doşrular ve aÇilar...7 temat˜k 5.Üşte doşrular ve aÇilar 3 1. aşağıdaki kareli...

7. SINIF MATEMATİK 5.ÜNİTE

DOĞRULAR VE AÇILAR

3

1. Aşağıdaki kareli kâğıtlarda verilen açıları, iki eş parçaya bölen ışınları çiziniz.

Aşağıda verilen çizim adımlarını takip edelim. Pergel kullanarak, yandaki

boşluklara aynı çizimi yapalım.

I. adım: Başlangıç noktası B olacak şekilde bir B açısı çizelim.

II. adım: Pergelin sivri ucu B noktasına koyarak, açı kollarını kesecek

şekilde bir yay çizelim. Yayın, ışınlarla olan kesim noktalarını, A ve C ile

isimlendirelim.

III. adım: Pergeli A noktasına koyarak bir yay, daha sonra perge-

lin açıklığını değiştirmeden C noktasına koyarak bir yay çizelim. Yayların

kesim noktasını, D ile harflendirelim.

IV. adım: B ile D noktalarını cetvel yardımıyla birleştirelim.

Şimdi açıölçerinizi kullanarak, A£BD ile D£BC açılarını ölçüp elde ettiğiniz

sonucu karşılaştırınız.

B

B

A

C

B C

A D

B

A D

C

L

KM

N

Bir açıyı, ölçüleri birbirine eşit iki eş açıya ayıran ışına o açının açıortayı denir.

m(K£LM) = m(M£LN) ise

[LM, K£LM nın açıortayıdır.

KAVRAMLAR

BİRLİKTE ÇÖZELİM

4

BİLFEN YAYINCILIK5.ÜNİTE

2. Aşağıdaki kareli kâğıtta verilen açıların açıortaylarını çiziniz.

D

E

M

L N

P R

O S T U

FH

GK

A

CB

3. Kareli zeminde verilen şekilde hangi ışınların açıortay

O EA

B DC

olduklarını belirleyiniz. Açıları ve açıortaylarını yazınız.

A£OE'nin açıortayı [OC

A£OC'nin açıortayı [OB

C£OE'nin açıortayı [OD

4. Yandaki şekilde [RE, P£RS nın açıortayıdır.

R

P E

S

m(P£RS) = 150° ise

m(P£RE) nın kaç derece olduğunu bulunuz.

[RE açıortay olduğundan

m(P£RE) = m(E£RS) = a olur.

a + a = 150°

a = 150° : 2

a = 75° olarak bulunur.R

aa

P E

S

KARMA SORULAR

5


1. 70°

x + 40°FE

DG

Şekildeki E£FD ile D£FG eş açılardır.m(E£FD) = x + 40°m(D£FG) = 70° ise

x kaç derecedir?

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50°

2.

20°

C

D

EB

AYandaki şekilde, [BA ^ [BE ve [BD, C£BE nın açıorta-yıdır.m(A£BC) = 20° ise

m(D£BE) kaç derecedir?

A) 60° B) 55° C) 40° D) 35°

1.

100° 80°

A O C

B

Şekilde A, O ve C noktaları doğrusaldır.

m(A£OB) = 100° ve m(B£OC) = 80°'dir.

Buna göre, A£OB'nın açıortayı ile B£OC'nın açıortayı arasındaki açının ölçüsü kaç dere-cedir?

50° + 40° = 90°

2. A

D

2y + 30°

y + 40°

B

C

Şekilde [BC, A£BD nın açıortayıdır.

m(A£BC) = 2y + 30°, m(C£BD) = y + 40° ise

m(A£BC) kaç derecedir?

2y + 30 = y + 402y - y = 40 - 30y = 10

m(A£BC) = 2y + 30 = 2 . 10 + 30 = 20 + 30 = 50°'dir.

50°50°

40°40°

A O C

B

6


1. “Bir kâğıda herhangi bir üçgen çizip, üçgeni makas yardımıyla kesiniz. Üçgenin herhangi

iki kenarını üst üste gelecek şekilde katlayınız. Kat çizgisini cetvel yardımıyla belirginleş-

tiriniz. Bu kat çizgisi o açıyı iki eş açıya ayırır ve o açının açıortayıdır .”

Yukarıdaki boşlukları doldurunuz.

2. Şekildeki A£BC nın açıortayını pergel ve cetvel kullanarak çiziniz.

A

C

B

3. Yandaki şekilde A, B ve C noktaları doğrusaldır.

B62°

ED

CA

[DB, A£BE nın açıortayıdır.

m(E£BC) = 62° ise m(A£BD) kaç derecedir?

[DB açıortay olduğundan

m(A£BD) = m(D£BE) = a olsun.

a + a + 62 = 180°

2a + 62 = 180°

2a = 118°

a = 59° olarak bulunur.

SIRA SENDE

B62°

aa

ED

CA

8


✽ Aynı düzlemdeki iki doğru hiçbir noktada kesişmiyorsa bu iki doğru birbirine paraleldir.

1. t

k

m

n

s

Kareli kâğıt üzerine çizilmiş doğrulardan hangilerinin birbirine paralel olduğunu bulunuz.


Aynı noktadan geçen doğrular noktadaş doğrulardır.

DİKKAT

Doğruların yatay ve dikey bileşenlerinin kaç birim olduğunu hesaplayalım.

Buna göre; k ve n doğrularının yatay ve dikey bile-şenleri orantılı olduğu için paralel doğrulardır.

m ve t doğrularının yatay ve dikey bileşenleri oran-tılı olduğu için paralel doğrulardır.

s doğrusu hiçbir doğru ile paralel değildir.

Buna göre k // n ve m // t olur.

k

4 br

4 br

4 br

3 br

2 br2 br

1 br

6 br

2 br

2 br

t

n

sm

9


2.

L

KE

F

D

C

A

B Kareli kağıda çizilmiş kulübe üzerinde oluşan doğru parça-larından hangilerinin birbirine paralel olduğunu bulunuz.

[KL] // [EF] // [CD] [KE] // [LF]

[AB] // [EC] // [FD] [AE] // [BC]

3.

L S

K

B

T

A

P

Ali, noktalı kâğıda çizilen [AB] na paralel bir doğru parça-sı çizmek istiyor.

Buna göre Ali, K noktası ile hangi noktayı birleştirmelidir?

[AB] nin yatay ve dikey bileşenlerinin uzunluklarını hesaplayalım.

K noktası ile T noktası birleştirilirse oluşan doğru parçasının yatay bileşeni 8 br, dikey bileşeni 4 br olur. Bileşenler arasındaki oran aynı olduğundan [AB] // [KT] olur.

A K

B T

8 br 8 br

4 br 4 br

11


1. Şekilde paralel iki doğru ve bir kesenin oluşturduğu açılar verilmiştir.

Hangi açıların ölçülerinin doğru yazıldığını bulunuz.


Paralel iki doğru arasında kalan ve birbirine bakan açılara "komşu durumlu açılar" denir. Komşu durum-lu açılar bütünlerdir. Yani açıların ölçüleri toplamı 180°'dir.

DİKKAT

Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar

a

m

e

b

f

c

g

dd

kh

m

ef

c dd

k

d // k ve m kesen olmak üzere

d ile f

c ile e

d ile e

c ile f

iç ters açılardır ve

ölçüleri birbirine eşittir.

komşu durumlu açılardır ve

ölçüleri toplamı 180° dir.

d // k ve m kesen olmak üzere

a ile e

b ile f

d ile h

c ile g

b ile h

a ile g

yöndeş açılardır ve


dış ters açılardır ve


Komşu durumlu açı-ların ölçüleri toplamı

180° dir. Açılarınölçüleri doğruyazılmıştır.

Dış ters açıların ölçüleri eşittir.Açıların ölçüleri

doğru yazılmıştır.

30° 30°

(I)

Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.Açıların ölçüleri

doğru yazılmıştır.108°

108°

(II)

130°50°

(IV)

Bir açı 72° ise diğeri 108° olmalıydı.Açıların ölçüleriyanlış yazılmıştır.72°

72°

(III)

12


2. Şekilde gösterilen açıların özelliklerini altlarına yazınız.

3. Sümbül Sokak

Susam Sokak Papatya Sokak

x

Sümbül Sokak ile Susam Sokak arasındaki açının ölçüsü x° dir. Papatya Sokak ile Sümbül Sokak arasındaki açının ölçüsü x in 2 katının 30 fazlası-dır.

Susam Sokak ile Papatya Sokak aynı doğrultuda olduğuna göre x açısı kaç derecedir?

Sümbül Sokak

Susam Sokak Papatya Sokakx 2x + 30

Susam Sokak ile Papatya Sokak aynı doğrultuda olduğundan

x + 2x + 30 = 180° ve x = 50° dir.

