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Dispositivi a semiconduttore 1
La diffusione
Esiste un gradiente di concentrazione dei portatori n, p ( Giunzione, illuminazione non uniforme,etc.)
n(x-x) n(x+x)S
€
Φ(x) =1
6v ⋅n(x − Δx) −
1
6v ⋅n(x + Δx) = −
1
3
∂n(x)
∂xvΔx
Per convenzione il flusso è >0 verso destra
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Dispositivi a semiconduttore 2
€
x = v ⋅τ
Φ(x) = −1
3v 2τ
∂n(x)
∂x
< v 2 >=3kBT
m*
Φ(x) = −kBT
m*
∂n(x)
∂x= −D
∂n(x)
∂x
segue ⏐ → ⏐ ⏐ Jdiff = −D∂n(x)
∂x
r J diff = −D∇n
De(h ) =kBT
me(h )*
τ e(h )
I legge di Fick
€
De =kBT
me*
τ e
ee =
kBT
eμ e
Dh =kBT
eμh
Rel. di Einstein
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Dispositivi a semiconduttore 3
Conservazione del numero di particelle
€
∂n
∂t+∇ ⋅
r J diff = 0 segue ⏐ → ⏐ ⏐ ∂n
∂t= D∇ 2n
II legge di Fick: equ.diffusione
Corrente totale
€
Je = neμ e E + eDe∇n
Jh = peμh E − eDh∇p
Le correnti di drift hanno lo stesso segno, mentre quelle di diffusione hanno segno opposto
€
JTOT = JDrift + JDiff
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Dispositivi a semiconduttore 4
La diffusione
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Dispositivi a semiconduttore 5
Esprimiamo EF in funzione della concentrazione intrinseca ni
Quasi livello di Fermi EF
Livello intrinseco di Fermi Ei
€
n = nieEF −E i
kBT
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
EF = E i + kBT lnn
ni
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Dispositivi a semiconduttore 6
Caso 1D
€
Jx = eμnnE + eDe
∂n
∂xdEF
dx=
dE i
dx+ kT
1
n
∂n
∂x
In condizioni di equilibrio:
Jx=0
Se varia n varia EF: il livelloEi cambia a causa della presenza del campo E
€
eμnnE = −eDe
dn
dx
μn =De
n
dn
(−Edx)=
De
n
dn
(dVpot )=
De
ne
dn
dEF
n = NceEF −Ec
kBT
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
μn =eDe
kBT
Rel. Einstein
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Dispositivi a semiconduttore 7
Come si misura la mobilità
Effetto Hall
In questa geometria
rFL =q
rvD ×
rB
Fy =−qvDBz
vD =μEx
Fy =−qμExBz
qEy =−qμExBz
VHall =Eyw=−μwExBz
€
RH =Ey
JxBz
=1
nq
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Dispositivi a semiconduttore 8
Processi di generazione e ricombinazione
A differenza del caso del trasporto:Interazione fra popolazioni e-h
• Transizioni interbanda : Assorbimento, Emissione
Assorbimento: h=Ee+Eh
Emissione radiativa: Ee’+Eh’= h
Emissione non radiativa
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Dispositivi a semiconduttore 9
Regola aurea Fermi
€
| i >,| f >
W i→ f =P(t)
t=
2π
h|< f | H if | i >|2 δ (E f − E i − hω)
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Dispositivi a semiconduttore 10
€
H =1
2m( p + eA)2 + V (r)
A(r, t) =1
2Ao
ˆ e (e i(r k p ⋅
v r −ωt ) + e−i(
r k p ⋅
v r −ωt ))
H ≈p2
2m+ V (r) +
e
mA ⋅ p = H0 + H1
W =2π
h|< ck' |
e
mA ⋅ p | vk >|2 δ (Ec (k') − Ev (k) − hω)
Considerando transizioni ad 1 fotone
ck’: stato b.cond. con vettore k’
vk: stato b.val. con vettore k
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Dispositivi a semiconduttore 11
€
Wcv =πe2
2hm2 A02 |< ck' | exp(i
v k p ⋅
r r ) ˆ e ⋅ p | vk >|2 δ (EC − Ev − hω)
| jk >= u jk (r)exp(ir k ⋅
r r )
€
ˆ e ⋅ pcv =1
Ve−ik'r
V∫ uck'
* (r)e ikp r ˆ e ⋅ pe ikruvk (r)d3r
=1
Ve i(kp +k −k' )r
V∫ uck'
* (r) ˆ e ⋅(p + hk)uvk (r)d3r
Trasformando l’integrale sul volume sulla somma in cui compare l’integrale su cella unitaria e sfruttando le proprietà delle f.Bloch si ha:
€
ˆ e ⋅ pcv =1
Vexp(i(kp + k − k ') ⋅Rl )
l∑ ⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ e i(kp +k −k ' )r
Ω∫ uck'
* (r) ˆ e ⋅(p + hk)uvk (r)d3r
≠0 solo per kp+k-k’=Gm vettore ret.reciproco Gm=mG0
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Dispositivi a semiconduttore 12
Kp<<Gm in particolare Kp<<G0 : contributo max perGm=0 quindi k’=k conservazione impulso: transizione verticali o Transizione diretta
€
e i(kp +k −k ' )r
Ω∫ uck'
* (r) ˆ e ⋅(p + hk)uvk (r)d3r
L’integrale su hk è 0 per ortogonalità f.Bloch
€
ˆ e ⋅ pcv =1
ΩΩ∫ uck '
* (r)(ˆ e ⋅ p)uvk (r)d3rδ k,k '
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Dispositivi a semiconduttore 13
A ordini superiori anche transizioni indirette:fononi
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Dispositivi a semiconduttore 14
Processi di rilassamento
• Scale temporali : sub ps, ps, ns..• Perdita coerenza: sub ps, ps• Perdita energia : rilassamento intrabanda: ps• Perdita energia comporta anche
termalizzazione• Ricombinazione interbanda radiativa e non:
ns, ms• Anche processi estrinseci di cattura e
ricombinazione radiativa e non
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Dispositivi a semiconduttore 15
Eccitone Interazione
coulombiana e-h: formazione di stati legati di tipo idrogenoide
€
EX = Eg +h2 KX
2
2MXTOT − EX
b 1
n2
EXb = 13.6
μ
me
1
ε r2 eV GaAs: EX=4meV: no
eccitoni @RT
GaN : EX=25meV: eccitoni @RT
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Dispositivi a semiconduttore 16
Risonanze eccitoniche
Assorbimento
GaN 77 K
Emissione
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Dispositivi a semiconduttore 17
GaAs: effetto della temperatura e drogaggio
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Dispositivi a semiconduttore 18
La coda di Urbach
Parametro Urbach legato a localizzazione-disordine
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Dispositivi a semiconduttore 19
•Ricombinazione diretta,•via trappole profonde (Shockley-Read-Hall)•Processi Auger•Ricombinazione da stati superficiali
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Dispositivi a semiconduttore 20
Emissione assistita da fononi: repliche fononiche
Tipica in semiconduttori polari: necessaria “ forte” interazione con il reticolo.
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Dispositivi a semiconduttore 21
Attivazione termica di processi non radiativi
€
IPL (T) =I(0)
1 + Ai exp −E ikB
T ⎛ ⎝
⎞ ⎠
i∑
Legge di Arrhenius: Ei i-sima energia di attivazione