ĐỘng lỰc hỌc
TRANSCRIPT
- 1 -
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN CƠ HỌC
BÀI GIẢNG PHÁT CHO SINH VIÊN
(LƢU HÀNH NỘI BỘ)
Theo chƣơng trình 150TC
sử dụng cho năm học 2009 – 2010
2
Số tín chỉ: 2
Thái Nguyên, năm 2009
- 2 -
:
-
BÀI GIẢNG PHÁT CHO SINH VIÊN
(LƢU HÀNH NỘI BỘ)
Theo chƣơng trình 150TC
sử dụng cho năm học 2009 – 2010
2
Số tín chỉ: 2
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 12 năm 2009
Trƣởng bộ môn Trƣởng khoa Khoa học cơ bản
(Ký và ghi rõ họ tên) (Ký và ghi rõ họ tên)
ThS. Nguyễn Thị Hoa TS. Nguyễn Văn Tuấn
- 3 -
MỤC LỤC
ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2 ................................... - 5 -
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... - 10 -
Chƣơng I. .................................................................................................................... - 12 -
Các khái niệm cơ bản. Hệ tiên đề động lực học ........................................................... - 12 -
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ............................................................................. - 12 -
1.Mô hình các vật thể chuyển động...................................................................... - 12 -
2.Hệ quy chiếu quán tính. .................................................................................... - 13 -
3.Khái niệm cơ bản về lực ................................................................................... - 13 -
§2. HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC ....................................................................... - 13 -
1.Hệ tiên đề động lực học .................................................................................... - 13 -
2.Cơ hệ không tự do ............................................................................................ - 15 -
3.Tiên đề giải phóng liên kết ............................................................................... - 15 -
Chƣơng II. .................................................................................................................. - 16 -
Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm ........................................................ - 16 -
và cơ hệ ...................................................................................................................... - 16 -
§1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM ................ - 16 -
1.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm. ............................................ - 16 -
2.Các bài toán động lực học chất điểm................................................................. - 18 -
3.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán
tính. ..................................................................................................................... - 24 -
§2. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ .......................... - 29 -
1. Phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ. ............................................................... - 29 -
2. Hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ. ............................................. - 30 -
Chƣơng III .................................................................................................................. - 32 -
Phƣơng pháp Đalămbe ................................................................................................ - 32 -
§1. NGUYÊN LÝ Đ’ALEMBERT .......................................................................... - 33 -
1. Lực quán tính. ................................................................................................. - 33 -
2. Nguyên lý Đa lam be đối với chất điểm ........................................................... - 33 -
3 Nguyên lý Đa lam be đối với cơ hệ. .................................................................. - 33 -
§2. CÁC ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC KHỐI LƢỢNG CỦA VẬT RẮN .................. - 36 -
1. Khối tâm của cơ hệ .......................................................................................... - 36 -
2.Mô men quán tính của vật rắn. .......................................................................... - 37 -
§3. THU GỌN HỆ LỰC QUÁN TÍNH ................................................................... - 43 -
TRONG MỘT VÀI CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN ......................................... - 43 -
1. Vectơ chính của hệ lực quán tính. .................................................................... - 43 -
2. Mô men chính của các lực quán tính trong một vài chuyển động của vật rắn.... - 44 -
3. Phản lực ổ trục của các vật quay xung quanh một trục cố định. ........................ - 49 -
§4. CÁC ĐỊNH LÝ ĐỘNG LƢỢNG VÀ MÔMEN ĐỘNG LƢỢNG...................... - 52 -
1. Định lý chuyển động khối tâm ......................................................................... - 52 -
2. Định lý động lƣợng ......................................................................................... - 52 -
3. Định lý mômen động lƣợng ............................................................................. - 55 -
Chƣơng IV .................................................................................................................. - 58 -
Phƣơng pháp Lagrange ............................................................................................... - 58 -
§ 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ............................................................................ - 59 -
1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phân loại liên kết. ........................................... - 59 -
2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ. ..................................................... - 62 -
3. Toạ độ suy rộng của cơ hệ. .............................................................................. - 64 -
4. Lực suy rộng. .................................................................................................. - 65 -
5. Liên kết lý tƣởng ............................................................................................. - 71 -
§2. NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT - LAGRANGE ................................................. - 72 -
1.Nguyên lý D’Alembert - Lagrange. .................................................................. - 72 -
- 4 -
2.Định lý động năng. ........................................................................................... - 74 -
§ 3. NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ .............................................................. - 82 -
1.Vị trí cân bằng của cơ hệ. ................................................................................. - 83 -
2.Nguyên lý di chuyển khả dĩ .............................................................................. - 83 -
3.Các ví dụ .......................................................................................................... - 83 -
§4. PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI HAI ..................................................... - 86 -
1. Thiết lập phƣơng trình Lagrange loại hai. ........................................................ - 86 -
2. Biểu thức của động năng trong các toạ độ suy rộng.......................................... - 88 -
3. Phƣơng trình Lagrange loại hai trong trƣờng hợp lực có thế. ........................... - 89 -
4. Các tích phân chuyển động. ............................................................................. - 95 -
Chƣơng V ................................................................................................................... - 99 -
Va chạm...................................................................................................................... - 99 -
§1. ĐẶT BÀI TOÁN VA CHẠM............................................................................ - 99 -
1. Hiện tƣợng va chạm ........................................................................................ - 99 -
2. Các đặc điểm của quá trình va chạm .............................................................. - 100 -
§2. ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT VÀO LÝ THUYẾT ...................... - 104 -
VA CHẠM ........................................................................................................... - 104 -
1. Định lý động lƣợng của hệ khi va chạm ......................................................... - 104 -
2.Định lý mômen động lƣợng của hệ khi va chạm ............................................. - 105 -
§3. VA CHẠM THẲNG XUYÊN TÂM CỦA HAI VẬT...................................... - 106 -
1.Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật ............................................................. - 106 -
2.Định lý Cacsno cho hai vật va chạm thẳng xuyên tâm..................................... - 107 -
§4. TÁC DỤNG LỰC VA CHẠM VÀO VẬT QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
VÀ CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG ................................................................. - 109 -
1. Tác dụng lực va chạm vào vật quay quanh trục cố định. ................................ - 109 -
2. Tác dụng lực va chạm vào vật chuyển động song phẳng ................................ - 109 -
3. Ví dụ ............................................................................................................. - 110 -
§5. TÂM VA CHẠM CỦA VẬT QUAY .............................................................. - 115 -
1. Xác định xung lực va chạm tại trục quay ....................................................... - 115 -
2. Tâm va chạm của vật quay ............................................................................ - 116 -
- 5 -
ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2 (Học phần bắt buộc)
1. Tên học phần: CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2 Mã số: BAS202
2. Số tín chỉ: 2
3. Trình độ cho sinh viên: Năm thứ hai
4. Phân bố thời gian:
- Lên lớp lý thuyết:
- Thảo luận:
- Hƣớng dẫn bài tập lớn: Không
- Khác: Không
5. Các học phần học trƣớc: Toán cao cấp 1 & 2, Vật lý đại cƣơng 1& 2
6. Học phần thay thế hoặc tƣơng đƣơng: Không
7. Mục tiêu học phần: Làm cho sinh viên nắm vững các định luật cân bằng và chuyển
động của vật rắn chịu lực, các đặc trƣng động lực học của các mô hình điểm và vật rắn
chuyển động. Biết cách áp dụng các kiến thức đó tính toán các bài toán cân bằng cũng nhƣ
các bài toán động lực học điểm và vật rắn. Các kiến thức đƣợc trang bị là cơ sở cho hầu hết
các lĩnh vực công nghệ, kỹ thuật công nghiệp.
8. Mô tả vắn tắt nội dung của học phần. Học phần trình bày các đặc trƣng động lực học
của các mô hình điểm và vật rắn chuyển động. Khảo sát chuyển động của điểm và vật rắn
dƣới tác dụng của lực bằng phƣơng pháp D’Alembert và phƣơng pháp Lagrange. Nghiên
cứu bài toán va chạm trong kỹ thuật .
9. Nhiệm vụ của sinh viên
9.1. Tham dự các bài giảng trên lớp %80 tổng số thời lƣợng của học phần;
9.2. Thời gian tự học thực hiện theo tỷ lệ: mỗi tiết trên lớp phải có tối thiểu 3 giờ tự học
bao gồm: Củng cố bài đã học- làm bài tập, chuẩn bị các tài liệu cho các buổi thảo luận và
đọc trƣớc tài liệu của bài giảng lần sau. Các sinh viên cần đề xuất các bài tập khó đề nghị
giáo viên bố trí thời gian giải đáp. Các sinh viên phải hoàn thành tất cả các bài tập (bắt
buộc) giáo viên yêu cầu ra vở bài tập và cần xuất trình vở bài tập khi giáo viên yêu cầu
9.3. Tham dự thảo luận và tất cả các bài kiểm tra thƣờng xuyên và định kỳ của học phần.
10. Tài liệu học tập
* Sách giáo khoa
[1]. Lê Lƣơng Tài, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Thị Hoa. Các bài giảng Cơ học kỹ
thuật. Trƣờng ĐHKTCN, Thái Nguyên, 2009.
[2] Đỗ Sanh, Nguyễn Văn Đình, Nguyễn Văn Khang. Cơ học, T1, NXB GD, Hà
Nội, 1996.
[3]. Nguyễn Văn Khang. Cơ sở Cơ học Kỹ thuật, T1. và T2. NXB ĐHQGHN, Hà
Nội, 2005.
[4] GS TSKH Đỗ Sanh. Cơ học kỹ thuật, Tập hai ĐỘNG LỰC HỌC, NXBGD,
2008.
* Sách tham khảo
- 6 -
[5]. Nguyễn Văn Khang. Động lực học hệ nhiều vật. NXB KH&KT, Hà Nội, 2006.
[6] Mc Lean and Nelson. Schaum’s online theory and problems of engineering
mechanics. Statics and Dynamics. 1994
[7] R.C. Hibbler . Engineering Mechanics, Statics
[8]. J.M. Krodkiewski. Dynamics of Machine, The University of Melbourne, 2006.
[9]. J.M. Krodkiewski. Mechanics of a rigid body, The University of Melbourne,
2006.
[10]. R.J. Schilling. Fundamentals of Robotics. Prentice – Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1990.
11. Các tiêu chuẩn đánh giá sinh viên và thang điểm
11.1. Các học phần lý thuyết
- Tiêu chuẩn đánh giá
i) Thảo luận, bài tập, chuyên cần
ii) Kiểm tra định kỳ và thường xuyên
iii)Thi kết thúc học phần.
- Thang điểm
i) Điểm đánh giá bộ phận theo thang điểm 10 với trọng số như sau
+ Điểm thảo luận, bài tập, chuyên cần: 20%
+ Điểm kiểm tra thường xuyên và định kỳ (Trung bình cộng): 20%
+ Điểm thi kết thúc học phần: 60%
ii) Điểm học phần là điểm trung bình chung với các trọng số của các điểm đánh giá
bộ phận và điểm thi kết thúc học phần làm tròn đến một chữ số thập phân.
11.2. Các học phần thực nghiệm: Không
12. Lịch trình giảng dạy.
Tuần Nội dung Tài liệu
học tập
Hình thức
học
1 Chương I. Các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề
động lực học.
§1. Các khái niệm cơ bản.
1. Các mô hình các vật thể chuyển động.
2. Hệ quy chiếu quán tính.
3. Lực.
§2. Hệ tiên đề động lực học.
1. Hệ tiên đề
2. Cơ hệ không tự do
3. Tiên đề giải phóng liên kết
Chương II. Phương trình vi phân chuyển động
của chất điểm và cơ hệ.
§1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất
điểm
[1,2,3,4,...] Giảng
- 7 -
1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất
điểm
2. Các bài toán cơ bản động lực học và cách
giải. Các ví dụ.
2 Chương II. Phương trình vi phân chuyển động
của chất điểm và cơ hệ. (tiếp)
3. Phƣơng trình vi phân chuyển động của
chất điểm trong hệ quy chiếu không quán
tính.
§2. Phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ
hệ.
1. phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ
2. Hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của
cơ hệ
Chương III. Phương pháp D’Alembert.
§1. Nguyên lý D’Alembert. Hệ phƣơng trình
tĩnh động.
1.Nguyên lý D’Alembert
a.Lực quán tính D’Alembert
b.Đối với chất điểm
c.Đối với cơ hệ.
2.Hệ phƣơng trình tĩnh động.
a.Hệ phƣơng trình tĩnh động.
b.Các ví dụ.
§2.Các đặc trƣng hình học khối lƣợng của vật
rắn.
1. Khối tâm của cơ hệ.
2. Mô men quán tính của vật rắn
2.1. Định nghĩa
2.2. Tính mô men quán tính của một số vật
đồng chất.
2.3. Các định lý về mô men quán tính.
2.4. Mô men quán tính chính và các trục
quán tính chính của vật rắn.
[1,2,3,4,...] Giảng
3 Chương III. Phương pháp Dalembe (tiếp)
§3. Thu gọn hệ lực quán tính trong một vài
chuyển động thƣờng gặp.
1. Véctơ chính của hệ lực quán tính
2. Mô men chính của hệ lực quán tính trong một
vài chuyển động của vật rắn
[1,2,3,4,...] Giảng
- 8 -
2.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến
2.2. Vật rắn chuyển động quay xung quanh một
trục cố định.
2.3. Vật rắn chuyển động song phẳng.
3. Phản lực ổ trục của vật rắn quay xung quanh
một trục cố định
3.1. Phƣơng trình chuyển động của vật rắn và
phƣơng trình xá định phản lực ổ trục.
3.2. Phản lực động lực của các ổ trục. Điều kiện
để phản lực động bằng phản lực tĩnh.
4 Chương III. Phương pháp D’Alembert(tiếp)
§4. Các định lý động lƣợng và mômen động lƣợng.
1. Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ.
2. Định lý động lƣợng.
3. Định lý mô men động lƣợng.
[1,2,3,4,...] Giảng
5 Thảo luận 1. [1,2,3,4,...] Thảo luận
6 Thảo luận 2 [1,2,3,4,...] Thảo luận
7 Kiểm tra định kỳ
8 Chương IV. Phương pháp Lagrange
§1. Các khái niệm cơ bản.
1.Liên kết và phân loại các liên kết
2.Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ
3.Toạ độ suy rộng
4. Lực suy rộng.
5.Liên kết lý tƣởng.
[1,2,3,4,...] Giảng
9 Chương IV. Phương pháp Lagrange (tiếp)
§2. Nguyên lý D’Alembert – Lagrange
1.Nguyên lý D’Alembert – Lagrange
2.Định lý động năng
2.1. Định lý động năng
2.2. Động năng của vật rắn chuyển động
§3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
1.Vị trí cân bằng của cơ hệ
2.Nguyên lý di chuyển khả dĩ
3. Các ví dụ
[1,2,3,4,...] Giảng
10 Chương IV. Phương pháp Lagrange(tiếp)
§4. Phƣơng trình Lagrange loại II.
1.Phƣơng trình Lagrange loại II.
2.Biểu thức của động năng trong các tọa độ
suy rộng.
[1,2,3,4,...] Giảng
- 9 -
3.Phƣơng trình Lagrange loại hai trong trƣờng
hợp lực có thế
4.Các tích phân chuyển động.
11 Chương V. Va chạm. 2 (2 – 0)
§1. Đặt bài toán va chạm
1. Hiện tƣợng va chạm.
2. Các đặc điểm của quá trình va chạm
3. Mô hình nghiên cứu bài toán va chạm và
Bài toán va chạm trong kỹ thuật..
§2. Áp dụng các định lý động lƣợng mô men
động lƣợng trong quá trình va chạm.
1. Định lý động lƣợng
2. Định lý mô men động lƣợng
§3. Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật.
1. Đặt bài toán. Các phƣơng trình cơ bản.
2. Các kết quả tính toán.
3. Mất động năng trong va chạm.
§4. Tác dụng lực va chạm vào vật quay xung
quanh một trục cố định.
[1,2,3,4,...] Giảng
12 Thảo luận 3 [1,2,3,4,...] Thảo luận
13 Thảo luận 4 [1,2,3,4,...] Thảo luận
13. Ngày phê duyệt
14 . Cấp phê duyệt
Đề cƣơng chi tiết học phần đã đƣợc Hội đồng khối ngành . . . . . . . . phê duyệt
Trƣởng Bộ môn Chủ tịch Hội đồng Chủ tịch Hội đồng
KH & GD Khoa, Trung tâm Khối ngành
- 10 -
MỞ ĐẦU Nhƣ đã biết, các vật thể xung quanh chúng ta luôn luôn chuyển động và tác
dụng tƣơng hỗ lẫn nhau. Đối tƣợng nghiên cứu của Cơ học là thiết lập mối quan hệ
giữa các đại lƣợng đặc trƣng cho chuyển động của các vật thể và sự tƣơng tác giữa
chúng.
Phần Động học đã xây dựng các đại lƣợng đặc trƣng cho chuyển động của
các vật thể: điểm và vật rắn. Phần Động lực học sẽ giải quyết vấn đề tổng quát vừa
nêu ra ở trên.
Để giải quyết bài toán cơ bản của Cơ học đặt ra, nhiều thế hệ các nhà cơ học,
toán học nhƣ Galileo Galileé (1564 - 1642), I. Newton (1642 - 1727), D’Alembert
(1717 - 1783), Lagrange (1736 - 1813), Hamilton (), Xiôn kovxki (1857 - 1935),
Meserxki (1859 - 1935)… đã xây dựng đƣợc các cách tiếp cận khác nhau, đem lại
những thành tựu quan trọng của Cơ học và áp dụng chúng vào thực tiễn. Vì vậy,
chọn lọc các chất liệu cho các bài giảng là một vấn đề cấp thiết và có tầm quan
trọng đặc biệt.
Khi xây dựng bài giảng để giảng dạy cho sinh viên, chúng tôi đã dựa trên hai
yêu cầu chính sau đây:
Một là, quá trình đào tạo đƣợc thực hiện theo học chế tín chỉ, đòi hỏi thay đổi
phƣơng pháp dạy học từ cách thức giảng giải một cách chi tiết cho sinh viên sang
cách thức hƣớng dẫn, kích thích tính tích cực của họ và từ đó, sinh viên là chủ thể
tìm kiếm kiến thức trong khuôn khổ mục đích của môn học.
Hai là, yêu cầu khắc phục tính lạc hậu của nội dung giảng dạy. Nhƣ đã biết,
trong xu hƣớng phát triển tự động hoá, nhiều máy móc, thiết bị (đặc biệt là các rô
bốt) đã đƣợc lắp đặt các chi tiết thực hiện các chuyển động không gian, do đó phần
Động học vật rắn đƣợc nhấn mạnh các đặc trƣng động học của vật rắn trong trƣờng
hợp tổng quát, mà trƣớc đây trong hầu hết các sách giáo khoa Cơ học trong nƣớc
còn bị xem nhẹ nhƣ là một cách “tinh giản” nội dung giảng dạy ở các trƣờng đại
học kỹ thuật.
Từ các yêu cầu đó, các chất liệu sử dụng để đƣa vào các bài giảng này đã
đƣợc chọn lọc nhằm mục đích giúp ngƣời học vừa nắm chắc những nội dung cơ
bản, vừa trang bị khả năng tính toán cho các bài toán Cơ học trong kỹ thuật. Do
vậy, các bài giảng đƣợc thể hiện trong 5 chƣơng, trong đó các chƣơng 2, 3, 4 trình
bày các phƣơng pháp đồng thời cũng là những quan điểm phát triển các kiến thức
Cơ học. Đặc biệt, chúng tôi giành một phần đáng kể để trình bày các ví dụ nhằm
giúp cho sinh viên tự nghiên cứu thuận lợi.
Chúng tôi quan niệm rằng, Cơ học lý thuyết là sự tiếp tục của các kiến thức
Cơ học đã đƣợc trình bày trong các sách giáo khoa Vật lý cho bậc đại học theo
- 11 -
hƣớng nhấn mạnh và áp dụng các kiến thức Cơ học vào việc tính toán các đại lƣợng
Cơ học trong các bài toán kỹ thuật. Do vậy, để hiểu đƣợc các bài giảng này ngƣời
học cần nắm vững các kiến thức Cơ học đã đƣợc trình bày trong các sách giáo khoa
Vật lý và các nội dung toán học cần thiết nhƣ đại số tuyến tính và giải tích toán học.
- 12 -
Chƣơng I.
Các khái niệm cơ bản. Hệ tiên đề động lực học
- :Trang bị cho sinh viên những khái niệm cơ bản của môn học và phƣơng
pháp để nghiên cứu môn học.
- : Đƣa ra mô hình của vật thể chuyển động, hệ quy chiếu quán tính, lực và
hệ tiên đề Động lực học.
-
, phép tính đạo hàm
.
-
.
§1. Các khái niệm cơ bản.
1. Các mô hình các vật thể chuyển động.
2. Hệ quy chiếu quán tính.
3. Lực.
§2. Hệ tiên đề động lực học.
4. Hệ tiên đề
5. Cơ hệ không tự do
6. Tiên đề giải phóng liên kết
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.Mô hình các vật thể chuyển động.
Các đối tƣợng chuyển động nghiên cứu trong Cơ học gọi chung là các vật thể.
Các vật thể có kích thƣớc rất bé so với các kích thƣớc khác trong bài toán đƣợc gọi
là chất điểm. Trong các tính toán ta sẽ coi chất điểm là các điểm không có kích
thƣớc và mang vật chất.
Tập hợp nhiều chất điểm trong một bài toán Cơ học gọi là Cơ hệ. Trong giáo
trình này ta sẽ nghiên cứu các cơ hệ sau đây:
- Các cơ hệ chứa một số hữu hạn chất điểm;
- 13 -
- Các cơ hệ có vô hạn chất điểm, nhƣng khoảng cách giữa chúng không đổi
khi chịu lực và chuyển động và gọi là vật rắn tuyệt đối.
2.Hệ quy chiếu quán tính.
Trong Động lực học, ta khảo sát một loại hệ quy chiếu đặc biệt gọi là hệ quy
chiếu quán tính.
Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu trong đó một chất điểm cô lập thì đứng
yên mãi mãi hoặc là chuyển động thẳng và đều.
Trong thực tế, các hệ quy chiếu quán tính chỉ có thể chọn gần đúng. Tuỳ theo
mức độ chính xác của bài toán, ngƣời ta có thể chọn gần đúng hệ này hay hệ kia
làm hệ quy chiếu quán tính. Chẳng hạn, trong các bài toán thiên văn hoặc du hành
vũ trụ, ngƣời ta thƣờng lấy hệ quy chiếu gắn vào tâm mặt trời còn các trục toạ độ
hƣớng vào các ngôi sao cố định, còn trong các bài toán kỹ thuật thông thƣờng ngƣời
ta chọn mặt đất làm các hệ quy chiếu quán tính v.v… .
3.Khái niệm cơ bản về lực
Lực là đại lượng dùng để đo tương tác cơ học của các vật thể. Tác dụng cơ
học là các tác dụng mà kết quả của nó là làm cho vật thay đổi trạng thái chuyển
động hoặc là biến dạng đi. Lực tác dụng giữa các vật thể biểu thị ở cƣờng độ,
phƣơng, chiều và điểm đặt. Vì vậy, lực có thể mô hình toán học bằng một vectơ
buộc. Vectơ lực, ký hiệu là F
đặt tại điểm đặt của lực tác dụng, cùng phƣơng chiều
với lực tác dụng và có cƣờng độ tỷ lệ với cƣờng độ của lực tác dụng. Từ nay ta sẽ
đồng nhất khái niệm lực tác dụng và vectơ biểu diễn lực và gọi chung là lực.
§2. HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC
Phƣơng pháp tiên đề hay phƣơng pháp mô hình là phƣơng pháp nghiên cứu
dựa trên sự trừu tƣợng hoá các đối tƣợng cụ thể để hình thành các khái niệm, các
định nghĩa cơ bản. Trên cơ sở các khái niệm và định nghĩa này ngƣời ta xây dựng
một hệ các mệnh đề gốc thoả mãn các điều kiện nhất định gọi là các tiên đề và từ đó
bằng các lý luận logic suy diễn ra các quy luật khác. Tập hợp các quy luật xây dựng
đƣợc tạo thành hệ thống lý thuyết của môn học. Chính Newton đã gọi các định luật
cơ bản do ông nêu ra là các axiom (tiên đề) sử dụng các tiên đề đó để xây dựng lý
thuyết về chuyển động cơ học.
1.Hệ tiên đề động lực học
Tiên đề 1. Tiên đề quán tính Galileé.
Một chất điểm cô lập (tức là không chịu tác dụng của lực nào) thì đứng yên
hoặc chuyển động thẳng và đều.Trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều
của chất điểm được gọi là trạng thái quán tính của nó.
- 14 -
Galileé là ngƣời đã phát hiện ra tiên đề này vào năm 1638 và gọi là Định luật
quán tính. Tiên đề này làm cơ sở để xác định một hệ quy chiếu có phải là hệ quán
tính hay không, hay nói khác đi, nó cho ta tiêu chuẩn để xem xét tính quán tính của
một hệ quy chiếu.
Tiên đề 2. Tiên đề cơ bản Động lực học.
Trong hệ quy chiếu quán tính,dưới tác dụng của lực, chất điểm chuyển động với
gia tốc hướng với lực và có độ lớn tỷ lệ thuận với cường độ của lực.
Tiên đề này có thể biểu thị bằng công thức sau
Fwm
(1.1)
trong đó m gọi là khối lƣợng của chất điểm.
Dễ dàng nhận thấy rằng hệ số m đặc trƣng cho tính chất chống lại sự thay đổi
chuyển động do lực gây ra. Tính chất này gọi là tính quán tính của vật và do đó m
thƣờng gọi là khối lƣợng quán tính của vật. Đơn vị khối lƣợng là kg và các bội và
ƣớc của nó.
Khi một chất điểm đặt trên mặt đất, nó bị trái đất tác dụng lực hút hƣớng về
tâm trái đất gọi là trọng lực, ký hiệu là P
và sẽ rơi với gia tốc, ký hiệu là g
gọi là
gia tốc rơi tự do (hay gia tốc trọng trường). Theo tiên đề cơ bản ta có thể viết
Pgm
(1.2)
Hệ thức (1.2) cho ta mối quan hệ giữa trọng lực
và khối lƣợng của các chất điểm đặt trên mặt đất.
Tiên đề 3. Tiên đề tác dụng và phản tác dụng
Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai
chất điểm có cùng đường tác dụng, ngược chiều
và cùng cường độ.
Tiên đề 3 làm cơ sở tính toán các lực tác
dụng trong cơ hệ có nhiều chất điểm.
Tiên đề 4. Tiên đề độc lập tác dụng.
Trong hệ quy chiếu quán tính, dưới tác dụng của một hệ lực chất điểm thu được
gia tốc bằng tổng hình học các gia tốc mà chất điểm có được khi từng lực tác dụng
riêng biệt.
Giả sử trên chất điểm tác dụng hệ lực nFFF
,...,, 21 . Nếu tác dụng riêng rẽ
từng lực một ta sẽ nhận đƣợc các gia tốc nwww
,...., 21 . Khi tác dụng đồng thời hệ lực
trên vào chất điểm, nó sẽ có gia tốc w
:
n
i
iww1
. (1.3)
A
B
ABF
BAF
Hình1.1 Tác dụng và phản tác dụng
- 15 -
Nhân hai vế của đẳng thức vừa viết với m và chú ý rằng kk Fwm
, ta sẽ nhận
đƣợc
n
k
kk wmwm1
n
k
kF1
(1.4)
Đẳng thức (1.4) khẳng định rằng khi tác dụng đồng thời hệ lực nFFF
,...,, 21 chất
điểm sẽ có gia tốc nhƣ khi tác dụng vào chất điểm một lực bằng tổng hình học các
lực thành phần.
