distribucion poison

7/22/2019 Distribucion Poison

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Distribucin de Poisson

1. En un crucero un oficial de transito hacen en promedio 3 infracciones diarias. Hallar laprobabilidad de que un da cualquiera levante, a) exactamente 5 infracciones, b) menos de tresinfracciones, c) por lo menos 2 infracciones.

2. Una cajera novata de un tienda de autoservicio se equivoca en promedio 2 veces en el cobropor da. Cul es la probabilidad de que en un da cualquiera, a) tenga 4 o ms equivocaciones,b) no tenga ninguna equivocacin?

3. En un estudio de inventario realizado en un tienda de importacin se determin que sepierden en promedio 5 artculo por da- cul es la probabilidad de que en un da determinado

dichos artculos, a) se pierdan en una cantidad mayor que 5, b) no se pierda ninguno?

4. La probabilidad de que un apersona muera de clera o tifoidea por comer sopes en la calle esde 0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las siguientes 2000 personasque contrajeron estas enfermedades por comer sopes en la calle.

5. La secretara de Hacienda estima que en promedio una de 1,000 personas comete un fraude al

elaborar su declaracin de impuestos. Se seleccionan al azar y examinan 10,000 declaraciones,obtenga la probabilidad de que a lo ms 8 tengan la mala costumbre de defraudar a Hacienda.

6. el nmero de descomposiciones que sufre una copiadora en un semana, tienen unadistribucin de Poisson con = 0.3. Calcular la probabilidad de que no tenga ningunadescompostura en dos semanas consecutivas.

7. Un detector de partculas, detecta en promedio 5 partculas por cada milisegundo. Cul es laprobabilidad de que se detecten, a) 8 partculas en 3 ms, b) 2 partculas de 0.5 ms?

8. Se estiman que en promedio en uno de cada 4,000 vuelos de una lnea tiene un accidente. Sien el transcurso de un ao esta lnea 2,000 vuelos, Cul es la probabilidad de que en el lapso de3 aos le ocurra, a) un accidente a algn avin de esta compaa, b) 5 accidentes de esta lneaarea?

9. Se considera que en promedio 2 personas que deben declarar y pagar impuestos en unaaduana, no lo hacen. Calcular las probabilidades siguientes considerando que lo anterior sucedeen un lapso de tiempo de 3 das, a) 3 personas pasan sin declarar en el transcurso de un da, b) 3personas pasa sin declarar en el transcurso de 3 das, c) 3 personas pasan sin declarar en eltranscurso de 6 das.


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10. En taller tipogrfico se producen libros de matemticas y se sabe que en promedio seproducen libros defectuosos en una razn de 21 por cada 10,000 libros, los defectuososconsisten en hojas en blanco, mala encuadernacin, cortes y rebajas incorrectas etc. Calcular laprobabilidad de que en un edicin de un libro con 50,000 ejemplares se tengan 50 defectuosos.

11. Una compaa de seguros se dedica a asegurar cosechas de maz, frijol y arroz, en promedioal ao se pierde 17 de cada 500 cosechas aseguradas. Si la compaa decide asegurar 1,000cosechas, Cual es la probabilidad de que se pierdan 25 cosechas?

12. En una fabrica de ropa el gerente de produccin, tiene estadsticas que le indican que enpromedio existe un defecto en cierta tela que produce por cada rollo, calcular la probabilidad deque, a) tenga un defecto un rollo seleccionado al azar, b) no tenga ningn defecto un rolloseleccionado al azar, c) no se encuentre ningn defecto en dos rollos seleccionado al azar, d) seencuentren 3 defectos en un total de 4 rollos seleccionado al azar.

13. Una fbrica de chocolates detect que el 2% de sus envolturas de un chocolate en especialno lleva piln. Si se eligen 400 de dichas envoltura:a) Cuntas envoltura sin piln se esperara encontrar?b) Cul es la probabilidad de hallar a lo ms 5 envoltura sin piln?c) Cul es la probabilidad de hallar al menos 5 envoltura sin piln?

14. La probabilidad de que una persona muera de cncer es de 0.0003. Si se hace la autopsia a20,000 cadveres. Cul es la probabilidad de que, a) nadie haya muerto de Cncer, b) Por lomenos dos hayan muerto de Cncer, c) Ms de 6 hayan muerto de Cncer?

15. Suponga que en promedio una secretaria comete 3 errores de mecanografa por pgina.Encuentre la probabilidad de que en un pgina tenga, a) exactamente 5 errores, b) al menos 4errores.

16. En un agencia automotriz se sabe que en promedio dos de cada 100 clientes regresan areclamar algn defecto visible que tiene el automvil, esto ocurre en un tiempo de un mes.Sobre esta base si se vende 100 autos calcular la probabilidad de que, a) ms de 3 clientesregresen a reclamar en el lapso de un mes, b) 4 clientes regresen a reclamar en el lapso de unmes, c) calcular la media y la varianza.

17. En una compaa aseguradora existen estadsticas que revelan que cada ao promedio 1 decada 1,000 conductores asegurados tienen una colisin fuerte (Prdida total). Si una compaaen particular tiene 500 automviles asegurados, calcular la probabilidad de que colisionen, a) 4conductores asegurados, b) por lo menos dos conductores asegurados colisionen, c) ms de dosconductores asegurados.

18. En una poblacin de la sierra de Guerrero donde la contaminacin es prcticamente nula, laprobabilidad de que una persona contraiga una infeccin respiratoria es de 0.0004. Calcular laprobabilidad de que a lo ms 5 de 10,000 personas que se sometan a un anlisis mdico hayancontrado la enfermedad.


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19. Un fabricante de video grabadoras sabe que el 10% tiene algn defecto, si un tienda deaparato electrnicos adquiere 50 videos grabadoras, hallar la probabilidad de que, a) Cuatroestn defectuosas, b) a los ms 3 son defectuosas.

20. En un estacionamiento en la central de abastos se tienen dos entradas, en la primera llegan

en promedio 4 vehculo cada hora y por la segunda 5 vehculos cada hora, la llegada de vehculoa estas entradas son independiente. Calcular la probabilidad de que llegue ms de 7 automvilesen una hora.

