4 · web viewhere, l is the inductance and r resistance of the rotor winding, kt is the torque...
TRANSCRIPT
Katedra Mechaniki Maszyn Włókienniczych Politechnika Łódzkahttp://www.bhp-k412.p.lodz.pl/
Department of Textile Machine Mechanics Lodz University of Technologyhttp://bhp-k412.p.lodz.pl/k412/index.htm
MECHANIKA MASZYN Komputerowe Modelowanie Maszyn
Szkic wykładu i laboratorium komputerowego
Prof. dr hab. inż. Jerzy Zajączkowski
MACHINE MECHANICSComputer Modelling of Machines
Outline of lecture and computer lab
Professor Jerzy Zajaczkowski
Programy komputerowe C++ Builder implementujące algorytmy opisane w tym podręcznikuComputer programs C++ Builder implementing algorithms described in this book
https://sites.google.com/site/occupationsafe/Computer programs: progr.zip
Book: mmpoleng.docx
http://bhp-k412.p.lodz.pl/progr/programowanie.htmhttp://bhp-k412.p.lodz.pl/progr/programming.htm
Translationhttp://translate.google.pl/
Łódź 2007..2015Lodz 2007..2015
Jerzy Zajączkowski
Słowa kluczowe: teoria mechanizmów i maszyn, dynamika maszyn, mechanizmy dźwigniowe, mechanizmy krzywkowe, dynamika nieliniowa, systemy elektromechaniczne.
Keywords: mechanism and machine theory, machinery dynamics, linkage mechanisms, cam mechanisms, nonlinear dynamics, electromechanical systems.
Wydanie elektroniczneElectronic editionhttp://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmpoleng.pdfhttp://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmpoleng.dochttp://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmpoleng.docxhttp://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmpoleng.htm
https://sites.google.com/site/occupationsafe/Book: mmpoleng.docxComputer programs: progr.zip
Katedra Mechaniki Maszyn WłókienniczychPolitechnika Łódzka Żeromskiego 116, 90-924 Łódź, Tel./fax. (0 42) 631 33 84
Department of Textile Machine Mechanics Lodz University of Technology116 Zeromskiego Street, Lodz, Poland
[email protected]@op.pl
Część pierwszą stanowi podręcznik: Maszynoznawstwo - Jerzy Zajączkowski
The first part is the textbook: Machine Elements and Safety by Jerzy Zajaczkowski
http://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmk.htm
Prawa autorskie zastrzeżone. Kopiowanie, drukowanie i nieodpłatne rozpowszechnianie jest dozwolone, pod warunkiem zamieszczenia nazwiska autora niniejszej publikacji.©Copyright: Jerzy ZajączkowskiŁódź, 2007..2015
All rights reserved. Copying, printing and free distribution is permitted, provided that the name of the author of this publication will be shown.©Copyright: Jerzy ZajaczkowskiLodz, 2007..2015
2
Jerzy Zajączkowski
SPIS TREŚCI
1. Kinematyka mechanizmów 2. Dynamika maszyn o ruchu zmiennym3. Mechanika manipulatorów4. Drgania układów mechanicznych5. Dynamika układów nieliniowych
TABLE OF CONTENTS1. Kinematics of mechanisms2. The dynamics of variable-motion machines3. Mechanics of manipulators4. The vibrations of mechanical systems5. The dynamics of nonlinear systems
WSTĘP
3
Jerzy Zajączkowski
Opracowanie zawiera treść wykładów oraz materiały wstępne potrzebne do realizacji ćwiczeń w laboratorium komputerowym. W rezultacie odbytych zajęć student zdobywa następujące umiejętności:1. Zastępowanie obiektu rzeczywistego układem równań 2. Budowanie programów komputerowych stanowiących modele układów rzeczywistych3. Analizowanie dynamiki układów nieliniowych
Na przykładach reprezentujących - mechanizmy dźwigniowe i krzywkowe- maszyny z napędem elektrycznym- manipulatory i chwytaki sterowane komputerowo - układy drgające dyskretne i ciągłe oraz liniowe i nieliniowe
student nabywa następujące umiejętności uniwersalne:1. Rozwiązywanie układów nieliniowych równań algebraicznych2. Zastępowanie funkcji dyskretnej funkcją ciągłą z zastosowaniem szeregów Fouriera i
wielomianów Lagrange’a oraz znajdowanie pochodnych tych funkcji3. Rozwiązywanie układów nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych4. Zastępowanie układów równań różniczkowych cząstkowych równaniami różniczkowymi
zwyczajnymi5. Analizowanie macierzowych równań różniczkowych i algebraicznych jednorodnych i
niejednorodnych6. Komputerowa wizualizacja ruchomych obiektów Niektóre fragmenty tego opracowania zostały zaczerpnięte z monografii autora [1]
INTRODUCTION
This study contains the text of the lectures and materials needed to carry out exercises in the computer laboratory.As a result of activities undertaken student gains the following skills:1. Replacing the real system with a set of equations2. Building a computer program which models the real system3. Analyzing the dynamics of nonlinear systems
By studying examples - linkage and cam mechanisms- machines with electric drive- computer-controlled manipulators and grippers - oscillating systems, continuous and discrete linear and nonlinear
student acquires universal following skills:1. Solving systems of nonlinear algebraic equations2. Replacing discrete functions with the continuous functions using Fourier series and
Lagrange polynomials and finding derivatives of these functions3. Solving nonlinear systems of ordinary differential equations4. Replacing the partial differential equations with the ordinary differential equations5. Analyzing the matrix differential equations and algebraic homogeneous and
inhomogeneous 6. Computer visualization of moving objectsSome parts of this paper are taken from the author's monograph [1]
4
Jerzy Zajączkowski
1. KINEMATYKA MECHANIZMÓW1. KINEMATICS OF MECHANISMS
Zasada prac wirtualnychThe principle of virtual work
Zależności geometryczne jakie zachodzą pomiędzy położeniami poszczególnych elementów mechanizmów są niezbędne dla określenia związków dynamicznych
Geometric dependencies that exist between the positions of individual elements of the mechanisms are necessary to determine the dynamic relationships
Rys. 1.1. Wektor F wykonujący pracę na drodze drFigure 1.1. The vector F doing the work along the path dr
Praca elementarna zdefiniowana jest następującą zależnością The elementary work is defined by the following equation
(1.1)Praca wirtualna wszystkich sił działających na układ punktów materialnych, łącznie z siłami bezwładności wynosiThe virtual work of all the forces acting on the set of material points, including the inertia forces is
(1.2)Dla przykładowego mechanizmu pokazanego na rys. 1.2For the mechanism shown in Figure 1.2
Rys. 1.2. Schemat maszyny z korbą i suwakiemFigure 1.2. Diagram of machine with crank and slider
zależność (1.2) przyjmuje postaćequation (1.2) takes the form
5
Jerzy Zajączkowski
(1.3)Dzieląc równanie (1.3) przez d otrzymujemy równanie różniczkoweDividing equation (1.3) by d one obtains the differential equation
(1.4)Aby równanie to mogło być rozwiązane musimy najpierw znaleźć funkcję x=x(), określającą geometryczny związek pomiędzy przemieszczeniami elementów układu i temu będzie poświęcony ciąg dalszy tego rozdziału. In order to solve this equation we must find a function x=x() that determines the geometrical relationship between the displacements of system components and what follows is devoted to this purpose.
Geometria ruchu - mechanizmy dźwigniowe The geometry of the motion - linkage mechanismsPostać dyskretna funkcji ruchu Discrete form of functions of motion
Aby wyznaczyć funkcje definiujące zależności pomiędzy współrzędnymi elementów mechanizmu, zastępujemy go układem zamkniętych wieloboków wektorów [1-4]. Składowe wypadkowych tych wieloboków są równe zero
In order to determine the functions that define the relationship between the coordinates of the elements of the mechanism, we replace it by the system of closed polygons of vectors [1-4]. The components of the resultant vector polygons are equal to zero
(1.5)Wielkościami szukanymi w układzie równań trygonometrycznych (1.5) są współrzędne liniowe lub kątowe elementów mechanizmu. Tworzymy z nich wektor x=(Li,...,j), a układ równań traktujemy jako funkcję wektorową zmiennej x. The quantities that are to be found from set of equations (1.5) are linear or angular coordinates of mechanism elements. We formulate a vector x=(Li,...,j) and the system of equations is now treated as a vector function of a variable x
(1.6)W przypadku czworoboku przegubowego otrzymamy In case of a four-bar linkage, one gets
6
Jerzy Zajączkowski
Rys. 1.3. Czworobok przegubowy i odpowiadający mu zamknięty wielobok wektorówFigure 1.3. Four-bar linkage and a corresponding closed polygon of vectors
,
.
(1.7)Funkcja wektorowaVector function
.(1.8)
Dla mechanizmu przestrzennego mamy For a spatial mechanism, we have
( a )
Rys. 1.4. Schemat mechanizmu przestrzennego i odpowiadający mu wielobok wektorówFigure 1.4. Schematic diagram of the spatial mechanism and the corresponding polygon of vectors
(1.9)Dołączymy równanie wynikające z twierdzenia PitagorasaWe append the equation resulting from the theorem of Pythagoras
.(1.10)
Funkcja wektorowaThe vector function
7
Jerzy Zajączkowski
(1.11)Dla mechanizmów złożonych można będzie wyodrębnić taką ilość wieloboków, która pozwoli na otrzymanie tylu niezależnych równań ile jest niewiadomych.
In complex mechanisms, an appropriate number of polygons can be distinguished, that will allow one to obtain as many independent equations as there are unknowns.
Rys. 1.5. Pierwsze (a) i kolejne przybliżenia (b) miejsca zerowego uzyskane przez zastąpienie krzywej za pomocą stycznej; (c) wielokrotne wykorzystanie tej samej stycznej
Figure 1.5. First (a) and subsequent approximations (b) of zero, obtained by replacing the curve with the tangent straight line, (c) multiple use of the same tangent line
Rozwiązaniem układu równań (1.5) jest miejsce zerowe funkcji (1.6). Poszukiwanie miejsca zerowego funkcji y=F(x)=0 jednej zmiennej zilustrowane jest na rys. 1.5. Rozpoczynamy przyjmując oszacowanie miejsca zerowego xp. Dla x=xp zastępujemy krzywą y=F(x) liną prostą styczną do krzywej (rys. 1.5a) i znajdujemy jej miejsce zerowe xp+1 (rys. 1.5b). Czynność tę powtarzamy (rys. 1.5.b) zbliżając się dowolnie blisko miejsca zerowego krzywej. Obliczenia można przyspieszyć wykorzystując styczną wielokrotnie (rys. 1.5c).
The solution of equations (1.5) is such a value of the independent variable x for which the vector function (1.6) is equal to zero. For one variable, seeking the zero of the function y=F(x)=0 is illustrated in Figure 1.5. We begin by taking a zero estimate xp. For x = xp we replace the curve y=F (x) by its tangent line (Fig. 1.5a) and find its zero position xp+1 (Fig. 1.5b). This operation is repeated (Figure 1.5.b), approaching arbitrarily close to zero value of curve. The calculations can be accelerated by using the tangent repeatedly (Fig. 1.5c).
8
Jerzy Zajączkowski
Dla układu dwóch równań funkcja wektorowa y=F(x) oznacza dwie powierzchnie dwuwymiarowe zanurzone w przestrzeni trójwymiarowej. Powierzchnie te przecinają się, a ich wspólna krawędź przebija płaszczyznę y=0. Ten punkt przebicia jest miejscem zerowym funkcji. Dla układu n równań mamy powierzchnie n-wymiarowe zanurzone w przestrzeni (n+1)-wymiarowej. Układ równań algebraicznych potrzebny do realizacji objaśnionego postępowania znajdujemy korzystając z rozwinięcia funkcji w szereg Taylora
For a system of two equations, vector function y = F (x) denotes the two dimensional surfaces immersed in three dimensional space. These surfaces intersect one another, and their common edge pierces the plane y = 0. At this point function has zero value. For a system of n equations, we have n-dimensional surfaces immersed in the (n +1)-dimensional space. The system of algebraic equations needed to implement the explained procedure we find using the expansion of to Taylor series.
(1.12)
W obliczeniach zastępujemy pochodne cząstkowe różnicami skończonymi. In the calculations we replace the partial derivatives with finite differences.
(1.13)w oznacza numer wiersza, k numer kolumny macierzy, a wielkość xk jest odpowiednio dobraną małą liczbą.w is the row number and k column number in the matrix, the quantity xk is a suitably chosen small number.
Opisany algorytm nosi nazwę metody Newtona. Szczególnie skuteczny obliczeniowo jest program opracowany przez More'a i Cosnarda (1979-80) [5,6] wykorzystujący udoskonaloną przez Brenta (1973) postać metody.
The described algorithm is called Newton's method. In particular, it is computationally efficient to use a computer program developed by More and Cosnard (1979-80) [5,6] using improved by Brent (1973) form of the method.
Jako zmienną niezależną przyjmujemy kąt obrotu wału napędzającego maszynę. Funkcję ruchu określamy jako wektor x(). Ciągłą dziedzinę zmiennej niezależnej wartości
9
Jerzy Zajączkowski
zastępujemy zbiorem dyskretnym kolejnych wartości k. Dla każdej z wartości zmiennej układ równań traktujemy jako funkcję wektorową zmiennej wektorowej x.
As independent variable we take the angle of rotation of the driving shaft. The function of the motion is defined as a vector x(). Continuous domain of independent variable we replace by a discrete set of successive values of k. For each value of variable the system of equations is treated as a vector function of the vector variable x.
Wyznaczoną wartość wektora x dla i możemy przyjąć jako przybliżone oszacowanie wektora x dla kolejnego położenia mechanizmu i+1. Jako wynik obliczeń otrzymamy dla tablicy wartości zadanej wielkości tablice kolejnych wartości wielkości szukanych x
The evaluated value of the vector x for i we can take as an approximate estimate of the vector x to the next position of the mechanism i+1. As a result of the calculation we get for an array of assumed successive values , the array of successive sought values x.
(1.14)
Układ może mieć więcej niż jedno rozwiązanie. Dla wcześniej pokazanego płaskiego czworoboku przegubowego o wymiarach (L1=0.1, L2=0.1, Lc=0.025, Lr=0.1, L=0.1) jeżeli rozpoczniemy obliczenia od wartości =0 to otrzymamy rozwiązanie opisujące ruch oscylacyjny wahacza w otoczeniu osi pionowej. Jeżeli natomiast rozpoczniemy obliczenia od wartości =/2 to otrzymamy rozwiązanie opisujące drugą możliwą konfigurację, dla której wahacz wykonuje oscylacja w otoczeniu osi poziomej.
The system can have more than one solution. For the previously shown flat four-bar linkage with dimensions (L1=0.1, L2=0.1, Lc=0.025, Lr=0.1, L=0.1), if we start calculating from the value =0, we obtain a solution describing the oscillatory motion of rocker in the vicinity of vertical axis. However, if we start calculating from the value /2 we obtain a solution describing a second possible configuration, for which the rocker oscillates in the neighbourhood of the horizontal axis.
Aby wybrać potrzebne nam rozwiązanie wykonujemy analizę, obejmująca wizualizacje mechanizmu w ruchu. W tym celu obliczamy współrzędne punktów pozwalających na wykreślenie mechanizmu. Dla wcześniej pokazanego płaskiego czworoboku punktami tymi są przeguby, których współrzędne wynoszą
To choose a required solution, we make an analysis that includes visualization of the mechanism in motion. For this purpose, we calculate the coordinates of the points which allow for the drawing the mechanism. For the previously shown flat four-bar linkage, those points are the joints, whose coordinates are
X 0 -Lcsin(-/2) L2-Lrsin L2
Y L1 L1+Lccos(-/2) Lrcos 0Z 0 0 0 0
(1.15)
Dla czworoboku przestrzennego otrzymamyFor spatial four-bar linkage, we obtain
10
Jerzy Zajączkowski
X 0 -Lccos() L2-Lrsin L2
Y L1 L1 Lr cos 0Z 0 -Lcsin() 0 0
(1.16)
Rys. 1.6. Obrót układu współrzędnych
Współrzędne (X,Y,Z) dla kolejnych położeń mechanizmu zestawiamy w tablicę. Zanim wykonamy rzutowanie, możemy dokonać obrotu mechanizmu w przestrzeni. Współrzędne po obrocie wokół osi ZThe coordinates (X, Y, Z) for the consecutive positions of the mechanism we put in an array. Before doing the projection, we can rotate the mechanism in space. Coordinates after rotation around the Z axis
(1.17)
Wokół osi XAround the X axis
(1.18)
Wokół osi YAround the Y axis
(1.19)
Aby wykonać rysunek na ekranie musimy wprowadzić odpowiednią skalę. Rzutowanie polega na pominięciu współrzędnej prostopadłej do ekranu. Aby otrzymać wizualizację ruchu, rysujemy mechanizm w danym położeniu, po czym kasujemy ten rysunek i rysujemy mechanizm w następnym położeniu. Tor wybranego punktu otrzymamy łącząc jego współrzędne w kolejnych położeniach.
11
Jerzy Zajączkowski
To make a drawing on the screen, we have to introduce an appropriate scale. Projecting is equivalent to the omission of the coordinate perpendicular to the screen. To obtain a visualization of the motion, we draw the mechanism in position, then delete the picture and draw a mechanism for the next position. The track of a selected point we get by connecting the coordinates in the consecutive positions of that point.
Postać ciągła funkcji ruchuContinuous form of the function of motion
Dowolną spośród znalezionych funkcji xn , danych tablicą (1.14), oznaczymy kAny of the found functions xn, given by data array (1.14), we denote k
(1.20)
Postać dyskretną (1.20) funkcji zastąpimy funkcją ciągłą (rys. 1.7). W tym celu wykorzystamy szereg trygonometryczny Discrete form (1.20) we replace by the continuous function (Figure 1.7). For this purpose we use a trigonometric series
(1.21)
Rys. 1.7. Funkcja określona zbiorem punktów interpolowana globalnie za pomocą szeregu trygonometrycznegoFigure 1.7. The function defined by a set of points, interpolated globally by the trigonometric series
Współczynniki szeregu a określone są wzoramiCoefficients of the series are defined by formulas
12
Jerzy Zajączkowski
(1.22)gdzie =2/N=r-1-r. Pierwsza stała to średnia wartość funkcji (rys. 1.7), pozostałe stałe oznaczają udział harmonicznych o różnych częstotliwościach. Dla N=2m można przyspieszyć obliczenia korzystając z programu Cooley’ego i Tukey’ego [7] noszącego nazwę szybkiej transformaty Fouriera FFT. Szereg trygonometryczny pozawala zapisać funkcję za pomocą niewielkiej ilości stałych a. Korzystanie z niego pociąga za sobą konieczność obliczenia wartości funkcji trygonometrycznych, co wydłuża czas obliczeń.where =2/N=r-1-r. The first constant is the average value of the function (Figure 1.7); the other constants are average of harmonic contributions of other frequencies. For N=2m we can speed up calculations by using the Cooley's and Tukey's program [7]. In this case the name Fast Fourier Transform FFT is used. Trigonometric series allow us to write the functions with a small number of constants a. Using it requires the calculation of trigonometric functions, what increases the calculation time.
Rys. 1.8. Funkcja określona zbiorem punktów interpolowana lokalnie za pomocą wielomianuFigure 1.8. Function defined by a set of points interpolated by a polynomial
Szybkość obliczeń można znacznie zwiększyć zastępując lokalnie (rys. 1.8) funkcję dyskretną k(1.20) wielomianem Lagrange'a
The speed of computation can be greatly increased by replacing locally (Figure 1.8) discrete function k (1.20) with the Lagrange’s polynomial
(1.23)gdziewhere
(1.24)Dla i licznik ułamka (1.24) równy jest mianownikowi i współczynnik hi=1. W licznikach pozostałych współczynników h mamy czynnik (i-i) w rezultacie czego są one równe zeru. W konsekwencj wzór (1.23) jest tożsamością w punktach 0, 1, 2 itd. Oznacza to, że krzywa (1.23) przechodzi dokładnie przez punkty k. Z tego powodu można w przybliżeniu założyć, że jest ona wystarczającym przybliżaniem pomiędzy tymi punktami.
13
Jerzy Zajączkowski
Inaczej niż to było w przypadku szeregu trygonometrycznego, korzystamy tylko z kilku punktów znajdujących się w otoczeniu interesującego nas miejsca. Okresowe przedłużenie otrzymamy korzystając z zależności 2k gdzie k określone jest związkiem 2k2.For i the numerator (1.24) is equal to the denominator of the fraction and therefore the coefficient hi=1. In the numerators of the other fractions h we have the factor (i-i) and therefore they are equal to zero. In consequence, the formula (1.23) is the identity at the points 0, 1, 2, etc. This means that the curve (1.23) passes exactly through the points k. For this reason, you can roughly assume that it is sufficiently close to original function between these points. Unlike it was in the case of trigonometric series, we use only a few points within the perimeter of the desired location. The periodicity we get by using an extension defined by 2k where k we get from the relationship 2k2.
Pochodne funkcji ruchuDerivatives of the function of motion
Aby obliczyć pochodną funkcji, której wartości dane są za pomocą tablicy, prowadzimy przez kilka sąsiadujących punktów wielomian, a następnie obliczamy pochodne tego wielomianu. Zakładamy pochodną w postaci
To calculate the derivative of the function that the data are given by the array, we pass a polynomial curve through several neighbouring points, and then we calculate the derivative of the polynomial. We assume the derivative in the form
(1.25)Wzór (1.25) musi być prawdziwy dla wielomianu [8]Equation (1.25) must be true for the polynomial [8]
(1.26)Podstawiamy zależność (1.26) do lewej i prawej strony równania (1.25) dla =0, kolejno dla k=0,1,2,3,4. Z otrzymanego w ten sposób układu równań wyznaczamy stałe a. Analogicznie postępujemy dla=2 oraz =4. Przyjmując n=0+n znajdujemy wzory określające pierwsze pochodne dla wielomianu przechodzącego przez pięć punktów
We substitute the relation (1.26) to the left and right side of equation (1.25) for =0, successively for k = 0,1,2,3,4. From thus obtained system of equations we determine constants a. Similarly, for =2 and =4. Assuming n=0+n we find formulas for determining the first derivative of a polynomial that passes through five points
(1.27)Drugie pochodne określają zależności
14
Jerzy Zajączkowski
The second derivatives determine the formulas
(1.28)Pierwszy i ostatni wzór dotyczy wartości na początku i na końcu przedziału.The first and last formula concerns the values at the beginning and the end of the domain range.
Do tablic przemieszczeń (1.20) dołączamy tablice pochodnych Besides the arrays of displacements (1.20) we have arrays of their derivatives
(1.29)
Odpowiadające funkcjom dyskretnych (1.20) i (1.29) funkcje ciągłe znajdujemy korzystając ze wzorów (1.22) lub (1.23).The continuous functions corresponding to discrete functions (1.20) and (1.29) we find by using formulas (1.22) or (1.23).
Materiały wstępne potrzebne do realizacji ćwiczeń w laboratorium komputerowym
Dla mechanizmów dźwigniowych, pokazanych na rysunkach, zbudować programy komputerowe symulujące ich działanie. Wyznaczyć funkcje określające ruch oraz ich pochodne. Wyniki zapisać na dysku w postaci tablic wartości oraz współczynników szeregu trygonometrycznego. Wykonać wykresy tych funkcji. Zobrazować ruch mechanizmu oraz tory wybranych punktów. Ilość stopni swobody określić korzystając z wzoru w=3n-2p, gdzie n oznacza ilość ruchomych elementów, p przegubów i suwaków.
