1

DOKTORI ÉRTEKEZÉS

WANTUCHNÉ DOBI ILDIKÓ

2002

2

NAPI METEOROLÓGIAI ID İSOROK TÖBBDIMENZIÓS

SZTOCHASZTIKUS MODELLEZÉSE

MATEMATIKA DOKTORI ISKOLA

ALKALMAZOTT MATEMATIKA PROGRAM

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM

TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

Témavezetı:

Dr. Szeidl László

Meteorológus konzulens:

Dr. Mika János

ORSZÁGOS METEOROLÓGIAI SZOLGÁLAT

3

Tartalomjegyzék

A disszertáció tézisei

I. Célkitőzés 1

II. Módszerek és adatok 2

III. Eredmények 3

IV. A hasznosítás lehetıségei 5

V. Az értekezéshez kapcsolódó publikációk 6

Bevezetés 8

1. Szakirodalmi elızmények 11

1. 1. Sztochasztikus idıjárás generátor modellek 11

1. 2. Csapadék állapot modellek 16

1.3. A klímaváltozás leskálázása 18

2. A disszertációban felhasznált meteorológiai adatok 22

3. Száraz és csapadékos tartamok elemzése, modellezése 24

3. 1. Függetlenség vizsgálat 25

3.2. Eloszlásillesztés 29

4. Elıkészítı lépések 34

4. 1. Transzformációk 34

4.1.1. Sokéves napi átlag és szórás számítása száraz és csapadékos napok szerint 35

4.1.2. Fourier sorfejtés alkalmazása a sokéves feltételes statisztikákra 35

4.1.3. Simított sorok elıállítása Inverz Fourier Transzformációval 36

4.1.4. Rezidum sorok elıállítása a simított sorok felhasználásával 38

4. 2. Idıjárási paraméterek néhány jellemzıje 46

4.3. Faktoranalízis 47

4.4. Normalitás vizsgálat 49

4.5. Feltételes korreláció, autokorreláció 52

4

5. Modellfejlesztés lépései 57

5.1. Kísérlet együttes autoregresszív modellezésre 57

5.2. Modellezés Johnson eloszlással 59

6. Idıjárás generátor modell és szimuláció 60

7. Verifikáció 62

Függelékek 65

Hivatkozások 71

Köszönetnyilvánítás 78

Összefoglaló 79

Summary 80

5

I. CÉLKITŐZÉS

A meteorológia a statisztika és a sztochasztikus folyamatok egyre bıvülı

eszközrendszerét alkalmazza az idıjárás-elırejelzés és az éghajlatkutatás különféle területein.

A matematikai módszertan és a számítástechnika fejlıdése mellett ebben az is szerepet

játszik, hogy a hidro-termodinamika determinisztikus egyenletrendszernek egyre kisebb tér-

és idıbeli léptékben lehetséges megoldása, továbbá az új környezeti problémák, és adat-

rendszerek megjelenése korábban nem ismert feladatokat fogalmaz meg az alkalmazott

matematika számára. Jelen dolgozatban a feladat egy adott pont napi idıjárásának a kezdeti-

értékektıl független, vagyis a determinisztikus kezelhetıség maximum 2-3 hetes idıtávján

túli szimulációja. Ennek érdekében olyan többdimenziós statisztikai modellt fejlesztettünk ki,

amely lehetıvé teszi a tényleges meteorológiai idısorokkal statisztikai értelemben azonos,

belsıleg konzisztens adatsorok szimulációját. Az ilyen eljárásokat a szakirodalomban

(Sztochasztikus) Idıjárás Generátor Modelleknek (IGM) nevezik.

A modell felépítését elsısorban a leggyakoribb alkalmazás, a globális klímaváltozás

regionális kockázatait vizsgáló különféle (agrometeorológiai, hidrológiai, stb.) hatásvizsgálati

modellek éghajlati adat szükséglete határozta meg, ami az e folyamatokat befolyásoló napi

idıjárási elemek tetszıleges hosszúságú adatsorainak elıállítását jelentette. Az alkalmazások

adatigényének együttes kielégítése érdekében kilenc meteorológiai elem párhuzamos

modellezését tőztük ki célul, ami többszöröse az eddig közzétett IGM-ek dimenziószámának.

A nemzetközi szakirodalomban elérhetı IGM modellek áttekintése után a Racskó és

mtsai (1991) által publikált háromváltozós (napi középhımérséklet, csapadék, napfénytartam)

modelljének továbbfejlesztése mellett döntöttünk. Megıriztük ennek az alapkoncepcióját, az

új modell is az egymás utáni napok száraz/csapadékos állapotából indul ki, vagyis az egymást

követı száraz és csapadékos szériák hosszának, mint önálló sztochasztikus folyamatnak a

statisztikus tulajdonságaira épül. E diszkrét folyamat kisebb általánosításán, s az elemek

számának bıvítésén túl meghaladtuk – a klímaváltozás hatásvizsgálataiban világszerte

gyakran hivatkozott – dolgozat eredményeit abban is, hogy a változók egymástól független

elıállítása helyett többváltozós folyamattal végeztük a szimulációt, felhasználva a nem

normális eloszlások esetén ajánlott Johnson transzformációt.

6

A fenti fı alkalmazás érdekében a modell paraméterei változtathatók, ami lehetıvé

teszi a generátor alkalmazását más, a regionális éghajlati forgatókönyvek által elırevetített,

jövıbeli klíma értékre is. A modell paraméterek becslését 45 év hosszúságú bázis–idıszakra

végeztük el, ennek során a szimulált és a tényleges idısorok közötti megfelelés alatt a

feltételes átlag, szórás, ferdeség, lapultság, korreláció és autokorreláció értékek statisztikai

értelemben vett megegyezését követeltük meg.

II. MÓDSZEREK ÉS ADATOK

A dolgozatban a valószínőségelméleti fogalmak, statisztikai módszerek és a

sztochasztikus folyamatok elméletének széles körő alkalmazására törekedtünk.

A meteorológiai elemek idısorainak elemzése során felhasználtuk a becsléselmélet

(pl. legkisebb négyzetek) és a hipotézis vizsgálat különféle módszereit (Komogorov–

Szmirnov próba, t, u, χ2, Mann–Whitney teszt), továbbá a faktoranalízis, a többdimenziós

normális eloszlás, valamint a különféle alap és keverék eloszlások illesztésére és a regressziós

becslésekre vonatkozó ismereteket. Az évszakos menet kiszőréséhez, valamint a gyengén

stacionárius idısorok becslésénél az idısor analízis egyes elemeit, pl. Fourier transzformációt,

kovariancia becslést, az elsırendő autoregresszív folyamatot alkalmaztunk. A többdimenziós

folyamat modellezésének egyik fontos eleme a többváltozós Johnson eloszlás felhasználása.

Az elemzéseknél felhasznált egyes próbák és módszerek részletes leírását az Értekezés

Függelékként tartalmazza.

A modell szerkezeti felépítéséhez és parametrizálásához tanuló adatbázisként az

OMSZ két eltérı éghajlatú fıállomásán Szegeden és Szombathelyen 1951 és 1995 közötti,

napi közép-, valamint maximum- és minimum-hımérséklet, csapadékösszeg, napfénytartam,

relatív nedvesség, felhızet, szélsebesség és légnyomás értékeit használtuk fel. Az állomások

kiválasztását az éghajlati sajátosságoknak az ország területén belül viszonylag nagy eltérése,

valamint a megfigyelések kellı minıségbiztosítottsága indokolta.

A számításokhoz elsısorban a Statistica for Windows 5.1, esetenként az SPSS for

Windows 6.1, valamint a Statgraphics 5.1 software csomagokat alkalmaztuk. Több vizsgálat

adatkezelése C program megírását és futtatását tette szükségessé.

7

III. EREDMÉNYEK

1. A modell vezérparaméterének az egymást követı száraz ill. csapadékos napokból álló,

egynemő szakaszok sorozatát választottuk. Egy-egy ilyen szakaszt az állapot típusa, kezdı

napja (éven belüli elhelyezkedése) és hossza (tartama) jellemez. Az egymást követı

szakaszok hosszára vonatkozóan igazoltuk, hogy azok függetlenek tekinthetık mind az

ellentétes típusú (elsı rendő), mind a megelızı azonos típusú (másodrendő) szériák

hosszától.

2. A száraz ill. nedves idıszakok hosszának modellezése érdekében, az év minden hónapjára

nézve eloszlásokat illesztettünk a szériákból számított tartamgyakoriságokra.

E számítások szerint a keverék eloszlások pontosabb eredményeket biztosítanak, mint a

klasszikus geometriai eloszlás. Két geometriai eloszlás összege csak a csapadékmentes

szakaszok esetén javítja az illeszkedést, ugyanakkor a geometriai és Poisson eloszlás

keveréke mind a száraz, mind a csapadékos tartamokra minden hónapban egyaránt magas

megbízhatósági szinten illeszkedik a Magyarországon éghajlatát jellemzı, viszonylag

rövid csapadékos és a jóval hosszabb száraz szakaszokra.

3. A meteorológiai elemek idısoraiból a sokévi átlagok és szórások éves menetét a Fourier

felbontás elsı három komponensének felhasználásával eltávolítottuk. A fennmaradó,

immár zérus várható értékő és 1 szórású, reziduum sorokban az egynemő szakaszokon

belüli, további összefüggéseket kerestünk. Megállapítottuk, hogy a tartamok hossza

szerint nem szükséges megkülönböztetés, ellenben lényeges eltérés adódott a vizsgált

összes elem havonkénti átlagai között aszerint, hogy a szakasz hányadik napjáról van szó.

A csapadékos idıszakon belül az elsı napokon az átlagértékek jellemzı eltérést mutatnak

az idıszak többi napjához viszonyítva. A száraz tartamokon belül ugyanez a helyzet, sıt

itt további csoportosítást is kell tenni. Nevezetesen, a második és a harmadik nap együtt

kezelhetı, míg az elsı és a legalább negyedik nap feltételes átlagai külön átlagolandók.

Ezeket a meteorológiai szempontból is értelmezhetı tulajdonságokat az éves menetnél

leírt standardizálást kiegészítı, újabb transzformáció formájában építettük be a modellbe.

4. A változók lineáris összefüggése alapján, megkíséreltük a kilenc elem csoportosítását ez

által bizonyos további vizsgálatok számát szándékoztunk redukálni (5. és a 6. tézisnél).

Ennek érdekében faktoranalízist végeztünk száraz és a csapadékos napokra külön-külön.

8

Az eredmények szerint három faktorcsoport különíthetı el, az elsıbe tartozik a maximum,

minimum- és középhımérséklet, a másodikba a relatív nedvesség, a felhızet és a

napfénytartam, míg a harmadikba a szélsebesség és a légnyomás. A csapadék mennyisége

- a fenti három közül - havonta más-más csoportba sorolható.

5. A változók normalitását számos teszt és folyamat feltételezi, ezért a perem eloszlásokat

elemenként és együttesen a Kolmogorv – Szmirnov valamint a Mardia-féle együtthatókon

alapuló próbák segítségével vizsgáltuk. Egyváltozós esetben a

3. tézispontban ismertetett transzformációkat követıen a maximum, minimum és átlag

hımérséklet, a relatív nedvesség és a légnyomás az év folyamán normális eloszlásúnak

adódott száraz ill. csapadékos esetben egyaránt. Az elızı tézispontban felsorolt

faktorcsoportokból találtunk egy-egy elemet (maximum hımérséklet, relatív nedvesség és

légnyomás), amelyek perem és együttes eloszlása egyaránt normálisnak adódott.

6. A 3. tézispontban ismertetett módon transzformált meteorológiai elemek egymást követı

értékei közötti korrelációkat száraz és csapadékos szériákon belül, valamint a

típusváltásokra havonta külön u próbával teszteltük. Az elızı tézispontban felsorolt

három elemre igazoltuk, hogy az egy napos eltolással kapott idısorok korrelációja

szempontjából nincs jelentısége annak, hogy az egymást követı napok közül melyik

párost tekintjük. Más szóval, az adott száraz ill. nedves tartamon belül a vizsgált elemek

sorozata, mint sztochasztikus folyamat, gyengén stacionáriusnak tekinthetı.

7. További tesztekkel megmutattuk, hogy mind a 9 standardizált változó Johnson eloszlásba

sorolható, amely magába foglalja a normális, lognormális, korlátos és korlátlan nem

normális eloszlásokat. A többváltozós Johnson eloszlás módosításának felhasználásával

standard normális eloszlású véletlen számokból adott statisztikai jellemzıkkel rendelkezı,

szimulált idısorokat állítottunk elı. A feltételes autoregresszív folyamatot kibıvítettük az

összes elemre oly módon, hogy a véletlen tagot többváltozós Johnson eloszlással állítottuk

elı. Ezek az összefüggések biztosítják a szimulált sorok ferdeség, lapultság, korreláció és

autokorrelációis értékeinek reprodukálhatóságát. Az átlagokat és a szórásokat a 3.

tézispontban felsorolt transzformációk inverz mőveletei, a gyakoriságokat csonkítással

állítottuk be a megfelelı értékekre. A mintaszámítások szerint a modell megırzi a kívánt

statisztikai tulajdonságokat a mesterséges sorokban.

9

IV. A HASZNOSÍTÁS LEHETİSÉGEI

A kifejlesztett modell leggyakoribb felhasználási területe a klímaváltozási szcenáriók

regionális hatásának kockázati analízise. Ennek során a hatásvizsgálati számítások idıjárási

bemenı adatait az IGM szolgáltatja, amelynek paramétereit a jelenkori értékekre beállítva

elıáll a kontrollfutás. Ezt követıen a globális klímamodellek eredmény-mezıinek térbeli és

idıbeli “leskálázását” végzı valamilyen mőveletsor nyomán az IGM paraméterei megfelelı

beállításával lehetıvé válik, hogy adott területen, pl. egy adott szántóföldi növény

produktivitásában bekövetkezı változásokat megbecsüljük.

Magyarországon egyetemeken és kutató intézetekben nagy számban készítenek ill.

alkalmaznak hatásvizsgálati modell-számításokat, amelyek éghajlati adatokkal történı ellátása

jelenleg csak részben megoldott. Az alkalmazott eljárások ugyanis általában a szükségesnél

kevesebb - legfeljebb három – idıjárási elem szimulációját teszik lehetıvé.

A dolgozatunk tárgyát képezı modell elsısorban ezt a hiányosságot hivatott pótolni, ami a

modell általános jellege, azaz a kevés megszorító feltétele miatt –legalább az országon belül-

minden bizonnyal változatlan szerkezetben, a helyi adottságokhoz igazító paraméter

beállítással megoldható. A száraz/csapadékos szériákra vonatkozó eredmény önmagában is

fontos annak meteorológiai jelentısége miatt.

A kifejlesztett idıjárás-generátor további hasznosítása más alkalmazott klimatológiai

feladatokban is lehetséges. Ennek azonban a szimulált számadatokhoz, még inkább magához

a generátor számítógépes realizációjához való hozzáférés is egyik alapfeltétele. A dolgozat

leírásban arra törekedtünk, hogy a képletek alapján könnyen algoritmizálható legyen az

eljárás, így jól felhasználható legyen programcsomag készítésére.

********

A disszertáció 80 számozott oldalt, ezen belül 14 ábrát, 14 táblázatot valamint 86 irodalmi

hivatkozást tartalmaz.

10

V. ÉRTEKEZÉS TÉMAKÖRÉHEZ KAPCSOLÓDÓ PUBLIKÁCIÓK

Bálint G., Dobi I . and Mika J., 1996: Runoff simulation assuming global warming scenarios.

In: Proc.18th Conf. Danube Countries, 25-30 August, 1996, Graz, Austria, 131-136.

Bálint G., Gauzer B., Dobi I. and Mika J., 1995: The use of global warming scenarios for low

flow simulation. In: Drought in the Carpathians’ Region (ed. Vermes L.), 3-5 May, 1995,

Göd, Hungary, 65-77.

Dobi I., 1987: Csapadék idısorok analízise Markov-láncok felhasználásával. Szakdolgozat,

Témavezetı: Dr. Matyasovszky István)

Dobi-Wantuch I., Mika J. and Szeidl L., 2000: Modelling wet and dry spells with mixture

distributions. Meteorology and Atmos. Phys.,Vol. 73, 245-256.

Dobi I., Mika J. and Szeidl L., 1996: On modelling daily rainfall occurrences. In: Proc. 17th

Intern. Conf. on Carpathian Meteorology, 14-18 Oct. 1996, Visegrád, Hungary,

46-51.

Dobi I., Mika J., Bálint G. and Gauzer B., 1995: Runoff simulation assuming global warming

scenarios. In Proc. 2nd. Intern. Conf. on "Hydrological Processes in the Catchment" , (ed.

Wieznik, B.), 23-26 April, 1995, Cracow , Poland, 391-399.

Dobi I., Mika J., Pröhle T. and Szeidl L., 1996: On improvement of weather generators: Non-

sinusoidal features in the annual cycles of daily means and inter-annual variability.

In: Regional WS on Climate Variability, Climate Change Vulnerability and Adaptation ,

(ed. I. Nemesova, R. Huth), 11-16 Sept., 1995, Prague, Czech Rep., 315-320.

Kovács-Láng E., Kröel-Dulay Gy., Kertész M., Fekete G., Mika J., Dobi-Wantuch I., Rédei

T., Rajkai K., Hahn I. and Bartha S., 2000: Changes in the composition of sand grasslands

along a climatic gradient in Hungary and implications for climate change. Phytocoenologia

30, 385-407.

Matyasovszky I., Dobi I., 1989: Csapadék idısorok vizsgálatának módszerei Markov láncok

alkalmazásával. (Methods for analysis of time series of precipitation data using Markov

chains) Idıjárás, 93 (5), 276-288.

11

Mika J. és Wantuchné Dobi I., 1998: Kis globális változások térbeli és idıbeli leskálázása

hatásvizsgálati célokra. In: Az éghajlatváltozás következményei (szerk. Dunkel Z.)

Meteorológiai Tudományos Napok, 1997 nov. 20-21, Budapest, 105-116.

Nagy J., Huzsvai J., Mika J., Dobi I., Fodor N. and Kovács G.J., 1999: A method to link

general circulation model to weather generator and crop models for long term decisions.

MODSS'99 Conference, Brisbane, Australia, 1-6 August, 1999.

Wantuchné Dobi I., 1997: Analysis and simulation of daily meteorological time series,

In Statistics at Universities: Impact for Society, 22- 23 May, 1997, Budapest, Hungary,

115-120.

Wantuchné Dobi I., 1997: Napi meteorológiai adatsorok sztochasztikus modellezése

idıjárásgenerátorokkal, Egyetemi Meteorológiai Füzetek 9, 26-31.

Wantuchné Dobi I., 1998: Napi meteorológiai idısorok vizsgálata és sztochasztikus

modellezésének lehetıségei. II Erd ı és klíma konferencia. 1997 jún. 4-6, Sopron, 57-61.

12

Bevezetés

A valószínőségszámítás és a matematikai statisztika a klímakutatásban alapvetı

eszköz. Az éghajlat tanulmányozásánál a nagyszámú megfigyelési adatból álló idısorok

statisztikai elemzésére és modellezésére alkalmazzák. Az éghajlat mőködését vezérlı fizikai

folyamatokat általában dinamikai módszerekkel modellezik, tapasztalatok szerint azonban

ezek az eljárások a klímára jellemzı változékonyságot (Storch és Zwiers, 1998) nem

mindenben tudják “utánozni”. Például a külsı éghajlati kényszerek okozta hosszabb-rövidebb

ingadozásokat (változásokat) csak akkor, ha ezen kényszerek idıbeli alakulása ismert.

A matematikai módszertan és a számítógépes megvalósítás fejlıdése mellett a sztochasztikus

modellek elterjedésében szerepet játszik, hogy a hidro-termodinamika determinisztikus

egyenletrendszernek egyre kisebb tér- és idıbeli léptékben lehetséges megoldása, továbbá az

új környezeti problémák, és adat-rendszerek megjelenése korábban nem ismert feladatokat

fogalmaz meg az alkalmazott matematika számára.

Hasselmann ˙(1976) javasolta elsıként, hogy ún. Sztochasztikus Klíma Modellt (SCM)

alkalmazzanak a klímakutatásra. Elmélete szerint a rövid ideig tartó fluktuációk, zajok

alakítják ki az éghajlati rendszer alacsony frekvenciás változékonyságát, vagyis e fluktuációk

integrált értékei hatással vannak a lassú változásokra. Ebbıl adódóan az SCM-ek kezdetben

fontos szerepet játszottak a klíma belsı összefüggéseinek, természetes ingadozásának ill. az

antropogén levegıszennyezés következtében valószínősíthetı megváltozásának

megértésében. Megfelelı paraméter-választással ugyanis képesek voltak visszaadni a földi

éghajlat ingadozásainak a paleoklíma rekonstrukciókból többé-kevésbé ismert idıbeli

spektrumát.

Az SCM modellekkel rokon a dolgozat témáját képezı, a jelen ill. a feltételezett

jövıbeli klímára jellemzı napi, lokális meteorológiai adatok elıállítására alkalmas

többváltozós Sztochasztikus Idıjárás Generátor Modellek (IGM). Jelen dolgozatban a feladat

egy adott pont napi idıjárásának a kezdeti-értékektıl független, vagyis a determinisztikus

kezelhetıség maximum 2-3 hetes idıtávján túli szimulációja. Ahhoz, hogy az ilyen típusú

modelleket el tudjuk helyezni a globális klímaváltozás kapcsolatos kutatások között,

szükséges a témakör rövid áttekintésére. Azonban, hogy ne törjük meg a jelen bevezetı

fonalát és belsı arányait ezt az 1.3 pontban, az IGM-ek szakirodalmi elızményei után tesszük

meg.

13

Magyarországon az elmúlt években fokozódott az igény a klímaváltozás

mezıgazdasági, hidrológiai és egyéb ökológiai következményeinek vizsgálata iránt (Mika,

2000; Harnos, 1998; Kovács és Dunkel, 1998; Kröel-Dulay és mtsai, 1998; Kertész és mtsai,

1998; Gilyénné és Nováky, 1998). Az ELTE Meteorológiai Tanszék a csapadék

makrocirkulációs típusokra épülı szemi-empirikus leskálázási modelljének fejlesztésében vett

részt (Matyasovszky és Bogárdi, 1994, 1996). A módszert többek között a Balaton

vízgyőjtıjére vonatkozó tanulmányokban alkalmazták.

Mika (1991) a térbeli leskálázáshoz a múltban végbement hazai és a földgömbi

léptékő változások közötti összefüggéseket feltáró regressziós eljárást dolgozott ki, amely

szeletelés néven terjedt el a hazai és a nemzetközi szakirodalomban. A módszer sokoldalú

felhasználását a disszertáció (Mika, 2000) táblázatai foglalják össze.

Hantel és Ács (1995) az ellentétes irány, a kis léptékekben megfigyelt viselkedés

általánosítása érdekében dolgozott ki eljárást, amely kis idı és tér skálán a felszíni hı és

csapadék fluxus modellezésére alkalmaz determinisztikus fizikai összefüggéseket.

Feltételezése szerint a lokálisról a globális szintre történı “felskálázás” lehetıvé teszi az

eltérı idı és térskálák közötti közvetlen kapcsolat megteremtését.

