dispersión de partículas sólidas en flujos turbulentos

132 El Hombre y la Máquina No. 24 • Enero - Junio de 2005

Resumen

Este trabajo aborda el problema dela dispersión de partículas en un cam-po de flujo subyacente turbulento pormedio de la simulación numérica. Laaproximación propuesta se centra enel uso de un programa computacionalya existente dentro del Grupo de In-vestigación de Mecánica de Fluidosde la UAO y de su extensión para me-jorar las predicciones teóricas de laspropiedades turbulentas de la fase dis-creta en configuraciones de flujos bi-fásicos turbulentos cargados con par-tículas.

Palabras clave: Turbulencia, flu-jo bifásico, dispersión turbulenta departículas, modelos lagrangianos.

CRISTIAN A. GRILLO1, SANTIAGO LAÍN2

Dispersión de partículas sólidasen flujos turbulentos

* Artículo resultado del proyecto de iniciación en investigación titulado “Dispersión de partículas sólidas en flujos de interés industrial”, financiado por UAO

1. Estudiante Ingeniería Mecánica.

2. Ph.D. en Ciencias Físicas. Director del Grupo de Investigación de Mecánica de Fluidos. Docente Universidad Autónoma de Occidente. [email protected]

Fecha de recepción:16/02/05 fecha de aprobación:14/03/05

Abstract

In this work the turbulent particledispersion in an underlying flow isaddressed by using numerical simu-lation. The proposed approach uses anexisting computational code in theFluid Mechanics Research Group ofthe UAO, which has been extended inorder to improve the numerical pre-dictions of the particle phase turbulentproperties in two-phase flow ladenwith solids.

Keywords: turbulence, two-pha-se flow, turbulent particle dispersion,Lagrangian tracking

Imagen tridimensional de lafracción volumétrica de hollín enuna llama de difusión turbulenta.

Arriba: ocho cortes bidimensionalesa través de la llama. Abajo

izquierda: superficie de isoconcen-tración de 1 ppm. Abajo derecha:

gradiente de concentración de hollíntridimensional

133El Hombre y la Máquina No. 24 • Enero - Junio de 2005

1. Introduccion

Por flujo multifásico se entien-de todo proceso termomecánico enel que interviene un fluido dondecoexisten varias fases. Dentro de unflujo multifásico se distinguirá unafase fluida que se extenderá en todala región de desarrollo del flujo, lla-mada fase continua. En este senofluido, líquido o gas, se encontra-rán porciones de otra u otras mate-rias. La superficie frontera entre lasfases se conoce con el nombre deentrefase. Si en el flujo las porcio-nes materiales del resto de las fasesconsisten en elementos aislados,fluidos o sólidos, se habla de flujocon fase dispersa. En el caso parti-cular de que tan solo haya dos fasesdistintas, se hablará de flujo bifási-co, el cual constituirá nuestro obje-to de estudio.

Los flujos multifásicos tienenuna destacada importancia en unagran variedad de sistemas técnicos,industriales y naturales. De los múl-tiples fenómenos en los que se en-cuentran este tipo de flujos se pue-den citar, entre otros: sistemas gas-partículas sólidas: transportes neu-mático, colectores de polvo, lechosfluidizados, reactores heterogéneos,xerografía, polvo cósmico, sistemasgas-líquido (gotas y burbujas): ato-mizadores, depuradoras, secadores,combustores; aglomeración, conta-minación, cavitación, enfriamientode gases, evaporación, sistemas lí-quido-líquido: extracción, homoge-neización, sistemas líquido-sólido:lechos fluidizados, flotación, sedi-mentación.

En la aproximación elegida,implementada en el paquete decálculo ELSA2D, disponible en elGrupo de Investigación en Mecáni-ca de Fluidos, las ecuaciones deNavier-Stokes, que describen la fasecontinua, se encuentran promedia-das temporalmente siguiendo laaproximación de Reynolds. La in-fluencia de las partículas sobre la