Program komputerowy dla machanizmu pokazanego na rys. 1.3. Czworobok przegubowy i odpowiadający mu zamknięty wielobok wektorów
http://bhp-k412.p.lodz.pl/mmprog/mechfull.txthttp://bhp-k412.p.lodz.pl/progr/mmprog/mechfull.txt
15
Jerzy Zajączkowski
The materials needed to carry out exercises in the computer laboratory
For the linkage mechanisms shown in the drawings, build computer programs that simulate their operation. Determine the functions defining the movement and their derivatives. Results write on disk in the form of tables of values and the coefficients of trigonometric series. Show the functions in figures. Illustrate the motion of the mechanism and trajectories of selected points. Determine the number of degrees of freedom using the formula w = 3n-2p, where n is the number of moving parts, p number of joints (pivots and sliders).
Computer program for mechanism shown in Figure 1.3 four-bar linkage and a corresponding closed polygon of vectors
http://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmp.htmhttp://bhp-k412.p.lodz.pl/progr/mmp.htm
Mechanizm 1Schemat mechanizmu z podwójnym postojem [1] pokazany jest na rys. 1.9.Mechanism 1Schematic diagram of mechanism with the double dwell motion [1] is shown in Figure 1.9.
Rys. 1.9. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów Figure 1.9. The mechanism and the corresponding vector polygons
Wymiary: Dimensions: r1=0.018, r2=0.052, r3=0.028, r4=0.046, r5=r6=0.022, r7=0.04, r8=0.014, r9=0.044, r10=r11=0.004, r12=0.082, r13=0.038, /3.Ilość stopni swobodyNumber of degree of freedom
.Składowe wypadkowychResultants components
,,
,
16
Jerzy Zajączkowski
,,
.Wektor szukanych x Sought vector x
.Zadany jest kąt obrotu korby 8 [0,2].The given crank angle 8 [0,2].
Mechanizm 2Schemat mechanizmu suwakowego pokazany jest na rys. 1.10.Mechanism 2Schematic diagram of double slider mechanism is shown in Figure 1.10.
Rys. 1.10. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów Figure 1.10. The mechanism and the corresponding vector polygons
Wymiary:Dimensions: r1=0.04, r3=0.05, r4=0.08, r5=0.04, r6=0.08, r7=0.04, r8=0.08, r10=0.02, r11=0.136, /180 , r2=(r3
2+r42 -2r3r4cos)0.5
Ilość stopni swobody Number of degree of freedomw=3n-2p=21-20=1.Składowe wypadkowychResultants components
,,
,,
17
Jerzy Zajączkowski
,.
Wektor szukanych xSought vector x
.
Zadany jest kąt obrotu korbyThe given crank angle
.
Mechanizm 3Schemat mechanizmu pokazany jest na rys. 1.11. Mechanism 3Schematic diagram of the mechanism is shown in Figure 1.11.WymiaryDimensions: L1=0.025, L2=0.1, L3=0.1, L4=0.1, L5=0.136, L6=0.05,Ilość stopni swobodyNumber of degree of freedomw=3n-2p=18-16=2.Składowe wypadkowychResultants components
,,
,.
Rys. 1.11. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów Figure 1.11. The mechanism and the corresponding vector polygons
Wektor szukanych xSought vector x
18
Jerzy Zajączkowski
.Korby 1 i 2 napędzane są mechanizmami krzywkowymi, dla którego 1=(/6)sin, 2=(/6)cos kąt [0,2].Cranks 1 and 2 are driven by cam mechanisms, for which 1=(/6)sin, 2=(/6)cosangle [0,2].
Mechanizm 4Schemat mechanizmu pokazany jest na rys. 1.12.Mechanism 4Schematic diagram of the mechanism is shown in Figure 1.12.WymiaryDimensions
Ilość stopni swobody Number of degree of freedomw=3n-2p=24-22=2.
Rys. 1.12. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów Figure 1.12. The mechanism and the corresponding vector polygons
Składowe wypadkowychResultants components
19
Jerzy Zajączkowski
,,
,,
,.
Wektor szukanych xSought vector x
.
Korby 1 i 6 napędzane są przekładnią, dla której 1=-6=kąt [0,2].Cranks 1 and 6 are driven by a gear, for which 1=-6=angle [0,2].
Mechanizm 5http://interestingengineering.com/video/what-is-sewing/youtube: Sewing Machine - Lock Stitch Mechanism Sewing Machine Anatomy: How a Stitch is MadeChain Stitch Mechanism - Sewing Machine
Schemat maszyny szyjącej pokazany jest na rys. 1.13.Mechanism 5Schematic diagram of a sewing machine is shown in Figure 1.13.
Rys. 1.13. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów Figure 1.13. The mechanism and the corresponding vector polygons
20
Jerzy Zajączkowski
WymiaryDimensionsRk=0.017, Lk=0.035, L=Ld=0.184, Lr=0.021, Lc=0.017, r=0.03, hm=0.03
Składowe wypadkowychResultants components
Wielkości szukaneSought vector x ys, k, , , lm, 1.Zadany jest kąt obrotu korby [0,2].The given crank angle [0,2].
Współrzędne przegubówCoordinates of joints
x hm hm+rcos(1) 0 -Lrcos(+)y 0 -rsin(1) 0 Lrsin(+)z 0 0 0 0
x hm-Lccos(2--( /2-))y Ldcos()+Lcsin(2--(/2-))z 0
x hm hm+Rksin(-)y Ldcos() Ldcos()-Rkcos()z 0 0
x hm
y Ldcos()-ys
z 0
21
Jerzy Zajączkowski
Mechanizm 6Schemat mechanizmu pokazany jest na rys. 1.14.Mechanism 6Schematic diagram of the mechanism is shown in Figure 1.14.
WymiaryDimensions r1=0.025, r2=0.1, r3=0.1, r4=0.025, r5=0.13, r6=0.02, r7=0.08, r8=0.06, r9=0.12, r10=0,02.Składowe wypadkowychResultants components
Wektor szukanych xSought vector x
Korby 1 i 4 napędzane są przekładnią przez ten sam silnik w taki sposób, że 1=-, a 4=/2, kąt [0,2].Cranks 1 and 4 are driven by gear and the same motor in such a way that 1=-, 4=/2, angle [0,2].
Rys. 1.14. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów Figure 1.14. The mechanism and the corresponding vector polygons
Mechanizm 7Schemat mechanizmu napędu ramion manipulatora pokazany jest na rys. 1.15.
22
Jerzy Zajączkowski
Mechanism 7Schematic diagram of a mechanism driving manipulator arm is shown in Figure 1.15.
Rys. 1.15. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów
Figure 1.15. The mechanism and the corresponding vector polygon
Układ równańSet of equations
,,
.Wektor szukanych Sought vector
.Związek pomiędzy momentami siłThe relationship between force moments
.WymiaryDimensions r1=0.18, r2=0.24, r3=0.07, r4=0.14, r0=sqrt(sqr(r2+r3)+sqr(r1-r4)), h=0.002.
23
Jerzy Zajączkowski
Obliczenia rozpocząć przyjmując =0 zwiększając o wartość = 2/257*60. Jako przybliżenia początkowe wielkości szukanych można przyjąć =0, =arctan((r2+r3)/(r1-r4)).The calculations start taking =0 and increase gradually for the value = 2/257*60. The initial approximation of sought values take =0, =arctan((r2+r3)/(r1-r4)).
Mechanizm 8Schemat chwytaka pokazany jest na rys. 1.16.Mechanism 8Schematic diagram of the gripper is shown in Figure 1.16.
Rys. 1.16. Schemat chwytaka i odpowiadający mu wielobok wektorów Figure 1.16. The gripper and the corresponding vector polygon
WymiaryDimensionsr1=0.02, r2=0.01, r3=0.02, r4=0.02, r5=0.02. Ruchliwość chwytakaNumber of degree of freedomw=3n-2p=15-14=1.Składowe wypadkowej zamkniętego wieloboku wektorów Resultants components of closed vector polygon
,.
Wektor szukanych Sought vector
24
Jerzy Zajączkowski
Obliczenia rozpocząć przyjmując x=0.013 zwiększając x o wartość x=0.014/256. Jako przybliżenia początkowe wielkości szukanych można przyjąć =/6, =/6.
Rozwiązanie układu równań znajdujemy jako miejsce zerowe funkcji. Wykonując obliczenia dla kolejnych wartości x znajdujemy funkcję ruchu (x).
Korzystając z zasady prac wirtualnych znajdujemy związek pomiędzy siłą napędową i siłą chwytuThe calculations begin assuming x = 0.013 increasing x for value x=0.014/256. As an initial approximation of the sought angles take =/6, =/6.
The solution of the set of equations we find as the values for which the function takes zero value. In carrying out the calculations for successive values of x we find the motion function (x).
Using the principle of virtual work we find the relationship between driving force and grip force
Związek pomiędzy siłami określa funkcja ruchu (x).The relationship between the forces determines the motion function (x).
Mechanizm 9Schemat chwytaka pokazany jest na rys. 1.17.Mechanism 9Schematic diagram of the gripper is shown in Figure 1.17.
WymiaryDimensionsr1=0.01, r2=0.01, r3=0.015, r4=0.025, r5=0.015/2, r6=0.025, r7:=0.01.Ruchliwość Number of degree of freedomw=3n-2p=27-26=1.Składowe wypadkowych Resultants components
,
,,
..
25
Jerzy Zajączkowski
Rys. 1.17. Schemat chwytaka i odpowiadające mu wieloboki wektorów Figure 1.17. The gripper and the corresponding vector polygons
Wektor szukanych Sought vector
.Związek pomiędzy siłamiThe relationship between the forces
.Obliczenia rozpocząć przyjmując x=0 zwiększając x o wartość x= 0.015/257. Jako przybliżenia początkowe wielkości szukanych można przyjąć 2=/4, 3=/6, u=r7+2r5, w=r4+r6. The calculations begin taking x = 0.013 increasing x for value x=0.015/257. As an initial approximation of the sought variables take 2=/4, 3=/6, u=r7+2r5, w=r4+r6.
Mechanizm 10Mechanism 10
Rys. 1.18. Schemat chwytaka i odpowiadające mu wieloboki wektorówFigure 1.18. The gripper and the corresponding vector polygons
Schemat chwytaka pokazany jest na rys. 1.18.Schematic diagram of the gripper is shown in Figure 1.18.WymiaryDimensions r1=0.02, r2=0.03, r3=0.02, r4=0.04, r5=0.015, r6=0.025, r7=0.025, r8=0.04, r9=0.05RuchliwośćNumber of degree of freedomw=3n-2p=15-14=1Układ równańSet of equations
,,
,
.
26
Jerzy Zajączkowski
Wektor szukanych Sought vector
.Związek pomiędzy siłamiThe relationship between the forces
Obliczenia rozpocząć przyjmując x=0 zwiększając x o wartość x=0.025/257. Jako przybliżenia początkowe wielkości szukanych można przyjąć 1=/4, 2=/6, 4=/4, 6=/6. The calculations begin assuming x = 0 increasing x for value x=0.025/257. As an initial approximation of the sought angles take 1=/4, 2=/6, 4=/4, 6=/6.
Mechanizm 11Schemat chwytaka pokazany jest na rys. 1.19.Mechanism 11Schematic diagram of the gripper is shown in Figure 1.19.WymiaryDimensions r0=0.04, r1=0.04, r2=0.01, r3=0.025, r4=0.015, r5=0.03, r6=0.015, r7=0.015, r8=0.015, r9=0.04.RuchliwośćNumber of degree of freedom w=3n-2p=27-26=1.Układ równańSet of equations
, ,
, .
Wektor szukanych Sought vector
.
27
Jerzy Zajączkowski
Rys. 1.19. Schemat chwytaka i odpowiadające mu wieloboki wektorówFigure 1.19. The gripper and the corresponding vector polygons
Związek pomiędzy siłami
Obliczenia rozpocząć przyjmując x=0.002 zwiększając x o wartość x:= 0.015/257. Jako przybliżenia początkowe wielkości szukanych można przyjąć 1=/6, 3=/4, 4=/6, 8=/4. The calculations begin assuming x = 0.002 increasing x for value x=0.015/257. As an initial approximation of the sought angles take 1=/6, 3=/4, 4=/6, 8=/4.
Geometria ruchu -mechanizmy krzywkowe The geometry of motion of cam mechanisms
Synteza funkcji ruchu Synthesis of the motion function
Funkcję określającą związek pomiędzy ruchem krzywki i popychacza, można zdefiniować przedziałami sklejając ją z kawałków funkcji elementarnych. W miejscu sklejenia funkcja wraz z pierwszą pochodną musi być ciągła.
The function relating the movement of the cam and the follower, you can define in intervals using elementary functions and then joining them together. At the joining points the functions and their first derivative must be continuous.
28
Jerzy Zajączkowski
(1.30)Zapewnienie ciągłości drugiej pochodnej może prowadzić do zwiększenia wartości maksymalnego przyspieszenia i dlatego, w praktyce, warunek ten często nie jest spełniony.
Ensuring continuity of second derivatives can lead to increased values of maximum acceleration, and therefore, in practice, this condition is often not met.
Funkcję określająca związek pomiędzy ruchem krzywki i popychacza można skleić z funkcji trygonometrycznych i wielomianów. Będziemy stosowali dwie funkcje.
The function defining the relationship between the rotation of the cam and the motion of the follower can be obtained using trigonometric functions and polynomials. We shall use two functions.
(1.31)
Rys.1.20. Funkcja określona wzorem (1.31), jej pierwsza i druga pochodna dla [0,]Figure.1.20. Function defined by (1.31), its first and second derivative for [0,]
(1.32)
Rys. 1.21. Funkcja określona wzorem (1.32), jej pierwsza i druga pochodna dla Figure 1.21. Function defined by (1.32), its first and second derivative for
Funkcja (1.32) różni się od funkcji (1.31) tym że jej druga pochodna jest równa zeru na początku i na końcu przedziału (rys.1.21, 1.20) co ułatwia spełnienie warunku ciągłości drugiej pochodnej. Synteza funkcji ruchu zilustrowana jest przykładami.
The function (1.32) differs from the function (1.31) in that its second derivative is zero at the beginning and at the end of the interval (rys.1.21, 1.20), which facilitates the fulfilment of the condition of continuity of the second derivative.Synthesis of the motion function is illustrated with examples.
Przykład 1Zdefiniować funkcję ruchu której przebieg pokazano na rysunku 1.22. Dane: sExample 1
29
Jerzy Zajączkowski
Define the function of motion shown in Figure 1.22. Data:s
Rys. 1.22. Funkcja ruchu popychacza z postojem w górnym i dolnym położeniuFigure 1.22. Function of follower movement with a dwell in the upper and lower position
Wprowadzamy lokalne układy współrzędnych, w których funkcje składowe zdefiniowane są wzorami podstawowymi (1.32). Przyjmujemy .We introduce local coordinate systems in which the member functions are defined with the basic formulas (1.32). Take .
,
.
Warunki ciągłości funkcji i jej pierwszej pochodnejConditions of the continuity of a function and its first derivative
,
dają układ równań gives a set of equations
,
z którego można wyznaczyć stałefrom which we can find constants
,
.
30
Jerzy Zajączkowski
Ciągłość drugiej pochodnej w miejscach sklejenia jest zapewniona, ponieważ jest pochodna jest równa zero z obydwu stron miejsca sklejenie. Funkcja jest zdefiniowana w przedziale [ . Zdefiniujemy ją w przedziale w następujący sposóbContinuity of the second derivative in connecting points is assured because its derivative is zero on both sides of the point. The function is defined in the interval [We define it in the range in the following manner
,,
,
,,
.(1.33)
Przykład 2 Zdefiniować funkcję ruchu której przebieg pokazano na rysunku 1.23. Dane: sExample 2Define the function of motion shown in Figure 1.23. Data: s, .
Rys. 1.23. Funkcja ruchu popychacza z postojem w dolnym położeniuFigure 1.23. Function of follower movement with a dwell in the lower position
Wprowadzamy lokalne układy współrzędnych, w których funkcje składowe zdefiniowane są wzorami podstawowymi (1.32, 1.31). Przyjmujemy W pierwszym przedzialeWe introduce local coordinate systems in which the member functions are defined with the basic formulas (1.32, 1.31). Take . In the first interval
.
W drugim przedzialeIn the second interval
,
.
Warunek ciągłości funkcji i jej pierwszej pochodnejConditions for the continuity of the function and its first derivative
31
Jerzy Zajączkowski
,
daje układ równań gives a set of equations
,
z którego można wyznaczyć stałefrom which we can find constants
, .
Ciągłość drugiej pochodnej w miejscach sklejenia jest zapewniona ponieważ jest ona równa zero. Zdefiniujemy funkcję w przedziale w następujący sposóbContinuity of the second derivative in connecting points is assured because its derivative is zero on both sides of the point. We define the function in the range in the following manner
,,
,,
,.
(1.34)
Określanie zarysu krzywkiDetermining the cam shape
Chcemy określić kształt krzywki, która będzie realizowała ruch popychacza określony znaną funkcją [9, 1].
We want to determine the shape of the cam, which will implement the follower movement specified by defined function [9, 1].
32
Jerzy Zajączkowski
Rys. 1.24. Krzywki jako obwiednie kolejnych położeń popychacza płaskiego i okrągłegoFigure 1.24. Cams as boundaries of the successive positions of the flat and round face follower
Aby krzywa zamknięta określająca zarys krzywki była nieruchoma na płaszczyźnie, zamiast obracać krzywkę, obracamy ostoję (rys. 1.24) wraz z popychaczem. Obwiednia kolejnych położeń popychacza stanowić będzie zarys krzywki. Jeżeli popychacz zakończony jest rolką to otrzymamy dwie obwiednie: zewnętrzną i wewnętrzną.
To make the outline curve of the cam motionless on the plane, instead of rotating the cam, we rotate the base (Figure 1.24) together with the follower. The envelope of successive positions of the follower face will be the outline of the cam. If the follower has a roller we get two envelopes: external and internal.
Rodzinę linii, określających kształt części popychacza, stykającej się z krzywką, zapiszemy równaniem
The family of lines defining the shape of the follower face that is in contact with the cam we write as follows
(1.35)Dołączamy do niego jego pochodną cząstkową względem kąta obrotu krzywki The partial derivative with respect to its angle of rotation of the cam
(1.36)Równania (1.35, 1.36) stanowią układ, którego rozwiązania (x,y), dla kolejnych wartości kąta określają współrzędne zarysu krzywki. Obwiednia istnieje jeżeli spełnione są następujące warunkiThe solution (x, y) of equations (1.35, 1.36) for successive values of the angle of are the coordinates of the points of cam profile. The existence of the envelope is subject to the following conditions
(1.37)
33
Jerzy Zajączkowski
W przypadku popychacza płaskiego (rys. 1.24, 1.25, 1.26) układ równań (1.35, 1.36) przyjmuje postać
In the case of a flat face follower (Figure 1.24, 1.25, 1.26) system of equations (1.35, 1.36) takes the form
(1.38)
(1.39)Jego rozwiązanie określa współrzędne zarysu krzywki Its solution determines the coordinates of the cam profile
(1.40)
Rys. 1.25. Zależność przemieszczenia liniowego popychacza od kąta obrotu krzywki widziana w układzie obracającym się z krzywką
Figure 1.25. The dependence of linear displacement of the follower from angle of cam revolution as it is seen from the system rotating with the cam
Równanie rodziny prostych (1.38) dla popychacza o ruchu postępowym znajdujemy z rys. 1.25. Równanie linii prostej popychacza
The equation of the family of lines (1.38) for the linear motion of the flat faced follower can be found from Figure 1.25. The equation of a straight line
.(1.41)
Z rys. 1.25 znajdujemy stałą nFrom Figure 1.25 we find a constant n
34
Jerzy Zajączkowski
(1.42)oraz współczynnik kierunkowy mand directional factor m
.
(1.43)Podstawiając wielkości n i m do równania (1.41) otrzymujemySubstituting n and m into equation (1.41) we obtain
.
(1.44)Aby uniknąć zera w mianowniku równanie (1.44) przepisujemy w postaci (1.38)To avoid the zero in the denominator of equation (1.44) we rewrite it in the form (1.38)
.(1.45)
Porównując współczynniki w równaniu (1.38) i (1.45) znajdujemyComparing the coefficients in equation (1.38) and (1.45) we find
.(1.46)
Podstawiając wielkości A, B i C do równań (1.40) znajdujemy współrzędne zarysu krzywkiSubstituting A, B and C to equations (1.40) we find the coordinates of the cam profile
,
.
(1.47)
35
Jerzy Zajączkowski
Rys. 1.26. Zależność kąta obrotu popychacza od kąta obrotu krzywki widziana w układzie obracającym się z krzywką
Figure 1.26. Dependence of the rotation angle of the follower on cam rotation angle as it is seen in the system rotating with the cam
Dla popychacza o ruchu obrotowym równanie rodziny prostych (1.38) znajdujemy z rys. 1.26. Równanie linii prostej popychaczaFor the follower having rotary motion the equation of families of straight lines (1.38) we find from Figure 1.26. The equation of a straight line
.(1.48)
Z rys. 1.26 znajdujemy współczynnik kierunkowy mFrom Figure 1.26 we find the directional factor m
(1.49)oraz współczynnik nand coefficient n
.(1.50)
Równanie (1.48) przepiszemy w postaci ogólnejEquation (1.48) we write in the general form
.(1.51)
Porównując współczynniki w równaniu (1.38) i (1.51) znajdujemyComparing the coefficients in equation (1.38) and (1.51) we find
, (1.52)
(1.53)Podstawiając wielkości A, B i C do równań (1.40) znajdujemy współrzędne zarysu krzywkiSubstituting A, B and C to equations (1.40) we find the coordinates of the cam profile
,
.(1.54)
Kąt 0 oraz odległość osi obrotu popychacza od punktu styczności z krzywką rr (rys. 1.26) można obliczyć z zależnościThe angle 0 and the distance from the axis of rotation of the follower from the point of contact with the cam rr (Figure 1.26) can be calculated from the relationships
,
.
36
Jerzy Zajączkowski
(1.55)Dla popychacza z toczkiem (rys. 1.24, 1.27, 1.28) układ równań (1.35, 1.36) ma postać
For the roller follower (Fig. 1.24, 1.27, 1.28) set of equations (1.35, 1.36) has the form
(1.56)
(1.57)Jego rozwiązanie określa współrzędne zarysu krzywkiIts solution determines the coordinates of the cam profile
(1.58)
Jak pokazano na rys. 1.24 mamy to dwie obwiednie. Większą określa znak plus, a mniejszą minus. Pochodne względem obliczamy numerycznie, wykorzystując zależności (1.27).
As shown in Figure 1.24 there are two envelopes. Outer is defined by plus sign, and inner by minus sign. The derivatives with respect to we calculate numerically, using equation (1.27).
Dla popychacza o ruchu postępowym współrzędne środków okręgów tworzących rodzinę (1.59) znajdujemy z rys. 1.27.
For the follower with translating motion the coordinates of centres of circles constituting family (1.59) we find from Figure 1.27.
(1.59)Dla popychacza o ruchu obrotowym współrzędne środków okręgów tworzących rodzinę
znajdujemy z rys. 1.28For the follower with rotary motion the coordinates of centres of circles constituting family (1.60) we find from Figure 1.28.
(1.60)
37
Jerzy Zajączkowski
Rys. 1.27. Zależność przemieszczenia liniowego popychacza od kąta obrotu krzywki widziana w układzie obracającym się z krzywką.
Figure 1.27. The dependence of the linear displacement of the follower on angle of revolution of cam as it is seen from the system rotating with the cam.
Rys. 1.28. Zależność kąta obrotu popychacza od kąta obrotu krzywki widziana w układzie obracającym się z krzywką
Figure 1.28. The dependence of the rotation angle of the follower on the angle of revolution of cam as it is seen from the system rotating with the cam
Naciski działające na krzywkęThe pressure acting on the cam
Siła nacisku popychacza na krzywkę jest prostopadła do zarysu krzywki w punkcie styczności. Składowa siła działająca na popychacz w kierunku jego ruchu (rys. 1.29, 130) może być obliczona jako rzut siły normalnej na ten kierunek.