Dolgozatunk szempontjából alapvetı fontosságú az idıbeli leskálázást végzı

sztochasztikus idıjárás generátor modell, melyet Racskó, Szeidl és Semenov 1991-ben

publikáltak. A modell a csapadékos szériákon alapul, a paraméterek megfelelı módosításával

alkalmas az átlaghımérséklet, csapadék és napfénytartam megváltozott klímára jellemzı napi

idısorainak szimulációjára.

Disszertációnkban olyan napi sztochasztikus idıjárás generátor modellek tárgyalására

szorítkozunk, melyek vezérparamétere a csapadékállapot. A választás egyik indoka az, hogy a

csapadék elıfordulása ill. hiánya esetén a többi változónál szignifikáns eltérés tapasztalható.

Másfelıl a csapadék becslése a fizikai és numerikus modellekben nem kielégítı. Az irodalom

tapasztalatai alapján azonban az ilyen típusú modell lehetıséget nyújt a kiemelt szempontként

kezelt aszályos periódusok megfelelı elıállítására (Racskó és mtsai, 1991). További

meghatározó szempont, hogy a rendelkezésünkre álló adatbázis és számítástechnikai

lehetıségek elegendıek a számítások elvégzéséhez. Tekintettel a hatásvizsgálatok

adatigényére (l. 2. fejezet 1. táblázat), valamint arra, hogy az IGM több meteorológiai adat

14

generálására alkalmas, mint a többi eljárás, valamint figyelembe véve az irodalmi

áttekintésben (1. 1. fejezet) felvázolt tapasztalatokat, mindezek arra a következtetésre

vezettek, hogy célszerő a jelen klíma reprodukálására alkalmas sztochasztikus idıjárás

generátor modell továbbfejlesztése mellett dönteni. Mika (1998, 2000) táblázatban foglalta

össze a napi sztochasztikus idıjárás generátorok különféle hazai hatásvizsgálatokban történı

alkalmazásait. Az ilyen típusú modelleket fıként a növényfejlıdési és a hidrológiai

modellekben alkalmazzák, de felhasználhatók a klíma természetes változékonyságának

elemzésére, az extrém értékek vizsgálatára valamint az idısorban lévı adathiány esetén

pótlásra is (Guenni és mtsai, 1990 a,b)

A következı fejezetben áttekintjük a csapadék állapoton alapuló napi sztochasztikus

idıjárás generátor modellek típusait, a különféle modellek elınyeit és korlátjait. Ezt követıen

sorra vesszük a Racskó és mtsai (1991) modellhez képest történı változtatásokat.

A meteorológiai elemek számát a hatástanulmányok adat igényeibıl kiindulva maximálisan

kilenc elemre kívántuk bıvíteni. A csapadék tartamok modellezése különösen nagy súllyal

bír, ezért külön fejezetben foglalkozunk vele (3. fejezet). Az idısorok alkalmasan választott

transzformációt és elemzést a 4. fejezet tartalmazza. Sorra vesszük azokat az irodalomban

elfogadott eljárásokat is melyek esetünkben nem vezettek kielégítı eredményre az 5.

fejezetben. A többdimenziós modellt a 6. fejezetben mutatjuk be, az ezt követı fejezetben a

modell jóságát teszteljük.

15

1. Szakirodalmi elızmények

Az idıjárás generátorok tulajdonképpen az idıjárási változók megfigyelt sorainak

statisztikai modelljei, melyeket adott helyre vonatkozó napi idıjárási adatokat elıállító

speciális véletlen szám generátoroknak is tekinthetünk. A csapadék állapotán alapuló napi

SWG modelleknek alapvetıen két típusa van (Storch és mtsai, 2000) a különbözı rendő

Markov láncokat alkalmazó valamint a tartam-hossz összefüggéseken alapuló

megközelítések. A kétállapotú elsırendő Markov lánc alkalmazását a száraz és csapadékos

napok sorozatainak szimulációjára Gabriel és Neumann (1962) ajánlotta elsıként. A véletlen

folyamatot oly módon állították elı, hogy adott nap csapadék állapotára csak az elızı nap van

hatással, a csapadékos napokon a napi összeget pedig valószínőség eloszlással képezték.

A többi elem statisztikái a nap száraz ill. csapadékos állapotának függvényében szimulálták.

A szerzık feltételezték, hogy a paraméterek évszakonként állandók.

1. 1. Sztochasztikus idıjárás generátor modellek

Ezen koncepció alapján Jones és mtsai (1970) szimulációs eljárást dolgoztak ki

gabonanövekedési modellek számára, amelyben a napi csapadék állapotát vették figyelembe.

A mennyiségét csonkított gamma eloszlással állították elı, a párolgást és a hımérsékleteket

pedig negyedrendő polinomokkal közelítették. A számítások tapasztalatai alapján a

hımérsékletek elıállítására normális eloszlást ajánlottak. Bruhn és mtsai (1980) a paradicsom

tanulmányozása céljából továbbfejlesztették a modellt. A Markov lánc optimális rendjét az

Akaike féle információs kritériummal ellenırizték New York és Geneva 10 év hosszúságú

adatain. A szerzık feltételezték, hogy a hımérsékletek eloszlása szignifikánsan különbözik az

elızı napi csapadékállapottól függıen, továbbá a maximumot az elızı napi, a minimumot az

aznapi maximum hımérséklet befolyásolja. Kolmogorov-Szmirnov teszttel igazolta hogy az

aktuális nap minimum és maximum hımérséklete valamint az elızı napi maximum a

háromváltozós normális eloszlással közelíthetı. A sugárzásról és a relatív nedvességrıl

szintén normális eloszlást feltételeztek. Ez utóbbi két elemre a ferdeség tesztelés során

jelentıs eltérés adódott, az éves keresztkorrelációkban is elıfordult szignifikáns különbség.

A témakörben a legtöbbet hivatkozott cikk Richardson korai publikációja (1981).

A csapadék mennyiségének szimulációjához a számítás egyszerősége miatt exponenciális

eloszlást használt, azzal a megjegyzéssel, hogy a kétparaméteres gamma illetve a

16

háromparaméteres kevert exponenciális eloszlást valószínőleg jobb illeszkedést biztosít. A

paraméterek számának csökkentése érdekében maximum-, minimum-hımérséklet és a

sugárzás feltételes átlagainak és szórásainak idısoraiból maximum likelihood módszerrel 14

napos intervallumokra becsült, majd Fourier soruk elsı két harmonikusának figyelembe

vételével eltávolította az éves menetet, ezt követıen pedig standardizálta a változók

reziduumait. Mindhárom elem feltételes soraira a Matalas (1967) által ajánlott elsırendő

lineáris autoregresszív folyamatot alkalmazta. Néhány amerikai város (Temple, Atlanta és

Spokane) 20 éves csapadék adata valamint a többi változóra 5 éves adatsor képezte a tanuló

adatbázist. A csapadékküszöb 0,01 inch (0,254 mm) volt.

Wilks a Richardson féle modell klímaváltozásra történı alkalmazhatóságát illusztrálta

1992-ben publikált cikkében. Mindössze annyi módosítást hajtott végre, hogy a napi

csapadékösszeg elıállításához gamma eloszlást használt. A valódi és a megnövekedett CO2

szintre vonatkozó havi GCM outputok felhasználásával eljárást dolgozott ki a klímaváltozást

tükrözı átlagok és szórások kiszámítására. Mearns és mtsai (1997) szerint ez a módszer a

hımérséklet autokorrelációját és a csapadék éven belüli változékonyságát alulbecsli, ezzel

együtt a CERES – búza modell érzékenységi vizsgálatára számára jól használhatónak ítélte.

Tekintettel arra, hogy a modell könnyen algoritmizálható számos programcsomag

készült. Az eredeti cikk alapján íródott a WGEN (Richardson, 1981, Richardson és Wright,

1984) és több módosított, tovább fejlesztett változat, melyekrıl az alábbiakban adunk

áttekintést. A gabonanövekedési és ökológiai modellek különféle formátumban igénylik az

adatokat, a WeatherMan nevő programcsomag (Pickering és mtsai, 1994) ennek a technikai

problémának a megoldására készült egyesítve az említett és a SIMMETEO (Geng és mtsai,

1986) nevő programokat, és kibıvítve az elemek sorát a fotoszintetikusan aktív sugárzással.

Kisebb módosításokkal készült a WXGEN (Sharpley és Williams, 1990) speciálisan az EPIC

(Erosion & Productivity Impact Calculator) számára. Ezzel a modellel elıállított sorokat

tesztelte Wallis (1993) öt texasi állomásra, szerinte az extrém hımérsékletek, valamint a

különféle tartamú csapadékos ill. a hosszú száraz idıszakok gyakorisága a valóditól eltérı,

ami pedig a környezeti károk becslésénél igen jelentıs hibaforrás.

Az Euro Weather Generator nemzetközi program részeként alkalmazták a WTHGEN

programcsomagot, amely gamma eloszlással elıállított szélsebesség és a minimum

hımérsékletekbıl számított telítési gıznyomás értékekkel bıvült (Voet és mtsai, 1996).

17

A ClimGen (Stöckle és mtsai, 1998) a csapadékmennyiséghez és a szélsebességhez Weibull

eloszlást illeszt, Fourier sor helyett kvadratikus spline-t használ és a páranyomás hiányt

számol. A szél és a harmatpont elıállításával bıvített változat a GEM (Hanson és Johnson,

1998). Parlange és Katz (2000) ez utóbbit és a WXGEN verziókat alkalmazta módosításokkal.

Lényegében a nem-normális eloszlású változókat, nevezetesen a “nyers” szél és a harmatpont

adatokat transzformálták, továbbá a program felügyeli, hogy a szimulált maximum és

minimum hımérséklet valóban rendezett mintát alkosson. Megállapították, hogy a

hımérséklet és csapadék szórásnégyzetét erısen alulbecsüli az eljárás. Továbbá hátrány, hogy

más éghajlatú helyeken eltérı típusú transzformáció szükséges.

Egymástól függetlenül fejlesztették a hidrológiai alkalmazások igényeihez igazodó

USECLIMATE (Hanson, 1993), a CLIGEN (Nicks és Gander, 1993). Lényeges különbség,

hogy az elıbbinél Fourier illesztést használtak, a csapadék állapotok sorozatinak

szimulációjához kevert exponenciális eloszlást alkalmaztak, valamint figyelembe vették a

változók közötti keresztkorrelációkat is. Ebbıl adódóan egyértelmően jobb eredményeket

adott a havi és évi tesztek alapján (Johnson és mtsai, 1996), mint a diszkrét havi

parametrizációt, ferde normális eloszlást valamint kizárólag csapadék állapottól való függést

figyelembe vevı CLIGEN. Mindkettınél elıfordult, hogy a napi minimum meghaladta a

minimumot (Semenov és mtsai, 1998; Hayhoe, 2000), a hımérsékletek és a sugárzás

szórásánál szintén megemlítik a szerzık az alulbecslést.

Alapvetıen a Wilks féle (1992) modellen alapszik a Met&Roll (Dubrovsky, 1995),

annyi a különbséggel, hogy az éves menet simítására robosztus lokálisan súlyozott regressziót

alkalmaz, és nem használ empirikus paraméter formulákat. Dubrovsky (1997) 17 csehországi

állomás 30 éves adatsorán végzett összehasonlító vizsgálatai képezték a további fejlesztések

kiindulópontját. E vizsgálatok tapasztalatai a következık:

1. A sugárzás, maximum és minimum hımérsékletek közötti kereszt- és autokorreláció éven

belül változását figyelembe kell venni.

2. A hosszú száraz idıszakok, eloszlását alulbecsüli a kétállapotú elsırendő Markov lánc.

3. A sugárzás havi átlagának és a csapadék havi összegének változékonysága egész évben

alulbecsült. Az extrém hımérsékletek havi átlagának változékonysága nyáron felül-, télen

alulbecsült.

18

A további fejlesztések fıként ez utóbbi pontatlanságok elkerülését célozták (Dubrovsky

mtsai 2000):

1. A kereszt és autokorrelációk éves menete bekerült a programba,

2. Harmadrendő Markov láncot alkalmaztak elsırendő helyett,

3. Havi generátorral reprodukálták a hónapon belüli változékonyságot.

A fejlesztés minden fázisában tesztelték az alkalmazásokra gyakorolt következményeket a

CERES-búza valamint a SAC-SMA lefolyás modelleken. Tapasztalataik szerint a

meteorológiai adatok szimulációjának javulása a hatásvizsgálatok eredményét kevéssé

befolyásolta.

Racskó és társai (1991) magyarországi állomások, Kompolt és Iregszemcse 1951-1985

csapadék, középhımérséklet és napfénytartam adataira végzett vizsgálatokat. Az extrém

hosszúságú száraz idıszakok tartamának alulbecslése motiválta a szerzıket a másik típus, a

száraz nedves idıszakok hosszát is figyelembe vevı modell megalkotására. Ezzel

összefüggésben vizsgálták az elemek tartam-hossztól, (száraz v. csapadékos) típusától ill.

tartamon belüli elhelyezkedésétıl való függését. A tartamon belül az elsı nap és a többi

között feltételes eloszlásoknál tapasztalt szignifikáns eltérés kivételével a legtöbb ilyen

kapcsolatot elhanyagolhatónak találták.

A száraz illetve csapadékos szériákat függetlennek tekintve az adott kezdıpontú

tetszıleges hosszúságú csapadékos szakaszok hosszát geometriai, a szárazakét pedig a

hossztól függıen kevert geometriai eloszlásokkal állították elı, eltérı paramétereket választva

a rövid (legfeljebb 7 napos) ill. hosszú csapadékmentes szakaszokra. A paramétereket az

eltérı hosszúságú tartamok gyakoriságaiból becsülték és minden elemnél Fourier simítást

alkalmaztak az éves menet eltávolításához

A csapadék összeg kevert exponenciális eloszlásúnak adódott. A 4 mm-nél kisebb

csapadékú napokat egyenletes eloszlással, a 20 mm meghaladó mennyiségeket – tekintettel

arra, hogy a napok száma nem elegendı a megfelelı eloszlás kiválasztásához – az átlaggal

becsülték, a közepes mennyiségő csapadékhoz pedig exponenciális eloszlást illesztettek.

Az átlaghımérséklet sorozatoknál figyelembe vették az említett szérián belüli eltérést, ennek

megfelelıen különbözı paraméterő normális eloszlást alkalmaztak. Télen, csapadékos

napokon a nulla napfénytartam valószínősége igen nagy, ami elrontja az eloszlás normalitását.

Ezért a teljesen borult napok valószínőségeit a mintából számították, a többire pedig normális

19

eloszlást alkalmaztak (Semenov, 1991). A modellhez programcsomag készült, amelyet

LARS_WG (Long Ashton Research Station Weather Generator) néven klímaváltozási

szcenáriók vizsgálatainál elsısorban termésbecslı modellekben alkalmaznak (Semenov és

Borow, 1997, 1999). A LARS_WG és a WGEN produktumainak összehasonlítását ázsiai,

európai és orosz adatokon Semenov és társai (1998) végezték el. Az elıbbinél alkalmazott

flexibilis fél- empirikus eloszlások a különféle klímákon végzett tesztek szerint jobb

illeszkedést tettek lehetıvé, mint a WGEN-ben felhasznált standard eloszlások. Mindkét

generátornál a napi és havi változékonyság egyaránt pontatlannak adódott.

A két modellre vonatkozó, a szakirodalomban elérhetı összes kritikai felvetést Hayhoe

(2000) foglalta össze. Következtetése, hogy a Racskó és mtsai (1991) által kidolgozott modell

fél-empirikus eloszlásokat használ fel, emiatt általános tapasztalat, hogy jobb illeszkedést

biztosít, mint a WGEN. Ezzel együtt azonban több paraméter becslését igényli, emiatt a

szerzı a WXGEN korábban idézett pontatlanságainak korrigálása mellett döntött. Az alábbi

módosításokat hajtotta végre:

1. gyakoriságokat kéthavi adatokból számította, növelve ez által a becslések

megbízhatóságát,

2. elsırendő Markov lánc helyett másodrendőt használt,

3. spline interpolációt alkalmaz Fourier transzformáció helyett,

4. csapadék-mennyiség logaritmusával, szimulációnál exponenciális transzformációval

számolt,

5. a maximum és minimum hımérsékletek rendezettségéthez külön feltételt vett figyelembe,

6. havi átlagokat és szórásokkal további korrekciót hajtott végre,

7. az éven belül kéthavonta különbözı korrelációikat alkalmazott.

Kanadai állomások 20 év maximum, minimum hımérséklet, csapadék és sugárzás valamint

30 év mesterséges sorainak összehasonlítása a szélsı értékek, a kis valószínőségő események

és a fagymentes napok számának tesztelésére is kiterjedt. Az eredmények egyértelmően

javulást bizonyítanak minden tesztnél.

Hayhoe (2000) véleménye szerint megfigyelt és szimulált adatok közötti eltérés egy

része a folyamatok véletlenszerő jellegébıl adódik, ez a hiba elkerülhetetlen még az elvileg

tökéletes modellnél is. Az eltérés másik része a modellválasztás és az ezzel járó

egyszerősítések következménye. Az illeszkedés jóságának elvi korlátot szab tehát a rendszer

természetes belsı változékonysága, a statisztikai szempontból rendszerint nem elegendıen

20

nagy véges mintaszám, a becslési és interpolációs eljárások pontossága. További hibaforrás

hogy az elemek eloszlása általában ferdébb a normálisnál. Ez utóbbi probléma kiküszöbölhetı

a Johnson által kidolgozott ún. normál score transzformációval. Az idıjárás generátor további

fejlesztésénél a megfelelı illeszkedésen túl tehát arra kell törekedni, hogy a fizikai

kényszereket a lehetı legnagyobb mértékben vegye figyelembe a modell. Az SWG a

légkörben lezajló fizikai folyamatokat csak részben tudja visszaadni. Az általunk vizsgált

modell típusnál a vezérparaméter, azaz a csapadék értékei szerinti feltételes eloszlásokkal

számolnak, amely behatárolja a légköri elemek között figyelembe vehetı kölcsönhatásokat.

Mindezek ismeretében felmerül a kérdés, hogy milyen további összefüggéseket lehet

még beépíteni a generátorba?

1. Amennyiben a tartamokon alapuló modellt választjuk, a száraz illetve csapadékos

idıszakon belüli kapcsolatok feltárásával újabb tulajdonságok megırzésére nyílik

lehetıség.

2. Nagyon fontos a tartamok pontos reprodukálása, hiszen ennek a résznek a modellezése

meghatározza a többi elem szimulációját, ezért ezzel a témával külön is foglalkozunk.

3. Szükség van arra, hogy kibıvítsük az elemek körét, figyelembe véve a hatásvizsgálatok

maximális adatigényét és a rendelkezésre álló klíma adatokat.

4. A nem normális eloszlások transzformációja szintén tovább javíthatja az eredményeket.

5. Törekedni kell továbbá arra, hogy lehetıleg minél több kiválasztott meteorológiai elemet

együttesen, többváltozós folyamatként modellezzük, megırizve ezáltal a köztük lévı

kapcsolatokat.

1.2 Csapadék-állapot modellek

A csapadékos és száraz idıszakok hosszának diszkrét modellezésével fıként a

hidrológiai szakirodalom foglalkozik. Mivel a tartam modell meghatározó része a dolgozatnak

ki kell térnünk a témakörnek áttekintésére. Az egymást követı száraz és csapadékos napok

sorozatainak legelterjedtebb modellje az elızı fejezetben említett homogén, kétállapotú,

elsırendő Markov lánc (Gabriel és Neumann, 1962). A számítások viszonylagos

egyszerősége miatt igen elterjedt ez a módszer (Katz, 1974; 1981; Bruhn mtsai, 1980;

Richardson, 1981; Geng és Auburn, 1986; Wilks, 1992; Dubrovsky, 1995). Korábbi

számításaink szerint (Matyasovszky és Dobi, 1986) legfeljebb 10 napos tartamokra az

elsırendő Markov lánc jól illeszkedik.

21

Ismeretes, hogy adott kezdıpontú tetszıleges hosszúságú száraz ill. csapadékos

idıszak bekövetkezésének valószínőségét leíró eloszlás ebben a modellben geometriai, amely

a tapasztalatok szerint a hosszú száraz periódusokat jelentıs mértékben alul-, a rövideket

pedig felülbecsüli (Berger és Goossens, 1983; Foufoula-Georgiou és Lettenmaier, 1987;

Bárdossy, 1993; Lana és Burgueňo 1998). Racskó mtsai (1991) számításai szerint

Magyarországon, Kompolton (1951-85) a 19 napot meghaladó aszályos idıszakok elsırendő

Markov lánccal elıállított valószínősége egy nagyságrenddel alulbecsülte a megfigyelt relatív

gyakorisági értékeket.

A Markov lánc rendjének növelése tőnne a legkézenfekvıbb megoldásnak az említett

hiba kiküszöbölésére. Gates és Tong (1976) véleménye szerint legalább másodrendő Markov

lánc szükséges az említett Gabriel és Neumann (1962) cikkben felhasznált adatsorra. Stern

(1982) nigériai adatokra (Samaru, 48 év) elsı- ill. másodrendő Markov láncot illesztett 20

mm-es csapadékküszöb mellett. Magashegyi adatokra (Sonnblick, Alpok 3100 m, 1901-70)

másodrendő lánccal jó illeszkedést kapott Cehak és Withalm(1980), trópusi területen

(Guatemala, Columbia, Niger) pedig a 9 napnál rövidebb idıszakokra harmad-rendő Markov

láncot találtak megfelelınek (Jones és Thornton, 1993). Mimioku (1984) görögországi

állomásokon (13-20 év) havonta más (0 -tól 3-ad) rendő Markov láncot alkalmazott. A fenti

vizsgálatok azt mutatják, hogy az optimális rend megválasztása erısen függ a megfigyelt

adatsortól. Chin (1977) 100 Egyesült Államokbeli állomás 25 évnyi adatsorán végzett

számításai szerint hely és idıszak, azaz klíma és évszakfüggı. További lényeges szempont a

becsülendı paraméterek száma, ami kétállapotú, k-ad rendő Markov lánc esetén 2k-al

egyenlı. Tapasztalat szerint a rend növelése alapvetıen nem küszöböli ki az elsırendő

Markov láncnál említett illeszkedési hibákat, ugyanakkor a rendszámmal együtt

exponenciálisan növekvı paraméterszám valamint a vizsgált idıszakra vonatkozó relatíve kis

megfigyelésszám miatt a paraméterek becslésének a bizonytalanságát erısen növelik.

Berger és Goossens (1983) belgiumi adatokra (Uccle, 1901-1975) 1-4 rendő Markov

lánccal elıállított száraz és csapadékos tartamgyakoriságokat hasonlította össze geometriai,

logaritmikus, illetve Eggenberger-Pólya eloszlással kapott eredményekkel. A χ2 próbák

szerint a száraz és a rövid csapadékos tartamokra a 4-ed rendő Markov, a hosszú

csapadékosakra pedig az Eggenberger-Pólya eloszlás illeszkedett legjobban. Ez utóbbi a

negatív binomiális eloszlás, amely független geometriai eloszlások konvolúciójaként állítható

elı, elsırendő esetben pedig azonos a geometriai eloszlással.

