dla uczniów gimnazjów, - fizyka online wst.pdf · pojęcia, definicje, wzory, jednostki, wykresy....

Grzegorz Kornaś

Powtórka z fizyki - dla uczniów gimnazjów, którzy chcą wiedzieć to co trzeba a nawet więcej, - dla uczniów liceów, którzy chcą powtórzyć to co trzeba, aby zrozumieć więcej, - dla wszystkich, którzy chcą znać podstawy fizyki. Kontakt: [email protected] www.fizyka.mnet.pl

http://www.fizyka.mnet.pl/aktualinfo.pdf

Grzegorz Kornaś

Note

Aktualne informacje dotyczące książki.

Od autora Drogi czytelniku! Przekazuję Ci jedną z pierwszych książek internetowych do nauki fizyki. Książka udostępniana jest bezpłatnie w postaci plików pdf, nie można jej nabyć w tradycyjnej drukowanej postaci.

Sądzę, że internetowa forma książki ma wiele zalet, jedną z nich jest możliwość natychmiastowego poprawiania pomyłek i błędów drukarskich - jeśli znajdziesz jakiś błąd, przekaż o nim informację na adres podany na stronie tytułowej.

Równie łatwo można poszerzać i modyfikować treść książki. Zapraszam więc do dalszego redagowania treści, oczekuję na propozycje: co dodać, co zmienić, co usunąć. W książce znajdziesz podstawowe wiadomości, z zakresu fizyki: najważniejsze pojęcia, definicje, wzory, jednostki, wykresy. Znajdziesz też wiele cennych wskazówek i schematów postępowania, które powiedzą Ci, jak w prosty sposób opanować i zrozumieć niezbędne wiadomości i umiejętności, nie poświęcając na to zbyt wiele czasu. Książka ta przeznaczona jest przede wszystkim dla uczniów liceów ogólnokształcących i gimnazjów – zawiera treści nauczania zawarte w programach nauczania fizyki i astronomii, opracowanych przez różnych autorów. Aby poznać i zrozumieć podstawy fizyki trzeba dysponować niezbędną wiedzą z matematyki, wiedzą która często wykracza poza program gimnazjum. Dlatego w rozdziale pierwszym jest obszerny fragment, dotyczący niezbędnych wiadomości z matematyki. Numeracja wierszy na kolejnych stronach ułatwi znalezienie konkretnej definicji, wzoru czy wykresu. „Powtórka z fizyki” przyda się uczniom liceów do powtórzenia podstawowych wiadomości z fizyki przed egzaminem maturalnym, a uczniom gimnazjów przed egzaminem gimnazjalnym z zakresu przedmiotów matematyczno-przyrodniczych. Z książki tej mogą również korzystać osoby, które już od wielu lat nie mają kontaktu ze szkołą i z fizyką. Dla nich książka ta może pełnić rolę prostego leksykonu, w którym łatwo sprawdzić znaczenie niektórych pojęć spotkanych np. w prasie lub zasłyszanych w telewizji. Dziękuję

• Wydawnictwu ZamKor z Krakowa za zgodę na wykorzystanie rysunków,

• Wydawnictwu DEBIT z Bielska Białej za zgodę na wykorzystanie rysunków, • Panu Walterowi Fendtowi z Stadtbergen za zgodę na wykorzystanie animacji.

Uruchomienie animacji wymaga (oprócz połączenia z Internetem )

zainstalowanie maszyny wirtualnej JAVA. Zawarta jest ona standardowo w systemach Windows 95, Windows 98, Windows Millenium, Windows 2000.

Jeśli używasz systemu Windows XP i masz problem z uruchomieniem animacji należy pobrać ze strony http://www.java.com/en/download/manual.jsp i zainstalować maszynę wirtualną JAVA.

Grzegorz Kornaś

Text Box

www.zamkor.pl

http://www.zamkor.pl/

Spis treści

1.Wiadomości wstępne

1.1. Podstawowe pojęcia fizyki ………………………………………………..5 1.2. Jednostki miar ……………………………………………………………..9 1.3. Wykresy ………………………………………………………………….16 1.4. Wektory……………………………….…...……………………………..19 1.5. Podstawowe wiadomości o błędach pomiarowych....……………………26 1.6. Matematyka na lekcjach fizyki ………………...………………………...29 1.7. Rozwiązywanie zadań – wskazówki ogólne………………..……………52

2. Kinematyka ruchu postępowego 2.1. Zjawisko ruchu ………………………...………………………..…….…53 2.2. Wielkości opisujące ruch …………….…………………………..………55 2.3. Podział ruchów postępowych ………………...……………………...…..61 2.4. Ruch prostoliniowy jednostajny ……………………...………………….65 2.5. Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony ……..………………….75 2.6. Ruch prostoliniowy jednostajnie opóźniony ………….…………………82 2.7. Ruch prostoliniowy niejednostajnie zmienny ………………….………..86 2.8. Zestawienie wykresów ilustrujących spoczynek i ruchy prostoliniowe …89 2.9. Ruch po okręgu …………………………………………….…………….93 2.10. Zestawienie wielkości i wzorów opisujących ruch prostoliniowy i ruch po okręgu ……………………………………………………….………97

3. Dynamika 3.1. Podstawowe pojęcia dynamiki ……..…………………………….……...98 3.2. Zasady dynamiki ….. ………………..…………………………………100 3.3. Siły tarcia .. ………………………………..……………………………106 3.4. Ruch pod działaniem stałej siły ………..……………………….……....111 3.5. Dynamika ruchu po okręgu ……...……………..………………………124 3.6. Podział ruchów ze względu na działające siły …..……..………………127 3.7. Praca, moc, energia ………………..……………………………………128 3.8. Maszyny proste ……………………………..…………………………..133

4. Ruch drgający i fale mechaniczne 4.1. Ruch drgający harmoniczny …………………….……………….……..137 4.2. Fale mechaniczne ……………………………………………………....142 4.3. Akustyka ……………………………….…………………………….…149

5. Grawitacja 5.1. Prawo powszechnego ciążenia …….……………………………....…...154 5.2. Pole grawitacyjne ………………………………………………………157 5.3. Elementy kosmonautyki ………………………………………………..160

6. Elementy astronomii. 6.1. Rozwój poglądów na budowę Wszechświata ……….…………..…..….164 6.2. Obiekty astronomiczne, ich rozmiary i odległości …….……………….167 6.3. Obserwacje astronomiczne …………………….…………………....….174

7. Budowa i właściwości materii

7.1. Cząsteczkowa budowa materii …………………………………….…...177 7.2. Termodynamiczne właściwości ciał ……………………………….…...179 7.3. Ciała lotne ………………………………………………………………185 7.4. Ciecze …………………………………………………………………..192 7.5. Ciała stałe ………………………………………………………………197 7.6. Cieplne właściwości ciał ……………………………………………….200

8. Elektrostatyka 8.1. Składniki atomu. Ładunek elektryczny.……………….. ……………....212 8.2. Pole elektrostatyczne …………………………………..……………….220 8.3. Pojemność elektryczna. Kondensatory ………………..………………..225

9. Prąd elektryczny 9.1. Prąd elektryczny i warunki jego przepływu …………..………………..230 9.2. Prawo Ohma. Opór elektryczny ……………..………………………....235 9.3. Prawa Kirchhoffa. Łączenie oporów ………….…….……………….....239 9.4. Praca i moc prądu ………………………………..……………………..243

10. Magnetyzm 10.1. Pole magnetyczne …………………………………..………………....246 10.2. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej …………..………………..…256 10.3. Fale elektromagnetyczne …………………………..………….………261

11. Optyka 11.1. Optyka falowa ………………………...…………..…………………..267 11.2. Optyka geometryczna ………..……………………………………..…272 11.3. Przyrządy optyczne ……………….…………………………………..284

12. Elementy fizyki współczesnej 12.1. Dwoista natura światła ………………..……………………………....288 12.2. Budowa atomu ………………………………….…………………….292 12.3. Budowa i właściwości jądra atomowego. Promieniowanie jądrowe.....297

12.4. Reakcje jądrowe. Energetyka jądrowa …………..…………..….…….303

1. Wiadomości wstępne

Grzegorz Kornaś Powtórka z fizyki www.fizyka.mnet.pl

5

5

1. Wiadomości wstępne 1.1. Podstawowe pojęcia fizyki a) zjawiska fizyczne Zjawiska fizyczne są to wszelkie zmiany w otoczeniu, które można w jakikolwiek sposób zaobserwować - czy to bezpośrednio za pomocą naszych zmysłów (np. ruch ciała, topnienie lodu), czy też za pomocą specjalnych przyrządów (np. przepływ prądu, rozchodzenie się fal elektromagnetycznych). 10 b) wielkości fizyczne Wielkości fizyczne są to cechy ciał (np. masa, objętość) lub zjawisk (np. przyspieszenie, natężenie prądu), które można w jakikolwiek sposób zmierzyć. Nie wszystkie właściwości ciał można zmierzyć np. zapach, smak nie są wielkościami fizycznymi.

15

Każda wielkość fizyczna ma swój symbol literowy oraz jednostkę. Najlepiej byłoby, gdyby każda wielkość miała swój własny, niepowtarzalny symbol. Jednakże podstawowych wielkości fizycznych jest blisko sto, a liter alfabetu (uwzględniając małe i duże litery), około czterdziestu. Dlatego symbolami wielkości fizycznych są nie tylko litery alfabetu łacińskiego, lecz również niektóre litery alfabetu greckiego:

20

W y b r a n e l i te r y a l fa b e tu g r e c k ie g oa lfa n i

b e ta p i

g a m m a r o

d e lta s ig m ae p s i lo n ta ue ta f i

th e ta c h ik a p p a p s ila m b d a o m e g am i

α νβ π

γ ρ

δ σε τη ϕ

ϑ χκ ψλ ωµ

ε

,

, ,,

,

,, ,

Π

∆ Σ

Φ

ΨΛ Ω

25 Trzeba znać kształt i nazwę liter alfabetu greckiego (zwłaszcza tych podkreślonych – występują one we wzorach szczególnie często).

