO Scrivendo l’equazione del moto di un oscillatore multiplo con il metodo dell’equilibrio diretto a nizio e fine di ogni passo temporale si ottengono le seguenti due espressioni: i
( ) ( ) ( ) ( ) 1i1iS1iD1iI FFFF −−−− =++ ( ) ( ) ( ) ( )iiSiDiI FFFF =++ . L’equazione incrementale del moto di un oscillatore multiplo viene ottenuta per ciascun passo emporale facendo la differenza tra le due espressioni sopra scritte: t
FΔFΔFΔFΔ SDI =++ con ( ) ( ) 1iIiII FFFΔ −−= ( ) ( ) 1iDiDD FFFΔ −−= ( ) ( ) 1iSiSS FFFΔ −−=
( ) ( ) 1ii FFFΔ −−= . L’equazione incrementale linearizzata del moto per un oscillatore multiplo viene ottenuta per ciascun passo temporale dall’equazione incrementale del moto considerando i parametri propri ell’oscillatore costanti all’interno di ciascun passo temporale e pari al loro valore di inizio passo: d
FΔuΔ KuΔ CuΔ M1i
.
1i
..=++
−−
con I
..
..I
..FΔuΔ
ud
FduΔ M ≅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
D
.
1i
.D
.
1iFΔuΔ
ud
FduΔ C ≅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
−
−
S1i
S1i
FΔuΔudFduΔ K ≅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−
.
- 45 -
8.2 - METODI NUMERICI PASSO-PASSO Per risolvere numericamente passo-passo l’equazione del moto di un oscillatore multiplo si utilizza principalmente un metodo numerico passo-passo detto metodo di Wilson. 8.2.1 - METODO DI WILSON Il metodo di Wilson prevede di assumere all’interno di ciascun passo temporale una accelerazione che presenta un andamento lineare definito su un passo temporale esteso di ampiezza Δt ·θ. Il metodo di Wilson è un metodo incondizionatamente stabile per θ ≥ 1.37. In corrispondenza di un istante τ interno ad un passo temporale esteso (0 < τ < Δt ·θ) si ha quanto segue:
( ) τθtΔ
uΔuτu..
1i
....
⋅+=
∧
−
( ) ( ) 2
..
1i
..
1i
.τ
1i
..
1i
..τ
θtΔ2uΔτuuτd τuuτu⋅
++=+=
∧
−−−− ∫
( ) ( ) 3
..
21i
..
1i
.
1i
τ
1i
.
1i τθtΔ6
uΔτ2
uτuuτd τuuτu⋅
+++=+=
∧
−−−−− ∫ .
In corrispondenza di un istante τ coincidente con la fine di un passo temporale esteso (τ = Δt ·θ) si ha quanto segue:
( )..
1i
....uΔuθtΔu
∧
− +=⋅
( ) ( ) ( )θtΔ2uΔθtΔuuθtΔu..
1i
..
1i
..⋅+⋅+=⋅
∧
−−
( ) ( ) ( ) ( )2..
21i
..
1i
.
1i θtΔ6
uΔθtΔ2
uθtΔuuθtΔu ⋅+⋅+⋅+=⋅
∧
−−− .
Esprimendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale esteso in funzione dell’incremento di spostamento sul passo temporale esteso si ottiene quanto segue:
( ) ( ) 1i
..
1i
.
2
..u3u
θtΔ6uΔ
θtΔ6uΔ −−
∧∧
−⋅
−⋅
=
( )( )
1i
..
1i
..u
2θtΔu3uΔ
θtΔ3uΔ −−
∧∧ ⋅−−
⋅= .
Sostituendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale esteso sopra scritti nell’equazione incrementale linearizzata del moto si giunge ad avere l’equazione pseudostatica
- 46 -
incrementale linearizzata del moto e questa equazione risulta essere funzione esclusivamente ell’incremento di spostamento sul passo temporale esteso: d
( ) ( ) ( )
( ) FΔuΔKu2θtΔu3uΔ
θtΔ3Cu3u
θtΔ6uΔ
θtΔ6 M
1i1i
..
1i
.
1i1i
..
1i
.
2
∧∧
−−−
∧
−−−
∧
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−−
⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅−
⋅
*
* FΔuΔK∧∧
=
con ( ) ( ) 1i1i2
* KθtΔ
3CθtΔ
6 MK−−
+⋅
+⋅
=
( )( ) FΔu
2θtΔu3Cu3u
θtΔ6 MFΔ 1i
..
1i
.
1i1i
..
1i
.* ∧
−−−−−
∧
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅= .
L ’incremento di spostamento sul passo temporale esteso viene calcolato come segue:
( )*
1* FΔKuΔ∧−∧
= . Calcolato l’incremento di spostamento sul passo temporale si possono ricavare gli incrementi di accelerazione, velocità e spostamento sul passo temporale originario:
( ) ( ) 1i
..
1i
.
2
..u3u
θtΔ6uΔ
θtΔ6uΔ −−
∧∧
−⋅
−⋅
= → θuΔuΔ..
..∧
=
( ) ( )tΔ2uΔtΔuuΔ..
1i
...+= −
( ) ( ) ( )2..
21i
..
1i
.tΔ
6uΔtΔ
2utΔuu Δ ++= −
− . Calcolati gli incrementi di velocità e spostamento sul passo temporale originario si possono ricavare mmediatamente la velocità e lo spostamento alla fine del passo temporale originario: i
.
1i
.
i
.uΔuu += −
uΔuu 1ii += − .
L’accelerazione alla fine del passo temporale originario viene invece ricavata inserendo la velocità lo spostamento alla fine del passo temporale originario nell’equazione incrementale del moto: e
( ) ( ) ( )[ ]iSiDi1
i
..FFF Mu −−= − .
8.3 - ERRORI COMPUTAZIONALI L’accuratezza di un metodo numerico passo-passo dipende essenzialmente dall’ampiezza scelta per il passo temporale di integrazione numerica. L’ampiezza del passo temporale di integrazione numerica deve infatti essere sufficientemente piccola da consentire una buona rappresentazione dei seguenti tre fattori:
1) storia di carico; 2) proprietà non lineari dei materiali; 3) periodo naturale di vibrazione della struttura.
- 47 -
Per storie di carico non particolarmente complesse le proprietà non lineari dei materiali non costituiscono un fattore decisivo nella scelta del passo temporale di integrazione numerica che quindi viene scelto solo in funzione del periodo naturale di vibrazione della struttura. Generalmente si assume un passo temporale di integrazione numerica pari a:
10
TtΔ min≤ .
Una scelta poco idonea del passo temporale di integrazione numerica porta alla crescita di quegli errori computazionali intrinseci di tutte le soluzioni numeriche che amplificano nelle soluzioni numeriche i seguenti fenomeni privi di alcuna origine fisica:
decadimento dell’ampiezza di oscillazione (“numerical damping”); allungamento o accorciamento del periodo di oscillazione.
