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U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D EI N G E N I E R I AF I E C SE P I E S 2 0 1 0 I IQuispe Ortiz Luisa E.20074529J Jimnez Palomino Grace 20071356G La inferencia estadstica, es una de las ms usadas herramientas, y como parte de esta se estudiarael contraste de hiptesis. En el trabajo, se presenta la prueba respectiva desde la perspectiva bayesiana. PRUEBA DE HIPOTESIS BAYESIANA PARA UNA MEDIA PRUEBA DE HIPOTEISIS BAYESIANA PARA LA MEDIA 2 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFIECS PRUEBA DE HIPOTEISIS BAYESIANA PARA LA MEDIA 3 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFIECS INTRODUCCION Enelpresentetrabajo,presentaremosladefinicin,metodologaydesarrollodel contraste de hiptesis para una media desde un enfoque bayesiano. Previamente, a modo de comparacin, presentaremos en la primera seccin un breve resumen del contraste de hiptesisdesdeunenfoquefrecuentista.Adems,seharunaexplicacindelusodela funcin de prdida (consideraremos en el presente documento, para efectos prcticos, las funciones de prdida cuadrtica y de prdida absoluta).Luego, en la segunda seccin se explicar el desarrollo de una prueba de hiptesis bayesianageneral,tratandoenestepuntoladefinicindelosratiosdeprobabilidadesa prioriyaposteriori,elfactordeBayesycmoprocederanteunapruebaunilateraly bilateral. Enlaterceraseccin,presentaremoslapruebadehiptesisbayesianaparauna media en el caso binomial considerando un contraste de tipo unilateral y bilateral. Luego, enlacuartaseccin,sedetallarlapruebadehiptesisbayesianaparaunamedia,esta vezen elcasonormal.Enestecaso,debemosconsiderarsilavarianzaesconocidao no. Demanerasimilar,enestaseccinsepararemosloscasosdecontrastesunilateraly bilateral. Enlaquintaseccin,amododecomparacin,sepresentarnlassimilitudesy diferencias del contraste de pruebas de hiptesis desde los enfoques mencionados lneas arriba:enfoquebayesianoyfrecuentista.Enlasextaseccin,sedetallarnlas conclusionesalascualeshemosllegado,luegodeunaextensivarevisindebibliografas del presente tema.Para finalizar, en la stima y ltima seccin enumeraremos cada uno de los libros y sus respectivos autores que hemos considerado los ms pertinentes y coherentes para la exposicin del presente tema. PRUEBA DE HIPOTEISIS BAYESIANA PARA LA MEDIA 4 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFIECS INDICE 1.DEFINICIONES PREVIAS ........................................................................................................................ 6 1.1.ESTADSTICA PARAMTRICA FRECUENTISTA ................................................................................................ 6 1.1.1.Teorema: Test Optimo ............................................................................................................. 7 1.1.2.Lema de Neyman- Pearson ...................................................................................................... 8 1.2.FUNCIN DE PERDIDA ........................................................................................................................... 10 1.2.1.Funcin de perdida Cuadrtica ( o error cuadrtico) ............................................................ 10 1.2.2.Funcin de prdida absoluta ................................................................................................. 10 2.PRUEBA DE HIPOTESIS BAYESIANA GENERAL .................................................................................... 12 2.1.HIPTESIS GENERAL ............................................................................................................................. 12 2.1.1.DefinicinRatio de probabilidadesa priori y posteriori ..................................................... 12 2.1.2.Factor de Bayes ...................................................................................................................... 13 2.2.REGLA PRACTICA PARAPRUEBA DE UNA COLA .......................................................................................... 14 2.3.QU HACER CUANDO SE TIENE PRUEBAS DE DOS COLAS? ........................................................................... 15 2.4.HIPTESIS ALTERNATIVAS CONJUNTAS O SIMULTANEAS .............................................................................. 17 3.PRUEBA DE HIPOTESIS BAYESIANA PARA UNA MEDIA: CASO BINOMIAL ........................................... 19 3.1.PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA ....................................................................................................... 19 3.2.PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS ...................................................................................................... 20 4.PRUEBA DE HIPOTESIS BAYESIANA PARA UNA MEDIA : CASO NORMAL ............................................ 20 4.1.NORMAL CON VARIANZA CONOCIDA ....................................................................................................... 20 4.1.1.Prueba de Hiptesis Bayesiana Bilateral para la media................................................... 20 4.1.2.Prueba de Hiptesis de una cola o unilateral ....................................................................... 21 4.2.NORMAL CON VARIANZADESCONOCIDA ............................................................................................. 27 4.2.1.Regla ...................................................................................................................................... 28 5.SIMILITUDES Y DIFERENCIAS .............................................................................................................. 30 5.1.SIMILITUDES ....................................................................................................................................... 30 5.2.DIFERENCIAS ....................................................................................................................................... 30 6.CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 31 7.BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................... 32 PRUEBA DE HIPOTEISIS BAYESIANA PARA LA MEDIA 5 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFIECS PARTE I: DEFINICIONES PREVIAS PRUEBA DE HIPOTEISIS BAYESIANA PARA LA MEDIA 6 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFIECS PRUEBA DE HIPOTESIS BAYESIANA PARA LA MEDIA 1.DEFINICIONES PREVIAS 1.1.Estadstica paramtrica frecuentista Sabemosquelaestadsticabayesiana,trabajaconsiderandounainformacinprevia, contrastadaconlaestadsticaclsicaofrecuentistadondelasdecisionessetoman considerando meramente la informacin muestral tomada. Aspues,consideramosnecesariorecordarunpocodelainferenciaestadsticaclsica, especficamentedelapruebadehiptesisclsica,conelfindepoderrealizar comparacionesposteriormente,ascomodeusaralgodelateorafrecuentistaenel desarrollo explicativo a darse en el contraste de hiptesisbayesiano. SabemosquelapruebadehiptesisclsicavienedeltrabajopionerodeNeymany Pearson hacia el ao 1928. Supongamosquequeremosdecidirquehiptesisaceptar,entoncestomaremosuna muestraaleatoriadetamaon,talque