Zastosowanie alfabetu greckiego nie rozwiązało problemu do końca, gdyż zdarza się, że niektóre wielkości oznaczone są tą samą literą. Na przykład litera Q może oznaczać ciężar ciała, ciepło lub ładunek elektryczny a litera V- objętość ciała lub potencjał pola elektrycznego.

30



6 Do jednej z podstawowych umiejętności każdego ucznia należy dokładna znajomość symboli wielkości fizycznych (oznaczeń poszczególnych liter). Szczególną uwagę należy zwrócić na te wielkości, które mają ten sam symbol literowy. 5

10

Jednostki wielkości fizycznych też oznacza się symbolami literowymi – aby je

wyróżnić będziemy je pisać w nawiasach kwadratowych. Na przykład: m – oznacza masę a [m] – oznacza metr , W – oznacza pracę a [W] – wat (jednostkę mocy). Gdy jednostka występuje przy wartości liczbowej nawiasu się nie pisze np. przebyta droga wynosi sto metrów: s = 100m. Podział wielkości fizycznych: Wielkości fizyczne można podzielić na dwie grupy:

wielkości podstawowe - są to wielkości, które nie wymagają określenia za pomocą innych wielkości fizycznych, nie mają więc definicji (np. długość, masa, czas),

15

wielkości pochodne - są to wielkości, które wprowadza się (definiuje) za pomocą wielkości podstawowych (np. prędkość) albo za pomocą wielkości wcześniej zdefiniowanych (np. przyspieszenie). 20

Według innego, zupełnie niezależnego podziału rozróżniamy: wielkości wektorowe - są to wielkości, które mają cechy wektora:

-wartość (dużą lub małą), -kierunek (poziomy, pionowy, ukośny), 25 -zwrot (w lewo, w prawo, do góry, na dół), -punkt przyłożenia

np. prędkość - , przyspieszenie -rv ra , siła -

rF .

30

35

40

Wielkości wektorowe można przedstawić na rysunkach przy pomocy wektora.

koniec

Wektor początek

rF

Jeżeli przy symbolu wielkości wektorowej opuścimy znak wektora, wówczas bierzemy pod uwagę tylko jego wartość (np. v- wartość prędkości, F- wartość siły).

Inne ważne wiadomości o wektorach znajdziesz w rozdziale : 1.4.

wielkości skalarne - są to wielkości, które posiadają tylko wartość - dużą lub małą (nie mogą być natomiast poziome czy pionowe lub zwrócone w lewo bądź w prawo) np. masa -m, czas -t, temperatura -T.

45



7 c) definicje wielkości fizycznych

Definicja jest to umowny związek między znanymi wielkościami fizycznymi wprowadzający nową wielkość fizyczną. Definicja może być wyrażona zarówno wzorem jak i formułką słowną.

5

10

15

Duża część wzorów fizycznych przedstawia definicje różnych wielkości . Będziemy je wyróżniać spośród wszystkich wzorów pisząc skrót „df” nad znakiem równania.

Podstawowe wzory (do których należą prawie wszystkie wzory definicyjne) trzeba znać na pamięć, łącznie z oznaczeniami występujących w nich symboli. Znajomość ta, oprócz innych możliwości, ułatwia układanie definicji słownych - nie trzeba uczyć się ich na pamięć. Trzeba jedynie zapamiętać kilka ogólnych wskazówek: Aby ułożyć słowną definicję na podstawie wzoru - w miejsce liter podstaw nazwy wielkości fizycznych. Zwróć uwagę na działanie występujące po prawej stronie wzoru i wykorzystaj słowo oznaczające wynik tego działania: 20 - jeżeli jest to dzielenie (we wzorach oznaczone kreską ułamkową) w definicji zastosuj słowo „stosunek” (zamiast słowa „iloraz” , którego na fizyce raczej się nie używa), - jeżeli jest to mnożenie zastosuj słowo „iloczyn”, - jeżeli jest to odejmowanie słowo „różnica”, 25 - gdy jest to dodawanie słowo „suma”. Przykłady:

r

r

avt

df=∆∆

r

ra

v−−−

przyspieszenieprzyrost prędkości

t czas∆∆

„Przyspieszenie jest to stosunek przyrostu prędkości do czasu w którym ten przyrost nastąpił”.

r rp mv

df=

r

r

p - pęd ciałam - masav - prędkość

„Pędem ciała nazywamy iloczyn masy i prędkości ciała”.

30

∆r r rv v v

df= − 0

∆r

r

r

vvv

−−−

przyrost prędkościprędkość końcowaprędkość początkowa0

„Przyrost prędkości jest to różnica prędkości końcowej i prędkości początkowej”.

E E Edf

k p= +E - całkowita energia mechanicznaE energia kinetycznaE energia potencjalna

k

p

−−

„Całkowita energia mechaniczna jest to suma energii kinetycznej i energii potencjalnej”.



8 d) prawa fizyki Oprócz wzorów definicyjnych jest wiele wzorów podających zależności między wielkościami fizycznymi. Najważniejsze zależności zawarte są w prawach 5 fizyki.

Treść prawa można również przeczytać na podstawie wzoru, lecz stosuje się przy tym inne sformułowania niż przy definicjach:

Aby na podstawie wzoru odczytać zależności występujące między różnymi wielkościami (np. w prawach fizyki), które najczęściej występują w postaci ułamka, stosuje się słowa „wprost proporcjonalne

10

” w stosunku do wielkości występujących w liczniku i „odwrotnie proporcjonalne” w stosunku do wielkości występujących w mianowniku. Stałych współczynników proporcjonalności się nie czyta. Fakt, że jakaś wielkość się nie zmienia zapisujemy słowem constans (czyt. konstans), które oznacza „stały”. Stosuje się też skrót: const.

15

20

Dwie wielkości są do siebie wprost proporcjonalne gdy wzrost jednej z nich powoduje taki sam wzrost drugiej wielkości. (Ile razy wzrośnie jedna wielkość, tyle razy wzrośnie druga). Dwie wielkości są do siebie odwrotnie proporcjonalne gdy wzrost jednej z nich powoduje odpowiednie zmniejszenie drugiej wielkości. (Ile razy wzrośnie jedna wielkość, tyle razy druga zmaleje). Przykłady: II zasada dynamiki

r

r

aFm

w=

(

r

ra − przyspieszenie ciała

F - siła wypadkowam - masa ciała m = const

w

)

„Przyspieszenie, z jakim porusza się ciało pod działaniem siły wypadkowej jest wprost proporcjonalne do wartości tej siły”.

Zależność tę można również zapisać posługując się symbolem proporcjonalności: ra ~ rFw .

25 Prawo Boyle`a i Mariotte`a

pnRT

V=

constansTRn =

objętość -Vciśnienie -p

„W przemianie izotermicznej (T=const) gazu o stałej masie (n=const), jego ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do objętości”.

Zależność tę można również zapisać następująco: ~p1V

.

W niektórych prawach fizyki podaje się równocześnie kilka zależności np.:

Prawo..powszechnego ciążenia 30

F Gm m

rg =1 2

2

Fg- siła grawitacji G- stała grawitacji (G = const) m1, m2 - masy ciał r- odległość między środkami ciał

„Siła grawitacji jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas przyciągających się ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami”



91.2. Jednostki miar

a) układ SI Pomiar wielkości fizycznych pociąga za sobą konieczność ustalenia jednostek

miar. Utworzenie odmiennych układów jednostek (np. CGS, MKfS) i stosowanie różnych jednostek dla tej samej wielkości (np. dla siły: niuton, dyna, kilogram-siła) stwarzało wiele trudności z ich porównywaniem i wymagało żmudnych przeliczeń. Dlatego na całym świecie dąży się do wprowadzenia jednego układu- jest nim międzynarodowy układ jednostek SI (Systeme International).

5

10

15

Każda wielkość fizyczna ma swoją jednostkę pochodzącą z układu SI.

b) podział jednostek Jednostki miar podobnie jak wielkości fizyczne można podzielić na jednostki podstawowe i pochodne:

jednostki podstawowe są to jednostki wielkości niezależnych od siebie, wybranych jako podstawa danego układu jednostek. Dla jednostek tych precyzyjnie określa się ich wzorce. W układzie SI przyjęto siedem jednostek podstawowych i dwie jednostki uzupełniające:

Podstawowe i uzupełniające jednostki miar SI Jednostka miary Wielkość nazwa oznaczenie

(symbol)

Wzorzec jednostki

Jednostki podstawowe Długość metr m Historyczny wzorzec metra

przechowywany w Sevres pod Paryżem. (Dla współczesnych potrzeb wzorzec ten jest za mało dokładny dlatego opracowano inny wzorzec, w którym metr określa się jako wielokrotność długości fali określonego promieniowania).

Masa kilogram kg Wzorzec kilograma przechowywany w Międzynarodowym Biurze Miar w Sevres. (Wzorcem jest walec ze stopu platyny i irydu pod kloszami).

Czas sekunda s początkowo sekundę określano jako 1/86400 część doby, później jako część roku. Wzorce te okazały się niedostatecznie dokładne i obecnie stosuje się wzorzec oparty o zjawisko z zakresu fizyki atomowej.