- 48 -
- 49 -
9 - ANALISI MODALE CON ITERAZIONI MATRICIALI Un problema agli autovettori ed autovalori generico può essere espresso nella seguente forma: û λû A = con A = matrice quadrata generica; λ = autovalore; û = autovettore. Supponendo che la risposta di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso sia di tipo sinusoidale l’equazione del moto risulta fornire un problema agli autovalori ed autovettori detto problema dell’analisi modale (o problema delle vibrazioni) nel quale gli autovalori sono le frequenze circolari naturali e gli autovettori sono i modi di vibrare: eq. caratteristica: ( ) 0û MωK 2 =−
)i(2i
)i( ûω1û D =
)i(2i
)i(-1 ûωûD = (forma normale) . Dato che il prodotto di matrici simmetriche non genera necessariamente una matrice simmetrica si ottiene che la matrice dinamica di un oscillatore multiplo lineare pur essendo data dal prodotto di due matrici simmetriche in generale risulta essere una matrice quadrata non simmetrica: MKD 1−≡ . Il problema dell’analisi modale di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso può essere affrontato con delle procedure matriciali iterative molto più efficienti della procedura classica basata sullo sviluppo del determinante della matrice presente nell’equazione caratteristica. Queste procedure matriciali iterative sono riassumibili nei seguenti metodi operativi:
metodo di Jacobi; metodo di Stodola; metodo di Rayleigh.
L’accuratezza con la quale questi metodi operativi forniscono le frequenze circolari naturali risulta essere tanto maggiore quanto più gli autovalori sono elevati. Per questo motivo il problema dell’analisi modale viene considerato in termini di matrice dinamica per la determinazione della frequenza fondamentale ed in forma normale per la determinazione della frequenza più elevata. Si osserva inoltre che i metodi operativi sopra elencati risultano essere estendibili anche alla tecnica della sovrapposizione modale per un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni forzate ed in assenza o presenza di smorzamento viscoso. Dato un problema agli autovalori ed autovettori generico risulta valere quanto segue:
¬ le matrici reali simmetriche presentano autovalori ed autovettori reali; ¬ le matrici reali non simmetriche e le matrici complesse presentano autovalori ed autovettori
complessi; ¬ una matrice reale diagonale presenta i propri autovalori sulla diagonale e gli autovettori ad
essi associati risultano essere di modulo unitario; ¬ piccole perturbazioni negli elementi di una matrice reale simmetrica inducono solo piccole
perturbazioni negli autovalori di tale matrice;
- 50 -
¬ piccole perturbazioni negli elementi di una matrice reale non simmetrica o una matrice complessa possono indurre grandi perturbazioni negli autovalori di tale matrice.
9.1 - METODO DI JACOBI Il metodo di Jacobi è un metodo che prevede di determinare tutti gli autovalori ed autovettori della matrice associata ad un problema agli autovalori ed autovettori applicando a tale matrice una successione di trasformazioni ortogonali che la rendono diagonale senza alterarne gli autovalori. Un importante teorema dell’algebra lineare afferma che data una matrice A reale simmetrica gli autovalori della matrice A sono reali ed esiste una matrice R ortogonale tale che la trasformazione RT
A R fornisce una matrice diagonale con gli autovalori della matrice A sulla diagonale. Si osserva che la matrice ortogonale R generalmente risulta essere una matrice di rotazione. Il metodo di Jacobi si basa sul teorema sopra enunciato e prevede di diagonalizzare la matrice A di un problema agli autovalori ed autovettori usando la seguente procedura matriciale iterativa:
1) Si annullano iterativamente uno alla volta gli elementi non diagonali della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi adottando delle trasformazioni ortogonali specifiche per ciascun elemento non diagonale della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi. L’elemento non diagonale della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi da annullare ad ogni iterazione viene scelto procedendo in ordine per righe all’interno della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi (anche se sarebbe meglio individuare l’elemento con massimo valore assoluto all’interno della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi).
La trasformazione ortogonale (k+1)-esima che consente di annullare l’elemento (i,j) non diagonale della matrice A nel suo stadio evolutivo k-esimo risulta essere:
( ) ( ) ( ) ( )kkT k1k RARA =+ con ( )kA = matrice A nel suo stadio evolutivo k-esimo
( 1kA + ) = matrice A nel suo stadio evolutivo (k+1)-esimo
( )( ) ( )
( ) ( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
100000αcos0αsen0j001000αsen0αcos0i00001
ji
R k = matrice di rotazione k-esima
α tale che: 4πα = per ( ) ( )k
j,jki,i AA =
( )( )
( ) ( )kj,j
ki,i
kj,i
AAA 2
α2tan−
= per ( ) ( )kj,j
ki,i AA ≠ .
2) Si controlla che durante la procedura iterativa di annullamento degli elementi non diagonali della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi alcuni valori non diagonali della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi che sono stati annullati in precedenza non tornino ad essere
- 51 -
diversi da zero e si continua a ripetere la procedura iterativa di annullamento degli elementi non diagonali della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi fino a quando non si ottiene una matrice diagonale.
Supponendo che per ottenere una matrice diagonale sia necessario eseguire (m+1) iterazioni si ottiene quanto segue:
( ) R ARA T1 =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1TT 111T 12 R R ARRR ARA == ….. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *T *mTT mmmT m1m R ARR ... R AR ...RR ARA ===+ ⇒ ( ) *T *1m R ARA =+ con
( ) TT mT * R ...RR =
( )m* R ... RR = = matrice modale (matrice degli autovettori) ( ) IRR *T* = . Per controllare i valori assunti dagli elementi diagonali e non diagonali della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi bisogna eseguire alla fine di ogni trasformazione ortogonale i seguenti test:
test di accoppiamento (o di diagonalizzazione):
εA A
A
j,ji,i
2j,i ≤ con ; n ..., ,2 ,1j,i =
test di convergenza:
( ) ( )
( ) εA
AA1k
i,i
1ki,i
ki,i ≤−
−
−
con n ..., ,2 ,1i = .
Il test di accoppiamento (o di diagonalizzazione) della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi viene eseguito in quanto gli elementi non diagonali della matrice A nel suo stadio evolutivo finale non devono necessariamente essere nulli ma basta che siano trascurabilmente piccoli rispetto ai valori diagonali della matrice A nel suo stadio evolutivo finale. 9.2 - METODO DI STODOLA Il metodo di Stodola è un metodo che prevede di determinare le frequenze circolari naturali ed i modi di vibrare associati al problema dell’analisi modale di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso usando la seguente procedura matriciale iterativa:
1) Si assume un primo vettore di spostamento unitario di tentativo: ( ) T
1 1 ..., ,1 ,1tu = . 2) Si costruiscono iterativamente altri vettori di spostamento moltiplicando il precedente per la
matrice dinamica: ( ) ( )tu Dtu 12 = …..
