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Universita degli Studi di Roma “La Sapienza”Facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Dipartimento di FisicaLaurea Specialistica in Fisica

Corso di Fisica Teorica: Onde Nonlineari e Solitoni

Prof. Antonio Degasperis

Dispense del Corso

A cura diGiorgio Ferrari, Dario Dell’Arciprete

last update: 1 marzo 2008

Anno Accademico2006-2007

3

“Lo scienziato non studia la natura perche sia utile farlo.La studia perche ne ricava piacere; e ne ricava piacere perche e bella.

Se la natura non fosse bella, non varrebbe la pena di conoscerlae la vita non sarebbe degna di essere vissuta.”

Jules Henri Poincare

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Sommario

Questo lavoro e la rielaborazione degli appunti del corso di Fisica Teorica:Onde Nonlineari e Solitoni tenuto dal prof. Antonio Degasperis nell’A.A.2006/2007.

Nella prima parte, si e affrontato lo studio di sistemi iperbolici e dispersivinonlineari. Il metodo delle caratteristiche ci ha permesso di trattare il pro-blema di Cauchy associato ad equazioni iperboliche nonlineari, mentre quel-lo perturbativo del multiscala di ricavare delle equazioni d’onda dispersivenonlineari integrabili di generale interesse applicativo.

Nella seconda parte, abbiamo studiato il metodo della trasformata spet-trale, generalizzazione nonlineare della trasformata di Fourier e quello dellatrasformazione di Darboux. Questi due metodi permettono di investigarealcune Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali Nonlineari Integrabili(NLPDEs) di notevole interesse fisico, tra le quali l’equazione di Schrodingernonlineare (NLS), l’equazione di Korteweg-de Vries (KdV), l’equazione disine-Gordon (SG), le equazioni ridotte di Maxwell-Bloch (RMB).

Nelle ultime tre parti, sono raccolti alcuni lavori di approfondimento suargomenti specifici in forma di tesine prodotte dagli studenti. Tali argo-menti riguardano i campi dell’Ottica Nonlineare e della Superconduttivita.Lo studio qui presentato dei fenomeni fisici - ovvero, di alcuni modelli cheli descrivono - sottolinea la potenza e l’utilita dei metodi matematici stu-diati durante il corso (metodo perturbativo multiscala, trasformata spettrale,trasformata di Darboux).

Indice

I Onde Non Lineari 10

1 Propagazione ondosa 111.1 Onde dispersive ed iperboliche: una prima classificazione . . . 111.2 Esempi sulla determinazione della ω(k) . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 L’equazione di Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 L’equazione di Klein-Gordon (K-G) . . . . . . . . . . . 131.2.3 L’equazione di Korteweg-de Vries (KdV) . . . . . . . . 14

1.3 L’equazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Equazione delle onde e propagazione iperbolica lineare . . . . 16

1.4.1 Propagazione iperbolica lineare con dissipazione . . . . 191.5 Flusso quadratico e onde di shock . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1 Tempo critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 L’equazione di Burgers 242.1 Verso l’equazione di Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Tempo critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 L’equazione di Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Gerarchia di Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Propagazione ondosa in fluidi e solidi 333.1 Meccanica dei Fluidi e Curve Caratteristiche . . . . . . . . . . 333.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 L’onda di shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2 Un’equazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Onde sonore in un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Propagazione del suono in un solido elastico . . . . . . . . . . 39

4 Caratteristiche 404.1 Caso scalare : N = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1 Vantaggi del metodo delle caratteristiche . . . . . . . . 414.2 Caso vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 INDICE

4.2.1 A e B matrici N ×N diagonali . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.2 A e B matrici N ×N generiche . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.3 Gli Invarianti di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Leggi di conservazione 47

6 Multiscale expansion and integrability of dispersive wave equa-tions 51

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2 Nonlinear Schroedinger type model equations and integrability 62

6.3 Higher order terms and integrability . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 Onde elettromagnetiche nei mezzi nonlineari 77

7.1 Modello classico di dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.1.1 Teoria perturbativa e la NLS . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2 L’equazione VNLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.2.1 Caso di un’onda risonante . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.2.2 Caso di due onde non risonanti . . . . . . . . . . . . . 89

7.3 Generazione della 2a armonica : 2HG . . . . . . . . . . . . . . 90

7.4 Caso di due onde risonanti: 3WRI . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8 Dielettrico quantistico 97

9 Derivazione dell’equazione di Korteweg-de Vries 105

II Solitoni 109

10 Il Metodo della Trasformata Spettrale 110

10.1 Introduzione alla trasformata spettrale . . . . . . . . . . . . . 110

10.1.1 La trasformata inversa di Fourier come problema RH . 111

10.1.2 Dipendenza parametrica dal tempo . . . . . . . . . . . 114

10.2 La trasformata spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10.2.1 Problema spettrale diretto . . . . . . . . . . . . . . . . 120

10.2.2 Problema spettrale inverso . . . . . . . . . . . . . . . . 121

10.2.3 Problema RH corrispondente . . . . . . . . . . . . . . 122

10.2.4 Formulazione alternativa del problema inverso attraver-so le equazioni di Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . 125

10.2.5 Dipendenza parametrica di u(x) dal tempo t . . . . . . 126

INDICE 7

11 Il Metodo di Darboux 129

11.1 La trasformata di Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

11.2 Alcune equazioni non lineari integrabili di interesse applicati-vo: loro Coppia di Lax e soluzione solitonica . . . . . . . . . . 132

III SIT & ISTSelf-Induced Transparency and Inverse Scattering Trans-form 136

12 Propagazione di impulsi ultracorti in mezzi risonanti 139

12.1 Effetti nonlineari coerenti di transiente . . . . . . . . . . . . . 139

12.2 Fenomenologia SIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

13 Derivazione delle equazioni SIT 144

13.1 Equazioni di Maxwell-Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

13.2 Equazioni SIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

13.2.1 Sharp line limit : l’equazione di sine-Gordon . . . . . . 149

14 Inverse Scattering Transform 150

14.1 Introduzione al metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

14.1.1 La coppia di Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

14.1.2 Il problema di Zakharov e Shabat . . . . . . . . . . . . 152

14.2 Problema Diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

14.3 Problema Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

14.4 Dipendenza temporale e soluzione a singolo solitone . . . . . . 167

14.5 SIT come sistema di Zakharov e Shabat e soluzione finale . . . 171

14.6 Osservazioni finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

IV Sull’Equazione di Sine-GordonGiunzione Josephson e soluzione ad un solitone 174

15 Lo stato superconduttivo 177

15.1 Proprieta dei superconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

15.2 Proprieta elettriche : Temperatura critica e conducibilita infinita178

15.3 Proprieta magnetiche : Effetto Meissner e Campo critico . . . . 179

15.4 Teoria BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

15.5 La teoria di Landau-Ginzburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

15.6 Supercorrente di tunneling :Gli Effetti Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8 INDICE

16 Sine-Gordon e Giunzione Josephson 18316.1 Derivazione fisica della Sine-Gordon [46] . . . . . . . . . . . . 184

17 Equazione di Sine-Gordon e Trasformazione di Darboux 19117.1 Il Metodo di Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19117.2 Soluzione ad un solitone per l’ Equazione di Sine-Gordon . . . 192

A Metodo della fase stazionaria 199

B Osservazioni sull’integrazione numerica: la discretizzazionedelle PDE 201

C Coefficienti di Trasmissione e Riflessione di un’onda elettro-magnetica 205

D Il Problema RH 209

Elenco delle figure

1.1 Grafico 3D della soluzione u dell’equazione ut + c ux = 0, conc = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 Curve di livello della soluzione u dell’equazione ut + c ux = 0,con c = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Grafico della soluzione u dell’equazione ut + c ux = 0, con c = 2. 191.4 Curve di livello della soluzione u dell’equazione ut + c ux = 0,

con c = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

12.1 Schema del processo di assorbimento indotto ed emissionestimolata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

12.2 Evoluzione di impulsi-2π per diverse intensita. . . . . . . . . 143

16.1 Una giunzione Josephson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18416.2 La curva chiusa d’ integrazione C. . . . . . . . . . . . . . . . . 18516.3 Giunzione Josephson come sistema quantistico a due stati. . . 186

17.1 soluzione di kink per la Sine Gordon con parametri :x1 = 0 ,κ′′1 = 2.5 ,λ′′1 = 1.5 (polo in ζ = 2i). . . . . . . . . . 198

17.2 soluzione di antikink per la Sine Gordon con parametri :x1 = 0 ,κ′′1 = 2.5 ,λ′′1 = 1.5 (polo in ζ = 2i). . . . . . . . . . 198

Parte I

Onde Non Lineari

Capitolo 1

Propagazione ondosa

1.1 Onde dispersive ed iperboliche: una pri-

ma classificazione

Un’onda puo essere vista come un segnale che si trasferisce da una parte diun mezzo ad un altro con una definita velocita di propagazione. Il segnalee un disturbo di qualsiasi genere che puo cambiare le sue caratteristichecome velocita, ampiezza, pur rimanendo ad ogni istante di tempo facilmentelocalizzabile [1]. Sebbene questa definizione possa sembrare un po’ vaga, eper il momento soddisfacente; in seguito avremo modo di approfondirla ecompletarla.

Possiamo gia dare una prima classificazione delle onde. Queste si dividonoin due grandi classi [1]: le onde della prima classe sono matematicamenteformulate in termini di equazioni alle derivate parziali di tipo iperbolico epertanto ci riferiremo ad esse col nome di onde iperboliche. La forma piugenerale di sistema iperbolico quasi lineare 1 e

A(U, x, t)Ut + B(U, x, t)Ux + φ(U, x, t) = 0 , (1.1)

dove l’incognita U = U(x, t) e un vettore (genericamente di dimensione N ),φ e un vettore dato e A e B sono matrici N ×N . D’ora in poi adotteremo lanotazione Ut ≡ ∂U

∂t, Ux ≡ ∂U

∂x, Uxx ≡ ∂2U

∂t2, etc . . . . Le variabili x e t hanno

significato di coordinata spaziale e temporale, rispettivamente.Delle onde della seconda classe e difficile dare una definizione generale.

Come primo esempio, consideriamo, tuttavia, la generica equazione differen-

1Un sistema quasi lineare e un sistema di equazioni alle derivate parziale dove le derivatepiu alte del vettore incognito U entrano in modo lineare.

12 Propagazione ondosa

ziale scalare alle derivate parziali

Pu = 0, (1.2)

dove

P = P

(∂

∂t,

∂

∂x

)

e un polinomio (formale) a coefficienti costanti nelle derivate spaziotemporali.Diremo che l’equazione (1.2) e dispersiva [2] se:

1. Essa ammette soluzioni in forma d’onda piana

u(x, t) = Aeiθ(x,t) dove (1.3)

θ(x, t) = kx− ωt, k, ω = cost. (1.4)

In tal caso, le quantita k (numero d’onda = 2πλ

) ed ω (pulsazione = 2πT

)sono radici dell’equazione implicita

P (−iω, ik) = 0 (1.5)

che localmente definisce la relazione di dispersione

ω = ω(k) . (1.6)

Ove per tale relazione sia possibile scegliere tra diverse soluzioni del-l’equazione (1.5), si parla in tal caso di diversi rami della relazione didispersione.

2. La relazione di dispersione e a valori reali, ω(k) ∈ R, ed inoltre

d2ω(k)

dk2= ω′′(k) 6= 0, q.o. . (1.7)

La funzione ω′′(k) prende il nome di dispersione.

Possiamo anche definire la dispersione come la derivata prima rispettoa k della velocita di gruppo vg:

vg(k) =dω(k)

dk(1.8)

che e la velocita rilevante nella descrizione della dinamica di un ‘gruppo’di onde con una definita distribuzione di numeri d’onda.

1.2 Esempi sulla determinazione della ω(k) 13

Osservazione. La linearita della (1.2) ci consente di cercarne soluzioninella forma di combinazione lineare di esponenziali complessi. Le equazioniche descrivono la propagazione di onde dispersive in un mezzo nonlinearepossono avere la forma

Pu = f(u, ux, ut, . . .)

che differisce dalla (1.2) perche il termine a destra non e nullo ma e unafunzione nonlineare dell’incognita u e delle sue derivate.

1.2 Esempi sulla determinazione della ω(k)

Vogliamo ora riportare alcuni esempi di equazioni dispersive lineari per lequali andremo a ricavare l’espressione della relazione di dispersione.

1.2.1 L’equazione di Schrodinger

L’equazione di Schrodinger libera descrive la dinamica di una particella quan-tistica di massa m non soggettta ad alcuna forza.

Essa ha la forma

i~ut +~2

2muxx = 0 (1.9)

ed ammette come soluzione esponenziali complessi:

u = Aei(kx−ω(k)t) (1.10)

con A costante.Sostituendo la (1.10) nella (1.9), notiamo che questa e soluzione a patto

che valga la relazione di dispersione

ω(k) =~

2mk2 . (1.11)

Osserviamo che in base alla definizione (1.7), la dispersione e non nulla;il carattere dispersivo dell’onda e garantito dalla presenza del coefficienteimmaginario.

1.2.2 L’equazione di Klein-Gordon (K-G)

L’equazione di K-G e storicamente la prima generalizzazione dell’equazionedi Schrodinger nell’ambito di una teoria quantistico-relativistica. Essa ha laforma

utt − c2 uxx + ν2 u = 0 (1.12)


dove c ha le dimensioni di una velocita, ν quelle di una frequenza e u(x, t) eun campo scalare.

Ripetendo gli stessi ragionamenti svolti per l’equazione di Schrodinger,otteniamo la relazione di dispersione:

ω(k) = ±√

c2k2 + ν2 (1.13)

che presenta due rami1.

1.2.3 L’equazione di Korteweg-de Vries (KdV)

L’equazione di Korteweg-de Vries (KdV) e un valido modello nella descrizionedella dinamica di onde d’acqua con lunghezza d’onda molto maggiore dellaprofondita del canale. Essa e un’equazione non lineare della forma

ut + uxxx = −uux . (1.14)

Essendo il termine non lineare uux di ordine quadratico, la dinamicadi piccole perturbazioni v dalla posizione di equilibrio u0 = cost, ovverou(x, t) = u0 + v(x, t), puo essere descritta dalla KdV linearizzata:

vt + vxxx + u0vx = 0 (1.15)

che presenta la relazione di dispersione

ω(k) = −k3 + u0k . (1.16)

L’onda e pertanto dispersiva con velocita di gruppo vg = −3k2 + u0.

Osservazione. La distinzione sinora condotta fra onde iperboliche edonde dispersive non e netta, ne restrittiva, nel senso che vi sono casi in cuile equazioni di evoluzione possono essere viste contemporaneamente comeiperboliche e dispersive. Questo e il caso dell’equazione di K-G (1.12) chepossiamo riscrivere fattorizzando l’operatore di D’Alembert come

(∂t − c∂x)(∂t + c∂x) u + ν2 u = 0 . (1.17)

Chiamandov = ut + c ux ,

la (1.17) diventavt − c vx + ν2 u = 0 .

1La radice negativa della (1.13) e causa nell’ambito della teoria di campo relativisticadi problemi interessanti.

1.3 L’equazione di continuita 15

Le ultime due equazioni definiscono un sistema di due equazioni accoppiatealle derivate parziali nelle incognite u e v, che possiamo riscrivere nella forma(1.1) con:

U =

(uv

), A =

(1 00 1

), B =

(c 00 −c

), φ =

( −vν2 u

).

1.3 L’equazione di continuita

Consideriamo nuovamente un generico sistema iperbolico nella forma (1.1).Ci chiediamo: perche nella (1.1) compaiono solo le derivate prime del

vettore incognito rispetto al tempo e rispetto allo spazio e non anche derivatedi ordine superiore, come ci si potrebbe aspettare da una generalizzazionedella legge di Newton f = ma?

La risposta a questa domanda la si trova osservando che in fisica parec-chi modelli iperbolici derivano direttamente dalla fluidodinamica che moltospesso si basa su leggi di conservazione o di continuita, ossia su relazionidifferenziali del primo ordine della forma

ρt (x, t) + jx (x, t) = 0 (1.18)

dove i campi ρ(x, t) e j(x, t) sono rispettivamente definiti come densita linearee corrente di densita anche nota come flusso.

L’equazione (1.18) prende il nome di equazione di continuita ed e-sprime la conservazione della densita ρ nel tempo.

Supponiamo difatti che sia assegnato un campo di densita di massa ρ(x, t).Cio significa che ρ(x, t)dx e la massa che compete al volume dx attorno

al punto x. Sia (α, β) un intervallo dell’asse reale x. La conservazione dellamassa implica che la sua variazione nell’unita di tempo sia esprimibile comela differenza tra il flusso entrante (in α) e quello uscente (in β):

d

dt

∫ β

α

ρ(x, t) dx = −j(β, t) + j(α, t) = −∫ β

α

jx(x, t) dx . (1.19)

che e, non dipendendo gli estremi d’integrazione dal tempo:∫ β

α

[ ρt + jx ] dx = 0 . (1.20)

Dovendo valere la (1.20) per ogni volume infinitesimo dx, si ottiene l’e-spressione dell’equazione di continuita (1.18):

ρt + jx = 0 (1.21)

In seguito, partiremo proprio dalla (1.21) per descrivere vari modelli difenomeni fisici, semplicemente variando la natura del flusso j.


1.4 Equazione delle onde e propagazione iper-

bolica lineare

Consideriamo la piu nota fra le equazioni iperboliche lineari: l’equazione delleonde nel caso unidimensionale:

utt − c2 uxx = 0 (1.22)

in cui u e un campo scalare o vettoriale dello spazio-tempo.Notiamo anzitutto che possiamo riscrivere la (1.22) in termini delle due

nuove variabiliα = x− c t e β = x + c t

in modo che diventiuαβ = 0 .

di cui la soluzione generale si ricava subito per integrazione:

u = F (α) + G(β) = F (x− c t) + G(x + c t) (1.23)

dove F e G sono funzioni arbitrarie di classe C1 delle due nuove variabili αe β. Osservando la forma della (1.23), si comprende immediatamente chequesta e la combinazione di due onde che viaggiano con velocita c nei dueversi opposti dell’asse x senza modificare nel tempo il proprio profilo.

Se si vuole studiare la propagazione di una sola onda e sufficiente notare[1] che la (1.22) si fattorizza in

(∂t − c ∂x) (∂t + c ∂x) u = 0 (1.24)

(come gia mostrato nella (1.17)) e tener conto di uno solo di questi due fattori.Dunque, il piu semplice problema iperbolico lineare e dato da

ut + c ux = 0

u(x, 0) = f(x)(1.25)

dove la c e ancora la velocita di propagazione dell’onda. Osserviamo che seu e soluzione della ((1.25)), data la omogeneita nelle derivate, anche u′ ≡ uξ

con ξ = x − ct sara soluzione.La soluzione del problema ((1.25)) e allora

u(x, t) = f(x− c t) .1 (1.26)

1E ovvio che nel caso in cui scegliessimo nella ((1.25)) il primo fattore per il quale c hasegno negativo, l’onda traslerebbe verso valori negativi delle x, cioe verso sinistra.

1.4 Equazione delle onde e propagazione iperbolica lineare 17

Difatti se f ′ = fξ con ξ = x− c t, allora:

ut + c ux = −c f ′ + c f ′ = 0

u(x, 0) = f(x)(1.27)

Dal momento che la relazione di dispersione associata alla ((1.25)) e

ω(k) = c k ,

l’onda non e dispersiva essendo

d2ω(k)

d2k= 0 .

Riportando l’andamento della u(x, t) nello spazio delle fasi Ω ≡ (x, t), siosserva che le linee di livello sono rette parallele, ognuna delle quali parte daun diverso punto dell’asse delle x con pendenza data dal valore della velocitadi propagazione c.

Nelle figure 1.1 e 1.3, riportiamo due andamenti delle soluzioni della((1.25)) insieme alle corrispondenti curve di livello in 1.2 e 1.4: si osserviil cambiamento di pendenza dovuto ad una differente scelta del valore dellavelocita di propagazione c.

-10-5

0

5

10-10

-5

0

5

10

-20-100

1020

-10-5

0

5

Figura 1.1: Grafico 3D della soluzione u dell’equazione ut + c ux = 0, conc = 1.


-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

Figura 1.2: Curve di livello della soluzione u dell’equazione ut +c ux = 0, conc = 1.

A volte il problema della ricerca delle giuste condizioni iniziali e dellecorrette condizioni al contorno e di grande importanza e di non semplicerisoluzione: puo capitare infatti che una scelta inappropriata porti al con-trastare dell’equazione stessa con le condizioni assegnate o a situazioni diincompatibilita tra le condizioni al contorno e quelle iniziali.Ritorneremo comunque piu avanti su questo punto.

Cercando un’estensione non lineare della ((1.25)), il piu semplice esempiolo si ottiene considerando la velocita c come funzione del disturbo locale u[1]. In tal caso, la ((1.25)) si modifica in

ut + c(u) ux = 0 (1.28)

e dallo studio di quest’equazione, che sara oggetto di discussione nel paragrafo1.5, si possono derivare tutte le idee ed i risultati essenziali riguardo le ondeiperboliche non lineari.

1.4 Equazione delle onde e propagazione iperbolica lineare 19

-10-5

0

5

10-10

-5

0

5

10

-10

0

10

-10-5

0

5

Figura 1.3: Grafico della soluzione u dell’equazione ut + c ux = 0, con c = 2.

1.4.1 Propagazione iperbolica lineare con dissipazione

Modifichiamo la ((1.25)) aggiungendovi un termine dissipativo 1τu ed una

sorgente o forzante σ(x, t):

ut + c ux + 1τu = σ(x, t)

u(x, 0) = F (x)(1.29)

Il termine 1τu(x, t), con [τ ] = [t−1], si presenta come un termine dissi-

pativo. Immaginiamo difatti, per il momento, che σ(x, t) = 0. Allora dalla(1.28) possiamo cercare una soluzione nella forma

u(x, t) =

∫ +∞

−∞Ak ei(k−ω(k)t) dk .

Essenso la relazione di dispersione associata alla (1.28)

ω(k) = ck +i

τ,

abbiamo

u(x, t) =

∫ +∞

−∞Ak ei(kx−ckt) e−

tτ F (k) dk ,


-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

Figura 1.4: Curve di livello della soluzione u dell’equazione ut +c ux = 0, conc = 2.

Ossia un pacchetto di onde che al crescere del tempo diminuiscono esponen-zialmente la propria ampiezza. τ e il tempo dopo cui l’ampiezza si e ridottadi un fattore 1/e.

Dalla sorgente possiamo invece aspettarci la formazione di altre onde dallaforma che caso per caso dovra essere specificata.

Il metodo di risoluzione parte da una trasformazione di coordinate capacedi porre l’equazione (1.29) in una forma piu semplice e conveniente.

Passiamo allora dalle vecchie variabili (u, x) alle nuove (w, y) definite da:

u(x, t) = e−tτ w(y, t)

y = x− c t

(1.30)

lasciando invariata la variabile temporale t.Sostituendo le (1.30) nella (1.29), una volta operate le opportune derivate

nelle variabili t ed x, otteniamo

wt = etτ σ(y + c t, t) . (1.31)

Integriamo la (1.31) per ricavare la w:

w(y, t) = F (y) +

∫ t

0

dt′ et′τ σ(y + ct′, t′) . (1.32)

1.5 Flusso quadratico e onde di shock 21

Sfruttando la (1.30) ritorniamo alla u, ottenendo la soluzione generale della(1.29):

u(x, t) = e−tτ F (x− ct) +

∫ t

0

dt′e−t−t′

τ σ(x− c(t− t′), t′) . (1.33)

1.5 Flusso quadratico e onde di shock

Riprendiamo ora l’equazione di continuita (1.21) 1 e consideriamo il caso incui il flusso presenti termini lineari e quadratici in u:

ut + jx = 0, con j = c u +a

2u2 .

Un flusso che dipende dal quadrato della densita u non e una pura com-plicazione matematica del problema, ma e cio che realmente accade nelladinamica dei fluidi.

Esplicitiamo allora la forma dell’equazione di continuita sostituendo a jla sua espressione polinomiale in u ed otteniamo il problema al valore iniziale

ut + c ux + au ux = 0

u(x, 0) = u(x)(1.34)

Osserviamo che i primi due termini del membro di sinistra dell’equazionesono quelli gia incontrati nella ((1.25)). Il nostro interesse e dunque capirel’effetto del terzo termine non lineare uux.

Prima di procedere coi calcoli, osserviamo che possiamo riscrivere la (1.34)forma

ut + (c + au) ux = 0, con c > 0 e a > 0 . (1.35)

La (1.35) puo essere vista come l’equazione di evoluzione di un’onda cheviaggia con velocita lineare in u: c(u) = c + au; pertanto grandi valori diu viaggiano piu velocemente di piccoli valori di u e cosı la cresta dell’ondasupera tutti gli altri punti.

Questo fenomeno porta inevitabilmente al frangersi dell’onda - cioe, mate-maticamente, all’esistenza di un punto di singolarita e ad una conseguenteperdita di univocita nel profilo.

Esiste cosı un tempo finito in cui il gradiente di u assume valore infinito.Tale tempo e detto tempo minimo di rottura ed il fenomeno associato econosciuto come frangersi dell’onda (wave breaking).

1Qui indicheremo la densita ρ con la lettera u.


Della (1.34), possiamo cosı, in analogia con la soluzione della ((1.25)),dare la soluzione in forma implicita:

u(x, t) = u(x− ct− atu) , (1.36)

che evidentemente soddisfa alla condizione iniziale. La (1.36) verifica inoltrela (1.35), infatti sostituendo:

u′(−c− au− at ut) + (c + a u)u′(1− at ux) = −atu′(ut + c ux + au ux)

cioeut + c ux + au ux = −atu′(ut + c ux + au ux) ⇒

⇒ (1 + at u)(ut + c ux + au ux) = 0 .

Dato che il primo termine e non nullo, otteniamo nuovamente l’espressionedell’equazione di partenza, e cio conclude la verifica.

1.5.1 Tempo critico

Vogliamo ora determinare il tempo critico o tempo minimo di rottura del-l’onda, Tc, noto come l’istante al quale si verifica lo shock per cui ux = ∞2. Matematicamente Tc e l’istante che delimita la regione massimale dellospaziotempo entro cui la soluzione del problema di Cauchy relativo alla situ-azione fisica puo essere definita, visto che per t = Tc tale soluzione sviluppauna discontinuita e che per t ≥ Tc il profilo diventa una funzione a moltivalori.

Prendiamo la soluzione (1.36) e deriviamola rispetto ad x:

ux = u′ [1− at ux]

dalla quale si ricava

ux =u′

1 + atu′, con a > 0 e t > 0 . (1.37)

Deduciamo che il comportamento futuro dipende in modo completo dallecondizioni iniziali, ovvero dal profilo iniziale dell’onda u.

Se la u′ e negativa il denominatore della (1.37) puo anche annullarsi.Definiamo allora

minx∈R

u′(x) = −m, m > 0 (1.38)

2Nel caso multidimensionale, l’ovvia estensione e ottenuta sostituendo all’operatore ∂x,l’operatore ∇.

1.5 Flusso quadratico e onde di shock 23

sostituiamo questa definizione nella (1.37) e ci chiediamo quale sia il tempoTc tale che:

1− aTcm = 0 ,

da cui l’espressione del tempo critico come tempo minimo di rottura dell’onda:

Tc =1

am. (1.39)

L’interpretazione della (1.39) e semplice: piu grande e il valore della costantedi accoppiamento a, quindi piu e non trascurabile il contributo nonlineare,meno tempo si impiega a raggiungere lo shock; anche il profilo iniziale ha unruolo importante nel manifestarsi del fenomeno d’urto, a seconda che descrivauna forma iniziale piu o meno ripida.

Capitolo 2

L’equazione di Burgers

2.1 Verso l’equazione di Burgers

Continuiamo col modificare l’equazione iperbolica lineare ((1.25)) aggiun-gendovi altri termini e cercando di capire quali siano gli effetti generati.Riprendiamo la (1.34) e teniamo conto di un ulteriore termine dissipativo1τu:

ut + c ux + au ux + 1τu = 0

u(x, 0) = u(x)(2.1)

gia incontrato nella (1.29). Ricordiamo che per risolvere il problema (1.29)avevamo impiegato la trasformazione di variabili (1.30) che aveva permessodi determinarne la soluzione nella forma (1.33).

La difficolta in questo caso e rappresentata dalla presenza del terminenon lineare che non permette piu alla trasformazione (1.30) di semplificarenotevolmente il problema. La (1.30) applicata alla (2.1) restituisce difatti ilproblema:

wt + cwx + ae−tτ w wx = 0

w(x, 0) = w(x)

(2.2)

non piu semplice da risolversi del (2.1)

Osservazione. La (2.2) non e un’equazione autonoma, ovvero i coef-ficienti non sono piu costanti, ma dipendono dalle varivabili indipendenti xe t. Avere un’equazione di tipo autonomo risulta essere molto comodo, in-fatti da questa proprieta se ne puo derivare immediatamente un’altra moltoimportante: quella di essere invariante sotto traslazioni spazio-temporali.Conseguentemente, da questa, sfruttando il teorema di Noether, si deduceche energia ed impulso sono conservati.

2.1 Verso l’equazione di Burgers 25

Consideriamo per il momento un’immediata generalizzazione della (2.2)sostituendo al posto di a e−

tτ una generica funzione del tempo A(t):

wt + cwx + A(t)w wx = 0 . (2.3)

In analogia con la (1.34), proponiamo la seguente soluzione in forma implici-ta:

w(x, t) = u(x− ct−B(t)w) . (2.4)

Sostituendo la (2.4) nella (2.3):

u′ [−c− Bw −Bwt + c (1 + Bwx) + Aw (1−Bwx)] = 0 ,

sfruttando la (2.3) ed il fatto che w(x) = u(x) , si ricava la condizione cuideve soddisfare B(t) affinche la (2.4) sia soluzione del problema (2.3):

B = A , B(0) = 0.

cioe

B(t) =

∫ t

0

A(t′)dt′ . (2.5)

Riprendiamo il caso specifico in cui A(t) = a e−tτ ). Dalla (2.5) segue:

B(t) =a

τ(1− e−

tτ )

e quindi la soluzione generale in forma implicita e

w(x, t) = u(x− ct− a

τ

(1− e−

tτ

)w

). (2.6)

2.1.1 Tempo critico

Determiniamo il valore del tempo critico per il problema (2.1). Come al solitosiamo interessati a trovare il primo istante di tempo in cui si presenta la sin-golarita. Quanto ci aspettiamo e che per un’opportuna scelta dei parametricaratteristici del problema l’effetto dissipativo riesca a frenare la formazionedi un’onda di shock.

Consideriamo la derivata della w rispetto ad x:

wx = u′ [1− aτ(1− e−tτ )wx], con a > 0

ed esplicitiamo in funzione della wx:

wx =u′

1 + aτ(1− e−tτ )u′

(2.7)

26 L’equazione di Burgers

Osserviamo che la (2.7) porta alla (1.37) nel limite in cui τ −→ ∞, cioe nelcaso di un tempo di dissipazione infinito.

Definiamo allora il minimo della derivata ricalcando la (1.38) e mas-simizziamo il termine (1− e−

tτ ) con 1. La singolarita sara evitata se

1− amτ > 0

cioe se

τ <1

am.

Se quindi la dissipazione diventa rilevante il fenomeno del frangersi del-l’onda viene frenato.

2.2 L’equazione di Burgers

Continuiamo col modificare la forma del flusso j nell’equazione di continuitaρt + jx = 0.

Aggiungiamo in j un nuovo termine dipendente dal gradiente della densitache equivale a considerare eventuali effetti diffusivi derivanti da perdite delsistema 1. L’espressione di j e quindi

j = c ρ +1

2a ρ2 − ν ρx (2.8)

con ν > 0.Il problema che si ottiene impiegando la (2.8) nell’equazione di continuita,

ha la forma:

ut + c ux + au ux = ν uxx

u(x, 0) = u0(x)(2.9)

La (2.9) puo essere vista come il caso unidimensionale delle ben piu comp-lesse equazioni di Navier-Stokes in grado di descrivere fenomeni di turbolenzaper un fluido incomprimibile.

L’equazione di Burgers rientra nell’insieme delle equazioni c-integrabili,cioe quelle equazioni non lineari che possono essere linearizzate attraversouna trasformazione lineare 2.

1Matematicamente, cio vuol dire che stiamo trattando sistemi di tipo parabolico, enon piu iperbolico. Immaginiamo ad esempio di lavorare con un fluido contenuto in unrecipiente non ermetico.

2Nel nostro caso la trasformazione che linearizzera la Burgers sara nella sola variabiledipendente u, ma per altre equazioni si possono operare trasformazioni anche sulle piucoordinate.

2.2 L’equazione di Burgers 27

La (2.9) rappresenta inoltre un modello adatto alla descrizione di sisteminei quali si combinino effetti legati alla propagazione non lineare e a quelladiffusiva [1].

La ricerca della soluzione per l’equazione di Burgers consiste nell’effet-tuare una trasformazione linearizzante (dalle variabili di partenza u alle nuovevariabili ψ che specificheremo in seguito) la quale permette di eliminare iltermine non lineare e conduce ad un’equazione del tipo:

ψt + c ψx = ν ψxx . (2.10)

che, eliminando il termine cψx con una trasformazione di Galileo, possiamoricondurre all’equazione del calore.

Osservazione. L’equazione di Riccati.Consideriamo la seguente equazione ordinaria nella funzione y(x), nota

col nome di equazione di Riccati:

y′ = c0(x) + c1(x) y + c2(x) y2 (2.11)

E possibile determinare una trasformazione differenziale (non algebrica) chelinearizza la (2.11) 1. Poniamo dunque:

y = αz′

z= α

d

dxlog(z) (2.12)

e sostituiamo la (2.12) nella ((14.72)), ottenendo:

α′z′

z+ α

z′′

z− α

z′2

z2= c0 + c1 α

z′

z+ c2 α2 z′2

z2(2.13)

e scelta α = − 1c2

, riusciamo ad eliminare il termine quadratico z′2z2 .

Notiamo che l’ordine dell’equazione differenziale e passato dal primo alsecondo e questo potrebbe farci pensare che il problema e stato solamentecomplicato 2. In realta abbiamo ottenuto un grande vantaggio: il terminenon lineare, presente nella (2.11), non compare piu nella (2.13); abbiamodunque linearizzato l’equazione di partenza, ed e questo il grande vantaggiodella trasformazione.

Ritorniamo alla equazione di Burgers. In sostanza, il nostro problemaconsiste nel trovare una trasformazione che ci permetta di passare dalla (2.9)

1La trasformazione prende spunto dalla forma della derivata di un rapporto: il terminequadratico a denominatore ottenuto dalla derivazione del rapporto, puo essere sfruttatoper eliminare il contributo non lineare (anch’esso quadratico) a numeratore.

2In generale, nel caso in cui i coefficienti dell’equazione sono non costanti, non sappiamotrovare una soluzione esatta all’equazione.


alla (2.10). Notiamo innanzitutto che possiamo riscrivere la (2.9) nella formadi equazione di continuita:

ut = (νux − cu− 1

2au2)x , (2.14)

simile alla forma dell’equazione di Riccati (2.11). Poniamo allora:

u = αψx

ψ(2.15)

ed andiamo a sostituire nella (2.14), ottenendo

ut =

(να

ψxx

ψ− να

ψ2x

ψ2− cα

ψx

ψ− 1

2α2a

(ψx

ψ

)2)

x

.

Scegliendo in modo opportuno il coefficiente α:

α = −2ν

a,

siamo in grado di eliminare i termini quadratici, arrivando a

ut = −2ν

a

(νψxx

ψ− c

ψx

ψ

)

x

. (2.16)

Ricordando la trasformazione (2.15) ed integrando la (2.16) rispetto ad xotteniamo:

(log(ψ))t = νψxx

ψ− c

ψx

ψ+ γ(t) (2.17)

dove γ(t) e una funzione che possiamo subito eliminare attraverso una nuovadefinizione della variabile.

Dalla (2.17), discende pertanto:

ψt + c ψx = ν ψxx ,

l’equazione del calore.

Osservazione. La trasformazione che linearizza la Burgers (e che ciporta ad una equazione simile a quella del calore a meno di un terminedi propagazione) e detta trasformazione di Cole-Hopf. I passi svolti pereffettuare la trasformazione sono riportati nel seguente schema:

2.3 Gerarchia di Burgers 29

u(x, 0)Burgers−→ u(x, t)

Cole-Hopf ↓ ↑ Cole-Hopf−1

ψ(x, 0)Eq.Calore−→ ψ(x, t)

Riassumiamo di seguito le formule di trasformazione:

u(x, t) = −2νa

ψx

ψ

ψ(x, t) = Γ(t) e− a

2ν

R xx0

u(x′,t)dx′(2.18)

dove Γ(t) e una funzione arbitraria.

Il problema di Cauchy associato all’equazione di Burgers si risolve quindinel modo seguente:

1. Dal dato iniziale u(x, 0) = u(x), si ricava il corrispondente dato iniziale

della ψ, cioe ψ(x, 0) = ψ(x) = Γ(0) e− a

2ν

R xx0

u(x′)dx′, dove x0 e Γ(0) sono

costanti arbitrarie; ad esempio, si potrebbe scegliere un profilo in cuix0 = −∞ e si potrebbe porre Γ = 1 dato che tale funzione non entranella definizione di u;

2. Si calcola l’evoluzione temporale della ψ:

ψ(x) −→ ψ(x, t) ;

attraverso l’equazione del calore;

3. Si ritorna alla u(x, t), nota ψ(x, t), usando la trasformazione di Cole-Hopf inversa:

u(x, t) = −2ν

a

ψx(x, t)

ψ(x, t).

2.3 Gerarchia di Burgers

Le proprieta di linearizzabilita non appartengono solo all’equazione di Bur-gers, ma e possibile individuare una classe di equazioni, o meglio, una ge-rarchia di equazioni linearizzabili tramite la trasformazione di Cole-Hopf. Lo


scopo ora e individuare tale gerarchia. Consideriamo nuovamente la formadell’equazione di Burgers (2.9) “pulita”dalle costanti 1:

ut + uux = uxx ,

che possiamo anche riscrivere come equazione di continuita:

ut = (ux + u2)x .

Come visto, la trasformazione che linearizza la Burgers e la trasformazionedi Cole-Hopf:

u =ψx

ψ(2.19)

che porta all’equazione del calore

ψt = ψxx .

Poiche dalla (2.19) si ricava immediatamente

u =ψx

ψ−→ ψx = uψ ,

possiamo riscrivere l’equazione del calore come un sistema di due equazionidifferenziali nella sola variabile ψ:

ψx = uψ

ψt = (ux + u2) ψ(2.20)

Notiamo pero che tale sistema e sovradeterminato essendo il numerodelle equazioni maggiore di quello delle incognite, ed ammette percio comesoluzione unica la banale, data da ψ = 0.

Per ricercare delle soluzioni non banali, dobbiamo imporre delle condizioniparticolari sulla u affinche il sistema risulti compatibile.

La condizione di compatibilita e data dal teorema di Schwartz sulle derivateparziali miste 1,

ψxt = ψtx .

1La pulizia, cioe l’opportuna ridefinizione delle costanti del problema, la si puo effet-tuare attraverso dei cambiamenti di sistemi di riferimento ed attraverso adeguati riscala-menti delle variabili. Nel caso specifico della (2.9) abbiamo posto: c = 0 con unatrasformazione di Galileo, e a = −2 e ν = 1.

1Nel caso a piu dimensioni, si considera il gradiente ∇.

2.3 Gerarchia di Burgers 31

Dalla (2.20):

ψxt = utψ + uψt = [ut + u(ux + u2)]ψ

ψtx = [(ux + u2)x + (ux + u2)u]ψ

e dal Lemma di Schwartz:

ut = (ux + u2)x

che e proprio la Burgers.L’equazione di Burgers puo essere quindi interpretata come condizione

di compatibilita del sistema sovradeterminato e quindi come condizione diintegrabilita della (2.20).

Estendiamo tale ragionamento ad altre equazioni modificando l’equazionedel calore in

ψt = ψxxx , (2.21)

sempre con la condizione ψx = uψ.Calcoliamo l’espressione del termine dispersivo sfruttando la trasformazione

di Cole-Hopf:

ψxxx = [(ux + u2)x + (ux + u2)u]ψ = (uxx + 3uux + u3)ψ

In questo caso 1, la condizione di compatibilita e

ut = uxxx + 3u2x + 3uuxx + 3u2 ux .

Si puo generalizzare in ψt = ∂nψ∂xn , trovando per ogni ordine n una nuova

equazione di compatibilita del tipo

ut = Fn

(u, ux, . . . ,

∂nu

∂xn

).

Cerchiamo ora di determinare una formulazione piu compatta della ger-archia di Burgers.

Esplicitiamo la trasformazione di Cole-Hopf attraverso una trasformazionedi gauge sull’operatore differenziale. Partendo da

u =ψx

ψ= (log(ψ))x = φx .

1Quest’equazione non ha evidenti applicazioni in Fisica, ma e speciale perche linea-rizzabile con la trasformazione di Cole-Hopf. Contrariamente, la (2.9) puo essere un buonmodello per studiare il flusso di acqua in un canale sotto opportuni regimi (ad esem-pio, di grandi lunghezze d’onda, come gia anticipato per la KdV, nel caso di assenza didispersione.)


Definiamo l’operatoreD = e−φ∂xe

φ ,

tale che

D1 = φx = u

D21 = Du = ux + u2

D31 = uxx + 3uxu + u3

...

Dn =(e−φ∂xe

φ)n

= e−φ∂nxeφ

L’ equazione che si ottiene all’ n-esimo ordine possiamo riscriverla di con-seguenza come:

ut = (Dn1)x .

L’equazione di Burgers appare pertanto come secondo membro di una ge-rarchia di equazioni di evoluzione, tutte linearizzabili ed integrabili, tramiteuna trasformazione di Cole-Hopf, e tutte caratterizzabili come condizioni dicompatibilita di sistemi sovradeterminati quale il (2.20).

Capitolo 3

Propagazione ondosa in fluidi esolidi

3.1 Meccanica dei Fluidi e Curve Caratteris-

tiche

Abbiamo visto come la diversa scelta della corrente j nell’equazione di con-tinuita ci abbia portato ad equazioni ogni volta sempre differenti. A partireda

ρt + jx = 0 (3.1)

e scegliendo:

j(x) =

c ρ , equazione di propagazione lineare

c ρ + a2ρ2 , equazione dell’ onda di shock

c ρ + a2ρ2 + νρx , equazione di Burgers

siamo giunti a tre equazioni differenti, ognuna in grado di modellizzare sistemifisici diversi.

Nell’ambito della Fluidodinamica, e naturale interpretare la densita ρcome la densita di massa del fluido , e la corrente j come il flusso :

j = ρ v

con v velocita delle particelle costituenti il sistema.La relazione di continuita ci permette cosı di legare i due campi di densita

e di velocita del fluido:ρt + (ρ v )x = 0 (3.2)

34 Propagazione ondosa in fluidi e solidi

Tuttavia perche i due campi possano essere determinati univocamenteoccorre introdurre un’altra relazione.

Se il fluido non e soggetto a forze esterne, possiamo pensare che un’altragrandezza conservata sia la densita di quantita di moto q:

q = ρ v

soddisfacente anch’essa ad un’equazione di continuita del tipo:

(ρ v )t + (ρ v2 )x = 0 (3.3)

Abbiamo cosı un sistema di due equazioni che possiamo sperare di risol-vere nei due campi incogniti di densita di massa e di velocita.

Sfruttando le due equazioni a disposizione riscriviamo il sistema nellaforma:

ρt + (ρ v )x = 0 , ρ(x, 0) = ρ0(x)

vt + v vx = 0 , v(x, 0) = v0(x)(3.4)

di due equazioni accoppiate.La seconda equazione e proprio l’equazione dell’onda di shock di cui

conosciamo la soluzione implicita:

v(x, t) = v0(x − v(x, t) t) (3.5)

con v0 profilo iniziale dell’onda. Nota la v(x, t) possiamo procedere conl’integrare la prima delle (3.4):

ρt + ρ vx + v ρx = 0 (3.6)

Cerchiamone una del tipo:

ρ = ρ(x(s), t(s))

tale che la derivata totale della ρ rispetto al parametro caratteristico s siadata da

dρ

ds=

dρ

dx

dx

ds+

dρ

dt

dt

ds(3.7)

Notiamo che la variazione totale di ρ rispetto ad s e uguale a − vx ρ solose valgono le:

dx

ds= v(x(s), t(s)) ,

dt

ds= 1 (3.8)

Le curve x = x(t) e t = t prendono il nome di curve caratteristiche delsistema e rappresentano le traiettorie seguite dalle particelle del fluido nelpiano (x, t).

3.2 Esempi 35

Lungo le traiettorie vale cosı:

dρ

dt= − ρ(x(t), t) vx (x(t), t) (3.9)

che, nota v(x(t), t) dalla (3.5), puo essere integrata restituendo la soluzionedella (3.4):

ρ(x(t), t) = ρ (x(0), 0) eR t0 dt′ vx (x(t′),t′) (3.10)

Se lungo le curve caratteristiche la densita di massa e costante, l’idea equella di fissare un punto nel piano (x, t), seguire la caratterisica che vi passafino a che questa non si interseca con l’asse delle ascisse t = 0 e determinarecosı il valore che la ρ assume in (x, t), noto il valore del dato iniziale ρ (x, 0).

3.2 Esempi

3.2.1 L’onda di shock

Esercizio: Ricavare la soluzione implicita 3.5 del problema al valore iniziale:

vt + v vx = 0

v(x, 0) = f(x)

servendosi del metodo delle caratteristiche.

Soluzione : Parametrizziamo il campo delle velocita come:

v = v(x(s), t(s))

e calcoliamone la derivata totale rispetto al parametro s:

dv

ds=

dv

dx

dx

ds+

dv

dt

dt

ds

che risulta nulla se e solo se:

dt

ds= 1,

dx

ds= v

da cui:t = s , x(t) = v t + x0

Sappiamo che il campo presenta un profilo iniziale f(x) = v(x, 0) che calco-lato lungo le caratteristiche restituisce:

v(x0, 0) = f(x0) = f(x − v t) = v(x, t)


essendo la velocita costante lungo le curve caratteristiche. Notiamo che lacaratteristica x(t) e una retta nel piano (x, t) con coefficiente angolare datodal valore della velocita nel punto dell’ asse delle ascisse (x0, 0).

Pertanto ogni curva presentera un proprio coefficiente angolare in generalediverso da quello dell’altra potendo variare il parametro x0 da −∞ a +∞.

Esistera cosı un punto in cui due o piu curve caratteristiche verranno adintersecarsi: al valore dell’ordinata di tale punto diamo il nome di tempominimo di rottura dell’onda: Tc.

Da questo istante in poi il profilo dell’onda diventa a molti valori. Ques-ta polidromia non e in generale accettabile da un punto di vista fisico.L’evoluzione del sistema per t > Tc puo’ essere descritta da un’opportunasoluzione debole (discontinua), ad un sol valore.