fase gaseosa aparece como térmi-nos adicionales en las ecuacionespromediadas, describiendo lo que seconoce como la modulación de laturbulencia. El tratamiento elegidopara las partículas es de tipo lagran-giano, donde la trayectoria de cadapartícula o paquete de partículas seconstruye resolviendo sus ecuacio-nes del movimiento lagrangianas.En este tipo de aproximaciones la-grangianas el problema fundamen-tal radica en estimar la velocidadinstantánea del gas que la partículasólida experimenta en cada pasotemporal, o velocidad lagrangiana,que va a ser distinta en general dela velocidad euleriana del fluido.Diversas posibilidades pueden plan-tearse y una excelente revisión pue-de consultarse en Shirolkar et al.(1996). La opción considerada enELSA2D consiste en interpolar enla localización de la partícula unavelocidad media euleriana, construi-da a partir de los valores de la velo-cidad de fluido en los nodos máscercanos de la malla, y una compo-nente aleatoria obtenida a partir deuna función densidad de probabili-dad gaussiana cuya varianza se re-laciona con las propiedades localesde la turbulencia de la fase conti-nua proporcionadas por el modelode turbulencia utilizado para la des-cripción de la dinámica de la fasegaseosa.

La Figura 1.1 esboza el trans-porte de partículas debido al movi-miento de los vórtices en flujos tur-bulentos. Dicha figura representa lapresencia de los diferentes remoli-nos, que interactúan con partículasde varios tamaños. El tamaño de lapartícula frente al tamaño del remo-lino es el parámetro más importan-te en la determinación del resulta-do de la interacción partícula - vór-tice. El transporte de partículas de-bido a los remolinos turbulentostambién depende de diferentes pro-piedades del fluido y las partículas,como por ejemplo la viscosidad del

Dispersión de partículas sólidas en flujos turbulentosCristian A. Grillo • Santiago Laín


fluido, su densidad, y la densidadde la partícula; y de propiedades deflujo, como son la distribución deenergía cinética turbulenta.

cidad de la partícula y la velocidaddel fluido circundante.

2. Modelos de dispersiónturbulenta de partículas

La mayor parte de los modelosde dispersión pueden ser clasifica-dos basándose en el marco de re-ferencia usado para su formula-ción. Hay dos tipos de marcos dereferencia, el lagrangiano y el eule-riano. En el marco de referencia la-grangiano, las trayectorias de par-tículas individuales (o nube de par-tículas) son construidas conformese mueven a través del dominiocomputacional. En los modelos la-grangianos de partículas, el siste-ma de referencia se mueve con laspartículas, y la posición instantá-nea de una partícula puede ser con-siderada como una función de laposición inicial de la partícula y eltiempo transcurrido. Los modeloslagrangianos son llamados algunasveces modelos no continuos, de-bido a que la fase de las partículasse trata de un modo discreto, a di-ferencia de la fase fluida, que estratada como una fase continua. Enlos modelos eulerianos, el sistemade referencia es estacionario, y laspartículas pasan a través de volú-menes de control diferenciales fi-jos. En esta aproximación las ca-racterísticas de la fase de las partí-culas se obtienen resolviendo ecua-ciones diferenciales parciales en unsistema de coordenadas determina-do. Estos modelos que tratan laspartículas como un continuo, simi-lar a la fase fluida, se conocen tam-bién como modelos continuos omodelos de dos fluidos. Todos losmodelos de dispersión de partícu-las dependen de ciertas propieda-des de la fase continua del fluido.Las propiedades de la fase fluidase obtienen bien mediante medidasexperimentales o por algún proce-dimiento computacional apropiadopara predecir el campo de flujo tur-bulento.

Figura 1.1: Interacción vórtice-partícula en flujos turbulentos.

La interacción partícula discre-ta - vórtice viene determinada pordos fenómenos, basados en dospropiedades fundamentales de lapartícula, su inercia y su velocidadde caída libre, las cuales dictan lanaturaleza de la interacción.

Una partícula densa tendrá me-nos velocidad fluctuante que la delfluido. Esta reducción de la raízcuadrática media (rms) de las fluc-tuaciones de velocidad de la partí-cula se conoce como efecto de iner-cia, y se caracteriza por una escalade tiempo llamada tiempo de rela-jación de la partícula τ

p. El tiem-

po de relajación de la partícula esla tasa de respuesta de la acelera-ción de la partícula a la velocidadrelativa entre la partícula y el flui-do externo.

