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Dispense diMatematica–Analisi Matematica

Riccarda Rossi

Corso di Laurea in Disegno Industriale

Universita degli Studi di Brescia

Anno Accademico 2009/2010

Capitolo 1

Nozioni preliminari

1.1 Elementi di logica matematica

Una condizione basilare per poter apprendere la matematica e acquisire correttamente il cosid-detto “linguaggio matematico”. In effetti, in matematica la verifica di un’affermazione nonavviene sperimentalmente, ma dandone una dimostrazione, e dimostrare un’affermazione (inquesto contesto si usa anche il termine tesi) significa provarne la verita facendola discendere, at-traverso una catena di passaggi logici, da un altro asserto (ipotesi), di cui si presuppone la verita.Per poter effettuare correttamente questi passaggi (cioe sviluppare il processo deduttivo), e nec-essario impiegare rigorosamente un linguaggio che non ammetta ambiguita. Tale e il linguaggiomatematico, basato sulla logica, della quale e opportuno apprendere i primi rudimenti.

1.1.1 Proposizioni e predicati

Gli oggetti basilari della logica sono le proposizioni.

Definizione 1.1.1 (Proposizione). Chiamiamo proposizione una frase di senso compiuto dellaquale si puo inequivocabilmente dire se e vera o falsa. Denotiamo la generica proposizione coni simboli P o Q.

Esempio 1.1.2. 1. P1: “Quest’aula contiene solo studenti di Disegno Industriale” (VERA);

2. P2: “Ogni anno, il 17 Settembre a Cremona nevica” (FALSA);

3. P3: “Che ora e?” (NON E UNA PROPOSIZIONE);

4. P4: 1 + 1 = 2 (VERA);

5. P5: “11 e un numero dispari” (VERA);

6. P6: “60 e un numero primo1” (FALSA)......

1cioe un numero naturale n > 1 i cui unici divisori sono 1 e n.

4 Riccarda Rossi – Analisi Matematica per Disegno Industriale

Definizione 1.1.3 (Predicato). Chiamiamo predicato una frase di senso compiuto che contieneuna o piu variabili libere. Denotiamo con i simboli P(x) o Q(x) un predicato dipendente dallavariabile x, (con P(x, y) o Q(x, y) un predicato dipendente dalle variabili x, y, con P(x, y, z) oQ(x, y, z) un predicato dipendente dalle variabili x, y, z.....)

Chiaramente, il valore di verita del predicato P(x) (P(x, y)...., risp.) dipende dal valore assuntodalla variabile x (da x, y...., risp.). Per trasformare un predicato P(x) in una proposizione P, equindi sufficiente assegnare un valore alle variabili libere.

Esempio 1.1.4. 1. P1(x): “L’aula x contiene solo studenti di Disegno Industriale”;

2. P2(x, y): “Ogni anno, nel giorno x e nel luogo y nevica”;

3. P3(x, y): x + y = 2;

4. P4(x): “x e un numero dispari”;

5. P5(x): “x e un numero primo”......

1.1.2 Quantificatori

Un altro modo per rendere i predicati degli oggetti a cui attribuire in modo inequivocabile unvalore di verita/falsita e usare i cosiddetti quantificatori:

• ∀ : che si legge Per ogni (quantificatore universale);

• ∃ : che si legge Esiste (quantificatore esistenziale);

• ∃!: che si legge Esiste ed e unico.

Esempio 1.1.5. 1. Consideriamo il predicato “Per ogni numero naturale n, n e primo”. Purdipendendo da una variabile n, a questo predicato si puo attribuire inequivocabilmente ilvalore VERO/FALSO, e quindi e di fatto una proposizione. In questo caso, ovviamentetale proposizione e FALSA;

2. “Esiste un numero naturale n tale che n e primo” (VERA);

3. “Ogni numero dispari e divisibile per 3” (FALSA).

Osservazione 1.1.6. Si noti che

• ∃ significa Esiste almeno uno,

• ∃! significa Esiste ed e unico.

Per esempio:In alcune zone dello Utah (Stati Uniti) nelle quali e tollerata la poligamia, ogni uomo ha almenouna moglie, mentre ogni donna ha un unico marito.

Osservazione 1.1.7 (Attenzione all’ordine dei quantificatori). In una proposizione/predicato,e essenziale l’ordine con cui compaiono i vari quantificatori. In altri termini, invertire l’ordinedi due quantificatori, di diverso tipo, adiacenti, puo alterare, anche pesantemente, il senso dellafrase. Ad esempio:

Nozioni preliminari 5

• In ogni luogo c’e almeno un giorno all’anno in cui piove, che si puo scrivere piu sintetica-mente come

∀ luogo ∃ giorno all’anno: piove

(e questa proposizione e VERA). Invertendo l’ordine dei quantificatori si ottiene

∃ giorno all’anno: ∀ luogo piove ,

cioe C’e almeno un giorno all’anno tale che in ogni luogo piove, che e FALSA.

• A volte la distinzione e piu sottile, anche se significativa:

In questo libro giallo, per ogni assassinio commesso esiste un unico colpevole,

da confrontarsi con

In questo libro giallo, esiste un unico colpevole per ogni assassinio commesso.

• Partiamo da una affermazione FALSA: Esiste un numero intero piu grande di ogni altronumero intero, cioe

∃ y numero intero: ∀ intero x y > x .

Invertendo l’ordine dei quantificatori otteniamo

∀ intero x ∃ y numero intero: y > x ,

che e VERA.

1.1.3 Connettivi logici

I connettivi logici che ora introduciamo trasformano una o piu proposizioni/predicati in al-tre proposizioni/predicati, il cui valore di verita dipende dai valori di verita delleproposizioni di partenza.

NON (negazione): questo connettivo trasforma una data proposizione P (predicato P(x)) nellaproposizione non(P) (nel predicato non(P(x))), che ha contenuto contrario a P(P(x)).Ad esempio: “Oggi piove” diventa “Oggi non piove”.

• Una sola fra P e non(P) e vera: vale cioe il principio del terzo escluso2

• L’operatore di negazione, applicato due volte, si elide, cioe

non(non(P)) = P .

Ad esempio: “Non e vero che Bin Laden non sia un criminale”= “Bin Laden e uncriminale”.