3.2.2 Un’equazione lineare

Esercizio: Ricavare la soluzione del problema al valore iniziale:

ut + 1τ

(xu)x = 0

u(x, 0) = f(x)

servendosi del metodo delle caratteristiche.

Soluzione: Come nell’esempio precedente parametrizziamo la funzione incog-nita:

u = u(x(s), t(s))

ed eseguiamone la derivata totale rispetto ad s ottenendo il sistema di equazioniordinarie:

dtds

= 1 , t(0) = 0

dxds

= xτ

, x(0) = 0

duds

= −uτ

, u(x(0), 0) = f(x0)

da cui

x = x0 etτ , u = f(x0) e−

tτ , t = s ,

che restituisce immediatamente

u(x, t) = f(x e−tτ ) e−

tτ .

3.3 Onde sonore in un fluido 37

3.3 Onde sonore in un fluido

Nel paragrafo precedente abbiamo visto come la dinamica di un fluido possaessere descritta dal sistema (3.4).

Abbiamo pero anche notato come l’equazione per il campo delle veloci-ta presenti un problema non banale: la formazione di onde di shock e laconseguente polidromia del profilo dell’onda.

Possiamo cosı pensare di modificare il modello aggiungendo un termineforzante che permetta di domare la formazione di singolarita.

Come scegliere pero tale forcing? Possiamo ipotizzare che le forze sianosolo di contatto, cioe esercitate da porzioni di fluido su di altre porzioni difluido infinitesimamente vicine tra loro.

Se inoltre richiediamo che lo sforzo, cioe l’azione elementare di contatto,sia puramente normale alla superficie di separazione fra due strati contiguidi fluido, otteniamo il sistema di equazioni 1 [6]:

ρt + (ρ v )x = 0

vt + v vx = −1ρpx

p = p (ρ)

(3.11)

con p funzione scalare della densita cui diamo il nome di pressione.L’equazione per il campo delle velocita e la versione unidimensionale

dell’Equazione di Eulero per i fluidi 2.Sfruttando l’ultima delle (3.11) possiamo riscrivere:

ρt + (ρ v )x = 0

vt + v vx = −1ρ(dp

dρ) ρx

(3.12)

Notiamo che la derivata di p rispetto a ρ ha le dimensioni di una velocita alquadrato e pertanto chiamiamo:

dp

dρ= c2(ρ)

1La richiesta che lo sforzo sia puramente normale si traduce nel richiedere che l’ener-gia del sistema sia una costante del moto. Assumere che la forza di contatto contengaanche una componente parallela alla superficie di separazione delle due porzioni di fluido,permette di passare dall’Equazione di Eulero a quella di Navier-Stokes [5].

2In generale la pressione potrebbe dipendere anche dalla temperatura ma se si ammetteche, a causa di condizioni ambientali stazionarie e di una sufficiente lentezza del moto, latemperatura rimanga costante, possiamo supporre che la pressione dipenda solamente dalledensita del fluido.


Introducendo il vettore a 2 componenti

u =

(ρv

),

possiamo riscrivere il sistema (3.12) nella forma:

ut +

(v ρ

1ρc2 (ρ) v

)ux = 0 . (3.13)

Rispetto al (3.4), il problema e ora ben piu’ complicato essendo le dueequazioni ora accoppiate in maniera non banale. Possiamo pero pensare diestrarre dal problema informazioni comunque interessanti linearizzando le(3.13) e studiando la dinamica di una piccola perturbazione apportata allostato di equilibrio: ρ = ρ0, v = 0.

Scriviamo cosı:

ρ = ρ0 + r(x, t)

v = 0 + v(x, t)(3.14)

con r(x, t) e v(x, t) ordine ε.Trascurando i termini O (ε2) otteniamo il sistema:

rt + ρ0 vx = 0

vt + 1ρ0

c2 (ρ0) rx = 0(3.15)

che restituisce immediatamente l’equazione delle onde per la densita r(x, t):

rtt − c2 (ρ0) rxx = 0 (3.16)

Osserviamo subito che la velocita di propagazione del disturbo e la deriva-ta della pressione rispetto alla densita calcolata per ρ = ρ0; segue quindi chein un fluido incomprimibile, come ad esempio l’acqua, la perturbazione sipropaga ad una velocita molto alta.

Se supponiamo la validita di una legge di stato del tipo:

p = Aργ

con γ =(

cP

cV

)> 1, allora la velocita dell’onda, ad esempio di un’onda sonora,

e data da:c =

√Aγ ρ0

γ−1 .

Il punto u = (ρ0, 0) e quindi un punto di equilibrio stabile essendo la densitalimitata nel tempo superiormente dal valore ρ = ρ0.

3.4 Propagazione del suono in un solido elastico 39

3.4 Propagazione del suono in un solido elas-

tico

Nei solidi la forza che mantiene gli atomi nelle posizioni cristalline e in primaapprossimazione elastica.

Sia u(x, t) il campo degli spostamenti degli ioni dalla loro posizione diequilibrio x al tempo t. Se identifichiamo, servendoci della Legge di Hooke:

ut = v p = −λux

e sostituiamo nella seconda delle (3.11), otteniamo:

utt + ut uxt − 1

ρuxx = 0 (3.17)

che linearizzata restituisce:

utt − λ

ρ0

uxx = 0 . (3.18)

La dinamica del disturbo u(x, t) della soluzione di equilibrio u = 0 epertanto di tipo ondoso con velocita di propagazione legata alla costanteelastica di Lame λ dalla relazione:

c =

√λ

ρ0

Capitolo 4

Caratteristiche

Nel paragrafo 3.1 abbiamo introdotto la nozione di curve caratteristiche nel-l’ambito dello studio della dinamica di un fluido ideale non sottoposto ad al-cuna forza, ed abbiamo osservato come le curve caratteristiche rappresentinola traiettoria delle particelle costituenti il fluido.

Vogliamo ora soffermarci in maniera piu dettagliata sul metodo dellecaratteristiche nel caso piu generale di un sistema iperbolico quasilinearemono e pluri dimensionale.

Ci soffermeremo sui vantaggi del metodo ed introdurremo la nozione diInvarianti di Riemann. [1]

Abbiamo gia notato, cfr. § 1.1, che riferirsi ad un sistema iperbolicoquasilineare significa assegnare una legge di evoluzione per il campo u (x, t)del tipo :

A(u, x, t)ut + B(u, x, t)ux + φ(u, x, t) = 0 (4.1)

con A e B, nel caso piu’ generale, matrici N × N e ϕ ed u vettori ad Ncomponenti. Il sistema (4.1) e quindi un sistema di N equazioni nelle Ncomponenti del vettore u.

4.1 Caso scalare : N = 1

Analizziamo come primo caso quello in cui tanto le grandezze A e B, quantoϕ ed u sono degli scalari.

La (4.1) diventa cosı una sola equazione quasilineare nel campo scalareu(x, t) che vogliamo risolvere, in analogia con quanto fatto per la Meccanicadei Fluidi, servendoci del metodo delle caratteristiche:

A(u, x, t) ut + B(u, x, t) ux + φ(u, x, t) = 0 , u (x, 0) = f (x) (4.2)

4.1 Caso scalare : N = 1 41

Introduciamo la traformazione:

x = ξ(s) , t = τ(s) , u (ξ(s), τ(s)) = q(s) (4.3)

La condizione per cui la (4.2) sia una derivata totale rispetto al parametro se

dξds

= B(q, ξ, τ) , ξ (0) = x0

dτds

= A(q, ξ, τ) , τ (0) = 0

dqds

= −ϕ(q, ξ, τ) , q (0) = f (x0)

(4.4)

che e un sitema di tre equazioni alle derivate ordinarie nelle tre incogniteξ (s), τ (s) e q (s). Integrando le (4.4), siamo in grado di risolvere le (4.3).

4.1.1 Vantaggi del metodo delle caratteristiche

Notiamo subito dalle (4.4) uno dei vantaggi introdotti dal metodo delle carat-teristiche: siamo passati da un’equazione quasilineare alle derivate parzialiad un sistema di equazioni alle derivate ordinarie, in genere piu convenientesebbene il numero di equazioni da integrare sia triplicato 1.

Il secondo vantaggio apportato dal metodo delle caratteristiche trova ap-plicazione nel campo dell’analisi numerica: la conoscenza delle curve carat-teristiche e, di conseguenza, del loro andamento, suggerisce un’utile grigliain cui suddividere il piano Ω per la risoluzione di equazioni iperboliche contecniche di calcolo numerico.

Cerchiamo ora di capire qual e l’altro grande vantaggio apportato almetodo delle caratteristiche.

Sappiamo che perche la soluzione di una PDE sia unica occorre assegnareil problema di Cauchy associato: bisogna cioe definire le condizioni iniziali ele condizioni al contorno, delle quali queste ultime non sempre semplici dascegliere.

Il metodo delle carateristiche ci permette di risolvere anche questo prob-lema.

Immaginiamo che la condizione iniziale sia definita nell’intervallo dell’assex reale: (a, b) e che le condizioni al contorno corrispondano all’aver assegnatoi valori del campo u agli estremi.

Attraverso il metodo delle caratteristiche siamo in grado di poter conoscereil valore della soluzione u (x, t) in ogni punto del piano (x, t) a patto chequesto appartenga al dominio d’ influenza, cioe alla regione di piano

1Chiaramente risolvere il sistema (4.4) non sara sempre piu semplice che risolvere laPDE di partenza.

42 Caratteristiche

contenuta fra le curve caratteristiche passanti per i due estremi a e b. Cichiediamo a questo punto: come posso determinare la soluzione in un puntoP = (x, t) di qualche interesse fisico, se questo non appartiene al dominiod’influenza?

Con le condizioni al contorno che abbiamo assegnato non c’e modo dideterminare il valore del campo in P . Il metodo delle caratteristiche, pero,ci permette di costruire le giuste condizioni al contorno per trovare rispostaal nostro problema.

Se, ad esempio, x > b e t < 0, noto il grafico delle curve caratteris-tiche possiamo pensare di assegnare come condizione al contorno il valoredel campo u sulla semiretta verticale x = b sperando sull’esistenza di unaparticolare traiettoria che parte da un punto di tale retta e passa per il puntoP .

Studiando il sistema caratteristico riesco quindi ad assegnare le giustecondizioni al contorno tali da garantire l’esistenza della soluzione inn ognipunto del piano (x, t).

4.2 Caso vettoriale

4.2.1 A e B matrici N ×N diagonali

Iniziamo col considerare il caso in cui il campo reale u non sia un camposcalare, bensı un campo vettoriale ad N componenti definito nello spazio -tempo (x, t).

Il passaggio da uno spazio unidimensionale ad uno N dimensionale com-plica molto il problema che risulta ora definito da N equazioni alle derivateparziali accoppiate: la presenza delle matrici A e B fa in generale svanire lapossibilita di riscrivere ciascuna delle PDEs di partenza come una derivatatotale rispetto ad un parametro caratteristico.

Scriviamo il problema nella forma:

N∑j=1

[Ajk u(k)t + Bjk u(k)

x ] + ϕ(j) = 0 (4.5)

ed assumiamo, per semplicita, che le matrici A e B siano diagonali adautovalori reali cosicche il carattere iperbolico del sistema venga garantito:

Ajk = Ajδjk Bjk = Bjδjk (4.6)

dove δjk e l’elemento jk della matrice di Kronecker. Con tale assunzionel’equazione per la componente j del vettore u diventa

Aj u(j)t + Bj u(j)

x + ϕ(j) = 0 (4.7)

4.2 Caso vettoriale 43

Per ogni componente j posso cosı introdurre la curva nel piano Ω:

x = ξj(sj) , t = τj(sj) (4.8)

che permette di riscrivere l’equazione di partenza nella forma:

du(j)

dsj

+ ϕ(j) = 0 (4.9)

a patto che valgano le

dξj

dsj

= Bj ,dτj

dsj

= Aj (4.10)

Sebbene l’assunzione di partenza che le matrici in gioco fossero diagonali hafacilitato notevolmente i conti portandoci a considerare la dinamica di unacomponenete del campo u per volta, non ha tuttavia ancora completamenterisolto il problema.

Notiamo che nell’equazione (4.9) compare come termine forzante la j-esima componente del vettore N dimensionale ϕ, in generale dipendente datutte le altre N − 1 componenti del vettore incognito u.

La soluzione della (4.9) sara quindi funzione tanto della j-esima coordi-nata sj quanto di tutte le altre N − 1 coordinate caratteristiche.

Siamo cosı passati da N equazioni alle derivate parziali a 3N equazioniancora alle derivate parziali, in generale non piu semplici da risolvere di quelledi partenza.

E chiaro tuttavia che i vantaggi introdotti dal metodo delle caratteristichediscussi nel § 4.1.1 restano, sebbene, in questo caso specifico il metodo nonabbia semplificato di molto il problema differenziale originario.

4.2.2 A e B matrici N ×N generiche

Consideriamo ora il caso in cui u sia un vettore reale di N componenti e A eB generiche matrici N ×N . Richiediamo ancora una volta che gli autovaloridi A e B siano reali in maniera tale che il carattere iperbolico del sistemanon venga meno.

Il fatto che le matrici in gioco non presentino forma diagonale fa sı cherisulti difficile interpretare i coefficienti delle derivate temporali e spaziali delcampo u come componenti del vettore tangente alla curva caratteristica.

Possiamo pero pensare di studiare la dinamica del sistema in un qualchesottospazio di Rn, cioe di proiettare l’equazione su un vettore non nullo v diRn, sperando che il problema si semplifichi notevolmente.

44 Caratteristiche

Se vale

Aut + B ux + ϕ = 0 ,

allora vale anche

〈v |Aut + B ux + ϕ〉 = 0 , (4.11)

cioe

〈A†v |ut〉 + 〈B†v |ux〉 + 〈v |ϕ〉 = 0 (4.12)

dove l’espressione 〈v |u〉 identifica l’operazione di prodotto scalare tra i duevettori.

Supponiamo di poter determinare un vettore w tale che

A†v = τ ′w

B†v = ξ′w(4.13)

con τ′e ξ

′numeri reali. Il sistema (4.13) puo essere pertanto riscritto nella

forma:

(ξ′A† − τ ′B†)v = 0 (4.14)

che ammette soluzione non banale se e solo se

det[ξ′A† − τ ′B† ] = 0

Osserviamo che il sistema (4.14) e in realta un problema agli autovaloridel tipo:

( M − λ I ) v = 0 (4.15)

a patto di identificare

M ≡ A†−1B†, I ≡ A†−1

A†, λ ≡ τ ′

ξ′

che ammette, nel caso in cui le matrici A e B non siano singolari, per ilTeorema fondamentale dell’Algebra, N autovalori.

La richiesta iniziale che gli autovalori siano tutti reali definisce il sistemaoriginario come completamente iperbolico.

A partire dagli N autovettori v possiamo determinare i vettori w sem-plicemente invertendo una delle (4.13).

L’equazione (4.11) diventa cosı

〈w | τ ′ ut + ξ′ ux〉 + 〈v |ϕ〉 = 0 (4.16)

4.2 Caso vettoriale 45

Si potrebbe pensare di costruire curve nel piano (x, t):

x = ξ(sj)

t = τ(sj)(4.17)

tali che:dξ

dsj

= ξ′j(ξ, τ,u) ,dτ

dsj

= τ ′j(ξ, τ,u)

in cui l’indice j si riferisce all’autovalore j-esimo del problema (4.14).Notiamo che l’integrazione delle equazioni precedenti non e immediata in

quanto ξ′ e τ ′ dipendono oltre che da ξ e τ , anche dal campo incognito u;possiamo difatti riscrivere la (4.16) nella forma

〈w(j) | du

dsj

〉+ 〈v(j) |φ〉 = 0

che comporta la derivazione di tutte le componenti non conosciute del campou rispetto al j-esimo parametro caratteristico.

Questo approccio del problema iniziale non porta ad alcuna soluzionesignificativa; abbandoneremo percio questa strada per passare al Metododegli invarianti di Riemann.

4.2.3 Gli Invarianti di Riemann

Ripartiamo dall’equazione:

〈w(j) | du

dsj

〉 + 〈v(j) |ϕ〉 = 0 (4.18)

dove l’indice j si riferisce al j-esimo autovettore del problema (4.14) e quindialla j-esima curva caratteristica.

Fissiamo ora il valore dell’indice j o, equivalentemente, osserviamo unaparticolare curva caratteristica:

〈w | duds〉 + 〈v |ϕ〉 = 0 (4.19)

Riemann noto 1 che il termine 〈w | duds〉 assume la forma della potenza

associata ad una forza a patto di identificare :w = f e duds

= v, con f forzaagente sul sistema e v velocita delle particelle costituenti il fluido.

1B. Riemann si interesso del problema delle caratteristiche nel 1858 nella sua tesi didottorato studiando un problema bidimensionale di gasdinamica.

46 Caratteristiche

In completa analogia col richiedere che la forza sia conservativa, poniamo:

w = λ∇µ ≡ λ

(∂µ

∂u(1),

∂µ

∂u(2), . . . ,

∂µ

∂u(n)

)(4.20)

con u(i) componente i-esima del vettore incognito u. Le funzioni λ e µ sarannochiaramente funzioni di u e delle coordinate spazio temporali x e t. Taleassunzione restituisce immediatamente per la (4.19) la forma

〈∇uµ | duds〉 + 〈v |ϕ〉 = 0 (4.21)

che, valendo per ognuno degli N autovettori w(j), e

λjdµj

dsj

+ 〈v(j) |ϕ〉 = 0 (4.22)

Con l’ipotesi aggiuntiva che la forzante ϕ sia nulla 2, otteniamo che le µj

sono costanti lungo le curve di parametro sj e pertanto prendono il nome diInvarianti di Riemann. In generale le µj sono conosciute come variabilidi Riemann.

Vale il seguente risultato:

1. per N = 2 le variabili di Riemann esistono sempre: il sistema e unsistema di due equazioni nelle due incognite λ e µ introdotte dallatrasformazione 4.20;

2. per N > 2 non sempre esistono le variabili di Riemann: il sistemarisulta sovradeterminato.

Note le variabili di Riemann µ(j) si ricostruiscono le u(j) a partire dallatrasformazione (4.20).

2Tale ipotesi fu adottata da Riemann nel lavoro del 1858.

Capitolo 5

Leggi di conservazione

Il Teorema di Arnold-Liouville ci dice che se un sistema hamiltonianoad n gradi di liberta ammette n integrali primi del moto indipendenti ed ininvoluzione (le cui mutue parentesi di Poisson siano nulle), allora e integrabile[8].

Il problema che vogliamo trattare in questo capitolo e la determinazionedi leggi di conservazione associate a sistemi ad infiniti gradi di liberta.

Per una generica equazione alle derivate parziali:

∆(x, t, u(x, t)) = 0

dove t ∈ R, x ∈ R sono le variabili temporali e spaziali e u(x, t) ∈ R lavariabile dipendente, una legge di conservazione e un’equazione della forma

DtTi + DxXi = 0

che e soddisfatta da tutte le soluzioni u(x, t) della PDE in esame.Ti(x, t) e detta densita conservata e Xi(x, t) flusso conservato e sono ingenere funzioni dello spazio-tempo, del campo u e delle sue derivate. [3]

Consideriamo, ad esempio, l’equazione delle onde per il campo scalareu(x, t) (1.22).

Sappiamo che l’equazione e integrabile ed ammette come soluzione ondedi traslazione:

u(x, t) = F (x− ct) + G(x + ct)

per due generiche funzioni F e G due volte differenziabili.

48 Leggi di conservazione

Ci potremmo aspettare pertanto che, essendo il sistema in considerazionead infiniti gradi di liberta, per una generalizzazione del Teorema di Arnold-Liouville, questa possa ammettere infinite leggi di conservazione.

Sappiamo inoltre che l’equazione e invariante per traslazioni temporali espaziali, pertanto, per il Teorema di Noether, sia l’energia che la quantitadi moto totale risulteranno conservate.

Come poter determinare pero le altre infinite attese leggi di conservazione?Consideriamo di nuovo il sistema 3.15

rt + ρ0 vx = 0

vt + 1ρ0

c2 (ρ0) rx = 0

che restituisce immediatamente l’equazione delle onde per i campi densitar(x, t) e velocita v(x, t).

Introducendo il vettore a 2 componenti

u =

(rv

)

Possiamo riscrivere il sistema nella forma (3.12):

ut +

(0 ρ0

1ρ0

c02 0

)ux = 0

cioeut = Mu

con

M = −(

0 ρ01ρ0

c02 0

)∂x

La struttura matematica con cui abbiamo a che fare e quella di un’evoluzioneregolata da un’algebra non commutativa, in generale non commutando lamatrice M con le altra matrici e ∂x con gli operatori moltiplicativi.

Tralasciamo per il momento il caso particolare del sistema (3.15) edoccupiamoci di una generica dinamica del tipo:

ut = M u

con M generica matrice N ×N non singolare ed u(x, t) vettore di L2(R).Dati due vettori u1 ed u2 ne definiamo il prodotto scalare come:

〈u1 |u2〉 ≡∫ +∞

−∞dxu1(x, t)u2(x, t) (5.1)

49

Vogliamo determinare dei funzionali c(u), definiti come prodotti scalari(quindi quadratici nell’argomento), tali che c(u) = 0.

Costruiamoli cosı nella forma quadratica in u:

c(u) = 〈u |Γu〉 (5.2)

con Γ operatore lineare costante nel tempo da determinare imponendo lacondizione c(u) = 0:

c(u) = 〈ut |Γu〉 + 〈u |Γut〉 =

= 〈M u |Γu〉 + 〈u |Γ M u〉 =

= 〈u | (M † Γ + Γ M

)u〉 = 0 (5.3)

Dal momento che il vettore u e completamente arbitrario, la (5.3) devevalere per ogni u, da cui l’equazione operatoriale

M † Γ + Γ M = 0 . (5.4)

Essendo M noto perche caratterizzante l’equazione di evoluzione in conside-razione, la (5.4) si presenta come un’equazione nell’operatore Γ.

Se Γ e soluzione della (5.4) anche

Γ(n) = ΓMn (5.5)

e soluzione per ogni n ∈ N. Infatti, sostituendo nella 5.4, si ottiene

M †Γ(n) + Γ(n)M = M †Γ(n)Mn + Γ(n)Mn+1 = 0

che restituisce la (5.4) per ogni matrice non singolare M

(M †Γ(n) + Γ(n)M

)Mn = 0 .

Da tali osservazioni, segue che abbiamo trovato infinite quantita conser-vate

cn(u) = 〈u |ΓMnu〉 (5.6)

che assumeranno, dipendentemente dal problema in esame, forme diverse.

Riprendiamo come esempio proprio il sistema (3.15) e cerchiamo gli op-eratori Γ che permettono di definire le quantita conservate (5.6). EssendoM

M = −(

0 ρ01ρ0

c02 0

)∂x

50 Leggi di conservazione

e data l’antihermitianita dell’operatore di derivazione otteniamo

M † =

(0 1

ρ0c0

2

ρ0 0

)∂x

La (5.4) prende la forma

(0 1

ρ0c0

2

ρ0 0

)∂xΓ− Γ

(0 ρ0

1ρ0

c02 0

)∂x = 0

Richiediamo per semplicita che Γ non sia un operatore differenziale, mauna matrice a coefficienti costanti:

(0 1

ρ0c0

2

ρ0 0

)Γ− Γ

(0 ρ0

1ρ0

c02 0

)= 0

che cerchiamo del tipo

Γ =

(γ1 00 γ2

)

da cui, sfruttando la (5.4), si ottiene:

Γ =

(c20 00 ρ2

0

)

Le altre infinite quantita conservate deriveranno direttamente dalla (5.5):

Γ(n) = (−)n

(c20 00 ρ2

0

)(0 ρ0

1ρ0

c02 0

)n∂n

∂xn.

Capitolo 6

Multiscale expansion andintegrability of dispersive waveequations

[Lectures given at the Euro Summer School “What is integrability?”, 13-24August 2001, Isaac Newton, Cambridge, U. K..]

6.1 Introduction

The propagation of nonlinear dispersive waves is of great interest and rele-vance in a variety of physical situations for which model equations, as infinite-dimensional dynamical systems, have been investigated from various perspec-tives and to different purposes. In the ideal case in which waves propagate ina one-dimensional medium (no diffraction) without losses and sources par-ticular progress has been made due to the discovery of integrable modelswhose investigation has provided important contributions to such mattersas stability, wave-collisions, long-time asymptotics among others. On themathematical side, such progress on integrable models has considerably con-tributed also to our present (admittedly not concise) answer to the questionin the title of this School. The same question can be found in [9], and apartial guide to the vaste literature on the theory of Solitons is given in [10].

It is plain that integrable models, though both useful and fascinating,remain exceptional: nonlinear partial differential equations (PDEs) in 1+1variables (space+time) are generically not integrable. The aim of these notesis to show how an algorithmic technique, based on perturbation theory, maybe devised as a tool to establish how far is a given PDE from being inte-grable. This approach [11] has been known in applicative contexts [12] since

52Multiscale expansion and integrability of dispersive wave

equations

several decades as it provides approximate solutions when only one, or a few,monochromatic “carrier waves” propagate in a strongly dispersive and weak-ly nonlinear medium. More recently [13] it has proved to be also a simpleway to obtain necessary conditions which a given PDE has to satisfy in orderto be integrable, and to discover integrable PDEs as well [14].

The basic philosophy of this approach is to derive from a nonlinear PDEone or many other PDEs whose integrability properties are either alreadyknown or easily found. In this respect, a general remark on this method ofreduction is the following. Integrability is not a precise notion, and differentdegrees of integrability can be attributed to a PDE within a certain classof solutions and boundary conditions, according to the technique of solvingit. For instance, C-integrable are termed those nonlinear equations whichcan be transformed into linear equations via a change of variables [14], andS-integrable are those equations whose solution requires the method of thespectral (or scattering) transform (see, f.i., [15]). Examples of C-integrabilityare the equations (ut = ∂u/∂t, ux = ∂u/∂x etc.)

ut + a1ux − a3uxxx = a3(3uux + u3)x , u = u(x, t) (6.1)

ut +a1ux−a3uxxx = 3a3c(u2uxx +3uu2

x)+3a3c2u4ux , u = u(x, t) (6.2)

which are both mapped to their linearized version

vt + a1vx − a3vxxx = 0 , v = v(x, t) (6.3)

the first one, 6.1, by the (Cole-Hopf) transformation

u = vx/v (6.4)

and the second one, 6.2, by the transformation [14]

u = v/(1 + 2cw)1/2 , wx = v2 (6.5)

Well-known examples of S-integrable equations are the modified Korteweg-de Vries (mKdV) equation

ut + a1ux − a3uxxx = 6a3cu2ux , u = u(x, t) (6.6)

and the nonlinear Schroedinger (NLS) equation

ut − ia2uxx = 2a2ic|u|2u , u = u(x, t) (6.7)

whose method of solution is based on the eigenvalue problem

ψx + ikσψ = Qψ , ψ = ψ(x, k, t) (6.8)

6.1 Introduction 53

where ψ is a 2-dim vector, σ is the diagonal matrix diag(1, -1) and Q(x, t) isthe off-diagonal matrix

Q =

(0 u−cu 0

)(6.9)

for the mKdV equation 6.6 and (the asterisk indicates complex conjugation)

Q =

(0 u

−cu∗ 0

)(6.10)

for the NLS equation 6.7. Here k is the spectral variable and c is a realconstant. In any case, whatever type of integrability is involved, we adoptin our treatment the “first principle” (axiom) that integrability is preservedby the reduction method. Though in some specific cases, where integrabili-ty can be formulated as a precise mathematical property, one can give thisprinciple a rigorous status, we prefer to mantain it throughout our treatmentas a robust assumption. Its use, according to contexts, may lead to inter-esting consequences. One is that the implication that a PDE derived by thereduction method from an integrable PDE is itself integrable provides a wayto obtain other (possibly new) integrable equations. On the othe hand, if aPDE, which has been obtained by reduction from a given PDE, is proved tobe nonintegrable, then from our first principle it there follows that that giv-en PDE cannot be integrable, and this implication leads to quite a numberof necessary conditions of integrability. Some of these conditions are foundsimple and, therefore, of ready practical use. Others conditions are insteadthe results of lengthy algebraic manipulations which require a rather heavycomputer assistance. Finally, this way of reasoning leads to the following ob-servation, which has been clearly pointed out in [14]. Suppose the same PDEis obtained by reduction from any member of a fairly large family of PDEs; sowe can call it a “model PDE”. Then the principle stated above explains whya model PDE can be at the same time widely applicable (because it derivesfrom a large class of different PDEs) and integrable (because it suffices thatjust one member equation of that large family of PDEs be integrable). Themost widely known example of such case is the NLS equation 6.7 which iscertainly a model equation (as shown also below) with many applications (f.i.nonlinear optics and fluid dynamics [12]), and whose integrability has beendiscovered in 1971 [16] but it could have been found even earlier by reductionfrom the KdV equation ut +uxxx = 6uux (the way to infer the S-integrabilityof the NLS equation from the S-integrability of the KdV equation has beenfirst pointed out in [17]), whose integrability has been unveiled in 1967 [18].

The method of reduction which we now introduce is a perturbation tech-nique based on three main ingredients : i) Fourier expansion in harmonics,


equations

ii) power expansion in a small parameter ε, iii) dependence on a (finite or in-finite) number of “slow” space and time variables, which are first introducedvia and ε-dependent rescaling of x and t and are then treated as independentvariables. Because of this last feature this approach is also referred to asmultiscale perturbation method.

In order to briefly illustrate how these basic ingradients naturally comeinto play in the simpler context of ordinary differential equations (ODEs),let us consider the well-known Poincare-Lindstedt perturbation scheme toconstruct small amplitude oscillations of an anharmonic oscillator around astable equilibrium position. Thus our one-degree dynamical system is givenby the nonlinear equation (q ≡ dq/dt)

q + ω2oq = c2q

2 + c3q3 + . . . . , q = q(t, ε) (6.11)

where the small perturbative parameter ε is here introduced as the initialamplitude,

q(0, ε) = ε , q(0, ε) = 0 (6.12)

The equation of motion 6.11 is autonomous as all coefficients ω0, c2, c3, . . . . ,are time-independent, and it has been written with its linear part in the lhsand its nonlinear (polynomial or, more generally, analytic) part in the rhs.In this elementary context,the model equation which is associated with thisfamily of dynamical systems, is of course the harmonic oscillator equation,q + ω2

0q = 0, which obtains when the amplitude ε is so small that all nonlin-ear terms can be neglected. In fact, the purpose of the Poincare- Lindstedtapproach is to capture the deviations from the harmonic motion which aredue to the nonlinear terms in the rhs of 6.11. Since, for sufficiently small ε,the motion is periodic, namely

q(t, ε) = q

(t +

2π

ω(ε), ε

), (6.13)

it is natural to change the time variable t into the phase variable θ,

θ = ω(ε)t , q(t, ε) = f(θ, ε) , (6.14)

even if the frequency ω(ε) is not known as it is expected to depend on theinitial amplitude ε. Then the equations 6.11 and 6.12 now read (f ′ ≡ df/dθ)

ω2(ε)f ′′ + ω20f = c2f

2 + c3f3 + . . . , f(0, ε) = ε, f ′(0, ε) = 0 (6.15)

and we look for approximate solutions via the power expansions

ω2(ε) = ω20 + γ1ε + γ2ε

2 + . . . , (6.16)

6.1 Introduction 55

f(θ, ε) = εf1(θ) + ε2f2(θ) + . . . . (6.17)

We note that the periodicity condition f(θ) = f(θ + 2π) implies that ω(0) =ω0; inserting the expansions 6.16 and 6.17 in the differential equation 6.15and equating the lhs coefficients with the rhs coefficients of each power of ε,yields an infinite system of differential equations, the first one, at O(ε), ishomogeneous, while all others, at O(εn) with n > 1, are nonhomogeneous,i.e.

O(ε) :

f ′′1 + f1 = 0

f1(0) = 1

f ′1(0) = 0

(6.18)

O(εn) :

f ′′n + fn = −n,−n + 1, . . . ,−1, 0, 1, . . . , n− 1, n

fn(0) = 0

f ′n(0) = 0

(6.19)

The notation in this last equation refers to harmonic expansion and it hasthe following meaning. Since each function fn(θ) is periodic in the inter-val (0, 2π), one can Fourier-expand it; however, because of the differentialequaions they satisfy, only a finite number of the Fourier basis functionsexp(iαθ), α being an integer, enters in their representation. This is easilyseen by recursion: f1(θ) = 1

2(exp(iθ) + exp(−iθ)), and since fn(θ), for n > 1,

satisfies the forced harmonic oscillator equation where the forcing term inthe rhs of 6.19 is an appropriate polynomial of f1, f2, . . . , fn−1, its expansioncan only contain the harmonics exp(iαθ) with |α| ≤ n. Thus, the integersin the curly bracket in the rhs of 6.19 indicate the harmonics which enter inthe Fourier expansion of the forcing term, and this implies that fn(θ) itselfhas the Fourier expansion

fn(θ) =n∑

α=−n

f (α)n exp(iαθ), n ≥ 1 (6.20)

where the complex numbers f(α)n have to be recursively computed. To this

aim, it is required that also the coefficents γn in the expansion 6.16 be com-puted, and the way to do it is to use the periodicity condition fn(θ) =fn(θ + 2π), or, equivalently, the condition that the ε-expansion 6.17 be uni-formly asymptotic (note that we do not address here the problem of conver-


equations

gence of the series 6.17 but we limit ourselves to establish uniform asymp-toticity). The point is that, for each n ≥ 2, the forcing term in 6.19 containsthe fundamental harmonics exp(iθ) and exp(−iθ) which are solutions of thelhs equation (i.e. of the homogeneous equation), and are therefore secular(or, equivalently, at resonance).

At this point, and for future use, we observe that, in a more generalsetting, if

v′(θ)− Av(θ) = w(θ) + u(θ) (6.21)

is the equation of the motion of a vector v(θ) in a linear (finite or infinitedimensional) space and A is a linear operator, then, if the vector w(θ) solvesthe homogeneous equation,

w′(θ)− Aw(θ) = 0 (6.22)

then the forcing term w(θ) in 6.21 is secular. This is apparent from theθ-dependence of the general solution of 6.21, which reads

v(θ) = v(θ) + θw(θ) (6.23)

where v(θ) is the general solution of the equation v′(θ)− Av(θ) = u(θ).In our present case, the occurence of the harmonics exp(iθ) and exp(−iθ)

in the rhs of 6.19 forces the solution fn(θ) to have a nonperiodic dependenceon θ, and therefore the condition that the coefficients of exp(iθ) and exp(−iθ)must vanish should be added to our computational scheme. In fact, this con-dition fixes the value of the coefficient γn−1 and this completes the recurrentprocedure of computing, at each order in ε, both the frequency

ω(ε) = ε0 + ω1ε + ω2ε2 + . . . , (6.24)

and the solution f(θ, ε), see 6.17. As an instructive exercise, we suggest thereader to compute the frequency ω(ε) up to O(ε2) (answer: ω1 = 0, ω2 =−(10c2

2 + 9ω20c3)/24ω3

0).This approach has been often used in applications with the aim of com-

puting approximate solutions; in that context the properties of the series6.16 and 6.17 of being convergent, or asymptotic, and also uniformly so int, is of crucial importance (see, f.i., [19] and the references quoted there),particularly when one is interested also in the large time behaviour. Ouremphasis here is instead in the formal use of the double expansion (see 6.17and 6.20)

q(t, ε) =∑n=1

n∑α=−n

εn exp (iαθ)f (α)n (6.25)

6.1 Introduction 57

where θ = ω0t+ ω1εt+ ω2ε2t + . . . and therefore here and in the following we

drop any question related to convergence and approximation.Let us consider now the propagation of nonlinear waves, and let us apply

the Poincare-Lindstedt method to PDEs. For the sake of simplicity, here andalso below throughout these notes, we focus our attention on the followingfamily of first order in time equations

Du = F [u, ux, uxx, . . .] , u = u(x, t), (6.26)

with the assumptions that this equation be real, that the linear differentialoperator D in the lhs have the expression

D = ∂/∂t + iω(−i∂/∂x) , (6.27)

where ω(k) is a real odd analytic function,

ω(k) =∑m=0

a2m+1k2m+1 , (6.28)

and that F in the rhs be a nonlinear real analytic function of u and its x -derivates. For instance, the subfamily

ω(k) = a1k + a3k3 , F = cu3

x + (c2u2 + c3u

3 + . . .)x , (6.29)

contains three S-integrable equations, i.e. the KdV equation (c = 0, cn = 0for n ≥ 3), the mKdV equation 6.6 and the equation [20]

ut + a1ux − a3uxxx = −a3

[α sinh u + β (cosh u− 1) + u2

x/8]ux. (6.30)

Since the linearized version of the PDE 6.26, Du = 0, has the harmonicstationary wave solution

u = exp[i(k0x− ω0t)] , ω0 = ω(k0) , (6.31)

one way to extend the Poincare-Lindstedt approach to the PDE 6.26 is tolook for solutions, if they exist, which are periodic plane waves,

u(x, t) = f(θ, ε), θ = k(ε) x− ω(ε) t, f(θ, ε) = f(θ + 2π, ε) , (6.32)

together with the power expansions

f(θ, ε) = εf1(θ)) + ε2f2(θ) + . . . ,

k(ε) = k0 + k1 ε + k2 ε2 + . . . , ω(ε) = ω0 + ω1 ε2 + ω2 ε2 + . . . (6.33)


equations

This approach can be easily carried out as for the anharmonic oscillator sincethe function f(θ, ε) does now satisfies the real ODE

−ω(ε)f (1)(θ, ε) + iω(−ikd/dθ)f(θ, ε) = F[f, kf (1), k2f (2), . . .

], k = k(ε),

(6.34)where f (j) ≡ djf(θ, ε)/dθj. Periodic plane waves in fluid dynamics havebeen investigated along these lines and , though exact solutions are knownfor instance for water waves models (such as the KdV equation) in termsof Jacobian elliptic functions (cnoidal waves), approximate expressions havebeen found more than a century ago (Stokes’s approximation) [1].

The class of periodic plane-wave solutions (if they exists) is too restrictiveto our purpose. In fact their construction requires going from the PDE 6.26to the ODE 6.34, a step which implies loss of information about the PDEitself. Therefore we now turn our attention to the class of solutions of thewave equation 6.26 whose leading term in the perturbative expansion is aquasi-monochromatic wave, namely a wave-packet whose Fourier spectrumis not one point but is well localized in a small interval of the wave numberaxis, (k −∆k, k + ∆k), where k is a fixed real number and ∆k/k is small,

u(x, t) ' ∆k

∫ +∞

−∞dηA(η) expi[x(k + η∆k)− tω(k + η∆k)]+ c.c.; (6.35)

here the amplitude A(η) is sharply peaked at η = 0, and the additionalcomplex conjugated term is required by the condition (which we mantainhere and in the following) that u(x, t) is real, u = u∗.

The perturbation formalism which is suited to deal with this class ofsolutions is still close to the Poincare-Lindstedt approach to the anharmonicoscillator. In fact, let us go back to the two-index series 6.25 and substituteθ with the expansion θ = ω0t + ω1t1 + ω2t2 + . . ., where we have formallyintroduced the rescaled ”slow” times tn = εnt; then the formal expansion6.25 reads

q(t, ε) =∑n=1

n∑α=−n

εnEαq(α)n (t1, t2, . . .) , E ≡ exp(iω0t) , (6.36)

where the functions q(α)n depend only on the slow-time variables tn. The

scheme of computation based on the expansion 6.36 is equivalent to thatshown above, and it goes with inserting the expansion 6.36 into the equation6.11, and by treating the time variables tn as independent variables. Inparticular the derivative operator d/dt takes the ε - expansion

d(Eαq(α)

n

)/dt = Eα

(iαω0 + ε∂/∂t1 + ε2∂/∂t2 + . . .

)q(α)n , (6.37)

6.1 Introduction 59

and similarly expanding the lhs and rhs of 6.11 in powers of ε and of E finallyyields a system of PDEs whose solution (after eliminating secular terms) givesthe same result as the (much simpler) frequency-renormalization methodbased on 6.14 and 6.16. In this case the service of the multiscale techniqueis merely to display the three ingredients of the approach we use below forPDEs, i.e. the power expansion in a small parameter ε, the expansion inharmonics and the dependence on slow variables.

Let us now proceed with applying the multiscale perturbation approachto solutions of the PDE 6.26 along the line discussed above. As a preliminaryobservation, in the case the PDE 6.26 is linear, i.e. F = 0, the expression6.35 is exact as it yields the Fourier representation of the solution. If weintroduce the harmonic solution

E(x, t) ≡ exp[i(kx− ωt)] , ω = ω(k) , (6.38)

the small parameter ε ≡ ∆k/k and the slow variables ξ ≡ εx, tn ≡ εnt forn ≥ 1, the Fourier integral takes the expression of a “carrier wave” whosesmall amplitude is modulated by a slowly varying envelope

u(x, t) = εE(x, t)u(1)(ξ, t1, t2, . . .) + c.c. . (6.39)

Since the envelope function is (see 6.35)

u(1)(ξ, t1, t2, . . .) = k

∫ +∞

−∞dη A(η) exp

[i(kηξ − kω1ηt1 − k2ω2η

2t2 − . . .)]

,

(6.40)it satisfies the set of PDEs

∂tnu(1) = (−i)n+1ωn∂nξ u(1) , n = 1, 2, . . . (6.41)

In order to write down these equations, we have assumed that the dispersionfunction ω(k) is analytic at k, so that its Taylor series

ω(k + εηk) =∞∑

n=0

ωnηnknεn , ωn(k) =1

n!

dn

dknω(k) , (6.42)

is convergent. This shows that one has to ask that u(1) depends on as manyrescaled times tn as the number of nonvanishing coefficients ωn in the ex-pansion 6.42; f.i. if ω(k) is a polynomial of degree N , the multiscale methodrequires the introduction of at most N new independent time variables, thisbeing a rule which holds also in the nonlinear case. More interestingly, wenote that in the linear case, because of the hierarchy of compatible evolution


equations

equations 6.41 with respect to the slow times, the commutativity property[∂tn , ∂tm ] = 0 is trivially satisfied, whereas, in the nonlinear case this com-mutativity condition is of paramount importance and is strictly related tointegrability in more than one way. Indeed, the purpose of section 3 is toshow that the picture we have outlined in the linear case can be extendedto the nonlinear case under appropriate conditions. The main consequenceof nonlinearity is, of course, the generation of higher harmonics in additionto the fundamental one 6.38, together with the occurrence of undesired sec-ular terms which force the amplitudes to grow with time. Killing the secularterms to keep the amplitudes bounded for all times is the basic way to derivea number of evolution equations. An old result in this direction, first derivedin nonlinear optics and in fluid dynamics [12], is the dependence of the lead-

ing order amplitude u(1)1 (ξ, t1, t2) of the fundamental harmonic on the first

two slow times t1 and t2, namely u(1)1 traslates with respect to t1 with the

group velocity ω1 and evolves in t2 according to the NLS equation. Thus,at this order, the solution u(x, t) of the PDE 6.26 is approximated by theexpression

u(x, t) = ε v(ξ − ω1t1, t2) E(x, t) + c.c. + O(ε2) , (6.43)

wherevt2 = iω2

(vξξ − 2c|v|2v) ≡ K2(v) . (6.44)

Thus the natural point to start from is the harmonic expansion of thesolution u(x, t),

u(x, t) =+∞∑

α=−∞u(α) (ξ, t1, t2, . . .)E

α(x, t) , (6.45)

where E(x, t) si defined by 6.38 and, because of the reality of u, the coeffi-cients u(α) satisfy the reality condition

u(α)∗ = u(−α) . (6.46)

As for the slow variables, and guided by the approximate expression 6.35where we set ∆k = εpk, with p > 0, we define

ξ = εpx , tn = εnpt , p > 0 , n = 1, 2, . . . . (6.47)

As a consequence, the differential operators ∂t and ∂x, as acting on theexpansion (1.39), are replaced by the power expansions

∂x → ∂x + εp∂ξ , ∂t → ∂t + εp∂t1 + ε2p∂t2 + . . . . (6.48)

6.1 Introduction 61

Inserting these expansions in the linear operator D, see 6.27, yield the formula

D[u(α)Eα

]= EαD(α)u(α), (6.49)

which defines the differential operator D(α) acting only on the slow variables6.47. Moreover, like the operators 6.48, also the differential operator D(α)

has a power expansion in ε,

D(α) = D(α)0 + εpD

(α)1 + ε2pD

(α)2 + . . . , (6.50)

the first term being just the multiplication by the constant

D(α)0 = i [ ω(αk)− α ω(k)] , (6.51)

since DEα = D(α)0 Eα.

Let us consider now the nonlinear part, namely the rhs of the PDE6.26. Since F is supposed to be an analytic function, its decompositionin harmonics,

F [u, ux, uxx, . . .] =+∞∑

α=−∞F (α)

[u(β), u

(β)ξ , u

(β)ξξ , . . .

]Eα, (6.52)

which is implied by the expansion 6.45, defines the functions F (α) of theamplitudes u(0), u(±1), u(±2), . . . and their derivatives with respect to ξ. Forfuture reference, we note that the functions F (α) have the gauge property oftransformation

F (α) → exp(iαθ)F (α)

when the amplitude u(α) in its arguments is replaced by exp(iαθ)u(α), whereθ is an arbitrary constant.

Combining now the expansion 6.45, and the definition 6.49, with theexpansion 6.52 shows that the PDE 6.26 is equivalent to the (infinite) set ofequations

D(α)u(α) = F (α), (6.53)

which, since also F (α) obviously satisfies the reality condition

F (α)∗ = F (−α), (6.54)

needs to be considered only for nonnegative α, α ≥ 0.In the following sections, the equations 6.53 will be investigated after

expanding the amplitudes u(α) in power of ε. In this respect, it should bepointed out that the approximate expression 6.35 of the solution u(x, t) clear-ly shows that the smallness of u may originates in two ways, one from ∆k/k


equations

and the other from the amplitude A. In fact, we find it convenient to define εby requiring that u itself be O(ε), and this explains why we have introducedthe so far arbitrary parameter p in the rescaling 6.47 which define the slowvariables.

In section 2, since we will look at the equations 6.53 at the lowest orderin ε, only few harmonics will be considered. This analysis, when carried outin a systematic way, eventually yields a certain number of model PDEs inthe slow variables, whose integrability properties, if known, lead to formulatenecessary conditions of integrability for the original PDE 6.26.

In the third section we tackle instead the problem of pushing the inves-tigation of 6.53 to higher orders in the ε- expansion. This analysis displaysinteresting connections with integrability and it gives a way to set up anentire hierarchy of necessary conditions of integrability.