Distribucin hipergeomtrica

1- Un fabricante de automviles compra bombas de gasolina a una compaa que las fabricabajo normas especficas de calidad. El fabricante recibe un lote de 100 bombas de gasolina paraautomvil, selecciona cinco al azar y las prueba,, si encuentra que a lo ms una es defectuosaacepta el pedido, hallar la probabilidad de que lote sea rechazado si en realidad contiene 7

bombas defectuosas.2. Un cargamento de 80 bicicleta de carrera contienen 5 defectuosas, cuatro de ellas sonseleccionadas al azar y embarcadas a una distribuidor, hallar la probabilidad de que esteembarque tenga una defectuosa.

3. Una sociedad de egresados de Fsica y Matemticas, est considerando para sus tresencuentros anuales doce ciudades del pas como futura sedes, seis se encuentran en el sureste deMxico. Para que no exista favoritismo la seleccin se hace al azar. Si ninguna de la ciudadespuede ser elegida ms de una vez, hallar la probabilidad de que, a) ninguno de los encuentros secelebre en el sureste de Mxico, b) a lo ms dos encuentros se celebren en el sureste de Mxico.

4. En un examen de E.T.S. de matemticas en la cual se presentan 32 estudiantes se sospechaque hay tres suplantadores, el jefe de la academia decide tomar seis credenciales al azar paraverificar la autenticidad de estas. cul es la probabilidad de que se encuentren, a) a lo ms dossuplantadores, b) dos suplantadores?

5. Es comn que en los exmenes de probabilidad y Estadstica II algunos estudiantes que no seprepararon adecuadamente traten de utilizar los llamados acordeones para recordar todas lasfrmulas, estos estudiantes escriben sus acordeones por lo general en la tablas estadsticas, loscuales fcilmente detectados por un profesor cuidadoso. Considrese un grupo de 40 alumnos,tres de los cuales escribieron sus acordeones en las tablas estadsticas, el profesor confiando en

la honestidad de sus estudiantes decide revisar aleatoriamente las tablas de siete de ellos. Cules la probabilidad de que detecte a los infractores?

6. Una industria editorial busca en la seccin amarilla a sus futuros proveedores, el encargadode este trabajo por flojera decide hablar por telfono slo a tres para cotizacin precios de uncierto material, de un total de seis, dos dan el precio ms barato del D.F. Cul es laprobabilidad de que haya hablado, a) a unos de los proveedores que dan el precio ms barato, b)al menos a uno de los proveedores que den el precio ms barato?

7. En un estante de un supermercado un cliente observa que slo quedan diez focos de un oferta,selecciona cuatro para llevarlo a su casa, pero del lote de diez tres no funcionan. Cul es laprobabilidad de que, a) todos los seleccionados funcionen, b) por lo menos dos no funcionen?


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8. Se estima que 20 de cada 50 personas residente en la delegacin Iztacalco estn en contra delcobro del nuevo impuesto para la adquisicin de vehculo usados. Se entrevista a 15 personas yse les pide su opinin, Cul es la probabilidad de que a lo ms 7 no estn a favor del nuevoimpuesto?

9. Se sabe que de 150 empleados de la Secretaria de Proteccin y Vialidad de algunasdelegaciones: 30 son corruptos y exigen mordidas en los trmites de placas, cambio depropietario y licencias de manejo, La contralora interna de esa Secretara decide abrir unainvestigacin para detectar a algunos malos elementos y aplicarles las sancionescorrespondientes para que los restantes se corrijan. Un inspector selecciona 10 nombres al azarde los 150 empleados. Calcular la probabilidad de que por lo menos 3 sean malos elementos.

10. Un cargamento de 120 pantalones tiene 5 defectuosos. Si 3 pantalones son seleccionadosaleatoriamente y empacado para un cliente, encuentre la probabilidad de que al cliente le toqueuno defectuoso.

11. Una empresa que manufactura autoestreo utilizados un sistema de aceptacin para ciertosproductos antes de que sean enviados. El mtodo utilizados es de doble etapa. Se preparan cajasde 25 artculo para su embarque y se prueba una muestra de 3 para localizar defectuosos. Si sehalla un defectuoso en la muestra de 3 para localizar defectuosos. Si se halla un defectuoso en lamuestra, se regresa la caja completa para su reposicin, si no se halla ninguno defectuoso lacarga se enva a su destino. cul es la probabilidad de que contenga slo un defectuosos y seadevuelta para su reposicin?

12. Una empresa empacadora de alimentos y de productos pesqueros, evala su proceso deinspeccin con respecto a 50 productos, el proceso consiste en seleccionar una muestra de 5 ydar por buena una remesa, si se halla que no ms de 2 son defectuosos. Qu proporcin deenvos con 20% de defectuosos podr ser aceptada?

13. Un falluquero para evitar el pago de impuesto sobre la Renta agrega 6 televisores nuevos enun lote que contienen 9 televisores descompuestos y usados. Si el polica aduanal selecciona 3de estos televisores para su inspeccin. Cul es la probabilidad de que el falluquero seadetectado?

14. Los falluqueros de los tianguis por lo general se abastecen de artculos con bajo control decalidad, un falluquero tienen 12 linternas de manos para su venta en un tianguis, 9 estn buenasy las restantes presentan algn defecto, si una persona que visita el tianguis selecciona 4linternas, Cul es la probabilidad de que 3 de ellas estn defectuosas?

15. A raz de los temblores de 1985 en el D.F. se establecieron nuevos cdigos de construcciny se oblig a los constructores a respetarlos. Si 8 de 24 nuevos edificios violan el cdigo deconstruccin, cul es la probabilidad de que un inspector que selecciona al azar 5 de ellosdescubra que, a) ninguno viola el cdigo, b) tres violan el cdigo, c) al menos dos violan el

cdigo de construccin.


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16. De los 20 proyectos presentados por un grupo de investigadores de una Universidad, 12 sondel rea de informtica y los restante del rea tecnolgica. Si tres de estos proyectos soncancelados por recorte de presupuesto, esta cancelacin se realiz al azar. Cul es laprobabilidad de que, a) dos de los proyectos cancelados sean del rea tecnolgica, b) a lo msuno sea del rea tecnolgica?

17. En una encuesta a 80 personas con edad para votar, realizada por el equipo de campaa deun candidato a alcalde para un municipio en el estado de Mxico, revel que el 40% tieneintencin de votar por l. Si 4 de estas personas se seleccionan al azar y se les pide su opinin.Cul es la probabilidad de que a) ms de 1 tenga intencin de votar por l? B) ms de 1 peromenos de 4 tengan intencin de votar por l?