The follower force acting on the cam is perpendicular to the cam profile at the point of contact. The component of force acting on the follower in the direction of its movement (Fig. 1.29, 130) can be calculated as a projection of the normal force on this direction.
38
Jerzy Zajączkowski
Rys. 1.29. Siła nacisku na krzywkę – popychacz o ruchu postępowymFigure 1.29. Pressure on the cam - follower with translating motion
W przypadku ruchu postępowego, kąt pomiędzy kierunkiem ruchu popychacza i kierunkiem normalnym do krzywki wynosi =-s. W przypadku ruchu obrotowego popychacza mamy =0+s. Kąt s obliczymy z zależności
In the case of translation of the follower, the angle between the direction of movement of the follower and the direction normal to the cam is =-s. In the case of rotation of the follower we have =0+s. The angle s can be calculated from relationship
(1.61)Kąt nachylenia stycznej można znaleźć z zależnościTangent angle can be found from the relation
(1.62)
39
Jerzy Zajączkowski
Rys. 1.30. Siła nacisku na krzywkę - popychacz o ruchu obrotowymFigure 1.30. Pressure on the cam - follower with rotary motion
Siłę nacisku na krzywkę dla popychacza o ruchu postępowym znajdziemy z rysunku 1.29The force pressing on the cam for translating motion of the follower can be found from
Figure 1.29
.
(1.63)
Siłę nacisku na krzywkę dla popychacza o ruchu obrotowym znajdziemy z rysunku 1.30The force pressing on the cam for rotary motion of the follower can be found from Figure
1.30
.
(1.64)Naciski z jakimi popychacz działa na krzywkę znajdziemy korzystając ze wzoru HertzaThe pressure with which the follower acts on the cam can be found using the Hertz
formula
(1.65)
40
Jerzy Zajączkowski
We wzorze (1.65) Fn oznacza siłę z jaką popychacz naciska na krzywkę, sz oznacza szerokość krzywki, Kf=1/rf oznacza krzywiznę rolki, Kk=1/k krzywiznę krzywki, (Ef, Ek ) oznaczają moduły Younga, a (f , k ) liczby Poissona rolki (f) i krzywki (k), odpowiednio. Ze wzoru (1.65) wynika, że wielkość nacisków jest wprost proporcjonalna do pierwiastka z wielkości siły, a odwrotnie proporcjonalne do pierwiastka z szerokości krzywki. Tak więc, dopiero czterokrotne zwiększenie jej szerokości pozwoli na dwukrotne zmniejszenie nacisków.
In the formula (1.65) Fn denotes the force with which follower presses on the cam, sz is the width of the cam, Kf=1/rf denotes curvature of the roller, Kk=1/k the curvature of the cam, (Ef, Ek ) are Young's modules, and (f , k ) the Poisson ratio of roller (f) and cam (k), respectively. It follows from (1.65) that the magnitude of the pressure is directly proportional to the square root of the magnitude of the force, and inversely proportional to the square root of the width of the cam. Thus, only a fourfold increase in its width will reduce the pressure to double.
Rys. 1.31. Geometryczne związki służące do obliczenia promienia krzywizny Figure 1.31. Geometric relationships that are used for calculating radius of curvature
Wzory pozwalające obliczyć wartość krzywizny zarysu znajdziemy z rys. 1.31The equations for calculating the curvature of the cam profile can be found from Figure
1.31
(1.66)Rozwiązując układ równań (1.66) znajdujemy wzór określający promień krzywizny k
By solving equations (1.66) we find the formula defining the radius of curvature k
(1.67)
Pochodne obliczamy numerycznie wykorzystując wzory (1.27) i (1.28). The derivatives we calculate numerically using the formulas (1.27) and (1.28).
41
Jerzy Zajączkowski
Jeżeli krzywka jest wklęsła, to promień toczka musi być mniejszy od najmniejszego promienia krzywizny wklęsłości. W innym wypadku, toczek nie mieściłby się we wklęsłościach krzywki.
If the cam is concave, then the radius of the roller must be smaller than the smallest radius of curvature of the concavity. Otherwise, the roller would not have enough room in the cam concavity.
Laboratorium komputeroweComputer labProgram komputerowy Computer programhttp://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmp.htmhttp://bhp-k412.p.lodz.pl/progr/mmp.htm
Zbudować programy komputerowe realizujące funkcje ruchu popychacza opisane w Przykładzie 1 i 2. Obliczyć współrzędne zarysu krzywek oraz przeprowadzić wizualizację ich współpracy. Build computer programs implementing the follower motion functions described in Example 1 and 2. Calculate the coordinates of the cam profile and perform visualization of their cooperation.
Zastosowanie metod analitycznych do opisu prostych mechanizmówThe application of analytical methods for describing simple mechanisms
Dla nieskomplikowanych mechanizmów związki pomiędzy przemieszczeniami elementów można znaleźć w postaci analitycznej. For the simple mechanisms the relationships between the displacements of elements can be found in an analytical form.1. Mechanizm suwakowy pokazany na rys. 1.321. The slider-crank mechanism shown in Figure 1.32.
Figure. 1.32. The slider-crank mechanism
Rozwiązując układ równańSolving set of equations
R L xcos cos 0,R L esin sin 0
otrzymamy funkcję we obtain the following function
x R L R e cos sin 2 2
.(1.68)
2. Czworobok przegubowy pokazany na rys. 1.3342
Jerzy Zajączkowski
2. Four-bar linkage shown in Figure 1.33Układ równań Set of equations
,
.
Rys. 1.33. Mechanizm korbowo – wahaczowy Figure 1.33. Four-bar linkage
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa eliminujemy jedną z niewiadomychUsing the Pythagoras theorem we eliminate one of the unknowns
cos sin2 2 1 ,
L L L Lr ccos sin cos 2 ,
L L L Lr csin cos sin 1 ,
L L L L L L Lr c r c2
2
1
2 2 sin cos cos sin .
Otrzymaliśmy równanie kwadratoweWe obtained a quadratic equation
G G G G G G22
32 2
1 2 12
322 0 sin sin ,
G
L L L L L L L L LL
r c c c
r1
212
22 2 2
2 12
2 2
cos sin
,
GL L
Lc
r2
22
cos
,
GL L
Lc
r3
12
sin
którego rozwiązanie określa funkcję ruchu wahaczawhich solution determines the function of motion of the rocker
43
Jerzy Zajączkowski
sin
G G G G G G
G G1 2 3 2
232
12
22
32
.(1.69)
3. Mechanizm jarzmowy pokazany na rys. 1.343. Yoke mechanism shown in Figure 1.34W przypadku napędu od strony korby otrzymamyIn the case of driving the crank, we have
r lsin sin 0 ,
h r l cos cos 0,
tansincos
sincos
ll
rr h
.
(1.70)
Rys. 1.34. Mechanizm jarzmowyFigure 1.34. Yoke mechanism
W przypadku napędu od strony jarzma otrzymamyIn the case of driving the yoke, we have
r h
sin sin
,
sin sin hr ,
arcsin sin
hr .
44
Jerzy Zajączkowski
(1.71)
4. Krzywka trójkątna (rys. 1.35) wprawiająca ramkę w ruch postępowy z dwoma postojami 4. Triangle cam (Figure 1.35) driving the frame in the linear motion with the two stops
Zależności pomiędzy wymiaramiThe relationships between dimensions
R a1 , R a R b2 ,
b a22
sin,
s R R a b a a b a amax sin 1 2 2 22
,
2 .
Rys. 1.35. Krzywka trójkątnaFigure 1.35. Triangle cam
Zamiast obracać krzywką obracamy ostoją.Instead of rotating the cam we rotate the base.
Rys. 1.36. Kolejne położenia linii styku popychacza względem krzywkiFigure 1.36. The consecutive positions of the contact line relative to the cam
Z rysunku 1.36 znajdujemy funkcję określająca ruch popychaczaFrom Figure 1.36 we find the function determining the motion of the follower
45
Jerzy Zajączkowski
h
R
R a
a
R
02
02
2
2
2
1
cos
cos
, h h .
(1.72)
5. Mechanizm z krzywką walcową5. The cylinder cam mechanismZ rysunku 1.37 znajdujemyFrom Figure 1.37 we find
,
.
(1.73)
Rys. 1.37. Krzywka z rowkiem na powierzchni walcaFigure 1.37. The cam with a groove on the surface of the cylinder
6. Przekładnia z zębnikami niekołowymi pokazana na rys. 1.386. Non-circular gear shown in Figure 1.38
Rys. 1.38. Przekładnia z zębnikami niekołowymi
46
Jerzy Zajączkowski
Figure 1.38. Non-circular gear
Z rysunku 1.38 znajdujemyFrom Figure 1.38 we find
,
,
.
(1.74)
2. DYNAMIKA MASZYN O RUCHU ZMIENNYM
2. DYNAMICS OF VARIABLE MOTION MACHINES
Maszyna ze sztywnymi elementami o ruchu obrotowymThe machine with rigid rotation elements
Na rys. 2.1 pokazany jest schemat dynamiczny maszyny, której elementy wykonują ruch obrotowy. Obracający się element A, za pośrednictwem - nie pokazanego na rysunku - mechanizmu dźwigniowego lub krzywkowego, napędza wahacz B. Współrzędne kątowe () określają położenie elementów układu, M oznacza moment siły, (A, B) oznaczają masowe momenty bezwładności. W przypadku ruchu postępowego będziemy mieli odpowiednio: współrzędną liniową, siłę oraz masę.
Figure 2.1 shows a diagram of dynamics of a machine whose components perform the rotary motion. A rotating element A, through - not shown – either cam or linkage mechanism drives the rocker B. The angular coordinates () determine the location of system components, M is a torque, (A, B) denote the mass moments of inertia. In the case of the translation we will have instead: linear coordinate, forces and masses.
Rys. 2.1. Model maszyny ze sztywnymi wałami z elementami o ruchu obrotowym i schemat silnika prądu
stałegoFigure 2.1. Model of machine with rigid shafts with elements having rotary motion and diagram of a DC motor
Sposób wyznaczania funkcji określających zależność pomiędzy ruchem elementu napędzającego i napędzanego omówiony był w poprzednim rozdziale.
47
Jerzy Zajączkowski
Method of determining the function defining the relationship between the movement of the drive and the driven element was discussed in the previous section.
Żądając, aby suma prac wirtualnych wszystkich sił, łącznie z siłami bezwładności, była równa zeru znajdujemy równanie [1]
Reqiring that the sum of virtual work of all forces, including forces of inertia, was equal to zero we find the equation [1]
(2.1)Na wał napędzający A działa moment sił bezwładności, moment silnika Mm oraz moment oporów ruchu Mo
On the drive shaft A acts moment of inertia forces, motor torque Mm and moment of resistance to motion Mo
(2.2)Na wał napędzany B działa moment sił bezwładności oraz suma momentów sił pokonujących opory ruchu oraz wykonujących pracę użyteczną Mr
On the shaft that is driven B acts moment of inertia forces and the sum of the moments of forces overcoming friction and performing useful work Mr.
.
(2.3)Podstawiając momenty sił (2.2, 2.3) do równania (2.1) otrzymujemy Substituting moments of forces (2.2, 2.3) into equation (2.1), yields
(2.4)Traktując funkcję ruchu jako funkcję złożoną tznajdujemy zależnościTreating the motion as a function of a compound function twe find the relationships
(2.5)Dzieląc równanie (2.4) przez d oraz podstawiając zależność określającą przyspieszenie (2.5) otrzymujemy równanieDividing equation (2.4) by d and substituting relationship determining the acceleration (2.5), we obtain the equation
48
Jerzy Zajączkowski
(2.6)Po uporządkowaniu równanie ruchu maszyny (2.6) przyjmuje postać After rearranging (2.6), equation describing the machine motion takes the form
(2.7)
Obciążenie elementu napędzanego zdominowane jest przez moment siły proporcjonalny do jego przyspieszenia. Inaczej jest dla wału napędowego. Z równania (2.7) wynika, że przy stałej prędkości wału napędowego, kiedy przyspieszenie d2/dt2 jest równe zeru, jego obciążenie dynamiczne zdominowane jest przez składową proporcjonalną do iloczynu pierwszej i drugiej pochodnej funkcji .
The loading of the driven element is dominated by torque proportional to its acceleration. This is different for the drive shaft. From equation (2.7) it follows, that for a constant speed of the drive shaft, when the acceleration d2/dt2 is equal to zero, the dynamic loading is dominated by a component proportional to the product of the first and second derivative of the function
Do równania dynamicznego ruchu maszyny (Rys.2.1) dołączamy równanie momentu napędowego silnika [62]
With the dynamic equations of the motion of the machine (Figure 2.1) we associate the equation of motor torque [62]
(2.8a)
Tutaj, L oznacza indukcyjność a R oporność uzwojenia wirnika, Kt oznacza stałą momentową, Kb stałą napięciową, u oznacza napięcie zasilania, i natężenie prądu. Układ równań (2.8a) wygodnie jest przedstawić w zależności od wielkości mechanicznych
Here, L is the inductance and R resistance of the rotor winding, Kt is the torque constant, Kb
voltage constant, u is the voltage and i the current. It is convenient rewrite equations (2.8a) in terms of mechanical quantities
(2.8b)
Tm oznacza tu stałą czasową silnika, m oznacza prędkość kątową biegu jałowego (dla Mm=0 i Tm=0), Cm to sztywność charakterystyki silnika, równa ujemnemu nachyleniu wykresu momentu w funkcji prędkości kątowej dla Tm=0.
49
Jerzy Zajączkowski
Tm denotes the time constant of the motor, m is the idle angular velocity (for Mm=0 and Tm=0), Cm is a stiffness characteristic of the motor that is equal to the negative slope of the graph of the torque as a function of angular velocity for Tm=0.
Równanie (2.8b) przepiszemy w postaciEquation (2.8b) may be rewritten in following form
(2.8c)Tutaj, Mst jest liniową charakterystyka sinika prądu stałego. Dla silników prądu zmiennego będziemy mieli do czynienia z nieliniową charakterystyką. Here, Mst is a straight line static characteristic of a DC motor. For AC motors will have to deal with non-linear characteristics.
Układ równań całkujemy numerycznie. W tym celu zapiszemy go w postaci układu równań pierwszego rzędu. Niech . Mamy wtedy
The system of equations we integrate numerically. For this purpose, we rewrite it as a system of first order equations. Let =U1, Mm=U3. We then have
,
,
.
(2.9)
Jako warunki początkowe przyjmiemy As the initial conditions we take
.
(2.10)W postaci wektorowej układ równań można zapisać następująco The vector form of equations can be written as
.
(2.11)Sposób rozwiązania numerycznego zilustrowany jest graficznie [8] na rys. 2.2. Znając wartość rozwiązania Un równania (2.11) w chwili tn chcemy znaleźć wartość rozwiązania Un+1
po upływie czasu t. W tym celu zastępujemy krzywą U, reprezentującą rozwiązanie, prostą do niej styczną. Z rys. 2.2 znajdujemy pierwsze przybliżenie rozwiązanie po upływie czasu t
50
Jerzy Zajączkowski
The method of numerical solution is illustrated graphically [8] in Figure 2.2. Knowing the value Un of the solution of equation (2.11) at the time tn we want to find a value Un+1 of the solution after the time t. For this purpose, we replace the curve U representing a solution, by straight line tangent to it. From Figure 2.2 we find the first approximation of the solution after the time t
(2.12)Lepsze przybliżenie tego samego rozwiązania otrzymamy obliczając średnie nachylenie dla stycznych na lewym i prawym brzegu przedziału
Better approximation of the same solution we obtain by calculating the average slope for the tangent on the left and right side of the interval
(2.13)
Rys. 2.2. Przybliżenie 1U uzyskane przez zastąpienie krzywej linią styczną; przybliżenie 2U uzyskane przez
zastąpienie krzywej liną prostą o średnim nachyleniu dla stycznych na początku i na końcu przedziału.Figure 2.2. 1U approximation obtained by replacing the curve with tangent line; 2U approximation obtained by
replacing the curve with line having average slope of the tangent at the beginning and end of the interval.
Nachylenie stycznej na prawym brzegu mogło być określone dzięki wykorzystaniu pierwszego przybliżenia (2.12) rozwiązania 1Un+1. Kolejne przybliżenia k+1U można otrzymać podstawiając otrzymany wynik kU do wzoru
The slope of the tangent on the right end can be determined by using the first approximation (2.12) of solutions 1Un+1. Successive approximations k+1U can be obtained by substituting the result kU into the formula
(2.14)W obliczeniach korzystać będziemy się ze wzorów Runge-Kutta w których średnie nachylenie obliczone jest dla większej ilości stycznych
In the calculations we use the formulas in which the average gradient is calculated for a greater number of tangents
51
Jerzy Zajączkowski
(2.15)Środkowe styczne uwzględnione są dwukrotnie w pierwszym (k2) i drugim (k3) przybliżeniu.Central tangents are taken into account twice in the first (k2) and second (k3) approximation.
Program komputerowyComputer programhttp://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmp.htmhttp://bhp-k412.p.lodz.pl/progr/mmp.htm
Maszyna z podatnym wałem napędowymThe machine with the torsionally elastic drive shaft
Schemat maszyny analizowanej pokazany jest na rys. 2.3.The diagram of the analyzed machine is shown in Figure 2.3.
Rys. 2.3. Schemat maszyny z podatnym wałem napędowymFigure 2.3. The diagram of the machine with torsionally elastic drive shaft
Równanie ruchu wirnika A1 maj postaćThe equation of the motion of the rotor A1 has the form
.
(2.16)Korzystając zasady prac wirtualnychUsing the principle of virtual work
52
Jerzy Zajączkowski
(2.17)Otrzymujemywe get
(2.18)Moment silnika The motor torque
.
(2.19)PodstawiającSubstituting
(2.20)otrzymamy układ równań pierwszego rzęduwe get a set of first-order equations
.
(2.21)Moment sił skręcających wał
53
Jerzy Zajączkowski
The shaft is subject to torsion by
.(2.22)
Maszyna z podatnym wałem napędzanymA machine with a torsionally flexible driven shaft
Schemat maszyny analizowanej pokazany jest na rys. 2.4. Diagram of the analyzed machine is shown in Figure 2.4.
Rys. 2.4. Schemat maszyny z podatnym wałem napędzanymFigure 2.4. The diagram of a machine with a torsionally flexible driven shaft
Korzystając zasady prac wirtualnych otrzymujemyUsing the principle of virtual work, one gets
,
,
(2.23)
Podstawiając zależności Substituting relationships
(2.24)do układu (2.23) otrzymujemyto set (2.33), one obtains
54
Jerzy Zajączkowski
(2.25)Moment silnika znajdziemy z równaniaThe motor torque can be found from the equation
(2.26)Układ równań drugiego rzędu zastępujemy układem równań pierwszego rzęduSecond-order equations we replace by the system of equations of first order
(2.27)
Wprowadzamy oznaczenia ułatwiające stosowanie macierzyTo facilitate the application of matrices we introduce the notation
.(2.28)
Układ przyjmuje teraz postać (2.29)The system now takes the form (2.29)
55
Jerzy Zajączkowski
(2.29)Moment z jakim krzywka działa na popychaczThe force moment at which the cam acts on the follower
(2.30)gdzie (T, C, ) oznaczają stałe silnika.where (T, C, ) denote motor constants.
Mechanizm bidłowy krosnaLoom batten mechanism
Układ napędzany jest za pomocą dwóch mechanizmów dźwigniowych lub krzywkowych realizujących ruch tam i z powrotem, a następnie postój [11]. Mechanizmy krzywkowe mają po dwie krzywki tak wzajemnie usytuowane, aby zapobiec ucieczce popychacza.
The system is driven by two linkage or cam mechanisms, carrying rotary reciprocating motion [11]. The cam mechanisms have two conjugate cams so mutually arranged as to prevent the escape of the follower.
56
Jerzy Zajączkowski
Rys. 2.5. Schemat silnika napędowego i model mechanizmu bidłowego napędzanego mechanizmami krzywkowymi
Figure 2.5. The diagram of the drive motor and the model of the loom batten mechanism driven by the cam mechanisms and
Myślowo przecinając elementy podatne, a następnie stosując zasadę prac wirtualnych razem z zasadą d’Alemberta znajdujemy
Cutting torsionally flexible elements and then applying the principle of virtual work together with the d'Alembert principle, we find
57
Jerzy Zajączkowski
(2.31)
Tutaj oznaczają katy obrotu (A, B) masowe momenty bezwładności, (S,K) sztywności, (D,H) współczynniki tłumienia, M moment sił zewnętrznych.
Here, denote the angles of rotation (A, B) mass moments of inertia, (S, K) stiffness, (D, H) damping, M the moment of external forces.
Aby obliczyć moment napędowy, jaki daje silnik trójfazowy (Rys. 2.5) skorzystamy z książki Bajorka [10]. Znajdujemy tam następujący układ równań
To calculate the torque, which comes from a three-phase motor (Figure 2.5) we will use the formulas from Bajorek’s book [10]. There, we find the following system of equations
(2.32)
Oznaczenia: i macierz kolumnowa natężeń prądu, R macierz diagonalna oporności uzwojeń, L macierz kwadratowa indukcji, u=[Ucos(st), Ucos(st-0), Ucos(st-20), 0, 0, 0]T macierz kolumnowa napięć zasilania, sprędkość kątowa pola elektrycznego i 0=2.Symbols: i denotes the column matrix of currents, R diagonal matrix of winding resistances, L induction square matrix, u=[Ucos(st), Ucos(st-0), Ucos(st-20), 0, 0, 0]T matrix column of voltages, s angular velocity of the electric field and 0=2.
Jeżeli parametry elektryczne silnika nie są dostępne, ale dostępne są parametry mechaniczne, można skorzystać z uproszczonego równania (2.8c), zastępując liniową statyczną charakterystykę silnika prądu stałego, charakterystyką nieliniową silnika prądu zmiennego Mst. Zwykle stosuje się wzór Klossa [63], ale można zastosować inny wzór aproksymacyjny.
If electrical parameters of a motor are not available, but instead, we have catalogue mechanical parameters, we can use the approximate equation (2.8c), by introducing nonlinear static motor characteristic Mst. It is usually approximated by Kloss formula [63], but other approximating formula could be used.
58
Jerzy Zajączkowski
(2.33)
Parametr b=2Rs/Rr, gdzie Rs oznacza rezystancje uzwojeń stojana, a Rr wirnika. The parameter b=2Rs/Rr, where Rs is stator resistance and Rr rotor resistance.
Zadanie. Niech Mr oznacza moment rozruchowy, Mmax oznacza lokalne maksimum momentu, Mzn moment znamionowy, prędkość katowązn znamionową prędkość katową, s synchroniczną prędkość katową, Pzn moc znamionową. Znaleźć parametry sk i b wykorzystując wartości katalogowe Mr, Mm=Mmax, Mzn. Podstawiając Mst(0)=Mr i Mst(zn)=Mzn do (2.33), znajdujemy parametry sk i b (2.34a).
Problem.Let us denote the starting torque as Mr, the pull out torque as Mmax, the rated torque as Mzn, the angular velicity as rated angular velicity as zn and the synchronous angular velocity as s. rated power as Pzn. Find parameters sk and b using motor catalogue data of Mr, Mm=Mmax, Mzn. After substituting Mst(0)=Mr and Mst(zn)=Mzn to (2.33), one finds parameters sk and b (2.34a).
(2.34a)
Alternatywnie, parametry sk i b można znaleźć przybliżając nachylenie (2.34b).Alternatively, the parameters sk and b are found by approximating slope (2.34b).
59
Jerzy Zajączkowski
(2.34b)W ten sposób parametery sk i b można obliczyć jeżeli Mr≤Mmax.In this way parameters sk and b can be calculated if Mr≤Mmax.
