DISTRIBUSI NORMAL

Statistik Farmasi 2012

Tujuan Perkuliahan Setelah menyelesaikan kuliah ini, mahasiswa mampu: Mengidentifikasi distribusi simetris atau miring. Mengidentifikasi sifat dari distribusi normal. Menentukan area di bawah distribusi normal standar. Menentukan probabilitas untuk variabel berdistribusi normal

dengan mengubahnya menjadi variabel normal standar. Menentukan nilai-nilai tertentu data untuk persentase yang

diberikan, menggunakan distribusi normal standar. Menggunakan teorema limit sentral untuk memecahkan

masalah yang melibatkan rata-rata sampel untuk sampel besar. .

Outline Pengantar Distribusi Normal Aplikasi Distribusi Normal Teorema Limit Pusat

Pengantar Distribusi Normal : kurva berbentuk bel, simetris,

simetris terhadap sumbu yang melalui nilai rata-rata

Distribusi simetris dan miring Distribusi normal adalah simetris "Ekor" kurva menunjukkan arah kemiringan (kanan adalah

positif, kiri negatif).

Distribusi Normal Bentuk dan posisi kurva distribusi normal tergantung pada

dua parameter, rata-rata dan deviasi standar. Setiap variabel berdistribusi normal memiliki distribusi sendiri

kurva normal, yang tergantung pada nilai-nilai dari rata-rata variabel dan standar deviasi.

Distribusi Normal Kurva distribusi normal berbentuk lonceng. Rata-rata, median, dan modus adalah setara dan terletak di pusat

distribusi. Kurva distribusi normal unimodal (ia hanya memiliki satu modus). Kurva simetris terhadap rata-rata, yaitu bentuknya adalah sama pada

kedua sisi garis vertikal melewati pusat. Kurva kontinu, yaitu, tidak ada gap atau lubang. Untuk setiap nilai X,

ada nilai dari Y. Kurva tidak pernah menyentuh sumbu x. Secara teoritis, tidak peduli

seberapa jauh di kedua arah kurva meluas, tidak pernah menyentuh sumbu-x tapi akan semakin dekat.

Total area dibawah kurva distribusi normal adalah sama dengan 1,00 atau 100%.

Area dibawah kurva normal yang ada pada 1 standar deviasi dari rata-rata adalah sekitar 0,68 atau 68%; pada 2 standar deviasi, sekitar 0,95 atau 95%; dan pada 3 standar deviasi, sekitar 0,997 atau 99,7%.

Area dibawah kurva distribusi normal

Distribusi Normal Standar Distribusi normal standar adalah distribusi normal dengan

rata-rata 0 dan standar deviasi 1.

Menentukan Area Di bawah Kurva Distribusi Normal Standar Langkah 1: Buatlah kurva distribusi normal dan arsir daerah tersebut. Langkah 2: Cari gambar yang sesuai pada ‘Procedure Table’ dan ikuti

petunjuk diberikan.

Misalnya, area di sebelah kiri nilai z dari 1,39 ditemukan dengan melihat 1,3 di kolom kiri dan 0,09 di baris atas. Dimana dua garis bertemu memberikan area 0,9177

Contoh soal 1 Tentukan area di kiri z = 2,06 Jawab: Langkah 1: buat gambar

Langkah 2: untuk mencari area di bawah distribusi normal standar di kiri z = 2,06. Cari area ini di tabel, ditemukan 0,9803. Oleh karena itu, 98,03% adalah area kurang dari z = 2,06.

Contoh soal 2 Tentukan area antara z = 1,68 dan z = – 1,37 Jawab Langkah 1: buat gambar

Langkah 2: Karena daerah yang diinginkan adalah antara dua nilai z yang diberikan, mencari daerah sesuai dengan dua nilai z dan kurangi area yang lebih kecil dari area yang lebih luas. (Jangan mengurangi nilai-nilai z). Daerah untuk z = 1,68 adalah 0,9535, dan daerah untuk z = – 1,37 adalah 0,0853. Daerah antara dua nilai z adalah 0,9535 – 0,0853 = 0,8682 atau 86,82%.

Kurva Distribusi Normal sebagai Kurva Distribusi Probabilitas Kurva distribusi normal dapat digunakan sebagai kurva

distribusi probabilitas untuk variabel terdistribusi normal. Distribusi normal adalah distribusi kontinu Untuk probabilitas, digunakan notasi khusus. Misalnya,

untuk menentukan probabilitas dari setiap nilai z antara 0 dan 2,32, probabilitas ini ditulis sebagai P(0 < z < 2.32).

