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Dispense del corso di Analisi IIversione preliminare
Paolo Tilli
Dipartimento di MatematicaPolitecnico di Torino
email: [email protected]
11 gennaio 2005
Capitolo 5
Trasformata di Laplace
5.1 Introduzione
Sia x(t) una funzione continua a tratti e definita almeno sulla semiretta [0, +∞).Scelto un numero reale s, l’integrale improprio
(5.1)
∫ ∞
0
x(t)e−st dt
puo esistere o non esistere, a seconda del valore del parametro s. L’insieme D deinumeri s per cui tale integrale esiste finito costituisce il dominio di una nuova funzioneX(s), detta trasformata di Laplace di x(t), definita dall’uguaglianza
X(s) =
∫ ∞
0
x(t)e−st dt, s ∈ D.
Chiaramente, il dominio D della trasformata di Laplace X(s) dipendera dalla fun-zione x(t).
! Esempio 5.1.1 Se x(t) = et, l’integrale improprio
X(s) =
∫ ∞
0
x(t)e−st dt =
∫ ∞
0
e(1−s)t dt
esiste finito solo per s > 1, e quindi il dominio D della trasformata e dato dallasemiretta aperta (1,∞). Se invece x(t) = e2t/(1 + t2), l’integrale
X(s) =
∫ ∞
0
x(t)e−st dt =
∫ ∞
0
e(2−s)t
1 + t2dt
esiste finito se e solo se s ≥ 2, e quindi D e la semiretta chiusa [2,∞).Ancora, per x(t) = e−t2 l’integrale improprio
X(s) =
∫ ∞
0
x(t)e−st dt =
∫ ∞
0
e−t2−st dt
105
esiste finito per ogni s, e pertanto si ha D = R. Infine, se x(t) = et2 , l’integraleimproprio
X(s) =
∫ ∞
0
x(t)e−st dt =
∫ ∞
0
et2−st dt
non e finito per alcun valore di s, e quindi il dominio D della trasformata si riduceall’insieme vuoto. �
Negli esempi precedenti il dominio D della trasformata di Laplace era sempre unasemiretta della forma (s0,∞) oppure della forma [s0,∞), considerando l’intera rettareale e l’insieme vuoto come casi limite. In effetti, questo accade in generale: in altreparole, se l’integrale improprio
(5.2)
∫ ∞
0
x(t)e−s0t dt
esiste finito per un certo s0, allora e possibile dimostrare che esiste finito anchel’integrale ∫ ∞
0
x(t)e−st dt
per ogni valore di s tale che s > s0, e quindi il dominio D della trasformata di Laplacee sempre una semiretta. Riassumiamo quanto detto nella seguente definizione.
Definizione 5.1.2 Data una funzione x(t), definita almeno per t ≥ 0 e continua atratti, indichiamo con D la semiretta (eventualmente degenere) definita da
s ∈ D ⇐⇒ esiste finito l’integrale improprio
∫ ∞
0
x(t)e−st dt.
Si chiama trasformata di Laplace della funzione x(t), e la si indica con uno deisimboli L [x(t)] o X, la nuova funzione
(5.3) L [x(t)] (s) = X(s)def=
∫ ∞
0
x(t)e−st dt, s ∈ D
avente l’insieme D come dominio di definizione. Quando D e non vuoto, la funzionex(t) si dice trasformabile secondo Laplace.
Il termine trasformata sottolinea il fatto che si costruisce, a partire da una datafunzione x(t), una nuova funzione X(s), detta appunto trasformata di x(t), secondolo schema
t 7→ x(t), t ≥ 0trasformata−−−−−−−→ s 7→ X(s), s ∈ D
La trasformata di Laplace trova numerose applicazioni, ad esempio nella risoluzioneesplicita di alcune equazioni differenziali. Il punto cruciale, a questo proposito, e lapossibilita di ricostruire la funzione x(t), conoscendo la sua trasformata di LaplaceX(s). Questa specie di operazione inversa, detta antitrasformata di Laplace, operasecondo secondo lo schema
t 7→ x(t), t ≥ 0antitrasformata←−−−−−−−−− s 7→ X(s), s ∈ D
106
Se si interpreta x(t) come un segnale in funzione del tempo t, analizzato per tempipositivi, si vede dalla formula (5.3) che la variabile s ha le dimensioni di una fre-quenza, dato che il prodotto −st (per poterne calcolare l’esponenziale) deve essereadimensionale. Pertanto, si puo pensare alla trasformata di Laplace come a unostrumento che permette di rappresentare un segnale nello spazio delle frequenze.
Concludiamo questa introduzione con il calcolo diretto di alcune trasformate di La-place. Questi esempi elementari, combinati con le proprieta generali della trasforma-ta che studieremo nei paragrafi seguenti, consentiranno di calcolare le trasformate diLaplace di funzioni anche piuttosto complesse.
! Esempio 5.1.3 (funzione a gradino) Consideriamo la cosiddetta funzione a gra-dino, definita da
(5.4) U(t) =
{0 se t < 0,1 se t ≥ 0.
Questa funzione riveste un ruolo fondamentale nella teoria dei segnali, in quantorappresenta un segnale di intensita unitaria, che inizia al tempo zero e persiste perun tempo illimitato.
Usando la definizione 5.1.2, calcoliamo la trasformata di Laplace di U(t). Si ha∫ ∞
0
U(t)e−st dt =
∫ ∞
0
e−st dt
e l’integrale improprio esiste finito se e solo se s > 0: in questo caso, l’integrale vale1/s, come si verifica facilmente. Allora il dominio della trasformata L [U(t)] e lasemiretta aperta (0,∞), e si ha
(5.5) L [U(t)] (s) =1
s, s > 0.
�
! Esempio 5.1.4 (esponenziale) Calcoliamo la trasformata di Laplace della funzio-ne esponenziale x(t) = eat, dove a e un parametro reale. Si ha∫ ∞
0
eate−st dt =
∫ ∞
0
e(a−s)t dt =1
s− a⇐⇒ s > a,
altrimenti l’integrale improprio non e convergente. Quindi il dominio della trasfor-mata e la semiretta aperta (a,∞) e
(5.6) L[eat
](s) =
1
s− a, s > a.