Przykład 1. Charakterystyki wg wzorów (2.34a) i (2.34b) dla:Example 1. Characteristics according to equations (2.34a) and (2.34b) for:
Pzn=15000 W, zn =1000/30 rad/s, Mzn=Pzn/zn, s=910/30 rad/s. Mmax / Mzn=3.9, Mr /Mzn=3.9; (2.34a): b=0.0, sk=1; (2.34b): b=0.85, sk=1.
Przykład 1. Charakterystyki wg wzorów (2.34a) i (2.34b) dla:Example 2. Characteristics by equations (2.34a) and (2.34b) for:
Pzn=5500 W, zn =1450/30 rad/s, Mzn=Pzn/zn, s= 1500/30 rad/s. Mmax / Mzn=3.1, Mr / Mzn=2.3; (2.34a): b=5.6, sk= 0.33; (2.35b): b=4, sk=0.35.
Jeżeli Mr>Mmax lub charakterystyka ma punkt siodłowy, wtedy wzory (2.34) nie mogą być zastosowane. Można zmodyfikować wzór Klossa (2.33) zwiększając moment rozruchowy w następujący sposób (2.35a) lub (2.35b).
60
Jerzy Zajączkowski
If Mr>Mmax or there is a pull up torque (saddle point), then formulas (2.34) cannot be applied. One may modify Kloss formula (2.33) by increasing starting torque as follows (2.35a) or (2.35b).
(2.35a)
(2.35b)
Przykład 3. Charakterystyki wg wzoru (2.35b) dla: Mm / Mzn =3.1, Mr / Mzn =3.5, p=5; b=2, sk= 0.3 (linia 1) i dla b=1, sk= 0.1 (linia 2).
Example 3. Characteristics by equation (2.35b) for: Mm / Mzn =3.1, Mr / Mzn =3.5, p=5; b=2, sk= 0.3 (curve 1) and for b=1, sk= 0.1 (curve 2).
Maszyna szyjąca z chwytaczem o ruchu obrotowym A sewing machine with a rotary hook
Uproszczony schemat maszyny do szycia [1] z chwytaczem wirującym, napędzanym pasem zębatym pokazany jest na rys. 2.6. Pominięto mechanizm transportu, podciągacza, podatność wałów, siły tarcia oraz sił w niciach i tkaninie.
The simplified diagram of the sewing machine [1] with rotating hook driven by a timing belt is shown in Figure 2.6. Other mechanisms, friction forces, thread and fabric forces are not included here.
61
Jerzy Zajączkowski
Rys. 2.6. Schemat napędu igielnicy i chwytacza w maszynie szyjącejFigure 2.6. The diagram of the drive of a needle bar and a hook in a sewing machine
Suma momentów działających na wirnik silnikaThe sum of force moments acting on the motor
(2.36)
gdzie Am oznacza masowy moment bezwładności, m kąt obrotu, Mm moment napędowy wirnika silnika, (ra, rb) oznaczają promienie kół pasowych, (sb, Db) oznaczają odpowiednio sztywność i współczynnik tłumienia pasa. where Am is the mass moment of inertia, m the rotation angle, Mm driving torque of the motor, (ra, rb) are the radii of the pulleys, (sb, Db) denote the stiffness and damping coefficient of the belt.
Moment Mm silnika napędowego można znaleźć z równaniaThe torque Mm of the drive motor can be found from the equation
.
(2.37)Tutaj, Tm oznacza stałą czasową, m prędkość kątową biegu jałowego, a Cm ujemne nachylenie charakterystyki statycznej silnika. Here, Tm is the time constant, m the idle angular speed and Cm the negative slope of the static characteristics of the motor.
Suma prac wirtualnych sił działających na wał korbowy wynosiThe sum of the virtual works of forces acting on the crankshaft is
(2.38)gdzie where
62
Jerzy Zajączkowski
.
(2.39) MA oznacza moment sił działających na wał korbowy, (A, ) oznaczają kolejno masowy moment bezwładności i kąt obrotu wału korbowego, (RH,, rH ) oznaczają promienie kół pasowych, (sH , DH) oznaczają odpowiednio sztywność i współczynnik tłumienia pasa zębatego napędzającego chwytacz, oznacza kat obrotu chwytacza, Y jest współrzędną określającą położenie igielnicy, a mN to masa igielnicy. Podstawiając wielkości (2.39) do równania (2.38) otrzymujemy równanie różniczkowe ruchu wału korbowegoMA is the moment of forces acting on the crankshaft, (A, ) denote the mass moment of inertia and angle of rotation of the crankshaft, (RH,, rH ) are the radii of pulleys, (sH , DH) denote the stiffness and damping coefficient of the timing belt driving hook, is the angle of rotation of the hook, Y is the coordinate defining the position of the needle bar and mN is its mass. Substituting the expressions (2.39) into equation (2.38) we obtain the differential equation of the motion of the crankshaft
(2.40)Suma momentów sił działających na wał chwytaczaThe sum of the moments of forces acting on the hook shaft
(2.41)gdzie BH oznacza jego masowy moment bezwładności. where BH is the mass moment of inertia.
Uproszczony model maszyny szyjącej z chwytaczem o ruchu obrotowo zwrotnym A simplified model of sewing machines with reciprocally rotating hook
63
Jerzy Zajączkowski
Rys. 2.7. Mechanizmy chwytacza i igielnicy w maszynie szyjącejFigure 2.7. The hook and needle mechanisms in a sewing machine
Na rys. 1.13 i 2.7 pokazany jest uproszczony schemat maszyny szyjącej [1]. Silnik napędza wał korbowy, który z kolei nadaje ruch kątowy wałowi chwytacza oraz ruch postępowy Y. Zależności kinematyczne określone były w dziale poświęconym kinematyce .Figures 1.13 and 2.7 shows a simplified diagram of the sewing machine [1]. The motor drives the crankshaft, which in turn sets the hook in the angular motion and in linear motion Y the needle. The kinematic relationships were defined in the section concerned with kinematics.Suma prac elementarnych sił działających na układ równa się zeroThe sum of elementary works of forces acting on the system is equal to zero
(2.42)gdzie where
(2.43)
Znaki dodatnie składników sumy (2.42) są wynikiem takiego wprowadzenia wektora siły i współrzędnej położenia, aby miał te same zwroty. To samo dotyczy momentów sił i współrzędnych kątowych. Dzieląc równanie przez d otrzymujemy The positive signs of elements of the sum (2.42) result from introducing the same positive direction for the vectors and the coordinates. The same applies to the torques and the angular coordinates. Dividing the equation by done gets
(2.44)Wykonując podstawienie otrzymujemy równanieAfter carrying out the substitution, we obtain the equation
64
Jerzy Zajączkowski
(2.45)Dla funkcji złożonej mamy zależnośćFor the compound function we have the relationship
(2.46)Podstawiając do równania ruchu (2.45) związki pomiędzy przyspieszeniami (2.5) oraz (2.46) otrzymujemy równanieSubstituting relationships (2.5, 2.46) to equation of motion (2.45), we obtain the equation
(2.47)Po uporządkowaniu równanie ruchu (2.47) przyjmuje postaćSetting in order equation (2.47) with respect to sought function one obtains
(2.48)
Dla napędu bezpośredniego moment napędowy jest momentem silnika MAm = Mm. Dla napędu za pośrednictwem przekładni pasowej MAm jest momentem, jaki wywiera siła w pasie na koło pasowe wału korbowegoFor a direct drive the motor torque drives directly the mechanism and we have MAm = Mm. In case of using belt drive torque MAm comes from the force exerted by the belt on the crankshaft pulley
.
(2.49)Siła w pasie określona jest tu jako suma składnika proporcjonalnego do rozciągnięcia pasa i składnika proporcjonalnego do szybkości tego rozciągnięcia. Dla wirnika silnika mamy równanieThe force in the belt is calculated here as the sum of the component proportional to the stretch of the belt and a component proportional to the speed of the stretch of the belt. For the motor we have the equation
(2.50)
65
Jerzy Zajączkowski
Mechanizmy o ruchu zmiennym - uwagi ogólneMechanisms of variable motion - general remarks
Mechanizmy o ruchu zmiennym są bardzo wrażliwe na wielkość bezwładności elementów. Już niewielkie zmniejszenie masy elementów roboczych umożliwia zmniejszenie masy pozostałych elementów łańcucha kinematycznego, co prowadzi do zmniejszenia sił napędowych i umożliwia zwiększenie prędkości.
Mechanisms of variable motion are very sensitive to the magnitude of the elements inertia. Even a small reduction of mass of the working parts make possible the reduction of masses of other components in the kinematic chain, which leads to a reduction of driving forces and allows one to increase speed.
Momenty sił bezwładności, jakie towarzyszą ruchowi zmiennemu, powodują fluktuacje prędkości kątowej wału. Pozostaje to w kolizji do tendencji do ruchu ze stała prędkością kątową kół zamocowanych do tego wału. Skutkiem tej kolizji są drgania skrętne wału. W celu zmniejszenia tych drgań zwiększamy momenty bezwładności korb i krzywek, a zmniejszamy je dla pozostałych kół zamocowanych do wału.
Moments of inertia forces that accompany the variable motion cause fluctuations in the angular velocity of the driving shaft. This is in conflict with the tendency to the motion with the constant angular velocity of wheels attached to the shaft. As the result of this collision torsional vibrations of the shaft occur. In order to reduce these vibrations we increase the moments of inertia of the cranks and cams and reduce inertia of the other wheels, that are mounted to the shaft.
Jeżeli mamy do czynienia z ruchem przechodzącym w postój, to w celu ograniczenia naprężeń, okres drgań własnych wynikających ze sztywności wału powinien być mniejszy od czasu trwania zmiany ruchu.
If we are dealing with the motion having dwells the vibration period resulting from the stiffness of the shaft should be shorter than the duration of the dwell. This will reduce the stress in shaft.
Ze względu na to, że masowy moment bezwładności wirnika silnika jest znaczny, napęd powinien być przekazywany na wał krzywkowy lub korbowy za pośrednictwem pasa. Elastyczność pasa umożliwi fluktuację prędkości wału napędzanego, co zmniejszy kolizję pomiędzy jego ruchem i ruchem wirnika silnika.
Due to the fact that the mass moment of inertia of the motor is large, the drive should be passed on to a camshaft or a crankshaft via a belt. Flexibility of the belt allows the speed fluctuation of the driven shaft, which reduces the collision between its motion and the motion of the motor.
Jeżeli na wale poruszającym się ruchem obrotowo zwrotnym nie ma zamocowanych elementów o znaczących momentach bezwładności, to drgania skrętne wynikają z bezwładności jego masy. Nie można ich ograniczyć zwiększając sztywność wału, ponieważ jest ona proporcjonalna do momentu bezwładności przekroju tak samo jak
66
Jerzy Zajączkowski
obciążający wał masowy moment bezwładności. Aby ograniczyć wielkość tych drgań zastępujemy wał kilkoma współosiowymi odcinkami z odrębnymi napędami.
If the rotating shaft does not have attached to it components of the significant moments of inertia, then the torsional vibrations are due to the inertia of shaft mass. They cannot be reduced by increasing the stiffness of the shaft because both, the cross-section moment of inertia and mass moment of inertia are proportional one to the other. To reduce the amplitude of these oscillations we design the shaft that is composed of several coaxial sections with separate drives.
Jeżeli do wału poruszającego się ruchem obrotowo zwrotnym zamocowane są elementy powodujące jego niewyważenie prowadzące do drgań poprzecznych, to zwykle dołączamy dodatkowe masy wyważające wał. Powoduje to wzrost jego momentu bezwładności i przez to wzrost obciążeń działających na element napędowy, jakim jest krzywka lub korba. W tym wypadku korzystniejsze może być zastosowanie wielu podpór zapobiegających drganiom poprzecznym.
If the rotating reciprocally shaft has attached element causing its imbalance leading to transverse vibrations, then we attach to it balancing masses. This increases the moment of inertia and thus it increases of forces acting on the driving element, which is the cam or crank. In this case, you may consider using multiple supports to prevent lateral vibration, instead of balancing.
Jeżeli element roboczy, zamocowany do końca oscylującego ramienia, ma mieć zwiększoną amplitudę ruchu, to należy dokonać optymalizacji w celu określenia, czy korzystniejsze jest wydłużenie ramienia, czy zwiększenie kąta obrotu.
If the operating element, fastened to the end of an oscillating arm, is to have greater amplitude of motion, it should be optimized in order to determine whether it is preferable to extend the arm or increase the angle of rotation.
Projektując krzywkę przyjmujemy jako kryterium minimum działających na nią naprężeń. Maksymalne siły powinny działać wtedy, gdy toczek naciska na wklęsłą część krzywki lub, gdy krzywka ma największy promień krzywizny. Równość maksymalnych przyspieszeń w przeciwnych punktach zwrotnych nie powinna być przyjmowana jako kryterium.
In designing the cam we use the criterion of minimum stress acting on it. The maximum force should occur when the roller press on concave part of the cam or when the cam has the largest radius of curvature. Equality of maximum acceleration in the opposite turning points should not be taken as a criterion.
Aby uniemożliwić kontakt krawędziowy toczka i krzywki, który może być skutkiem nierównoległości ich osi, wynikającej z błędów wykonania, zastępuje się walcowy kształt toczka kształtem baryłkowatym o dużym (np. 2m) promieniu baryłkowatości.
To prevent the edge contact of the roller with the cam, which may be due to the inaccuracy of parallelism of their axis resulting from a low manufacture precision, we use a barrel shaped roller of a large (e.g. 2m) radius of curvature instead of a cylinder,.
67
Jerzy Zajączkowski
Aby zapobiec odrywaniu się rolki od krzywki stosujemy dwie współosiowe sztywno połączone krzywki z ramionami popychacza mającymi rolki po przeciwnych stronach krzywki. Jedna z krzywek będzie wklęsła, a drugą wypukła. Jeżeli stosujemy krzywkę z rowkiem, to musimy pamiętać o tym, że w czasie jednego cyklu rolka będzie się toczyła raz po bieżni wewnętrznej raz po zewnętrznej, co będzie powodowało zmianę kierunku jej obrotów. Stosowanie sprężyn ograniczone jest tylko do małych obciążeń. Zastosowanie sprężyn do dużych obciążeń nie jest możliwe gdyż wymagałoby stosowania dużego momentu rozruchowego silnika.
To prevent losing contact of roller with cam we use two coaxial rigidly connected followers having rollers on opposite sides of the cams. One of the cams will be concave and the other convex. If we use the grooved cam, we must remember that during one cycle of rotation of cam the roller will contact once the inner race and then the outer race, which will change the direction of its rotation. The use of springs is limited only to small loads. Use heavy-duty springs is not possible since it would require a high starting torque of the motor.
Wał wahacza powinien być oparty na łożyskach ślizgowych smarowanych olejem pod ciśnieniem. Łożyska toczne nie powinny być stosowane ze względu na to, że niepełny ruch kątowy wału powoduje, iż rolki nie wykonują pełnego obiegu, a wał opiera się na kilku rolkach.
The rocker shaft should be supported on journal bearings that are lubricated with oil under pressure. Rolling bearings should not be used due to the fact that incomplete angular movement of the shaft causes the rollers do not do the full revolution, and the shaft is supported by a few rolls.
Laboratorium komputeroweUłożyć programy komputerowe symulujące pracę wyżej opisanych maszyn [31-47]
przyjmując wcześniej określone funkcje dla mechanizmów dźwigniowych i krzywkowych. Przyjąć wartości współczynników tłumienia takie, aby maszyna osiągnęła stan ustalony w możliwie krótkim czasie. Zbadać wpływ masowych momentów bezwładności, sztywności elementów podatnych oraz parametrów silnika napędowego.Computer lab
Write the computer programs that simulate the work of described above machinery [31-47] taking pre-defined linkage mechanisms and pre-defined functions for cam mechanism. Take the damping coefficients such that the machine reaches a steady state in possibly short time. Examine the influence of mass moments of inertia, stiffness of flexible elements and motor parameters.
3. MECHANIKA MANIPULATORÓW3. MANIPULATOR MECHANICS
68
Jerzy Zajączkowski
Schematy przykładowych manipulatorów [12,13,14] pokazane są na rys. 3.1, 3.2 i 3.3. Manipulator składa się elementów połączonych szeregowo (rys. 3.4). Sąsiadujące elementy mogą się względem siebie obracać lub przesuwać. Dotyczy to także ruchu względem ostoi. Jeden koniec szeregu jest zamocowany do podstawy, drugi może się swobodnie poruszać. Z elementami manipulatora wiążemy układy współrzędnych wn=(xn,yn,xn) w taki sposób, aby sąsiednie układy miały jedną oś równoległą o takiej samej nazwie i takim samym kierunku dodatnim. W tym przypadku transformacja współrzędnych z jednego układu współrzędnych do drugiego wymaga jedynie przesunięcia lub obrotu względem tej osi. Warunek równoległości osi spełniamy przez wybór odpowiedniej ilości układów współrzędnych i wybór odpowiedniego ich usytuowania.
Diagrams of sample manipulators [12,13,14] are shown in Figures 3.1, 3.2 and 3.3. The manipulator is composed of elements connected in series (Figure 3.4). The neighbouring elements can be rotated relative to each other or slide. This also applies to motion relative to the base. One end of the series is fixed to the base, the other can move freely. With elements of the manipulator we associate coordinate system wn=(xn,yn,xn) in such a way that adjacent systems have one axis parallel with the same name and the same positive direction. In this case, the transformation of coordinates from one coordinate system to another requires only a shift or rotation relative to this axis. The condition of parallel axis can be met by selecting the appropriate number of coordinate systems and the selection of their suitable location.
Rys. 3.1. Położenie manipulatora określają kąty: , , oznaczające ruch względny elementówFigure 3.1. The position of the manipulator is determined by angles: , , denoting the relative
motion of elements
69
Jerzy Zajączkowski
Rys. 3.2. Położenie manipulatora określają kąty: , , oznaczające ruch względny elementówFigure 3.2. The position of the manipulator is determined by angles: , , denoting the relative
motion of elements
Rys. 3.3. Położenie manipulatora określają kąty: , , oraz przesunięcie a oznaczające ruch względny elementów
Figure 3.3. The position of the manipulator is determined by angles: , , denoting the relative motion of elements
70
Jerzy Zajączkowski
Rys. 3.4. Schemat manipulatora; układy współrzędnych w=(x,y,x)Figure 3.4. Diagram of the manipulator; coordinate systems w = (x, y, x)
Niech trajektoria elementu roboczego P będzie zdefiniowana trzema jego współrzędnymi w układzie nieruchomym oraz kątami jakie on tworzy z osiami tego układu w funkcji czasu
Let the trajectory of the workpiece P be defined by three of its coordinates in the system fixed to the base and the angles with the axes of this system as a function of time
(3.1)
Mając współrzędne przedmiotu w układzie chwytaka trzeba obliczyć jego współrzędne w układzie ostoi, przechodząc kolejno przez układy pośrednie. W tym celu potrzebne nam będzie przekształcenie pozwalające obliczyć współrzędne w układzie k-1, mając współrzędne punktu w układzie k. Dla układu obróconego wokół osi z o kąt mamy (1.17)With the coordinates of the object in the gripper system we have to calculate its coordinates in the base system, passing successively through intermediate systems. For this purpose we will use the transformation that allows us to calculate the coordinates in the system k-1 having the coordinates of a point in the system k. For the system rotated angle around the z axis we have (1.17)
Rys. 3.5. Współrzędne punktu w układzie k oraz k-1Figure 3.5. The coordinates of the system k and k-1
71
Jerzy Zajączkowski
(3.2)W zapisie macierzowymIn matrix notation
.
(3.3)
Podobne zależności znajdujemy dla układów obróconych wokół osi x i y (1.17-1.19). Macierze dla układów obróconych względem osi odpowiednio (x, y, z) mają postaćSimilar relations can be found for the systems that are rotated around the axis of x and y (1.17-1.19). Matrices for the systems rotated around the axis (x, y, z) have the following form, respectively
, ,
.
(3.4)
Uwzględniając przesunięcie, zależność pomiędzy współrzędnymi możemy teraz zapisać następującoIncluding the shift, the relationship between the coordinates can now be written as
.
(3.5)
Wektor (a,b,c) oznacza przesunięcie początków układów współrzędnych względem siebie. Zależność (3.5) można zapisać w postaci następującego iloczynu Vector (a, b, c) is the offset of the origins of coordinate systems to each other. Relation (3.5) can be written as the following product
72
Jerzy Zajączkowski
.
(3.6)
Macierze (3.4) dla układów obróconych względem osi odpowiednio (x, y, z) i przesuniętych o wektor (a,b,c) zastąpimy teraz macierzamiMatrices (3.4) for systems rotated around axis (x, y, z) and shifted by a vector (a, b, c) we now replace by matrices
, ,
(3.7)
Równanie (3.5) można teraz zapisać następującoEquation (3.5) can now be written as
(3.8)Nie zawiera ono sumy, a tylko iloczyn. Przechodząc teraz od układu do układu znajdujemy współrzędne w układzie związanym z ostoją It contains only products without sums. Turning now from one system to the other we find the coordinates in the base fixed system
.
(3.9)
73
Jerzy Zajączkowski
Rys. 3.6. Współrzędne punktu w układach o przesuniętych początkach i obróconych względem siebie.Figure 3.6. The coordinates of the point in systems that are shifted and rotated relative to each other.
Jeżeli zamiast kątów obrotu wokół osi weźmiemy pod uwagę kąty pomiędzy osiami (rys. 3.6) i dodatkowo uwzględnimy przesuniecie względne układów, to zależność pomiędzy współrzędnymi punktu w obydwu układach można wyrazić następująco
If instead of the angles of rotation around the axis we consider the angles between the axes (Fig. 3.6) and also we take into account the relative shift of systems, the relationship between the coordinates of the point in the two systems can be expressed as follows
.
(3.10)
Zależność pomiędzy współrzędnymi w układzie n i 0 ma postaćThe relationship between the coordinates in the system n and 0 has the form
(3.11)
Porównując (3.9) i (3.11) znajdujemy kosinusy kątów pomiędzy osiami Comparing (3.9) and (3.11) we find the cosines of the angles between the axes
74
Jerzy Zajączkowski
(3.12)
Oznaczmy symbolem te spośród ( ), które oznaczają współrzędne nastawiane za pomocą silników. Określają one względny obrót lub przesunięcie elementów manipulatora. Dobieramy tak długo, aż współrzędne (3.9) oraz kąty (3.12) osiągną wartości bliskie tym określonym zależnościami (3.1). Sprowadza się to do znalezienia miejsca zerowego funkcjiDenote those of ( ), which represent the coordinates adjusted by motors. They determine the relative rotation and displacement components of the manipulator. We calculate as long as the coordinates (3.9) and angles (3.12) reach values close to that specified by (3.1). This amounts to finding values for which the function (3.13) becomes equal to zero
.
(3.13)
Obliczenia realizujemy posługując się metodą Brenta [6]. Calculations can be carried out using the Brent’s [6] method.
Po dobraniu właściwego wektora jako funkcji czasu, znajdujemy współrzędne każdej z mas k w układzie nieruchomym 0
After selecting the proper vector as a function of time, we find the coordinates of each of the masses k in the system fixed to the base coordinate system 0
.
(3.14)
Możemy teraz obliczyć ich przyspieszenia korzystając z różniczkowania numerycznego. Oznaczając Wn=w(tn), w(t)=w0
(k) i t=tn+1-tn dla pierwszego i drugiego punktu trajektorii mamy We can now calculate the acceleration using numerical differentiation. Denoting Wn=w(tn), w(t)=w0
(k) and t=tn+1-tn for the first and second point of the trajectory we have
,
75
Jerzy Zajączkowski
(3.15)dla kolejnych punktówfor next points
,
(3.16)dla przedostatniego i ostatniego punktu trajektoriifor the one before last and last point of the trajectory
.