10Natężenie prądu elektrycznego

amper A amper jest to natężenie prądu elektrycznego stałego, który płynąc w dwóch równoległych prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach, umieszczonych w próżni w odległości l m od siebie - wywołałby między tymi przewodami siłę 2 • 10-7 N (niutona) na każdy metr długości przewodu

Temperatura kelwin K kelwin jest to 1/273,16 temperatury bezwzględnej punktu potrójnego wody

Ilość materii mol mol mol jest to ilość materii występująca, gdy liczba cząstek jest równa liczbie atomów zawartych w masie 0, 012 kg (kilograma) 12C (węgla 12)

Światłość (Jest to wielkość opisująca ilość energii przenoszonej przez światło wysyłane z danego źródła)

kandela cd wzorcem kandeli jest specjalnie skonstruowane źródło światła, które wysyła zawsze takie samo światło. (Wyraz kandela pochodzi od łacińskiego słowa candela – oznaczającego świecę)

Jednostki uzupełniające Kąt płaski radian rad radian jest to kąt płaski,

zawarty między dwoma promieniami koła, wycinającymi z jego okręgu łuk o długości równej promieniowi tego koła

Kąt bryłowy steradian sr steradian jest to kąt

bryłowy o wierzchołku w środku kuli, wycinający z jej powierzchni część rów-ną powierzchni kwadratu o boku równym promieniowi tej kuli

α

jednostki pochodne są to jednostki, które definiuje się przy pomocy jednostek

podstawowych (np. niuton: 1N=1kg⋅m/s2 ) lub przy pomocy jednostek wcześniej zdefiniowanych (np. dżul: 1J=1N⋅1m). 5

10

c) definiowanie jednostek pochodnych

Definicję jednostki pochodnej określonej wielkości fizycznej można łatwo ułożyć wykorzystując wzór definicyjny tej wielkości. W tym celu każdej wielkości występującej we wzorze trzeba przypisać jej jednostkę a następnie wymienić wszystkie wielkości łącznie z ich jednostkami. Czasami trzeba jeszcze podać założenia, przy których obowiązuje wzór.

S = r2

r

O 1 sr S



11

5

Przykłady: 1.

Aby uzyskać jednostkę przyspieszenia podstawiamy do prawej strony wzoru definicyjnego jednostki występujących tam wielkości.

r

r

avt

df=∆∆

r

ra

v−−−

przyspieszenieprzyrost prędkości

t czas∆∆

1

11 2

mss

ms

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Otrzymaną jednostką jest metr na sekundę do kwadratu. Jednostka ta nie ma osobnej nazwy.

2.

Aby zdefiniować jednostkę siły - niuton, jako definicję siły przyjmiemy wzór: r

rF m a= ⋅

r

ra − przyspieszenie

F - siłam - masa

każdej wielkości przypisujemy jej jednostkę : 10 1 2 3

[ ] [ ]r rF N m kg a

ms

1 1 1 2= ⋅ ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Jednostką siły jest- niuton [1N], jednostką masy- kilogram [1kg], jednostką przyspieszenia - metr na sekundę do kwadratu [1m/s2]

Strzałki pokazują kolejność tworzenia definicji. a następnie układamy definicję:

„Jeden niuton jest to siła, która działając na ciało o masie jednego kilograma nadaje mu przyspieszenie jeden metr na sekundę do kwadratu”. Uzyskaliśmy równocześnie związek niutona z jednostkami podstawowymi układu SI: 15

1 1 2N kgms

=⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

.

3.

Aby zdefiniować jednostkę pracy - dżul stosujemy uproszczony wzór definiujący pracę (można go stosować, gdy kierunek i zwrot działającej siły jest zgodny z kierunkiem i zwrotem przesunięcia):

20

W F s= ⋅∆

W

s

− praca F - siła

- droga∆

każdej wielkości przypisujemy jednostkę: 1 2 3

[ ] [ ] [ ]W J F N s m1 1 1= ⋅ ∆

Jednostką pracy jest dżul [1J], jednostką siły jest niuton [1N], jednostką drogi jest metr [1m].

układamy definicję. „Jeden dżul jest to praca, wykonana przez siłę jednego niutona na drodze jednego metra, gdy kierunek i zwrot wektora siły są zgodne z kierunkiem i zwrotem wektora przesunięcia” .

25 [ ]1 1J N m= ⋅



12 4.

Aby zdefiniować jednostkę mocy - wat wykorzystujemy wzór definicyjny na moc:

PW

t

df

=∆

P − moc W - praca

t - czas∆

każdej wielkości przypisujemy jednostkę: 1 2

[ ] [ ][ ]P W

W Jt s

df1

11

=∆

3

Jednostką mocy jest wat [1W], jednostką pracy jest dżul [1J], jednostką czasu jest sekunda[1s]

i układamy definicję: 5 „Jeden wat jest to moc urządzenia, które wykonuje pracę jednego dżula w czasie jednej sekundy” 1

11

WJs

=⎡⎣⎢

⎤⎦⎥.

d) rozpisywanie jednostek pochodnych na jednostki podstawowe układu SI

10

15

Każdą jednostkę pochodną można przedstawić przy pomocy jednostek podstawowych układu SI, korzystając kolejno z definicji pojawiających się jednostek. Przykłady: 1. Korzystając z definicji przestawionych w poprzednim podpunkcie rozpiszmy jednostkę mocy - wat:

WJs

N ms

kgms

m

s

kg mss

kg ms

kg m s= =⋅

=⋅

= = =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

−2

2

2 2

32 3

20

25

Zapis wykładniczy omówiony jest w rozdziale 1.6. 2. Podobnie jak w poprzednim przykładzie rozpiszmy jednostkę pojemności elektrycznej - farad. Będą nam potrzebne kolejne definicje jednostek:

farad [F] jest wyrażony przy pomocy jednostek: kulomb [C] i wolt [V]:

111

FCV

=⎡⎣⎢

⎤⎦⎥,

wolt [V] jest wyrażony przy pomocy jednostek: dżul [J] i kulomb [C]:

111

VJC

=⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

,

kulomb [C] jest wyrażony przez jednostki: amper [A] i sekunda [s]: [ ]1 1 1C A s= ⋅ . 30



13

( )F

CV

CJC

CJ

A sN m

A s

kgms

m

A skg m

s

A skg m

A s kg m= = = =⋅⋅

=⋅

⋅=

⋅= =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

− −2 2 2 2

2

2 2

2

2

2 4

22 4 1 2

Jak wynika z poprzednich przykładów każdą wielkość pochodną można przestawić w postaci iloczynu jednostek podstawowych dobierając odpowiednio wartości wykładników w poniższym wyrażeniu: 5

g [ ] Y m kg s A K cd mola b c d e f= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Dla jednostki wat: a b c d e f g= = = − = = = =2 1 3 0 0 0, , , , , , 0. Dla jednostki farad: a b c d e f g= − = − = = = = =2 1 4 2 0 0, , , , , , 0.

10

e) przeliczanie jednostek na jednostki główne układu SI Jednostki podstawowe i pochodne stanowią tzw. jednostki główne. Układ SI dopuszcza stosowanie jednostek 10, 100, 1000, ...itd. razy większych od jednostek głównych - są to tzw. jednostki wielokrotne oraz jednostek 10, 100, 1000, ... itd. razy mniejszych - są to tzw. jednostki podwielokrotne. Jednostki wielokrotne i podwielokrotne tworzymy dodając do nazwy jednostki głównej odpowiedni przedrostek.

15

Wyjątkiem są jednostki masy, dla nich przedrostki dodaje się do jednostki „gram”.

Przedrostki do wielokrotności i podwielokrotności jednostek Przedrostek Oznaczenie (skrót)

przedrostka Mnożnik

(eksa-) E 1018 = 1000 000 000 000 000 000 (peta-) P 1015 = 1000 000 000 000 000 (tera-) T 1012 =1000 000 000 000 giga- G 109 = 1000 000 000 (miliard) mega- M 106 =1000 000 (milion) kilo- k 103 = 1000 (tysiąc) hekto- h 102 = 100 deka- da 101 = 10 jednostka -- 100 = 1 decy- d 10-1 =1/10 centy- c 10-2 = 1/100 mili- m 10-3 = 1/1000(jedna tysięczna) mikro- µ 10-6 = 1/1000 000 (jedna milionowa)

nano- n 10-9 = 1/1000 000 000 (jedna miliardowa) piko- p 10-12 = 1/1000 000 000 000 (femto-) f 10-15 = 1/1000 000 000 000 000 (atto-) a 10-18 = 1/1000 000 000 000 000 000

20 Skrajne przedrostki podane w nawiasach: eksa-, peta-, tera-, femto-, atto- są bardzo rzadko używane. Informacje o zapisie potęgowym znajdziesz w rozdziale 1.6 .



14

5

10 •

15

20

25

• 30

35

45

Jednostki wielokrotne i podwielokrotne zamieniamy na jednostki główne wykorzystując mnożnik z powyższej tabeli. Przykłady:

l kilometr (l km = 103 m) l nanometr (l nm = 10-9m) 1 pikofarad (pF=10-12F) l gigawat (l GW = 109 W) l dekagram (l dag = 10 g)

związki między jednostkami pola powierzchni uzyskujemy tak jak w poniższych przykładach: - aby przeliczyć centymetry kwadratowe na metry kwadratowe wypisujemy

najpierw związek między jednostkami długości (zgodnie z tabelą przedrostków): 1cm = 10-2m,

a następnie obie strony równania podnosimy do kwadratu łącznie z jednostkami: (1cm)2 = (10-2m)2

i otrzymujemy szukany związek: 1cm2 = 10-4m2

- podobnie można przeliczyć kilometry kwadratowe na metry kwadratowe:

związek między jednostkami długości: 1km = 103m podnosimy do kwadratu:

(1km)2 = (103m)2

i otrzymujemy związek: 1km2 = 106m2 .

związki między jednostkami objętości uzyskujemy w taki sam sposób:

- przeliczmy milimetry sześcienne na metry sześcienne:

piszemy związek między jednostkami długości: 1mm = 10-3m obie strony równania podnosimy tym razem do potęgi trzeciej:

(1mm)3 = (10-3m)3

i otrzymujemy związek: 1mm3 = 10-9m3

- przeliczmy jeszcze jeden litr na metr sześcienny. Jeden litr to inaczej jeden decymetr sześcienny. 40

Związek między jednostkami długości: 1dm = 10-1m podnosimy do potęgi trzeciej: (1dm)3 = (10-1m)3

i otrzymujemy: 1litr = 1dm3 = 10-3m3.