Yöndeş açılar

İç ters açılar

Dış ters açılar

Yöndeş açılar

Komşu durumlu açılar

Dış ters açılar

13


1.

3x –

20°

x y

Ayşe Öğretmen’in renkli kalemlerle oluşturduğu şekilde, sarı ve yeşil kalemler ile mavi ve pembe kalemler birbirine paraleldir.

Açılar şekilde gösterildiği gibi olduğuna, göre y açısının kaç dere-ce olduğunu bulunuz.


DİKKAT

x

y

d

k

x

z

y

d

k

x

z

y

d

k

x

y

d

k

d // k isex = y dir

Z KURALI

d // k isey = x + zM KURALI

d // k isex + y + z = 360°

KALEM UCU KURALI

d // k isex + y = 180°U KURALI

x

3x –

20°

3x –

20° y

Z kuralında oluşan açıların ölçüleri eşit olduğuna göre

x2 =

°°°

x xx x

x

3 203 20

2010

- =

- =

=

Z kuralında oluşan açıların ölçüleri eşit olduğuna göre 3x – 20° = y 3.10° – 20° = y 30° – 20° = y y = 10° dir.

14


2. 60°

100°

x

A B

C

DE

[BA // [DE olmak üzere şekilde verilenlere göre,

x in kaç derece olduğunu bulunuz.

3.

x

y

D

A B

C

F G

E H

[BA // [CD ve m(A£BC) = 97°'dir.

[FE // [GH ve m(E£FG) = 103°'dir.

Buna göre x + y kaç derecedir?

4. A d

k

B x

D E

45° C

10°

20°Şekilde verilenlere göre, d // k ise

x'in kaç derece olduğunu bulunuz.

60°

60°

x

x

AB

C

DE

C Köşesinden [BA ve [DE ye paralel bir doğru çizelim

100° = 60° + x

40° = x dir.

A d

k

B

D E

35°10°

C

10°

20°

20°35°

Paralel kenarlara ait olmayan B ve C köşe-lerinden d ve k doğrularına paralel olacak şekilde bir doğru çizelim.

Z kuralına göre, eşit olan açıları yazarsak;

m(A£BC) = x = 20° + 35° = 55° dir.

x = 97° (iç ters açılar)

y + 103° = 180° ise

y = 77° (komşu durum-lu açılar.)

x + y = 97° + 77° = 174°

15


5. Yandaki şekilde [BA // [DE olduğuna göre, ? ile gösterilen

açının ölçüsünü bulunuz.

? + 60 + 80 = 180

? = 40°

I II II

Yukarıdaki şekillere benzer köşeli açıların olduğu sorularda paralel olmayan kenarlara ait köşelerden paralel doğrular çizilir. Bazen de yarım bırakılmış ışınlar ters yönde uzatılarak doğru oluşturulur.

DİKKAT

6. 120°

B

C

D E

A

150°

x

Şekilde verilenlere göre, [BA // [DE ise, x'in kaç derece olduğunu bulunuz.

120°

?

C

A B

D100°

E

120°

B

C

D E

A

K

150°

x

C Köşesinden [BA ve [DE ye paralel bir doğru çizelim.

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

BC BCK

BCK

BCK

KCD CDE

KCD

KCDxx dir

m m

m

m

m m

m

m

180

120 180

60

180

150 180

3060 3090

¯ c

c c

c

c

c c

c

c c

c

+ =

+ =

=

+ =

+ =

=

= +

= ·

% %

%

%

%

%

%

U kuralı

U kuralı

I. yol:

II. yol: x + 120° + 150° = 360° ise x = 90° dir.

80°60°

16


7. Şekilde d1 // d2, [AD] // [BC] olduğuna göre, aşağıdakilerden

dD C

B d1

d2

Aabf

ce

hangisi veya hangilerinin doğru olduğunu bulunuz.

I. a = c + e

II. a = d

III. c + d + e = 180°

IV. b + f = c + e

I. İç ters açıların ölçüleri eşit olduğundan a = c + e'dir.

II. a ile d bütünler açılardır. a + d = 180° olmalı

III. d ile c + e bütünler açılardır. d + c + e = 180°'dir.

IV.

a = b + f

a = c + eolduğuna göre, b + f = c + e'dir.

123

8. Şekilde verilen açılar için; e ah d

g cf ba. İç açıları

b. İç ters açıları

bulunuz.

a. İki doğrunun arasında ve kesenin her iki tarafında olan açılar iç açılar olduğundan c, d, f ve e açıları iç açılardır.

b. c, d, f ve e iç açılarından kesenin ters tarafında olan açılar iç ters açılar olduğundan d ile f, e ile c iç ters açılardır.

12

Birer ışınları ortak ve ölçüleri toplamı 90° olan açılara komşu tümler açılar denir.

21Birer ışınları ortak ve ölçüleri toplamı 180° olan açılara komşu bütünler açılar denir.

DİKKAT

• Bütünler açıların ölçüleri toplamı 180° dir.

• Tümler açıların ölçüleri toplamı 90° dir.

DİKKAT

d dD C

B d1

d2

Aabf

ce

17


9.

x 22°

Şekilde verilenlere göre, x açısının ölçüsünü bulunuz.

10. d

nm

k150°100°

80° x

Şekilde verilenlere göre, x in ölçüsünün kaç derece olduğunu bulunuz.

Şekilde 100°+80°=180° olduğuna göre, d doğrusu ile k doğrusu paraleldir.

d // k olduğuna göre, x+150°=180° olmalıdır. x = 30° dir.

11. AB

D C

E

x140°

60°

F

Şeklinde verilenlere göre, [BA // [EF // [CD ise

( )CBE xm =% in kaç derece olduğunu bulunuz.

12.

F 30°

A B

E D

C x

Şekilde verilenlere göre, [BA // [DE ise x in kaç derece olduğunu bulu-nuz.

m(A£BF) = m(F£BC) = a olsunm(C£DF) = m(F£DE) = b olsunM kuralından; a + b = 30° olur. Yine M kuralından;x = 2a + 2bx = 2(a + b)x = 2.30° = 60° olur.

Ters açıları kullanırsak x ve 22° bir üçgenin iç açı-ları olur.90° + 22° + x = 180° x = 68° dir.x

x22°

22°

m(A£BE) + m(B£EF) = 180°

m(A£BE) + 140° = 180°

m(A£BE) = 40 °

x + 40° = 60°

x = 20°

U kuralı

Z kuralı

123

F 30°

Aa

a

bb

B

E D

C x

KARMA SORULAR

18


1. Paralel iki doğruyu üçüncü bir doğru kesti-ğinde oluşan açılar için aşağıdakilerden han-gisi yanlıştır?

A) Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.B) Kesen, doğrulardan birine dikse doğruların

diğerine de diktir.C) Komşu iki açı daima birbirinin bütünleridir.D) İç ters açıların ölçüleri toplamı 180° dir.

2.

A B

C

110°

28°

x

ED

Şekilde verilenlere göre, [BA // [DE ise

m(C£DE) = x kaç derecedir?

A) 68 B) 88 C) 98 D) 108

1. m

ab

c

d

k40°

Şekilde d // k olmak üzere b + c – a kaç derecedir?

2. 2. cadde

1. cadde

3x + 10°

5x + 10°

3. cadde

Şekilde 2. cadde ve 3. cadde birbirine paralel ve 1. cadde bu iki caddeyi kesmektedir.

Verilen açı ölçülerine göre, x in ölçüsünün kaç derece olduğunu bulunuz.

c ile 40° ters açılar olduğundan c = 40° dir. a ile 40° yöndeş açılar olduğundan a = 40° dir. a ile b bütünler açılar olduğundana = 40° ise b = 140° dir.

b + c – a = 140° + °40 40°- = 140° dir.

Önce caddeleri tek çizgi haline getirelim

3x + 10°

yöndeşaçılar

3x + 10° 5x + 10°

3x + 10° ile 5x + 10° bütünler açılardır.3x + 10° + 5x + 10° = 180° ise x = 20° olur.

19


1. Üç doğrunun birbirine göre durumlarını kareli kâğıda çizerek gösteriniz.

2. Yanda verilen şekilde ters açıları belirleyiniz. b

d

c f

a

e

a ile d

b ile e

c ile f

3. Şekilde verilenlere göre aşağıdaki açıların özelliklerini yazınız.

a d hgf

ecb

e ile g ters açılar

a ile b komşu bütünler açılar

b ile h dış ters açılar

d ile f iç ters açılar

SIRA SENDE

I. Üç doğru birbirine paralel olabilir.

III. Üç doğru ikişer ikişer kesişebilir.

II. Üç doğru bir noktada kesişebilir.

IV. Üç doğrudan ikisi paralel, üçüncü doğru ise bu doğruları kesebilir

k

ml

k ml

k

mlk

ml

20


4. Yanda verilen bilgilere göre, b, c, d, e açılarını şekil üzeri-

a

m

l

k

l // k

ne doğru olarak yerleştiriniz.