- 52 -
( ) ( )tu Dtu 1kk −= .
3) Moltiplicando un generico vettore di spostamento per la matrice dinamica si individua una trasformazione lineare che trasforma il generico vettore di spostamento originario in un altro vettore ad esso proporzionale. Inoltre considerando ciascun generico vettore di spostamento come una combinazione lineare dei modi di vibrare si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
ni
i2
21
11 ûc...ûc...ûcûctu +++++= ( ) 12 u Dtu =
( ) ( ) ( ) ( )( )nn
ii
22
11 ûc...ûc...ûcûc D +++++=
( ) ( ) ( ) ( )nn
ii
22
11 û Dc...û Dc...û Dcû Dc +++++=
( ) ( ) ( ) ( )n2n
ni
2i
i2
22
21
21
1 û ω1c...û
ω1c...û
ω1cû
ω1c +++++=
( ) ( )tu Dtu 23 = ( )tu D D 1=
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]nn
ii
22
11 ûc...ûc...ûcûc D D +++++=
( ) ( ) ( ) ( )[ ]nn
ii
22
11 û Dc...û Dc...û Dcû Dc D +++++=
( ) ( ) ( ) ( )n
ni
i2
21
1 û D Dc...û D Dc...û D Dcû D Dc +++++=
( ) ( ) ( ) ( )n2n
ni
2i
i2
22
21
21
1 û ω1 Dc...û
ω1 Dc...û
ω1 Dcû
ω1 Dc +++++=
( ) ( ) ( ) ( )n2n
ni
2i
i2
22
21
21
1 û D ω1c...û D
ω1c...û D
ω1cû D
ω1c +++++=
( ) ( ) ( ) ( )n2n
2n
ni
2i
2i
i2
22
22
21
21
21
1 û ω1
ω1c...û
ω1
ω1c...û
ω1
ω1cû
ω1
ω1c +++++=
….. . 4) Con il progredire delle iterazioni sopra descritte i vettori di spostamento tendono a divenire
paralleli al primo modo di vibrare. Risulta quindi possibile determinare il primo modo di vibrare (anche normalizzato) e la relativa frequenza circolare naturale fondamentale:
( )1kk
ûu lim =∞→
e ( )1û → ( )1φ
21
1k
k
kω
uu
lim =+
∞→ .
5) I modi di vibrare successivi e le relative frequenze circolari naturali vengono determinate
imponendo ai modi di vibrare la condizione di ortogonalità rispetto alla matrice di massa con i modi i vibrare precedenti e operando in modo analogo a quanto fatto nei punti 2), 3) e 4) per il primo modo di vibrare ma sostituendo alla matrice dinamica il suo prodotto per una matrice detta sweeping matrix:
II modo di vibrare: ( ) ( ) 0tu Mφ k
T 1 =
( ) ( ) ( ) MφφIS T 111 −≡ ≡ sweeping matrix ( ) ( ) ( )tuStu k
1kc =
( ) ( ) ( ) ( )tu Mφφtu I kT 11
k −=
- 53 -
( ) ( ) ( ) ( )tu Mφφtu kT 11
k −=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )nn
ii
22
11
T 11k φc...φc...φcφc Mφφtu +++++−=
( ) ( ) ( ) ( )11
T 11k φc Mφφtu −=
( ) ( ) ( ) ( )( )1T 111k φ Mφ φ ctu −=
( ) ( )11k φ ctu −=
( )tu1 → ( ) ( ) ( ) tuStu 1
1c1 = → ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tuS DtuS Dtu Dtu 1
11
1c12 ===
( )tuk → ( ) ( ) ( )tuS Dtu k1
1k =+ . III modo di vibrare: ( ) ( ) 0tu Mφ k
T 1 = e ( ) ( ) 0tu Mφ kT 2 =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MφφMφφIS T 22T 112 −−≡ ≡ sweeping matrix ( ) ( ) ( )tuStu k
2kc =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tu Mφφtu Mφφtu I kT 22
kT 11
k −−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tu Mφφtu Mφφtu kT 22
kT 11
k −−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )++++++−= nn
ii
22
11
T 11k φc...φc...φcφc Mφφtu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )nn
ii
22
11
T 22 φc...φc...φcφc Mφφ +++++−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
T 2211
T 11k φc Mφφφc Mφφtu −−=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2T 222
1T 111k φ Mφ φ cφ Mφ φ ctu −−=
( ) ( ) ( )22
11k φ cφ ctu −−=
( )tu1 → ( ) ( ) ( )tuStu 1
2c1 = → ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tuS DtuS Dtu Dtu 1
21
2c12 ===
( )tuk → ( ) ( ) ( )tuS Dtu k2
1k =+ . Anche per il primo modo di vibrare e la relativa frequenza circolare naturale fondamentale si
può pensare di operare con una matrice data dal prodotto della matrice dinamica per una matrice detta sweeping matrix solo che in questo caso la sweeping matrix risulta essere la matrice identità:
( ) IS 0 = ( ) ( ) ( )tuStu k
0kc =
( )tu I k= ( )tuk=
( )tuk → ( ) ( ) ( )tuS Dtu k0
1k =+ .
- 54 -
9.3 - METODO DI RAYLEIGH La relazione del quoziente di Rayleigh per il calcolo della frequenza circolare naturale i-esima di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso ssume la forma: a
( ) ( )
( ) ( )iTi
iTi2i û Mû
û Kûω = .
Infatti: I vettori di spostamento e di velocità che corrispondono al modo di vibrare i-esimo
di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso sono:
( ) ( ) ( )tωsen ûtu ii
i =
( ) ( ) ( )tωosc û ωtu ii
ii
.= .
Le energie potenziale e cinetica del moto di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso valgono:
( ) ( )( ) ( )tu Ktu 21tV i
Tii =
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tu Mtu ω21tu Mtu
21tT i
Ti
2ii
.T
i
.
i =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= .
Applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica (energia potenziale + energia cinetica) al moto di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso si ottiene:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) costtu Mtuω21tu Ktu
21tTtV i
Ti
2ii
Tiii =+=+
( ) ( )( ) ( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
==
0tT
û Kû 21VtV
i
iTimax ii
( ) ( )( ) ( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
==
0tV
û Mû ω21TtT
i
iTi2imax ii
⇒ max imax i TV =
( )( ) ( ) ( )( ) ( )iTi2
iiTi û Mû ω
21û Kû
21
=
( ) ( )
( ) ( )iTi
iTi2i û Mû
û Kûω = .
Il metodo di Rayleigh è un metodo che prevede di determinare le frequenze circolari naturali ed i modi di vibrare associati al problema dell’analisi modale di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso usando la seguente procedura matriciale iterativa:
1) Si assume un modo di vibrare unitario di tentativo: ( ) T1 1 ..., ,1 ,1û = .