15

•

jednostki kąta płaskiego - stopnie kątowe przeliczamy na radiany, pamiętając, że: kąt pełny ma 3600 = 2 π radiana

z proporcji można otrzymać inne zależności: 5 3600 = 2π rad 1800 = π rad 900 = π/2 rad →

ogólnie: 360 2

1 2 30

nradn

n= =π

, , ,K 10

•

15

• 20

30

jednostki czasu przeliczamy na sekundy:

- minuta: 1min = 60s, - godzina: 1godz = 60min· 60s/min = 3600s,

(godzinę oznacza się również literą h) - doba: 24h = 24 ·3600s = 86400s, - rok: 365·24·3600s = 31 536 000s.

jednostki temperatury: stopnie Celsjusza przeliczamy na kelwiny dodając do temperatury w stopniach Celsjusza 273 (przeliczając jednostki temperatury nie można skorzystać z proporcji):

np. 00C = 273 K 200C = 293 K 25 -100C = 263 K -2730C = 0 K Zapamiętaj: 00C = 273 K Przykłady przeliczania jednostek złożonych:

Jednostki prędkości: v = 90kmh

=/ // /

= =9010003600

90036

25ms

ms

m s/ ,

v = . 72cmmin

= = ⋅ = ⋅ =720 0160

726

0 001 12 0 001 0 012,

, , , /ms

ms

ms

m s

35

Jednostki gęstości: ρ = = = ⋅ =−

−05 0 51010

0 5 10 5003

3

6 33

33. , , /

gcm

kgm

kgm

kg m

ρ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = = ⋅ =

−

−−25 25

1010

25 10 0 0253

6

3 33

33mg

dmmiligramów

decymetr sze ciennykgm

kgm

kg mś

, / .

40

T[K] = t[0C] + 273


1. Wiadomości wstępne 16

5

10

• 15

1.3 Wykresy a) rysowanie wykresów

Na podstawie wzoru podającego zależność między wielkościami fizycznymi można narysować wykres ilustrujący daną zależność.

Patrząc na wzór trzeba ustalić jaką funkcją matematyczną określony jest związek między zmiennymi (czy jest to funkcja stała, rosnąca czy malejąca, liniowa czy kwadratowa…). Wielkość po lewej stronie wzoru odpowiada zmiennej „y” , po prawej stronie jest druga zmienna „x” (jest nią najczęściej czas ) – trzeba ją odszukać. Wszystkie pozostałe wielkości traktujemy jako stałe współczynniki.

Znając kształt wykresów typowych funkcji matematycznych (znajdziesz je w

rozdziale 1.6) można samodzielnie narysować większość wykresów: chcąc narysować wykres prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym korzystamy ze wzoru:

v v a t= + ⋅0 v0 =const a = const

v

vat

−

−−−

prędkość końcowa w ruchujednostajnie przyspieszonym

prędkość początkowaprzyspieszenieczas

0

t

V0

v

Wykres prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym

zauważymy, że prędkość v po lewej stronie wzoru pełni rolę zmiennej „y” a czas t po drugiej stronie wzoru pełni rolę zmiennej „x” (czas t jest zawsze zmienną!), pozostałe wielkości v0 , a - pełnią rolę stałych współczynników.

Zależność prędkości od czasu jest więc funkcją liniową typu y = b + a⋅x , więc na wykresie v(t) jest linia prosta ukośna.

20

•

chcąc narysować wykres drogi od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym, bez prędkości początkowej (v0 = 0) korzystamy ze wzoru:

2

2ats =

a2

= const

s – droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej a – przyspieszenie t - czas

Wykres drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym (v0 = 0)

s

t

zauważymy, że zależność drogi od czasu jest funkcją kwadratową typu y=ax2 (gdzie: y = s, x = t,

25 a2

=a) więc na wykresie jest gałąź paraboli (sens fizyczny ma tylko

dodatnia gałąź paraboli – nie ma przecież ujemnego czasu).



5

Należy zwracać uwagę na oznaczenia na osiach wykresów – niektóre wykresy mają taki sam kształt a różnią się tylko oznaczeniami na osiach. Przykład:

t

s

Wykres drogi w ruchu jednostajnym

t

v

Wykres prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej

b) odczytywanie informacji z wykresów Bardzo ważną umiejętnością jest odczytywanie informacji z wykresów. Oprócz prostych spostrzeżeń takich jak: 10

15

-czy dana wielkość maleje czy rośnie, -jaką wartość ma zmienna y przy znanej wartości x, można odczytywać cenne informacje obliczając pole powierzchni figury zawartej między linią wykresu a osią poziomą (pole figury pod linią wykresu) lub obliczając tangens kąta nachylenia linii wykresu (informacje o funkcji tangens znajdziesz w rozdziale 1.6). Pole powierzchni figury pod linią wykresu jest równe wielkości, która zależy od iloczynu wielkości (lub jej zmiany) odmierzonej na osi pionowej i wielkości (lub jej zmiany) odmierzonej na osi poziomej y⋅x (lub ∆y⋅∆x) . Jednostkę tak odczytanej wielkości otrzymamy

20 mnożąc jednostki wielkości na osiach.

25

30

Iloczyn prędkości v i czasu ∆t stanowi drogę ∆s (∆s = v⋅∆t) - więc pole powierzchni zakreskowanej figury przestawia drogę przebytą przez ciało w czasie ∆t. Tangens kąta nachylenia linii wykresu (lub stycznej do linii wykresu) jest równy wielkości będącej ilorazem wielkości (lub jej zmiany) odmierzonej na osi pionowej i wielkości (lub jej zmiany) odmierzonej na osi poziomej y/x (lub ∆y/∆x). Jednostkę tak odczytanej wielkości otrzymamy

35

∆s

v

t

1

∆t

v = const+2

+1

0

dzieląc jednostki wielkości na osiach.


1. Wiadomości wstępne 18 Iloraz (stosunek) przyrostu prędkości ∆v do czasu ∆t Iloraz (stosunek) przyrostu prędkości ∆v do czasu ∆t

stanowi przyspieszenie a ( stanowi przyspieszenie a (r

r

avt

df=

∆∆ ) – więc tangens kąta α

v

Grzegorz Kornaś Powtórka z fizyki www.fizyka.mnet.pl Grzegorz Kornaś Powtórka z fizyki www.fizyka.mnet.pl

jest równy przyspieszeniu: 5

10

Aby obliczyć tangens α zaznaczamy pod linią wykresu trójkąt prostokątny i wartość tgα obliczamy z definicji (rozdział 1.6) jako stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta α (zmierzonej na osi pionowej) do drugiej przyprostokątnej (zmierzonej na osi poziomej). Nie musimy więc mierzyć kąta α i odczytywać wartości tangensa z tablic trygonometrycznych.

α t 0

∆t

∆v a tg= α


1. Wiadomości wstępne 19e 191.4. Wektory 1.4. Wektory

a) cechy wektora a) cechy wektora

Wektorowe wielkości fizyczne (np. prędkość -Wektorowe wielkości fizyczne (np. prędkość - rv , siła -rF , przyspieszenie - ra ,

itd.) mają następujące cechy wektora: 5 • wartość – może być duża lub mała. Na rysunkach uwzględnia się ją jako długość

wektora. We wzorach wartość wektora zaznacza się opuszczając strzałkę nad symbolem danej wielkości np. v - oznacza wartość prędkości (nazywaną szybkością), F - oznacza wartość siły. Rzadziej wartość wielkości wektorowej zaznacza się przy pomocy symbolu wartości bezwzględnej np.

rF10 - wartość siły,

ra - wartość przyspieszenia. Siła

rF1 ma większą wartość niż siła (

rF2 F F1 2>

lub r rF F1 2> ).

15 • kierunek – może być poziomy, pionowy, ukośny.

Kierunek wektora jest to prosta, na której leży wektor lub dowolna prosta do niej równoległa.

Wektory prędkości rv 1 i

rv2 mają ten sam kierunek (poziomy). 20

Wektory prędkości

rv 1 i rv2 mają różne

kierunki (ukośne), gdyż nie leżą na prostych równoległych. 25

•

zwrot – może być w lewo, w prawo, do góry, na dół. Zwrot wektora jest oznaczony grotem (końcem) strzałki. Wektor pędu rp1 jest zwrócony w prawo, 30

a wektor pędu rp2 jest zwrócony w lewo. Wektory te mają przeciwne zwroty.

Wektory (takie jak na powyższym rysunku), które mają 35 taką samą wartość, ten sam kierunek i przeciwne zwroty to wektory przeciwne, co można zapisać wzorem: Wektory o przeciwnych zwrotach muszą mieć przeciwne znaki. Najczęściej przyjmuje się umowę, że wektor zwrócony w prawo jest dodatni, a zwrócony w lewo – ujemny. Wektor zwrócony do góry jest dodatni, a zwrócony w dół – ujemny (przez analogię do znaków wartości na osiach układu współrzędnych).