18. Las autoridades del D.F y el Estado de Mxico estn en plticas que la colonia San Felipe deJess pase a jurisdiccin del Estado de Mxico. Si se encuesta a 2,000 residentes de un seccinde esta colonia y la mitad de ellos se oponen a la anexin. Cul es la Probabilidad de que enuna muestra aleatoria de 10 personas, por lo menos 2 estn a favor del proyecto de anexin?

19. En la clase de Introduccin a la Ingeniera Industrial el maestro acostumbra a pasar aexponer a los alumnos en equipos de tres seleccionados a la hora de clase, 9 alumnos an no hanexpuesto uno de ellos no prepar el tema, Cul es la probabilidad de que el estudiantes que noprepar la clase sea escogido, suponiendo una seleccin aleatoria entre los 9?

20. Cul es la probabilidad de que un portero de un cine se rehuse a dejar entrar a 2 menores deedad, ya que se exhibe una pelcula slo para adultos, su al revisar sus identificaciones de 4personas entre un grupo de 8, tres de los cuales no son mayores de edad?

21. En un caja hay 5 envases de un litro de leche de los cuales 4 de ellos contienen leche fresca.Si se seleccionan al azar 2 envases, Cual es la probabilidad de obtener exactamente a) 2 litrosde leche fresca, b) un litro de leche fresca?

22. Un poli, antinarcticos inspecciona una muestra aleatoria de 3 autos de cada lote de 24 queestn listos para ser embarcados. Si un lote contiene 6 autos en los que se esconde droga.Cules son la probabilidades de que la muestra del inspector contenga a ninguna de los autoscon droga, b) solamente uno de los autos con droga, c) al menos dos autos con droga?

23. Un cargamento de 120 perro contienen cinco con rabia, si tres de ellos son seleccionadosaleatoriamente y embarcados para un cliente, encuntrese la probabilidad de que al cliente le

toque un perro con rabia, utilizando, a) la frmula de la distribucin hipergeomtrica, b) lafrmula de la distribucin binomial como una aproximacin.

24. Se regresan las mquinas fotocopiadoras al proveedor para que la limpie y las devuelva, deacuerdo con el convenio de arrendamiento. Si no se llevan a cabo las reparaciones principalescomo resultado, algunos clientes reciben mquinas que funcionan mal. Entre 8 fotocopiadorasusadas que se suministraron, 3 funcionan mal. Un cliente desea rentar cuatro mquinasrpidamente y se le mandan sin verificarlas. Calcular la probabilidad que el cliente reciba, a)Ninguna de las mquinas que trabajen mal, b) por lo menos una de las mquinas que trabajanmal, c) Tres mquinas que trabajan mal.


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Distribucin geomtrica

1. La probabilidad de que un persona se contagia al saludar de un beso a sus compaeros de ungrupo es de 0.4. Cul es la probabilidad de que se contagia al saludar el tercero?

2. El 70% de lo aspirantes a un trabajo ha estudiado en el CONALEP. A todos ellos se leentrevista y se les hace una prueba de conocimiento, uno tras otro. Si los aspirantes seseleccionan al azar, determine la probabilidad de que encuentre al primer aspirante provenientedel CONALEP en la quinta entrevista.

3. Un buscador de tesoros excavar una serie de hoyos en un rea determinada, con una tcnicaslo conocida por l, para encontrar un tesoro, la probabilidad de xito es de 0.2. Hallar laprobabilidad de que le tesoro, a) sea encontrado al excavar el tercer hoyo, b) no sea encontradosi slo tiene nimo de excavar 10 hoyos.

4- Los expedientes de una compaa de helados indica que la probabilidad de que uno de suscongeladores requiera reparacin en el plazo de un ao es de 0.20. Si se realiza una revisin detodos sus refrigerados. Cul es la probabilidad de que el sexto que se revise sea le primercongelador que necesite ser reparado?

5. Un polica experto en tiro de pistola, se jacta que el 95% de las veces acierta en el blanco.Hallar la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto tiro.

6. Muchos alumnos a la hora de inscribirse a un nuevo se dejan llevar por lo comentariosreferentes a los profesores del departamento de matemticas, la probabilidad de que unestudiante lo crea es del 80%. Cul es la probabilidad de que el tercer estudiante que oye elcomentario es el primero que los cree?

7. Se considera que muchas veces al comprar en el tianguis no se da el pero completo, laprobabilidad de que una bscula est alterada y no de l peso completo es del 5 %. Un inspectorde la Secretaria de Comercio se presenta a revisar la bscula de un tianguis x. Hallar laprobabilidad de que la sexta bscula revisada sea la primera en estar alterada.

8. Un estudiante que no sea ha preparado para el examen final de Filosofa, debe contestar 20reactivos, toda pregunta tiene 5 posibles respuestas, una es la correcta. Si decide contestar enorden calcula la probabilidad de que obtenga su primer respuesta correcta, a) en la preguntacinco, b) en la dcima pregunta.

9. Un inspector de la Secretaria de Consumidor decide visitar establecimiento para verificar unadenuncia de que no se respetan los precios oficiales, para esto decide organizar las visitas en unorden determinado. Como estos establecimientos distribuyen diversos productos la probabilidadde que le inspector detecte irregularidades es del 8%, hallar la probabilidad de que por lo menosdetecte la primera irregularidad a partir de la tercera visita.

10. Se estima que el 70% de los aficionados al Basket Ball en la Repblica Mexinaca apoya alos Lakers de Los ngeles. Se entrevista a una grupo de aficionados al azar, Cul es laprobabilidad de que se tenga que entrevistar a) a cuatro personas, para encontrar al primeroaficionado que apoya a los Lakers, b) a al menos cuatro para encontrar al primer aficionado queapoya a los Lakers?


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11. El 25% de los estudiantes que aspiran a hacer el servicio social en la academias dematemticas de cierta escuela son experto en programacin computacional. El jefe de lasacademias de matemticas entrevista uno tras otro a los aspirantes, los cuales son seleccionadosaleatoriamente. Encuentre la probabilidad de que el quinto aspirante entrevistado sea el primerocon conocimientos de programacin.