- 55 -
2) Si calcola la frequenza circolare naturale associata al modo di vibrare unitario di tentativo con la relazione del quoziente di Rayleigh:
( ) ( )
( ) ( )1T 1
1T 121 û Mû
û Kûω = .
3) Si determinano i vettori di spostamento, velocità ed accelerazione: ( ) ( ) ( )tωsen ûtu 1
1=
( ) ( ) ( )tωosc û ωtu 11
1
.=
( ) ( ) ( )tωsen û ωtu 112
1
..−= .
4) Si calcolano la forza di inerzia e la forza di inerzia massima:
( )tu MF..
I =
( ) ( )tωsen û ω M 112
1−=
( )121max I û ω M F −= .
5) Si individua un nuovo modo di vibrare: ( )( ) max I
12 F Ktû −=
( )( )12
11 û ω M K −= −
( )( )12
1 û ω M F −= . 6) Si calcola la frequenza circolare naturale associata al nuovo modo di vibrare utilizzando la
relazione del quoziente di Rayleigh:
( ) ( )
( ) ( )2T 2
2T 222 û Mû
û Kûω =
( )( ) ( )( )( )( ) ( )1
TTT 1
1TTT 1
û M F M F M û û M F K F M û
=
( ) ( ) ( )
( ) ( )1TTT 1
1TTT 1
û M F M F M ûû M F K F M û
=
( ) ( )
( ) ( )1TTT 1
1TTT 1
û M F M F M ûû M I F M û
=
( ) ( )
( ) ( )1TTT 1
1TTT 1
û M F M F M ûû M F M û
= .
7) Si riprende dal punto 3) usando il modo di vibrare dell’iterazione precedente e si continua
fino a quando la frequenza circolare naturale calcolata con il quoziente di Rayleigh non incomincia ad assumere un valore approssimativamente sempre uguale.
- 56 -
Capitolo 4
SISTEMI CONTINUI
- 1 -
1 - VIBRAZIONI FLESSIONALI IN TRAVI UNIFORMI Lo studio delle vibrazioni flessionali in travi snelle uniformi può essere condotto analizzando le travi secondo il modello comportamentale di Eulero-Bernoulli oppure secondo il modello comportamentale di Timoshenko. Il modello comportamentale di Eulero-Bernoulli ipotizza che le sezioni trasversali di una trave rimangano sempre rette, mentre il modello comportamentale di Timoshenko assume che le sezioni trasversali di una trave possano ruotare a causa di deformazioni taglianti.
- 2 -
2 - VIBRAZIONI LIBERE Una trave snella uniforme si trova in regime di vibrazioni libere quando vibra in assenza di alcuna forzante. 2.1 - MODELLO DI EULERO-BERNOULLI In regime di vibrazioni libere l’equazione del moto del generico concio infinitesimo di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Eulero-Bernoulli risulta essere na equazione differenziale omogenea alle derivate parziali del quarto ordine: u
( ) ( ) ( ) ( ) 0t
t,xudx μdxx
t,xVt,xVt,xV 2
2
=∂
∂−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−
( ) ( ) 0t
t,xudx μdxx
t,xV2
2
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) 0t
t,xuμx
t,xV2
2
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( )t,xu EJx
t,xuEJt,xM II2
2
=∂
∂=
( ) ( ) ( ) ( )t,xu EJx
t,xuEJx
t,xMt,xV III3
3
=∂
∂=
∂∂
=
( ) ( ) 0t
t,xuμx
t,xuEJ 2
2
4
4
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) 0t,xu μt,xu EJ..
IV =+ con E = modulo di elasticità normale o modulo di Young; J = momento di inerzia della sezione trasversale rispetto all’asse neutro baricentrico. In regime di vibrazioni libere la risposta in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Eulero-Bernoulli può essere ottenuta dall’equazione del moto con il metodo di separazione delle variabili. Secondo questo metodo la risposta u(x,t) può essere vista come il prodotto di un termine φ(x) dipendente solo dalla posizione e etto modo di vibrare per un termine f(t) dipendente solo dal tempo: d
( ) ( ) 0t,xu μt,xu EJ..
IV =+
( ) ( ) 0t
t,xuμx
t,xuEJ 2
2
4
4
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( ) ( ) 0xφt
tfμtfx
xφEJ 2
2
4
4
=∂∂
+∂
∂ con la sostituzione ( ) ( ) (tfxφt,xu ⋅= )
( )( )
( )( ) 0tf
1t
tfμxφ
1x
xφEJ 2
2
4
4
=∂∂
+∂
∂ dividendo per ( ) ( )( )tfxφ ⋅
- 3 -
( ) ( ) ( ) ( ) 0tf
1tf μxφ
1xφ EJ..
IV =+
( )( )
( )( ) 0tftfμ
xφxφ EJ
..IV
=+
( )( )
( )( )tftf
xφxφ
μEJ
..IV
−=
( )( )
( )( ) costωtftf
xφxφ
μEJ 2
..IV
==−= per avere una identità
→( )( )
2IV
ωxφxφ
μEJ
=
( ) ( ) 0xφαxφ 4IV =−
con EJμωα
24 =
Eq. caratteristica: 0αs 44 =− 44 αs = α s 2,1 ±= e αi s 4,3 ±=
( ) xαi4
xαi3
xα2
xα1 eCeCeCeCxφ −− +++=
Formule di Eulero: ( ) ( )xαsenhxαcoshe xα ±=± ( ) ( )xαsen ixαcose xαi ±=± ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xαcosh D xαsenh Cxαcos Bxαsen Axφ +++=
→ ( )( )
2
..
ωtftf=−
( ) ( ) 0tfωtf 2..
=+ Eq. caratteristica : 0ωλ 22 =+ 22 ωλ −= ωi λ 2,1 ±=
( ) tωi6
tωi5 eCeCtf −+=
Formule di Eulero: ( ) ( )tωsen itωcose tωi ±=± ( ) ( ) ( )tωcos Ftωsen Etf += ⇒ ( ) ( ) (tfxφt,xu ⋅= ) . 2.1.1 - TRAVE IN DOPPIO APPOGGIO In regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso la risposta totale in termini di postamento trasversale di una trave snella uniforme in doppio appoggio risulta essere: s
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∑∑∑∞
=
∞
=
∞
= ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅==
1nnnnn
1nnn
1nn tωcos Ftωsen Ex
Lπnsentfxφt,xut,xu .