E (congiunzione): date due proposizioni P e Q, (due predicati P(x) e Q(x)),

P e Qe la proposizione nella quale valgono sia la prima, sia la seconda.Quindi, “P e Q” e vera se e solo se sia P sia Q sono vere.Ad esempio: “Oggi piove e fa freddo”.

2che caratterizza la cosiddetta logica bivalente, alla base dei calcolatori elettronici.


O (disgiunzione): date due proposizioni P e Q, (due predicati P(x) e Q(x)),

P o Qe la proposizione nella quale vale almeno delle due.Quindi, “P o Q” e vera se e solo almeno una fra P o Q e vera.Si noti che, scrivendo PoQ, non escludo che siano vere entrambe: in ogni caso, almenouna delle due lo e. Per esempio: se dico che “Ogni mio cugino gioca o a tennis o a basket”,non escludo di avere un cugino molto sportivo che gioca sia a tennis, sia a basket.

=⇒ (implicazione): date due proposizioni P e Q, (due predicati P(x) e Q(x)), il connettivoimplicazione crea la nuova proposizione P =⇒ Q, che si legge

• “P implica Q”,

• “se P, allora Q”.

e che ha il seguente significato: se P e vera, anche Q e vera.Ad esempio:

• “Se l’acqua viene portate alla temperatura di 0 gradi celsius, allora si ghiaccia.”

• “Se un numero naturale n e divisibile per 4, allora n e pari.”

• “Se una figura piana e un quadrato, allora le sue diagonali sono perpendicolari.”

• 3x + 5 = 17 =⇒ x = 4.

Si usano anche le seguenti locuzioni per esprimere P =⇒ Q:

• “P e condizione sufficiente per Q”3,

• “Q e condizione necessaria per P”4.

Ad esempio, la proposizione“Se fa freddo, accendo il riscaldamento.”si riesprime come“Condizione sufficiente affinche io accenda il riscaldamento e che faccia freddo.”

Non si confonda mai “condizione sufficiente” con “condizione necessaria”: per esempio, laproposizione “se passo l’esame di matematica, domani sera ti porto al cinema” equivale a“condizione sufficiente per portarti al cinema e che domani io passi l’esame di matematica”,ed equivale anche a “portarti al cinema e condizione necessaria per la mia promozioneall’esame di matematica.” Ha tutt’altro significato la proposizione “Portarti al cinema euna condizione sufficiente affinche io passi l’esame di matematica domani”!!!!

⇐⇒ (doppia implicazione): date due proposizioni P e Q, (due predicati P(x) e Q(x)), ilconnettivo doppia implicazione crea la nuova proposizione P ⇐⇒ Q, che equivale a

P =⇒ Q e Q ⇐= Pe che si legge “P equivale a Q”. In altri termini, la proposizione P ⇐⇒ Q e veraquando P e Q hanno lo stesso valore di verita (cioe sono entrambe vere o entrambefalse). Altre locuzioni sono

3in altri termini, e sufficiente che valga P affinche valga anche Q.4in altri termini, se vale P, necessariamente deve valere anche Q.


• “P e condizione necessaria e sufficiente per Q”,

• “P se e solo se Q”.

Ad esempio:

• “Condizione necessaria e sufficiente affinche il Brescia vinca contro l’Atalanta e cheil Brescia segni un numero di gol strettamente maggiore dell’Atalanta”;

• Dati due numeri reali a e b, si ha

a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 o b = 0.

1.1.4 Negazione di proposizioni con quantificatori e connettivi

Apprendiamo alcune regole fondamentali per

Negare proposizioni/predicati contenenti quantificatori:

NON (∀) = ∃ NONcioe si hanno le seguenti equivalenze

non (∀x P(x)) ⇐⇒ “non e vero che P(x) e sempre vera”⇐⇒ “c’e almeno un x per il quale P(x) e falsa”⇐⇒ ∃x : non(P(x)) .

Ad esempio:

• “Non e vero che ogni ragazzo di questa classe e senza gli occhiali”, cioe “Esiste unragazzo in questa classe che porta gli occhiali”;

• la negazione di “In Irlanda tutti i giorni dell’anno piove” e la proposizione “C’e al-meno un giorno all’anno in Irlanda in cui non piove”.Quindi, per negare che una proprieta sia verificata universalmente bisognaesibire un esempio in cui essa non sia verificata: si parla allora di un controesempio.

NON (∃) = ∀ NONcioe si hanno le seguenti equivalenze

non (∃x P(x)) ⇐⇒ “non e vero che esiste un x per cui P(x) e vera”⇐⇒ “per ogni x P(x) e falsa”⇐⇒ ∀x : non(P(x)) .

Ad esempio:

• “Non esiste nessuno stato europeo il cui nome inizi per z”, cioe “Tutti gli stati europeihanno nomi che iniziano per lettere diverse da z”;

• La negazione di “∃x > 2 : x2 ≤ 4” (FALSA) e “∀x > 2, x2 ≥ 4” (VERA).


NON (∀ + ∃) = ∃+ ∀ NONcioe si hanno le seguenti equivalenze

non (∀x ∃ y : P(x, y)) ⇐⇒ “non e vero che per ogni x esiste un y tale P(x, y) e vera”⇐⇒ “esiste un x per il quale e falso che [esiste un y tale P(x, y) e vera]”⇐⇒ “esiste un x per il quale per ogni y P(x, y) e falsa”⇐⇒ ∃x : ∀ y non(P(x, y)) .

Ad esempio: “E falso che ogni padre bresciano abbia almeno una figlia bionda” equivalea “esiste un padre bresciano tale che tutte le sue figlie non sono bionde”..

NON (∃ + ∀) = ∀+ ∃ NONAd esempio, la proposizione5

“Non (esiste un numero naturale x tale che per ogni naturale y si abbia y ≤ x)”

e equivalente a

“per ogni numero naturale x esiste un numero naturale y tale che si abbia y > x”.

Negare proposizioni/predicati contenenti connettivi:

non(P e Q) = [non(P) o non(Q)]Per esempio: “Non e vero che entrambe le figlie del medico sono alte” equivale a “Almenouna delle due figlie del medico non e alta”.

non(P o Q) = [non(P) e non(Q)]Per esempio: “Non e vero che mio fratello, a cena, mangia carne o pesce” equivale a “Acena, mio fratello non mangia ne carne, ne pesce”.

non(P =⇒ Q) = [P e non(Q)]Ad esempio: “E falso che Lucia, se prende correnti d’aria fredda, si ammala” equivale a“Lucia prende correnti d’aria fredda e non si ammala”.