El fenómeno de migración deuna partícula de un vórtice a otro,antes de su decaimiento, debido ala turbulencia original del remoli-no, es conocido como el efecto decruce de trayectorias (CTE). Estamigración prematura es debida auna velocidad de caída libre signi-ficativa para la partícula conside-rada. El CTE viene determinadopor la velocidad de arrastre de lapartícula (v

d), la cual es simple-

mente la diferencia entre la velo-


→


Durante el transcurso de estetrabajo se ha realizado la imple-mentación de la aproximación des-crita en Minier y Peirano (2001),la cual considera una ecuación deLangevin para la estimación de lavelocidad lagrangiana del fluidovista por las partículas. Una vezrealizada la implementación de laecuación de Langevin, ésta se va-lidó y comparó frente a las aproxi-maciones tradicionales lagrangia-nas, codificadas en ELSA2D, quellamaremos estándar, en tres con-figuraciones de flujo: flujo turbu-lento, detrás de una rejilla, flujocortante simple y chorro libre axi-simétrico turbulento cargado conpartículas para las cuales existenvarios datos experimentales.

El modelo de Minier y Peira-no, el cual incluye como variableprimera la velocidad del fluido vis-ta por la partícula, se escribe:

dxp,i

= Up,i

.dt (2.1)

dUp,i

= Ap,i

.dt (2.2)

dUs,j

= As,i

(t,Z).dt

+Bs,ij

(t,Z).dWj

(2.3)

donde el vector de estado de unapartícula se escribe Z = (x

p,U

p,U

s)

función de la posición de la partícu-la, su velocidad y la velocidad delfluido visto por la partícula, respec-tivamente. dW es un proceso esto-cástico de Wiener, o random walk,que posee media cero y varianza dt.A

p,i es la aceleración de la partícula:

Ap,i

= (Us,i

- Up,i

)/τp + g

i(2.4)

donde τp es el tiempo de relajación

de la partícula y g es la aceleraciónde la gravedad. A

s y B son, respecti-

vamente, el vector de arrastre y lamatriz de difusión, construidos como:

TL

TL.i

*b

i = (2.7)

siendo TL la escala de tiempo La-

grangiana del fluido y TL,i

*la escalade tiempo Lagrangiana del fluidovisto por la partícula. ρ

f es la densi-

dad del fluido, Uf su velocidad

(euleriana), <P > la presión media,k la energía cinética turbulenta delfluido y <ε> la tasa promedio de di-sipación. k es una nueva energía ci-nética definida como:

que representa las energías usualesponderadas con los factores b

i.

Puesto que estos factores varían dedirección a dirección, la energía ci-nética ponderada k difiere de lahabitual

El factor C0 es un factor que

relaciona la escala temporal lagran-giana del fluido T

L con la tasa me-

dia de disipación ε y la energía ci-nética turbulenta k.

k = Σ uf,i

2

i=1


Us,i

Us,i

As,i

= + Up,j

Us,j

1 ∂(P) p

f ∂x

i

∂xj

(2.5)T*

L

i = 1,2,3 (2.6)

B2s,ij

= B2s,i

δi,j =

C0b

i . +

k 2k 3

bi. k

kl δ

ij

donde no se sobreentiende suma enel subíndice repetido i y los b

i son

factores de corrección, definidoscomo

~

i=l

bi

k = . (2.8)3

2

Σi=l

bi u2

f,i

Σ3

~•

~

3

3

TL = (2.9)4 k

3(C0 + 2/3) ε

El modelo estándar existente enELSA2D consiste en interpolar enla localización de la partícula unavelocidad media euleriana, construi-da a partir de los valores de la velo-

∂ Uf,i

~ ~ε .


k =

Es necesario señalar que las ex-presiones (3.1) son correlaciones quepermiten describir las velocidadesfluctuantes en cualquier experimen-to de turbulencia generada por unarejilla sin más que ajustar los valo-res de los parámetros anteriores.

La energía cinética turbulentapuede determinarse de:

cidad del fluido en los nodos máscercanos de la malla, y fabricar unacomponente aleatoria obtenida apartir de una función densidad deprobabilidad gaussiana cuya varian-za se relaciona con las propiedadeslocales de la turbulencia de la fasecontinua proporcionadas por elmodelo de turbulencia utilizadopara la descripción de la dinámicade la fase gaseosa.