�
107
! Esempio 5.1.5 (funzioni trigonometriche) Calcoliamo la trasformata di Lapla-ce di x(t) = sin t. L’integrale improprio∫ ∞
0
(sin t)e−st dt
e convergente se e solo se s > 0, quindi il dominio della trasformata di Laplace di sin te la semiretta aperta (0,∞). Per calcolare l’integrale improprio, calcoliamo primadi tutto una primitiva∫
(sin t)e−st dt =e−st (−s sin t− cos t)
s2 + 1.
Quindi, per s > 0 si trova∫ ∞
0
(sin t)e−st dt = liml→∞
∫ l
0
(sin t)e−st dt = liml→∞
e−st (−s sin t− cos t)
s2 + 1
∣∣∣∣l0
= liml→∞
(e−sl (−s sin l − cos l)
s2 + 1− e0 (−s sin 0− cos 0)
s2 + 1
)=
1
s2 + 1
e la trasformata e quindi data da
(5.7) L [sin t] (s) =1
s2 + 1, s > 0.
In maniera del tutto analoga, si verifica che
(5.8) L [cos t] (s) =s
s2 + 1, s > 0.
�
! Esempio 5.1.6 Calcoliamo la trasformata di Laplace della funzione x(t) = t. L’in-tegrale improprio ∫ ∞
0
te−st dt
e convergente se e solo se s > 0. Inoltre, integrando per parti si trova che la funzionee−st(−st− 1)/s2 e una primitiva di te−st, quindi per s > 0 si ha∫ ∞
0
te−st dt = liml→∞
∫ l
0
te−st dt = liml→∞
e−st (−st− 1)
s2
∣∣∣∣l0
= liml→∞
(e−sl (−sl − 1)
s2− e0(0− 1)
s2
)=
1
s2.
La trasformata di Laplace e allora data da
(5.9) L [t] (s) =1
s2, s > 0.
�
108
Non sempre e agevole determinare esattamente il dominio della trasformata di La-place di una data funzione x(t). In ogni caso, un criterio utile per stabilire se x(t)e trasformabile secondo Laplace consiste nello studiare il suo ordine di crescita. Sidice che una funzione x(t) ha crescita esponenziale se esistono due costanti M e αtali che valga la maggiorazione
|x(t)| ≤Meat ∀t ≥ 0.
Inoltre, l’estremo inferiore degli esponenti α per cui e possibile avere una stima diquesto tipo, viene detto ordine di crescita della funzione x(t). Si puo verificarefacilmente che, se una funzione ha ordine di crescita s0, allora essa e trasformabi-le secondo Laplace, almeno nella semiretta aperta (s0,∞) (questa condizione e ingenerale soltanto sufficiente e non necessaria ai fini della trasformabilita).
Esempio 5.1.7 Se x(t) e una funzione limitata, cioe se esiste una costante M taleche |x(t)| ≤M , allora x(t) ha crescita esponenziale, e il suo ordine di crescita (comesi verifica facilmente) e minore o uguale a zero. Quindi, qualsiasi funzione continuaa tratti e limitata, e trasformabile secondo Laplace, almeno sulla semiretta positiva(0,∞). �
! Esempio 5.1.8 (ordine delle funzioni iperboliche) Le funzioni iperboliche
sinh tdef=
et − e−t
2, cosh t
def=
et + e−t
2
hanno entrambe crescita esponenziale e ordine di crescita 1. Infatti, si ha per t > 0
| sinh t| = 1
2
∣∣et − e−t∣∣ ≤ 1
2et, t ≥ 0
e
| cosh t| = 1
2
∣∣et + e−t∣∣ ≤ et, t ≥ 0
e il numero 1 in et = e1·t non puo essere sostituito da alcun fattore piu piccolo.Le funzioni iperboliche sinh t e cosh t, quindi, sono trasformabili secondo Laplace
nella semiretta (1,∞):
L [sinh t] (s) =
∫ ∞
0
(sinh t)e−st dt, L [cosh t] (s) =
∫ ∞
0
(cosh t)e−st dt, s > 1.
Il calcolo delle rispettive trasformate verra effettuato nel prossimo paragrafo, usandola proprieta di linearita. �
Esercizi
5.1.1 Calcolare, utilizzando la definizione, la trasformata di Laplace delle seguenti funzioni, indi-candone ogni volta il dominio di definizione:
sin 2t, t + 1, 2e4t 3 cos 4t, U(t− 3), t2.
5.1.2 Determinare se le seguenti funzioni hanno crescita esponenziale e, in caso affermativo,determinarne l’ordine di crescita:
e5t, 2e−10t + 4, t2 + t, (1 + t3)e3t, et2+2t, et sinh 2t, t sin t
109
5.2 Proprieta fondamentali
La trasformata di Laplace gode di alcune proprieta fondamentali, che consentono diridurre notevolmente il volume di calcolo che sarebbe richiesto se, per calcolarla, si fa-cesse ricorso unicamente alla definizione (5.3). La prima proprieta della trasformatadi Laplace e quella di linearita.
Linearita. Se x1(t) e x2(t) sono due funzioni con trasformate di Laplace X1(s) eX2(s) nei rispettivi dominı D1 e D2, allora una qualsiasi loro combinazione lineareax1(t)+ bx2(t) e a sua volta trasformabile, nel dominio dato dall’intersezione dei duedominı, e vale:
(5.10) L [ax1(t) + bx2(t)] (s) = aX1(s) + bX2(s), s ∈ D1 ∩ D2.
Esempio 5.2.1 Combinando la (5.6) e la (5.7), si ha
L[2e3t + 5 sin t
](s) =
2
s− 3+
5
s2 + 1, s > 3
(si noti che il dominio di trasformabilita e dato dall’intersezione dei due dominı(3,∞) e (0,∞)). �
! Esempio 5.2.2 (funzioni iperboliche) Calcoliamo la trasformata di Laplace dellefunzioni iperboliche sinh at e cosh at, dove a e un parametro reale. Si ha
sinh at =eat − e−at
2=
1
2eat − 1
2e−at,
quindi sinh at e una combinazione lineare di due funzioni esponenziali, di cui abbiamogia calcolato la trasformata di Laplace. In particolare, usando due volte la (5.6)(prima con a, poi con −a) troviamo:
L[eat
](s) =
1
s− a, s > a,
e
L[e−at
](s) =
1
s + a, s > −a.