We end this introduction with few remarks. First, for pedagogical reasons,we have constrained the family of PDEs considered here to satisfy appropriateconditions in order to simplify the formalism. These limitations are mainlytechnical and do not play an essential role. Fore instance, extensions of thefamily of PDEs 6.26 may include differential equations of higher order in tfor complex vector, or matrix, solutions in higher spacial dimensions.

Second, we have confined our interest to the multiscale technique whichyields, by reduction, model equations of nonlinear Schroedinger type. Similararguments, however, do apply also to the weakly dispersive regime where theprototypical model equation is instead the KdV equation [21], or to theresonant, or nonresonant, interaction of N wavers [14].

Finally, a different approach which similarly yields necessary conditionsfor integrability, and has common features with the one described in Section3, has been introduced by Kodama and Mikhailov [22]. There the perturba-tion expansion is combined with the property of integrable systems of pos-sessing symmetries, and the order-by-order construction of such symmetriesis the core of the method.

6.2 Nonlinear Schroedinger type model equa-

tions and integrability

In this section we investigate the basic equations 6.53 which have been ob-tained via the harmonic expansion 6.45 of a quasi - monochromatic solutionof the PDE 6.26. Here we consider only the lowest significant order in thesmall parameter ε, but before illustrating our computational scheme, whichis mainly based on [23], [24] that the interested reader should consult for

6.2 Nonlinear Schroedinger type model equations andintegrability 63

details and generalizations, we point out first the main ideas and aims of ourapproach.

Consider first that, once the ε- expansion is introduced into the equation6.53, the linear operator D(α) takes the expression 6.50 whose coefficients, inaddition to the first one 6.51, are easily found to be

D(α)n = ∂tn − (−i)n+1ωn(αk)∂n

ξ , n ≥ 1 , (6.55)

where the function ωn(k) is defined by 6.42. Then, at the lowest order in

ε, the operator D(α) in 6.53 should be replaced by the coefficient D(α)0 =

i[ω(αk) − αω(k)]; therefore, if D(α)0 is not vanishing, the equation 6.53 for

u(α) becomes merely an algebraic equation whose solution is readily obtained.Because of this simple property, we term “slave harmonics” those harmonicssuch that, for their corresponding integer α, the quantity D

(α)0 does not

vanishes, i.e.ω(αk)− α ω(k) 6= 0. (6.56)

If instead α is such that D(α)0 = 0, then we say that its corresponding har-

monic is at resonance or, shortly, that α is a “resonance”. The importantfeature of resonant harmonics is that their amplitude satisfies a differentialequation in the slow variables (see 6.55) rather than an algebraic equationas for slave harmonics. Of course, the harmonics α = 0,±1 are always (i.e.for any wave-number k) at resonance (recall that ω(k) is on odd function,

ω(−k) = −ω(k)). However it may well happen that D(α)0 = 0 for |α| 6= 0, 1

for a particular value of k; in this case also their corresponding harmonicsare accidently (i.e. not for all values of k) at resonance and their amplitudesare expected to satisfy differential equations which may be coupled to theequations for the fundamental harmonics amplitude.

The repeated application of this argument to the next term of the ex-pansion of D(α) will be shown below to lead to the introduction of weakand strong resonances, and the systematic investigation of all resonant casesdoes finally produce a list of ten model PDEs of nonlinear Schroedinger type.These evolution equations are reported and discussed below in this secion,together with the implication of these findings with respect to integrability.

The starting ansatz is the ε-dependence at the leading order of the am-plitude u(α) in 6.45,

u(α) = ε1+γαψα , α = 0,±1,±2, . . . , (6.57)

where the parameters γα are nonnegative, γα ≥ 0, and, of course, even,γ−α = γα, with the condition

γ1 = 0, (6.58)


equations

which fixes the small parameter ε.Looking only at the lowest order in ε greatly simplifies our analysis in two

ways: it restricts our attention only to the first harmonics |α| = 0, 1, 2 and,secondly, it allows the amplitudes ψα, see 6.57, to be considered as functionsonly of the slow variables ξ, t1 and t2. Moreover, since ξ and t1 are of thesame order in ε (see 6.47), it turns ont convenient to replace the slow spacecoordinate ξ with the new coordinate

ξ = εp(x− V t) (6.59)

in the frame moving with the group velocity,

V = dω(k)/dk = ω1(k) (6.60)

of the fundamental harmonics (|α| = 1), so that the amplitudes ψα dependthroughout this section only on two variables,

ψα = ψα(ξ, τ) , τ ≡ t2 = ε2pt. (6.61)

As an additional remark, the following treatment suggests that it is conve-nient to take advantage of the fact that the nonlinear function in the rhs ofthe PDE 6.26 under investigation could be an x-derivative of a (polynomialor analytic) function, namely that it could be written as ∂h

xF (u, ux, uxx, . . .),where it is advisable to choose for the integer h its highest possible value.This is only a technical point as the final results can be also derived, thoughmore painfully, by starting with a lower value of h or by setting tout courth = 0, as in 6.26. Thus we rewrite the PDE 6.26

Du = (∂/∂x)hF [u, ux, uxx, . . .], (6.62)

where

F [u, ux, uxx, . . .] =∞∑

m=2

∞∑j1=0

∞∑j2=j1

. . .

∞∑jm=jm−1

c(m)j1,...,jm

u(j1)u(j2) . . . u(jm), (6.63)

with u(j) ≡ (∂/∂x)ju(x, t). Thus the family of PDEs we consider below isfully characterized by the following parameters: the real coefficients a2m+1

defining the dispersion function ω(k), see 6.27 and 6.28, the integer h (see

6.62) and the real coefficients c(m)j1,...,jm

, see 6.63. The method described hereprovides necessary conditions which these parameters have to satisfy in orderthat the PDE 6.62 be integrable.

By taking into account the x-derivative in the rhs of 6.62 together withthe ansatz 6.57, we first rewrite the equation 6.53 in the form

ε1+γαD(α)ψα = (iαk + εp∂ξ)h F (α). (6.64)


We obtain thereby nontrivial evolution equations for the quantities ψα(ξ, τ)by first taking the limit ε → 0 (after having made an appropriate choice forthe exponents γα and p) and then by performing some algebraic calcula-tions and also some “cosmetic rescalings” on the dependent and independentvariables, so as to present the results in neater form.

Let us first treat the linear part, namely the left-hand-side of 6.62. Clearlywe get

D(α) = ε2p∂/∂τ + i

M∑m=0

εpm A(m)α (k) (−i∂/∂ξ)m (6.65)

andA(0)

α (k) = ω(αk)− α ω(k) , (6.66)

A(1)α (k) = ω1(αk)− ω1(k) , (6.67)

A(s)α (k) =

1

s!

ds

dqsω(q)|q=αk , s ≥ 2. (6.68)

Here we evidenced the coefficients A(s)α (k) with s = 0, 1 because of the special

role they play in the following. Note that by definition

A(0)1 = A

(1)1 = 0 ; (6.69)

this corresponds to the pivotal role of the component ψ1(ξ, τ) which is theamplitude of the fundamental harmonic. It is indeed clear from 6.64 and6.65 that the value of γα which is determined by the requirement to matchthe dominant terms as ε → 0 of the quantities in the right-hand-side of 6.64,tends to be smaller if A

(0)α vanishes and even smaller if in addition also A

(1)α

vanishes and so on. Of course the smaller is the value of γα, the larger is therole that the component ψα(ξ, τ) plays in the regime of weak nonlinearity(small ε). This qualitative notion is given quantitative substance below;but already at this stage it indicates that the different possibilities discussedbelow emerge from various different assumptions about the vanishing of someof the quantities A

(s)α (k); a vanishing which might occur for all values of k, as

it were for structural reasons, or it might happen only for some special valueof k, on which attention may then be focussed.

For these reasons, in the following the harmonic α is called weak resonanceif A

(0)α (k), but not A

(1)α (k), vanishes,

A(0)α (k) = 0 , A(1)

α (k) 6= 0, (6.70)

while we say that the harmonic α is a strong resonance if, in addition toA

(0)α (k), also A

(1)α (k) vanishes,

A(0)α (k) = A(1)

α (k) = 0. (6.71)


equations

Of course, one could consider also the case of even stronger resonances byrequiring that, in addition to 6.71, also the condition A

(2)α (k) = 0 be satisfied.

However these cases are obviously less generic, and they will be not treatedhere.

Let us now consider the nonlinear rhs of 6.64. Inserting the ansatz 6.57in the rhs of 6.63 yields the expression

F (α) =

µ∑m=2

εm−1 f (m)α + O(εµ), (6.72)

with

f (m)α =

∑

α1≤α2≤...≤αm;Pm

j=1 αj=αεΓg(α1, α2, . . . , αm)ψα1 . . . ψαm + O(εp) ;

(6.73)here

Γ ≡ γα1 + γα2 + . . . + γαm , (6.74)

and for the constants g we get

g(α1, . . . , αm) =∑

0≤j1≤...≤jm(ik)Jc

(m)j1,...,jm

∑

P (α1,...,αm)

m∏ρ=1

(αρ)jρ

, (6.75)

where J = j1 + j2 + .. + jm, and the notation∑

P (α1,...,αm) indicates the sumover all permutations of the indices α1, . . . , αm having different values.

Additional, drastic simplifications occur when further steps are taken to-wards implementing the ε → 0 limit; indeed in this context we shall generallyneed to consider only the quadratic and cubic terms of F in 6.62, becausethe contribution of all other terms turn out to be negligible. Hence 6.64 cannow be written, in more explicit form, as follows:

ε2p[ψ1,τ − iA

(2)1 ψ1,ξξ

]= (ik)h

[ε1+γ0g(0, 1)ψ0ψ1+

+ ε1+γ2g(−1, 2)ψ∗1ψ2 +

+ ε2g(1, 1,−1)|ψ1|2ψ1

](6.76)

εγ0+p[A(1)0 ψ0,ξ + εpψ0,τ ] = (∂/∂ξ)h εhp

[ε1+2γ0g(0, 0)ψ2

0+

+ εg(−1, 1)|ψ1|2 +

+ ε1+2γ2g(−2, 2)|ψ2|2]

(6.77)


εγ2iA(0)2 ψ2 + εpA

(1)2 ψ2,ξ + ε2p

[ψ2,τ − iA

(2)2 ψ2,ξξ

] =

= (2ik)h[εg(1, 1)ψ2

1 + ε1+γ0+γ2g(0, 2)ψ0ψ2

]. (6.78)

The coefficients g which appear in these PDEs are found, via the formula6.75, to have the expressions

g(0, 0) = c(2)0,0 , (6.79)

g(0, n) = 2c(2)0,0 +

∞∑j=1

(−1)j(nk)2jc(2)0,2j + i

∞∑j=0

(−1)j(nk)2j+1c(2)0,2j+1 , n 6= 0 ,

(6.80)

g(n1, n2) =

(1− 1

2δn1n2

) [ ∞∑j=0

(−1)jk2j

j∑

j′=0

c(2)j′,2j−j′

(nj′

1 n2j−j′2 + n2j−j′

1 nj′2

)+

+ i

∞∑j=0

(−1)jk2j+1

j∑

j′=0

c(2)j′,2j+1−j′

(nj′

1 n2j+1−j′2 + n2j+1−j′

1 nj′2

)],

(6.81)

con n1 6= 0, n2 6= 0 .

The equations 6.76, 6.77 and 6.78 contain terms of different order in thesmall parameter ε, and this requires some explaning.

In the first place, many other terms which might have been present havebeen omitted because they are of higher order in ε than terms which arepresent. This is for instance the case for cubic terms in the right-hand-side of 6.76 involving ψ0, ψ2, which are of higher order than quadratic termswhich are present. Of course this argument, and analogous ones below, areapplicable only if the relevant dominant terms are indeed present, namelyprovided they are not absent. Note that such an absence might happenfor some “accidental reason (possibly only for some special value of k) orfor a “structural reason, for instance if the original equation 6.62 containsnonlinear terms only of cubic order and higher, but no quadratic terms.

The second point that must be emphasized about 6.76, 6.77 and 6.78is that these equations generally contain contributions of different orders inε, and only those of lowest order are relevant. The identification of thesedepends of course on the assignments of specific numerical values to p (ofcourse p > 0) and to the paramenters γα (of course γα ≥ 0, α = 0, 1, 2).These assignments are dictated by the structure of these equations 6.76,6.77, 6.78 and by assumptions which have to be made about the vanishing ornonvanishing of the quantities A

(m)α (k), m = 0, 1, 2, α = 0, 1, 2, appearing in


equations

the left-hand-side of 6.77 and 6.78; hence one must consider many subcases,according to which resonance are present. Let us reemphasize that, in thistreatment which yields the results reported here, the assumption is made thatall nonlinear terms which might be present at the lowest order in ε are indeedpresent, namely that no nonlinear terms are missing due to “accidental”cancellations or “structural” causes. Whenever this hypothesis turns outnot to hold, the analysis leading to the assignment of the exponents p andγα must be performed anew by taking into account higher order terms inε. This analysis can be based on the equations 6.76, 6.77 and 6.78 onlyif all the relevant higher order terms are already present in the r.h.s. ofthese equations, otherwise account of additional terms in the ε-expansion isnecessary. Explicit instances of this phenomenon are reported in [23].

i

iϕ,t +νϕ,xx = λ|ϕ|2ϕ (6.82)

ii

iϕ,t +νϕxx = λ(1)ψ0ϕ

ψ0,x = λ(2)|ϕ|2(6.83)

iii

iϕ,t +νϕ,xx = λ(1)χϕ∗

χ,x = λ(2)ϕ2

(6.84)

iv

iϕ,t +νϕ,xx = λ(1)ψ0ϕ + λ(2)χϕ∗

ψ0,x = λ(3)|ϕ|2

χ,x = λ(4)ϕ2

(6.85)

v

iϕ,t +νϕ,xx = λ(1)ψ0ϕ

ψ0,t = λ(2)ψ20 + λ(3)|ϕ|2

(6.86)

vi

iϕ,t +νϕ,xx = λ(1)ψ0ϕ

ψ0,t = λ(2) (|ϕ|2)x

(6.87)


vii

iϕ,t +νϕ,xx = λ(1)|ϕ|2ϕ + λ(2)ψ0ϕ

ψ0,t = λ(3)(|ϕ|2)xx

(6.88)

viii

iϕ,t +νϕ,xx = λ(1)ψ0ϕ + λ(2)χϕ∗

ψ0,t = λ(3)(|ϕ|2)x

χ,x = λ(4)ϕ2

(6.89)

ix

iϕ,t +ν(1)ϕ,xx = λ(1)χϕ∗

iχ,t +ν(2)χ,xx = λ(2)ϕ2

(6.90)

x

iϕ,t +ν(1)ϕ,xx = λ(1)ψ0ϕ + λ(2)χϕ∗

ψ0,t = λ(3)ψ20 + λ(4)|ϕ|2 + λ(5)|χ|2

iχ,t +ν(2)χ,xx = λ(6)ψ0χ + λ(7)ϕ2

(6.91)

Let us emphasize that the coefficients ν and λ appearing in differentequations are different quantities, even if they have the same symbol. Notemoreover that the equations featuring in the left-hand-side the zeroth har-monic ψ0 are real , hence all coefficients (both ν and λ) appearing in them arereal; while for the other equations the coefficients ν are real, the coefficientsλ are generally complex. It should be also clear that the structure of theseequations reflects the existence of structural and/or accidental resonances.In fact, since the fundamental harmonic α = 1 is, by definition, strongly atresonance, its amplitude ϕ always satisfies a PDE which is firs-order in timeand second-order in space; on the other hand, the zeroth harmonic is alwaysweakly resonating and either it does not appear at all when h ≥ 1 (becausethe first-order differential equation it satisfies can be explicity integrated) or,when h = 0, it couples to the other resonating harmonics through a first-orderdifferential equation which can be either in x or in t depending on whether itis weakly or, respectively, strongly resonanting. Similarly for the amplitudeχ of the second harmonic: if this harmonic is slave, it does not appear in themodel equation, otherwise it satisfies a coupled differential equation whichis first-order in x if it is only weakly resonanting, and is first-order in t andsecond order in x if it is also strongly at resonance.


equations

The derivation by reduction of these ten nonlinear Schroedinger typemodel equations is the starting point to make contact with integrability.Indeed, from the knowledge that a model equation is not integrable we deducethat that particular original PDE in the class 6.62, from which the modelequation follows by reduction, cannot be integrable. To the aim of illustratingthe way to convert this general statement in concrete results we select outof the ten equations (2.22-31) the following four PDEs, whose integrabilityproperties are already known (for more details and examples, see [24]).

Equation (2.22): this is the NLS equation which obains if A(1)0 (k) 6= 0, A

(2)1 (k) 6=

0 , A(0)2 (k) 6= 0 and h ≥ 1, with ν = A

(2)1 (k) and, if h = 1,

λ = − k[A

(2)0 (k)g(0, 1)g(−1, 1) + 2kA

(1)0 (k)g(−1, 2)g(1, 1)

+ A(1)0 (k)A

(2)0 (k)g(−1, 1, 1)

]/A

(1)0 (k)A

(2)0 (k) (6.92)

This equation is known to be S-integrable if

Im(λ) = 0. (6.93)

Equation (2.23): it corresponds to h = 0, and A(1)(0)(k) 6= 0 and A

(2)1 (k) 6= 0;

in this case ν = A(2)1 (k), and

λ(1) = g(0, 1) , λ(2) = g(−1, 1)/A(1)0 (k); (6.94)

this system of equations has been found [25] to pass the Painleve type testonly if

λ(1)λ(2) = 0, (6.95)

namely, if it effectively linearizes.Equation (2.24): this obtains if h ≥ 1 and if, for some real nonvanishing value

k = k, A(0)2 (k) = 0, A

(2)1 (k) 6= 0 and A

(1)2 (k) 6= 0. In this case ν = A

(2)1 (k)

and, if h = 1,

λ(1) = −kg(−1, 2) , λ(2) = 2ikg(1, 1)/A(1)2 (k), (6.96)

where, of course, the coefficients g(−1, 2) and g(1, 1) are valued here at k = k.Also this equation has been found [26] to pass the Painleve-type test only if6.95 holds.Equation (2.27): this is the case if h = 1, and if, for some real nonvanishing

value k = k, A(1)0 (k) = 0 and A

(2)1 (k) 6= 0. Then ν = A

(2)1 (k) and

λ(1) = ikg(0, 1), λ(2) = g(−1, 1), (6.97)


where g(0, 1) and g(−1, 1) are evaluated at k = k. This system has beenproved to be S-integrable [27] only if

Imλ(1) = Imλ(2) = 0. (6.98)

With this information in our hands we are now in the position to formulatenecessary conditions of integrability. For a systematic exploration of thevarious cases in which such conditions arise and apply, the reader is refereedto [24], while we limit ourselves to give here only few instances of our method,and of its potentialities.

We first observe that the integrability conditions for the four equations wehave selected, i.e. (4 dei 10 sistemi)(2.22), (2.23), (2.24) and (2.27), involve

both the linear part (through the coefficients A(n)α , see 6.66, 6.67 and 6.68)

and the nonlinear part (through the coefficients g, see 6.79, 6.80, 6.81 and

6.63) of the PDE 6.62 we wish to test, and that both the coefficients A(n)α and

g are functions of the real parameter k. It is then clear that the integrabilityconditions (such as 6.93 and 6.95) which hold for an arbitrary value of kproduce a number of necessary conditions (for the PDE 6.62) which is largerthan the number of necessary conditions which originates from expressionssuch as 6.96 and 6.97 since these hold only for special values (if any) of k(say k).

Let us first assume that the PDE 6.62 we are going to test by our methodis in the class with h = 0, namely its nonlinear term is not a derivative.Then, if the appropriate reduced equation is (2.23), the requirement thatg(0, 1) or g(−1, 1) vanish for all real values of k entails, via 6.80 and 6.81,quite explicit restrictions only on the nonlinear part of 6.62. This is madeexplicit by the following:

Lemma 1. A necessary condition for the integrability of a nonlinearevolution PDE of type (2.8) with h = 0 is that either

c(2)0n = 0 , n = 0, 1, 2, . . . , (6.99)

orn∑

j=0

(−1)jc(2)j2n−j = 0, n = 0, 1, 2, . . . , (6.100)

namelyc(2)00 = 0, c

(2)02 − c

(2)11 = 0, c

(2)04 − c

(2)13 + c

(2)22 = 0, (6.101)

and so on. Clearly the condition 6.99 comes from the requirement that g(0, 1)vanish, while 6.58 comes from the requirement that g(−1, 1) vanish, see 6.95

and 6.94. Since they both require that c(2)00 vanish we obtain the following

remarkably neat result:


equations

Lemma 2. Every nonlinear PDE of type 6.62 with h = 0 featuring in itsnonlinear part a term c

(2)00 u2 is not integrable.

Consider now the class of PDEs 6.62 with h = 1, and assume that theappropriate reduced model equation is the NLS equation 6.82. The require-ment 6.93 with 6.92 for S-integrability involves both quantities related to thelinear and nonlinear parts of the original equation 6.62, but in many casesit amounts to the requirements that (i) the quantity g(0, 1) be real (notethat g(−1, 1) is always real, see 6.81); (ii) the quantities g(−1, 2) and g(1, 1)be both real or both imaginary; (iii) the quantity g(−1, 1, 1) be real. Giventhe arbitrariness of k, the first of these three conditions clearly entails thevanishing of all the coefficients c

(2)0n with n odd; the second condition entails

the vanishing of c(2)12 , c

(2)14 and c

(2)23 and many other relations for the coefficients

c(2)nm with n + m odd; the third condition entails the vanishing of c

(3)001 and

many other relations for the coefficients c(3)nmj with n + m + j odd. These are

very stringent, and quite explicit, conditions on the nonlinear part of 6.62(the case in which h > 1 can be similarly treated [24]).

Assume now that the original PDE 6.62, with h = 1, has passed the testbased on the conditions specified above, namely that all conditions entailedby the requirement 6.93, with 6.92, are satisfied. Since these conditions areonly necessary, no much information is gained, a part from a definite hintthat our PDE may indeed turn out to be integrable. However, we can stillpush our method to look for additional conditions to be satisfied. This isin fact the case if a special value of k, k = k, exists such that either thecondition A

(0)2 (k) = 0 holds, this being appropriate to obtain the model

equation 6.84, or the condition A(1)0 (k) = 0 holds, this being the case for

the model equation 6.87. In the first case, a necessary condition for theintegrability of a PDE of type 6.62 with h = 1 is that, for such special valuefo k, k = k, at least one of the two quantities g(−1, 2), g(1, 1) vanish, see 6.95with 6.96. The applicability and potency of this result is of course somewhatreduced relative to the conditions previously found, due to the requirementto restrict consideration to only those real values k of k (if any) which satisfythe appropriate equality and inequalities specified above. Yet there clearly isa large class of nonlinear evolution PDEs to which these necessary conditionsare applicable [24].

In the second case, namely that in which the model equation is 6.87, anecessary condition for the integrability of a PDE 6.62 with h = 1 is that, forthe appropriate special value of k, i.e. k = k such that the zeroth harmonicis strongly resonating, the quantity g(0, 1) be imaginary (or vanish),

Re[g(0, 1)] = 0 , k = k. (6.102)

6.3 Higher order terms and integrability 73

This requirement follows from 6.98, 6.97 and from the property of g(−1, 1)to be always real. This result is analogous to the previous one inasmuch asit requires focussing on special values k of k.

Let us state again that we have presented here only some of the necessaryconditions which can be established by the multiscale reduction method andthat more instances and applications are discussed in [24] where a distinctionbetween necessary conditions for C-integrability and for S-integrability is alsomade. We also observe that various extensions are possible and worth offurther research; for examples, different classes of PDEs, other than 6.62 canbe investigated, say for vector or matrix solutions as well as with more spacialvariables; and/or different model equations, other than the four equationsconsidered here, can be taken as starting points for the derivation of othernecessary conditions for integrability.

6.3 Higher order terms and integrability

In this section our perturbative analysis of the original PDE 6.26 is extendedto terms of higher order in ε. This extension is based on the expansion inpowers of ε of the amplitude u(α) in the equation 6.53, with the implica-tion that computations become rather heavy. To the aim of simplifying theformalism by avoiding unessential complications, we add two assumptionswhich we mantain throughout this section. First we ask that the nonlinearpart of our equation 6.26, namely its rhs F , be an odd function of u,

F → −F if u → −u. (6.103)

As it is easily verified, this parity property allows us to consistenly assumethat the amplitudes of all even harmonics be vanishing,

u(2α) = 0 , |α| ≥ 0. (6.104)

Therefore, from now on, we will have to deal only with the odd harmonicamplitudes u(2α+1). For instance, this condition on F is satisfied by themKdV equation 6.6, the C-integrable equation 6.2 and by the class of PDEs6.26 with 6.29 if c2n = 0.

Our second assumption is that, in contrast with the analysis carried out inthe previous section, no resonance occurs besides the fundamental harmonicsα = ±1. In other words, the resonance condition D

(α)0 = 0, see 6.51, should

hold only in the trivial case |α| = 1.These assumptions imply that all harmonics ±(2α + 1) with α > 0 are

slave and that the coefficients of their ε-expansion,

u(α) =∑n=1

εnu(α)(n), |α| > 1, (6.105)


equations

are therefore expressed as differential polynomials of the coefficients u(n)of the expansion of the fundamental harmonics (α = 1)

u(1) ≡ u = εu(1) + ε2u(2) + . . . =∑n=1

εnu(n). (6.106)

Here, and also in the following, we drop the harmonic upper index in thecoefficients of this expansion because of the very special role played by thefunction u(1) in this scheme (it is the only amplitude which satisfies a differ-ential equation). Moreover, as additional implications which can be easilyretrieved from the basic equation 6.53, the leading order of each harmonicamplitude comes from the rule

u(α)(n) = 0 , for n < |α|, (6.107)

which is equivalent to setting γ2α+1 = 2α for α ≥ 0 in the notation (2.3); theslow variables ξ and tn are here defined as in (1.41) with p = 1, i.e.

ξ = εx, tn = εnt , n = 1, 2, . . . (6.108)

In order to perform all operations required by our approach the functionsu(n), n = 1, 2, . . . , are required to be smooth in the real variable ξ, namelythey are differentiable to any order in the whole ξ-axis.

The first step is inserting in the equation 6.53 with α = 1 the appropriateε-expansions, namely that of the linear opertor D(1) ≡ D, see 6.50 with α = 1and p = 1,

D = εD1 + ε2D2 + . . . , (6.109)

that of the amplitude u(1) ≡ u, see 6.106, and finally the expansion of thenonlinear term,

F (1) ≡ F = ε3F3 + ε4F4 + . . . ; (6.110)

let us reemphasize here that, since the differential operators Dn, see 6.55with α = 1, have the expression

Dn = ∂tn − (−i)n+1 ωn(k) ∂nξ , n ≥ 1, (6.111)

there is no need to introduce the slow time tn if it happens that ωn(k) = 0.Thus, if the dispersion relation ω(k) is a polynomial of degree N > 1, theexpansion 6.109 turns out to be a polynomial in ε of degree N with theimplication that only N slow times enter into play. We also note that, becauseof the parity condition 6.103, the expansion 6.110 of the nonlinear term startsfrom the third order. In conclusion, the basic equation 6.53 with α = 1, i.e.

D(1)u(1) = F (1), (6.112)

6.3 Higher order terms and integrability 75

obviously yields the triangular system of convolution type

D1 u(n) + D2 u(n− 1) + . . . + Dn u(1) = Fn+1, (6.113)

where each term is, of course, of O(εn+1). Here, and in the following treat-ment, it is convenient to consider Fn as an element of the finite-dimensionalvector space Pn defined as the set of all differential polynomials in the func-tions u(m) and u∗(m) of order n and gauge 1. The meaning of this termi-nology is rather obvious: each monomial appearing in an element of Pn is aproduct of some u(m), u∗(k) and their ξ-derivatives with the understandingthat

order(uj(m)) = order(u∗j(m)) = m + j, (6.114)

where we use the short-hand definition

uj(m) ≡ ∂jξu(m). (6.115)

On the other hand, by requiring that each polynomial in Pn be of gauge1 we understand that such polynomials, say Fn, possess the transformationproperty

Fn → eiθFn if u(m) → eiθu(m), (6.116)

θ being an arbitrary real constant. By following these rules, the reader mayeasily verify that P2 is empty, dim (P3) = 1, the basis of P1 being the singlemonomial |u(1)|2u(1), while dim (P4) = 4 where its basis may be given by thefollowing four monomials: |u(1)|2u(2), u(1)2u∗(2), |u(1)|2u1(1), u(1)2u∗1(1).

Therefore, each nonlinear term Fn+1 in the rhs of 6.113 is a linear combi-nation of the basis vectors (f.i. monomials) of the vector space Pn+1, wherethe complex coefficients of such combination are determined by the nonlinearfunction in the rhs of our original PDE 6.26 (see the expansion 6.63 with mrunning only on the odd integers).

The next step aims to eliminating all secular terms which may enter inthe system 6.113. Our analysis is briefly described below, and the readerwho is interested in a detailed investigation of this point is referred to [28].

Consider first the equation 6.113 for n = 1, i.e. D1u(1) = 0 since F2 = 0(see 6.110); because of the expression 6.111, D1 = ∂t1 + ω1∂ξ, the functionu(1) depends on t1 through the variable ξ − ω1t1. The next equation, say6.113 with n = 2, reads (see 6.111)

D1u(2) = − [(∂t2 − iω2∂

2ξ

)u(1)− F3

], (6.117)

where its rhs plays the role of the nonhomogeneous (forcing) term with re-spect to the t1-evolution. On the other hand, this term depends on t1 through


equations

the variable ξ − ω1t1 (recall that F3εP3) and it satisfies therefore the homo-geneous equation D1f = 0. This implies that the rhs of 6.117 is secular andits elimination requires that u(1) satisfies, with respect to t2, the evolutionequation (∂t2 − iω2∂

2ξ )u(1) = F3, namely just the NLS equation, which has

been derived in the previous section. As a result of killing the secular termin 6.117, also u(2) as u(1) depends on t1 through the variable ξ − ω1t1. Thisargument can be easily repeated for each integer n in 6.113 and,together withtaking into accounts the structure of the differential polynomial Fn+1, it re-cursively leads to conclude that the coefficients u(n) all satisfy with respectto the time t1 the same (trivial) equation

D1u(n) = (∂t1 + ω1∂ξ) u(n) = 0, n ≥ 1. (6.118)

The time t1 plays no essential role and the system 6.113 reduces to

D2 u(n− 1) + D3 u(n− 2) + . . . + Dn u(1) = Fn+1 , n ≥ 2 , (6.119)

whose first equation (i.e. for n = 2) is the NLS equation

∂t2u(1) = iω2

(∂2

ξu(1)− 2c|u(1)|2u(1)) ≡ K2[u(1)] ; (6.120)

the rhs of this equation defines the nonlinear operator K2 and we have setF3 = −2iω2c|u(1)|2u(1).

Capitolo 7

Onde elettromagnetiche neimezzi nonlineari

In questo capitolo vogliamo soffermarci sullo studio di alcuni modelli in gradodi spiegare effetti nonlineari osservati in Ottica Fisica.

Analizzeremo il modello di un dielettrico classico, e nel prossimo capi-tolo quello di un dielettrico quantistico. Tramite l’applicazione del MetodoMultiscala saremo poi in grado di ricavare equazioni modello capaci di darespiegazione a fenomeni ottici sperimentalmenete verificati.

7.1 Modello classico di dielettrico

Se P(x, t) e la densita di dipolo elettrico nella materia, la densita dicarica elettrica e data da

ρ(x, t) = −∇ ·P(x, t)

mentre la densita di corrente e della forma

J(x, t) = Pt(x, t) .

Sfruttando le precedenti, otteniamo le equazioni di Maxwell in presenzadi materia:

∇ · E = − 1ε0∇ ·P , ∇× E = −∂B

∂t

∇ ·B = 0 , ∂E∂t

= c2∇×B− 1ε0Pt

(7.1)

che restituiscono immediatamente l’equazione per il campo elettrico :

Ett − c2∇2E + c2∇ · (∇ · E) = − 1

ε0

Ptt (7.2)

78 Onde elettromagnetiche nei mezzi nonlineari

Supponiamo ora che il mezzo dielettrico che stiamo studiando sia un vetroomogeneo ed isotropo.

Per il principio di causalita, la relazione tra il vettore di polarizzazione Ped il campo elettrico E sara della forma

P(x, t) = ε0

∫ t

−∞dt1 χ(1)(t− t1)E(x, t1) + (7.3)

+ ε0

∫ t

−∞dt1

∫ t

−∞dt2

∫ t

−∞dt3 χ(3)(t−t1, t−t2, t−t3) [E(x, t2)·E(x, t3)] E(x, t1)

L’omogeneita implica che le due funzioni χ(1), suscettibilita lineare,e χ(3), suscettibilita non lineare, non dipendano dal vettore posizionex; l’isotropia implica invece l’assenza della nonlinearita quadratica e, perl’invarianza per rotazioni, la dipendenza dalle sole variabili vettoriali E, (E ·E)E.

In generale le funzioni suscettibilita sono tensori a piu indici, a due indiciχ(1), a tre indici χ(2) e a quattro indici χ(3). Un materiale generico (non omo-geneo e non isotropo) avrebbe cosı 32 + 33 + 34 = 117 funzioni suscettibilitatutte da determinare sperimentalmente!

Possiamo pensare che la materia sia un insieme di oscillatori di densita δe carica q per cui

P(x, t) = δq r(x, t) (7.4)

dove r(x, t) e lo spostamento al tempo t dell’oscillatore dalla posizione diequilibrio x.

L’oscillatore e legato al campo elettrico tramite una forza di richiamocentrale e non lineare:

r(x, t)tt + ω02 r(x, t) = α|r(x, t)|2 r(x, t) + q E(x, t) (7.5)

Vogliamo ora riscrivere la (7.5) in forma integrale; sia

g(t, t′) = θ(t− t′)1

ω0

sin[ω0(t− t′)]

la Funzione di Green Ritardata dell’oscillatore armonico.La (7.5) assume cosı la forma

r(x, t) = q

∫ +∞

−∞dt′ g(t, t′)E(x, t′) + α

∫ +∞

−∞dt′ g(t, t′) |r(x, t′)|2 r(x, t′)

(7.6)

7.1 Modello classico di dielettrico 79

Della (7.6) cerchiamo una soluzione approssimata risolvendola perturbati-vamente rispetto al parametro α proprio di ciascun materiale. Otteniamocosı

r0(x, t) = q∫ +∞−∞ dt′ g(t, t′)E(x, t′)

r1(x, t) = r0(x, t) + α∫ +∞−∞ dt′ g(t, t′)|r0(x, t′)|2 r0(x, t)

...

(7.7)

Sfruttando la (7.7) e la (7.4) abbiamo quindi:

P(x, t) = δ q r1(x, t) + O(E5)

che insieme alle (7.7), (7.4) permette di determinare esplicitamente laforma delle funzioni di suscettibilita in funzione della funzione di Greendell’oscillatore.

Conviene tuttavia, indipendentemente dal modello meccanico che si ecostruito, considerare χ(1)(t1) e χ(3)(t1, t2, t3) come dati fenomenologici nelvetro. Ad esempio,

χ(1)(ω) =3∑

j=1

Bj

ω2 − ω2j + γ2

,

con Bj ed ωj fissati con un best-fit dei dati sperimentali.

7.1.1 Teoria perturbativa e la NLS

Per evitare complicazioni tecniche dovute al fatto che x ed E sono vettori diR3, studiamo il piu semplice modello unidimensionale :

Ett − c2 Exx = − 1

ε0

Ptt (7.8)

con

P (x, t) = ε0

∫ t

−∞dt1 χ(1)(t− t1) E(x, t1) + ε0 χ(3) E3(x, t) (7.9)

in cui abbiamo posto:

χ(1)(t) =

∫ +∞

−∞

dω

2πχ(1)(ω)e−iωt , χ(3) = cost. .


Sostituendo la (7.9) nella ((7.8)) otteniamo cosı

[E(x, t) +

∫ t

−∞dt1 χ(1)(t− t1) E(x, t1)

]

tt

− c2 Exx = −χ(3)[E3(x, t)

]tt

(7.10)Sappiamo che per poter applicare il metodo multiscala occorre che l’e-

quazione di partenza sia un’equazione dispersiva. Vogliamo cosı determinarela relazione di dispersione associata alla (7.10).

Consideriamo il campo elettrico E(x, t) nella sua rappresentazione diFourier e poniamo χ(3) = 0 (studiamo cioe la (7.10) linearizzata). Notandoche

∫ t

−∞dt1 χ(1)(t− t1) ei(kx−ωt1) = ei(kx−ωt)

∫ t

−∞dt1 χ(1)(t− t1) ei[ω(t−t1)]

= χ(1)(ω) ei(kx−ωt) ,

nella quale abbiamo sfruttato il Principio di Causalita (χ(1)(t) = 0 per t < 0),otteniamo la relazione di dispersione

ω2 =c2k2

1 + χ1(ω)(7.11)

che e una funzione polidroma di k definita implicitamente.Osserviamo che la richiesta che χ(1) non sia costante ma una funzione del

tempo sara determinante per poter applicare la teoria perturbativa multi-scala. Se difatti χ(1) fosse stata costante avremmo ottenuto la relazione didispersione ω = ± ck propria delle onde non dispersive di D’Alembert.

Conduciamo ora l’ipotesi di quasi-monocromaticita del campo con l’ag-giunta delle altre armoniche generate dal termine cubico non lineare:

E(x, t) = ε

+∞∑α =−∞

E(α)(ξ, t1, t2, t3, ...) eiα(k0x−ω0t) (7.12)

con ξ = εx e tn = εnt variabili lente e ω0 e k0 soddisfacenti la relazione didispersione (7.11).

L’equazione che dobbiamo studiare e della forma

LE = −χ(3)(E3)tt (7.13)

in cui L e l’operatore lineare cosı definito

L = ∂2t (1 + χ(1)∗)− c2∂2

x


Notiamo subito che se ci trovassimo in assenza di dielettrico, dunquenel caso di propagazione dell’onda nel vuoto, riotterremmo direttamentel’equazione delle onde, divenendo l’operatore L l’operatore D’Alembertiano2:

χ(1) = 0 −→ ∂tt − c2∂2x ≡ 2 .

Osserviamo inoltre che l’operatore di convoluzione χ(1)∗ commuta conl’operatore di derivazione temporale ∂t.

Mostrare tale osservazione risulta assai semplice se ci trasferiamo nellospazio di Fourier trasformando entrambi gli operatori:

∂t −→ −i ω , χ(t) ∗ −→ χ(ω) · .

e notando che le trasformate sono dei semplici operatori di prodotto chiara-mente commutanti.

Svolgendo i calcoli esplicitamente, si ottiene:

χ ∗ eiωt =

∫ t

−∞dt′χ(t− t′)e−iωt′ =

= e−iωt

∫ t

−∞dt′χ(t− t′)e−iωt′ = , ponendo τ = t′ − t

= e−iωt

∫ +∞

0

dτχ(τ)e−iωτ = , con χ(τ) = 0 , τ < 0 (causalita)

= e−iωt

∫ +∞

−∞dτχ(τ)e−iωτ =

= χ(ω) · e−iωt

Calcoliamo ora l’azione dell’operatore di convoluzione sulla funzione

E(α)(ξ, t1, t2, t3, ...) eiα(k0x−ω0t) .

Eseguendo i conti:

χ(1) ∗ [E(α)(ξ, t1, t2, t3, . . .) eiα(k0x−ω0t)

]=

=

∫ t

−∞dt′ χ(1)(t− t′) E(α)(ξ, t′1, t

′2, t

′3, . . .) eiα(k0x−ω0t′) =

= eiα(k0x−ω0t)

∫ ∞

0

dτ χ(1)(τ) E(α)(ξ, t1 − ετ, t2 − ε2τ, . . .) eiαω0τ . (7.14)

con t′n = εnt′ e τ = t− t′.Sviluppiamo ora la (7.14) in potenze di ε :

χ(1) ∗ [E(α)(ξ, t1, t2, t3, ...) eiα(k0x−ω0t)

]= (7.15)


= eiα(k0x−ω0t)[χ(1)(αω0) E(α) + iεχ(1)

ω (αω0) E(α)t1 + ε2(iχ(1)

ω (αω0) E(α)t2 +

− 1

2χ(1)

ωω(αω0) E(α)t1t1

]+ O(ε3) .

E con l’operatore di convoluzione sviluppiamo in potenze di ε anche glioperatori differenziali 1:

∂x 7→ ∂x + ε∂ξ

∂t 7→ ∂t + ε∂t1 + ε2∂t2

(7.16)

Otteniamo cosı l’espressione dell’operatore L:

L = (∂t + ε∂t1 + ε2∂t2 + . . .)2(1 + χ(1)∗) − c2 (∂x + ε∂ξ)

2 . (7.17)

Quanto dobbiamo ora calcolare e il trasformato di E(α) eiα(k0x−ω0t) tramiteL. Sappiamo che L su di un’onda piana restituisce sempre un’onda piana;possiamo cosı pensare di scrivere

L(E(α)(ξ, t1, t2, t3, ...) eiα(k0x−ω0t)

)= E(α)(ξ, t1, t2, t3, ...) eiα(k0x−ω0t) L(α)E(α)

(7.18)Con L(α) operatore lineare che lavora solo sulle variabili lente ξ e tn.

Sviluppiamo anche L(α) in potenze di ε :

L(α) = L(α)0 + εL

(α)1 + ε2L

(α)1 + O(ε3) (7.19)

Sfruttando la definizione di L(α) (7.18) determiniamo la forma esplicita dellostesso :

L(α) = (−iαω0 + ε∂t1 + ε2∂t2 + ...)2× (7.20)

×[1 + χ(1)(αω0) + ε iχ(1)

ω (αω0)∂t1 + ε2

(iχ(1)

ω (αω0)∂t2 −1

2χ(1)

ωω(αω0)∂2t1

)]+

−c2(iαk0 + ε∂ξ)2 ,

da cui L(α)0 :

L(α)0 = −α2ω0

2[1 + χ(1)(αω0)

]+ c2α2ω0

2 = α2ω02[χ(1)(ω0) − χ(1)(αω0)

](7.21)

1Notiamo che nella (7.16) abbiamo sviluppato l’operatore ∂t fino all’ ordine ε2. Inrealta non sappiamo quanti sono i tempi lenti che entrano in gioco in quest’ applicazionedel metodo multiscala non essendo la relazione di dispersione una funzione polinomiale ink.


in cui abbiamo sfruttato la relazione di dispersione (7.11). Osserviamo che

α = 0 ed α = ±1, annullando L(α)0 , sono risonanze. Ed ancora L

(α)1 ed L

(α)2 :

L(α)1 = −2iαω0

[1 + χ(1)(αω0)

]∂t1−iα2ω0

2χ(1)ω (αω0) ∂t1 − 2iαk0c

2 ∂ξ (7.22)

L(α)2 =

[1 + χ(1)(αω0)

]∂2

t1− 2iαω0

[1 + χ(1)(αω0)

]∂t2 + 2αω0χ

(1)(αω0)∂2t1+

(7.23)

−α2ω02

(iχ(1)

ω (αω0)∂t2 −1

2χ(1)

ωω(αω0)∂2t1

)− c2∂ξ

2 .

Notiamo che le equazioni di Maxwell da cui siamo partiti sono equazioni realie che anche χ(1)(t) e reale. Pertanto per avere una dispersione reale occorreimporre che

χ(1)(ω) = χ(1)(−ω)

La precedente ci permette di dire quindi, insieme alla (7.21), che

L(±1)0 = 0 (7.24)

A questo punto siamo in grado di esprimere il campo elettrico nella forma(7.12).

Scriviamo cosı:

LE = ε

+∞∑α =−∞

L(α)E(α) eiα(k0x−ω0t) (7.25)

= − ε3χ(3)

[+∞∑

α =−∞eiα(k0x−ω0t)

+∞∑

β,γ =−∞E(α−β−γ)E(β)E(γ)

]

tt

che e

L(α)E(α) = −ε2χ(3)(−iαω0+ε∂t1+ε2∂t2+. . .)+∞∑

β,γ=−∞E(α−β−γ)E(β)E(γ) (7.26)

Enunciamo ora alcune proprieta di notevole importanza:Proprieta di Parita : se nelle condizioni iniziali non vi sono armoniche pari:E(2α) = 0, allora tali restano ad ogni istante t > 0.Assumiamo che siano presenti a t = 0 solamente le armoniche dispari:E(2α+1) 6= 0.Proprieta di Realta : poiche E e reale, allora

E(α)∗ = E(−α)


Ipotesi di non Risonanza : assumiamo che

L(α)0 = 0

solo per α = ±1.Notiamo che il fatto che L

(0)0 sia nullo non ci interessa, valendo comunque

perche vale l’ipotesi di parita.Espandiamo ora anche le ampiezze E(α) in potenze di ε:

E(α) = E(α)(0) + εE

(α)(1) + ε2E

(α)(2) + . . . =

+∞∑n=0

εnE(α)(n) (7.27)

e discutiamo le equazioni d’evoluzione che si ottengono per α = ±1 aiprimi due ordini dell’espansione in potenze di ε delle ampiezze del campoelettrico.

All’ordine ε otteniamo:L

(1)1 E

(1)(0) = 0 (7.28)

cioe l’ampiezza E(1)(0) ha propagazione iperbolica lineare:

E(1)(0) t1

+ vgE(1)(0) ξ

= 0 (7.29)

con

vg =dω(k0)

dk=

2k0c2

2ω0 [1 + χ(1)(ω0)]− ω20 χ

(1)ω (ω0)

All’ordine ε2 abbiamo invece:

L(1)1 E

(1)(1) + L

(1)2 E

(1)(0) = χ(3)ω2

0

∑

β,γ

E(1−β−γ)(0) E

(β)(0) E

(γ)(0) (7.30)

Sappiamo dall’ipotesi di non secolarita che per α > 1 l’operatore L(α)0 e non

nullo, pertanto si deve avere E(α)(0) = 0 (struttura trinagolare). Bilanciando le

armoniche e ricordando la precedente considerazione, la (7.30) diventa:

L(1)1 E

(1)(1) = −L

(1)2 E

(1)(0) + χ(3)ω2

0

∣∣∣E(1)(0)

∣∣∣2

E(1)(0) . (7.31)

Soddisfacendo la (7.28), l’ampiezza E(1)(0) risulta secolare nella (7.31). Affinche

dunque venga evitata tale secolarita occorre porre:

L(1)2 E

(1)(0) = χ(3)ω2

0

∣∣∣E(1)(0)

∣∣∣2

E(1)(0) (7.32)


e cioe

L(1)1 E

(1)(1) = 0 (7.33)

Notiamo cosı che l’ampiezza E(1)(1) ha propagazione iperbolica lineare rispetto

al tempo t1 mentre la E(1)(0) evolve secondo la (7.32) rispetto al tempo t2.

Definiamodω(k0)

dk= vg ≡ ω1 .