(3.17)Znalezione wartości przyspieszeń pozwalają obliczyć siły bezwładności, a następnie siły napędowe i wewnętrzne. Found acceleration values allow to calculate the forces of inertia, the driving forces and the internal forces.
W celu obliczenia sił bezwładności, masa manipulatora zostaje podzielona na masy skupione w początkach układów współrzędnych [12].
In order to calculate the forces of inertia, the mass of the manipulator is divided into the mass concentrated at the beginnings of coordinate systems [12].
Rys. 3.7. Schemat manipulatora po zastąpieniu jego masy masami skupionymi mn Figure 3.7. Diagram of the manipulator with its mass replaced by concentrated masses mn
Siła działająca na masę k zapiszemy w postaciForce acting on the mass k we write in the form
.
(3.18)Superskrypt (w0 ) oznacza że siła określona jest przez jej składowe w układzie współrzędnych nieruchomych w0. Składowe przyspieszeń obliczone są w układzie nieruchomym.
76
Jerzy Zajączkowski
Superscript (w0) means that the force is determined by its components in the motionless coordinate system w0. The components of the accelerations are calculated in the motionless system.
Rys. 3.8. Składowe (F(x), F(y), F(z)) wektora siły F , składowe (r(x),r(y),r(z)) wektora położenia punktu przyłożenie siły, składowe (M(x), M(y), M(z)) momentu siły F względem początku układu współrzędnych.
Figure 3.8. The components (F(x), F(y), F(z)) of the vector force F, the components (r(x),r(y),r(z)) of the position vector of the point where force is applied, the components (M(x), M(y), M(z)) of the moment of force F
with respect to the origin.
Wszystkie siły i momenty sił wyrazimy przez macierze kolumnowe ich składowych w nieruchomym układzie współrzędnych.
All forces and moments we express by the column matrix of components in a fixed coordinate system.
.
(3.19)W takim zapisie mogą być one dodawane algebraicznie. In this notation they can be added algebraically.
Sumując wszystkie siły działające na manipulator od swobodnego końca do punktu l otrzymujemy wypadkową siłę działającą na ten punkt
Adding up all the forces acting on the manipulator from the free end to the point l we get the resultant forces acting on the point
(3.20)Moment siły względem punktu (rys. 3.8) określimy w zapisie macierzowym w
następujący sposóbMoment of force with respect to the point (Figure 3.8) we define in the matrix notation
as follows
77
Jerzy Zajączkowski
.
(3.21)
Moment siły k wokół punktu l możemy teraz zapisać jako Moment of force k about a point l we can now write as
, , .
(3.22)
Sumując momenty sił względem punktu l otrzymujemy wypadkowy momentSumming moments with respect to point l we obtain the resultant moment
(3.23)Wzory (3.20, 3.23) określają składowe w nieruchomym układzie współrzędnych. Potrzebne są inne składowe, mianowicie siły i momenty sił napędowych, siły normalne, tnące i momenty gnące. Formulas (3.20, 3.23) specify the components in a fixed coordinate system. We need other components, namely the driving forces and moments, normal and shear forces, and bending moments.
Najpierw znajdziemy potrzebne nam zależności. Mając składowe siły F w układzie k-1 obliczmy składowe w układzie k. Zależności te znajdziemy w sposób pokazany na rys. 3.9
First, we find required relationships. Having components of the force F in the system k-1 we calculate the components in the system k. These relationships can be found as shown in Figure 3.9
.(3.24)
Rys. 3.9. Wektor F reprezentowany przez alternatywne składoweFigure 3.9. Vector F represented by alternative components
Równania (3.24) można zapisać w postaci macierzowejEquations (3.24) can be written in a matrix form
78
Jerzy Zajączkowski
.(3.25)
Podobne zależności znajdujemy dla składowych w układzie obróconym wokół pozostałych osi. Macierze Q dla składowych w układach obróconych wokół osi x, y i z mają postaćSimilar relations we find for the components in the system rotated around the other axes. Matrices Q for the components in the systems rotated around the axis x, y and z have the form
, ,
.(3.26)
Zależność pomiędzy składowymi w kierunkach kolejnych osi dla sił i momentów możemy teraz zapisać następującoThe relationship between components in the directions of successive axes for forces and moments can now be written as
, .(3.27)
Wielokrotne rekurencyjne podstawienie zależności (3.27) pozwala zstąpić składowe w układzie w0, składowymi w układzie lokalnym wl Repeated substitution of recursive relations (3.27) allows one to replace components in the system w0 by the components in the local coordinate system wl
,(3.28)
.(3.29)
Składowe wektorów (3.28, 3.29) stanowią siły i momenty napędowe oraz siły tnące, momenty gnące i skręcające. Components of the vectors (3.28, 3.29) are the driving forces and moments and shear forces, bending and torsion moments.
Laboratorium komputerowePrzeprowadzić obliczenia symulacyjne dla wybranego manipulatora i zadanej trajektorii ruchu [12]. Computer labPerform simulation calculations for the selected manipulator and defined motion trajectory [12].
4. DRGANIA UKŁADÓW MECHANICZNYCH4. VIBRATIONS OF MECHANICAL SYSTEMS
79
Jerzy Zajączkowski
WibroizolacjaVibration isolation
Jeżeli masa m spoczywa na sztywnym podłożu (rys. 4.1a), to siła F0sint przenosi się całkowicie na podłoże. Gdyby nie było siły ciężkości i masa mogłaby się poruszać swobodnie (rys. 4.1b), to siła ta równoważona byłaby przez siłę bezwładności md2x/dt2. Aby zrównoważyć siłę ciężkości mg, a jednocześnie umożliwić ruch masy, podpieramy masę odpowiednio miękką sprężyną (rys. 4.1c).
If the mass m rests on a rigid ground (Fig. 4.1a), the force F0sint is transferred completely to the ground. If there was no gravity and the mass could move freely (Fig. 4.1b), then this force would be balanced by the inertia force md2x/dt2. To balance the force of gravity mg, and yet allow the mass movement, we support it with a suitably soft spring (Fig. 4.1c).
Rys. 4.1. Układ pod działaniem sił zewnętrznych: (a) sztywne podparcie powodujące przenoszenie siły na podłoże; (b) brak podparcia - możliwy w stanie nieważkości - umożliwiający swobodny ruch masy, któremu towarzyszy siła bezwładności równoważąca siłę zewnętrzną; (c) podparcie sprężyste równoważące siłę ciężkości, ale umożliwiające ruch, którego efektem są siły bezwładności.Figure 4.1. System under the action of external forces: (a) a rigid support that cause force transfer to the ground, (b) lack of support - possible in weightlessness - allowing the free movement of mass, accompanied by the inertia force that is balancing the external force, (c) the elastic support balancing force of gravity, but allowing mass motion, which results in inertial forces.
Równie ruchu ma postać The equation of motion
.
(4.1)Rozwiązanie reprezentujące drgania wymuszoneThe solution representing the forced vibration
,
.
(4.2)0 oznacza częstość drgań własnych. Nacisk na podłoże będzie mały pod warunkiem że częstość wymuszenia będzie wielokrotnie większa od częstości drgań własnych 0 .
80
Jerzy Zajączkowski
0 denotes frequency of natural oscillations. Force acting on the ground will be small, provided that the excitation frequency is many times greater than natural frequency 0.
(4.3)
Układ z wzajemnie równoważącymi się siłami bezwładności pokazany jest na rys. 4.2. The system of mutually balancing forces of inertia is shown in Figure 4.2.
Rys. 4.2. Układy z wzajemnie równoważącymi się siłami bezwładnościFigure 4.2. The systems of mutually balancing forces of inertia
Równowaga sił bezwładności możliwa jest jeżeli środek ciężkości układu jest nieruchomyThe balance of inertia forces is possible if the centre of gravity of the system is motionless
(4.4)
(4.5)
Jeżeli sprężyste podparcie (rys. 4.3) będzie umożliwiać ruch środka masy m1, to siły bezwładności będą się w znacznej mierze wzajemnie równoważyły i sprężyny będą przenosiły na ramę nieznaczne siły.
Aby zmniejszyć siły przenoszone na podłoże należy umożliwić taki ruch maszyny, aby siły zewnętrzne i siły bezwładności wzajemnie się równoważyły [1]. Aby amplituda drgań nie była duża układ musi pracować znacznie powyżej częstości rezonansowych. Dalsze zmniejszenie amplitudy drgań maszyny można osiągnąć przez zwiększenie masy korpusu
81
Jerzy Zajączkowski
maszyny lub mocując ją na betonowym fundamencie ustawionym na sprężynach. Beton jest zbrojony stalowymi prętami. Stosuje się też płyty stalowe.
If the elastic support (Figure 4.3) will allow the movement of centre of mass m1, the inertia forces will be largely compensated by each other and the spring will pass on to the frame only a small force.
To reduce the forces transferred to the ground we should allow such movements of the machine, that the external forces and inertia forces are mutually compensated [1]. In order to make the amplitude of vibration small, the system must operate well above the resonance frequency. A further reduction in the amplitude of vibration machines can be achieved by increasing the weight of the machine frame or fixing it on a concrete foundation set on springs. The concrete is reinforced with steel rods. Alternatively steel plates are used.
.
Rys. 4.3. Wibroizolacja układu z wzajemnie równoważącymi się siłami bezwładnościFigure 4.3. Vibration isolation of system with mutually balancing inertia forces
Ugięcie sprężyny wibroizolatora nie powinno blokować zwojów pozostawiając pomiędzy nimi luz w stanie ustalonym. Obliczenia naprężeń i ugięcia sprężyn prowadzimy biorąc pod uwagę siłę ciężkości powiększoną o siłę dynamiczną, obliczoną jako iloczyn sztywności sprężyn i przemieszczenia, przy którym środek ciężkości pozostaje nieruchomy.
Deflection of vibration isolators should not lock coils of the springs, leaving between them clearance in the steady state. While calculating the stress and the deflection we take into account the gravity force increased by the dynamic force, calculated as the product of the spring stiffness and the displacement at which the center of gravity remains stationary.
Sprężyny: http://www.springs.com.pl/kat_nacisk.php
Wpływ drgań na zdrowie pracownika The effect of vibration on worker’s health
Dla drgań harmonicznych mamy następujące zależnościFor harmonic vibration we have the following relationships
82
Jerzy Zajączkowski
Dokonujemy pomiarów przyspieszenia amax drgań oraz częstotliwości drgań . Drgania narzędzi i maszyn mogą powodować zmienne odkształcenia naczyń krwionośnych operatora. Skutkiem tego dochodzi do lokalnego zaburzenia krążenia krwi. Opór przepływu, na jaki napotyka krew zależy od wielkości odkształceń ymax=amax/ oraz prędkości, z jaką te odkształcenia zachodzą vmax=amax/.
We measure the vibration acceleration amax and oscillation frequency . Vibration of hand tools and mobile machinery can cause varying deformation of operator’s blood vessels. Hence, there can be a local blood circulation disorders. The flow resistance encountered by the blood depends on the deformation ymax=amax/ and the speed with which these deformations occur vmax=amax/.
Ochrona zdrowia pracownika polega na ograniczeniu wielkości drgań oraz czasu pracy do wartości dopuszczalnych. Realizuje się za pomocą środków technicznych oraz przez rotację pracowników na danym stanowisku.
Healthcare of workers rely on reduction of the vibration amplitude and the time of worker exposition to vibration to allowable values. The former is accomplished through technical means and the latter through the rotation of employees on the job.
Dynamiczny eliminator drgań Dynamic vibration eliminator
Masa m1 umieszczona na sprężynie o sztywności k1 pobudzana jest do drgań rezonansowych siłą F1sint o częstości wymuszenia równej częstości drgań własnych 1=(k1/m1)1/2 (rys 4.4a)Mass m1 placed on the spring with stiffness k1 is forced to resonance vibrations by the force F1sin t having the frequency of excitation equal natural frequencies 1.=(k1/m1)1/2 (Fig. 4.4a)
Rys. 4.4. Dynamiczny eliminator drgańFigure 4.4. Dynamic vibration eliminator
Aby wyeliminować drgania rezonansowe, dodajemy dodatkową masę m2 (rys. 4.4b) tak dobraną, aby równoważyła siłę F1 Będzie to miało miejsce, gdy (k2/m2)1/2=
83
Jerzy Zajączkowski
To eliminate the resonance vibration, we add extra mass m2 (Fig. 4.4b) chosen so as to counterbalance the force F1. This will happen when (k2/m2)1/2=
Układ o jednym stopniu swobodySystem having one degree of freedom
Drgająca masa pokazana jest na rys. 4.5. Uwalniamy ją od więzów i żądamy aby wypadkowa wszystkich sił działających na masę była równa zeru
Vibrating mass is shown in Figure 4.5. We free it from bonds and we demand that the resultant of all forces acting on the mass is equal to zero
.
(4.6)Rozwiązanie równania (4.6) zawiera składnik zależny od warunków początkowych i zanikający z upływem czasu oraz składnik okresowy zależny od funkcji wymuszającej ruch, znajdującej się po prawej stronie równaniaThe solution of equation (4.6) contains of two distinct components: (1) the component that dependents on initial conditions and is vanishing with the elapse of time and (2) the periodic component that depends on the function on the right-hand side of the equation that is forcing the motion.
(4.7)
Rys. 4.5. Układ drgający o jednym stopniu swobodyFigure 4.5. Oscillatory system with one degree of freedom
Po zaniku drgań własnych pozostaje tylko ten drugi składnik, który po wyznaczeniu stałych można zapisać w postaciAfter the decay of natural vibrations, only the second component remains. After calculating constants it can be written as
84
Jerzy Zajączkowski
(4.8)
Określa on zachowanie układu w stanie ustalonym. Dla h=0 mamy
It specifies the behaviour of the steady state. For h = 0 we have
(4.9)Gdy częstość wymuszenia zbliża się do częstości drgań własnych 0 wartość mianownika ułamka zbliża się do zera, a ułamek oznaczający amplitudę drgań przybiera coraz większą wartość. Gdy 0 ma miejsce rezonans. When the excitation frequency approaches the natural frequency 0 the value of the denominator of the fraction approaches zero, indicating that the amplitude of vibration increases. Resonance occurs when 0.
Wirująca masaRotating mass
Na rysunku 4.5* pokazano realistyczny odpowiednik układu z rys. 4.5. Tutaj, silnik wprawia w ruch obrotowy masę m1 za pomocą momentu siły M.
In Figure 4.5* the realistic equivalent of system from Figure 4.5 is shown. Here, the motor rotates the mass m1 by means of the torque M.
Rys. 4.5*. Drgania masy wzbudzane siłą odśrodkową wirującej masy. Figure 4.5*. Vibrations induced by centrifugal force of the rotating mass.
Równania opisujące ruch układu mają postaćThe equations of motion of the system have the form.
85
Jerzy Zajączkowski
(4.6*)Całkujemy je korzystając z metody Runge-Kutta.We integrate them by using the Runge-Kutta method.
Układ o dwóch stopniach swobodySystem having two degrees of freedom
Rys. 4.6. Układ drgający o dwóch stopniach swobodyFigure 4.6. Oscillatory system with two degrees of freedom
Równania ruchuEquations of motion
,
.
(4.10)Układ równań (4.10) można zapisać w postaci macierzowejThe system of equations (4.10) can be written in matrix form
(4.11)
Aby rozwiązać układ równań (4.10) metodą Runge-Kutta, zastępujemy go układem równań pierwszego rzęduTo solve the system of equations (4.10) with the Runge-Kutta method, replace it with first-order system of equations
,
86
Jerzy Zajączkowski
,
,
.
(4.12)
Laboratorium komputeroweKorzystając z metody Runge-Kutta wykonać obliczenia symulacyjne układu drgającego. Zbadać jego zachowanie poniżej, w i powyżej rezonansu. Zbadać wpływ tłumienia.
Computer labUsing the Runge-Kutta method perform calculations simulating oscillating system. Examine its behaviour below and above the resonance. Investigate the effect of damping.
Program komputerowyComputer programhttp://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmp.htmhttp://bhp-k412.p.lodz.pl/progr/mmp.htm
Macierzowa analiza drgańMatrix vibration analysis
Układ n równań ruchu opisujących drgania układu liniowego można zapisać w postaci macierzowej jako
The system of n equations of motion describing the vibrations of a linear system can be written in the matrix form as
.
(4.13)Macierze kwadratowe B, C, K nazywamy odpowiednio macierzą bezwładności, tłumienia i sztywności; macierze kolumnowe (x, F) oznaczają odpowiednio: wektor przemieszczeń i sił. Rozwiązanie równania (4.13) ma postać
Square matrices B, C, K are called the matrix of inertia, damping and stiffness, column matrices (x, F) denote the vector of displacements and forces, respectively. The solution of equation (4.13) has the form
.
(4.14)Składniki o częstościach n poprzedzone są funkcją wykładniczą i oznaczają zanikające z upływem czasy drgania własne. Składniki o częstości oznaczają drgania wymuszone i reprezentują stan ustalony. Aby wyznaczyć częstości drgań własnych n podstawiajmy do równania jednorodnego rozwiązanie w postaci
87
Jerzy Zajączkowski
Components with frequencies n represent natural vibration. They are preceded by an exponential function and therefore they are disappearing with the elapse of time. The components having the frequency denote forced vibrations and represent the steady state. To determine the natural frequencies n we substitute into the homogeneous equation the solution in the form
.
(4.15)Otrzymujemy następujące równanie macierzoweWe obtain the following matrix equation
.(4.16)
Układ równań (4.16) posiada rozwiązania niezerowe, gdy wyznacznik jego macierzy jest równy zeru. Takie wartości , dla których ma to miejsce nazywamy wartościami własnymi. Można je obliczyć jako pierwiastki wielomianu powstałego z rozwinięcia wyznacznika macierzy. Znacznie łatwiej wartości własne obliczyć można korzystając z algorytmu QR, którego implementacje w postaci programu komputerowego można znaleźć w publikacji [15]. W tym celu przekształcamy równanie (4.16) do postaci, w której jest w pierwszej potędze. Podstawiamy Yn=nXn do równania (4.16). Otrzymujemy następujący układ równań
The system of equations (4.16) has a nonzero solution if the determinant of its matrix is equal to zero. The values of for which this happens are called the eigenvalues. They can be calculated as the roots of a polynomial formed by the development of the determinant of the matrix. It is much easier to calculate the eigenvalues using the QR algorithm, whose implementation in the form of a computer program can be found in [15]. For this purpose, we transform equation (4.16) to the form in which has the first power. We substitute Yn=nXn
into equation (4.16) and obtain the following system of equations
,.
(4.17)Układ równań (4.17) przepisujemy w postaciThe system of equations (4.17) we rewrite as
.
(4.18)Macierz I=diag(1) oznacza macierz jednostkową. Współczynniki tłumienia h i częstości drgań własnych stanowią odpowiednio część rzeczywistą i urojoną wartości własnych.The matrix I=diag (1) is the identity matrix. Damping coefficients h and natural frequencies are the real and imaginary parts of the eigenvalues, respectively.
,
.(4.19)
88
Jerzy Zajączkowski
Gdy nie ma tłumienia (C=0) obliczenia upraszczają się. Podstawiając do równania (4.13) dla F=0 rozwiązanie w postaciWhen there is no damping (C = 0) the calculations can be simplified. Substituting into equation (4.13) for F = 0 the solution in the form
(4.20)otrzymujemy równanie z macierzami symetrycznymi we obtain the equation with symmetric matrices
(4.21)dla których wartości własne n
2 i wektory własne Xn można wyznaczyć metodą Jacobiego.for which the eigenvalues n
2 and eigenvectors Xn can be determined by using Jacobi’s method.
Wektory własne X równania (4.21) można wykorzystać do przekształcenia układu równań zależnych (4.13) w układ równań niezależnych. W tym celu zestawiamy wektory własne w macierz kwadratową
Eigenvectors X of equation (4.21) can be used to transform the dependent equations (4.13) in the system of independent equations. For this purpose, we set the eigenvectors into a square array
.(4.22)
Podstawiamy x=Xy do równania różniczkowego (4.13) i lewostronne mnożymy przez transpozycje macierzy X. Jeżeli wektory własne znormalizujemy tak, aby współczynnik przed drugą pochodną był macierzą jednostkową
We substitute x=Xy to the differential equation (4.13) and perform left-hand side multiplication by the transposition of the matrix X. If we normalize the eigenvectors so that the coefficient before the second derivative become a unit matrix
(4.23)wówczas współczynnik przed szukaną funkcją (4.13) będzie macierzą diagonalną częstości drgań własnych.then the coefficient in front of a sought function (4.13) is a diagonal matrix of natural frequencies.
.(4.24)
Amplitudę drgań wymuszonych Xc, Xs znajdujemy podstawiając do równania (4.13) rozwiązanie w postaciThe amplitude of forced vibrations Xc, Xs we find by substituting into equation (4.13) solution in the form
.(4.25)
89
Jerzy Zajączkowski
Otrzymujemy niejednorodny układ liniowych równań algebraicznychWe obtain the inhomogeneous system of linear algebraic equations
.
(4.26)
Program komputerowyComputer programhttp://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmp.htmhttp://bhp-k412.p.lodz.pl/progr/mmp.htm
Maszyna ustawiona na wibroizolatorachThe machine resting on vibration insulators
Fundament maszyny pokazany jest schematycznie na rys. 4.7 i 4.8 jako prostopadłościan mający sześć stopni swobody.
The foundation of the machine is shown schematically in Figure 4.7 and 4.8 as rigid body having six degrees of freedom.
Rys. 4.7. Dodatnie kierunki sił i momentów działających na maszynęFigure 4.7. The positive directions of forces and moments acting on the machine
Aby określić częstość drgań własnych układu, pominiemy składniki nieliniowe. Tak uproszczony układ równań ma postać
To determine the natural frequency of vibrations of the system, we ignore non-linear components. The simplified set of equations has the form
90
Jerzy Zajączkowski
(4.27)gdzie B oznacza macierz bezwładności, q wektor przemieszczeń liniowych i kątowych, a F oznacza wektor składowych sił i momentów sił.where B is the inertia matrix, q the vector of linear and angular displacements and F is the vector of components of forces and torques.
.
(4.28)
Rys. 4.8. Schemat maszyny podpartej na wibroizolatorach; (kx,ky,kz) - sztywności i-tego wibroizolatora; C - masa skupiona w środku ciężkości; XYZ -nieruchomy układ współrzędnych; xyz - układ współrzędnych związany z maszyną.Figure 4.8. The diagram of the machine resting on vibration insulators, (kx,ky,kz) - stiffness’s of the i-th insulator; C - mass concentrated at the centre of gravity; XYZ-fixed coordinate system, xyz - coordinate system associated with the machine.
91
Jerzy Zajączkowski
Macierz F jest sumą obciążeń zewnętrznych Fw i reakcji sprężyn FiThe matrix F is the sum of external loads Fw and reactions of springs Fi
F=Fw+Fi .(4.29)
Wprowadzimy następujące oznaczenia: (Xc,Yc,Zc) – składowe przemieszczenia środka masy, (X,Y,,Z,) - kąty obrotu bryły wokół osi (X,Y,Z). Składowe sił wynikających z odkształceń i-tego podparcia, wywołanych ruchem postępowym i obrotowym bryły, znajdujemy w postaciWe introduce the following notation: (Xc,Yc,Zc)- components of displacement of the mass centre (X,Y,,Z,) - the angles of body rotation around the axis (X, Y, Z). The components of the forces resulting from the deformation of i-th support, induced by translational and rotational motion of the body, we find in the form
.(4.30)
Subskrypt i w macierzy jest pominięty. The subscript i in the matrix is omitted.