I due dominı di trasformabilita sono quindi le due semirette (a,∞) e (−a,∞), e la lo-ro intersezione e la semiretta (|a|,∞), indipendentemente dal segno di a. Applicandola proprieta di linearita (5.10), si ottiene quindi
(5.11) L [sinh at] (s) =1
2
(1
s− a− 1
s + a
)=
a
s2 − a2, s > |a|.
In maniera del tutto analoga, si trova
(5.12) L [cosh at] (s) =1
2
(1
s− a+
1
s + a
)=
s
s2 − a2, s > |a|.
�
110
Passiamo ora in rassegna alcune altre proprieta della trasformata di Laplace,con relative dimostrazioni ed esempi. Anche se queste non sono le ipotesi ottimali,supporremo sempre che x(t) sia una funzione continua a tratti su [0,∞) con crescitaesponenziale del tipo
(5.13) |x(t)| ≤Mes0t ∀t ≥ 0
per un certo numero s0. In questo modo, per s > s0 risulta senz’altro definita la suatrasformata di Laplace
X(s) =
∫ ∞
0
x(t)e−st dt, s > s0.
Riscalamento. Se a > 0 e un parametro reale, allora
(5.14) L [x(at)] (s) =1
aX(s/a), s > as0.
Dimostrazione. Basta effettuare il cambiamento di variabile z = at nella defini-zione di trasformata di Laplace. Infatti, se s > as0, abbiamo
L [x(at)] (s)def=
∫ ∞
0
x(at)e−st dt =1
a
∫ ∞
0
x(z)e−sz/a dzdef=
1
aX(s/a).
�
! Esempio 5.2.3 (funzioni trigonometriche) Vogliamo calcolare la trasformata diLaplace della funzione sin at, dove a > 0 e un parametro reale. Ponendo x(t) = sin t,dalla (5.7) sappiamo che
X(s) =1
s2 + 1, s > 0.
Applicando la proprieta di riscalamento (5.14), troviamo quindi
(5.15) L [sin at] =1
a· 1
(s/a)2 + 1=
a
s2 + a2, s > 0.
Analogamente, partendo dalla (5.8) si trova
(5.16) L [cos at] =1
a· s/a
(s/a)2 + 1=
s
s2 + a2, s > 0.
�
Proprieta di traslazione. Se a > 0 e un parametro reale positivo, allora
(5.17) L [x(t− a)U(t− a)] (s) = e−asX(s), s > s0.
Si noti che, ricordando la (5.4), si ha
x(t− a)U(t− a) =
{x(t− a) se t ≥ a,0 se t < a.
111
Il grafico della funzione x(t − a)U(t − a) su [0,∞), pertanto, si ottiene traslandoil grafico di x(t)U(t) di una quantita pari ad a verso destra (e quindi la funzionetraslata sara nulla su [0, a)). In particolare, se x(t)U(t) rappresenta un segnale cheinizia al tempo t = 0, la funzione x(t − a)U(t − a) rappresenta un segnale identicoma ritardato nel tempo (cioe, un segnale di forma identica che inizia al tempo a).Per questo motivo, la (5.17) e nota anche come formula del ritardo.
Dimostrazione. E sufficiente notare che U(t− a) = 0 per t < a e U(t− a) = 1 pert ≥ a, e poi effettuare il cambiamento di variabile z = t− a nell’integrale:
L [x(t− a)U(t− a)] (s)def=
∫ ∞
0
x(t− a)U(t− a)e−st dt
=
∫ ∞
a
x(t− a)e−st dt =
∫ ∞
0
x(z)e−sa−sz dz
= e−as
∫ ∞
0
x(z)e−sz dzdef= e−asX(s), s > s0.
�
! Esempio 5.2.4 (gradino traslato) Fissato a ≥ 0, calcoliamo la trasformata diLaplace della funzione a gradino traslata, ovvero
U(t− a) =
{0 se t < a,1 se t ≥ a.
Notiamo che si ha U(t − a) = U(t − a)U(t − a), quindi possiamo usare la formuladel ritardo (5.17) con x(t) = U(t), ottenendo
L [U(t− a)] (s) = L [U(t− a)U(t− a)] (s) = e−asL [U(t)] (s).
D’altra parte, la trasformata L [U(t)] (s) della funzione a gradino e gia stata calcolatanella (5.5), quindi si ottiene
(5.18) L [U(t− a)] (s) =e−as
s, s > 0.
�
! Esempio 5.2.5 Calcoliamo la trasformata di Laplace della funzione
x(t) =
{0 se t < 1,2e3t se t ≥ 1.
Per far questo, notiamo che si ha
x(t) = 2e3tU(t− 1) = 2e3e3(t−1)U(t− 1).
Applicando prima la linearita e poi la formula del ritardo con a = 1, otteniamo
L [x(t)] (s) = 2e3L[e3(t−1)U(t− 1)
](s) = 2e3e−sL
[e3t
](s),
112
e basta quindi calcolare la trasformata di Laplace di e3t. Del resto, sfruttando la(5.6) si trova
L[e3t
](s) =
1
s− 3, s > 3
e quindi
L [x(t)] (s) = 2e3 e−s
s− 3, s > 3.
�
Modulazione. Se a e un parametro reale, allora
(5.19) L[eatx(t)
](s) = X(s− a), s > s0 + a.
Il significato della (5.19) e che la moltiplicazione per una funzione di tipo esponenzialesi riflette, nella trasformata di Laplace, in una traslazione nel dominio delle frequenze.Per questo motivo, la proprieta di modulazione e anche detta seconda formula deltitardo.
Dimostrazione. Si tratta di una semplice verifica, utilizzando la definizione ditrasformata di Laplace:
L[eatx(t)
](s)
def=
∫ ∞
0
eatx(t)e−st dt =
∫ ∞
0
x(t)e−(s−a)t dtdef= X(s− a), s > s0 + a.
�
! Esempio 5.2.6 Calcoliamo la trasformata di Laplace della funzione x(t) = e2t sin 3t.Applicando prima la proprieta di modulazione (5.19) (con a = 2) e poi la formula(5.15) (con a = 3), si trova
L[e2t sin 3t
](s) = L [sin 3t] (s− 2) =
3
(s− 2)2 + 32=
3
(s− 2)2 + 9, s > 2.
�
Moltiplicazione per t. Si ha
(5.20) L [tx(t)] (s) = −X ′(s), s > s0.