Possiamo cosı riscrivere l’operatore L(1)2 come

L(1)2 =

[1 + χ(1)(ω0) ω2

1 + 2ω0 χ(1)ω (ω0) ω2

1 +1

2ω2

0ω21 χ(1)

ωω(ω0)− c2

]∂2

ξ +

(7.34)

−i[2ω0 + 2ω0χ

(1)(ω0) + ω20χ

(1)ω (ω0)

]∂t2 .

A partire dalla (7.11) definiamo :

1

2

d2ω(k0)

dk2≡ ω2

Calcolata la funzione di dispersione esprimiamo l’operatore L(1)2 nella forma:

L(1)2 = − (

ω2∂2ξ + i∂t2

) (2ω0 + 2ω0χ

(1)(ω0) + ω20 χ(1)

ω (ω0))

(7.35)

che e

L(1)2 = −2c2k0

ω1

(ω2∂

2ξ + i∂t2

)(7.36)

Possiamo cosı servendoci delle precedenti riscrivere la (7.32):

iE(1)(0) t2

+ ω2E(1)(0) ξξ

+3ω0ω1

2c2k0

χ(3)∣∣∣E(1)

(0)

∣∣∣2

E(1)(0) = 0 (7.37)

L’equazione precedente e l’Equazione di Schrodinger non lineare(Non Linear Schrodinger, NLS) che determina la dipendenza di E

(1)(0) dal

tempo lungo t2.Il termine ω2 e il coefficiente di dispersione, mentre 3ω0ω1

2c2k0χ(3) e detto

autoaccoppiamento. Di questo ultimo fattore e importante il segno poiche daquesto e possibile desumere la stabilita o l’instabilita del sistema considerato(-1,+1, rispettivamente). E proprio il competere, sotto opportune condizioni,dei due termini, l’uno tendente a disperdere l’onda, l’altro a focalizzarla, aprovocare il fenomeno di propagazione di onde non lineari senza dispersione.


Possiamo infine “fare della cosmesi” alla NLS ridefinendo le variabili checompaiono nella (7.37) :

τ = ω2t2

E(1)(0) = 2c

√∣∣∣ ω2k0

3ω0ω1χ(3)

∣∣∣φ(ξ, τ)

η = sign( ω2k0

3ω0ω1χ(3) )

ottenendoNLS iφτ + φξξ + 2η|φ|2φ = 0 (7.38)

L’equazione NLS e un’equazione speciale, un’equazione modello, integrabilecol Metodo della Trasformata Spettrale.

E interessante notare come a partire da equazioni integrali come quelle diMaxwell, siamo giunti ad equazioni di evoluzione differenziali quali la NLS equella iperbolica lineare.

Questo e dovuto all’applicazione del metodo multiscala che ha permessodi sviluppare l’operatore integrale di convoluzione in una somma di potenzedi ε di operatori differenziali (7.15).

7.2 L’equazione VNLS

7.2.1 Caso di un’onda risonante

Ripartiamo direttamente dalle equazioni di Maxwell per la singola armonicain cui espandiamo l’operatore derivata seconda rispetto al tempo ed il terminecubico (tramite il prodotto di convoluzione di tre serie di Laurent):

L(α) E(α) = −χ(3) (−iαω + ε∂t1 + ε2∂t2 + . . .)2

+∞∑

β1,β2=−∞E(β1) E(β2) E(α−β1−β2)

(7.39)Consideriamo ora il caso risonante in cui α = 1, 3 2. Ancora una vol-

ta, come nel paragrafo precedente, per la proprieta di parita le armonichecorrispondenti ad α = 2n esistono solo se compaiono gia nei dati iniziali.

Dunque, poniamo come condizioni di risonanza

L(1)0 = L

(3)0 = 0 ,

2Ovviamente, sono cosı compresi anche i casi delle armoniche negative, con α = −1,−3.La trattazione ed i risultati sono analoghi.

7.2 L’equazione VNLS 87

delle quali la seconda corrisponde all’affermare

3 ω(k) = ω(3k) .

Andiamo ora ad analizzare i diversi ordini perturbativi. Ricordiamo le espan-sioni del campo elettrico E e dell’operatore L:

L(α) = L(α)0 + ε L

(α)1 + ε2 L

(α)2 + . . .

E(α) = εE(α)(1) + ε2 E

(α)(2) + E

(α)(3) + . . .

Ordine ε2 Otteniamo dalla (7.39), per questo ordine e nelle due armoniche,le due seguenti equazioni:

α = 1 −→ L(1)1 E

(1)(1) = 0

α = 3 −→ L(3)1 E

(3)(1) = 0

Notiamo che

L(1)1 ∝ ∂t1 + v1 ∂ξ, con v1 = dω(k)

dk

L(3)1 ∝ ∂t1 + v3 ∂ξ, con v3 = dω(3k)

dk

Ordine ε3 Qui otteniamo

α = 1 → L(1)1 E

(1)(2) + L

(1)2 E

(1)(1) = −ω2χ(3)

+∞∑

β1,β2=−∞E

(β1)(1) E

(β2)(1) E

(1−β1−β2)(1) =

= −ω2χ(3)

[3(E

(1)(1)

)2

E(−1)(1) +

(E

(−1)(1)

)2

E(3)(1) + 2 E

(3)(1) E

(−3)(1) E

(1)(1)

](7.40)

α = 3 → L(3)1 E

(3)(2) + L

(3)2 E

(3)(1) = −9 ω2χ(3)

+∞∑

β1,β2=−∞E

(β1)(1) E

(β2)(1) E

(3−β1−β2)(1) =

= −9 ω2χ(3)

[(E

(1)(1)

)3

+ 2 E(1)(1) E

(−1)(1) E

(3)(1) + 3

(E

(3)(1)

)2

E(−3)(1)

]

Possiamo pensare la (7.40) come un’equazione nell’incognita E(1)(2) . I ter-

mini secolari da eliminare sono rappresentati da L(1)2 E

(1)(1) e 3

(E

(1)(1)

)2

E(−1)(1)

per i quali e soddisfatta la (7.29), la soluzione della quale si puo scrivere cosı

E(1)(1) = f(ξ − v1 t1, t2, t3, . . .) .


Contrariamente, il termine(E

(1)(−1)

)2

E(3)(1) non e secolare e soddisfa l’equazione

iperbolica lineare definita dall’operatore L(1)2 , la cui soluzione e scrivibile

sempre come

E(3)(1) = g(ξ − v3 t1, t2, t3, . . .) .

Cosı se v1 6= v3, data la realta di E,

E(α) = E(−α)∗ ,

e tenendo conto delle condizioni di risonanza, si ricava

L(1)2 E

(1)(1) = − 3 ω2χ(3)

∣∣∣E(1)(1)

∣∣∣2

E(1)(1) . (7.41)

L(1)1 E

(1)(2) = −ω2χ(3)

[(E

(−1)(1)

)2

E(3)(1) + 2

∣∣∣E(3)(1)

∣∣∣2

E(1)(1)

](7.42)

Le due precedenti si presentano come un sistema di due equazioni nelledue incognite E

(1)(1) ed E

(1)(2) che possiamo pensare di risolvere per sostituzione

sevendoci anche dell’espressione di E(3)(1) .

Ripercorrendo gli stessi ragionamenti per α = 3 otteniamo il sistema

L(3)2 E

(3)(1) = − 27 ω2χ(3)

∣∣∣E(3)(1)

∣∣∣2

E(3)(1) ,

L(3)1 E

(3)(2) = − 9 ω2χ(3)

[(E

(1)(1)

)3

+ 2∣∣∣E(1)

(1)

∣∣∣2

E(3)(1)

].

risolubile per sostituzione.E importante notare che se le due armoniche hanno velocita di gruppo di-

verse, non si verificano particolari interazioni ed il fenomeno sostanzialmentee descritto da due NLS.

Il caso interessante e dunque quello per cui accade che le armoniche viag-gino con la stesse velocita di gruppo, cosı che la risonanza porti ad effetti discambio di energia. Imponiamo, allora come ulteriore condizione, che

v1 = v3 .3

Questo implica immediatamente che

L(1)1 ∝ L

(3)1

3Questa condizione puo essere interpretata come una richiesta di risonanza ancora piuforte con lo scopo di ottenere modelli di propagazione a piu onde.

7.2 L’equazione VNLS 89

e dato che ora E(3)(1) soddisfa alla stessa equazione di E

(1)(1) e necessario ridefinire

opportunamente le secolarita. All’ordine ε3, abbiamo cosı le seguenti equazioni:

L(1)1 E

(1)(2) = 0 ,

L(1)2 E

(1)(1) = −ω2χ(3)

[3(E

(1)(1)

)2

E(−1)(1) +

(E

(−1)(1)

)2

E(3)(1) + 2 E

(3)(1) E

(−3)(1) E

(1)(1)

].

Il sistema finale che si ottiene e

VNLS

(i ∂t2 + γ1 ∂2ξ ) E

(1)(1) = η1

[(3

∣∣∣E(1)(1)

∣∣∣2

+ 2∣∣∣E(3)

(1)

∣∣∣2)

E(1)(1) +

(E

(1)(1)

∗)2

E(3)(1)

]

(i ∂t2 + γ2 ∂2ξ ) E

(3)(1) = η2

[(3

∣∣∣E(3)(1)

∣∣∣2

+ 2∣∣∣E(1)

(1)

∣∣∣2)

E(3)(1) +

(E

(1)(1)

∗)2

E(1)(1)

]

noto come Equazioni di Schrodinger Vettoriali (Vectorial Non Linear Schro-dinger, VNLS). In generale, questo sistema non ha infinite leggi di con-servazione, come invece accade per la NLS, data la sua nota integrabilita.Tuttavia per una scelta opportuna dei parametri di accoppiamento il sistemapuo arrivare a soddisfare tale requisito. In questo modo, pero, e evidente chel’universalita e l’applicabilita alla Fisica, caratteristiche delle NLS, vengonomeno.

7.2.2 Caso di due onde non risonanti

Consideriamo due onde non risonanti

E(x, t) = A(1)(ξ, tn) ei(k1x−ω1t) + A(2)(ξ, tn) ei(k2x−ω2t)

ω1 = ω(k1) , ω2 = ω(k2) .

In modo piu generale,

E(x, t) =∑α1,α2

E(α1,α2)(ξ, tn) eiα1(k1x−ω1t) eiα2(k2x−ω2t)

Come al solito sara la non linearita a generare le armoniche superiori. Scri-viamo allora l’equazione di Maxwell direttamente per le componenti di E:

L(α1,α2)E(α1,α2) = −χ(3)(−iα1ω1 − iα2ω2 + ε∂t1 + ε∂t1 + . . .) ××

∑

β1,β2,γ1,γ2

E(β1,β2) E(γ1,γ2) E(α1−β1−γ1,α2−β2−γ2)


Studiamo i casi con

L(1,0)0 = 0 = L

(0,1)0

in cui le due onde si propagano singolarmente nel mezzo e da cui discendeche

E(1,0)(1) 6= 0 6= E

(0,1)(1) ,

mentre per tutte le altre si ha

E(α1,α2)(1) = 0, se α1, α2 ≥ 2 .

Come nel paragrafo precedente, il caso interessante lo si ha quando le velocitadi gruppo sono uguali,

v1 = v2 ,

il che determina l’accoppiamento delle onde. Quest’ultima equazione rapp-resenta anche la Condizione Necessaria e Sufficiente affinche si possa ricavarela VNLS:

VNLS

i E(1,0)(1) t2

+ γ1 E(1,0)(1) ξξ

=

(α1

∣∣∣E(1,0)(1)

∣∣∣2

+ α2

∣∣∣E(0,1)(1)

∣∣∣2)

E(1,0)(1)

i E(0,1)(1) t2

+ γ2 E(0,1)(1) ξξ

=

(β1

∣∣∣E(1,0)(1)

∣∣∣2

+ β2

∣∣∣E(0,1)(1)

∣∣∣2)

E(0,1)(1)

.

7.3 Generazione della 2a armonica : 2HG

Vogliamo ora concentrarci sull’effetto provocato dalla presenza della secondaarmonica. In precedenza, la seconda armonica non compariva poiche ave-vamo ipotizzato che il dielettrico fosse isotropo e, dunque, per ragioni disimmetria, questa doveva essere necessariamente nulla.

Ipotizziamo, invece, di avere un mezzo dielettrico anisotropo caratteriz-zato da un coefficiente di suscettibilita non lineare quadratico. Riprendiamoallora l’equazione di Maxwell (7.8):

Ett − c2 Exx + χ(1) ∗ Ett = −χ(2)(E2

)tt

.

Ipotizziamo la risonanza per le sole prima e seconda armonica:

L(1)0 = 0 = L

(2)0 ,

ovvero

ω(2k) = 2ω(k)

7.4 Caso di due onde risonanti: 3WRI 91

per un opportuno valore di k. Ricordiamo che vale anche

L(0)0 = 0

che si configura come una terza onda risonante. Vediamo qual e il compor-tamento ad ordine ε2.

α = 1 −→ L(1)1 E

(1)(1) = ω2 χ(2)

+∞∑

β=−∞E

(β)(1) E

(1−β)(1)

= 2 ω2 χ(2)E(2)(1)E

(−1)(1)

α = 2 −→ L(2)1 E

(2)(1) = 4 ω2 χ(2)

+∞∑

β=−∞E

(β)(1) E

(1−β)(1)

= 4 ω2 χ(2)(E

(1)(1)

)2

La struttura delle equazioni e 1

2HG

E(1)(1) t1

+ v1 E(1)(1) ξ

= γ1 E(2)(1) E

(1)(1)

∗

E(2)(1) t1

+ v2 E(2)(1) ξ

= γ2

(E

(1)(1)

)2

Queste equazioni sono note con il nome di 2HG (2nd Harmic Generation),fenomeno tipico in Ottica non lineare che consiste per l’appunto nella gene-razione dell’armonica α = 2 dato un termine quadratico di sorgente espresso

tramite la prima armonica α = 1, cioe(E

(1)(1)

)2

.

7.4 Caso di due onde risonanti: 3WRI

Questo fenomeno di risonanza si puo avere in cristalli anisotropi con uncoefficiente χ non lineare quadratico.

Riprendiamo allora le equazioni di Maxwell nel caso di dielettrico concoefficiente quadratico.

LE =[∂tt

(1 + χ(1)∗)− c2∂2

x

]E = χ(2)

(E2

)tt

(7.43)

1Si osserva che la struttura puo essere ricondotta alla classe delle equazioni iperboliche,dato che compaiono solo derivate prime nel tempo e nello spazio ed una funzione genericaφ; si veda la (1.1).


Siamo interessati al caso di due onde risonanti. Consideriamo la seguenteespressione per E nella forma piu generale dello sviluppo delle armoniche:

E(x, t) = ε

+∞∑α1,α2=−∞

E(α1,α2) ei[α1(k1x−ω1t)+α2(k2x−ω2t)] . (7.44)

Ricordiamo la condizione di realta cui devono soddisfare le componenti di E

E(α1,α2) = E(−α1,−α2)∗ .

ed il fatto che dipendano dalle sole variabili lente:

E(α1,α2) = E(α1,α2)(ξ, t1, t2, . . .)

Inoltre nel limite lineare la soluzione dell’equazione (7.43) si riduce allasovrapposizione di due armoniche (ipotesi di quasi-monocromaticita):

ei(k1x−ω1t) ed ei(k2x−ω2t) .

Espandiamo nelle armoniche α e guardiamo all’espressione dell’equazioneprecedente per le componenti del campo E 1:

L(α1,α2) E(α1,α2)(ξ, t1, . . .) = χ2(−i(α1 + α2) ω + ε∂t1 + ε2∂t2 + . . .

)2 ××

∑

β1,β2

E(β1,β2)E(α1−β1,α2−β2) (7.45)

dove

L(α1,α2) = L(α1,α2)0 + ε L

(α1,α2)1 + ε2 L

(α1,α2)2 + . . .

Quindi ai vari ordini, avremo

L(α1,α2)0 = −(α1ω1 + α2ω2)

2 [1 + χ(1)(α1ω1 + α2ω2)

]+ c2(α1k1 + α2k2)

2

L(α1,α2)1 = −2i(α1ω1 + α2ω2)

[1 + χ(1)(α1ω1 + α2ω2)

]∂t1 +

− i(α1ω1 + α2ω2)2χ(1)

ω (α1ω1 + α2ω2)∂t1 − 2i(α1k1 + α2k2)c2∂ξ

. . . (7.46)

Poniamo le condizioni di risonanza

L(±1,0)0 = L

(0,±1)0 = L

(±1,±1)0 = L

(±0,0)0 = 0 .

1Ai fini della nostra trattazione ci limiteremo a considerare la sola dipendenza di E(α)

da t1, sebbene quest’ultima sia funzione anche degli altri tempi lunghi.


e quelle di non risonanzaL

(α1,α2)0 6= 0

per tutti i casi diversi dai precedenti (cioe per (α1, α2) 6= (0, 0), (±1, 0), (0,±1),(±1,±1)).

Considerando la componente di armoniche (α1 = ±1, 0) possiamo ricavarela relazione di dispersione in forma implicita:

L(α1,0)0 = 0 = (−iαω1)

2 (1 + χ(1)(ω1)

)− c2 (iα1k1)2 ⇒

⇒ ω2 =c2k2

1 + χ(1)(ω)

Contrariamente al caso della derivazione della VNLS in cui e necessario porreche le onde si propaghino con la stessa velocita di gruppo (altrimenti non siverifica alcuna interazione), poniamo che le onde abbiano v1 6= v2, dunquerisultino del tutto disaccoppiate.

Le armoniche non schiave sono

E(1,0) , E(0,1) , E(1,1) , E(0,0)

ed, ovviamente, quelle con −α dalla richiesta di realta del campo.Notiamo che al primo ordine in ε si ricava che la E(0,0) e del tutto dis-

accoppiata dalle altre armoniche non schiave, rispondendo ad un’equazionebanale di propagazione.

Le cose interessanti si osservano direttamente al secondo ordine. Andiamoa studiare gli altri tre termini E(1,0), E(0,1), E(1,1) nel caso di risonanza.Poniamo che

k = α1 k1 + α2 k2 , ω = α1 ω1 + α2 ω2

in modo che attraverso questa combinazione lineare si possano esprimeretutte le armoniche. Facciamo l’ipotesi che nel reticolo definito attraversoquesta combinazione lineare di ω1 ed ω2, esista un’armonica identificabilecon un punto in cui k ed ω(k) soddisfino alla condizione di risonanza

ω(α1 k1 + α2 k2) = α1 ω(k1) + α2 ω(k2) .

Questa richiesta e molto speciale e negli esperimenti e di difficile riproduzione.Esistono comunque dei materiali caratterizzati da due indici α1 ed α2 per iquali questo fenomeno e osservabile. Il caso che vogliamo trattare e quelloper α1 = 1 = α2 da cui ω(k1) + ω(k2) = ω(k1 + k2). Notiamo che se k1 = k2,si riottiene il caso della 2HG da un formalismo completamente diverso.

Considerando dunque il secondo ordine, possiamo derivare le seguentiequazioni per le tre componenti del campo elettrico E(1,0), E(0,1) ed E(1,1)

ripartendo dalla (7.45).


Cominciamo dalla prima:

L(1,0)1 E

(1,0)(1) = −χ(2)ω2

1

∑

β1,β2

E(β1,β2)(1) E

(1−β1,1−β2)(1) =

= −χ(2)ω21

[E

(1,0)(1) E

(0,0)(1) + E

(0,1)(1) E

(1,−1)(1) + 2E

(1,1)(1) E

(0,−1)(1)

]

Di questi tre termini (prodotti di due componenti di E), l’unico non nullo

e l’ultimo, 2E(1,1)(1) E

(0,−1)(1) (il fattore 2 deriva dai due casi di coppie (1, 1) e

(0,−1)); il primo si annulla perche vale

L(0,0)1 E

(0,0)(1) = 0 .

Essendo infatti la velocita di gruppo nulla per k = 0, quanto otteniamo eche l’operatore L

(0,0)1 viene a coincidere con l’operatore di derivata rispetto al

tempo lungo t1. Ora, dato che non vogliamo la dipendenza da t1, richiediamoche ad essere nullo sia E

(0,0)(1) .

Il secondo si annulla poiche non soddisfa alla condizione di risonanzak1 + k2, ma contribuisce attraverso k1 − k2. Dunque, per il termine E

(1,0)(1) si

haL

(1,0)1 E

(1,0)(1) = −2ω1

2χ(2) E(1,1)(1) E

(0,−1)(1) .

Per le restanti due componenti, operando analoghe considerazione sulla cor-rispondenza delle armoniche e degli ordini di ε, si ricava

L(0,1)1 E

(0,1)(1) = −2ω2

2χ(2) E(1,1)(1) E

(−1,0)(1) ,

L(1,1)1 E

(1,1)(1) = −ω3

2χ(2)∑

β1,β2

E(β1,β2)(1) E

(1−β1,1−β2)(1)

= −2ω32χ(2) E

(1,0)(1) E

(0,1)(1) .

Possiamo allora esplicitare la forma dell’operatore L nelle tre diversecomponenti (tenendo conto del prodotto di convoluzione come nelle (7.15)):

L(1,0)1 = −i

[2 ω1 + 2 ω1 χ(1)(ω1) + ω2

1 χ(1)ω (ω1)

](∂t1 + v1∂ξ)

L(0,1)1 = −i

[2 ω2 + 2 ω2 χ(1)(ω2) + ω2

2 χ(1)ω (ω2)

](∂t1 + v2∂ξ)

L(1,1)1 = −i

[2 ω3 + 2 ω3 χ(1)(ω3) + ω2

3 χ(1)ω (ω2)

](∂t1 + v3∂ξ)

dove

vj =dω(kj)

dk, j = 1, 2, 3


e la velocita di gruppo corrispondente al vettore d’onda kj.Poniamo allora

1

2

d2ω(k)

dk2≡ a(k) , a(k) =

c2

2ω + 2ωχ(1)(ω) + ω2χ(1)ω (ω)

e

cj ≡ 2ω2

j

c2χ(2) a(kj) , E

(1,0)(0) ≡ E1, E

(0,1)(0) ≡ E2, E

(1,1)(0) ≡ E3 .

Ricordiamo che le E sono funzioni complesse di due variabili reali.Possiamo scrivere dunque un sistema di tre onde risonanti interagenti (3

Waves Resonant Interaction, 3WRI) che ha origine da due onde risonanti:

3WRI

(∂t1 + v1 ∂ξ) E1 = i c1 E3E∗2

(∂t1 + v2 ∂ξ) E2 = i c2 E3E∗1

(∂t1 + v3 ∂ξ) E3 = i c3 E1E2

(7.47)

Osserviamo che non esistono accoppiamenti dei campi con se stessi, cioetermini quadratici di una stessa componente e che la non linearita e datadal prodotto di due ampiezze 1; contrariamente, nella NLS ricordiamo chetali autoaccoppiamenti si verificano e le non linearita discendono da terminicubici.

La linearizzazione del sistema 3WRI ci porta alla triviale situazione ditre onde che si propagano senza interagire tra loro.

Notiamo inoltre che possiamo riottenere dalle 3WRI le 2HG, quando k1 =k2 e quindi k3 = 2k1. k1 e tale che

ω(2k1) = 2ω(k1) , (ω3 = 2ω1) .

L’equazione con E1 = E2, v1 = v2 e c1 = c2, diventa

(∂t1 + v1∂ξ) E1 = i c1E∗2 E3

(∂t1 + v3∂ξ) E3 = i c3E21

.

In generale, il sistema (7.47) non e integrabile, pero sotto opportune con-dizioni puo diventarlo. Tali condizioni riguardano i coefficienti complessicj:

cj = sj |cj| eiφ , sj2 = 1

1Possiamo pensare di sfruttare tale fenomeno nel caso in cui volessimo generare dellesomme di armoniche o degli amplificatori.


dove sj e il segno di c, eiφ e la fase indipendente da j, quindi la stessa pertutti e tre i coefficienti 2. Una determinata scelta dei coefficienti puo portaread osservare due comportamenti diversi, l’uno esplosivo l’altro, piu comune,non esplosivo. Per completezza, facciamo notare che per la seguente sceltadei segni dei coefficienti cj, si osserva il comportamento non esplosivo:

(s1, s2, s3) = (1,−1, 1) .

2Anche per la NLS abbiamo delle condizioni di integrabilita: i coefficienti c checompaiono nell’equazione

iEt2 + c(Eξξ + s |E|2E

)= 0 ,

devono essere reali: c ∈ R .

Capitolo 8

Dielettrico quantistico

Nel caso di un’onda elettromagnetica che si propaga lungo l’asse x le equa-zioni di Maxwell si possono semplificare nel modello in 1+1 dimensioni,ottenendo

Ett − c2Exx = − 1

ε0

Ptt , (8.1)

dove E(x, t) e una componente del campo elettrico trasversale e P (x, t) e ilcampo di polarizzazione indotto nel mezzo da questa onda.

Per legare la polarizzazione P al campo E occorre introdurre un modellomeccanico del dielettrico e della sua interazione con il campo elettrico.

A questo scopo facciamo l’ipotesi che il mezzo sia costituito da un uninsieme di densita costante di atomi (o ioni) disaccoppiati tra loro e che ladinamica di questi atomi segua le regole della meccanica quantistica 1.

La situazione in cui l’atomo non interagisce col campo elettromagneticoe descritta ovviamente da una hamiltoniana del sistema coincidente con lasola hamiltoniana dell’atomo dipendente dalle posizioni xj ed impulsi pj diogni j-esima particella:

H = Hat(xj,pj) .

Se introduciamo l’interazione dell’atomo col campo, dobbiamo tener con-to dei potenziali vettoriale A e scalare V attraverso i quali esprimiamo ilmanifestarsi del campo stesso. Dunque

H = Hat (xj,pj + qjAj(xj, t)) +∑

j

qj V (xj, t) .

Possiamo trascurare l’interazione dell’atomo col campo magnetico corrispon-dente al termine in A (poiche molto piccola) e concentrarci sul contributodato dall’interazione col campo elettrico in V .

1Sebbene il dielettrico e inteso quantizzato, cio non e assunto anche per il campoelettromagnetico. Ci limitiamo, per semplicita, ad una descrizione classica del campo.

98 Dielettrico quantistico

Un’ulteriore semplificazione si ottiene supponendo che solo lo stato fonda-mentale ed un livello eccitato del singolo atomo prendano parte all’interazionecon il campo elettromagnetico (atomo a due livelli) 2.

Sia quindi

H = Hat + V

l’operatore hamiltoniano totale del sistema “atomo-campo elettrico”, dove Ve il potenziale elettrico dell’onda. Prendendo dell’espansione in multipoli delpotenziale solo il termine di dipolo, si ottiene

V = −p · E(x, t)

dove p e l’operatore momento di dipolo dell’atomo e, quindi, proiettandolungo la direzione parallela a quella di E, si ottiene in forma operatoriale

H = Hat − pE . (8.2)

Nell’approssimazione di atomo a due livelli il vettore di stato |ψ〉 dell’ato-mo e una combinazione lineare dei due autostati normalizzati dell’operatorehamiltoniano Hat dell’atomo, lo stato fondamentale |0〉 e lo stato eccitato|1〉, ovvero

|ψ〉 = u(0) |0〉+ u(1) |1〉 , Hat |j〉 = ~ωj |j〉 , 〈j|m〉 = δjm, j,m = 0, 1 .

Queste formule si riferiscono al singolo atomo che si trova in x al tempo t equindi i coefficienti u(j) della combinazione lineare sono funzioni della coor-dinata spaziale e del tempo: u(j) = u(j)(x, t). Inoltre l’evoluzione temporaledi questi coefficienti e data dall’equazione di Schrodinger

i~d

dt|ψ〉 = H |ψ〉

che riscriviamo per i due coefficienti u(0) ed u(1), proiettando sui bra 〈0| e 〈1|:

iu(0)t = ω0u

(0) − βEu(1)

iu(1)t = ω1u

(1) − βEu(0)

(8.3)

2Si potrebbe pensare che in base a tale semplificazione il modello considerato e insod-disfacente, poiche sappiamo che per E > 0 lo spettro e continuo, mentre per E < 0 equantizzato. Ricordiamo pero che siamo interessati ad osservare processi ai quali e asso-ciato un valore di probabilita di occorrenza elevato; i rimanenti processi non partecipanoinvece cosı attivamente alla dinamica del sistema.

99

Queste equazioni si ottengono con l’ipotesi che gli autostati |j〉 dell’atomo

sono anche autostati dell’operatore di parita ([H, P ] = 0) con l’implicazioneche

〈0|p|0〉 = 〈1|p|1〉 = 0 ,

mentre la costante β e definita dalla relazione ~β = 〈0|p|1〉 = 〈1|p|0〉.Notiamo subito nella (8.3) che il termine di dipolo accoppia u(0) ed u(1).

E conveniente ora introdurre le variabili

ψ(j)(x, t).= exp

[i

2(ω0 + ω1)t

]u(j)(x, t) , per j = 1, 2 .

per arrivare al sistema di equazioni

ψ(0)t = i

2Ω ψ(0) + iβE ψ(1)

ψ(1)t = − i

2Ω ψ(1) + iβE ψ(0)

(8.4)

dove ~Ω = ~ (ω1 − ω0) e la differenza di energia tra i due livelli atomici.Questo passaggio ci permette di eliminare la dipendenza banale dal tempointrodotta dalle costanti ω0 ed ω1: in sostanza annulliamo la traccia dellamatrice associata al sistema (8.3).

Per legare queste equazioni all’equazione di Maxwell (7.1) e necessarioora esprimere il campo di polarizzazione P (x, t) in funzione delle variabiliψ(j)(x, t). Per semplicita trascuriamo la media statistica che lega proprie-ta su scala atomica al campo macroscopico P (x, t), il fatto che gli atomiinteragenti con l’onda E del campo elettrico possano emettere o assorbirefotoni, l’allargamento dello spettro di energie degli atomi del mezzo dovutoall’effetto Doppler causato dal moto termico dei singoli atomi 1.

In questa approssimazione,

P (x, t) = ρ φ(x, t) , (8.5)

dove ρ e la densita costante di atomi e φ(x, t) = 〈ψ|p|ψ〉 e il valor medio delmomento di dipolo dell’atomo che si trova in x al tempo t (infatti il valormedio dell’energia d’interazione e 〈ψ|V |ψ〉 = −Eφ). Quindi si ha

P = ρ 〈ψ|p|ψ〉 = ~βρ(ψ(0)∗ψ(1) + ψ(1)∗ψ(0)

). (8.6)

1Cio che vogliamo affermare e che la polarizzazione che compare nelle (7.1) e sostanzial-mente diversa dalla polarizzazione a rhs della (8.5): fra le due esiste un vero e propriomapping basato sulle frequenze dell’onda in cui e necessario considerare il picco corrispon-dente all’armonica fondamentale ed in aggiunta a questo una distribuzione (ad esempiogaussiana) delle armoniche successive. Noi non calcoleremo queste medie, supponiamo giamediata la grandezza P .


Notiamo che in queste espressioni lo stato |ψ〉 e normalizzato, cioe 〈ψ|ψ〉 =∣∣ψ(0)∣∣2 +

∣∣ψ(1)∣∣2 = 1. Infine notiamo anche che, utilizzando le equazioni (8.4),

si ottiene

Ptt = −~βρΩ[Ω

(ψ(0)∗ψ(1) + ψ(1)∗ψ(0)

)+ 2βE

(∣∣ψ(1)∣∣2 −

∣∣ψ(0)∣∣2

)]

Riconosciamo nella derivata temporale seconda di P due contributi: il primoriconducibile a quello di un oscillatore armonico, il secondo relativo alla den-sita di popolazione di atomi nello stato fondamentale od in quello eccitato(miscela di due tipi di atomi).

Dunque, questo modello di interazione di un’onda elettromagnetica conun mezzo fatto di atomi a due livelli e descritto dalle equazioni di Maxwell-Bloch (semplificate)

MB

Ett − c2Exx = 1ε0~βρ Ω

[Ω

(ψ(0)∗ψ(1) + ψ(1)∗ψ(0)

)+ 2βE

(|ψ(1)|2 − |ψ(0)|2)]

ψ(0)t = i

2Ω ψ(0) + iβE ψ(1)

ψ(1)t = − i

2Ωψ(1) + iβE ψ(0)

(8.7)In questo sistema, il campo elettrico nella direzione trasversale E(x, t) e

una funzione reale, mentre i coefficienti ψ(0)(x, t) e ψ(1)(x, t) del vettore distato dell’atomo sono funzioni complesse, per cui questo sistema e di cinqueequazioni reali. In alcuni contesti risulta piu conveniente riscrivere questosistema per quattro funzioni reali introducendo le nuove variabili dipendentireali R(x, t), Q(x, t) ed N(x, t) secondo la definizione seguente:

R = ψ(0)∗ψ(1) + ψ(1)∗ψ(0) ,

Q = iψ(0)∗ψ(1) − iψ(1)∗ψ(0) ,

N =∣∣ψ(1)

∣∣2 −∣∣ψ(0)

∣∣2 .

(8.8)

Per queste nuove funzioni il sistema di Maxwell-Bloch diventa

Ett − c2Exx = 1ε0~βρ Ω Qt

Rt = −Ω Q

Qt = Ω R + 2βE N

Nt = −2βE Q

(8.9)

101

La (8.9) e dunque un sistema di 4 equazioni reali in quattro incognite,dove le linearita sono quadratiche nel peggiore dei casi, diversamente dal(8.7) in cui compaiono termini non lineari cubici.

Vediamo ora come queste equazioni si possono ulteriormente semplifi-care per arrivare a due modelli di propagazione che sono serviti di base perspiegare alcuni fenomeni non lineari tra cui quello della trasparenza auto-indotta (Self-Induced Transparency, SIT) dovuta alla risonanza tra l’ondaelettromagnetica e la transizione atomica.

Approssimazione sull’operatore. Cominciamo con l’ipotesi che il campoelettrico si propaghi lungo una sola direzione, per esempio quella positiva.Poiche l’operatore di D’Alembert

∂2t − c2∂2

x = (∂t + c∂x)(∂t − c∂x)

descrive la propagazione nelle due direzioni, si puo tenere l’operatore dipropagazione lungo la direzione positiva ∂t+c∂x, (c > 0) e fare la sostituzione∂t − c∂x ' 2∂t, ovvero

(∂2t − c2∂2

x)E ' 2(∂t + c∂x)Et .

Se si fa ora questa sostituzione nella prima equazione del sistema (8.9)e si integra una volta nella variabile t, si ottiene il piu semplice modello dipropagazione di un’onda elettromagnetica in un mezzo di atomi a due livelliche e il sistema delle quattro equazioni nonlineari reali del primo ordine

RMB

Et + cEx = 12ε0~βρ Ω Q

Rt = −Ω Q

Qt = Ω R + 2βE N

Nt = −2βE Q

(8.10)

noto come equazioni Ridotte di Maxwell-Bloch. Queste equazioni, oltre adavere interesse applicativo, hanno la proprieta matematica di essere integra-bili e di essere quindi trattabili con i metodi della teoria dei solitoni.

Multiscala. Un secondo modello, anch’esso integrabile e di notevole inte-resse applicativo, si ottiene con il metodo multiscala dall’equazioni di parten-za (8.7) nell’ipotesi che il campo elettrico sia descritto da un’onda quasi-monocromatica con frequenza ω e con ampiezza piccola (di ordine ε, essendoε il parametro perturbativo, vedi le lezioni sul metodo multiscala), e nellacondizione di risonanza ω = Ω. L’ingrediente fondamentale della derivazione


del modello e l’ipotesi che gli atomi risonanti del mezzo siano solo una pic-cola frazione di tutti gli atomi e che gli altri atomi, cioe la maggior parte,non siano risonanti. Questo e il caso, ad esempio, del rubino in cui gli ioniCromo Cr+3 risonanti (cioe la loro frequenza di eccitazione coincide con lafrequenza del campo elettrico) sono sparsi in un cristallo di molecole di ossidodi Alluminio Al2O3 non risonanti che costituisce il dielettrico di fondo.

Per descrivere questa situazione, nelle equazioni di Maxwell-Bloch sem-plificate (8.7), la velocita di fase c va sostituita con la velocita di fase

v = c/n(ω)

nel dielettrico di fondo con costante dielettrica n = n(ω) , mentre la costante1ε0~βρ ¿ 1 e molto piccola, 1

ε0~βρ = ε2γ , e determina la scala di “piccolezza”

che compare nel metodo perturbativo multiscala. Scegliamo quindi che ilparametro ε sia adimensionale e che γ sia un parametro di ordine O(1).Poiche le equazioni che ci interessano si ottengono all’ordine O(ε2) e poiche ilcampo elettrico e di ordine O(ε) mentre le componenti ψ(0) e ψ(1) del vettoredi stato dell’atomo risonante sono di ordine O(1) (si ricordi infatti che vale

la condizione di normalizzazione∣∣ψ(0)

∣∣2 +∣∣ψ(1)

∣∣2 = 1), e sufficiente porre

E(x, t) = ε (A(ξ, τ) exp [i(kx− ωt)] + A∗(ξ, τ) exp [−i(kx− ωt)]) ,

ψ(0)(x, t) = A(0)(ξ, τ) exp(

i2Ωt

),

ψ(1)(x, t) = A(1)(ξ, τ) exp(

i2Ωt

)exp[i(kx− ωt)] ,

(8.11)

nelle equazioni (8.7) che, riscritte secondo le ipotesi sopra specificate, diven-tano

Ett − v2Exx = ε2γΩ[Ω

(ψ(0)∗ψ(1) + ψ(1)∗ψ(0)

)+ 2βE

(∣∣ψ(1)∣∣2 −

∣∣ψ(0)∣∣2

)]

ψ(0)t = i

2Ω ψ(0) + iβE ψ(1)

ψ(1)t = − i

2Ω ψ(1) + iβE ψ(0)

(8.12)Teniamo conto degli sviluppi per il campo elettrico E e per le due funzioni

complesse ψ(j), con j = 0, 1, sino al secondo ordine: altri termini esistono mai contributi di queste armoniche sono trascurabili.Ordine ε Espandiamo direttamente il d’alembertiano che agisce su E nella(8.12):

∂2t−v2 ∂2

x = (−iω + ε∂τ )2−v2 (ik + ε∂ξ)

2 = −ω2+v2 k2−2iε(ω∂τ+kv2 ∂ξ)+O(ε2) .

103

Consideriamo dunque le equazioni che ricaviamo per le tre funzioni.Per il campo elettrico E (che e gia all’ordine ε), si ricava, bilanciando i

termini in ε, la relazione di dispersione che lega ω a k:

−ω2 + v2 k2 = 0 −→ ω = v k

Per ψ(0), ricordando l’espansione dell’operatore ∂t

∂t = iΩ

2+ ε ∂τ ,

si ottiene l’identita iΩ/2 = iΩ/2 che non da alcuna informazione.Per ψ(1), invece si ricava la condizione di risonanza:

iΩ

2− iω = −i

Ω

2−→ Ω = ω .

Ordine ε2 All’ordine successivo, si ricavano le seguenti equazioni.Per E, si ha

−2iω(∂τ + v ∂ξ) A = γΩ2A(0)∗A(1) .

Per ψ(0), si ottieneA0

τ = iβA∗A(1) .

Per ψ(0), risultaA1

τ = iβAA(0) .

Queste ultime tre equazioni sono il sistema che cercavamo applicando ilmultiscala. Riscrivendo opportunamente la prima delle tre equazioni otte-niamo:

Aτ + v Aξ = i2γΩ A(0)∗A(1)

A(0)τ = iβ A∗A(1)

A(1)τ = iβ AA(0)

(8.13)

Se assumiamo ulteriormente che l’ampiezza A sia immaginaria e che A(0) eA(1) siano reali, queste tre equazioni diventano equivalenti alla sola equazionescalare reale. Vale allora che

A = i B , B = B∗ , A(0) = A(0)∗ , A(1) = A(1)∗ .

Cosı il sistema (8.13) diventa

Bτ + v Bξ = i2γΩ A(0)A(1)

A(0)τ = β BA(1)

A(1)τ = β BA(0)

(8.14)


Ora e evidente che le ultime due equazioni in A(0)τ ed A

(1)τ possono essere

interpretate come le equazioni dell’oscillatore armonico e tenendo conto anchedella condizione imposta dalla normalizzazione, scriviamo che

A(0) = sin(Φ/2) , A(1) = cos(Φ/2)

Dunque, si definisceφτ = 2β B

e risostituendo nella (8.14), si ricava un’unica equazione scalare (del secondoordine) nota col nome di equazione di Sine-Gordon:

φττ + v φτξ =γ

4Ω sin(φ)

Con una semplice trasformazione

X = v τ , T = τ − (2/v) ξ , F (X, T ) = Φ(ξ, τ) .

si riesce ad esprimere la derivata mista attraverso una derivata seconda nellospazio, ricavando la forma nota dell’equazione (iperbolica)

S-G FTT − v2 FXX + m2 sin(F ) = 0 . (8.15)

Questa e un’equazione integrabile che ha applicazioni anche in altri campicome la fisica dello stato solido e la geometria differenziale.

Capitolo 9

Derivazione dell’equazione diKorteweg-de Vries

L’equazione di Korteweg-de Vries (KdV) nel campo scalare u(x, t):

ut − a uxxx − b ux = c uux (9.1)

e un’equazione modello non lineare alle derivate parziali perche si ottiene conmetodi perturbativi da un gran numero di equazioni d’onda non lineari. Essapossiede le seguenti proprieta:

1. e reale;

2. e integrabile;

3. e debolmente non lineare, cioe i termini non lineari sono polinomi delcampo o delle sue deruvate: u, ux, uxx, . . .;

4. e debolmente dispersiva, cioe l’equazione linearizzata

ut − auxxx − bux = 0

possiede soluzioni in forma d’onda piana

Aei(kx−ωt) ,

con funzione di dispersione

ω = ω(k) = ω∗(k) = −ω(−k)

ad esempio polinomiale con potenze dispari. La particolare scelta:ω(0) = 0 restituisce una funzione costante che e soluzione;

106 Derivazione dell’equazione di Korteweg-de Vries

5. la funzione costante e soluzione dell’equazione non lineare di partenza(9.1). L’equazione linearizzata, se ω = ω(k) e la relazione di disper-sione, e della forma

ut = −iω(−i∂x) u .

Difatti ad esempio, la scelta di:

ω(k) = c1 k + c3 k3 (9.2)

restituisce l’equazione dispersiva lineare

ut = −c1 ux + c3 uxxx .

Una classe di equazioni d’onda non lineari che soddisfa le condizioni prece-denti si puo ottenere sostituendo ad ogni operatore ∂x l’operatore f(u) ∂x.Cosı, per esempio, l’equazione (9.2) diventa

ut = f0(u) ux + f1(u) [f2(u)[f3(u) ux]x]x ,

dove fi, con i = 1, 2, 3, sono funzioni analitiche di u.Ovviamente u(x, t) = u = cost. e soluzione della precedente.Questa equazione si riscrive convenientemente nella forma

ut = f0 ux + F1 uxxx + F2 uxuxx + F3 u3x ,

dove si e posto (con f ′ ≡ dfdu

)

F1 = f1f2f3 , F2 = f1 (f ′2f′3 + 3f2f

′3) , F3 = f1 (f2f

′′3 + f ′2f

′3) .

Se ε e un parametro (piccolo) e il campo e espresso in termini dellasoluzione costante u perturbata:

u = u + εv(x, t) ,

allora il rumore v(x, t) soddisfa l’equazione

vt = f0(u+εv) vx+F1(u+εv) vxxx+ε F2(u+εv) vxvxx+ε2 F3(u+εv) v3x , (9.3)

Si cerca una soluzione v(x, t) della (9.3) tale che:

1. sia una serie di potenze di ε

v = v(0) + ε v(1) + ε2 v(2) + . . . (9.4)

107

2. ogni coefficiente dell’espansione (9.4) sia una funzione delle variabiliriscalate

ξ =√

ε x , t1 =√

ε t , t2 = ε√

ε t , t3 = ε2√

ε t , . . . (9.5)

v(n) = v(n)(ξ, t1, t2, . . .)

Sviluppiamo in potenze di ε gli operatori differenziali:

∂x =√

ε t , ∂t =√

ε ∂t1 + ε√

ε ∂t2 + ε2√

ε ∂t3 + . . . (9.6)

ed andiamo a sostituire gli sviluppi (9.4), (9.5), (9.6) nella (9.3), ricavando

(∂t1 + ε∂t2 + ε2∂t3 + . . .

)(v(0) + ε v(1) + . . .) =

= [f0(u) + ε v(0)f ′0(u) + . . .] +

+ ε [F1(u) + ε v(0)F ′1(u) + . . .] (v(0)ξξξ + ε v(1)ξξξ + . . .) +

+ ε2 [F2(u) + ε v(0)F ′2(u) + . . .] (v(0)ξ + ε v(1)ξ + . . .) (v(0)ξξ + ε v(1)ξξ + . . .) +

+ ε3 [F3(u) + ε v(0)F ′3(u) + . . .]

(v(0)3

ξ + 3ε v(1)ξv(0)2ξ + . . .

)(9.7)

Per gli ordini ε0 ed ε1, avremo:

Ordine ε0 :v(0)t1 = f0(u) v(0)ξ (9.8)

Ordine ε1 :

v(1)t1 + v(0)t2 = f0(u) v(1)ξ + f ′0(u) v(0)v(0)ξ + F1(u) v(0)ξξξ (9.9)

Se riscriviamo le (9.8) e (9.9), posto

L1 ≡ ∂t1 − f0(u) ∂ξ ,

come

L1 v(0) = 0 , L1 v(1) = −v(0)t2 + F1(u) v(0)ξξξ + f ′0(u) v(0)v(0)ξ ,

allora la soluzione generale di questa seconda equazione

L1 v(1) = g1 , g1 = −v(0)t2 + F1(u) v(0)ξξξ + f ′0(u) v(0)v(0)ξ ,

e secolare. Possiamo difatti scrivere:

v(1)(ξ, t1, t2) = h (ξ + f0(u)t1, t2, t3, . . .) + t1 g1(ξ, t1, t2, . . .)

108 Derivazione dell’equazione di Korteweg-de Vries

essendo gia la forzante g1 soluzione dell’omogenea L1 g1 = 0. Per evitare lasecolarita, cioe la crescita lineare in t1 della soluzione, deve essere g1 = 0,cioe

v(0)t2 = F1(u) v(0)ξξξ + f ′0(u) v(0)v(0)ξ

che e l’equazione di KdV per v(0) (9.1) con

a = F1(u) , b = 0 , c = f ′0(u) .

L’equazione di Korteweg-da Vries e stata ricavata per la prima volta nel1895 da Korteweg e de Vries che studiarono la dinamica di onde lunghe inacqua poco profonda ignorando eventuali effetti d’attrito.

Tuttavia tale situazione era gia stata analizzata sperimentalmente da J.Scott Russel (1838) e teoricamente da Boussinesq (1877).