Porządkujemy wzór (4.30) według kolejności zmiennych i zapisujemy w postaci iloczynu Fi=-KiqOrganizes the formula (4.30) in the order of variables and write as a product of Fi=-Kiq
92
Jerzy Zajączkowski
(4.31)
Wzór (4.31) definiuje macierz sztywności Ki. Macierz całkowitej sztywności K jest sumą macierzy sztywności wszystkich sprężyn.Equation (4.31) defines the stiffness matrix Ki. Overall stiffness matrix K is the sum of stiffness matrices of all springs.Podstawiając (4.29, 4.31) do (4.27) otrzymujemy równanie dynamiczne ruchuSubstituting (4.29, 4.31) to (4.27) yields the dynamic equation of motion
.
(4.32)Uwzględniając siły tłumiące otrzymujemyTaking into account the damping force we get
.
(4.33)Macierz tłumienia C otrzymujemy zastępując w macierzy sztywności K współczynniki sztywności k współczynnikami tłumienia c.Damping matrix we obtain by replacing the stiffness coefficients k in matrix K by damping coefficients c.
Alternatywnie można skorzystać z pojęcia energii. Energia kinetycznaAlternatively you can use the notion of energy. The kinetic energy
.
(4.34)
93
Jerzy Zajączkowski
Korzystając z energii sprężystej siłę (4.31) możemy obliczyć w następujący sposóbUsing elastic energy, we can calculate the force (4.31) in the following way
(4.35)
Równanie dynamiczne ruchu znajdujemy korzystając z równania z zasady Hamiltona i Eulera-Lagrange`aDynamic equation of motion one finds from Hamilton’s principle and Euler-Lagrange equation
(4.36)
Laboratorium komputeroweDla wybranej maszyny dobrać parametry wibroizolatorów.
Computer labFor a machine specified choose parameters of vibration isolators.
Drgania układów ciągłychVibrations of continuous systems
Analiza drgań układów ciągłych omówiona będzie na przykładzie drgań belek [48-53].
94
Jerzy Zajączkowski
Vibration analysis of continuous systems will be discussed on the example of the vibrations of beams [48-53].
Drgania belkiVibrations of beams
Rys. 4.9. Siły działające na wycięty element drgającej belkiFigure 4.9. The forces acting on the cut element of vibrating beam
Wycinamy dowolnie mały element belki (rys. 4.9). Przykładamy siły zewnętrzne, siły bezwładności oraz siły wewnętrzne. Na rys. 4.9 Q oznacza siłę tnącą, Mg oznacza moment gnący, v oznacza poprzeczne ugięcie, m oznacza masę jednostki długości belki. Żądamy, aby wypadkowa sił działających na element dx była równa zeru. Suma rzutów sił na kierunek prostopadły do osi belki wynosi
We cut out any small part of the beam (Figure 4.9). We attach to it the external forces, the forces of inertia and the internal forces. In Figure 4.9 Q is the shear force, Mg is the bending moment, v is the transverse deflection, m is the mass of the unit length of the beam. We demand that the resultant of all forces acting on the element dx is equal to zero. The sum of projections of forces on the direction perpendicular to the axis of the beam is
.
(4.37)
Suma momentówThe sum of the moments
.
(4.38)Po uporządkowaniu równań (4.37, 4.38) otrzymujemyAfter arranging the equations (4.37, 4.38), we obtain
,
95
Jerzy Zajączkowski
(4.39a)
.
(4.39b)Związek pomiędzy siłami i odkształceniami wynikający z prawa Hooke’a przyjmujemy w postaciThe relationship between forces and deformations resulting from the Hooke’s law has the form
.
(4.40)E oznacza moduł Younga, I oznacza moment bezwładności przekroju. Ugięcie poszukujemy metodą Ritza-Galerkina w postaci szeregu złożonego z funkcji przestrzeni i funkcji czasu
E is Young's modulus, I is the moment of inertia of the cross section. We seek the deflection using the Ritz-Galerkin method in a form of a series composed of the functions of time and space
.
(4.41)
Funkcje przestrzeni V mogą być dowolnie wybrane, ale muszą spełniać geometryczne warunki brzegowe, określające ugięcia i kąty nachylenia belki w miejscach zamocowania, jeżeli są one stałe, tzn. nie zmieniają się w funkcji czasu. Jeżeli dynamiczne warunki brzegowe określające siły zewnętrzne i momenty sił nie są spełnione przez funkcje (4.41) to muszą być narzucone w równaniach. Dla belki przegubowo podpartej warunki geometryczne mają postaćFunctions of the space V can be arbitrarily chosen, but must satisfy the geometric boundary conditions, defining the deflections and the angles of deflection of the beam at mounting if they are not varying over the time. If the dynamic boundary conditions defining the external forces and bending moments are not satisfied by the functions (4.41), then they must be imposed in the equations. For a simply supported beam geometrical conditions have the form
.(4.42)
Warunki (4.42) są spełnione przez funkcjęConditions (4.42) are satisfied by the function
(4.43)oraz funkcjęand the function
96
Jerzy Zajączkowski
.(4.44)
Warunki dynamiczne określają momenty gnące na brzegach i mają postaćDynamic conditions determine the bending moments at the ends of the beam and have the form
.(4.45)
Dla belki obustronnie utwierdzonej warunki geometryczne mają postaćFor the both sides clamped beam the geometric conditions have the form
.
(4.46)Warunki (4.46) są spełnione przez funkcjęConditions (4.46) are satisfied by the function
.(4.47)
Dla belki mającej jeden koniec utwierdzony a drugi swobodny warunki geometryczne mają postaćFor a beam having one end clamped and the second free the geometric conditions have the form
(4.48)Warunki (4.48) spełnia funkcjaConditions (4.48) is satisfied by the function
.(4.49)
Warunki dynamiczne określają moment gnący i siłę tnącą na swobodnym końcu i mają postaćThe dynamic conditions determine the bending moment and shear force at the free end and they have the form
.(4.50)
Aby pozbyć się z równania ruchu (4.39a) zmiennej x mnożymy je przez transpozycje macierzy V i całkujemy w całym obszarze zmiennej xTo get rid of the variable x from the equation of motion (4.39) we multiply it by the transposition of the matrix V and integrate over the entire domain of the variable x
.
(4.51)Aby spełnić dynamiczne warunki brzegowe całkujemy równanie (4.51) przez części i wykonujemy odpowiednie podstawieniaTo meet the dynamic boundary conditions we integrate equation (4.51) by parts and make the
97
Jerzy Zajączkowski
appropriate substitutions
.
(4.52)W równaniu tym można narzucić wartości siły tnącej Q(0,t) i Q(l,t) na brzegach In this equation, you can impose the values of the shear force Q(0,t) and Q(l, t) at the edges
.
(4.53)Podobnie można narzucić wartości momentu gnącego Mg(0,t) i Mg(l,t) na brzegach Similarly, one can impose the values of bending moment Mg(0,t) and Mg(l,t) at the edges
.
(4.54)Po wykonaniu całkowania otrzymamy macierze współczynników stałych, a równanie (4.54) można zapisać w postaci macierzowej jako układ równań różniczkowych zwyczajnych
After integration we obtain the matrix of constant coefficients and equation (4.54) can be written in the matrix form as a system of ordinary differential equations
.
(4.55)Całki w równaniu (4.54) obliczamy metodą [8] Gaussa (rys. 4.10).Integrals in equation (4.54) we calculate using [8] the Gauss’s method (Fig. 4.10).
Rys. 4.10. Całkowanie metodą GaussaFigure 4.10. The Gauss’s integration method
Wprowadzamy nową zmienną u tak aby granice całkowania były (-1,1). Prowadzimy prostą w taki sposób, aby zakreskowane pola powyżej i poniżej prostej były sobie równa i w konsekwencji tego pole pod krzywą było równe polu pod odcinkiem prostej. Możemy wtedy napisaćWe introduce a new variable u so that the integration limits are (-1,1). We draw w straight line in such a way that the hatched areas above and below the line are equal and consequently
98
Jerzy Zajączkowski
the area under the curve is equal to the area under the straight line. We can then write
.
(4.56a)Stałe Ai i ui obliczamy podstawiając zamiast całkowanej funkcji wielomian trzeciego stopnia. Dla n punktów wielomian musi być stopnia 2n-1. Mamy wtedy
Constants Ai and ui are calculated by substituting the third-degree polynomial instead of integrated function. For n points a polynomial must be of 2n-1 degree. Then we have
.
(4.56b)
Program komputerowyComputer programhttp://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmp.htmhttp://bhp-k412.p.lodz.pl/progr/mmp.htm
Belka z masą skupionąBeam with a concentrated mass
Uwalniamy masę skupioną m1 od więzów zastępując oddziaływanie belki siłami tnącymi Q i momentami gnącymi Mg.
Relieve concentrated mass m1 from the bonds by replacing the beam reactions with shear forces Q and bending moments Mg.
Rys. 4.11. Belka z masą skupionąFigure 4.11. The beam with a concentrated mass
Żądając, aby wypadkowa sił działających na masę była równa zeru otrzymujemy związki pomiędzy siłami z lewej i prawej strony masy
99
Jerzy Zajączkowski
Demanding that the resultant forcesacting on the mass is equal to zero we obtain relations between the forces acting of left and right side
.
(4.57)Podobnie dla momentów otrzymamy
Similarly, for the moments we get
.(4.58)
Całkując (4.54) oddzielnie w każdym przedziale otrzymujemy
Integrating (4.54) separately in each interval we obtain
(4.59)
Narzucając warunki brzegowe i warunki ciągłości (4.57, 4.58) otrzymujemy
By imposing boundary conditions and continuity conditions (4.57, 4.58), we obtain
.
(4.60)Równanie (4.60) można zapisać w postaci równania macierzowegoEquation (4.60) can be written as matrix equation
.
(4.61)Belka o zmiennej sztywności
Beam with variable stiffness
100
Jerzy Zajączkowski
Rys. 4.12. Wrzeciono: a długość iglicy, b długość części roboczej wrzeciona
Figure 4.12. The spindle: a needle length, b the length of the working part of the spindle
Całkując (4.54) oddzielnie w każdym przedziale otrzymujemy [1]
Integrating (4.54) separately in each interval we obtain [1]
(4.62)
Uwzględniając warunki brzegowe i ciągłości otrzymujemy
Taking into account the boundary and continuity conditions we obtain
.
(4.63)
Rys. 4.13. Wymiary wrzeciona Figure 4.13. Dimensions of spindle
101
Jerzy Zajączkowski
Określimy teraz występujące pod całkami funkcje zmiennej x określające masę jednostki długości oraz moment bezwładności przekroju. Zależności geometryczne pokazane na rysunku 4.13 określone wzorami (4.64), pozwalają określić promień przekroju kołowego r=r(x). Masa m(x) i moment bezwładności przekroju I(x)są sokreślone wzorami (4.65).
Let us now define the mass of the unit of length and the moment of inertia of a cross-section as functions of the variable x along the spindle. Geometric dependencies shown in Figure 4.12b defined by (4.64) allow us to determine the radius of circular cross-section r=r(x). Mass m(x) and cross-sectional moment of inertia I(x) are given by (4.65).
r rx
r ra
1 2 1
,
rr r
ax r
2 1
1,r r
a b xr r
b
4 3 4
,
(4.64)
(4.65)Laboratorium komputeroweComputer labWyznaczyć częstości i postacie drgań własnych wybranych wałów i wrzecion.Determine the natural frequencies and modes of vibrations of some shafts and spindles.
5. DYNAMIKA UKŁADÓW NIELINIOWYCH
5. DYNAMICS OF NONLINEAR SYSTEMS
Energia potencjalnaPotential energy
Niech zachowanie obiektu fizycznego będzie opisane układem równań różniczkowychLet the behaviour of a physical object be described by the set of differential equations
(5.1a)gdzie B=B[Bw,k] oznacza macierz bezwładności, q=[q1, q2,...,qN]T oznacza wektor przemieszczeń, a F oznacza wektor sił. Nawiązując do równania (1) energię potencjalną E możemy zdefiniować następująco
where B=B[Bw,k] represents the inertia matrix, q=[q1, q2,...,qN]T is the displacement vector, and F is the vector of forces. According to the equation (1) the potential energy E can be defined as follows
102
Jerzy Zajączkowski
(5.1b)gdzie /q=[/q1, /q2, ..., /qN]T jest wektorem operatorów pochodnych cząstkowych względem przemieszczeń q. Pojecie energii potencjalnej pozwala na intuicyjne zrozumienie zjawisk opisanych równaniem (5.1a). Wynika to z faktu, że powierzchnia ziemi jest równocześnie powierzchnią, stanowiącą wykres energii potencjalnej masy, która na niej spoczywa. Z doświadczenia wiemy, że masa znajdująca się na wzniesieniu może przemieścić się ku dołowi. Jeżeli dla układu dynamicznego określimy powierzchnię energii potencjalnej, to wykorzystując analogię do powierzchni planety, będziemy mogli intuicyjne zrozumieć jego właściwości. W przypadku powierzchni wielowymiarowych rozpatrujemy ich rzuty i przekroje.
where /q=[/q1, /q2, ..., /qN]T is a vector of partial derivative operators in relation to the displacements q. The concept of potential energy allows for intuitive understanding of the phenomena described by the equation (1). This is due to the fact that the surface of land shows the potential energy of a mass resting on it. From experience we know that the mass located on the hill can move downwards. If for the system we determine the surface of potential energy, by using the analogy to the surface of the land, we will be able to intuitively understand its properties. In the case of multidimensional surface we have to draw their projections and sectional views.
Jako przykłady rozpatrzmy wirującą masę [55], dla której krzywa energii (5.2a) potencjalnej przedstawiona jest na rysunku 5.0a oraz a wirujący wał [54], którego powierzchnia energii potencjalnej (5.2b) pokazana jest na rysunku 5.0b, a trajektoria na rysunku 5.0c.
As an example take rotating mass analysed in work [55], whose potential energy curve (5.2a) is shown in Figure 5.0a and rotating shaft studied in work [54], whose potential energy surface (5.2b) is shown in Figure 5.0b and trajectory in Figure 5.0c.
(5.2a)
(5.2b
Rys. 5.0. Wykres energii potencjalnej (a), przekroje powierzchni energii potencjalnej w kształcie kapelusza (b) i tor punktu na powierzchni energii potencjalnej (c).
Figure 5.0. Potential energy curve (a), cross-sections of hat shaped potential energy surface (b) and trajectory of a point on potential energy surface (c).
103
Jerzy Zajączkowski
Na rysunku 5.0a maksimum U oznacza niestabilny punkt równowagi, który odpycha punkt poruszający się, głębsze minimum reprezentuje asymptotycznie stabilny punkt równowagi, gdyż przyciąga punkt ruchomy, płytsze minimum M reprezentuje równowagę metastabilną.
In the Figure 5.0a, the maximum represents unstable equilibrium U since it repels moving point, the deeper minimum A represent asymptotically stable equilibrium since it attracts the moving point, the shallow minimum M represents the metastable equilibrium.
Wykorzystując analogię do poruszającago się punktu, krzywa energii wyjaśnia zachowanie układu. Dla dostatecznie wysokiej energii możliwy jest ruch przez wszystkie extrema. Z powodu rozpraszania energii, amplituda ruchu zmniejsza i punkt będzie zbliżał się do wartości minimalnej, możliwe że głębszego minimum A z prawej strony.
Using analogy to a moving point, the energy curve clearly explains the behaviour of the system. For sufficiently high energy there is possible motion passing through all the extremes. By the reason of the energy dissipation, the amplitude of the motion will decrease and it will about to settle at one of the minimums, possibly at the deeper minimum on the right A.
Jeżeli punkt będzie oscylował w otoczeniu płytszego minimum M, a jego energia nie będzie wystarczająco duża, aby przekroczyć maksimum U, wtedy punkt „osiądzie” w płytszym minimum M z lewej strony. Jeśli punkt miał małą energię i osiadł w metastabilnym minimum M, wtedy nie może on osiągnąć stabilnego minimum A. Dodanie wymiaru q2, jak na rysunku 5.0b, zmienia metastabilny punkt M w niestabilne siodło S, co umożliwia ruch, jak to pokazano na rysunku 5.0c za pomocą lini przerywanej.
If the point oscillates near shallow minimum M and its energy is not sufficient to pass maximum U, then the point will settle at the left minimum M. If point had small energy and settled at the metastable minimum M it cannot reach the stable minimum A. Adding dimension q2 as in Figure 5.0b changed the metastable point M to an unstable saddle S and made that motion possible, as shown in Figure 5.0c with dashed line.
Segment powierzchni energii potencjalnej układu analizowanego w pracy [32], opisanej przez równanie (5.2d) pokazano na rysunku 5.0d, gdzie ma postać nieskończonej rowu.
The segment of the potential energy [32] surface described by equation (5.2c) is shown in Figure 5.0d. It has a form of infinite trench.
(5.2c)
104
Jerzy Zajączkowski
Rys. 5.0d. Odcinek powierzchnia energii potencjalnej (5.2d) przedstawiony za pomocą równoległych przekrojów poprzecznych oraz przykład trajektorii oznaczonej linią przerywaną.
Figure 5.0d. Segment of potential energy surface (5.2d) represented by the parallel cross-sections, and an example trajectory indicated by the dashed line.
Tutaj łatwo zrozumieć, że jeśli ruch wzdłuż rowu zostanie poddany wystarczająco dużemu poprzecznemu zakłóceniu, to punkt ruchomy może zostać uwięziony w jednym z segmentów rowu.
Here it is easily understable, that if the motion along the trench is subject to sufficiently high transveres disturbance, then the moving point can be trapped in one segment of a trench.
Przestrzeń fazowaPhase space
Drugim użyteczny pojęciem geometrycznym jest przestrzeń fazowa z zanurzonym w niej polem wektorowym. Aby zbudować przestrzeń fazową zastępujemy układ równań drugiego rzędu (5.1) autonomicznym układem równań różniczkowych pierwszego rzędu. Wykorzystujemy w tym celu podstawienie qn=un, dqn/dt=uN+n gdzie n=1,2,...,N. Otrzymujemy wtedy
Another useful geometric concept in dynamics is a phase space with immersed in it vector field. To build phase space we replace equations of the second order (1) by the autonomous differential equations of the first order. With the use of the substitution of qn=un, dqn/dt=uN+n where n=1,2,...,N, we get equation (5.3).
(5.3)Jeżeli czas występuje w sposób jawny to eliminujemy go wprowadzając dodatkową zmienną uk=t i dodatkowe równanie różniczkowe duk/dt=1.
If time exists explicitly, we introduce additional variable uk=t and additional differential equation duk/dt=1.
Z układem równań (5.3) wiążemy przestrzeń fazową u określoną układem współrzędnych u1, u2,... un. W każdym punkcie przestrzeni fazowej umieszczamy wektor du/dt o składowych du1/dt, du2/dt,...,dun/dt. Na przykład dla układu trzech równań (5.4) przestrzeń fazowa i pole wektorowe pokazane są na rys. 5.1.
105
Jerzy Zajączkowski
With the system of equations (5.3) we associate a phase space defined by the specified coordinates u1, u2,... un. To each point in the phase space we attach a vector du/dt having rectangular coordinates du1/dt, du2/dt,...,dun/dt. For example, for the three equations (5.4), the phase space and the vector field are shown in Figure 5.1.
(5.4)
Figure 5.1. Trójwymiarowa przestrzeń fazowa z zanurzonym w niej polem wektorowymFigure 5.1. Three-dimensional phase space with immersed in it vector field
Przekonamy się na przykładach, że myślenie o układzie dynamicznym w kategoriach przestrzeni fazowej jest efektywne. Przykładowa analiza pokazana jest na rys. 5.2. W przestrzeni fazowej wektory są styczne do trajektorii (rys. 5.2a). W każdym punkcie zamocowany jest tylko jeden wektor, którego składowe dane są układem równań (5.3). Oznacza to, że trajektorie nie mogą się przecinać, bowiem wymagałoby to istnienia dwóch wektorów w jednym punkcie (rys. 5.2b). Trajektorie mogą jednak zbliżyć się (rys. 5.2c) dowolnie blisko do tego samego punktu w nieskończenie długim czasie. W dwuwymiarowej przestrzeni fazowej trajektoria będąca krzywą zamkniętą dzieli przestrzeń na dwa rozłączne obszary. Trajektoria mająca swój początek wewnątrz trajektorii będącej krzywą zamkniętą (rys. 5.2d), nigdy nie wydostanie się na zewnątrz tej krzywej, bowiem wymagałoby to przecięcia się obu trajektorii. Zwiększenie wymiaru przestrzeni fazowej do trzech pozwoli na wydostanie się tej trajektorii na zewnątrz. Fizyczne oznacza to, że uwzględnienie dodatkowego stopnia swobody może zmienić system jakościowo. Możemy to rozumowanie kontynuować dla układów wielowymiarowych. W przestrzeni trójwymiarowej dwuwymiarowy torus dzieli przestrzeń na rozłączne obszary. W przestrzeni n wymiarowej rolę trajektorii zamkniętej będzie pełnić n-1 wymiarowa powierzchnia zamknięta.
We'll see in the examples, that thinking about a dynamic in terms of phase space is effective. Sample analysis is shown in the Figure 5.2. In the phase space the vectors are tangent to the trajectory (Figure 5.2). At each point there is only one vector, whose components are the defined by equations (5.3). This means that trajectories cannot intersect, because it would require the existence of two vectors in one point (Figure 5.2b). Trajectories
106
Jerzy Zajączkowski
may however come close to the same point (Figure 5.2c) in the infinitely long time. In the two-dimensional phase space the trajectory that is a closed curve divides the space into two distinct areas. The trajectory having its origin inside the area enclosed by closed curve (Figure 5.2d), never escape to the outside of the curve, because it would involve the intersection of the two trajectories. The increase of dimensions of the phase space to three makes possible the escape of the trajectory outside of the closed curve. Physically, this means that the inclusion of an additional degree of freedom can change the system quality. We can continue this reasoning for multi-dimensional systems. In 3D space a two-dimensional torus divides the space into disjoint areas. In the n-dimensional space of role of closed trajectory will be played by n-1 dimensional closed surface.
Rys. 5.2. Właściwości pola wektorowegoFigure 5.2. Properties of the vector field
Dla układów, dla których energia mechaniczna jest stała (5.5), ruch odbywa się na powierzchni elipsoidy o półosiach (2/kn)1/2 i (2/mn)1/2 w przestrzeni (un=qn, uN+n=dqn/dt ). Tutaj k oznacza sztywność, m oznacza masę.
For systems, for which the mechanical energy is constant (5.5), the motion takes place on a surface of an ellipsoid having half-axis (2/kn)1/2 and (2/mn)1/2 in a space (un=qn, uN+n=dqn/dt ). Here, k is stiffness, m is the mass.
(5.5)
Mimo dużej rozmaitości równań różniczkowych, przestrzenie fazowe organizowane są przez niewielką ilość elementów. Ich wykrycie prowadzi do zrozumienia właściwości układu dynamicznego.
Despite the large variety of differential equations, the phase spaces are organised by a small number of elements. Their presence leads to an understanding of the characteristics of the system dynamics.
Rys. 5.3. Przykładowe elementy w przestrzeni fazowej; T –okres ruchuFigure 5.3. Examples of elements of phase space; T denotes period of motion
107
Jerzy Zajączkowski
Przykładowe elementy, reprezentujące ruch regularny, pokazane są na rys. 5.3. Oznaczają one odpowiednio:(a) Punkt oznacza stan równowagi statycznej.(b) Krzywa zamknięta oznacza rozwiązanie okresowe. (c) Kombinacje kilku rozwiązań okresowych o różnych i niewspółmiernych okresach Tn
można interpretować jako kombinację krzywych zamkniętych tworzących torus. Przez współmierność okresów rozumiemy istnienie wspólnego okresu, po którym trajektoria zamknie się na torusie, a jego powierzchnia zostanie zastąpiona krzywą zamkniętą. W rezultacie zamknięcia się trajektorii może zajść zjawisko rezonansu. (d) Trajektorie homokliniczne oznaczają ruch z otoczenia punktu równowagi statycznej, powracający w to otoczenie po nieskończenie długim czasie.(e) Trajektorie heterokliniczne oznaczają ruch z otoczenia jednego punktu równowagi statycznej do drugiego takiego punktu w nieskończenie długim czasie.
