distribuciones comúnmente usadas

DISTRIBUCIONES COMÚNMENTE

USADAS

Angel Alberto García Guerrero

Matrícula: 1110289

2° A

PROCESOS INDUSTRIALES

ÁREA MANUFACTURA

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

SOLUCIÓN


a) Determine la media y la varianza de X.

Sabemos que la probabilidad de que enceste el tiro

es de 0.55 o bien 55% de modo que el resto es la

probabilidad de NO encestar o sea 0.45 ó 45%.

Si se sabe que X=1 representa el éxito (encestar) y

X=0 el fracaso (no encestar), entonces calculamos

por medio de las probabilidades anteriormente

mencionadas la media y la varianza.

SOLUCIÓN


μx = Representación de la media de X.

σ2x = Representación de la varianza de X.

X P

1 0.55 1(0.55)= 0.55

0 0.45 0(0.45)= 0

μx = 0.55

XP σ2x=(X-μx)

2(p)

(1-0.55)2(0.55) 0.111375

(1-0.55)2(0.45) 0.136125

σ2x = 0.2475

SOLUCIÓN


b) ¿Tiene distribución de Bernoulli?

No, porque en una distribución de Bernoulli cuenta

solamente dos resultados: 1 y 0, es decir, éxito y

fracaso.

Y en éste caso si el jugador encesta el tiro gana el

equipo dos puntos, por lo que el éxito no puede

ser igual a dos.

SOLUCIÓN


c) Determine la media y varianza de Y.

De igual forma como se determinó la media y

varianza de X, se hacen los mismos

procedimientos. Aunque en éste caso, el éxito

tendrá el valor de 2, que son los puntos ganados al

encestar.

Y P

2 0.55 1(0.55)= 1.1

0 0.45 0(0.45)= 0

μy = 1.1

YP σ2x=(Y-μy)2(p)

(1-0.55)2(0.55) 0.4455

(1-0.55)2(0.45) 0.5445

σ2y = 0.99

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

5.- En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de los bits son independientes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1?

SOLUCIÓN


Primero hay que identificar cuantas probabilidades

tienen los bits en ser 0 y 1.

Como son dos probabilidades para todos los bits,

entonces por deducción lógica sabemos que para

que un bit sea 0 su probabilidad será de 0.5, es

decir el 50%, y para que sea 1 su probabilidad será

nuevamente 0.5 puesto que como solamente son

dos probabilidades al final la suma de todas las

probabilidades tiene que dar 1, es decir el 100%.

Por lo tanto…

SOLUCIÓN


SOLUCIÓN


b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente

tres de los bits sean 1?

Ahora se quiere encontrar la probabilidad de que

sean 1 exactamente tres de los bits.

Por lo tanto:

P(X=3) = 0.21875

SOLUCIÓN


c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis

de los bits sean 1?

P(X=6) = 0.109375

SOLUCIÓN


d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de

los bits sean 1?

P(X=2) = 0.109375

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

5.- El número de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es una variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de 3 mensajes en 12 horas?

SOLUCIÓN


El problema nos da como dato el número 8 que son

los mensajes que se reciben por hora.

Ese dato se considera variable aleatoria de

Poisson:

Es decir, que a partir de ese dato podremos

resolver las cuestiones que nos plantea el

problema.

Recordemos que λ es la variable aleatoria de

Poisson por lo que…

SOLUCIÓN


a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban

cinco mensajes en una hora?

Si se reciben en promedio 8 mensajes por hora

entonces para calcular la probabilidad de recibir

cinco se sustituye la fórmula anterior obteniendo el

resultado de la probabilidad:

SOLUCIÓN


b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?

En ésta pregunta nos especifica hallar la probabilidad de recibir 10 mensajes en 1.5 horas.

Si en una hora se reciben un promedio de 8 mensajes, entonces: ¿cuántos mensajes se reciben en promedio en 1.5 horas?

Lo que se hizo fue calcular el número de mensajes que se reciben en 1.5 horas por medio de una regla de tres:

8 mensajes – 1 hora

? = λ Mensajes – 1.5 horas

1.5 * 8 = 12 mensajes.

SOLUCIÓN


b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez

mensajes en 1.5 horas?

Se sigue el mismo procedimiento que como

anteriormente se hizo, sustituyendo y

posteriormente encontrando el resultado de la

probabilidad.

SOLUCIÓN


c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de 3 mensajes en 12 horas?