sontomadosdeunapoblacin cuyo parmetro desconocido es. Enelcasoqueconsideramos,elespacioparametral( sedivideendos,segnlas hiptesis a contrastar. Asi, considerando las siguientes hiptesis y sus respectivos espacios relacionados, se tendra matemticamente:

El problema radica en determinar en qu regin se halla , considerandolas regiones

y

disjuntas. Definimosadems,elpoderdepruebacomocomolaprobabilidadderechazarla hiptesis nulasiendo esta falsa.Sea aparte, C la regin critica, es decir la regin donde se rechaza la hiptesis nula. Esto es: Y veremos que el nivel de significanciade la prueba a realizar esta dado por la expresin matemtica:

PRUEBA DE HIPOTEISIS BAYESIANA PARA LA MEDIA 7 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFIECS Dondesenotaclaramentequeconelobjetodeminimizarelniveldesignificanciase utiliza por practicidad la igualdad. Si denotamos al test por el operador, , pueden cometerse dos clases de errores: el error tipo Iconocido por el operador , asi como el error tipo IIidentificado con. ElerrortipoI,secometecuandoserechazalahiptesisnula,apesardequeestaes cierta. Similarmente el error tipo II se comete cuando se acepta la hiptesis nula, dado que estaesfalsa.Estoimplicaasuvezunarelacinconelpoderdeprueba,esdecir:

. Definidos estos conceptos pasaremos a la teora en si misma de la estadstica clsica. Comovemos,esidealminimizarlosdostiposdeerroressimultneamente,peroenla prcticaestoesmuydifcilderealizar.Seve,entonces,comoalternativaminimizar combinaciones lineales de y. 1.1.1.Teorema: Test Optimo Seaunamuestraaleatoria

de,conlashiptesisya planteadas.Seatambinlapruebade

contra

,talque

esaceptadasi

,yrechazadasiesmenora1(Encasodeigualdadnosepuedetomar decisin). Donde

. Luego, cualquier otro test cumplir:

Donde y sonlasprobabilidadesdecometererrortipoIytipoIIenla prueba , respectivamente,para cualquier valor de

. Prueba Comosedijoanteriormente,seaClareginderechazoocritica,decualquiertest arbitrario , y

.

PRUEBA DE HIPOTEISIS BAYESIANA PARA LA MEDIA 8 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFIECS Minimizar la combinacin lineal planteada, equivale a quese escojan puntos tal que

.Estoquieredecirquelaminimizacindelacombinacinlineal,se lograrasilaregincriticaC,tienesolopuntosquecumplanlayamencionada relacin. El ratio

, es llamado ratio de verosimilitud, y ser usado para ver el rechazo o no de las hiptesisplanteadas,especficamentedelanula.Comosenota,esusualqueelnivelde significancia sea el que ms se minimiza, por ello es que se usa este valor en los contrastes, pero se busca minimizar tambin el error II, esto se plasma en el lema siguiente. 1.1.2.Lema de Neyman- Pearson Seaunamuestraaleatoria

de,conlashiptesisya planteadas. Sea tambin la prueba de

contra

, tal que

es no