2.Cơ hệ không tự do
a) Cơ hệ tự do và không tự do
Cơ hệ tự do là cơ hệ trong đó các chất điểm của nó có thể thực hiện các di
chuyển bé tuỳ ý sang các vị trí lân cận từ vị trí đang xét. Trong trƣờng hợp trái lại
cơ hệ là không tự do. Nhƣ thế trong các cơ hệ không tự do, các chất điểm của nó
chịu các ràng buộc, ngăn cản chuyển động của chúng. Các điều kiện cản trở này gọi
là các liên kết.
b) Phản lực liên kết
Về mặt cơ học sự ngăn cản chuyển động các chất điểm của cơ hệ, tức là tác
dụng vào các chất điểm của cơ hệ các lực. Các lực do liên kết tác dụng vào các chất
điểm của cơ hệ gọi là phản lực liên kết. Phản lực liên kết là các lực thụ động phụ
thuộc vào các lực khác đã xác định tác dụng vào cơ hệ và có chiều ngƣợc với chiều
ngăn cản chuyển động do liên kết gây ra. Các lực xác định đặt vào các chất điểm
của cơ hệ gọi là các lực hoạt động hay lực cho trƣớc.
3.Tiên đề giải phóng liên kết
Các tiên đề phát biểu ở trên đƣợc áp dụng cho các cơ hệ tự do. Đối với các
cơ hệ không tự do ta cần bổ sung vào 4 tiên đề đã phát biểu ở trên tiên đề giải phóng
liên kết.
Tiên đề 5. Tiên đề giải phóng liên kết.
Cơ hệ không tự do(hay cơ hệ chịu liên kết) có thể khảo sát như các cơ hệ tự
do nếu giải phóng liên kết và thay thế các liên kết được giải phóng bằng các thành
phần phản lực liên kết tương ứng.
- 16 -
Chƣơng II.
Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm
và cơ hệ
- :Trang bị cho sinh viên những phƣơng pháp thiết lập phƣơng trình vi
phân chuyển động của chất điểm, cơ hệ và cách giải hai bài toán cơ bản của Động
lực học chất điểm.
- : Phƣơng trình vi phân chuyển động của điểm và cơ hệ trong hệ quy
chiếu quán tính và không quán tính, cách giải bài toán thuận và bài toán ngƣợc.
- phép tính
đạo hàm, tích phân và cách giải phƣơng trình vi phân cấp 2
.
-
.
§1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm
1.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm
2.Các bài toán cơ bản động lực học và cách giải.
3. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm trong
hệ quy chiếu không quán tính.
§2. Phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ.
3. Phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ
4. Hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ
§1,
thảo luận các ví dụ,
§2 sinh viên tự
nghiên cứu.
A. LÝ THUYẾT
§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM
1.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm.
Khảo sát chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính 0R . Theo
tiên đề 4, chất điểm khối lƣợng m chịu tác dụng của các lực nFFF
,...,, 21 , sẽ chuyển
động với gia tốc w
thoả mãn phƣơng trình
Fwm
(2.1)
- 17 -
trong đó nFFFF
...21 . Tuỳ theo những điều
kiện cụ thể của bài toán, ta có thể chọn các hệ toạ độ
khác nhau để viết phƣơng trình (2.1) dƣới dạng toạ
độ.
Trong trƣờng hợp tổng quát, ta chọn hệ toạ độ
Descarte Oxyz và chiếu phƣơng trình (2.1) lên hệ đã
chọn với chú ý rằng
,xwx ,ywy
zwz
ta đƣợc hệ phƣơng trình vô hƣớng
Xxm , (2.2.a)
Yym , (2.2.b)
Zzm , (2.2.c)
gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của điểm dưới dạng toạ độ Descarte.
Trong nhiều trƣờng hợp ta biết trƣớc quỹ đạo chuyển động của chất điểm, do
đó ta có thể xây dựng đƣợc hệ toạ độ tự nhiên bn
,, tại mỗi điểm trên đƣờng
cong. Trong các trƣờng hợp đó, ta thƣờng chọn hệ toạ độ tự nhiên để viết các
phƣơng trình hình chiếu của phƣơng trình (2.1) với chú ý rằng
nv
sw
2
ta đƣợc
Fsm , (2.3.a)
bFv
m2
(2.3.b)
bF0 . (2.3.c)
Hệ phƣơng trình vừa viết gọi là hệ phƣơng trình
vi phân chuyển động của điểm dƣới dạng tự
nhiên.
Trong các chuyển động phẳng ta còn
dùng hệ toạ độ cực ,r để viết các phƣơng
trình hình chiếu. Chú ý rằng
errerrw r
22
ta nhận đƣợc các phƣơng trình hình chiếu của (2.1)
rFrrm 2 , (2.4.a)
Frrm 2 (2.4.b)
O
x y
z
M
F
Hình 2.1
n
b
M
Hình 2.2
re
e
O
Hình 2.3
- 18 -
Hệ phƣơng trình vi phân vừa thu đƣợc gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động
của chất điểm dưới dạng toạ độ cực.
Nói chung, tuỳ theo những bài toán cụ thể ta còn có thể sử dụng các hệ toạ
độ khác để viết các phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm nhƣ hệ toạ độ
cầu, hệ toạ độ trụ v.v…
2.Các bài toán động lực học chất điểm
2.1. Bài toán thuận.
Cho biết chuyển động của chất điểm, tìm lực tác dụng lên chất điểm.
Để giải bài toán này, thoạt tiên ta tìm gia tốc của chất điểm rồi sau đó thay
gia tốc tìm đƣợc vào phƣơng trình (2.1) hoặc các phƣơng
trình ở dạng hìmh chiếu.
Ví dụ 2.1. Một sàng vật liệu dao động điều hoà theo
phương thẳng đứng với biên độ a = 5cm. Hãy xác định tần
số dao động để các hạt có thể bật lên khỏi mặt sàng.
Bài giải.
Khảo sát hạt vật liệu nằm trên mặt sàng.
Các lực tác dụng lên hạt vật liệu gồm trọng lực P
của hạt, phản lực N
của
sàng lên hạt.
Áp dụng phƣơng trình (2.1)
NPwm
.
Trƣớc tiên ta tìm gia tốc của hạt. Do hạt nằm trên sàng nên sẽ dao động điều hoà
cùng với sàng với biên độ a. Do đó, phƣơng trình dao động của hạt có dạng
ktax cos
trong đó k là tần số dao động, là pha ban đầu; k, là các hằng số. Gia tốc của hạt
hƣớng theo phƣơng thẳng đứng và biến đổi theo luật
ktakxw cos2 .
Sử dụng phƣơng trình hình chiếu lên phƣơng x ta đƣợc
NPxg
P ,
ktakg
PPx
g
PPN cos2 .
Khi hạt bật lên khỏi sàng, sàng không tác dụng lực lên hạt nữa, nên 0minN .
Vật điều kiện để hạt bật lên khỏi sàng là
0minN .
Từ đó suy ra
x
N
P
Hình 2.4
x
- 19 -
02
min akg
PPN
Hza
gk 14
05,0
8,9.
Bài toán ngược.
Cho biết lực tác dụng lên chất điểm và điều kiện ban đầu. Tìm chuyển động
của chất điểm (phương trình chuyển động, vận tốc … của chất điểm) dưới tác dụng
của lực ấy.
Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một trong các dạng các phƣơng trình hình
chiếu (2.2), (2.3) hoặc (2.4). Khi đó ta đi đến một hệ phƣơng trình vi phân cấp hai.
Từ lý thuyết phƣơng trình vi phân thƣờng ta biết rằng nghiệm tổng quát của các hệ
phƣơng trình vi phân phụ thuộc vào các hằng số tuỳ ý. Do đó, để tìm một dạng
chuyển động cụ thể của chất điểm ta cần biết các điều kiện ban đầu. Về mặt cơ học
các điều kiện ban đầu thể hiện trạng thái ban đầu về vị trí và vận tốc của điểm. Nhƣ
thế, chẳng hạn nếu ta sử dụng hệ phƣơng trình vi phân chuyển động dƣới dạng toạ
độ Descarte, thì các điều kiện ban đầu cần phải cho trƣớc là
000 )(, xtxtt , 00 )( yty ,
00 )( ztz
00 )( xtx , 00 )( yty , 00 )( ztz .
Ví dụ 2.2. Viên đạn có khối lượng m được bắn lên với
vận tốc ban đầu 0v lập với phương nằm ngang góc .
Tìm phương trình chuyển động, quỹ đạo, độ cao và tầm
xa của viên đạn. Bỏ qua sức cản không khí.
Bài giải
Ta lập hệ trục toạ độ đề các Oxyz với gốc O đặt
tại điểm bắn (đầu nòng súng), trục Ox nằm ngang sao cho 0v
và Ox tạo thành mặt
phẳng thẳng đứng; trục Oy nằm ngang và vuông góc với trục Ox còn Oz hƣớng theo
phƣơng thẳng đứng lên trên.
Viên đạn đƣợc xem nhƣ chất điểm chuyển động dƣới tác dụng của trọng lực P.
Ta có hệ phƣơng trình vi phân chuyển động
0xm
0ym
Pzm
hay là
0x ,
0y ,
gz .
O
x
y
z M
0v
Hình 2.5
- 20 -
Các điều kiện ban đầu
0t , 0)0(x , 0)0(y , 0)0(z ;
cos)0( 0vx , 0)0(y , sin)0( 0vz .
Giải các phƣơng trình này ta đƣợc
1Cx , 21 CtCx ;
3Cy ,
43 CtCy
5Cgtz , 65
2
2CtC
gtz
Thay các điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát tìm đƣợc, ta nhận đƣợc
tvx .cos0,
0y
..sin2
0
2
tvgt
z
Phƣơng trình quỹ đạo
cos
.sincos2 0
022
0
2
v
xv
v
xgz
Ví dụ 2.3 Một vật nặng được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu
0v . Biết rằng lực hút của trái đất tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ vật
đến tâm quả đất. Bỏ qua sức cản của không khí. Khảo sát chuyển động của vật bắn
lên
Bài giải.
Ta xem vật nặng là chất điểm chuyển động
dƣới tác dụng sức hút của trái đất. Chọn trục Oz
xuất phát từ tâm quả đất và hƣớng thẳng đứng
lên. Khi vật ở trên mặt đất Rz và vật có gia tốc
g . Do vậy,
kR
gm
2,
trong đó k
là vectơ đơn vị chỉ phƣơng của trục
Oz. Do đó
2mgR .
Phƣơng trình chuyển động của vật là
2
2
z
mgRzm
hay là
O
kz
F
2
k
Hình 2.6
z
- 21 -
2
2
z
gRz (a)
Các điều kiện ban đầu là
,)0( Rz 0)0( vz (b)
Tích phân phƣơng trình (a) bằng cách nhân hai vế với z ta đƣợc
zz
gRzz
2
2
z
gR
dt
dz
dt
d 22
2
nên
z
gRz 22
2
+ 1C .
Thay điều kiện ban đầu vào ta đƣợc
1
22
0
2C
R
gRvgR
vC
2
2
0
1 (c)
Thay 1, Cvz gRv
2
2
0 vào biểu thức vừa tích phân đƣợc, ta có
z
gRv 22
2gR
v
2
2
0 .
Từ đây suy ra độ cao cực đại sẽ đạt đƣợc khi 0v ,
2
0
2
max2
2
vgR
gRz (d)
Từ đó suy ra để maxz , t.l., vƣợt ra khỏi sức hút của trái đất ta cần có
,02 2
0vgR
hay là
gRv 20 .
Với 2/8,9 smg , mR 610.4,6 ta đƣợc
skmsmgRv /11/1100020
Ngƣời ta thƣờng gọi vận tốc này là vận tốc vũ trụ cấp hai.
Ta trở lại phƣơng trình
z
gRz 22
2
gR
v
2
2
0
hay giải ra đối với z
z
bza
dt
dz
- 22 -
trong đó 22gRa , gRvb 22
0 .
Do đó
dtdzbza
z
Tích phân hai vế, ta đƣợc
22
2
)(22ln)(2
Ctbb
b
bzabzbzaabzabz
.
Thay các giá trị của ba, vào ta đƣợc
22
0
2
0
2
0
2
0
22
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
22
0
)2()2(2
22
))2(2()2(2)2(22ln2
)2()2(2
))2(2()2(2
CtgRvgRv
gRv
zgRvgRzgRvzgRvgRgR
gRvgRv
zgRvgRzgRv
Thay giá trị ban đầu ,)0( Rz ta đƣợc
)2()2(2
22
))2(2()2(2)2(22ln2
)2()2(2
))2(2()2(2
2
0
2
0
2
0
2
0
22
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
22
0
2
gRvgRv
gRv
RgRvgRRgRvRgRvgRgR
gRvgRv
RgRvgRRgRvC
Sau khi giản ƣớc ta nhận đƣợc
gRvgRv
gRv
gRvRvgRRvgR
gRv
RvC
22
2
)2(ln
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0
22
0
22
0
2
0
0
2
Cuối cùng ta đƣợc
)2()2(2
22
))2(2()2(2)2(22ln2
)2()2(2
))2(2()2(2
2
0
2
0
2
0
2
0
22
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
22
0
gRvgRv
gRv
zgRvgRzgRvzgRvgRgR
gRvgRv
zgRvgRzgRv
- 23 -
gRvgRv
gRv
gRvRvgRRvgR
gRv
Rvt
22
2
)2(ln
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0
22
0
22
0
2
0
0
Ví dụ 2.4 Một quả cầu khối lượng m rơi tự do từ một điểm O không có vận tốc ban
đầu dưới tác dụng của trọng lực. Sức cản của không khí đối với quả cầu tỷ lệ bậc
nhất với vận tốc với hệ số tỷ lệ . Hãy xác định chuyển động của quả cầu.
Bài giải
- Chất điểm khảo sát: quả cầu;
- Các lực tác dụng lên chất điểm: Trọng lực P
, lực cản vR
Chọn hệ toạ độ là Oy hƣớng thẳng đứng xuống dƣới. Phƣơng trình vi
phân chuyển động có dạng
ymgyPym
hay là
yngy ; m
n
Điều kiện ban đầu:
0)0()0(,0)0( yvy
Đặt dt
dvvyvy , , ta đƣợc
nvgdt
dv
dtnvg
dv
Tích phân hai vế, với chú ý rằng nvmg ta đƣợc
nteCn
gyv 1
12
ntCgy t e C
n n
Thay các giá trị ban đầu ta đƣợc
10 Cn
g
2
10 Cn
C
Từ đó ta suy ta
n
gC1 ;
22n
gC
R
P
O
M
y
Hình 2.7
- 24 -
Vậy phƣơng trình chuyển động của hệ là
)1(2
nten
gt
n
gy
Xét biểu thức vận tốc
nten
gv 1
ta thấy rằng, khi t thì n
gv . Nhƣ vậy, với t khá lớn, vận tốc v gần nhƣ không
thay đổi. Do đó giá trị n
gv đƣợc gọi là vận tốc giới hạn của chuyển động trong
các môi trƣờng cản (sau này sẽ thấy cả khi lực cản tỷ lệ với bình phƣơng vận tốc
cũng xảy ra điều này).
3.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính.
Trong mục này ta sẽ thiết lập phƣơng trình chuyển động trong một hệ quy chiếu
tuỳ ý. Hệ quy chiếu này, đƣơng nhiên là các hệ quy chiếu không quán tính và từ nay
về sau ta sẽ gọi là hệ quy chiếu tƣơng đối, còn hệ quy chiếu quán tính ta sẽ gọi là hệ
quy chiếu tuyệt đối. Trong động lực học, chuyển động đối với hệ quy chiếu tuỳ ý
đƣợc gọi là chuyển động tương đối.
3.1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu tương
đối.
Ta đã biết, giữa các yếu tố gia tốc trong các hệ quy chiếu tuyệt đối và tƣơng đối
có hệ thức
cera wwww
(2.5)
trong đó, ew
là gia tốc theo và cw
là gia tốc Côriolis
rec vw
2 (2.6)
Thay các biểu thức này vào phƣơng trình chuyển động đối với hệ quán tính
Fwm
,
ta có
Fwwwm cer
.
Chuyển các số hạng ewm
, cwm
sang vế phải và đƣa vào các ký hiệu
e
qt
e wmF
, c
qt
c wmF
(2.7)
ta đƣợc
qt
c
qt
er FFFwm
(2.8)
Các đại lƣợng e
qt
e wmF
, c
qt
c wmF
đƣợc gọi tƣơng ứng là các lực quán tính
theo và lực quán tính Côriôlis.
- 25 -
Nhƣ vậy, trong các hệ quy chiếu không quán tính phƣơng trình vi phân
chuyển động của chất điểm có mặt các thành phần lực mới là các lực quán tính theo
và lực quán tính Côriôlis.
Sự cân bằng tương đối.
Một điểm đứng yên đối với hệ quy chiếu không quán tính đƣợc gọi là cân
bằng tƣơng đối. Đƣơng nhiên trong trƣờng hợp này 0rv
, do đó, 0cw
, suy ra
0qt
cF
. Do vậy, phƣơng trình cân bằng tƣơng đối có dạng
0qt
eFF
(2.9)
Ví dụ 2.5. Sự cân bằng của chất điểm trên mặt đất.
Xét chất điểm đối với mặt đất có kể đến chuyển động quay xung quanh trục
của nó, tức là, đối với hệ quy chiếu tƣơng đối. Do đó trên chất điểm có tác dụng 3
lực:
- Sức hút của trái đất hƣớng từ chất điểm đến tâm quả đất, ký hiệu là P
;
- Lực quán tính theo do sự quay của quả đất
qt
eF
:
2MKmF qt
e
trong đó s/360025
2 là vận tốc góc của trái
đất.
- Phản lực N
của mặt đất lên chất điểm.
Nhƣ thế, phƣơng trình cân bằng là
0NFP qt
e
.
Ký hiệu qt
eFPP
1 và gọi là trọng lực, ta có
1PN
Hƣớng của lực 1P
xác định phƣơng thẳng đứng (phƣơng của dây dọi) tại
điểm đang xét trên mặt đất, còn mặt phẳng vuông góc với 1P
gọi là mặt phẳng nằm
ngang.
Tỷ số giữa lực quán tính theo và của trọng lực bằng
g
R
g
OM
mg
mMK
P
F qt
e coscos 222
1
,
trong đó R là bán kính của quả đất, gọi là vĩ độ của điểm.
Rõ ràng tỷ số 1P
F qt
e có giá trị cực đại tại xích đạo:
,0 kmR 6370 , 2/78,9 smg
O
P
qt
eF
M
K
N
Hình 2.8
1P
- 26 -
00346.01P
F qt
e hay là 290
1
1P
F qt
e .
Từ đó suy ra trọng lƣợng 1P của vật khác rất ít so với lực hút P của quả đất và
hƣớng thẳng đứng lệch với hƣớng của lực hút P
rất nhỏ.
Ví dụ 2.6. Sự rơi của điểm nặng trên mặt đất.
Bài giải
Ta sẽ chọn hệ trục toạ độ nhƣ sau:
- Trục Oz có gốc tại mặt đất, đi qua tâm quả đất và bỏ qua độ lệch nhỏ giữa Oz
với phƣơng thẳng đứng và coi Oz là phƣơng thẳng đứng;
- Trục Oy hƣớng về phía Đông;
- Trục Ox hƣớng về phía Nam.
Các lực tác dụng lên chất điểm bao gồm: trọng lực P
hƣớng vào tâm quả đất (bỏ
qua độ lệch do lực quán tính theo), lực quán tính Côriôlis qt
cF
cos2 r
qt
c vmF
có hƣớng quay về phía Tây.
Từ đó ta viết đƣợc hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm
mgzm
vmym
xm
r
cos2
0
(a)
hay là, do zvr
mgzm
zmym
xm
cos2
0
(b)
Các điều kiện ban đầu
0t , Hzyx )0(,0)0(,0)0(
C
z M
y
x
S
N
o M0
M H
y
z
yma x
rv
qt
cF
Hình 2.9a Hình 2.9b x
- 27 -
0)0(x , ,0)0(y 0)0(z
Tích phân phƣơng trình đầu, ta đƣợc
,1Cx 21 CtCx .
Dựa vào điều kiện ban đầu ta suy ra ngay 021 CC ; nên
0x
Bây giờ ta tích phân phƣơng trình đối với z
gz ,
3Cgtz ,
43
2
2
1CtCgtz .
Từ điều kiện ban đầu ta tìm đƣợc
03C , HC4
Nhƣ vậy theo phƣơng z chuyển động của điểm có phƣơng trình
Hgtz 2
2
1
gtz
Thay biểu thức của z vào phƣơng trình thứ hai của (b), ta đƣợc
gty .cos2
Vậy,
5
2 cos Cgty ,
cos3
1 3gty .
Thời điểm chất điểm rơi xuống đến mặt đất là z = 0, t.l.,
02
1 2 HgT , g
HT
2
Lúc đó điểm có các toạ độ:
0x ,
cos2
3
1)(
3
g
HgTy
0)(Tz .
Do trục Oy hƣớng về phía Đông, nên điểm rơi xuống có toạ độ lệch Đông.
Ví dụ 2.7.Thanh OA có độ dài l = 0.5m quay đều với vận tốc góc s/2 xung
quanh trục thẳng đứng đi qua đầu O của thanh. Tại một thời điểm nào đó một chiếc
vòng đang ở giữa thanh bắt đầu rời khỏi vị trí và trượt trơn dọc theo thanh. Tìm
khoảng thời gian để vòng ra tới đầu thanh.
- 28 -
Bài giải
Ta chọn hệ toạ độ động Oxz gắn vào thanh OA . Khảo sát chuyển động của
vòng đối với hệ toạ độ này
- Các lực tác dụng lên vòng: trọng lƣợng P
của vòng hƣớng song song với
trục z; phản lực N
của thanh lên vòng; lực quán tính theo qt
eF
hƣớng dọc theo thanh
đi ra đầu thanh; lực quán tính Cô riô lis qt
cF
nằm ngang và vuông góc với thanh.
- Phƣơng trình vi phân chuyển động của vòng trong hệ Oxz
qt
c
qt
e FFNPwm
.
Phƣơng trình hình chiếu lên trục Ox có dạng
xmOMmmwFxm e
qt
e
22
hay là
02xx .
Các điều kiện ban đầu:
0)0(,25.02
)0(,0 xml
xt
Phƣơng trình đặc trƣng
022 , 2,1 .
Do đó, nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân chuyển động có dạng
tt eCeCx 21
Thay các giá trị ban đầu ta đƣợc
2125.0 CC , 210 CC
Suy ra
125.021 CC
Vậy,
)(125.0 22 tt eex
O O
A A
z
x
z
x
M M
Hình 2.10:
a) Lúc vòng bắt đầu chuyển động b) Lúc ở vị trí đang chuyển động
qt
eF
qt
cF
P
N
- 29 -
Gọi T là thời gian để vòng đạt đến mút thanh OA. Ta có phƣơng trình xác định T:
)(125.05.0 22 TT ee .
Đặt ue T2 , ta có phƣơng trình đối với u
41
uu
hay là
0142 uu
Giải phƣơng trình này ta đƣợc
732,12142u
Vì 0T nên 12 Te , do đó ta chỉ lấy đƣợc giá trị 732.32 ue T
Ta suy ra
sT 21.02
732.3ln
§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ
1. Phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ.
Các lực tác dụng lên cơ hệ có thể phân loại thành các lực trong và lực ngoài,
hoặc thành các lực hoạt động (lực cho trước) và phản lực liên kết.
Các lực trong ký hiệu là i
kF
là các lực do các
chất điểm của cơ hệ tác dụng tương hỗ lẫn nhau. Các
lực này bao giờ cũng xuất hiện từng đôi có cùng
đƣờng tác dụng, cùng cƣờng độ và ngƣợc chiều. Do
đó, tổng các lực trong luôn luôn bằng không,
0i
kF
(2.10)
và tổng mô men của các lực trong đối với điểm bất kỳ
luôn luôn bằng không
0)( i
kO Fm
(2.11)
Các lực do các cơ hệ khác tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ đang xét gọi là các
lực ngoài, ký hiệu là e
kF
Nhƣ đã biết, phản lực liên kết là các lực do liên kết tác dụng lên các chất
điểm của cơ hệ. Phản lực liên kết là các lực thụ động và đƣợc ký hiệu là kN
. Ngƣợc
lại, các lực khác không phải là các phản lực liên kết là các lực hoạt động hay các
lực cho trƣớc. Ký hiệu cáclực hoạt động là kF
. Tuỳ theo những cách thức giải
Hình 2.11
- 30 -
quyết bài toán ta có thể dung phƣơng pháp phân loại lực theo kiểu này hoặc kiểu
kia, sẽ đƣợc lần lƣợt trình bày trong các chƣơng sau.
2. Hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ.
2.1. Trong hệ quy chiếu quán tính
Xét cơ hệ gồm N chất điểm có khối lƣợng là Nmmm ,...,, 21
. Ta tách riêng chất
điểm thứ k và giả sử các lực tác dụng lên chất điểm là i
kF
và e
kF
hoặc kF
và kN
.
Nhƣ thế, nếu ta sử dụng cách phân loại lực thành lực trong và lực ngoài thì phƣơng
trình chuyển động cho chất điểm thứ k là
e
k
i
kkk FFwm
, k=1,2,…,N
Do đó, đối với cơ hệ có N chất điểm ta có hệ phƣơng trình vi phân chuyển động sau
đây
e
N
i
NNN
ei
ei
FFwm
FFwm
FFwm
.........................
2222
1111
(2.12)
Dễ nhận thấy rằng nếu sử dụng phƣơng pháp phân loại các lực thành các lực hoạt
động và phản lực liên kết ta sẽ có hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ là
NNNN NFwm
NFwm
NFwm
.....................
,
2222
1111
(2.13)
2.2. Trong hệ quy chiếu không quán tính
Khi khảo sát chuyển động của các chất điểm trong hệ quy chiếu không quán
tính, ngoài các lực thông thƣờng ta cần phải them vào các lực quán tính theo và
quán tính cô ri ô lis của các chất điểm. Nhƣ thế, hệ phƣơng trình vi phân chuyển
động của cơ hệ trong các hệ quy chiếu không quán tính sẽ là
qtc
N
qte
N
e
N
i
NNN
qtcqteei
qtcqteei
FFFFwm
FFFFwm
FFFFwm
.........................
222222
111111
(2.14)
Việc nghiên cứu trực tiếp hệ phƣơng trình vi phân chuyển động trên đây là một
công việc rất khó khăn vì số phƣơng trình và số ẩn rất lớn (3N phƣơng trình vi phân
vô hƣớng với 6N ẩn là các toạ độ Nkzyx kkk ,...,2,1,,, ) và 3N thành phần phản lực
liên kết. Do đó, sau đây ta sẽ lần lƣợt tìm các phƣơng pháp để nhận đƣợc những
- 31 -
dạng phƣơng trình thuận lợi hơn trong việc nghiên cứu chúng và áp dụng vào việc
giải quyết các bài toán thực tế.
B. THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP
II.1. Nội dung thảo luận
Vấn đề 1: Phƣơng trình vi phân của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính.
Vấn đề 2: Phƣơng trình vi phân của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính.
Vấn đề 3: Phƣơng pháp giải bài toán thuận và bài toán ngƣợc.
II.2. Bài tập
Các bài toán thuận : 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 ( trang 31-32 sách bài tập Cơ học (tập 2)-Đỗ
Sanh, Lê Doãn Hồng).
Các Bài toán ngƣợc: 1.11, 1.13, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18, 1.21( trang 33-36 sách
bài tập Cơ học (tập 2)-Đỗ Sanh, Lê Doãn Hồng).