40

• punkt przyłożenia – jest to początek wektora.

rp1rp2

rv 1

rv2

rv 1

rv2

2Fr

1Fr

r rp p1 2= −


punkt przyłożenia

Grzegorz Kornaś

5

•

Nie należy mylzwrotem (w lew 10 b) dodawanie w

dodawanie w 15

Długość wekwektorów : 20

• kierunkiem idodawanie w

25

30

• 35

Długość wwektorów kierunkiemdłuższego.

dodawanie wWektory o

metodę trójk - dodawanie

40

45

r2a

rF 1

rFw

rF2

rF 2

Powtórka z fizyki

Wektory przyspieszenia ra i 1

ra2 mają wspólny punkt przyłożenia.

ić kierunku wektora ( poziomy, pionowy, ukośny) z jego o, w prawo, do góry, na dół).

ektorów ektorów o tym samym kierunku i zgodnych zwrotach

Wektor wypadkowy rF jest sumą wektorów

rF1 i

rF2 .

tora wypadkowego jest równa sumie dłuF F Fw = +1 2 . Kierunek i zwrot wektora w zwrotem dodawanych wektorów. ektorów o tym samym kierunku i przeci

Wektor siły wypadkow sumą wekto w

rF1 i

rF

2

ektora wypadkowego jest równa różnicy: . Kierunek wektora wypadk dodawanych wektorów. Wektor wypad

F F Fw = −1

ektorów o różnych kierunkach różnych kierunkach dodaje się stosując ąta. Częściej stosowaną metodą jest met wektorów metodą równoległoboku

Dodajemy dwarównoległobok

Przesuwamy w (aby nie zmieni wspólny począt

ra1

rF1

rF2 r

Fw

rF2

r rF FF F

w

w

= += −

1

1

rF1

rF1

w

gości dodawanych ypadkowego jest zgodny z

wnych zwrotach

ej jest również 2 .

r r rF F FF F F

w

w

= += +

1 2

1 2

ró

www.fizyka.mnet.pl

długości dodawanych owego jest zgodny z

kowy ma zwrot wektora

metodę równoległoboku lub oda równoległoboku.

wektory siły metodą u.

ektory równolegle ć ich kierunku), tak aby miały ek.

rFF

2

2

Grzegorz Kornaś

Text Box

Animacja: dodawanie wektorów. (Ustaw dwa wektory poziomo, o zgodnych i przeciwnych zwrotach).

http://www.walter-fendt.de/ph14pl/resultant_pl.htm



5

10

15

20

e 21

5

10

15

20

Budujemy równoległobok rysując Budujemy równoległobok rysując pozostałe boki (przeciwległe boki muszą być pozostałe boki (przeciwległe boki muszą być równoległe). równoległe).

Rysujemy przekątną równoległoboku Rysujemy przekątną równoległoboku (tak aby wszystkie trzy wektory miały wspólny (tak aby wszystkie trzy wektory miały wspólny początek) – stanowi ona sumę dodawanych początek) – stanowi ona sumę dodawanych

wektorów. wektorów.

Rysujemy tę przekątną równoległoboku przy której wszystkie trzy wektory mają wspólny początek (w innych przypadkach będzie to dłuższa przekątna). Rysujemy tę przekątną równoległoboku przy której wszystkie trzy wektory mają wspólny początek (w innych przypadkach będzie to dłuższa przekątna). W najczęściej spotykanych sytuacjach równoległobok zamienia się na prostokąt lub kwadrat, wówczas długość wektora wypadkowego można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa (rozdział 1.6).

W najczęściej spotykanych sytuacjach równoległobok zamienia się na prostokąt lub kwadrat, wówczas długość wektora wypadkowego można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa (rozdział 1.6). - dodawanie wektorów metodą trójkąta- dodawanie wektorów metodą trójkąta

Te same wektory siły dodajemy metodą trójkąta. 25

30

35

40

45

Przesuwamy wektory równolegle,

ale tym razem tak, aby początek jednego wektora znalazł się w końcu drugiego wektora.

Rysujemy wektor zamykający trójkąt. Stanowi on wektor wypadkowy.

Zwrot wektora wypadkowego zaznaczamy tak, aby dwa wektory miały wspólny początek. W powyższy sposób można łatwo dodawać większą ilość wektorów, przesuwając je równolegle tak, aby początek kolejnego wektora znalazł się w końcu poprzedniego. Bok zamykający równoległobok stanowi sumę wszystkich wektorów. Taka metoda dodawania wektorów nazywa się metodą wielokąta. 50

rF2

rF1

rF1

rF2

rF w

r r rF F Fw = +1 2

r

rF1

F2

rF2

rF1

rFw

rF2

rF1

r r rF F Fw = +1 2

Grzegorz Kornaś

Text Box

Animacja: Dodawanie wektorów - metoda trójkata i metoda wielokata.

http://www.walter-fendt.de/ph14pl/resultant_pl.htm

Grzegorz Kornaś

Note

Statek płynie w kierunku z południa na północ z szybkością Vn =12 węzłów (mil morskich na godzinę),a równocześnie jest znoszony przez prąd morski i wiatr w kierunku ze wschodu na zachód z szybkością Vw = 9 węzłów. Oblicz wartość prędkości z jaką płynie statek. Jaki jest kąt pomiędzy wektorem prędkości a kierunkiem północnym? (1mila morska =1852m).

Grzegorz Kornaś

Note

7,72m/s, 37stopni Poniżej jest link do rozwiązania

http://www.fizyka.mnet.pl/rozwzad/z21.pdf



5

e 22

5

Zwróć uwagę, że wektor wypadkowy uzyskany w metodzie trójkąta (powyższy rysunek) jest taki sam jak wektor wypadkowy uzyskany w metodzie równoległoboku. Dodawaliśmy w obu przypadkach takie same wektory. A więc wynik dodawania tych samych wektorów nie zależy od zastosowanej metody.

Zwróć uwagę, że wektor wypadkowy uzyskany w metodzie trójkąta (powyższy rysunek) jest taki sam jak wektor wypadkowy uzyskany w metodzie równoległoboku. Dodawaliśmy w obu przypadkach takie same wektory. A więc wynik dodawania tych samych wektorów nie zależy od zastosowanej metody.

c) rozkładanie wektora na składowe c) rozkładanie wektora na składowe

Działaniem odwrotnym do dodawania wektorów jest rozkładanie wektora na składowe (stosujemy metodę równoległoboku, ale kolejność postępowania jest odwrotna). Jeden wektor zastępujemy najczęściej dwoma wektorami składowymi

Działaniem odwrotnym do dodawania wektorów jest rozkładanie wektora na składowe (stosujemy metodę równoległoboku, ale kolejność postępowania jest odwrotna). Jeden wektor zastępujemy najczęściej dwoma wektorami składowymi. Kierunki wektorów składowych są dowolne – wynikają one z konkretnej sytuacji. 10

Wektor siły

rF ciągnącej wózek rozkładamy na

rF

składowe – poziomą i pionową. 15

20

25

Rysujemy półproste wychodzące z początku

wektora wytyczające kierunki składowych (w naszym przykładzie poziomą i pionową).

rF

Rysujemy równoległobok tak, aby rozkładany

rF

wektor był jego przekątną (w naszym przykładzie równoległobok zamienił się na prostokąt).

Boki równoległoboku (prostokąta) wyznaczają wektory składowe

rF1

rFr

F2 r rF1 i F2 . 30

Zwróć uwagę, że po dodaniu wektorów składowych rF1 i

rF2 otrzymalibyśmy z

powrotem rozkładany wektor rF . 35

d) odejmowanie wektorów

Aby obliczyć różnicę dwóch wektorów np. ∆r r rv v vk= − 0 odejmowanie trzeba

zamienić na dodawanie – dodając do pierwszego wektora wektor przeciwny do drugiego wektora,

rvk40

45

czyli wektor : −rv0 ( )∆

r r r r rv v v v vk k= − = + −0 0

Grzegorz Kornaś

Text Box

Animacja:rozkladanie wektora na skladowe. Ustaw wektor ukosnie - jak na rysunku obok, 1st angle (pierwszy kat): 35.0, 2nd angle (drugi kat): 55.0 .

http://www.walter-fendt.de/ph14pl/forceresol.htm



Wektory i rvk −

rv0 można dodawać albo metodą równoległoboku albo metodą trójkąta.

Odejmujemy dwa wektory prędkości: od

wektora rvk odejmujemy wektor

rv0 obliczając różnicę

5 ∆r r rv v vk= − 0 .

Rysujemy wektor przeciwny do wektora rv0 , czyli wektor −

rv0 (przypomnijmy, że wektory przeciwne mają przeciwne zwroty, tę samą wartość i ten sam kierunek).

10

Wektory

rvk i −rv0 dodamy metodą 15

20

równoległoboku, przesuwając je tak, aby miały wspólny początek. (Można je również dodać metodą trójkąta).

Przekątna równoległoboku stanowi

sumę wektorów rvk i , a równocześnie

różnicę wektorów −rv0rvk i czyli wektor rv0 ∆

rv . 25

30

Wektory można również mnożyć i to na dwa sposoby obliczając tzw. iloczyn skalarny lub iloczyn wektorowy. e) mnożenie wektorów

• Iloczynem skalarnym barr⋅ wektorów ar i nazywamy skalar,

określony równością: br

35

ϕcosbabarrrr

⋅=⋅ 40

45

−rv0 r

rv0

rvk

v0

rvk

−rv0

rv0

rvk

−rv0

rv0

∆rv

rvk ( )∆r r r r rv v v v vk k= − = + −0 0

ar

br

φ



• Iloczyn wektorowy dwóch wektorów cb rr× jest wektorem ar o

następujących cechach:

- wartość wektora ar określona jest wzorem:

αsin⋅⋅= cba rrr 5

- kierunek wektora ar jest prostopadły do płaszczyzny, w której leżą

wektory i br

cr - zwrot wektora określony jest regułą śruby prawoskrętnej ar10

15

20

Iloczyn wektorowy nie podlega prawu przemienności.

abba rrrr×−=× 25

35

f) nie ma dzielenia wektorów. Co autor miał na myśli – wektor, czy tylko jego wartość ? Czytając różne podręczniki fizyki możesz mieć czasami wątpliwości, czy w danym miejscu autor bierze pod uwagę tylko wartość danej wielkości wektorowej, czy też uwzględnia inne cechy wektora.

30

Wymieniając jakąś wielkość fizyczną wektorową należałoby za każdym razem podkreślać:

czy w konkretnej sytuacji bierzemy pod uwagę jedynie wartość mówiąc (i pisząc) np. wartość przyspieszenia, wartość siły, wartość pędu itd.

czy oprócz wartości uwzględniamy też inne cechy wektora (np. kierunek, zwrot) mówiąc (i pisząc) np. wektor przyspieszenia, wektor siły, wektor pędu itd. Zasada ta nie jest jednak zawsze stosowana. Przyjmiemy więc następującą umowę: Jeżeli przy nazwie danej wielkości wektorowej nie ma ani słowa „wartość”, ani słowa „wektor

40 ” to znaczy, że w tej sytuacji brana jest pod uwagę jedynie wartość

tej wielkości. (Chyba, że z kontekstu całego zdania wynika, że chodzi też o inne cechy wektora).