22

Bárdossy (1993) a csapadék idıbeli és térbeli modelljeit összefoglaló tanulmányában a

diszkrét modellek összehasonlításánál egy németországi (Essen-Steele) állomás adatsorai

alapján (1952-87) arra a következtetésre jutott, hogy Markov felújítási folyamat

feltételezésével, maximum likelihood becsléssel kapott száraz ill. csapadékos sorok

illeszkedése jobb, mint az 1-3 rendő Markov lánccal, illetve a DMA(2), DARMA(1,1)

folyamat alkalmazásával kapott eredmények. Ebben a modellben (Foufoula-Georgiou és

Lettenmaier, 1987) az egymást követı napok helyett tartamokat, nevezetesen a csapadékos

napok között eltelt idıt állítják elı két geometriai eloszlás súlyozott összegével. Az elv

hasonló a Racskó és mtsai cikkben (1991), ahol szintén jó eredménnyel modellezik a száraz

ill. nedves napokból álló sorozatokat eltérı paraméterő geometriai eloszlásokkal. Ezeknek a

referenciáknak az eredményei azt sugallják, hogy a tartamok geometriai eloszlás valamiféle

keverékével történı elıállítása ígéretes megoldás a hosszú periódusok kielégítı reprodukálása

szempontjából.

Ugyanakkor Lana és Burgueňo (1998) spanyolországi vizsgálatai szerint (Catalonia 69

mérıhely, 13-58 év) az extrém hosszúságú (22-50 napot meghaladó) száraz idıszakokra jól

illeszkedik a Poisson eloszlás, amely elvileg akár az elıforduló másod-maximumok

megjelenítésére is alkalmas lehet. Megjegyezzük, hogy a Poisson eloszlás bizonyos feltételek

teljesülése esetén a Poisson folyamatot alkalmazó folytonos csapadék modellek kiindulásául

is szolgál. Mielıtt rátérünk a fent ismertetett tapasztalatok figyelembe vételével megválasztott

csapadék tartam modell leírására, röviden áttekintjük a kitőzıtt feladat alkalmazásához

szükséges klímaváltozással kapcsolatos ismereteket.

1.3 A klímaváltozás leskálázása

Az utóbbi évtizedekben egyértelmő igazolást nyert, hogy növekszik az antropogén

eredető légköri üvegházgázok koncentrációja. A Klímaváltozás Kormányközi Bizottsága

(IPCC – Intergovernmental Panel on Climate Change) rendszeresen jelentéseket készít,

melyek a CO2 növekedésének mértékében a lehetséges és a kívánatos jövıre vonatkozó

globális tendenciákat (szcenáriókat) prognosztizálnak elsısorban a Föld átlaghımérsékletére

vonatkozóan.

23

Bizonyos, hogy a klímaváltozás jövıben valószínősíthetı hatása régiónként, sıt

ökológiai rendszerenként eltérı lesz. Bár a feladat nagyon összetett és vitatott, ennek ellenére

nagyon fontos a globális éghajlati tendenciák regionális (lokális) lebonthatóságának

vizsgálata, a gazdasági, hidrológiai és ökológiai következmények becslése (Bartholy és

Matyasovszky, 1998, Harnos, 1998). A változásra való felkészüléshez szükséges különféle

gazdaságpolitikai stratégiák kidolgozása céljából ún. hatásvizsgálati másnéven impakt

modellek segítségével elemzik a kis térségekre vonatkozó kockázati tényezıket.

Mint ismeretes a globális változások várható mértékét, az Általános Cirkulációs

Modellek ( GCM - General Circulation Models) prognosztizálják. A GCM-ek az éghajlati

rendszer legfontosabb, determinisztikusan leírható fizikai folyamatait veszik figyelembe, ezért

számításigényük rendkívül nagy, az eredmények idıbeli és térbeli felbontását a számítógépek

mindenkori teljesítıképessége határozza meg. A jelenlegi GCM-ek a CO2 növekedése

következtében beálló általános cirkuláció jellemzıit évszakos átlagokban és kb. kontinentális

térskálán megfelelıen tükrözik, azonban a 2-300 km-es rácstávolság miatt szükségszerően

figyelmen kívül hagyják az idıjárást közvetlenül kialakító mezo skálájú folyamatok,

pl. frontok, ciklonok vagy anticiklonok hatását (Semenov és Barrow, 1997). Ez a felbontás

nyilvánvalóan nem elegendı, pl. a gabonanövekedés elemzésénél használatos talaj – növény –

klíma, ill. a lefolyást vizsgáló vízháztartás – klíma ill. más, ehhez hasonló kapcsolatokat

vizsgáló modellek számára. Ezek a vizsgálatok a különféle globális alternatíváknak megfelelı

(rendszerint lokális, napi skálájú) ún. regionális éghajlati forgatókönyveket igényelnek

(Giorgi és Mearns, 1991; Wilks, 1992). Következésképpen szükség van olyan módszerekre,

amelyek segítségével kisebb régiókban is becsülhetık a feltételezett változások.

A GCM-ekbıl származó rácsponti (grid-) adatokat a megfelelı regionális ill. lokális

tér valamint megfelelı idıbeli léptékre “leskálázó” (angolul: down-scaling) eljárásoknak

különféle típusai különböztethetık meg (Dubrovsky, 2000).

1) a direkt, növekményszerő módosítás (Bacsi és Hunkár, 1994),

2) a dinamikai csatolt vagy beágyazott módszerek (Giorgi és Mearns, 1991),

3) a sztochasztikus leskálázó eljárások (Matyasovszky és Bogárdy, 1994,1996; ),

4) az empirikus és félempirikus modellek (Semenov és Borrow, 1997)

5) Idıjárás Generátorok.

A módszerekrıl részletes áttekintést nyújt Giorgi és Mearns (1991), valamint Bartholy és

mtsai (1994, 2001) munkája.

24

Kezdetben népszerő volt a direkt módszer alkalmazása is, amelynél a megváltozott

klímára jellemzı idısorokat a GCM szcenárióknak megfelelıen adott grid cellára vonatkozó

értékek közvetlen felhasználásával módosították. A hımérsékletekre additív, a csapadék és

sugárzás értékekre multiplikatív összefüggéseket alkalmaztak. Az eljárás korlátja

természetesen a modellek pontatlansága, vagyis a felbontás korlátozott voltából, vagyis

számos fontos fizikai folyamat figyelmen kívül maradásából fakadó hiba.

A második megközelítési mód esetében, a GCM eredményeket a rövid távú

elırejelzésben is használatos, finom felbontású mezo-skálájú (LAM - Limited Area Models)

modellekbe alkalmazzák bemenı adatként, ezek nagy számításigényő módszerek.

Elıreláthatólag a csatolt ill. beágyazott modellek idıvel alkalmassá válnak majd a

hatásvizsgálatok céljára, jelenleg azonban még csak a lényegesen kisebb számításigényő

statisztikai módszerekkel kombinált modellekhez hasonló eredményeket képesek elıállítani.

A sztochasztikus leskálázó modellek a nagytérségő cirkuláció és a regionális, lokális

meteorológiai változók közötti statisztikai kapcsolatokon alapulnak (Bartholy és mtsai, 2001).

Elsı lépésként a felszíni és a közép troposzférikus légnyomás eloszlás figyelembe vételével

makrocirkulációs típusokat (CP - Circulation Pattern) hoznak létre, és minden napot

besorolnak egy típusba. A sztochasztikus modell a lokális változó típusok szerinti feltételes

eloszlásait állítja elı. A klímaváltozás hatását a GCM-bıl nyert cirkulációs állapotra

vonatkozó számítással nyerik. Ez az alkalmazás tipikusan a csapadékot és a

középhımérsékletet felhasználó hidrológiai modellekben fordul elı (Bartholy és

Matyasovszky, 2001; Katz, 1982). Semenov és Barow (1997, 1999) szerint túl sokféle

kapcsolat megırzıdését kívánja ez a megközelítés, mivel pl. feltételezi, hogy a GCM-ek

képesek pontosan szimulálni a CP típusok gyakoriságait, továbbá a csapadék és

hımérséklettel való kapcsolat is megmarad. Az említett elemek és az adott hely cirkulációs

típusai közötti kapcsolatok lokális jellege miatt valamely országra kidolgozott módszer másutt

nem használható.

Mindegyik downscaling módszernek vannak elınyei és korlátai közülük a

félempirikus modellek képviselik talán a legjobb kompromisszumot (Bartholy és

Matyasovszky, 1998). Az empirikus és szemi-empirikus modellek közös vonása, hogy

rendszerint felszíni ill. felszín közeli adatokkal dolgoznak, a bemenı adataik a vizsgált

területet lefedı rácspontra esı kevés számú GCM grid outputok, a kimenı adatok pedig

25

lokális léptékőek, ennek következtében a számítások rendszerint PC környezetben

elvégezhetık. Ezen módszereknek is megvan az említett hiányossága miszerint az elemek

között a jelenben feltárt kapcsolatok a jövıben is fennmaradnak (Dubrovsky és mtsai, 2000).

A felsorolt elınyök miatt mégis széles körben elterjedt a félempirikus módszerek

alkalmazása.

A direkt módszernél említettük, hogy nem célszerő a GCM-ek rácsponti értékeit

közvetlenül, vagy azok interpolációjával származtatni. Ehelyett célszerő a durva felontású

megváltozás mezıket valamilyen módon térben leskálázni a hatásvizsgálatokhoz szükséges

léptékre, az idıbeli leskálázáshoz pedig sztochasztikus idıjárás generátort alkalmazni (Mika

és Wantuchné, 1998). Az SWG kiküszöböli a direkt módszer hibáit, azáltal, hogy a modellek

ill. algoritmusok képesek az idıjárási elemek sztochasztikus és dinamikus sajátosságait

egyaránt megırzı idısorok elıállítására. A szimulált sorok statisztikai értelemben

konzisztensek, azaz momentumaiknak, korreláció struktúrájuknak azonosnak kell lennie a

valódi sorokéval valamint az átlagra és varianciára vonatkozó paraméterei egyaránt

változtathatók kell hogy legyenek. Ez utóbbi tulajdonság teszi lehetıvé, hogy a megváltozott

klímára jellemzı adatsorokat állításunk elı, ehhez azonban tudnunk kell, hogy a globális

változások a lokális terülten milyen mértékben módosítják a modell paramétereit. A térbeli

leskálázás problémaköre azonban túlmutat jelen dolgozat keretein.

26

2. A disszertációban felhasznált meteorológiai adatok

Az idıjárás generátorokkal kapcsolatos nemzetközi kutatások összehangolása

érdekében a BAHC (Biospheric Aspects of the Hidrological Cycle) "the Weather Generator

Projet" elnevezéső 4 sz. munkacsoportot hozott létre (IGBP Report, 1993). Felmérésük

alapján készült a hatásvizsgálati modellek meteorológiai adatszükségletét tartalmazó

1. táblázat (Bass, 1993). Néhány a bevezetıben említett magyarországi alkalmazás: GAPI

lefolyás modell (Bálint és mtsai, 1995), CERES gabonanövekedési modell (Bacsi és Hunkár,

1994; Kovács és Dunkel, 1998), ARCHWEAT búza modell (Harnos, 1998;), homoki

gyepekre alkalmazott modell (Kröel-Dulay mtsai, 1998)- jelenlegi meteorológiai adatigényét

aláhúzással jelöljük a táblázatban.

Ökológiai modellek Hidrológiai modellek

Minimális halmaz csapadékösszeg & forma

max & min hımérséklet

globál és nettó sugárzás

vdp

szélsebesség

csapadékösszeg

átlag hımérséklet

globálsugárzás

specifikus nedvesség v. vdp

További halmaz nedves hımérséklet

légnyomás

par

max & min hımérséklet

szélsebesség

légnyomás

relatív nedvesség

napfénytartam

felhızet

rövid és hosszúhullámú

sugárzás

1.táblázat

A klímaváltozás ökológiai és hidrológiai következményeit szimuláló modellek

meteorológiai adatigénye napi idı- és 10 km-es térskálán.

Rövidítések: VDP – vízgız telítési hiány, azaz az adott hımérséklethez tartozó telítési páranyomás és az aktuális páranyomás különbsége ("Vapour Pressure Deficit"); PAR – fotoszintetikusan aktív sugárzás, azaz a globálsugárzásnak a növények által felhasználható hullámhosszak közés esı része ("Photosynthetically Active Radiation")

27

Az állomások kiválasztásánál figyelembe vettük Mika és mtsai (1994) eredményét,

amely szerint 16 magyarországi állomás adatainak faktoranalízise alapján a Palmer-féle

aszályindex (PDSI) Z-komponense - a PDSI havi változásának háromszorosa - az ország

területét két régióra bontja. E régiók centrumainak tekinthetı a melegebb, mediterrán hatás

alatt álló Szeged és az Alpok miatt hővösebb, csapadékosabb Szombathely. Mindkettı ún.

elsırendő WMO állomás, megfigyelési sorozatukból olyan idıszakot választottunk, amelyre

feltételezhetı, hogy az adatsoruk homogén.

Az Országos Meteorológiai Szolgálat rendelkezésünkre bocsátotta Szeged (46o 15' N,

20o 06' E, 82 m) és Szombathely (47o 16' N, 16o 38' E, 224 m) 1951-1995 napi értékeit az

alábbi meteorológiai elemekre:

- csapadékösszeg (mm)

- maximum hımérséklet ( oC),

- átlag hımérséklet (oC),

- minimum hımérséklet (oC),

- napfénytartam (óra),

- felhızet (1-8 okta),

- relatív nedvesség (%),

- szélsebesség (m/s),

- légnyomás (hPa).

A meteorológiai adatok napi három – helyi középidıben 7, 14 és 21 órakor végzett

mérések – átlagolásával készültek. Kivételt képeznek a napi csapadékösszegek, amelyeket a

reggel 7 órás észlelések szolgáltatnak. Ebbıl következik, hogy a hajnalban hullott csapadék az

elızı napi összeget növeli. A 0,1 mm-nél kevesebb csapadék az ún. nyom. A csapadékküszöb

megválasztására vonatkozó elemzéseinket a következı fejezetben részletezzük. A

szökınapokat a számítások egyszerősítése érdekében figyelmen kívül hagytuk.

28

3. Száraz és csapadékos tartamok elemzése, modellezése

A továbbiakban a napi csapadékösszegek sorozatait diszkrét idejő sztochasztikus

folyamatnak tekintjük és {Rt}-vel jelöljük, ahol t = 1,2,...365,...,N⋅365 a megfigyelt nap

sorszáma a teljes idıszakban, N = 45 a megfigyelt évek száma. Megadott K küszöbértéktıl

függıen Rt < K esetén a napot száraznak (d), különben pedig csapadékosnak, ill. rövidebben

nedvesnek (w) nevezzük .

A szakirodalomban eltérı csapadékküszöb értékeket alkalmaznak. Erre vonatkozó

tapasztalatainkat valamint a továbbiakban ismertetésre kerülı saját vizsgálatainkat publikáltuk

[Dobi és mtsai, 1996, 2000; Wantuchné 1997, 1998]. A küszöb-választás három gyakorlati

kritérium egyidejő teljesülése miatt végül a csapadék megfigyelés mennyiségi küszöbét is

jelentı 0,1 mm-t választottuk. E határmennyiség ugyanis ugyanolyan jól szétválasztja a többi

meteorológiai elemet, mint az alternatívaként végigszámolt 0,3 mm ill. 1,0 mm (napi átlag).

Ugyanakkor a csapadékos napoknak a magyarországi nagytérségő cirkulációt reprezentáló

Péczely - típusok (Péczely, 1957) közötti, feltételes gyakoriságai alig különböznek a három

küszöbérték esetén. A fı döntési szempont tehát végül az volt, hogy a legalacsonyabb érték

adja a leginkább szimmetrikus gyakorisági eloszlást a (kisebbségben lévı) csapadékos és a

(többséget alkotó) száraz napok között.

A választott 0,1 mm küszöb szerint az {Rt} adatsort kétállapotú d és w jelekbıl álló

jelsorozattá redukáltuk. Ezután a jelen szakaszban a napok sorozatai helyett elıállítottuk a

csapadékost követı, ill. azt megelızı, száraz napok egymásutánjaiból képezett idıszakokat,

az ún. száraz napokból álló szériákat, valamint analóg módon a csapadékos szériákat (1. ábra).

Jelölje Zn = (tn, Xn),n = 0, 1, 2,..., az {Rt} folyamatból származó tartam folyamatot, ahol

1 ≤ tn ≤ 365 jelenti azt, hogy az egymást követı szériák közül az n-edik sorszámú

kezdıpontja az év hányadik napjára esik, míg Xn írja le a széria hosszát és annak száraz vagy

nedves állapotát. Ekkor a Zn, n=0,1,2,... folyamat lehetséges értékeinek halmaza (állapottere):

Z= {1,2,...,365}×X , ahol a különbözı hosszúságú száraz ill. nedves szériák lehetséges

halmazát jelölje D = {di, 1≤ i≤P}, ill. W = {wj , 1 ≤ j ≤ M}. Itt P ill. M jelöli a reálisan

elıfordulható száraz ill. nedves szériák hosszának maximális értékeit és legyen X = {D ∪ W}.

29

1. ábra

A száraz (D) / nedves (W) szériák értelmezése.

3.1 Függetlenség vizsgálat

A modellezés számára alapvetı kérdés, hogy amennyiben egyedi napok helyett az ily

módon definiált szériákat vizsgáljuk – melyek akár több ciklon, anticiklon átvonulást is

lefedhetnek – milyen függıségi kapcsolatokat találhatunk e szakaszok hossza között?

Hasonlóan az egymást követı napokra elvégzett rend vizsgálatokhoz esetünkben elıször az

egymást követı, ellentétes jellegő szakaszok (pl. szárazat követı csapadékos ill. csapadékosat

követı száraz, azaz dw és wd, ahol d ∈ D és w ∈ W) között elsırendőnek nevezhetı

kapcsolatot elemeztük. Másrészt azt sem tartottuk kizártnak, hogy létezhet másodrendőnek

nevezhetı függés az azonos jellegő idıszakok, pl. egy néhány napos csapadékos tartamot

megelızı és azt követı száraz idıszakok közt (dwd ill. wdw). Ezeknek az összefüggéseknek a

tisztázására többféle jól ismert elméleti megközelítés lehetséges. Például ellenırizhetı a

függetlenséget megfogalmazó nullhipotézis a Markov-függıséget jelentı ellenhipotézissel

szemben (pl. Cox és Hinkley, 1978); vizsgálható a függetlenségi hipotézis, pl. a Kendall-féle

rangkorrelációk segítségével, vagy más módszerekkel is.

Ellentétben az egymást követı napokra vonatkozó vizsgálatokkal, itt eleve a szériákra

vonatkozó megfigyelésszám majdnem egy nagyságrenddel kisebb, az állapottér pedig

lényegesen nagyobb. Az itt elmondottakon kívül a következı körülményeket is figyelembe

kell venni. A számításokhoz rendelkezésre álló mintaszámokat a közös részmintához tartozás

kritériumául választott idıintervallum behatárolja. Bár az évszak a mintaszám alakulása

szempontjából kedvezı lenne, tapasztalatunk szerint ez a bontás még részben elfedi az éves

menet jellemzıit. A természetes évszakok kiválasztására irányuló számításaink nem vezettek

sikerre, mivel a homogenizálási módszerrel (Szentimrey, 1996) elemenként eltérı hosszúságú

W W D W D D W D W D D

w2

d4

w1

d1 d1

w1

30

idıszakok adódtak. A gyakran alkalmazott 10 napos periódusokra a hisztogrammok alakja

erısen változik a dekád kezdıpont eltolásának hatására. E megfontolások alapján a havi

bontást választottuk és a vizsgálatokat ezekre az idıszakokra végeztük el.

A 2. ábra érzékelteti, hogy a függetlenségi vizsgálatokhoz - az adott hónapra

vonatkozó kis mintaszámok miatt – állapot összevonások nélkül nem tudjuk figyelembe venni

az összes eltérı hosszúságú tartamot. Elsı közelítésben az állapotteret rövid és hosszú száraz,

ill. csapadékos tartamokra szőkítettük le. Ekkor a Zn*= (tn, Xn

*) módosított folyamat

állapottere Z*= {1,2,...,365}×X* ahol X* = {dS, dL, wS, w L}. Itt dS ill. wS jelöli a rövid száraz

ill. csapadékos szériát, dL ill. wL pedig a hosszú szárazat ill. csapadékosat, továbbá H és J a

rövid és hosszú tartamok határait. Feltételeztük, hogy a Zn* folyamat egy adott hónapon belül

idıben közelítıen homogénnek tekinthetı, vagyis az Xn* sorozat együttes eloszlása nem függ

a tn idıpontoktól, ezért elegendı vizsgálni önmagában az Xn* folyamatot, melynek lehetséges

állapotai ebben az esetben:

X

d ha S H

d ha H L P

w ha S J

w ha J S M

n

S

L

S

L

* =

≤ ≤< ≤

≤ ≤< ≤

1

1

Amennyiben az így leszőkített állapottér esetén kimutatható függıségi kapcsolat az Xn*

sorozatra, úgy érdemes tovább finomítani ezt a felbontást. A határokat variáltuk,

megválasztásuknál figyelembe vettük a tartamok havonkénti gyakorisági eloszlásait és az

egyes kategóriákba jutó esetszámokat. H-t 4 napnak, J-t pedig a kevés hosszú csapadékos

szakaszra való tekintettel, 2 napnak vettük.

Az Xn* folyamat közvetlenül egymást követı állapotai között feltételezett

függetlenséget az alábbi módon ellenıriztük. Minden hónapra kiszámítottuk az (Xn'*, Xn'+1

*)

tartampárok gyakoriságait olymódon, hogy a száraz szériát követı csapadékos párok (dw)

esetén Xn'* = dS vagy dL és Xn'+1

* = wS ill. wL ahol n', (1<= n' <= N*365) azokat az indexeket

jelöli, amelyekre a tn' és tn'+1 idıpontok mindegyike a megadott hónapba esik. Ez esetben a

kérdéses mullhipotézis:

P d w P d P wj i j i( ) ( ) ( )X ,X X Xn*

n +1*

n*

n +1*

′ ′ ′ ′= = = = = ,

ahol értelemszerően i,j = S,L. Fordított helyzetekre, azaz a csapadékossal kezdıdı tartam

párokra (wd ) analóg módon végeztük a számítást.

31

2. ábra

A 15 napnál hoszabb száraz tartamok gyakorisága 0.1 mm (piros) és 1.0 mm (kék)

küszöbválasztás esetén.

A függetlenség - vizsgálatra χ2 próbát alkalmaztunk, melynek részeredményeit (J = 1

és H = 1,2,3,4 határokra) a megfelelı esetekre a 2. táblázatban közöljük. A próba egy

szabadsági fokú, a 0,95 szinthez tartozó kritikus értéket meghaladó statisztikát vastaggal

szedtük. A χ2 próba szerint a hipotézist elfogadhatjuk, tehát beláttuk hogy a rövid és hosszú

száraz és csapadékos idıszakokat (egy kivételtıl eltekintve) függetlennek tekinthetık.

Az Xn* folyamat egymást követı azonos jellegő állapotai közötti másodrendő

kapcsolatokat hasonló gondolatmenet alapján vizsgáltuk. Képeztük a váltakozó jellegő szériák

sorozataiból álló (Xn'*, Xn'+1

*, Xn'+2*) hármasok gyakoriságait, amelyeket pl. a száraz

kezdıállapot (dwd) esetén az Xn'* = dS, dL , Xn'+1

* = wS, wL és Xn'+2* = dS, dL események

alapján értelmeztünk. A nullhipotézis ekkor:

P d w d P d P w P dj i k j i k( , ) ( ) ( ) ( )X , X X X X Xn*

n +1*

n +2*

n*

n +1*

n +2*

′ ′ ′ ′ ′ ′= = = = = = = ,

ahol i, j, k = S, L. A számításokat az egymást követı csapadékos (wdw) szériákra is

elvégeztük az elsırendő vizsgálattal megegyezı feltételekkel. A χ2-próba ez esetben három

szabadsági fokú. A 0,95 megbízhatósági szinthez tartozó értékeket szintén a 2. táblázat

mutatja. Az eredmények szerint az egymás utáni azonos jellegő szériák is függetlennek

tekinthetık.