Contoh soal: Tentukan probabilitas untuk:

Jawaban soal a. P (0 < z < 2.32) berarti untuk menentukan area di

bawah distribusi normal standar kurva antara 0 dan 2,32. Pertama mencari area sesuai dengan 2.32 yaitu 0,9898. Kemudian cari area sesuai dengan z = 0 yakni 0,500. kurangi dua area: 0,9898 - 0,5000 = 0,4898. Oleh karena itu probabilitasnya adalah 0,4898 atau 48,98%.

b. P(z < 1.65). Look up the area corresponding to z =1.65 in Table E. It is 0.9505. Hence, P(z <1.65) = 0.9505,or 95.05%.

c. P(z > 1.91). Look up the area that corresponds to z = 1.91. It is 0.9719. Then subtract this area from 1.0000. P(z >1.91) = 1.0000 = 0.9719 = 0.0281, or 2.81%.

Gambar b. Gambar c.

Aplikasi Distribusi Normal Kurva distribusi normal standar dapat digunakan untuk

menyelesaikan berbagai masalah praktis. Satu-satunya persyaratan adalah bahwa variabel tersebut

menjadi normal atau didistribusikan mendekati normal. Untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan

distribusi normal standar, lakukan dengan mengubah variabel asli ke variabel distribusi normal standar dengan menggunakan rumus:

Contoh soal Sebuah survei menemukan bahwa wanita menghabiskan

rata-rata $ 146,21 pada produk kecantikan selama musim panas. Asumsikan deviasi standar $ 29,44. Cari persentase perempuan yang menghabiskan kurang dari $ 160,00. Asumsikan variabel terdistribusi secara normal.

Jawab: Langkah 1. Buatlah gambar dan arsir areanya seperti yang

ditunjukkan pada Gambar berikut:

Langkah 2. Tentukan nilai z yang sesuai dengan $ 160,00. karena $ 160,00 adalah 0,47 dari standar deviasi di atas rata-rata $

146,21, seperti ditunjukkan dalam distribusi z pada Gambar berikut:

Langkah 3. Tentukan area tersebut, dengan menggunakan Tabel E. Area di bawah kurva di sebelah kiri z = 0,47 adalah 0,6808.

Oleh karena itu 0,6808 atau 68,08%, dari wanita menghabiskan kurang dari $ 160,00 pada produk kecantikan selama musim panas.

Contoh soal 2. Orang Solo mengkonsumsi rata-rata 1,64 gelas teh per

hari. Asumsikan variabel adalah distribusi yang mendekati normal dengan standar deviasi 0,24 gelas. Jika dipilih 500 orang, kira-kira berapa banyak yang akan minum kurang dari 1 gelas teh per hari?

Jawab: Langkah 1. Buatlah gambar dan arsir areanya seperti yang

ditunjukkan pada Gambar berikut:

Langkah 2. Tentukan nilai z yang sesuai dengan 1.

Langkah 3. Tentukan area tersebut. Area di bawah kurva di sebelah kiri z = –2,67 adalah 0,0038.

Langkah 4. Untuk mengetahui berapa banyak orang yang minum kurang dari 1 gelas teh, kalikan ukuran sampel 500 dengan 0,0038 untuk mendapatkan 1,9. Karena kita bertanya tentang orang, bulatkan jadi 2 orang. Oleh karena itu, sekitar 2 orang akan minum kurang dari 1 gelas teh sehari.

Contoh soal: Untuk penelitian medis, seorang peneliti ingin memilih 60%

pada pertengahan orang-orang dari penduduk berdasarkan tekanan darah. Jika tekanan sistolik rata-rata darah adalah 120 dan deviasi standar 8, tentukan tekanan atas dan bawah yang akan memenuhi syarat orang untuk berpartisipasi dalam studi.

Jawaban: Asumsikan bahwa pembacaan tekanan darah terdistribusi

normal, kemudian titik batas adalah sebagai ditunjukkan pada Gambar berikut:

Gambar menunjukkan bahwa dua nilai yang diperlukan, satu di

atas rata-rata dan satu di bawah rata-rata. Untuk mendapatkan area di sebelah kiri nilai z positif, tambahkan 0,5000 + 0,3000 = 0,8000 (30% = 0,3000). Nilai z dengan luas di sebelah kiri terdekat dengan 0,8000 adalah 0,84.

Daerah di sebelah kiri nilai z negatif adalah 20%, atau 0,2000.

Daerah yang paling dekat dengan 0,2000 adalah 0,84.

Oleh karena itu, 60% populasi ditengah akan memiliki pembacaan tekanan darah 113,28 < X < 126,72.

Menentukan Normalitas Ada beberapa tes matematika untuk menentukan apakah

suatu variabel terdistribusi secara normal. Cara termudah adalah untuk menggambar histogram dari

data dan memeriksa bentuknya. Jika histogram tidak berbentuk lonceng, maka data tidak terdistribusi normal.

Kemiringan dapat diperiksa dengan menggunakan koefisien kemiringan Pearson (PC) juga disebut indeks kemiringan Pearson. Rumusnya adalah:

Jika indeks lebih besar dari atau sama dengan +1 atau kurang dari atau sama dengan –1, dapat disimpulkan bahwa data secara signifikan miring.

Contoh soal:

Jawaban:

Step 1. Construct a frequency distribution and draw a histogram for the data.

Teorema Limit Pusat

Contoh soal

Jawab: