CONTENIDO

PRLOGO 7 1. NMEROS REALES 9

1.1 Nmeros reales. 11 1.2 Intervalos. 16 1.3 Inecuaciones 18 Ejercicios y problemas 20

2. FUNCIONES 23

2.1. Funciones. 25 2.2. Funciones lineales. 32 2.3. Funciones potenciales. 40 2.4. Funciones exponenciales. 46 2.5. Funciones inversas. 58 2.6. Logaritmos. 64 2.7. Construccin de funciones a partir de otras ya conocidas. 74 2.8. Funciones trigonomtricas 82 2.9. Funciones polinomiales y racionales. 95 Ejercicios y problemas 97

3. LA DERIVADA 121

3.1. Como medir la velocidad o rapidez de cambio. 123 3.2. Razn de cambio instantnea: la derivada en un punto. 134 3.3. La funcin derivada. 141 3.4. Uso de la derivada para estimar valores de una funcin. 152 3.5. Uso de la derivada en el estudio de curvas. 158 3.6. Aplicacin de la derivada al clculo de lmites. 171 Ejercicios y problemas 173

4. LA INTEGRAL 193

4.1. Rapidez de cambio acumulada. 195 4.2. Antiderivadas-La integral indefinida. 198 4.3. La integral definida. 209 4.4. Teorema Fundamental del Clculo Integral. 213 4.5. Relacin entre la integral definida y rea. 219 4.6. El Teorema del Valor Medio para integrales. 223 4.7. Integracin numrica. 226 Ejercicios y problemas 233

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Notas sobre ecuaciones diferenciales. 245 Anexo 255 Frmulas de reas y volmenes de algunas figuras 255 Frmulas y relaciones trigonomtricas 257 BIBLIOGRAFA 259

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PRLOGO Esta gua de estudio surge como una propuesta de cambio en el enfoque de la asignatura Matemtica 1, que se dicta para diversas carreras de la Facultad de Qumica, Bioqumica y Farmacia de la Universidad Nacional de San Luis. A partir de la lectura de varios libros de matemtica para cursos de este nivel y en la bsqueda de estrategias orientadas a promover un cambio de actitud del alumno hacia la matemtica, se fue gestando la idea concretada en este material. La idea que subyace en este intento es describir lo estrictamente necesario, para un primer curso de matemtica orientada a alumnos de carreras como las mencionadas, cubriendo los contenidos mnimos: funciones, derivadas, integrales y ecuaciones diferenciales. Esta es una gua terico prctica, elaborada a partir de diversos textos e ideas propias, contemplando el hecho de que la matemtica para estos alumnos, es una herramienta de trabajo y no su mundo de trabajo; teniendo presente adems, que la matemtica modeliza las situaciones reales y las resuelve generalmente en forma aproximada. Para la enseanza tradicional de la matemtica, podr notarse falta de precisin en algunos conceptos y quizs la ausencia de una buena cantidad de teoremas. La intencin es un abordaje dinmico de los contenidos, seguido de una pronta aplicacin, apuntando a que el alumno pueda reconocer la herramienta matemtica involucrada en el problema. Se tratan slo los temas que por cuestiones fundamentalmente de tiempo, pueden ser desarrollados durante el curso, con la esperanza de despertar en el alumno el inters por la bsqueda de bibliografa matemtica para la ampliacin de los mismos. Los temas se presentan desde tres puntos vista: algebraico, grfico y numrico, tratando de proporcionar conocimientos de matemtica a la vez que se presentan problemas relacionados con las ciencias experimentales. La gua consta de 4 captulos, notas sobre ecuaciones diferenciales y un anexo. Cada captulo contiene una cantidad adecuada de ejercitacin sobre los temas que se desarrollan. El captulo 1 trata brevemente temas como propiedades de los nmeros reales, conjuntos y desigualdades. La finalidad de este captulo slo es remarcar los conceptos que usamos con ms frecuencia y comenzar con el manejo de un lenguaje matemtico comn entre profesor y alumno. El captulo 2 describe con bastante detalle las funciones bsicas del tipo: lineales, exponenciales, potenciales, logartmicas, trigonomtricas y racionales, organizadas en familias de funciones. Se insiste en la comprensin del comportamiento de cada familia, la comparacin entre los miembros de la misma familia y a veces con los de otra y el anlisis del rol jugado por los parmetros que intervienen en sus frmulas. Motiva este enfoque la posterior aplicacin en estimacin de errores al momento de usar mtodos numricos para realizar clculos aproximados. En la mayora de los casos se usan problemas concretos modelados por la familia que se estudia, para introducir o ejemplificar el tema. El captulo 3 desarrolla la derivada partiendo del concepto de velocidad y en ese contexto se trata el concepto de lmite de funciones. Se introducen aqu los primeros clculos en forma numrica para hallar aproximacin numrica de lmites, pendientes, etc. Los temas van introducindose an cuando no se tengan visto todos los conceptos para su desarrollo y luego se retoman con la finalidad de ir integrndolos. El captulo 4, desarrolla la integral. Se introduce el concepto continuando la modalidad del captulo 2. Slo se tratan los mtodos bsicos para el clculo de antiderivadas y se orienta al

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alumno al uso de tablas de integracin para los otros casos. Se considera que en las ciencias experimentales, es ms importante detectar la situacin en la que es necesario el clculo de una integral que conocer todos o muchos mtodos de integracin exacta. Existe una buena cantidad de software que se ocupan de la resolucin misma y la posibilidad de su uso. Se muestran aplicaciones tendientes a profundizar el entendimiento del Teorema Fundamental del Clculo. Tambin aqu se introduce un mtodo elemental para el clculo aproximado de integrales definidas y problemas de aplicacin. Se incorpora una brevsima introduccin a las ecuaciones diferenciales ordinarias integrando los temas desarrollados y aplicando su resolucin a problemas de las ciencias propias de las carreras a las cuales se ofrece el curso. Para concluir, se espera que sta sea realmente una gua de estudio verstil y amena, para cumplir en forma integral con el aprendizaje del alumno, cubriendo las expectativas del curso en lo que hace al conocimiento y comprensin de conceptos bsicos, reconocimiento de la matemtica dentro del problema mismo y bsqueda de bibliografa adecuada para la ampliacin de conocimientos en temas especficos.

Agradecimientos Deseo expresar mi agradecimiento a las personas que revisaron este material durante las distintas etapas de su elaboracin, en especial a la Mg. Ana Mara Giunta, Profesora Adjunta de la asignatura Matemtica 1, al Lic. Hugo Alvarez Profesor Titular del Departamento de Matemtica, como as tambin a mis auxiliares de Matemtica 1: Mg. Claudia Ridolfi, Prof. Gabriela Ranzuglia y Prof. Olga Vanucci del Departamento de Matemtica, quienes colaboraron recopilando ejercicios y problemas de cada tema, adecuados a la modalidad implementada. Agradezco tambin al Lic. Vicente Fusco, Secretario de Innovacin y Desarrollo de la Facultad de Cs. Fsicas, Matemticas y Naturales por incentivarme a publicar este material y apoyarme en esa tarea.

Mg. Gloria Simonetti

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PRLOGOAgradecimientos