distribuições de probabilidade -...
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Distribuição Uniforme
A distribuição Uniforme atribui uma densidade igual ao longo de um intervalo (a,b).
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Distribuição Normal ou Gaussiana
A distribuição Normal ou Gaussiana é muito utilizada em análises estatísticas. É uma distribuição simétrica em torno da sua média e em forma de sino. Depende de dois parâmetros que são a média e a variância da distribuição. X ~ N(µ, σ2) significa que X tem distribuição Normal com média µ e bvariância σ2.
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Normal standard ou padrão
� Quando µ = 0 e σ = 1 temos a distribuição Normal standard (também se diz Normal padrão ou Normal centrada e reduzida). Os valores da função de distribuição, F(x), e os valores de certos quantis mais utilizados encontram-se tabelados.
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Normal Standard
� Habitualmente utiliza-se:� a letra Z para representar uma Normal Standard.� A designação Φ(z) para representar F(z).
� A designação zp para representar o quantil de ordem p.
� Atenção que os quantis têm diferentes representações de autor para autor. Muitos utilizam zp para representar o quantil de ordem 1-p, ou ainda (1-p)/2.
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Cálculo de probabilidades da Normal
� Para calcular probabilidades associadas a uma distribuição Normal qualquer, podemos recorrer às tabelas ou a software ou a máquinas de calcular.
� No SPSS as funções associadas àdistribuição Normal são:� Cdf.Normal(x,µ,σ) para a função de distribuição
no ponto x, F(x);� Idf.Normal(p,µ,σ) para o quantil de ordem p, xp.
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Cálculo de probabilidades da Normal:
Normalização
� Para recorrer às tabelas é necessário normalizar a variável antes de calcular uma probabilidade (ou um quantil).
� Se X ~ N(µ,σ2) então Z = (X- µ) / σ ~ N(0,1).
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Cálculo de probabilidades da Normal:
Normalização
� Por exemplo, se X tem distribuição N(5,4) e queremos calcular P(X≤7):
( ) 84130112
57
2
57 ,)()( =Φ=≤=
−≤−=≤ ZPX
PXP
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Propriedades da Normal
� Se adicionarmos uma constante b a uma variável Normal X ~ N(µ,σ2), obtemos uma nova variável Normal, Y=X+b ~ N(µ+b, σ2).
� Se multiplicarmos uma variável Normal por uma constante a obtemos uma nova variável Normal, Y=aX ~ N(aµ,a2σ2).
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Propriedades da Normal
� A soma de variáveis aleatórias Normais é ainda Normal com média igual à soma das médias. Se as variáveis forem independentes a variância é igual àsoma das variâncias.
� Em particular a média X de n variáveis Normais independentes e com a mesma distribuição é ainda Normal
( )nNX /,~ 2σµ
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Lei dos grandes números
� A média de um conjunto de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com média µ e desvio padrão σ,converge para µ à medida que n aumenta.
� A partir deste resultado podemos dizer que a frequência relativa de um certo acontecimento de interesse num conjunto de n experiências independentes, converge para a probabilidade do acontecimento à medida que n aumenta.
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Teorema do Limite Central
� Vimos anteriormente que a média de uma conjunto de variáveis aleatórias Normais, é ainda Normal:
� O Teorema do Limite Central permite dizer que a média de um conjunto de variáveis aleatórias com uma qualquer distribuição é aproximadamente Normal (cada vez mais Normal à medida que o nºde variáveis aumenta)
( )nNXNX /,~),(~ 2σµσµ ⇒
( )nNXxFXapr
/,~)(~ 2
.σµ⇒
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Teorema do Limite Central
� Se tivermos n variáveis aleatórias X1,X2…,Xnindependentes e com a mesma distribuição de média µ e variância σ2,então quando n cresce para infinito,
ou equivalentemente
),(/
10Nn
X dist →−σ
µ
),( 10Nn
nX disti →−∑σ
µ
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Ilustrações do TLC e da LGN
� Alguns sites para explorar o TLC e a LGN� http://www.stat.sc.edu/~west/javahtml/CLT.html
(dados)� http://www.rand.org/statistics/applets/clt.html
(bolinhas a cair)� http://www.statisticalengineering.com/central_limit_t
heorem_(inverse).htm (texto com pequena simulação)
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Aproximações baseadas no TLC
� Podemos efectuar cálculos de probabilidades aproximadas com base no TLC. Ilustramos esta situação com dois exemplos:
� Probabilidades associadas a distribuições Binomiais;
� Probabilidades associadas a distribuições de Poisson.
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Aproximações baseadas no TLC:
Binomial - Normal
� Probabilidades associadas a uma distribuição Binomial, B(n,p), podem ser aproximadas utilizando uma distribuição Normal, N(µ,σ2), com µ=np e σ2 = np(1-p).
Para que a aproximação não seja muito má, devemos ter np ≥ 5 e n (1-p) ≥ 5.
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Aproximações baseadas no TLC:
Binomial - Normal
� Quando usamos a distribuição Normal (que é uma distribuição contínua) para aproximar a distribuição Binomial (que é uma distribuição discreta), fazemos uma correção de continuidade ao valor discreto x na distribuição binomial representando o valor x pelo intervalo de x – 0.5 a x + 0.5.