dispense del corso di elaborazione di immagini e audio...

Roberto Vezzani - Imagelab – Università di Modena e Reggio Emilia

Image Processing 2Dispense del corso di Elaborazione di Immagini e Audio Digitali

http://imagelab.ing.unimo.it

Prof. Roberto Vezzani


Relazioni tra pixelEsistono delle relazioni di base tra pixel in un’immagine:

• intorno di un pixel: 4-intorno di p N4(p) con coordinate (x,y) sono i pixel di coordinate (x+1,y), (x,y+1), (x,y-1), (x-1,y); 8-intorno N8(p) con anche i 4 diagonali

• adiacenza: un pixel q è 4-adiacente a p se q∈N4(p), è 8-adiacente se q∈N8(p)

• connettività: due pixel si dicono connessi, se sono adiacenti e se soddisfano un criterio di similarità del livello di grigio

• regioni: si definisce regione R un sottoinsieme di pixel dell’immagine tra loro connessi

• contorni: il contorno di una regione è l’insieme di pixel della regione R che hanno uno o più pixel adiacenti che non appartengono a R


Distanza tra pixelNelle immagini digitali si usano principalmente 3 distanze tra pixel:

• distanza city-block (o Manhattan o L1): D4(p,q)=|x-s|+|y-t|

• distanza chessboard: D8(p,q)=max(|x-s|,|y-t|)

• distanza Euclidea: De(p,q)=[(x-s)2+(y-t)2]1/2


Rumore sulle immagini

• Normalmente in assenza di altre informazioni si suppone che il rumore sia bianco, gaussiano a media nulla: cioe’ che un valore stocastico di varianza σn viene aggiunto al valore del pixel ed e’ completamente incorrelato con quello aggiunto agli altri pixel.

• In altri casi si suppone un rumore impulsivo, rumore sale-pepe, che altera in modo random il valore di qualche pixel

• Image restoration: e’ quella branca dell’image processing che si occupa di migliorare la qualita’ del segnale immagine


Applicazione di kernel

( ) ( ) ( )k

t kg x f x t h t

+

=−

= +∑

• Data una funzione f(x) e un kernel h(t), l’applicazione del kernel porta alla generazione di una funzione g(x)

• Nello spazio 2D, data f(x,y), si ottiene g(x,y) mediante l’applicazione del kernel h(i,j) quadrato

• Questa applicazione si chiama anche correlazione• Tutte le operazioni di filtraggio si basano sulla definizione di un filtro h con

adeguate proprietà locali. Dato che l’immagine non ha dimensioni finite il filtro lavora correttamente nella parte centrale dell’immagine, mentre vengono accettati errori nei bordi dell’immagine (problema delle condizioni di bordo)

( , ) ( , ) ( , )k k

k kg x y f x y h

α β

α β α β+ +

=− =−

= + +∑ ∑

f1 f2 f3 f5f4 h-1 h0 h1


Filtri spaziali: condizione al contornoUn problema dei filtri spaziali basati su intorni è cosa succede quando il centro del filtro è vicini ai bordi dell’immagine. Esistono tre soluzioni possibili:

• non eseguo il filtraggio se la maschera non è completamente inclusa nell’immagine;

• si esegue il filtro solo sugli elementi contenuti nell’immagine;

• padding: si allarga l’immagine per compiere completamente il filtraggio. Solitamente si allarga riempiendo di 0 (o di un valore costante) o anche replicando il valore di bordo dell’immagine.


Filtri di smoothing I filtri di smoothing sono solitamente usati per sfocare (blur) l’immagine e perridurre il rumore.

I filtri di smoothing tipicamente sono filtri di media che sostituiscono il valore diogni pixel dell’immagine con la media dei pixel nell’intorno. Questo processoriduce le variazioni brusche (sharp), sia quelle dovute al rumore (che è, perdefinizione, causa di transizioni sharp), che quelle dovute, purtroppo, anche aicontorni. Quindi i filtri di media rimuovono il rumore, ma sfocano anche dettagliutili, come i contorni.

Esistono due maschere per i filtri di smoothing:

filtro di media

filtro di media pesata

riduce il blurring


Filtri di media con dimensione variabile La dimensione della maschera per il filtro di media stabilisce la dimensionerelativa dei dettagli sfocati con lo sfondo.

originale filtro 3x3 filtro 11x11

filtro 25x25 filtro 25x25 con replica dei valori di bordo


Filtri order-statisticsI filtri order-statistics sono filtri non lineari la cui risposta è basatasull’ordinamento e il ranking dei pixel contenuti nell’intorno.

