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12Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 1.1Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura.Resolucin:a) Descomposicin de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE.b) Clculo de las reacciones.Tomamos momentos respecto al punto C:0cM N 3 , 33 - = N31000 800 2 600 3 600 6

AV AVR RSuma de fuerzas verticales y horizontales:N3190060031000 600 0 CV CV AV VR R R FN 600 0 AH HR FN 600222 600N 600222 600 VHFFEjes globalesABCED600 2N45o3 m 3 m 2 m2 m800 NmABCED600 N600 NRAVRAHRCV800 Nm1 Diagramas de esfuerzos13c) Clculo de momentos en los tramos AB y BC.TramoAB:Nm 100 03100) ( B A AVM M x x R x MTramo BC:Diagramas.Equilibrio del nudo B.Nm 800 2 600 3 600 63100Nm 1100 1200 0 331002 600 ) 3 ( 600 ) (

CBAVMMx x R x M600 N600 N600 N31900 NB100/3 NBEAB C D+600 N600 NABC DBE - - +1200 Nm-100 Nm-800 NmABC DBE +600 N19003 N-NTM1100 Nm--N3100 14Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 1.2Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida auna carga repartida triangular.Resolucin:a) Clculo de la reacciones.Resultante de la carga N 480026 1600

Q .N 1600N 320064 48004 4800 6 04800

ABB AB ARRR MR RA B6 m4 m 2 m4800 NRBRA6 mA BxmN1600T61 Diagramas de esfuerzos15b) Clculo de los esfuerzos de seccin.Seccin situada a una distancia x del apoyo A:T:2020 012160016002 616001600616001600 1600x Td d q Txx x =((

= = =) ) M:( ) ( )6 6160016003 2 6160016003 2 616001600616001600 16003 3 303 20 0xxx xx Mx x Md x x d x q x Mxx x =||.|

\|||.|

\| =(((

||.|

\| = = =) ) L = 6 mA BxmN16001600 N 3200 N x-d16Resistencia de materiales. Problemas resueltosc) Diagramas.d) Punto de MmxNm 3695 46 , 312160046 , 3 1600m 46 , 3 121216001600 002mx2 o wwMx x TT TxM 1600 N 3695 Nm 3200 N AT-M++1 Diagramas de esfuerzos17Problema 1.3Determinar los diagramas de esfuerzos del prtico inclinado de la figura.Resolucin:Para el clculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la esttica.N 2 300 0 2 2 200 2 2 400 4 0N 2 400 00 2 200 0 C C AAH HC AV VR R MR FR R FN 2 200N 2 4002 m2 m 2 m45qCBA2 2002 400CBARAVRCRAH18Resistencia de materiales. Problemas resueltospor tanto,N RAV2 100y descomponiendo cada reaccin en las direcciones de las barras,DiagramaDiagramaDiagrama2 4004004004004002 400100100100 1002 1002 1003003003003002 3002 300N+ -CAB500 N-300 NT+ -CAB300 N300 NM1 Diagramas de esfuerzos19M = 300 xNm 2 6000

BAMMM = 300 xNm 2 6000

BCMMMtodo alternativo para hallar las reacciones: resolucin grfica.Paraquelastresfuerzasestnenequilibrio,suslneasdeaccindebencruzarseenpuntoO(yaque00

M ). A partir de la lnea de accin vertical de RC, se obtiene O.ABx+CB300 Nx+2 2002 400CBRARCFGFGRCRA// OA// OC20Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 1.4Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura.Resolucin:Clculo de las reacciones:N 6133N 4467 8 3000 6 3 6 600 2 4000 :0 3000 6 600 4000 :

BC C BC B VRR R MR R FDiagrama de momentos flectores:Tramo AB:Nm 8000 04000

B AM Mx MTramo BC: Nm 6000 Nm 800022600 2 6133 40002

C BM Mxx x MTramo CD: 0 Nm 60008 4467 5 6 600 2 6133 4000

D CM Mx x x x MDiagrama de esfuerzos cortantes.Tramo AB:N 4000 N 4000N 4000 B AT TT4000 N 3000 NP1AP2 BCDp = 600 mlNa = 2 m L = 6 m b = 2 m1 Diagramas de esfuerzos21Tramo BC: N 1467 N 21332 600 6133 4000

C BT Tx x TTramo CD:N 3000 N 30004467 3600 6133 4000

D CT TTEl diagrama de momentos flectores pasa por un mnimo relativo en el punto E, donde la tangente eshorizontal, o sea:m 35 , 5 0 2 600 6133 4000 : 0 wwE Ex x TxMME = -4208 NmD-8000-60002133-4000 -40003000 3000-1467M( Nm )( N ) T---++ExEABCa = 2 m L = 6 m b = 2 m22Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 1.5Enlavigaenvoladizodelafigura,calcularlasreaccionesenelempotramientoydibujarlosdiagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en toda la viga.Resolucin:a) Reacciones en el empotramiento.Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagramade slido libre y obligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos:

m KN 22 2 10 5 , 0 4KN 14EEMF Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga.1 m 1 m 2 m0,5m4 KN5 KN/m2 m0.5m4 KNFE10 KNME1 m 2 m0.5m4 KNFEME5 KN/m1 Diagramas de esfuerzos23b) DiagramasTramo AB: M = 0 T = 0Tramo BC: KN 100 KN 1 500 m KN21522