D’altra parte l’equazione “modello ”di Korteweg-de Vries compare anchin altri contesti della fisica: dalla fisica dei plasmi a quella dei solidi, q auelladei circuiti, fatto questo che, insieme alla sua proprieta fondamentale di in-tegrabilita, la rende una delle equazioni fondamentali della fisica matematicamoderna.

Parte II

Solitoni

Capitolo 10

Il Metodo della TrasformataSpettrale

10.1 Introduzione alla trasformata spettrale

Sappiamo che un modello matematico che vuole descrivere la propagazioneondosa si fonda su due costituenti fondamentali: (1°) un profilo iniziale bendeterminato dell’onda e (2°) una legge di evoluzione. In sostanza e cio chechiamiamo generalmente col nome di Problema di Cauchy.

Questi due ingredienti - attraverso i quali partiamo per trattare moltifenomeni fisici, sono intimamente connessi l’uno all’altro (almeno per quantoriguarda le equazioni d’onda che ci interessano). La ragione di tale connes-sione si fonda sul metodo di analisi di Fourier: in tale metodo, lo studio delmoto ondoso rispetto alle coordinate spaziali consiste nell’esprimere il profilodell’onda come una somma di esponenziali oscillanti che, piu precisamente,sono quelle funzioni moltiplicate per un fattore di fase dipendente dal tempoin modo tale da soddisfare le equazioni di evoluzione.

In questi casi, la proprieta di linearita dell’equazione di evoluzione giocaun ruolo fondamentale nell’estensione dell’applicabilita della trasformata diFourier alle onde lineari: infatti, l’analisi di Fourier non puo essere applicatanel caso nonlineare. Anche deboli nonlinearita possono dar vita ad effettisostanziali per tempi lunghi nel profilo dell’onda, dato che questi tendono adaccumularsi nell’intervallo di evoluzione.

Tuttavia esiste una trasformata - la trasformata spettrale, per l’appun-to - che si applica alle equazioni di evoluzione nonlineari in un modo che epiuttosto simile a quello della trasformata do Fourier. Una delle caratteris-tiche principali di questa trasformata e quella di dar luogo ad uno spettrodiscreto che va a sommarsi a quello ordinario continuo connesso al pac-

10.1 Introduzione alla trasformata spettrale 111

chetto d’onda, nel quale sono contenute, come casi speciali, le soluzionisolitoniche (come avremo modo di approfondire in seguito).

Il contesto matematico in cui sviluppiamo il metodo della trasformataspettrale e quello del “problema inverso”, ovvero la ricostruzione di una fun-zione u(x) a partire da un insieme di dati spettrali in aggiunta ad un operatore− d2

dx2 + u(x).L’importanza di tali argomenti e dovuta a molteplici studi: dagli esperi-

menti numerici affettuati da Fermi, Ulam e Pasta [32] (sull’equipartizionedell’energia in una catena di oscillatori debolmente anarmonici) cui seguonoquelli di Zabusky e Kruskal che derivano da tale sistema la KdV, a quellidi Gardner, Greene, Kruskal e Miura [18] i quali mostrano che i metodiappropriati per investigare le proprieta dei solitoni sono quelli spettrali giaintrodotti nel contesto del problema inverso. Inoltre, i lavori di Zakharov eShabat [33] hanno mostrato che usando una data trasformata spettrale anchela NLS puo essere risolta con tale metodo.

Vogliamo ora ricordare alcuni aspetti fondamentali della teoria delle tra-sformate spettrali. Se un’equazione d’evoluzione nonlineare (una PDE, unaODE o un’equazione integro-differenziale scalare o matriciale in n variabilispaziali ed una temporale, cioe dimensione (n + 1)) puo essere ridotta adun’equazione di evoluzione lineare attraverso il metodo della trasformata spet-trale, allora essa possiede molte proprieta importanti, come ad esempio in-finite leggi di conservazione, una struttura hamiltoniana, etc... e per talimotivi e detta integrabile. Con cio, notiamo che le equazioni di evoluzionenonlineari sono molto speciali e che una generica equazione di evoluzionenonlineare non puo essere a priori analizzata attraverso il metodo spettrale.In aggiunta, non e ancora noto un metodo generale che ci permetta di saperese un’equazione d’evoluzione nonlineare e integrabile o meno, d’altra parte,pero, si conosce una tecnica per generare equazioni di evoluzione nonlineariintegrabili attraverso il metodo della trasformata spettrale.

I due ingredienti base della trasformata spettrale sono (i) un’equazionedifferenziale lineare contenente parametri spettrali complessi ed (ii) il prob-lema di Riemann-Hilbert (RH) (si veda l’appendice (D)).

10.1.1 La trasformata inversa di Fourier come proble-ma RH

Al fine di mostrare la relazione tra i due argomenti ((i),(ii)) base dellatrasformata spettrale, discutiamo la formulazione della trasformata inversadi Fourier sotto forma di un problema RH.

Consideriamo una funzione u(x) reale (o complessa) che vogliamo analiz-

112 Il Metodo della Trasformata Spettrale

zare usando la trasformata e che verifica∫ +∞

−∞dx |u(x)| < ∞ .

Consideriamo un’equazione differenziale lineare appropriata nella qualeinseriamo la nostra funzione u(x):

ψx − ik ψ = u(x) , con ψ = ψ(x, k) . (10.1)

Questa e un’equazione differenziale non omogenenea del primo ordine conte-nente un parametro spettrale k. Dato che u(x) si annulla per |x| → ∞ ognisoluzione della (10.1), per |x| grande, e proporzionale all’esponenziale eikx equeste costanti di proporzionalita sono ad x = ±∞ i dati spettrali rilevanti.E allora conveniente introdurre le soluzioni “sinistra” e “destra” della (10.1)sotto le relative condizioni asintotiche:

ψL(x, k) → eikx , per x → −∞ , (10.2)

ψR(x, k) → eikx , per x → +∞ . (10.3)

Risolvendo esplicitamente la (10.1), si trovano le seguenti espressioni delleψL e ψR ove compare la u(x):

ψL(x, k) = eikx

[1 +

∫ x

−∞dy u(y)e−iky

], (10.4)

ψR(x, k) = eikx

[1−

∫ +∞

x

dy u(y)e−iky

], (10.5)

i comportamenti asintotici delle quali si esprimono cosı:

ψL(x, k) → eikx [1 + u(k)] , con x → +∞ , =(k) = 0 , (10.6)

ψR(x, k) → eikx [1− u(k)] , con x → −∞ , =(k) = 0 , (10.7)

dove abbiamo cosı definito la trasformata di Fourier della funzione u(x):

u(k) =

∫ +∞

−∞dx u(x) e−ikx , con =(k) = 0 .

Il problema diretto consiste nell’integrare la (10.1) su tutto l’asse xusando le condizioni (10.2) e (10.3) e nel ricavare dagli andamenti asintotici(10.6) e (10.7) la costante u(k) per ogni valore reale di k: cosı operiamo ilpassaggio u(x) → u(k).


La soluzione del problema inverso, cioe la ricostruzione della u(x) apartire dalla u(k) (u(k) → u(x)) puo essere ottenuta risolvendo il problemaRH (si rimanda all’appendice (D)). Al fine di formulare il problema RHassociato alla trasformata di Fourier, definiamo una funzione φ(x, k) dellavariabile complessa k tale che:

φ(x, k) = ψ(x, k)L − eikx , =(k) > 0 ,

φ(x, k) = ψ(x, k)R − eikx , =(k) > 0 .

In riferimento alle (10.4) e (10.5), osserviamo che la funzione ψ(x, k) e analit-ica in tutto il piano complesso k con la unica eccezione dell’asse x (=(k) = 0),sul quale la discontinuita e data dalla formula

φ(+)(x, k) = φ(−)(x, k) + u(k) eikx ,

in cuiφ(±)(x, k) = φ(x, k ± i0)

sono i valori al bordo dell’asse reale (dall’alto e dal basso).La funzione φ(x, k) e di grado −1 per k = ∞, dato che

limk→∞

[ik φ(x, k)] = −u(x) . (10.8)

Dunque, il problema della determinazione di φ(x, k) e un problema RHscalare, non omeogeneo con G = 1 e Γ coincidente con tutto l’asse reale(di nuovo, rimandiamo all’appendice (D)). Tale problema e esplicitamenterisolto impiegando le formule di Plemelj-Sakhotski (PS) e la sua soluzione e

φ(x, k) =1

2πi

∫ +∞

−∞dk′ u(k′)

eik′x

k′ − k(10.9)

Osserviamo che, in questo problema, la x e un parametro reale e chela soluzione (10.9) del problema RH fornisce una rappresentazione spettraledelle soluzioni ψL e ψR dell’equazione diferenziale (10.1), data da

ψL(x, k) = eikx +1

2πi

∫ +∞

−∞dk′ u(k′)

eik′x

k′ − k − iε, =(k) = 0 ,

ψR(x, k) = eikx +1

2πi

∫ +∞

−∞dk′ u(k′)

eik′x

k′ − k + iε, =(k) = 0 ,

in cui integriamo rispetto alla variabile spettrale k invece che la x come nelle(10.4) e (10.5).


Per concludere l’analisi spettrale della funzione u(x), ovvero per ricavarela trasformata inversa di Fourier, sostituiamo l’espressione spettrale dellasoluzione (10.9) nel membro di sinistra della (10.8):

u(x) =1

2π

∫ +∞

−∞dk u(k) eikx .

Estensione ad altre trasformate

Riprendendo quanto fatto per la trasformata di Fourier, possiamo introdurreper analogia altre trasformate spettrali seguendo un metodo che generalizzail precedente schema. Si ha infatti che l’analisi spettrale delle equazioni dievoluzione nonlineari richiede che l’equazione differenziale (10.1) sia sosti-tuita da una omogenea, lineare, di ordine maggiore o eventualmente da unsistema di equazioni. Il tipo di sostituzione da effettuare e legato anche alladimensionalita del sistema: nel caso (1+1) il problema spettrale corrispondead un problema RH omogeneo, dove h(s) = 0 nella D.4; nel caso (2 + 1) enecessaria una generalizzazione del problema RH (si passa ad una relazioneintegrale tra le φ(+) e φ(−)).

10.1.2 Dipendenza parametrica dal tempo

Poniamo che la funzione u(x) che compare nella (10.1), dipenda parametrica-mente dal tempo t: u = u(x, t). Da questo, deduciamo che anche ψ dipendeda t; poniamo, inoltre, che questa dipendenza temporale di u dal tempo siatale che la ψ soddisfi la seguente equazione differenziale lineare nella variabiletemporale t:

ψt = A(x, k, t) ψ + B(x, k, t) , con ψ = ψ(x, k, t) , (10.10)

la quale fornisce una soluzione generale della (10.1); poniamo allora che

ψ(x, k, t) = ψL(x, k, t) + γ(k, t) eikx .

Le condizioni cha abbiamo imposto sono molto forti e determinano una classedi equazioni di evoluzione per u(x, t) cosı come per la relatica trasformataspettrale u(k, t).

Tali equazioni si ottengono molto facilmente dalla condizione di compa-tibilita

ψxt = ψtx


tra le equazioni (10.1) e (10.10) che, data la arbitrarieta della funzione ψ,restituisce due equazioni:

Ax = 0

ut = uA + Bx − ikB (10.11)

Assumiamo i seguenti sviluppi dei coefficienti A e B:

A = c(ik, t) =M+1∑m=0

cm(t)(ik)m , M ≥ 0

B =M∑

m=0

b(m)(x, t) (ik)m . (10.12)

Dalla (10.11), sostituendovi le due precedenti, otteniamo

b(m)(x, t) =M−m∑n=0

cn+m+1(t) Dnu(x, t) , m = 0, 1, 2, . . . ,M , (10.13)

dove D ≡ ∂∂x

. Dunque abbiamo

ut =M+1∑n=0

cn(t) Dnu = c(D, t) u , (10.14)

dove il coefficiente c(D, t) e indipendente dalla variabile x.L’equazione di evoluzione per u(k, t) si puo ricavare dalla (10.10) per

ψ quando x → ±∞ e notando che, in tale limite, B(x, k, t) → 0 (comesuggeriscono le (10.12) e (10.13)).

Per x = −∞, otteniamo

γt = (1 + γ) A

mentre, per x = +∞ abbiamo

γt + ut = (1 + γ + u) A .

Combinando queste due ultime equazioni, otteniamo l’equazione di evoluzioneper la trasformata u:

ut(k, t) = u(k, t)M+1∑n=0

cn(t) (ik)n = c(ik, t) u(k, t) . (10.15)

Possiamo cosı risolvere il problema al valor iniziale: u(x, 0) → u(x, t), as-sociato all’equazione (10.14) operando i seguenti passi (illustrati nello schemanella pagina seguente):


1. u(x, 0) → u(k, 0), risolvendo il problema diretto;

2. u(k, 0) → u(k, t), integrando l’equazione differenziale lineare ordinaria(10.15) da cui otteniamo l’evoluzione della trasformata di u(x, t):

uk,t = u(k, 0) eR t0 dt′ c(ik,t′) ;

3. u(k, t) → u(x, t), risolvendo il problema spettrale inverso.

u(x, 0) u(x, t)

prob. dir. ↓ ↑ prob. inv.

u(k, 0)ev. trasf.−→ u(k, t)

Osserviamo, dunque, che l’analisi spettrale delle soluzioni dell’equazionedi evoluzione lineare (10.14), basata sulla trasformata di Fourier, e un utileschema risolutivo che, dopo aver apportato varie modifiche e generalizzazioni,puo essere impiegato per trattare le equazioni di evoluzione nonlineari.

10.2 La trasformata spettrale

Il nostro scopo e ora modificare l’analisi spettrale basata sulla trasformatadi Fourier per trattare le equazioni di evoluzione nonlineari.

Contrariamente a quanto accade per la trasformata di Fourier, la qualepuo essere generalizzata facilmente allo scopo di studiare funzioni dipendentida un numero arbitrario di variabili, l’estensione della trasformata spettraleda una a due (o piu) variabili spaziali richiede l’applicazione di nuove tecnicheed idee.

Cominciamo col considerare il piu semplice esempio di equazione di evo-luzione nonlineare di interesse applicativo, integrabile col metodo spettrale,ovvero la KdV per la funzione u = u(x, t) 1:

ut + uxxx − 6uux = 0 (10.16)

1I coefficienti dei tre termini nella (10.16) possono assumere qualsiasi valore costante,previo riscalamento delle variabili dipendenti ed indipendenti u, x e t.

10.2 La trasformata spettrale 117

Facciamo notare innanzitutto che il metodo spettrale che andiamo a de-scrivere e limitato alla classe di soluzioni della (10.16) che soddisfano laseguente relazione:

∫ +∞

−∞dx (1 + |x|) |u(x, t)| < ∞ , (10.17)

per ogni valore di t. Questo ci dice che la funzione u(x, t) deve esserelocalmente assolutamente integrabile e che deve annullarsi nel limite perx → ±∞.

Cominciamo dunque col sostituire all’equazione differenziale non omoge-nea del primo ordine (10.1), l’equazione differenziale omogenea del secondoordine

ψx − ik ψ = u(x) −→ ψxx + k2 ψ = u(x, t) ψ , con ψ = ψ(x, k, t) ,(10.18)

dove t e k compaiono come semplici parametri. Questa equazione e il puntodi partenza dell’analisi spettrale della funzione u(x, t) della variabile x perun t fissato.

Prima di procedere con questa analisi, osserviamo che l’equazione diKdV (10.16) si ottiene richiedendo che la funzione ausiliaria ψ soddisfi un’e-quazione di evoluzione lineare che gioca lo stesso ruolo della (10.10) ed ha laseguente forma:

ψt = [c− ux(x, t)] ψ+2[2k2 + u(x, t)

]ψx , con ψ = ψ(x, k, t) , (10.19)

dove c e una costante che non dipende da x, ma dalla particolare soluzione ψdella (10.18). Infatti, la condizione di compatibilita tra la (10.18) e la (10.19),cioe ψxxt = ψtxx, restituisce precisamente la KdV (10.16) per il coefficienteu(x, t).

Nell’analisi spettrale che andiamo ad operare su u, abbiamo che le dipen-denze rilevanti sono date da x e t, mentre quella esplicita da t sara omessa.

Consideriamo inizialmente le proprieta di analiticita delle soluzioni par-ticolari dell’equazione (10.18) come funzioni della variabile spettrale k. Inanalogia con le soluzioni (10.2) e (10.3), introduciamo anche qui le soluzionidestra e sinistra ψR e ψL, note anche con il nome di soluzioni di Jost, definitenelle condizioni asintotiche:

ψL(x, k) → e−ikx , per x → −∞ , =(k) = 0 , (10.20)

ψR(x, k) → eikx , per x →∞ , =(k) = 0 , (10.21)


consistenti con la condizione (10.17) e definite univocamente per =(k) =0. Trasformiamo l’equazione differenziale (10.18) in una equazione integraleapplicando il metodo della funzione di Green. Usando le soluzioni di Jost,otteniamo dalla (10.18) due equazioni integrali di Volterra:

ψL(x, k) = e−ikx +1

k

∫ x

−∞dy sin [k(x− y)] u(y) ψL(y, k) , (10.22)

ψR(x, k) = eikx − 1

k

∫ +∞

x

dy sin [k(x− y)] u(y) ψR(y, k) . (10.23)

Notiamo dunque che le funzioni ψL e ψR sono olomorfe nel semipiano =(k) >0. Tale risultato si ottiene chiaramente riscrivendo le equazioni integrali(10.22) e (10.23) definendo le funzioni

µL(x, k) ≡ eikx ψL(x, k) , (10.24)

µR(x, k) ≡ e−ikx ψR(x, k) . (10.25)

Queste danno dunque:

µL(x, k) = 1 +1

2ik

∫ 0

−∞dy

[e−2iky − 1

]u(y + x) µL(y + x, k) , (10.26)

µR(x, k) = 1 +1

2ik

∫ +∞

0

dy[e2iky − 1

]u(y + x) µR(y + x, k) , (10.27)

le quali implicano che le funzioni µL e µR dipendenti da k (per x fissato) sonodi grado nullo all’infinito e piu precisamente verificano

limk→∞

µL(x, k) = 1 , limk→∞

µR(x, k) = 1 . (10.28)

Affrontiamo ora i problemi spettrali diretto ed inverso associati all’e-quazione (10.18). In questo contesto, una nozione molto importante e quelladi spettro che sappiamo essere definito come l’insieme dei valori della varia-bile complessa k al quale corrispondono soluzioni dell’equazione differenziale(10.18) che sono funzioni limitate ovunque di x. La condizione di tali funzionidi essere limitate e molto importante ed e una proprieta chiave delle equazionispettrali ausiliarie le quali giocano un ruolo chiave nell’analisi spettrale.

Lo spettro associato alla (10.18) ed alla condizione (10.17) e composto dadue parti, una componente continua ed una discreta.

Quella continua e l’asse reale, −∞ < k < +∞: tale parte e due volte de-genere dato che, per ogni valore di k, sia la soluzione di Jost destra che quella


sinistra, definite dalle (10.20) e (10.21), sono soluzioni limitate linearmenteindipendenti della (10.18). Inoltre, dato che l’equazione differenziale (10.18)e invariante sotto la trasformazione k → −k, ma non le condizioni al bor-do (10.20) e (10.21), anche le funzioni ψL(x,−k) e ψR(x,−k) sono soluzionilimitate. Da queste considerazioni, traiamo la conclusione che esistono benquattro soluzioni, ma la teoria generale delle equazioni differenziali ci diceche tali equazioni, vista l’equazione trattata, devono essere connesse tramitedelle relazioni lineari: tra le possibili relazioni scegliamo la seguente:

T (k) ψL(x, k) = ψR(x,−k) + R(k) ψR(x, k) , =(k) = 0 , (10.29)

nella quale si definiscono, per ogni valore di k, i coefficienti T (k) ed R(k) ditrasmissione e di riflessione, rispettivamente.

Il modo con cui calcoliamo questi due coefficienti per un dato valore di kconsiste nell’integrare l’equazione differenziale (10.18) partendo da sinistra,cioe per valori negativi di x molto grandi sotto la condizione (10.20) chedefinisce la ψL. In seguito all’integrazione sull’intero asse reale x, guardiamoil comportamento oscillante delle soluzioni ψL(x, k) a destra, cioe per valoripositivi di x grandi, dal quale finalmente estraiamo i coefficienti T (k) ed R(k)in base alla formula asintotica

ψL(x, k) −→ 1

T (k)e−ikx +

R(k)

T (k)eikx , per x → +∞ , (10.30)

derivabile dalla (10.29) e dalla (10.21). In questo modo, stabiliamo un map-ping da u(x) ad R(k) e T (k) con la proprieta che le funzioni complesse R(k)e T (k) non sono indipendenti l’una dall’altra, ma soddisfano alla condizionedi unitarieta:

R(k)R(−k) + T (k)T (−k) = 1 ,

la quale deriva direttamente dal teorema del wronskiano

d

dx

[ψL(x, k)

dψL(x,−k)

dx− ψL(x,−k)

dψL(x, k)

dx

]= 0 ,

unito alle condizioni asintotiche (10.20) e (10.30).Osserviamo che le informazioni sulla funzione u(x) contenute in R(k)

e T (k) possono non essere in generale sufficienti per invertire il mappinge quindi poter ricostruire la u(x): quanto detto accade quando altri valoricomplessi di k appartengono allo spettro. Contrariamente se poniamo u = u∗,allora puo esistere solo un numero finito di autovalori discreti, tutti sull’asseimmaginario positivo della forma k = ipn, con pn > 0 ed n = 1, 2, . . . , N ,che appartengono allo spettro discreto. Notiamo che anche se lo spettro


continuo esiste sempre, quello discreto non e detto che esista: lo spettro puonon contenere alcun autovalore, ad esempio nel caso di una funzione u(x) cheassume solo valori non negativi.

La soluzione della (10.18) corrispondente ad autovalori discreti k = ipn eper definizione limitata ovunque, decrescente esponenzialmente per x = ±∞,e cio implica che ψL e ψR sono proporzionali l’uno all’altro:

ψL(x, ipn) = λn ψR(x, ipn) , n = 1, 2, . . . , N , (10.31)

dato che non possono esistere due soluzioni indipendenti che si annullanoall’infinito. Infatti, e conveniente definire la seguente soluzione:

φ(n) =√

ρn ψ(R)(x, ipn) , (10.32)

dove il parametro positivo ρn e fissato dalla condizione di normalizzazione

∫ ∞

−∞dx

[φ(n)(x)

]2= 1 . (10.33)

Come mostreremo piu avanti, il parametro ρn che puo essere definito tramiteil limite

limx→∞

[epnx φ(n)

]2= ρn , (10.34)

e uno dei dati spettrali necessari per la ricostruzione della u(x).

10.2.1 Problema spettrale diretto

Il problema spettrale diretto puo essere interpretato come il calcolo, effetuatointegrando la (10.18), della funzione complessa R(k) per ogni valore reale dik, e dei 2N numeri positivi pn e ρn, con n = 1, 2, . . . , N .

Questo insieme di quantita e, per definizione, la trasformata spettraleS[u] della funzione reale u(x):

S[u] = R(k),−∞ < k < +∞; pn, ρn, n = 1, 2, . . . , N . (10.35)

Questa puo essere interpretata come una generalizzazione della trasforma-ta di Fourier. Dal punto di vista dell’applicazione, e importante ricordareche due proprieta sono, pero, sostanzialmente differenti da quelle riferite allatrasformata di Fourier: (i) la prima e che il mapping che porta da u(x) daS[u] e nonlineare e (ii) la seconda consiste nell’emergere di una componentediscreta ρn nello spettro discreto pn. Come sara piu chiaro in seguito, la pri-ma proprieta conferisce alla trasformata spettrale la capacita di trasformareequazioni di evoluzione nonlineare in equazioni lineari, mentre la seconda


e connessa alle speciali soluzioni delle equazioni di evoluzione nonlineari,ovvero i solitoni.

Inoltre, nell’ipotesi in cui la trasformata spettrale di u(x) e sufficiente-mente piccola, allora l’approssimazione lineare della trasformata spettralee

R(k) ∼ 1

2iku(2k) , (10.36)

dove u(k) e la trasformata di Fourier di u(x), e questo giustifica il fatto chela trasformata spettrale generalizzi, in una veste nonlineare, la trasformatadi Fourier.

10.2.2 Problema spettrale inverso

Il problema spettrale inverso consiste nella ricostruzione di una funzione u(x)dalla sua trasformata spettrale (10.35).

Per operare tale ricostruzione, dobbiamo prima di tutto ricordare alcuneproprieta del coefficiente di trasmissione T (k). Contrariamente al coefficientedi riflessione R(k) che generalmente e definito solo per valori reali di k, il co-efficiente di trasmissione T (k) puo essere prolungato analiticamente sull’assereale nel semipiano positivo, dove tutti i suoi poli sono semplici e coincidonocon lo spettro discreto, cioe k = ipn con n = 1, 2, . . . , N . I residui in tali polisono dati da

limk→ipn

[(k − ipn) T (k)] = iρn

λn

, (10.37)

dove ρn e il parametro spettrale definito nella (10.33) e (10.34), mentre λn

e la costante di proporzionalita introdotta nella (10.31). Infine, la funzioneT (k) ha grado nullo all’infinito ed in particolare

limk→∞

T (k) = 1 . (10.38)

Ora siamo in grado di formulare il problema RH corrispondente e diricavare le equazioni integrali del problema inverso.


10.2.3 Problema RH corrispondente

Introduciamo innanzitutto la funzione f(k) vettoriale bidimensionale sezional-mente meromorfa, definita come

f(k) =

T (k) µL(x, k)

µR(x, k)

, per =(k) > 0 (10.39)

f(k) =

µR(x, k)

T (−k) µL(x,−k)

, per =(k) < 0 (10.40)

dove µL e µR sono le funzioni (10.26) e (10.27):

µL(x, k) ≡ eikx ψL(x, k) ,

µR(x, k) ≡ e−ikx ψR(x, k) ,

e la variabile spaziale x e un semplice parametro fisso.Considerando assieme le (10.29) (sull’asse reale) e (10.26) e (10.27), ot-

teniamo la seguente uguaglianza:

T (k) µL(x, k) = µR(x,−k) + R(k) e2ikx µR(x, k) , =(k) = 0 ,

dalla quale possiamo ricavare i valori al contorno di f (±)(k) sull’asse reale:f (±)(k ± i0). L’equazione soddisfatta da tale funzione e

f (+)(k) = G(k) f (−)(k) , =(k) = 0 , (10.41)

dove

G(k) =

1−R(k)R(−k) R(k) e2ikx

−R(−k) e−2ikx 1

. (10.42)

Da quanto detto concludiamo che f(k) e soluzione del seguente problemadi RH: f(k) e un vettore bidimensionale sezionalmente meromorfo nel pianocomplesso diviso in due sezioni dall’asse reale, in cui i valori al contornof (±)(k ± i0) soddisfano l’equazione (10.41) con G(k) espresso dalla (10.42)ed in particolare f(k) assume il seguente valore asintotico:

limk→∞

f(k) =

(11

)(10.43)


(che segue dalle (10.38), (10.28), (10.39) e (10.40)) e 2N poli semplici ink = ipn, con n = 1, 2, . . . , N , coi residui

limk→±ipn

[(k ± ipn) f(k)] = R(±)n (10.44)

dove

R(±)n = ±iρne

−2pnx µR(x, ipn) χ± , con χ+ =

(10

), χ− =

(01

).

(10.45)e dato dalle (10.39) e (10.40), (10.37), (10.31), (10.24) e (10.25). Osserviamoche tale problema e un po’ piu generale di quello considerato nell’appendice(D): in quel caso la sezione f(k) e sezionalmente olomorfa, mentre in questocaso e sezionalmente meromorfa. L’esistenza e l’unicita della soluzione f(k)sono garantite dalla condizione (10.43), dalla realta del parametro x, dal-l’annullamento di R(k) per k → ±∞ e da quello dell’indice totale ν (vediappendice (D)) che e dovuto alla proprieta della matrice G(k):

det(G(k)) = 1 .

Questo problema RH non puo essere risolto esplicitamente in generale elo si affronta molto piu facilmente derivando da esso un’equazione integralee studiando quest’ultima. Come discusso nell’appendice (D), la rappresen-tazione integrale relativa al problema RH, si puo ricavare dalle formule PS(Plemelj-Sakhotski) combinandovi la funzione di discontinuita

f (+)(k)− f (−)(k) = H(k) f (−)(k) , H(k) = G(k)− I , =(k) = 0 ,

che ha la seguente rappresentazione integrale:

f(k) =

(11

)+

N∑n=1

[R

(+)n

k − ipn

+R

(−)n

k + ipn

]+

+1

2πi

∫ +∞

−∞ds

[H(s)

s− k

]f (−)(s) , =(k) 6= 0 . (10.46)

Da queste due ultime formule partiamo per la nostra derivazione dell’e-quazione integrale del problema inverso che va a sostituire il problema RH.Consideriamo la prima componente del vettore in entrambi i membri del-l’uguaglianza (10.46) e facciamone il limite per k tendente all’asse reale dalbasso, cioe per =(k) < 0.


Otteniamo cosı le due seguenti equazioni integrali accoppiate per µR(x, k)nei casi =(k) = 0 e k = ipn:

µR(x, k) = 1 −i

N∑n=1

[ρn

k + ipn

]e−2pnx µR(x, ipn) + (10.47)

+1

2πi

∫ +∞

−∞ds

[R(s)

s + k + iε

]e2isx µR(x, s) , per =(k) = 0

µR(x, ipm) = 1 −i

N∑n=1

[ρn

pn + pm

]e−2pnx µR(x, ipn) + (10.48)

+1

2πi

∫ +∞

−∞ds

[R(s)

s + ipm

]e2isx µR(x, s) , per m = 1, 2, . . . , N .

Osserviamo che - come deve accadere - i dati che forniamo e che com-paiono in queste equazioni sono proprio le quantita spettrali R(k), pn e ρn

che definiscono la trasformata spettrale della u(x) come nella (10.35).Una volta risolte le (10.47) e (10.48), possiamo cercare di ottenere la

u(x) dalla soluzione µR(x, k). A tale scopo notiamo che la soluzione µR(k)soddisfa, come conseguenza della sua definizione ((10.24) e (10.25)) e della(10.18), la seguente equazione differenziale:

µRxx + 2ik µRx = u(x) µR . (10.49)

Tenendo conto dell’espansione asintotica di µR(x, k) per valori grandi di|k|:

µR(x, k) = 1 +µ(1)(x)

2ik+

µ(2)(x)

(2ik)2+ . . .

e della (10.49), ricaviamo che

µ(1)x(x) = u(x) . (10.50)

Osserviamo pero che la rappresentazione spettrale dei coefficienti µ(1) e deriva-ta dall’espansione per grandi valori di |k| del membro di destra della (10.47), etale rappresentazione inserita nella (10.50), ci fornisce l’espressione per u(x):

u(x) =d

dx

[2

N∑n=1

ρn e−2pnx µR(x, ipn) +1

π

∫ +∞

−∞dk R(k) e2ikx µR(x, k)

].

(10.51)


Abbiamo cosı completato il metodo di risoluzione del problema inverso.Per riassumere, la risoluzione del problema inverso consiste nell’effettuare iseguenti passi ciascuno dei quali consiste di sole operazioni lineari:

S[u] −→ µR(x, k), µR(x, ipn) −→ u(x) .

10.2.4 Formulazione alternativa del problema inversoattraverso le equazioni di Fredholm

Una forma alternativa equivalente al problema inverso puo essere ricavatafacendo uso delle equazioni integrali di Fredholm.

Questa si ottiene sostituendo la funzione incognita µR(x, k) nelle (10.47)e (10.48) con la corrispondente trasformata inversa di Fourier rispetto allaveriabile spettrale k (ricordiamo che qui la x e un semplice parametro), inbase alle seguenti definizioni

K(x, y) =1

2π

∫ +∞

−∞dk [µR(x, k)− 1] eik(x−y) , (10.52)

µR(x, k) = 1 +

∫ +∞

x

dy K(x, y) eik(x−y) . (10.53)

E bene notare che l’olomorfismo della µR(x, k) nel semipiano superiore(=(k) > 0) implica che K(x, y) = 0 se y < x (da questo si giustifica il fattoche l’integrazione della (10.53) vada da x ad ∞).

Riscriviamo ora le equazioni integrali (10.47) e (10.48) per la funzioneincognita K(x, y) usando le definizioni (10.52) e (10.53), ricavando

K(x, y) + M(x + y) +

∫ ∞

x

dz K(x, z) M(z + y) = 0 per y ≥ x , (10.54)

ove abbiamo introdotto la nuova funzione M(x) definita come

M(x) =N∑

n=1

ρn e−pnx +1

2π

∫ +∞

−∞dk R(k) eikx , (10.55)

la quale e direttamente connessa alla trasformata spettrale (10.35) della u(x).Osserviamo allora che, per ogni x fissato la (10.54) e un’equazione inte-

grale di Fredholm con nucleo M(y + z). Per concludere, usando nuovamentele trasformazioni (10.52) e (10.53), l’espressione (10.51) della u(x) diventasemplicemente

u(x) = −2d

dxK(x, x) , (10.56)


dove K(x, x) e il valore di K(x, y) sul bordo x = y nel limite in cui y → xper y > x.

Riassumiamo anche qui quanto fatto nei seguenti passi:

1. Per una data trasformata spettrale S[u] ((10.35)), calcoliamo la fun-zione M(x), come nella (10.55);

2. risolviamo l’equazione integrale (10.54) (di Marchenko) per la funzioneincognita K(x, y) (per x fissato);

3. concludiamo usando la (10.56) per ottenere la u(x).

Notiamo che ora la trasformazione S[u] −→ u(x) e nonlineare; inoltre pos-siamo approssimare l’equazione integrale (10.54) nel caso in cui la com-ponente discreta dello spettro di S[u] e assente e quella continua R(k) esufficientemente piccola, come segue

K(x, y) ∼ −M(x + y) ,

la quale implica che, considerando la (10.56),

u(x) ∼ 2d

dxM(2x) =

2i

π

∫ +∞

−∞dk k R(k) e2ikx ,

formula consistente con l’approssimazione gia data nella discussione del pro-blema diretto (10.36).

10.2.5 Dipendenza parametrica di u(x) dal tempo t

Poniamo che la funzione u(x) dipenda parametricamente dal tempo t: u(x) →u(x, t). Da questa assunzione segue che S[u] = S(t), cioe la trasformataspettrale dipende dal tempo.

Ricordiamo ora alcune importanti proprieta: l’assunzione speciale cheogni soluzione ψ(x, k, t) della (10.18) soddisfi anche l’equazione differenziale(10.19), implica che u(x, t) sia una soluzione della KdV (10.16). Inoltre,l’equazione differenziale (10.19) ci fornisce, insieme agli andamenti asintotici(10.20) e (10.30), la corrispondente equazione di evoluzione per i coeffcientidi trasmissione e di riflessione. Dato che la funzione u(x, t) si annulla perx → ±∞, l’equazione (10.19) per ψ = ψL si riduce (usando la (10.20)) ac = 4ik3 per x = −∞, mentre per x = +∞ da

Tt(k, t) = 0 , (10.57)

Rt(k, t) = −(2ik)3 R(k, t) . (10.58)


Da queste ultime, possiamo ottenere direttamente le dipendenze temporalidei coefficienti di trasmissione e di riflessione:

T (k, t) = T (k, 0) = T (k) ,

R(k, t) = R(k, 0) e−t(2ik)3 . (10.59)

La discussione riguardante lo spettro discreto e simile. Osserviamo in-nanzitutto che

φ(n) φ(n)t = c

[φ(n)

x

]2+ 2 [φn

x]2 − (4p2

n + u)[φn

x]2x ,

(ottenuta dalla (10.19) con k = ipn, e dalla (10.32)) e dalla condizione dinormalizzazione (10.33) abbiamo che c = 0. Allora, l’equazione di evoluzione(10.19) con ψ = φ(n) e le condizioni asintotiche (10.34) portano alle seguentiequazioni:

pn(t) = pn(0) = pn , (10.60)

ρnt(t) = (2pn)3 ρn(t) , (10.61)

che possiamo riscrivere in unica formula (per integrazione):

ρn(t) = ρn(0) et(2pn)3 . (10.62)

Possiamo concludere allora che se il profilo iniziale u(x, 0) si evolve in ac-cordo con l’equazionedi KdV (10.16), allora il corrispondente spettro noncambia (come e evidente dalla (10.60)), ovvero l’operatore di evoluzione− d2

dx2 + u(x, t) e isospettrale (cioe i relativi autovalori sono costanti), e latrasformata spettrale (10.35) della u(x, t) evolve in modo semplice ed es-plicito come descritto dalle formule (10.58) e (10.62), dove R(k, 0) e ρn(0)corrispondono al profilo iniziale u(x, 0).

La proprieta caratterizzante la trasformata spettrale e la capacita di trasfor-mare un sistema dinamico nonlineare e complicato (come puo essere la KdV)in un insieme (infinito) di modi normali accoppiati lineari. La differenza dalcaso lineare sta nel fatto che il principio di sovrapposizione nonlineare none completamente esplicito dato che contiene la funzione ausiliaria ψ sullospettro e consiste, oltre che ad un integrale relativo alla parte continua dellospettro (come nel caso lineare di Fourier), di una somma finita sullo spettrodiscreto. Quanto detto e chiaramente mostrato dalla (10.51) che ripropo-niamo includendovi le dipendenze temporali (10.58) e (10.62), ed usando le


(10.24) e (10.25):

u(x, t) =d

dx

[2

N∑n=1

ρn(0) e−2pnx+(2pn)3t ψR(x, ipn, t)+

+1

π

∫ +∞

−∞dk R(k, 0) eikx−(2ik)3t ψR(x, k, t)

]. (10.63)

Una seconda espressione per la u(x, t) del tutto equivalente alla precedente e

u(x, t) = −4N∑

n=1

pnρn(0) e(2pn)3t ψ2R(x, ipn, t) +

+2i

π

∫ +∞

−∞dk k R(k, 0) e−(2ik)3t ψ2

R(x, k, t) . (10.64)

Concludiamo con l’osservare che come nell’analisi di Fourier lineare, la ri-costruzione di una u(x, t) per t 6= 0 puo essere effettuata in modo esplicito inun numero assai limitato di casi. Tuttavia nell’analisi spettrale nonlineare, laricostruzione di u(x, t) per ogni t puo essere portata e termine in modo esplici-to per un insieme grande ed interessante di trasformate spettrali. Tale classee caratterizzata dall’annullamento del coefficiente di riflessione R(k, t) = 0,e la corrispondente soluzione u(x, t) e detta soluzione multisolitonica. Pre-cisamente, una soluzione ad N solitoni uN(x, t) della KdV corrisponde ad Nautovalori discreti e non ha componente continua:

S[u] = R(k) = 0,−∞ < k < +∞; pn, ρn, n = 1, 2, . . . , N .

Tale soluzione dipende dunque da 2N parametri arbitrari positivi (pn e ρn).

Capitolo 11

Il Metodo di Darboux

11.1 La trasformata di Darboux

Il metodo della trasformata di Darboux, proposto piu di cento anni fa dalmatematico francese Gaston Darboux, e stato di recente riscoperto ed ap-plicato per la risoluzione di equazioni di evoluzione nonlineari di notevoleinteresse fisico [53].

L’idea di base su cui poggia il metodo della Trasformata di Darboux emolto semplice.

Si consideri il seguente problema agli autovalori:

y′′ + [λ − u(x)] y = 0 (11.1)

noto nella Meccanica Quantistica come Equazione di Schrodinger unidimen-sionale.

Sia φ una qualche soluzione, anche banale, del problema (11.1) con auto-valore λ = λ1, e sia σ = φx φ−1.

Darboux provo [58] che la (11.1) e covariante rispetto alla seguente trasfor-mazione detta Trasformazione di Darboux:

y → y = yx − σ y u → u = u − 2 σx . (11.2)

In altre parole y soddisfa l’equazione di Schroedinger con potenziale u.La trasformazione che la y induce sulla u prende anche il nome di Trasfor-mazione di Backlund.

Cambiando la y secondo la (11.2) possiamo determinare tutte le soluzionidella nuova equazione di Schroedinger con potenziale u.

Nel 1979 Matveev [57] provo che la stessa proprieta di covarianza valeanche per tutte le equazioni di evoluzione del tipo :

∂f

∂t=

n∑m=0

um(x, t)∂mf

∂xm, (11.3)

130 Il Metodo di Darboux

con coefficienti scalari o matriciali.E cosı possibile costruire infinite soluzioni esplicite di equazioni di evoluzione

nonlineari applicando il metodo della Trasformata di Darboux ad una equazioneiniziale integrabile.

Consideriamo l’ equazione di Zakharov-Shabat generalizzata :

ψx = [−iκ σ3 + Q ] ψ (11.4)

con :

σ3 =

(1 00 −1

), Q =

(0 q(−)

q(+) 0

)(11.5)

e κ parametro spettrale complesso.Notiamo preliminarmente che l’equazione di Schrodinger stazionaria e un

caso particolare della (11.4) con ψ vettore complesso a due componenti, e

Q =

(0 1u 0

),

e che possiamo estendere il metodo della trasformata di Darboux ad equazionimatriciali N ×N :

ψx = [−iκ Σ + Q ] ψ (11.6)

con σ matrice diagonale e Q matrice antidiagonale. Sia ψ(1) una qualchesoluzione anche banale della (11.4), allora possiamo definire la trasformazionedi Darboux :

ψ(2) = A(x, κ) ψ(1) (11.7)

che restituisce la soluzione ‘vestita’ ψ(2). Sostituendo nella (11.4) si ottienefacilmente :

0 = ψx(2)+iκσ3ψ(2)−Q(2)ψ(2) = [Ax+A(−iκσ3+Q(1))+(iκσ3−Q(2))A]ψ(1) .(11.8)

Dovendo la (11.8) essere valida per ogni soluzione fondamentale ψ(1) :

Ax + iκ[σ3, A] + AQ(1) − Q(2)A = 0 . (11.9)

Facciamo ora l’ipotesi che A sia una soluzione polinomiale in κ :

A(x, κ) =M∑

m=0

κM A(m)(x) . (11.10)

Analizziamo i vari ordini.

11.1 La trasformata di Darboux 131

Se M = 0 allora chiaramente A = A(0) da cui

[σ3, A] = 0 ,

cioe A e diagonale.Poiche A Q(1) − Q(2)A e antidiagonale, deve essere necessariamente

A(0)x = 0, cioe

A(0) = Q0

matrice costante diagonale.Dalle precedenti risulta indotta su Q una trasformazione di similitudinedetta di Backlund:

Q(2) = Q0Q(1)Q−10 .

Se M = 1, allora A = A(0) + κA(1) da cui

[σ3, A(1)] = 0

cioe A(1) e diagonale.All’ordine κ abbiamo definita l’equazione:

A(1)x + i[σ3, A

(0)] + A(1) Q(1) − Q(2)A(1) = 0 ,

poiche [σ3, A(0)] e A(1) Q(1) − Q(2)A(1) sono antidiagonali, allora :

A(1) = Q1

matrice costante diagonale.Quindi :

Q(2) = Q1Q(1)Q−11 + i[σ3, A

(0)]Q−11 .

Poiche ci interessa una trasformazione di Darboux modulo nella precedenteconviene scegliere Q1 = I, da cui :

Q(2) = Q(1) + i[σ3, A(0)] , (11.11)

A(0)x + A(0)Q(1) − Q(2)A(0) = 0 . (11.12)

Ipotizziamo ora che A(0) sia funzione di un proiettore P , tale che P 2 = P ,nella forma :

A(0) = −α + (α − β)P , (11.13)

con α e β complessi e diversi fra loro. Sostituendo tale definizione di A(0)

otteniamo :Q(2) = Q(1) + i(α − β)[σ3, P ] , (11.14)


Px = [−iβσ3 + Q(1)]P − P [−iασ3 + Q(1)] + i(β − α)Pσ3P . (11.15)

Sia ora Pφ = φ; derivando questa si ottiene :

P [φx − (−iβσ3 + Q(1))φ] = φx − [−iβσ3 + Q(1)]φ . (11.16)

Se ora ipotizziamo che φ e il sottospazio degli autovettori unidimensionali :

φx − (−iβσ3 + Q(1))φ = µφ ,

il problema e praticamente risolto.Difatti dal momento che µ e eliminabile con la trasformazione φ → eµφ,questo puo essere posto a zero ed otteniamo che φ e soluzione (nota) dellaequazione di partenza :

φx = (−iβσ3 + Q(1))φ .

Conosciuta φ e immediato determinare il proiettore P e quindi A e Q(2) :

P =φφT

φT φ, (11.17)

A = κ − α + (α − β)P , (11.18)

Q(2) = Q(1) + i(α − β)[σ3, P ] . (11.19)

11.2 Alcune equazioni non lineari integrabili

di interesse applicativo: loro Coppia di

Lax e soluzione solitonica

1. Equazione di Korteweg-de Vries (KdV)

ut + uxxx − 6uux = 0 , u = u(x, t) ∈ R

ψxx = [u(x, t) − κ2]ψ

ψt = −ux(x, t)ψ + [2u(x, t) + 4κ2]ψx

(11.20)

u(x, t) = − 2p2

cosh2[p(x − 4p2t − ξ)]

con p e ξ reali ed arbitrari.

11.2 Alcune equazioni non lineari integrabili di interesseapplicativo: loro Coppia di Lax e soluzione solitonica 133

2. Equazione di Schroedinger nonlineare (NLS) (focusing)

iut + uxx + 2|u|2u = 0 , u = u(x, t) ∈ C

ψx = [−iκσ3 +

(0 −u∗

u 0

)]ψ

ψt = [(2iκ2 − i|u|2)σ3 +

(0 2κ u∗ + iu∗x

−2κu + iux 0

)]ψ

(11.21)

u(x, t) =a exp[i(bx− (b2 − a2)t + θ)]

cosh[a(x − 2bt − ξ)]

con a, b, ξ, θ reali ed arbitrari e σ3 terza matrice di Pauli.

3. Equazione di Schroedinger nonlineare (NLS) (defocusing)

iut + uxx − 2|u|2u = 0 , u = u(x, t) ∈ C

ψx = [−iκσ3 +

(0 u∗

u 0

)]ψ

ψt = [(2iκ2 + i|u|2)σ3 +

(0 −2κu∗ − iu∗x

−2κu + iux 0

)]ψ

(11.22)

u(x, t) = [iρ + a tanh[a(x− vt)]] exp

−i[(ρ− v

2)x + (3ρ2 + 2a2 − ρ v +

v2

4)t]

con a, ρ, v reali ed arbitrari.Questo solitone e un kink (grey se ρ 6= 0, dark se ρ = 0).

4. Equazione di Korteweg-de Vries modificata (mKdV)

ut + uxxx + 6u2ux = 0 , u = u(x, t) ∈ R

ψx = [−iκσ3 +

(0 −uu 0

)]ψ

ψt = [(4(iκ)3 + 2iκ u2)σ3 − 2iκ uxσ1 + i(4(iκ)2u + uxx + 2u3)σ2]ψ(11.23)

u(x, t) =2p

cosh[2p(x − 4p2t − ξ)]

con p e ξ reali ed arbitrari e σi i-esima matrice di Pauli.