12. Un inspector de la SECOFI, ha encontrado que 6 de 10 tiendas que visita presentanirregularidades. Si el inspector visita una serie de tiendas al azar. Cul es la probabilidad deque, a) la primera tienda con irregularidades que visite sea la segunda, b) la primera tienda conirregularidades fuera encontrada despus de revisar la cuarta?

13. Los expediente de los pacientes de un dentista, indica que la probabilidad de que uno deellos regresa a consulta en el plazo de un ao es de 20%. Hallar la probabilidad de que el sextopaciente examinado sea el primero que regres en el mismo ao.

14. En un concurso de tiro de participante acierta el 90% de las veces, hallar la probabilidad deque falle por primera vez en el dcimo disparo.

15. En un fbrica de tornillos se tiene calculado la probabilidad mxima de desviacin deldimetro de una serie de tornillos en particular en 5% Hallar la probabilidad de que el cuartotornillo sometido a prueba sea el primero en mostrar esa desviacin.

16. Un pasantes de la carrera de Ingeniera Industrial pretende titularse por examen general deconocimientos. El nmero de veces que se aplica es un conjunto de eventos independientes conuna probabilidad de aprobar del 40%. Hallar la probabilidad de que no se necesite ms de 3intentos para aprobar el examen.

17. De acuerdo a una encuesta realizada por una compaa, se estima que el 70% de unpoblacin con derecho a voto tienen preferencia por el candidato A. Si se entrevista a un grupode personas al azar, hallar la probabilidad de que a la tercer persona que se encueste sea elprimer votante que prefiere al candidato A.

18. Un estudiante que es afecto a copiar en los exmenes, tiene una probabilidad de que losorprendan del 25%. Hallar la probabilidad de que lo atrapen por primera vez en su tercerexamen.


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19. La secretara de Comercio recibi una denuncia de que en un mercado en particular labsculas estn alteradas, si la probabilidad de que una de estas bscula este alterada es del 3%,hallar la probabilidad de que un inspector enviado para este efecto detecte que la sexta de labscula examinada sea la primera en mostrar alteraciones.

20. En nuestro medio es muy comn soltar un borrego (rumor), la probabilidad de que unapersona los crea es de 0.6. Hallar la probabilidad de que la tercer persona que lo escucha sea laprimera que lo crea.

21. Un polica experto recibe un soborno el 95% de las veces que cree observar una infraccin acierto reglamento. Cul es la probabilidad de que no reciba soborno por primera vez en sudcimo quinto intento?

22. Sesenta por ciento de la poblacin de consumidores prefieres refrescos con gas. Seentrevista a un grupo de ellos, Cul es la probabilidad de que se tenga que entrevistarexactamente a cinco personas antes de encontrar a una que prefiera refresco con gas? Y queentrevistar por lo menos a cinco personas?

23. Si la tercera parte de las persona que llegan tarde a cierto evento son negros, calcular laprobabilidad de que, a) La primera persona que llega tarde a ese evento sea negro, b) Si asisten10 personas a la reunin, la segunda persona que llega tarde a ese evento es negro.

Variables aleatorias continuas

1. SeaXuna variable aleatoria continua, con funcin de densidad definida por

ladootroen0

31si4

1

)(xx

xf

a) Compruebe que es F.D.P.b) EncuentreF(x)c) P(1.5


9/25

9

ladootroen0

51si12

1

)(xx

xf

a) EncuentreF(x)b)P(2


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10

ladootroen0

0si5)(

5 xexf

x

a) Compruebe que es F.D.P.b) EncuentreP(x < 0.3)c) EncuentreP(x > 0.6)d) EncuentreP(0.2 < x < 0.4).10.SeaXuna variable aleatoria continua, con funcin

ladootroen0

2.4si)(

3 xkexf

x

Encuentre el valor de k, para el cualf(x) es F.D.P.

11.SeaXuna variable aleatoria continua, con funcin

ladootroen0

20si05.0

02-si.050

)( xkx

x

xf

a) Para qu valores de k,f(x) es una F.D.P.b) EncuentreF(x)c) Encuentre V(x)

12.SeaXuna variable aleatoria continua, con funcin

ladootroen0

53si5

30si

)(

2

xxk

xkx

xf

a) Encuentre el valor de k, para el cualf(x) es F.D.P.b) EncuentreF(x).

13. SeaXuna variable aleatoria continua, con funcin

ladootroen0

21-si4)(

xxkxf

a) Encuentre el valor de k, para el cualf(x) es F.D.P.b) Encuentre V(x).

14. SeaXuna variable aleatoria continua, con funcin de distribucin acumulada

0si1

0si0)(

6 xe

xxf

x

a) Encuentref(x)b) EncuentreP(1


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11

0si0

0si1)(

8

x

xexF

x

a) Encuentre V(x), b) Encuentref(x)

16. Sea una variable aleatoria continua, con funcin de distribucin acumulada

2si1

43si742

32si222

2si0

)(2

2

x

xxx

xxx

x

xF

a) Encuentref(x)b) EncuentreP(2.4


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comportamiento es uniforme calcular la probabilidad de que, a) Caiga ms cerca de P quede Q, b) la distancia con respecto a P sea dos veces ms larga con respecto a Q.

5. SeaXuna variable aleatoria con distribucin

ladootroen0

4,3,2,1si6

1

)(x

xf

a) Determine F(x), b) CalculeP(2 < x < 4) c) Calcule P(x > 5) d) Haga las grficas def(x) yF (x). e) Encuentre la media y la varianza 2.

6. En un moderno negocio de hamburguesas se despacha el refresco en vasos, con unavariabilidad uniforme entre 130 y 160 mililitros (ml).

a) Obtener un vaso que contenga a los ms 140 ml.b) Cuntos ml. contiene en promedio un vaso?c) Obtenga la varianza para esta distribucin.7. Un meteorlogo hace una medicin del tiempo al azar, suponiendo que est distribuidauniformemente en el intervalo [1, 4]. A) Calcule la probabilidad de que la medicin este

entre 5/2 y 3. b) Si se realizan 6 mediciones independientes, hallar la probabilidad de queexactamente 3 de ellas estn entre 2 y 3.

8. Un punto se elige en un segmento de lnea [1, 3]. Suponiendo que X es una variablealeatoria continua distribuida uniformemente en este intervalo, encontrarf(x) yF(x).