32

wd (df = 1) Wet =1 nap

Dry 1 2 3 4

Jan 0.2 0.1 2.1 1.4

Feb 0.5 1.0 0.0 0.1

Már 0.3 0.2 0.1 0.3

Ápr 1.1 0.0 0.4 0.0

Máj 0.2 1.0 2.5 2.7

Jún 0.1 0.1 0.2 0.2

Júl 0.1 1.7 3.5 4.1

Aug 3.2 2.3 2.3 1.4

Sept 0.7 1.2 1.8 0.0

Okt 0.8 0.0 0.2 0.1

Nov 0.0 0.1 0.8 2.7

Dec 1.5 0.2 0.0 0.0

dw (df = 1) Wet =1 nap

Dry 1 2 3 4

Jan 0.4 0.5 0.1 0.4

Feb 0.3 0.1 0.1 0.4

Már 0.4 1.0 0.5 0.6

Ápr 0.0 0.0 0.4 0.0

Máj 0.9 2.9 2.7 0.5

Jún 0.3 2.1 3.6 3.5

Júl 0.0 1.4 3.5 1.7

Aug 0.1 0.5 1.1 0.7

Sept 0.0 1.1 0.0 0.1

Okt 0.4 0.2 1.2 1.1

Nov 1.5 0.8 0.0 0.1

Dec 0.2 1.9 9.2 1.0

wdw (df = 3) Wet =1 nap

Dry 1 2 3 4

Jan 1.1 0.8 0.6 1.0

Feb 3.1 3.5 1.7 1.6

Már 1.3 2.3 3.6 2.9

Ápr 1.8 2.0 2.3 2.3

Máj 5.0 5.1 4.8 1.9

Jún 5.4 7.1 8.3 8.5

Júl 0.3 2.3 4.6 2.1

Aug 1.6 2.1 3.7 2.6

Sept 0.8 2.2 1.9 1.1

Okt 0.5 0.3 1.3 1.1

Nov 5.0 1.2 0.3 0.3

Dec 2.6 3.5 11.4 2.7

dwd (df = 3) Wet =1 nap

Dry 1 2 3 4

Jan 0.7 2.0 4.6 5.9

Feb 1.2 3.1 2.5 2.0

Már 1.4 2.0 0.2 1.8

Ápr 4.0 3.0 1.9 3.6

Máj 2.2 3.5 3.2 2.8

Jún 0.6 3.1 6.2 8.3

Júl 0.9 6.9 7.8 9.4

Aug 6.4 2.3 5.6 3.1

Sept 2.5 1.4 2.8 1.3

Okt 2.2 0.1 1.1 0.1

Nov 1.2 3.4 1.0 5.2

Dec 2.8 0.5 1.2 2.4

2. táblázat

χ2 próba eredményei az elsırendő (balra) és másodrendő (jobbra) függetlenség vizsgálatok esetén

(J=1 nap) Szegeden 1951-1990. Vastagon szedtük a 0,95 szignifikancia szintet meghaladó értékeket.

3.2 Eloszlásillesztés

Ezt követıen, az elızı fejezetben összefoglalt szakirodalom tapasztalatait figyelembe

véve, illeszkedés vizsgálatot végeztünk. Egymástól független havi száraz és csapadékos

szériákra geometriai (1) és kevert eloszlásokat illesztettünk az alábbi módon. Egyrészt vettük

két geometriai eloszlás súlyozott összegét (GG) a (2) képlet szerint, másrészt geometriai és

Poisson eloszlások súlyozott összegével (PG) számoltunk (3) alapján.

P k p p k( ) ( )ξ = = ⋅ ⋅ − −1 1, k = 1,2,... (1)

1k22

1k111 p1pr1p1prkP −− −⋅⋅−+−⋅⋅== )()()()(ξξξξ , k = 1,2,... (2)

λλλλλλλλξξξξ −−

−

−⋅−+−⋅⋅== e

1ks1q1qskP

1k1k

2 )!()()()( , k = 1,2,... (3)

ahol r és s a keverék eloszlások súlytényezıi. A korábban használt P és M praktikusan

megválasztott konstansok, melyek mellett az ezeknél hosszabb szériák megjelenésének

valószínősége gyakorlatilag már nullának tekinthetı. Az eloszlások paramétereit és a

súlytényezıket kvázi-Newton módszerrel becsültük a négyzetes eltérést minimalizáló

veszteség-függvény mellett. A számítások eredményeit a 3. ábra mutatják havonta a száraz

(felül) ill. csapadékos tartamokra (alul). A szemléletesség kedvéért mindegyik ábrán

feltüntettük a geometriai eloszláshoz tartozó, gyenge éves menetet mutató p értékeket is.

Szembetőnı, hogy a súlytényezık a különbözı klímájú állomásokra az év folyamán eltérı

mértékben ingadoznak.

A száraz tartamoknál r és p2 szabályos éves menetet mutat Szegedre, Szombathelyre

azonban – a két állomás eltérı klímájának (gyakorisági eloszlásának) egyik sajátosságaként -

hektikus. A jellemzıen rövid csapadékos esetekben a nullához közeli súlytényezık (néhány

kivételtıl eltekintve) eliminálják a második tagot. Ilyenkor az egyszerő geometriai eloszlás

gyakorlatilag megegyezik a (2) alapján kevert geometriaival.

A Poisson eloszlás figyelembevételével kapott s és λ görbék minden esetben markánsan

eltérnek. A száraz tartamokra vonatkozó 3. ábra felsı részén látszik, hogy a súlytényezık

értéke rendszerint magas, sıt néhány hónapban közelítıleg egy, ami arra utal, hogy a

geometriai tag dominál a keverék eloszlásban. A Poisson eloszlás hozzájárulása elsısorban a

hosszú tartamoknál érzékelhetı. Csapadékos esetben (3. ábra alsó része) az alacsonyabb s

értékek mellett - fıként Szombathelyre - a Poisson eloszlás hatása hatékonyabbá válik.

34

Rp1p2p

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Rp1p2p

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sqlp

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sqlp

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

GG

PG

Szeged (1951-95) Szombathely (1951-95)

3. ábra

Felül: A száraz tartamokra illesztett eloszlások paraméterei és a súlytényezıi havonta: felül a két

geometriai, alul a geometriai és Poisson eloszlások súlyozott összegére.

A bal oldali ábrák Szegedre, a jobb oldaliak Szombathelyre vonatkoznak. (Jelölés: λ = l).

Alul: ua. csapadékos tartamokra.

Rp1p2p

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Rp1p2p

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

sqlp

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

sqlp

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Szeged (1951-95) Szombathely (1951-95)

GG

PG

35

Szeged Szombathely

DRY G MG PG G MG PG

Jan 25.1 (9) 9.2 (11) 8.5 (11) 11.5 (10) 9.2 (10) 9.2 (10)

Feb 21.1 (8) 3.7 (10) 11.1 (9) 12.0 (8) 4.4 (9) 4.4 (9)

Márc 8.7 (10) 5.8 (11) 6.1 (10) 7.9 (10) 6.5 (10) 8.3 (10)

Ápr 12.9 (9) 9.8 (9) 10.2 (10) 11.7 (9) 5.3 (10) 5.4 (10)

Máj 5.3 (9) 5.0 (9) 5.4 (9) 8.2 (9) 6.9 (10) 7.1 (10)

Jún 18.9 (7) 2.3 (9) 2.7 (9) 9.9 (7) 5.5 (8) 4.6 (8)

Júl 26.2 (10) 6.8 (12) 6.6 (12) 5.4 (9) 5.4 (9) 4.6 (9)

Aug 25.1 (11) 15.9 (12) 13.3 (12) 15.3 (9) 13.8 (9) 11.7 (10)

Szept 15.3 (10) 5.8 (12) 5.9 (12) 12,0 (9) 9.1 (11) 9.1 (11)

Okt 51.9 (9) 12.3 (12) 9.5 (13) 35.4 (9) 7.6 (12) 9.3 (11)

Nov 17.4 (8) 4.5 (10) 5.0 (9) 19.9 (9) 15.6 (9) 18.7 (9)

Dec 13.8 (7) 8.5 (8) 9.3 (9) 19.7 (8) 5.6 (9) 1.9 (10)

WET G MG PG G MG PG

Jan 4.9 (6) 5.0 (6) 2.5 (5) 3.4 (5) 3.4 (5) 0.7 (5)

Feb 5.2 (6) 5.2 (6) 6.1 (6) 9.9 (5) 10.0 (5) 12.6 (5)

Márc 0.5 (5) 0.5 (5) 0.4 (5) 16.1 (6) 16.5 (6) 3.3 (5)

Ápr 7.0 (6) 7.1 (6) 6.9 (6) 6.0 (6) 6.0 (6) 0.9 (5)

Máj 6.6 (6) 6.6 (6) 6.6 (6) 6.1 (6) 7.4 (7) 6.2 (6)

Jún 1.9 (5) 1.9 (5) 2.3 (5) 1.1 (6) 1.1 (6) 0.7 (6)

Júl 0.8 (4) 0.8 (4) 1.1 (5) 6.6 (6) 6.7 (6) 1.8 (5)

Aug 0.3 (4) 0.3 (4) 0.3 (4) 2.6 (5) 2.7 (5) 2.3 (5)

Szept 5.8 (4) 5.9 (4) 3.3 (4) 8.9 (5) 8.9 (5) 2.3 (5)

Okt 5.2 (5) 5.3 (5) 5.1 (5) 1.0 (5) 1.1 (5) 0.7 (5)

Nov 0.8 (6) 0.8 (6) 0.5 (6) 6.7 (6) 5.7 (6) 3.7 (6)

Dec 10.0 (6) 10.0 (6) 4.0 (5) 2.8 (6) 2.8 (6) 2.8 (6)

3. táblázat

Az illeszkedésvizsgálat eredményei: χ2 értékek (szabadsági fokuk) havonta száraz és nedves

idıszakokra Szegeden és Szombathelyen. A vastagított értékek a megfigyelt eloszlástól vett

szignifikáns eltérést jelezik, 95% megbízhatósági szinten. Rövidítések: G - geometriai, GG - két

geometriai súlyozott összege, PG - Poisson és geometriai súlyozott összege.

36

A fenti eloszlások illeszkedését χ2 próbával teszteltük, a 3. táblázatban vastaggal szedtük a

0,95 szinten szignifikáns eltérést mutató értékeket. Zárójelben tőntettük fel a szabadsági fokok

számát, amelyek különbségeit a száraz és csapadékos szériák havonta eltérı hossza - emiatt

eltérı darabszáma - és a kis gyakoriságok szükséges összevonása indokolja.

A száraz tartamoknál a keverék eloszlások eredménye hasonló: egyetlen kivétellel

(Szombathely november) az illeszkedés lényegesen jobb, mint a geometriai eloszlásé.

Csapadékos tartamokra az egyszerő geometriai eloszlás is megbízható, a PG eloszlás azonban,

néhány kivételtıl (pl. február) eltekintve, – fıként Szombathelyre – sokkal kisebb hibával

közelíti a mintát. A PG eloszlás tehát mindkét esetben egyértelmően jobb, mint a G.

A 4. ábrán olyan hónapokat mutatunk be, melyeknél a Poisson eloszlás alkalmazása

"látványosan" javít az illeszkedésen. Korrigálja a geometriai eloszlás jellegébıl adódó

jellegzetes hibákat, nevezetesen a bal oldali hisztogrammnál a kis valószínőségő részeket, a

jobb oldalinál pedig az 1-2 napos csapadékos szériák túlbecslését.

DRY

0

10

20

30

40

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

OBSGPGGG

WET

0

20

40

60

80

100

1 3 5 7 9

4. ábra

A száraz tartamokra illesztett eloszlások Szegeden októberben (bal), és csapadékos tartamokra

Szombathelyen márciusban (jobb). Rövidítések: OBS - megfigyelés, G - geometriai, GG - két

geometriai, PG-kevert Poisson és geometriai eloszlás keveréke.

A keverék eloszlások módosító hatása fıként nagy k értékek esetén, az extrém száraz

tartományban jelentkezik. Ennek érzékeltetésére összehasonlítottuk a három eloszlásból

adódó kis valószínőségő - az aszályok megfelelı modellezése szempontjából azonban döntı

fontosságú - tartamok számát. A 0.98-ad rendő kvantilist meghaladó ill. a 45 év alatt

37

elıfordult leghosszabb tartamok alapján számított elméleti és a valódi mintaszámok eltérését

Szegedre a 5. ábrán tőntettük fel. Látható az ábrán, hogy a keverék eloszlások kevésbé térnek

el a tapasztalati gyakoriságoktól, mint az egyszerő geometriai eloszlás. Februárban és

októberben a PG, augusztusban az GG-vel kapott extrém tartamgyakoriságok száma az adott

intervallumban igen jó egyezést mutat a szegedi mintáéval. További három hónapban

valamivel több (lásd az ábrán a pozitív tartományba esést), rendszerint azonban csak

legfeljebb néhány darab mutat kevesebbet hosszú tartamok esetén a várható számnál.

Num

ber

of c

ases

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

GGGPG

5. ábra

A geometriai és a keverék eloszlásokkal elıállított extrém hosszú száraz (0,98-ad rendő kvantilist

meghaladó) tartamok számának eltérése a tapasztalati gyakoriságoktól Szegeden, 1951-95.

(Minél rövidebb az oszlop, annál jobb az illeszkedés.)

A Szegedre és Szombathelyre kapott eredmények egyaránt azt igazolják, hogy a

száraz és csapadékos tartamok modellezésére alkalmas a geometriai és Poisson eloszlás

súlyozott összege, amely a Magyarországon jellemzı hosszú száraz és jellegzetesen rövid

csapadékos tartamokra minden hónapban magas megbízhatósági szinten illeszkedik.

38

4. Elıkészítı lépések

Ismert, hogy a meteorológiai paraméterek idısoraiban az évszakos változásoknak

megfelelıen éves menet jelentkezik. Ennek kiküszöbölésére szokás használni additív (illetve

multiplikatív) modelleket. Ezt követve a meteorológiai idısorokat felbontjuk determinisztikus

és sztochasztikus tagok összegére (ill. szorzatára). Korábbi vizsgálataink szerint az egymást

követı száraz / csapadékos szériák hossza független valószínőségi változóknak tekinthetık

(az eloszlásokkal összefüggı becslési kérdésekre részletesen kitértünk). Ez a felismerés

vezetett ahhoz a gondolathoz, hogy a különbözı meteorológiai paramétereket megvizsgáljuk

külön - külön a száraz / csapadékos napokból álló szakaszokon.

Dolgozatunkban a csapadék állapotától függı feltételes idısor modellt dolgoztunk ki.

Elsı lépésként a mérések sorozatáról a 4. 1. fejezetben megmutattuk, hogy a vizsgált változók

állapotterét a csapadék állapota kettéválasztja és szignifikánsan eltérı statisztikai mutatókkal

rendelkezı mintákat eredményez. Ennek értelmében a száraz illetıleg csapadékos napok

szerint kettéválasztott mintákból elıször a determinisztikus tagokat távolítottuk el oly módon,

hogy az adott hely éghajlatára jellemzı átlagok és szórások periodikus éves menetét

kiküszöböltük a feltételes sorokból. Ezt követıen ebben a fejezetben a maradék rezidum sor

jellemzıit tanulmányoztuk. A hasonló elven nyugvó modellekhez képest sokkal részletesebb

vizsgálatokat végeztünk az összes általunk vizsgált meteorológiai változónak a csapadékos ill.

száraz tartamok hossza szerinti valamint a tartamokon belül a sorszámok szerinti

összefüggések megismerésére (4. 1. 4. fejezet). A fejezet további részében ( 4.2, 4.3, 4.4) az

idısor analízis standard eljárásainak felhasználásával tártuk fel a modell kialakításához

szükséges információkat. Az eredményekre épülı modell fejlesztési lépéseit az 5. fejezetben

kerülnek ismertetésre.

4.1 Transzformációk

A szakirodalomban az éves periódus eltávolítására leggyakrabban alkalmazott eljárás

a Fourier transzformáció (Amed et al., 1986; Dévényi és Gulyás, 1988; Panofsky és mtsai,

1958), amely a gyakorlatban néhány együttható segítségével lehetıvé teszi az idısor "jó"

közelítését. A paraméterek száma nem elhanyagolható szempont a modell kiválasztásnál,

hiszen a paraméterek változtatása teszi lehetıvé a klímaváltozással összefüggı alkalmazást.

39

A Fourier transzformáció számításigénye mindkét módszer esetén N2 nagyságrendő,

ezért célszerő nagy mintaszám esetén a gyors Fourier transzformációt alkalmazni (FFT).

Ezáltal N⋅ln(N) szorzóval arányos lesz azon mőveletek száma, melyek elıállítják az

együtthatókat, illetve inverz FFT esetén a közelítı sort. Az alábbi négy pontban ismertetjük az

alkalmazott számítás algoritmusát.

4.1.1 Sokéves napi átlag és szórás számítása száraz és csapadékos napok szerint

A ξj(h,t) valószínőségi változó értékét a j-edik meteorológiai elemre (j=1,…,8) a

h-adik év (h=1,…,N; N=45) t-edik napján (t=1…,365) jelölje xj(h,t). Adott napon a

feltételes várhatóértéket csapadékos esetben a következıképpen értelmezzük

E[ξj(h,t) | R(h,t)>0] ahol R(h,t) a napi csapadékösszeg, illetıleg E[ξj(h,t) | R(h,t)=0]

csapadékmentes napokon. Az átlaggal történı becsléseket az alábbi módon végeztük el:

)t,h(xn

1)t(x

n

}0)t,h(R{1i

j,iWj ∑

>=

= és )t,h(xm

1)t(x

m

}0)t,h(R{1i

j,iDj ∑

==

=

ahol j = 1,…,8 és n = n(t) a csapadékos, m = m(t) a száraz napok száma az év t-ik napján és

minden t = 1,…,365 esetén n + m = N. Az empirikus szórások számítása:

n

))t(x)t,h(x(

)t(s

n

}0)t,h(R{1i

Wjj,i

Wj

j

∑>

=−

= ill. m

))t(x)t,h(x(

)t(s

m

}0)t,h(R{1i

Djj,i

Dj

j

∑=

=−

=

4.1.2 Fourier sorfejtés alkalmazása a sokéves feltételes statisztikákra

A sokéves feltételes átlagok és szórások diszkrét értékeit periodikus függvénnyel

közelíthetjük, ezért a vizsgált statisztikák simítására célszerő alkalmazni a Diszkrét Fourier

Transzformáltat (DFT) (Richardson, 1981; Racskó és mtsai 1991). A közelítı függvény

komplex alakját Székely (1994) nyomán a Függelékben közöljük. Jelölje fi, i = 1,...M, M=365

diszkrét, valós értékő minta elemeket. Ekkor a DFT komplex együtthatói az alábbi módon

állíthatók elı:

∑−

=−=

π−=1M

0kkn 1M,...0n,nk

M

2iexpf

M

1D .

40

A transzformált elemek között szimmetria összefüggések állnak fenn, nevezetesen DM-n = Dn*

ahol a D-n = Dn* komplex konjugált és D0 jelöli a stacionárius tagot, valamint D0 és DN/2

valósak. Az n-edik harmonikus megmagyarázza a szórásnégyzet Cn2/ 2s2 százalékát, ahol az

n-edik harmonikus amplitúdója Cn2 = An

2 + Bn2 és s2 pedig a teljes szórásnégyzet.

Tapasztalatok szerint meteorológiai idısoroknál az N/2 számú harmonikus helyett az elsı

néhány tag kielégítı pontosságú közelítést eredményez (Panofsky, 1958; Richardson, 1981).

A komplex együtthatók valós és képzetes részét Szegedre a 4. táblázat tartalmazza.

SZÁRAZ CSAPADÉKOS

D 0 Re

(D 1) Im

(D 1) Re

(D 2) Im

(D 2)

D 0 Re

(D 1) Im

(D 1) Re

(D 2) Im

(D 2) Max. hım. Átlag 16,6 -6,4 1,6 -0,9 -0,1 15,3 -5,8 1,7 -0,5 -0,0

Szórás 4,4 0,4 -0,3 -0,0 -0,1 4,5 0,2 -0,1 -0,1 -0,1 Átl. H ım. Átlag 10,7 -5,7 1,4 -0,4 0,0 10,5 -4,9 1,6 -0,3 0,1

Szórás 3,8 0,4 -0,2 0,1 -0,1 3,6 0,3 -0,1 0,1 -0,1 Min. hım. Átlag 5,3 -4,7 1,3 -0,1 0,1 6,7 -4,3 1,5 -0,2 0,1

Szórás 3,9 0,9 -0,1 0,10 -0,1 3,5 0,6 -0,1 0,1 -0,1 Rel. Nedv. Átlag 72,2 5,9 0,7 1,8 0,1 80,3 4,1 0,1 0,7 0,2

Szórás 8,2 -0,2 -0,3 -0,9 0,1 8,6 -0,9 0,1 -0,6 0,0 Napf. Tart. Átlag 6,9 -2,1 0,0 -0,2 -0,1 3,2 -1,4 0,1 0,2 -0,1

Szórás 3,1 -0,1 -0,2 -0,1 0,1 2,8 -0,7 -0,0 -0,0 -0,0 Felhızet Átlag 3,8 0,5 -0,2 0,2 0,2 6,2 0,5 -0,1 -0,0 0,1

Szórás 2,1 0,1 -0,0 -0,0 0,0 1,5 -0,1 0,0 -0,0 -0,0 Szél Átlag 3,2 0,1 -0,3 -0,1 0,0 3,7 0,2 -0,2 -0,1 0,0

Szórás 1,5 0,1 -0,1 -0,0 -0,0 1,5 0,2 -0,1 -0,0 0,0 Légnyomás Átlag 1019,0 2,1 0,6 0,2 0,0 1012,9 0,4 0,5 0,3 -0,1

Szórás 6,2 1,5 -0,4 0,2 -0,1 6,3 -1,4 -0,3 0,1 0,1

4. táblázat

Fourier együtthatók száraz (bal) és csapadékos (jobb) napokon (Szeged 1951-95).

4.1.3 Simított sokéves feltételes átlagok elıállítása Inverz Fourier Transzformációval

A táblázatban szereplı transzformáltak ismeretében adott elem Inverz Diszkrét Fourier

Transzformációval a következıképpen állítható elı:

∑=

π=2

0kkn )nk

M

2iexp(Df

41

Az fn függvényt a hullámmal jelölt, simított feltételes átlagok ill. szórások:

)t(x~Wj , )t(x~D

j , )t(s~Wj és )t(s~D

j elıállítására alkalmazzuk. Az 6. ábra illusztrálja, hogy a

simított sokéves átlagok és szórások a tanulmányozott elemek mindegyikénél szignifikánsan

különböznek a csapadék állapotától függıen, valamint markáns éves menetet mutatnak

csapadékos és száraz napokon egyaránt.