α cr

br

ar cba rrr×=


1. Wiadomości wstępne 25 Przykłady zaczerpnięte z podręcznika fizyki dla klasy 1 gimnazjum: a) „ ... siła wyporu jest równa ciężarowi cieczy”.

Autorzy biorą tu pod uwagę wartość siły wyporu i wartość siły ciężkości. Wektory tych sił nie są równe, gdyż mają przeciwne zwroty,

5

b) „ Czym różnią się dwa ciała, które pod działaniem takiej samej siły uzyskują różne przyspieszenia ? ”. Autorom chodzi o to, że siła o takiej samej wartości działając na ciała różniące się masą, nadaje im przyspieszenia różniące się wartością, 10

c) „Siła, z jaką Ziemia przyciąga ciało jest równa sile, z jaką ciało przyciąga Ziemię.” Siły te mają taką samą wartość. Wektory tych sił nie są równe, bo mają przeciwne zwroty,

d) „ Siła i przyspieszenie mają taki sam zwrot oraz kierunek.” Teraz z kontekstu całego zdania wynika, że chodzi o wektor siły i wektor przyspieszenia, gdyż jest tu mowa o kierunku i zwrocie.

15

Aby uniknąć wątpliwości, czy chodzi o wektor, czy tylko o jego wartość, często

obok nazwy danej wielkości wektorowej podaje się jej symbol literowy: ze strzałką nad literą – gdy chodzi o wektor. 20

Qr

Np. „ na każde ciało działa siła ciężkości .” Strzałka nad literą oznacza, że bierzemy pod uwagę wektor siły ciężkości.

bez strzałki nad literą – gdy chodzi tylko o wartość. Np. „ ... siła nacisku jest zazwyczaj równa sile ciężkości .” Brak strzałki nad literą oznacza, że teraz bierzemy pod uwagę tylko wartość

Q siły ciężkości. 25

Podobnie przy oznaczeniach do wzorów:

gmFCrr

= „ ziemskie enieprzyspiesz -gr ” – bierzemy pod uwagę wektor przyspieszenia

ziemskiego.

thg

=2

„ ” – bierzemy pod uwagę tylko wartośćziemskie enieprzyspiesz -g przyspieszenia ziemskiego.



5

10 •

•

1.5. Podstawowe wiadomości o błędach pomiarowych a) błędy pomiarowe i sposoby ich zmniejszania Wielkości fizyczne, którymi zajmujemy się na lekcjach fizyki, są to cech ciał lub zjawisk, które można zmierzyć. Każdy pomiar jakiejkolwiek wielkości jest obarczony błędem. Błąd jest związany z każdym pomiarem – niezależnie od tego czy jest to pomiar wykonywany przez nas w klasie, czy też dokonywany przez naukowców w laboratoriach. Oczywiście trzeba się starać aby popełniany błąd był jak najmniejszy. Jest kilka sposobów zmniejszania błędów pomiarowych:

stosowanie dokładniejszych przyrządów. Na przykład pomiar grubości dokonany suwmiarką jest dokładniejszy niż pomiar wykonany linijką szkolną. wielokrotne mierzenie tej samej wielkości i obliczanie średniej arytmetycznej.

nxxx

x ns

+++=

K21

xs - wartość średnia x x1 2, ,K - wyniki kolejnych pomiarów n – liczba pomiarów

Ponieważ równie często uzyskany wynik pomiaru jest zawyżony jaki i zaniżony, średnia z wielu pomiarów jest obarczona mniejszym błędem niż wynik pojedynczego pomiaru. ( wynika stąd, że wyznaczanie długości przy pomocy zwykłej linijki też może być dosyć dokładne).

15

•

25

30

stosowanie różnych metod pomiaru tej samej wielkości. Na przykład wartość przyspieszenia ziemskiego można zmierzyć podczas swobodnego spadania ciała lub też przy pomocy wahadła matematycznego. Średnia pomiarów z obydwu metod jest dokładniejsza niż przy zastosowaniu jednej tylko metody.

20

Błędu pomiarowego nie można wyeliminować, można go tylko zmniejszyć. Skoro tak, to trzeba umieć określać wartość popełnianego błędu, aby wiedzieć czy uzyskany wynik jest bardziej, czy mniej dokładny. Mamy dwa rodzaje błędów : Błąd bezwzględny

xxx rz −=δ

δx – błąd bezwzględny xrz – wartość rzeczywista x – wynik pomiaru

Błędem bezwzględnym δx pomiaru nazywamy różnicę między rzeczywistą wartością xrz wielkości mierzonej a wynikiem pomiaru x tej wielkości (podaje się zawsze wartość bezwzględną δx)

Wartość błędu bezwzględnego podaje się w takich samych jednostkach jak wynik pomiaru.

35

Jak w praktyce wyznaczyć błąd bezwzględny, skoro przeważnie nie znamy rzeczywistej wartości wielkości mierzonej ?

Grzegorz Korna


•

5 •

Wartość błędu bezwzględnego pomiaru można określić na dwa sposoby:

jako różnicę między wynikiem pojedynczego pomiaru a wartością średnią z kilku pomiarów,

jako dokładność przyrządu pomiarowego – jest to wartość najmniejszej działki na skali przyrządu. Na przykład za błąd bezwzględny pomiaru: - szerokości działki szkolnej dokonanego taśmą mieniczą przyjmuje się δx=1cm, - szerokości zeszytu dokonanego Twoją linijką przyjmuje się δx = 1mm, 10

15

20

25

30

35

40

- średnicy wiertła dokonanego suwmiarką δx = 0,1mm (są też suwmiarki mierzące z dokładnością do 0,05mm),

- grubości kartki w zeszycie dokonanego śrubą mikrometryczną (mikromierzem) δx= 0,01mm.

Błąd be

stwierdzenie, milimetra (tzpomiar był doto pomiar byłzegarka to pom

Kreska noniusza stanowiąca przedłużenie jednej z kresek górnej skali wskazuje ilość dziesiętnych milimetra.

Skala na ruchomym suwaku nazywa się noniuszem

Suwmiarka

Wartość wskazywana na skalach wynosi 7,2mm. Zerowa kreska noniusza wskazuje nagórnej skali ilość całych milimetrów

ś Powtórka z fizyki www.fizyka.mnet.pl

zwzględny nie daje informacji o dokładności pomiaru. Na przykład że średnicę jakiegoś koła zmierzyliśmy z dokładnością do jednego

n., że błąd bezwzględy wynosi: δx = 1mm) wcale nie oznacza, że kładny. Jeżeli z taką dokładnością mierzyliśmy duże koło od parowozu, dokładny, ale jeżeli z tą dokładnością mierzyliśmy maleńkie kółko z

iar był bardzo niedokładny.

Śruba mikrometryczna (mikromierz).

Grzegorz Kornaś Powtórka z fizyki


28

Pełną informację o wartości wykonanego pomiaru dają łącznie: wynik pomiaru i błąd bezwzględny. Dlatego wyniki pomiarów przedstawia się w postaci:

Pełną informację o wartości wykonanego pomiaru dają łącznie: wynik pomiaru i błąd bezwzględny. Dlatego wyniki pomiarów przedstawia się w postaci:

x x± δ . c km s= ±299792 2 4 5, , /Na przykład wynik pomiaru szybkości światła w próżni: 5 c) błąd względny

xxδ

δx – błąd bezwzględny x – wynik pomiaru

Błędem wzgl

błędu bezwzgpomiaru x:

Błąd względny jest wielkością bezwymiarową tzn. ,żnajczęściej jednak podaje się go w procentach uzyskując tz

δ xx

⋅100% . 10

Wynik pomiaru szybkości światła w próżni można przedst. c km s= ±299792 2 0 0015%, / ,

www.fizyka.mnet.pl

ędnym nazywamy stosunek

lędnego δ x do wyniku

e nie ma żadnej jednostki, w. błąd procentowy:

awić również w postaci:

Grzegorz Kornaś

Note

Błędy pomiarowe Link do uzupełnień zabezpieczony hasłem11

http://www.fizyka.mnet.pl/uzup/u28.pdf



29

10

15

1.6 Matematyka na lekcjach fizyki

a) przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów to podstawowa umiejętność niezbędna przy rozwiązywaniu zadań. Czasami sprawia ona uczniom wiele trudności. W rozdziale tym znajdziesz schematy przekształcania wzorów najczęściej występujące w zadaniach. W podanych przykładach x i y oznaczają niewiadome, natomiast litery: a, b, c, d, e, k – stałe wspólczynniki.

5

Aby przekształcić konkretny wzór sprawdź, z którym z podanych niżej przypadków masz do czynienia. Zwróć uwagę, czy we wzorze są ułamki, czy niewiadoma jest w liczniku, czy w mianowniku, czy jest podniesiona do kwadratu, czy też występuje pod pierwiastkiem … . Pamiętaj, że zawsze możesz zamienić kolejność stron równania.

(I.) Łączenie wzorów.

Rozwiązując zadania często trzeba podstawiać jeden wzór do drugiego. Ponieważ większość wzorów występuje w postaci ułamków (dzielenie dwóch wyrażeń zaznaczamy przy pomocy kreski ułamkowej a nie symbolem dwukropka : ), podamy przykłady gdzie do jednego ułamka wstawiamy drugi ułamek. 20

25

30

35

40

A)

ya xb

=

xcd

=

ya

cd

b

a cdb

a cdb

acd b

a cd b

= = = = ⋅ =

1

1

Aby uzyskać dzielenie dwóch pełnych ułamków z wyrażenia tworzymy ułamek dzieląc je przez 1.

b

Wyrażenie występujące przed

ułamkiem

acd

można wpisać do

licznika tego ułamka.