9. Suponga queX es una variable aleatoria distribuida uniformemente en [-a, a] en dondea > 0, determinara en los casos que sea posible:

a) P(x > 2) = 1/3, b) P(x > 2) = , c) P(x < ) = 0.8, d) P(|x| < 2) = P(|x| > 2)

10.Una resistencia se comporta de acuerdo a una distribucin continua entre 900 y 1,100Ohms, encuentre la probabilidad de que la resistencia, a) aguante a los ms 950 ohms antesde quemarse, b) este entre 950 y 1,050 ohms.

11.Sea Xuna variable aleatoria continua, referida al error cometido al determinar la densidadde una substancia. Supngase que Xesta distribuida uniformemente en el intervalo [-0.02,0.02]. Cul es la probabilidad de que el error cometido este, a) entre 0.010 y 0.014, b) entre0.011 y 0.011?

12.El tiempo que tarda un autobs en ir de un destino A a un destino B y viceversa, est

distribuido uniformemente en un intervalo de 70 a 90 min. Hallar la probabilidad de que laduracin del viaje sea mayor a 85 minutos, si se sabe que el viaje dura ms de 55 minutos.

13.Una variable aleatoria Xesta distribuida uniformemente, con media igual a uno y varianzatres. EncuentreP( -1


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15.Sea X una variable aleatoria continua, con distribucin uniforme en el intervalo cerrado[a, b] Encuentre P( -


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8. El tiempo promedio que tarda un ciclista en recorrer una distancia del punto A al punto B esde 40 minutos, con una varianza de 16 minutos. Hallar la probabilidad de que, a) tarde almenos 45 minutos, b) tarde de 36 a 45 minutos. Suponga normalidad.

9. La vida til de la pilar alcalinas de la marca E, tienen una media de 8.5 h con un desviacinestndar de 0.5 h, las pilas de la marca D (Duracel), tienen un media de 8.2 h y una

desviacin estndar de 0.4 h, en ambas marcas la vida til tiene una distribucin normal. Sise elige una pila de cada marca, cul es la probabilidad de que la marca E dure ms de 8.25h y la marca D menos de 8.4 h?

10.Las pruebas que se han realizado en cierto componentes electrnicos han mostrado quetienen una vida media de 20 h con una desviacin estndar de 2 h, su distribucin es normal.Hallar la probabilidad de que si se eligiera una muestra de 5 de estos componentes a lo msdos fallen antes de 16 h.

11.El tiempo que tarda un camin materialista entre la bodega de carga y la obra deconstruccin, es aproximadamente normal con una media de 25 minutos y una desviacinestndar de 4 minutos. A que hora debe salir el camin de la bodega, para tener unaprobabilidad del 95% de estar en la obra de construccin a la 10 de la maana.

12.En un laboratorio mdico se envasan ciertos medicamentos en sobre cuya distribucin depesos sigue la distribucin normal con una desviacin estndar de 1.4 gramos. Si el 1% delos sobres pesan ms de 6 gramos. Cul es el valor de la media?

13.La fuente de sodas EL CEREZO ROSA ha instalado una mquina automtica, regulablede tal manera que la cantidad media de milk sea la que se desee, en cualquier caso estacantidad sigue la distribucin normal con una desviacin estndar de 5.2 ml.

a) si el nivel medio se ajusta a 303.9 ml. Qu porcentaje de vasos de milkcontendr menos de209 ml?

b) A qu nivel medio debe ajustarse la mquina para que slo el 2.28% de los vasos contenga alos ms 205 ml?

14.El promedio de vida de una licuadora de la marca S (Sony) es de 4 aos, con una desviacinestndar de un ao, la fbrica repone sin cargo alguno al cliente todas las licuadoras quedejen de funcionar dentro del tiempo de garanta. Si slo se desea reponer el 2% de laslicuadoras que funcionen mal. Qu tiempo de garanta se debe ofrecer? Suponganormalidad.


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15.El peso que soporta una varilla especial para construccin, sigue la distribucin normal, sien promedio aguanta 25 toneladas antes de romperse con una varianza de 4 toneladas, a) Aqu proporcin de estas varillas aguantan un peso mayor de 27 Toneladas? b) Si lasespecificaciones dadas por el fabricante requieren que todas las varillas aguanten un pesoentre 22 y 28 toneladas. Qu % de varillas se esperan rechazar? c) de acuerdo a loespecificado en el inciso b, si se tiene un lote de 4,000 varillas, cuntas se rechazaran?

16.El dimetro interior para un balero delantero de un automvil de una marca W, estdistribuido normalmente con una medio de 5 cm y una varianza de 0.04 cm, Cul es laprobabilidad de que un balero tenga un dimetro interior, a) mayor a 5.04 cm? B) entre 4.98y 5.02 cm?

17.El promedio de tiempo en que un coche de una marca japonesa empieza a dar problemas es3.5 aos con una desviacin estndar de 0.5 aos, un coche de fabricacin alemana tieneuna media de 4 aos con una desviacin estndar de 0.4 aos. En ambos casos el tiempo enque empiezan a dar problemas, sigue una distribucin normal. Si se elige al azar unautomvil de cada marca, Cul es la probabilidad de que la marca japonesa dure ms de 3aos y la marca alemana a lo ms 4.2 aos?

18.Se sabe que el tiempo que tarda un jefe de personal en entrevistar a una aspirante para unavacante en su compaa sigue una distribucin normal. Si el 10% de los entrevistados tardanms de 60 minutos y el 4% duran menos de 35 minutos, hallar la media y la varianza.

19.La resistencia de los alambres que se usan en una computadora de una marca especial, estadistribuida normalmente. Si el 8% de estos alambres soportan una resistencia de ms de 100Ohms y el 25% soportan menos de 95 Ohms, encuentre la media y la desviacin estndar.

20.En un aserradero se cortan rboles en trozos de 4m en promedio, con una desviacinestndar de 0.2m, estas longitudes estn distribuidas normalmente.

a) Si se elige un lote de 500 trozos Cul ser el nmero probable de estos que superen lalongitud de 4.1m?

b) Si se eligen 8 trozos cul es la probabilidad de que exactamente 3 tengan una longitud

mayor de 4.1m?

21.Una compaa produce baleros con dimetros que tienen una distribucin normal con unamedia de 3.0005 mm, y una desviacin estndar de 0.0010 mm. Las especificacionesrequieren que los dimetros estn en el intervalo 3.000 0.0020 mm. Se rechazan losbaleros que quedan fuera del intervalo debindose volver a maquinar. Qu fraccin de laproduccin ser rechazado?