Àa ve b açıları dış ters açılardır.

Àa ile d açıları bütünler açılardır ve d açısı dış açıdır.

Àd ile c açısı dış ters açılardır.

Àb ile e açıları bütünler açılardır ve e açısı iç açıdır.

5. Şekilde d // k ve l // m dir.

100°?

?? m

l?

d k

Açılardan biri verildiğine göre istenen açıların ölçülerini bulunuz.

6. Şekilde paralel ışınların oluşturduğu şekillerde iste-48°

?300°

?nen açıların ölçülerini bulunuz.

7. Komşu bütünler iki açının açıortaylar arasındaki açı 90° dir. Komşu tümler iki açının açıortayları arasındaki açı 45° dir.Yukarıdaki boşluklara uygun ifadeleri yazınız.

a

m

ld

e

b c

k

l // k

100°

100°

100°100°

80°

m

l

d k

48°

48°

60°

60°300°

22


a + 40°

E

FA

B

CD

3 a + 40°

Yandaki altıgenin bir köşesine ait iç açı ve dış açı ölçüleri verilmiştir.

Buna göre, a nın kaç derece olduğunu bulalım.

Çokgenin aynı köşesine ait iç açı ve dış açısının ölçüleri toplamı 180° olduğuna göre,

(3a + 20°) + (a + 40°) = 180°

4a + 60° = 180°

4a = 120°

a = 30°'dir.

Aşağıdaki çokgenlerin köşelerini çiziniz.

E D

C

B

A

Bir çokgenin ardışık olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasına çok-

genin köşegeni denir.

Şekilde ABCDE beşgenine ait [AD] ve [AC] köşegenleri çizilmiştir.

Dış bükey çokgenlerin köşegenlerinin tamamı çokgenin iç bölgesinde olur.

DİKKAT

dış açı

iç açı Çokgenin bir köşesine ait iç açısı ile dış açısı bütünler iki açıdır.

İç açısının ölçüsü + Dış açısının ölçüsü = 180° dir.

DİKKAT

ÖRNEK


B H

C KF

D LE M

A G

24


1. Dokuz kenarlı bir çokgenin iç açıları ölçüleri toplamını bulunuz.

Dokuz kenarlı bir çokgenin herhangi bir köşesinden çizilen köşegenler çokgeni (9 – 2) = 7 tane üçgensel bölgeye ayırır.

Buna göre, dokuz kenarlı çokgenin iç açıları ölçüleri toplamı

180°.7 = 1260° dir.

2. İç açıları ölçüleri toplamı 1080° olan çokgenin kaç kenarlı olduğunu bulunuz.

n kenarlı bir çokgenin iç açıları ölçüleri toplamı

(n – 2) . 180° olduğuna göre;

(n – 2) . 180° = 1080°

n – 2 = 6

n = 8

Bu çokgen 8 kenarlıdır.

3. Bir çokgenin iç açıları ölçüleri toplamı 1980° ise bu çokgenin bir köşesinden çizilebilecek köşegenlerin, çokgeni en fazla kaç üçgensel bölgeye ayıracağını bulunuz.

Bu çokgenin kenar sayısını bulalım.

(n – 2).180° = 1980°

n – 2 = 11 üçgensel bölgeye ayırır.


25


4. E

80°

70°150°

A

B

D

C60°

x

Şekilde verilenlere göre x'in kaç derece olduğunu bulunuz.

m(D£CB) = 60° (Ters açı)

m(D£EA) = 180° - 80° = 100° (Bütünler açı)

Bir beşgenin iç açıları ölçüleri toplamı

(5 – 2) . 180° = 3 . 180° = 540° olduğundan

100° + 70° + 150° + 60° + x = 540°

380° + x = 540°

x = 160° dir.

Bir çokgenin iç açılarının ölçüleri, çokgenin iç açıları ölçüleri toplamı bulunmadan dış açıları toplamından

(360°) faydalanılarak da bulunabilir.

DİKKAT

5.

A

C110°

160° 120°

x

40°

60°

F

D K

EB

Yandaki ABCDEF altıgeninde verilenlere göre, m(B£AF) = x'in kaç derece olduğunu bulunuz.

m(E£DK) = 60° dış açının bütünleri olan iç açıyı hesaplayalım. m(E£DC) = 180 - 60 = 120° olur.

Bir altıgenin iç açıları ölçüleri toplamı

(n - 2).180 = (6 - 2).180 = 4.180 = 720° olduğundan

x + 160 + 110 + 120 + 120 + 40 = 720°

x + 550 = 720

x = 170° olur.

KARMA SORULAR

26


1. B

C

D

110°

120°A 4x

15x

Şekildeki ABCD dörtgeninde verilenlere göre x kaç derecedir?

Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir. A£BC dış açsının ölçüsü180 - 120 = 60°'dir. O hâlde4x + 60 + 110 + 15x = 360° dir. 19x + 170 = 360° 19x = 190 x = 10° olur.

2. Bir çokgenin bir köşesinden en fazla 7 köşe-gen çizilebildiğine göre bu çokgenin iç açıları ölçüleri toplamını bulunuz.

Çokgenin bir köşesinden en fazla 7 köşegen çizilebildiğine göre bu çokgen (n – 3) = 7 n = 10 kenarlıdır.10 kenarlı bir çokgenin iç açıları ölçüleri top-lamı ise, (10 – 2) . 180° = 8 . 180° = 1440° dir.

3. a kenarlı bir çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenler çokgeni 12 tane üçgensel bölgeye ayırdığına göre bu çokgenin kaç kenarlı oldu-ğunu bulunuz.

a kenarlı bir çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenler çokgeni (a – 2) tane üçgensel böl-geye ayırır.Buna göre,a – 2 = 12 a = 14 Bu çokgen 14 kenarlıdır.

1. E

Ax

140°

140° – 2x x + 20°

60°

D

B

CF

80°

Yandaki şekle göre x kaç dere-cedir?

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60

2. 8 üçgensel bölgeye ayrılan bir çokgen kaç

kenarlıdır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12

3. Bir köşesinden çizilebilecek köşegen sayısı 6 olan bir çokgenin kaç kenarı vardır?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7

27


1. Bekir bir dokuzgen çizmiş ve iç açılarından sekizinin ölçülerini açı ölçer kullanarak bulmuştur. Yandaki not kâğıdında Bekir'in bulduğu açılar yaz-maktadır.

Buna göre, bilinmeyen açının ölçüsünü bulunuz.

Bir dokuzgenin dış açıları ölçüleri toplamı 360° dir.

Buna göre verilen iç açıların, dış açı ölçülerini bulalım.

Bilinmeyen açının dış açı ölçüsü; 360° – 289° = 71° dir. Bir iç açı ile dış açı ölçüleri birbirini 180° tamamladığına göre

x + 71° = 180°

x = 109° dir.

2. Aşağıda verilen ifadelerdeki boşlukları doldurunuz.

ÀBir çokgenin ardışık olmayan herhangi iki köşesini birleştiren doğru parçasına köşegen

denir.

Àn kenarlı bir çokgende iç açılar toplamı (n-2).180° dir.

Àn kenarlı bir çokgende dış açılar toplamı 360° dir.

Àn kenarlı bir çokgende bir köşeden çıkan köşegen sayısı (n-3) tanedir.

156°, 147°, 143°, 135°, 163°, 158°, 129°, 120°, x

SIRA SENDE

İç açı Dış açı 156° 180°–156°=24° 147° 180°–147°=33° 143° 180°–143°=37° 135° 180°–135°=45° 163° 180°–163°=17° 158° 180°–158°=22° 129° 180°–129°=51° 120° 180°–120°=60°

289°

28


3. Aşağıdaki çokgenlerin köşegenlerini çiziniz. Bilinmeyen x, y, z açılarının ölçülerini bulunuz.

A B

D C

x

70° 85°

100°

E

F

GH

K

60°

150°

130°

80°y

ML

N

O

145°135°

165°

155°

95°

zR

P

ABCD dörtgeninin iç açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.100° + x + 70° + 85° = 360°x + 255° = 360°x = 105°EFGHK beşgeninin iç açılarının ölçüleri toplamı (5 - 2) . 108 = 3 . 180 = 540° dir.60° + 80° + 130° + y + 150° = 540° Æ y = 120LMNOPR altıgeninin iç açılarının ölçüleri toplamı (6 - 2) . 108° = 4 . 180° = 720° dir.135° + 145° + z + 165 + 95° + 155° = 720° Æ z = 25

4. Sekiz kenarlı bir çokgenin bir köşesinden en fazla kaç tane köşegen çizebileceğini bulu-nuz.

n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden en fazla (n – 3) tane köşegen çizilebildiğine göre,

8 kenarlı bir çokgenin bir köşesinden en fazla

8 – 3 = 5 tane köşegen çizilebilir.

5. A

BD

C

Kaleminizi yandaki ABCD dikdörtgeninin A köşesine koyup dış açı boyunca saat yönünde çevirin. Daha sonra kaleminizin ucu B köşesine geldiğinde hareketi devam ettirin. C ve D köşesinde de aynı hareketleri yapın.

Tekrar A köşesine geldiğinizde kaleminizin yaptığı dönme hareketi hare-keti hakkında yorum yapınız.

Tam dönme (360°) yapmıştır.

29


Düzgün Çokgen

✽ Kenar uzunlukları ve açılarının (iç ve dış açıları) ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere düz-

gün çokgen denir.

✽ Eşkenar üçgen, kare, düzgün beşgen, düzgün altıgen, düzgün sekizgen birer düzgün çokgendir.

n kenarlı düzgün bir çokgenin bir dış açısının ölçüsü n360° ile hesaplanır.

n kenarlı düzgün bir çokgenin bir iç açısının ölçüsü ise ( )n

n 2 180c- · veya n180 360c

c- ile hesap-

lanır.

Aşağıdaki çokgenleri inceleyelim.A

BC

D E

FG

H

K

LM

N6 cm6 cm

6 cm5 cm

5 cm

5 cm 5 cm

4 cm

4 cm4 cm

4 cm4 cm

ABC üçgeni tüm kenarları ve açıları eş olduğundan düzgün üçgen yani eşkenar üçgendir.

DEFG dörtgeni tüm kenarları ve açıları eş olduğundan düzgün dörtgen yani karedir.

HKLMN beşgeni tüm kenarları ve açıları eş olduğundan düzgün beşgendir.

Sizde yandaki çokgenleri inceleyiniz.

ABCDEF düzgün altıgendir.

GHKLMNOP düzgün

sekizgendir.


A B

C

DE

F

G H

K

L

MN

O

P

3 cm 2 cm

30


1. Aşağıdaki tabloda boşluklara uygun sayıları yazınız.

DüzgünÇokgen

Kenar Sayısı

Bir Köşesinden Çizilebilecek En Fazla Köşegen

Sayısı

İçAçılarının Ölçüleri Toplamı

Bir İç Açısının Ölçüsü

DışAçılarının Ölçüleri Toplamı

Bir Dış Açısının Ölçüsü

3 0 1.180 = 180 360

4 1 2.180 = 360 360

5 2 3.180 = 540 360

6 3 4.180 = 720 360

8 5 6.180 = 1080 360

2. Mehmet'in verdiği bilgilere göre çizmeye çalıştığı çokgenin Çokgenitamamlayamadım.

Çizmeye çalıştığım çokgen düzgün bir çokgendir. Bir dış

açısı 45° dir. O halde, budüzgün çokgen kaç

kenarlıdır?45°

Mehmet

kaç kenarlı olduğunu bulunuz.

Bir dış açısı 45° olan bir düzgün çokgenin kenar sayı-sı 360° : 45° = 8 dir. O halde Mehmet'in tamamlayamadığı çokgen düzgün sekizgendir.


3180 60= 3

036 120=

4360 90=

4360 90=

5405

108=50 7236=

06

720 12=6

360 06=

10808

135=80 536 4=

31


3. Düzgün dokuzgenin bir iç açısının ölçüsünü hesaplayınız.

I. Yol Dokuzgenin iç açıları ölçüleri toplamını hesaplayalım. (9 – 2).180° = 7.180° = 1260°

Buna göre bir iç açısının ölçüsü; 1260°9

= 140°'dir.

II. Yol Dokuzgenin dış açıları ölçüleri toplamı 360° olduğuna göre; 360° : 9 = 40° bir dış açısının ölçüsü iç açı ile dış açı bütünler açı olduğuna göre 180° – 40° = 140° bir iç açının ölçüsüdür.

4. Bir dış açısı 36° olan düzgün çokgen kaç kenarlı olduğunu bulunuz.

Çokgenlerin dış açıları ölçüleri toplamı 360° ve düzgün çokgenlerin bütün dış açıları ölçüle-ri birbirine eşit olduğuna göre bu düzgün çokgen 360° : 36° = 10 kenarlıdır.

5. Bir iç açısının ölçüsü 156° olan düzgün çokgenin kaç kenarlı olduğunu bulunuz.

Bir iç açı ölçüsü 156° ise, dış açısı 180° – 156° = 24° dir.Dış açıları ölçüleri toplamı 360° olduğundan, 360° : 24° = 15 dir.Bu düzgün çokgen 15 kenarlıdır.

6. Kıvırcık'ın yuvası düzgün beşgen, yuvasının kapısı ise kare şeklin-

?

dedir.

Yuvanın bir kenarı ile kapı arasında kalan açının ölçüsünü bulu-nuz.

Bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü a ise kenar sayısı a360° ile hesaplanır.

DİKKAT

F G

A

EB

C

108°

D

Düzgün beşgenin iç açıları ölçüleri toplam,(5–2).180°=3.180° = 540° dir.O halde bir iç açısının ölçüsü540°:5=108°'dir.Karenin bir iç açısının ölçüsü 90° olduğundan, s(B£CF)=108°–90°=18° dir.

32


7. Yanda düzgün altıgen şeklindeki karton AC doğrusu boyunca E

Aa

F C

D

B

kesiliyor.

Oluşan ABC üçgenindeki a'nın kaç derece olduğunu bulunuz.

Bir altıgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (6 – 2) . 180° = 4 . 180° = 720° dir.O hâlde bir iç açısı ise 720 : 6 = 120° dir. Buna göre, m(A£BC) = 120°'dir.Düzgün altıgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olduğuna göre oluşan A◊BC bir ikizkenar üçgendir.

Buna göre; m(C£AB) = m(B£CA)'dır. Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° olduğundan a + a + 120° = 180° 2a = 60° ⇒ a = 30° dir.

8. Bir dış açısının ölçüsü 12° olan düzgün çokgenin iç açıları ölçüleri toplamını bulunuz.

Bir dış açı ölçüsü 12° ise bu düzgün çokgen 360°:12 = 30 kenarlıdır. İç açıları ölçüleri toplamı(n – 2).180° = (30 – 2) . 180° = 28 . 180°

= 5040° dir.

9. Yandaki şekilde ABCDEF düzgün altıgen, BGHC ise para-E

A

FxC

H

G

D

B

lelkenardır.

Buna göre, s(D£CH) = x kaç derece olduğunu bulunuz.

Bir düzgün altıgenin bir dış açısı 360° : 6 = 60° dir.

Buna göre m(C£BG) = 60° dir.Düzgün altıgenin bir iç açısı ise 120° dir.Paralelkenarda ardışık açılar toplamı 180° olduğuna göre, m(B£CH) = 120° dir.Sonuç olarak120° + 120° + m(D£CH) = 360° ˘ m(D£CH) = 120° dir.

E

A

F C

D

B120°

120°120°

60°

E

A

FC H

G

D

B

KARMA SORULAR

33


1. AC B

Yukarıda dikdörtgen şeklindeki bir çim alan ile etrafına yerleştirilmiş düzgün altıgen şeklin-deki yürüyüş alanlarının resmi verilmiştir.

Buna göre, m(A£CB)'nın kaç derece olduğunu bulunuz.Dikdörtgenin bir iç açı ölçüsü 90° dir. Düzgün altıgenin ise bir iç açı ölçüsü 120° dir.90° + 120° + m(A£CB) = 360° olduğundan m(A£CB) = 150° dir.

2. Yandaki şekilde E

A

FH G

Cx

D

B

ABCDEF düzgün altı-gen, ABGH ise bir karedir.

Buna göre, x'in kaç derece olduğunu bulu-nuz.

m(A £BG) = 90° ve m(A £BC) = 120° ise m(G £BC) = 30°|GB| = |BC| ise m(B £GC) = m(B £CG) = 75° olur.O hâlde x = 120° - 75° = 45° dir.

3. Yanda ABCDE düzgün beş-D

EF

A B

36°C

geni ve çizimi tamamlanma-mış bir düzgün çokgen var-dır.

m(C£BF) = 36° olduğuna göre, çizimi tamamlanma-mış çokgenin kaç kenarlı olduğunu bulunuz.

m(A£BF) = 108°+ 36° = 144° ise

180 – 144 = 36° (bir dış açı)360° : 36° = 10 kenarlıdır.