- 32 -
Chƣơng III
Phƣơng pháp Đalămbe
- c tiêu: Trang bị cho sinh viên một phƣơng pháp hình học giải quyết bài toán
Động lực học vật rắn
- : Trình bày nội dung và ứng dụng nguyên lý Đalămbe, đƣa ra các đặc
trƣng hình học khối lƣợng của vật rắn, cách xác định phản lực ổ trục. Các định lý
động lƣợng và mômen động lƣợng.
- thu gọn hệ
lực không gian và điều kiện cân bằng của hệ lực không gian phần Tĩnh học
.
-
.
§1. Nguyên lý D’Alembert. Hệ phƣơng trình tĩnh động.
1.Nguyên lý D’Alembert
2.Hệ phƣơng trình tĩnh động.
§2.Các đặc trƣng hình học khối lƣợng của vật rắn.
1. Khối tâm của cơ hệ.
2. Mô men quán tính của vật rắn
§3. Thu gọn hệ lực quán tính trong một vài chuyển động
thƣờng gặp.
1. Véctơ chính của hệ lực quán tính
2. Mô men chính của hệ lực quán tính trong một vài chuyển
động của vật rắn.
3. Phản lực ổ trục của vật rắn quay xung quanh một trục cố
định
§4. Các định lý động lƣợng và mômen động lƣợng.
1. Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ.
2. Định lý động lƣợng.
3. Định lý mô men động lƣợng.
các
kiến thức cơ bản,
thảo luận các ví dụ.
Sinh viên tự nghiên
cứu cách chứng
minh các công thức.
A. LÝ THUYẾT
- 33 -
§1. NGUYÊN LÝ Đ’ALEMBERT
1. Lực quán tính.
Lực quán tính của chất điểm là một lực tƣởng tƣợng đặt vào chất điểm, có
chiều ngƣợc với chiều gia tốc và có cƣờng độ bằng tích khối lƣợng và gia tốc của
chất điểm, ký hiệu là qtF
wmF qt . (3.1)
2. Nguyên lý Đa lam be đối với chất điểm
Tại mỗi thời điểm, các lực (có thật) tác dụng lên chất điểm và lực quán tính
của chất điểm tạo thành một hệ lực cân bằng.
0),( qtFF
(3.2)
Chứng minh
Nguyên lý Đalambe có thể suy trực tiếp từ tiên
đề II Newton. Theo tiên đề này
Fwm
.
Ta chuyển vế trái sang phải và đặt qtFwm
)( , ta
đƣợc
0)( wmF
, 0qtFF
.
Đẳng thức cuối cùng này chứng tỏ các lực qtFF
, tạo thành hệ lực cân bằng.
Việc đƣa vào lực quán tính chỉ có ý nghĩa “cân bằng” hình thức trong tính
toán, vì đối với chất điểm lực quán tính đƣợc tƣởng tƣợng đặt vào chất điểm.
3 Nguyên lý Đa lam be đối với cơ hệ.
3.1. Nguyên lý Đa lam be đối với cơ hệ.
Tại mỗi thời điểm các lực trong, lực ngoài tác dụng lên các chất điểm của cơ
hệ và các lực quán tính của chúng tạo thành một hệ lực cân bằng.
0),,( qt
k
e
k
i
k FFF
. (3.3)
Chứng minh
Đối với chất điểm thứ k, ta có
0qt
k
e
k
i
k FFF
, k = N,...,2,1 (3.4)
Ta suy ra
0),,( qt
k
e
k
i
k FFF
.
3.2. Hệ phương trình “tĩnh động”
Ta cộng từng vế của phƣơng trình (3.4) theo k , ta đƣợc
m
F
w
qtF
Hình 3.1
- 34 -
0)(k
qt
k
e
k
i
k FFF
.
Nhân có hƣớng hai vế của (3.4) với kr
, rồi cộng lại
0)( qt
k
e
k
i
k
k
k FFFr
.
Chú ý đến tính chất của các lực trong
0k
i
kF
, 0i
k
k
k Fr
Các phƣơng trình trên có thể viết lại dƣới dạng
0k k
qt
k
e
k FF
0k k
qt
kk
e
kk FrFr
hay đƣa vào các ký hiệu
k k
qt
k
qte
k
e FRFR
,
là vectơ chính của các lực ngoài và vectơ chính của các lực quán tính;
k k
qt
kk
qte
kk
e FrMFrM
00 ,
là mô men chính của các lực ngoài và mô men chính của các lực quán tính, các
phƣơng trình trên đƣợc viết nhƣ sau
0qte RR
(3.5)
000
qte MM
(3.6)
Hệ phƣơng trình (3.5), (3.6) đƣợc gọi là hệ phương trình tĩnh động. Hệ
phƣơng trình này về hình thức có dạng nhƣ các phƣơng trình cân bằng tĩnh học,
nhƣng thực chất nó cho ta các phƣơng trình biểu thị trạng thái chuyển động của cơ
hệ. Hệ phƣơng trình tĩnh động cho ta một phƣơng tiện để thiết lập các phƣơng trình
mà trong nhiều trƣờng hợp chúng mô tả
hoàn toàn trạng thái của cơ hệ.
Ví dụ 3. 1. Một trục máy mất cân bằng được
mô hình bằng hai chất điểm 21,MM , có
khối lượng tương ứng là 1m và 2m nằm trong
hai mặt phẳng vuông góc với nhau và chứa
trục quay, khoảng cách của chúng đối với
trục quay tương ứng bằng 1e và 2e . Trục
máy quay đều với vận tốc góc . Xác định
các phản lực tại các ổ trục A và B. Các kích
thước khác được cho trên hình vẽ. Bỏ qua
z
y
x AX
AY
AZ
BX
BY
A
B
1P
2P
a
b
c
Hình 3.2
1
qtF
2
qtF
- 35 -
ma sát tại các trục quay.
Bài giải
- Cơ hệ khảo sát: trục AB mang các khối lƣợng;
- Các lực đặt lên hệ:
* Các lực ngoài: ),,,,,( ,21 BBAAA YXZYXPP
* Các lực quán tính: ),( 21
qtqt FF
+ 1
2
1111 emwmF qt ,
+ 2
2
2222 emwmF qt .
- Viết các phƣơng trình tĩnh động
02
qt
BAk FXXX
01
qt
BAk FYYY
021 PPZZ Ak
0)()( 111 abFcbaYePm qt
Bx
0)( 222 aFcbaXePm qt
By .
- Giải hệ phƣơng trình vừa nhận đƣợc ta có
cba
agem
cba
aemgem
cba
aFePX
qt
B
2
222
2
222222 ;
BYcba
abgem
cba
abemgem
cba
abFeP qt )()()( 2
112
2
211111 ;
cba
cbaagemem
cba
agemFXX qt
BA
)(22
222
2
2
2
222
cba
cbgemX A
)(2
22 ;
cba
cbaabgemem
cba
abgemFYY qt
BA
)()()( 22
111
2
1
2
111
cba
cgemYA
2
11 ;
gmmZ A )( 21 .
- 36 -
§2. CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC KHỐI LƯỢNG CỦA VẬT RẮN
1. Khối tâm của cơ hệ
Ta xét cơ hệ gồm N chất điểm có khối lƣợng tƣơng ứng là nmmm ,...,, 21 và vị
trí của chúng đƣợc xác định bởi các vectơ Nrrr
,...,, 21
Định nghĩa. Khối tâm của cơ hệ là một
điểm hình học C được xác định bởi vectơ Cr
theo
công thức
N
k
k
N
k
kk
C
m
rm
r
1
1
(3.7)
Đại lƣợng
MmN
k
k
1
(3.8)
đƣợc gọi là khối lƣợng của cơ hệ.
Ta lập hệ trục toạ độ Oxyz. Các toạ độ của khối tâm C đƣợc xác định theo
công thức
,1
M
xm
x
N
k
kk
C ,1
M
ym
y
N
k
kk
C M
zm
z
N
k
kk
C1 . (3.9)
ở đây, kkk zyx ,, ),...,2,1( Nk là toạ độ của chất điểm thứ k.
Đối với các cơ hệ nằm gần quả đất, mỗi chất điểm chịu tác dụng một sức hút
kp . Do gmp kk và trọng tâm G của cơ hệ đƣợc xác định bằng công thức
P
rp
r
N
k
kk
G1
nên ta suy ngay ra nó trùng với khối tâm của cơ hệ.
Trƣờng hợp riêng, khi cơ hệ là một vật rắn các công thức trên biến thành các
công thức tích phân
V
C dVrzyxM
r
),,(1
(3.10)
trong đó ),,( zyx là mật độ khối lƣợng của vật. Trƣờng hợp vật đồng chất mật độ
không đổi và bằng
V
M
O y
x
z
m1
m2
mk
mn
C
Hình 3.3
- 37 -
đƣợc gọi là khối lƣợng riêng của vật. Dễ dàng thấy rằng khi vật đồng chất và đối
xứng, nếu ta chọn O là tâm đối xứng của vật, tích phân (3.10) bằng không, t.l., khối
tâm của vật đồng chất có tâm đối xứng sẽ nằm tại tâm đối xứng của vật.
Bằng cách lý luận nhƣ vậy, ta tin rằng đối với các vật đồng chất có trục/mặt phẳng
đối xứng thì khối tâm của vật sẽ nằm trên trục/mặt phẳng đối xứng của vật.
2.Mô men quán tính của vật rắn.
Để đơn giản, ta có thể coi vật rắn là cơ hệ gồm các chất điểm có khối lƣợng
,..., 21 mm . Ta có định nghĩa
2.1.Định nghĩa
Định nghĩa 1. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục Oz, ký hiệu là Jzz là bằng
tổng các tích khối lượng của các chất điểm và khoảng cách từ điểm đó đến trục
2
kkzz mJ (3.11)
trong đó k là khoảng cách từ điểm kM đến trục Oz, km
là khối lƣợng của chất điểm kM .
Trong hệ toạ độ Oxyz ,
222
kkk yx
do đó
)( 22
kkkzz yxmJ .
Tƣơng tự, ta có
)( 22
kkkxx zymJ ,
)( 22
kkkyy xzmJ .
Đơn vị của mô men quán tính là Kgm2.
Định nghĩa 2. Mô men quán tính của vật rắn đối với điểm O bằng tổng các tích
khối lượng của các chất điểm với khoảng cách từ điểm đó đến O
2222
kkkkkkO zyxmrmJ (3.12)
Trong kỹ thuật, ngƣời ta còn dung khái niệm bán kính quán tính để thay cho mô
men quán tính đối với một trục. Bán kính quán tính đối với trục Oz, ký hiệu là
z liên hệ với mô men quán tính qua công thức
2
zzz MJ (3.13)
Cùng với các mô men quán tính, ngƣời ta còn đƣa ra các đại lƣợng khác gọi
là các mô men quán tính ly tâm hay các tích quán tính
kkkyxxy yxmJJ ,
kkkzxxz zxmJJ , (3.14)
kkkzyyz yzmJJ .
Mk k
y
z
x Hình 3.4
- 38 -
2.2.Tính mô men quán tính của một số vật đồng chất.
2.2.1. Mô men quán tính của thanh
đồng chất.
Xét thanh OA đồng chất, độ dài
OA = l, khối lƣợng m. Qua A ta vẽ
trục Oz vuông góc với thanh và đi
qua đầu O của thanh.
Ta chia thanh thành các phân tố iii xxx 1 khá bé. Khi đó khối lƣợng của
phân tố thanh là
ii xm ,
trong đó là mật độ khối lƣợng của thanh. Theo định nghĩa mô men quán tính của
thanh đối với trục Oz
iiiizz xxxmJ 22 .
Tổng này với sự phân bố liên tục của các điểm đƣợc tính bằng tích phân
l l
zz
lxdxxJ
0
3
0
32
33.
Do l
M, nên công thức trên trở thành
3
2MlJ zz (3.15)
2.2.2. Mô men quán tính của vòng tròn đồng chất
Giả sử ta có một vòng trong đồng chất, khối lƣợng M, bán kính R. Khi đó, nếu ta
chia vòng tròn thành các cung nhỏ is . Dễ thấy rằng
22 mRRmJ kzz
Vậy
2mRJ zz (3.16)
2.2.3. Mô men quán tính của đĩa tròn đồng chất
a) Đối với trục Oz vuông góc với đĩa và đi qua tâm đĩa. Giả sử đĩa tròn đồng chất có
bán kính R mật độ khối lƣợng là
2R
M
S
M
Ta xét một phân tố tạo dạng hình vành khăn có bán kính nhỏ là
ir và bán kính lớn là ii rr .
Mô men quán tính của hình vành khăn đối với trục Oz
theo (3.11) là:
x O A
ix
ix
z
Hình 3.5
x O
Hình 3.6
y
- 39 -
2222
iiiiiiz rrrrrmJ .
Bỏ qua các vô cùng bé bậc cao, ta có
iizz rrJ 2
Do đó, mô men quán tính của tấm tròn sẽ biểu diễn bằng tích phân
24
222
2
0
4
2
3
2
0
3
0
MRr
R
Mdrr
R
MdrrJ
RRR
zz
Vậy,
2
2MRJ zz (3.17)
b) Đối với các trục Ox, Oy nằm trên đĩa, đi qua tâm đĩa.
Do các toạ độ z bằng không nên
2
kkxx ymJ ; 2
kkyy xmJ
Hơn nữa,
yyxxkkkzz JJyxmJ )( 22 .
Ta suy ra
42
1 2MRJJJ zzyyxx . (3.18)
2.2.4. Mô men quán tính của trụ tròn đồng chất.
a) Đối với trục Oz. Giả sử trụ tròn đồng chất có bán kính đáy là R, chiều cao H,
khối lƣợng M. Ta chia hình trụ thành các mặt
tròn song song với đáy với các chiều cao ih .
Ta có
2
2RmJ izz ;
ii hRm 2 ;
HR
M2
.
Do đó
ii
zz hH
MRR
HR
hRMJ
22
22
2
2
nên
iizz hH
MRh
H
MRJ
22
22
22
22 MRH
H
MR.
Vậy,
ih
O
x
Hình 3.7
C x
y’
x’
z
y
- 40 -
2
2MRJ zz (3.19)
b) Đối với các trục Ox’, Oy’ nằm trên mặt tròn vuông góc với đi qua khối tâm khối
trụ.
Ta lại xét mô men quán tính của một phân tố khối trụ đối với Cx’. Ta áp
dụng công thức
2MdJJ xCx .(*)
((*)
công thức này sẽ chứng minh ở mục sau)
Khi đó,
2
'' iixCx zmJJ 22
iixC zhRJ ;
44
222 RhRRmJ ii
x .
nên
4
22 RhR i 22
iixC zhRJ
Do đó,
22
22222
44iiii
ixC z
RzRzzR
RzRJ
2
2
32
22
2
22
2
3
1
44
H
Hi
H
H
iixC zzR
RzdzR
RJ
43
1
4883
1
4
322
3322 HHR
RHHHR
RJ xC.
Thay HR
M2
vào phƣơng trình trên ta đƣợc
2232
2
2 31243
1
4HR
MHHR
HR
MRJ xC
Vậy,
22312
HRM
JJ yCxC ; (3.20)
2.3. Các định lý về mô men quán tính của vật rắn.
Định lý 1. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z bằng tổng của mô men quán
tính của vật đó đối với trục z’ đi qua khối tâm C song song với z và tích của khối
lượng M của vật đó với bình phương khoảng cách giữa hai trục.
2MdJJ zCzz (3.21)
trong đó d là khoảng cách giữa hai trục.
Chứng minh
- 41 -
Qua C ta vẽ hệ trục toạ độ Cx’y’z’
sao cho Cx’ nằm trong mặt phẳng (z, Cz’).
Ta ký hiệu các khoảng cách từ kM đến các
trục z và Cz’ tƣơng ứng là k và
k. Ta có
2
kkzz mJ ;
cos2222 dd kkk
do đó
cos222 ddmJ kkkzz
Chú ý rằng
zCkk Jm 2 ,
0cos kkkk xmm
nên thay vào công thức trên ta đƣợc
2MdJJ zCzz .
Định lý đƣợc chứng minh.
Định lý 2. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục Ol bất kỳ qua gốc toạ độ O
được tính theo công thức
.coscos2coscos2coscos2
coscoscos 222
yzxzxy
zzyyxxll
JJJ
JJJJ (3.22)
trong đó cos,cos,cos là các thành phần của vectơ đơn vị 0l
của tia Ol trong hệ
toạ độ Oxyz.
Chứng minh.
Theo định nghĩa
2
kkll dmJ2
0
2 .lOMOMm kkk
2222 coscoscos kkkkkkkll zyxzyxmJ
Chú ý rằng 1coscoscos 222 ,
hay cũng thế
222 coscoscos1 ,
222 coscoscos1 ,
222 coscoscos1
nên hệ thức trên có thể viết lại là
coscos2coscoscos 222222222
kkkkkkkkkll yxzyxzyxmJ
22222222 coscos2coscos2 kkkk zyzx
y’
z
d
k
k
kM
kM
z’
x’
Hình 3.8
- 42 -
)cos(coscoscoscoscos 222222222
kkkkll zyxmJ
coscoscoscoscoscos2 kkkkkkk zyzxyxm
Vậy
222222222 cos)(cos)(cos)( kkkkkkkkkll yxmxzmzymJ
coscos2coscos2coscos2 kkkkkkkkk zymzxmyxm
và từ đây ta suy ra công thức (3.22).
2.4. Các trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm.
2.4.1. Các định nghĩa.
Định nghĩa 1. Trục Oz được gọi là trục quán tính chính tại O nếu các tích quán
tính yzxz JJ , bằng không
0yzxz JJ (3.23)
Định nghĩa 2. Trục Oz được gọi là trục quán tính trung tâm nếu nó là trục quán
tính chính và đi qua khối tâm.
Từ định nghĩa các tích quán tính, ta dễ thấy rằng nếu hai trục nào đó là các
trục quán tính chính tại O thì trục thứ ba vuông góc với hai trục trên cũng là trục
quán tính chính.
2.4.2. Giải thích hình học phân bố mô men quán tính của vật tại một điểm. Ellipxoit
quán tính.
Nhƣ đã biết, đối với mỗi trục Ol mô men quán
tính của vật rắn đƣợc biểu thị bằng công thức (3.22).
Bây giờ ta khảo sát sự thay đổi của mô men quán
tính llJ khi thay đổi hƣớng của Ol, hay nói khác đi
thay đổi các góc , và . Để có hình ảnh trực
quan, ta đặt trên trục Ol một đoạn ON
llJON
1 (3.24)
Ta biểu diễn các cô sin chỉ phƣơng của Ol qua độ dài ON và toạ độ (x, y z) của nó
llJxON
xcos ,
llJyON
ycos
llJzON
zcos
Thay vào phƣơng trình (3.22) ta đƣợc
zxJJxzJJxyJJzJJyJJxJJJ llxyllxyllxyllzzllyyllxxll 222222
x
y
z
l
O
N
Hình 3.9
- 43 -
Đơn giản hai vế cho llJ ta đƣợc
1222222 zxJxzJxyJzJyJxJ xyxyxyzzyyxx (3.25)
Phƣơng trình (3.25) biểu thị một mặt bậc hai là quỹ tích các điểm N đặc
trƣng cho mô men quán tính của vật rắn đối với trục Ol(N). Đây là mặt ellip xôit vì
khoảng cách tất cả các điểm N đến O là hữu hạn ( llJON /1 ) và gọi là ellipxoit
quán tính. Tâm của ellipxoit nằm ở gốc toạ độ (vì phƣơng trình không chứa các số
hạng bậc nhất), còn các trục đối xứng của nó là
các trục quán tính chính, còn các mô men đối với
các trục này gọi là mô men quán tính chính.
Nếu ta sử dụng các trục quán tính chính
làm các trục toạ độ, phƣơng trình ellipxoit có dạng
đơn giản
1222 ZJYJXJ ZZYYXX.
§3. THU GỌN HỆ LỰC QUÁN TÍNH
TRONG MỘT VÀI CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN
Khi áp dụng phƣơng pháp tĩnh động ta cần đặt các lực quán tính của các chất
điểm của cơ hệ để viết các phƣơng trình tĩnh động. Tuy nhiên, việc này chỉ thích
hợp đối với các cơ hệ có một số hữu hạn chất điểm, còn đối với các cơ hệ có rất
nhiều chất điểm ta cần phải thu gọn hệ lực quán tính để đƣợc các hệ lực đơn giản
hơn.
Từ lý thuyết thu gọn hệ lực ta biết rằng, một hệ lực trong trƣờng hợp tổng
quát sẽ tƣơng đƣơng với một lực và một ngẫu lực. Lực thu gọn bằng vectơ chính
của hệ lực, t.l. bằng tổng vectơ các lực thành phần, còn ngẫu lực có mô men bằng
mô men chính của hệ lực đối với tâm thu gọn t.l. bằng tổng mô men của các lực đối
với tâm thu gọn. Ta áp dụng lý thuyết này để thu gọn hệ lực quán tính của một vài
chuyển động hay gặp nhất của vật rắn.
1. Vectơ chính của hệ lực quán tính.
Theo định nghĩa, vectơ chính của hệ lực quán tính là
Ckk
qt
k
qt wMwmFR
.
Vậy, vectơ chính của hệ lực quán tính trong mọi trƣờng hợp luôn luôn tính
bằng tích khối lƣợng của hệ với gia tốc khối tâm của hệ với dấu ngƣợc lại:
C
qt wMR
(3.26)
X
Y
Z
O
Hình 3.10
- 44 -
2. Mô men chính của các lực quán tính trong một vài chuyển động của vật rắn.
2.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến.
Theo tính chất của vật rắn chuyển động tịnh
tiến, gia tốc của mọi điểm đều bằng nhau, nên
wwk
không phụ thuộc chỉ số k. Do vậy, ta lấy tâm thu gọn
là khối tâm C, ta đƣợc
0wrwrmwmrwmrM Ckkkk
qt
Ctt
.
Nhƣ vậy, thu gọn hệ lực quán tính của vật chuyển động tịnh tiến về khối tâm
C của vật ta được một lực quán tính đặt tại khối tâm xác định bằng công thức (3.26)
còn mô men chính của các lực quán tính bằng không.
2.2. Vật chuyển động quay xung quanh một trục cố định với vận
tốc góc và gia tốc góc .
Để tìm biểu thức của mô men chính của các lực quán tính,
ta đƣa vào khảo sát hệ toạ độ đề các Oxyz . Khi đó đối với điểm
kM bất kỳ của vật sẽ đƣợc xác định bằng vectơ bán kính kr
có các
thành phần ),,( kkk zyx . Thu gọn hệ lực quán tính về gốc toạ độ O,
ta đƣợc
n
kkkkkkk
qt wwrmwmrM
0
)( kkkkkk rrmrrm
))(())(.( 22
kkkkkkkk rrrmrrrm
)()))(().(( 222
kkkkzkykxkkkkk zrmzezeyexzyxm
))(()( 222
xkkykkkykkkxkkkzkkk ezyezxmezymezxmeyxm
Cuối cùng, với chú ý
yzkkkxzkkkzzkkk JzymJzxmJyxm ,,)( 22
ta nhận đƣợc
zzzyxzyzxyzxz
qt eJeJJeJJM
)()( 22
0 .
(3.28)
Nhƣ vậy, thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn
chuyển động quay về một tâm nằm trên trục quay ta được
C
Hình 3.11
kw
n
kw
kr
O
Hình 3.12
C
qt
CR
qt
CM
Hình 3.13
z’
x’
y’
- 45 -
một lực quán tính xác định bằng công thức (3.23) và một mô men chính xác định
bằng công thức (3.24).
2.3. Vật chuyển động song phẳng.
Trong trƣờng hợp vật chuyển động song phẳng, ta chọn điểm thu gọn là khối
tâm. Khi đó bằng cách tính toán hoàn toàn tƣơng tự, ta nhận đƣợc các kết quả thu
gọn hệ lực quán tính về khối tâm: Hệ lực quán tính của vật thực hiện chuyển động
song phẳng thu về một lực quán tính đặt tại khối tâm theo công thức (3.23) và một
mô men chính đối với khối tâm xác định bằng công thức
zzzyxzyzxyzxz
qt
C eJeJJeJJM
)()( 22 , (3.29)
trong đó zzyzxz JJJ ,, là các tích quán tính và mô men quán tính của vật đối với hệ
trục gắn vào khối tâm của vật.
Thông thƣờng ta hay gặp các vật chuyển động song phẳng là các tấm phẳng
chuyển động. Khi đó, nếu lấy trục Cz vuông góc với tấm, các tích quán tính bằng
không vì 0kz , nên mô men chính của các lực quán tính có dạng đơn giản
zzz
qt
C eJM
(3.30)
Ví dụ 3.2. Một dây treo vật nặng có trọng lượng Q quấn
vào một tang tời có trọng lượng P, bán kính r. Bỏ qua
khối lượng dây và cho rằng ma sát tại ổ trục của tời tạo
ra ngẫu lực cản có mô men tỷ lệ thuận với vận tốc góc
của tăng tời: CM . Hãy xác định vận tốc góc của
tang tời khi vật nặng rơi xuống theo phương thẳng đứng
từ trạng thái đứng yên. Cho biết bán kính quán tính của
tang tời đối với trục quay của nó là .
Bài giải
Cơ hệ khảo sát gồm bộ tời và vật nặng A
Các lực ngoài: ),,,( 0RMQP ms
Các lực quán tính ( qtqt RM
, ),
2
0g
QJM qt , r
g
Pw
g
PR A
qt ,
Phƣơng trình tĩnh động có dạng
0PrrRMM qt
ms
qt
0Pr 2
2 rPgg
Q
gQ
rP
dt
d22 Pr
,
A
O
Q
0R
P
qtM
msM
qtR
Hình 3.14
- 46 -
22 PrQ
gdt
rP
d
Phƣơng trình vừa viết là phƣơng trình vi phân chuyển động của hệ. Để tìm sự biến
thiên của vận tốc góc, ta cần đƣa vào các điều kiện ban đầu rồi tích phân phƣơng
trình trên
Điều kiện ban đầu: 00,0t (c)
Tích phân hai vế phƣơng trình chuyển động ta đƣợc
'lnPr
Prln1
22Ct
Q
g
CtQ
gln
Pr)ln(Pr
22
Nâng hai vế lên mũ cơ số e
t
Q
g
Ce22 PrPr .
Thay điều kiện ban đầu (c) ta đƣợc PrC
Vậy,
t
Q
g
e22 PrPrPr
Giải phƣơng trình vừa nhận đƣợc đối với ta đƣợc
t
Q
g
e22 Pr1
Pr.
Nhận xét, khi t , 022 Pr
tQ
g
e , Pr
. Do hàm 022 Pr
tQ
g
e rất nhanh nên ta
có thể thấy ý nghĩa của hệ thức này là sau một khoảng thời gian không lớn vận tốc
góc Pr
. Vì vậy ta gọi giá trị Pr
là vận tốc góc giới hạn của vật.
Ví dụ 3.3. Một đĩa tròn đồng chất trọng lượng P bán kính r chuyển động trên mặt
phẳng nghiêng nhám. Cho biết hệ số ma sát tĩnh giữa đĩa và mặt đường là f0 và hệ
số ma sát động là f. Tìm gia tốc của tâm C đĩa. Với
điều kiện nào thì đĩa chuyển động lăn không trượt.
Bài giải
Ta giải bài toán này bằng cách áp dụng Nguyên lý
D’Alembert.
- Vật khảo sát: Đĩa tròn chuyển động trên mặt
nghiêng
- Đặt các lực ngoài và các lực quán tính
+ Lực ngoài: msFNP
,, đƣợc biểu thị trên hình vẽ.