HÕMÉRSÉKLETEK

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

DMAXM

WMAXM

DTEMPM

WTEMPM

DMINM

WMINM

NAPFÉNYTARTAM

0

2

4

6

8

10

12

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

RELATÍV NEDVESSÉG

60

64

68

72

76

80

84

88

92

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

FELHÕZET

2

3

4

5

6

7

8

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

SZÉLSEBESSÉG

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

4.4

4.8

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

LÉGNYOMÁS

1008

1010

1012

1014

1016

1018

1020

1022

1024

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

DRY

WET

6. ábra

Meteorológiai elemek sokévi feltételes átlagainak éves menete Fourier sorral simított

száraz (piros) és csapadékos (kék) napokon.

42

4.1.4 Rezidum sorok elıállítása a simított sorok felhasználásával

A napi idısorban lévı átlagos éves menet eltávolítására érdekében a simított feltételes

átlagok és szórások felhasználásával standardizáltuk a különbözı elemek napi értékit,

figyelembe véve a nap száraz ill. csapadékos állapotát:

=−

>−

=

0)t,h(Rha)t(s~

)t(x~)t,h(x

0)t,h(Rha)t(s~

)t(x~)t,h(x

)t,h(y

Dj

Djj

Wj

Wjj

j

Ez a lineáris transzformáció nagy pontossággal nulla átlagúvá és egy szórásúvá alakítja az

{y j(h,t); j=1,..8; h=1…45, t=1…365) mintákat, ugyanakkor az eredeti sorokra jellemzı

ferdeséget, lapultságot és korrelációkat megırzi. Így a periodikus függvénnyel leírható

komponenseket eltávolítottuk az adatsorokból, s a továbbiakban a reziduum tagok

modellezésére törekszünk. Az 7. ábra illusztrálja a számítás fıbb lépéseit. NAPFÉNYTARTAM

ÁT

LAG

-2

2

6

10

14

18

Száraz

Csapadékos

1951

SZ

ÓR

ÁS

1.0

1.6

2.2

2.8

3.4

4.0

4.6

RE

ZID

UM

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 7. ábra

A napfénytartam napi menete 1955-ben, a sokéves napi átlagok (felül) és szórások (középen)

csapadékos és száraz napokon, valamint a rezidum sor(alul). (Szeged 1951-1995).

43

A felsı grafikon a napfénytartam feltétel nélküli napi összegeit mutatja egy adott

évben (1955-ben: folytonos szürke görbe). A Fourier sorral simított 45 éves feltételes átlagot

(felül) és szórást (középen) a folytonos piros görbe ábrázolja csapadékos, a kék pedig a száraz

napok átlagaként. A napfénytartam átlagos értéke száraz napokon lényegesen magasabb, mint

csapadékos esetekben. A szórás csapadékos napok szerinti éves menetét nagyobb éves ingás

jellemzi, mint a szárazét. Alul a standardizálással elıállított maradék sor látható.

További próbákra van szükség annak ellenırzésére, hogy található-e szignifikáns

különbség az elemek feltételes statisztikáiban tetszıleges hosszúságú száraz (csapadékos)

idıszakon belül. Amennyiben az 1, 2, 3, ≥4 napjaira vonatkozó átlagok és szórások között

találunk eltéréseket, akkor nem elegendı csak csapadékos és száraz napok szerint

szétválasztani az adatokat, hanem az eredményeknek megfelelıen a szériákon belül további

megkülönböztetés szükséges.

A kérdés megválaszolásához elıször kiszámítottuk a feltételeknek megfelelı

statisztikákat, melyek közül a maximum hımérsékletre, a relatív nedvességre és a

légnyomásra vonatkozó átlagokat és szórásokat a tartamon belüli sorszámuk szerint a 8. és 9.

ábrákon tőntettük fel. A megközelítıleg nulla várható értéket ill. egységnyi szórást jelzı

(piros) vonal körül eltérı mértékben szóródnak a szakaszon belüli sorszámra utaló jelek.

Különösen szembetőnı az elsı napok elkülönülése a többitıl (8. ábra). A piros pontok,

a száraz ill. csapadékos feltételtıl függıen, rendszerint ellentétes elıjelőek. Példaként a relatív

nedvességnél maradva, száraz szériákban az elsı napra vonatkozó átlagok lényegesen

nagyobbak, mint késıbb, hiszen a levegı a következı napokon a hımérséklet emelkedésével

párhuzamosan, relatíve kiszárad.

Mindez a tartamokon belül az elsı napok szisztematikus megkülönböztetésére utal.

Ahhoz, hogy az elsı, második, stb. napokra vonatkozó átlagok (szórások) azonosságának

hipotézisét konkrét valószínőségi szinten el tudjuk dönteni a normalitás feltételezése mellett,

az átlagok összehasonlítására páronként u, a szórásokra pedig F próbát alkalmaztuk

(5. táblázat). Amennyiben az egy dimenziós normalitási teszt szerint valamely elem nem volt

normális eloszlásúnak tekinthetı, akkor a Mann-Whitney teszt szerint jártunk el.

44

Max. hım. Átl. hım Min. hım Rel. nedv. Napf. tart. Felhızet Szél Nyomás

D W D W D W D W D W D W D W D W

Jan. 0.7 1.1 0.2 1.7 0.1 2.6 0.9 2.3 0.2 -1.7 0.4 0.5 -0.1 -1.1 -2.2 1.2

Febr. 1.0 -0.6 1.6 -0.3 1.7 0.1 0.2 0.9 0.2 -0.4 0.3 0.5 -0.5 -0.1 -1.2 2.3

Márc. 1.4 0.2 1.6 0.4 1.3 1.2 0.0 -0.3 -0.7 -1.1 1.1 0.8 -0.6 -0.3 -2.5 1.5

Ápr. 1.5 0.1 1.9 0.1 1.1 0.6 2.3 0.4 -0.5 0.9 0.1 -0.9 -2.6 -0.5 -3.8 2.4

Máj. 1.1 0.4 1.6 -0.1 1.8 0.3 1.0 0.1 -0.5 -0.3 0.8 0.2 -0.7 0.0 -2.6 1.5

Jún. 0.8 -0.2 1.0 -0.7 0.5 -1.0 1.5 0.2 -1.6 0.4 1.6 -0.6 -2.8 -0.8 -2.7 3.1

Júl. -0.6 -0.6 -0.6 -1.1 -0.3 0.2 0.8 0.7 0.8 -0.7 0.9 1.3 -0.2 0.9 -2.3 1.4

Aug. 0.8 0.0 0.5 -0.9 -0.1 -0.4 0.3 1.5 0.4 -0.3 0.1 -0.8 -3.1 0.3 -2.0 0.2

Szept. 0.1 -0.9 0.6 -0.7 1.1 2.5 0.9 3.1 -0.2 -1.4 0.7 0.4 0.7 0.0 -4.6 1.4

Okt. 2.4 -0.8 2.4 0.1 0.7 1.3 -1.2 1.9 0.1 -2.8 -0.0 2.2 1.7 -0.9 -3.3 1.0

Nov. 1.3 -0.0 1.3 0.2 0.9 0.5 0.6 1.0 -0.5 -1.7 1.8 0.4 0.4 -1.8 -3.7 3.3

Dec. -0.6 -0.1 -0.3 -0.1 -0.3 -0.5 2.3 -0.2 -1.4 0.1 1.4 -0.1 -0.3 -1.4 -2.8 0.6

5. táblázat

Két mintás u próbával számított próbastatisztikák. H0: az egy napos szériákra és a több napos tartamok

elsı napjaira számított átlagok megegyeznek. Kiemeltük az N (0,1) eloszlás 0,95 szignifikancia

szinthez tartozó 1,64 értéket meghaladó u statisztikákat. (D - csapadékos, W - száraz)

A számítást havonként minden elemre a csapadékos szériák elsı és második

(W1 & W2), második és harmadik (W2 & W3), harmadik és legalább negyedik (W3 & W4)

napjára elvégeztük. Az 6. táblázatban a 0,95 szinthez tartozó szignifikáns eltéréseket jelöltük

(csillaggal az átlag, körrel a szórás esetén). A szürke háttérszínezés jelzi azokat az átlépéseket

és hónapokat, amikor a Kolmogorov - Szmirnov próba szerint nem normális az eloszlás.

A legtöbb eltérést az elsı és a második napok feltételes átlagai között tapasztaltuk, amik

csaknem minden elemre legalább az év felében szignifikánsnak adódtak. Szintén nem

hagyható figyelmen kívül a 3. és a 4. tartam-kategória (3 illetve legalább 4 nap) közötti

különbség, különösen a gyakran igen hosszú száraz szériák maximum-, minimum- és átlag-

hımérsékleténél.

A szériákon belül tehát mindenképpen meg kell különböztetnünk az elsı napokat. Ezt

is lehet azonban tovább “bontani” egy napos tartamokra, illetve a legalább két napos tartamok

elsı napjaira. Kérdés, hogy ezek átlagai között van-e különbség? Ennek megválaszolására a

45

szórások és a mintaszámok ismeretében, a normális eloszlás feltételezése mellett, u próbát

végeztünk. A teszt értékeket száraz és csapadékos szériákra a 6.a. és b. táblázat tartalmazza.

A standard normális eloszlás 0,95 szinthez tartozó 1,6-et meghaladó érték jelzi. Csaknem

mindegyik elemnél csupán néhány (0-4) hónapban találtunk szignifikáns eltérést, ami nem

indokolja, hogy a legalább két napos tartamokon belül további megkülönböztetést tegyünk.

Kivételt képez a légnyomás, amely szoros összefüggésben áll a légköri cirkulációs

folyamatokkal (frontok áthaladásával, stb.), ezért másként viselkedik csapadékos idıszakba

ágyazott száraz nap esetén, mint egy valódi száraz periódus kezdetén.

Összefoglalva a grafikus ábrázolások és a különféle próbák tapasztalatait, a

transzformált sorokat havonta az alábbi csoportok szerint választottuk szét: A csapadékos

idıszakokon belül az elsı napok elkülönülnek a többitıl. A száraz tartamokon belül három

kategóriát célszerő megkülönböztetni: elsı napok, második és harmadik napok, valamint

negyedik és ezt követı sorszámú napok. Ezt követıen havonta csoportonként kiátlagoltuk,

majd kivontuk az yj(h,t) értékekbıl. Képletekkel leírva az alábbi módon hajtottuk végre a

centrálást:

=≥

=≤≤

==

=>

==

−=

)..,|),((

)..,|),((

)..,|),((

)..,|),((

)..,|),((

),(),(

121k5DthyE

121k4D2thyE

121k1DthyE

121k1WthyE

121k1WthyE

thythz

j

j

j

j

j

jj

ahol W a csapadékos, D pedig a száraz nap tetszıleges hosszúságú tartamon belüli sorszámát

jelöli. A havi feltételes átlagok eltávolítása után a keletkezett zj(h,t) sorok átlaga 10-17

pontosságig zéró, másrészt a szimuláció során ezen átlagok hozzáadása a generált adatokhoz

lehetıvé teszi a tartamon belüli változékonyság jellemzıinek reprodukálását. Reziduum

sorokként fogunk hivatkozni a fenti módon elıállított mintákra és a továbbiakban ezek

képezik majd számításaink alapját.

46

ÁTLAG SZÓRÁSS

td. m

axim

um h

õmér

sékl

et

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

W 1

W 2

W 3

W 4

Std

. rel

atív

ned

vess

ég á

tlaga

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Std

. lég

nyom

ás

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Std

. max

imum

hõm

érsé

klet

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

W 1

W 2

W 3

W 4

Std

. rel

atív

ned

vess

ég

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Std

. lég

nyom

ás

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

8. ábra

Három meteorológiai elem feltételes havi átlagai a nedves szériák elsı (W1), második (W2),

harmadik (W3) és legalább negyedik (W4) napján.

47

ÁTLAG SZÓRÁSS

td. m

axim

um h

õmér

sékl

et

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

D 1

D 2

D 3

D 4

Std

. rel

atív

ned

vess

ég

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Std

. lég

nyom

ás

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Std

. max

imum

hõm

érsé

klet

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

D 1

D 2

D 3

D 4

Std

. rel

atív

ned

vess

ég

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Std

. lég

nyom

ás

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9. ábra

Három meteorológiai elem feltételes havi átlagai száraz szériák elsı (D1), második (D2),

harmadik (D3) és legalább negyedik (D4) napján.

48

WET

SMAX SMEAN SMIN SSUN

W1 &

W2

W2 &

W3

W3 &

W4

W1 &

W2

W2 &

W3

W3 &

W4

W1 &

W2

W2 &

W3

W3 &

W4

W1 &

W2

W2 &

W3

W3 &

W4 m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s I * • II • * * • * • III * * * • * * • * * • IV * * * * * * * * • V * * * • • • * VI * * • * * * • * VII * * * * * * VIII * * * * * * IX * * • * * • * • X * * * * • * • * * • XI • * • * • * XII * • •

SREL SCLOUD SWIND SPRES W1

& W2

W2 &

W3

W3 &

W4

W1 &

W2

W2 &

W3

W3 &

W4

W1 &

W2

W2 &

W3

W3 &

W4

W1 &

W2

W2 &

W3

W3 &

W4 m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s I * • * * • * II * • * • * • * III * * * • * * IV * • * * • V * * * VI * * * * • VII * * * * • VIII * * * IX * • * • * X * • * * • • * XI * * • * XII * • * • • * *

6.a. táblázat

Csapadékos széria 1, 2, 3, ≥4 napjaira számított átlagok és szórások

(lásd. 8. és 9. ábra) összehasonlítása.

* u próba szerint 0,95 szinten az átlagok eltérnek

• F próba szerint 0,95 szinten a szórások eltérnek

Szürke háttér azt jelzi, hogy nem normális eloszlásokat hasonlítunk össze.

49

DRY

SMAX SMEAN SMIN SSUN

D1 & D2

D2 & D3

D3 & D4

D1 & D2

D2 & D3

D3 & D4

D1 & D2

D2 & D3

D3 & D4

D1 & D2

D2 & D3

D3 & D4

m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s I * * * II * * * * III * * * * * * IV * * * * * * * V * * * * * * * * * • VI * * * * * * * * * * • VII * * * * * * * * * VIII * * * * * * * * * • * • IX * * * * * * * * X * * * * * * XI * * * * XII * • * •

SREL SCLOUD SDIND SPRES D1

& D2

D2 & D3

D3 & D4

D1 & D2

D2 & D3

D3 & D4

D1 & D2

D2 & D3

D3 & D4

D1 & D2

D2 & D3

D3 & D4

m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s I * * • * * • * II * * • * • * * III * * * * * IV * * * * • * • V * * * * * • * * * VI * * * * * * VII * * * * * * * * VIII * * * * • * * • * IX * * * • * * • * X * * * * • * XI * * • * • * * XII * * * * *

6.b. táblázat

ua. mint 6.a. ábra száraz szériákra.

50

4.2 Idıjárási paraméterek néhány jellemzıje

Adott (havi) idıszakban az egymást követı száraz ill. csapadékos szériák hossza

független valószínőségi változóknak tekinthetı. Ezen idıszakon belül a száraz / csapadékos

széria hosszak külön - külön azonos eloszlást követnek (Erre vonatkozóan ld. korábbi

vizsgálatainkat.) Ez vetette fel annak gondolatát, hogy az idıjárási paraméterek sorozatát az

adott idıszakra vonatkozóan külön vizsgáljuk a száraz / csapadékos szakaszokon.

Az egymást követı napok idıjárási paramétereinek modellezése a következık szerint

történik. Az egymást követı száraz vagy nedves állapotát megadja a száraz/nedves szériák

modellje (3.2 fejezet). A többi meteorológiai paraméter az így adottnak tekinthetı

száraz/csapadékos napok sorozatára épül, mintegy a száraz/csapadékos állapottól függı

valószínőségi modell. Vizsgálataink alátámasztják, hogy adott hónapban a száraz/nedves

napokból álló szakaszok a saját centrálás és normalizálás után gyengén stacionárius

sorozatnak tekinthetık. Ez kínálja annak a lehetıségét, hogy a modellezés fázisában elsırendő

autoregresszív modellt használjunk.

A korábbiakban alkalmazott jelölések kibıvítésével az alábbiakban adjuk meg a

modellt. Jelölje:

a nap száraz /nedves állapotát a({t}), ahol a({t}) = D, W;

a széria hosszát h({t}), ahol { }( )

=≤≤=≤≤

=WahaSh1

DahaPh0th ;

a szérián belül elfoglalt sorszámot d*({t}), ahol 0 ≤ d*({t}) ≤ h({t});

a minta éven belül sorszámát pedig {t}, { } 1365

ttt +

−= .

A fenti értelemben Zt folyamatot az alábbi módon állítjuk elı:

Zt = v(a({t}), h({t}), d *({t})) ⋅Ut + u(a({t}), h({t}), d *({t})),

ahol az Ut elsırendő feltételes autoregresszív folyamat: Ut+1=AUt + Bεt.

Mielıtt rátérnénk az autoregresszív folyamattal kapcsolatos vizsgálatainkra, megmutatjuk a

rezidum sorok néhány, a továbbiakban részben felhasználásra kerülı tulajdonságát.

51

4.3 Faktoranalízis

A vizsgált összes meteorológiai változót faktoranalízis segítségével csoportosítottuk

olymódon, hogy elkülönítettük azokat azon elemeket, amelyek egymástól lineárisan

függetlennek tekinthetık, illetve amelyeknél a változók között szoros lineáris kapcsolat

mutatható ki. A számításokat a "Statistica for Windows, Factor Analysis" modulja

segítségével végeztük el a kilenc meteorológiai elemre (1951-1995), havonként, külön-külön

az említett száraz ill. csapadékos idısorokra, valamint a teljes mintára. Az aktuális faktorszám

kiválasztása a Kaiser féle kritérium alapján (Statistica for Windows III kötet 3204. old.) az

1-nél nagyobb sajátérték meghatározásával történt. A faktorok elkülönítéséhez az

alapértelmezésként ajánlott normalizált Varimax rotációt alkalmaztuk (Móri, 1999; Statistica

for Windows III kötet).

A sajátértékek kumulatív összegei szerint három faktor a figyelembe vett elemek

közös faktorokkal kifejezhetı varianciájának 70-82 % -ának leírását teszi lehetıvé.

A faktorok osztályozását a rotált faktor értékek alapján, a 7. táblázatba összegyőjtött

faktorsorszámok szerint végeztük el teljes (ALL) mintára ill. csak csapadékos (DET) és csak

száraz (DRY) napokra. A táblázatban a 0,7-es korrelációt meghaladó faktorok sorszámait

tőntettük fel, zárójelben lévı faktorok értéke 0,5 és 0,7 közötti. Azonos szín és minta jelzi a

faktoranalízis szerint megegyezı csoportba tartozó elemeket. A rotáció miatt az elsı és

második faktorok (a száraz napokra vonatkozó táblázat kivételével) felcserélıdnek az év egy

részében, ennek azonban az osztályok kiválasztására nézve nincs jelentısége.

A 7. táblázat alapján a vizsgált elemek között az alábbi összetartozó csoportok

különíthetık el:

I maximum-, minimum-, átlag hımérséklet;

II napfénytartam, relatív nedvesség, felhızet;

III szél, légnyomás.

A csapadék és többi elem között tipikusan nem lineáris a kapcsolat, ezért a napi

csapadékösszeg minden más elemtıl függetlenül kezelendı.

52

ALL PREC MAX TEMP MIN SUN REL CLOUD WIND PRES Jan (3) 1 1 1 2 2 2 3 3 Feb (2) 1 1 1 2 2 2 3 (3)

Márc (1) 2 2 2 1 1 1 3 (1) Ápr (1) 2 2 2 1 1 1 3 (1) Máj (1) 2 2 2 1 1 1 3 (1) Jún (1) 2 2 2 1 1 1 (2) (1) Júl (1) 2 2 2 1 1 1 (1) 1 Aug (1) 2 2 2 1 (1) 1 (1) (1) Szept (1) 2 2 2 1 1 1 3 (1) Okt (1) 2 2 2 1 1 1 3 (1) Nov (3) 1 1 1 2 2 2 3 (3) Dec (3) 1 1 2 2 2 2 3 3

WET PREC MAX TEMP MIN SUN REL CLOUD WIND PRES Jan (3) 1 1 1 2 (2) 2 3 (3) Feb (3) 1 1 1 2 2 2 3 (3)

Márc (2) 1 1 1 2 2 2 3 (3) Ápr (1) 2 2 2 1 1 1 3 (3) Máj (1) 2 2 2 1 1 1 3 3 Jún (3) 2 2 2 1 1 1 3 (1) Júl (2) 1 1 2 1 1 1 3 2 Aug (3) 1 2 2 1 1 1 3 3 Szept (2) 1 2 2 1 1 1 3 (2) Okt (2) 1 1 1 2 2 2 3 3 Nov (3) 1 1 1 2 2 2 3 3 Dec (3) 1 1 1 2 (2) 2 3 3

DRY PREC MAX TEMP MIN SUN REL CLOUD DIND PRES Jan - 1 1 1 2 (2) 2 3 3 Feb - 1 1 1 2 (2) 2 3 (3)

Márc - 1 1 1 2 (2) 2 3 (2) Ápr - 1 1 1 2 (2) 2 3 (2) Máj - 1 1 1 2 2 2 3 (2) Jún - 1 1 1 2 2 2 3 (2) Júl - 1 1 2 1 (1) 1 (1) (2) Aug - 2 2 2 1 1 1 3 (2) Szept - 1 1 1 2 2 1 3 (1) Okt - 1 1 1 2 (3) 2 3 (1) Nov - 1 1 1 2 (2) 2 3 (3) Dec - 1 1 1 2 (3) 2 3 (3)

7. táblázat

Faktor csoportok havonta a teljes (ALL) mintára, ill. a csapadékos (WET) és a száraz (DRY) napokra.

(Maximális faktorszám: 3, sajátérték > 1,0.) A táblázatban a 0.7 -es korrelációt meghaladó faktorok

sorszámait tőntettük fel, zárójelben lévı faktorok értéke 0.5 és 0.7 közötti. Azonos szín és minta jelzi a

faktoranalízis szerint megegyezı csoportba tartozó elemeket.

53

4.4 Normalitás vizsgálat

A 4.1 fejezetben ismertetett transzformáció nulla várható értékő és egységnyi szórású

sorokat hozott létre. A reziduumok normalitását azonban ellenırizni kell, egyrészt a

normalitást feltételezı próbák alkalmazhatósága, másrészt a szimuláció során alkalmazásra

kerülı eloszlások megválasztása miatt. Ismeretes, hogy a N(m,σ) eloszlású valószínőségi

változó standardizáltja N(0,1) eloszlású változó, illetve ennek fordítottja is igaz, vagyis

standard normális eloszlású változóhoz találhatók olyan paraméterek, melyek lineáris

transzformációt követıen elıállítják a keresett normális eloszlású mintát (pl. Mogyoródi,

1993). Ez a tétel lehetıvé teszi, hogy az elızı fejezetben tárgyalt módon elıállított reziduum

sorokra elvégezzük a normalitást vizsgáló próbákat, és azok eredményeit kiterjesszük az

eredeti változókra. Elsı lépésként változónként külön-külön grafikus eljárást alkalmaztunk,

majd Kolmogorov-Szmirnov próbát végeztünk, végül kiszámoltuk az egyváltozós ferdeség-

és lapultság-értékeket valamint ezek korrigált és normalizált értékeit.

Kétdimenziós normál valószínőségi görbén az X tengelyen a rendezett minta elemek

vannak feltőntetve (j=1,…,n), az Y tengelyen pedig a feltételezett nomális valószínőségi

értékek:

)]1n*3/()1j*3[(z 1j +−Φ= −

ahol Φ-1 az inverz normális kumulatív eloszlás függvény (Statistica III, 2475 old.)

