ASIGNATURA: Matemática.

CURSO: 3° Año

DOCENTES A CARGO: Popridkin, Cecilia - Druetta, Eliana

EJE 2: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Criterios de Valoración:

Los criterios que se enuncian a continuación, no son criterios de evaluación, porque durante este periodo no serán

evaluados mediante una nota, sino que se tendrán en cuenta diferentes criterios sobre los que realizaremos nuestra

valoración y devolución de sus trabajos. Es importante durante esta cuarentena, que nos mantengamos comunicados y

manteniendo el esfuerzo y dedicación en la resolución de las tareas propuestas. En estos momentos, la responsabilidad y

el compromiso son más necesarios que nunca, y nos van a ayudar a salir adelante entre todos. Todos aquellos

aprendizajes que consideramos fundamentales serán retomados cuando volvamos a clases.

Se tendrán en cuenta, en el momento de corregir y devolver sus trabajos prácticos, los siguientes criterios:

El estudiante:

- Cumple con la realización de la tarea en forma completa y prolija.

- Comprende la consigna.

- Completa cada actividad usando un procedimiento apropiado:

Reconoce en que situaciones aplicar las razones trigonométricas.

Identifica la razón trigonométrica involucrada.

Plantea la razón trigonométrica correctamente.

Opera correctamente.

Identifica y escribe la respuesta a cada situación presentada.

- Revisa y mejora sus producciones a partir de las correcciones.

- Trabaja colaborativamente: actitud de solidaridad con sus compañeros al comunicar cualquier novedad al

resto del curso, para que todos los estudiantes estén informados y puedan realizar las actividades. Así

mismo, tener la voluntad de enviar trabajos de otros cuando éstos no tengan los medios para hacerlo.

- Honestidad en la presentación del trabajo: es importante el compromiso con su propio aprendizaje, que

resuelvan, dentro de sus propias posibilidades, cada uno su tarea.

- Conocimientos previos y capacidades adquiridas en años anteriores: Es importante utilizar la carpeta de

años anteriores como material de consulta.

En esta propuesta de trabajo abordaremos el tema “razones trigonométricas”, para el cual se retomarán los conceptos de razón y triángulos rectángulos. En la primera parte definiremos las razones trigonométricas y luego trabajaremos con algunas aplicaciones. Les sugerimos leer detenidamente el material teórico, los ejemplos y mirar los videos. A medida que avancen con la lectura, si les surgen dudas, anótenlas en la carpeta para poder consultarlas en la clase virtual y/o en el aula virtual.

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es “la medición de los triángulos”. Deriva de

los términos griegos trigōnos “triángulo” y metro “medida”.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente,

secante y cosecante. Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por

ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos

geográficos, y en sistemas globales de navegación por satélites.

En esta propuesta trabajaremos con las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente de un ángulo.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Como vimos en la propuesta anterior, en un triángulo rectángulo cada lado recibe nombres particulares:

Lado 𝒂𝒄 𝑦 𝒄𝒃: Catetos – Cada uno de los que forma el ángulo recto

Lado 𝒂𝒃: Hipotenusa – Lado opuesto al ángulo recto

Las razones trigonométricas relacionan la amplitud de los ángulos agudos con la longitud de los lados de un triángulo

rectángulo. Se definen como razones entre las longitudes de los lados del triángulo, y se establecen en función de uno de

sus ángulos agudos. Según el ángulo agudo que es tenido en cuenta, los catetos se definen como Cateto Opuesto y

Cateto Adyacente:

Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.

Cateto opuesto es el cateto que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.

https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Medici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griegohttps://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(trigonometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Cosenohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Cotangentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Secante_(trigonometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Cosecantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Triangulaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Estrellahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geograf%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_global_de_navegaci%C3%B3n_por_sat%C3%A9lite

Existen tres razones trigonométricas fundamentales y otras tres derivadas de éstas, pero por ahora sólo definiremos y

aplicaremos las fundamentales. Éstas son:

Seno de un ángulo agudo = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 Se abrevia sen o sin

Coseno de un ángulo agudo = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 Se abrevia cos

Tangente de un ángulo agudo = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 Se abrevia tan o tg

Cuando decimos cateto opuesto, adyacente o hipotenusa, se hace referencia a la longitud de esos lados.

Observa el siguiente ejemplo, donde se establecen para el triángulo rectángulo las razones trigonométricas en relación al

ángulo agudo 𝛼:

CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

En este apartado vamos a verificar que las razones trigonométricas, si bien relacionan los lados de un triángulo rectángulo,

no dependen de la longitud de los mismos, sino de la amplitud del ángulo agudo considerado. Para ello presentamos la

siguiente situación:

Se lanza una pelota desde el punto más alto de una rampa (punto A), de 6 metros de altura y 12 metros de longitud.