3. Resultados obtenidos

3.1. Dispersión de partículas enla turbulencia generada poruna rejilla

3.1.1. Descripcióndel experimento.

Para la validación de los mode-los de dispersión de partículas por laturbulencia de la fase continua escomún utilizar esta configuración deflujo. En particular, los experimen-tos de Wells y Stock (1983) son co-múnmente empleados en la literatu-ra especializada. En este montajeexperimental se estudia la dispersiónde partículas sólidas que emanandesde un punto fuente en un campode flujo turbulento generado por unarejilla cuadrada. La configuraciónconsiste en un túnel de viento conuna sección cuadrada de 200 mm x200 mm con una velocidad media deaire de U = 6.55 m/s. De acuerdo conlos datos experimentales, los valo-res cuadráticos medios de las velo-cidades fluctuantes en las direccio-nes del flujo (dirección x) y tranver-sal (dirección y) se pueden estimarde las correlaciones:

(3.1)

= au

+bu ; =a

v

U2

u 2

X

M

U2

v 2X

M+ b

v

u’2+v’2 (3.2)12

La tasa de disipación de ener-gía cinética turbulenta ε se halla conla expresión:

ε = (3.3)U dk2

2 dx

Lo cual proporciona, usando(3.1) y (3.2):

ε = +U3

2 M au + b

u

x

Ma

V + b

vM

x 2

1 2

(3.4)

Este experimento de Wells yStock fue diseñado para estudiar elefecto de las fuerzas externas, porejemplo la gravedad, sobre el proce-so de dispersión. Debido al ya vistoefecto de cruce trayectorias la dis-persión de partículas en el flujo tur-bulento se reduce, puesto que laspartículas caen más rápidamente através de los vórtices turbulentosdebido a la gravedad. Con el objetode simular diferentes campos gravi-tatorios, las partículas fueron carga-das y sometidas a un campo eléctri-co en el túnel de viento. La disper-sión de las partículas fue medida uti-lizando anemometría láser doppler.

Se utilizaron dos tamaños departículas de vidrio: 5 µm y 57 µm.La dispersión de las partículas máspequeñas se espera que no se veamuy afectada por el incremento delcampo gravitatorio puesto que lavelocidad de arrastre es pequeña


, ,

Donde M es el tamaño de loshuecos de la rejilla, el cual es 25.4mm y los parámetros a

u, b

u, a

v, b

v

adoptan los siguientes valores:

au = 56.55; b

u = -8.87; a

v = 53.52;

bv = -7.05

2


comparada con las fluctuacionesturbulentas. En el caso de laspartículas más grandes el efecto decruce de trayectorias reduce fuerte-mente el proceso de dispersión. Elefecto del campo eléctrico sobre ladispersión de partículas puede simu-larse introduciendo una constantegravitacional efectiva que se obtie-ne de la ecuación de movimiento dela partícula en estado estacionario.La Tabla 3.1 muestra los diferentescasos considerados.

Las partículas fueron inyectadascon una velocidad media en la di-rección del flujo de 6.55 m/s, mien-tras que se empleó una velocidadmedia fluctuante de 0.5 m/s en elpunto de inyección x/M = 10.

3.1.2. Simulacionesy discusión.

A continuación se muestran losresultados obtenidos en las condi-ciones del experimento de Wells yStock utilizando los modelos de dis-persión Langevin estándar y el pro-puesto por Minier y Peirano.

La Figura 3.1 muestra los resul-tados obtenidos para las partículaspequeñas (D

p = 5 µm). En ella se

puede apreciar como para la situa-ción sin fuerzas externas (V

S = 0)

ambos modelos proporcionan resul-tados muy parecidos como era pre-visible. En cambio, cuando tenemosun valor finito de la velocidad

Tabla 3.1: Parámetros experimentales en los estudios de Wells y Stock(1983).

Diámetro Densidad Gravedad Velocidadpartícula partícula efectiva terminal

[µm] [g/cm3] [m/s2] [m/s]

5 2.475 0 0

5 2.475 900 0.17

57 2.420 0 0

57 2.420 28.4 0.545

57 2.420 72.4 1.216

de arrastre VS el modelo estándar

infrapredice la dispersión de laspartículas. Los resultados experi-mentales muestran que para estaspartículas tan poco inerciales, la dis-persión turbulenta de partículas seve muy poco influenciada por laaplicación de un campo externo (re-presentado por una constante gra-vitacional g

eff = 900). En este caso,

el modelo propuesto por Minier yPeirano se muestra superior al es-tándar ya que incorpora explícita-mente el efecto de cruce de trayec-torias reflejado en la existencia deuna velocidad de arrastre finita.