22.Para seleccionar a sus empleados, un comerciante usa una prueba que tiene una puntuacinpromedio , una desviacin estndar = 10. Suponga que la distribucin de laspuntuaciones es normal; y que una puntuacin mnima de 65 le permite al solicitante seguir


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siendo considerado Cul debe ser el valor de , si se quiere que aproximadamente el 2.5%de los solicitantes sigan siendo considerados despus de esta prueba?

23.Los dimetros promedio del grueso del dimetros de una gran nmero de tornillos sedistribuyen normalmente con un promedio igual a 2.4 cm y desviacin estndar igual a 0.5cm.

a) Qu fraccin de tornillos tendr un dimetro promedio mayor que 3.0 cm?b) Si los tornillos que tienen un promedio de dimetro igual o menor que 1.9 cm son

desechados Qu porcentaje se elimina?c) Se supone que se selecciona al azar tres tornillos de entre todos cul es la probabilidad de

que los tres tengan dimetro promedio mayor que 3 cm?

24.Un estudio reporta que el 10% de los obreros de cierto departamentos pesan 112 lb o menos,y que 10% pesan 140lb o ms. Suponga que esas frecuencias relativas pueden tomarse comoprobabilidades y que la distribucin de los pesos es una distribucin normal. Encuentre lamedia y la varianza de dicha distribucin.

Aproximacin de la distribucin Normal a la Binomial

1. Una encuesta realizada por la direccin del agua potable entre los residentes de una ciudadindica que el 20% desea que se le instale un medidor de agua por considerar que la cuotafija de pago es superior al costo real de consumo. Si 100 residente solicitan su medidor deagua en dicha ciudad. Hallar la probabilidad de que entre 17 y 19 inclusive, le instalen sumedidor de agua.

2. La probabilidad de que un foco falle antes de 1,200 horas es del 30%. Encuentre laprobabilidad de que un lote de 250 de estos focos, 60 fallen antes de 1,200 horas de uso

continuo.

3. Un enfermo de leucemia, debido al avance en la medicina tiene una probabilidad del 45%de recuperarse. Si de 90 personas que han contrado la enfermedad, encuentre laprobabilidad de que al menos 25 sobrevivan.

4. Los altos ndices de contaminacin ambiental en el D.F., ha ocasionado la fabricacin paraaparatos reducirla, la probabilidad de realizar la venta de uno de estos equipos en la primeraentrevista es del 60%, si un vendedor entrevista a 80 posibles clientes. Cul es laprobabilidad de al menos 40 clientes efecten una compra?

5. Un ingeniero Industrial cree que el 20% de la prdida de trabajo horashombre en la plantaen que labora, se debe a que los empleados no cumplen adecuadamente con su trabajo en elhorario asignado. Calcula la probabilidad de que 80 trabajadores investigados de estafbrica de 14 a 20 incurran en esta irregularidad.


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6. Una prueba de C.O.E. tiene 50 preguntas de opcin mltiple con tres respuestas posibles.Cul es la probabilidad de que un estudiante que no sabe nada conteste correctamente de14 a 25 preguntas?

7. El gerente de una fbrica sabe que el 2% de los artculos que fabrica son defectuosos. Parahacer una prueba de control de calidad se seleccionan 1,000 artculos aleatoriamente, Cul

es la probabilidad de que el nmero de artculos defectuosos, a) Sea mayor o igual a 14, b)Sea menor de 10?

8. Un 30% de los estudiantes del I.P.N. son de provincia. Si se eligen aleatoriamente 200estudiantes en una facultad determinada. Cul es la probabilidad de que a los ms del 25%de estos estudiantes sean de provincia?

9. Una compaa farmacutica fabrica una medicina para bajar la presin arterial alta, afirmaque es efectiva en el 90% de los casos en los pacientes de este mal. El Seguro Social paraverificar esta afirmacin utiliza una muestra de 150 individuos con presin alta y les da elmedicamento, si es efectivo en 128 enfermos o ms se acepta. Cul es la probabilidad de,a) aceptarlo si la efectividad es realmente 80%?, b) rechazarlo cuando la efectividad esmenor o igual al 80%?

10.En una gasolinera en la que se aceptan tarjetas de crdito, el 30% de los usuarios la utilizan.Cul es la Probabilidad de que 300 clientes al menos 195 paguen en efectivo?

11.Una prueba de opcin mltiple contiene 30 preguntas, cada una de ellas tiene 4 posiblesrespuestas. Si un estudiante que no estudi contesta en forma aleatoria cada pregunta. Cules la probabilidad de que ms de la mitad estn correctas?

12.Una fbrica produce bombas para desaguar lavadoras, debido a su equipo ya obsoleto, sesabe que el 15% de su produccin tiene alguna falla, se seleccionan 50 de estos aparatosaleatoriamente para una prueba de control de calidad- Cul es la probabilidad de que por lomenos 8 estn defectuosos?

13.En una encuesta realizada por una empresa, encontr que el 60% de los entrevistadosutilizan un automvil de la marca W. Si se pregunta aleatoriamente a 100 personas conautomvil, que marca tienen de automvil. Cul es la probabilidad de que a lo ms 70 deeste grupo tenga un automvil de la marca W?

14.Se sabe que el 15% de las lmparas que adquiere un municipio estn defectuosas. En unamuestra aleatoria de 200 lmparas, hallar la probabilidad de que a los ms 25 o al menos 40estn defectuosas.


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Distribucin Exponencial

1. En el conmutador de una compaa se reciben llamadas telefnicas a una razn de 3llamadas por hora. Cul es la probabilidad de que transcurran al menos 20 minutos antesde la siguiente llamada?

2. Las fallas de un equipo de radar siguen la distribucin exponencial, el promedio de fallas esde una por cada hora 300 horas. Si se tiene una probabilidad del 96% de que no exista unaavera en un intervalo de tiempo mayor o igual a t, calcule el tiempo para esta probabilidad.

3. Una fbrica de llantas para automviles garantiza que duran dos aos en promedio, si eldesgaste de estas llantas sigue la distribucin exponencial. Cul es la probabilidad de queuna llanta dure menos de 4 aos?