Cuando la pelota llega al punto B, se encuentra a una altura de 4 metros y aún le falta recorrer 8 metros sobre la

rampa. El ángulo de inclinación de la rampa es �̂�. La representación gráfica de la situación planteada es:

Te proponemos mirar el siguiente video, en el que se muestra cómo diferenciar los catetos y la hipotenusa para plantear correctamente las razones trigonométricas estudiadas:

https://youtu.be/FUMlQtJfrHo

https://youtu.be/FUMlQtJfrHo

Como observamos, quedan definidos dos triángulos rectángulos de diferentes dimensiones que comparten el ángulo �̂�.

Si calculamos el valor del seno del ángulo �̂� considerando el triángulo formado cuando la pelota está en la posición A:

𝑠𝑒𝑛 �̂� =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑠𝑒𝑛 �̂� =6𝑚

12𝑚

𝑠𝑒𝑛 �̂� = 0,5

Ahora vamos a hacer lo mismo para la posición B:

𝑠𝑒𝑛 �̂� =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑠𝑒𝑛 �̂� =4𝑚

8𝑚

𝑠𝑒𝑛 �̂� = 0,5

Calcula, aplicando el Teorema de Pitágoras, la longitud de los segmentos 𝑎𝑏̅̅ ̅ y 𝑎𝑐̅̅ ̅ y luego completa:

Coseno de �̂� para la posición A

𝑐𝑜𝑠 �̂� =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑜𝑠 �̂� =12𝑚

𝑐𝑜𝑠 �̂� = 0,5

Tangente de �̂� para la posición A

𝑡𝑔 �̂� =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑡𝑔 �̂� =6𝑚

𝑡𝑔 �̂� =

Coseno de �̂� para la posición B

𝑐𝑜𝑠 �̂� =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑜𝑠 �̂� =8𝑚

𝑐𝑜𝑠 �̂� =

Tangente de �̂� para la posición B

𝑡𝑔 �̂� =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑡𝑔 �̂� =4𝑚

𝑡𝑔 �̂� =

¿Qué observas? __________________________________________________________________________________

Vemos que los valores de las razones seno, coseno y tangente permanecen constantes más allá de que las longitudes de los lados del triángulo son diferentes, pues el ángulo considerado es el mismo. Podemos afirmar entonces que las razones trigonométricas NO DEPENDEN DE LA LONGITUD DE LOS LADOS SINO ÚNICAMENTE DE LA AMPLITUD DEL ÁNGULO CONSIDERADO. Como estos valores permanecen constantes si el ángulo no cambia, se puede elaborar una tabla de valores de las razones trigonométricas:

Para obtener los valores también se puede usar la calculadora.

APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Así como el Teorema de Pitágoras nos permitía calcular un lado desconocido de un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas nos permiten calcular lados y ángulos desconocidos de un triángulo rectángulo.

I. Cálculo de un ángulo agudo conocidos dos lados

En el triángulo rectángulo que presentamos a continuación, se conoce la longitud de dos lados: 𝑎𝑏̅̅ ̅̅ 𝑦 𝑎𝑐̅̅ ̅ . Veremos entonces, cómo calcular la amplitud de uno de los ángulos agudos, �̂�, que no conocemos.

Observamos el triángulo e identificamos y escribimos los datos y la incógnita: Datos:

𝒂𝒃̅̅ ̅̅ (cateto adyacente al ángulo desconocido) = 5 cm

𝒂𝒄̅̅̅̅ (hipotenusa) = 7 cm

Incógnita:

�̂� (ángulo agudo) = x

Luego, tenemos que buscar una de las razones trigonométricas que conocemos, que relacione el cateto adyacente, la hipotenusa y el ángulo agudo �̂�. En este caso, la razón trigonométrica es el coseno de un ángulo pues:

Coseno de un ángulo agudo = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

Reemplazamos por los datos que tenemos y calculamos el cociente.

𝒄𝒐𝒔 �̂� = 𝟓

𝟕

𝒄𝒐𝒔 �̂� = 𝟎, 𝟕𝟏𝟒

En la tabla de valores de las razones trigonométricas, buscamos cuál es la amplitud del ángulo �̂� si el coseno del mismo es 0,714. Si no está el valor exacto, buscamos el valor aproximado, que este caso es 0,7193. Como se indica en el recuadro, el coseno tiene el valor de 0,7193 cuando el ángulo es de 44°.

Por lo tanto, el ángulo �̂� = 44°

II. Cálculo de un lado conocidos un ángulo agudo y un lado

En el triángulo rectángulo que presentamos a continuación, se conoce la longitud de uno de los lados 𝑎𝑐̅̅ ̅ y la amplitud del ángulo agudo 𝛽. Veremos entonces, cómo calcular la longitud de uno de los lados que no conocemos: 𝑐𝑏̅̅ ̅

Observamos el triángulo e identificamos y escribimos los datos y la incógnita: Datos:

𝒂𝒄̅̅̅̅ (cateto opuesto al ángulo conocido) = 4 cm

�̂� (ángulo agudo) = 53°

Incógnita:

𝒄𝒃̅̅̅̅ (cateto adyacente al ángulo conocido) = X

Luego, tenemos que buscar una de las razones trigonométricas que conocemos, que relacione el cateto opuesto, el cateto adyacente y el ángulo agudo. En este caso, la razón trigonométrica es la tangente de un ángulo pues:

Tangente de un ángulo agudo = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

Reemplazamos por los datos que tenemos: 𝒕𝒈 𝟓𝟑° = 𝟒

𝒙

En la tabla de valores de las razones trigonométricas, buscamos cuál es el valor de la tangente del ángulo de 53°. Como se indica en rojo para el ángulo de 53° la tangente es 1,3270.