C
P
N
msF
y
Cw
qt
CM
qt
CF
x
Hình 3.15
- 47 -
+ Lực quán tính. Ta thu gọn hệ lực về khối tâm C.
Lực quán tính: C
qt
C wg
PF
;
Mô men chính của các lực quán tính: C
qt
C JM .
- Viết các phƣơng trình tĩnh động
0sin qt
Cmsk FFPX
0cos NPYk
0qt
CmsC MrFm .
a) Trƣờng hợp vật lăn không trƣợt.
Ta có
fNFms;
rwC.
Thay các hệ thức này vào phƣơng trình trên ta nhận đƣợc
0sin Cms wg
PFP
cosPN ;
02
Pr 2
grFms hay là 0
2Cms w
g
PF .
Giải hệ phƣơng trình này ta có
02
3sin Cw
g
PP , gwC
3
sin2.
3
sin
3
sin2
22
Pg
g
Pw
g
PF Cms
Điều kiện lăn không trƣợt là
cosfPFms . cos3
sinfP
P.
Vậy
f3tan .
b) Trƣờng hợp có trƣợt (không thoả mãn bất đẳng thức cuối cùng)
Trong trƣờng hợp này lực ma sát đạt đƣợc giá trị giới hạn của nó,
cosfPfNFms .
Phƣơng trình đầu của hệ phƣơng trình tĩnh động trở thành
0cossin Cwg
PfPP ,
gfwC )cos(sin .
- 48 -
Chú ý :Trong trƣờng hợp này giữa gia tốcCw và gia tốc góc không còn đúng quan
hệ rwC. Phƣơng trình cuối của hệ phƣơng trình tĩnh động cho ta tìm đƣợc gia tốc
góc.
Ví dụ 3.4.
Thanh mảnh đồng chất AB có độ dài l trọng lượng P được buộc đầu B vào
sợi dây treo thẳng đứng BD, đầu A tựa trên nền nhẵn nằm ngang, tạo với phương
ngang góc 0
0 45 . Tại một thời điểm nào đó, sợi dây bị đứt làm thanh bắt đầu
chuyển động. Xác định phản lực của nền tại đầu A.
Bài giải
- Cơ hệ khảo sát: thanh AB sau khi dây bị đứt.
- Lực ngoài: NP
, .
- Các lực quán tính ( qt
C
qt MR
, )
C
q wMR
, CC
qt
C JJM , 12
2MlJC .
Ta sẽ chọn gốc toạ độ tại hình chiếu của khối tâm xuống phƣơng nằm ngang,
trục Ox nằm ngang, còn trục Oy thẳng đứng nhƣ hình vẽ.
- Hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của thanh có dạng
0CxM (a)
0CyMNP (b)
.012
cos2
2
Mll
N (c)
Các điều kiện ban đầu
0)0(,)0(;0)0()0(,0 CC xxt
Từ phƣơng trình đầu, ta có
21 CtCxC
A
B
D
A
B
x P
N
C C
x
y
Hình 3.16
y
- 49 -
nên dựa vào các điều kiện ban đầu ta suy ra 00
CC xx
Hai phƣơng trình (b) và (c) chứa 3 ẩn ,Cy và N . Tuy nhiên, ta có các liên hệ
sin2
lyC
cos2
l
yC , sin2
cos2
2ll
yC .
Thay các hệ thức này vào (b) và (c) ta đƣợc
PNMl
sincos2
2 , (b’)
cos212
2 lN
Ml . (c’)
Nhân phƣơng trình (c’) với cos6 rồi cộng vào phƣơng trình (a’) ta đƣợc
22 cos3sin2
NPNMl
Suy ra
.cos31
sin2
2
2Ml
P
N (d)
Tại lúc dây vừa đứt ta có
.cos31 2
PN
Phƣơng trình chuyển động của thanh đƣợc tính theo góc :
coscos312
sin2
12 2
22
MlP
lMl
(e)
3. Phản lực ổ trục của các vật quay xung quanh một trục cố định.
3.1. Phương trình chuyển động của vật và các phương trình xác định phản lực ổ
trục.
Ta xét vật rắn chuyển động quay xung quanh một trục cố định chịu tác dụng
của hệ lực hoạt động nFFF
,...,, 21 . Ký hiệu các phản lực tại các ổ trục A và B tƣơng
ứng là AAA ZYX ,, và BB YX , . Các lực quán tính là C
qt wMF
0 và mô men chính của
các lực quán tính là qtM 0
. Nhƣ đã biết mô men này đƣợc xác định bằng công thức
(3.28)
- 50 -
zzzyxzyzxyzxz
qt eJeJJeJJM
)()( 22
0
Áp dụng hệ phƣơng trình tĩnh động ta có đƣợc hệ
phƣơng trình
01
CxBA
n
k
k MwXXX
01
CyBA
n
k
k MwYYY
01
A
n
k
k ZZ , (3.31)
0)()( 2
1
xzyzB
n
k
kx JJhYFm
0)()( 2
1
yzxzB
n
k
ky JJhXFm
,
0)(1
z
n
k
kz JFm
Phƣơng trình cuối cùng
0)(1
z
n
k
kz JFm
là phương trình chuyển động của vật rắn, năm phƣơng trình đầu là các phương
trình xác định các phản lực ổ trục.
Các phản lực động lực. Điều kiện để phản lực động bằng phản lực “tĩnh”.
Bây giờ ta xét xem khi vật chuyển động các phản lực ở trạng thái chuyển
động, đƣợc gọi là các phản lực động khác với phản lực xuất hiện tại các ổ trục khi
vật không chuyển động, đƣợc gọi là các phản lực “tĩnh”. Muốn vậy, ta viết các phản
lực dƣới dạng tổng hai thành phần: thành phần phản lực động lực có ký hiệu bằng
chỉ số trên bởi chữ (d) và thành phần phản lực “tĩnh” có ký hiệu bằng chỉ số trên bởi
chữ (t) :
)()( t
k
d
kk XXX , )()( t
k
d
kk YYY .
Hơn nữa, ta có
2
zCyCxCCzCyCxCz
CCC
ezeyexzezeyexe
rrw
yCCxCCyCxCxCyCC exyeyxeyexeyexw
)()()()( 222
Thay các biểu thức này vào 5 phƣơng trình đầu của (3.31) ta đƣợc:
0)( 2)()()()(
1
CC
t
B
d
B
t
A
d
A
n
k
k yxMXXXXX
1F
kF
AX
AY
BX
BY
Hình 3.17
AZ
- 51 -
0)( 2)()()()(
1
CC
t
B
d
B
t
A
d
A
n
k
k xyMYYYYY
01
A
n
k
k ZZ ,
0)()()( 2)()(
1
xzyz
d
B
d
B
n
k
kx JJhYYFm
0)()()( 2)()(
1
yzxz
d
B
d
B
n
k
ky JJhXXFm
,
Do tính tuyến tính của hệ phƣơng trình nên ta có thể tách ra thành hai hệ phƣơng
trình tuyến tính sau
0)( 2)()(
CC
d
B
d
A yxMXX
0)( 2)()(
CC
d
B
d
A xyMYY (3.32)
0)( 2)(
xzyz
d
B JJhY
0)( 2)(
yzxz
d
B JJhX ;
và hệ phƣơng trình
0)()(
1
t
B
t
A
n
k
k XXX
)()(
1
t
B
t
A
n
k
k YYY
01
A
n
k
k ZZ , (3.33)
0)( )(
1
hYFm t
B
n
k
kx
0)()( 2)(
1
yzxz
t
B
n
k
ky JJhXFm
.
Hệ phƣơng trình thứ hai cho ta xác định các phản lực “tĩnh”, t.l. các phản lực
chỉ do các lực hoạt động tạo ra nhƣ vật ở trạng thái tĩnh, còn hệ phƣơng trình đầu
cho ta xác định các phản lực động lực chỉ do các đặc trƣng chuyển động của vật tạo
ra. Các phản lực này có khi rất lớn và gây ra nhiều sự cố khi vận hành các thiết bị
có các vật chuyển động quay nhƣ các tuyếc bin, các động cơ, các trục máy v.v… .
Vì vậy đây là loại phản lực cần đƣợc loại bỏ nếu có thể loại đƣợc.
Để đạt đƣợc mong muốn đó ta hãy viết hệ phƣơng trình đầu dƣới dạng
)( 2)()(
CC
d
B
d
A yxMXX
)( 2)()(
CC
d
B
d
A xyMYY
)( 2)(
xzyz
d
B JJhY
)( 2)(
yzxz
d
B JJhX .
- 52 -
Rõ ràng, điều kiện để các phản lực động lực đều bằng không là
0)( 2
CC yxM
0)( 2
CC xyM
0)( 2
xzyz JJ
0)( 2
yzxz JJ .
Từ hai phƣơng trình đầu của hệ cuối cùng ta suy ra
0CC yx , (3.34)
t.l. khối tâm của vật nằm trên trục quay, còn từ hệ hai phƣơng trình sau ta suy ra
0yzxz JJ , (3.35)
t.l. trục quay là trục quán tính chính.
Nhƣ vậy để các ổ trục của vật quay không xuất hiện các phản lực động lực,
hay nói cách khác, phản lực động của các ổ trục bằng phản lực “tĩnh” thì trục quay
phải là trục quán tính chính trung tâm.
§4. CÁC ĐỊNH LÝ ĐỘNG LƯỢNG VÀ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG
1. Định lý chuyển động khối tâm
Định lý. Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm tại đó tập trung toàn
bộ khối lượng của cơ hệ dưới tác dụng của các lực ngoài.
e
kC FwM
(3.36)
Chứng minh.
Theo Nguyên lý D’Alembert ta có:
0qte RR
,
Chú ý rằng e
k
e FR
, còn C
qt wMR
, nên thay vào phƣơng trình trên rồi chuyển
vế ta nhận đƣợc
e
kC FwM
.
Định lý đƣợc chứng minh.
2. Định lý động lƣợng
Ta biết rằng, dt
vdw C
C
. Thay biểu thức này vào (3.29) ta đƣợc
e
kC FvMdt
d )( .
Đại lƣợng
CvMQ
(3.37)
- 53 -
đƣợc gọi là động lƣợng của cơ hệ. Do vậy định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ
còn có thể phát biểu dƣới dạng khác gọi là định lý động lƣợng
Đạo hàm động lượng của cơ hệ theo thời gian bằng tổng các lực ngoài tác
dụng lên các chất điểm của cơ hệ.
e
kFdt
Qd
(3.38)
Theo định nghĩa khối tâm
kkC rmrM
,
Nên nếu đạo hàm đẳng thức này theo thời gian, động lƣợng của cơ hệ còn có thể
biểu thị qua động lƣợng của từng chất điểm của nó
kkkC qrmrMQ
,
trong đó ta đã đƣa vào ký hiệu
vkkkk vmrmq
(3.39)
gọi là động lượng của chất điểm thứ k.
Nhân hai vế của (3.38) với dt, ta đƣợc
e
k
e
k dSdtFQd
(3.40)
Đại lƣợng
dtFdS e
k
e
k
(3.41)
gọi là xung lƣợng yếu tố của lực e
kF
. Dƣới dạng (3.40) định lý động lƣợng còn có
thể phát biểu
Vi phân động lượng của cơ hệ bằng tổng các xung lượng yếu tố của các lực
ngoài tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ
e
k
e
k dSdtFQd
(3.42)
Dễ thấy rằng, khi 0e
kF
, 0QQ
. Ta nói rằng động lƣợng của cơ hệ bào
toàn giá trị của nó trong quá trình chuyển động.
Ví dụ 3.5. Một dòng chất lỏng lý tưởng đồng nhất
không nén được chảy qua ống dẫn có khuỷu đổi
hướng với góc . Lưu lượng khối của dòng chảy là
m kg/s. Cho biết vận tốc ở tiết diện vào và ra tương
ứng là 1v , 2v . Tính áp lực của ống lên gối đỡ, bỏ
qua trọng lực chất lỏng và các áp suất thuỷ tĩnh
Bài giải
Cơ hệ khảo sát: Khối chất lỏng abcd.
Các lực ngoài tác dụng lên cơ hệ: R
1v
a b
d
a’ b’
c’
d’
c
1Q
2Q
3Q
2v
Hình 3.18
- 54 -
Áp dụng định lý biến thiên động lƣợng
dtRQQQd
12
Ta xét khoảng thời gian dt khá bé
21
1 QQabcdQQ
32
2 '''' QQdcbaQQ
.
23
12 QQQQ
23
3 vmQ
; 11
1 vmQ
.
Do chất lỏng không nén đƣợc, nên mdtmm 31
Vậy ta có phƣơng trình
dtRvvmdt
12
hay là
cos2mvRx
sin21 vvmRy
Ví dụ 3.6. Một vật A có trọng lượng P nằm trên mặt phẳng nghiêng của hình lăng
trụ trọng lượng Q góc nghiêng . Ban đầu hệ đứng yên, sau đó vật A bắt đầu trượt
xuống. Xác định vận tốc của vật B nếu vận tốc tương đối của vật A đối với mặt
phẳng nghiêng là u. Bỏ qua các lực ma sát.
Bài giải
- Khảo sát cơ hệ gồm lăng trụ và vật nặng A.
- Các lực ngoài tác dụng lên cơ hệ:
NQP
,, .
Ta thấy 0kX .
- Áp dụng định luật bảo toàn động lƣợng
0
xx QQ .
Tính xQ
AALT vg
Pv
g
QQQQ
(a)
Do A chuyển động trên mặt lăng trụ nên
erA vvav
)( ; uvr
, vve
.
Vậy, vuavA
)( .
Thay vào công thức (a) ta đƣợc
)( vug
Pv
g
.
Q
N
P
u
Hình 3.19
A
B v
v
- 55 -
Chiếu đẳng thức này xuống các trục x và y ta đƣợc
)cos( vug
Pv
g
QQx .
Theo đầu bài ra, lúc đầu hệ đứng yên nên 0.,.,0 0
0 xQltQ
.
Vậy ta có phƣơng trình
cosug
Pv
g
PQ
Giải ra ta đƣợc
cosuQP
Pv (b)
3. Định lý mômen động lƣợng
3.1. Định lý mô men động lượng.
Từ phƣơng trình “tĩnh động” đối với mô men
0)()( 00
qt
k
e
k FmFm
, (3.43)
nếu ta chọn O là điểm cố định, đối với tổng mô men của các lực quán tính có thể
viết
kkkkkk
qt
kk
qt
k
qt wmrwmrFrFmM
)()(00
Chú ý rằng dt
vdw k
k
, ta có:
)()(0 kkkkkk
kkkk
kk
qt vmrdt
dvm
dt
rdvmr
dt
d
dt
vdmrM
vì O là điểm cố định nên kk v
dt
rd
, kéo theo số hạng thứ hai trong đẳng thức trên
bằng không. Vậy
kkkkk
qt qrdt
dvmr
dt
dM
0
Nhƣ vậy, mô men chính của các lực quán tính đối với điểm cố định O bằng đạo hàm
theo thời gian của tổng các mô men động lƣợng của chất điểm thứ k đối với điểm O
lấy với dấu ngƣợc lại. Đại lƣợng này gọi là mô men động lượng của cơ hệ đối với
điểm O, ký hiệu là 0L
:
kk qrL
0 (3.44)
Nhƣ thế, thay vào phƣơng trình “tĩnh động” (3.43), ta đƣợc
)(000 e
k
e FmMdt
Ld
(3.45)
Đẳng thức cuối cùng này biểu thị định lý mô men động lƣợng sau đây
- 56 -
Định lý: Đạo hàm theo thời gian mô men động lượng của cơ hệ đối với điểm cố
định O bằng tổng mô men các lực ngoài tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ đối
với điểm cố định đó.
Trong trƣờng hợp tổng mô men của các lực ngoài đối với điểm cố định O
bằng không ta có constLL 0
00
. Ta nói rằng mômen động lƣợng của cơ hệ bảo
toàn hay giữ nguyên giá trị không đổi trong suốt quá trình chuyển động.
3.2. Mô men động lượng của cơ hệ đối với một trục.
Hình chiếu của mô men động lƣợng lên các trục toạ độ có dạng
.)(
),(
),(
0
0
0
kkkkkz
kkkkky
kkkkkx
xyyxmL
zxxzmL
yzzymL
(3.46)
Các thành phần này cũng đƣợc gọi là mô men động lượng của cơ hệ tương ứng đối
với các trục Ox, Oy, Oz.
Ví dụ 3.7. Tính mô men động lượng của vật rắn quay xung quanh một trục cố định
đối với trục quay Oz.
Nhƣ đã biết, phƣơng trình chuyển động của các điểm thuộc vật rắn quay
xung quanh một trục cố định có dạng
constzzdydx kkkkkkkk
0),sin(),cos( ,
0),cos(),sin( kkkkkkk zdydx .
Do đó
zkkkkkkz JdmdmL 2222
0 )(sin)(cos .
Vậy
zz JL0 (3.47)
Ví dụ 3.8. Hai trục máy có đường trục trùng nhau quay đều với vận tốc góc 1 và
2 . Tại một thời điểm nào đó người ta nối hai trục máy với nhau nhờ bộ ly hợp.
Tìm vận tốc góc của trục máy sau khi chúng được nối với nhau.
Bài giải
- Cơ hệ khảo sát: Hai trục quay
Hình 3.20
- 57 -
Các lực ngoài tác dụng lên hệ có tổng mô men đối với trục quay bằng không
ví các trục quay đều.
Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lƣợng, ta có
zz LL0
.2211
0
)2(
0
)1(
0 JJLLL zzz
)( 2121)2()1( JJJJLLL zzz
vì hai trục đã đƣợc nối với nhau.
Thay các giá trị của mô men động lƣợng vào (a) ta đƣợc
2211 JJ )( 21 JJ
Do đó
21
2211
JJ
JJ.
B. THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP
II.1. Nội dung thảo luận
Vấn đề 1: Cách xác định lực quán tính và kết quả khi thu gọn hệ lực quán
tính.
Vấn đề 2: Nguyên lý D’Alembert và ứng dụng.
Vấn đề 3: Định lý chuyển động khối tâm
Vấn đề 4: Định lý biến thiên động lƣợng
Vấn đề 5: Định lý mômen động lƣợng
II.2. Bài tập
o Định lý biến thiên động lượng: 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7(trang 88→89,
sách bài tập Cơ học (tập 2)-Đỗ Sanh-Lê Doãn Hồng)
o Định lý chuyển động khối tâm:2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.15, 2.16
(trang 90→92, sách bài tập Cơ học (tập 2)-Đỗ Sanh-Lê Doãn Hồng)
o Định lý mô men động lượng: 2.19, 2.21, 2.22, 2.23, 2.24, 2.25, 2.26
(trang 94→97, sách bài tập Cơ học (tập 2)-Đỗ Sanh-Lê Doãn Hồng)
o Nguyên lý D’Alembert: 4.3, 4.4, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.11 (trang
159→163),
6.3, 6.4, 6.7, 6.8, 6.10, 6.11, 6.12, 6.25, 6.26 (trang 231→241), sách bài
tập Cơ học (tập 2)-Đỗ Sanh-Lê Doãn Hồng.
- 58 -
Chƣơng IV
Phƣơng pháp Lagrange
- : Trang bị cho sinh viên một phƣơng pháp năng lƣợng giải quyết bài toán
Động lực học vật rắn
- : Tìm hiểu các liên kết, phân loại liên kết, các khái niệm về di chuyển
khả dĩ, số bậc tự do của cơ hệ, công khả dĩ, lực suy rộng, cách tính động năng, thế
năng của cơ hệ. Thiết lập và ứng dụng phƣơng trình Lagrange loại II.
-
.
-
.
§1. Các khái niệm cơ bản.
1.Liên kết và phân loại các liên kết
2.Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ
3.Toạ độ suy rộng
4. Lực suy rộng.
5.Liên kết lý tƣởng.
§2. Nguyên lý D’Alembert – Lagrange
1.Nguyên lý D’Alembert – Lagrange
2.Định lý động năng
2.1. Định lý động năng
2.2. Động năng của vật rắn chuyển động
§3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
1.Vị trí cân bằng của cơ hệ
2.Nguyên lý di chuyển khả dĩ
3. Các ví dụ
§4. Phƣơng trình Lagrange loại II.
1.Phƣơng trình Lagrange loại II.
2.Biểu thức của động năng trong các tọa độ suy rộng.
3.Phƣơng trình Lagrange loại hai trong trƣờng hợp lực có thế
4.Các tích phân chuyển động.
phần lý
thuyết cơ bản, thảo
luận các ví dụ, sinh
viên tự nghiên cứu tài
liệu cách chứng minh
các định lý, công thức.
- 59 -
A. LÝ THUYẾT
§ 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phân loại liên kết.
1.1. Cơ hệ không tự do.
Cơ hệ tự do là cơ hệ mà các chất điểm của nó có thể thực hiện những di
chuyển vô cùng bé tuỳ ý sang các vị trí lân cận. Ngƣợc lại, có các cơ hệ trong đó
các chất điểm của nó chịu các ràng buộc bởi một số các điều kiện hình học và động
học. Những ràng buộc đó làm cho các chất điểm không thể thực hiện các di chuyển
vô cùng bé một cách tuỳ ý sang các vị trí lân cận đƣợc. Các cơ hệ nhƣ thế gọi là các
cơ hệ không tự do.
Ví dụ : cơ cấu bốn khâu bản lề là một cơ
hệ không tự do, những điều kiện ràng buộc ở đây
là: điểm A chỉ có thể chuyển động trên vòng tròn
tâm O bán kính là OA; điểm B chỉ có thể chuyển
động trên vòng tròn tâm O1 bán kính O1B;
khoảng cách AB luôn luôn không đổi. Đó là các
điều kiện hình học.
1.2. Liên kết và phân loại các liên kết.
1.2.1. Liên kết
Các điều kiện ràng buộc lên vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ
đƣợc gọi là các liên kết. Cơ học giải tích biểu thị các liên kết bằng các biểu thức
toán học. Nói chung, biểu thức toán học biểu thị liên kết là những bất phƣơng trình
hoặc phƣơng trình có dạng
0),,...,,,,...,,( 2121 trrrrrrf NN
, s,...,2,1 (4.1)
trong đó: , 1,kr k N là véc tơ định vị, , 1,kr k N là véctơ vận tốc của các chất điểm thuộc
hệ, t là thời gian, s là số liên kết.
Hay biểu thức (4.1) thƣờng viết ngắn gọn
0),,( trrf kk
Hoặc còn đƣợc viết dƣới dạng toạ độ
0),,,,,,( tzyxzyxf kkkkkk (4.2)
Ví dụ 4.1. Phương trình liên kết đối với con lắc toán học
phẳng
x O
O1
A B
y
Hình 4.1
O
A
l
y
x
Hình 4.2
- 60 -
Ta ký hiệu toạ độ của điểm A là ),,( zyx . Ta có phƣơng trình
222 lyx .
0z
Ví dụ 4.2. Viết phương trình liên kết đối với cơ cấu bốn khâu bản lề
Ta ký hiệu toạ độ của điểm A là ),,( AAA zyx ,
của điểm B là ),,( BBB zyx .Ta có các phƣơng
trình sau:
2 2 2
22 2
2 2 2
1
0
( ) 0
( ) 0
0
0
A A
B A B A
B B
A
B
x y OA
x x y y AB
OO x y OB
z
z
Ví dụ 4.3. Viết phương trình liên kết cho một chất điểm nằm trên một mặt cầu tâm
O bán kính R = R(t)
Do chất điểm luôn luôn nằm trên mặt cầu nên các toạ độ ),,( zyx của nó phải
thoả mãn phƣơng trình mặt cầu
)(2222 tRzyx .
Ví dụ 4.4. Viết phương trình liên kết cho cơ hệ là quả cầu bán kính R chuyển động
lăn không trượt trên một mặt phẳng.
Gọi véctơ vận tốc góc của quả
cầu là
và hình chiếu của nó
lên hệ trục C là x , y ,
z . Vận tốc điểm A, nhƣ đã
biết, đƣợc tính theo công thức
rvv CA
trong đó r
là vectơ nối từ C
đến A. Do chuyển động lăn
không trƣợt nên 0Av
. Vậy
ta có phƣơng trình vectơ
0rvC
Chiếu phƣơng trình này lên hệ trục toạ độ C ta đƣợc
0yC Rx , 0xC Ry , 0Cz .
x O
O1
A B
y
Hình 4.3
O
C
x
y z
A x
y
z
Hình 4.4
- 61 -
Chú ý rằng các thành phần của vectơ vận tốc góc lên hệ trục C đƣợc tính theo
công thức
cossinsin x ,
sinsincos y
cosz .
Thay các công thức này vào các phƣơng trình hình chiếu vận tốc của điểm A ta
đƣợc
0)sinsincos( RxC ,
0)cossinsin( RyC ,
0Cz
Đó là các phƣơng trình liên kết đối với quả cầu lăn không trƣợt trên mặt phẳng.
1.2.2. Phân loại liên kết.
Dựa vào dạng biểu thức toán học biểu diễn liên kết ta phân loại các liên kết nhƣ sau:
Liên kết giữ và không giữ. Nếu liên kết biểu diễn bằng các phƣơng trình thì
liên kết đƣợc gọi là liên kết giữ hay liên kết hai phía, còn biểu diễn bằng bất
phƣơng trình thì liên kết đƣợc gọi là liên kết không giữ hay liên kết một phía.
Vậy các liên kết giữ biểu diễn bằng các phƣơng trình
0),,,,,,( tzyxzyxf kkkkkk (4.3)
Liên kết dừng và không dừng. Nếu phƣơng trình liên kết không chứa hiện
thời gian thì liên kết gọi là liên kết dừng (scléronome), còn nếu chứa hiện
thời gian thì liên kết gọi là không dừng (réonome).
Liên kết hôlônôm và không hôlônôm. Nếu phƣơng trình liên kết không chứa
các yếu tố vận tốc, hoặc có chứa các yếu tố vận tốc, nhƣng có thể biến đổi về
dạng phƣơng trình liên kết không chứa các yếu tố vận tốc, phương trình liên
kết loại này gọi là phương trình khả tích và liên kết đƣợc gọi là liên kết
hôlônôm. Trong trƣờng hợp trái lại, khi phƣơng trình liên kết chứa hiện các
yếu tố vận tốc bất khả tích thì liên kết gọi là liên kết không hôlônôm. Ví dụ
4.4 cho ta một cơ hệ chịu liên kết không hôlônôm.
Các cơ hệ cũng thƣờng đƣợc gắn tên của liên kết. Ta nói cơ hệ hôlônôm là các cơ
hệ chịu các liên kết hôlônôm, và nói cơ hệ không hôlônôm, t.l cơ hệ chịu cả các liên
kết không hôlônôm.
Trong các bài giảng này, ta chỉ nghiên cứu các hệ hôlônôm, chịu các liên kết
giữ, còn các cơ hệ không hôlônôm đƣợc trình bày trong các chuyên khảo riêng về
Cơ học giải tích. Nhƣ thế các phƣơng trình liên kết sẽ nhận dạng
- 62 -
0),,,( tzyxf kkk, m,...,2,1 (4.4)
2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ.
2.1. Di chuyển khả dĩ.
Định nghĩa 1. Di chuyển khả dĩ của chất điểm, ký
hiệu ,r
là di chuyển vô cùng bé tại thời điểm cho
trước mà liên kết cho phép.
Ví dụ 4.5. Xét di chuyển khả dĩ của chất điểm ở trên
mặt. Ta thấy do đặc điểm của liên kết, di chuyển của
chất điểm là các vectơ vô cùng bé trên mặt. Các
vectơ này nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt.
Ví dụ 4.6. Xét di chuyển khả dĩ của chất điểm trong
con lắc toán học. Trong trƣờng hợp này các vectơ di
chuyển của chất điểm vuông góc với OM (tiếp xúc
với vòng tròn tâm O bán kính l )
Định nghĩa 2. Di chuyển khả dĩ của cơ hệ là tập hợp
các di chuyển khả dĩ của các chất điểm của cơ hệ
tại thời điểm khảo sát.
,..),...,,( 21 Nrrr
.
Ví dụ 4.7. Xét di chuyển khả dĩ của cơ cấu tay
quay – con trượt.
Trong trƣờng hợp này, các chất điểm của cơ cấu
có các di chuyển nhƣ hình 38.
Nhƣ vậy, các di chuyển khả dĩ của cơ hệ bị ràng
buộc bởi kết cấu của cơ hệ theo những quy luật
hình học xác định. Chính những quy luật này tạo
ra sự khác biệt về khả năng chuyển động của cơ
hệ này và cơ hệ khác. Những quy luật này, về
mặt toán học đƣợc biểu thị bởi các phƣơng trình.
Đó là các phƣơng trình đối với các di chuyển khả
dĩ.
2.2. Các di chuyển thực và các di chuyển khả dĩ.
r
Hình 4.5
r
Hình 4.6
O
A
P
Mr
M
Hình 4.7
- 63 -
Giả sử cơ hệ chịu các liên kết hô lô nôm, giữ (4.4). Hệ thực hiện một di
chuyển khả dĩ
NNNN zyxzyxzyxrrr ,,,...,,,,,,),...,,( 22211121
,
ở đây, ta ký hiệu ),,( kkk zyx là các thành phần của vectơ di chuyển khả dĩ kr
,
Nk ,...,2,1 và gọi là các biến phân của các toạ độ. Do liên kết cho phép nên di
chuyển khả dĩ này phải thoả mãn phƣơng trình liên kết, t.l. thoả mãn phƣơng trình
0),,,( tzzyyxxf kkkkkk (4.5)
Trừ (4.5) vào (4.4) rồi khai triển thành chuỗi luỹ thừa và chỉ viết ra các số hạng bậc
nhất ta đƣợc
),,,(),,,( tzyxftzzyyxxf kkkkkkkkk
N
k
k
k
k
k
k
k
zz
fy
y
fx
x
f
1
0... .
Bây giờ ta chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất, ta nhận đƣợc phƣơng trình cho các di
chuyển khả dĩ
,01
N
k
k
k
k
k
k
k
zz
fy
y
fx
x
f m,...,2,1 (4.6)
Nhƣ thông thƣờng, ta ký hiệu di chuyển thực của cơ hệ là ,krd
Nk ,...,2,1 .
Đƣơng nhiên, các di chuyển thực xảy ra theo thời gian dt . Vì vậy, chúng thoả mãn
phƣơng trình
0),,,( dttdzzdyydxxf kkkkkk (4.7)
Ta lại trừ (4.7) vào (4.4) rồi khai triển thành chuỗi luỹ thừa và chỉ giữ lại các số
hạng bậc nhất la đƣợc phƣơng trình cho các di chuyển thực
,01
N
k
k
k
k
k
k
k
dtt
fdz
z
fdy
y
fdx
x
f m,...,2,1 (4.8)
Nhƣ vậy, các di cuyển thực và di chuyển khả dĩ của cơ hệ là khác nhau do
chúng phải thoả mãn các phƣơng trình (4.6) và (4.8) khác nhau. Di chuyển thực sẽ
là một trong các di chuyển khả dĩ khi cơ hệ chịu liên kết dừng. Thật vậy, trong
trƣờng hợp này, phƣơng trình (4.4), (4.7) không phụ thuộc vào thời gian nên hệ
phƣơng trình (4.8) trở thành
,01
N
k
k
k
k
k
k
k
dzz
fdy
y
fdx
x
f m,...,2,1 . (4.9)
2.3. Số bậc tự do của cơ hệ.
Trong mục 2.2 ở trên ta đã chỉ ra rằng N3 thành phần kkk zyx ,, , m,...,2,1
của các vectơ di chuyển khả dĩ thoả mãn m phƣơng trình của hệ (4.6). Điều đó nói
lên rằng tập hợp các di chuyển khả dĩ tạo thành một không gian mN3 chiều, và do
đó, số vectơ độc lập cực đại là mN3 . Từ nhận xét đó ta đƣa ra định nghĩa
- 64 -
Số bậc tự do của cơ hệ là số di chuyển khả dĩ độc lập cực đại của tập hợp
các di chuyển khả dĩ.
Từ định nghĩa này và hệ phƣơng trình (4.6) ta thấy rằng số bậc tự do của cơ
hệ phản ánh khả năng thực hiện các di chuyển của cơ hệ. Cơ hệ có số bậc tự do lớn
có nhiều khả năng chuyển động, cơ hệ không có bậc tự do nào thì không thể chuyển
động đƣợc. Do vậy, trong thực tế ta thƣờng xác định số bậc tự do bằng cách phân
tích các khả năng chuyển động của cơ hệ. Chẳng hạn cơ cấu tay quay con trƣợt có
một bậc tự do, một điển chuyển động trên mặt có hai bậc tự do v.v…
3. Toạ độ suy rộng của cơ hệ.
Trong Cơ học giải tích, ngƣời ta không chỉ sử dụng các toạ độ Descarte để
biểu thị vị trí của các cơ hệ mà còn có thể sử dụng hệ các tham số bất kỳ để xác
định vị trí của chúng.
Các tham số bất kỳ đủ để xác định vị trí cơ hệ gọi là các toạ độ suy rộng.
Chẳng hạn, để các định vị trí của cơ cấu tay quay – con trƣợt ta có thể sử dụng góc
quay của tay quay; để xác định vị trí của con lắc
xyclôit ta có thể sử dụng các tham số độ dài x và
góc lắc .
Các toạ độ suy rộng đƣợc ký hiệu bằng các chữ q
),...,,( 21 nqqq .
Nhƣ thế, vị trí của cơ hệ có thể xác định bằng N3 toạ độ Descarte, đồng thời cũng
có thể xác định bằng n các toạ độ suy rộng. Do đó, giữa các toạ độ Descarte và các
toạ độ suy rộng tồn tại một quan hệ tƣơng ứng hai chiều
).,,...,,(
),,,...,,(
),,,...,,(
21
21
21
tqqqzz
tqqqyy
tqqqxx
nkk
nkk
nkk
(4.10)
hay là viết ở dạng vectơ
),...,,( 21 nkk qqqrr
.
Ta xét xem số toạ độ suy rộng đủ bằng bao nhiêu. Từ hệ m phƣơng trình liên
kết (4.4) ta thấy ngay số toạ độ độc lập bằng
mN3 .
Do vậy, dù cho chọn hệ các tham số nào để xác định vị trí của cơ hệ thì số
toạ độ độc lập phải bằng mN3 , nói khác đi, số toạ độ đủ để xác định vị trí cơ hệ là
mN3 . Nhƣ vậy, đối với các cơ hệ hô lô nôm chịu các liên kết giữ số các toạ độ
suy rộng đủ bằng số bậc tự do của cơ hệ.
Trong nhiều tính toán, ta còn sử dụng hệ các toạ độ suy rộng dƣ. Đó là hệ có
số các tham số lớn hơn mN3 .
Hình 4.8
- 65 -
4. Lực suy rộng.
4.1. Công khả dĩ của lực. Công khả dĩ của lực ,F
ký hiệu là A được tính bằng
công thức
rFA
(4.11)
hay viết dƣới các dạng khác
zZyYxXrFA cos. (4.12)
4.2. Lực suy rộng
Giả sử trên các chất điểm của cơ hệ có tác dụng hệ lực
NFFF
,...,, 21 . Ta tính công khả dĩ A của hệ lực trên di chuyển
khả dĩ của cơ hệ
),...,,( 21 Nrrr
N
k
kkkkkk
N
k
kk zZyYxXrFA11
)(.
.
Giả sử cơ hệ có n bậc tự do và ta chọn đƣợc các tọa độ suy rộng đủ qi, i=1,2,…,n
Ta có:
n
i
i
i
kk q
q
xx
1
, n
i
i
i
kk q
q
yy
1
, n
i
i
i
kk q
q
zz
1
,
ta thay vào biểu thức của công khả dĩ và nhận đƣợc
N
k
n
i
i
i
kk
i
kk
i
kk
N
k
kkkkkk qq
zZ
q
yY
q
xXzZyYxXA
1 11
)(
n
i
ii
n
i
N
k
i
i
kk
i
kk
i
kk qQq
q
zZ
q
yY
q
xX
11 1
,
trong đó
N
k i
kk
i
kk
i
kki
q
zZ
q
yY
q
xXQ
1
. (4.13)
4.3. Trường lực thế. Biểu thức lực suy rộng trong trường hợp các lực có thế.
4.3.1. Khái niệm về trường lực thế. Thế năng của cơ hệ.
Trường lực là khoảng không gian trong đó mỗi điểm của nó có tác dụng lực
khi có chất điểm đứng tại vị trí đó. Nhƣ vậy, tại mỗi điểm của trƣờng nếu chất điểm
chịu lực thì lực đó chỉ phụ thuộc vào vị trí của không gian mà nó chiếm, nói khác
đi, lực là hàm của vị trí
),,()( zyxFrFF
.
F
r
x y
z
Hình 4.9
- 66 -
Ví dụ khoảng không gian bao quanh trái đất là trƣờng trọng lực mà mỗi điểm của nó
chịu tác dụng một lực hƣớng vào tâm trái đất, có trị số gần đúng bằng m.g; trƣờng
hấp dẫn tĩnh điện v.v….
Trong số các trƣờng lực, trƣờng lực thế có vai trò rất quan trọng. Trường lực
thế là trường lực trong đó tồn tạo một hàm ),,,( tzyxUU , gọi là hàm lực, sao cho
mỗi lực F
sinh ra bởi trường được tính theo công thức
x
UX ,
y
UY ,
z
UZ (4.14)
Ví dụ, trƣờng trọng lực là một trong các trƣờng lực thế với hàm lực CPzU .
4.3.2. Thế năng.
Hàm số
),...,,( 21 NrrrU
(4.15)
đƣợc gọi là thế năng của cơ hệ.
Nếu cơ hệ chuyển động trong trƣờng lực thế, tức là, tồn tại hàm lực U phụ
thuộc vào vị trí của các chất điểm của cơ hệ, do đó nó phụ thuộc cả vào các toạ độ
suy rộng
),,...,,( 21 tqqqUU n .
Dễ thấy rằng lực suy rộng trong trƣờng hợp này đƣợc tính bằng công thức
niq
UQ
i
i ,...,2,1, (4.16)
Thật vậy, ta có theo (4.13)
N
k i
kk
i
kk
i
kki
q
zZ
q
yY
q
xXQ
1
.
Do các lực có thế, nên các thành phần lực đƣợc tính theo công thức
k
kx
UX ,
k
ky
UY ,
k
kz
UZ .
Thay các công thức này vào biểu thức của lực suy rộng ta đƣợc
i
N
k i
k
ki
k
ki
k
k
iq
U
q
z
z
U
q
y
y
U
q
x
x
UQ
1
.
Ta cũng có thể viết biểu thức lực suy rộng qua thế năng của cơ hệ
i
iq
Q . (4.17)
4.4. Các ví dụ về tìm lực suy rộng
- 67 -
Ví dụ 4.8. Con lăn A có trọng lượng P1 lăn không trượt trên đường thẳng nằm
ngang dưới tác dụng của mô men quay M. Dây quấn vào vabhs trong của A, vắt
qua ròng rọc B có bán kính r1 và buộc vào vật nặng B trọng lượng P2. Hệ số ma sát
lăn giữa A với mặt ngang là k. Tại trục quay cử ròng rọc có mô men cản MC.Các
bán kính vành trong và vành ngoài của A là r, R.
Tìm lực suy rộng của cơ hệ đó.
Bài giải
Cơ hệ có một bậc tự do, chọn q = x xác định vị trí cúa C đối với đất. Tại vị
trí tùy ý, cho x số gia x 0. Con lăn A chuyển động song phẳng quay quanh tâm
vân tốc tức thời góc . Ròng rọc B quay quanh trục O góc . Vật D di chuyển
một đoạn rD. Tìm tổng công phân tố của tất cả các lực chủ động trong do chuyển
khả dĩ ta đƣợc:
2
e
C DA M kN M P r (a)
Trong đó
1 1 1 1
1 1
,
( ) ( )
;
C
K I
D
r x
R R
r r R r R rx
r r r Rr
R rr r x N P
R
(b)
Thay các giá trị trên vào (a)
1 2
1
1 1 2
1
1( )( )
e
C
C
x R r R rA M kP M x P x
R Rr R
R rM kP M r P x
R r
Vậy, lực suy rộng tƣơng ứng với tọa độ suy rộng x là:
x
M
Ml
R
r
C O
Mc
r1
Dr
2P
D
B
A
Cr
Ir I
Hình 4.10
- 68 -
1 1 2
1
1( )( )x C
R rQ M kP M r P
R r
Ví dụ 4.9. Cơ cấu tay quay thanh truyền nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Tay
quay OA có chiều dài r, trọng lượng P1, chịu tác dụng của ngẫu có mômen M.
Thanh truyền AB có chiều dài l, trọng lượng P2. Con trượt B chuyển động trong
rãnh nằm ngang, có phương đi qua trục O. Bỏ qua ma sát. Tay quay và thanh
truyền được coi như đồng chất. Tìm lực suy rộng của cơ hệ đó.
Bài giải
Cơ cấu tay quay thanh truyền là hệ có một bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng q
= , góc tạo bởi OA với trục Ox. Các lực chủ động tác dụng vào cơ hệ gồm các
trọng lực: 1 2 3, ,P P P và ngẫu lực có mômen M.
Cho tay quay di chuyển góc 0 (theo chiều tăng của góc ) quanh trục O,
thanh truyền AB chuyển động song phẳng, quay quanh tâm vận tốc tức thời P góc
có chiều nhƣ hình vẽ.
Tổng công phân tố của các lực chủ động trong di chuyển đó bằng
1 2os . -P os .2 2
e r lA M P c c (a)
Tìm liên hệ giữa các di chuyển, xét điểm A, ta đƣợc:
;A
rr r AP
AP (b)
Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ABP
r l
O
A
B
P
y
x
1P
2P
3P
Ar
Hình 4.11
- 69 -
0 0sin(90 ) sin(90 )
AP l
Suy ra
. os
os
l cAP
c (c)
Thay các kết quả tìm đƣợc vào (a), đƣợc kết quả
1 2
1 2
rcos( os ) os .
2 2 lcos
( ) os2
e r lA M P c P c
rM P P c
Lực suy rộng với tọa độ suy rộng là:
1 2( ) os2
rQ M P P c
Ví dụ 4.10. Vật A có trọng lượng P1 được đặt trên mặt phẳng ngang không nhẵn,
có hệ số ma sát trượt f, được buộc dây vắt qua ròng rọc B đồng chất bán kính r,
quay quanh trục nằm ngang O cố định, đồng chất trọng lượng P2. Moomen cản tại
trục quay O là Mc.Vật A chịu tác dụng của lực kéo F nằm ngang có chiều như hình
vẽ.
Tìm các lực suy rộng của cơ hệ đó.
Bài giải
Cơ hệ gồm có ba vật A,B,D chịu liên kết nhƣ hình vẽ.
Hệ có hai bậc tự do các tọa độ suy rộng đƣợc chọn nhƣ sau:
q1 = , xác định vị trí của vật A với mặt phẳng ngang,
q2 = y, xác định vị trí của trục C của con lăn đối với hệ động O1xy tịnh tiến
cùng với dây.
Mc
O
C
y
x
y
rC
D
B
A
F
msF 1P
2P
3P O1
Mc
O
C
y
x
y
D
B
A
F
msF 1P
2P
3P O1
P
Hình 4.12
- 70 -
Để tìm Q ta cho hệ di chuyển khả dĩ 0, y = 0 (t.l. y = const). Vật A chuyển
động tịnh tiến một đoạn . Vật B quay quanh O một góc . Vật D chuyển động
tịnh liến một đoạn rC. Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm: trọng lực
1 2 3, ,P P P , lực kéo F , lực ma sát msF và ngẫu lực có mômen Mc.
Tổng công khả dĩ của các lực hoạt động trên di chuyển đó bằng:
2
1 2
1 2
e
ms CA F F M P r
F fP M Pr
MF fP P
r
Do đó, lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng là:
1 2
MQ F fP P
r
Để tìm Qy, ta cho hệ di chuyển khả dĩ y 0, = 0 (t.l. = const). Vật A, B đứng
yên trong di chuyển đó. Vật D chuyển động song phẳng quay quanh tâm vận tốc tức
thời P góc y
R. Tổng công khả dĩ của các lực hoạt động trên di chuyển đó
bằng:
2
eA P y
Do đó
2yQ P
Ví dụ 4.11. Khối trụ hình tròn A đồng chất khối lượng m1, lăn không truuwowtj trên
mặt phẳng nghiêng góc so với phương ngang. Trục O của khối trụ được gắn với
thanh thẳng OB đồng chất, có khối lượng m2, chiều dài l. Trục o còn được nối với
lò xo có hệ số cúng c, song song với mặt phẳng nghiêng và một đầu gắn cố định. Bỏ
qua ma sát lăn và ma sát tại bản lề. Tìm các lực suy rộng của hệ đó.
Bài giải
Cơ hệ đƣợc khảo sát gồm khối trụ
A và thanh OB. Hệ có hai bậc tự do,
chọn hai tọa độ suy rộng là: q1 = s, có
gốc tại O1 là vị trí lò xo chƣa biến dạng,
xác định vị trí trục O của khối trụ đối với
mặt phẳng nghiêng; q2 = , xác định vị
trí của thanh OB đối với hệ động Oxy
tịnh tiến cùng với O.
s
O
B
c
O1 y0
yC
C
2P
1P
dhF
Hình 4.13
- 71 -
Tại vị trí bất kì, lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm: 1 2 dh, , ( )dhP P F F cs .
Các lực đó đều là các lực thế. Chọn O1 là gốc thế năng, ta có:
1 1 0 1 1
2 2 2
2
3
. .sin . .sin
. ( .sin os )2
1
2
C
P y Ps m g s
lP y m g s c
cs
Thế năng của cả cơ hệ:
2
1 2 3 1 2 2
1( ) . .sin os
2 2
lm m g s m g c cs
Ta nhận đƣợc các lực suy rộng từ công thức (4.17):
1 2
2
( ) sin
sin2
sQ m m g css
lQ m g
5. Liên kết lý tƣởng
Định nghĩa. Liên kết lý tưởng là liên kết mà tổng công của tất cả các phản lực liên
kết trên mọi di chuyển khả dĩ bằng không
0)(k
kk
k
k rRRA
(4.18)
Khái niệm liên kết lý tƣởng cho phép khi mô tả các phƣơng trình chuyển động
không cần đề cập tới các phản lực liên kết, do đó làm giảm một cách rất cơ bản các
ẩn của bài toán. Đó là một ƣu thế rất đặc biệt của Cơ học giải tích. Hơn nữa, có thể
chỉ ra rằng phần lớn các liên kết thƣờng gặp trong thực tế là các liên kết lý tƣởng.
Ta sẽ lần lƣợt nêu ra một vài phản lực liên kết thƣờng gặp dƣới đây.
a) Liên kết giữa các chất điểm tạo thành vật rắn tuyệt đối là liên kết lý tưởng vì
tổng công của tất cả các nội lực liên kết giữa các chất điểm bằng không.
b) Liên kết tựa trơn giữa hai vật rắn là liên kết lý tưởng;
c) Dây mềm không dãn, có trọng lượng không đáng kể vắt qua ròng rọc là liên kết
lý tưởng nếu bỏ qua sự trượt giữa dây và ròng rọc và ma sát ở ổ trục quay.
d) Các khớp động nối hai vật chuyển động là liên kết lý tưởng nếu bỏ qua ma sát
giữa các mặt tựa của chúng (trơn tuyệt đối) hoặc bỏ qua sự trượt giữa chúng(nhám
tuyệt đối) v.v…
Trong trƣờng hợp các liên kết không thoả mãn các điều kiện trên đây, ngƣời
ta tách phản lực liên kết thành hai loại phản lực. Loại thứ nhất có tổng công khả dĩ
bằng không và gọi là phản lực liên kết của hệ, loại kia có tổng công khả dĩ khác
không ta xem chúng là các lực hoạt động và đƣa vào các lực hoạt động để tính toán.
- 72 -
Cách làm đó đƣợc gọi là lý tưởng hoá liên kết cho phép ta giải quyết đƣợc phần lớn
các bài toán thực tế đặt ra.
§2. NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT - LAGRANGE
1.Nguyên lý D’Alembert - Lagrange.
Theo tiên đề 2 cửa hệ tiên đề Động lực học, chuyển động của cơ hệ đƣợc mô
tả bởi hệ phƣơng trình
kkkk RFwm
, Nk ,...,2,1 , (4.19)
hay là
kkkk wmFR
, Nk ,...,2,1 . (4.19’)
Cho hệ một di chuyển khả dĩ Nrrr
,...,, 21, nhân các phƣơng trình (4.19’)
tƣơng ứng với kr
, Nk ,...,2,1 rồi cộng lại ta đƣợc
k
N
k
kkkk
N
k
k rwmFrR
11
)( ,
Do giả thiết liên kết lý tƣởng
01
N
k
kk rR
, (4.20)
nên phƣơng trình cuối cùng trở thành
0)(1
k
N
k
kkk rwmF
(4.21)
Phƣơng trình (4.21) gọi là phương trình tổng quát động lực học. Nhƣ thế,
phƣơng trình tổng quát động lực học luôn luôn đƣợc thực hiện đối với chuyển động
bất kỳ phù hợp với liên kết và dƣới tác dụng của các lực hoạt động NFFF
,...,, 21 .
Ngƣợc lại, giả sử cho một chuyển động nào đó phù hợp với liên kết của cơ
hệ thoả mãn phƣơng trình tổng quát động lực học (4.21), ta chứng minh rằng nó
cũng thoả mãn các phƣơng trình Newton (4.19), trong đó các phản lực liên kết kR
phù hợp với liên kết. Thật vậy, đặt
kkkk wmFR
, Nk ,...,2,1 .
ta sẽ có ngay (4.19)
kkkk RFwm
, Nk ,...,2,1 ,
và (4.20)
0kk rR
.
Nhƣ vậy, tại thời điểm bất kỳ có thể chọn các phản lực liên kết kR
phù hợp với liên
kết, t.l. thoả mãn (4.20) đồng thời thoả mãn hệ phƣơng trình Newton (4.19). Các
- 73 -
phản lực liên kết này là thực hiện đƣợc và do đó, chuyển động của hệ tƣơng ứng với
các lực hoạt động NFFF
,...,, 21 cho trƣớc.
Tất cả những điều trình bày ở trên có thể phát biểu nhƣ sau:
Nguyên lý D’Alembert – Lagrange: Điều kiện cần và đủ để chuyển động
của cơ hệ phù hợp với liên kết và tương ứng với các lực hoạt động đặt lên cơ hệ là
xảy ra phương trình (4.21)
0)(1
k
N
k
kkk rwmF
Phƣơng trình (4.21) có thể dùng làm cơ sở để suy ra tất cả các phƣơng trình
chuyển động khác của cơ hệ tuỳ ý, các định lý tổng quát động lực học v.v… nên nó
biểu thị một Nguyên lý của cơ học : Nguyên lý D’Alembert – Lagrange. Vì Nguyên
lý này đƣợc biểu thị thông qua biến phân và các đạo hàm của các toạ độ, nên nó
thuộc vào các Nguyên lý biến phân vi phân.
Phƣơng trình (4.21) còn viết dƣới dạng toạ độ
0)()()(1
N
k
kkkkkkkkkkkk zzmZyymYxxmX (4.22)
Ví dụ 4.12. Cơ cấu điều tiết ly tâm quay xung quanh trục thẳng đứng với vận tốc
góc không đổi . Trọng lượng của mỗi quả cầu bằng 1P , của ống N bằng P. Một lò
xo có độ cứng c được gắn đầu dưới vào ống, còn đầu kia gắn vào đòn OO1. Khi góc
0 lò xo không bị biến dạng; độ dài của mỗi thanh treo OA =O1A1 = l và có các
điểm treo O và O1 cách trục quay một khoảng bằng a.
Xác định vận tốc góc của máy điều tiết tương
ứng với góc . Bỏ qua trọng lượng các thanh treo và
lò xo.
Bài giải
- Cơ hệ khảo sát: bộ điều tiết ly tâm mang 3 khối
lƣợng 1, AA và N .
- Các lực:
+ Các lực hoạt động đặt vào cơ hệ ),,( 21 PPP
.
Chú ý rằng, lò xo thuộc loại liên kết không phải
lý tƣởng, nên ta phải thay nó bằng phản lực lò xo.
Theo định luật Hooke, phản lực của lò so xuất hiện khi
lò xo bị biến dạng theo công thức
cxFdh
dhF
1O
O
1A
l
N
1P
P
A A1
1P
Hình 4.14
- 74 -
và có chiều đƣa điểm đặt của lực về vị trí cân bằng. Nhƣ thế, hệ lực “hoạt động” tác
dụng lên cơ hệ là
),,,( 21 dhFPPP
.
+Các lực quán tính ),( 1
qt
N
qt
A
qt
A FFF
,sin2
1la
g
Pw
g
PFF A
qt
A
qt
A
Chú ý rằng, trong trƣờng hợp chuyển động dừng, t.l với const , const thì
0Nw , nên 0qt
NF .
- Áp dụng phƣơng trình tổng quát động lực học (4.22) ta đƣợc
0)()sin()sin( 11
22
NdhAAAA yFQyPyPxlag
Pxla
g
P.
Từ hình vẽ, ta có các hệ thức sau
cos1 lyy AA , sin1 lyy AA ;
sin1 lxx AA , cos1 lxx AA
cos2lyN , sin2lyN .
Thay các hệ thức này vào phƣơng trình tổng quát động lực học ta đƣợc
0)sin2))(cos1(2()sin()sin(
)cos)(sin()cos)(sin( 22
llcQlPlP
llag
Plla
g
P
hay là
0)sin2()cos1(2sin2cos)sin(2 2 llcQlPlag
Pl
Do tuỳ ý, nên ta nhận đƣợc phƣơng trình
0sin)cos1(2sincos)sin(2 lcQPlag
P
Từ đây ta giải ra 2
tan)sin(
)cos1(22 glaP
lcQP.
2.Định lý động năng.
2.1.Định lý động năng
Ta xét một di chuyển thực ),...,,( 21 Nrdrdrd
của cơ hệ. Trong trƣờng hợp liên kết
dừng di chuyển thực này trùng với một trong các di chuyển khả dĩ ),...,,( 21 Nrrr
,
do đó cũng thoả mãn Nguyên lý D’Alembert – Lagrange:
- 75 -
0)(1
k
N
k
kkk rdwmF
. (4.23)
Đại lƣợng
rdFAd
' (4.24)
gọi là công của lực F
trên di chuyển thực rd
hay công yếu tố của lực F
.
Dễ thấy rằng công của lực F
trên di chuyển thực có thể tính theo các công
thức
dsFAd cos (4.25)
hoặc
ZdzYdyXdxAd (4.26)
Nhƣ thế, đại lƣợng
N
k
krdFAd1
(4.27)
gọi là tổng công của các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ.
Trong kỹ thuật, ngƣời ta cùng với công của lực, ngƣời ta còn dùng đại lƣợng
dt
AdW
gọi là công suất của lực F
tác dụng lên cơ hệ. Đơn vị công suất đƣợc tính là oát, ký
hiệu là W.
1s
1Nm
1
1W1
s
J.
Bây giờ ta xét đại lƣợng k
N
k
kk rdwm
1
. Chú ý rằng
dtvrddt
vdw kk
kk
, ,
ta thay vào biểu thức trên rồi biến đổi
N
k
kkk
N
k
kkk
N
k
kk
kk
N
k
kk vvmdvvmddtvdt
vdmrdwm
1111
.2
1).(
2
1
.
Đại lƣợng
N
k
kk
N
k
kkk vmvvmT1
2
1 2
1.
2
1 (4.28)
gọi là động năng của cơ hệ.
Nhƣ vậy, Nguyên lý D’Alembert – Lagrange áp dụng cho các cơ hệ chịu liên kết
giữ, dừng và lý tƣởng trên các di chuyển thực có dạng
F
M
rd
Hình 4.15
- 76 -
N
k
kk
N
k
kk rdFvmd11
2
2
1 , (4.29)
hay là
AddT
biểu thị định lý biến thiên động năng của cơ hệ
Định lý động năng. Vi phân động năng của cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng và lý
tưởng bằng tổng công yêú tố của tất cả các lực hoạt động tác dụng lên các chất
điểm của cơ hệ
AddT . (4.30)
hay là đạo hàm động năng của cơ hệ bằng tổng công suất của các lực hoạt động
đặt vào các chất điểm của cơ hệ
Wdt
dT (4.31)
Bây giờ, nếu ta đƣa dấu vi phân vào trong dấu tổng ở vế trái của (4.29), ta đƣợc
N
k
kk
N
k
kk rdFvmd11
2
2
1
Tích phân hai vế với các cận tƣơng ứng trong cùng thời gian chuyển động từ 0t đến
t ta đƣợc
N
k
r
r
kk
N
k
v
v
kk
k
k
k
k
rdFvm
d11
2
002
Suy ra
N
k
k
N
k
kkN
k
kk Avmvm
11
2
0
1
2
22,
trong đó ta đã đƣa vào ký hiệu
r
r
kkk
k
rdFA
0
và gọi là công của lực kF
trên di chuyển hữu hạn từ )( 00 kk rM
đến )( kk rM
. Đẳng
thức trên có thể viết dƣới dạng
kATT 0
và biểu thị định lý động năng dƣới dạng hữu hạn
Định lý động năng dƣới dạng hữu hạn. Biến thiên động năng của cơ hệ trong
khoảng thời gian ),( 0 tt bằng tổng công của tất cả các lực hoạt động sinh ra trên các
đoạn đường di chuyển tương ứng của các điểm đặt của các lực đó.
kATT 0 . (4.32)
2.2. Động năng của vật rắn chuyển động.
- 77 -
2.2.1. Công thức tổng quát tính động năng của vật rắn
Trong cơ học ta thƣờng gặp các cơ hệ là các vật rắn chuyển động. Ở đây ta sẽ
thiết lập công thức tính động năng của chúng.
Giả sử vất rắn có vận tốc góc
và khối tâm C của
nó chuyển động với vận tốc Cv
. Khi đó, vận tốc của điểm
thứ k, ký hiệu là kv
đƣợc tính theo công thức
kCk rvv
, (4.33)
trong đó kr
là vectơ định vị của điểm thứ k trong hệ quy
chiếu có gốc tại C. Vậy
2)(2
1kCk rvmT
.)(2
1
2
1 22
kkkkCCk rmrmvvm
Do Mmk , 0kk rm
, nên tổng thứ nhất bằng 2
2
1CMv , còn tổng thứ hai bằng
không, do đó,
.)(2
1
2
1 22
kkC rmMvT
(4.34)
Ta tính đại lƣợng .)(2
1 2
kkq rmT
Ta gọi các hình chiếu của
lên các
trục toạ độ Cxyztƣơng ứng là 321 ,, , còn các hình chiếu của kr
là kkk zyx ,, . Khi
đó ta có mạch các kết quả tính toán sau
))(()(2 2
kkkkkq rrmrmT
2
211332 )()()( zkkykkxkkk exyezxeyzm
2
21
2
13
2
32 )()()( kkkkkkk xyzxyzm
).2
22(
21
22
2
22
1
31
22
3
22
132
22
3
22
2
kkkk
kkkkkkkkk
yxxy
zxxzzyyzm
Ta rút gọn biểu thức trên
).222
)()()(2
213132
222
3
222
2
222
1
kkkkkkkkk
kkkkkkkkkq
yxmzxmzym
yxmxzmyzmT
Cuối cùng ta nhận đƣợc
.2222 213132
2
3
2
2
2
1 xyzxyzzzyyxxq JJJJJJT
Chú ý rằng, nếu các trục CzCyCx ,, là các trục quán tính chính công thức trên trở
thành
.2 2
3
2
2
2
1 ZZYYXXq JJJT
C
kr
Hình 4.16
- 78 -
Vậy động năng của vật rắn đƣợc tính theo công thức
3
2
1
3
2
1
2
2
1
2
1
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
T
C
JJJ
JJJ
JJJ
MvT (4.35)
2.2. 2. Các trường hợp riêng.
a) Vật chuyển động tịnh tiến. Nhƣ đã biết, trong chuyển động
tịnh tiến, vận tốc góc của vật bằng không, do đó
2
2
1Ctt MvT . (4.36)
b) Vật chuyển động quay xung quanh một trục cố định. Trong
trƣờng hợp này vận tốc góc ze
, t.l. 021 , 3
.
2222222
2
1)(
2
1
2
1
2
1
2
1zzzzzzCq JMdJMdJMvT .
Vậy, đối với vật rắn quay xung quanh một trục cố định, ta có
2
2
1zzq JT (4.37)
c) Vật chuyển động song phẳng.
Cũng nhƣ đối với vật chuyển động quay xung
quanh một trục cố định, trong trƣờng hợp này ta có
021 , ze
3.
Do đó
22
2
1
2
1CzCsp JMvT (4.36)
2.3.Ví dụ.
Ví dụ 4.13.Cần lắc của cơ cấu cu lit quay quanh trục O làm thanh AB chuyển động
lên xuống theo máng trượt K.
Cần lắc là thanh đồng chất, khối lượng m1, chiều dài R. Con chạy A có khối
lượng m2 , thanh AB có khối lượng m3. Khoảng cách giữa trục Ovà máng trượt là l.
Xem con trượt như chất điểm, hãy tìm động năng của cơ cấu theo góc quay và
vận tốc góc của tay quay.
Bài giải
ABAOC TTTT
22
1
22
1
2
6
1
3.2
1
2
1 RmRmJTOC
2
22
1AA vmT ; reA vvv
;
ze
C
z z
Hình 4.17
C
x
z
y
Hình 4.18
O
A
K
l
C
Hình 4.19
- 79 -
cos
.l
OAve
2coscos
lvv e
A.
2
32
1AAB vmT
4
22
32
22
1cos
)(2
1
6
1
lmmRmT
Ví dụ 4.14. Một rơmooc chở hàng chuyển động trên đường ngang dưới tác dụng
của lực F
nằm ngang có giá trị không đổi. Thùng xe và vật liệu có khối lượng M,
hai bánh có khối lượng m mỗi cái, bán kính r và bán kính quán tính đối với trục
quay là . Giả thiết các bánh xe lăn không trượt. Bỏ qua sức cản lăn và sức cán
không khí.
1. Tính gia tốc của thùng xe
2. Tính vận tốc của thùng xe theo quãng đường s đi được.
Cho biết lúc đầu hệ đứng yên.
Bài giải
- Cơ hệ khảo sát: thùng xe chở vật liệu và hai bánh xe;
- Các lực sinh công: F
A. Tính gia tốc của thùng xe
Áp dụng định lý động năng
AddT ' (a)
+ Tính động năng
bxtx TTT ;
2
2
1MvTtx ; 22
2
1
2
12 Obx mvJT ; vv0 ; 2mJ
Suy ra 2
2
22
22
1v
r
rmMT
Ta có vwdtr
rmMdT
2
22 )(2 (b)
+ Tính công nguyên tố
FvdtFdsAd ' (c)
Thay (b), (c) vào công thức (a), ta có:
2
32
42
14
2
3coscos6
lmmRmT
1O
2O
v
F
Hình 4.20
- 80 -
Fvdtvwdtr
rmM
2
22 )(2
Suy ra:
B. Tính vận tốc thùng xe sau khi đi được đoạn đường s
Áp dụng định lý động năng dƣới dạng hữu hạn
ATT 0
Ở đây 00T ; FsA
Do đó
Fsvr
rmM 2
2
22
22
1
222
2
2
2
rmMr
sFrv
Ví dụ 4.15. Một hệ thống chuyển tải gồm hai trục là các trục đặc tròn đồng chất có
trọng lượng Q, bán kính R quay quanh các trục quay riêng rẽ cố định O1 và O2 còn
băng tải là đoạn dây khép kín không dãn, có khối lượng m.Các gầu xúc có trọng
lượng tương ứng là P1, P2. Trục quay O1 chịu tác dụng của ngẫu lực có mô men M
= const. Tìm
1. Vận tốc gầu xúc theo đoạn đường di chuyển, cho biết ban đầu hệ đứng yên;
2. Công suất cần thiết để hệ thống chuyển động với vận tốc V và gia tốc W.
Bài giải
Cơ hệ khảo sát: các trục quay, băng tải các gầu xúc.
Các lực hoạt động: ),,,,( 2121 MQQPP
1. Áp dụng định lý động năng dưới dạng hữu hạn
k
kATT 0 (a)
Tính động năng
BAtrtr TTTTT 21 ;
,2
1 2
111 ztr JT ,2
1 2
222 ztr JT
21
2
1AA v
g
PT , 21
2
1BB v
g
PT
Ta có các liên hệ động học
21 , vvv BA , Rv
Hơn nữa
222
2
2 rmMr
Frw
A
B
O1
O2
M 1P
2P
P
P
Hình 4.21
- 81 -
g
QRJJ zz
2
2
21 .
Thay các biểu thức này vào biểu thức động năng rồi cộng lại, ta đƣợc
222212222
2
1
2
1
2
1
22
1
22
1mvv
g
Pv
g
PR
g
QR
g
QT
221
2v
g
mgPPQT ; 00T (b)
Tính công trên quãng đƣờng di chuyển s của dây.
0)(21 PAQAQA
; sPPA 11)(
; sPPA 22 )(
; R
sMMA )(
Thay các kết quả tìm đƣợc vào phƣơng trình động năng (a), ta đƣợc
sR
MRPPv
g
mgPPQ )(
2
12221
gsmgPPQR
MRPPv 2
)( 21
12 (c)
2. Áp dụng định lý động năng dưới dạng vi phân
Ta biết rằng, ngẫu lực có mô men M chính là do động cơ tạo ra. Do đó ta có
thể viết định lý động năng ở dạng đạo hàm
vPPNNdt
dTdc )( 12 ;
vwg
mgPPQ
dt
dT 21 ,
vPPwg
mgPPQvPP
dt
dTNdc )( 21
2112 .
Vậy công suất động cơ cần tìm là.
vPPwg
mgPPQNdc )( 21
21
Ở chế độ bình ổn constv , 0w , nên
vPPNdc 21 .
Ví dụ 4.16. Ba vật nặng trọng lượng tương ứng là PPP 21 và Q nối với nhau
bằng sợi dây mềm không dãn có trọng lượng không đáng kể.Hai vật có trọng lượng
bằng nhau được buộc vào hai đầu sợi dây, còn vật thứ ba buộc ơt chính giữa dây
rồi vắt qua hai ròng rọc mắc trên cùng độ cao (hình vẽ). Từ trạng thái ban đầu
đứng yên vật Q rơi xuống và dừng lại ở độ cao H. Tìm hệ thức giữa các trọng lượng
của các vật, bỏ qua kích thước các ròng rọc.
- 82 -
Bài giải
Cơ hệ khảo sát: Các vật nặng treo trên sợi dây.
Các lực hoạt động: QPP
,, 21 .
Áp dụng định lý động năng.
01T , 00T .
- Tính công của các lực
Thoạt tiên ta tính các khoảng
cách di chuyển của các vật. Khi vật Q
rơi xuống khoảng cách H, các vật kia
sẽ nâng lên một đoạn bằng h. Ta có các
hệ thức hình học sau đây
AOlHAOKL 1
22
1
hAOlhAOLO 111
Suy ra
hllH 22 .
lhhllH 22222 , 02 22 Hlhh
22
2,1 Hllh .
Vì 0h , nên nghiệm đúng là 22 Hllh .
Bây giờ ta tính công
)()()( 21 QAPAPAA
QHHllPQHPh 2222 .
Thay vào phƣơng trình động năng ta đƣợc
02 22 QHHllP
2222 HlPQHPl
Vậy, ta có hệ thức giữa các trọng lƣợng
QlHl
HP
222
§ 3. NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ
Nguyên lý di chuyển khả dĩ là cơ sở của tĩnh học giải tích - một phương pháp
tính toán cân bằng cho các cơ hệ tuỳ ý. Nếu bài toán tĩnh học vật rắn được giải
quyết nhờ các phương trình cân bằng: sự bằng không của vectơ chính và mô men
chính của hệ lực tác dụng lên vật rắn thì ở đây ta có thể giải quyết các bài toán
thuộc lớp rộng hơn: sự cân bằng của cơ hệ bất kỳ dựa trên biểu thức công khả dĩ
của các lực hoạt động.
2l
Q
P P
H
h A
A
0
B
B
0
K
L O1
O2
Hình 4.22
- 83 -
1.Vị trí cân bằng của cơ hệ.
Vị trí cân bằng của cơ hệ là vị trí cơ hệ luôn luôn chiếm chỗ tại mọi thời điểm,
nếu tại thời điểm ban đầu cơ hệ ở vị trí đó thì vận tốc của mọi điểm của nó bằng
không.
Từ định nghĩa trên ta thấy ngay rằng, vị trí ,0
kk rr
Nk ,...,2,1 là vị trí cân bằng
chỉ trong trƣờng hợp khi “chuyển động” ,0
kk rr
Nk ,...,2,1 thoả mãn phƣơng trình
tổng quát động lực học (4.21), tại vị trí này 0kw
, Nk ,...,2,1 . Do đó, phƣơng
trình tổng quát động lực học (4.21) trở thành
01
k
N
k
k rF
(4.39)
Phƣơng trình (4.39) là điều kiện cân bằng tổng quát cho cơ hệ bất kỳ. Nó biểu thị
một trong những Nguyên lý của cơ học về cân bằng, gọi là Nguyên lý di chuyển khả
dĩ.
2.Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Đối với cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng và lý tưởng điều kiện cần và đủ để cơ
hệ cân bằng là tổng công khả dĩ của tất cả các lực hoạt động trên mọi di chuyển
khả dĩ bằng không (4.39)
0kk rF
,
trong đó kF
là lực hoạt động tác dụng lên chất điểm thứ k.
3.Các ví dụ
Ví dụ 4.17. Xác định quan hệ giữa lực P tác
dụng vuông góc với tay quay của máy ép vít và
lực ép Q , cho biết cánh tay đòn của máy ép là a ,
bước của trục vít là h . Bỏ qua ma sát.
Bài giải
- Cơ hệ khảo sát: toàn bộ máy ép. Hệ không có
bậc tự do nào, chịu liên kết giữ, dừng và lý tƣởng.
Ta giải phóng liên kết, t.l. bỏ vật ép ra và
thay bằng phản lực Q
. Khi đó vật trở thành một
bậc tự do và lấy góc quay của tay quay làm toạ
độ suy rộng.
- Các lực hoạt động. Bây giờ ta phải coi Q
là lực
hoạt động, nên hệ lực hoạt động tác dụng lên hệ là ),,( 21 QPP
.
P
P
Q
Hình 4.23
- 84 -
- Cho hệ di chuyển khả dĩ ứng với dịch chuyển quay của tay quay một góc
ngƣợc chiều kim đồng hồ. Khi đó bề mặt của máy ép di chuyển xuống một đoạn s .
Áp dụng Nguyên lý di chuyển khả dĩ ta có
,0kk rF
hay là 02 sQPa . (a)
Ta tìm liên hệ giữa và s . Khi tay quay quay đƣợc góc 2 vít đi xuống đƣợc
một đoạn h , nên khi tay quay đựpc góc đầu vít đi đƣợc đoạn
2
hs . (b)
Thay biểu thức (b) vào phƣơng trình (a) ta đƣợc
02
2h
QPa .
Từ đây, ta tìm đƣợc
Qa
hP
4.
Ví dụ 4.18. Vật A trọng lượng 1P được giữ cân bằng trên mặt phẳng nghiêng với
mặt phẳng ngang một góc , nhờ buộc vào đầu một sợi dây nhẹ, không dãn vòng
qua ròng rọc cố định D và ròng rọc động E, còn đầu kia buộc vào vật nặng trọng
lượng 2P nằm cân bằng trên mặt phẳng nghiêng với mặt ngang góc . Tại tâm của
ròng rọc động E treo một vật nặng C có trọng lượng Q.
Tìm quan hệ giữa các trọng lượng QPP ,, 21 khi hệ cân bằng. Bỏ qua ma sát
trên các mặt phẳng nghiêng, ma sát giữ dây và ròng rọc cố định D cũng như hiện
tượng trượt giữa dây và ròng rọc động E
Bài giải
- Cơ hệ khảo sát: ròng rọc mang các vật
nặng A, B, C.
Hệ có hai bậc tự do và ta chọn các toạ độ
suy rộng là CB ys , .
Ta có phƣơng trình liên kết
,2 1csss CBA
CC ycs 2 .
- Các lực hoạt động ),,( 21 QPP
.
- Nguyên lý di chuyển khả dĩ cho phƣơng
trình
0sinsin. 21 CBA yQsPsP .
Từ các phƣơng trình lien kết cho ta các hệ thức biến phân
C
B
D
E
As
Cs A
Bs
1P 2P
Q
Hình 4.24
- 85 -
,02 CBA sss CC ys
Do đó,
),(2
1BAC ssy
Thay biểu thức này vào phƣơng trình biểu thị nguyên lý di chuyển khả dĩ
0)(2
1sinsin. 21 BABA ssQsPsP .
Từ đây ta nhận đƣợc hai phƣơng trình
02
sin1
QP , 0
2sin2
QP
hay là
sin2
1
QP ,
sin22
QP .
Ví dụ 4.19. Cơ cấu cu lit gồm tay quay OC quay quanh trục nằm ngang O làm cần
AB di chuyển tịnh tiến theo phương thẳng đứng trong rãnh định hướng K dưới tác
dụng của lực P. Cho OC = R; OK =l, tìm
a) Lực Q đặt vuông góc với tay quay OC tại C để cơ cấu cân bằng.
b) Phản lực tại rãnh trượt K. Bỏ qua ma sát và trọng lượng các khâu.
Bài giải
a)Tìm Q để cơ hệ cân bằng
Cơ hệ khảo sát: cơ cấu cu lit. Hệ có một bậc
tự do. Toạ độ suy rộng
Các lực hoạt động QP
, .
Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ
0CyPQRA
Lập các quan hệ động học
ltgtgOKyC .
2cos
lyC
Thay vào phƣơng trình xuất phát
0cos2
lPQR
PR
lQ
2cos.
b) Tìm phản lực tại K
- Cơ hệ khảo sát: culit đã giải
phóng liên kết tại K.
o
O
C
K
Q
P
Hình 4.25
o
K
C
O
Q
P
AX
M
Cs
A
Hình 4.26
- 86 -
* Khi đó hệ có ba bậc tự do.
* Các toạ độ suy rộng: ),,( Cs
- Các lực hoạt động MXQP A ,,,
.
Tính công khả dĩ
o 0.2 tglXMA A
o 0sincos3 CA sPXA
Giải các phƣơng trình này ta đƣợc
PtgX A , 2PltgM
§4. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI HAI
1. Thiết lập phƣơng trình Lagrange loại hai.
Khảo sát các cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, lý tƣởng, có n bậc tự do khi
đó vị trí của cơ hệ đƣợc xác định bởi n toạ độ suy rộng độc lập nqqq ,...,, 21. Với các
giả thiết này ta sẽ biến đổi phƣơng trình tổng quát động lực học theo các toạ độ suy
rộng.
Phƣơng trình tổng quát động lực học
N
k
kkkk rwmF1
0)(
có thể viết thành
N
k
N
k
kkkkk rFrwm1 1
(4.40)
Trƣớc hết, ta đƣa ra một vài công thức cần đến khi biến đổi sau này:
Từ hệ thức
n
i
i
i
kkk q
q
r
t
rr
1
lấy đạo hàm riêng theo iq , ta thu đƣợc
i
k
i
k
q
r
q
r
(4.41)
Ta chứng minh rằng
i
k
i
k
q
r
q
r
dt
d
(4.42)
Thật vậy, ta có
n
j
j
ij
k
i
k
i
k qqq
r
qt
r
q
r
dt
d
1
22
(a)
- 87 -
Hơn nữa, ),...,,,( 21 nkk qqqtrr
suy ra: n
j
j
j
kkk q
q
r
t
rr
1
lấy đạo hàm riêng theo iq , ta đƣợc
iq
r n
j
j
ji
k
i
k qqq
r
tq
r
1
22
(b)
So sánh hai biểu thức (a), (b) với chú ý đến đến tính liên tục của các đạo hàm, ta rút
ra ngay tính đúng đắn của đẳng thức (4.42).
Bây giờ ta biến đổi phƣơng trình (4.40).
Ta biến đổi vế phải của (4.40)
n
i
ii
N
k
n
i
i
i
kN
k
k
n
i
i
i
kk
N
k
kk qQqq
rFq
q
rFrF
11 1 111
(4.43)
trong đó ta đã đặt
i
i
kN
k
k Qq
rF
1
Qi là lực suy rộng tƣơng ứng với toạ độ suy rộng iq .
Ta biến đổi vế trái của (4.40)
N
k
kkk rwm1
W
.
Thay dt
rd
dt
vdw kk
k
, n
i
i
i
kk q
q
rr
1
vào biểu thức trên ta đƣợc
n
i
N
k
N
k
i
i
kkki
i
kkk
N
k
n
i
i
i
kkk q
q
r
dt
drmq
q
rrm
dt
dq
q
r
dt
rdm
1 1 11 1
W
Sử dụng các công thức (4.41) và (4.42) để thay vào biểu thức W, ta đƣợc
n
i
N
k
N
k
i
i
kkki
i
kkk q
q
rrmq
q
rrm
dt
d
1 1 1
W
.
Chú ý rằng
N
k
kk rmT1
2
2
1 ,
nên
N
k iii
kkk
q
T
q
rrm
1
,
N
k ii
kkk
q
T
q
rrm
1
,
từ đó ta tính đƣợc biểu thức cuối cùng của W:
- 88 -
n
i
n
i
i
i
i
i
Tq
q
T
dt
d
1 1
W
. (4.44)
Thay các biểu thức vừa tìm đƣợc (4.43), (4.44) vào (4.40) ta nhận đƣợc
n
i
ii
n
i
n
i
i
i
i
i
qQqq
Tq
q
T
dt
d
11 1
Chuyển vế và đƣa iq làm thừa số chung, ta đƣợc
n
i
ii
ii
qQq
T
q
T
dt
d
1
0
.
Do các biến phân iq độc lập, nên ta phải có
i
ii
T
q
T
dt
d
, ni ,...,2,1 (4.45)
Hệ phƣơng trình (4.45) gọi là hệ phương trình Lagrange loại hai.
2. Biểu thức của động năng trong các toạ độ suy rộng.
Theo định nghĩa
.2
1
1
2N
k
kkvmT
Nhƣ đã biết, giữa các toạ độ suy rộng và các vectơ định vị kr
có mối liên hệ
),,...,,( 21 tqqqrr nkk
.
Do đó
i
i
kkk q
q
r
t
rv
.
Bình phƣơng hai vế rồi thay vào biểu thức động năng, ta sẽ đƣợc tổng chứa ba loại
số hạng: các số hạng chứa các tích vận tốc suy rộng jiqq , nji ,...,2,1, ; các số hạng
chỉ chứa vận tốc suy rộng ở bậc nhất iq và số hạng
2
t
rm k
k
2
11 1,1 1,1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
t
rmq
q
r
t
rmqq
q
r
q
rmvmT k
N
k
k
N
k
i
i
kkn
ji
k
N
k
ji
j
k
i
kn
ji
k
N
k
kk
thay đổi thứ tự lấy tổng trong tổng trên
2
11, 11, 11
2
2
1
2
1
2
1
2
1
t
rmq
q
r
t
rmqq
q
r
q
rmvmT k
N
k
k
n
ji
i
i
kkN
k
k
n
ji
N
k
ji
j
k
i
kk
N
k
kk
Đặt
N
k
ij
j
k
i
kk a
q
r
q
rm
1
, i
i
kkN
k
k bq
r
t
rm
1
, ,
động năng của hệ có thể viết thành
,012 TTTT
- 89 -
trong đó
2
1
02
1
t
rmT k
N
k
k
n
i
iii
i
kkn
i
N
k
k qbqq
r
t
rmT
11 1
1
n
ji
N
k
n
ji
jiijji
j
k
i
kk qqaqq
q
r
q
rmT
1, 1 1,
2
Trong trƣờng hợp cơ hệ chịu liên kết dừng 0t
rk
, nên 001 TT , động
năng của hệ là dạng thức toàn phƣơng của các tốc độ suy rộng. Ta đƣa vào định lý
Ơ le về dạng toàn phƣơng
n
i
i
i
Tqq
T
1
2
, (4.46)
sẽ đƣợc sử dụng trong các mục sau.
3. Phƣơng trình Lagrange loại hai trong trƣờng hợp lực có thế.
Trong trƣờng hợp các lực tác dụng lên cơ hệ là các lực có thế, tức là, tồn tại
thế năng sao cho
,k
kx
X ,k
ky
Y k
kz
Z ,
ta chỉ ra rằng
i
iq
Q . (4.47)
Thật vậy,
k
k
k
k
k
N
k k
kkkkk
N
k
k zz
yy
xx
zZyYxXA11
.
Chú ý rằng
n
i
i
i
kk q
q
xx
1
, n
i
i
i
kk q
q
yy
1
, n
i
i
i
kk q
q
zz
1
,
nên
.111 1
1111
i
n
i
ii
n
i i
i
n
i
N
k i
k
ki
k
ki
k
k
n
i
i
i
k
k
n
i
i
i
k
k
n
i
i
i
kN
k k
qQqq
z
xq
y
xq
x
x
x
zq
q
x
yq
q
x
xA
Vậy, i
n
i i
i
n
i
i qq
qQ11
, từ đó suy ra tính đúng đắn của (4.47).
- 90 -
Thay (4.47) vào hệ phƣơng trình Lagrange (4.45), ta đƣợc
iii qq
T
q
T
dt
d
, ni ,...,2,1 .
Do thế năng chỉ phụ thuộc vào toạ độ, nên 0iq
. Đặt
TL
và gọi là hàm Lagrange của cơ hệ. Ta có
,ii q
T
q
L
ni ,...,2,1 ,
nên ta có thể viết lại hệ phƣơng trình trên dƣới dạng
0)()(
ii q
T
q
T
dt
d
hay là
0ii q
L
q
L
dt
d
, ni ,...,2,1 . (4.48)
Hệ phƣơng trình (4.48) gọi là hệ phƣơng trình Lagrange loại hai trong trƣờng lực có
thế.
Hệ phƣơng trình Lagrange loại hai là hệ phƣơng trình chuyển động của các
cơ hệ hôlônôm. Nó có những ƣu điểm nổi bật nhƣ sau:
a) Hệ phƣơng trình Lagrange loại hai chứa n phƣơng trình vi phân cấp hai đối với
các toạ độ suy rộng, không thay đổi dạng khi thay đổi từ hệ toạ độ suy rộng này
sang hệ toạ độ suy rộng khác và không chứa các phản lực liên kết làm giảm nhẹ
đáng kể việc giải quyết bài toán cơ học.
b) Hệ phƣơng trình Lagrange đƣợc thiết lập theo thuật toán dễ thực hiện: Tính động
năng của cơ hệ, biểu thị các yếu tố vận tốc có mặt trong biểu thức động năng qua
các toạ độ và tốc độ suy rộng, tính lực suy rộng và tính các đạo hàm trong phƣơng
trình, thay vào (4.45) hoặc (4.48) ta nhận đƣợc các phƣơng trình Lagrange.
c) Trong nhiều trƣờng hợp, hệ phƣơng trình Lagrange cho ta các tích phân đầu (sẽ
xét đến trong các mục sau), giúp ta có đƣợc hệ phƣơng trình mới có số phƣơng trình
ít hơn.
4. Các ví dụ
Ví dụ 4.20. Thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu tay quay
thanh truyền khi tay quay chịu tác dụng ngẫu lực có mô men M, còn pittông chịu
tác dụng lực theo phương chuyển động của nó. Cho biết: chiều dài của tay quay OA
= r, của thanh truyền AB = l, đồng thời
1l
r;
- 91 -
khối lượng của tay quay bằng m1, khối tâm của nó trùng với trục quay O, bán kính
quán tính của tay quay đối với O bằng , khối lượng của pittông bằng m2. Bỏ qua
khối lượng thanh AB và ma sát.
Bài giải
- Khảo sát cơ hệ: cơ cấu tay quay thanh truyền. Cơ cấu có một bậc tự do, toạ độ suy
rộng là
- Hệ các lực hoạt động: ),( FM
- Tính động năng ptOA TTT 2
2
2
2
1
2
1BvmJ .
2
1mJ , , BB xv
coscos lrxB ;
2
2
2
sin1cosl
r 2
2
2
sin2
1l
r
2
2
2
sin2
1cosl
rlrxB .
2sin2
sincossinsin2
2
l
rr
l
rlrvB
.
2
2
2
2
2
1 2sin2
sin2
1
l
rrmmT
Tính công khả dĩ
BxFMA ,
Bx 2sin2
sinl
rr
2sin2
sinl
rFrMA
2sin2
sinl
rFrMQ
Thay vào phƣơng trình Lagrange
QTT
dt
d
Tính
T
2
2
2
2
1 2sin2
sinl
rrmm ;
Tính
o
O
A
y
x
Hình 4.27
- 92 -
.2coscos2sin2
sin22sin2
sin 22
2
2
2
2
2
1
l
r
l
rrm
l
rrmm
T
dt
d
Do đó phƣơng trình chuyển động của cơ cấu tay quay – thanh truyền là
22
2
2
2
2
2
1 2coscos2sin2
sin22sin2
sin l
r
l
rrm
l
rrmm
2sin2
sinl
rFM .
Ví dụ 4.21. Con lắc elliptic tạo thành bởi con trượt A có khối lượng m1 trượt theo
đường thẳng nằm ngang và quả cầu nhỏ có kích thước không đáng kể khối lượng
m2 nối với con trượt nhờ thanh mảnh có độ dài l. Người ta tác dụng lên con trượt
lực F
hướng dọc theo trục Ox. Tìm hệ phương trình vi phân chuyển động của con
lắc.
Bài giải.
- Cơ hệ khảo sát bao gồm con trƣợt, thanh nối và quả cầu. Cơ hệ chịu liên kết
lý tƣởng
Hệ có hai bậc tự do, ta chọn các toạ độ
suy rộng là OAx , góc lập bởi thanh và
phƣơng thẳng đứng.
- Các lực hoạt động FPP
,, 21
- Áp dụng phƣơng trình chuyển động
Lagrange
xQx
T
x
T
dt
d
QTT
dt
d
.
Ta lần lƣợt tính động năng và các lực suy rộng.
+ Tính động năng
qcct TTT 2
22
2
112
1
2
1vmvm ,
trong đó ,1v 2v là vận tốc của con trƣợt và quả cầu.
Ta có
xv 1 ,
BB yxv
,2 ,
sinlxxB , cos lxxB ,
O
B
y
1P
F
2P
x
Hình 4.28
- 93 -
coslyB , sin lyB . sinlyB
222222
2 cos2 lxlxyxv BB
)cos2(2
1
2
1 222
2
2
1 lxlxmxmT
)cos2(2
1)(
2
1 22
2
2
21 lxlmxmmT .
+ Tính các lực suy rộng
ByPxFA 2 sin2lPxF .
Do đó
FQx, sin2lPQ .
+ Tính các đạo hàm
0x
T, cos)( 221
lmxmmx
T,
sin2xlm
T,
2
2 cos lxlmT
,
sincos)( 2
2221
lmlmxmm
x
T
dt
d,
2
222 sincos lmxlmxlmT
dt
d.
Thay các giá trị đạo hàm này vào phƣơng trình Lagrange ta đƣợc
Flmlmxmm sincos)( 2
2221
sinsinsincos 22
2
222 lPxlmlmxlmxlm .
Sau khi đơn giản ta đƣợc
Flmlmxmm sincos)( 2
2221
sincos glx .
Ví dụ 4.21. Rôbôt tay máy cực chuyển động
trong mặt phẳng thẳng đứng như hình vẽ. Khâu
1 có khối lượng m1 , mômen quán tính đối với
khối tâm C1 của nó là J1. Khâu 2 có khối lượng
m2 , mômen quán tính đối với khối tâm C2 của
nó là J2. Khâu 2 có thể chuyển động tịnh tiến
thẳng đối với khâu 1. Ngẫu lực điều khiển
M=M(t) đặt lên khâu quay 1 và lực điều khiển
tác dụng lên khâu 2. Bỏ qua ma sát và lực cản.
Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động của rô bốt này.
a u(t)
C1
C2
x
y
M(t)
Hình 4.29
F
- 94 -
Bài giải
- Cơ hệ khảo sát là rô bốt gồm 2 khâu. Chọn các toạ độ suy rộng là ),( u trong đó
là góc lập bởi trục của khâu 1 với phƣơng Ox , u là khoảng cách từ khối tâm của
khâu 2 đến gốc O .
- Các lực hoạt động gồm ( FMPP
,,, 21 ).
- Áp dụng phƣơng trình Lagrange loại hai cho rô bốt.
+ Tính động năng
2
2
2
22
22
11212
1
2
1
2
1 JvmamJTTT C .
Do cos2 uxC, sin2 uyC
, nên
2222
2
2
2
2
2 uuyxv CCC
Thay kết quả này vào biểu thức của động năng ta đƣợc
2
2
22
2
2
2
22
2
2
1212
1
2
1
2
1
2
1umumJumumamJJT ,
trong đó constamJJJ 2
121.
+ Tính các lực suy rộng.
Cho di chuyển khả dĩ )0,0( u , ta có
.)coscos()(
,coscos)(
211
211
QgumgamMA
gumgamMA
Cho di chuyển khả dĩ )0,0( u
uQugmFA u)sin( 22
Vậy, ta có các lực suy rộng
cos)( 21 gumamMQ .
sin2gmFQu
+ Tính các đạo hàm
)( 2
2umJT
,
uumumJT
dt
d2
2
2 2)( ,
umu
T
2 , umu
T
dt
d
2
2
2um
u
T, 0
T.
Thay các biểu thức này vào công thức cho các phƣơng trình Lagrange loại hai, ta
đƣợc
uumumJ 2
2
2 2)( cos)( 21 gumamM .
um 2
2
2um = sin)( 2 gmtF .
- 95 -
4. Các tích phân chuyển động.
Trong quá trình chuyển động của cơ hệ, các toạ độ suy rộng cũng nhƣ các tốc
độ suy rộng thay đổi theo thời gian )(),( tqqtqq iiii , ni ,...,2,1 . Tuy nhiên, trong
nhiều trƣờng hợp ta gặp phải các hàm của các toạ độ và tốc độ suy rộng nhận giá trị
không đổi consttqtqf ii ))(),(( . Các hàm này gọi là các tích phân chuyển động của
cơ hệ, hay còn gọi là các tích phân đầu của hệ phương trình vi phân chuyển động.
Đại lƣợng ),( qqff gọi là đại lượng bảo toàn
Trong các trƣờng hợp nhƣ thế, việc tích phân hệ phƣơng trình vi phân
chuyển động gặp rất nhiều thuận lợi. Nó có thể đƣa việc giải hệ phƣơng trình vi
phân chuyển động về việc giải hệ phƣơng trình hàm số (không phải tích phân) nếu
ta nhận đƣợc 2n tích phân đầu, hoặc ít ra có thể giảm đƣợc số phƣơng trình vi phân
chuyển động. Do vậy, các tích phân chuyển động có ý nghĩa rất lớn về mặt cơ học
cũng nhƣ toán học. Ở đây ta sẽ xét một vài điều kiện tồn tại các tích phân này.
Ta giả thiết rằng, cơ hệ khảo sát chịu các liên kết hô lô nôm, giữ, lý tƣởng và
có n bậc tự do. Các lực tác dụng lên hệ là các lực có thế với thế năng
),...,,( 21 nqqqUU .
4.1. Tích phân năng lượng (sự bảo toàn cơ năng).
Từ phƣơng trình Lagrange trong trƣờng hợp có thế
iii qq
T
q
T
dt
d
Ta đạo hàm toàn phần động năng T theo thời gian
n
i
i
i
n
i
i
i
Tq
q
T
dt
dT
11
.
Từ phƣơng trình Lagrange ta có
iii q
T
T
dt
d
Do đó
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
ii
Tq
q
Tq
q
T
dt
d
Tq
T
dt
d
dt
dT
1111
11
Chú ý rằng
dt
dq
q
n
i
i
i1
,
nên
dt
dT
dt
dq
q
T
dt
d
dt
dT n
i
i
i
n
i
i
i
211
.
- 96 -
Vậy
0dt
d
dt
dT
Gọi
TE
là cơ năng của cơ hệ, khi đó phƣơng trình trên có thể viết thành
0dt
dE, hay là constTE (4.49)
Tức là cơ năng của hệ đƣợc bảo toàn.
4.2. Tích phân xyclic.
4.2.1. Toạ độ xyclic.
Ta gọi các toạ độ suy rộng q , ns,...,2,1 là toạ độ xyclic nếu trong biểu
thức của hàm Lagrange không có mặt hiện các toạ độ đó
snqqqLL ,...,, 21 .
Các toạ độ suy rộng khác đƣợc gọi là các toạ độ vị trí.
4.2.2. Tích phân xyclic.
Trong trƣờng hợp cơ hệ có các toạ độ xyclic hệ phƣơng trình Lagrange loại
hai có dạng
0ii q
L
q
L
dt
d
, sni ,...,2,1
0q
L
dt
d
, s,...,2,1 .
Từ s phƣơng trình cuối ta suy ra ngay
constcq
L
, s,...,2,1 (4.50)
Các tích phân (4.50) gọi là các tích phân xyclic.
Ví dụ 4.23. Tìm phương trình chuyển động của con lắc
elliptic trong ví dụ 4.22, cho rằng không có lực F tác
dụng lên con trượt.Con lắc chuyển động từ trạng thái
nghỉ và AB lệch góc 0 so với phương thẳng đứng
Bài giải.
Trong ví dụ 4.22, ta đã chỉ ra rằng động năng của
hệ có dạng
)cos2(2
1)(
2
1 22
2
2
21 lxlmxmmT
C
A
B
x
0x
y
0Bx
Hình 4.30
- 97 -
Ta tính thế năng
Cglm cos2
Hàm Lagrange nhận dạng
TL cos)cos2(2
1)(
2
12
22
2
2
21 glmlxlmxmm .
Hệ có hai tích phân chuyển động là tích phân năng lƣợng và tích phân xyclic
đối với toạ độ x .
Tích phân năng lƣợng
12
22
2
2
21 cos)cos2(2
1)(
2
1Cglmlxlmxmm . (a)
Tích phân xyclic
2Cx
L
,
hay là
2221 cos)( Clmxmm . (b)
Ta chọn hệ toạ độ Đescarte sao cho trục Ox dọc theo rãnh trƣợt, còn trục Oy đi qua
khối tâm C ở vị trí lức đầu. Ta viết các điều kiện ban đầu
0)0(,0 xxt , 0)0( , 0)0(x , 0)0( . (c)
Thay các điều kiện ban đầu (c) vào các tích phân (a) và (b) ta tìm đƣợc các hằng số
tích phân
1C02 cosglm , 02C (d)
Thay 02C vào (b) rồi tích phân ta nhận đƣợc
3221 sin)( Clmxmm . (e)
Để thấy rõ ý nghĩa cơ học của các biểu thức trên, ta nhận thấy, khối tâm của cơ hệ
lúc đầu xác định bằng hệ thức
0)sin(
21
00201
21
02010
mm
xlmxm
mm
xmxmx B
C.
hay là
21
020
sin
mm
lmx
Từ đây, suy ra 0sin)( 020213 lmxmmC (f)
Thay giá trị này vào (e) ta tìm đƣợc
21
2 sin
mm
lmx (g)
nghĩa là khối tâm C của hệ không chuyển động theo phƣơng x, hay nói khác đi trục
y0 luôn luôn đi qua khối tâm của hệ.
- 98 -
Ta lại thay
21
2 sin
mm
lmx
vào (a) ta đƣợc
0
22
21
2 cos2cos2cos1 gglmm
m .
Đây là phƣơng trình vi phân cấp một đối với toạ độ . Giải phƣơng trình này ta sẽ
có nghiệm cần tìm.
Ta khảo sát trƣờng hợp góc bé. Khai triển cos thành chuỗi luỹ thừa và
chỉ giữ lại các số hạng cấp hai đối với và trong phƣơng trình ta thu đƣợc
)1(cos2 0
22
21
1 gglmm
mE
Từ biểu thức cuối cùng này có thể kết luận ngay rằng chuyển động bé của con lắc
elliptic theo toạ độ là dao động điều hoà với tần số
l
g
m
mm
1
212 )( (h)
B. THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP
II.1. Nội dung thảo luận
Vấn đề 1: Động năng, công, công suất và định lý biến thiên động năng
Vấn đề 2: Thế năng của cơ hệ và định lý Bảo toàn cơ năng
Vấn đề 3: Lực suy rộng và các phƣơng pháp tính lực suy rộng
Vấn đề 4: Nguyên lý D’Alembert- Lagrange
Vấn đề 5: Phƣơng trình Lagrange loại hai
Vấn đề 6: Tích phân đầu của chuyển động
Vấn đề 7: Nguyên lý di chuyển khả dĩ
II.2. Bài tập
o Định lý biến thiên động năng: 2.28, 2.29, 2.30, 2.32, 2.33, 2.35, 2.40, 2.47
(trang 98 → 108, sách bài tập Cơ học tập 2- Đỗ Sanh – Lê Doãn Hồng)
o Định lý bảo toàn cơ năng: 2.36, 2.37, 2.38, 2.46 (trang 102 → 107, sách bài
tập Cơ học tập 2- Đỗ Sanh – Lê Doãn Hồng)
o Nguyên lý di chuyển khả dĩ: 3.1, 3.2, 3.8, 3.9, 3.14, 3.15 (trang 135 → 142,
sách bài tập Cơ học tập 2- Đỗ Sanh – Lê Doãn Hồng)
o Nguyên lý D’Alembert- Lagrange: 5.1, 5.2, 5.3, 5.10 (trang 186 → 190),
6.28 (trang 242)- Sách bài tập Cơ học tập 2- Đỗ Sanh – Lê Doãn Hồng
o Phƣơng trình Lagrange loại hai: 5.4, 5.5, 5.7, 5.8, 5.9, 5.11, 5.12, 5.13, 5.14,
5.15, 5.16, 5.17, 5.18 (trang 187 → 194, sách bài tập Cơ học tập 2- Đỗ Sanh
– Lê Doãn Hồng)
- 99 -
Chƣơng V
Va chạm
I
- : Trang bị cho sinh viên những kiến thức về va chạm, hiện tƣợng chuyển
động của vật trong khoảng thời gian vô cùng bé mà vận tốc của các điểm thuộc vật
biến thiên một đại lƣợng hữu hạn.
- : thiết lập phƣơng trình cơ bản của lý thuyết va chạm, đƣa ra các định lý
tổng quát của lý thuyết va chạm và áp dụng các định lý đó vào một số trƣờng hợp
cụ thể.
- định lý biến thiên động
lƣợng, định lý biến thiên mômen động lƣợng, định lý động năng.
-
.
Chương V. Va chạm. 2 (2 – 0)
§1. Đặt bài toán va chạm
1.Hiện tƣợng va chạm.
2.Các đặc điểm của quá trình va chạm
§2. Áp dụng các định lý động lƣợng mô men động lƣợng
trong quá trình va chạm.
1.Định lý động lƣợng
2.Định lý mô men động lƣợng
§3. Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật.
1. Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật
2. Định lý Cacno cho hai vật va chạm thẳng xuyên tâm
§4. Tác dụng lực va chạm vào vật quay xung quanh một
trục cố định và chuyển động song phẳng.
§1,
thảo luận các ví dụ,
§2 sinh viên tự
nghiên cứu.
§1. ĐẶT BÀI TOÁN VA CHẠM
1. Hiện tƣợng va chạm
Các vật chuyển động dƣới tác dụng của các lực mà ta xét từ trƣớc đến nay có
vận tốc thay đổi liên tục, tức là với mỗi khoảng thời gian vô cùng bé sẽ có một số
gia vô cùng bé của vận tốc. Thực vậy, xét chất điểm khối lƣợng m, chịu tác dụng
- 100 -
của lực F (ở đây F là hợp lực của các lực tác dụng lên chất điểm). Theo định lý
biến thiên động lƣợng, trong khoảng thời gian , ta có:
1 0
0
.tbm v v Fdt F (5.1)
Từ đây suy ra là, khi thời gian vô cùng bé (tiến tới không) mà các lực là
các lực thông thƣờng thì gia số vận tốc 1 0v v v cũng là đại lƣợng vô cùng bé
(tiến tới không).
Tuy nhiên, nếu trong số các lực tác dụng lên chất điểm có những lực rất lớn
(cấp 1 ) thì gia số vận tốc trong khoảng thời gian vô cùng bé sẽ là đại lƣợng hữu
hạn (không tiến tới không). Đó là hiện tƣợng va chạm.
Định nghĩa:
Hiện tượng mà vận tốc của các điểm của vật có số gia hữu hạn trong khoảng
thời gian rất bé gọi là va chạm. Khoảng thời gian rất bé xảy ra va chạm gọi là
thời gian va chạm. Lực có giá trị vô cùng lớn, tác dụng trong thời gian va chạm,
đƣợc gọi là lực va chạm, ký hiệu: vcF .
Vì trong thời gian va chạm lực va chạm rất lớn nên trong lý thuyết va chạm
ngƣời ta không lấy lực va chạm mà lấy xung lƣợng có chúng là số đo tƣơng tác của
các vật khi va chạm. Xung luợng va chạm là đại lƣợng hữu hạn bằng:
0
.vc vc vc
tbS F dt F (5.2)
Xung lƣợng của các lực không phải lực va chạm trong khoảng thời gian là
rất bé mà ta có thể bỏ qua.
Ta ký hiệu vận tốc trƣớc va chạm là v , còn vận tốc sau va chạm là u . Khi
đó, định lý biến thiên động lƣợng của chất điểm khi va chạm sẽ có dạng:
vc
km u v S (5.3)
tức là, biến thiên động lượng của chất điểm trong thời gian va chạm bằng tổng xung
lượng của các lực va chạm tác dụng lên chất điểm đó.
Phƣơng trình (5.3) là phƣơng trình cơ bản của lý thuyết va chạm.
2. Các đặc điểm của quá trình va chạm
a) Di chuyển của các điểm trong va chạm
- 101 -
Trong thời gian va chạm vô cùng bé , độ dời của các điểm bằng tbv , là
một đại lƣợng vô cùng nhỏ có thể bỏ qua, tức là coi nhƣ vật đứng im trong thời gian
đó.
b) Hai giai đoạn của quá trình va chạm
Xét một khối cầu rơi thẳng đứng trên một bản cứng nằm ngang và cố định.
Đối với các va chạm xảy ra trực tiếp nhƣ ở đây, ta có thể phân thành hai giai đoạn
(hình 5.1).
Giai đoạn biến dạng
Bắt đầu từ lúc quả cầu chạm vào mặt chắn, lúc đó khối tâm quả cầu có vận tốc
bằng vận tốc trƣớc va chạm v , quả cầu bị biến dạng cho đến lúc tất cả các điểm
thuộc vật dừng lại tức thời, vận tốc tức thời của mọi điểm bằng không. Trong giai
đoạn này, động năng trước va chạm của quả cầu biến thành thế năng biến dạng
đàn hồi của nó.
Giai đoạn phục hồi
Ngay từ thời điểm cuối của giai đoạn biến dạng, do tính chất đàn hồi của vật,
quả cầu lại nhanh chóng dãn nở để khôi phục lại một phần hoặc hoàn toàn giống với
hình dạng trƣớc khi va chạm của nó. Do đó, ở cuối giai đoạn này khối tâm của quả
cầu có vận tốc bằng vận tốc sau va chạm u . Trong giai đoạn này, một phần hoặc
toàn bộ thế năng đàn hồi của quả cầu được biến thành động năng sau va chạm của
nó.
c) Các hình thức va chạm
Giả sử hai vật rắn A, B chuyển động và va chạm vào nhau tại điểm va chạm
K (hình 5.2). Gọi Kn là pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc chung của mặt hai vật
tại điểm va chạm K.
C C
v
C
u
Giai đoạn biến dạng Giai đoạn phục hồi
Thời gian va chạm
Hình 5.1. Hai giai đoạn của quá trình va chạm
- 102 -
Nếu vận tốc trƣớc va chạm 1 2,v v của khối tâm của hai vật song song với pháp
tuyến Kn thì va chạm goi là va chạm thẳng. Nếu va chạm của hai vật khôgn thoả
mãn điều kiện trên, thì va chạm đó gọi là va chạm xiên.
Tại thời điểm trƣớc va chạm, nếu khối tâm của hai vật nằm trên pháp tuyến
Kn, thì va chạm đó gọi là va chạm xuyên tâm.
Nếu vận tốc trƣớc va chạm của khối tâm của hai vật đều nằm trên pháp tuyến
Kn, thì va chạm đó là va chạm thẳng xuyên tâm.
d) Xung lực va chạm giữa hai vật
Khi hai vật rắn va chạm vào nhau, giả sử bỏ qua ma sát giữa hai vật, tại điểm
va chạm xuất hiện các lực va chạm tƣơng hỗ giữa
hai vật. Chúng cùng đƣờng tác dụng là pháp tuyến
chung của hai mặt của vật tại điểm va chạm, ngƣợc
chiều và cùng trị số
1 2
vc vcN N .
Xung lực của hai lực va chạm đó, trong
khoảng thời gian va chạm , bằng
Va chạm thẳng
B
1C 1v
2v 2C
K n
A
Va chạm xiên
B
n
1C
1v 2v
2C K
A
Va chạm xuyên tâm
B
n
1C
1v
2v
2C
K
A
Va chạm thẳng xuyên tâm
B
n
1C
1v 2v 2C
K
A
Hình 5.2. Các hình thức va chạm
Hình 5.3. Xung lực va chạm
giữa hai vật
B
1
vcS 2
vcS
K
n
A
- 103 -
1 1
0
2 2 1
0 0
vc vc
vc vc vc
S N dt
S N dt N dt
1 2 .vc vcS S (5.4)
Vậy, các xung lực va chạm 1 2,vc vcS S tác dụng tại điểm va chạm nằm trên pháp
tuyến chung của hai mặt của vật, ngƣợc chiều và cùng trị số.
e) Hệ số phục hồi khi va chạm.
Để giải đƣợc bài toán va chạm, ta không thể chỉ coi vật là vật rắn tuyệt đối,
mà ta phải sử dụng một đại lƣợng vật lý đặc trƣng cho tính chất đàn hồi của vật liệu
cấu tạo nên hai vật va chạm đó. Đại lƣợng đó gọi là hệ số phục hồi khi va chạm (gọi
tắt là hệ số va chạm).
Từ thực nghiệm và với những giả thiết gần đúng đã nói ở trên, ta có định
nghĩa sau đây.
Khi hai vật thể va chạm vào nhau, tỷ số của thành phần pháp tuyến của vận
tốc tương đối sau va chạm và của vận tốc tương đối trước va chạm của điểm va
chạm của vật này đối với vật kia
rn
rn
uk
v, (5.5)
là đại lượng vật lý không đổi, đặc trưng cho tính chất đàn hồi của vật liệu cấu tạo
nên hai vật đó, gọi là hệ số khôi phục khi va chạm (hay hệ số va chạm).
Hệ số va chạm chỉ phụ thuộc vào vật liệu cấu tạo nên hai vật. Động năng của
hai vật trƣớc va chạm bị mất đi một phần để biến thành thế năng biến dạng đàn hồi
của hai vật và nhiệt năng, do đó giá trị của hệ số va chạm phải nằm trong khoảng:
0 1k .
Khi k = 1, va chạm gọi là va chạm tuyệt đối đàn hồi, động năng của hai vật
trƣớc va chạm không bị thay đổi trong va chạm.
Khi 0 1k , va chạm gọi là va chạm đàn hồi.
Khi k = 0, va chạm gọi là va chạm tuyệt đối không đàn hồi. Vận tốc tƣơng
đối sau va chạm 0ru , tức là hai vật không xảy ra giai đoạn phục hồi, toàn bộ động
năng trƣớc va chạm của hai vật biến thành thế năng biến dạng đàn hồi của chúng và
toả nhiệt.
Dƣới đây là hệ số phục hồi của một số vật liệu
- 104 -
Ta có thể xác định hệ số va chạm k giữa hai vật liệu
bằng cách sau:
Chế tạo một quả cầu và một tấm phẳng bằng
hai vật liệu đó. Từ độ cao H, ta cho quả cầu rơi tự
do không vận tốc ban đầu xuống tấm phẳng cố định
nằm ngang. Sau đó đo độ cao h mà quả cầu nảy lên
đƣợc. Nhƣ vậy, ta có:
2 ; 2 ;v gH u gh
Và .u h
kv H
§2. ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT VÀO LÝ THUYẾT
VA CHẠM
1. Định lý động lƣợng của hệ khi va chạm
Biến thiên động lượng của hệ trong khoảng thời gian va chạm bằng tổng
hình học của tất cả các xung lực va chạm ngoài tác dụng vào hệ
( )
2 1
vc e
kQ Q S . (5.6)
Nếu chiếu phƣơng trình (5.6) lên các trục toạ độ Descarte, ta đƣợc
( )
2 1
( )
2 1
( )
2 1
vc e
x x kx
vc e
y y ky
vc e
z z kz
Q Q S
Q Q S
Q Q S
(5.7)
Ta có thể biểu thị động lƣợng của hệ qua vận tốc khối tâm của hệ
2 1, ,C CQ Mu Q Mv
Vật va chạm k
Gỗ với gỗ 12
Thép với thép 59
Ngà voi với ngà voi 89
Thuỷ tinh với thuỷ tinh 1516
A0
v
Hình 5.4. Thí nghiệm xác định
hệ số va chạm.
u
A1
A
H
h
- 105 -
trong đó ,C Cu v là vận tốc khối tâm của hệ trƣớc và sau va chạm. Các phƣơng trình
(5.6), (5.7) đuợc viết lại nhƣ sau
( )vc e
C C kM u v S (5.8)
( )
( )
( )
vc e
Cx Cx kx
vc e
Cy Cy ky
vc e
Cz Cz kz
M u v S
M u v S
M u v S
(5.9)
Chứng minh:
Xét cơ hệ chịu các xung lực va chạm. Áp dụng phƣơng trình cơ bản (5.3) của
lý thuyết va chạm cho chất điểm thứ k của hệ
( ) ( ) , 1,2,...,vc e vc i
k k k k km u v S S k n
Lấy tổng phƣơng trình trên theo k, với tính chất của các xung lực va chạm
nội lực ( ) 0vc i
kS , ta đƣợc
( )vc e
k k k k km u m v S
hay
( )
2 1
vc e
kQ Q S .
Trường hợp bảo toàn động lượng trong va chạm:
Nếu ( ) 0vc e
kS thì 2 1Q Q , suy ra C Cu v .
Nếu ( ) 0vc e
kxS thì 2 1x xQ Q , suy ra
Cx Cxu v .
2.Định lý mômen động lƣợng của hệ khi va chạm
Trong khoảng thời gian va chạm, biến thiên mômen động lượng của hệ đối
với một tâm cố định bằng tổng hình học của các vectơ mômen của tất cả các xung
lực va chạm ngoài tác dụng lên hệ đối với tâm đó.
( )
2 1 ( )vc e
O O O kL L m S (5.10)
Chiếu biểu thức (5.10) xuống các trục của hệ tọa độ cố định Oxyz, ta đƣợc các công
thức biểu thị định lý biến thiên mômen động lƣợng khi va chạm đối với các trục:
( )
2 1
( )
2 1
( )
2 1
( )
( )
( )
vc e
x x Ox k
vc e
y y Oy k
vc e
z z Oz k
L L m S
L L m S
L L m S
(5.11)
Chứng minh
- 106 -
Xét cơ hệ chịu tác dụng của các xung lực va chạm. Áp dụng phƣơng trình cơ
bản của lý thuyết va chạm cho chất điểm thứ k của hệ
( ) ( ) , 1,2,...,vc e vc i
k k k k km u v S S k n
Gọi kr là bán kính vec tơ của chất điểm Mk với gốc đặt tại điểm cố định O. Nhân
hữu hƣớng đẳng thức trên với vectơ kr , ta đƣợc:
( ) ( ) , 1,2,...,vc e vc i
k k k k k k k k k kr m u r m v r S r S k n
Lấy tổng của n phƣơng trình trên, với tính chất của các nội lực va chạm nội lực
( ) ( )( ) 0vc i vc i
k k O kr S m S , ta đƣợc biểu thức:
( ) , 1,2,...,vc e
k k k k k k k kr m u r m v r S k n
Ký hiệu 2OL là vec tơ mô men động lƣợng của hệ sau va chạm đối với tâm O.
2O k k kL r m u
Ký hiệu 1OL là vec tơ mô men động lƣợng của hệ sau va chạm đối với tâm O.
1O k k kL r m v
Ta có ngay: ( ) ( )
2 1 ( )vc e vc e
O O k k O kL L r S m S
Trường hợp bảo toàn mô men động lượng trong va chạm
Nếu ( )( ) 0vc e
O km S thì onstOL c
Nếu ( )( ) 0vc e
Oz km S thì onstzL c
§3. VA CHẠM THẲNG XUYÊN TÂM CỦA HAI VẬT
1.Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật
Xét hai vật rắn A, B chuyển động tịnh tiến, va chạm thẳng xuyên tâm vào nhau,
với giả thiết là va chạm tuyệt đối không đàn hồi: k = 0. Gọi vận tốc trƣớc va chạm
B
1v 2v
K
n
A
C1 C2
B
u u
K
n
A
C1 C2
u 1v
K
n
A
C1 1
vcS
Hình 5.5. Va chạm thẳng xuyên tâm
- 107 -
của hai vật là 1v ,
2v , vận tốc của hai vật sau va chạm đều bằng u . Khảo sát cơ hệ
gồn có hai vật, cơ hệ chỉ chịu tác động của hai xung lực va chạm trong 1
vcS , 2
vcS tại
điểm va chạm K, với 1 2
vc vcS S , do đó động lƣợng của hệ đƣợc bảo toàn trong thời
gian va chạm 1 2Q Q
Suy ra
1 1 2 2 1 2( )m v m v m m u (5.12)
Trong đó m1, m2 là khối lƣợng hai vật. Chiếu (5.12) lên trục pháp tuyến Kn ta có:
1 1 2 2 1 2( )n n nm v m v m m u
Giải đƣợc vận tốc sau va chạm của hai vật
1 1 2 2
1 2
n nn
m v m vu
m m
Để tìm xung lực va chạm giữa hai vật, ta áp dụng định lý biến thiên động lƣợng cho
vật A: 1 1 1 1
vcm u m v S
Cũng chiếu xuống trục pháp tuyến Kn, ta đƣợc:
1 1 1 1
1 1 2 2 1 2 1 21 1 1 1 1
1 2 1 2
( )( ) ( )
vc
n n
vc n n n nn n n
m u m v S
m v m v m m v vS m v u m v
m m m m
Để cho hai vật coa thể va chạm, vân tốc trƣớc và sau phải thỏa mãn điều kiện1 2n nv v
2.Định lý Cacsno cho hai vật va chạm thẳng xuyên tâm
Khi hai vật rắn chuyển động tịnh tiến va chạm thẳng xuyên tâm vào nhau,
với va chạm là tuyệt đối không đàn hồi thì động năng của hệ bị mất đi trong va
chạm đó bằng động năng của hệ có được nếu như các vật chuyển động với vận tốc
đã mất mát:
2 2
0 1 1 1 2 2
1 1
2 2n n n nT T m v u m v u (5.13)
Chứng minh:
Xét cơ hệ gồm hai vật A, B chuyển động tịnh tiến, va chạm thẳng xuyên tâm
vào nhau (hình 5.5). Động năng của tại thời điểm trƣớc và sau va chạm bằng:
2 2
0 1 1 2 2
1
2n nT m v m v , 2
1 1 2
1
2nT m m u .
Ta có:
2 1 1 2 21 1 2 1 2 1 1 2 2
1 2
2 .n nn n n n n
m v m vT m m u m m u u m v m v
m m
Động năng bị mất đi trong va chạm bằng:
- 108 -
0 1 0 1 12T T T T T
2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
1 1
2 2n n n n n nm v m v m v m v u m m u
2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
12
2n n n n n n nm v m v m v u m v u m m u
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
12 2
2n n n n n n n nm v v u u m v v u u
2 2
1 1 2 2
1 1
2 2n n n nm v u m v u
trong đó 1 2,n n n nv u v u là vận tốc mất đi của hai vật trong va chạm.
Tổng quát
Ngƣời ta chứng minh đƣợc định lý Cacnô trong trƣờng hợp hệ số k tuỳ ý
( 0 1k ), công thức (5.13) lúc đó có dạng:
2 2
0 1 1 1 2 2
1 1 1
1 2 2n n n n
kT T m v u m v u
k (5.14)
Trường hợp đặc biệt
Xét va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật, với va chạm tuyệt đối không đàn
hồi (k = 0), trong đó vận tốc trƣớc va chạm của một vật bằng không, chẳng hạn
2 0v . Khi đó
2
0 1 1
1
2nT m v , 2
1 1 2
1
2nT m m u .
Từ công thức 1 1 2 2
1 2
n nn
m v m vu
m mta đƣợc
1 1
1 2
nn
m vu
m m,
Suy ra
2 2
21 1 11 1 2 1 12
1 21 2
1 1
2 2
nn
m v mT m m m v
m mm m,
hay
11 0
1 2
mT T
m m.
Động năng của hệ bị mất đi trong va chạm là
1 20 1 0 0 0
1 2 1 2
m mT T T T T
m m m m. (5.15)
- 109 -
Nếu 1 2m m thì 2
1 2
0m
m m, suy ra
0 1T T , động năng sau va chạm gần bằng
động năng trƣớc va chạm, sự mất động năng gần nhƣ không xảy ra. Thực tế xảy ra
trƣờng hợp này khi đóng đinh, đóng cọc,…
Nếu 1 2m m thì 1
1 2
0m
m m, suy ra
1 0T , sau va chạm cả hệ coi nhƣ đứng yên.
Toàn bộ động năng ban đầu biến thành thế năng biến dạng đàn hồi của các vật. Thực tế xảy
ra trƣờng hợp này khi rèn, dập, tán rivê,…
§4. TÁC DỤNG LỰC VA CHẠM VÀO VẬT QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH VÀ CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG
1. Tác dụng lực va chạm vào vật quay quanh trục cố định.
Xét vật rắn chuyển động quay quanh trục Oz cố định, chịu tác dụng của các
lực va chạm ngoài. Áp dụng định lý biến thiên mômen động lƣợng của hệ khi va
chạm cho trục Oz, ta có:
( )
2 1
vc e
z z z kL L m S .
Gọi vận tốc góc của vật rắn tại thời điểm trƣớc và sau va chạm lần lƣợt là
1 2, ta có
1 1z zL J , 2 2zL J .
Thay các giá trị đó vào biểu thức trên, ta tìm đƣợc biến thiên vận tốc góc của
vật trong va chạm:
( )
2 1
1 vc e
z k
z
m SJ
. (5.16)
Vậy:Biến thiên của vận tốc góc của vật quay quanh trục cố định dưới tác dụng của
các xung lực va chạm ngoài bằng tỷ số giữa tổng mômen của các xung lực đó đối
với trục quay và mômen quán tính của vật đối với trục đó.
2. Tác dụng lực va chạm vào vật chuyển động song phẳng
Xét vật rắn chuyển động song phẳng, chịu tác dụng của các lực va chạm
ngoài nằm trong hình phẳng (s), chứa khối tâm C của vật (hình 5.6).
Áp dụng định lý biến thiên mômen động lƣợng của hệ khi va chạm, với Cv
và Cu là vận tốc trƣớc và sau va chạm của khối tâm, ta đƣợc:
- 110 -
( )vc e
C C kM u v S ,
( )
( )
vc e
Cx Cx kx
vc e
Cy Cy ky
M u v S
M u v S (5.17)
Sau đó áp dụng định lý biến thiên mômen
động lƣợng của hệ khi va chạm cho trục vuông
góc với hình phẳng và đi qua khối tâm C, ta
đƣợc:
( )
2 1
vc e
C C kJ m S , (5.18)
trong đó 1 2, là vận tốc góc trƣớc và sau va chạm của hình phẳng.
Vậy: Các lực va chạm ngoài gây ra sự biến thiên vận tốc khối tâm, được xác
định bởi công thức (5.17) và biến thiên vận tốc góc của vật, được xác định bởi
công thức (5.18).
3. Ví dụ
Ví dụ5. 1:
Thanh OA đồng chất có
chiều dài l và trọng lƣợng P, đầu O
gắn bản lề cố định và có lò xo xoắn
với hệ số độ cứng bằng c. Khi
thanh thẳng đứng, lò xo chƣa biến
dạng, đầu A chịu tác dụng của xung
lực va chạm vcS nào đó vuông góc
với thanh (hình 5.7).
Tìm giá trị của xung lực va chạm đó, biết rằng sau va chạm thanh nghiêng
góc với phƣơng thẳng đứng, và tìm xung lực va chạm tại bản lề O.
Bài giải:
Áp dụng định lý biến thiên động lƣợng khi va chạm cho thanh OA, chịu tác
dụng của xung lực va chạm vcS tại đầu A và xung lực va chạm tại bản lề O có hai
thành phần hình chiếu lên các trục là ,Ox OyS S , ta đƣợc:
vc
C Ox Oy
Pu S S S
g.
Chiếu phƣơng trình trên xuống hai trục toạ độ:
O
A
l
vcS
x
y
O
A
C
vcS
1
OyS
Cu
OxS
Hình 5.7
O x
y
y1
x1 C
1
vcS
2
vcS
vc
nS
Hình 5.6
- 111 -
vc
C Ox
Pu S S
g, (a)
0 OyS , (b)
Gọi 1 là vận tốc góc sau va chạm của thanh OA, thì 1
2C
lu .
Áp dụng định lý biến thiên mômen động lƣợng khi va chạm cho thanh OA,
ta đƣợc:
1 .vc
OJ S l . (c)
Áp dụng định lý biến thiên động năng cho thanh OA trong di chuyển từ sau
va chạm đến lúc dừng lại tức thời, ta đƣợc:
2 2
1
11 cos
2 2 2O
l cJ P ,
hay
2 2
1 1 cosOJ Pl c . (d)
Từ (c), (d) ta tìm đƣợc:
22
2 22 sin2
vc
O
l SPl c
J
Do đó
2 22 sin3 2
vc PS Pl c
g
Từ (a), (b), ta tìm đƣợc xung lực va chạm tại trục quay O:
1
1 .
2 2 2
vc vcvc vc
Ox
O
P P S l SS S S
g g J
2 212 sin
2 3 2
PPl c
g,
0OyS .
Ví dụ5. 2:
Thanh OA đồng chất có chiều dài 2l và khối lƣợng 1m , có thể quay quanh
trục cố định nằm ngang O. Thanh bắt đầu chuyển động từ trạng thái tĩnh ở vị trí tạo
góc với phƣơng thẳng đứng. Khi chuyển động đến vị trí thẳng đứng đầu A của
thanh va chạm vào vật B có khối lƣợng 2m , đang đứng im trên mặt phẳng ngang
(hình 5.8). Bỏ qua ma sát. Biết hệ số phục hồi giữa hai vật là k.
- 112 -
Tìm vận tốc góc sau va chạm của thanh OA, vận tốc sau va chạm của vật B,
xung lực va chạm tại A và tại bản lề O.
Bài giải:
Ta áp dụng định lý biến thiên động năng cho thanh OA trong di chuyển từ vị
trí ban đầu OA0 đến vị trí thẳng đứng để tìm vận tốc góc trƣớc va chạm 1:
2
1 1
11 cos
2OJ m gl , với 2
1
4
3OJ m l ,
suy ra:
1
3sin
2
g
l.
Khi đầu A va chạm vào vật B, thanh OA chịu tác dụng của xung lực va chạm
AS tại đầu A, còn vật B chịu tác dụng của xung lực va chạm '
AS , '
A AS S .
Áp dụng định lý biến thiên động lƣợng khi va chạm cho thanh OA, ta đƣợc
1 1C C A Ox Oym u m v S S S ,
với hai thành phần xung lực va chạm tại O đƣợc giả thiết có chiều nhƣ hình vẽ.
Chiếu phƣơng trình trên xuống các trục toạ độ, với giả thiết vận tốc góc sau va
chạm 2 ngƣợc chiều với
1, ta đƣợc hai phƣơng trình:
1 2 1 1 A Oxml ml S S , (a)
0 OyS . (b)
Áp dụng định lý biến thiên mômen động lƣợng đối với trục quay Oz cho
thanh OA khi va chạm, ta có:
Hình 5.8
x
y
O
A
C
AS
1
OyS
Cv
OxS
2
Cu
Au Av
O
A
2l
B
A0
n
1
B Bu
'
AS
- 113 -
2 1 .2O O AJ J S l , hay
2 1
1
3
2
AS
lm. (c)
Áp dụng định lý biến thiên động lƣợng khi va chạm cho vật B, với Bu là vận
tốc sau va chạm, ta đƣợc:
2 B Am u S . (d)
Hơn nữa ta có: rn
rn
uk
v
trong đó: ,r A B r A B Au u u v v v v .
Chiếu các biểu thức véc tơ trên xuống trục pháp tuyến An tại điểm va chạm:
22rn A B Bu u u l u ,
12rn Av v l .
Do đó
2 2
1 1
2 2
2 2
B Bl u l uk
l l, hay
1 22 2 Blk l u (e)
Giải hệ năm phƣơng trình (a) (b)(c)(d) (e) ta có đƣợc năm ẩn số cần tìm:
2 12
2 1
3 3sin
3 2
m k m g
m m l, 1
2 1
2 13 sin
3 2B
m ku gl
m m, 0OyS ,
1 2
2 1
2 13 sin
3 2A
m m kS gl
m m,
2
1 2 1
2
5 1 23 sin
3 2Ox
m m k mS gl
m.
Ví dụ5. 3:
Con lắc Eliptic gồm con trƣợt A có khối lƣợng M, có thể trƣợt trên mặt
phẳng ngang nhẵn, nối bản lề với thanh thẳng đồng chất OA có khối lƣợng m, chiều
dài l (hình 5.9). Tại thời điểm nào đó, hệ đang ở vị trí cân bằng thì con trƣợt A chịu
tác dụng của xung lực va chạm S nằm ngang.
Tìm vận tốc sau va chạm của con trƣợt A, vận tốc góc sau va chạm của thanh
OB và xung lực va chạm tại bản lề O.
Bài giải:
Con trƣợt A chịu tác dụng của xung lực va chạm S và xung lực va chạm tại
O, giả thiết có chiều nhƣ hình vẽ.
- 114 -
Áp dụng định lý biến thiên mômen động lƣợng khi va chạm cho vật A, ta đƣợc:
A Ox OyMu S S S .
Chiếu các phƣơng trình này xuống các trục toạ độ Oxy:
A OxMu S S , (a.)
0 .OyS (b)
Áp dụng định lý biến thiên động lƣợng khi va chạm và định lý biến thiên
mômen động lƣợng đối với trục Cz khi va chạm cho thanh OB, ta đƣợc:
'
'
1
,
1.
2
Cx Ox
C Ox
Mu S
J S
trong đó 1
1
2Cx r e Au v v u , 21
12CJ ml , '
Ox OxS S .
Thay các giá trị này vào phƣơng trình trên, ta thu đƣợc:
1
1
2A Oxm u S , 2
1
1 1.
12 2Oxml S l . (c)
Từ (c) ta tìm đƣợc 1
6 OxS
ml. Thay giá trị đó vào (b), ta giải tìm đƣợc
4 OxA
Su
m, rồi
thay vào (a) ta đƣợc
, 04
Ox Oy
mSS S
m M,
suy ra
1
4 6,
4 4A
S Su
m M l m M.
Hình 5.9
x
y
O
B
C
1
'
OxS
e Av u
Au
rv
S O
A
B
O
l
Au
A
OxS S O
OyS
- 115 -
§5. TÂM VA CHẠM CỦA VẬT QUAY
Việc xuất hiện các xung lực va chạm tại các ổ trục
là hiện tƣợng không mong muốn, vì nó có thể đẩy nhanh
tốc độ mài mòn hoặc dẫn đến sự phá huỷ các bộ phận kết
cấu (ổ trục, trục quay,…). Sau đây, ta sẽ xét xem có thể
xảy ra sự va chạm vào vật quay mà tại các ổ trục không
xuất hiện các xung lực va chạm hay không.
1. Xác định xung lực va chạm tại trục quay
Khảo sát vật rắn chuyển động quay quanh trục cố
định Az, chịu tác dụng của xung lực va chạm S (hình 5.
10). Ta chọn hệ trục Axyz sao cho khối tâm C của vật
nằm trên mặt Ayz. Xung lực tại các ổ trục A, B có các
thành phần hình chiếu trên các trục tạo độ đƣợc giả thiết nhƣ hình vẽ. Biết khoảng
cách từ C đến trục Az bằng a và AB = b. Ta sẽ lập các phƣơng trình xác định các
xung lực va chạm tại A và B.
Gọi M là khối lƣợng của vật rắn, 1 2, là vận tốc góc của vật trƣớc và sau va
chạm. Áp dụng định lý biến thiên động lƣợng khi va chạm, với lƣu ý ,C Cv u song
song và ngƣợc chiều với trục Ox, có trị số tƣơng ứng là 1 2,C Cv a u a , ta đƣợc:
2 1
0
0
x Ax Bx
y Ay By
z Az
Ma S S S
S S S
S S
(5.19)
Áp dụng định lý biến thiên mômen động
lƣợng khi va chạm đối với ba trục toạ độ, ta đƣợc:
2 1
2 1
2 1
.
.
x x x By
y y y Bx
z z z
L L m S b S
L L m S b S
L L m S
(5.20)
Bây giờ, ta tìm mômen động lƣợng của vật rắn
quay quanh trục cố định Az với vận tốc góc đối
với các trục toạ độ (hình 5.11).
Chia vật thành nhiều phần tử nhỏ, phần tử kM
có các toạ độ kx ,
ky , kz và vận tốc k kv h , ta có:
Cu
S
AxS AyS
BxS
ByS
Hình 5.10
x
y
z
A
B
a Cv
AzS
C
b
2
1
kxv
k kx
kM
Hình 5.11
x
y
z
A
B
kv O
k
kyv
kh
ky
kz
k
- 116 -
cosx k k k ky k k k k k k k km m v m v z m h z m x z
siny k k k kx k k k k k k k km m v m v z m h z m y z
2
z k k k k k k km m v m v h m h
Do đó theo công thức mômen quán tính ly tâm:
2
x x k k k k k xz
y y k k k k k yz
z z k k k k z
L m m v m x z J
L m m v m y z J
L m m v m h J
(5.21)
Thay các kết quả (5.21) vào (5.20) cùng với các phƣơng trình (5.19) ta đƣợc
sáu phƣơng trình đại số sau đây:
2 1
2 1
2 1
2 1
0
0
x Ax Bx
y Ay By
z Az
xz x By
yz y Bx
z z
Ma S S S
S S S
S S
J m S bS
J m S bS
J m S
(5.22)
Hệ phƣơng trình (5.22) cho ta tìm đƣợc độ biến thiên vận tốc góc của vật trong va
chạm và hình chiếu của các xung lực va chạm tại các ổ trục quay.
2. Tâm va chạm của vật quay
Khi vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định,
chịu tác dụng của xung lực va chạm, ta tìm điều kiện để
không xuất hiện các xung lực va chạm tại các ổ trục.
Nếu các xung lực va chạm ,A BS S đều bằng không
thì hệ phƣơng trình (5.22) có dạng:
2 1
2 1
2 1
2 1
0
0
x
y
z
xz x
yz y
z z
Ma S
S
S
J m S
J m S
J m S
(5.23)
S
Hình 5.12
z
A
B
C
x
y
h
a
O K
- 117 -
Vì 0y zS S , xung lực S phải song song với trục Ox. Ta chọn mặt phẳng
toạ độ Oxy chứa xung lực S (hình 5.12). Từ đó suy ra 0x ym S m S . Từ hai
phƣơng trình thứ tƣ và thứ năm trong hệ (5.23), ta lại có điều kiện 0xz yzJ J . Mặt
phẳng Oxy chứa xung lực S phải chọn sao cho trục Oz là trục quán tính chính (đặc
biệt, nếu Oxy là mặt phẳng đối xứng của vật thì Oz là trục quán tính chính).
Gọi h là khoảng cách từ xung lực S đến trục x, phƣơng trình thứ nhất và thứ
sáu của hệ (5.23) có dạng:
2 1
2 1 .z
Ma S
J S h
Từ hai phƣơng trình trên, khoảng cách h đƣợc xác định nhƣ sau:
zJh
Ma. (5.24)
Điều kiện để không xuất hiện xung lực va chạm tại các ổ trục quay:
1) Xung lực va chạm S phải nằm trong mặt phẳng Oxy vuông góc với trục
quay Oz, sao cho trục Oz phải là trục quán tính chính của vật (đặc biệt: mặt
Oxy là mặt phẳng đối xứng của vật rắn).
2) Xung lực va chạm S phải vuông góc với mặt phẳng đi qua trục quay Oz và
khối tâm C của vật.
3) Xung lực va chạm S phải đặt cách trục quay Oz một đoạn bằng zJh
Ma về
phía có khối tâm C.
Điểm đặt K, cần đặt xung lực va chạm S sao cho không xuất hiện xung lực
va chạm tại các ổ trục quay, gọi là tâm va chạm của vật đó.
Đặc biệt, nếu a = 0, tức là khối tâm C ở ngay trên trục quay thì h , vật
không có tâm va chạm. Khi trục quay đi qua khối tâm, bao giờ cũng xuất hiện xung
lực va chạm tại các ổ trục quay nếu nó bị tác dụng của xung lực va chạm.
Ví dụ5.4:
Đĩa tròn đồng chất có khối lƣợng M và bán kính R có thể quay quanh trục cố
định vuông góc với đĩa và có khoáng cách đến tâm đĩa bằng OC = a (hình 5.13).
Tìm tâm va chạm K của đĩa. Nếu tác dụng vào đĩa xung lực va chạm S nằm trong
mặt phẳng đĩa, có phƣơng đi qua K và vuông góc với OK, tìm vận tốc góc sau va
- 118 -
chạm của đĩa, biết vận tốc trƣớc va chạm của khối tâm C là Cv ngƣợc chiều với
xung lực S .
Bài giải:
Tâm va chạm K nằm trên trục Oy, theo công thức (5.24), khoảng cách
zJOK h
Ma, áp dụng định lý Huyghen ta đƣợc:
2 2 21
2z CJ J Ma MR Ma ,
do đó
2 2
2
R aOK h
a.
Xung lực va chạm S nằm trong mặt phẳng
toạ độ Oxy, vuông góc với mặt phẳng tạo bởi Oz và
C (mặt Oyz) và cách trục Oz đoạn OK, do đó không
xuất hiện xung lực va chạm tại các điểm A, B.
Áp dụng định lý biến thiên mômen động
lƣợng khi va chạm cho đĩa, với giả thiết vận tốc góc sau va chạm 2 ngƣợc chiều
với vận tốc góc trƣớc va chạm, ta đƣợc:
2 1 . zz z
JJ J S h S
Ma,
suy ra
2 1
S
Ma.
Ví dụ 5.5:
Con lắc thử đạn, dùng để đo vận tốc của đạn bằng thực nghiệm, gồm ống
hình trụ có thể quay quanh trục nằm ngang cố định. Biết khoảng cách từ trục O đến
khối tâm của con lắc là OC = a, khoảng cách từ trục O đến tâm va chạm bằng OK =
h, con lắc có khối lƣợng M, viên đạn có khối lƣợng m. Tại thời điểm trƣớc va chạm
con lắc đứng im, còn viên đạn có vận tốc nằm ngang và có phƣơng đi qua tâm va
chạm K. Sau va chạm, viên đạn nằm trong con lắc và con lắc bị lệch đi góc (hình
5.14).
Tìm vận tốc trƣớc va chạm của viên đạn.
S
Hình 5.13
z
A
B
C
2
x
y
h
a O
K
1
R
Cv
- 119 -
Bài giải:
Áp dụng công thức (5.24), ta có thể tìm đƣợc mômen quán tính của con lắc
đối với trục quay Oz
zJ Mah .
Xét cơ hệ gồm con lắc A và viên đạn
B. Ta thấy rằng mômen động lƣợng của hệ
đƣợc bảo toàn trong khoảng thời gian va
chạm
2 1z zL L . (a)
Gọi Bv là vận tốc trƣớc va chạm của
viên đạn, ta có mômen động lƣợng của hệ
trƣớc va chạm:
1z BL mv h . (b)
Gọi 2 là vận tốc góc sau va chạm
của con lắc A, ta tính đƣợc mômen động lƣợng của hệ sau va chạm:
2
2 2 2z z BL J mu h Mah mh . (c)
Thay các giá trị tìm đƣợc vào (a), giải ra ta đƣợc:
2B
Ma mhv
m. (d)
Để tìm vận tốc góc 2, ta áp dụng định lý biến thiên động năng của hệ từ vị
trí sau va chạm đến vị trí đạt góc lớn nhất .
1 0 kT T A (e)
trong đó 1 0T , 2 2 2 2
0 2 2
1 1 1
2 2 2z BT J mu Mah mh
21 cos 1 cos 2 sin .2
kA Mga mgh g Ma mh
Thay các giá trị trên vào (e) và giải ra ta đƣợc
2 2 sin2
g
h.
Thay giá trị của 2 vào (d), ta đƣợc vận tốc của viên đạn trƣớc va chạm
2
sin2
B
Ma mh gv
m h.
Hình 5.14
O
A B
Bv
K
2
C
a
h