4. En los bancos Mexicanos s a instituido el sistema unicola para atender a los clientes, eltiempo de espera sigue una distribucin exponencial con una medio de 10 minutos.Determinar la probabilidad de que un cliente sea atendido en menos de 9 minutos en almenos 6 de los 8 das siguientes.

5. Segn estadsticas que se han llevado a cabo un molino de trigo se descompone enpromedio una vez cada dos aos Cul es la probabilidad de que la siguiente descomposturasea dentro de 6 meses?

6. De acuerdo a la escala de Richter la magnitud de un terremoto en la ciudad de Mxico, se

supone que sigue la distribucin exponencial con un promedio de 1 cada 10 aos. Cul esla probabilidad de que un terremoto supere el 7.5 de esta escala, la magnitud del granterremoto de 1985 ocurrido en la ciudad?

7. El tiempo de espera en una cola de banco con ideas modernas, para ser atendido sigue unadistribucin exponencial y en promedio es de un cliente cada 10 minutos. Calcule laprobabilidad de que el tiempo de espera sea menor a 9 minutos.

8. En una clnica de la Cruz Roja, el tiempo entre llamadas de emergencia que se reciben enlas primeras horas de un da cualquiera sigue una distribucin exponencial con un tiempomedio de una hora entre llamadas. Calcule la probabilidad de que entre dos llamadastranscurran menos de tres horas.

9. Una terminal de computadoras esta conectada a una de si un estudiante la utiliza, el tiempode respuesta de la computadora central sigue una distribucin exponencial con un tiempopromedio de 4 segundos. Cul es la probabilidad de que transcurran a los ms 6 segundos

para la llegada de la respuesta?


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10.Un ciudadano contrat un servicio de alarma con una compaa del ramo. Si la alarma seactiva, el tiempo de respuesta de la compaa sigue una distribucin exponencial con unarespuesta de 20 minutos en promedio. Determine la probabilidad de que la respuesta de lacompaa tarde al menos 17 minutos.

11.El tiempo que tarda un empleado en tomar un pedido de un cliente en un restaurante que da

servicio en su coche, sigue una distribucin exponencial con una respuesta de atencin alcliente de 4 minutos en promedio. Qu probabilidad hay de que de los 4 clientes siguientesal menos dos deban esperar menos de 4 minutos?

12.La llegada de los trenes del metro (Indios VerdesUniversidad) a la estacin Baslica sigueuna distribucin uniforme en el intervalo [0, 5] y la llegada de los trenes (Martn Carrera Rosario) a esta misma estacin siguen una distribucin exponencial con parmetro .Encuentre el valor del parmetro si var(I-V) = var(MR)

13.Una compaa que produce tarjetas de video para P.C. sabe que el tiempo de vida de estas,sigue una distribucin exponencial con una vida medio de 10 aos. Si el fabricante noquiere reemplazar ms del 8% de su producto, determine este tiempo de garanta al mes mscercano.

14.En la estacin del metro Pantitlan en la Ciudad de Mxico, el tiempo de llegada de lostrenes sigue una distribucin exponencial con 10 minutos en promedio por llegada.Determinar la probabilidad de que un usuario tenga que esperar ms de 6 minutos la llegadade un tren.

15.Una compaa que fabrica focos para un fin determinado sabe que el tiempo de vida deestos sigue una distribucin exponencial con una vida media de 7 aos, la compaa quieredeterminar un tiempo de garanta de tal manera que no tenga que reemplazar ms del 10%de los focos. Determinar este tiempo de garanta, aproxime al mes ms cercano.

Resumen

Distribucin uniforme de ProbabilidadUna variable aleatoriaXest distribuida uniformemente en a


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Distribucin Normal de Probabilidad y Aproximacin a la BinomialUno de los ms importantes ejemplos de una distribucin de probabilidad continua es la

distribucin normal, algunas veces denominada la distribucin gaussiana.La funcin de densidad para la distribucin est dada por

xexf x -2

1)(

22 2/

donde y son la media y la desviacin tpica respectivamente.

PROPIEDADES:

1. 1)(

dxxf

2. f(x) > 0 x

3. 0)(y0)(

xflimxflimxx

4. f[(x + )] =f[- (x - )]. La densidad es simtrica alrededor de .

5. El valor mximo defocurre enx =

6. Los puntos de inflexin defestn enx =

La funcin de distribucin correspondientes est dada por

xx dvexXPxF

22 2/

2

1)()(

En este caso decimos que la variable aleatoria Xest normalmente distribuida con media yvarianza 2.

La distribucin normal estndar correspondiente es , donde

z

u duez 2/2

21

Si hacemos queZsea la variable normalizada correspondiente aX, es decir si hacemos

X

Z

entonces la media o el valor esperado deZes 0 y la varianza es 1.

Si n es muy grande y ni p y ni q estn muy prximas a cero, la distribucin binomial puedeaproximarse estrechamente a la distribucin normal con variable tipificada dada por

npq

npXZ

AquXes la variable aleatoria que da el nmero de xitos en n pruebas de Bernoulli y p es laprobabilidad de xitos. La aproximacin es tanto mejor conforme aumenta n, y en el lmite estotal.

3.8 Teorema de Chebyshev

Distribucin ExponencialLa distribucin exponencial tiene funcin de densidad


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casootroen0

0)(

xexf

x

donde es una constante positiva real.

El valor esperado y la varianza de la distribucin exponencial son2

/1/1)(

V(x)xE

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Cdigo de tica http://www.monografias.com/trabajos12/eticaplic/eticaplic.shtml

Comparacin de autores yescuelas http://www.monografias.com/trabajos12/pedidact/pedidact.shtml

Conocimiento sensible http://www.monografias.com/trabajos12/pedyantr/pedyantr.shtml

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Historia El Maximato http://www.monografias.com/trabajos12/hmmaximt/hmmaximt.shtml

Historia Inquisicin en la NewEspaa http://www.monografias.com/trabajos12/hminqui/hminqui.shtml
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Centralista http://www.monografias.com/trabajos12/hmprimer/hmprimer.shtmlIdentificacin de laproblemtica mediante Paretoe Ishikawa www.monografias.com/trabajos17/pareto-ishikawa/pareto-ishikawa.shtml

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Ingeniera de Mtodos Muestreo http://www.monografias.com/trabajos12/immuestr/immuestr.shtml

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Ingeniera Industrial

Programacin Lineal enInvestigacin de operaciones http://www.monografias.com/trabajos13/upicsa/upicsa.shtml