5. Equazione di Sine-Gordon (SG) (sul cono-luce)

uxt = sin(u)

u(x, t) = 0 , x ≈ ∞

u(x, t) = nπ , x ≈ −∞

(11.24)

ψx = [−iκσ3 + 12ux

(0 −11 0

)]ψ

ψt = i4κ

(cos(u) sin(u)sin(u) − cos(u)

)]ψ

(11.25)

u(x, t) = 4η arctan[exp[−2p(x +t

4p2− ξ)]]

con p > 0 e ξ reale ed arbitrario.Per η = +1 la soluzione e un kink, per η = −1 e un antikink.Riportiamo oltre la precedente soluzione solitonica anche la soluzione‘breather’ per la Sine-Gordon :

u(x, t) = 4 arctan[a sin[bx− bt

a2+b2+θ]

b cosh[a(x + ta2+b2

− ξ)]

con a e b positivi e ρ e θ reali arbitrari.

6. Equazioni di Maxwell-Block ridotte (RMB)

Et(x, t) = v(x, t)

vx(x, t) = ω u(x, t) + E(x, t)q(x, t)

qx(x, t) = −E(x, t)v(x, t)

ux(x, t) = −ω v(x, t)

(11.26)

I campi E(x, t), v(x, t) e u(x, t) vanno a zero per |x| → ∞, mentre ilcampo q(x, t) = q± = costanti per |x| → ∞. ω e un parametro realecostante.Riportiamo di seguito la Coppia di Lax del sistema :

ψx = [−iκσ3 + 12E

(0 −11 0

)]ψ

ψt = i2

14κ2−ω2 [2κ(qσ3 + vσ1)− ωuσ2]ψ

(11.27)

11.2 Alcune equazioni non lineari integrabili di interesseapplicativo: loro Coppia di Lax e soluzione solitonica 135

Le soluzioni del sistema sono della forma :

E(x, t) = 2acosh[a(x−wt−ξ)]

v(x, t) = awE(x, t) tanh[a(x− wt− ξ)]

qx(x, t) = q∞ + 12E2(x, t)

u(x, t) = ω wE(x, t)

(11.28)

dove abbiamo definito w = −q∞ 1a2+ω2 , con a, ξ e q∞ reali ed arbitrari.

7. Equazioni delle tre onde risonanti (3WRI)

ut + Cux = (Cu∗)× u∗

con u = (u1, u2, u3) vettore a componenti complesse e C = diag[c1, c2, c3] =C∗ matrice costante delle velocita caratteristiche.La coppia di Lax del sistema e :

ψx = [−iκ

b1 0 00 b2 00 0 b3

+

0 u3 −u∗2−u∗3 0 u1

u2 −u∗1 0

]ψ

ψt = [iκ

a1 0 00 a2 00 0 a3

−

0 c3u3 −c2u∗2

−c3u∗3 0 c1u1

c2u2 −c1u∗1 0

]ψ

(11.29)con ai e bi per i = 1, 2, 3 costanti reali tali che :

(a1 − a2)(a1 − a3)(a2 − a3) 6= 0

(b1 − b2)(b1 − b3)(b2 − b3) 6= 0

Siano poi per n = 1, 2, 3 :

cn = an+1−an+2

bn+1−bn+2

un = i(q∗ − q)(bn+1 − bn+2)hn+1h∗n+2

h(x, t) = v(x,t)||v(x,t)||

(11.30)

v(x, t) =

e−iq(b1x−a1t) 0 00 e−iq(b2x−a2t) 00 0 e−iq(b3x−a3t)

(γ1, γ2 γ3)

T

(11.31)con q e γi parametri complessi arbitrari.

Parte III

SIT & ISTSelf-Induced Transparency andInverse Scattering Transform

137

Universita degli Studi di Roma “La Sapienza”Facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Dipartimento di FisicaLaurea Specialistica in Fisica

Corso di Onde Nonlineari e SolitoniProf. Antonio Degasperis

SIT & ISTSelf-Induced Transparency

&Inverse Scattering Transform

Dario Dell’Arciprete30 maggio

Anno Accademico2006-2007

138

Sommario

Obiettivo di questo lavoro e lo studio del fenomeno della trasparenza auto-indotta - noto anche con l’acronimo SIT, dall’inglese Self-Induced Transpa-rency. Qui, poniamo maggiore enfasi sull’aspetto matematico del modelloadottato nella descrizione del fenomeno naturale, ovvero l’Inverse ScatteringTransform - in breve, IST. In particolare,

nel 1° capitolo, discutiamo brevemente i fenomeni riguardanti la propa-gazione di impulsi ultracorti nei dielettrici risonanti e la fenomenologiaSIT;

nel 2° capitolo, deriviamo le equazioni SIT applicando il metodo per-turbativo multiscala alle equazioni di Maxwell-Bloch e da queste l’e-quazione di sine-Gordon;

nel 3° capitolo, sviluppiamo l’IST per il problema di Zakharov e Shabat,mostriamo come e possibile ricondursi a questo sistema partendo dalleSIT ed, infine, ricaviamo la soluzione a singolo solitone.

Capitolo 12

Propagazione di impulsiultracorti in mezzi risonanti

In questo capitolo, introduciamo il fenomeno della trasparenza auto-indottaincludendolo tra quelli che riguardano la propagazione di impulsi ultra-cortiin mezzi risonanti assorbenti ed esprimendo alcune condizioni generali di esi-stenza per tali effetti. Successivamente, riportiamo una descrizione fenomeno-logica della trasparenza auto-indotta ed accenniamo ad alcune proprieta degliimpulsi.

12.1 Effetti nonlineari coerenti di transiente

L’interazione di un impulso laser molto breve ed intenso - o di un campolaser rapidamente variabile - con un materiale dielettrico risonante caratte-rizzato da una definita capacita di assorbimento, permette l’osservazione dimolteplici effetti ottici nonlineari coerenti di transiente.

Tali effetti sono detti di transiente perche il periodo dell’interazione emolto piccolo se confrontato coi tempi caratteristici di rilassamento del si-stema molecolare. Il termine coerente, d’altra parte, si riferisce al tipo di in-terazione: il periodo temporale considerato e cosı breve che tutte le molecoledel mezzo sono in grado di reagire in sincrono al campo ottico applicato e glieffetti di rilassamento legati all’emissione spontanea sono percio trascurabili.

Tra questi processi, i piu noti e studiati sono - [36]:

1. la trasparenza auto-indotta;

2. l’eco fotonico;

3. la nutazione ottica.

140 Propagazione di impulsi ultracorti in mezzi risonanti

L’osservabilita di tali fenomeni richiede che siano soddisfatte specifichecondizioni sia sull’impulso incidente che sul mezzo assorbente. Tra quellegeneralmente verificate, possiamo ricordare:

la frequenza dell’impulso di luce deve essere uguale - o comunque vi-cina (ad esempio, secondo una distribuzione nota) - alla frequenza dirisonanza del mezzo;

la durata dell’impulso - o della variazione del campo - deve essere piupiccola del tempo di rilassamento del sistema molecolare assorbente;

il campo ottico deve essere abbastanza intenso.

In questa situazione, la variazione della distribuzione delle popolazioni tradue stati ottici correlati ed il rilassamento di fase delle popolazioni degli statieccitati del mezzo possono essere essenziali per comprendere l’evoluzione delfenomeno. Cio che si osserva in generale e che la risposta del mezzo nondipende solamente dal valore istantaneo della funzione E(t) che descrive ilcampo ottico applicato, ma dal valore integrale di questa su di un certointervallo temporale.

Lo studio di tali fenomeni consente quindi di approfondire i meccanismidi interazione coerente nella fase transiente tra il campo ottico impulsivo edil mezzo risonante, e di misurare quantita importanti come i parametri dirilassamento del sistema, gli elementi di matrice corrispondente al momentodi dipolo, etc...

Inoltre, da un punto di vista prettamente sperimentale 1, tali argomen-ti di ricerca portano al crescente sviluppo di tecniche particolareggiate, in-centrate sulla manipolazione di impulsi ottici, sui metodi di conteggio, diamplificazione - [39], di trasmissione senza perdite, etc... che trovano im-mediato campo di applicazione nella costruzione di circuiti logici e, dunque,nell’optical computing.

In questo lavoro, approfondiremo lo studio del fenomeno della trasparen-za auto-indotta servendoci di un opportuno modello matematico. In breve,questo comportamento dei mezzi risonanti consiste - sotto opportune con-dizioni, oltre a quelle sopra citate - nel mostrare una completa trasparenza(trasmittivita T = 1) al passaggio di determinati impulsi luce chiamati 2π-pulse (impulsi-2π, la cui origine sara spiegata nel prossimo paragrafo § 12.2),consentendo cosı una trasmissione senza perdite di forma e di energia delsegnale (da cui il modello a solitoni).

1L’effetto SIT e stato verificato sperimentalmente nel caso di un campione di rubidioirradiato da luce impulsiva laser-rubidio - [37] e [38].

12.2 Fenomenologia SIT 141

12.2 Fenomenologia SIT

Vogliamo qui dare una descrizione fenomenologica del SIT per chiarire fisi-camente quali sono le fasi di cui si compone il processo durante il qualel’impulso ultra-corto coerente interagisce col dielettrico assorbente risonante- [37].

Innanzitutto e bene notare che gli effetti derivanti dall’assorbimento diradiazione coerente - od incoerente - debole sono sostanzialmente differentida quelli che possono essere osservati nell’assorbimento di radiazione moltointensa.

Nel primo caso, il processo di assorbimento trova una corretta interpre-tazione utilizzando un approccio dispersivo lineare, in particolar modo se illivello energetico dello stato fondamentale del mezzo assorbente subisce unadiminuzione minima della popolazione a causa della radiazione incidente. Apoco a poco che l’intensita della radiazione risonante aumenta, il problemalineare puo essere perturbato per tener conto di una debole nonlinearita.

D’altra parte, considerando radiazioni impulsive coerenti di grande in-tensita, l’ampiezza temporale dell’impulso ha un effetto critico se risulta es-sere comparabile - o eventualmente piu piccola - del tempo di smorzamen-to del mezzo risonante: la variazione della popolazione degli stati divienemarcatamente nonlineare e dipendente dal tempo.

Consideriamo per semplicita un sistema a due soli livelli energetici, nondegenere, come modello del mezzo assorbente risonante (per approfondimen-ti si veda [40]). Poniamo che il mezzo abbia dimensioni molto piu grandidell’impulso luce, ovvero che la lunghezza d’onda della radiazione sia moltopiu piccola delle dimensioni del mezzo e che quest’ultimo non sia contenutoin alcuna cavita.

Quando un impulso entra ed attraversa il mezzo nella parte iniziale, unafrazione di energia dell’impulso viene assorbita e trattenuta come energia dieccitazione del sistema a due livelli; dopo poche lunghezze di assorbimento,l’intensita dell’impulso decresce seguendo la legge di assorbimento di Beer 1.

Sebbene i dipoli risultino eccitati dopo che l’impulso e passato, essi nonsono in grado di irradiare l’energia di eccitazione acquisita poiche velocementesi sfasano a causa dello spettro di frequenze verso il quale sono stati eccitati.Fino al momento in cui e presente un dato gruppo di dipoli eccitati coe-rentemente dall’impulso, l’assorbimento viene indotto dalla risonanza grazie

1La legge empirica di (Lambert-)Beer afferma che T = Iout

Iin= e−kλl, dove T e la

trasmittivita, Iin e l’intensita della radiazione incidente, Iout di quella uscente, kλ e ilcoefficiente di estinzione ed l e la lunghezza del mezzo attraversato.

142 Propagazione di impulsi ultracorti in mezzi risonanti

Assorbimento Emissione

Eccitato

Fondamentale

Figura 12.1: Schema del processo di assorbimento indotto ed emissionestimolata.

alla quale un contributo del campo elettrico irradiato dai dipoli contrasta ilcampo elettrico dominante.

Comunque, se l’intensita dell’impulso iniziale e sufficiente per eccitare idipoli risonanti verso uno stato saturo energeticamente prima che l’impul-so stesso svanisca, una certa quantita di energia della radiazione dell’emis-sione indotta e riacquisita coerentemente dalla parte rimanente dell’impulso.Ne segue che il campo elettrico generato dalla polarizzazione indotta va asommarsi a quello dominante.

Una volta che il processo di emissione si instaura all’ordine piu basso,esso diventa sempre piu favorito a mano a mano che l’impulso si propaga nelmezzo, sino a che non viene raggiunta la condizione di equilibrio: l’energiadell’emissione indotta, trasferita al fascio di luce durante l’ultima meta del-l’impulso, diventa uguale all’energia dell’assorbimento indotto, trasportatadal fascio di luce durante la prima meta.

Questa e la dinamica della trasparenza auto-indotta. La condizione per-che questa si mantenga si riassume nella proprieta del sistema di far seguireall’assorbimento coerente indotto dell’energia dell’impulso durante la primameta di questo, un’emissione coerente stimolata della stessa quantita di ener-gia lungo la direzione del fascio di luce nella seconda meta dell’impulso. Infigura 12.1, riportiamo lo schema del processo appena descritto.

In questa descrizione, abbiamo assunto molto piccole le attenuazioni cau-sate dagli smorzamenti o dalle perdite per diffusione, ma sostanzialmente glieffetti di trasparenza risultano pressoche inalterati se l’ampiezza temporaledell’impulso e piccola rispetto al tempo di smorzamento.

Nel caso di un’onda piana, la stabilita e raggiunta se l’impulso entrantesi evolve secondo una funzione secante iperbolica (come avremo modo dimostrare analiticamente) nelle variabili temporale e spaziale, e soddisfa aduna seconda proprieta - da cui deriva il nome, spesso usato in letteratura,

12.2 Fenomenologia SIT 143

Figura 12.2: Evoluzione di impulsi-2π per diverse intensita.

di impulso-2π: se andiamo, infatti, a calcolare l’integrale temporale di taleimpulso, in opportune unita di misura, il risultato e 2π: 2P

∫∞−∞ E(t) dt = 2π,

dove P e l’elemento della matrice di dipolo ed e la costante di Planck divisaper 2π (vedi § 13.1). La velocita dell’impulso nel mezzo attenuatore e minorerispetto a quella della luce non risonante a causa del continuo assorbimentodi energia dal picco iniziale dell’impulso e dell’emissione dell’energia verso larestante parte.

Facciamo notare infine che il fenomeno della trasparenza non si verificasolamente nel caso speciale della trasmissione di un singolo impulso: in ge-nerale, quando lo smorzamento e piccolo, un singolo impulso di sufficienteintensita (ovvero, con un’area estesa, corrispondente all’integrale temporaledel campo elettrico associato) puo suddividersi in due o piu impulsi-2π auto-propagantisi, accompagnati eventualmente da radiazione che decade in modoesponenziale. All’uscita dal mezzo, l’impulso finale puo essere caratterizza-to da una sovrapposizione di impulsi-2π con varie ampiezze, fasi, tempi diritardo e frequenze centrali. Tali comportamenti sono stati osservati negliesperimenti di Slusher e Gibbs - [39]. In figura 12.2, sono mostrati i risultatidi una serie di osservazioni (grafico a sinistra) e simulazioni (grafico a destra)in cui l’intensita iniziale dell’impulso (linea tratteggiata) assume diversi val-ori (la linea continua corrisponde all’impulso finale): per il piu basso (a),si ha il semplice assorbimento dell’impulso; nei casi (b) e (c), si osserva ilformarsi dell’impulso-2π, mentre per intensita ancora piu elevate, casi (d) ed(e), l’impulso iniziale si suddivide in due e tre impulsi-2π, rispettivamente.

Capitolo 13

Derivazione delle equazioni SIT

In questo capitolo, deriviamo le equazioni SIT: partendo dalle equazioni diMaxwell-Bloch (MB) che esprimono l’interazione tra il campo elettrico in-cidente ed il dielettrico, sviluppiamo il metodo perturbativo multiscala dalquale ricaviamo le equazioni SIT - [42]. Successivamente, mostriamo comel’equazione di sine-Gordon (SG) emerga dalle SIT in assenza di distribuzionedisomogenea delle risonanze.

13.1 Equazioni di Maxwell-Bloch

Come discusso in § 12.2, il SIT e un fenomeno che si verifica quando un ma-teriale dielettrico assorbente e irradiato da un campo elettrico (ad esempio,un fascio laser) ad una frequenza vicina a quella di risonanza del mezzo.

Al fine di ricavare le equazioni del modello, consideriamo la versione piusemplice di materiale dielettrico che consiste in un sistema quantistico a duelivelli - [40], nel quale si riconoscono, quindi, uno stato fondamentale ed unoeccitato. Supponiamo che non ci sia alcuna degenerazione dei livelli e che gliatomi si trovino inizialmente nel loro stato fondamentale, cioe che il mezzosi comporti da attenuatore 1.

Il campo elettrico incidente ha una frequenza prossima a quella di riso-nanza degli atomi ed in tali condizioni riesce ad eccitarli. Il trasferimentodi energia dal campo elettrico al mezzo e di solito irreversibile ed e in gradodi privare l’impulso di tutta la sua energia. Il tasso di energia assorbita daparte del mezzo e dato dalla legge di Beer (§ 12.2).

Per far sı che il fenomeno si verifichi e necessario che un impulso ultra-corto e sufficientemente intenso assuma un particolare profilo temporale in

1Nel caso opposto, in cui gli atomi si trovano nello stato eccitato, si parla di mezzoamplificatore. Per il caso degenere, si faccia riferimento a [42].

13.1 Equazioni di Maxwell-Bloch 145

modo tale che il fronte dell’onda possa cedere energia (in modo coerente) almezzo, il quale a sua volta la mantiene per un certo intervallo di tempo perpoi restituirla (sempre coerentemente) alla seconda parte dell’impulso.

Per una particolare scelta dell’impulso, accade che il sistema di atomisi mantiene nel suo stato fondamentale, non si riscontra alcuna perdita dienergia e l’impulso si propaga con una velocita ridotta attraverso il mezzo, ilquale puo dirsi a tutti gli effetti trasparente.

Consideriamo, allora, le equazioni di Maxwell. Per un materiale dielet-trico ideale queste si riducono a

1

c2Ett + µ0 Ptt +∇×∇× E = 0 . (13.1)

Qui, E e il campo elettrico incidente, P e la polarizzazione totale del mate-riale, dovuta sia ai dipoli risonanti che a quelli non risonanti; c e la velocitadella luce nel mezzo e µ0 e la permeabilita magnetica del vuoto.

Nella nostra descrizione assumiamo per convenienza che P rappresentisolo la polarizzazione legata ai dipoli risonanti e a quelli vicini alla risonanza.Tale interpretazione e valida se poniamo che c coincida con la velocita di fasedella luce nel mezzo quando i dipoli risonanti (o vicini alla risonanza) sonoassenti. Ponendoci, ad esempio, nelle condizioni dell’esperimento di McCalled Hahn - [37] e [38], condotto su un campione di rubidio (Rb), la frazionedi ioni risonanti di Cr3+, presenti nell’Al2O3, e molto piccola: in questasituazione, c e la velocita di fase della luce nell’Al2O3 e P e la polarizzazionedovuta ai soli ioni di Cr3+.

Assumiamo che i dipoli risonanti siano ditribuiti in modo tale da interagirecol campo elettrico incidente, ma senza alcuna interazione mutua dipolo-dipolo. Sotto queste condizioni, sia p(x, t; ω) la polarizzazione di un singolodipolo (di modulo p) nello schema a due livelli con frequenza di transizioneω e sia η(x, t; ω) la differenza tra le densita normalizzate di popolazioni dellostato eccitato e di quello fondamentale. Vale, dunque, che |η| ≤ 1 e cheη = −1 se tutti i dipoli con frequenza ω si trovano nello stato fondamentale(assumiamo inoltre che tale situazione sussista anche per t → −∞).

Da considerazioni legate alla natura quantistica del processo - [41] (in par-ticolare l’appendice A), si puo mostrare che p, η ed E sono legati attraversole seguenti relazioni:

ptt + ω2p = −1

3

(2ωP

h

)E η , (13.2)

ηt =

(2

hω

)E · pt , (13.3)

146 Derivazione delle equazioni SIT

dove h e la costante di Planck e P e l’elemento della matrice di dipoloper una data transizione ed e dell’ordine P = O(qr) in cui q e la caricadell’elettrone ed r e il raggio medio dei dipoli. Notiamo che per il nostroproblema (1+1)-dimensionale, il fattore 1

3nella (13.2) viene omesso poiche

tiene conto di tutte le possibili orientazioni spaziali permesse per il sistemaa due livelli.

Come gia anticipato in § 12.2, i termini di smorzamento e di rilassamentolento possono essere inclusi nelle (13.2), (13.3) (come mostrano le simulazionie le osservazioni effettuate da Slusher e Gibbs - [39]). Pur omettendo talieffetti nella descrizione del fenomeno, dobbiamo ricordarci pero del fatto cheil nostro modello non sarebbe piu valido se ciascun dipolo rimanesse eccitatoper un tempo comparabile a quello di rilassamento del sistema molecolare(ad esempio, nel caso dei vapori di Rb usati nell’esperimento di Slusher eGibbs, il tempo piu breve e circa 3× 10−8 sec - [39]).

Abbiamo assunto che vi fossero dipoli esattamente risonanti ed altri vicinialla risonanza. Per descrivere questa situazione in cui alcuni dipoli noncadono precisamente sulla frequenza del campo incidente, introduciamo ilmodello della distribuzione disomogenea in cui le frequenze di transizionedei dipoli risonanti non sono identiche, ma distribuite (secondo una funzionedi distribuzione normalizzata, ad esempio una gaussiana od una lorentziana)attorno alla frequenza centrale di risonanza ω0. Tale situazione, che viene acrearsi negli esperimenti, e dovuta allo spostamento delle frequenze per effettoDoppler (Doppler frequency shift) nel caso dei gas, ed ai campi elettrostaticoall’interno del cristallino e magnetico nel caso dei solidi. Richiediamo dunqueche

|ω − ω0| ¿ ω0 ,

come condizione di quasi-risonanza. Se vi sono N0 dipoli risonanti (costanti)per unita di volume, la polarizzazione totale P si puo scrivere cosı:

P = N0

∫ +∞

−∞p(x, t; ω) g(ω) dω = N0 〈p〉 , (13.4)

dove g(ω) e la densita di probabilita (il termine che rappresenta la distri-buzione disomogenea) normalizzata all’unita:

∫∞−∞ g dω = 1. Le parentesi

acute 〈. . .〉 rappresentano l’operazione di integrazione∫∞−∞(. . .) g(ω) dω sullo

spettro disomogeneo di frequenze .

Riassumendo, le (13.1)→(13.4) sono le equazioni di Maxwell-Bloch.Osserviamo che tali equazioni sono integrabili e dunque godono di proprietaspeciali (§§ 14.1, 14.6).

13.2 Equazioni SIT 147

13.2 Equazioni SIT

Una caratteristica importante del SIT consiste nel fatto che la distribuzionedisomogenea dei dipoli permette di assumere che la polarizzazione totale Psia debole. In formule, stiamo affermando che, nella (13.1), vale∣∣∣∣

1

c2Ett

∣∣∣∣ À |µ0 Ptt| ,

cosicche la parte di backscattering, cioe di ritorno dell’impulso, possa esseretrascurata.

Si mostra - [42], che un’altra appropriata misura di questa distribuzionedi dipoli e

ε2 =N0P2c2µ0

2hω0

¿ 1 ,

che puo essere interpretata come un rapporto di energie. Tale quantita eimportante perche da questa dipende la validita del metodo perturbativomultiscala applicato alle equazioni MB dalle quali ricaviamo le equazioniSIT.

Le equazioni SIT emergono nel limite di campo debole. Richiediamo che

|E| = O

(εhω0

P

)

e che il campo elettrico assuma la forma di un’onda trasversa di debole in-tensita alla frequenza ω0 con un inviluppo lentamente variabile propagantesilungo la direzione x (approssimazione “svea”, ovvero slowly varying enve-lope amplitude). Trattiamo il caso di un campo polarizzato linearmente (perla polarizzazione circolare non si verificano cambiamenti sostanziali - [43]).Essendo in (1+1)-dimensioni, avremo

E ∼ hω0

2P

ε j

[E(χ, τ) eiθ + E∗(χ, τ) e−iθ

]+ ε2 E1

,

doveθ = k0x− ω0t , χ = εk0 x , τ = εω0 t .

Le nuove variabili χ e τ rappresentano le variabili lente (o riscalate) spazialee temporale, caratteristiche dell’approccio multiscala. Consistentemente conle equazioni (13.1)→(13.4), assumiamo i seguenti sviluppi:

ω = ω0 (1 + 2εα) , (13.5)

η ∼ η0(χ, τ ; α) + ε η1 , (13.6)

p ∼ P

2j

[p(χ, τ ; α) eiθ−i π

2 + p∗(χ, τ ; α) e−iθ+i π2

]+ ε Pp1 , (13.7)

P = ε2 2hω0

c2P〈p〉 . (13.8)

148 Derivazione delle equazioni SIT

dove α e un parametro che in seguito giochera il ruolo di variabile spettrale(§ 14.1.2) ed e definito dalla (13.5). Analogamente, dobbiamo assumere deglisviluppi per gli operatori differenziali:

∂x → ∂x + ε k0∂χ + . . . , ∂t → ∂t + ε ω0∂τ + . . . .

Per ottenere le equazioni di nostro interesse, e sufficiente troncare lo sviluppoal secondo ordine in ε.

Dalla (13.1), operando gli sviluppi del caso e per l’ordine O(ε), abbiamo

che k20 =

ω20

c2, cioe il numero d’onda della portante e determinato dal mezzo

sul quale va ad incidere, nel caso in cui gli atomi risonanti siano assenti. Al-l’ordine successivo, O(ε2), a meno dei termini secolari connessi al contributoE1, otteniamo che

Eχ + Eτ = 〈p〉 .Applicando tale metodo perturbativo alla (13.2) per O(1), ricaviamo l’e-quazione dell’oscillatore armonico, mentre per il successivo O(ε), deriviamo,dopo aver rimosso al solito i termini secolari, la seguente uguaglianza

pτ + 2iα p = Eη .

Analogamente per la (13.3), all’ordine O(1), ricaviamo che η e costante(∂tη0 = 0) e rimuovendo nuovamente i termini secolari, otteniamo, al primoordine O(ε), l’equazione

ητ = −1

2(Ep∗ + E∗p) .

Per concludere, scriviamo le tre precedenti equazioni in termini delle coordi-nate caratteristiche χ = χ, T = τ − χ.

Le equazioni SIT sono dunque

Eχ = 〈p〉 , (13.9)

pT + 2iα p = Eη , (13.10)

ηT = −1

2(Ep∗ + E∗p) . (13.11)

Osserviamo che tali equazioni godono dell’importante proprieta di essereintegrabili. Le condizioni al contorno ed iniziali appropriate sono:

E → 0 , T → ±∞,∀χ > 0 ,

p → 0 , η → −1 , T → −∞ ,

ed inoltre E(χ = 0, T ) e noto e decresce rapidamente per T → ±∞ 1.

1Come avremo modo di notare nel prossimo capitolo, la scelta delle giuste condizioniper gli andamenti asintotici delle funzioni e fondamentale per l’applicabilita dell’IST e peirisultati che ne seguono.

13.2 Equazioni SIT 149

13.2.1 Sharp line limit : l’equazione di sine-Gordon

E utile mostrare come l’equazione SG rappresenti un caso speciale del sistemacostituito dalle equazioni SIT (13.9)→(13.11). Tale equazione si ottiene nellimite in cui le frequenze dei dipoli vanno a coincidere in un’unica frequenzadi risonanza ω0. In sostanza, cio corrisponde ad eliminare la distribuzionedisomogenea:

g(ω) = δ(ω − ω0) .

Con questa scelta, le equazioni (13.9)→(13.11) si trasformano in

Eχ = p , (13.12)

pT = Eη , (13.13)

ηT = −1

2(Ep∗ + E∗p) . (13.14)

Per la (13.12), basta ricordare il significato delle 〈. . .〉; per la (13.13), ripren-diamo la definizione di α, data dallo sviluppo (13.5). Dalle (13.13), (13.14),ricaviamo il seguente integrale primo:

η2 + |p|2 = 1 , (13.15)

Questa uguaglianza suggerisce la parametrizzazione

η = cos(ϑ) , p = eiψ sin(ϑ) , ϑ = ϑ(χ, T ) .

Da cio segue che, se E ha una fase costante inizialmente, allora

ψ = cost. , E = eiψ ϑT , (13.16)

Infine, dalle (13.12), (13.16), ricaviamo l’equazione di sine-Gordon 1 (sulcono luce), le proprieta di integrabilita della quale sono note:

ϑχT = sin(ϑ) .

1Il fatto che l’equazione di sine-Gordon sia risolubile tramite l’IST, ci porta subito apensare che anche le equazioni SIT, dalle quali la stessa sine-Gordon e stata ora derivata,siano risolubili applicando lo stesso metodo con opportune modifiche.

Capitolo 14

Inverse Scattering Transform

In questo capitolo, dopo aver presentato le origini e le idee che sono allabase dell’IST, discutiamo in dettaglio i problemi di scattering diretto edinverso. In seguito, affrontiamo l’evoluzione temporale dei dati di scatteringe la soluzione a singolo solitone rappresentante la propagazione dell’impulso-2π. Concludiamo con la soluzione per il sistema di equazioni SIT ed alcuneosservazioni sul metodo risolutivo adottato e sulle equazioni integrabili.

14.1 Introduzione al metodo

Il metodo dell’Inverse Scattering Transform fu sviluppato ed applicato perla prima volta nella risoluzione dell’equazione di Korteweg-de Vries (KdV)da Gardner, Greene, Kruskal e Miura. Non era chiaro inizialmente se talemetodo potesse essere applicato anche ad altre equazioni importanti dellaFisica - [42], [45].

Zakharov e Shabat sciolsero tale dubbio, mostrando che cio era possibile:rifacendosi ad un tecnica introdotta da Lax, provarono che l’equazione diSchrodinger nonlineare (NLS) e legata ad un problema di scattering lineareed applicando metodi di scattering diretto ed inverso, riuscirono a risolvere laNLS, noto il dato iniziale q(x, 0) e supponendo che tale potenziale decadessein modo sufficientemente rapido per |x| → ∞.

Questo lavoro e stato fonte di nuove idee per risolvere altre importantiequazioni: l’equazione di Korteweg-de Vries modificata (mKdV) risolta daWadati, l’equazione SG da Ablowitz, Kaup, Newell e Segur.

Tali risultati provano quindi la potenza e la versatilita dell’IST nel ri-solvere determinati problemi fisici connessi a delle equazioni nonlineari allederivate parziali.

14.1 Introduzione al metodo 151

14.1.1 La coppia di Lax

Ripercorriamo ora le idee essenziali che stanno alla base del metodo introdot-to da Lax. Consideriamo due operatori L ed M. L e l’operatore del problemaspettrale ed M e l’operatore associato all’equazione d’evoluzione temporale:

L v = λ v , (14.1)

vt = M v . (14.2)

Nel caso particolare della KdV, il problema di scattering associato e quellodi Schrodinger:

L v = vxx + u(x, t) v = λ v , da cui L ≡ ∂2x + u(x, t) ,

con ut + uux + uxxx = 0 (KdV ≡ condizione di compatibilita) .

Derivando la (14.1) rispetto al tempo ed assumendo λt = 0 (isospettralitadell’operatore L), abbiamo che

Lt v + L vt = λ vt .

Sostituendovi la (14.2), ricaviamo

Lt + [L,M ] = 0 . (14.3)

In questa uguaglianza, nota come equazione di Lax, e contenuta un’equazionedi evoluzione nonlineare 1 a patto che L ed M siano scelti correttamente. Seun’equazione nonlineare alle derivate parziali si presenta come condizione dicompatibilita dei due operatori L ed M, allora la (14.3) e chiamata rappresen-tazione di Lax dell’equazione d’evoluzione nonlineare alle derivate parziali edL ed M formano la coppia di Lax. Data L, Lax ha indicato come costruireuna M associata in modo tale da non rendere triviale la (14.3). Le diffi-colta nascono quando, per una data equazione alle derivate parziali, non sidispone di un metodo per determinare se esiste una rappresentazione di Laxcorrispondente e quindi il modo secondo il quale determinare gli operatoriassociati.

Tale elegante metodo presenta, dunque, le seguenti difficolta: (i) e neces-sario indovinare un forma appropriata per L e poi trovare M in modo taleche soddisfino le (14.1), (14.2); (ii) puo risultare difficile lavorare con deglioperatori differenziali.

1Tale equazione di evoluzione nonlineare rappresenta la condizione di compatibilitadella (14.3) e nel caso di Schrodinger coincide con la KdV.

152 Inverse Scattering Transform

14.1.2 Il problema di Zakharov e Shabat

Una procedura alternativa e quella proposta da Ablowitz, Kaup, Newell eSegur che puo essere formulata in maniera molto generale nel seguente modo.

Consideriamo le due equazioni lineari

vx = Xv , (14.4)

vt = Tv , (14.5)

dove v e un vettore n-dimensionale ed X e T sono delle matrici n × n. Lacondizione di compatibilita per queste due equazioni (vxt = vtx) porta a

Xt −Tx + [X,T ] = 0 . (14.6)

In sostanza, questo risultato e equivalente alla (14.3), ma e piu generaleperche permette di introdurre una dipendenza dagli autovalori del problemarispetto alla (14.1): nell’operatore X possiamo inserire tale dipendenza (para-metrica) dall’autovalore (costante nel tempo: λt = 0). Dato X, si mostrache vi e una semplice procedura per trovare T in modo tale che la (14.6)contenga un’equazione di evoluzione nonlineare 1.

Consideriamo allora il problema di scattering di Zakharov e Shabat checonsiste in un problema agli autovalori 2× 2 dato da

v1x = −ik v1 + q v2 , (14.7)

v2x = ik v2 + r v1 , (14.8)

insieme alle due seguenti dipendenze lineari dal tempo

v1t = Av1 + B v2 , (14.9)

v2t = C v1 + D v2 , (14.10)

dove A, B, C e D sono delle funzioni scalari di q(x, t), r(x, t) e k, indipendentida v = (v1, v2). Le (14.7), (14.8) e le (14.9), (14.10) corrispondono alle (14.4),(14.5), ed X e T sono date dal membro di destra delle (14.7), (14.8) e (14.9),(14.10), rispettivamente:

X =

( −ik qr ik

), T =

(A BC D

).

1Osserviamo che una soluzione completa dell’equazione nonlineare di evoluzione sul-l’intervallo infinito puo essere trovata quando il problema di scattering completo associatoe tale che il problema di scattering inverso possa essere effettivamente portato a termine.Infatti, sebbene esistano numerose equazioni nonlineari di evoluzione che soddisfino alla(14.6), una teoria completa (di scattering diretto ed inverso) per molte di queste equazioniassociate non e stata ancora adeguatamente sviluppata.


Se comparissero delle derivate rispetto ad x nel membro di destra delle (14.9),(14.10), queste potrebbero essere assorbite usando le (14.7), (14.8).

Vogliamo mostrare ora come sia possibile derivare dal sistema di Za-kharov e Shabat alcune tra le piu importanti equazioni integrabili nonlinearidi evoluzione di interesse applicativo. Tali equazioni si presentano comecondizioni di compatibilita del sistema di partenza, nel quale e stata ope-rata un’opportuna scelta dei potenziali e dei coefficienti che emergono dallosviluppo polinomiale troncato al grado n-esimo (che specificheremo caso percaso) delle funzioni scalari A, B, C e D. Osserviamo, prima di sviluppare,che, ad esempio, per r = −1, le (14.7), (14.8) si riducono al problema discattering per l’equazione di Schrodinger:

v2xx +(k2 + q

)v2 = 0 , (k2 ≡ −λ) .

La compatibilita delle (14.7), (14.8) con le (14.9), (14.10) impone chesiano verificate una serie di condizioni su A, B, C e D. Richiedendo allorache (vitx) = (vixt) con i = 1, 2 ed assumendo l’isospettralita dell’operatore X(ovvero kt = 0), troviamo le seguenti equazioni per A, B, C e D:

Ax = q C − r B ,

Bx + 2ik B = qt − (A−D) q ,

Cx − 2ik C = rt + (A−D) r ,

−Dx = q C − r B .

Senza perdere in generalita, possiamo porre D = −A. Dunque, otteniamotre equazioni della forma

Ax = q C − r B , (14.11)

Bx + 2ik B = qt − 2Aq , (14.12)

Cx − 2ik C = rt + 2Ar . (14.13)

A questo punto, formalmente, non rimane che risolvere tale sistema per A, Be C. Cio che si trova in generale e che il sistema puo essere risolto se un’ul-teriore condizione e soddisfatta: questa condizione e proprio l’equazione dievoluzione. Procediamo, allora, con l’espansione polinomiale dei coefficientiA, B e C nel parametro libero k (l’autovalore):

A =n∑

j=0

Ajkj , B =

n∑j=0

Bjkj , C =

n∑j=0

Cjkj .

Sostituiamo questi sviluppi polinomiali ed uguagliamo i coefficienti dellepotenze di k. Da calcoli diretti, per k3 abbiamo che B2 = C2 = 0 ((14.12),


(14.13)). Per k2, la (14.11) restituisce A2 = a2 = cost.; la (14.12) da B1 =ia2q; la (14.13), invece, C1 = ia2r. Per k, la (14.11) porta a A1 = a1 = cost.:per semplicita, poniamo che a1 = 0 (se mantenessimo a1 6= 0, otterremmoun’equazione ancor piu generale); la (14.12) da B0 = −a2qx/2; dalla (14.13),otteniamo che C0 = a2rx/2. Infine, per k0, la (14.11) da A0 = a2qr/2 + a0,e poniamo di nuovo per semplificare, che a0 = cost. = 0; le (14.12), (14.13)restituiscono, invece,

qt = a2 q2r − 1

2a2 qxx , (14.14)

rt = −a2 qr2 +1

2a2 rxx . (14.15)

Se poniamo r = ±q∗, allora le (14.14), (14.15) sono compatibili se a2 = iα,con α ∈ R . Inoltre, posto α = 2, otteniamo la NLS (focusing e defocusing,a seconda del segno)1:

i qt = qxx ± 2 q2q∗ .

D’altra parte, se lo sviluppo e basato sulle potenze inverse di k, e possibilericavare la SG: assumendo A = a(x, t)/k, B = b(x, t)/k, C = c(x, t)/k,otteniamo che ax = i/2 (qr)t, qxt = −4ia q, rxt = −4ia r; con le scelte speciali:a = i/4 cos(u), b = c = i/4 sin(u), q = −r = −ux/2, ricaviamo la SG sulcono luce: uxt = sin(u).

Osserviamo che un altro modo di scrivere in forma compatta il sistema(14.7), (14.8) e il seguente:

vx = [−ikσ3 + Q] v , (14.16)

dove si fa uso della matrice di Pauli σ3 e della matrice dei potenziali Q:

σ3 =

(1 00 −1

), Q =

(0 qr 0

).

Di seguito, riportiamo alcune equazioni d’evoluzione nonlineari integrabili,accompagnate dalla loro coppia di Lax e dalla soluzione a singolo solitone.

1In modo del tutto analogo, e possibile ricavare altre importanti equazioni, come laKdV o la mKdV - [42].


Equazione NLS (focusing)

irt + rxx + 2|r|2r = 0 , r = r(x, t) ∈ C ,

vx = [−ikσ3 +

(0 −r∗

r 0

)]v ,

vt = [(2ik2 − i|r|2)σ3 +

(0 2kr∗ + ir∗x

−2kr + irx 0

)]v ,

r(x, t) =aei[bx−(b2−a2)t+θ]

cosh[a(x− 2bt− ξ)], (14.17)

dove a, b, ξ, θ ∈ R sono parametri arbitrari.

Equazione NLS (defocusing)

irt + rxx − 2|r|2r = 0 , r = r(x, t) ∈ C ,

vx = [−ikσ3 +

(0 r∗

r 0

)]v ,

vt = [(2ik2 + i|r|2)σ3 +

(0 −2kr∗ − ir∗x

−2kr + irx 0

)]v ,

r(x, t) = iρ + arctan[a(x− vt)] e−ih(ρ− v

2)x+“3ρ2+2a2−ρv+ v2

4

”ti,(14.18)

dove a, b, ρ, v ∈ R sono parametri arbitrari 1.

Equazione SG

rxt = sin(r) ,

vx = [−ikσ3 +rx

2

(0 −11 0

)]v ,

vt =i

4k

(cos(r) sin(r)sin(r) − cos(r)

)v ,

r(x, t) = 4η arctan

[e−2p

“x+ t

4p2−ξ”]

, (14.19)

dove r(x, t) → 0 per x → +∞; r(x, t) → nπ per x → −∞;∫∞−∞ dx sin[r(x, t)] =

0; p > 0 e ξ ∈ R, arbitrari 2.

1Questo solitone e un kink; e detto gray se ρ 6= 0, dark altrimenti.2Per η = +1, r e un kink, mentre per η = −1 un anti-kink.


Equazioni MB (espresse in forma ridotta)

Et = v , vx = ωu + Eq , qx = −Ev , ux = −ωv ,

vx = [−ikσ3 +E

2

(0 −11 0

)]v ,

vt =i

2

(1

4k2 − ω2

)[2k(qσ3 + vσ1)− ωσ2]v ,

E(x, t) =2a

cosh[a(x− wt− ξ)], w = −q∞

1

a2 − ω2,

v(x, t) = awE(x, t) tanh[a(x− wt− ξ)] ,

u(x, t) = ωwE(x, t) ,

dove E, v, u, q sono funzioni di x e t, ed ω = cost. ∈ R ; E, v, u → 0 e qtende a valori costanti per x → ±; inoltre, q(x, t) = q∞ + 1

2wE2(x, t) ed a, ξ,

q∞ ∈ R arbitrari; σ1, σ2 sono le matrici di Pauli.

14.2 Problema Diretto

Vogliamo ora concentrarci sul problema dello scattering diretto che con-siste nel trasferire il potenziale q(x, t = 0) nella corrispondente trasformataS(k, 0).

Cominciamo con l’assumere che i due potenziali q ed r nelle (14.7), (14.8)decrescano rapidamente per |x| → ∞. Notiamo da subito che tale assunzionee di fondamentale importanza, dato che una teoria dello scattering con dif-ferenti condizioni al contorno (quali sono quelle date per i potenziali) portaa risultati sostanzialmente differenti.

Definiamo, allora, le autofunzioni φ(x, k), φ(x, k), ψ(x, k) e ψ(x, k) 3 (vet-tori a due componenti, e.g. φ(x, k) = (φ1, φ2)(x, k)) associate al sistema diZakharov e Shabat (14.7), (14.8), fornendo le rispettive condizioni al contorno- [45]:

φ ∼(

10

)e−ikx , φ ∼

(0−1

)eikx , per x → −∞ , (14.20)

ψ ∼(

01

)eikx , ψ ∼

(10

)e−ikx , per x → +∞ . (14.21)

Tali soluzioni asintotiche sono definite ad un tempo fissato (ad esempio al-l’istante t = 0) e tutta la teoria dello scattering di cui discuteremo in questo

3Per chiarezza, facciamo osservare che φ non e il complesso coniugato di φ; per indicareil complesso coniugato di φ, useremo φ∗.

14.2 Problema Diretto 157

paragrafo sara ad un istante di tempo fissato; in § 14.4, vedremo come ot-tenere le autofunzioni dipendenti dal tempo che soddisfano alle (14.7)→(14.10).In questo paragrafo, la variabile tempo t (declassata a parametro) e, dunque,omessa nella notazione.

In modo del tutto generale, se u(x, k) e v(x, k) (vettori colonna a duecomponenti: u(x, k) ≡ (u1(x, k), u2(x, k))T , ed analogamente per v) sonodue soluzioni delle (14.7), (14.8), abbiamo che

d

dxW (u, v) = 0 ,

dove W (u, v) e il wronskiano di u e v definito come

W (u, v) = u1v2 − u2v1 .

In base alle condizioni al contorno (14.20), (14.21), desumiamo che W (φ, φ) =W (ψ, ψ) = −1 = −W (φ, φ) = −W (ψ, ψ). Le soluzioni ψ e ψ sono d’altraparte linearmente indipendenti, percio possiamo scrivere

φ(x, k) = a(k) ψ(x, k) + b(k) ψ(x, k) , (14.22)

φ(x, k) = −a(k) ψ(x, k) + b(k) ψ(x, k) , (14.23)

dove abbiamo introdotto le funzioni a(k), b(k), a(k) e b(k). Usando le (14.22),(14.23) e W (φ, φ) = −1, ricaviamo l’uguaglianza

a(k) a(k) + b(k) b(k) = 1 . (14.24)

Introduciamo per convenienza (comportamento asintotico semplice e proprie-ta di analiticita notevoli), le funzioni

M(x, k) = φ(x, k) eikx , M(x, k) = φ(x, k) e−ikx , (14.25)

N(x, k) = ψ(x, k) e−ikx , N(x, k) = ψ(x, k) eikx , (14.26)

le quali verificano (consistentemente con le (14.20), (14.21))

M(x, k) ∼(

10

), M(x, k) ∼

(0−1

), per x → −∞ ,

N(x, k) ∼(

01

), N(x, k) ∼

(10

), per x →∞ .

Osserviamo che dalle definizioni (14.25), (14.26) e (14.22), (14.23) derivanole relazioni

M(x, k)

a(k)= N(x, k) + ρ(k) e2ikx N(x, k) , (14.27)

M(x, k)

a(k)= −N(x, k) + ρ(k) e−2ikx N(x, k) , (14.28)


dove

ρ(k) =b(k)

a(k), ρ(k) =

b(k)

a(k).

Qui, ρ(k) e t(k) = 1a(k)

sono i coefficienti di riflessione e di trasmissione,rispettivamente.

Facciamo notare che i casi fisici importanti si verificano quando r e pro-porzionale a q∗ o a q. Nel caso r = ±q∗ di maggiore interesse, dalle (14.7),(14.8), ricaviamo le seguenti relazioni di simmetria

ψ(x, k) =

ψ∗2

±ψ∗1

(x, k∗) ;

N∗2

±N∗1

(x, k∗) = N ,

(14.29)

φ(x, k) =

∓φ∗2

−φ∗1

(x, k∗) ;

∓M∗

2

−M∗1

(x, k∗) = M ,

le quali implicano (ricordando che a = W (φ, ψ)) che

a(k) = a∗(k∗) , b(k) = ∓b∗(k∗) , ρ(k) =b(k)

a(k)= ∓ρ∗(k∗)

Un risultato analogo si ha per r = ±q (e sufficiente sostituire k∗ con −k).In base a queste relazioni di simmetria, e semplice mostrare che i coeffi-

cienti di trasmissione e di trasmissione soddisfano l’uguaglianza (si osservi la14.24)

|ρ(k)|2 + |t(k)|2 = 1 .