Con ese valor obtenido de la tabla, reemplazamos entonces en la ecuación:

𝟏, 𝟑𝟐𝟕𝟎 = 𝟒

𝒙

Y finalmente, despejamos “X”, resolviendo la ecuación que queda planteada:

𝟏, 𝟑𝟐𝟕𝟎 . 𝒙 = 𝟒

𝒙 = 𝟒

𝟏, 𝟑𝟐𝟕𝟎

𝒙 = 𝟑, 𝟎𝟏𝟒

Por lo tanto, la medida del lado 𝒄𝒃̅̅̅̅ (cateto adyacente al ángulo conocido) es de 3,014 cm.

III. Situación Problemática A continuación, les presentamos una situación problemática en la que, para resolverla, tendremos que usar una de las razones trigonométricas que conocemos.

¿Qué altura tiene la pared si la escalera que está

apoyada en ella tiene una longitud de 3 metros

hasta el borde la pared y el ángulo que forma con

el piso es de 68°?

Como podemos observar en el gráfico de la situación, la pared con el suelo forman un ángulo recto y la pared con el suelo y la escalera, forman por lo tanto un triángulo rectángulo. Entonces, para resolver el problema, podremos usar alguna de las razones trigonométricas que conocemos. A partir del enunciado y de la gráfica, tenemos que identificar y escribir los datos y la incógnita.

A continuación, hay que buscar una de las razones trigonométricas que conocemos que relacione el cateto opuesto, la hipotenusa y el ángulo agudo.

En este caso, la razón trigonométrica es el seno de un ángulo pues:

Seno de un ángulo agudo = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

Reemplazamos por los datos que tenemos:

𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟖° = 𝒙

𝟑

En la tabla de valores de las razones trigonométricas, buscamos cuál es el valor del seno del ángulo de 68°. Como se indica en dicha tabla, el seno del ángulo de 68° es 0,9272. Reemplazamos entonces en la ecuación:

𝟎, 𝟗𝟐𝟕𝟐 = 𝒙

𝟑

Y finalmente, despejamos “X”, resolviendo la ecuación que queda planteada:

𝟎, 𝟗𝟐𝟕𝟐 . 𝟑 = 𝒙

𝟐, 𝟕𝟖𝟏𝟔 = 𝒙

Por lo tanto, la medida de la pared es de 2,7816 metros.

Datos: Longitud de la escalera (hipotenusa) = 3 m Ángulo agudo (que forma la escalera con el suelo) = 68° Incógnita: Altura de la pared (cateto opuesto al ángulo de 68°) = X

IV. Videos

Te proponemos mirar los siguientes videos, en los que se muestran algunos ejemplos de aplicación de las razones trigonométricas, con los pasos a seguir en su resolución:

https://youtu.be/CRg5jQRj1Hg

https://youtu.be/ZRLaVT8E3Zs

https://www.youtube.com/watch?v=-fngcThQGF4 En lugar de la calculadora se puede usar la tabla de razones como se explica

en los ejemplos dados en el trabajo.

https://youtu.be/CRg5jQRj1Hghttps://youtu.be/ZRLaVT8E3Zshttps://www.youtube.com/watch?v=-fngcThQGF4

Actividades Propuestas

Les presentamos las actividades que tendrán que resolver en esta propuesta. Algunas cosas para tener en cuenta:

Leer la consigna de cada actividad. Si hay algo que no comprenden, anotarlo en la carpeta para

poder consultarlo en la clase virtual o por el aula virtual.

Resolver en forma completa, ordenada y prolija en la carpeta cada una de las actividades.

Sacar las fotos al finalizar todas las actividades y subirlas al aula virtual a la parte de TAREAS

o ASIGNACIÓN de la propuesta correspondiente. Por favor escriban con lapicera, pongan

nombre a todas las hojas y saquen las fotos nítidas, luego las pegan todas en un Word o PDF y

suben el archivo.

Actividad 1

Completa y calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas, a partir del triángulo rectángulo

que se presenta.

Actividad 2

Para cada uno de los triángulos rectángulos que se presentan encuentra el valor de “x”. Para ello, realiza

el planteo de la razón trigonométrica correspondiente, resuelve y escribe la respuesta.

1)

2)

Actividad 3

Para cada una de las situaciones problemáticas que se presentan (con su correspondiente gráfica):

- Escribe los datos y la incógnita.

- Realiza el planteo usando la razón trigonométrica correspondiente.

- Resuelve.

- Escribe la respuesta.

1. ¿Cuál es el ángulo de elevación �̂� del avión?

2. Un árbol de 3 metros de altura, proyecta una sombra de 12 metros. ¿Cuál es la amplitud del ángulo �̂�?