Examples of elements that represent the regular motion are shown in Figure. 5.3. (a) Point represents a state of static equilibrium. (b) Closed curve represents periodic solution. (c) A combination of several periodic solutions having incommensurate periods Tn can be interpreted as a combination of closed curves forming the torus. If for both trajectories there exists a common period, then the trajectory does not form a surface of torus but becomes a closed curve. As a result of closing the trajectory there may be the phenomenon of resonance. (d) Homoclinic trajectories representing the motion of a point from the neighbourhood static equilibrium and returning in the same environment after the infinitely long time.(e) Heteroclinic trajectories representing the motion from one point of static equilibrium to the other in infinitely long time.
Ruch nieregularny, charakteryzujący się nieprzewidywalnością, reprezentują trajektorie określane jako chaotyczne. Przejście układu z jednego stanu w przestrzeni fazowej w inny stan reprezentują trajektorie stanu nieustalonego.
Irregular motion, characterized by unpredictability, represent chaotic motion. The transition of from one area of phase space to the other represents the transient motion.
Properties of elements of phase space are illustrated in Figure 5.4a-d.(a) Attractors – all orbits from the some neighbourhood are attracted and therefore are asymptotically stable. (b) Neutral orbits. (c) Repellers – all orbits in a neighbourhood are repelled and are therefore unstable. (d) Saddles that attract orbits from a certain neighbourhood while repel from the other.Saddles are unstable.
Właściwości elementów przestrzeni fazowej zilustrowano na rys. 5.4a-d. Oznaczają one odpowiednio:(a) Przyciągnie sąsiednich trajektorii. O takich trajektoriach mówimy, że są asymptotycznie stateczne i nazywamy je atraktorami (ang. attract oznacza przyciągać).(b) Zachowanie neutralne.(c) Odpychanie sąsiednich trajektorii. Mówimy, że są to trajektorie niestateczne.
108
Jerzy Zajączkowski
(d) Przyciąganie trajektorii z pewnego obszaru, a odpychanie z innego. Trajektorie takie nazywamy siodłami. Nazwa wywodzi się od kształtu powierzchni energii potencjalnej. Są to trajektorie niestateczne.
Rys. 5.4. Właściwości elementów w przestrzeni fazowejFigure 5.4. Properties of elements of phase space
Wszystkie trajektorie rozpoczynające ruch w pewnym obszarze warunków początkowych (rys. 5.5) w przestrzeni fazowej będą wyznaczać nowy obszar w tej przestrzeni po upływie czasu t. Objętość tego obszaru może (a) maleć, (b,c) być stała lub (d) powiększać się. W przypadku (a) mamy do czynienia z układem asymptotyczne statecznym, w przypadku (c) i (d)- z układami niestatecznymi. W przypadku (c) oddalaniu się jednych trajektorii towarzyszy zbliżanie innych.
All trajectories beginning its motion in a certain area of the initial conditions (Figure 5.5) in the phase space will designate a new area in this phase space after the same time t. The volume of the area can decrease (a), it can be constant (b, c) or it can grow (d). In the case of (a) we have an asymptotically stable behaviour of the system, in the case of (c) and (d) we have an unstable behaviour. In the case of (c) some trajectories are getting closer one to the other while other trajectories move apart one from the other.
Rys. 5.5. Właściwości przestrzeni fazowej: zapadanie się (a), nieściśliwość (b, c), eksplozja (d)Figure 5.5. Properties of the phase space: collapse (a), incompressibility (b, c), explosion (d)
Przestrzeń fazowa jest nieściśliwa (b,c) jeżeli The phase space is uncompressible if (b, c)
(5.6)Jeżeli układ (5.1) może być zastąpiony kilkoma niezależnymi podukładami to wymiar
przestrzeni fazowej może być zredukowany. W tym celu równanie (5.1) zapisujemy w postaci If system (5.1) can be replaced by several independent subsystems then the dimension
of phase space can be reduced. For this purpose, equation (5.1) is written in the form
109
Jerzy Zajączkowski
(5.7)gdzie B oznacza macierz kwadratową bezwładności, K oznacza macierz kwadratową sztywności, F oznacza macierz kolumnową sił będących sumą wielkości stałych oraz funkcji przemieszczeń i prędkości. Znajdujemy wektory własne Qn z następującego równaniawhere B is an inertia square matrix, K is a stiffness square matrix, F is the column matrix of forces that are the sum of quantities specified explicitly and specified as functions of displacements and velocities. We find eigenvectors Qn from the following equation
(5.8)Zestawiamy otrzymane macierze kolumnowe w macierz kwadratową Q=[Q1, Q2, Q3, .....QN] i normalizujemy uzyskując następujące związkiWe put column into a square matrix Q=[Q1, Q2, Q3, .....QN] and normalize it to give the following relationships
(5.9)Podstawiając q=Qr do układu równań różniczkowych (5.7) i lewostronnie mnożąc przez transpozycję macierzy QSubstituting q=Qr to the system of differential equations (5.7) and multiplying by the transposition of the matrix Q
(5.10)przekształcamy równanie (5.7) do postaci charakteryzującej się niezależnością części liniowych we transform equation (5.7) to the form which is characterized by independence of linear parts
(5.11)Dla układu konserwatywnego pełna niezależność równań (5.11) oznacza stałość energii mechanicznej Hn (5.5) dla każdej postaci drgań oddzielnie. Oznacza to, że w 2N wymiarowej przestrzeni fazowej, ruch odbywa się na powierzchni N wymiarowego torusa, zanurzonego w (2N-1) wymiarowej powierzchni elipsoidy (5.5).For the conservative system the full independence of equations (5.11) indicates the conservation of the mechanical energy Hn (5.5) for each mode of vibrations separately. This means that in the 2N-dimensional phase space, the motion takes place on the surface of the N dimensional torus, immersed in a (2N-1)-dimensional surface of the ellipsoid (5.5).
Przestrzeń parametrówParameter space
Trzecim użytecznym pojęciem geometrycznym jest przestrzeń parametrów. Zapiszmy układ równań ruchu (5.3) z wyodrębnieniem wektora parametrów C
The third useful concept of geometric approach is a parameter space. Let's rewrite the equations of motion (5.3) showing the vector of parameters C.
110
Jerzy Zajączkowski
.
(5.12)
Przestrzeń parametrów C jest określona przez współrzędne będące parametrami C1, C2, ..,Cn. Z każdym punktem przestrzeni parametrów wiążemy przestrzeń fazową. Istotę pojęcia przestrzeni parametrów wyjaśnimy na przykładzie pokazanym na rys. 5.6. The parameter space C is specified by the coordinates which are the constant parameters of C1, C2, ..,Cn.. With each point of parameter space a phase space is associated. The essence of the concept of parameter space we will explain using the example shown in Figure. 5.6.
Rys. 5.6a. Przykład jednowymiarowej przestrzeni parametrów Figure 5.6a. Example of one-dimensional parameter space
W każdym punkcie jednowymiarowej przestrzeni parametru C umieszczona jest dwuwymiarowa przestrzeń fazowa (u1, u2). Krzywe zamknięte leżące w przestrzeniach fazowych tworzą powierzchnię w przestrzeni parametrów. Punkty (u1=0, u2=0) leżące na osi C oznaczają stany równowagi: stateczne (____) i niestateczne (_._._). W punkcie a atraktor, jakim jest punkt należący do osi C, przekształca się w krzywą zamkniętą, oznaczającą rozwiązanie okresowe. Pomiędzy punktami b i c współistnieją trzy rozwiązania okresowe. W punkcie c następuje nagły, przeskok z powierzchni zewnętrznej na wewnętrzną. Takie zachowanie układu jest trudne do przewidzenia i dlatego nazywa się katastrofą. Jeżeli teraz będziemy zmniejszać wartość parametru C to w punkcie b nastąpi przeskok z powierzchni wewnętrznej na zewnętrzną. Przykładowy układ fizyczny z przestrzenią fazową wielowymiarową znajdziemy w pracach [33,34],
With each point of the one-dimensional parameter space C there is associated a two-dimensional phase space (u1, u2). Closed curves of phase space form surface in the parameter space. Points (u1=0, u2=0) belonging to the axis C represent the states of equilibrium: stable (____) and unstable (_. _. _). In point a the attractor, which is a point belonging to the axis C, transforms itself to a closed curve, indicating a periodic solution. There coexist three periodic solutions between points b and c. In point c there is a sudden jump from the external to the internal surface. This behaviour is difficult to predict and therefore it is called a catastrophe. If now we move back reducing the value of the parameter C then at point b jump from the inner to the outer surface will take place. An example of the physical system for multidimensional phase space you will find in the author’s works [33,34]
W powyższym przykładzie przestrzeń parametrów organizowana jest przez wartości parametru C równe a, b lub c. Wartości te nazywamy wartościami krytycznymi, a zjawisko bifurkacją. Przestrzeń fazowa (u1, u2) na lewo od wartości krytycznej parametru różni się
111
Jerzy Zajączkowski
jakościowo od przestrzeni z prawej strony tej wartości. W punkcie krytycznym układ jest wrażliwy na zmianę parametru. Mówimy, że jest niestateczny strukturalnie.
In the above example, the parameter space is organised by the value of the parameter C equal to a, b or c. These values are called critical values; the corresponding phenomena are called the bifurcations. The phase space (u1, u2) on the left-hand side of the value of critical parameter differs qualitatively from the area on the right-hand side of this value. At the critical point the system is sensitive to a change of the parameter what is called a structural instability.
Rys. 5.6b. Dwie postacie drgań Figure 5.6b. Two modes of vibrations
Na rysunku 5.6b pierwszy kapelusz grzyba oznacza pierwszą postać drgań, drugi stanowi określa drugą postać drgań. Katastroficzne bifurkacje ograniczają obszary histerezy i są miejscami opóźnionego przejście z jednej postaci drgań do drugiej.
In Figure 5.6b the first cap of the mushroom denotes the first mode of vibration; the second cap represents the second mode of vibration. The catastrophic bifurcations and the regions of hysteresis are the places of delayed transition from one mode of vibration to the other.
Do wymienionych tu bifurkacji dołączymy jeszcze trzy, pokazane na rys. 5.7. Pierwsza (a) polega na pojawieniu się dodatkowego składnika okresowego i w konsekwencji zastąpieniu krzywej zamkniętej torusem. Druga (b) polega na tym, że dwa kolejne cykle rozwiązania okresowego zaczynają różnić się od siebie, powodując w ten sposób dwukrotne wydłużenie okresu. Kaskada tych bifurkacji może prowadzić do chaosu. Trzecia bifurkacja (c) to rozwidlenie, które polega na zastąpieniu jednej krzywej zamkniętej dwiema. Przykładem są drgania kolumny przed i po wyboczeniu, gdzie wartością krytyczną parametru jest siła powodująca wyboczenie.
Besides bifurcations already listed we mention three more, shown in Figure. 5.7. (a) the emergence of an additional periodic component and consequently replacing a closed curve by torus. (b) two successive cycles of periodic solutions begin to differ from each other, resulting in a period doubling; cascade of these bifurcations may lead to chaos. (c) a pitchfork, where closed curve is replaced by two closed curves. The example of such behaviour is the vibration of a column before and after the buckling, where the critical value of parameter is the force resulting in buckling.
Rys. 5.7. Bifurkacje w przestrzeni parametrów: (a) krzywa zamknięta -torus,
112
Jerzy Zajączkowski
(b) podwojenie okresu, (c) rozwidlenieFigure 5.7. Bifurcations in parameter space: (a) closed curve changed to torus,
(b) a doubling of the period, (c) pitchfork
Reasumując możemy powiedzieć, że badania jakościowe układu dynamicznego sprowadzają się głównie do wyznaczenia wartości krytycznych jego parametrów, czyli określenia granic oddzielających obszary przestrzeni parametrów o różnych własnościach.
In summary we can say that the qualitative investigation of a dynamical system rely primarily on the determination of the critical values of its parameters, which determine the borders between the areas of the qualitatively different behaviour of a system.
Najważniejsze metody badania dynamiki
The most important methods of studying dynamics
Choć różnice pomiędzy równaniami są duże, to jednak odpowiadające równaniom obiekty geometryczne mogą nie różnić się w sensie jakościowym. Dlatego myślimy o układzie w kategoriach geometrycznych, ale stosujemy metody numeryczne [18-23].
Although the differences between various differential equations can be significant, the corresponding geometric objects representing those equations might be similar in a sense of quality. Therefore, we think about dynamical systems in geometrical terms, but we use numerical methods [18-23].
1. Punkty reprezentujące bezruch, zwane punktami osobliwymi, to miejsca zerowe funkcji wektorowej F (5.3).
1. The points representing the static equilibrium, called singular points, can be found as solutions of vector of algebraic equation F=0 (5.3).
2. Chwilowo pomijamy tłumienie i szukamy energii potencjalnej (5.2). Badamy powierzchnię energii potencjalnej. Trajektorie homo i heterokliniczne znajdujemy rozwiązując równanie algebraiczne
2. Temporarily we neglect damping and the determine potential energy (5.2) and examine it. Homoclicnic and heteroclinic trajectories we find by solving the algebraic equation
(5.13)
Rys. 5.8. Znajdowanie trajektorii homo- i heteroklinicznychFigure 5.8. Finding homoclicnic and heteroclinic trajectories
113
Jerzy Zajączkowski
Tutaj, Ek oznacza energię kinetyczną, Ep energię potencjalną, a E0 energię w punkcie siodłowym [32]. Przybliżenia tych trajektorii można znaleźć w inny sposób, a mianowicie całkując numerycznie układ równań dla warunków początkowych bliskich punktowi siodłowemu. Trajektorie homo- i heterokliniczne stanowią granice obszarów o różnych właściwościach.Here, Ek is the kinetic energy, Ep potential energy and E0 is the energy at the saddle point [32]. The approximations of these trajectories can be found in a different way, namely using numerical integration of equations for initial conditions close to the saddle point. The homoclinic and heteroclinic trajectories are the boundaries of areas with different qualitative properties.
3. Układ równań całkujemy numerycznie. Przybliżenia atraktorów znajdujemy przeprowadzając numeryczną symulację przez odpowiednio długi czas. Drgania mogą być wzbudzone przez czynnik działający tylko w chwili początkowej lub przez czynnik działający nieustannie. Aby pozbyć się drgań wywołanych warunkami początkowymi wprowadzamy do równań składnik tłumiący. Może to być składnik proporcjonalny do prędkości, mimo że w układzie tłumienie ma inną przyczynę. Współczynniki tłumienia dobieramy tak, aby czas obliczeń nie był zbyt długi. Przybliżenia orbit odpychających wszystkie sąsiednie trajektorie znajdujemy tak jak atraktory po zmianie t na -t.
3. A set of equations describing dynamical system is integrated numerically. The approximations of attractors we find by carrying out the numerical simulation for a sufficiently long time. Vibration can be excited by initial conditions or by the force acting continuously. To get rid of the vibration caused by the initial conditions we introduce the damping component into the equation. This may be a proportional to velocity, although the attenuation can be caused by another means. The value of the damping factors we choose to make the time of calculation not too long. Approximations of orbits repelling all neighbouring trajectories we find by changing time t to negative -t.
4. Rozwiązanie numeryczne, po ustaleniu się, poddajemy analizie harmonicznej znajdując jego widmo. Jeżeli widmo jest dyskretne, a jego składniki są wzajemnie niewspółmierne to mamy do czynienia z torusem.
4. After finding the numerical solution, we subject it to the harmonic analysis getting its spectrum. If the spectrum is discrete and its components have periods that are mutually incommensurate, then we are dealing with torus.
5. Symulację prowadzimy dla różnych wartości parametrów i poszukujemy takich ich wartości, dla których przestrzeń fazowa zmienia się jakościowo.
5. The simulation we conduct for various values of parameters seeking such values for which the space phase changes in quality. Stateczność
Pojęcie stateczności ściśle wiąże się z przewidywalnością zachowania układu. Stateczność strukturalna określa wrażliwość układu na małe zmiany parametrów w
równaniu. Układ jest stateczny strukturalnie, jeżeli dowolnie mała zmiana jego parametrów nie powoduje zmiany jakościowej jego przestrzeni fazowej. Wartości krytyczne parametrów, oznaczające bifurkacje, to miejsca niestateczności strukturalnej układu. Niestateczne strukturalnie są również trajektorie układów konserwatywnych, bowiem po wprowadzeniu
114
Jerzy Zajączkowski
dowolnie małego tłumienia, neutralne orbity okresowe zamieniają się w spirale. Podobnie trajektorie homo- i heterokliniczne.
The concept of stability is closely linked with the predictability of system behaviour.Structural stability determines the sensitivity to the small changes of parameters of the
equations. The system is structurally stable if any small change in the parameters does not change the quality of its phase space. The values of the parameters for which the system is structurally unstable are called bifurcations. Closed neutral trajectories of conservative systems are structurally unstable since adding little damping changes them to spirals. Similarly homoclinic and heteroclinic trajectories.
Stateczność w sensie Lapunowa określa wrażliwość rozwiązania, (rys. 5.9) jako funkcji czasu, na małe zmiany warunków początkowych. Układ stateczny to taki, w którym małe zmiany warunków początkowych prowadzą do małych zmian trajektorii (rys. 5.9a). Układ niestateczny to taki, który jest wrażliwy na małe zmiany warunków początkowych (rys. 5.9b,c).
Stability in the sense of Lyapunov determines the sensitivity of the solution as a function of time (Figure 5.9) to small change in initial conditions. The stable is one in which small changes in initial conditions lead to small changes in trajectory (Figure 5.9). The unstable is the one that is sensitive to small changes in initial conditions (Figure 5.9 (b), (c)).
Rys. 5.9abc. Rozwiązanie stateczne (a) i niestateczne (b) i (c)Figure 5.9abc. Stable solution (a) and unstable (b) and (c)
Jeżeli badamy stateczność w przestrzeni fazowej, której czas nie jest jednym z wymiarów, to mówimy o stateczności orbitalnej.
Aby zbadać stateczność rozwiązania rozpoczynającego się warunkami początkowymi u(0)=u0, wytrącamy układ ze stanu określonego rozwiązaniem u o dowolnie małą wartość u i linearyzujemy układ w otoczeniu badanego rozwiązania
If we are examining the stability in the phase space, where the time is not one of the dimensions, we are talking about the orbital stability.
To examine the stability of a solution starting from the initial conditions u(0)=u0, we disturb it from the state specified as (u) by an arbitrarily low value u and linearize the equation in the neighbourhood of the specified solution
(5.14)
(5.15)
115
Jerzy Zajączkowski
(5.16)Tutaj, F/u oznacza macierz Jacobiego. Uwzględniając równanie (5.14) w równaniu (5.16) otrzymujemy układ równań opisujących ruch zaburzony Here, F/u is the Jacobi matrix. Substituting equation (5.14) into equation (5.16) gives the equations describing the disturbed motion
(5.17)O stateczności rozwiązania u równania nieliniowego (5.20) wnioskujemy badając stateczność rozwiązania równania liniowego (5.23). Rozwiązanie układu (5.28) poszukujemy w postaci
About the stability of solution for nonlinear equations (5.14) we conclude from examining the solutions to linear equations (5.17). The solution of equation (5.17) we assume in the form (5.18)
(5.18)Jeżeli co najmniej jeden z wykładników h ma część rzeczywistą dodatnią to zaburzenie u(t) rośnie z upływem czasu i rozwiązanie u jest niestateczne. Jeżeli badamy stateczność stanów równowagi to wyznaczenie wykładników sprowadza się do obliczeniu wartości własnych macierzy Jacobiego F/u. Dla rozwiązań okresowych mamy do czynienia z drganiami parametrycznymi [25,26,27]. Korzystamy z twierdzenia Floqueta i rozwiązania numerycznego lub rozwiązania uzyskanego przez zastosowanie szeregów trygonometrycznych.If at least one of the exponents h has a positive real part then the disturbance u(t) grows with elapse of time and the solution u is unstable. If we are examining the stability of the static states of equilibrium then the finding of exponents comes down to calculating the eigenvalue of Jacobi matrix F/u. For periodic solutions, we have to deal with parametric vibrations [25, 26, 27]. We use Floquet theorem and numerical solution or a solution obtained by trigonometric series.
Jeżeli badamy stateczność dowolnego rozwiązania to można posłużyć się jego numerycznym oszacowaniem. Zauważmy najpierw, że jeżeli wykładniki h1>h2>h3>....>hn to z upływem czasu suma If we examine the stability of any solution we can use its numerical estimate. Note first that if the exponents of h1>h2>h3>....>hn then the sum over time
(5.19)
jest zdominowana przez składnik o największym wykładniku. Nakładając na funkcję u=Aeht
warunek początkowy u(0)=1 otrzymamy A=1. Wykładnik h można wtedy obliczyć w następujący sposób is dominated by the component with the largest exponent. Imposing on the function u=Aeht
initial condition u(0)=1 we obtain A = 1. The exponent h can then be calculated as follows
116
Jerzy Zajączkowski
(5.20)
Powyższe postępowanie można uogólnić [28,29]. Rozwiązujemy układ równań (5.14) dla warunków początkowych u0 określających badane rozwiązanie. Równocześnie rozwiązujemy układ równań (5.17) dla zestawu ortonormalnych warunków początkowych U.
The above procedure you can be generalised [28,29]. Solve equations (5.14) for initial conditions that u0 defining tested solution and simultaneously equations (5.17) for a set of orthonormal initial conditions.
(5.21)
Rys. 5.9d. Ortonormalizacja trajektoriiFigure 5.9d. Orthonormalization of trajectories
Z upływem czasu (rys. 5.9d) ortonormalność zanika i każde z rozwiązań U staje się zdominowane przez składnik o największym wykładniku charakterystycznym. Aby tego uniknąć i podtrzymać zanikającą ortonormalność rozwiązań korzystamy z metody Gramma-Schmidta. Wprowadzimy oznaczenia
With an elapse (Figure 5.9d) of time the orthonormality disappears and each of the solutions U is dominated by the component with the largest characteristic exponent. To avoid this and sustain orthonormality of solutions we use the Gramm-Schmidt method. Introduce the designation
(5.22)Normalizujemy u1 tak, aby u1
',u1' >=1
We normalize u1 so that u1',u1
' >=1
(5.23)Rozwiązanie u1
' zdominowane jest przez składnik o najwyższym wykładniku charakterystycznym. Normalizujemy u2 tak, aby u2
',u2' >=1, natomiast u2
',u1'>=0.
117
Jerzy Zajączkowski
The solution u1' is dominated by the component with the highest characteristic exponent. We
normalize u2 so that u2',u2
' >=1, while u2',u1
'>=0.
(5.24)Rozwiązanie u2
' jest ortogonalne względem u1' i jest z tego powodu jest zdominowane przez
składnik mający drugi, co do wielkości, wykładnik charakterystyczny. Normalizujemy u3
tak, aby u3',u3
' >=1, natomiast u3',u2
' >=0 oraz u3',u1
' >=0.The solution u2
' is orthogonal to u1' and is therefore is dominated by the component having
the second-largest characteristic exponent. We normalize u3 so that u3',u3
' >=1, while u3
',u2' >=0 and u3
',u1' >=0.
(5.25)Rozwiązanie u3
' jest ortogonalne względem u1' i u2
'. Z tego powodu jest zdominowane przez składnik mający trzeci, co do wielkości wykładnik charakterystyczny. Kolejne wektory un normalizujemy tak, aby un
',um' >=1dla n=m, natomiast un
',um' >=0 dla n różnego od
m. The solution u3
' is orthogonal to u1' and u2
'. For this reason, it is dominated by the component with the third-largest characteristic exponent. We normalize next vectors un so that un
',um' >=1for n=m, while un
',um' >=0 for n not equal to m.