30 Aby podzielić dwa ułamki, górny ułamek (znajdujący się nad główną kreską ułamkową) trzeba pomnożyć przez odwrotność dolnego ułamka (który znajduje się pod główną kreską ułamkową): 5

10

15

20

25

30

35

40

45

ABCD

AB

DC

A DB C

A DB C

= ⋅ =⋅⋅

=

Główna kreska ułamkowa jest na poziomie znaku równania: „=” .

Mnożąc dwa ułamki, można je połączyć w jeden, łącząc ich kreski ułamkowe.

Symbol oznaczający mnożenie (kropkę) można opuścić.

B)

ab x

xcd

=

y =

ya

bcd

abcd

a

b cd

a dbc

a dbc

= = = = ⋅ =11

Z wyrażenia tworzymy ułamek dzieląc je przez 1.

a

Górny ułameka1

mnożymy przez

odwrotność dolnego ułamka.

Wykonując powyższe działania zwracaj uwagę na położenie głównej kreski ułamkowej – od jej położenia zależy, które wyrażenie trzeba podzielić przez 1 aby uzyskać dwa ułamki.



31 Obliczanie niewiadomej x : 5 (II.) - gdy we wzorze nie ma ułamków. A)

10

15

20

25

30

35

B)

a b c xb c x ac x a b

xb a

c

= ++ =

= −

=−

Dzielimy obie strony równania przez współczynnik c aby po lewej stronie została tylko niewiadoma.

Wszystkie składniki, w których nie ma niewiadomej przenosimy na prawą stronę zmieniając znak na przeciwny.

Zamieniamy kolejność stron równania aby niewiadoma była po lewej stronie.

a b c xa c x b

c x b a x

xb a

c

= −+ =

= −

=−

:Dzielimy obie strony równania przez współczynnik c aby po lewej stronie została tylko niewiadoma.

Wszystkie składniki, w których nie ma niewiadomej przenosimy na prawą stronę zmieniając znak.

Zamiast zamieniać kolejność stron równania można też przenieść wyrażenie z niewiadomą na lewą stronę zmieniając znak.

C) (III.) – gdy po obu stronach równania jest ułamek. 40

45

Gdy po obu stronach równania jest ułamek najlepiej jest zastosować mnożenie „ na krzyż”:

AB

CD

A D B C= ⇔ ⋅ = ⋅

( )a b x c

b x c a

b x a c x

xa c

b

− =

− = − ⋅ −

= −

=−

1

:Jeżeli przy niewiadomej, która jest po lewej stronie występuje znak minus mnożymy obie strony równania przez –1 aby się go pozbyć.

Dzielimy obie strony równania przez współczynnik b aby po lewej stronie została tylko niewiadoma.



32

5

10

15

A) B) (IV.) – gdy ułamek jest tylko na jednej stronie. 20

30

35

40

45

Gdy w równaniu ułamek jest tylko po jednej stronie trzeba się go pozbyć mnożąc obie strony równania przez mianownik. A) 25

ab x

cd

a d b x c

b x c a d b c

xa db c

=

=

=

=

:

Mnożymy równanie „na krzyż”.

Jeżeli niewiadoma znajdzie się po prawej stronie równania trzeba jeszcze zamienić kolejność stron.

a xb

cd

a x d b c a d

xb ca d

=

=

=

: Dzielimy obie strony równania przez , aby a d

po lewej stronie pozostała tylko niewiadoma.

Mnożymy równanie „na krzyż” aby pozbyć się równocześnie obu ułamków.

a xb

c b

a x cb a

xcba

= ⋅

=

=

:

Mnożymy obie strony równania przez mianownik b . B)

ab xc

c

a c b x

b x a c b

xa cb

= ⋅

=

=

=

:

Mnożymy obie strony równania przez mianownik . c



33

5

10

15

C)

ca

b xb x

cb x a cb

xa

cb

= ⋅

=

=

:

Mnożymy obie strony równania przez mianownik . b x W powyższych przypadkach można również doprowadzić równanie do postaci gdzie po obu stronach równania są ułamki. W tym celu wyrażenie po tej stronie gdzie nie ma ułamka dzielimy przez 1. Następnie niewiadomą obliczamy tak jak w punkcie (III.) (V.) – gdy po tej samej stronie równania jest kilka ułamków… …należy równanie doprowadzić do postaci, w której po każdej stronie równania jest tylko jeden ułamek. W tym celu ułamki występujące po tej samej stronie równania trzeba dodać (lub odjąć).

20

30

35

40

45

Aby dodać (lub odjąć) ułamki trzeba je sprowadzić do wspólnego mianownika. Najłatwiej wspólny mianownik znajdziemy mnożąc mianowniki wszystkich ułamków:

25

AB

CD

A DB D

C BD B

AD CBBD

+ =⋅⋅

+⋅⋅

=+

Mnożymy licznik i mianownik każdego ułamka przez to samo wyrażenie (pierwszy przez D a drugi przez B) aby ułamki uzyskały taki sam wspólny mianownik.

Dodając dwa ułamki o tym samym mianowniku, możemy je połączyć w jeden ułamek. Kropki oznaczające mnożenie można opuścić.

Gdyby zamiast dodawania było odejmowanie ułamków wszystkie plusy trzeba zamienić na minusy.



34

5

10

15

20

25

30

35

40

45

A)

abcx

de x

b ec e x

d cc e x

b e d cc e x

= + = + =+

Dodając ułamki o tym samym mianowniku łączymy je w jeden ułamek.

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika cex.

abe dc

cex

ace x be dc ace

xbe dc

ace

=+

= +

=+

:

Otrzymane równanie przekształcamy dalej tak jak w przypadku (IV).C

B)

1 1 1x a b

ba b

aa b

b aa b

= + = + =+

Dodajemy ułamki sprowadzając je do wspólnego mianownika.

1x

b aa b

=+

xa b

b a=

+

Otrzymane równanie przekształcamy dalej tak jak w przypadku (III.)B. Można też „odwrócić” ułamki po obu stronach równania zamieniając licznik i mianownik miejscami.

Grzegorz Kornaś

Note

Pozostałych 9 możliwości przekształcania wzorów i rozwiązywania układu równań (str.35-39). Link do uzupełnień zabezpieczony hasłem00




40

5

10

15

b) wyrażenia wykładnicze

W fizyce często spotykamy liczby bardzo duże i bardzo małe, wypisywanie ich w tradycyjny sposób wymaga użycia czasami nawet kilkunastu czy kilkudziesięciu zer. Stosowanie liczb zawierających wiele zer jest bardzo uciążliwe i prowadzi do częstych pomyłek, dlatego w takich sytuacjach lepiej jest stosować zapis potęgowy.

Potęgowanie jest szczególnym przypadkiem mnożenia, gdy wszystkie czynniki są jednakowe:

a a a a an = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅K

n - czynników Liczba potęgowana (podstawa)

Wykładnik potęgi

Np. 4 4 4 4 4 4 10245 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Na lekcjach fizyki najczęściej potęgowaną liczbą jest 10. 20

30

35

40

(I.) – gdy wykładnik potęgowy jest liczbą naturalną: n = 1,2,3, … 10 10 10 10 10 1000 0n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =K K

n ⋅10 n- zer

25 Wyrażenie 10n , gdzie: n = 1,2,3,4, … oznacza liczbę całkowitą, która po jedynce ma n zer.

10 10000006 = ( )milion

6 zer

Np.

10 10000000009 = ( )miliard

9 zer

itd. (II.)- gdy wykładnik potęgowy jest liczbą całkowitą ujemną

101

10 10 10 101

1000 00 00 01− =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =n

K KK,

n ⋅10 n zer n zer



41

10

15

20

30

35

45

Wyrażenie 10 – n , gdzie n = 1,2,3,4, … oznacza liczbę mniejszą niż jeden, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego, który w liczniku ma 1, a w mianowniku 1 i n - zer. Można ją też zapisać w postaci ułamka dziesiętnego, który przed jedynką również ma n – zer (łącznie z jednym zerem przed przecinkiem).

5

Przykłady: 10

13− = = itd. (III.)- gdy wykładnik jest równy zero: n = 0 np. 25 Dowolna liczba podniesiona do potęgi zero równa się zawsze jeden. (IV.)- gdy wykładnik jest równy –1: np. Podnosząc dowolną liczbę (różną od zera) do potęgi –1 otrzymujemy odwrotność tej liczby. 40

101

1000000 000015− = = ,

5 zer 5 zer

(jedna stutysięczna)

a0

0

110 1

=

=

10000 001,

3 zera 3 zera

aa

−

−

=

=

1

1

1

101

10

(jedna tysięczna)



42 (V.)- gdy wykładnik jest równy

21 :

a a12

1210 10

=

=

5 np. Podnosząc dowolną liczbę do potęgi ½ otrzymujemy pierwiastek z tej liczby. 10 (VI.) Podstawowe działania na wyrażeniach wykładniczych ( )a ≠ 0 : 15

20

30

40

A) np.

a a am n m n

m n m

⋅ =

⋅ =

+

+n10 101010 10 1010 10 10

5 7 1

8 2 6

⋅ = 2

=− Mnożąc wyrażenia wykładnicze o takiej samej podstawie dodajemy ich wykładniki. 25 B) np.

aa

am

nm n

m

nm n

=

35 Dzieląc wyrażenia wykładnicze o takiej samej podstawie odejmujemy ich wykładniki.

=10

10

−

−10

( )

1010

10

1010

10 10

12

39

9

49 4 5= =

−

−− − − −

=


Grzegorz Korna

43

5

15

20

25

35

40

45

C)

ś Powtórka z fizyki www.fizyka.mnet.pl

np.