Figura 3.1: Comparación del desplazamiento cuadrático medio obtenidonuméricamente frente a los datos de Wells y Stock para las partículas de 5 µm.



son los esfuerzos de Reynolds en ladirección correspondiente. La mag-nitud de dichos esfuerzos de Rey-nolds es un dato fijado desde el co-mienzo. Los cálculos en esta confi-guración de flujo están inspiradosen los presentados en Hyland et al.(1999) con los tamaños de partícu-la utilizados en los experimentos deWells y Stock (1983), es decir, 5 y57 µm. En particular, se tomarán losesfuerzos de Reynolds normalesu’ u’ = v’ v’ = 1. Las partículas seinyectan en el centro del dominiocon velocidad inicial nula y sus tra-yectorias se calculan durante untiempo de 5 s.

En primer lugar se considera elcaso en el que no hay esfuerzo cor-tante impuesto, es decir, α = 0 ydonde los esfuerzos de Reynoldscortantes (turbulentos) son tambiéncero, u’v’= 0. En este caso, es co-nocido que los perfiles de concen-tración de partículas son círculosconcéntricos alrededor del origenpuesto que la turbulencia es isótro-pa y las partículas se difunden conigual probabilidad en todas las di-recciones. Esta situación se mues-tra en la Figura 3.3, donde la con-centración es mayor en el origen ydecrece conforme nos alejamos deél. Cuando la turbulencia no es isó-tropa, es decir u’v’ ≠ 0, el procedi-miento propuesto por Yuan y Crowe(1989) permite considerar el efectode la anisotropía o correlacionescruzadas: en primer lugar se gene-ran aleatoriamente dos velocidadesfluctuantes independientes con dis-tribución gaussiana u’

1 y v’

1. Enton-

ces, las dos velocidades u’ y v’ pue-den correlacionarse utilizando elcoeficiente de correlación R en laforma:

Figura 3.2: Comparación del desplazamiento cuadráticomedio obtenido numéricamente frente a los datos de Wells y

Stock para las partículas de 57 µm.

La Figura 3.2 muestra los resul-tados obtenidos para las partículasmás inerciales (D

p = 57 µm). Se en-

cuentra una mayor dependencia dela dispersión turbulenta de partícu-las con el campo externo aplicadoque en las partículas pequeñas, yaque la respuesta de las partículas alas fluctuaciones del campo de ve-locidad del fluido es más lenta. Denuevo el modelo estándar no cap-tura suficientemente bien la disper-sión indicada por los datos experi-mentales, infraprediciéndola, mien-tras que el modelo de Minier y Pei-rano sí es capaz de describirla conuna exactitud suficiente.

3.2. Dispersión de partículas enun flujo cortante simple

El segundo experimento consi-derado, flujo cortante simple, esnumérico y su interés radica en queexisten soluciones analíticas exac-tas (Reeks, 1993; Zaichik, 1997;Hyland et al, 1999). En este caso seconsidera un flujo en dos dimensio-nes en el plano x y, cuyos valoresmedios de velocidad del fluido seexpresan:

U = α y V = 0 (3.5)

Donde α es el gradiente de ve-locidad que se considera constante.Las fluctuaciones de velocidad delfluido vienen determinadas por pro-cesos gaussianos cuyas varianzas

R = (3.6)

u’ = u’1; v’ = Ru’

i + v’

i l - R2 ;

u’v’

u’u’ v’v’



Como resultado, en el caso anisó-tropo donde, por ejemplo u’v’ = -0.5,los perfiles de concentración se con-vierten en elipses rotadas 45º deacuerdo con Hyland et al. (1999).Esta situación se muestra en la Fi-gura 3.4. Cuando α ≠ 0, es decirexiste esfuerzo cortante, en el casode turbulencia isótropa los perfilesde concentración de partículas seconvierten también en elipses rota-das (Figura 3.5 con α = 5), aunqueen este caso en sentido contrario alas mostradas en la Figura 3.4. Con-forme pasa el tiempo estas elipsesse expanden (debido a la difusión)y rotan (debido al esfuerzo cortan-te). Cuando la magnitud del esfuer-zo cortante aumenta, el estiramien-to y rotación de las elipses aumen-ta, como se muestra en la Figura 3.6.Si el tamaño de las partículas au-

menta, considerando por ejemploD

p = 57 µm, la situación es similar

a la mostrada en las figuras prece-dentes pero la difusión es menor queen el caso de las partículas peque-ñas debido al efecto de inercia (Fi-gura 3.7). Finalmente, si se consi-dera turbulencia no isótropa y es-fuerzo cortante (u’v’= -0.5, α = 5)se obtiene la situación mostrada enla Figura 3.8: las elipses se encuen-tran rotadas, pero mientras en elcentro del dominio el efecto predo-minante es el de la anisotropía de laturbulencia, conforme nos alejamosde él, el esfuerzo cortante alinea laspartículas siguiendo el sentido delflujo medio.