Applicando ripetutamente la (5.20), si ottiene
(5.21) L [tnx(t)] (s) = (−1)n dn
dsnX(s), s > s0, n intero positivo.
Una dimostrazione esauriente della proprieta (5.20) esula dai nostri scopi, in quantorichiede strumenti piuttosto avanzati di teoria dell’integrazione. Tuttavia, e facile
113
fornire una giustificazione intuitiva della (5.20), ottenuta scambiando i simboli diderivata e integrale:
X ′(s)def=
d
ds
(∫ ∞
0
x(t)e−st dt
)=
∫ ∞
0
d
ds
(x(t)e−st
)dt
= −∫ ∞
0
x(t)te−st dtdef= −L [tx(t)] (s).
Per rendere completa la dimostrazione, sarebbe necessario giustificare adeguatamen-te la seconda uguaglianza, cioe il fatto che la derivata rispetto a s dell’integrale in dt(in cui s compare come parametro), sia uguale all’integrale della funzione derivata.
! Esempio 5.2.7 (potenze di t) Dato un intero positivo n, calcoliamo la trasformatadi Laplace della funzione tn. E sufficiente applicare la (5.21), scegliendo x(t) = U(t),cioe la funzione a gradino la cui trasformata e gia stata calcolata nella (5.5):
L [tn] (s) = L [tnU(t)] (s) = (−1)n dn
dsn
(1
s
)=
n!
sn+1, s > 0.
Ad esempio, si ha scegliendo n = 1, 2, 3
L [t] = −(
1
s
)′
=1
s2, L
[t2
]=
(1
s
)′′
=2
s3, L
[t3
]= −
(1
s
)′′′
=6
s4, s > 0.
�
! Esempio 5.2.8 Calcoliamo la trasformata di Laplace di t sin 3t. Dalla (5.15) cona = 3, si ha
L [sin 3t] (s) =3
s2 + 9, s > 0
e quindi usando la (5.20) si trova
L [t sin 3t] (s) = −(
3
s2 + 9
)′
=6s
(s2 + 9)2, s > 0.
�
Cosı come la moltiplicazione per t si traduce, nella trasformata di Laplace, in unaderivazione e in un cambiamento di segno, la divisione per t si traduce in unaintegrazione:Divisione per t. Se il limite destro
x(0+)def= lim
t→0+
x(t)
t
esiste finito, allora
(5.22) L[x(t)
t
](s) =
∫ ∞
s
X(S) dS, s > s0.
114
! Esempio 5.2.9 Calcoliamo la trasformata di laplace della funzione sin(t)/t. Illimite destro
limt→0+
sin t
t
esiste finito, quindi possiamo applicare la (5.22):
L[sin t
t
](s) =
∫ ∞
s
L [sin t] (S) dS.
Ricordando la (5.7), otteniamo
L[sin t
t
](s) =
∫ ∞
s
1
S2 + 1dS = arctan(S)
∣∣∣∞s
=π
2− arctan s = arctan(1/s), s > 0.
(5.23)
�
Osservazione 5.2.10 Se nella stima (5.13) si ha s0 < 0, allora possiamo sceglieres = 0 nella (5.22), ottenendo
L[x(t)
t
](0) =
∫ ∞
0
X(s) ds.
Ma ricordando la definizione della trasformata di Laplace (5.3), possiamo scriverequesta relazione nel modo seguente:
(5.24)
∫ ∞
0
x(t)
tdt =
∫ ∞
0
X(s) ds.
La (5.24) continua a valere anche quando s0 = 0, ma in questo caso bisogna supporreche i due integrali impropri siano convergenti. �
! Esempio 5.2.11 Per calcolare l’integrale improprio∫ ∞
0
sin t
tdt,
che sappiamo essere convergente, si puo usare la (5.24). Infatti, ponendo x(t) = sin tla (5.13) e verificata con s0 = 0, e si ha X(s) = 1/(s2 +1) per s > 0 grazie alla (5.7).Applicando la (5.24), si ottiene∫ ∞
0
sin t
tdt =
∫ ∞
0
1
s2 + 1ds = arctan s
∣∣∣∞0
=π
2.
�
115
Trasformata della derivata. Se x(t) e continua su [0,∞) ed e di classe C1 in(0, +∞), allora
(5.25) L [x′(t)] (s) = sX(s)− x(0), s > s0.
Dimostrazione. Fissiamo un numero l > 0. Integrando per parti, si ha∫ l
0
x′(t)e−st dt = x(t)e−st
∣∣∣∣l0
+ s
∫ l
0
x(t)e−st dt = x(l)e−sl − x(0) + s
∫ l
0
x(t)e−st dt.
Per la (5.13), si haliml→∞
x(l)e−sl = 0, s > s0,
e quindi per definizione di trasformata di Laplace
L [x′(t)] (s)def= lim
l→∞
∫ l
0
x′(t)e−st dt = liml→∞
(x(l)e−sl − x(0) + s
∫ l
0
x(t)e−st dt
)= −x(0) + s lim
l→∞
∫ l
0
x(t)e−st dtdef= −x(0) + sX(s), s > s0,
cioe la (5.25). �
Osservazione 5.2.12 Ferme restando le altre ipotesi, se x(t) e continua in (0,∞)ed esiste finito il limite destro
x(0+)def= lim
t→0+x(t),
allora la (5.25) resta valida nella forma
(5.26) L [x′(t)] (s) = sX(s)− x(0+), s > s0.
Inoltre, se si fanno analoghe ipotesi sulle derivate di ordine maggiore al primo, la(5.26) puo essere applicata ripetutamente, per calcolare la trasformata di Laplacedelle derivate di ordine piu alto. Ad esempio, se anche la derivata x′(t) soddisfa lestesse ipotesi di x(t) si ha
L [x′′(t)] (s) = L[(x′(t))
′](s) = sL [x′(t)] (s)− x′(0+) = s2X(s)− sx(0+)− x′(0+)
e quindi
(5.27) L [x′′(t)] = s2X(s)− sx(0+)− x′(0+), s > s0.
Faremo uso di questa relazione piu avanti, per la risoluzione esplicita di alcuneequazioni differenziali. �
116
! Esempio 5.2.13 Ricalcoliamo, in maniera diversa, la trasformata di Laplace dellafunzione x(t) = sin at, dove ora a e un parametro reale qualsiasi. Si ha
x′′(t) = −a2 sin at, x(0) = 0, x′(0) = a.