( )( )a am n m n

m n m n

=

=

⋅

⋅10 10 ( )

( )10 10

10 10

3 2 6

1 4 4

=

=− − Podnosząc to samo wyrażenie dwukrotnie do potęgi mnożymy obydwa wykładniki. 10 D) np. Gdy wyrażenie wykładnicze występuje w ułamku, można je przenosić między licznikiem a mianownikiem zmieniając znak przy wykładniku. 30 E)

nn

n

n

nn

n

n

n

n

cba

cab

cab

cba

−−

−−

−

−

==

==

⋅=

⋅

⋅=

⋅

101

1010

110

11

1010

110

10

101

10

22

33

−

−

=

=

( )

n

nn

nnn

ba

ba

baba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=⋅

ba

ba

baba

ndla

=

⋅=⋅

= :2

1



44

5

( )

( ) nnn

nnn

baba

baba

−≠−

+≠+

baba

baba

−≠−

+≠+ Suma (lub różnica) dwóch wyrażeń podniesiona do dowolnej potęgi nie jest równa sumie (lub różnicy) tych wyrażeń podniesionych do potęgi. 10 Pierwiastek z sumy (lub różnicy) dwóch wyrażeń nie jest równy sumie (lub różnicy) pierwiastków. 15 c) podstawy geometrii

(I.) Przydatne twierdzenia A) Twierdzenie Pitagorasa 20 a2 + b2 = c2 Suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

B) Suma kątów w dowolnym trójkącie wynosi 1800. 25

30

35

kąt prosty 900

przeciwprostokątnac

b przyprostokątna

.a

przyprostokątna

C) Równość dwóch kątów zachodzi:

gdy ich ramiona są wzajemnymi przedłużeniami (kąty wierzchołkowe): α = β γ = δ

β

δ

γ

α

Grzegorz Kornaś

Text Box

Animacja: równe katy.

http://www.walter-fendt.de/m14e/anglesum.htm



45

5

10

20

25

30

35

40

45

gdy ich ramiona są wzajemnie do siebie prostopadłe: α = β

β

α

(II.) Przydatne wzory: 15 - pole powierzchni trójkąta

- pole powierzchni kwadratu, pole powierzchni prostokąta

- pole powierzchni koła S, długość okręgu l

h

a Długość podstawy

wysokość

S a h= ⋅12

a

a

S a= 2

r r – promień koła

S r= ⋅π 2 π = 3,14

S a b= ⋅a

b

l r= ⋅ ⋅2 π

r r – promień okręgu

π = 3,14



46

- pole powierzchni kuli, objętość kuli 5

10

15

20

25

30

35

40

45

V r=43

3πS r= 4 2π

Zapamiętaj podane wyżej twierdzenia i wzory – ich znajomość jest konieczna do rozwiązywania zadań z fizyki.

(III.) Wykresy podstawowych funkcji Zależności między różnymi wielkościami fizycznymi są podawane nie tylko przy pomocy wzorów, lecz bardzo często są również ilustrowane wykresami, stąd konieczność znajomości wykresów podstawowych funkcji. A) Wykresy funkcji liniowej

y = const

x

y

0

x = const

x

y

0

Wykresy funkcji stałej a) b)

y

0 x

α

y a x= ⋅

Wykresy funkcji liniowej rosnącej

y a x b= ⋅ + α

0 x

b y a x b= ⋅ −

-bα

y ab

>>

00

a) b)

a tg= α

kąt nachylenia prostej współczynnik kierunkowy prostej



47

y

0 x

y b a x= − ⋅ α

5

10

15

20

25

30

Wykresy funkcji liniowej malejącej

α

a)

y a= − ⋅ x

x

y

0

b

b)

a tg= α

kąt nachylenia prostej współczynnik kierunkowy prostej

B) Wykresy funkcji kwadratowej

0

y

x

y a x b x= +2

0,0 >> ba parabola

y

0 x

2xay =

y

x

parabola

y a x b x= +2

Wykresy funkcji kwadratowej – parabola ustawiona ramionami do góry a) b)

35

40

45

y

0 x

y a x b= − +2 x

Wykresy funkcji kwadratowej – parabola ustawiona ramionami w dół



48

5

10

15

20

25

C) Wykresy pierwiastka kwadratowego z funkcji liniowej

a > 0y

y a x=

0 x

Wykresem pierwiastka jest połowa poziomej paraboli. D) Wykres proporcjonalności odwrotnej

a > 0

y

0 x

yax

=

ujemna gałąź hiperboli

dodatnia gałąź hiperboli

Wykresem zależności odwrotnie proporcjonalnej jest hiperbola. 30

35

40

45

E) Wykresy funkcji trygonometrycznych przedstawione są poniżej.

Grzegorz Kornaś

Note

Na stronie 51



49

5

10

d) podstawowe wiadomości z trygonometrii

(I.) Definicje funkcji trygonometrycznych

a

kąt prosty 900

przeciwprostokątna przyprostokątna

α

przyprostokątna

c

b .

Sinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do przeciwprostokątnej.

sinα =ac

Cosinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przeciwprostokątnej.

cosα =bc

Tangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do drugiej przyprostokątnej.

tgab

α =

15 Cotangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do drugiej przyprostokątnej. Funkcja ta nie występuje na lekcjach fizyki.

ctgba

α =

(II.) Przydatne wzory

A) Związki między funkcjami trygonometrycznymi: 20

1cossin 22 =+ αα (Jedynka trygonometryczna)

tgααα

=sincos ctgα

αα

=cossin

B) Sinus podwojonego kąta α: 25

30

C) Wzory redukcyjne (tylko te, z którymi możesz się spotkać na lekcjach fizyki):

sin sin cos2 2α α α= ⋅

( )sin cos900 − =α α( )cos sin900 − =α α



50

5

10

15

D) Przybliżenia stosowane w fizyce:

Dla małych kątów (α < 60) można przyjąć:

sinα α α≈ ≈tgWartość kąta wyrażona w radianach

(III.) Wartości funkcji sinus i cosinus dla wybranych kątów Wartości funkcji sinus i cosinus dla kątów 00, 300, 450, 600, 900 koniecznie

musisz znać na pamięć, gdyż tylko te kąty występują w zadaniach tekstowych. Ich zapamiętanie ułatwi Ci poniższe zestawienie:

sin 00 =

02

= 0 = cos 900

sin 300 =

12

=12

= cos 600

sin 450 =

22

= 22

= cos 450

sin 600 =

cosinus przyjmuje te same wartości co sinus, tylko w odwrotnej kolejności

32

= 32

= cos 300

sin 900 =

= cos 004

2= 1

Wszystkie wartości mają postać ułamków, w mianownikach jest wszędzie 2, a w licznikach pierwiastki z kolejnych liczb: 0, 1, 2, 3, 4.

20 Przy pomocy powyższej tabeli możesz również uzyskać wartości funkcji tangens podstawiając odpowiednie wartości do wzoru:

tgααα

=sincos np. tg 45

4545

222

2

100

0= =sincos

=

25

30



51(IV.) Wykresy funkcji trygonometrycznych

Wykres funkcji sinus 5

10

15

20

Wykres funkcji cosinus

Na osi poziomej wartość kąta podano w radianach gdyż, jak pamiętamy, jednostką kąta płaskiego w układzie SI jest radian. Aby stopnie kątowe zamienić na radiany korzystamy z proporcji:

360 2360 2

1 2 3

0

0

= ⋅

=⋅

=

ππ

rad

n nrad n , , ,K

25

30

Przykłady: 1800 = π rad 900 = π/2 rad → itd.

Grzegorz Kornaś

Note

Matematyka na lekcjach fizyki Link do uzupełnień zabezpieczony hasłem00




1.7. Rozwiązywanie zadań – wskazówki ogólne Jeśli rozwiązywanie zadań z fizyki sprawia Ci trudności postaraj się postępować według podanych niżej wskazówek: a) przeczytaj uważnie treść zadania, zwróć uwagę o jakich zjawiskach fizycznych

jest tam mowa, b) wypisz wszystkie dane i szukane wielkości, c) zrób prosty, schematyczny rysunek, zaznacz na nim wielkości, o których jest

mowa w zadaniu. W przypadku skomplikowanej i zawiłej treści rysunek pozwala łatwiej zrozumieć zadanie i znaleźć związki między różnymi wielkościami,

d) wypisz wzory opisujące zjawisko występujące w zadaniu, w których występują wielkości podane i szukane,

e) łącząc i przekształcając wzory (tak jak opisano w rozdziale 1.6.a) wyprowadź wzór końcowy. We wzorze końcowym po lewej stronie jest tylko niewiadoma, a po prawej tylko znane wielkości,

f) zanim podstawisz dane do wzoru końcowego, zwróć uwagę na jednostki. Często trzeba je przeliczyć na jednostki główne układu SI (tak jak opisano w rozdziale 1.2.e),

g) po ewentualnym przeliczeniu jednostek podstaw dane do wzoru końcowego łącznie z jednostkami,

h) w przypadku skomplikowanych obliczeń zrób najpierw działanie na jednostkach, wypisz same jednostki ze wzoru końcowego i korzystając ze związków między jednostkami (rozdział 1.2.d) oblicz jednostkę końcową. Sprawdź, czy uzyskana jednostka zgadza się z obliczaną niewiadomą (jeśli nie – w rozwiązaniu jest błąd i musisz go odszukać),

i) na końcu wykonaj obliczenia. W przypadku bardzo dużych lub bardzo małych liczb wykorzystaj zapis potęgowy (opisany w rozdziale 1.6.b). Zwróć uwagę czy otrzymany wynik ma sens i podaj odpowiedź do zadania.

W niektórych działach fizyki występują zadania, które mają własny, specyficzny sposób rozwiązania. Omówimy je w kolejnych rozdziałach.

Grzegorz Kornaś

Note

Link do uzupełnień z wiadomości wstępnych


dla uczniów gimnazjów, - fizyka online wst.pdf · pojęcia, definicje, wzory, jednostki, wykresy....

Documents