Ingeniera Industrial yMercadotecnia

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Introduccin a la ingenieraIndustrial http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/introalaii.htm

Introduccin al JIT http://www.gestiopolis.com/recursos2/documentos/fulldocs/ger/introjit.htm

Investigacin de Mercados http://www.miespacio.org/cont/invest/invmer.htm

Investigacin de mercados http://www.monografias.com/trabajos11/invmerc/invmerc.shtml

IO - Mtodo Simplex http://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtml

IO - Redes y Admon deProyectos http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/iopertcpm.htm

Jean Michelle Basquiat http://www.monografias.com/trabajos12/bbasquiat/bbasquiat.shtml

Jos Lpez Portillo http://www.monografias.com/trabajos12/hmlopez/hmlopez.shtml

Juicio de amparo http://www.monografias.com/trabajos12/derjuic/derjuic.shtml

Enseanza de la ingeniera http://www.monografias.com/trabajos12/pedense/pedense.shtml

La Familia en El derecho CivilMexicano http://www.monografias.com/trabajos12/dfamilien/dfamilien.shtml

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La Familia II http://www.monografias.com/trabajos12/lafami/lafami.shtml

La vida: Las cosas se conocen http://www.monografias.com/trabajos12/lavida/lavida.shtml

Las religiones y la moral http://www.monografias.com/trabajos12/mortest/mortest.shtml

Legislacin y Mecanismos parala promocin Industrial http://www.monografias.com/trabajos13/legislac/legislac.shtml

Manual del Tiempo Estndar http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger/mantiemesivan.htm

Manufactura Industrial II -Trabajo Final http://www.gestiopolis.com/recursos/ documentos/fulldocs/ger1/tfinman2.htm

Mecnica Clsica Movimiento http://www.monografias.com/trabajos12/moviunid/moviunid.shtml

Memoria de clculo http://www.monografias.com/trabajos12/elplane/elplane.shtml

Memoria tcnica de clculo http://www.monografias.com/trabajos12/electil/electil.shtml

Mtodos de EvaluacinFinanciera en Evaluacin deproyectos

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Mxico de 1928 a 1934 http://www.monografias.com/trabajos12/hmentre/hmentre.shtmlMxico: Adoptando Nueva http://www.monografias.com/trabajos12/nucul/nucul.shtml
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Cultura?

Moral Salvifichi Doloris http://www.monografias.com/trabajos12/morsalvi/morsalvi.shtml

Museo de las Culturas http://www.monografias.com/trabajos12/hmmuseo/hmmuseo.shtml

Introduccin a los SistemasHidrulicos http://www.monografias.com/trabajos13/intsishi/intsishi.shtml

Vlvulas Auxiliares Neumticas http://www.monografias.com/trabajos13/valvaux/valvaux.shtml

Vlvulas Neumticas http://www.monografias.com/trabajos13/valvidos/valvidos.shtmlVlvulas Hidrulicas http://www.monografias.com/trabajos13/valhid/valhid.shtml

Neumtica: Generacin,Tratamiento http://www.monografias.com/trabajos13/genair/genair.shtml

Nociones de derecho mexicano http://www.monografias.com/trabajos12/dnocmex/dnocmex.shtml

Pagos Salariales - Plan deincentivos http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/rrhh/pagosal.htm

PCP - Balanceo http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/pycdelapro.htm

PCP - MRP (Planeacin deRequerimiento de Materiales) http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/mrpivan.htm

PCP - Pronsticos http://www.monografias.com/trabajos13/placo/placo.shtml

Plsticos y Aplicacioneshttp://www.monografias.com/trabajos13/plapli/plapli.shtml

Prcticas de Laboratorio deElectricidad http://www.monografias.com/trabajos12/label/label.shtml

Prcticas del laboratorio dequmica http://www.monografias.com/trabajos12/prala/prala.shtml

Problemas de Fsica delResnick http://www.monografias.com/trabajos12/resni/resni.shtml

Problemas de Ingeniera enNeumtica http://www.monografias.com/trabajos13/maneu/maneu.shtml

Procesos de Manufactura porArranque de Viruta http://www.monografias.com/trabajos14/manufact-industr/manufact-industr.shtml

Produccin qumica: Plsticos http://www.monografias.com/trabajos13/plasti/plasti.shtml

Pruebas Mecnicas http://www.monografias.com/trabajos12/pruemec/pruemec.shtmlPruebas No Destructivas -Ultrasonido http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/disultra.htm

Psicosociologa Industrial http://www.monografias.com/trabajos13/psicosoc/psicosoc.shtml

Ranma Manga en ingls http://www.monografias.com/trabajos12/ranma/ranma.shtml

Recensin del Libro DidcticaMagna http://www.monografias.com/trabajos12/wpedag/wpedag.shtml

Recensin del libro Froebe http://www.monografias.com/trabajos12/introped/introped.shtml

Seguridad Industrial www.monografias.com/trabajos16/seguridad-industrial/seguridad-industrial.shtml

Sentido del Humor en laEducacin http://www.monografias.com/trabajos12/filyepes/filyepes.shtml

Teora de al Empresa http://www.monografias.com/trabajos12/empre/empre.shtmlTeora de Restricciones http://www.gestiopolis.com/recursos/ documentos/fulldocs/ger1/tociem.htm

Termmetros en laInstrumentacin http://www.monografias.com/trabajos14/termoins/termoins.shtml

Therbligs - Las Llaves parasimplificar http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/therbligs.htm

Trabajo Final de LogsticaIndustrial

http://www.monografias.com/trabajos16/logistica-industrial/logistica-industrial.shtml

UPIICSA http://www.monografias.com/trabajos12/hlaunid/hlaunid.shtml

Vicente Fox http://www.monografias.com/trabajos12/hmelecc/hmelecc.shtml

Vocabulario para Estudiantes http://www.monografias.com/trabajos13/spanglish/spanglish.shtml
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Autor Ing. Ivn Escalona

Consultor Logstica, Telfono Movil: 044 55 18 25 40 61 (Mxico)Ingeniero [email protected],[email protected]

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- Estudios Universitarios: Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniera y CienciasSocialesy Administrativas (U.P.I.I.C.S.A.) del Instituto Politcnico Nacional (I.P.N.)- Centro Escolar Patoyac, (Incorporado a la UNAM)Origen: Mxico
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