1. G

A

H

D

F

xE

B

C

Şekildeki ABEFGH düzgün altıgen ve BCDE bir karedir.

Buna göre, x kaç derecedir?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 150

2.

A B

x C

D

EF

G

HK

Şekildeki ABCDEFGH düzgün sekizgen, ABK ise eşkenar üçgendir.

Buna göre x kaç dere-cedir?

A) 60,5 B) 65 C) 67,5 D) 75

3. B

DA

C30°

Tamamlanmamış düzgün çokgenin dış açısı 30° ise bu çokgen kaç kenarlıdır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12

34


1. Bir dış açısının ölçüsü 18° olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

Dış açıların ölçüleri toplamı 360°'dir.360°

n = 18° ise n = 20 kenarlıdır.

2. Bir iç açısının ölçüsü bir dış açısının ölçüsünün 5 katı olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

İç açı (5a) ve dış açı (a) komşu bütünlerdir.a + 5a = 180° ise a = 30°Dış açıların ölçüleri toplamı 360°'dir.360°30°

= 12 olur. Bu düzgün kenarlı çokgen 12 kenarlıdır.

3. Aşağıdaki düzgün çokgenlerde istenen açıların ölçülerini bulunuz.

?

E

F

D

C

BA

( ) ?BFm ¯ =%

?

A B

C

D

E

( ) ?DBm ¯ =%

?

E

D

C

BA

( ) ?C Bm ¯ =%

SIRA SENDE

Düzgün beşgenin bir iç açısı-sı 108° dir.

m(A£BC) = 108°

A◊BC ikizkenar üçgendir.

m(C£AB) = m(B£CA)

180 - 108 = 72

72 : 2 = 36°

m(C£AB) = 36°'dir.

Düzgün altıgenin bir açısı 120° dir.

m(F£AB) = 120°'dir.

F◊AB ikizkenar üçgendir.

m(A£FB) = s(A£BF)

180 - 120 = 60

60 : 2 = 30°

m(A£BF) = 30°'dir.

Düzgün beşgenin D köşe-sinden çıkan [AD] ve [DB] köşegenleri eştir.

A◊BD ikizkenar üçgendir.

m(E£DA) = m(C£DB) = 36°

36 + 36 + ? = 108°

? = 36° olur.

35


DÖRTGENLER

✽ Doğrusal olmayan dört noktayı birleştiren doğru parçalarının birleşmesine dörtgen denir.

Dörtgen, dört kenarlı bir çokgendir. Yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve

kare dörtgendir.

70°

A B

CD

xABCD ikizkenar yamuğunda verilenlere göre, x'in kaç derece olduğunu bulunuz.

Dörtgenlerin iç açılarını ölçüleri toplamı 360° dir.

DİKKAT


Yamuk

✽ Karşılıklı kenar çiftlerinden sadece biri birbirine paraleldir.

[DC] // [AB]

✽ Paralel olan kenarlar arasındaki açılar bütünlerdir.

m(æA) + m(æD) = 180° ve m(æB) + m(æC) = 180°

İkizkenar Yamuk

✽ Paralel olmayan kenar uzunlukları birbirine eşittir.

|AD| = |BC|

✽ Taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir.

m(æA) = m(æB) ve m(æD) = m(æC)

✽ Köşegen uzunlukları birbirine eşittir. |AC| = |BD|

CD

A B

CD

A B

m(A£DC) = m(B£CD) = 70°

m(D£AB) = m(C£BA) = x°

[AB] // [DC] olduğundan

x + 70° = 180°

x = 110° olur.

36


Dik Yamuk

✽ Paralel olmayan kenarlardan biri tabana diktir.

[AD] ^ [AB] ve [AD] ^ [DC]

✽ |AD| aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.

A B

CD

130°

x Yandaki ABCD dik yamuğunda verilenlere göre, x'in kaç derece olduğunu bulunuz.

130 + x = 180°

x = 50° olur.

Paralelkenar

✽ Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.

[AB] // [DC] [AD] // [BC]

✽ Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.

|AB| = |CD| |BC| = |AD|

✽ Karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşittir.

m(æA) = s (æC) m(æB) = s (æD)

✽ Ardışık açıların ölçüleri toplamı 180°'dir.

m(æA) + s(æB)= 180° m(æC) + s(æD) = 180°

m(æB) + s(æC) = 180° m(æA) + s(æD) = 180°

✽ Köşegenler birbirini ortalar.

|AO| = |OC| |DO| = |OB|

✽ Paralelkenar özel bir yamuktur.


A B

CD

B

B

C

C

D

O

D

A

A

37


A8x

12x

By

CD

Şekildeki ABCD paralelkenarında verilenlere göre y açısı-nın kaç derece olduğunu bulunuz.

12x + 8x = 180°

20x = 180°

x = 9°

12x = y = 12.9 = 108° olur.

Eşkenar Dörtgen


[AB] // [DC] [AD] // [BC]

✽ Tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.

|AB| = |BC| = |CD| = |AD|

✽ Karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşittir.

m(æA) = s(æC) m(æB) = s(æD)

✽ Ardışık açıların ölçüleri toplamı 180° dir.

m(æA) + s(æB) = 180° m(æC) + s(æD) = 180°

m(æB) + s(æC) = 180° m(æA) + s(æD) = 180°

✽ Köşegenler birbirine diktir ve birbirini iki eşit parçaya ayırır.

✽ Köşegenler ait oldukları köşelerdeki açıları iki eş parçaya ayı-

rır.

✽ Eşkenar dörtgen paralel kenarın tüm özelliklerini sağladığından

paralelkenarın özel hâlidir.


B

CD

A

B

CD

A

38


1. A

B

C

D

x

40°

ABCD eşkenar dörtgeninde x açısının kaç derece oldu-ğunu bulunuz.

DB köşegeni açıortaydır.

m(A£DB) = m(B£DC) = 40°

D◊CB ikizkenar üçgendir.

m(B£DC) = m(D£BC) = 40°

x + 40 + 40 = 180 Æ x = 100° olur.

2. A B

CD

35°x

y

ABCD eşkenar dörtgeninde verilenlere göre, x ve y açılarının kaçar derece olduklarını bulunuz.

Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesiştiğinden y = 90° dir.

Eşkenar dörtgende köşegenler açıortaydır. Eşkenar dörtgenin iç açılarının toplamı 360°'dir.

35 + 35 + x + x + 35 + 35 + x + x = 360 ise 4x + 140 = 360

4x = 220

x = 55° dir.


Eşkenar dörtgenin bütün özellikleri karede de bulunmaktadır. Kare bütün açılarının ölçüleri birbirine eşit bir eşkenar dörtgendir.

DİKKAT

A B

CD

35°

35°

35°

35°

x

xx

x

39


Dikdörtgen


[AB] // [CD] [BC] // [AD]

✽ Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.

|AD| = |BC| |AB| = |DC|

✽ Bütün iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 90° dir.

m( æA) = m(æB) = m(æC) = m(æD) = 90°

✽ Köşegenlerinin uzunlukları birbirine eşittir ve köşegenler birbiri-

ni ortalar.

|AC| = |BD| ve |AO| = |OC| = |DO| = |OB|

✽ Dikdörtgen eşkenar dörtgenin özel hâlidir.

B

CD

O

A

50°

xy

Şekildeki ABCD dikdörtgeninde verilere göre, x ve y açılarının ölçülerinin kaçar derece olduklarını bulunuz.

x = m(A£OB) = m(D£OC) (Ters açılar eşittir.)

Köşegenleri birbirini ortaladığından D◊OC ikizkenar üçgendir ve

m(D£CO) = 50° olur. O hâlde x + 100 = 180 ise x = 80° dir.

m(O£DC) = 50° nin komşu tümleri 40° dir. O hâlde x = 40 + y ise y = 40° dir.


B

CD

A

B

CD

O

A

B

CD

A

50° 50°40°40°

0 x

x

y

40


Kare


[AB] // [CD] [BC] // [AD]

✽ Tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.

|AB| = |BC| = |CD| = |AD|

✽ Bütün iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 90°'dir.

m( æA) = m(æB) = m(æC) = m(æD) = 90°

✽ Köşegenler birbirine diktir ve ait oldukları köşelerdeki açıları iki eşit

parçaya ayırır.

✽ Köşegen uzunlukları birbirine eşittir ve köşegenler birbirini ortalar.

|AC| = |DB| ve |AO| = |OC| = |OD| = |OB|

D C

BA

y

xŞekildeki ABCD karesinde x + y toplamının kaç derece olduklarını bulu-nuz.

x = 90°2

= 45° (Karede köşegenler açıortaydır.)

y = 90° (Karede köşegenler birbirine dik keser.)

x + y = 45° + 90° = 135°


O

A

A

B

B

C

C

D

D

Eşkenar dörtgenin bütün özellikleri karede de bulunmaktadır. Kare bütün açılarının ölçüleri birbirine eşit bir eşkenar dörtgendir.