Infine, osserviamo che

l’implicazione P =⇒ Q e equivalente a [non(Q) =⇒ non(P)]. (1.1.1)

In altri termini, dire P =⇒ Q, cioe “Q e condizione necessaria per P”, e equivalente a dire“se non vale Q, non puo valere neppure P”.

1.1.5 La dimostrazione per assurdo

L’equivalenza (1.1.1) e alla base della cosiddetta dimostrazione per assurdo.Vogliamo dimostrare che, se assumiamo come vera una data ipotesi P, allora vale la

tesi Q, cioe che P =⇒ Q. Cio e equivalente a dimostrare che non(Q) =⇒ non(P). Allora,nella dimostrazione per assurdo si procede cosı: si parte dall’ipotesi P, e si nega la tesi che sivuole dimostrare, cioe non(Q). Dopodiche si sviluppa un ragionamento che portera a dedurre

5che esprime la cosiddetta “proprieta archimedea” dei numeri naturali.


da non(Q) che vale non(P)6. Ma P e non(P) non possono sussistere contemporaneamente.Quindi non(P) e FALSA. Abbiamo quindi provato che, assumendo non(Q), si e giunti a non(P)(FALSA). Ma allora anche non(Q) e FALSA.

Per esempio, dimostriamo il seguente

Teorema 1.1.8. Ipotesi: a e b sono due numeri naturali strettamente positivi, il cui prodottoe un numero dispari.Tesi: Sia a sia b sono numeri dispari.

Dimostrazione. Per assurdo, supponiamo che valga l’ipotesi e neghiamo la tesi: quindi

a · b e un numero dispari e almeno uno fra a o b non e dispari.

Per esempio supponiamo che a sia pari7. Quindi a = 2p, ove p e un numero naturale strettamentepositivo. Ma allora a · b = 2p · b, quindi a · b e un intero pari, contro la nostra ipotesi. Assurdo,quindi vale la tesi.

1.2 Elementi di teoria degli insiemi

Chiamiamo insieme una certa entita composta di oggetti elementari. Sinonimi di insieme sono itermini: collezione, famiglia, classe. Gli oggetti che costituiscono un insieme sono detti elementi.

Notazioni. Useremo:

• una lettera maiuscola (ad es.: A, B, C . . .) per denotare un dato insieme,

• lettere minuscole (ad es.: a, b, c, x . . .) per denotare gli elementi di insieme.

Dati x ed E,

• x ∈ E significa “x appartiene ad E”,

• x /∈ E significa “x non appartiene ad E”.

Il simbolo ∅ denota l’insieme privo di elementi, detto insieme vuoto.Chiamiamo cardinalita di un insieme il numero dei suoi elementi.

Descrizione degli insiemi. E possibile descrivere un generico insieme in due modi:

1. elencandone tutti gli elementi, con ciascun elemento indicato una sola volta, ad es. A ={−1, 1}. Si noti che l’ordine con cui si elencano gli elementi e inessenziale, pertanto

A = {−1, 1} = {1,−1}.

Si noti che A ha cardinalita 2.Ulteriori esempi sono i seguenti insiemi numerici:

(a) N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} : l’insieme dei numeri naturali;

6o che vale un’altra affermazione R che sappiamo essere FALSA.7procederemmo analogamente se supponessimo b pari.


(b) Z = {. . . ,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} : l’insieme dei numeriinteri;

(c) P = {0, 2, 4, 6, . . .} : l’insieme dei numeri naturali pari.

Si noti che N, Z e P hanno infiniti elementi: in tal caso si dice che hanno cardinalitainfinita.

2. Oppure si puo descrivere un insieme come la famiglia di tutti gli elementi verificanti unacerta proprieta (o predicato). In altri termini, dato un insieme ambiente U e una proprietaP, possiamo definire un insieme A come la famiglia di tutti gli elementi x ∈ U che rendonovera la proprieta P, cioe gli x per i quali vale P(x)8:

A := {x ∈ U : P(x)} .

Ad esempio,

• A1 = {x ∈ N : x < 3} = {0, 1, 2};• A2 =

{x ∈ Z : x2 = 1

}= {−1, 1}.

L’inclusione. Siamo I, E due insiemi. Diciamo che E ⊂ I (cioe E e un sottoinsieme di I, oanche E e incluso in I) se

per ogni x ∈ E si ha che x ∈ I

(in simboli: x ∈ E =⇒ x ∈ I). Chiaramente, se E = I si ha in particolare che E ⊂ I e I ⊂ E.Di fatto, si ha che

E = I ⇐⇒ E ⊂ I e I ⊂ E .

Se E ⊂ I e E 6= I, diciamo che E e un sottoinsieme proprio di I; in simboli, questo si traducecon

∀x ∈ E , x ∈ I e ∃ y ∈ I : y /∈ E

(la prima proposizione afferma che E e incluso in I, e la seconda che I non e incluso in E).Si conviene che, dato un qualsiasi insieme E, si abbia ∅ ⊂ E e E ⊂ E (∅ e E vengono

detti sottoinsiemi impropri di E).

Operazioni fra insiemi. Dati A e B (sottoinsiemi di un certo insieme ambiente che nonspecifichiamo), possiamo definire i seguenti insiemi:

l’insieme unioneA ∪B := {x : x ∈ A o x ∈ B} ;

l’insieme intersezioneA ∩B := {x : x ∈ A e x ∈ B}

(se A ∩B = ∅, si dice che A e B sono disgiunti);

l’insieme differenza (di A e B)

A \B := {x : x ∈ A e x /∈ B} .

Se A e X sono due insiemi con A ⊂ X, allora l’insieme X \ A viene detto insiemecomplementare di A in X (e denotato anche con il simbolo Ac).

8quando si definisce un insieme A in questo modo, si usa la notazione A := ...; il simbolo := viene in generaleusato nelle definizioni.


Si noti che, mentre A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A (cioe vale la proprieta commutativa), ingenerale A \B 6= B \A.Ad esempio, consideriamo

1. l’insieme dei numeri naturali pari P e l’insieme D = {1, 3, 5, 7, . . .} dei numeri naturalidispari. In questo caso,

P ∩D = ∅, P ∪D = N, P \D = P, D \ P = D .