- 4 -
Infatti: Le condizioni imposte dai vincoli sono:
( ) ( )( ) ( ) 0t,LMe0t,Lu
0t,0Me0t,0u====
Dalle condizioni imposte dai vincoli discendono le seguenti condizioni sulla forma:
( ) ( )( ) ( ) 0Lφe0Lφ
00φe00φII
II
==
==
Dalle condizioni sulla forma nell’estremo x = 0 si ottiene:
( )( )⎩
⎨⎧
==
00φ00φ
II
⎩⎨⎧
==
0D0B
Dalle condizioni sulla forma nell’estremo x = L si ottiene:
( )( )⎩
⎨⎧
==
0Lφ0Lφ
II
( ) ( )
( ) ( )⎩⎨⎧
=+−=+
0Lαsenh CαLαsen Aα0Lαsenh CLαsen A
22
( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
=+−=+
0Lαsenh CLαsen A0Lαsenh CLαsen A
( ) ( )( )⎩
⎨⎧
==+
0Lαsenh C20Lαsenh CLαsen A
( ) ( )
⎩⎨⎧
==+
0C0Lαsenh CLαsen A
( )
⎩⎨⎧
==
0C0Lαsen A
La seguente equazione matriciale riassume quanto ottenuto fini a questo momento:
( ) ( )( ) ( ) ⎪
⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
0000
DCBA
0Lαsenh0Lαsen0Lαsenh0Lαsen10101010
Risulta importante considerare quanto segue: → ( ) 0Lαsen A = 0A ≠ altrimenti si avrebbe come unica soluzione ( ) 0xφ =
→ ( ) 0Lαsen = →Lπnαα n == con ,...2,1n =
Esistono quindi infiniti modi di vibrare del seguente tipo:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= x
Lπnsenxφn con ,...2,1n =
La frequenza circolare naturale viene calcolata come segue:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
Lπnα
EJμωα
24
→ 422
n LμEJπnωω == con ,...2,1n =
- 5 -
Si osserva che per determinare le frequenze circolari naturali ωn ed i rispettivi modi di vibrare φn(x) bisogna risolvere un problema agli autovalori ed autovettori nel quale gli autovalori sono le frequenze αn espresse in funzione delle frequenze circolari naturali ωn e gli autovettori sono i modi di vibrare φn(x).
Le infinite risposte in termini di spostamento trasversale che derivano dagli infiniti
modi di vibrare presentano la forma seguente: ( ) ( ) (tfxφt,xu nnn ⋅ )=
( ) ( )[ ]tωcos Ftωsen ExLπnsen nnnn +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= con ,...2,1n =
La risposta totale in termini di spostamento trasversale risulta essere data dalla somma delle infinite risposte relative agli infiniti modi di vibrare:
( ) ( )[ ]∑∞
=
=1n
n t,xut,xu
( ) ( )[ ]∑∞
=
⋅=1n
nn tfxφ
( ) ( )[ ]∑∞
= ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1nnnnn tωcos Ftωsen Ex
Lπnsen
Le costanti En e Fn vengono determinate per ogni frequenza circolare naturale sulla
base delle condizioni iniziali del moto:
( ) ( )xu0,xu 0= → ( )xuxLπnsen F 0
1nn =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∑
∞
=
( ) dx xLπnsen xu
L2F
L
0 0n ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
( ) ( )xu0,xu 0
..= → ( )xux
LπnsenωE 0
.
1nnn =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∑
∞
=
( ) dx xLπnsen xu
Lω2E
L
0 0
.
nn ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Si osserva che le costanti En e Fn di fatto sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier delle funzioni che descrivono le condizioni iniziali del moto.
Rimane comunque importante osservare che anche se nella teoria i modi di vibrare associati ad una struttura sono infiniti, nella pratica solamente i primi modi di vibrare associati alla struttura offrono
- 6 -
un contributo significativo alla risposta totale in termini di spostamento trasversale della struttura stessa. I modi di vibrare di una trave snella uniforme in semplice appoggio coincidono con le deformate critiche della stessa trave soggetta ad instabilità flessionale per carico di punta. Infatti l’equazione del problema agli autovalori ed autovettori che si presenta nella determinazione delle frequenze circolari naturali ωn e dei modi di vibrare φn(x) risulta essere la stessa di quella che si presenta nella determinazione dei carichi critici di punta Pn e delle deformate critiche vn(x): per equilibrio nella configurazione deformata IIEJvPv −= derivando due volte l’equazione di equilibrio IVII EJvPv −=
0EJvvEJP IV
2
=+− con la sostituzione vEJPvII −=
( )
0vEJPv 2
2IV =−
0vαv 4IV =−
con ( )2
24
EJPα = .
Relativamente a due modi di vibrare generici e distinti di una trave snella uniforme in semplice ppoggio vale la seguente condizione di ortogonalità: a
( ) ( )[ ] 0dx xφ xφ μ L
0 mn =∫ con ,...2,1m,n = e mn ≠ . Infatti: La forza di inerzia per unità di lunghezza di una trave uniforme in corrispondenza
del generico modo di vibrare n-esimo viene calcolata come il prodotto della massa unitaria per l’accelerazione:
( ) ( )tx,u μtx,F n
..
In = ( )tx,u ω μ n
2n=
( ) ( )tf xφ ω μ nn2n=
( ) ( ) ( )[ ]tωcos Ftωsen E xφ ω μ nnnnn2n += ;
Applicando il teorema di Betti sui lavori mutui relativamente a due modi di vibrare generici e distinti si ottiene quanto segue:
( )[ ] ( )[ ]dx t,xu Fdx t,xu FL
0 nIm
L
0 mIn ∫∫ =
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]dx tf xφ Fdx tf xφ FL
0 nnIm
L
0 mmIn ∫∫ =
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]dx xφF tfdx xφF tfL
0 nImn
L
0 mInm ∫∫ =
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dx xφ tf xφ ω μ tfdx xφ tf xφ ω μ tfL
0 nmm2mn
L
0 mnn2nm ∫∫ =
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dx xφ xφ μ ω tf tfdx xφ xφ μ ω tf tfL
0 nm2mmn
L
0 mn2nnm ∫∫ =
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]dx xφ xφ μ ωdx xφ xφ μ ωL
0 nm2m
L
0 mn2n ∫∫ =
( ) ( ) ( )[ ] 0dx xφ xφ μ ωωL
0 mn2m
2n =− ∫
con ⇒ ( ) ( )[ ] 0dx xφ xφ μ L
0 mn =∫ ,...2,1m,n = e mn ≠ .
- 7 -
Si definisce massa modale la seguente grandezza:
. ( )[ ]dx xφ μ ML
0
2nn ∫≡
I modi di vibrare di una trave snella uniforme in semplice appoggio sono definiti a meno di una costante in quanto rappresentano esclusivamente delle forme di spostamento. Essi possono quindi essere normalizzati e generalmente la loro normalizzazione viene eseguita imponendo unitaria una tra le seguenti grandezze:
lo spostamento trasversale in una ben determinata sezione trasversale; lo spostamento trasversale massimo; la massa modale.
In regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso l’equazione modale del moto
i una trave snella uniforme in doppio appoggio assume la forma: d
( ) ( ) 0tf ωtf n2nn
..=+ con . ,...2,1n =
Infatti: I modi di vibrare soddisfano l’equazione differenziale seguente: ( ) ( ) 0xφαxφ n
4IVn =−
con EJμωα
2n4 =
( ) (xφ μ ωxφ EJ n2n
IVn = ) con ,...2,1n =
Sostituendo tale equazione differenziale nell’equazione differenziale del moto di un concio infinitesimo di trave si ottiene:
( ) ( ) 0t,xu μt,xu EJ n
..IVn =+
( ) ( ) 0t
t,xuμx
t,xuEJ 2n
2
4n
4
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( ) ( ) 0xφt
tf μtfx
xφ EJ n2n
2
n4n
4
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( ) ( ) 0xφ tf μtf xφ EJ nn
..
nIVn =+
( )( ) ( ) ( ) ( ) 0xφ tf μtf xφ μ ω nn
..
nn2n =+
con ( ) ( ) ( ) ( ) 0xφ tf μtf xφ ω μ nn
..
nn2n =+ ,...2,1n =
- 8 -
Se l’equazione differenziale ottenuta viene moltiplicata per φn(x) ed integrata in x si ottiene:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0 dx xφ tf μ dx tf xφ ω μ L
0
2nn
..L
0 n2n
2n =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+ ∫∫
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0 dx xφ μ tf dx xφ μ tf ωL
0
2nn
..L
0
2nn
2n =+ ∫∫
( ) ( ) 0 M tf M tf ω nn
..
nn2n =+
( ) ( ) 0tf tf ω n
..
n2n =+
⇒ . ( ) ( ) 0tf ωtf n2nn
..=+
In regime di vibrazioni libere ed in presenza di smorzamento viscoso l’equazione modale del moto
i una trave snella uniforme in doppio appoggio assume la forma: d
( ) ( ) ( ) 0tf ωtfωξ2tf n2nn
.
nnn
..=++ con ,...2,1n = .
Le sollecitazioni interne di momento flettente e taglio in una trave snella uniforme in doppio appoggio vengono calcolate con le seguenti equazioni:
( ) ( ) ( )t,xu EJx
t,xuEJt,xM II2
2
=∂
∂=
( ) ( ) ( ) ( )t,xu EJx
t,xuEJx
t,xMt,xV III3
3
=∂
∂=
∂∂
= .
Si osserva che i modi di vibrare relativi alle frequenze circolari naturali più elevate inducono nella trave piccoli spostamenti trasversali ma elevate sollecitazioni interne di momento flettente e taglio. 2.1.2 - TRAVE INCASTRATA In regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso la risposta totale in termini di postamento trasversale di una trave snella uniforme incastrata risulta essere: s
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∑∑∞
=
∞
=
⋅==1n
nn1n
n tfxφt,xut,xu . Infatti: Le condizioni imposte dai vincoli sono:
( ) ( )( ) ( ) 0t,LVe0t,LM
0t,0Me0t,0u====
Dalle condizioni imposte dai vincoli discendono le seguenti condizioni sulla forma:
( ) ( )( ) ( ) 0Lφe0Lφ
00φe00φIIIII
II
==
==
Dalle condizioni sulla forma si ottiene:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
====
...D...C...B...A
Risulta importante considerare quanto segue: …
- 9 -
Esistono quindi infiniti modi di vibrare del seguente tipo: con ( ) ...xφn = ,...2,1n = La frequenza circolare naturale viene calcolata come segue:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
...αEJμωα
24
→ ...ωω n == con ,...2,1n =
Si osserva che per determinare le frequenze circolari naturali ωn ed i rispettivi modi di vibrare φn(x) bisogna risolvere un problema agli autovalori ed autovettori nel quale gli autovalori sono le frequenze αn espresse in funzione delle frequenze circolari naturali ωn e gli autovettori sono i modi di vibrare φn(x).
Le infinite risposte in termini di spostamento trasversale che derivano dagli infiniti
modi di vibrare presentano la forma seguente: ( ) ( ) (tfxφt,xu nnn ⋅ )= con ,...2,1n = La risposta totale in termini di spostamento trasversale risulta essere data dalla
somma delle infinite risposte relative agli infiniti modi di vibrare:
. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∑∑∞
=
∞
=
⋅==1n
nn1n
n tfxφt,xut,xu
Rimane comunque importante osservare che anche se nella teoria i modi di vibrare associati ad una struttura sono infiniti, nella pratica solamente i primi modi di vibrare associati alla struttura offrono un contributo significativo alla risposta totale in termini di spostamento trasversale della struttura stessa. In regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso l’equazione modale del moto
i una trave snella uniforme incastrata assume la forma: d
( ) ( ) 0tf ωtf n2nn
..=+ con . ,...2,1n =
Infatti: I modi di vibrare soddisfano l’equazione differenziale seguente: ( ) ( ) 0xφαxφ n
4IVn =−
- 10 -
con EJμωα
2n4 =
( ) (xφ μ ωxφ EJ n2n
IVn = ) con ,...2,1n =
Sostituendo tale equazione differenziale nell’equazione differenziale del moto di un concio infinitesimo di trave si ottiene:
( ) ( ) 0t,xu μt,xu EJ n
..IVn =+
( ) ( ) 0t
t,xuμx
t,xuEJ 2n
2
4n
4
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( ) ( ) 0xφt
tf μtfx
xφ EJ n2n
2
n4n
4
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( ) ( ) 0xφ tf μtf xφ EJ nn
..
nIVn =+
( )( ) ( ) ( ) ( ) 0xφ tf μtf xφ μ ω nn
..
nn2n =+
con ( ) ( ) ( ) ( ) 0xφ tf μtf xφ ω μ nn
..
nn2n =+ ,...2,1n =
Se l’equazione differenziale ottenuta viene moltiplicata per φn(x) ed integrata in x si
ottiene:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0 dx xφ tf μ dx tf xφ ω μ L
0
2nn
..L
0 n2n
2n =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+ ∫∫
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0 dx xφ μ tf dx xφ μ tf ωL
0
2nn
..L
0
2nn
2n =+ ∫∫
( ) ( ) 0 M tf M tf ω nn
..
nn2n =+
⇒ . ( ) ( ) 0tf ωtf n2nn
..=+
In regime di vibrazioni libere ed in presenza di smorzamento viscoso l’equazione modale del moto
i una trave snella uniforme incastrata assume la forma: d
( ) ( ) ( ) 0tf ωtfωξ2tf n2nn
.
nnn
..=++ con ,...2,1n = .
Le sollecitazioni interne di momento flettente e taglio in una trave snella uniforme incastrata vengono calcolate con le seguenti equazioni:
( ) ( ) ( )t,xu EJx
t,xuEJt,xM II2
2
=∂
∂=
( ) ( ) ( ) ( )t,xu EJx
t,xuEJx
t,xMt,xV III3
3
=∂
∂=
∂∂
= .