3.3. Dispersión de partículas enun chorro axisimétricoturbulento

La última configuración expe-rimental elegida es la de chorro bi-fásico gas - sólido axisimétrico confase dispersa diluida. Este es un flu-jo realista, altamente anisótropo yencontrado frecuentemente en losprocesos industriales.

Figura 3.3: Perfiles de concentración departículas en turbulencia homogénea e isótropa

con α = 0 (Dp = 5 µm).

Figura 3.4: Perfiles de concentración departículas en turbulencia homogénea pero

anisótropa.

u’v’ = -0.5, con α = 0 (Dp = 5 µm).

Figura 3.5: Perfiles de concentración departículas en turbulencia homogénea e isótropa,

con α = 5 (Dp = 5 µm).

Las razones que justifican laelección de esta configuración sonlas siguientes: el flujo monofásicoes bien conocido y existe un buenajuste de los modelos turbulentosempleados usualmente, en particu-lar del modelo de segundo orden deesfuerzos de Reynolds elegido eneste trabajo; la geometría es senci-



lla y posee un buen número de si-metrías; las condiciones de contor-no están bien establecidas; existenmedidas experimentales suficiente-mente completas, tanto en la fasefluida como en la fase de partícu-las; y, por último, ha sido la confi-guración históricamente empleadaen las calibraciones de modelos deflujo bifásico turbulento desde fina-les de los años 60.

figuración es esquematizada en laFigura 3.9. El sistema de medidaemplea un anemómetro láser Do-ppler (LDA) de dos componentes ymodificado por los autores para po-sibilitar la medida de velocidades deambas fases con discriminación detamaño. De los diferentes casos pre-sentados en Hishida y Maeda (1987)se ha elegido el primero.

Figura 3.6: Perfiles de concentración departículas en turbulencia homogénea e isótropa,

con α = 10 (Dp = 5µm).

Figura 3.7: Perfiles de concentración de laspartículas más grandes en turbulencia

homogénea e isótropa, con α = 5 (Dp = 57µm).

3.3.1. Descripción del experi-mento y simulaciones.

En la configuración experimen-tal de Hishida y Maeda (1987) elchorro emana de una boquilla inte-rior de 13 mm de diámetro confina-da en un tubo exterior de 60 mm.La corriente primaria está confina-da en un flujo anular de aire, llama-da corriente secundaria, con velo-cidad elevada para evitar la recir-culación del flujo primario. Tal con-

Figura 3.8: Perfiles de concentración departículas en turbulencia homogénea y

anisótropa, con u’v’= -0.5 y α = 10(D

p = 5µm).

Figura 3.9: Esquema de la configuración deflujo del chorro de Hishida y Maeda (1987).

En este conjunto de medidas lavelocidad en el eje de simetría de lacorriente primaria es de 30 m/smientras que la velocidad del flujosecundario es de 15 m/s. La fasesólida consiste en partículas de vi-



drio de diámetro medio 64.4 mm ydensidad ρ

p = 2590 kg/m3. La frac-

ción de carga másica es 0.3 (kg par-tículas)/(kg aire), que correspondea una fracción volumétrica mediaα

p = 1.4 x 10-4. La comparación en-

tre medidas y cálculos se presentapara la sección transversal situadax = 130 mm aguas abajo de la bo-quilla, es decir, x/D = 10 donde Des el diámetro de la boquilla.

La simulación se ha realizadocon el modelo de esfuerzos de Rey-nolds axisimétrico. Por consiguien-te, el cálculo se ha simplificado con-siderando las condiciones de sime-tría y tan solo se calculó la mitaddel dominio del flujo. Este dominiorectangular abarca 520 mm en ladirección axial y 30 mm en la ra-dial, hasta la pared del tubo exte-rior, y se discretiza por medio de unamalla no uniforme de 150 x 60 vo-lúmenes de control en la direcciónaxial y radial respectivamente. Di-cha resolución de la malla es sufi-ciente para producir resultados in-dependientes del tamaño de la ma-lla. Los perfiles medidos en x = 0han sido introducidos como condi-ciones de entrada y en x = 520 mmse usó una condición de salida. Enr = 0 se impuso la condición de ejede simetría y en r = 30 mm la con-dición de no deslizamiento entre elaire y la pared. Dado el tamaño delas partículas, suficientemente pe-queñas, las fuerzas más relevantesson la resistencia aerodinámica y lagravedad. La estadística se realizósobre un total de 25000 trayectoriasde partículas. Los resultados se pre-sentan en formato dimensional fren-te a la distancia radial r.