2. l’insieme dei numeri naturali pari P e l’insieme M dei multipli naturali di 4 (cioe M ={x ∈ N : x = 4n, n ∈ N}. Allora

M ⊂ P, P ∩M = M, P ∪M = P, M \ P = ∅.

Infine, ricordiamo che, dato un certo insieme A, l’insieme dei sottoinsiemi di A vienedetto insieme delle parti (o insieme potenza) di A, e denotato con il simbolo 2A. Ad esempio

A = {0, 1, 2} =⇒ 2A = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, A} . (1.2.1)

Il prodotto cartesiano. Dati due insiemi A e B, non necessariamente distinti, si chiamaprodotto cartesiano di A per B l’insieme delle coppie ordinate (a, b), al variare di a ∈ A e dib ∈ B, cioe

A×B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} .

“Coppie ordinate” significa che l’ordine con cui appare ciascun elemento della coppia e essenziale.Due coppie ordinate (a, b) e (a′, b′) sono uguali se hanno uguali ordinatamente primo e secondoelemento, cioe se a = a′ e b = b′.

Quindi, dati A e B, in generale si ha A×B 6= B×A. Si provi a verificare cio descrivendoi prodotti cartesiani A×B e B ×A, con A = {a, b, c} e B = {1, 2}.

Se A = B, useremo la notazione A2 per A×A.Si puo estendere l’operazione di prodotto cartesiano a una n-upla di insiemi A1, A2, . . . , An,

con n ≥ 2, definendo

A1 ×A2 × . . .×An := {(a1, a2, . . . , an) : a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An}

cioe l’insieme delle n-uple ordinate (a1, a2, . . . , an), al variare di a1 ∈ A1, .. an ∈ An. Anche inquesto caso, se Ai ≡ A per ogni i = 1, 2, . . . , n, si usa la notazione A×A× . . .×A = An.

Il concetto di relazione. Dati due insiemi non vuoti A e B, una relazione R di A in Be per definizione un sottoinsieme non vuoto R del prodotto cartesiano A × B (se A = B, unsottoinsieme R ⊂ A2 viene chiamato relazione in A). Diciamo che un elemento a ∈ A e inrelazione con un elemento b ∈ B (e scriviamo aR b) se (a, b) ∈ R.

Esempio 1.2.1. 1. Se A = B, l’insieme diagonale D = {(a, b) ∈ A2 : a = b} corrispondealla relazione di uguaglianza: in effetti,

(a, b) ∈ D ⇐⇒ a = b.

2. La relazione “≤ ” nell’insieme dei numeri reali N si identifica con l’insieme {(x, y) ∈ N×N :x ≤ y}.


Definizione 1.2.2. Diciamo che una relazione R di un insieme A in se e una relazione d’ordinese gode delle seguenti proprieta:

riflessivita ∀x ∈ A xRx

antisimmetria ∀x, y ∈ A [xR y e yRx] =⇒ x = y

transitivita ∀x, y, z ∈ A [xR y e yR z] =⇒ xR z.

Inoltre, se una relazione d’ordine R gode anche della proprieta

∀x, y ∈ A xR y o yRx (dicotomia)

allora la relazione d’ordine si dice totale e A viene detto un insieme totalmente ordinato.

Esempio 1.2.3. • Si verifica facilmente (esercizio!) che la relazione ≤ in N e una relazioned’ordine totale;

• la relazione < NON e una relazione d’ordine in N (verificare!)

• dato un qualsiasi insieme A 6= ∅, la relazione ⊂ in 2A e una relazione d’ordine (esercizio!).In generale, ⊂ non e una relazione d’ordine totale (ad es., si veda l’insieme A in (1.2.1)).

1.3 Dai numeri naturali ai numeri razionali

Rivediamo brevemente alcuni fatti elementari sui numeri naturali, interi, e razionali.

L’insieme dei numeri naturali.

N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} .

• Possiamo rappresentare geometricamente N su una retta, fissando su di essa un puntoorigine O, a cui viene associato lo 0, e un secondo punto U 6= O, a cui si associa il valore 1.Si considera “verso di percorrenza positivo” della retta il verso di percorrenza da O a U .La lunghezza del segmento OU individua un’unita di misura. Riportando il multiplo n diOU sulla retta nel verso positivo, si individua il punto associato al numero naturale n.

• La relazione ≤ e una relazione di ordine totale in N.

• Ogni numero naturale n ha come divisori 1 e n. Se questi sono i suoi unici divisori, n vienedetto primo.

L’insieme dei numeri interi. Osserviamo che, dati due numeri naturali a, b ∈ N, l’equazione

a + x = b

ha una (unica) soluzione x ∈ N se b ≥ a. Se, invece, b < a, non esiste alcun numero naturale xche verifichi a+x = b. Questo fatto motiva l’introduzione dei numeri interi, che si ottengono dainumeri naturali nel seguente modo: ad ogni n ∈ N associamo l’elemento x tale che x + n = 0.Denotiamo x con il simbolo −n (x e detto l’opposto di n) e definiamo

Z := {. . . ,−n, . . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . , n, . . .}.


• Anche Z si puo rappresentare geometricamente su una retta: riprendendo la retta cherappresenta N, al numero intero −n (con n ∈ N) viene associato il punto che si ottieneriportando n volte il segmento unitario OU nel verso opposto al verso positivo.

• La relazione ≤ e una relazione di ordine totale in Z.

• Si ha chiaramente N ⊂ Z.

L’insieme dei numeri razionali. Dati due numeri interi a, b ∈ Z, con a 6= 0, l’equazione

ax = b

ha una soluzione x ∈ Z se e solo se b e un multiplo intero di a. In caso contrario, non esiste alcunx ∈ Z che la verifichi. Per renderla risolvibile per ogni coppia di interi a, b ∈ Z (con a 6= 0),ampliamo l’insieme Z, e definiamo

Q :={m

n: m, n ∈ Z, n 6= 0

},

con la convenzione di considerare ogni frazione ridotta ai minimi termini, cioe con numeratoree denominatore privi di denominatori comuni. In altri termini, identifichiamo per esempio 1

3 e26 , 1

6 e 318 .

• Z puo essere identificato con il sottoinsieme Z di Q dato da

Z ={m

n∈ Q : n = 1

}.