Si osserva che i modi di vibrare relativi alle frequenze circolari naturali più elevate inducono nella trave piccoli spostamenti trasversali ma elevate sollecitazioni interne di momento flettente e taglio.
- 11 -
2.2 - MODELLO DI TIMOSHENKO In regime di vibrazioni libere l’equazione del moto del generico concio infinitesimo di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Timoshenko risulta essere una quazione differenziale omogenea alle derivate parziali del secondo ordine: e
( ) ( ) ( ) ( ) 0t
t,xudx μdxx
t,xVt,xVt,xV 2
2
=∂
∂−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−
( ) ( ) 0t
t,xudx μdxx
t,xV2
2
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) 0t
t,xuμx
t,xV2
2
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( )t,xuχ
GAx
t,xuχ
GAt,xV I−=∂
∂−=
( ) ( ) 0t
t,xuμx
t,xuχ
GA2
2
2
2
=∂
∂+
∂∂
−
( ) ( ) 0t,xu μt,xuχ
GA ..II =+−
con G = modulo di elasticità tangenziale o modulo di Coulomb; A = area della sezione trasversale; χ = fattore di taglio. In regime di vibrazioni libere la risposta in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Timoshenko può essere ottenuta dall’equazione del moto con il metodo di separazione delle variabili. Secondo questo metodo la risposta u(x,t) può essere vista come il prodotto di un termine φ(x) dipendente solo dalla posizione e detto modo di vibrare per un termine f(t) dipendente solo dal tempo:
( ) ( ) 0t,xu μt,xuχ
GA ..II =+−
( ) ( ) 0t
t,xuμx
t,xuχ
GA2
2
2
2
=∂
∂+
∂∂
−
( ) ( ) ( ) ( ) 0xφt
tfμtfx
xφχ
GA2
2
2
2
=∂∂
+∂
∂− con la sostituzione ( ) ( ) (tfxφt,xu ⋅= )
( )( )
( )( ) 0tf
1t
tfμxφ
1x
xφχ
GA2
2
2
2
=∂∂
+∂
∂− dividendo per ( ) ( )( )tfxφ ⋅
( ) ( ) ( ) ( ) 0tf
1tf μxφ
1xφ χ
GA ..II =+−
( )( )
( )( ) 0tftfμ
xφxφ
χGA
..II
=+−
( )( )
( )( )tftf
xφxφ
μ χGA
..II
−=−
- 12 -
( )( )
( )( ) costωtftf
xφxφ
μ χGA 2
..II
==−=− per avere una identità
→( )( )
2II
ωxφxφ
μ χGA
=−
( ) ( ) 0xφαxφ 2II =+
con
χGAμωα
22 =
Eq. caratteristica: 0αs 22 =+ 22 αs −= αi s 2,1 ±=
( ) xαi2
xαi1 eCeCxφ −+=
Formule di Eulero: ( ) ( )xαsen ixαcose xαi ±=± ( ) ( ) ( )xαcos Bxαsen Axφ +=
→ ( )( )
2
..
ωtftf=−
( ) ( ) 0tfωtf 2..
=+ Eq. caratteristica : 0ωλ 22 =+ 22 ωλ −= ωi λ 2,1 ±=
( ) tωi4
tωi3 eCeCtf −+=
Formule di Eulero: ( ) ( )tωsen itωcose tωi ±=± ( ) ( ) ( )tωcos Dtωsen Ctf += ⇒ ( ) ( ) (tfxφt,xu ⋅= ) . 2.2.1 - TRAVE INCASTRATA In regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso la risposta totale in termini di postamento trasversale di una trave snella uniforme in doppio appoggio risulta essere: s
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]∑∑∑∞
=
∞
=
∞
= ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⋅==
1nnnnn
1nnn
1nn tωcos Dtωsen Cx 1n2
L2πcostzxφt,xut,xu .
Infatti: Le condizioni imposte dai vincoli sono:
( )( ) 0t,LV
0t,0u==
Dalle condizioni imposte dai vincoli discendono le seguenti condizioni sulla forma:
( )( ) 0Lφ
00φI =
=
- 13 -
Dalle condizioni sulla forma si ottiene:
( )( )⎩
⎨⎧
=
=
0Lφ00φ
I
( )⎩⎨⎧
==
0Lαcos α A0B
( )⎩⎨⎧
==
0Lαcos A0B
Risulta importante considerare quanto segue: → ( ) 0Lαosc A = 0A ≠ altrimenti si avrebbe come unica soluzione ( ) 0xφ =
→ ( ) 0Lαcos = → ( 1n2L2παα n −== ) con ,...2,1n =
Esistono quindi infiniti modi di vibrare del seguente tipo:
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= x 1n2
L2πcosxφn con ,...2,1n =
La frequenza circolare naturale viene calcolata come segue:
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
=
1n2L2πα
χGAμωα
24
→ ( )1n2L2π
χ μGAωω n −== con ,...2,1n =
Si osserva che per determinare le frequenze circolari naturali ωn ed i rispettivi modi di vibrare φn(x) bisogna risolvere un problema agli autovalori ed autovettori nel quale gli autovalori sono le frequenze αn espresse in funzione delle frequenze circolari naturali ωn e gli autovettori sono i modi di vibrare φn(x).
Le infinite risposte in termini di spostamento trasversale che derivano dagli infiniti
modi di vibrare presentano la forma seguente: ( ) ( ) (tfxφt,xu nnn ⋅ )=
( ) ( ) ( )[ ]tωcos Dtωsen Cx 1n2L2πcos nnnn +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= con ,...2,1n =
La risposta totale in termini di spostamento trasversale risulta essere data dalla somma delle infinite risposte relative agli infiniti modi di vibrare:
( ) ( )[ ]∑∞
=
=1n
n t,xut,xu
( ) ( )[ ]∑∞
=
⋅=1n
nn tfxφ
- 14 -
( ) ( ) ( )[ ]∑∞
= ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
1nnnnn tωcos Dtωsen Cx 1n2
L2πcos
Le costanti Cn e Dn vengono determinate per ogni frequenza circolare naturale sulla
base delle condizioni iniziali del moto:
( ) ( )xu0,xu 0= → ( ) (xux 1n2L2πcos D 0
1nn =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∑
∞
=
)
( ) ( ) dx x 1n2L2πcos xu
L2D
L
0 0n ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
( ) ( )xu0,xu 0
..= → ( ) (xux 1n2
L2πcosωC 0
.
1nnn =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∑
∞
=
)
( ) ( ) dx x 1n2L2πcos xu
Lω2C
L
0 0
.
nn ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Si osserva che le costanti Cn e Dn di fatto sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier delle funzioni che descrivono le condizioni iniziali del moto.
Rimane comunque importante osservare che anche se nella teoria i modi di vibrare associati ad una struttura sono infiniti, nella pratica solamente i primi modi di vibrare associati alla struttura offrono un contributo significativo alla risposta totale in termini di spostamento trasversale della struttura stessa.
- 15 -
3 - VIBRAZIONI FORZATE Una trave snella uniforme si trova in regime di vibrazioni forzate quando vibra in presenza di una forzante. 3.1 - MODELLO DI EULERO-BERNOULLI In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito l’equazione del moto del generico concio infinitesimo di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Eulero-Bernoulli risulta essere una equazione differenziale completa alle derivate parziali del quarto ordine:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0t
t,xudx μdx t,xpdxx
t,xVt,xVt,xV 2
2
=∂
∂−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−
( ) ( ) ( )dx t,xpt
t,xudx μdxx
t,xV2
2
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( )t,xpt
t,xuμx
t,xV2
2
=∂
∂+
∂∂
( ) ( )2
2
xt,xuEJt,xM
∂∂
=
( ) ( ) ( )3
3
xt,xuEJ
xt,xMt,xV
∂∂
=∂
∂=
( ) ( ) ( )t,xpt
t,xuμx
t,xuEJ 2
2
4
4
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( )t,xpt,xu μt,xu EJ..
IV =+ con E = modulo di elasticità normale o modulo di Young; J = momento di inerzia della sezione rispetto all’asse neutro baricentrico. In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito la risposta in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Eulero-Bernoulli può essere ottenuta dall’equazione del moto con il metodo di separazione delle variabili. Secondo questo metodo la risposta u(x,t) può essere vista come il prodotto di un termine φ(x) dipendente solo dalla posizione e detto modo di vibrare per un termine z(t) dipendente solo dal tempo:
( ) ( ) ( )t,xpt,xu μt,xu EJ..
IV =+ ⇒ ( ) ( ) (tzxφt,xu ⋅= ) .
- 16 -
3.1.1 - TRAVE IN DOPPIO APPOGGIO In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito ed in assenza di smorzamento viscoso la risposta totale in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme in oppio appoggio risulta essere: d
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∑∑∞
=
∞
=
⋅==1n
nn1n
n tzxφt,xut,xu .
Rimane comunque importante osservare che anche se nella teoria i modi di vibrare associati ad una struttura sono infiniti, nella pratica solamente i primi modi di vibrare associati alla struttura offrono un contributo significativo alla risposta totale in termini di spostamento trasversale della struttura stessa. Si definisce forza modale la seguente grandezza:
. ( ) ( )[ ]∫≡L
0 nn dx xφ t,xp F
In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito ed in assenza di smorzamento viscoso l’equazione modale del moto di una trave snella uniforme in doppio appoggio assume la orma: f
( ) ( )n
nn
2nn
..
MFtz ωtz =+ con . ,...2,1n =
Infatti: I modi di vibrare soddisfano l’equazione differenziale seguente: ( ) ( ) 0xφαxφ n
4IVn =−
con EJμωα
2n4 =
( ) (xφ μ ωxφ EJ n2n
IVn = ) con ,...2,1n =
Sostituendo tale equazione differenziale nell’equazione differenziale del moto di un concio infinitesimo di trave si ottiene:
( ) ( ) 0t,xu μt,xu EJ n
..IVn =+
( ) ( ) 0t
t,xuμx
t,xuEJ 2n
2
4n
4
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( ) ( ) 0xφt
tz μtzx
xφ EJ n2n
2
n4n
4
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( ) ( ) 0xφ tz μtz xφ EJ nn
..
nIVn =+
( )( ) ( ) ( ) ( ) 0xφ tz μtz xφ μ ω nn
..
nn2n =+
con ( ) ( ) ( ) ( ) 0xφ tz μtz xφ ω μ nn
..
nn2n =+ ,...2,1n =
Se l’equazione differenziale ottenuta viene moltiplicata per φn(x) ed integrata in x si
ottiene:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫∫ =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+
L
0 n
L
0
2nn
..L
0 n2n
2n dx xφ t,xp dx xφ tz μ dx tz xφ ω μ
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫∫∫ =+L
0 n
L
0
2nn
..L
0
2nn
2n dx xφ t,xp dx xφ μ tz dx xφ μ tz ω
- 17 -
( ) ( ) nn
..
n2n F tz tz ω =+
⇒ ( ) ( )n
nn
2nn
..
MFtz ωtz =+ .
In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito ed in presenza di smorzamento viscoso l’equazione modale del moto di una trave snella uniforme in doppio appoggio assume la orma: f
( ) ( ) ( )n
nn
2nn
.
nnn
..
MFtz ωtzωξ2tz =++ con ,...2,1n = .
Le sollecitazioni interne di momento flettente e taglio in una trave snella uniforme in doppio appoggio vengono calcolate con le seguenti equazioni:
( ) ( ) ( )t,xu EJx
t,xuEJt,xM II2
2
=∂
∂=
( ) ( ) ( ) ( )t,xu EJx
t,xuEJx
t,xMt,xV III3
3
=∂
∂=
∂∂
= .
Si osserva che i modi di vibrare relativi alle frequenze circolari naturali più elevate inducono nella trave piccoli spostamenti trasversali ed elevate sollecitazioni interne di momento flettente e taglio. 3.2 - MODELLO DI TIMOSHENKO In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito l’equazione del moto del generico concio infinitesimo di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Timoshenko risulta essere una equazione differenziale completa alle derivate parziali del secondo ordine:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0t
t,xudx μdx t,xpdxx
t,xVt,xVt,xV 2
2
=∂
∂−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−
( ) ( ) ( )dx t,xpt
t,xudx μdxx
t,xV2
2
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( )t,xpt
t,xuμx
t,xV2
2
=∂
∂+
∂∂
( ) ( ) ( )t,xuχ
GAx
t,xuχ
GAt,xV I−=∂
∂−=
( ) ( ) ( )t,xpt
t,xuμx
t,xuχ
GA2
2
2
2
=∂
∂+
∂∂
−
( ) ( ) ( )t,xpt,xu μt,xuχ
GA ..II =+−
con G = modulo di elasticità tangenziale o modulo di Coulomb; A = area della sezione trasversale; χ = fattore di taglio.
- 18 -
In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito la risposta in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Timoshenko può essere ottenuta dall’equazione del moto con il metodo di separazione delle variabili. Secondo questo metodo la risposta u(x,t) può essere vista come il prodotto di un termine φ(x) dipendente solo dalla posizione e detto modo di vibrare per un termine z(t) dipendente solo dal empo: t
( ) ( ) ( )t,xpt,xu μt,xuχ
GA ..II =+−
⇒ ( ) ( ) (tzxφt,xu ⋅= ) .
- 19 -