3.3.2. Resultados y discusión

Una característica importantede la configuración de chorro bifá-sico es su gran anisotropía en losesfuerzos normales de Reynolds, es-pecialmente en los de la fase de par-tículas donde el cociente entre elvalor de los esfuerzos axiales nor-

males, u’p, y los radiales, v’

p, es un

orden de magnitud. Este hecho tam-bién se ha encontrado en un flujocortante simple donde Reeks (1993)demuestra que los esfuerzos norma-les de Reynolds de las partículaspara tiempos largos presentan ani-sotropía a pesar de que los esfuer-zos de Reynolds del fluido se im-ponen isótropos y espacialmenteuniformes. Esta alta anisotropía delos esfuerzos normales de Reynoldsde las partículas en flujos no uni-formes no es capturada con sufi-ciente exactitud por los cierres tra-dicionales (Laín y Kohnen, 1999;Laín y Aliod, 2000). Desde el pun-to de vista Euleriano, Laín y Aliod(2003) demuestran que un modeloEuleriano de segundo orden, el cualincluye explícitamente términos deproducción para los esfuerzos nor-males de Reynolds de las partícu-las, es capaz de predecir aceptable-mente la citada anisotropía en lascantidades turbulentas de las partí-culas en el chorro experimental deMostafa et al. (1989). Por el con-trario, hasta el momento las estra-tegias lagrangianas todavía no soncapaces de capturar razonablemen-te dicha anisotropía. Por tanto, dadoque el modelo de dispersión de Mi-nier y Peirano refleja con más exac-titud la física subyacente que los tra-dicionales, cabe preguntarse si pro-porcionará una estimación acepta-ble de la anisotropía de la turbulen-cia de las partículas en la configu-ración de chorro axisimétrico. Ade-más, en esta configuración de flujoexisten fuertes gradientes de velo-cidades medias, en particular dela velocidad media axial en ladirección radial, por lo que el tér-mino inhomogéneo proporcional a∂ <U

f,i> / ∂x

j en el modelo de Mi-

nier y Peirano no se anula idéntica-mente como pasaba en el caso deturbulencia generada por una reji-lla. Los resultados obtenidos conambos modelos de dispersión sepresentan en las figuras siguientes,donde todos los datos son dimen-



mente superior al modelo estándardebido a que la velocidad media defluido vista por las partículas es tam-bién superior a la velocidad mediadel gas (Figura 3.12).

En el caso de los esfuerzos deReynolds (Figura 3.10 abajo, Figu-ra 3.11) los valores obtenidos parael gas son muy similares en ambosmodelos, comparando razonable-mente bien con los valores experi-mentales. Sin embargo, la situaciónes distinta en el caso de los esfuer-zos de Reynolds de las partículasdonde el modelo de Minier y Peira-no incrementa las fluctuaciones delas velocidades de las partículas u’py esfuerzos de Reynolds cortantesu’

p v’

p.

En estos últimos el incrementoes suficiente para capturar los pun-tos experimentales, pero insuficien-te para aproximarse a los valoresmedidos de u’

p. En el caso de los

esfuerzos normales radiales ambasestrategias de dispersión predicenprácticamente el mismo resultado.Ello es debido a que la direcciónradial es una dirección aproximada-mente homogénea en el chorro (quetiene direccionalidad axial) y losesfuerzos de Reynolds del gas y laspartículas alcanzan los valores deequilibrio rápidamente de forma si-milar a como sucede en los flujoscortantes simples (Reeks, 1993). Lasituación es distinta en la direcciónaxial donde aparentemente no sealcanzan los valores de equilibrio

presentando además la particulari-dad que los gradientes de velocidadmedia de las partículas actúan comouna fuente para u’p, según se de-muesta en Laín y Aliod (2003).

Figura 3.10: Velocidades medias (arriba) yesfuerzos axiales (abajo) para ambas fases en x/

D = 10 (Hishida y Maeda, 1987).

Figura 3.11: Esfuerzos radiales (izquierda) y cortantes (derecha) para ambas fases en x/D = 10(Hishida y Maeda, 1987).