Con un lieve abuso di notazione, scriviamo quindi N ⊂ Z ⊂ Q.

• Ad ogni x ∈ Q\{0} e possibile associare un unico numero y ∈ Q\{0} che verifichi xy = 1.Il numero y viene detto inverso (o reciproco) di x.

• La relazione d’ordine ≤ si estende a Q nel seguente modo:

– dato un numero razionale mn , con m, n ∈ Z, n 6= 0, si ha che

m

n≥ 0 ⇔ m e n hanno lo stesso segno,

m

n≤ 0 ⇔ m e n hanno segni diversi.

– Dati mn e p

q in Q, li ordiniamo nel seguente modo:

∗ se mn e p

q hanno segno diverso, e immediato confrontarli. Avremo infatti

m

n≤ 0 ≤ p

qoppure

p

q≤ 0 ≤ m

n.

∗ se mn e p

q sono entrambi positivi, possiamo supporre9 che m ≥ 0 e n > 0 e p ≥ 0e q > 0. Allora abbiamo che

m

n≤ p

q⇔ mq ≤ pn.

9in effetti,3

5=

+3

+5=−3

−5.


∗ se mn e p

q sono entrambi negativi, allora ci “appoggiamo” alla relazione d’ordinedefinita nel caso di numeri razionali positivi:

m

n≤ p

q⇔ −p

q≤ −m

n.

• Rappresentazione decimale dei numeri razionali. Ogni numero x ∈ Q puo essereespresso in base 10 nella forma

x = ±(ck10k + ck−110k−1 + . . . + c110 + c0

+ c−110−1 + c−210−2 + . . .)

con le cifre ci, c−j ∈ {0, 1, . . . , 9}.(1.3.1)

Le cifre ci, c−j vengono dette cifre decimali. Equivalentemente, si puo scrivere

x = ±ckck−1 . . . c1c0, c−1c−2 . . . (1.3.2)

Questa e, peraltro, la rappresentazione dei numeri fatta da un calcolatore. Chiamiamola (1.3.1)/(1.3.2) rappresentazione (o allineamento) decimale del numero x. Osserviamoche, mentre il numero di cifre a sinistra della virgola in (1.3.2) e finito, in generale vipossono essere infinite cifre decimali a destra della virgola.

Si dice che un allineamento decimale e finito se vi e un numero finito di cifre a destra dellavirgola. Ad esempio,

18723100

= 187, 23 = 1 · 102 + 8 · 10 + 7 + 2 · 10−1 + 3 · 10−2,

−16

= −0, 166666666 . . . = −(0 + 1 · 10−1 + 6 · 10−2 + 6 · 10−3 + 6 · 10−4

+6 · 10−5 + 6 · 10−6 + 6 · 10−7 + 6 · 10−8 . . .).

Se, in un allineamento decimale (non finito), da una certa posizione decimale in poi unblocco di cifre si ripete indefinitamente, allora l’allineamento viene detto periodico e taleblocco e detto periodo10. Ad esempio, −1/6 ha un allineamento decimale periodico diperiodo 6.

Si puo dimostrare che ad ogni numero razionale x ∈ Q viene associato uno e un soloallineamento decimale, finito o periodico. Chiaramente, i numeri interi si identificano congli allineamenti decimali in cui le cifre a destra della virgola sono tutte uguali a zero.

Dai numeri razionali ai numeri reali. Fu scoperto dai matematici greci che esistono seg-menti la cui lunghezza non puo essere espressa mediante numeri razionali. Ad esempio, lalunghezza x della diagonale del quadrato di lato 1, che, per il teorema di Pitagora, verifica

x2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2.

Teorema 1.3.1. Non esiste un x ∈ Q tale che x2 = 2.

Dimostrazione. Per assurdo esista x ∈ Q tale che x2 = 2. Rappresentiamo x nella forma

x =m

ncon m, n ∈ Z e n 6= 0

10vengono considerati propri i periodi diversi da 9: ad esempio, il numero 0, 99999999... viene identificato con 1.


(si intende la frazione ridotta ai minimi termini, cioe m e n privi di divisori comuni). Poichex2 = 2, segue che

m2 = 2n2. (1.3.3)

Allora m2 e un numero pari. Ne consegue che m e un numero pari11. Quindi m e della formam = 2k, con k ∈ Z, e dalla (1.3.3) segue che 4k2 = 2n2, cioe n2 = 2k2. Ma allora n2 e pari,quindi anche n e pari. Abbiamo pertanto concluso che sia m sia n sono pari, cioe divisibili per 2.Ma questo e in contraddizione con il fatto che ne m ne n abbiano divisori comuni. Assurdo.

Il Teorema 1.3.1 suggerisce l’esistenza di un’estensione dell’insieme Q, in cui l’equazione x2 = 2ha una soluzione. Si tratta dell’insieme dei numeri reali.

Definizione 1.3.2. Chiamiamo numero reale un (qualsiasi) allineamento decimale, e denotiamocon R l’insieme dei numeri reali.

Chiaramente i numeri razionali (che, ribadiamo, si identificano con gli allineamenti decimalifiniti o periodici) sono un sottoinsieme di R. Si ha dunque N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Chiamiamonumero irrazionale un numero reale non razionale (rappresentato da un allineamento decimalenon finito ne periodico). L’insieme dei numeri irrazionali si denota ovviamente con il simboloR \Q. Ad esempio, sono numeri irrazionali ±√2 (cioe le radici di 2), π, la costante di Nepero e(qui approssimata con 55 cifre decimali)

e = 2, 7182818284590452353602874713526624977572470936999595749 . . . . . . . . .

1.4 L’insieme dei numeri reali

Le proprieta dell’insieme dei numeri reali che presentiamo in questa sezione sono fondamentaliper lo sviluppo del calcolo differenziale e integrale, e vanno quindi ben comprese e assimilate.

1.4.1 La relazione d’ordine su RLa relazione d’ordine ≤ si estende anche a R nel seguente modo: siano dati due numeri reali xe y, rappresentati dagli allineamenti decimali

x = ± (ckck−1 . . . c1c0, c−1c−2 . . .) y = ± (c′kc′k−1 . . . c′1c

′0, c

′−1c

′−2 . . .

).