Per linearita, applicando la (5.27) quindi si ha
−a2L [sin at] (s) = L [x′′(t)] (s) = s2L [x(t)] (s)− a,
e quindi risolvendo rispetto a L [x(t)] (s) si ottiene
L [sin at] (s) = L [x(t)] (s) =a
s2 + a2, s > 0,
in accordo con la (5.15) (che era stata dimostrata soltanto per a > 0). �
Trasformata dell’integrale. Si ha
(5.28) L[∫ t
0
x(r) dr
](s) =
X(s)
s, s > max{s0, 0}.
Dimostrazione. Fissiamo un numero l > 0 e poniamo
g(t) =
∫ t
0
x(r) dr.
Dato che g′(t) = x(t) e g(0) = 0, integrando per parti si ha∫ l
0
g(t)e−st dt = − g(t)e−st
s
∣∣∣∣l0
+1
s
∫ l
0
g′(t)e−st dt = −g(l)e−sl
l+
1
s
∫ l
0
x(t)e−st dt.
Passando al limite per l→∞ si ottiene la (5.28), dato che, in base alla (5.13),
|g(l)| =∣∣∣∣∫ l
0
x(t) dt
∣∣∣∣ ≤M
∫ l
0
es0t dt ≤
{−M/s0 se s0 < 0,
Mles0t se s0 ≥ 0,
e quindi se s > max{s0, 0} si ha
liml→∞
g(l)e−sl
l= 0.
�
Si noti che, nella (5.28), l’ipotesi che sia s > max{s0, 0} non puo essere sostituitadall’ipotesi piu debole s > s0. Infatti, consideriamo ad esempio x(t) = e−t, cheverifica la (5.13) con s0 = −1. Allora si ha g(t) = 1 − e−t, e la trasformata diLaplace di g(t) ha dominio (0,∞) e non (s0,∞).
117
! Esempio 5.2.14 (seno integrale) Calcoliamo la trasformata di Laplace della fun-zione seno integrale
sI(t) =
∫ t
0
sin r
rdr, t ≥ 0.
Ponendo x(t) = (sin t)/t, la (5.13) e verificata con s0 = 0; pertanto, applicando la(5.28) e ricordando la (5.23), otteniamo
L [sI(t)] (s) =arctan(1/s)
s, s > 0.
�
Funzioni periodiche. Se x(t) e periodica di periodo T su [0,∞), allora si ha
(5.29) L [x(t)] (s) =
∫ T
0x(t)e−st dt
1− esT, s > 0.
Dimostrazione. Osserviamo anzitutto che una funzione periodica e continua atratti e limitata, quindi trasformabile secondo Laplace per s > 0. Se n e un interopositivo, col cambiamento di variabile t = z + nT troviamo∫ nT+T
nT
x(t)e−st dt =
∫ T
0
x(z + nT )e−s(z+nT ) dz = e−snT
∫ T
0
x(z)e−sz dz,
avendo usato la periodicita. Sommando su N periodi consecutivi, si ha quindi∫ NT
0
x(t)e−st dt =N−1∑n=0
∫ nT+T
nT
x(t)e−st dt =
(∫ T
0
x(z)e−sz dz
) N−1∑n=0
e−snT ,
e la (5.29) segue subito passando al limite per N →∞, e ricordando la formula perla somma di una serie geometrica di ragione e−sT . �
! Esempio 5.2.15 Calcoliamo la trasformata di Laplace dell’onda quadra di periodoT e ampiezza A, definita sul periodo [0, T ) come
x(t) =
{A se 0 ≤ t < T/2,−A se T/2 ≤ t < T .
Per applicare la (5.29), calcoliamo∫ T
0
x(t)e−st dt = A
∫ T2
0
e−st dt−A
∫ T
T2
e−st dt = A1− 2e−sT/2 + e−sT
s= A
(1− e−sT/2
)2
s
e quindi per la (5.29)
L [x(t)] (s) = A
(1− e−sT/2
)2
s (1− e−sT )= A
1− e−sT/2
s (1 + e−sT/2), s > 0.
�
118
Concludiamo questa rassegna con due proprieta che mettono in relazione i valorilimite, nel punto zero e all’infinito, di x(t) e della sua trasformata X(s).
Valore iniziale. Si ha
(5.30) x(0+)def= lim
t→0+x(t) = lim
s→∞sX(s).
Dimostrazione. Notiamo prima di tutto che il primo limite esiste finito, in quantox(t) e continua a tratti su [0,∞). Col cambiamento di variabile z = st, si ha
sX(s)def= s
∫ ∞
0
x(t)e−st dt =
∫ ∞
0
x(z/s)e−z dz.
D’altra parte, per qualsiasi z > 0 si ha
lims→∞
x(z/s) = limt→0+
x(t) = x(0+).
Pertanto, scambiando il limite con l’integrale, si ha
lims→∞
sX(s) = lims→∞
(∫ ∞
0
x(z/s)e−z dz
)=
∫ ∞
0
(lims→∞
x(z/s)e−z)
dz
=
∫ ∞
0
x(0+)e−z dz = x(0+)
∫ ∞
0
e−z dz = x(0+)
e la (5.30) e dimostrata. Osserviamo pero che, nella seconda uguaglianza, biso-gnerebbe giustificare adeguatamente la possibilita di scambiare tra loro l’operazionedi limite e quella di integrale: una giustificazione rigorosa richiederebbe strumentipiuttosto avanzati, e per questo motivo viene omessa. �
Valore finale. Se s0 ≤ 0, si ha
(5.31) limt→∞
x(t) = lims→0+
sX(s)
a patto che i limiti in questione esistano.La proprieta del valore finale puo essere giustificata in maniera analoga a quanto
fatto per la condizione iniziale; si noti tuttavia che qui bisogna supporre che i limitiesistano.
Riassumiamo le proprieta della trasformata di Laplace nella Tabella 5.1. Si ten-ga pero presente che alcune proprieta richiedono qualche ipotesi aggiuntiva oltre la(5.13): per questo, si rimanda alla trattazione piu dettagliata esposta precedente-mente.