Al fine di studiarne le proprieta di analiticita, le funzioni M, M, N edN possono essere espresse in forma di equazioni integrali. Queste rappre-sentazioni integrali sono molto convenienti per diverse ragioni: ad esempio,l’equazione integrale include direttamente le condizioni al contorno, men-tre nel caso di un’equazione differenziale tali condizioni sono date separata-mente; inoltre, in generale, l’operatore integrale corrispondente e compatto(contrariamente a quello differenziale) cosicche il problema puo essere risoltoservendosi di metodi iterativi per approssimazioni successive (sfruttando ilteorema delle contrazioni). A riguardo, riesprimiamo le (14.7) e (14.8) nellaforma

(v1 eikx)x = q v2 eikx ,

(v2 e−ikx)x = r v1 e−ikx .


Integrando le precedenti e facendo uso delle condizioni al contorno date inprecedenza, otteniamo le seguenti equazioni integrali:

M(x, k) =

(10

)+

∫ ∞

−∞G+(x− ξ, k)Q(ξ)M(ξ, k) dξ , (14.30)

N(x, k) =

(01

)+

∫ ∞

−∞G+(x− ξ, k)Q(ξ)N(ξ, k) dξ , (14.31)

M(x, k) =

(0−1

)+

∫ ∞

−∞G−(x− ξ, k)Q(ξ) M(ξ, k) dξ , (14.32)

N(x, k) =

(10

)+

∫ ∞

−∞G−(x− ξ, k)Q(ξ) N(ξ, k) dξ , (14.33)

in cui

Q(x) =

(0 q(x)

r(x) 0

)

e

G+(x, k) =

(1 00 e2ikx

)θ(x) ,

G+(x, k) = −(

e−2ikx 00 1

)θ(−x) ,

G−(x, k) =

(e−2ikx 0

0 1

)θ(x) ,

G−(x, k) = −(

1 00 e2ikx

)θ(−x) ,

dove θ(x) e la funzione di Heaviside (θ(x) = 1 se x > 0, θ(x) = 0 se x < 0) e

G+, G+ (G−, G−) rappresentano i nuclei analitici nel semipiano-k superiore(inferiore). Riconosciamo, dunque, nelle (14.30)→(14.33) quattro equazioniintegrali di Volterra che ammettono soluzione unica per ogni k. Le seriedi Neumann di tali equazioni convergono per Q(x) ∈ L1(R) nel relativosemipiano, cioe per una scelta dei potenziali q ed r assolutamente integrabili.Infatti, si verifica che se

∫ ∞

−∞|x|n

(∣∣∣∣q(x)r(x)

∣∣∣∣)

dx < ∞ , ∀n . (14.34)

allora l’analiticita puo essere prolungata all’asse reale k.Osserviamo infine che in queste condizioni, M ed N sono analitiche nel

semipiano superiore (=(k) = η > 0), ed M ed N lo sono in quello inferiore


(η < 0). Inoltre, notiamo sin da subito che queste proprieta portano ad avereche

a = W (φ, ψ) = φ1ψ2 − φ2ψ1 (14.35)

e analitica nel semipiano superiore, mentre

a = W (φ, ψ) = φ1ψ2 − φ2ψ1 (14.36)

lo e in quello inferiore 1.Nel caso in cui r e q decrescano piu velocemente di qualsiasi esponen-

ziale per |x| → ∞, le funzioni costruite su questi sono analitiche in tuttoil piano complesso-k. Il caso speciale di un supporto compatto semplificanotevolmente lo studio dell’analiticita delle funzioni, dato che in questo ca-so le equazioni integrali di Volterra sono definite su un intervallo finito. Sipuo mostrare che tali equazioni hanno sempre soluzioni in serie di Neumannassolutamente convergenti.

Per quanto concerne i coefficienti di scattering a(k), a(k), b(k) e b(k),possiamo esprimerli in forma di integrali sui potenziali q(x), r(x) e sulleautofunzioni per meglio caratterizzare le rispettive proprieta di analiticita.A riguardo, definiamo

∆(x, k) = M(x, k)− a(k) N(x, k) . (14.37)

Sostituiamo le equazioni (14.30)→(14.33) nella (14.37) e, sfruttando la con-dizione (

G+ − G−)

(x, k) =

(1 00 e2ikx

),

ricaviamo

∆(x, k)−∫ ∞

−∞G−(x− ξ, k)Q(ξ)∆(ξ, k) dξ =

= [1− a(k)]

(10

)+

∫ ∞

−∞

(1 00 e2ik(x−ξ)

)Q(ξ)M(ξ, k) dξ.(14.38)

D’altra parte, le (14.27), (14.37) producono

∆(x, k) = b(k) e2ikx N(x, k) , (14.39)

da cui, sostituendovi l’equazione integrale per N(x, k) ed usando l’uguaglian-za

e2ikx G+(x, k) = G−(x, k) ,

1Per il calcolo esplicito si veda [42].


otteniamo

∆(x, k)−∫ ∞

−∞G−(x− ξ, k)Q(ξ)∆(ξ, k) dξ = b(k) e2ikx

(01

). (14.40)

Confrontando dunque i membri di destra delle (14.38), (14.40), risulta che

a(k) = 1 +

∫ ∞

−∞q(x) M2(x, k) dx , (14.41)

b(k) = −∫ ∞

−∞e−2ikx r(x) M1(x, k) dx , (14.42)

in cui M1(x, k) ed M2(x, k) sono le componenti di M(x, k). In modo analogo,si ricavano le equazioni per i coefficienti di scattering a(k) e b(k):

a(k) = 1 +

∫ ∞

−∞r(x) M1(x, k) dx , (14.43)

b(k) = −∫ ∞

−∞e2ikx q(x) M2(x, k) dx . (14.44)

Ricordiamo che i quattro coefficienti a(k), a(k), b(k) e b(k) possono esserericavati usando le relazioni basate sul wronskiano (14.35), (14.36) (e relativeper b(k) e b(k)). Come gia fatto osservare, dalle (14.41), (14.43), deduciamodirettamente che a(k) (a(k)) e analitico nel semipiano-k superiore (inferiore),dato che M(x, k) (M(x, k)) gode di tali proprieta.

Poniamo ora il caso in cui il termine a(k) possieda degli zeri nel semipia-no superiore (η > 0) o a(k) ne abbia in quello inferiore (η < 0). In questasituazione, il problema di scattering (14.7), (14.8) possiede autovalori discreti(esistenza di stati legati). Indichiamo con kj, j = 1, 2, . . . , N gli zeri di a(k),dove N e il numero di stati legati. Allora, abbiamo che per k = kj, φ risultaessere proporzionale a ψ (ricordiamo che W (φ, ψ) = a), ovvero che φ = Cj ψ.Analogamente, se abbiamo k = kj, con j = 1, 2, . . . , N , allora φ = Cj ψ.

Abbiamo visto che con q ed r decrescenti rapidamente per |x| → ∞, icoefficienti di scattering a, b, a e b sono funzioni analitiche in tutto il pianocomplesso. Verificata la (14.34), a(k) (a(k)) e analitica sull’asse reale comelo e nel semipiano superiore (inferiore). Questo ci assicura che a(k) ha soloun numero finito di zeri per =(k) ≥ 0 (cioe a(k) e analitica per =(k) ≥ 0 eda(k) → 1 per |k| → ∞). Dunque tutti gli zeri di a(k) sono isolati e giaccionoin una regione limitata. Osserviamo che per la scelta r = −q∗, si ha

N = N , kj = k∗j , Cj = ∓C∗j .


Mettendo a confronto il problema (14.7), (14.8) (che verifica le condizioniasintotiche (14.20), (14.21)) con quello di Schrodinger, ci accorgiamo di al-cune differenze: (i) gli zeri di a(k) (cioe gli autovalori) non sono necessari-amente limitati all’asse immaginario; (ii) a(k) puo avere zeri multipli; (iii)a(k) puo annullarsi per =(k) = 0.

Abbiamo cosı concluso il problema diretto, abbiamo cioe indivuato tuttigli elementi necessari a definire S(k, 0) partendo dal potenziale iniziale q(x, 0):il coefficiente di riflessione ρ(k), gli zeri kj e le costanti Cj di normalizzazionedelle autofunzioni (tutti al tempo iniziale t = 0):

q(x, 0) =⇒ S(k, 0) :=

ρ(k, 0), kj, Cj(0)Nj=1

.

14.3 Problema Inverso

Vogliamo ora risolvere il problema inverso che consiste nel passaggio dallatrasformata S(k, t), gia evoluta nel tempo, al potenziale q(x, t).Tale problemapuo essere risolto seguendo strade diverse.

Il problema di Riemann-Hilbert

Generalemente, lo si puo scrivere come un problema di Riemann-Hilbert(problema RH). Riprendiamo allora le equazioni (14.27), (14.28). Facciamonotare che, in generale, tutti i problemi di scattering che si incontrano nellostudio di equazioni alle derivate parziali unidimensionali, quali quelle che orastiamo trattando, possono essere posti nella forma

(m+ −m−) (x, k) = V(x, k)m−(x, α(k)) , su Σ , (14.45)

conm± → I , per |x| → ∞ ,

dove Σ e un opportuno contorno del piano-k complesso, α(k) e V(k) sonodefinite su Σ, V (generica componente di V) dipende esplicitamente daidati di scattering; m±(x, k) sono funzioni meromorfe di matrici n × n dik ∈ C \Σ per =(k) ≶ 0, ed m±(x, k) ha un numero finito di poli in puntispecifici k1, k2, . . . , kN del piano complesso, coi relativi residui.

Definiamo, allora, le matrici 2× 2

m+(x, k) =

(M(x, k)

a(k),N(x, k)

),

m−(x, k) =

(N(x, k),−M(x, k)

a(k)

),

14.3 Problema Inverso 163

cosicche possiamo scrivere un problema nella forma della (14.45), equivalentealle (14.27), (14.28), dove

V(x, k) =

ρ(k) ρ(k) ρ(k) e2ikx

ρ(k) e−2ikx 0

.

Dalle equazioni integrali (14.30)→(14.33), ricaviamo le formule asintoticheper m±(x, k) quando k →∞:

m±(x, k) ∼

1 + 12ik

∫∞x

q(ξ) r(ξ) dξ q(x)2ik

− r(x)2ik

1− 12ik

∫ x

−∞ q(ξ) r(ξ) dξ

.

Poniamo, inizialmente, che non esistano zeri di a(k) ed a(k). Consideria-mo l’operatore di proiezione P± definito da

P±f =1

2πi

∫ ∞

−∞

f(ζ)

ζ − (k ± i0)dζ .

Con f± analitica nel semipiano superiore/inferiore e tale che f± → 0 per|k| → ∞ (con =(k) ≶ 0), il risultato dell’applicazione e

P±f±(k) = ± f±(k) , P±f∓(k) = 0

Facciamo agire l’operatore di proiezione P− sulla (14.45), ottenendo

m−(x, k) = I +1

2πi

∫ ∞

−∞

V(x, ζ)m−(x, ζ)

ζ − (k − i0)dζ , (14.46)

che rappresenta la soluzione formale del problema.Se poniamo, ora, che a(k) = 0, allora dobbiamo aggiungere nella (14.46)

i contributi dati dai poli - i quali contengono le soluzioni solitoniche.Comparando le formule asintotiche per |k| → ∞, ricaviamo

∫∞x

q(ξ)r(ξ)dξ q(x)

−r(x) − ∫∞x

q(ξ)r(ξ)dξ

=

= − 1

π

∫∞−∞ ρ(ζ) e2iζx N1(x, ζ)dζ

∫∞−∞ ρ(ζ) e−2iζx N1(x, ζ)dζ

∫∞−∞ ρ(ζ) e2iζx N2(x, ζ)dζ

∫∞−∞ ρ(ζ) e−2iζx N2(x, ζ)dζ

,

dal quale possiamo dedurre le espressioni per i potenziali q(x) ed r(x).


Le equazioni di Gel’fand-Levitan-Marchenko

Una procedura alternativa consiste nel risolvere il problema inverso attraver-so le equazioni integrali di Gel’fand-Levitan-Marchenko. Queste equazionipossono essere derivate direttamente dal problema RH. In breve, si trattadi operare una trasformata di Fourier ordinaria della trasformata spettrale.Assumiamo che

N(x, k) =

(01

)+

∫ ∞

x

K(x, s) eik(x−s) ds , (14.47)

N(x, k) =

(10

)+

∫ ∞

x

K(x, s) e−ik(x−s) ds . (14.48)

dove K(x, s) (K(x, s)) e un vettore colonna a due componenti: K(x, s) =(K1(x, s)K2(x, s)

). Il termine integrale riguardante K (K) rappresenta la dif-

ferenza tra i valori al contorno per x = ∞ e le vere autofunzioni. L’osser-vazione fondamentale, ora, sta nel notare che i nuclei K e K sono indipendentidall’autovalore k. Per provarlo, dobbiamo sostituire le (14.47), (14.48) nelproblema agli autovalori (14.7), (14.8). Ad esempio, esplicitando il conto perla (14.47), abbiamo

∫ ∞

x

eiks [ (∂x − ∂s) K1(x, s)− q(x) K2(x, s) ] ds +

− [ q(x) + 2K1(x, x) ] eikx + lims→∞

[K1(x, s) eiks

]= 0 ,

(14.49)∫ ∞

x

eiks [ (∂x + ∂s) K2(x, s)− r(x) K1(x, s) ] ds +

− lims→∞

[K2(x, s) eiks

]= 0 .

Dobbiamo imporre, allora, che

(∂x − ∂s) K1(x, s)− q(x) K2(x, s) = 0 ,

(∂x + ∂s) K2(x, s)− r(x) K1(x, s) = 0 ,

le quali sono soggette alle seguenti condizioni al contorno che ci fornisconouna semplice espressione per il potenziale q(x).

K1(x, x) = −1

2q(x) , (14.50)

lims→∞

K2(x, s) = 0 .

14.3 Problema Inverso 165

Deriviamo, dunque, le equazioni integrali lineari di Marchenko per il pro-blema inverso. Consideriamo k su un contorno C nel piano complesso cheparte da k = −∞ + i0+, passante al di sopra di tutti gli zeri di a(k) e chetende a k = +∞+ i0+. Assumendo decadimenti rapidi per i potenziali q edr, riprendiamo la (14.27). Sostituendovi le (14.47), (14.48), troviamo

M(x, k)

a(k)=

(10

)+

∫ ∞

x

K(x, s) e−ik(x−s) ds +

+b

a(k)

[(01

)e2ikx +

∫ ∞

x

K(x, s) eik(x+s) ds

]. (14.51)

Trasformiamo ora tale espressione tramite l’operatore 12π

∫C dk eiky per y > x,

usiamo dunque la delta di Dirac δ(x) = 12π

∫C dk eikx, scambiamo gli integrali

ed otteniamo

I = K(x, y) +

(01

)F (x + y) +

∫ ∞

x

K(x, s) F (s + y) ds ,

dove

F (x) =1

2π

∫

C

b

a(k) eikx dk =

1

2π

∫

Cρ(k) eikx dk (14.52)

I ≡ 1

2π

∫

C

M(x, k)

a(k)eik(y−x) dk . (14.53)

Osserviamo che per φ eikx analitica in tutto il semipiano superiore, y > x, etenendo conto del fatto che il contorno passa al di sopra di tutti gli zeri di a,l’integrale nella (14.53) e nullo. Allora, otteniano l’equazione desiderata:

K(x, y) +

(01

)F (x + y) +

∫ ∞

x

K(x, s) F (s + y) ds = 0 . (14.54)

Svolgendo nuovamente gli stessi conti per la (14.23) nel semipiano inferiore,ricaviamo

K(x, y)−(

10

)F (x + y)−

∫ ∞

x

K(x, s) F (s + y) ds = 0 , (14.55)

con

F (x) =1

2π

∫

C

b

ae−ikx dk =

1

2π

∫

Cρ(k) e−ikx dk (14.56)

dove C e un contorno simile a C, ma passante al di sotto degli zeri di a(k).


Un caso speciale per queste formule lo si ha quando si assume che a(k)non si annulli sull’asse reale (k = k e η = 0) e possieda degli zeri sempliciisolati 1. L’integrazione lungo i contorni C, C delle (14.52), (14.56) restituisce

F (x) =1

2π

∫ ∞

−∞ρ(k) eikx dk − i

N∑j=1

Cj eikjx , (14.57)

F (x) =1

2π

∫ ∞

−∞ρ(k) e−ikx dk + i

N∑j=1

Cj eikjx . (14.58)

Le equazioni integrali (14.54), (14.55) possono essere scritte come un’u-nica equazione integrale matriciale definendo

K = (K,K) =

(K1 K1

K2 K2

), F =

(0 −FF 0

).

Cosı, abbiamo:

K(x, y) + F(x + y) +

∫ ∞

x

K(x, s)F(s + y) ds = 0 . (14.59)

Nel caso speciale e fisicamente importante r = ±q∗, emergono numeroserelazioni di simmetria. Dalle (14.29), ricaviamo

F (x) = ∓F ∗(x) ,

K(x, y) =

(K∗

2(x, y)±K∗

1(x, y)

).

In base alle simmetrie ottenute, l’equazione integrale (14.59) si puo ridurre a

K1(x, y)±F ∗(x+y)∓∫ ∞

x

∫ ∞

x

K1(x, z) F (z+s) F ∗(s+y) ds dz = 0 . (14.60)

Risolta l’equazione di Gel’fand-Levitan-Marchenko nell’incognita K1(x, y) edusando la (14.50), otteniamo l’espressione per il potenziale q(x):

q(x) = −2K1(x, x) . (14.61)

In base a considerazioni del tutto simili, si ricava che il potenziale r(x)soddisfa l’uguaglianza

r(x) = −2K2(x, x) , (14.62)

1Osserviamo di nuovo che, diversamente dal problema di scattering legato all’equazionedi Schrodinger, a(k) ed a(k) possono annularsi sull’asse reale ed avere radici multiple.

14.4 Dipendenza temporale e soluzione a singolo solitone 167

(si ripercorra il calcolo esplicito che porta alla (14.49)).Abbiamo cosı concluso il problema di scattering inverso, ovvero il passag-

gio dalla trasformata spettrale per t > 0 al potenziale q(x, t):

S(k, t) :=

ρ(k, t), kj, Cj(t)Nj=1

=⇒ q(x, t) .

14.4 Dipendenza temporale e soluzione a sin-

golo solitone

L’aver sviluppato le equazioni di scattering inverse connesse al problemageneralizzato di Zakharov e Shabat consiste, una volta definiti i dati di scat-

tering a tempo t > 0: S(k, t) =kj, Cj(t)N

j=1,ba(k, t) ≡ ρ(k, t)

, (ovvero

gli autovalori discreti, le costanti di normalizzazione ed il coefficiente di rif-lessione), nel risolvere - almeno in principio - l’equazione integrale associata.La soluzione dell’equazione integrale, allora, restituisce il potenziale q(x) -(14.61) (r(x) - (14.62)). Tale procedura puo essere eseguita per ogni tempot che qui gioca il ruolo di un semplice parametro. Dato che siamo interessatipero a risolvere un’equazione di evoluzione del sistema, procediamo comesegue.

Evoluzione dei dati di scattering

Cominciamo col costruire le soluzioni delle (14.7)→(14.10). Dati q, r → 0per |x| → ∞, otteniamo una larga classe di equazioni con la proprieta cheA → A−(k), D → −A−(k), B,C → 0 per |x| → ∞. Le funzioni dipendentidal tempo sono definite come

φ(t) = φ eA−t , ψ(t) = ψ e−A−t ,

φ(t) = φ e−A−t , ψ(t) = ψ eA−t ,

dove φ, φ, ψ e ψ soddisfano le (14.7), (14.8) con le condizioni al contorno(14.20), (14.21). E bene notare che l’equazione di evoluzione temporale non

ammette condizioni al contorno fissate. Dunque, φ ∼(

10

)e−ikx e le altre

funzioni non possono soddisfare le (14.9), (14.10). Ad esempio, l’evoluzionetemporale di φ(t),

∂φ(t)

∂t=

(A BC D

)φ(t)


mostra che φ soddisfa a

∂φ

∂t=

(A− A−(k) B

C D − A−(k)

)φ . (14.63)

Usando la relazione (14.22)

φ = a ψ + b ψ ∼ a

(10

)e−ikx + b

(01

)eikx , per x →∞ ,

allora, la (14.63) per x →∞ restituisce(

at e−ikx

bt eikx

)=

(0

−2A−(k) b eikx

).

Quindi per i coefficienti a(k) e b(k), abbiamo le seguenti equazioni di evoluzionetemporale:

a(k, t) = a(k, 0) , (14.64)

b(k, t) = b(k, 0) e−2A−(k)t .

Dalla (14.64), deduciamo che gli autovalori kj sono costanti nel tempo.In modo analogo, siamo in grado di ricavare delle equazioni di evoluzione

per le costanti di normalizzazione Cj(t) (diamo direttamente l’espressione).L’evoluzione temporale e espressa da

Cj(t) = Cj(0) e−2A−(kj)t , j = 1, 2, . . . , N. (14.65)

Quanto effettuato per le funzioni φ e ψ, va ripetuto, ripercorrendo gli stes-si conti, al fine di ricavare i dati di scattering contenuti in S(k, t) (sfruttandola (14.23)). Riportiamo di seguito i risultati:

a(k, t) = a(k, 0) ,

b(k, t) = b(k, 0) e−2A−(k)t ,

Cj(t) = Cj(0) e−2A−(kj)t , j = 1, 2, . . . , N.

Possiamo allora introdurre la dipendenza temporale nelle (14.57), (14.58):

F (x, t) =1

2π

∫ +∞

−∞

b

a(k, 0) eikx−2A−(k)t dk− i

N∑j=1

Cj(0) eikjx−2A−(kj)t , (14.66)

F (x, t) =1

2π

∫ +∞

−∞

b

a(k, 0) e−ikx+2A−(k)t dk + i

N∑j=1

Cj(0) e−ikjx+2A−(kj)t .

(14.67)

14.4 Dipendenza temporale e soluzione a singolo solitone 169

Abbiamo cosı operato l’evoluzione dei dati di scattering e dunque descrit-to il problema complessivo di scattering diretto ed inverso. Concludiamo,riportando lo schema che illustra i tre passi fondamentali.

q(x, 0)Problema Diretto

=⇒ S(k, 0) :=

ρ(k, 0) ≡ ba(k, 0), kj, Cj(0)N

j=1

¿ ↓ ? ⇓ Evoluzione Temporale

q(x, t)Problema Inverso⇐= S(k, t) :=

ρ(k, t) ≡ b

a(k, t), kj, Cj(t)N

j=1

Soluzione speciale a singolo solitone

Avendo ricavato la dipendenza temporale dei dati di scattering (cioe latrasformata spettrale espressa in funzione del tempo), possiamo dedicarcia discutere le soluzioni solitoniche speciali.

Consideriamo, allora, il caso r = −q∗ e la (14.60). Per F (x), scegliamoba(t = 0) = 0, poniamo cioe che non esista il contributo connesso allo spet-

tro continuo, e sia N = 1: esiste un solo autovalore discreto. Dunque,(omettendo la dipendenza temporale per semplicita di scrittura)

F (x) = −ic eikx , c = C1 , k = κ + iη , η > 0 . (14.68)

Sostituendo la (14.68) nella (14.60), otteniamo

K1(x, y) = ic∗ e−ik∗(x+y) +

−∫ ∞

x

∫ ∞

x

K1(x, z) |c|2 eikz eis(k−k∗) e−ik∗y ds dz . (14.69)

Definiamo

K1(x) =

∫ ∞

x

K1(x, z) eikz dz .

Moltiplichiamo la (14.69) per il fattore eiky e, svolgendo l’integrale∫∞

xeiky dy,

ricaviamo un’equazione per K1(x) (η > 0), la cui soluzione e data da

K1(x) = − c∗ ei(k−2k∗)x

(k − k∗)[1− |c|2

(k−k∗)2e2i(k−k∗)x

] .

Dalla (14.69), possiamo trovare K1(x, y):

K1(x, y) =ic∗ e−ik∗(x+y)

[1− |c|2

(k−k∗)2e2i(k−k∗)x

] .


Dunque, il potenziale q e dato da (si veda (14.50))

q(x) = −2K1(x, x) = − 2ic∗ e−2iκx

e2ηx +(|c|24η2

)e−2ηx

.

Definendo |c|24η

= e4φ, otteniamo

q(x) = −ic∗

|c| 2η e−2ikx × sech [2 (ηx− φ)] ,

soluzione a singolo solitone per tutte le equazioni di evoluzione che rispet-tano r = −q∗, soggette alla condizione sui coefficienti A, B, C e D discussein precedenza.

Reintroduciamo ora il tempo per avere l’espressione finale del solitone- l’impulso-2π - in funzione delle coordinate spaziale e temporale. Dalla(14.65), c = c(t) verifica

c = c0 e−2A−(k)t ,

dunque l’espressione del potenziale in cui compare esplicitamente la dipen-denza dal tempo e

q(x, t) = 2η e−2iκx e2i=(A−(k))t e−i(ψ0+π/2) × sech [2ηx + 2<(A−(k))t− x0] ,(14.70)

dove c0 ≡ |c0| eiψ0 e x0 ≡ ln(|c0|/2η).

Nel caso della NLS, abbiamo che A−(k) = 2ik2 e la (14.70) e data da

q(x, t) = 2η e−2iκx e4i(κ2−η2)t−i(ψ0+π/2) × sech [2ηx− 8κηt− x0] ,

dove la velocita della soluzione e data da 4κ e l’ampiezza da 2η.Nel caso della SG, quando esiste un solo autovalore appartenente all’asse

immaginario κ = 0, si ha <(A−(k)) = 14η

e =(A−(k)) = 0. Dunque, dalla

(14.70), otteniamo che (posto ψ0 = π/2)

q(x, t) = −2η × sech

(2ηx +

1

2ηt + x0

)= −ux

2

e la soluzione (a singolo kink) per la SG e data da

u = 4 arctan(e2ηx+ 1

2ηt+x0

).

Riesprimendo tutto nelle coordinate x = (X+T )/2, t = (X−T )/2, otteniamoche, per la SG (espressa nel sistema di riferimento del laboratorio)

uTT − uXX + sin(u) = 0 ,

la soluzione assume la forma

u(X, T ) = 4 arctan(e(η+ 1

4η )(X−X0)+(η− 14η )T

).

14.5 SIT come sistema di Zakharov e Shabat e soluzione finale171

14.5 SIT come sistema di Zakharov e Shabat

e soluzione finale

Vogliamo ora far osservare come dalle equazioni SIT sia possibile ricondur-si al sistema di Zakharov e Shabat (mostrando cosı che le SIT possono es-sere risolte tramite l’IST). Ricordiamo l’esistenza dell’integrale primo (13.15),connesso alle (13.10), (13.11). Possiamo fattorizzare tale integrale primo nelledue seguenti uguaglianze - [44]:

p∗

1− η=

1 + η

p=

v2

v1

, (14.71)

p

1− η=

1 + η

p∗=

(v2

v1

)∗,

dove abbiamo introdotto le variabili v1, v2 (le quali compaiono nel sistema(14.7), (14.8) di Zakharov e Shabat). Riesprimendo le equazioni SIT (13.10),(13.11) in termini del rapporto v2

v1, otteniamo due nuove equazioni. Per la

(13.10), si ricava che

v2T

v1

− v2

v1

v1T

v1

= 2iαv2

v1

− 1

2E

(v2

v1

)2

− 1

2E∗ . (14.72)

Riconosciamo nella (14.72) la forma dell’equazione di Riccati. Possiamoallora operare una trasformazione il cui fine e l’eliminazione del terminequadratico; poniamo che

v1T

v1

= λ +1

2E

v2

v1

, (14.73)

ove λ e un parametro complesso. Otteniamo dunque le due seguenti equazioniper v1 e v2:

v1T = λ v1 +1

2E v2 , (14.74)

v2T = λ v2 + 2iα v2 − 1

2E∗ v1 . (14.75)

Possiamo scrivere queste due ultime in forma matriciale:

v = Zv ,

con v ≡ (v1,v2) e Z matrice della forma

Z =

λ E2

−E∗2

λ + 2iα


Richiediamo inoltre che Z sia una matrice a traccia nulla (in modo taleda sfruttare le proprieta derivanti dal teorema del wronskiano - § 14.2, ericavare λ = −iα). Osserviamo che allora dalle (13.10), (13.11), siamo passatial sistema di Zakharov e Shabat. Per completare la trasformazione delleequazioni SIT, dobbiamo interessarci alla prima di queste, la (13.9). Datev1, v2 e la (14.71), possiamo scrivere che

Eχ = 〈p〉 =⟨(1 + η)

v1

v2

⟩.

Inoltre, dalla (13.15) e dalla (14.71), ricaviamo che

∣∣∣∣v2

v1

∣∣∣∣2

=1 + η

1− η→ η =

∣∣∣v2

v1

∣∣∣2

− 1∣∣∣v2

v1

∣∣∣2

+ 1.

Infine, otteniamo per la trasformazione di (13.9), la seguente equazione

Eχ =⟨ 2v1v

∗2

|v1|2 + |v2|2⟩

.

Come gia mostrato in § 14.1.2, assumendo le seguenti equazioni differen-ziali per v1 e v2:

v1χ = Av1 + B v2 ,

v2χ = C v1 − Av2 ,

la compatibilita tra queste ultime e le (14.74), (14.75), impone che i coeffi-cienti A, B e C verifichino

AT =1

2(EC + E∗B) (14.76)

BT + 2ik B =1

2Eχ − AE (14.77)

CT − 2ik C = −1

2E∗

χ − AE∗ (14.78)

corrispondenti alle (14.11)→(14.13) per q = 12E = −r∗. Comparando tali

equazioni alle SIT (13.9)→(13.11) - [42], una soluzione delle (14.76)→(14.78)e

A(χ, T ; k) =i

4

⟨ η

k − α

⟩=

i

4

∫ ∞

−∞

η(χ, T ; α)

k − αg(ω) dω ,

B = − i

4

⟨ p

k − α

⟩,

C = B∗ . (14.79)

14.6 Osservazioni finali 173

14.6 Osservazioni finali

Abbiamo visto, dunque, che gli ingredienti base del metodo IST sono rappre-sentati da un’equazione differenziale lineare contenente un parametro spet-trale complesso ed un problema RH anch’esso lineare; inoltre, una delle pe-culiarita di tale metodo e l’esistenza di uno spettro discreto (in aggiunta aquello continuo associato al pacchetto d’onda), nel quale e contenuta, comecaso speciale la soluzione ad onda solitaria.

Osserviamo, infine, che, in un ambito del tutto generale, se un’equazionedi evoluzione nonlineare (ad esempio una PDE, un’ODE, un’equazione inte-gro-differenziale per una funzione scalare, matriciale od una funzione ad ndimensioni spaziali ed una temporale (n+1)-dimensionale) puo essere mappa-ta in un’equazione d’evoluzione lineare attraverso il metodo dell’IST, allora,questa possibilita implica che tale equazione possegga molte importanti pro-prieta: ad esempio, il sistema ha infinite leggi di conservazione, puo esserescritto usando una struttura hamiltoniana, . . . ed e dunque detto integrabile.

Notiamo anche, pero, che le equazioni d’evoluzione integrabili sono deicasi davvero speciali, e che una qualsiasi equazione d’evoluzione nonlinearenon puo essere analizzata attraverso questo metodo.

Inoltre, un metodo generale per determinare se una data equazione d’evo-luzione nonlineare e integrabile non e ancora noto. Cio che conosciamo benee una tecnica di generazione di classi d’equazioni d’evoluzione nonlineariintegrabili per mezzo dell’IST.

Cio che sorprende (con nostra grande felicita) e che comunque un nu-mero elevato d’equazioni integrabili (e, a seconda dei casi, le relative formeapprossimate) costituisce un insieme di buoni modelli naturali.

Parte IV

Sull’Equazione di Sine-GordonGiunzione Josephson esoluzione ad un solitone

175

Universita degli Studi di Roma‘La Sapienza’

Facolta di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corso di Onde nonlineari e Solitoni

Anno Accademico 2006-2007

Sull’ Equazione di Sine-Gordon :Giunzione Josephson e soluzione ad un solitone

Giorgio Ferrari

176

In questo lavoro vogliamo studiare il significato fisico e le proprieta d’integrabilita dell’ equazione di Sine-Gordon (SG).Dopo una breve introduzione sullo stato superconduttivo della materia, ri-caveremo l’ equazione di Sine-Gordon come equazione di evoluzione delladifferenza di fase nelle funzioni d’onda dei due stati superconduttivi in unaGiunzione Josephson.Ci soffermeremo poi sulle proprieta d’ integrabilita dell’ equazione di Sine-Gordon, ricavandone la soluzione ad un solitone col metodo della Trasformatadi Darboux.

Capitolo 15

Lo stato superconduttivo

In questo primo capitolo vogliamo descrivere brevemente le proprieta dellostato superconduttivo della materia.[47]Ci soffermeremo sulle caratteristiche di un superconduttore di conducibilitaelettrica infinita e di diamagnetismo perfetto ed analizzeremo i punti cardinedelle teorie BCS e di Landau-Ginzburg.

15.1 Proprieta dei superconduttori

In molti materiali a temperature prossime allo zero assoluto viene a stabilir-si uno stato elettronicamente ordinato, noto come stato superconduttivodella materia.Circa 20 elementi della tavola periodica possono comportarsi come supercon-duttori e tra questi ricordiamo l’ Alluminio, il Piombo, il Niobio, il Titanio,il Cadmio ed il Mercurio.Le caratteristiche principali dei superconduttori sono :

1. un superconduttore si comporta come se avesse resistivita elettrica nul-la. La corrente stabilitasi in un superconduttore puo, in assenza di uncampo esterno, mantenersi anche per due anni e mezzo;

178 Lo stato superconduttivo

2. un superconduttore puo comportarsi come un perfetto diamagnete.[48]1

Un campione in equilibrio termico sotto l’ azione di un campo magneti-co esterno non troppo intenso, definisce correnti superficiali che gen-erano a loro volta un campo magnetico interno che cancella il campoapplicato;

3. usualmente un superconduttore ha gap energetiche di ampiezza 2 ∆centrate attorno ad εF .Cosı un elettrone di energia ε puo’ occupare ( o essere estratto da) unlivello energetico solo se ε − εF (o εF − ε) e superiore a ∆.Lo spessore della gap e una funzione crescente in 1/T : raggiunge il suomassimo ∆(0) a temperature molto basse.

15.2 Proprieta elettriche : Temperatura criti-

ca e conducibilita infinita

La transizione dall’ usuale stato metallico a quello superconduttivo e alquantobrusca : a temperature superiori ad una Temperatura critica Tc, che variada materiale a materiale in un range che va dai 10−3 K ai 20 K, il campionesi comporta come un comune metallo, mentre al di sotto di Tc iniziano amanifestarsi le proprieta superconduttive.

La resistivita elettrica passa dall’ avere un andamento proprio dei metallidel tipo ρ (T ) = ρ0 + B T 5, all’ essere zero : la corrente puo’ fluire in unsuperconduttore senza alcuna apprezzabile dissipazione d’ energia.

Esistono pero alcune limitazioni :

le proprieta superconduttive possono cessare sotto l’ azione di un campomagnetico abbastanza intenso da superare un campo critico Hc, che aT = 0 vive, a seconda del materiale, tra i 10 e i 1000 Gauss;

se la corrente indotta dal campo esterno supera una corrente critica Ic

propria del sistema (Effetto Silsbee), quest’ ultimo transisce dallo statosuperconduttivo all’ usuale stato metallico;

1Ricordiamo che un materiale diamagnetico e un materiale in cui la suscettivita mag-netica χm e negativa : cio significa che il momento magnetico indotto nel materiale ediretto in verso opposto rispetto al campo inducente essendo

M = χm H

.

15.3 Proprieta magnetiche : Effetto Meissner e Campo critico 179

il comportamento superconduttivo a resistivita nulla cessa quando lafrequenza ωext di una corrente alternata applicata supera il valore ωc =∆/~ con ∆ = εgap.

15.3 Proprieta magnetiche : Effetto Meissner

e Campo critico

Se tuttavia il campo magnetico applicato dall’ esterno non supera un valorecritico Hc il materiale superconduttivo si comporta come un diamagneteperfetto :Effetto Meissner-Ochsenfeld.Se un metallo normale e portato fino a temperature inferiori alla propriatemperatura di transizione superconduttiva Tc, le linee di flusso del campoapplicato vengono bruscamente espulse dall’ interno del campione.Cio e dovuto alla presenza di correnti superficiali che generano un campoquasi del tutto opposto a quello esterno. Il campo esterno non e difatticompletamente espulso ma penetra all’ interno della superficie del materialefino a distanze finite λ dette lunghezze di penetrazione tipicamente dell’ordine dei 10−5 cm.

A secoda di quale sia il comportamento del campione sotto l’ azione dicampi magnetici superiori per intensita ad Hc possiamo distinguere due dif-ferenti tipi di superconduttori.Appartengono al primo tipo superconduttivo tutti quei materiali che perH > Hc permettono alle linee di flusso del campo esterno di penetrarecompletamente.Del secondo tipo superconduttivo fanno parte invece quei materiali per i qualial di sotto di un certo campo critico Hc1(T ) non v’e penetrazione di flusso;quando il campo applicato supera un secondo campo critico Hc2(T ) > Hc1(T )il sistema transisce dallo stato superconduttivo a quello metallico.Per Hc1 < Hext < Hc2 si osserva una parziale penetrazione di flusso e nelcampione sussiste uno stato microscopico piuttosto complicato detto statomisto di coesistenza tra lo stato metallico e quello superconduttivo.

15.4 Teoria BCS

La prima teoria microscopica della superconduttivita fu elaborata da Bardeen,Cooper e Schrieffer (BCS) nel 1957.[51]La teoria della superconduttivita si basa sull’ assunzione che gli elettroni conenergie prossime a quella di Fermi si attraggano l’ un l’ altro.Sebbene l’ interazione tra due elettroni sia di tipo coulombiano repulsivo,


e possibile che, a causa della presenza degli ioni del reticolo, questa vengaschermata lasciando il posto ad un potenziale efficace attrattivo tra due elet-troni che differiscono in energia per non piu’ di ~ωD.Si vengono a formare cosı coppie di fermioni con spin 0 o 1, a seconda del-l’ orientazione relativa degli spin delle due particelle, chiamate Coppie diCooper o elettroni superconduttivi. Avendo spin intero tali coppie sonoquasiparticelle che obbediscono alla statistica di Bose-Einstein.

Sappiamo tutttavia dallo studio delle interazioni in tre dimensioni chepossono formarsi stati legati solo se il potenziale e abbastanza intenso dapermetterlo e la sola semplice interazione attrattiva non sarebbe in grado digenerare stati legati quali le coppie di Cooper.L’ idea di Cooper [52] fu quindi quella di pensare che al processo parteci-passero anche tutti gli altri N − 2 elettroni, in maniera tale da permettere alpotenziale attrattivo di avere un minimo.

A partire cosı dalle ipotesi della teoria BCS simo in grado di costruire lostato fondamentale per un sistema superconduttivo : si raggruppano gli Nelettroni in N/2 coppie di cui ogni coppia e descritta da una funzione d’ ondaφ(x1, s1,x2, s2) dove x e la posizione elettronica ed s il numero quantico dispin.La funzione d’ onda dello stato ad N elettroni sara cosı il prodotto di N/2identiche funzioni d’ onda di coppia :

Ψ(x1, s1, ...,xN , sN) = φ(x1, s1,x2, s2)...φ(xN−1, sN−1,xN , sN) (15.1)

Perche abbia la giusta simmetria prescritta dal Principio di Pauli, occorre la(15.1) sia antisimmetrizzata di modo che cambi segno sotto l’ operazione discambio di due elettroni in una coppia.Sia A l’ operatore di antisimmetrizzazione. La funzione d’ onda dello statofondamentale prescritta dalla teoria BCS sara cosı :

ΨBCS = A Ψ (15.2)

Nella teoria BCS le funzioni d’ onda φ di coppia sono prese come statidi singoletto2 : i due elettroni hanno proiezione dello spin opposta e la parteradiale della funzione d’ onda φ(x1,x2) e simmetrica. Se inoltre assumiamoche la parte radiale di φ sia anche invariante per traslazioni possiamo scrivere :

φ(x1,x2) = χ(x1 − x2) =1

V

∑

k

χk eik (x1−x2) (15.3)

2Gli stati di tripletto presentano proprieta magnetiche non osservate nello statofondamentale di un superconduttore.

15.5 La teoria di Landau-Ginzburg 181

E’ possibile calcolare ΨBCS tramite un procedimento variazionale : quantosi osserva e che l’ estensione spaziale ξ0 delle funzioni d’ onda di coppia φ emolto piu’ grande della separazione media tra gli elettroni rs. Tipicamenteξ0 e dell’ ordine dei 10−5 cm.Questo significa che nella regione di spazio occupata da una coppia si pos-sono trovare molte altre coppie : le coppie di Cooper non sono cosı delle par-ticelle indipendenti ma sono spazialmente sovrapposte in una maniera moltocomplicata, indispensabile per la stabilita dello stato.

15.5 La teoria di Landau-Ginzburg

Ginzburg e Landau [50] asserirono che lo stato superconduttivo poteva esserecaratterizzato da un ‘parametro d’ ordine’ complesso ψ(x), che va a zero pertemperarture superiori a Tc ed il cui modulo misura il grado di ordinamentosuperconduttivo nella posizione x per T ≤ Tc.Dalla teoria BCS il parametro d’ ordine ψ(x) puo essere visto come la fun-zione d’ onda di una particella associata al centro di massa della Coppia diCooper.3

Nello stato fondamentale di un superconduttore ogni coppia e invari-ante per traslazioni e non dipende dalle coordinate del centro di massa :il parametro d’ ordine e cosı una costante.Il comportamento della ψ diventa quindi interessante quando inizia a fluirecorrente nel superconduttore, cioe quando viene applicato un campo esterno.

Un’ assunzione fondamentale della teoria di Ginzburg e Landau e che lacorrente che passa in un superconduttore con parametro d’ ordine ψ(x) inpresenza di un campo magnetico esterno di potenziale vettore A(x) e datadall’ usuale formula quantistica per la corrente di una particella di massa2m = m∗ e carica −2e = e∗ descritta dalla funzione d’ onda ψ(x) :

j = − i~e∗

2m∗ (ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗) − (e∗)2

m∗ |ψ|2A (15.4)

Per una funzione ψ normalizzata, la |ψ|2 puo essere ben interpretata come ladistribuzione, dipendente dal tempo, delle Coppie di Cooper all’ interno delmateriale superconduttivo.La quantita vettoriale j e, invece, come gia accennato, la corrente elettricasorgente del campo magnetico H :

∇×H = j (15.5)

3Poiche tutte le coppie di Cooper sono nello stesso stato a due elettroni, una solafunzione d’ onda e sufficiente per descriverte il fenomeno.


15.6 Supercorrente di tunneling :

Gli Effetti Josephson

Se costruiamo una giunzione costituita da due metalli separati tra di loro soloda un sottile strato isolante, quanto si osserva, in seguito all’ applicazionedi una differenza di potenziale, e una corrente di elettroni che traversano labarriera isolante e che si portano da una parte all’ altra della giunzione.E’ stato inoltre verificato che tale corrente obbedisce alla legge di Ohm.

Se al posto di due semplici metalli poniamo due materiali che presentano,nelle oportune condizioni di pressione e temperatura, proprieta supercondut-tive, si osserva che v’e un flusso di elettroni attraverso la giunzione solo se il∆ V applicato e pari all’ energia di gap ∆.

Nel 1962 B.D. Josephson [49] penso che in una giunzione superconduttivaoltre al normale effetto di tunneling di elettroni si potesse osservare unacorrente di tunneling di coppie di Cooper : a patto che lo strato isolante nonsia troppo spesso, le coppie di elettroni possono traversare la giunzione daun superconduttore ad un altro senza dissociarsi.

Una conseguenza immediata della previsione di Josephson e quello cheprende il nome di Effetto Josephson DC : in assenza di qualsiasi campoelettrico applicato, si osserva una supercorrente continua di coppie di Cooperche attraversano la giunzione.Tale corrente continua e tipicamente di gran lunga inferiore rispetto allacorrente critica associata al campione.

Josephson predisse una grande varieta di ulteriori effetti assumendo chelo stato superconduttivo potesse essere descritto, da una parte e dall’ altradella giunzione, da un parametro d’ ordine complesso ψ(x).Egli mostro che la supercorrente di tunneling poteva essere determinata stu-diando il cambio della fase del parametro d’ ordine nell’ attraversamentodella barriera isolante.

Tra gli effetti predetti dal fisico inglese, poi osservato sperimentalmente,v’ e il cosiddetto Effetto Josephson AC : se un potenziale costante vieneapplicato ai capi della giunzione, la supercorrente di coppie di Cooper che siosserva e alternata.

Capitolo 16

Sine-Gordon e GiunzioneJosephson

In questo capitolo ricaviamo l’ equazione di Sine-Gordon come equazione dievoluzione della differenza di fase nelle funzioni d’ onda di due stati super-conduttivi in una Giunzione Josephson.

Consideriamo la situazione sperimentale in cui due superconduttori sono sep-arati l’ uno dall’ altro da una barriera di materiale isolante : una GiunzioneJosephson.

Una tipica configurazione e quella in cui uno strato di Piombo ed unostrato di Niobio sono separati da uno di Ossido di Niobio.Sappiamo dalla Meccanica Quantistica che una particella ha una probabilitanon nulla di penetrare dall’ altro lato di una barriera di potenziale che sarebbeimpenetrabile per la corrispondente particella classica.Tale fenomeno di penetrazione della barriera e chiamato Effetto Tunnell.

In modo del tutto analogo e possibile per una Coppia di Cooper di pas-sare attraverso uno strato di materiale isolante frapposto tra due materialisupeconduttivi.Tale fenomeno di tunnelling superconduttivo fu considerato per la prima vol-ta nel 1962 da Josephson per la sua tesi di dottorato a Cambridge.Considereremo ora il fenomeno nell’ ambito della teoria di Landau-Ginzburg.

184 Sine-Gordon e Giunzione Josephson

Figura 16.1: Una giunzione Josephson.

16.1 Derivazione fisica della Sine-Gordon [46]

Dal momento che il parametro d’ ordine ψ(x) e una quantita complessa,possiamo sempre scriverlo nella sua forma polare:

ψ = ρ12 eiφ (16.1)

Assumiamo che la variazione spaziale significativa nella ψ sia attraverso lafase φ e non tramite il suo modulo ρ

12 .

Dal momento che il modulo del parametro d’ ordine misura il grado di ordi-namento superconduttivo, tale richiesta equivale a considerare perturbazioniin cui la densita di Coppie di Cooper non e apprezzabilmente alterata dalsuo valore uniforme di equilibrio termico.E’ questo ad esempio il caso in cui le coppie di Cooper possono fluire ma nonaccumularsi o essere distrutte.