Il più famoso e più utilizzato è il filtro mediano che sostituisce ad un pixel ilvalore mediano dei livelli di grigio di un suo intorno. E’ molto diffuso per le suequalità di riduzione del rumore senza il difetto di sfocamento dei filtri di media, inparticolare per rumore impulsivo o detto rumore sale e pepe. Il mediano è quelvalore dell’intorno tale che la metà dei valori è minore o uguale e l’altra metà èmaggiore o uguale. Si ottiene ordinando i valori dell’intorno e prendendo poil’elemento centrale.Altri esempi di filtri order-statistics: filtro min (0-percentile) e max (100-p).

originale corrotta con rumore s&p al 20%

filtro di media 5x5 filtro mediano 5x5


Filtri di sharpeningI filtri di sharpening si comportano all’opposto dei filtri di smoothing e il loro scopo è evidenziare i dettagli sfocati nell’immagine. Questa operazione equivale alla derivazione. Se ne usano, di solito, due tipi:

• del primo ordine: generano contorni più evidenziati;

• del secondo ordine: evidenziano forti dettagli e punti isolati.

Per image enhancement, quelli più utilizzati sono quelli di secondo ordine. Servono filtri formulabili nel discreto e isotropici, cioè la cui risposta è indipendente dalla direzione delle discontinuità.

Il più semplice e diffuso è il filtro Laplaciano che nel discreto può essere ottenuto con un filtro spaziale con le seguenti maschere:

o anche


Uso del Laplaciano per image enhancementCosì com’è il Laplaciano evidenzia le discontinuità dei livelli di grigio. Per migliorare l’immagine, basta sommare l’immagine originale con il Laplaciano (se si usa la versione con w(0,0) positivo) o sottrarre (se si usa l’altra versione).

Siccome il Laplaciano è lineare, si possono anche unire le due operazioni in un’unica maschera per filtro spaziale:


Filtro del primo ordine – GradienteI filtri del primo ordine utilizzano le derivate del primo ordine ed estraggono quindi il gradiente:

Questo calcolo è di base per l’individuazione dei contorni (edge). Ne esistono varie varianti:

( ) ( , ), arctg( , )

x

y

g x yx yg x y

ϕ

=

( ) ( ) 22( , ) , ,x yG x y g x y g x y = +

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x yg x y x y g x y x g x y y

x y∂ ∂

∂ ∂= + = +

-1 0

0 1

0 -1

1 0

-1 -1 -1

0 0 0

1 1 1

-1 0 1

-1 0 1

-1 0 1

-1 -√2 -10 0 01 √2 1

-1 0 1-√2 0 √2-1 0 1

-1 0 1

-2 0 2

-1 0 1

-1 -2 -1

0 0 0

1 2 1

Roberts Prewitt Frei-Chen Sobel


Combinazione di miglioramenti spazialiI vari miglioramenti possono essere tra loro combinati.

(a) originale (b) Laplaciano (c) ris di (a) – (b) (d) Sobel orizz.

(f) Sobel (g) Media 5x5 su (f)

(e) Sobel vert.

(h) ris di (c)*(g) (i) ris di (a)+(h) (l) power-law (3) su (i)


FILTRO GAUSSIANO

• Filtro gaussiano E’ il filtro piu’ efficace per rimuovere il rumore gaussianocon una maschera circolare costruita con una funzione gaussianabidimensionale di valor medio nullo e deviazione standard σ.

Esempio gaussiana monodimensionale• in due dimensioni:

• Gaussiana 13 x 13 in figura

2 2 2

2( )/21

2( , ) ( ) ( ) x yG x y G x G y e σ

σ π− += =


FILTRO GAUSSIANO

Discretizzando il filtro:l’approssimazione migliora con l’aumento della dimensione k del kernel ma diventa

computazionalmente più pesante; k dipende anche dalla dimensione del sigma che tanto più è stretto, tanto più k può essere limitata.Esempio: maschera k x k , k circa 5 σ ( copre il 98.7%)

Con σ=1 k=5:h = 0.0029 0.0131 0.0215 0.0131 0.0029

0.0131 0.0585 0.0965 0.0585 0.01310.0215 0.0965 0.1592 0.0965 0.02150.0131 0.0585 0.0965 0.0585 0.01310.0029 0.0131 0.0215 0.0131 0.0029

• DATA LA SUA COMPLESSITA’ COMPUTAZIONALE NON ERA MOLTO APPLICATO IN PASSATO


ESEMPI

• L’aspetto piu’ interessante e’ che e’ un filtro lineare e ha la proprieta’ di separabilita’: una convoluzione 2D puo’ essere ottenuta con una sequenza di due convoluzioni 1D lungo x ed y

• Esempi: Immagine originale

• filtri con σ=1, σ=2, σ=5


FILTRO GAUSSIANO

• Rimuove il rumore e la texture di piccola scala che contengono variazioni di livelli di grigio ad alta frequenza spaziale

• Esempio: immagine di test con variazioni di luminosita’ alta e bassa frequenza spaziale

• dopo un filtraggio gaussiano (con sigma=4)

• mentre con un filtro di media 7 x 7

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