Az egyenestıl vett jelentısebb eltérés arra utal, hogy a minta nem tekinthetı normális

eloszlásúnak, mint pl. napfénytartam, a felhızet és a szél reziduumok esetén - tipikusnak

tekinthetı - száraz júniusi napokon (10. ábra). Az elhajlást részben a szélsı értékek (pl. nulla

érték) nagy gyakorisága okozza. A Kolmogorov-Szmirnov próbastatisztikákat (1. Függelék)

és azok szignifikancia szintjeit ismert paraméter esetén a 8. táblázatba győjtöttük össze.

A 0,05-nál kisebb p értékek esetén azt mondjuk, hogy a hipotézist 0,95 szinten elvetjük.

A modell számára olyan változókat keresünk melyek együttes normális eloszlásúaknak

tekinthetık. Ez utóbbi feltétel kielégítésének szükséges, de nem elégséges feltétele a

peremeloszlások normálitása. A maximum hımérséklet és a légnyomás minden hónapban, a

relatív nedvesség néhány téli hónap kivételével normálisnak adódott. Ezt követıen

megvizsgáltuk, hogy ezt a három elemet valamely több dimenziós eloszlás perem

eloszlásainak tekintve, az együttes eloszlás is normálisnak tekinthetı-e.

54

Std. Max. Hõm.

Exp

ecte

d N

orm

al V

alue

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Std. átl. hõm.

Exp

ecte

d N

orm

al V

alue

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

Std. Min. hõm.

Exp

ecte

d N

orm

al V

alue

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

Std. Rel. nedv.

Exp

ecte

d N

orm

al V

alue

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Std. felhõzet

Exp

ecte

d N

orm

al V

alue

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

Std. napfénytartam

Exp

ecte

d N

orm

al V

alue

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5

Std. szél

Exp

ecte

d N

orm

al V

alue

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Std. légnyomás

Exp

ecte

d N

orm

al V

alue

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10. ábra

Reziduumok normál valószínőségi görbéi száraz napokon júniusban.

* DRY,° DET I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

SMAX

SMEAN * °°°°

*

SMIN * °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

SREL * °°°°

°°°°

°°°°

* °°°°

SCLOUD * °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

SSUN * °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

SDIND * °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

* °°°°

SPRES

8. táblázat

Ismert paraméterő Kolmogorov-Szmirnov próba alapján a normális eloszlástól

0,95 szignifikancia szinten eltérı hónapokat száraz napokon *, csapadékos napokon pedig °°°°jelöli.

55

A többváltozós normalitás tesztelése céljából a Mardia - féle többváltozós lapultságon

alapuló együtthatók (Krishnaiah, 1980) felhasználásával, a Statistica SEPATH moduljával

végeztünk különféle próbákat. A Mardia alapú kappa - becslések, valamint a relatív

többváltozós lapultság formuláit 2. Függelékben soroljuk fel. Az eredményeket a 9.a,b,c

táblázatok tartalmazzák.

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

W 1,523 0,308 -0,991 0,147 0,359 0,658 -0,535 -0,094 -0,544 -0,197 -0,199 1,21

D 0,573 -0,25 -0,534 -0,589 -0,408 -0,448 -0,324 -0,089 -0,83 0,653 -0,99 -0,496

9.a táblázat

A többváltozós lapultság Mardia együtthatói havonta csapadékos (W) ill, száraz(D) napokon.

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

W 3,47 0,610 -1,963 0,305 0,763 1,469 -,999 -2,543 -0,927 -0,338 -0,406 2,59

D 1,583 -0,642 -1,482 -1,556 -1,088 -1,155 -0,924 -0,257 -2,398 1,924 -2,633 -1,28

9.b táblázat

Normalizált sokváltozós lapultság együtthatói havonta csapadékos (W) ill, száraz(D) napokon.

A ±1,96-ot meghaladó értékeket vastaggal szedtük.

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

W 0,102 0,021 -0,066 0,010 0,024 0,046 -0,999 -0,094 -0,036 -0,013 -0,013 0,081

D 0,038 -0,017 -0,036 -0,039 -0,027 -0,03 -0,022 -0,006 -0,055 0,044 -0,066 -0,033

9.c táblázat

Mardia-alapú kappa értékek együtthatói havonta csapadékos (W) ill. száraz (D) napokon.

A többváltozós lapultság Mardia együtthatói, amelyeknek többváltozós normális

eloszlás esetén zérushoz közeli értékeknek kellene lenniük, a 9.a táblázat szerint - 0,991 és

1,523 között változnak. A normalizált sokváltozós lapultság együtthatókra a ±1,96

konfidencia intervallumba tartozó értékek esetén a hónapok többségénél 0,95 szinten nem

jutunk ellentmondásra a hipotézissel. A Mardia-alapú kappa értékek többváltozós normális

eloszlás esetén zérushoz közeliek, így e teszt alapján is elfogadhatjuk a mullhipotézist,

miszerint a maximum hımérséklet, a relatív nedvesség és a légnyomás együttesen normális

eloszlásúnak tekinthetık.

56

4.5 Feltételes korreláció és autokorreláció

A különbözı változók közötti lineáris kapcsolatokat a kereszt korrelációs mátrix, az

azonos valószínőségi változók egymást követı értékei közötti összefüggéseket, azaz a

sorokon belüli függıséget, pedig az autokorrelációs mátrix segítségével lehet számszerősíteni.

A reziduum sorok alapján számítottuk ki ezeket a feltételes statisztikákat. A 11. ábra

illusztrálja, a maximum hmérsékletnek a többi változóval vett kereszt korrelációs együtthatók

száraz napokon havonta. Az átlaggal vett szoros lineáris kapcsolattól eltekintve nem

elhanyagolható éves menet.

11. ábra

Maximum hımérséklet többi elemmel vett korrelációs együtthatói havonta száraz napokon.

Az idısorokon belüli, egy napos késleltetéső autokorrelációk rendszerint szintén nem

hagyhatók figyelmen kívül. Mivel a száraz és csapadékos idıszakok váltakozása miatt a minta

nem összefüggı, célszerő az egymást követı napok közötti korrelációkat, illetve a váltásokat

típusonként külön megvizsgálni. Ez okból havonta végeztük a számításokat száraz (i=1) ill.,

csapadékos (i=2) szériákban valamint a tetszıleges hosszúságú csapadékos (ill. száraz)

szériák utolsó és tetszıleges tartamú száraz (ill. csapadékos) szériák elsı napjaira (i=3 ill.

i=4).

57

Vizsgáltuk tehát a ξ = ξijk(t) valószínőségi változót, ahol j = 1, 2, 3 az elızı fejezet

eredményeinek figyelembe vételével kiválasztott elemeket jelöli, sorrendben a maximum

hımérsékletet, a relatív nedvességet ill. a légnyomást, A hónapot k, a tetszıleges hosszúságú

száraz vagy csapadékos tartamon belül a nap sorszámát pedig t jelöli. Például ξ = ξ111(t=1)

jelöli a száraz idıszak maximum hımérsékletét januárban, a tetszıleges hosszúságú ilyen

szakasz elsı napján.

A mintaszámok a tartamhosszal rohamosan (közel exponenciálisan) csökkenek

(12 ábra teteje). Ezt figyelembe véve, 1- 4 napos tartamokra végeztük el a számításokat.

Bevezettük az η=ξijk(t-1) jelölést az egy nappal korábbi mintaelemekre, Ekkor adott feltételek

mellett az n1 mintaszámot a két minta hosszának minimuma határozza meg, Tekintsük tehát a

(ξ,η) valószínőségi változó párra vett n1 elemő mintát, A változó párok korrelációs

együtthatóit jelölje R1=R1(ξ,η), becslésüket pedig ρ1 ≈ R1 :

( )( )

( ) ( )∑∑

∑

==

=

η−ηξ−ξ

η−ηξ−ξ=ρ

n

1i

2i

n

1i

2i

n

1iii

1

ahol

∑∑==

η=ηξ=ξ11 n

1ii

1

n

1ii

1 n

1ill

n

1. ,

A nagyszámú eredmény szemléletes áttekintése céljából a 12. ábrán a váltást jellemzı

(DW ill. WD) korrelációkat, majd a száraz tartamon belüli együtthatókat egymás mellett

ábrázoltuk. Az azonos skálabeosztás miatt a bal oldali ábrákon látható száraz esetekre

nagyobb együtthatók jellemzık, mint a csapadékos szériákban. Az eltérés egy-egy görbe

mentén rendszerint néhány tized, szigorúan véve mégsem összemérhetık a korrelációk

tekintettel arra, hogy az X tengely mentén feltőntetett együtthatók eltérı nagyságú mintákból

származnak, és emiatt az együtthatók becslésébıl adódó konfidencia intervallumok is

különböznek. A két tapasztalati korrelációs együttható azonosságának tesztelésére a

mintaszámot is figyelembe vevı u próbát alkalmaztunk, ld. Vincze (1975) az alábbi módon.

A fentiek szerint definiáljuk a (ξ,ω) változópárt, ahol legyen ξ=ξijk(t) és ω=ξijk(t+1);

a mintaszámot jelölje n2, a korrelációs együtthatót R2=R2(ξ,ω), becslését pedig ρ2,

A nullhipotézis szerint: H0: R1 = R2,

58

A becslések ismeretében elıállítjuk az alábbi valószínőségi változókat:

2

22

1

11 1

1

2

1Zill

1

1

2

1Z

ρ−ρ+

=ρ−ρ+

= ln.ln ,

Ezek jó közelítéssel normális eloszlásúnak tekinthetık és a mullhipotézis fennállása esetén

várható értékeik azonosak, ezért az alábbi u statisztika N(0,1) eloszlású.

3n

1

3n

1

ZZu

21

21

−+

−

−=

Az u próba értékeit részben a 10. táblázat tartalmazza. Amennyiben a próbastatisztika

értéke a (-2, +2) intervallumba esik, akkor 0,98-as szinten elfogadjuk a mullhipotézist, amely

szerint a két korrelációs együttható megegyezik. Az u értékek alapján szignifikáns eltérés

leggyakrabban a maximum hımérsékleteknél fordul elı a típusváltások alkalmával (4 - 4

hónapban), Ugyanakkor, a tartamokon belüli korrelációk azonban (egy-egy hónaptól

eltekintve) állandónak vehetık,

Ismeretes, hogy a gyenge értelemben vett stacionárius folyamatok esetén a második

momentumok végesek, a kovarianciák pedig invariánsak az idıeltolással szemben (Karlin és

Taylor, 1986), Mivel egységnyi szórású sorokat használunk, a kovarianciák megegyeznek a

korrelációkkal, A fenti vizsgálat eredményei szerint az egy napos eltolással kapott idısorok

esetén nincs jelentısége annak, hogy az adott típuson belüli tartam melyik részét vesszük.

Tehát adott tartamon belüli folyamat gyengén stacionáriusnak tekinthetı.

59

0

50

100

150

200

250

300

DW D2 D3 D4 D5

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

DW D1_2 D2_3 D3_4 D4_5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

DW D1_2 D2_3 D3_4 D4_5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

DW D1_2 D2_3 D3_4 D4_5

0

50

100

150

200

250

300

WD W2 W3 W4 W5

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

WD W1_2 W2_3 W3_4 W4_5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

WD W1_2 W2_3 W3_4 W4_5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

WD W1_2 W2_3 W3_4 W4_5

MINTASZÁM

MAXIMUM HÕMÉRSÉKLET

RELATÍV NEDVESSÉG

LÉGNYOMÁS

SZÁRAZ CSAPADÉKOS

12. ábra

Az egy napos késleltetéső autokorrelációs együtthatók értékei havonta a száraz (bal) és a

csapadékos (jobb) idıszakokban, ill. típus-váltáskor.

60

DRY Maximum hımérséklet Relatív nedvesség Légnyomás Korreláció

Párok WD &

D1_2

D1_2&

D2_3

D2_3&

D3_4

D3_4 &

D4_5

WD &

D1_2

D1_2&

D2_3

D2_3&

D3_4

D3_4&

D4_5

WD &

D1_2

D1_2&

D2_3

D2_3&

D3_4

D3_4&

D4_5

I 1,92 1,37 -0,20 0,19 -0,14 0,61 -0,99 -0,67 -1,63 -0,50 0,92 0,30

II 0,67 -1,05 -0,49 -1,47 -0,15 0,11 -0,40 1,09 -0,48 0,86 0,71 0,15

III 0,54 0,97 0,44 0,00 -3,22 1,27 0,50 0,43 -1,13 0,00 -0,38 0,97

IV -0,88 1,12 0,40 0,35 0,28 1,69 -1,45 -1,37 -1,09 0,64 1,60 0,50

V -2,00 -0,76 -0,41 0,00 -2,72 1,31 2,25 0,43 0,42 0,34 -1,16 -0,74

VI 0,28 1,89 0,79 0,00 -2,88 -0,83 -0,11 0,2 0,38 0,15 0,38 -0,78

VII -2,47 -0,26 0,41 1,18 -1,22 0,69 1,96 1,44 -1,89 -0,97 0,97 -0,32

VIII -1,88 0,78 -2,99 -2,14 -2,91 0,00 -0,94 -0,95 0,19 0,71 -0,68 -1,23

IX -2,68 0,00 -0,50 -1,36 -0,99 1,43 -0,36 -0,75 -2,00 -0,88 1,15 1,12

X -1,01 0,00 -0,55 0,55 0,15 1,23 1,31 2,00 -0,23 0,22 1,49 0,26

XI 0,80 0,65 -1,54 -0,98 1,50 1,73 0,82 -0,47 -0,84 0,39 0,52 -1,78

XII -0,29 0,00 -0,39 -1,16 1,76 0,19 0,00 0,81 -0,24 1,81 1,19 0,46

DRY Maximum hımérséklet Relatív nedvesség Légnyomás Korreláció

Párok DW &

W1_2

W1_2&

W2_3

W2_3&

W3_4

W3_4 &

W4_5

DW &

W1_2

W1_2&

W2_3

W2_3&

W3_4

W3_4&

W4_5

DW &

W1_2

W1_2&

W2_3

W2_3&

W3_4

W3_4&

W4_5

I -0,60 -1,62 -1,91 0,32 1,59 2,28 1,89 1,18 0,22 0,22 -0,43 -0,24

II 0,26 -0,18 -1,13 -1,46 1,67 -1,45 -1,95 0,75 -0,73 -0,73 -0,86 -0,19

III 0,18 0,13 -0,87 1,00 0,37 -0,66 0,00 -0,94 0,55 0,36 -0,36 0,32

IV 0,28 1,20 -1,04 0,38 1,95 -1,10 -0,39 0,52 0,36 0,36 -0,12 -0,24

V -3,18 -1,98 -1,81 -0,33 0,68 0,94 1,49 0,27 1,82 2,25 1,81 0,36

VI 0,44 0,40 -2,00 0,20 0,92 1,15 0,91 0,46 0,18 0,18 0,38 -0,80

VII -3,19 -1,13 -0,75 -0,44 2,01 1,53 0,12 -1,12 -0,16 -0,46 1,46 1,55

VIII -0,87 0,33 -2,07 -0,59 0,43 0,29 -1,15 0,30 0,79 0,65 1,41 2,08 IX -0,74 0,78 0,53 1,46 1,31 -0,27 -0,94 1,14 -0,55 -1,05 0,00 0,67

X 0,58 0,94 -1,53 -0,58 0,86 0,29 -0,08 -0,59 0,32 0,67 0,00 -0,53

XI -2,67 -1,18 -0,56 0,91 0,60 1,56 0,57 -0,29 1,01 0,39 1,29 0,24

XII 2,18 0,98 -0,34 0,00 1,02 -0,18 -1,17 -0,35 1,10 0,00 0,82 -0,30

10. táblázat

Az u próba értékei száraz ill. csapadékos idıszakokban

Jelölés:

DD : tetszıleges hosszúságú száraz szériák utolsó és rá a következı csapadékos széria elsı napjai

közti korrelációk adott elemre, adott hónapban.

D1_2: legalább két napos száraz szériák elsı és második napjai közötti korrelációk.

D2_3: legalább három napos száraz szériák második és harmadik napjai közti korrelációk.

D3_4: legalább négy napos száraz szériák harmadik és negyedik napjai közti korrelációk.

D4_5: legalább öt napos száraz szériák negyedik és ötödik napjai közötti korrelációk.

61

5. A modellfejlesztés lépései

5.1 Kísérlet együttes autoregresszív modellezésre

(Néhány negatív eredménnyel járó kísérlet tapasztalatai.)

Többváltozós idısorok elıállítására a meteorológiai szakirodalomban gyakorta

alkalmaznak elsırendő autoregresszív folyamatot, mely adott kereszt- és egy lépéses

korrelációval rendelkezı idısorokat eredményez. (Ennek a megközelítésnek a hibáit már

korábban elemeztük.) A száraz ill. csapadékos feltételek mellett a maximum hımérséklet, a

relatív nedvesség és légnyomás idısorok elıállítására programot készítettünk és a

paramétereket havonként becsültük. A felhasznált módszer leírását Richardson (1981) cikke

alapján 3. Függelék tartalmazza. Az említett három változó esetén a számítás eredményeinek

illusztrálására a 11. táblázatban megmutatjuk a megfigyelt minták közötti, valamint néhány

szimulációval elıállított idısoron belüli korrelációkat. A kereszt korrelációk

összehasonlítására Füstös és Kovács (1989, 99-100 old.) által ajánlott t-eloszlást használtuk.

A mőveleteket megismételtük a maximum, minimum és átlag hımérsékletekkel, ekkor

a minimum értékek között sok esetben indokolatlan nagyság szerinti relációk (pl. a

minimumnál alacsonyabb napi átlag) léptek fel. Más változó hármasokra kapott generált

idısorok gyakoriságai, különösen a korlátos elemeknél (pl. csapadék, napfénytartam) erısen

eltértek a valódi értékektıl és gyakran irreális értékek (pl. negatív csapadékösszeg) fordultak

elı. Ebbıl azt a következtetést vontuk le, az említett autoregresszív folyamat ebben a

formában a kilenc változóra nem terjeszthetı ki.

Kísérletet tettünk a fennmaradó hat elem elıállítására a fenti három, jól modellezhetı

paraméterhez, mint független változókhoz kapcsolódó, különféle regressziós eljárások

felhasználásával. A maximum hımérséklet, a relatív nedvesség és légnyomás idısoraira

egyváltozós, háromváltozós, a szórás korrekciójára szolgáló ún. “inflated” (Kaas,1993)

valamint többszörös lineáris regressziót illesztettünk. E próbálkozások azonban nem vezettek

sikerre: mindegyik számítás hasonló eredményt adott, a korrelációk és az autokorrelációk

minden esetben jelentısen magasabbak lettek a valódiaknál. Mivel ezt a módszert teljesen el

kellett vetnünk, a részeredményekre sem kívánunk részletesebben kitérni.

62

SZÁRAZ CSAPADÉKOS Obs. Gen.1 Gen.2 Obs. Gen.1 Gen.2

I -0,13 -0,01 -0,06 -0,10 0,03 -0,08 II -0,17 -0,15 -0,16 -0,30 -0,28 -0,15 III -0,37 -0,29 -0,36 -0,51 -0,48 -0,45 IV -0,34 -0,27 -0,30 -0,50 -0,47 -0,48 V -0,22 -0,14 -0,19 -0,55 -0,56 -0,53 VI -0,19 -0,15 -0,16 -0,46 -0,42 -0,36 VII -0,33 -0,27 -0,26 -0,56 -0,47 -0,50 VIII -0,47 -0,45 -0,45 -0,61 -0,56 -0,54 IX -0,16 -0,13 -0,16 -0,50 -0,43 -0,46 X -0,12 -0,03 -0,20 -0,47 -0,38 -0,39 XI -0,23 -0,19 -0,25 -0,47 -0,48 -0,41

Max

imum

hım

érsé

klet

, R

elat

ív n

edve

sség

XII -0,19 -0,17 -0,17 -0,32 -0,25 -0,22 I 0,08 0,03 0,02 0,07 0,01 0,09 II 0,03 0,08 0,08 0,12 0,14 0,10 III -0,02 -0,06 0,04 0,04 0,15 0,02 IV -0,11 -0,15 -0,12 -0,03 -0,04 -0,00 V -0,17 -0,13 -0,17 -0,09 -0,02 -0,05 VI -0,23 -0,23 -0,20 -0,14 -0,15 -0,07 VII -0,17 -0,17 -0,17 -0,21 -0,19 -0,24 VIII 0,00 0,03 -0,06 -0,11 -0,14 -0,13 IX -0,10 -0,11 -0,09 -0,04 -0,03 -0,05 X -0,03 -0,08 0,01 0,01 -0,03 0,02 XI 0,10 0,13 0,13 0,26 0,27 0,25

Rel

atív

ned

vess

ég,

Légn

yom

ás

XII 0,16 0,17 0,15 0,19 0,18 0,17 I -0,33 -0,32 -0,33 -0,43 -0,35 -0,43 II -0,32 -0,29 -0,42 -0,36 -0,35 -0,36 III -0,21 -0,21 -0,30 -0,29 -0,33 -0,29 IV -0,16 -0,19 -0,20 -0,27 -0,19 -0,23 V -0,17 -0,12 -0,11 -0,07 -0,11 -0,12 VI -0,06 -0,04 -0,01 0,00 0,05 -0,10 VII -0,12 -0,14 -0,14 -0,07 -0,13 -0,02 VIII -0,24 -0,21 -0,23 -0,06 -0,04 -0,10 IX -0,31 -0,27 -0,32 -0,30 -0,23 -0,27 X -0,41 -0,41 -0,39 -0,30 -0,23 -0,32 XI -0,43 -0,44 -0,36 -0,44 -0,41 -0,42

Légn

yom

ás,

Max

imum

hım

érsé

klet

XII -0,35 -0,34 -0,30 -0,40 -0,40 -0,39

11. táblázat

Autoregresszív folyamat alkalmazásával elıállított két véletlen szimuláció (Gen1, Gen2) és a

transzformált valódi (Obs) minták közötti kereszt korrelációk.

A 0,95 szinten szignifikáns eltéréseket vastagított számok jelzik.

63

5.2 Modellezés Johnson eloszlással

Olyan eljárást kerestünk, amely mind az összes vizsgált változót együttesen képes

elıállítani. Az elızı fejezetekben megmutattuk, hogy a meteorológiai elemek feltételes

eloszlásához a normális eloszlás rendszerint nem illeszkedik megfelelıen. Hayhoe (2000)

megemlíti, hogy a nem normális eloszlások esetén célszerő Johnson transzformációt

alkalmazni, amely a valószínőségi változók eléggé bı osztályára az eloszlásokat klasszikus

eljárásokkal kezelhetı standard normális eloszlásúvá alakítja.

Az egyváltozós eset leírását megtaláljuk Hahn és Shapiro (1967), Slifker és Shapiro

(1980) munkájában, a többváltozós transzformációt Stanfield és mtsai. (1996) szimulációs

konferenciára készült publikációjában. Ez utóbbi tartalmazza a módszernek egyfajta

kibıvítését, amely lehetıvé teszi, hogy az eloszlások széles osztályára többváltozós

idısorokat állítsunk elı az átlag, a szórás, a ferdeség, a lapultság és az elemek közötti

korrelációk megırzésével. Az eredetileg biomechanikai vizsgálatok céljára kifejlesztett

modellt meteorológiai idısorokra alkalmaztuk. Tapasztaltuk, hogy a 2. Függelékben

ismertetett módszerrel elıállíthatók olyan számsorok, melyek a felsorolt paraméterekben

megegyeznek a bemenı adatként használt minták paramétereivel. Ugyanakkor az eljárás nem

biztosította a megfelelı változók idısorán belüli korrelációt, ami így nem is teljesült a

szimulált adatsorokban.