Sfruttando la (16.1) riscriviamo la (15.4):

j = −(e∗)2ρ

m∗ (A− ~e∗∇φ) (16.2)

che possiamo porre nella forma:

∇φ =e∗

~(A +

m∗

(e∗)2ρj) (16.3)

espressione valida solo all’ interno dei superconduttori. Se definiamo ϕ comeil cambiamento di fase della funzione d’ onda attraverso la barriera:

ϕ(x, y, t) = φ(x, y, 0+, t)− φ(x, y, 0−, t) (16.4)

16.1 Derivazione fisica della Sine-Gordon [46] 185

il seguente semplice argomento mostra che ϕ e non nulla.Siano P e Q due punti arbitrari nella barriera e sia l’ interfaccia barriera-superconduttore presa come il piano x− y.

Figura 16.2: La curva chiusa d’ integrazione C.

Integrando sulla curva C otteniamo :

ϕ(Q)− ϕ(P ) =e∗

~

∮

C

[A +m∗

(e∗)2ρj]dx (16.5)

con P e Q di coordinate rispettivamente (x, y, 0) e (x + ∆x, y + ∆y, 0).Vale anche :

ϕ(Q)− ϕ(P ) =∂ϕ

∂x∆x +

∂ϕ

∂y∆y (16.6)

Per il Teorema di Stokes:∮

C

A · dx =

∫

S

B · dS (16.7)

dove S e una qualsiasi superficie orientata che ha per frontiera C.Prendiamo allora S come il piano rettangolare in figura:

S = 2l( iy ∆x − ix ∆y) (16.8)


Assumendo che B sia costante sul piano, abbiamo:

∫

S

B · dS = S ·B = 2l(By ∆x − Bx ∆y) (16.9)

L’ integrale sulla curva C della corrente j e nullo dal momento che, in unmateriale superconduttore, le correnti possono fluire solo vicino alla superficieesterna.

Cosı uguagliando la (16.9) alla (16.6) otteniamo:

2le∗

~(By ∆x − Bx ∆y) =

∂ϕ

∂x∆x +

∂ϕ

∂y∆y (16.10)

da cui le due equazioni :

∂ϕ∂x

= 2l e∗~ By = α By

∂ϕ∂y

= −2l e∗~ Bx = −α Bx

α = 2l e∗~

(16.11)

Tali equazioni ci danno informazioni sulla variazione spaziale di ϕ ma cioche ora vogliamo conoscere e come ϕ varia nel tempo e, soprattutto, comequesta sia legata alla corrente superconduttiva che attraversa la barriera.Per ottenere le informazioni cui siamo interessati possiamo pensare di schema-tizzare la Giunzione Josephson come un sistema quantistico a due stati.

Figura 16.3: Giunzione Josephson come sistema quantistico a due stati.


In ogni regione superconduttiva il sistema e descritto da una pseudo fun-zione d’ onda. Nella regione 1 sia ϕ(1) e nella regione 2 sia ϕ(2).Se sapessimo qualcosa a riguardo della barriera di potenziale corrispondenteallo strato isolante, potremmo cercare di risolvere il problema di scatteringper l’ equazione di Schroedinger fenomenologica che regola il comportamentodel parametro d’ ordine :

i~∂ψ

∂t=

1

2m∗ (−i~∇− e∗A)2ψ + V (x)ψ + λψ|ψ|2 (16.12)

con V (x) potenziale scalare associato alla barriera isolante.Un modo molto semplice dovuto a Jacobson [54] e considerare un processo

statico in cui la funzione d’ onda obbedisce in ogni regione superconduttivaad un’ equazione di Schroedinger nonlineare del tipo (16.12) indipendentedal tempo con potenziale V (x).Nella regione isolante invece la funzione risponde ad una normale equazionedi Schroedinger con potenziale repulsivo.Le equazioni vengono risolte in ogni regione e le soluzioni sono accordatesulle interfacce.

Tuttavia risultati simili possono essere ottenuti in modo piu semplicestudiando l’analogia fra la situazione descritta dalla Giunzione Josephson edun sistema quantistico a due stati1.

Supponiamo per semplicita che i due materiali superconduttivi siano dellostesso tipo.Se le due regioni non sono connesse, la funzione d’onda soddisfera in ogniregione ad un’ equazione di Schroedinger time-dependent della forma:

i ~ϕ(i)t = H0 ϕ(i) (16.13)

per i = 1, 2.Supponiamo inoltre che in ogni regione il sistema si trovi in un autostato dienergia U1 e U2 rispettivamente .

H0 ϕ(i) = Ui ϕ(i) (16.14)

Ogni coppia di Cooper e confinata nella sua particolare regione e cosı lafunzione d’ onda ϕ(1) e nulla nella regione 2 e viceversa.Le Ui sono le self-energies delle coppie di Cooper nei due separati dominii enon sono tra loro connesse.

Consideriamo ora la situazione della Giunzione Josephson in cui lo stratoisolante e poco spesso ed in cui v’ e la possibilita di tunneling quantistico.

1L’idea di guardare la Giunzione Josephson come un sistema quantistico a due stati lasi deve a R. Feynman (1969)


Le funzioni d’ onda dei sistemi interagenti sono ora non zero in entrambe leregioni e le energie Ui non sono piu’ indipendenti.Se tra un capo ed un altro della giunzione c’ e una differenza di potenzialeV , allora :

U2 − U1 = e∗ V (16.15)

Assumiamo che la presenza dell’ isolante possa essere schematizzata comeun’ hamiltoniana d’ interazione, HT , chiamata Hamiltoniana di tunnelinge che il sistema globale sia descritto dall’ hamiltoniana :

H = H0 + HT (16.16)

Un modello particolarmente semplice possiamo ottenerlo se pensiamo che lacoppia di Cooper attraversi per effetto tunnell la barriera.Pensiamo che la giunzione sia essenzialmente costituita da due stati.Uno stato, descritto dalla funzione d’ onda ϕ(1), in cui le coppie di Coopersono sulla sinistra della barriera, ed uno stato, descritto da ϕ(2), in cui glielettroni superconduttivi sono sulla destra dello strato isolante.Le funzioni d’ onda descriventi il sistema saranno cosı una combinazionelineare di questi due stati di base :

ψ = a1ϕ(1) + a2ϕ(2) (16.17)

cosı se

i ~∂ψ

∂t= (H0 + HT )ψ (16.18)

abbiamo le due equazioni di Schroedinger per i coefficienti a1 ed a2 :

i ~ ∂a1

∂t= U1 a1 + K a2

i ~ ∂a2

∂t= U2 a2 + K a1

(16.19)

nel ricavare le quali abbiamo assunto che :

(ϕ(i) , HT ϕ(j)) = K (16.20)

per i 6= j.Fissiamo lo zero dell’ energia a meta fra i livelli U2 ed U1. In tal modo le

16.19 diventano :

i ~ ∂a1

∂t= 1

2e∗V a1 + K a2

i ~ ∂a2

∂t= −1

2e∗V a2 + K a1

(16.21)

Le quantita |a1|2 ed |a2|2 sono le probabilita di trovare la coppia di Cooperalla destra o alla sinistra dello strato isolante.


Se scegliamo le fasi degli stati di base cosicche questi siano reali, possiamoscrivere :

ai =√

ρi eiθi (16.22)

Identifichiamo

ϕ = (θ2 − θ1)

Sostituendo la (16.22) nelle (16.21) (separando parte reale e immaginaria) siottiene un sistema di quattro equazioni in quattro incognite di soluzione :

ρ1,t = K~√

ρ1ρ2 sin(ϕ)

ρ2,t = − K~√

ρ2ρ1 sin(ϕ)

θ1,t = K~

√ρ2

ρ1cos(ϕ) − e∗V

2~

θ2,t = K~

√ρ1

ρ2cos(ϕ) + e∗V

2~

(16.23)

La variazione della densita ρ di coppie di Cooper in una regione dellagiunzione sara in generale proporzionale alla corrente di tunneling, cioe alnumero di elettroni superconduttivi che traversano la giunzione da una parteall’ altra.Possiamo cosı scrivere che la supercorrente nella regione i-esima in direzionezeta sara data da :

jiz = ρi,t (16.24)

In un’usuale Giunzione Josephson ρ1 e ρ2 sono entrambi circa uguali adun valore ρ0 quasi costante nel tempo.A prima vista quest’ ultima richiesta potrebbe sembrare in contraddizionecon le equazioni (16.23), tuttavia cosı non e se pensiamo che non tutte leproprieta del sistema sono state ancora considerate.Se difatti consideriamo la presenza di una batteria esterna che stabilisce unadifferenza di potenziale ai capi della giunzione, possiamo pensare che benpresto la corrente j1z possa raggiungere la regione 2.La corrente che circola nella batteria non e stata inclusa ed il suo effetto equello di permettere a ρ1 e a ρ2 di stabilizzarsi al valore ρ0.Se poniamo ρ1 = ρ2 = ρ0 dalle prime due delle (16.23) otteniamo lasupercorrente totale che attraversa la barriera :

jz = J sin(ϕ) (16.25)

con J = 2Kρ0

~ .


La (16.25) esprime quello che e conosciuto come Effetto Josephson AC :sebbene la differenza di potenziale applicata agli estremi della giunzione siacostante, quanto si osserva e una corrente alternata di coppie di Cooperattraverso la barriera.

All’ interno dell’ isolante le usuali equazioni di Maxwell nella materiacontinuano a valere e, data la tensione V applicata, dobbiamo tener contoanche di un’ ulteriore corrente :

j′z = CSdV

dt(16.26)

con CS capacita della giunzione per unita di superficie.L’ equazione di Maxwell (15.5) diventa :

∂By

∂x− ∂Bx

∂y= µ0 (jz + j′z) (16.27)

Sottraendo tra di loro le ultime due delle (16.23) e ricordando la definizionedi ϕ otteniamo :

∂ϕ

∂t=

e∗

~V (16.28)

Sfruttando le (16.28), (16.27) e le (16.11) arriviamo a scrivere l’equazionedi evoluzione per la differenza di fase del parametro d’ ordine attraverso labarriera :

∂2ϕ

∂x2+

∂2ϕ

∂y2− 1

c2

∂2ϕ

∂t2=

1

β2sin(ϕ) (16.29)

che e l’ Equazione di Sine-Gordon in 2 + 1 dimensioni.Abbiamo posto :

β2 =~

µ0 e∗ J lc2 =

1

µ0 CS l

Se ci troviamo nelle condizioni sperimentali di poter trascurare la variazionedi ϕ lungo y otteniamo l’ equazione di Sine-Gordon in 1 + 1 dimensioni che,come mostreremo nel capitolo seguente, ammette soluzioni ad un solitone deltipo :

ϕ(x, t) = 4 arctan[exp±(κ (x− x1)− λ t)] (16.30)

con κ, λ e x1 parametri reali.Dal momento che per la (16.11) :

∂ϕ

∂x= α By

quanto si osserva all’ interno della giuntura e il profilo sech per la componentey del campo magnetico :

By = 2κ

αsech[κ (x− x1)− λ t] (16.31)

Capitolo 17

Equazione di Sine-Gordon eTrasformazione di Darboux

In questo capitolo vogliamo determinare la soluzione ad un solitone perl’ equazione di Sine-Gordon servendoci del Metodo della Trasformata diDarboux [55].

17.1 Il Metodo di Darboux

Il metodo della trasformata di Darboux, proposto piu’ di cento anni fa dalmatematico francese Gaston Darboux, e stato di recente riscoperto ed ap-plicato per la risoluzione di equazioni di evoluzione nonlineari di notevoleinteresse fisico [53].

L’ idea di base su cui poggia il metodo della Trasformata di Darboux emolto semplice.Si consideri il seguente problema agli autovalori :

y′′ + [λ − u(x)] y = 0 (17.1)

noto nella Meccanica Quantistica come Equazione di Schroedinger unidimen-sionale.Sia φ una qualche soluzione, anche banale, del problema (11.1) con autoval-ore λ = λ1, e sia σ = φx φ−1.Darboux provo [58] che la (11.1) e covariante rispetto alla seguente trasfor-mazione detta Trasformazione di Darboux:

y → y = yx − σ y u → u = u − 2 σx (17.2)

In altre parole y soddisfa l’ equazione di Schroedinger con potenziale u.La trasformazione che la y induce sulla u prende anche il nome di Trasfor-mazione di Backlund.

192 Equazione di Sine-Gordon e Trasformazione di Darboux

Cambiando la y secondo la (17.2) possiamo determinare tutte le soluzionidella nuova equazione di Schroedinger con potenziale u.

Nel 1979 Matveev [57] provo che la stessa proprieta di covarianza valeanche per tutte le equazioni di evoluzione del tipo :

∂f

∂t=

n∑m=0

um(x, t)∂mf

∂xm(17.3)

con coefficienti scalari o matriciali.E’ cosı possibile costruire infinite soluzioni esplicite di equazioni di evoluzione

nonlineari applicando il metodo della Trasformata di Darboux ad una equazioneiniziale integrabile.

17.2 Soluzione ad un solitone per l’ Equazione

di Sine-Gordon

Nel sistema di riferimento del laboratorio l’ Equazione di Sine-Gordon (SG)assume la forma:

θxx − θtt − sin(θ) = 0 (17.4)

Quanto vogliamo fare e risolvere la (17.4) con le condizioni al contornocos(θ) → 1 per x → ±∞ servendoci del Metodo della Trasformata diDarboux.

A tal fine introduciamo le equazioni di Lax associate alla SG :

∂x F (ζ) = L(ζ) F (ζ) , ∂t F (ζ) = M(ζ) F (ζ) (17.5)

in cui ζ e il parametro spettrale complesso, e :

L(ζ) = − i4ζσ3 − 1

2U + i

4 ζV

M(ζ) = i4ζσ3 + 1

2U + i

4 ζV

(17.6)

Inoltre :

V =

(cos(θ) sin(θ)sin(θ) − cos(θ)

)= cos(θ) σ3 + sin(θ) σ1 , U = − i

2(θx− θt) σ2

(17.7)con θ soluzione della (17.4).

Nel limite di x → ±∞ segue dalle definizioni U e V che :

L0 = − i

2κσ3 , M0 =

i

2λσ3 (17.8)

17.2 Soluzione ad un solitone per l’ Equazione di Sine-Gordon 193

in cui abbiamo definito :

κ =1

2(ζ − ζ−1) , λ =

1

2(ζ + ζ−1) (17.9)

Dalle (17.5) otteniamo :

∂x F0(ζ) = L0(ζ) F0(ζ) , ∂t F0(ζ) = M0(ζ) F0(ζ) (17.10)

che ammettono soluzioni di Jost :

F0(ζ) = e−i 12

(κ x−λ t) σ3 =

(f0(ζ) 0

0 f−10 (ζ)

)

f0(ζ) = e−i 12

(κ x−λ t)

(17.11)

in cui σ3 e la terza matrice di Pauli.Le (17.11) corrispondono alla soluzione a zero solitoni della Sine-Gordon.Possiamo costruire la soluzione ad un solitone F1(ζ) definendo una matricedi Darboux 2× 2 D1(ζ) tale che :

F1(ζ) = D1(ζ) F0(ζ) (17.12)

e che assumiamo avere un solo polo nel piano complesso ζ. Per le (17.5) vale :

∂x F1(ζ) = L1(ζ) F1(ζ) (17.13)

Sfruttando la (17.12) e le (17.10) otteniamo, per ogni soluzione fondamentaleF0(ζ) :

∂xD1(ζ) = L1(ζ) D1(ζ) − D1(ζ) L0(ζ) (17.14)

in cui L1(ζ) e la L(ζ) associata al caso di un solitone1.Seguendo gli stessi ragionamenti :

∂tD1(ζ) = M1(ζ) D1(ζ) − D1(ζ) M0(ζ) (17.15)

Sia ζ1 il polo nel piano complesso della matrice di Darboux che scegliamodella seguente forma :

D1(ζ) = I +I

ζ − ζ1

A1 (17.16)

1Possiamo costruire iterativamente la soluzione ad n solitoni secondo la :

Fn(ζ) = Dn(ζ)Fn−1(ζ)


con A1 matrice indipendente da ζ.Poiche dalle (17.6) vale :

L†(ζ) = −L(ζ) , M †(ζ) = −M(ζ) (17.17)

in cui il simbolo di croce e la barra indicano rispettivamente l’ Hermitianoconiugato ed il complesso coniugato, allora :

F †(ζ) = F−1(ζ) (17.18)

e quindi :D†

1(ζ) = D−11 (ζ) (17.19)

Chiaramente D1(ζ) D−11 (ζ) = I, cosı dalla definizione di D1(ζ) (17.16)

calcolandone il residuo per ζ = ζ1 si ha :

A1 [I +I

ζ1 − ζ1

A†1] = 0 (17.20)

D’ altra parte calcolando il residuo per ζ = ζ1 a partire dalla (17.12) (sfrut-tando la (17.16) ed il fatto che det[F0(ζ1)] = 1) si ottiene che A1 e unamatrice singolare ovvero a determinante nullo.

Possiamo pertanto esprimere A1 come un proiettore (δ1, γ1)T (β1, α1).

Sostituendo quest’ ultima nella (17.20) vogliamo determinare la relazioneche intercorre fra (β1, α1) e (δ1, γ1). Arriviamo cosı a scrivere:

A1 =ζ1 − ζ1

|β1|2 + |α1|2(

β1

α1

)(β1, α1) (17.21)

Il prossimo passo e determinare α1 e β1.Partiamo dalla (17.13) e sostituiamoci le (17.12) e (17.16) :

∂x [D1(ζ) F0(ζ)] = L1(ζ) D(ζ) F0(ζ) (17.22)

che nel limite per ζ che tende a ζ1 diventa:

∂x [A1 F0(ζ1)] = L1(ζ1) A1 F0(ζ1) (17.23)

Dalla definizione (17.21) di A1 notiamo che quest’ ultima non cambia se man-diamo (β1, α1) in γ (β1, α1) con γ costante. Cio che conta e cosı il rapportodi (β1, α1).Se scegliamo:

(β1, α1) = (b1, 1) F−10 (ζ1) (17.24)

con b1 costante si puo facilmente verificare che la (17.23) risulta soddisfatta.


Valendo la (17.12) possiamo scrivere :

[∂x F1(ζ)]F−11 (ζ) = L1 = D1x(ζ) D−1

1 (ζ) − i

4(ζ − 1

ζ) D1(ζ) σ3 D−1

1 (ζ)

(17.25)Nel limite di |ζ| → 0, la matrice di Darboux D1(ζ) tende a D1(0), mentreper |ζ| → ∞ D1(ζ) ≈ I + ζ−1 A1.Abbiamo pertanto per |ζ| → 0 :

L1 =i

4ζD1(0) σ3 D−1

1 (0) + O(1) (17.26)

mentre nel limite |ζ| → ∞ :

L1 = − i

4ζ σ3 − i

4[A1, σ3] + O(

1

|ζ|) (17.27)

Costruiamo la funzione di ζ :

f(ζ) = [∂x F1(ζ)]F−11 (ζ) − [− i

4ζ σ3 − i

4[A1, σ3] +

i

4ζD1(0) σ3 D−1

1 (0)]

(17.28)che e per costruzione analitica in tutto il piano complesso inclusi ζ = 0 eζ = ∞.Inoltre f(ζ) tende a zero per |ζ| → ∞. Per il Teorema di Liouville essa epertanto nulla : f(ζ) = 0.Arriviamo cosı a scrivere l’ operatore di Lax L1(ζ) nella forma :

L1(ζ) =i

4ζD1(0) σ3 D−1

1 (0) − i

4ζ σ3 − i

4[A1, σ3] (17.29)

ed analogamente per M1(ζ) partendo dalla seconda equazione di Lax otteni-amo :

M1(ζ) =i

4ζD1(0) σ3 D−1

1 (0) +i

4ζ σ3 +

i

4[A1, σ3] (17.30)

che sottratte tra di loro restituiscono :

[∂t F1(ζ)]F−11 (ζ) − [∂x F1(ζ)]F−1

1 (ζ) =i

2[Q(x, t), σ3] +

i

2ζ σ3 (17.31)

Nel limite in cui |ζ| → 0, sfruttando la (17.12) otteniamo :

D1t(0) D−11 (0) − D1x(0) D−1

1 (0) =i

2[A1, σ3] (17.32)


quindi :

L1(ζ) = i4ζ

D1(0) σ3 D−11 (0) − i

4ζ σ3 − 1

2[D1t(0) D−1

1 (0) − D1x(0) D−11 (0)]

M1(ζ) = i4ζ

D1(0) σ3 D−11 (0) + i

4ζ σ3 + 1

2[D1t(0) D−1

1 (0) − D1x(0) D−11 (0)]

(17.33)Dal momento che la Coppia di Lax gode delle seguenti proprieta :

L1(−ζ) = L1(ζ) , M1(−ζ) = M1(ζ) (17.34)

possiamo scrivere :

F1(−ζ) = F1(ζ) , D1(−ζ) = D1(ζ) (17.35)

che si traducono nel dire che D1(0) e una matrice reale :

D1(0) = D1(0) (17.36)

Dalla (17.19) valutata per ζ = 0 ricaviamo inoltre che D1(0) ha determinantequadro pari ad uno.

Possiamo cosı scrivere in generale :

D1(0) = e−iπ−i θ2

σ2 = (−)

cos( θ2) − sin( θ

2)

sin( θ2) cos( θ

2)

D†1(0) = (−)

cos( θ2) sin( θ

2)

− sin( θ2) cos( θ

2)

(17.37)

da cui e semplice trovare:

D1(0) σ3 D†1(0) = e−i θ σ2 σ3 = cos(θ) σ3 + sin(θ) σ1 =

(cos(θ) sin(θ)sin(θ) − cos(θ)

)

(17.38)Da tale definizione della matrice di Darboux segue immediatamente che:

(∂x D1(0)) D†1(0) = − i

2θx σ2

(∂t D1(0)) D†1(0) = − i

2θt σ2

(17.39)

Ricordando che D†1(0) = D−1

1 (0) sostituendo nella (17.33), otteniamo leespressioni per L1(ζ) e M1(ζ) :

L1(ζ) = − i4ζ σ3 − i

4(θt − θx) σ2 + i

4ζe−iθσ2 σ3

M1(ζ) = − i4ζ σ3 − i

4(θx − θt) σ2 + i

4ζe−iθσ2 σ3

(17.40)


che sono proprio le definizioni della Coppia di Lax che abbiamo riportatonelle (17.6). F1(ζ, x, t), trasformato di F0(ζ, x, t) secondo D1(ζ), e pertantosoluzione delle equazioni di Lax.

Chiediamo ora che il polo della matrice di Darboux D1(ζ) si trovi sull’asseimmaginario : ζ1 = iζ ′′1 .Tale condizione corrisponde a ricercare una soluzione solitonica per la SG.

Come gia notato nel caso di un solitone solo i valori relativi dei due termininella (17.24) contano.Poniamo dunque :

β1 = α−11 = eΘ1

Θ1 = −12[κ′′1 (x − x1) − λ′′1 t]

(17.41)

in cui abbiamo introdotto i parametri reali

κ′′1 =1

ζ ′′1+ ζ ′′1 , λ′′1 = − 1

ζ ′′1+ ζ ′′1

con ζ ′′1 = =(ζ1).Con questa riscrittura di β1 ed α1 possiamo esprimere la matrice di

Darboux D1(0) nella forma :

D1(0) =

1 − Γ e2Θ1 −Γ

−Γ 1 − Γ e−2Θ1

=

− cos( θ

2) sin( θ

2)

− sin( θ2) − cos( θ

2)

Γ = 1ζ1

ζ1− ζ1

2 cosh (2Θ1)= sech(2 Θ1)

(17.42)Uguagliando tra di loro gli elementi 12 delle due matrici otteniamo la soluzionead un solitone per l’Equazione di Sine-Gordon:

θ(x, t) = − 2 arcsin [sech (κ′′1 (x − x1)− λ′′1 t)] (17.43)

Vale inoltre la formula trigonometrica

tan(θ

4) = − 1 − cos( θ

2)

sin( θ2)

da cui sfruttando l’uguaglianza degli elementi 11 o 22 delle due matrici ot-teniamo l’usuale espressione della soluzione ad un solitone della Sine-Gordon:

θ(x, t) = 4 arctan [e ± (κ′′1 (x−x1)−λ′′1 t)] (17.44)


La soluzione (17.44) col segno positivo dell’esponenziale viene chiamatain letteratura ‘kink’ poiche rappresenta un ‘giro completo’ nella variabileθ che passa dall’ assumere il valore 0 al valore 2π. La soluzione col segnonegativo nell’ esponenziale prende invece il nome di ‘antikink’.

Figura 17.1: soluzione di kink per la Sine Gordon con parametri :x1 = 0 ,κ′′1 = 2.5 ,λ′′1 = 1.5 (polo in ζ = 2i).

Figura 17.2: soluzione di antikink per la Sine Gordon con parametri :x1 = 0 ,κ′′1 = 2.5 ,λ′′1 = 1.5 (polo in ζ = 2i).

Appendice A

Metodo della fase stazionaria

Assegnato un generico problema lineare al valore iniziale

ut + iω(−i ∂

∂x

)u = 0

u(x, 0) = A(x)

sappiamo che la soluzione generale e esprimibile nella forma di integrale diFourier

u(x, t) =

∫ ∞

−∞dk A(k) ei[kx−ω(k)t] (A.1)

con A(k) trasformata di Fourier del dato iniziale ed ω(k) relazione di disper-sione.

Sebbene la (A.1) restituisca l’esatta soluzione del problema, in certi casie interessante studiare il comportamento della soluzione per tempi grandit À 1. Se l’onda e dispersiva (ω′′(k) 6= 0) possiamo pensare che ogni singolopacchetto si sia disperso nello spazio, cosicche anche x À 1. Richiediamopertanto che x

t= O(1) che significa seguire l’onda alla velocita di gruppo.

Riscriviamo cosı la (A.1) come

u(x, t) =

∫ ∞

−∞dk A(k) eitφ(k)

con φ(k) = [k(

xt

)− ω(k)] fase dell’onda.Possiamo cosı applicare il metodo della fase stazionaria [1], [56],

dovuto a Lord Kelvin, per studiare il comportamento dell’onda a tempigrandi.

Immaginiamo di avere un integrale del tipo

I(t) =

∫ b

a

q(k) dk eitp(k) (A.2)

200 Metodo della fase stazionaria

Per grandi valori della t, l’integrando oscilla molto rapidamente causandola cancellazione dei contributi di quasi tutto l’intervallo di integrazione.

Fanno eccezione gli estremi di integrazione, se finiti, per mancanza disimmetria, e gli zeri di p′(k), perche p(k) varia abbastanza lentamente nel-l’intorno di tali punti stazionari.

Punti stazionari Immaginiamo che k0 ∈ (a, b) sia un punto stazionario dip(k), tale che p′(k0) = 0.L’integrando della (A.2) nell’intorno di k0 e approssimativamente

eit[p(k0)+ 12

(k−k0)2 p′′(k0)] q(k0)

a patto che q(k0) e p′′(k0) siano non nulli. La (A.2) diventa cosı

I(t) ∼∫ k0+δ

k0−δ

q(k0) dk eit[p(k0)+ 12

(k−k0)2 p′′(k0)] q(k0)

∼∫ +∞

−∞q(k0) dk eit[p(k0)+ 1

2(k−k0)2 p′′(k0)] q(k0)

e sfruttando il risultato dell’integrale gaussiano:

I(t) ∼ q(k0) eitp(k0)

√2π

t p′′(k0)e±i π

4 ∼ O(1

t12

)

col ± dato dal segno di p′′(k0).Chiaramente se i punti stazionari sono piu di uno la stima dell’integralesara data dalla somma di tutti i loro contributi.

Estremi Se invece consideriamo il contributo dato da un estremo, ad esem-pio a, otteminamo che l’integrando per k ∼ a e

eit [p(a)+(k−a)p′(a)] q(a)

che ammette primitiva

eit [p(a)+(k−a)p′(a)] q(a)

ikp′(a), con p′(a) 6= 0

che nel limite in cui k −→ a diventa

I(t) ∼ eit p(a) q(a)

ikp′(a)∼ O(

1

t) (A.3)

L’espressione asintotica di I(t) sara data pertanto dalla somma dei con-tributi dei punti stazionari e dei punti estremali dell’intervallo di integrazione.

Tuttavia, confrontando la (A.2) con la (A.3), notiamo che i contributi datidagli estremi sono trascurabili rispetto a quelli dei punti stazionari, essendoi primi O(1

t) e questi ultimi O( 1√

t).

Appendice B

Osservazioni sull’integrazionenumerica: la discretizzazionedelle PDE

Il problema della discretizzazione di un’equazione differenziale e un passaggioobbligato quando si cerca una soluzione numerica di una PDE. Il modo colquale si effettua questa discretizzazione e in alcuni casi vincolante al finedi ottenere delle soluzioni sensate e, comunque, ben approssimate a quellaesatta.

Le variabili in gioco sono il tempo e lo spazio, e sul computer questedevono essere entrambe discretizzate.

In seguito, riportiamo dei casi in cui si opera la discretizzazione della solavariabile spaziale e ci si sofferma sugli effetti che ne seguono. Per capire imotivi che portano ad avere modelli discreti affidabili, si impiega l’analisi diFourier.

Cominciamo col considerare il problema differenziale piu semplice: quellodell’onda di traslazione soluzione della (1.25). Usiamo la rappresentazioneintegrale di Fourier della soluzione u(x, t):

u(x, t) =

∫ ∞

−∞A(k, t) eikx dk . (B.1)

e sostituiamo questa rappresentazione nella (1.25), ottenendo

At + ikc A = 0

che ha per soluzione

A(k, t) = u(k)eikct (B.2)

202Osservazioni sull’integrazione numerica: la discretizzazione delle

PDE

Concludiamo sostituendo la (B.2) nella (B.1)

u(x, t) =

∫ ∞

−∞u(k) eik(x−ct) dk .

con u(k) trasformata di Fourier del dato iniziale u(x).Osserviamo, dunque, che non c’e dispersione, poiche

ω = ω(k) = ck −→ d2ω

dk2= 0 .

Derivata Ordinaria Discretizziamo ora l’equazione di partenza nella solavariabile spaziale x lasciando continua quella temporale t.

Sostituiamo alle derivate spaziali il rapporto incrementale:

ux(x, t) −→ u(x + ε, t)− u(x, t)

ε,

con ε parametro reale arbitrariamente piccolo. Cosı facendo, otteniamoun’equazione differenziale funzionale nella forma

ut(x, t) +c

ε[u(x + ε, t)− u(x, t)] = 0 .

E ovvio che se ε → 0, allora, ricadiamo nell’equazione continua (1.25). Ebene inoltre sottolineare che la differenza nelle soluzioni e apprezzabile pervalori dell’ordine di ε.

Consideriamo nuovamente la trasformata di Fourier dell’equazione dis-cretizzata; questa volta si ottiene

A +c

ε(eikε − 1) A = 0

che ha per soluzioneA(t) = u(k)e−i c

ε(eikε−1) t .

Sostituendo quest’ultima espressione nella (B.1), otteniamo:

u(x, t) =

∫ ∞

−∞u(k) ei[kx− c

ε(eikε−1)t] dk . (B.3)

Possiamo notare che nell’argomento dell’esponenziale della (B.3) compareun termine dissipativo che non deriva da alcuna considerazione legata allafisica del sistema, ma semplicemente dal modo col quale e stata effettuata ladiscretizzazione.

203

La (B.3) mostra infatti perche il metodo di discretizzazione adottato nonrestituisce risultati affidabilio comunque coerenti con quelli dell’equazionecontinua (1.25): sviluppando l’esponenziale complesso eikε tramite la rapp-resentazione di Eulero, otteniamo un contributo del tipo

e+ cε

sin(kε)

di smorzamento o divergente (a seconda del segno di c) che rende inaffidabileil risultato di un tale calcolo numerico per questo specifico problema.

Derivata Simmetrica Per risolvere questo problema e evidente che e nec-essario adottare una diversa discretizzazione dello spazio, ovvero definire dif-ferentemente la derivata spaziale. Scegliamo allora la derivata simmetrica evediamo a quale risultato arriviamo ripercorrendo i passaggi precedenti.

L’espressione della derivata simmetrica e

∂x −→ u(x + ε, t)− u(x− ε, t)

2ε.

Sostituiamo nella (1.25):

ut +c

2ε[u(x + ε, t)− u(x− ε, t)] = 0 .

Sfruttando l’analisi di Fourier otteniamo:

u(x, t) =

∫ ∞

−∞u(k) eikx e−

ct2ε

(eiεk−e−iεk)dk =

∫ ∞

−∞u(k) ei[kx− ct

εsin(εk)]dk

Dall’ultimo membro, notiamo che ora compare un semplice termine os-cillante e non c’e piu alcuna dissipazione: bensı osserviamo l’introduzione diun termine dispersivo con relazione di dispersione:

ω(k) =c

εsin(εk)

dal quale ricaviamo subito la dispersione

d2ω

dk2=

dvg

dk= −ε c sin(εk) . (B.4)

Dalla (B.4) osserviamo che la dispersione e tanto piu significativa quantopiu k ∼ π

2ε. Una corretta modellizzazione del problema sara allora ottenibile

scegliendo λ À ε, in maniera che non si tenga conto dei dettagli del sistema.Reticolo Per concludere passiamo effettivamente al discreto introducen-

do un reticolo: per semplicita possiamo considerare il caso monodimensionale

204Osservazioni sull’integrazione numerica: la discretizzazione delle

PDE

in cui si considera una sequenza di punti disposti su una retta a distanza εl’uno dall’altro. Dunque xn = nε e

u(x, t) → u(nε, t) = un(t)

In tal modo, il campo u e definito in base a due parametri (n,ε) e ad unavariabile continua (t) (anche se nella realta, nel processo di discretizzazionee inclusa anche la variabile temporale).

L’equazione che si ottiene e un’equazione a 3 punti (n− 1, n, n + 1) alledifferenze finite (nello spazio) e differenziale (nel tempo):

un +c

2ε[un+1 − un−1] = 0 , (B.5)

che possiamo pensare di integrare numericamente sevendoci, ad esempio, delmetodo di Runge-Kutta troncato all’ordine desiderato.

Per risolvere analiticamente la (B.5), si puo impiegare la tecnica dellaserie di Fourier. Potremmo pensare di cercare una soluzione della forma

un(t) = A(t) zn

dove A dev’essere una funzione limitata e contenuta in un cerchio di raggioε nel piano complesso. Da cui, sostituendo nell’equazione B.5, si ricava che

A +c

2ε

(z − 1

z

)= 0

che ha soluzioneA(t) = A(0) e−

c2ε(z− 1

z ) t ,

da cuiun(t) = A(0) e−

c2ε(z− 1

z ) t zn .

Appendice C

Coefficienti di Trasmissione eRiflessione di un’ondaelettromagnetica

In questo paragrafo vogliamo determinare la forma dei coefficiente di rifles-sione e di trasmisione di un’onda elettromagnetica in un mezzo.

Partiamo dalle equazioni di Maxwell in presenza di materia:

∇ ·D = ρ , ∇× E = −∂B∂t

∇ ·B = 0 , ∇×H = J + ∂D∂t

(C.1)

Assumendo che il campo elettrico sia una funzione della sola variabile spazialex e del tempo, otteniamo, direttamente dalle equazioni Maxwell, l’equazionedelle onde non omogenea

Ett − c2Exx = − 1

ε0

Ptt (C.2)

dove P e il vettore di polarizzazione elettrica, definito come il momento didipolo elettrico per unita di volume posseduto dal mezzo, c la velocita dipropagazione dell’onda nel mezzo ed ε0 la costante dielettrica del vuoto.

Assumiamo inoltre che il vettore di polarizzazione risulti lineare nel cam-po elettrico, tramite un coefficiente di proporzionalita non costante dettosuscettivita elettrica χ:

P = ε0

∫ t

−∞χ(x, t− t′)E(x, t′)dt′ . (C.3)

L’equazione (C.2) diventa pertanto

Ett − c2Exx = −∫ t

−∞χ(x, t− t′)Ett(x, t′)dt′ (C.4)

206Coefficienti di Trasmissione e Riflessione di un’onda

elettromagnetica

Cerchiamone una soluzione del tipo

E(x, t) = ψ(x)e−iωt

da cui l’equazione per la ψ(x):

−ω2ψ(x)− c2ψxx(x) = ω2ψ(x)

∫ t

−∞χ(x, t− t′)eiω(t−t′)dt′ (C.5)

Cambiando variabile: τ = t− t′, l’integrale precedente assume la forma∫ ∞

0

χ(x, τ)eiωτ)dτ ≡ χ(ω, τ)

che non e altro che la trasformata di Fourier della suscettivita χ. Segue cosı:

ψxx = −ω2

c2(1 + χ)ψ . (C.6)

Il modello piu semplice che possiamo costruire e quello di uno specchioposto in x = 0 non perfettamente riflettente.

Assumiamo cosı che la χ possa essere scritta come:

χ(x, ω) =

χs = cost. , se x < 0

0 , se x > 0(C.7)

Le condizioni al contorno piu naturali che possiamo scegliere sono quelledi un’onda proveniente da +∞ in parte riflessa ed in parte trasmessa inx = 0:

ψ(x) =

eiω xc + R(ω)e−iω x

c , se x ∼ ∞

T (ω)ei ωc

√1+bχs , se x ∼ −∞

(C.8)

Notiamo che nel definire le condizioni al contorno abbiamo gia fissato ledue costanti a disposizione derivanti dal fatto che l’equazione per la ψ(x)e un’equazione alle derivate ordinarie del secondo ordine: abbiamo difattiimposto che l’ampiezza dell’onda incidente fosse 1 e quella dell’eventualeonda proveniente da meno infinito fosse nulla.

I coefficienti di trasmissione T (ω) e di riflessione R(ω) risultano pertantogia fissati e possiamo determinarli imponendo la continuita della funzioned’onda e delle sua derivata in x = 0.

La prima richiesta si traduce in

1 + R = T ,

207

mentre la seconda in1−R =

√1 + χsT

che prese insieme formano un sistema di due equazioni nelle due incognite Ted R:

R(ω) =1−√

1+bχs

1+√

1+bχs

T (ω) = 2

1+√

1+bχs

(C.9)

Dalle precedenti osserviamo che nel momento in cui abbiamo a che farecon uno specchio ideale perfettamente riflettente, χs −→ ∞, il coefficienetedi riflessione tende a uno, mentre quello di trasmissione tende a zero.

Sappiamo che in Meccanica Quantistica i coefficienti di trasmissione edi riflessione sono legati l’uno all’altro dalla conservazione della densita diprobabilita di trovare una particella quantistica in un punto x dello spazio altempo t.

Vogliamo ora determinare quale e la relazione che lega R(ω) a T (ω) perun’onda elettromagnetica.

A tale scopo ci serviremo del Teorema del Wronskiano:

Teorema 1 (del wronskiano). Siano ψ1(x) e ψ2(x) soluzioni dell’equazionedifferenziale ordinaria:

A(x)ψx + B(x)ψ = 0

Allora il funzionale wronskiano

W (ψ1, ψ2) = ψ1ψ2x − ψ2ψ1x = det

(ψ1 ψ2

ψ1x ψ2x

)

soddisfa l’equazioneWx = A(x)W

che ammette soluzione

W (x) = W (0) eR x

x0A(y)dy

.

Nel nostro caso, cosı come nell’equazione di Schrodinger, la funzione A(x)e nulla, pertanto il wronskiano e costante nello spazio.

Essendo l’equazione per la ψ(x) un’equazione reale, se ψ(x) e soluzionelo e anche la sua complessa coniugata ψ∗(x).

Identificando ψ = ψ1 e ψ∗ = ψ2, otteniamo

W = ψψ∗x − ψ∗ψx

208Coefficienti di Trasmissione e Riflessione di un’onda

elettromagnetica

Imponendo l’uguaglianza di W (x) per x negativi e per x positivi abbiamo:

|R|2 +√

1 + χs |T |2 = 1 (C.10)

che non e altro che la conservazione dell’energia del sistema.

Appendice D

Il Problema RH

Il problema di Riemann-Hilbert (RH) riguarda funzioni complesse f(k) (omatrici e vettori complessi) della variabile complessa k.

Cominciamo con una definizione:Una funzione f(k) si dice sezionalmente olomorfica (o olomorfa) se l’interopiano-k complesso e diviso in sezioni curve continue a tratti ed f(k) e analitica(cioe olomorfica) in ogni sezione ed ha limite nel valor al contorno quando ksi avvicina ai due lati di tale curva.

I bordi delle sezioni sono curve orientate.Inoltre il grado all’infinito di una funzione f(k) sezionalmente olomorfica

e l’intero n tale che

f(k) = ckn [1 + O(1/k)] , per |k| → ∞ ,

dove c e una costante non nulla.Al fine di ottenere una rappresentazione di una funzione sezionalmente

olomorfica, osserviamo che un’informazione di base ci e fornita dalla discon-tinuita f (+)− f (−) sui bordi. Per usare tale informazione, facciamo uso delleformule di Plemelj-Sakhotski.

Sia Γ una curva orientata nel piano complesso che insieme alla sua tan-gente e continua e sia g(s) una funzione di Holder su Γ, ovvero

|g(s′)− g(s)| < γ |s′ − s|α , per 0 < α ≤ 1, γ > 0 ,

allora, la funzione

f(k) =1

2πi

∫

Γ

dsg(s)

s− k

e olomorfica in tutto il piano complesso coll’eccezione della curva Γ che nerappresenta la discontinuita.

210 Il Problema RH

Le formule di Plemelj-Sakhotski ci forniscono i valori della f(k) al bordo,ed hanno la seguente espressione:

f (±)(s) =1

2πiP

∫

Γ

ds′g(s′)s′ − s

± 1

2g(s) , per s ∈ Γ , (D.1)

dove il simbolo P dinanzi l’integrale significa che si vuol considerare il valorprincipale (o di Cauchy) dell’integrale, ed i valori f (±) dipendono dall’orien-tazione della curva Γ. Notiamo che quest’ultima espressione implica che ladiscontinuita di f(k) su Γ e precisamente g(s), ovvero

f (+)(s)− f (−)(s) = g(s) , per s ∈ Γ . (D.2)

L’uso di queste formule fornisce una rappresentazione esplicita di unafunzione f(k) che soddisfa le seguenti condizioni: f(k) e olomorfica eccettoper

1. k = ∞, dove si comporta come un polinomio P (k);

2. k = km, m = 1, 2, . . . , N che sono poli semplici nei quali f(k) ha residuiRm:

limk→km

[(k − km) f(k)] = Rm , per m = 1, 2, . . . , N ;

3. k = s ∈ Γ dove f(k) ha una discontinuita g(s) di Holder.

Si trova allora che f(k) e data dall’espressione unica.

f(k) = P (k) +N∑

m=1

Rm

k − km

+1

2πi

∫

Γ

dsg(s)

s− k, per k /∈ Γ , (D.3)

Tali risultati si estendono anche ai casi in cui si considerino matrici e vet-tori: consideriamo una curva Γ continua con la sua tangente, una funzionematrice G(s) non-singolare N × N , i cui elementi sono holderiani su Γ, unvettore N -dimensionale h(s), anch’esso con componenti holderiani, ed un in-tero n. La soluzione del problema RH e una funzione vettore N -dimensionalef(k), la quale e olomorfica nel piano complesso eccetto che per k = ∞ doveha grado n e sulla curva Γ dove i valori al bordo f (±) devono soddisfarel’equazione algebrica nonomogenea

f (+)(s) = G(s) f (−)(s) + h(s) , per s ∈ Γ . (D.4)

Notiamo innanzitutto che come per i sistemi di equazioni differenziali delprimo ordine, il problema RH puo essere risolto in una forma esplicita solo

211

per il caso scalare, N = 1. Benche il problema RH assuma forma matricialein tutte le applicazioni dell’analisi spettrale, sfruttiamo la risolubilita delcaso scalare per sottolineare alcuni aspetti generali. (Un ruolo cruciale perl’esistenza e l’unicita della soluzione del problema RH e giocato dal grado nall’infinito.)

Per n = 1, la soluzione esiste, ma non e unica dato che dipende da dueparametri c0 e c1 in base all’espressione:

f(k) = c0 + c1 k +1

2πi

∫

Γ

dsh(s)

s− k, per k /∈ Γ .

Per n = −1, la soluzione esiste unica:

f(k) =1

2πi

∫

Γ

dsh(s)

s− k, per k /∈ Γ .

Per n = −2, la soluzione in genere non esiste ed esiste se e solo se iltermine nonomogeneo h(s) soddisfa la condizione

∫

Γ

ds h(s) = 0 .

Nel caso piu interessante, nei quali G(s) 6= 1 e Γ e una curva chiusa, esisteun altro intero che puo decidere dell’esistenza e dell’unicita della soluzione:questo intero e chiamato “indice totale” indicato con ν e dall’espressione

ν ≡ ind [det (G)] =1

2πi

z

Γ

dsd

dsdet (G(s)) .

Questo indice discende dal fatto che il numero complesso det (G(s)) cambiacontinuamente quando s varia attorno a Γ, ma non necessariamente la suafase, la quale puo cambiare dopo un giro completo di un multiplo di 2π.

Tuttavia nelle applicazioni ν = 0, e quindi non ci interessiamo dei casi incui questo non si annulla.

Osserviamo, dunque, che l’uso delle formule di Plemelj-Sakhotski ci per-mette di trasformare il problema RH in un’equazione integrale. In questo con-testo, il ruolo giocato dalle formule PS corrisponde a quello giocato dalle fun-zioni di Green nella teoria delle equazioni differenziali, dato che trasformanoequazioni differenziali in equazioni integrali.

Per semplicita, consideriamo il problema RH omogeneo, con h(s) = 0 eponiamo che H(s) = G(s) − 1. Possiamo esprimere la discontinuita di f(k)su Γ come

f (±)(s)− f (−)(s) = H(s) f (−)(s) ,

212 Il Problema RH

cosicche se la curva Γ coincide con l’asse reale (come in molte applicazioni),il grado all’infinito si annulla, ovvero n = 0, e cosı f(k) → c, per |k| → ∞.

Allora, viste le (D.3) e (D.2), si ha

f(k) = c +1

2πi

∫ +∞

−∞dsH(s)

f (−)(s)

s− k, per k /∈ Γ .

Otteniamo allora l’equazione integrale per la funzione f (−)(s) definitasull’asse reale facendo tendere k verso l’asse reale dal basso nella precedenteespressione:

f (−)(s) = c +1

2πi

∫ +∞

−∞ds′ H(s′)

f (−)(s′)s′ − s + iε

,

nella quale il limite per ε → 0 con ε > 0, ci da la formula esplicita

f (−)(s) = c +1

2πiP

∫ +∞

−∞ds′ H(s′)

f (−)(s′)s′ − s

− 1

2H(s)f (−)(s) ,

come comportano le formule di PH (D.1).

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