5.3 Antitrasformata di Laplace
La trasformata di Laplace sarebbe di ben poca utilita se non fosse possibile risalirealla funzione x(t), conoscendo la sua trasformata di Laplace X(s). L’operazione chepermette di passare da X(s) a x(t) e detta antitrasformata di Laplace: una tratta-zione dettagliata dell’antitrasformata esula dai nostri scopi, in quanto richiederebbela teoria delle funzioni di variabile complessa. Qui ci limiteremo a fornire alcuniesempi ed alcune tecniche euristiche per il calcolo dell’antitrasformata.
119
Linearita L [ax1(t) + bx2(t)] (s) = aX1(s) + bX2(s)
Riscalamento L [x(at)] (s) =1
aX(s/a), s > as0
Traslazione L [x(t− a)U(t− a)] (s) = e−asX(s), s > s0
Modulazione L [eatx(t)] (s) = X(s− a), s > s0 + a
Moltiplicazione per t L [tx(t)] (s) = −X ′(s), s > s0
Divisione per t L[x(t)
t
](s) =
∫ ∞
s
X(S) dS, s > s0
Trasformata della derivata L [x′(t)] (s) = sX(s)− x(0+), s > s0
Trasformata dell’integrale L[∫ t
0
x(r) dr
](s) =
X(s)
s, s > max{s0, 0}
Valore iniziale limt→0+
x(t) = lims→∞
sX(s)
Valore finale limt→∞
x(t) = lims→0+
sX(s)
Tabella 5.1: Principali proprieta della trasformata di Laplace.
Definizione 5.3.1 Sia X(s) una funzione definita almeno su una semiretta apertadel tipo (s0,∞). Diciamo che x(t) e una antitrasformata di X(s) e scriviamo
x(t) = L−1 [X(s)] (t), t ≥ 0
se x(t) e una funzione continua a tratti su [0,∞), trasformabile secondo Laplace, etale che
X(s) = L [x(t)] (s), s > s0.
Va subito notato che, quando esiste, l’antitrasformata di Laplace di X(s) non e maiunivocamente determinata. Infatti, dato che la trasformata di Laplace e definita tra-mite l’integrale (5.3), se x(t) e una antitrasformata di X(s), allora qualsiasi funzioneottenuta modificando i valori di x(t) in un numero finito di punti e ancora una anti-trasformata di X(s). Tuttavia, questa non e una severa limitazione, in quanto si puodimostrare che, se x(t) e una antitrasformata, allora la regolarizzata di x(t) e univo-camente determinata. Per questo motivo, parleremo spesso della antitrasformata diLaplace, anziche di una antitrasformata.
Si tenga poi presente che, nella definizione di trasformata di Laplace (5.3), inter-vengono soltanto i valori di x(t) con t ≥ 0: pertanto, conoscendo la trasformata X(s),
120
non si puo avere alcuna informazione sull’antitrasformata x(t) per valori negativi dit. Percio, nel seguito, tutte le antitrasformate verranno considerate, implicitamente,soltanto sulla semiretta positiva.
Dato che l’antitrasformata di Laplace e l’operazione inversa della trasformata,le proprieta fondamentali dell’antitrasformata di Laplace si ricavano facilmente daquelle della trasformata. Per facilita di consultazione, le riportiamo in modo sinteticonella Tabella 5.2: si noti pero che queste proprieta vanno applicate cum grano salis,facendo particolare attenzione alle ipotesi e ai dominı di definizione.
Linearita L−1 [aX1(s) + bX2(s)] (t) = ax1(t) + bx2(t)
Riscalamento L−1 [X(as)] (t) =1
ax(t/a)
Traslazione L−1 [e−asX(s)] (t) = x(t− a)U(t− a)
Modulazione L−1 [X(s− a)] (t) = eatx(t)
Antitrasformata della derivata L−1 [X ′(s)] (t) = −tx(t)
Antitrasformata dell’integrale L−1
[∫ ∞
s
X(S) dS
](t) =
x(t)
t
Moltiplicazione per s L−1 [sX(s)− x(0+)] (t) = x′(t)
Divisione per s L−1
[X(s)
s
](t) =
∫ t
0
x(r) dr
Tabella 5.2: Principali proprieta dell’antitrasformata di Laplace.
Confrontando le due tabelle 5.1 e 5.2, va notato come la proprieta di moltiplicazioneper t della trasformata diventi la proprieta di antitrasformata della derivata, mentrela proprieta di divisione per t della trasformata diventa la proprieta di antitrasfor-mata dell’integrale (e, viceversa, relativamente alla moltiplicazione e alla divisioneper s).
Nel calcolare le antitrasformate di Laplace, puo essere utile fare riferimento allaTabella 5.3.
! Esempio 5.3.2 Determiniamo l’antitrasformata della funzione
X(s) =3
s− 4.
121
Funzione x(t) Trasformata di Laplace X(s) Dominio
U(t)1
ss > 0
eαt (a ∈ R)1
s− as > a
tn (n ∈ N)n!
sn+1s > 0
sin(at) (a ∈ R)a
s2 + a2s > 0
cos(at) (a ∈ R)s
s2 + a2s > 0
sinh(at) (a ∈ R)a
s2 − a2s > |a|
cosh(at) (a ∈ R)a
s2 − a2s > |a|
eat sin(bt) (a, b ∈ R)b
(s− a)2 + b2s > a
eat cos(bt) (a, b ∈ R)s− a
(s− a)2 + b2s > a
sin t
tarctan(1/s) s > 0
Tabella 5.3: Alcune funzioni e le loro trasformate di Laplace
Ricordando la (5.6) (si veda anche la Tabella 5.3), abbiamo per linearita
L[
3
s− 4
](t) = 3L−1
[1
s− 4
](t) = 3e4t.
�
! Esempio 5.3.3 Calcoliamo l’antitrasformata di Laplace della funzione
1
s2 − 1.
Guardando la tabella (5.3), si ottiene subito che
L−1
[1
s2 − 1
](t) = sinh t.
In alternativa, si puo decomporre la funzione in fratti semplici:
1
s2 − 1=
1
(s + 1)(s− 1)=
1
2
(1
s− 1− 1
s + 1
).
122
Per linearita dell’antitrasformata, si ha quindi
L−1
[1
s2 − 1
](t) = L−1
[1
2
(1
s− 1− 1
s + 1
)](t)
=1
2L−1
[1
s− 1
](t)− 1
2L−1
[1
s + 1
](t).
Dato che 1/(s− 1) e la trasformata di et mentre 1/(s + 1) e la trasformata di e−t, siricava
L−1[1/(s2 − 1)
](t) =
1
2et − 1
2e−t = sinh t.