Poiche, in entrambe le rappresentazioni, le cifre a sinistra della virgola rappresentano numeri naturali,per semplicita chiamiamo n := ckck−1 . . . c1c0 e m := c′kc′k−1 . . . c′1c

′0. Se x e y hanno segno

diverso, e immediato confrontarli:(x = +n, c−1c−2 . . . , y = −m, c′−1c

′−2 . . .

)⇒ y < 0 < x,

(x = −n, c−1c−2 . . . , y = +m, c′−1c

′−2 . . .

)⇒ x < 0 < y,

e, inoltre, se x e y sono entrambi negativi (cioe x = −n, c−1c−2 . . . e y = −m, c′−1c′−2 . . .), si ha

chex < y ⇔ −y < −x .

11in effetti, se m fosse dispari (cioe della forma m = 2k + 1), allora anche m2 = 4k2 + 4k + 1 sarebbe dispari.


Possiamo quindi ridurci al caso in cui x e y sono entrambi non negativi, cioe della forma

x = +n, c−1c−2 . . . y = +m, c′−1c′−2 . . . .

Per confrontarli, basta confrontare le prime cifre decimali diverse dei due numeri. Si ha:

n < m ⇒ x < y n > m ⇒ x > y .

Se n = m, confrontiamo allora le prime cifre decimali a destra della virgola:{

c−1 < c′−1 ⇒ x < y,

c−1 > c′−1 ⇒ x > y,

mentre, se c−1 = c′−1, sara necessario confrontare le seconde cifre decimali a destra della virgola,con la stessa regola: {

c−2 < c′−2 ⇒ x < y,

c−2 > c′−2 ⇒ x > y,

mentre, se c−2 = c′−2, sara necessario confrontare le terze cifre decimali a destra della virgola,con la stessa regola, e cosı via......

Notazione. Disponendo delle relazioni ≤ e < su R, diremo d’ora in poi che un numero x ∈ Re positivo se 0 ≤ x, cioe x ≥ 0; strettamente positivo se 0 < x, cioe x > 0; negativo se x ≤ 0;strettamente negativo se x < 0. Definiamo

R+ := {x ∈ R : x ≥ 0} , R− := {x ∈ R : x ≤ 0} .

Proprieta della relazione d’ordine. Ricordiamo le principali proprieta della relazione ≤:

x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,

x ≤ y, z ≥ 0 ⇒ xz ≤ yz,

x ≤ y, z ≤ 0 ⇒ xz ≥ yz

∀x, y, z ∈ R . (1.4.1)

Le stesse proprieta valgono per la relazione <. Inoltre,

∀x, y ∈ R 0 < x < y ⇒ 1x

>1y

> 0 .

1.4.2 Il modulo di un numero reale

Definizione 1.4.1. Dato x ∈ R, il modulo (o valore assoluto) di x e il numero reale positivodefinito da

|x| :={

x se x ≥ 0,−x se x < 0

.

Proprieta del valore assoluto. Si ha ∀ a, b ∈ R|a| ≥ 0 e |a| = 0 se e solo se a = 0; (1.4.2a)

|a| = | − a|; (1.4.2b)

|ab| = |a||b|; (1.4.2c)

|a− b| ≤ |a|+ |b| e |a + b| ≤ |a|+ |b| (1.4.2d)


Disuguaglianze con il valore assoluto. Ricordiamo che, dati a, b ∈ R, con a ≥ 0,

|x− b| ≤ a ⇔ −a ≤ x− b ≤ a

|x− b| ≥ a ⇔ x− b ≥ a o x− b ≤ −a

Infine, ricordiamo il seguente fatto√

x2 = |x| ∀x ∈ R . (1.4.3)

In generale,se n e pari n

√xn = |x| ∀x ∈ R . (1.4.4)

1.4.3 Densita di Q in R.

Intuitivamente, questo significa che non solo Q ⊂ R, ma anche che i numeri razionali sono “fitti”in R. Piu precisamente, ogni numero x ∈ R puo essere approssimato arbitrariamente bene da unnumero razionale: in altri termini, comunque si fissi una tolleranza (cioe, un margine d’errore)t > 0, esiste un numero y ∈ Q tale che −t < x− y < t (cioe, y dista da x meno di t). In simboli:

∀x ∈ R, ∀ t > 0 ∃ y ∈ Q : |x− y| < t . (1.4.5)

Se ne deduce che

∀ coppia di numeri reali x1 < x2 esistono infiniti numeri q ∈ Q tali che x1 < q < x2. (1.4.6)

Si puo dimostrare che anche l’insieme R \Q e denso (nel senso appena specificato) in R.

1.4.4 L’assioma di completezza

Per formalizzare l’assioma (o proprieta) di completezza di R, introduciamo alcune definizioni.

Definizione 1.4.2 (Maggiorante). Consideriamo un insieme A ⊂ R, con A 6= ∅.• Si dice che un numero reale M ∈ R e un maggiorante per A se

∀x ∈ A, x ≤ M .

• Se l’insieme dei maggioranti di A e non vuoto, si dice che A e limitato superiormente. SeA e privo di maggioranti, si dice che A e illimitato superiormente.

Analogamente,

Definizione 1.4.3 (Minorante). Sia A ⊂ R, con A 6= ∅.• Si dice che un numero reale m ∈ R e un minorante per A se

∀x ∈ A, x ≥ m.

• Se l’insieme dei minoranti di A e non vuoto, si dice che A e limitato inferiormente. Se Ae privo di minoranti, si dice che A e illimitato inferiormente.

Definizione 1.4.4. Sia A ⊂ R, con A 6= ∅. Diciamo che A e limitato se esso e sia superior-mente, sia inferiormente limitato.


Esempio 1.4.5. 1. Si consideri l’insieme

A = {x ∈ R : −1 ≤ x < 1} .

A e limitato superiormente e l’insieme dei maggioranti di A e: M(A) = {x ∈ R : x ≥ 1}.A e limitato inferiormente e l’insieme dei minoranti di A e: m(A) = {x ∈ R : x ≤ −1}.

2. Si consideri l’insiemeB = {x ∈ R : x ≤ 1} .

B e limitato superiormente e l’insieme dei maggioranti di B e: M(B) = {x ∈ R : x ≥ 1}.B e illimitato inferiormente.

3. Si consideri l’insieme

C ={

x ∈ R : x =12n

n ∈ N

}.