A vázolt hosszadalmas kísérletezés eredményeit összegezve jutottunk el a

megoldáshoz. Felhasználtuk az autoregresszív folyamatnak azon tulajdonságát, miszerint a

kereszt-korrelációk és az egy lépéses autokorrelációk megırzıdnek a folyamat alkalmazása

során, továbbá figyelembe vettük azt a felismerést, hogy a Stanfield és munkatársai által

kidolgozott Johnson transzformáció kibıvített változata -a 4. fejezetben ismertetett

transzformált sorra alkalmazva is- képes elıállítani adott ferdeségő és lapultságú többváltozós

idısorokat. Arra a következtetésre jutottunk tehát, hogy a két módszer egyidejő alkalmazására

van szükség. Amennyiben a többváltozós folyamat zaj tagja nem véletlen fehér zaj, hanem

nulla várható értékő, egy szórású, adott ferdeségő és lapultságú Johnson eloszlású véletlen

szám, a szimulált kilenc (a száraz napokon csak nyolc) változós minták megfelelıen

reprodukálják a megkívánt statisztikákat (ferdeség, lapultság, korreláció, egy lépéses

autokorreláció).

64

6. Idıjárás generátor modell és szimuláció

Az X folyamatot akarjuk modellezni a száraz és csapadékos napokra külön-külön az

alábbi módon. Jelölje X = {X i (t,j), i=1...9} vektor az i-ik meteorológiai elem realizációi,

ahol t=1,...365 a nap éven belüli sorszáma, j=1...45 pedig az év száma. Belátható, hogy az

adathalmaz felbontható a száraz (D) és a csapadékos (W) napok diszjunkt halmazaira:

X=XD∪XW és XD∩XW=0

A 3.1 fejezetben igazoltuk, hogy az egymást követı szériák elsı és másodrendben is

függetlenek, ezért a paramétereket száraz ill csapadékos idıszakokra külön-külön, havonként

becsüljük a mintából. A száraz ill. csapadékos szériák sorozatait (amiket 3. fejezetben

definiálunk) a többi elemtıl függetlenül a Poisson és geometriai eloszlások keverék

eloszlással modelleztük ( 3.2 fejezet):

λλλλλλλλξξξξ −−

−

−⋅−+−⋅⋅== e

1ks1q1qskP

1k1k

2 )!()()()(

k=1,2,…n és ahol s a keveréket alkotó geometriai eloszlás súlytényezıje. Az eloszlások

paramétereit és a súlytényezıket kvázi-Newton módszerrel (Statistica for Windows Time

Series modul) becsüljük a négyzetes eltérést minimalizáló veszteség-függvény mellett.

A többváltozós folyamat egymástól független száraz és csapadékos sorozatainak

modellezésére az alábbi feltételes autoregresszív folyamatot alkalmaztunk:

n1iηBAYY 1ii1i ,...=+= ++

ahol Yi , Yi+1 és ηi+1 zérus várható értékő vektorok, ηi az Yi-tıl független többváltozós

Johnson eloszlású változó. Az A és B mátrix kiszámítási módja:

A = C1C0-1.

T1

1010

TBB CCCC −−=

ahol C0=E(Yi, YiT) és C1= E(Yi+1, Yi

T) (m×m)-es mátrixok. C0 kovariancia mátrix, amely

fıátlójában a szórásnégyzeteket tartalmazza, C1 fıátlójában az egy lépéses autokovarianciák,

a többi helyen az egy lépéses kereszt kovarianciák állnak. A spektrális felbontási tétel

felhasználásával kapjuk, hogy B= ΘΛΘT ahol Θ a sajátvektorokat, Λ a sajátértékeket jelöli.

Az A és B mátrixok biztosítják a kereszt korrelációk és az egy lépéses autokorrelációk

reprodukálását.

65

A zaj tagot a szimuláció során véletlen szám generátorral elıállított standard normális

eloszlású változóból az inverz transzformáció segítségével állíthatjuk elı:

−⋅+= −

δδδδγγγγλλλλξξξξηηηη Z1g

ahol

+

−=

−

−

családnormálisSz

családkorlátosSe11

családkorlátlanS2ee

családnormálislogSe

z

N

Bz

Uzz

Lz

)(

)()/(

)(/)(

)(

)g(

A ferdeség és lapultság becslésére többféle képlet használatos. Ezek közül a Stanfield féle

módszer az alábbi alakot alkalmazza:

3

N

1j

3j

XN

)XX(

aσ

−=∑

= és 4

N

1j

4j

XN

)XX(

bσ

−=∑

=

Az η valószínőségi változó aX ferdeség és bX lapultság vektorának ismeretében a

következı módon állítható elı az aηηηη és bηηηη vektor:

[ ] XX aΘa13 −

= )(ηηηη (6a)

[ ] )()(XXX ΨbΘb −=

−14ηηηη (6b)

ahol ΘΘΘΘX jelöli a k-adik Hadamard szorzatot, ΨΨΨΨX = (Ψ1,…,Ψν) pedig a segédvektort.

Definíció szerint (Kitamura, 1995; Styan, 1973) ΘΘΘΘX(k) = [Θi,j

(k)], ahol k = 3, 4,

illetve ∑ ∑ν

=

ν

+=ΘΘ=Ψ

1j 1jl

2l,i

2j,ii 6 és i = 1,…ν. W illeszkedésének jóságát meghatározza

Y elıállítása. Stanfield és munkatársai szerint amikor bηηηη ≥ ay(2) + 1 korrekciót kell

végrehajtani, bηηηη := ay(2) + 1,25.

A szimulált Zt sor elıállítása a 4.2 fejezetben leírt eljárással történt, majd a korlátos

változók értékkészletein kívül esést biztosan megakadályozó csonkítást végeztünk. Erre

ritkán, a paraméterbecslés pontatlanságai ill. kerekítései miatt volt szükség.

66

7. Verifikáció

A dolgozatban feladatának a modell elméleti megalapozását tekintettük emiatt

elegendınek találtuk néhány hónapra illusztrálni a generátor mőködését. A felhasznált

számítási eljárás sem tette lehetıvé a teljes idısor tesztelhetıségét. A csapadék tartam

szimulációs részt a 3. fejezetben már ellenıriztük. Ebben a részben a 4.1. fejezetben

ismertetett transzformációkkal elıállított idısorok paramétereit tekintettük bemenı adatnak, a

januári és a júniusi száraz ill. csapadékos mintákkal teszteltük az elızı fejezetben leírt

képletekkel elıállított folyamatot. A számításokat a Statistica for Windows programcsomag

felületén alkalmazható Statistica Basic valamint Fortran szubrutinok meghívásával oldottuk

meg az alábbi lépések szerint:

1. A 4.1 fejezetben leírt módon transzformált mintára µX, σ X, C0, C1, A, B, Θ X, aX és bX

kiszámítása.

2. Az aηηηη és bηηηη értékek meghatározása minden változóra, szükség esetén bηηηη korrekciója.

3. Johnson eloszlás paramétereinek (γ, δ, λ, ξ) meghatározása AS99 algoritmus

alkalmazásával .(Prog. Algorithm, 1976).

4. Y elıállítása: standard normális eloszlású véletlen számsor szimulációja véletlen szám

generátorral, majd ezt követıen az AS100 algoritmus (Prog. Algorithm, 1976).

felhasználásával standardizált aX és bX ferdeségő és lapultságú Johnson eloszlásúvá történı

transzformációja.

5. A folyamat elıállítása a feltételes autoregresszív modellel.

6. Inverz centrálás és standardizálás és az eloszlások csonkítása.

A modellel történı szimulációt a júniusi száraz és csapadékos mintákkal illusztráljuk.

A 12. táblázat a aX, bX, aηηηη, bηηηη, γγγγ, δδδδ, λλλλ, ξξξξ értékeit paramétereket tartalmazza. A 13. táblázatban a

száraz júniusi minta és a szimulált sor átlagainak t-próbával történt összehasonlítása. A 14.

ábra a valódi és a szimulált, csonkított minták gyakorisági eloszlásait mutatja. Különösen a

korlátos értékkészlető idısorokra (pl. csapadék, napfénytartam) jellemzı gyakoriságok jelzik

látványosan a változtatás lényegét, a szimulált sorok eloszlása az utóbbi esetben sokkal

jobban közelíti a valódi adatsorokét, mivel a megadott módon végzett szimuláció a ferdeség

és lapultság értéit pontosabban állítja be. A 14. táblázat a korrelációkat tartalmazza a szintelen

mezıkben a valódi, a színezettekben egy januári csapadékos szimulációban.

67

WET aX bX aY bY γ δ λ ξ típus zmin -0,278 2,600 -0,278 2,600 -0,663 1,553 7,014 -4,183 3 zsun 0,166 2,131 0,171 2,100 0,220 0,944 4,641 -2,101 3 zrel -0,271 2,728 -0,459 2,620 -0,87 1,901 8,432 -5,108 3

ztemp -0,242 2,711 -2,317 -1,393 -0,791 1,925 8,459 -5,037 3 zcloud -0,497 2,822 -2,279 5,139 -1,076 1,448 7,040 -4,660 3 zmax -0,333 2,897 -2,640 7,842 -1,448 2,291 10,412 -6,735 3 zwind 1,252 5,984 1,555 7,917 -4,694 2,525 0,685 -2,32 2 zpres -0,180 3,345 -0,194 3,409 0,859 3,839 3,616 0,843 2 zprec 2,42 10,303 2,741 11,593 2,156 0,751 8,739 -0,835 3 DRY aX bX aηηηη bηηηη γ δ λ ξ típus Zmin -0,169 2,727 -0,169 2,727 0,100 0,840 4,259 -2,13 3 Zsun -1,017 3,705 -1,019 3,707 -1,426 1,032 6,344 -4,837 3 Zrel 0,173 3,185 0,139 3,248 -0,889 4,414 4,214 -0,877 2

Ztemp -0,117 2,406 0,022 -4,813 -0,236 1,369 6,144 -3,307 3 zcloud 0,249 2,319 -0,937 -3,563 -3,879 3,374 -1,00 3,300 1 Zmax -0,218 2,549 -0,216 2,539 -0,517 1,547 6,904 -3,97 3 Zwind 0,872 3,808 1,859 7,706 2,606 1,085 1,082 -1,214 3 Zpres -0,139 0,022 -0,164 3,026 -0,107 0,162 2,316 -1,253 3

12. táblázat

Júniusi csapadékos és száraz napokra a transzformált mintából számított paraméterek

aX, bX, aηηηη bηηηη , γγγγ, δδδδ, λλλλ, ξξξξ értékei és a Johnson eloszlás típusa. (1=SL, 2=SU, 3=SB, 4=SN)

DRY JUN Obs Gen t p

Zmin 13,8 13,9 -0,45 0,65

Zsun 5,7 5,9 -0,75 0,45

Zrel 74,8 74,9 -0,08 0,93

Ztemp 18,5 18,7 -0,97 0,32

Zcloud 5,6 5,5 0,36 0,71

Zmax 24,5 24,7 -1,17 0,23

Zwind 3,2 3,2 0,82 0,41

Zpres 1012,1 1012,1 0,06 0,94

Zprec 5,71 7,8 -0,03 0,97

13. táblázat

Valódi (Obs) és egy szimulált (Gen) minta átlagai, valamint a t-próba értékei

száraz napokon júniusban (df=551).

68

14. ábra

A megfigyelt és a szimulált értékeke gyakoriságai

WET JAN MIN SUN REL TEMP CLOUD MAXI WIND PRES PREC

SMIN 1,00 -0,11 0,07 0,94 0,19 0,84 0,18 -0,37 0,11

SSUN -0,22 1,00 -0,34 -0,03 -0,65 0,11 0,05 0,02 -0,15

SREL 0,08 -0,38 1,00 -0,00 0,30 -0,11 -0,34 0,01 0,19

STEMP 0,93 -0,13 -0,00 1,00 0,09 0,95 0,22 -0,41 0,12

SCLOUD 0,26 -0,65 0,34 0,15 1,00 -0,06 -0,04 -0,05 0,17

SMAXI 0,81 0,03 -0,11 0,94 -0,02 1,00 0,25 -0,42 0,08

SWIND 0,17 0,06 -0,38 0,21 -0,11 0,28 1,00 -0,41 0,11

SPRES -0,34 0,08 0,02 -0,38 -0,08 -0,40 -0,35 1,00 -0,27

SPREC 0,16 -0,17 0,18 0,19 0,14 0,13 0,01 -0,23 1,00

14. táblázat

A kereszt korrelációk a megfigyelt és a szimulált (szürke cellákban) adatok között,

csapadékos januári napokon.

69

1. Függelék

Egyváltozós normalitás vizsgálat Kolmogorov –Szmirnov próbával. A részeredményeinek illusztrációja.

data file: 550C5195.STA [ 16425 cases Dith 67 varia bles ] STAT. Kolmogorov-Smirnov Test (550c5195.sta) BASIC (Mean & standard deviation knoDn) STATS DRY Jan Variable N max D p SMAX 915 .034497 p > .20 STEMP 915 * .083761 * p < .01 * SMIN 915 * .109548 * p < .01 * SSUN 915 * .161563 * p < .01 * SREL 915 * .060911 * p < .01 * SCLOUD 915 * .082571 * p < .01 * SDIND 915 * .119581 * p < .01 * SPRES 915 .024819 p > .20 STAT. Kolmogorov-Smirnov Test (550c5195.sta) BASIC (Mean & standard deviation knoDn) STATS DRY Feb Variable N max D p SMAX 790 .027607 p > .20 STEMP 790 .047575 p < .10 SMIN 790 * .086462 * p < .01 * SSUN 790 * .112519 * p < .01 * SREL 790 .038303 p < .20 SCLOUD 790 * .069120 * p < .01 * SDIND 790 * .092623 * p < .01 * SPRES 790 .023426 p > .20 STAT. Kolmogorov-Smirnov Test (550c5195.sta) BASIC (Mean & standard deviation knoDn) STATS DRY Márc Variable N max D p SMAX 924 .025860 p > .20 STEMP 924 .024595 p > .20 SMIN 924 .037197 p < .20 SSUN 924 * .111845 * p < .01 * SREL 924 .023274 p > .20 SCLOUD 924 * .054599 * p < .01 * SDIND 924 * .101496 * p < .01 * SPRES 924 .025325 p > .20 STAT. Kolmogorov-Smirnov Test (550c5195.sta) BASIC (Mean & standard deviation knoDn) STATS DRY Márc Variable N max D p SMAX 838 .035848 p > .20 STEMP 838 .035918 p > .20 SMIN 838 .021800 p > .20 SSUN 838 * .107393 * p < .01 * SREL 838 .028970 p > .20 SCLOUD 838 * .055106 * p < .05 * SDIND 838 * .092653 * p < .01 * SPRES 838 .031989 p > .20

70

2. Függelék

Egy- és többváltozós normalitás vizsgálatnál alkalmazott tesztek.

Egyváltozós ferdeség a j-edik változóra:

3N

1i

2jij

N

1i

3jij

j1

)XX(N

)XX(N

−

−=γ

∑

∑

=•

=•

ahol X•j jelöli a változó átlagát és s2j a szórásnégyzetét:

∑=

• =N

1iijj X

N

1X ∑

=•−=

N

1ijij

2j )XX(

N

1s

Egyváltozós lapultság a j-edik változóra:

3)XX(N

)XX(N

2N

1i

2jij

N

1i

4jij

j2

−

−

−=γ

∑

∑

=•

=•

a fenti formulák alkalmazásával a Mardia fél együtthatók kiszámítása:

∑=

− +−−′−=γN

1i

2i

1i2 )2p(p)}xx(S)xx{(

N

1

ahol xi az i-edik megfigyeléseket tartalmazó vektor, x a mintaátlag, p a megfigyelések

száma és S a minta kovariancia mátrixa.

A normalizált többváltozós lapultság definiciója: N/)2p(p8

20 +

γ=κ .

A Mardia alapú kappa számítási módja: )2p(p

21 +

γ=κ .

71

3. Függelék Az AR(1) folyamat paraméterbecslése

A többváltozós gyengén stacionárius folyamaton alapuló elsırendő autoregresszív

folyamat definíciója (Matalas, 1967):

n,...1iBAXX 1ii1i =ε+= ++

ahol Xi, Xi+1 és εi+1 zérus várható értékő vektorok, εi független az Xi-tıl. Az egyenlet mindkét

oldalát megszorozva XiT-vel és képezve a várható értékét, a következı összefüggést kapjuk:

)X(BE)XX(AE)XX(E Ti,1i

Ti,i

Ti,1i ++ ε+= .

Vezessük be az alábbi jelöléseket: C0=E(Xi, XiT) és C1= E(Xi+1, Xi

T) (m×m)-es mátrixok.

C0 kovariancia mátrix, amely fıátlójában a szórásnégyzeteket tartalmazza, C1 fıátlójában az

egy lépéses autokovarianciák, a többi helyen az egy lépéses kereszt kovarianciák állnak.

Az A mátrix kiszámítási módja:

A=C1C0-1.

B mátrix becslését Xi+1T-vel való szorzást követıen - az elıbbihez hasonló módon - kapjuk,

az egyenlet átrendezésével az alábbi alakhoz jutunk:

T1

1010

T CCCCBB −−=

A spektrálfelbontási tétel felhasználásával kapjuk, hogy

B= ΘΛΘT

ahol Θ a sajátvektorokat, Λ a sajátértékeket jelöli.

72

4. Függelék

Egy- és többváltozós Johnson eloszlás és ezek a kiterjesztett változata

Ismeretlen eloszlású folytonos valószínőségi változó (X) Johnson transzformációval

standard normális eloszlásúvá alakítható. A transzformáció általános alakja:

λξ−⋅δ+γ= X

gZ (1)

ahol X tetszıleges eloszlású folytonos valószínőségi változó, Z standard normális eloszlású,

γ és δ az alak, λ a skála, ξ a hely paraméter, g(⋅) pedig olyan függvény, amely a Johnson féle

transzformációs rendszerben négy eloszlás családot definiál:

−++=

család)normális(Sy

család)korlátos(S)]y1/(yln[

család)korlátlan(S]1yyln[

család)normális(logS)yln(

)y(g

N

B

U2

L

(2)

A szimuláció során véletlen számmal generált standard normális eloszlású változóból az

inverz transzformáció segítségével állíthatjuk elı X-et:

δγ−⋅λ+ξ= − Z

gX 1 (3)

ahol

+

−=

−

−

család)normális(Sz

család)korlátos(S)e1/(1

család)korlátlan(S2/)ee(

család)normális(logSe

)z(g

N

Bz

Uzz

Lz

(4)

Esı lépésben az adott mintához a megfelelı típusú eloszlást ill. a hozzá tartozó

függvényt kell kiválasztani. Hahn és Shapiro (1967) a harmadik és negyedik standardizált

momentum ismeretében ad összefüggést a típusok kiválasztásához és megadja a

momentumbecslést. A dolgozat számára megfelelı ez a módszer, hiszen az Applied Statistics

Fortran algoritmus győjteményében az AS90 felhasználásával elvégezhetık a paraméterek

elıállításához szükséges számítások (Hill et al., 1976). A négy paraméter megadásával az

AS100 algoritmussal (Hill, 1976) végrehajtható a transzformáció ill. az inverz transzformáció.

A teljesség kedvéért megemlítjük, hogy Slifker és Shapiro (1980) a percentilisek módszerrel

73

határozta meg az eloszlást és becsülte meg a paramétereket. A FITTR1 programcsomag

(Wilson,???) pedig az említetteken kívül még további négy becslési eljárást kínál fel.

Az ismertetett eljárás általánosítható többváltozós esetre oly módon, hogy

X=(X1… Xν)T perem eloszlásait egyváltozós Johnson eloszlásokkal közelítjük (Stanfield et

al., 1996). Tapasztalatok szerint ez a módszer jól alkalmazható az átlagra szimmetrikus

eloszlásoknál, de ahol a ferdeség számottevı a korreláció mátrix nem elég pontos. Ennek

probléma elkerülése érdekében Stanfield et al. (1996) többváltozós Johnson rendszer

kiterjesztését javasolja. A szerzık tapasztalatai szerint az ismertetésre kerülı módszerrel az

eredeti minta elsı négy momentumával és korrelációival megegyezı sorok szimulálhatók. A

Stanfield et al. (1996) cikk 4-ik fejezetét az alábbiakban néhány helyen kibıvítettük és a

Függelékben levezetésekkel egészítettük ki.

Jelölje X=(X1… Xν)T azaz ν darab változó N elemő mintáit tartalmazó mátrixot,

melynek várható érték vektora µµµµX, szórás mátrixa σσσσX = diag[Var1/2(X1),…, Var1/2(Xν)] és

korrelációs mátrixa CX. Ismeretes, hogy CX szimmetrikus pozitív definit mátrix (Dévényi és

Gulyás, 1988). A Cholesky felbontás tétele értelmében ez szükséges és elégséges feltétele

olyan alsó háromszög mátrix X = [Θi,j] = CX1/2 létezésének, amelyre teljesül, hogy

CX = ΘΘΘΘXΘΘΘΘXT (Stoyan és Takó, 1995, I kötet 65.oldal).

Ha Y=(Y1… Yν)T standardizált Johnson eloszlású valószínőségi változó, azaz

Y i i=1,…, ν nulla várható értékő és egy szórású, adott aY ferdeség és bY lapultság értékekkel,

akkor

W = µµµµX + σσσσX ΘΘΘΘX Y (5)

és W mátrix ugyanolyan várhatóérték, ferdeség és lapultság vektorral valamint szórás, és

kovariancia mátrixal rendelkezik, mint X.

3

N

1j

3j

XN

)XX(

aσ

−=∑

= és 4

N

1j

4j

XN

)XX(

bσ

−=∑

=

74

Az W = µµµµX + σσσσX ΘΘΘΘX Y összefüggésbıl kiindulva kapjuk, hogy )µ(WσYΘ X1

XX −= − .

Az egyenlet bal oldalára vezessünk be új jelölést és írjuk fel komponensekre:

∑=

υ=k

1jjj,kk YW . Ekkor a harmadik momentum:

∑∑==

⋅υ=⋅υ=k

1j

33j,k

k

1j

3jj,k

3k j

EY)Y(E)W(E

továbbá alkalmazva a ferdeség definícióját és figyelembe véve, hogy a szórás és a mintaszám

az egyenlet mindkét oldalán lévı változóra megegyezik, azt kapjuk, hogy aW = ΘΘΘΘX3aY mivel

aW ≅≅≅≅ aX ebbıl következik a (6a) összefüggést.

A negyedik momentum:

=υυυυ=⋅υ= ∑∑==

)YYYY(E)Y(E)W(Ek

1n,m,j,inmjin,km,kj,ki,k

k

1j

4jj,k

4k

)]YY2Y()YY2Y[(Ekrq1

rqr,kq,k

k

1p

2p

2p,k

knm1nmn,km,k

k

1j

2j

2j,k ∑∑∑∑

≤<≤=≤<≤=υυ+υ⋅υυ+υ=

∑∑∑∑≤<≤=≤<≤=

υυ+υ=υυ+υ=knm1

2n

2m

2n,k

2m,k

k

1j

4j

4j,k

2

knm1nmn,km,k

k

1j

22j

2j,k EYEY6EY])YY(4)Y[(E

mátrixos alakban: XXXW ΨaΘb += 4 , mivel bW ≅ bX ebbıl adódik (6b).