DİKKAT

KARMA SORULAR

41


1. Tüm köşegenleri açıortay olan dörtgenleri yazınız.

KareEşkenar dörtgen

2. • Köşegenleri birbirini ortalar.• Bütün kenar uzunlukları birbirine eşittir.• Köşegen uzunlukları birbirine eşit değildir.

Yukarıda yazılı olan özellikler hangi dörtgene aittir?

Eşkenar dörtgen

3. • Karşılıklı kenarları birbirine eşittir.• Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.• Köşegenleri dik kesişirler.

Yukarıda bahsedilen özellikler hangi dörtgen-lere aittir?

KareEşkenar dörtgen

1. I. Köşegen uzunlukları birbirine eşittir.II. Köşegenler birbirine diktir.

III. Köşegenler birbirini ortalar.IV. Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.

Yukarıdaki bilgilerden hangileri dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin ortak özelliğidir?

A) I ve II B) I ve IIIC) II ve IV D) III ve IV

2. Aşağıdakilerden hangisi dikdörtgenle karenin ortak özelliğidir?

A) Kenar uzunluklarının birbirine eşit olmasıB) Köşegenlerin birbirini dik kesmesi C) Karşılıklı açılarının ölçüsünün birbirine eşit

olmasıD) Köşegenlerin çıktıkları açıların açıortayı ol-

ması

3. Bu çokgenin, • Köşegenleri birbirini dik ola-rak ortalar.

• Köşegenleri bulundukları köşelerin açıortayıdır.

• Köşegenlerinin uzunlukları birbirine eşittir.

• Bu çokgen bir ...............................

Yukarıdaki noktalı yere aşağıdakilerden han-gisi gelebilir?

A) Eşkenar dörtgen B) KareC) Dikdörtgen D) Yamuk

42


1. Aşağıdaki tabloda verilen özellikleri sağlayan dörtgenleri işareti ile gös-teriniz.

Özellikler

Kare

Dikdö

rtge

n

Para

lelken

ar

Eşke

nar

Dör

tgen

Yamuk

Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir. ✓ ✓ ✓ ✓

Tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. ✓ ✓

Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. ✓ ✓ ✓ ✓

Bütün açılarının ölçüleri birbirine eşittir. ✓ ✓

Bütün açıları dik açıdır. ✓ ✓

Karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir. ✓ ✓ ✓ ✓

Ardışık açıları birbirinin bütünleridir. ✓ ✓ ✓ ✓

Köşegen uzunlukları birbirine eşittir. ✓ ✓

Köşegenler birbirini ortalar. ✓ ✓ ✓ ✓

Köşegenler birbirine diktir. ✓ ✓

Köşegenler çıktıkları açıların açıortaylarıdır. ✓ ✓

Birbirine paralel olan bir çift kenarı vardır. ✓

Birbirlerine paralel olan iki çift kenarı vardır. ✓ ✓ ✓ ✓

SIRA SENDE

43


2. Aşağıdaki boşluklara uygun dörtgenleri yazınız.

À Kare , dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin özel bir durumu olarak ele alınır.

ÀDikdörtgen ve eşkenar dörtgen, paralelkenar 'ın özel hâlleri olarak ele alınır.

ÀDikdörtgen, eşkenar dörtgen ve paralelkenar, yamuğun özel hâlleri olarak ele alınır.

3. Tüm köşegenleri çıktıkları açıların açıortayı olan dörtgenler hangileridir?

Kare, eşkenar dörtgen

4. Aşağıda verilen dörtgenlerde bilinmeyen x, y, z ve t açılarının ölçülerini hesaplayınız.A B

C H

E K O40°

80°

Pt

LN z

G M RS

F

D

60°35°

72°x

y

x = 120° y = 80° z = 54° t = 60°

5. Aşağıda verilen yamuklarda bilinmeyen m, n ve r açılarının ölçülerini hesaplayınız.E F K L

H MNG

A

110°

B

D C

m 30°n 105° r

m = 70° n = 120° r = 30°

45


1. Köşegenlerinin uzunluğu 5 cm ve 10 cm olan eşkenar dörtgenin alanının kaç cm2 oldu-ğunu bulunuz.

Eşkenar dörtgenin alanı = 5.102

= 502

= 25 cm2 dir

2. A D

B C H

O

ABCD eşkenar dörtgeninde,

|AO| = 6 cm

|OD| = 8 cm

|BC| = 10 cm

Yukarıda verilenlere göre, |DH| kaç cm olduğunu bulunuz.

3. Köşegen uzunluklarından biri diğerinden 1 cm fazla olan bir eşkenar dörtgenin alanı 28 cm2 olduğuna göre, köşegen uzunlukları toplamının kaç cm olduğunu bulunuz.

Köşegenlerinden biri x cm ise diğeri x + 1 cm dir.

x .(x+1)2

= 28

x.(x+1) = 567.8 = 56

Köşegen uzunlukları toplamı = 7 + 8 = 15 cm olur.


Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini ortaladığından

|AO| = |OC| = 6 cm

|DO| = |OB| = 8 cm olur.

A(ABCD) = 16.122

8

= 96 cm2

A(ABCD) = 10.|DH| ⇒ 96 = 10.|DH|

|DH| = 9,6 cm olur.

46


4. Kareli kağıda çizilmiş eşkenar dörtgensel bölgelerin alanlarının kaç br2 olduğunu bulunuz.

Buna göre,

6.42

= 12 br2

8.42

= 16 br2 dir.

5. A

C

BD E

Şekildeki ABCD eşkenar dörtgeninin alanı 108 cm2 ve |AC| = 9 cm ise |DE| uzunluğunu hesaplayınız.

|AC| . |BD|2

= 108 cm2 ise

9. |BD|2

= 108 ise |BD| = 24 cm'dir.

|DE| = |EB| = 242 = 12 olur.

6. A

C

BD

HŞekildeki ABCD eşkenar dörtgeninin bir kenar uzunluğu 25 cm ve alanı 100 cm2 ise |DH| uzunluğunu hesaplayınız.

25.|DH| = 100 cm2 ise

|DH| = 4 cm olur.

47


Yamuğun Alanı

1. A

CD

B Kareli kâğıda çizilen yamuk köşegeni yardımıyla iki parçaya ayrılıyor.

Bu üçgensel bölgelerin alanlarını hesaplayınız.

A(A◊DC) = 5.82 = 20 br2

A(A◊BC) = 3.52 = 7,5 br2

A a

c

D

B H

h

C

Yamuğun alanı alt ve üst taban uzunluklarının toplamının yüksek-

lik ile çarpımının yarısına eşittir.

¯(¯ ) ( )BCD a c h2

=+ ·

X Araç Gereç

Kareli Kâğıt, Makas

Kareli bir kağıda uzunlukları aynı iki yamuk çizelim. Şekillerden birini makas yardımıyla keselim ve diğer şeklin yanına bir paralelkenar oluş-turacak şekilde ekleyelim.

3

4

7 3

7 Oluşan paralelkenarsal bölgenin alanı

10 . 4 = 40 br2 olur.

Şekilde iki tane eş yamuk olduğu için yamuklardan birinin alanı ise 20 br2 dir.

ÖRNEK


Yamuğun alanı, iki üçgenin alanının toplamı şeklinde de bulunabilir.

DİKKAT

A

CD

B

48


2. A D

B H

5 cm

8 cm

12 cmC

Şekildeki ABCD yamuğunda

|AD| = 8 cm

|BC| = 12 cm

|AH| = 5 cm

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 olduğunu bulunuz.

3. 8 metre

10 metre

6 metre

Ahmet Bey dörtgen biçimindeki tarlasını, kenarlarından biri diğerine paralel olacak şekilde düzenliyor.

Oluşan bahçenin alanını hesaplayınız.

Alan = (8+10).62 = 18.6

2 = 54 m2 olur.

4. A

45°

B

D E8 cm

8 cm

12 cm C

ABCD yamuğunda

[AB] // [DC]

m(A£DC) = 45°

|DE| = 8 cm

|EC| = 12 cm

|AB| = 8 cm

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 olduğunu hesaplayınız.

A◊DE ikizkenar dik üçgen olduğundan |DE| = |AE| = 8 cm'dir.

A(ABCD) = (8+8+12).82 = 28.8

2 = 112 cm2

¯(¯ ) ( )BCD

cm

212 8 5

2205

50 2

=+

=

=

·

·

49


5. A

B CE12 cm

6 cm

7 cm

D Şekildeki ABCD yamuğunda |EC| = 7 cm|BE| = 12 cm|AD| = 6 cmA(D◊EC) = 21 cm2

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 olduğunu bulunuz.