.(5.26)
Ogólnie można powiedzieć, że n-ty wektor jest ortonormalny do wszystkich wcześniejszych i z tego powodu jest zdominowany przez składnik mający n-ty co do wielkości wykładnik. Kontynuujemy całkowanie numeryczne przeprowadzając ortonormalizację dla każdej nowej oscylacji. Wykładniki charakterystyczne znajdujemy z zależności
Generally you can say that the n-th vector is orthonormal to all earlier and because of this, it is dominated by the component with the n-th largest exponent. We are carrying out numerical integration performing orthonormalization for each new oscillation. The characteristic exponents we find from
(5.27)Program komputerowy realizujący powyższy algorytm opracowali Wolf, Swift, Swinney i Vastano [28].A computer Program that can use above algorithm was developed Wolf, Swift, Swinney and Vastano [28].
Przykład 1.Example 1.Równanie ruchu wahadła drugiego rzędu
118
Jerzy Zajączkowski
Second order equation of motion of pendulum
(5.28)zastępujemy układem równań pierwszego rzędu we replace with the system of equations of first order
(5.29)Równania ruch zaburzonego ma postać The equations of disturbed motion have the form
(5.30)Aby zbadać stateczność trajektorii startującej z warunków początkowych 1(0) i 2(0) musimy mieć dwa komplety ortonormalnych warunków początkowych. Wygodnie jest z każdym kompletem stowarzyszyć oddzielny komplet równań. Mamy wtedy układ sześciu równańTo investigate the stability of trajectories starting from initial conditions 1(0) and 2(0) we need two sets of orthonormal initial conditions. It is convenient to associate with each set a separate set of equations. We have then a system of six equations
(5.31)
Rozwiązujemy go korzystając z metody Runge-Kutta dla warunków początkowychWe solve it using the Runge-Kutta method for initial conditions
119
Jerzy Zajączkowski
.
(5.32)
Wykładnik Lapunowa obliczony za pomocą programu komputerowego [28] pokazany jest na rys. 5.10.Lyapunov exponent calculated using a computer program [28] is shown in Figure 5.10.
Rys. 5.10. Wykładnik Lapunowa dla warunk w początkowych 1(0)=0.999, 2(0)=0, okres renormalizacji 10/(g/l)1/2 , krok całkowania 2/(g/l)1/2/360, g=9.81, l=1.Figure 5.10. Lyapunov exponent for the initial conditions 1(0)=0.999, 2(0)=0, the period of renormalization 10/(g/l)1/2, the integration step 2/(g/l)1/2/360, g=9.81, l=1.
Przykład 2.Example 2
Układ składa się z dysku o momencie bezwładności B napędzanego momentem Mm, masy skupionej m oraz sprężyny. Masa m może poruszać się w rowku wzdłuż średnicy. Na rys. 1 v oznacza przemieszczenie masy wzdłuż średnic, a v0 mimośrodowość statyczną.
The system consists of a disk of moment of inertia of B driven by torque Mm, a concentrated mass m and a spring. Mass m can move in a groove along the diameter. In Figure 1, v denotes the motion of mass along the diameter and v0 the static eccentricity.
120
Jerzy Zajączkowski
Rys. 5.11. Masa poruszająca się wzdłuż średnicy obracającej się tarczyFigure 5.11. Mass moving along the diameter of the rotating wheel
Równanie momentu napędowego, suma rzutów sił na kierunek osi v, oraz suma momentów sił względem osi obrotu
The equation of torque, the sum of projections of forces on the v-axis, and the sum of the moments of forces with respect the axis of rotation
(5.33)Tutaj, oznacza kąt obrotu tarczy, v przemieszczenie masy wzdłuż średnicy tarczy, B oznacza masowy moment bezwładności tarczy, m masę, (k, k1) współczynniki sztywności sprężyny, (T, Cm, m) to stałe silnika. Here, is the angle of rotation of the disc, v mass displacement along the diameter of the disc, B is the mass moment of inertia of the wheel, m the mass, (k, k1) spring stiffness coefficients, (T, Cm, m) are motor constants.
Równania stateczności znajdziemy zaburzając ruch bezpośrednio w równaniach drugiego rzędu
The stability equation can be found directly by disturbing the solution of the equations of motion of second order
121
Jerzy Zajączkowski
(5.34)Stan równowagi widziany przez obserwatora znajdującego się na wirującej tarczySteady-state, as seen by an observer located on the rotating disc
(5.35)Podstawiając powyższe wartości do układu równań otrzymujemySubstituting these values into the system of equations we get
(5.36)
Względne przemieszczenie masy v/v0 w funkcji 0 dla 0=(k/m)1/2, v0=0.01m dla k1=0, oraz k1=2500m-2 pokazane jest na rys. 5.12.The relative displacement v/v0 of a mass as a function of 0 for 0=(k/m)1/2, v0=0.01m for k1=0 and k1=2500m-2 is shown in Figure 5.12.
Z nieliniową siłą sprężystości pomniejszoną o siłę odśrodkową With the non-linear elastic force and negative centrifugal force
(5.37)zwiążemy energię określona jako potencjał. Mamy wtedywe can relate the energy potential. We then have
(5.38)Zależność energii E/k od v/v0 dla k1=2500m-2, v0=0.01m oraz 0=3 pokazana jest na rys. 5.13.The dependence of energy E/k from v/v0 for k1=2500m-2, v0=0.01m and 0=3 is shown in Figure 5.13.
122
Jerzy Zajączkowski
Rys. 5.12. Rozwiązanie określające stan dynamicznej równowagi v/v0 w funkcji 0 dla k1=0 oraz 2500m-2 i mimośrodowości v0=0.01m; rozwiązanie stateczne: (______), rozwiązanie niestateczne: (_ _ _ _).Figure 5.12. The solution determining the state of dynamic equilibrium v/v0 as a function of 0 for k1=0 and 2500m-2, and for eccentricity v0 = 0.01m; the stable solution: (______), the unstable solution: (_ _ _ _).
Rys. 5.13. Energia E/k w funkcji v/v0 dla 0=3Figure 5.13. The energy E/k as a function of v/v0 for 0=3
Rys 5.14. Prędkość kątowa oraz prędkość masy wypchniętej ze stanu niestatecznej równowagi reprezentowanej przez maksimum energii dla k1=2500(m-2),/0=3.
Figure 5.14. The angular velocity and the speed of the mass pushed out from the unstable equilibrium states represented by the maximum energy for k1=2500(m-2),/0=3.
Dla układu o mimośrodowości równej zeru v0=0 oraz pozbawionego tłumienia c=0 i napędu Cm=0 trajektorie (dv/dt, v) dla kilku wybranych warunków początkowych pokazane są na rys. 5.15.
123
Jerzy Zajączkowski
For the system with eccentricity equal to zero v0=0 without damping c=0 and drive Cm=0 trajectories (dv/dt, v) for a few selected initial conditions are shown in Figure 5.15.
Rys. 5.15. Rzut trajektorie na płaszczyznę (dv/dt, v) dla c=0, Cm=0, v0=0, k1=2500(m-2) i /0=3.
Figure 5.15. Projection of trajectories on the plane (dv/dt, v) for c=0, Cm=0, v0=0, k1=2500(m-2) i /0=3.
Laboratorium komputeroweZbadaj zachowanie układów opisanych równaniami:
Computer labInvestigate the behaviour of systems described by the equations:
Lorenz
Van der Pol
,
Duffing
F=0 i F0.
Zadanie badawczeOpracować i zbadać modele układów złożonych z mas i elementów odkształcalnych
(rys. 4.5, 4.6) przyjmując zależność pomiędzy siłą i odpowiadającym jej ściśnięciem w 124
Jerzy Zajączkowski
postaci szeregowo połączonych elementów o charakterystyce opisanej nieliniową zależnością [28]Research task 1Develop and explore models of complex systems with masses and deformable elements (Figure 4.5, 4.6), assuming the relationship between force and the corresponding compression in the form of serially connected components with non-linear characteristics described by [28]
(5.39)Na przykład dla modelu pokazanego na rysunku 5.18For example, for the model shown in Figure 5.18
Rys. 5.18. Model zależności pomiędzy siłą i odkształceniemFigure 5.18. Model of the relationship between force and deflection
otrzymamywe get
(5.40)
Zbadać wpływ współczynników k, c oraz nieparzystych wykładników p. Wielkość S jest stałą skalującą współczynniki k. Jeżeli x jest w metrach, a S=1000, to stała k równa jest sile przy ściśnięciu elementu o 1mm=0.001m. Examine the influence of factors (k, c) and odd exponent p. S is a constant factor for scaling k. If x is in meters and S = 1000, k is a constant equal to the force corresponding to the compression of element for 1mm = 0.001m.
Jako siłę wymuszającą przyjąć siłę elektromagnesu F (rys. 5.18) określoną zależnościami As the excitation force take the electromagnet force F (Figure 5.18), defined by
relationships
125
Jerzy Zajączkowski
(5.41)
u=u(t), i, R, L oznaczają odpowiednio napięcie zasilania, natężenie prądu, oporność i indukcyjność uzwojenia. u=u(t), i, R, L denote the voltage, current, resistance and inductance of the winding.
Rys. 5.18. Elektromagnes Figure 5.18. Electromagnet
(a) Indukcyjność przybliżyć funkcją (a) The inductance approximate with the function
.(5.42)
Współrzędna x określa tu położenie zwory względem brzegu elektromagnesu. W obliczeniach przyjąć R=1D=0.0015Hm, d=0.00141m.The x coordinate specifies the position of the armature relative to the edge of the electromagnet. For the calculations assume R=1D=0.0015Hm, d=0.00141m.
(b) Dla nieruchomego elektromagnesu (rys. 5.18) o oporności uzwojenia R, zasilanego napięciem u=Usint, dokonać pomiaru natężenia prądu I i obliczyć indukcyjność L (5.43) w funkcji wzajemnego położenia zwory i elektromagnesu.(b) For a stationary electromagnet (Figure 5.18) having coil resistance R, supplied with the voltage u=Usint, measure the current I and calculate the inductance L (5.43) as a function of mutual position of the armature and the electromagnet.
.
(5.43)Korzystając z wyników pomiarów, indukcyjność (rys. 5.19b) przybliżyć funkcją (5.44a) opisującą natężenie [64] stacjonarnego pola magnetycznego H cewki (rys. 5.19a), dobierając odpowiednio parametry (5.44b).Using the results of measurements, approximate inductance (Figure 5.19b) using the function (5.44a), describing the intensity [64] of the magnetic field H of a stationary coil (Figure 5.19a), by choosing proper parameters (5.44b)..
126
Jerzy Zajączkowski
Rys. 5.19a. Schemat obliczeniowy cewki, mającej z zwojów, do obliczenia natężenia pola magnetycznego w odległości x od jej środka.
Figure 5.19a. Scheme for calculating intensity of the magnetic field of a stationary coil, having z turns, at distance x from its centre.
(5.44a)
,
.(5.44b)
We wzorach [57] (5.44b) określających L, współrzędna x określa położenie środka ruchomego rdzenia i ma początek w środku cewki; l oznacza 1/2 obliczeniowej długości cewki; r0 obliczeniowy promień cewki; Lmax oznacza maksymalną indukcyjność cewki, gdy środek rdzenia pokrywa się ze środkiem cewki; Lmin oznacza minimalną indukcyjność cewki, gdy rdzeń znajduje się w krańcowym położeniu. In formulas [57] (5.44b) defining L, the x coordinate specifies the position of the movable core centre and has its origin in the centre of the coil; l denotes half of the computational length of the coil; r0 computational radius of the coil; Lmax is the maximum inductance of the coil that is when the centre of the core coincides with the centre of the coil, Lmin is the minimum inductance of the coil when core is in the end position.
127
Jerzy Zajączkowski
Rys. 5.19b. Zależność indukcyjności L (5.43) i jej pochodnej dL/dx w funkcji współrzędnej x, której początek umieszczony jest w środku cewki, przybliżone funkcją (5.44) dla R=7, Lmax=0.364319H, Lmin=0.04H, 2l=0.056m, r0=0.032, Figure 5.19b. The inductance L (5.43) and its first derivative dL/dx as a function of the coordinate x having its origin in the centre of coil, approximated by the function (5.44) for R=7, 2l=0.056m, r0=0.032m, Lmax=0.364319H, Lmin=0.04H.
Research task 2Study the vibration of a system in which the reaction force F is related to the displacement [56] as follows
128
Jerzy Zajączkowski
(5.45)
LiteraturaReferences
1. Zajączkowski J.: Komputerowe Modelowanie Maszyn Włókienniczych, Łódź, Polska Akademia Nauk, Oddział w Łodzi, 2004, ISBN 83-86492-22-8
2. Chwalibóg M.: Kinematyka Mechanizmów Włókienniczych. PWN Łódź 19643. Olędzki A.: Podstawy Teorii Maszyn i Mechanizmów, WNT 1987 .4. Morecki A., Oderfeld J.: Teoria Maszyn i Mechanizmów PWN 1987.5. More J. J., Cosnard M.Y.: Numerical solution of nonlinear equations. ACM Transaction on
Mathematical Software 5, 64-85(1979).6. More J. J., Cosnard M.Y.: BRENTM, a FORTRAN subroutine for the numerical solution
of systems of nonlinear equations [C5]. ACM Transaction on Mathematical Software 6, 240-251(1980).
7. Cooley J. W., Tukey J. W.: An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series. Math. Comput. 1965, 19, 297.
8. Dorn W. S., McCracken D. D.: Numerical Methods with Fortran IV - Case Studies. Wiley International Edition 1972.
9. Chen F. Y.: Mechanics and Design of Cam Mechanisms. Pergamon Press 1982.10. Bajorek Z.: Teoria Maszyn Elektrycznych PWN 1982.11. Zajaczkowski J.: 2005. Application of Mathematical Methods to Designing a Cam-Driven
Loom Batten. FIBRES & TEXTILES in Eastern Europe July / September 2005, Vol. 13, No. 3 (51), 71-74
12. Zajączkowski J.: Applying Brent’s Method for Calculating the Forces Acting on Sewing Manipulators, Fibres &Textiles in Eastern Europe, October/December 2003, Vol. 11, No 4(43), s.45-49.
13. Song M. W., Vidyasagar M.: Robot Dynamics and Control. John Wiley and Sons Inc. 1989.
14. Tchoń K, Mazur A. Dulęba I, Hossa R, Muszyński R.: Manipulatory i roboty mobilne. Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ , Warszawa 2000.
15. Grad J., Brebner M. A.: Eigernvalues and eigenvectors of a real general matrix [F2]. Communications of ACM, vol. 11, no. 12, December 1968, s. 820-826.
16. Shock and Vibration Handbook edited by C.M Harris and Ch. E. Crede, MaGraw-Hill Book Company
17. Abraham R. and Marsden J. Foundation of Mechanics, Benjamin/Cummings 197818. Minorsky N.: Drgania nieliniowe PWN 1967
19. Hayashi Ch.: Drgania Nieliniowe w Układach Fizycznych WNT 1968
129
Jerzy Zajączkowski
20. Thompson J.M.T, Stewart H.B.: Nonlinear Dynamics and Chaos John Wiley and Sons 1986
21. Awrejcewicz J.: Drgania deterministyczne układów dyskretnych -WNT 1996
22. Awrejcewicz J.: Bifurkacje i Chaos w Układach Dynamicznych. Zeszyty Naukoew Politechniki Łódzkiej. Nr 583, z. 127, 1990r
23. Kapitaniak T.: 1992 Wstęp do teorii drgań (Introduction to the Theory of Oscillations), Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej: Łódź.
24. Kapitaniak T, Wojewoda J.: 1994 Bifurkacje i chaos (Bifurcations and Chaos), Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej: Łódź, second edition 1995, third, revised edition Wydawnictwo Naukowe PWN: Łódź 2000
25. Hsu C. S.: On the parametric excitation of a dynamical system having multiple degree of freedom. J. of APM, September, 1963, Trans. ASME series E, s. 367,-372.
26. Zajączkowski J., Lipiński J.: 1979. Vibrations of parametrically excited systems. Journal of Sound and Vibration Vol. 63, 1-7.
27. Zajączkowski J.: 1981. An approximate method of analysis of parametric vibration. Journal of Sound and Vibration Vol. 79, pp. 581-588.
28. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A.: Determining Lyapunov exponents from a time series. Physica D Nonlinear Phenomena 1985, vol. 16D pp. 285-317.
29. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J. M.: Lyapunow characyeristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian sysyems; a method for computing all of them. Meccanica 1980 vol 15, s. 9-30.
30. Zajączkowski J.: Modelling of dynamical properties of textiles under compression. Fibres & Textiles in Eastern Europe. Vol 8, Nr 1(28), 57-58, 2000.
31. Zajączkowski J.: Torsional vibrations of shafts coupled by mechanisms. Journal of Sound and Vibration. 116(2), 221-237 (1987).
32. Zajączkowski J.: Torsional buckling of shafts coupled by mechanisms. Journal of Sound and Vibration. 173(4), 449-455 (1994).
33. Zajączkowski J.: Vibrations of shafts coupled by mechanisms. Journal of Sound and Vibration. 177(5), 709-713 (1994).
34. Zajączkowski J.: Resonances of symmetric modes in shafts coupled by mechanisms. Journal of Sound and Vibration 197(5), 519-525, (1996).
35. Zajączkowski J.: Computer modelling of textile machines. Fibers & Textiles in Eastern Europe Vol. 8, No. 3 (30) 59-62, 2000, No. 4(31) p. 78, 2000.
36. Zajączkowski J.: Dynamics of a conjugate cam mechanism driving an elastic swinging shaft. Zeszyty Naukowe Politechniki Łódzkiej, Włókiennictwo (2001).
37. Zajączkowski J.: Torsional vibrations of shafts in a sewing machine. Fibers & Textiles in Eastern Europe 4(3-4), 49-50 (1996).
38. Zajączkowski J.: Torsional vibrations of a hook shaft in a sewing machine. Fibres & Textiles in Eastern Europe 7, No. 1 (24), 51-53, (1999).
39. Zajączkowski J.: Mathematical Model of a Zigzag Sewing Machine with a Timing Belt Driven Hook. Fibres and Textiles in Eastern Europe 2002, 56-58
40. Zajączkowski J.: Effect of belt extensibility on variation of the relative position of a needle and a hook in a sewing machine. International Journal of Clothing Science & Technology; 12:5 303-310, (2000) ISSN: 0955-6222
41. Zajączkowski J.: Vibrations of a crank-shaft in a sewing machine induced by a zigzag mechanism. International Journal of Clothing Science and Technology 11, (1), 53-59, (1999).
42. Zajączkowski J.: Dynamics of a belt drive of a hook in a sewing machine. Zeszyty Naukowe Politechniki Łódzkiej 778, Włókiennictwo, 55, 99-105 (1997).
130
Jerzy Zajączkowski
43. Zajączkowski J.: Dynamics of mechanism driving a needle and a hook in a sewing machine. Zeszyty Naukowe Politechniki Łódzkiej 760, Włókiennictwo, 54, 5-12 (1996).
44. Przytulski R., Zajączkowski J.: Kinematic Analysis of the Sewing Mechanisms of an Overedge Machine, FIBRES& TEXTILES in Eastern Europe January / March 2006, Vol. 14, No. 1 (55),79-82"
45. Robak D.: A model of Fabric Transport in a Sewing Machine Using a Feed Dog Covered with a Supple Material of Increased Friction. Fibres and Textiles in Eastern Europe 2002, vol. 10, no. 3 (38)59-62
46. Stasik K.: Mathematical Model of a Mechatronic Pinch Type Gripper for Textiles: - Fibres & Textiles In Eastern Europe vol 13 no 1 (49), 67-70, 2005
47. Stasik K.: Mathematical Model of a Mechatronic Gripper for Textiles: parallel-finger type gripper - Fibres & Textiles In Eastern Europe -FIBRES & TEXTILES in Eastern Europe April / June 2005, Vol. 13, No. 2 (50),73-75
48. Zajączkowski J.: Stability of a direct drive of a spindle in a spinning machine. Fibers & Textiles in Eastern Europe, Vol. 8, No. 3 (30) 63-65, 2000.
49. Zajączkowski J., Lipiński J.:1979. Instability of the motion of a beam of periodically varying length. Journal of Sound and Vibration Vol. 63, 9-18.
50. Zajączkowski J., Yamada G.: 1980. Instability of a periodically moving plate. Journal of Sound and Vibration Vol. 68, 181-186.
51. Zajączkowski J., Yamada G.: 1980. Further results on instability of the motion of a beam of periodically varying length. Journal of Sound and Vibration Vol. 68, 173-180.
52. Zajączkowski J.: 1981. Destabilizing effect of Coulomb friction on vibration of a beam supported at an axially oscillating mount. Journal of Sound and Vibration Vol. 79, 575-580.
53. Zajączkowski J.: 1983. Stability of transverse vibration of a circular plate subjected to a periodically varying torque. Journal of Sound and Vibration Vol. 89, 273-286.
54a. Zajączkowski J.: Stability of rotation of a motor driven shaft above the critical speed. Journal of Sound and vibration. 209, 857-865 (1998).
54b.Zajączkowski J.: Application of Textile Items in Supports of Rotating Bodies. FIBRES & TEXTILES in Eastern Europe 2013, Vol. 21, No. 1 (97): 97-99.
55a. Zajączkowski J.: Stability of a rotating system driven by a motor. Zeszyty Naukowe Politechniki Łódzkiej Nr 810, Włókiennictwo z. 56, 11-18, (1999).
55b. Zajączkowski J.: Vibrations of a Rotating System Containing a Textile Element. IBRES & TEXTILES in Eastern Europe 2015; 23, 1(109): 68-69.
56. Zajączkowski J.; Impact of an Object on a Layer of Fibres Submerged in a Fluid. FIBRES & TEXTILES in Eastern Europe 2010, Vol. 18, No. 6 (83) pp. 60-62.
57. Zajączkowski J.: Resonance Vibrations of an Elastic System Supported on a Textile Layer. FIBRES & TEXTILES in Eastern Europe 2014, Vol. 22, No. 2(104).
58. Jerzy Zajaczkowski 2012. Chaotic Vibrations of an Object Supported on a Layer of Fibres. Fibres & Textiles in Eastern Europe 2012, 20, 6A (95): 75-77.
59. Jerzy Zajaczkowski 2009. Interaction of the driving motor and axially moving beam in textile machines. Fibres & Textiles in Eastern Europe, Vol. 17, No. 2 (73), pp. 96-98.
61. Jerzy Zajaczkowski 2007. The Unstable Behaviour of Reciprocally Rotating Shafts in Textile Machines, Fibres & Textiles in Eastern Europe July / September 2007, Vol. 15, No. 3, pp 102-104.
62. V.L. Veltz, A.M. Martynenko, E. Z. Shneyerson 1973. Frequency Characteristic of a Machine Assembly with Self-Locking Mechanism. Mechanism and Machine Theory. Vol.8, pp. 83-53.
63. Valery Vodovozov. Electric Drive System and Operation. bookboon.com64. Stanislaw Bolkowski et al. 1985. Zbiór zadań z elektrotechniki teoretycznej, WNT.
131
Jerzy Zajączkowski
//Computer programs
//Mechanism shown in Figure 1.3. Four-bar-linkage:
//Cam mechanism: Figure 1.27.
//Motor driven mechanism: Equation 2.9
//Set of ordinary dofferential equations: Equation 4.6
//Matrix calculus: eigenvalues of nonsymmetric matices, Ax2BxC, solution of linear alg equations.// Zmienić: Project –Options – C++ Linker – Maximum Stack Size - Output 0x00400000
//Vibrations of continuous systems – beam: Figure 4.9.
//Steady-state - resonance curve //Chaos - Brent + Runge-Kutta + Poincare sections + spectrum FFT + Lapunov exponent
132