Az X ferdeség aX és lapultság bX vektorának ismeretében az alábbi módon állítható

elı aY és bY vektor:

[ ] XXY aΘa1)3( −

= (6a)

[ ] )(1)4(

XXXY ΨbΘb −=−

(6b)

ahol ΘΘΘΘX jelöli a k-adik Hadamard szorzatot, ΨΨΨΨX = (Ψ1,…,Ψν) pedig a segédvektort.

Definíció szerint (Kitamura, 1995; Styan, 1973) ΘΘΘΘX(k) = [Θi,j

(k)] ahol k = 3, 4,

illetve ∑ ∑ν

=

ν

+=ΘΘ=Ψ

1j 1jl

2l,i

2j,ii 6 és i = 1,…ν. W illeszkedésének jóságát meghatározza Y

elıállítása. Tapasztalatok szerint (Stanfield et al., 1986) a fenti módon elıállított ferdeségen

korrekciót kell végrehajtani abban az esetben, amikor bY ≥ ay(2) + 1 ekkor bY = ay

(2) + 1,25.

75

HIVATKOZÁSOK Bacsi, Zs. and M. Hunkár, 1994: Assessment of the impact of climate change on the yields of

winter wheat and maize, using crop models, Idıjárás, 98 (2), 119-134.

Bárdossy, A., 1993: Stochastische modelle zur Beschreibung der raum-zeitlichen variabilität

des Niederschlages. IHW Heft 44.

Bartholy, J. and I. Matyasovszky, 1998: A Kárpát-medence hõmérsékleti és csapadék

viszonyainak alakulása a globális éghajlat változások tükrében. IMetetorológiai Tudományos

Napok, 1997 nov. 20-21, 117-126.

Bartholy, J., I. Matyasovszky and T. Weidinger, 2001: Regional climate change in Hungary: a

survey and a stochastic downscaling method. Idıjárás, 105 (1), 1-17.

Bartholy, J., T. Pálvölgyi, I. Matyasovszky and T. Weidinger, 1994: Towards narrowing

uncertainties of regional climate changes predictions by general ciculation models and

empirical methods. In: Proc. XVIIth Conference of the Danube Countries on Hydrological

Forecasting and Hydrological Basis of Water Management (Budapest, Hungary, 5-9,

September, 1994), 409 - 415.

Bass, B, 1993: Development of the Weather Generatot. In: BAHC Focus 4. The Weather

generator project. Toronto, Canada, 1-3 December 1993, 21-33.

Bálint, G., B. Gauzer, I.W. Dobi and J. Mika, 1995: On hydrological aspects of climate

changes based on diurnal simulations. In: Drought in the Carpathians’ Region (Budapest-

Alsógöd, Hungary, 3-5 May, 1995), 65-77.

Bálint, G., I.W. Dobi and J. Mika, 1996: Runoff simulation assuming global warming

scenarios. In: Proceedings 18th Conference of the Danube Countries on Hydrological

Forecasting and Hydrological Bases of Weather Management ( Gratz, Austria, 25 - 30

August, 1996 ), 131-136.

Berger, A., Goossens, Chr., 1983: Persistence of wet and dry spells at Uccle (Belgium).

J. Climatol., Vol. 3, N 1, 21-34.

Bruhn, J.A., W.E. Fry and G.W. Fick, 1980: Simulation of daily weather data using

theoretical probability distributions. J. of Appl. Met. 19 (9), 1029-1036.

Cehak, K., Withalm, J., 1980: Über die Gültigkeit eines Markow-Ketten Modells für

Niederschlagsperioden im Hochgebirge. Meteorol. Rundsch., Vol. 33, N 5, 148-155.

76

Chin, E.H., , 1977: Modelling daily precipitation occurrence process with Markov chain.

Water Resour. Res., Vol. 13, N 6, 949-956.

Cox and Hinkley, 1978 (19)

Dobi, I.W., Mika J. and L. Szeidl, 1996: On modelling daily rainfall occurrences. In: Proc.

17th Int. Conf. on Carpathian Meteorology (Visegrád, Hungary, 14-18 Oct. 1996), 46-51.

Dobi-Wantuch I., Mika J. and Szeidl L., 2000: Modelling wet and dry spells with mixture

distributions. Meteorology and Atmos. Phys.,Vol. 73, 245-256.

Dévényi D., Gulyás O., 1988: Matematikai statisztikai módszerek a meteorológiában.

Tankönyvkiadó, Budapest.

Domonkos P. és Mika J., 1992: Az idıjárási elemek közötti összefüggések vizsgálata

faktoranalízissel. Hegyfoki Kabos Emlékülés, Debrecen, 140-146.

Dubrovsky, M., 1995: Met&Roll: The weather generator for investigating potential impacts of

climate change on agriculture. Manuscript to EGS XX General Assembly, (Hamburg, BRD, 3-

7 April, 1995).

Dubrovsky, M Zdenek Z. and M. Stastná, 2000: Sensitivity of CERES-maize yields to

statistical structure of daily weather series. Climate change 46, 447-472.

Éltetı Ö., Meszéna Gy. és Ziermann M., 1982: Sztochasztikus módszerek és modellek.

Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest.

Foufoula-Georgiou, E. and D.P. Letettenmaier, 1987: A Markov renewal model for rainfall

occurrences. Water Res. Res., 23 (5), 875-884.

Füstös L. és Kovács E., 1989: A számítógépes adatelemzés statisztikai módszerei.

Tankönyvkiadó, Budapest.

Gilyénné Hofer Alice és Nováky Béla, 1998: Az éghajlati hatásvizsgálatok megalapozása a

Zala-vízgyőjtı lefolyásának vizsgálatára. Vízügyi Közlemények LXXX. Évf. 3. füzet, 508-521.

Gabriel, K.R., Neumann, J.A., 1962: Markov chain model for daily rainfall occurrence at Tel-

Aviv. Quarterly Journal of Royal Meteorological Society, Vol. 88, N 375, 90-95.

Gates, P., Tong, H., 1976: On Markov chain modelling to some weather data. J. Appl.

Meteorol., Vol. 15, 1145-1151.

77

Geng, S. and J.S. Auburn, 1986: Weather simulation models based on summaries of long-

term data. In Int. Symp. on Impact of Weather Parameters on the Growth and Yield of Rice. 7-

10 Apr.IRRI, Manila, Philippes., 237-254.

Geng, S., F.W.T.Penning de Vries and I. Suppit, 1986: A simple method for generating daily

rainfall data. Agricultural and Forest Meteorology, 36, 363-376.

Giorgi, F. and L.O. Mearns, 1991: Approaches to the simulations of regional climate change:

a review. Reviews of Geophysics, 29 (2), 191-216.

Guenni, L., 1994: Spatial Interpolations of the parameters of stochastic weather models.

BAHC Rep. No. 3, G. Paoli (ed.), IRR, 61-79.

Hahn, G.J. and Shapiro, S.S., 1967: Statistical models in engineering. New York: John Wiley

& Sons, Inc.

Hanson, C.L. et al., 1989: Daily precipitation simulation model for mountainous areas. Tran.

ASAE, Vol. 32, N 3, 865-873.

Hantel, M. and F. Ács, 1995: Physical aspects of the weather generator. Submitted to J. of

Hidrology.

Harnos, Zs, 1998: A klímaváltozás várható alakulása és hatása néhány gazdasági növény

termeszthetıségére. In: Metetorológiai Tudományos Napok, 1997 nov. 20-21, 55-66.

Hasselmann, 1976: Stochastic climate models. Part I. Theory. Tellus. 28, 473-485.

Hayhoe, H.N., 2000: Improvements of stochastic weather data generators for diverse climate.

Clim. Res., Vol. 14, 75-87.

Hill, I.D., R.Hill and R.L.Holder, 1976: Fitting Johnson curves by moments. Journal Roy.

Stat.Soc., Ser. C, Vol 25, 180.

IGBP Report No. 27; 1993: Biospheric Aspects of the Hydrological Cycle.The Operational

Plan. Ed. By BAHC Core Project Office

Johnson G.L., C.L.Hanson, S.P. Hardegree and E.B.Ballard, 1996: Stochastic Weatther

Simulation: Overwiew and Analysis of two Commonly Used Models. J.of Appl. Met., 35,

1878-1896.

Jones, J.W., R.F. Colwick and E.D. Threadgill, 1970: A simulated environmental model of

temperature, evaporation, rainfall and soil moisture. Transactions of the ASAE, 366-372.

78

Jones, P.G. and P.K.Thornton, 1993: A rainfall generator for agricultural applications in the

tropics. Agricultural and Forest Meteorology, 63, 1-19.

Kaas, E., 1993: Greenhouse induced climate change in the Nordic countries as simulated with

the Hamburg climate model. Part 2: Statistical Interpretation, Danish Meteorological Institute

Scientific report 93-3.

Karlin, S - Taylor, H. M.,1986: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, Budapest.

Katz, R.W., 1981: On some criteria for estimating the order of a Markov chain.

Technometrics, Vol. 23, 243-249.

Katz, R.W., 1982: Procedures for determining the statistical significance of precipitation

changes simulates by an atmospheric general circulation model. Clim. Res. Inst. Rept., N 33.

Kovács Géza és Dunkel Zoltán, 1998: A klímaváltozás várható következményei

Magyarország szántóföldjein a következı félszázadban. In: Metetorológiai Tudományos

Napok, 1997 nov. 20-21, 181-194.

Krishnaiah, P.R., 1980: Analysis of variance. Handbook of statistics. Vol1. North-Holland

Publishing Company.

Kröel-Dulay György, Bartha Sándor, Wantuchné Dobi Ildikó, Kovács-Láng Edit és Debra P.

Coffin, 1998: Mechanisztikus szimulációs modellek alkalmazása száraz homoki gyepek

klímaváltozással kapcsolatos dinamikájának predikciójára. In: Metetorológiai Tudományos

Napok, 1997 nov. 20-21, 269-274.

Lana, X. and A. Burgueňo, 1998: Probabilities of repeted long dry episodes based on the

Poisson distribution. An example for Catalonia (NE Spain). Theor. Appl.Climatol., Vol. 60,

111-120.

Matalas, N.C., 1967: Mathematical assessment os synthetic hydrology. Water Resources

Research, Vol. 3., No. 4., 937-945.

Matematikai statisztika, 1995: Szerk. Mogyoródi József és Michaletzky György. Nemzeti

tankönyvkiadó, Budapest.

Matyasovszky,I, 1986: Meteorológiai idısorok modellezése ARMA-folyamatok segítségével.

Idıjárás, 90 (4), 240-250.

Matyasovszky, I., Bogárdy, I., 1994: Comparison of two general ciculation models to

downscale temperature and precipitation under climate change. Water Resources Research,

Vol. 30, No. 12, p. 3437-3448.

79

Matyasovszky, I., Bogárdy, I., 1996:Downscalling two versions of a general ciculation

models to estimate local hydroclimatic factors under climate change. Hidrological Science, 41

(1), 117-129.

Matyasovszky I. and I.W. Dobi, 1989: Methods for analysis of time series of precipitation

data using Markov chains (in Hungarian), Idıjárás, Vol. 93, No. 5, 276-288.

Matyasovszky,I., A. Bardossy, L. Duckstein, 1993: Space-time precipitation reflecting

climate change. Hidrological Sciences, 38, 6, 539-558.

Mearns, L.O. 1997: On the statistical evaluation of climate model experiments. Climatic

Change. 37, 443-448.

Mearns, L.O., C. Rosenzweig and R. Goldberg, 1995: Mean and variance change in climate

scenarios: methods, agricultural applications and measures of uncertainty. Climatic Change.

35, 367-396.

Mika, J., 1991: A globális felmelegedés regionális éghajlati sajátosságai hazánk térségében.

Kandidátusi értekezés. Budapest.

Mika,J., 1998: A globális felmelegedés várható magyarországi sajátosságai. Magyarország

éghajlata. Szerk: Justyák J. , Budapest.

Mika J. és Wantuchné Dobi Ildikó, 1998: Kis globális változások térbeli és idıbeli

leskálázása hatásvizsgálati célokra. In: Metetorológiai Tudományos Napok, 1997 nov. 20-21,

99-102.

Mimioku, M., 1984: A study for improving precipitation occurences modelling with Markov

chain. J. Hydrol., Vol. 70, N 1-4, 25-33.

Móri T., 1999: Fõkomponens- és faktoranalízis. (kézirat)

Móri T. és Székely G. (szerk.), 1986:Többváltozós statisztikai analízis. Mőszaki Könyvkiadó,

Budapest.

Panofsky, H.A. and G.W.Brier, 1958: Some Application of Statistics to Meteorology, The

Pennsylvanian State University.

Péczely,G., 1957:Grosswetterlagen in Ungarn. Kleinere Veröffentlichungen der

Zentralanstalt für Meteorologie, Budapest, 30.

Pickering, N.B., J.W. Hansen, J.W. Jones, C.M. Wels, V.K. Chan and D.C. Godwin. 1994:

WeatherMan: A utility for managing and generating daily weather data. Agron. J. 86, 332-

337.

80

Prog. Algorithm as 99, 1000: Applied Statistics (1976) vol. 25.

Racsko, P., L. Szeidl, and M. Semenov, 1991: A serial approach to local stochastic weather

models. Ecological Modelling, 57, 27-41.

Richardson, C.W, 1981: Stochastic simulation of daily precipitation, temperature, and solar

radiation. Water. Resources Research, 17, 182-190.

Richardson, C.,W. Wright, D.A., 1984: WGEN: A model for generating daily weather

variables. USDA Publications ARS-8, 83 pp.

Semenov, M.A. and E.M. Barrow, 1997: Use of stochastic weather generator in the

development of climate change scenarios. Climate Change, 35, 397-414.

Semenov, M.A. and E.M. Barrow, 1999: Scaling consideration for agricultural climate

change impact assessment. ECLAT-2 Workshop October 13-15, 1999, Potsdam, Germany

(manuscript).

Slifker, J. F. and S.S.Shapiro, 1980: The Johnson system: selection and parameter estimation.

Technometrics, Vol.22, No.2. 239-246.

Stanfield, P.M., J.R.Wilson, G.A.Mirka, N.F.Glasscock, J.P.Psohogios, J.R.Davis, 1996:

Multivariate input modeling with Johnson distributions. In: Proc. Of the 1966 Winter

simulation conference. Ed. J.M.Charnes, D.J.Morice, D.T.Brunner and J.J.Swain,1457-1464.

Stern, R.D., 1982: Computing a probability distribution for the start of the rains from Markov

Chain model for precipitation. J. of Appl. Met., Vol. 21, 420-423.

Storch,H. and A.Navarra, 1993: Analysis of climate variability. Springer.

von Storch, H and F. W. Zwiers, 1998: Statistical analysis in climate research, Cambridge

University press.

von Storch, H., Hewitson, B. and L. Mearns, 2000: Review of empirical downscaling

techniques. In: Regional climate development under global warming. (Ed. by T. Iversen and

B. A. K. Hoiskar) General Technical Report No. 4. Conf. Proceedings RegClim Spring

Meeting Jevnaker, Torbjornrud, Norway, 8.-9. May 2000, p. 29-46.

Statistica for Windows, 1995, Statsoft (ISBN 1-884233-12-0)

Stoyan G. és Takó G., 1995:Numerikus módszerek. Budapest, ELTE Typotex.

81

Stöckle, C.O., G.B. Bellocchchi and R. Nelson, 1998: Evaluation of weather generator

CLIMGEN for several world locations. Proceedings of the 7th ICCTA , November 15-18,

1998, Florence.

Székely, V., 1994: Képkorrekció, hanganalízis, térszámítás. Computer Books, Budapest.

Szentimrey, T., 1996: Statistical methods for homogenization: break points detection

weighting of reference series, In: Proc. of the 13th Conference for Homogenization of Surface

Climatological Data (Budapest, Hungary, 6-12 Oct.1996), 47-62.

Tusnády G. és Ziermann M. (szerk.), 1986: Idõsorok analízise. Mőszaki Könyvkiadó,

Budapest.

Voet, P van der, K. Kramer and C.A. van Diepen, 1996: Parametrization of the Richardson

weather generator within the European Union. Report 92. The Winand Staring Centre,

Wageningen, The Niederlands. Join Reserarch Centre, SC-DLO.

Wilks, D., 1992: Adapting stochastic weather generation algorithm for climate change

studies. Climate Change, 22, 67-84.

82

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS

Köszönetemet szeretném kifejezni

- Szeidl Lászlónak és Mika Jánosnak az évek során a nyújtott számtalan szakmai

tanácsukért, a sok idıért és energiáért, a lelkiismeretes és kitartó segítségükért és

lankadatlan bíztatásukért, amivel lehetıvé tették számomra a modell elkészítését;

- az Országos Meteorológiai Szolgálatnak a rendelkezésemre bocsátott adatokért,

technikai feltételekért valamint azért, hogy lehetıségem volt a modellt jelentıs

részben a munkaköri leírásom részeként elkészíteni;

- a publikációs listában szereplı szerzıtársaimnak, akiktıl sokat tanulhattam;

- Pröhle Tamásnak a SPSS programcsomag megismerésében nyújtott segítségéért;

- kollégáim közül szintén hálámat szeretném kinyilvánítani Práger Tamásnak és.

Szentimrey Tamásnak a matematikai fogalmak alkalmazásakor felmerülı

problémáim esetén nyújtott gyors segítségükért, Ihász Istvánnak, a Fourier

Transzformációt meghívó fortran programok elkészítésében, valamint

Randriamanpianina Rogernak különféle számítástechnikai kérdések megoldásában

nyújtott segítségéért;

- a felsorolásban szereplı külföldi kollégáimnak (András Bárdossy, Harry Pavlopoulos,

Raymond Sneyers és Yuki Seo) akik olyan cikkeket küldtek, melyeket a dolgozathoz

felhasználtam; Martin Dubrovskynak akivel többször módomban állt tapasztalatot

cserélni; valamint Paul M. Stanfieldnek, aki e-mailen nyújtott tanácsaival segített,

hogy a cikkében kidolgozott módszert megfelelıen alkalmazzam;

- végül, de nem utolsó sorban családomnak. Szeretetük, buzdításuk adott erıt és

lehetıséget arra, hogy a Doktori Iskolával járó feladatokat elvállalhassam és végig

vihessem. Hálás vagyok férjemnek Wantuch Ferencnek, aki azzal is segítette

munkámat, hogy megtanított a C nyelvő programozásra. Neki és gyermekeimnek,

Ágnesnek és Viktornak, hogy elviselték, hogy évekig kevesebb idım és energiám

maradt rájuk. Végezetül hálásan köszönöm nemrég elhunyt édesanyámnak, aki egész

életében buzdított a tanulásra és minden erejével támogatta tanulmányaimat.

A dolgozat témája az alábbi Országos Tudományos Kutatási Alap támogatásokból

részesült: OTKA: F-022445, T-025803, T-032214, T-021166, T-022358;

83

Összefoglaló

A dolgozat a valószínőségszámítás, a statisztika és a sztochasztikus folyamatok

eszközrendszerének felhasználását mutatta be az éghajlat modellezés területén.

A célkitőzésben szereplı feladat egy adott földrajzi hely napi idıjárását többdimenziós

sztochasztikus folyamatként elıállító ún. Idıjárás Generátor Modell kifejlesztése volt.

E modell szerint az idıjárási paraméterek alakulása az egymást követı, egyformán

csapadékmentes, illetve csapadékos napok sorozataiból képzett, ún. száraz és nedves

idıszakokra épült, mint e két állapottól függı, feltételes valószínőségi modell. Kimutattuk

továbbá, hogy a feltételes statisztikák attól is függnek, hogy hányadik napról van szó e

szakaszokon belül. E feltételes statisztikákat kilenc (száraz szakaszokra nyolc) meteorológiai

változóra határoztuk meg. A száraz és a csapadékos szériák egymástól független sorozatainak

elıállítására külön modellként a Poisson és a Geometriai eloszlás keveréke bizonyult a

legalkalmasabbnak.

A determinisztikus éves menet, valamint a szériákon belüli sorszám hatásának

eltávolítására centráló és normáló transzformációkat hajtottunk végre. A vizsgálatok

alátámasztották, hogy a száraz ill. csapadékos szakaszokon belül a rezidumok idısorai már

minden hónapban gyengén stacionárius sorozatnak tekinthetık. Erre a gondolatmenetre

alapoztuk az elsırendő feltételes autoregresszív modell használatát.

Felhasználtuk továbbá, hogy a maradéktagok mindegyike nem normális Johnson

eloszlású oly módon, hogy zaj tagként adott paraméterő Johnson eloszlású véletlen számokat

alkalmazunk. Ezzel a megoldással kilencváltozósra bıvítettük a modellt, amelyben az

ismertetett lépések biztosították a szimulált sor és a megfigyelt sor paraméterei közötti,

statisztikai értelemben vett azonosságot.

Az idısorok belsı összefüggéseit két magyarországi állomás 9 meteorológiai

elemének 45 év hosszúságú napi adatsorain tanulmányoztuk. A fejlesztés lépéseit tesztekkel

ellenıriztük, az eredményeket ábrák és táblázatok teszik szemléletessé.

Az Értekezésben ismertetett modell elméleti alapot nyújt a hazai klímaváltozás

következményeit vizsgáló agrometeorológiai, hidrológiai és ökológiai hatástanulmányok

meteorológiai kiszolgálására. A fejlesztés következı lépése a dolgozatban alkalmazott

leírások alapján egy felhasználóbarát programcsomag készítése.

84

Summary

The dissertation demonstrates a system of applications in the field of climate research,

incorporating theorems and methodology of Probability theory, Statistics and Stochastic

processes. The aim of the study is to develop a Weather Generator Model which is able to

simulate diurnal weather sequences of a given geographical locality as a multivariate

stochastic process.

According to this model, the weather parameters are based on the so called dry and

wet series, i.e. spells, representing identically dry or rainy consecutive days, performing as a

probability model, conditioned by these two states. It is demonstrated that the conditional

statistics also depend on the serial number of the day within a given series. Conditional

statistics are determined for nine meteorological variables (eight variables for dry spells).

Simulation of the dry and wet duration, which perform statistically independent of the

previous ones, is the most successful by mixture distribution of Poisson and Geometrical

distributions.

Transformations of centralization and normalization are performed to remove the

deterministic annual cycle and the effect of serial number within a spell. The investigations

demonstrate that the residual variables can already be considered, as weakly stationary

processes within both the dry and wet series. The use of first-order conditional autoregressive

model is based on this idea.

It is also utilized, that all the residuals exhibit non-normal Johnson distribution in the

way, that random numbers of Johnson distribution are used for simulation of the noise terms.

The model is extended to treat nine variables by this solution, and the above steps accomplish

an identity between the simulated and observed series in statistical sense.

Internal relations among the time series are investigated for daily weather sequences of

two Hungarian stations in a 45 year period, including nine meteorological parameters. Each

step of the model development is checked by corresponding tests. The results are illustrated

by series of figures and tables.

The Model, specified in the Dissertation, provides a theoretical basis to support agro-

meteorological, hydrological and ecological climate impact studies from meteorological point

of view in Hungary. The next step of the development will be to compile a user friendly

software package, based on the specifications applied in the Dissertation.