A(D ◊EC) = 7.h2 = 21 ise h = 6 cm A(ABCD) = (|BC| + |AD|) .6

2 = 75 cm2

6. A

B C

K

18

10 6 L

4

D ABCD dikdörtgeninde[KL] // [BC] |AB| = 10 cm|AD| = 18 cm |DL| = 4 cm|KL| = 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, taralı alanın kaç br2 olduğunu bulunuz.

BCLK bir yamuktur. Dik yamuğun yüksekliği tabana dik olan yan kenarı olduğu için h = 6 cm dir.

A(BCLK) = (18 + 6).62 = 24.6

2 = 72 cm2 dir.

7. A DK

CL

4 cm

B 2 cm

Şekildeki ABCD karesindeki ABLK dik yamuğunun alanı 15 cm2'dir.

|AK| = 4 cm, |BL| = 2 cm ise

A(KLCD) kaç cm2 dir?

A(ABLK) = (4 + 2). |AB|

215 =

6. |AB|2 ise |AB| = 5 cm

A(ABCD) = 5.5 = 25 cm2 A(KLCD) = 25 – 15 = 10 cm2

A

B CE

h

12 cm

6 cm

7 cm

D

KARMA SORULAR

50


1. Yandaki soruda verilen dörtgensel bölgelerin alanlarını hesaplayınız.

A) (2 + 4).42

= 12 br2

B) 4.6 = 24 br2

C) 6.42

= 12 br2

D) (2 + 6).32

= 12 br2

2. Şekildeki ABCD eşkenar A

B D

HC

dörtgeninin çevresi 20 cm'dir.

A(ABCD) = 20 cm2 olduğuna göre, |DH| kaç cm'dir?

|BC| = 20:4 = 5 cm5.|DH| = 20 ise |DH| = 4 cm'dir.

3. A

B C

D5cm

20 cm

17cm

Şekildeki ABCD dik yamuğunun çevresi 50 cm olduğuna göre, alanı kaç cm2 dir?

|AB| + 5 + 17 + 20 = 50 ise |AB| = 8 cm

Alan = (5 + 20).82

= 100 cm2

1. Aşağıdaki kareli kâğıt üzerinde verilen dört-gensel bölgelerden hangisinin alanı diğerle-rinden farklıdır?

A) B)

C) D)

2. Şekildeki ABCD eşkenar A

B

C

DE

dörtgeninde [BD] köşe-gendir.

ABE üçgeninin alanı bilindiğine göre, ABCD eşkenar dörtgensel böl-genin alanının bulunabil-mesi için aşağıdakiler-den hangisinin verilmesi yeterli olur?

A) 2|BE| = |AE| B) 3|ED| = |AE|C) 3|BE| = 2|ED| D) |BD| = |DC|

3. A

B

D5 cm

8 cm

C45°

Şekildeki ABCD dik yamuğunda |AD| = 5 cm, |AB| = 8 cm ve m(D£CB) = 45° olduğuna göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?

A) 72 B) 68 C) 62 D) 58

51


1. Aşağıdaki şekillerde verilenlere göre, eşkenar dörtgenlerin alanlarını bulunuz.

|AC | = 18 cm|BD | = 10 cm

A

B

C

DO

a.

Ç(ABCD) = 40 cm

b.C

A B

H6 cm

Dc.

A B

C

O 6 cm

4 cm

D

18.102 = 90 cm2 40

4 = 10 cm

|CB| = 10 cm Alan = 10.6 = 60 cm2

2. Aşağıdaki şekillerde taralı alanlardan yararlanarak eşkenar dörtgenlerin alanlarını bulu-nuz.

D

A

B

C68 cm2

a. A

B

C

4 cm2DO

b.

A B

C

L

K7 cm2

Dc.

68.2 = 136 cm2 4.4 = 16 cm2 7.3 = 21 cm 21+21 = 42 cm2

3. Aşağıdaki şekillerde verilenlere göre, yamukların alanlarını bulunuz.

(6+10).52 = 16.5

2 (3+(7+3)).72 = 13.7

2 ((6+10+6)+10).82 = 128 cm2

= 40 cm2 = 45,5 cm2

|AO| = |OC| = 6 cm ise |AC| = 12 cm

|DO| = |BO| = 4 cm ise |DB| = 8 cm

Alan = 8.122 = 48 cm2

SIRA SENDE

A BH

K CD

5 cm

6 cm

10 cm

a. b.

A45°

B

CD3 cm

7 cm

c.D C

A E 6 cm

8 cm

10 cm

B3 cm

7 cm

7 cm6 cm 10 cm

8 cm

52


1. Bir usta şekildeki yapının mavi ile gösterilen kısmına 40 m2 lik A D

B C

E F4 m

5 m

11 m2 m

fayans döşediğine göre pembe bölgeye kaç m2 lik fayans döşediğini bulunuz.

2. Ayşe Teyze dikdörtgen şeklindeki masa örtüsünün bazı kısımlarına

1 m

0,5 m

0,5 m

0,5 m

0,5 m

paralelkenar şeklinde dantel diktirmek istiyor.

Masa örtüsünün çevresi 6 m olduğuna göre, Ayşe Teyze’nin kaç cm2 dantel diktirmesi gerektiğini bulunuz.


Alan İle İlgili Problemler

Mavi ile gösterilen alan dik yamuktur.

¯(¯ ) ( ) | |

| |

| |

BCD DC

DC

DC m olur

211 5

402

16

5

8

=+

=

=

·

·

·Pembe ile gösterilen alan dik üçgendir.

¯( ) ( )DEF m olur2

5 2 427 4 14 2=

+= = ·· ·&

Örtünün çevresi 6m ise uzun kenarı 2m olur.

1 m 1 m

0,5m0,5m

0,5m 0,5m0,5m

0,5m0,5m

0,5m Paralelkenarlardan birinin alanını bulalım.

‚2

0 5 1=· 0,25 m2

0,25m2 = 2500 cm2 dir.

2 parça dantel olduğundan

2500 + 2500 = 5000 cm2 dantel diktirmelidir.

1 m

0,5 m

53


3.

1 br

Kareli kâğıtta verilen taralı bölgenin alanı kaç br2 oldu-ğunu bulunuz.

Soldaki şekil paralelkenardır. Alan = 3.5 = 15 br2

Ortadaki şekil eşkenar dörtgendir. Köşegenlerin uzunlukla-rı 6 ve 4 br'dir.

Alan = 6.42 = 12 br2

Sağdaki şekil paralelkenardır. Alan = 3.4 = 12 br2

Toplam alan = 15 + 12 + 12 = 39 br2

4.

8 cm

6 cm

4 cm

Şekilde ön yüzü pembe, arka yüzü mavi olan ikizkenar yamuk şeklin-de bir kâğıt verilmiştir. Kağıt aşağıda verildiği gibi katlanıyor.

1 cm

6 cm

1 cm6 cm

Yukarıda verilenlere göre, son durumda pembe alanın kaç cm2 olduğunu bulunuz.

1 cm katlandığına göre mavi üçgenlerin bir kenarı 1 cm olur.

Pembe şekil bir yamuktur. Yamuğun bir tabanı 6 cm diğer tabanı ise 6 – (1 + 1) = 4 cm olur.

Pembe alan = (6 + 4).42 = 10.4

2 = 20 cm2 dir.

1 cm

6 cm

1 cm 4 cm

4 cm4 cm

3 3

45

54


5. 12 cm uzunluğunda bir ip ile kenarları tam sayı, açıları dik olan dörtgenler oluşturup alanlarını inceleyiniz.

Alan = 9 cm2 Alan = 8 cm2 Alan = 5 cm2

6. Çevresi 36 cm ve kenarları tam sayı olan kare ve dikdörtgenlerden alanı en büyük olan dörtgenin alanı kaç cm2 dir?

7. Alanı 54 cm2 ve kenarları tam sayı olan dikdörtgenlerden çevresi en büyük ve en küçük olan dikdörtgenleri bulunuz.

Aynı çevre uzunluğuna sahip dikdörtgenlerin alanları farklı olabilir.

DİKKAT

Çevre uzunlukları eşit olan dik açılı dörtgenlerden alanı en büyük olan karedir.

DİKKAT

Aynı alana sahip dikdörtgenlerin çevre uzunlukları farklı olabilir.

DİKKAT

a

b

Çevresi 36 cm ise kısa kenar ve uzun kenar toplamı 18 cm olur.