Si noti che C ha infiniti elementi e che 0 /∈ C. C e limitato superiormente e l’insieme deimaggioranti di C e: M(C) = {x ∈ R : x ≥ 1}. C e limitato inferiormente e l’insieme deiminoranti di C e: m(C) = {x ∈ R : x ≤ 0}.

4. Si consideri l’insiemeD =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

}.

Si noti che D e l’insieme {x ∈ R : −√2 ≤ x ≤ √2}. D e limitato superiormente e l’insieme

dei maggioranti di D e: M(C) = {x ∈ R : x ≥ √2}. D e limitato inferiormente e l’insieme

dei minoranti di D e: m(D) = {x ∈ R : x ≤ −√2}.

Definizione di estremo superiore di un insieme.

Definizione 1.4.6. Sia A un insieme non vuoto. Diciamo che un numero reale M∗ e l’estremosuperiore di A se valgono (contemporaneamente) le seguenti condizioni:

1. M∗ e un maggiorante per A;

2. M∗ ≤ M per ogni maggiorante M di A12.

Useremo la notazione M∗ = sup(A).

Unicita dell’estremo superiore. Si noti che, nella definizione di estremo superiore, e statousato l’articolo determinativo “il”. Questo e dovuto al fatto che, mentre un insieme puo avere ingenerale piu di un maggiorante (anche infiniti maggioranti, si veda l’Esempio 1.4.5), l’estremosuperiore di un insieme, se esiste, e unico. Per dimostrare cio, supponiamo per assurdoche un dato insieme A possieda due estremi superiori M∗

1 e M∗2 , con M∗

1 6= M∗2 . Per definizione

di sup, si deve avere M∗1 ≤ M∗

2 (in quanto M∗2 e un maggiorante e M∗

1 il piu “piccolo” frai maggioranti). Ragionando allo stesso modo, si ha M∗

2 ≤ M∗1 . Ma allora M∗

1 = M∗2 , in

contraddizione con quanto supposto.Si noti che, nella definizione di estremo superiore, non viene richiesto che M∗ appartenga

all’insieme A. Quando cio accade, M∗ viene detto massimo di A.

Definizione 1.4.7. Sia A un insieme non vuoto e sia M∗ = sup(A). Se M∗ ∈ A, alloradiciamo che M∗ e il massimo di A e scriviamo M∗ = max(A).

12cioe M∗ e “il piu piccolo” fra i maggioranti di A.


Definizione di estremo inferiore di un insieme.

Definizione 1.4.8. Sia A un insieme non vuoto. Diciamo che un numero reale m∗ e l’estremoinferiore di A se valgono (contemporaneamente) le seguenti condizioni:

1. m∗ e un minorante per A;

2. m∗ ≥ m per ogni minorante m di A 13.

Useremo la notazione m∗ = inf(A).

Ragionando come per il sup, si dimostra che l’inf di un dato insieme, se esiste, e unico.

Definizione 1.4.9. Sia A un insieme non vuoto e sia m∗ = inf(A). Se m∗ ∈ A, allora diciamoche m∗ e il minimo di A e scriviamo m∗ = min(A).

Esempio 1.4.10. 1. Si consideri l’insieme

A = {x ∈ R : −1 ≤ x < 1} .

Si ha inf(A) = −1 ∈ A e quindi inf(A) = min(A) = −1. Inoltre, sup(A) = 1 /∈ A: quindi1 non e il massimo di A. Siccome sup A e l’unico candidato a essere il massimo di A,concludiamo che l’insieme A non ha massimo.

2. Si consideri l’insiemeB = {x ∈ R : x ≤ 1} .

Si ha sup(B) = max(B) = 1.

3. Si consideri l’insieme

C ={

x ∈ R : x =12n

n ∈ N

}.

Si ha sup(C) = max(C) = 1. D’altronde, inf(C) = 0 /∈ C, quindi C non ha minimo.

4. Si consideri l’insiemeD =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

}.

Si ha sup(D) = max(D) =√

2 e inf(D) = min(D) = −√2.

Questi esempi sembrano suggerire che, non appena un insieme A ⊂ R e superiormente (rispet-tivamente, inferiormente) limitato, esso ammette sup in R (risp., inf in R). Questo e veronell’insieme ambiente R, ed e proprio quanto viene affermato da14

Assioma di completezza per l’insieme dei numeri reali. Sia A ⊂ R un insieme nonvuoto. Se A e superiormente limitato in R (cioe se A ha almeno un maggiorante), allora A hal’estremo superiore in R.

Analogamente, se A e inferiormente limitato in R (cioe se A ha almeno un minorante),allora A ha l’estremo inferiore in R.Si noti che l’assioma di completezza NON afferma che ogni insieme superiormente limitatoin R ha il massimo (o che ogni insieme inferiormente limitato in R ha il minimo): l’esistenzadel massimo (del minimo, risp.) dipende dal fatto che il sup appartenga all’insieme (che l’infappartenga all’insieme).

13cioe m∗ e “il piu grande” fra i minoranti di A.14Assioma significa “proprieta che si accetta per vera, senza dimostrazione”.


Osservazione 1.4.11. Osserviamo che l’insieme Q non gode della proprieta enunciata dall’as-sioma di completezza: in altri termini, esistono sottoinsiemi di Q superiormente limitati (rispet-tivamente, inferiormente limitati) che non ammettono estremo superiore in Q (risp., estremoinferiore in Q). Infatti, consideriamo l’insieme

H ={x ∈ Q : x2 ≤ 2

}

e dimostriamo che esso, pur avendo maggioranti in Q (l’insieme dei maggioranti in Q per H inQ e {x ∈ Q : x ≥ √

2}, quindi per esempio i numeri 32 e 2 sono maggioranti, in Q, per H), non

ha sup in Q15.Notiamo infatti che H, essendo un sottoinsieme (superiormente limitato) di R, ammette

sup in R. Chiamiamo S := supR(H). E immediato osservare che S =√

2. Ora, per assurdoesista l’estremo superiore q ∈ Q di H in Q (quindi q e il “piu piccolo” fra tutti i maggiorantidi H che sono numeri razionali). Necessariamente deve essere q 6= √

2. Inoltre, non e difficileosservare che deve essere q >

√2. Ma allora, per la densita di Q in R (si ricordi la (1.4.6))

esistono infiniti y ∈ Q con√

2 < y < q. Si noti che tali y sono dei maggioranti razionali perl’insieme H, e che essi sono strettamente minori di q. Questo contraddice il fatto che q sial’estremo superiore di H in Q. Assurdo.