Figura 3.12: Velocidad axial media vista porlas partículas en el modelo de Minier y Peirano

en comparación con la velocidad media delfluido en x/D = 10.

En resumen, a pesar de que elmodelo de Minier y Peirano mejo-ra las predicciones del estándar enla configuración de chorro axisimé-trico, capturando correctamente losesfuerzos de Reynolds cortantesu

p’ v

p’ , todavía no es capaz de cap-

turar la anisotropía de la turbulen-cia de las partículas debido a la in-frapredicción de los esfuerzos nor-males u’

p.

4. Resumen y conclusiones

Este trabajo ha abordado la dis-persión de partículas discretas (só-lidos, gotas o burbujas) en un flujoturbulento subyacente, la cual vie-ne gobernada por la interacción flui-do - partícula. Sin embargo, la exis-tencia de dos fenómenos particula-res diferencia considerablemente elcomportamiento de una partículafluida del de una discreta: la exis-tencia de la inercia y el efecto decruce de trayectorias. El punto devista escogido para la descripciónde las partículas es el Lagrangiano,o no continuo, donde las partículasse describen como entes individua-les que responden a una ecuacióndel movimiento en el seno fluido.

sionales.

La parte superior de la Figura3.10 muestra las velocidades axia-les medias para ambas fases. Comoera de esperar ambos modelos dedispersión de partículas proporcio-nan valores prácticamente idénticospara el fluido, donde la influenciade las partículas se tiene en cuentamediante el acoplo de dos vías (two-way coupling).

En el caso de las partículas, elmodelo de Minier y Peirano propor-ciona una velocidad media ligera-



Por el contrario, la fase continua sedescribe mediante las ecuaciones deNavier -Stokes apropiadamentemodificadas y extendidas para des-cribir el comportamiento turbulen-to del flujo e incluir el efecto de laspartículas en suspensión.

El punto clave de la aproxima-ción lagrangiana basada en la fun-ción densidad de probabilidad, con-siste en considerar como variableprimera en el vector de estado deuna partícula la velocidad del flui-do vista por la partícula. Cuandola componente fluctuante de lavelocidad del fluido visto por lapartícula se considera como un pro-ceso aleatorio, con densidad de pro-babilidad gaussiana, se desarrollanlos modelos de Langevin que se handenominado en este trabajo mode-los estándar. En cambio, modelan-do las aceleraciones de las partícu-las fluidas mediante un proceso dedifusión de Langevin, Minier y Pei-rano (2001) demuestran que el mo-delo obtenido respeta más fielmen-te que el estándar la física del pro-blema pudiéndose incluir de formanatural los efectos de inercia y decruce de trayectorias.

Los modelos lagrangianos es-tándar y el propuesto por Minier yPeirano (M&P) se han confrontadocon tres experimentos, dos reales yuno numérico. Los cálculos se handesarrollado con el código compu-tacional ELSA2D, disponible en elGrupo de Investigación en Mecáni-ca de Fluidos de la UAO. Como re-sultado de la validación del modeloM&P, éste reproduce mejor que elestándar la dispersión turbulenta departículas en el flujo turbulento ge-nerado por una rejilla cuando seencuentra presente un campo exter-no de fuerzas. En adición, ambosmodelos funcionan suficientemen-

te bien a la hora de reproducir losprincipales fenómenos de disper-sión de partículas en un experimen-to numérico que involucra un flujocortante simple. Finalmente se con-sideró un flujo realista, como el cho-rro turbulento axisimétrico cargadocon partículas sólidas, el cual secaracteriza por una alta anisotropíade las velocidades fluctuantes de laspartículas, mucho mayores que lascorrespondientes de la fase gaseo-sa, la cual no es capturada suficien-temente bien por los modelos La-grangianos actuales. El resultadopara el chorro demuestra que aun-que el modelo M&P se aproxima unpoco más a los puntos experimen-tales que el modelo estándar, toda-vía no es lo suficientemente preci-so para reproducir el comportamien-to turbulento de la fase de laspartículas, por lo que éste debe sertodavía mejorado. Un camino posi-ble para la mejora sería el conside-rar la influencia de los esfuerzoscortantes del fluido sobre el mode-lo de difusión de Langevin consi-derado para modelar las aceleracio-nes de las partículas fluidas vistaspor la partícula en vez de la elec-ción diagonal elegida por Minier yPeirano. Sin embargo, esta posibi-lidad se considerará en un trabajofuturo.

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dispersión de partículas sólidas en flujos turbulentos

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