CBCBTT x TMMxM1 m 2 m0,54 KN5 KN/m0,5-+M TE D C B Ax24Resistencia de materiales. Problemas resueltosTramo CD: KN 10KN 10 KN 10m KN 15m KN 10 m KN 2 10

DCDCTT TMM x MTramo DE: KN 14KN 14 KN 14 4 10m KN 22m KN 15 m KN 5 , 3 4 2 10

EDEDTT TMM x x MEstos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de la derecha, porque eneste caso,es ms cmodo. Si se determinan los diagramas tomando el origen de las x en el extremo dela izquierda E, tal como se hace habitualmente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idntico;pero el diagrama de esfuerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado).26 Resistencia demateriales. Problemas resueltosProblema 2.1Tenemosunabarrargidaqueestsuspendidapordoscablesdeigualdimetro4 mm,ycuyosmdulos de elasticidad son: E1=2.1105 MPa y E2=0.7105 MPa. La longitud de la barra es de 600 mmyladeloscables300mm.Seconsideradespreciableelpesopropiodelabarra.Dichabarraestsometida a una carga puntual P=500 N.Calcular la posicin x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso.Resolucin:Dibujamos el diagrama de slido libre y obligamos el equilibrio. Adems imponemos la igualdad dedeformaciones.0 ) ( 00 x L P L R MP R R FA BB A V P=500 NAB600 mmx300 mm4 mm4 mm E1 E2 P=500 NABRARB'LB'LA2Esfuerzo normal27N 375 N 1254500500 3370000210000: Hooke de Ley212 1

''A B B BB AB BAB B A AB AR R R RR RREE RRE SL RE SL RL LDe la ecuacin de los momentos obtenemos x:mm 150 0 ) 600 ( 500 600 3750 ) ( x xx L P L RA28 Resistencia demateriales. Problemas resueltosProblema 2.2En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremosA y D estn empotrados. Determinar lastensiones en ambas secciones, cuyas superficies son: Aa=40 cm2 y Ab=80 cm2 .Hallar tambin el diagrama de esfuerzos axiles.Datos: E=2105 MPa.Resolucin:FV 0RA+ RD= 15 T = 150000 NEcuacin de deformacinEltramoACestcomprimido,portantoRAesunesfuerzodecompresin,yeltramoCDesttraccionado, por lo que RD es un esfuerzo de traccin.Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variacin total de longitud es 0; y el acortamiento deltramo superior es igual al alargamiento del tramo inferior:CD BC ABL L L '''Aplicando la ley de Hooke: 'LF LA E

bCD DbBC AaAB AA EL RA EL RA EL R

BC1 m3 m1 m 15 TA Aa=40 cm2 Ab=80 cm2D2Esfuerzo normal292 5 2 5 2 510 80 10 2100010 80 10 2300010 40 10 21000

D A AR R R1000 3000 2000 D A AR R R Resolviendo las ecuaciones, tenemosT 5 12 N 125000T 5 2 N 25000. R. RBA Clculo de las tensiones.Tramo AB:(COMP.) MPa 25 . 6mm 10 40N 250002 2

ABVTramo BC:(COMP.) MPa 125 . 3mm 10 80N 250002 2

BCVTramo CD:(TRAC.) MPa 625 . 15mm 10 80N 1250002 2

CDVDiagrama de esfuerzos normales:ABC1 m3 m1 m 15 TDRARDABCD2.5 T12.5 T-+30 Resistencia demateriales. Problemas resueltosProblema 2.3a) Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acero, de 2 cm de dimetro y de 3.5 mdelongitud,soportanunpesoP=5KN.CalculareldescensoGdelpuntoC,siendoD=20.Datos: E=2,1105 MPa.b) Resolver para D=0.Resolucin:a) Para D=20:Del equilibrio del punto C se obtieneDDsen 22senPNPN

Sea G(CC1)eldescensodelpuntoC,entonceselalargamientodelabarraAC,'L,serCC1pudiendoconsiderarseeltringuloCCC1rectnguloenC.Aques DGsenL ' .Comoporotraparte:EANLL', se tiene que:mm 13 , 134202 . 0 10 14 , 3 10 1 . 2 23500 5000sen 2 sen2 2 5 2

D DGEAPLEANLb) Para D=0:N PDNEquilibrio del punto CNNDPD A B C PL LEC1G PL LCD CC1GA B2Esfuerzo normal31De acuerdo con la esttica de los sistemas rgidos, descomponiendo la fuerza P en las direcciones delas barras, se encontraran, para los esfuerzos en las barras y para las reacciones, valores infinitamentegrandes. La solucin evidentemente es inaceptable, ya que ni las barras ni los apoyos resistiran.A fin de hacer desaparecer la aparente imposibilidad basta con considerar los alargamientos de lasbarras que toman direcciones no alineadas. Esto demuestra la necesidad de tener en cuenta lasdeformaciones en este caso.Poniendo o= tgL (para ngulos pequeos)el alargamiento de las barras vale21 1 1 1ACAC AC2222 21o or = - - - (,

- - --L LL LEsta ltima igualdad proviene de la expresin:( ) !128516181211 1 14 3 2 2 1 - - a a a a a aPara a