Ne concludiamo che H non ammette sup in Q.

Rappresentazione geometrica di R. Gli elementi di R si possono rappresentare geometri-camente come punti di una retta.

Per fare cio, si fissa un punto O (detto origine) sulla retta, al quale viene associato ilnumero 0, e un altro punto U . Si conviene che il verso di percorrenza della retta da O a U siaconsiderato il verso positivo, e il verso opposto sia preso come verso negativo. In questo modo,vengono individuate sulla retta:

• una semiretta positiva (la semiretta che contiene U),

• una semiretta negativa.

Per convenzione, la lunghezza del segmento OU viene presa come unita di misura.Dopodiche, dato un punto P sulla retta, a esso viene associato un unico numero reale x

in questo modo: si considera la lunghezza OP del segmento OP e si definisce

x :=

{OP se P appartiene alla semiretta positiva,−OP se P appartiene alla semiretta negativa

.

Il numero reale x viene detto ascissa del punto P . Viceversa, fissato x ∈ R, a esso viene associatouno e un solo punto P sulla retta in questo modo:

x > 0 ↔ P nella semiretta positiva tale che OP = x,x < 0 ↔ P nella semiretta negativa tale che OP = −x,x = 0 ↔ O

.

D’ora in poi, useremo il termine retta reale come sinonimo dell’insieme dei numeri reali.Interpretazione geometrica del modulo. Ricordando che ad ogni x ∈ R e univocamenteassociato un punto P sulla retta reale, il numero |x| e la distanza di P dall’origine O.Piu in generale, dati x, y ∈ R, il numero |x − y| coincide con la distanza fra i corrispondentipunti Px e Py sulla retta reale.

15Esercizio!: ragionando allo stesso modo, dimostrare che H non ha inf in Q, pur avendo minoranti in Q.


1.4.5 La nozione di intervallo e la retta reale estesa

Definizione 1.4.12. Un sottoinsieme I 6= ∅ di R viene detto intervallo se, presi due qualunquesuoi punti x < y, tutti i punti compresi fra x e y appartengono ancora ad I.

Ad esempio, l’insiemeA = {x ∈ R : x ≥ 0} e un intervallo,

mentre l’insiemeB = {x ∈ R : x 6= 0} NON e un intervallo.

Tipologia degli intervalli limitati. Siano a, b ∈ R, con a < b. Distinguiamo quattro tipi diintervalli limitati (nel senso della Definizione 1.4.4):

• (a, b) := {x ∈ R : a < x < b} intervallo aperto,

• [a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b} intervallo semiaperto a destra,

• (a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b} intervallo semiaperto a sinistra,

• [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} intervallo chiuso.

Dato un intervallo I limitato, si definisce ampiezza dell’intervallo il numero sup(I)− inf(I).

Definizione 1.4.13 (Intorno di un punto). Dati x0 ∈ R e r > 0, chiamiamo intorno aperto(rispettivamente, chiuso) di x0 di raggio r l’intervallo (x0 − r, x0 + r) (risp., l’intervallo [x0 −r, x0 + r]). Denoteremo l’intorno aperto (x0 − r, x0 + r) anche con il simbolo I(x0, r).

N.B.: si ha cheI(x0, r) = {x ∈ R : |x− x0| < r} .

La retta reale estesa. Estendiamo la retta reale R con i simboli +∞ e −∞, che non sonoda considerarsi numeri reali!!!! In effetti, osserviamo che

∀x ∈ R ∃ y ∈ R : y > x

in altri termini, non esistono maggioranti reali per l’insieme R. Analogamente,

∀x ∈ R ∃ y ∈ R : y < x

cioe l’insieme R non ammette minoranti (in R). Li introduciamo quindi con la seguente

Definizione 1.4.14. Definiamo il simbolo +∞ mediante la disuguaglianza

∀x ∈ R, x < +∞ . (1.4.7)

Definiamo il simbolo −∞ mediante la disuguaglianza

∀x ∈ R, x > −∞ . (1.4.8)

Chiamiamo retta reale estesa l’insieme R := R ∪ {−∞,+∞}.Osserviamo che R eredita da R la relazione d’ordine, completata dalle disuguaglianze (1.4.7)–(1.4.8). Quindi (R,≤) e un insieme totalmente ordinato, e si ha che


• per ogni A ⊂ R, +∞ e un maggiorante per A;

• per ogni A ⊂ R, −∞ e un minorante per A.

Teorema 1.4.15. Per ogni A ⊂ R, esistono sup(A) , inf(A) ∈ R.In particolare, se A ⊂ R, si ha che

1. sup(A) = +∞ se e solo se A non e superiormente limitato;

2. inf(A) = −∞ se e solo se A non e inferiormente limitato;

3. sup(∅) = −∞ e inf(∅) = +∞.

Dimostrazione. Dimostriamo solo che sup(∅) = −∞ (con un ragionamento analogo (esercizio!)si ottiene anche che inf(∅) = +∞). Innanzitutto osserviamo che

l’insieme dei maggioranti di ∅ e R. (1.4.9)

In effetti, proviamo a negare la (1.4.9): ∃y ∈ R che non e un maggiorante per ∅, cioe ∃y ∈ R taleche ∃x ∈ ∅ verificante x > y. Ma questa affermazione e palesemente falsa, in quanto contiene iltermine ∃x ∈ ∅. Allora (1.4.9) e vera. Tenendo conto della definizione di sup, concludiamo chesup(∅) = −∞.

Intervalli illimitati. Possiamo ora introdurre la notazione per gli intervalli illimitati. Siaa ∈ R. Distinguiamo quattro tipi di intervalli:

• (a,+∞) := {x ∈ R : x > a} semiretta aperta a sinistra,

• (−∞, a) := {x ∈ R : x < a} semiretta aperta a destra,

• [a, +∞) := {x ∈ R : x ≥ a} semiretta chiusa a sinistra,

• (−∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a} semiretta chiusa a destra.

Il simbolo (−∞, +∞) e un modo alternativo di denotare R, mentre [−∞, +∞] denota la rettareale estesa R.

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