Ahora nos especifican la probabilidad de recibir menos de 3 mensajes en 12 horas, pero primero necesitamos saber cuántos mensajes en promedio se reciben en 12 horas, para ello se repetirá una vez más una regla de tres como se hizo en el inciso anterior, a continuación se muestra:

8 mensajes – 1 hora

? = λ Mensajes – 12 horas

12 * 8 = 96 mensajes.

.

SOLUCIÓN


c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban

menos de 3 mensajes en 12 horas?

Ahora el procedimiento cambiará un poco, puesto

que nos pide encontrar la probabilidad de recibir

menos de 3 mensajes en 12 horas.

Por deducción lógica sabemos entonces que nos

pide que encontremos la probabilidad de recibir 2

mensajes, 1 mensaje y ningún mensaje dentro de

las 12 horas especificadas.

SOLUCIÓN


Por lo que desarrollaremos el procedimiento de tres

probabilidades en éste mismo inciso del problema,

como quien dice se harán “3 en 1” empleando la

misma fórmula tres veces.

Mismo procedimiento, sustituimos: 0, 1 y 2 y

encontramos el resultado de la probabilidad.

SOLUCIÓN


Es lógico que haya salido éste resultado,

probablemente nos parezca extraño pero es muy

obvio puesto que según el problema por cada

hora se reciben 8 mensajes… cuántos no se

recibirán por 12 horas sabiendo que recibir menos

de tres mensajes en una hora es muy poco

probable, en 12 horas sería casi imposible de

recibir menos de 3 mensajes.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

1.- Determine el área bajo la curva normal.

a) A la derecha de z = -0.85

b) Entre z = 0.40 y z = 1.30

SOLUCIÓN


a) Determine el área bajo la curva normal a la

derecha de z = -0.85.

Para encontrar el área bajo la curva normal es

necesario desde el valor de z hallar las unidades

estándar, para ello recurriremos a la tabla de

distribución normal que a continuación se presenta.

SOLUCIÓN


a) Determine el área bajo la curva normal a la

derecha de z = -0.85.

En la diapositiva anterior se ubica el valor en

unidades estándar encerrado en color rojo:

Una vez encontrado las unidades estándar, ahora

podemos determinar el área bajo la curva normal a

la derecha de z = -0.85, a continuación se explica.

SOLUCIÓN


El valor total bajo la curva normal es de 1 o bien

100%.

Se ubica el punto donde tiene que estar situado:

Posteriormente se calcula el área bajo la curva

normal a la derecha de z = -0.85 con sus

respectivas unidades estándar:

SOLUCIÓN


SOLUCIÓN


1 = Representación del área total bajo la curva

normal.

-0.1976 = Representación de las unidades

estándar de z = -0.85 que se restan para encontrar

el área que se encuentra a la derecha de dicha

curva.

0.8024 = Representación del área bajo la curva

normal a la derecha de z = -0.85.

SOLUCIÓN


b) Determine el área bajo la curva normal entre: z = 0.40 y z = 1.30

Nos ubicamos en las diapositivas 24 y 25 para encontrar las unidades estándar de los valores de z que nos especifica el inciso b, los valores están encerrados en color azul.

z = 0.40 = 0.655422 unidades estándar.

z = 1.30 = 0.903200 unidades estándar.

Posteriormente se efectúan operaciones.

24 25

SOLUCIÓN


Lo que se hizo fue encontrar el área bajo la curva

normal que hay entre z = 0.40 y z = 1.30 por medio

de sus respectivas unidades estándar, el área entre

los valores antes mencionados de z es de 0.24778.

Ahora se ubican los valores de z en la gráfica de la

curva normal señalando el área encontrada entre

dichos valores de z.

SOLUCIÓN


DISTRIBUCIÓN GAMMA

1.- Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.

a) Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.

b) A más de dos desviaciones por encima de la media.

SOLUCIÓN

DISTRIBUCIÓN GAMMA

a) Dentro de una desviación con respecto del tiempo

promedio.

b) A más de dos desviaciones por encima de la media.

Identificamos que X es el lapso que ocurre hasta que la

pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo en horas.

Y es el número de ciclos por 100 horas por lo que:

Y’ es el número de ciclos por hora.

SOLUCIÓN

DISTRIBUCIÓN GAMMA

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

1.- Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre – t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho.

Con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue…?

l

SOLUCIÓN

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

Se puede concluir que la media poblacional no es 500, porque la muestra poblacional está por encima de esta, y por lo tanto debería estar por encima de 500.

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