divergence and curl and their geometric...

Divergence and Curl and Their Geometric Interpretations

1 Scalar Potentials and Their Gradient and Laplacian Fields

2 Coordinate Transformations in the Vector Analysis Package

3 Using Vector Derivative Functions in the Vector Analysis Package

4 A Visualization Example of the Curl

There is a very useful free software tool for solving minimal surface (and many other) variational problems called Surface Evolver by Ken Brakke. To use Surface Evolver to greatest possible advantage, a user should be adept at using results from vector analysis. Mathematica's Vector Analysis package is very helpful aid for developing powerful Evolver codes. The following example is extracted from the Surface Evolver manual.

40 LeavingKansas@x_, y_, z_ , n_D := znÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHx^2 + y^2L Hx^2 + y^2 + z^2L nÅÅÅÅÅÅ2

8y, -x, 0<

41 LeavingKansas@x, y, z, 3D

9 y z3

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄHx2 + y2 L Hx2 + y2 + z2 L3ê2 , -

x z3

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄHx2 + y2 L Hx2 + y2 + z2 L3ê2

, 0=

42 << Graphics`PlotField3D`

Visualize the vector field for n=3, note that the function will be singular near the z-axis

43 PlotVectorField3D@LeavingKansas@x, y, z, 3D, 8x, -1, 1<, 8y, -1, 1<, 8z, -.5, .5<,VectorHeads Ø True, ColorFunction Ø HHHue@# * .66DL &L, PlotPoints Ø 15, ScaleFactor Ø 0.5D

Power::infy : Infinite expression1ÅÅÅÅÅÅ0

encountered. More…

¶::indet : Indeterminate expression 0 ComplexInfinity encountered. More…



General::stop : Further output of ¶::indet will be suppressed during this calculation. More…





General::stop : Further output of Power::infy will be suppressed during this calculation. More…

2 Lecture-13.nb

Ö Graphics3D Ö

Lecture-13.nb 3

We could make the function better behaved along the z-axis by brute force:

44

LeavingKansasNicely@x_, y_, z_ , n_D := ModuleA8CindRadsq = x^2 + y^2<,CindRadsq = If@CindRadsq § 10-4 , 10-4 , CindRadsq, CindRadsqD;

znÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅCindRadsq HCindRadsq + z^2L nÅÅÅÅÅÅ2

8y, -x, 0<E

45 PlotVectorField3D@LeavingKansasNicely@x, y, z, 3D, 8x, -1, 1<, 8y, -1, 1<, 8z, -.5, .5<,VectorHeads Ø True, ColorFunction Ø HHHue@# * .66DL &L, PlotPoints Ø 15, ScaleFactor Ø 0.5D

4 Lecture-13.nb

Ö Graphics3D Ö

Lecture-13.nb 5

Or simply by avoiding the axis altogether and using the symmetry of the field

46 PlotVectorField3D@LeavingKansas@x, y, z, 3D, 8x, .01, 1<, 8y, .01, 1<, 8z, .01, .5<,VectorHeads Ø True, ColorFunction Ø HHHue@# * .66DL &L, PlotPoints Ø 15, ScaleFactor Ø 0.5D

6 Lecture-13.nb

Lecture-13.nb 7

Ö Graphics3D Ö

Calculate the curl of the function using the VectorAnalysis package--note that the coordinate system is specified as cartesian. For the particular case of n=3:

47 Curl@LeavingKansas@x, y, z, 3D, Cartesian@x, y, zDD êê Simplify

9 3 x z2

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄHx2 + y2 + z2 L5ê2

,3 y z2


,3 z3


=

Define a new vector function for the curl for general n

48 Glenda@x_, y_, z_, n_D := Simplify@Curl@LeavingKansas@x, y, z, nD, Cartesian@x, y, zDDDDemonstrate the assertion that the curl has a fairly simple form and is sphericaly symmetric for n=1

49 Glenda@x, y, z, nD

9n x z-1+n Ix2 + y2 + z2 M-1- nÄÄÄÄÄÄ2 , n y z-1+n Ix2 + y2 + z2 M-1- nÄÄÄÄÄÄ2 , n zn Ix2 + y2 + z2 M-1- nÄÄÄÄÄÄ2 =

50 Glenda@x, y, z, 1D

9 xÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄHx2 + y2 + z2 L3ê2

,y


,z


=

‡ The above is a vector field that points radially from the origin, with amagnitude that falls off like 1 ê r2Visualize the curl for n=3

51 PlotVectorField3D@Evaluate@Glenda@x, y, z, 3DD, 8x, 0, .5<, 8y, 0, .5<, 8z, 0.1, .5<, VectorHeads Ø True, ColorFunction Ø HHHue@# * .66DL &L, PlotPoints Ø 7D

8 Lecture-13.nb

Ö Graphics3D Ö

Lecture-13.nb 9

Demonstrate that the divergence of the curl vanishes for the above function independent of n

52 DivCurl = Div@Glenda@x, y, z, nD, Cartesian@x, y, zDD

2 J-1 -nÄÄÄÄÄÄ2N n x2 z-1+n Ix2 + y2 + z2 M-2- nÄÄÄÄÄÄ2 + 2 J-1 -

nÄÄÄÄÄÄ2N n y2 z-1+n Ix2 + y2 + z2 M-2- nÄÄÄÄÄÄ2 +

2 J-1 -nÄÄÄÄÄÄ2N n z1+n Ix2 + y2 + z2 M-2- nÄÄÄÄÄÄ2 + 2 n z-1+n Ix2 + y2 + z2 M-1- nÄÄÄÄÄÄ2 + n2 z-1+n Ix2 + y2 + z2 M-1- nÄÄÄÄÄÄ2

53 Simplify@DivCurlD

0

10 Lecture-13.nb

divergence and curl and their geometric...

Documents