�
Concludiamo questo paragrafo con una lunga serie di esempi di calcolo delle antritra-sformate di Laplace, mettendo in luce le proprieta dell’antitrasformata che vengonodi volta in volta utilizzate. Inoltre, si fara implicito riferimento alla tabella 5.3 perquanto riguarda le trasformate delle funzioni elementari.
! Esempio 5.3.4 (linearita) Calcoliamo l’antitrasformata della funzione
4
s− 2− 3s
s2 + 16+
5
s2 + 4.
Usando la linearita, si ottiene
L−1
[4
s− 2− 3s
s2 + 16+
5
s2 + 4
](t)
= 4L−1
[1
s− 2
](t)− 3L−1
[s
s2 + 16
](t) + 5L−1
[1
s2 + 4
](t)
= 4L−1
[1
s− 2
](t)− 3L−1
[s
s2 + 42
](t) +
5
2L−1
[2
s2 + 22
](t)
= 4e2t − 3 cos 4t +5
2sin 2t.
�
! Esempio 5.3.5 (riscalamento) Calcoliamo l’antitrasformata della funzione
s
9s2 + 16.
Dato che
L−1
[s
s2 + 16
](t) = L−1
[s
s2 + 42
](t) = cos 4t,
per la proprieta di riscalamento dell’antitrasformata troviamo
L−1
[s
9s2 + 16
](t) = L−1
[s
(3s)2 + 16
](t) =
1
3L−1
[3s
(3s)2 + 16
](t) =
1
3cos
(4
3t
).
�
123
! Esempio 5.3.6 (traslazione) Calcoliamo l’antitrasformata della funzione
e−πs/3
1 + s2.
Dato che
L−1
[1
s2 + 1
](t) = sin t,
dalla proprieta di riscalamento si ottiene
L−1
[e−πs/3
1 + s2
](t) = U(t− π/3) sin(t− π/3) =
{sin(t− π/3) se t ≥ π/3,0 se t < π/3.
�
! Esempio 5.3.7 (modulazione) Calcoliamo l’antitrasformata della funzione
1
s2 − 2s + 5.
Per prima cosa, completiamo il quadrato a denominatore:
1
s2 − 2s + 5=
1
(s− 1)2 + 4.
Dato che
L−1
[1
s2 + 4
](t) =
1
2sin 2t,
dalla proprieta di modulazione otteniamo
L−1
[1
s2 − 2s + 5
](t) = L−1
[1
(s− 1)2 + 4
](t) =
1
2et sin 2t.
�
! Esempio 5.3.8 (antitrasformata della derivata) Calcoliamo l’antitrasformatadella funzione
s
(s2 + 1)2.
Dato che
L−1
[1
s2 + 1
](t) = sin t e
d
ds
(1
s2 + 1
)=
−2s
(s2 + 1)2,
si ha
L−1
[−2s
(s2 + 1)2
](t) = −t sin t
e quindi per linearita
L−1
[s
(s2 + 1)2
](t) =
1
2t sin t.
�
124
! Esempio 5.3.9 (antitrasformata della derivata) Calcoliamo l’antitrasformatadella funzione
1
(s− a)n+1, a ∈ R, ed n intero positivo.
Se n = 0, si ha chiaramente
L−1
[1
s− a
](t) = eat.
Se invece n > 0, e importante riconoscere nella frazione 1/(s − a)n+1 la derivata(a meno di una costante moltiplicativa) di ordine n della funzione 1/(s − a). Piuprecisamente, si ha
1
(s− a)n+1=
(−1)n
n!
dn
dsn
(1
s− a
).
Quindi, applicando n volte la proprieta di antitrasformata della derivata, otteniamo
L−1
[1
(s− a)n+1
](t) =
tn
n!eat.
Ad esempio, per n = 1 e n = 2 si trova
(5.32) L−1
[1
(s− a)2
](t) = teat, L−1
[1
(s− a)3
](t) =
t2
2eat.
�
! Esempio 5.3.10 (antitrasformata dell’integrale) Calcoliamo l’antitrasformatadella funzione
log
(s + 1
s
).
Notiamo che si ha
log
(s + 1
s
)=
∫ ∞
s
(1
S− 1
S + 1
)dS
e sappiamo calcolare l’antitrasformata della funzione integranda, dato che
L−1
[1
s− 1
s + 1
](t) = U(t)− e−t.
Pertanto, per la proprieta dell’antitrasformata dell’integrale, si ottiene
L−1
[log
(s + 1
s
)](t) =
1− e−t
t.
�
125
! Esempio 5.3.11 (moltiplicazione per s) Calcoliamo l’antitrasformata della fun-zione
s
(s− 1)2 + 1.
Dato che, in base alla tabella 5.3, si ha
L−1
[1
(s− 1)2 + 1
](t) = et sin t
e x(t) = et sin t verifica x+(0) = 0, possiamo applicare la proprieta di moltiplicazioneper s, ottenendo
L−1
[s
(s− 1)2 + 1
](t) =
d
dt
(et sin t
)= et(cos t + sin t).
�
! Esempio 5.3.12 (divisione per s) Calcoliamo l’antitrasformata della funzione
1
s(s2 + 4).
Dato che
L−1
[1
s2 + 4
](t) =
1
2sin 2t,
applicando la proprieta di divisione per s otteneniamo
L−1
[1
s(s2 + 4)
](t) =
∫ t
0
1
2sin 2r dr =
1
4− 1
4cos 2t.
Per calcolare l’antitrasformata di
1
s3(s2 + 4),
basta applicare ancora due volte la proprieta di divisione:
L−1
[1
s2(s2 + 4)
](t) =
∫ t
0
(1
4− 1
4cos 2r
)dr =
t
4− 1
8sin 2t,
e quindi
L−1
[1
s3(s2 + 4)
](t) =
∫ t
0
(r
4− 1
8sin 2r
)dr =
t2
8+
1
16cos 2t− 1
16.
�
! Esempio 5.3.13 (fratti semplici) Per calcolare l’antitrasformata della funzionerazionale
3s + 7
s2 − 2s + 3=
3s + 7
(s− 3)(s + 1)
126
decomponiamola come somma di fratti semplici, cioe determiniamo A e B tali che
(5.33)3s + 7
(s− 3)(s + 1)=
A
s− 3+
B
s + 1.
Per determinare i numeri A e B, si puo risolvere un sistema lineare. In alternativa,si puo moltiplicare la (5.33) per s− 3 e poi fare il limite per s→ 3, ottenendo
lims→3
3s + 7
s + 1= A + lim
s→3
(s− 3)B
s + 1= A
e quindi A = 4. Per ottenere B, moltiplichiamo la (5.33) per s + 1 e poi facciamo illimite per s→ −1, ottenendo
lims→−1
3s + 7
s− 3= lim s→ 3
A(s + 1)
s− 3+ B = B
e quindi B = −1. Si ha allora
L−1
[3s + 7
(s− 3)(2 + 1)
](t) = L−1
[4
s− 3− 1
s + 1
](t)
= 4L−1
[1
s− 3
](t)− L−1
[1
s + 1
](t) = 4e3t − e−t.
�
! Esempio 5.3.14 (fratti semplici) Per calcolare l’antitrasformata della funzionerazionale
5s2 − 15s− 11
(s + 1)(s− 2)3
decomponiamola come somma di fratti semplici, cioe determiniamo A, B, C e D taliche
(5.34)5s2 − 15s− 11
(s + 1)(s− 2)3=
A
s + 1+
B
(s− 2)3+
C
(s− 2)2+
D
s− 2.
Per determinare A, procediamo come nell’esempio precedente: moltiplichiamo pers + 1 e prendiamo il limite per s→ −1, ottenendo
A = lims→−1
5s2 − 15s− 11
(s− 2)3= −1
3.
Per determinare B, analogamente, moltiplichiamo per (s − 2)3 e poi passiamo allimite per s→ 2, ottenendo
B = lims→2
5s2 − 15s− 11
(s− 2)3= −7.
Trovati A e B, la (5.34) diventa
5s2 − 15s− 11
(s + 1)(s− 2)3=−1/3
s + 1+
−7
(s− 2)3+
C
(s− 2)2+
D
s− 2.
127
Per determinare C, occorre prima portare a primo membro la frazione −7/(s− 2)3
e mettere a fattor comune, ottenendo
(5.35)5s2 − 8s− 4
(s + 1)(s− 2)3=−1/3
s + 1+
C
(s− 2)2+
D
s− 2.
Ora si puo moltiplicare per (s− 2)2 e fare il limite per s→ 2, ottenendo
C = lims→2
5s2 − 8s− 4
(s + 1)(s− 2)= lim
s→2
10s− 8
(s− 2) + (s + 1)= 4
(il limite e stato calcolato con la regola di De L’Hopital). La (5.35) diventa quindi
5s2 − 8s− 4
(s + 1)(s− 2)3=−1/3
s + 1+
4
(s− 2)2+
D
s− 2
e per determinare D occorre portare a primo membro la frazione 4/(s−2)2, ottenendo
5s2 − 8s− 4− 4(s + 1)(s− 2)
(s + 1)(s− 2)3=−1/3
s + 1+
D
s− 2.
Ora, moltiplicando per s − 2 e passando al limite per s → 2, usando due volte laregola di De L’Hopital si ottiene
D = lims→2
5s2 − 8s− 4− 4(s + 1)(s− 2)
(s + 1)(s− 2)2
= lims→2
10s− 8− 4(s + 1)− 4(s− 2)
(s− 2)2 + 2(s + 1)(s− 2)
= lims→2
10− 4− 4
2(s− 2) + 2(s + 1) + 2(s− 2)=
1
3.
Pertanto, ricordando la (5.32) si ha
L−1
[5s2 − 15s− 11
(s + 1)(s− 2)3
](t)
=L−1
[−1/3
s + 1
](t) + L−1
[−7
(s− 2)3
](t) + L−1
[4
(s− 2)2
](t) + L−1
[1/3
s− 2
](t)
=− 1
3L−1
[1
s + 1
](t)− 7L−1
[1
(s− 2)3
](t) + 4L−1
[1
(s− 2)2
](t) +
1
3L−1
[1
s− 2
](t)
=− 1
3e−t − 7
2t2e2t + 4te2t +
1
3e2t.
�
Esercizi
5.3.1 Determinare l’antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni (la risposa e indicata traparentesi):
a)3
s + 4(3e−4t) b)
12s− 5
( 12e5t/2) c)
8s
s2 + 16(8 cos 4t) d)
1s5
(t4/24)
128
5.3.2 Verificare che le funzioni dell’esercizio precedente sono le trasformate di Laplace delle corri-spondenti funzioni indicate tra parentesi.5.3.3 Determinare l’antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni (la risposa e indicata traparentesi):
a)6
s2 + 4(3 sin 2t) b)
3s− 12s2 + 8
(3 cos 2√
2t− 3√
2 sin 2√
2t) c)2s− 5s2 − 9
(2 cosh 3t− 52 sinh 3t)
5.3.4 Verificare che le funzioni dell’esercizio precedente sono le trasformate di Laplace delle corri-spondenti funzioni indicate tra parentesi.5.3.5 Determinare l’antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni (la risposa e indicata traparentesi):
a)3s− 8
4s2 + 25( 34 cos 5t/2− 4
5 sin 5t/2) b)5s + 109s2 − 16
( 59 cosh 4t/3 + 5
6 sinh 4t/3)
5.3.6 Verificare che le funzioni dell’esercizio precedente sono le trasformate di Laplace delle corri-spondenti funzioni indicate tra parentesi.5.3.7 Determinare l’antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni (la risposa e indicata traparentesi):
a)3s− 8s2 + 4
− 4s− 24s2 − 16
(3 cos 2t− 4 sin 2t− 4 cosh 4t + 6 sinh 4t) b)− 73s + 2
(− 73e−2t/3)
5.3.8 Verificare che le funzioni dell’esercizio precedente sono le trasformate di Laplace delle corri-spondenti funzioni indicate tra parentesi.5.3.9 Determinare l’antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni (la risposa e indicata traparentesi):
a)3s− 14
s2 − 4s + 8(e2t(3 cos 2t− 4 sin 2t)) b)
8s + 20s2 − 12s + 32
(11e8t − 3e4t)
5.3.10 Verificare che le funzioni dell’esercizio precedente sono le trasformate di Laplace dellecorrispondenti funzioni indicate tra parentesi.
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