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9b 17 16 15 14 13 12 11 10 9a.b 17 32 45 56 65 72 77 80 81

Alanı en büyük olan karedir. Alanı 81 cm2 dir.

a

b

a.b = 54 cm2 ise 54'ün çarpanlarını (bölenlerini) bulalım

a 1 2 3 6b 54 27 18 9

Çevresi en büyük olan dikdörtgen: 154

Çevre = 110 cm

Çevresi en küçük olan dikdörtgen: 6

9

Çevre = 30 cm olur.

1 cm 1 cm5 cm

5 cm3 cm

3 cm

3 cm

3 cm 2 cm 2 cm

4 cm

4 cm

55


1. Alanı 32 br2 ve kenar uzunlukları birer doğal sayı olan dikdörtgensel bölgeleri oluşturup, çevre uzunluklarını aşağıdaki tabloda gösteriniz.

Çevresi Uzun Kenarı Kısa Kenarı

66 br 32 br 1 br

36 br 16 br 2 br

24 br 8 br 4 br

2. Çevresi 14 br ve kenar uzunlukları birer doğal sayı olan dikdörtgensel bölgeler oluştu-rup, alanlarını aşağıdaki tabloda gösteriniz.

Alanı Uzun Kenarı Kısa Kenarı

7 br2 6 br 1 br

10 br2 5 br 2 br

12 br2 4 br 3 br

Çevresi: 14 br ise uzun ve kısa kenar toplamı 7 dir.

KARMA SORULAR

Aynı uzunluktaki teller ile çevresi 22 cm ve kenar-ları tam sayı olan dikdörtgenler oluşturuluyor.

Bu dikdörtgenlerden alanı en büyük olan ile en

küçük olanın alanları farkı kaç cm2 dir?

A) 22 B) 20 C) 12 D) 10

Kenarlarının uzunlukları doğal sayı ve alanı 42 br2 olan kaç farklı dikdörtgen oluşturula-bilir? Bu dikdörtgenlerin çevre uzunluklarını hesaplayınız.4 fark dikdörtgen

SIRA SENDE

Uzun kenar Kısa kenar Çevre

42 1 8621 2 4614 3 347 6 26

56


Alan= +Yamuğun Alanı

Dik üçgeninAlanı

a. (20+30).152

+ 20.102

= 375+100 = 475 cm2

b. (5+9).72

+ 5.42

= 49+10=59 cm2

Tek yön: 78 br2

Hastane: 72 br2

Ana yol: 46 br2

Daralan yol: 43 br2

3. Aşağıdaki şekillerde verilenlere göre, taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.

20 cm

30 cm

15 cm

10 cm

5 cm

4 cm

7 cm

9 cm

5 cm

a. b.

4. Taralı kâğıda çizilen şekillerdeki taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.

5. Kareli kâğıda çizilen trafik levhalarında taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.

Tek YönHastane

Ana Yol - Tali Yol Kavşağı İki Taraftan Daralan Yol

42 br2 22 br2 32 br2


57

ÇEMBER VE DAİRE

Çemberde Açı

✽

O

A

B

Yanda verilen O merkezli çember üzerindeki herhangi iki nokta arasın-

da kalan parçaya yay denir.

Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir. A£OB merkez

açıdır. Merkez açının kolları arasında kalan çember parçasına (yaya)

merkez açının gördüğü yay denir.

A£OB'nın gördüğü yay AÁB'dır.

1. Yandaki çemberde B £OC ile C £OD açılarının gördüğü yayları gös-

O

B

E

C

F

D

teriniz.

BÁEC ve CÁFD

2. Yandaki O merkezli çembere göre, verilen merkez açıların gördüğü A

B

C

O

Dyayları yazınız.

Merkez Açı Gördüğü Yay

A£OB AÁB

A£OC AÁC

A£OD AÁD

B£OD BÁD

D£OC CÁD


58


✽ Çember yayının

i3601

O

1°

Yandaki O merkezli çember yayı 360 eş parçaya bölündü-

ğünde, oluşan her parça "bir derece" ile ifade edilir.

Bir derecelik yay ölçüsü, bu yayı gören merkez açının ölçü-

süne eşittir.

Çemberin 3601 ini gören merkez açının ölçüsü 1°'dir.

✽

K

L

MN O

K£OL merkez açısının kenarlarının çemberi kestiği noktaların (K ve

L noktaları) arasında siyah ve kırmızı ile çizilmiş iki farklı yay var-

dır.

Bu yaylardan küçük olana (KÁML) minör yay, bu yaylardan büyük

olana (KÁNL) majör yay denir.

✽

A

C

BD O a

Bir çemberde minör yayın ölçüsü, kendisini gören merkez açının

ölçüsüne eşittir.

m(AÁBC) = m(A£OC) = a

Bir çember 360° lik bir yay olduğuna göre, merkez açının gördüğü

minör yay ile majör yayın ölçüleri toplamı 360° dir.

m(AÁBC) + m(AÁDC) = 360° m(AÁDC) = 360° - m(AÁBC) dür.

1. Şekildeki O merkezli çemberde minör ve majör yayları tespit K

75°

L

M

N O

edip, ölçülerini bulunuz.

O merkezli çemberde kırmızıyla çizilmiş olan yay minör yay, siyah ile çizilmiş olan yay majör yaydır. Minör yayın ölçüsü kendisini gören merkez açının ölçüsüne eşittir.

m(KÁML) = m(K£OL) = 75° dir.

Buna göre, m(K£NL) = 360° - m(K£ML)

= 360° - 75°

m(K£NL) = 285° dir.


K

75°L

M75°

N O

59


2. Bir çemberde minor yayın ölçüsü, major yayın ölçüsünün 'i41 dir.

Buna göre, çemberin minör ve majör yay ölçülerini bulunuz.

Minör yay ölçüsü majör yay ölçüsünün 14

i ise,

Minör yay ölçüsü = a iken Majör yay ölçüsü = 4a olur.Minör yayın ölçüsü ile majör yayın ölçüsü toplamı 360° olduğuna göre, 4a + a = 360° ise a = 72° olur. Buna göre minör yay ölçüsü = 72° majör yay ölçüsü ise 72°.4 = 288°'dir.

3.

DC

B

x

A

O

Yandaki O merkezli çemberde[AC] ve [BD] çapm(AÁ B) = 85° isem(D£OC) = x in kaç derece olduğunu bulunuz.m(AÁ B) = 85° ise m(A£OB) = 85° dir.Ters açısı x = 85° olur.

4.

O E

DC150°

B

A

OABC parelelkenarı ile O merkezli çember şekildeki gibi kesiş-mektedir. Buna göre, DE minör yayının ölçüsünü bulunuz.Paralelkenarda ardışık iki açı birbirinin bütünleridir.O hâlde,m(C£OA) = 180° - s(B£CO)= 180° - 150° = 30° olur.m(C£OA) = 30° ise m(DÁ E) = 30° dir.

OA B180°

180°

180°

O merkezli çemberde [AB] (çap) çemberi iki eş parçaya böler.

Bir çember 360° lik bir yay olduğuna göre, çap bir çemberi 180° lik iki eş çem-ber yayına böler.

m(A £OB) = 180° (doğru açı) olduğuna dikkat ediniz.

DİKKAT

• Bir çemberde merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

DİKKAT

O30°

30°

E

DC150°

B

A

KARMA SORULAR

60


1. C

BK

A

D

LO

Yandaki O merkezli

çemberde

m(C£OD) = 91°

m(A£OB) = 3x+1°

m(AÁKB) = m(CÁLD) ise

x kaç derecedir?

A) 27 B) 28 C) 30 D) 43

2. K

L

O

O merkezli çemberde

m(O£KL) = 2x – 30°

m(O£LK) = x + 5° ise

KL minor yayının ölçüsü kaç derecedir?

A) 90 B) 100 C) 110 D) 120

1.

B

C

30° AO

s(A£OB) = 30° ise

m(AÁCB) - m(AÁ B) = x in kaç derece olduğunu bulunuz.

330° - 30° = 300°

2.

O

A

B


m(A£OB) = 4.m(A£BO) ise,

AB minör yayının ölçü-sünü bulunuz.

O merkezli çemberde AOB üçgeni ikizke-

nar üçgendir ve m(A£BO) = m(B£AO) = x'dir. Üçgenin iç açıları ölçüleri toplamı 180° oldu-ğundan 4x + x + x = 180° 6x = 180° x = 30° dir.

m(A£OB) = 4x = 4.30° = 120° ise

m(AÁ B) = 120° olur.

O 4x 120°

x

xA

B

61


1. B

A

F D

E

C

O

Yandaki O merkezli çember içine çizilen düzgün altıgen, çembere A, B, C, D, E ve F noktalarında teğettir.

Buna göre, m(A£OE) - m(A£OB) = x kaç derecedir?

2.

30°

D

C

AO

65° B

O merkezli [AB] çaplı çemberde

m(C£BA) = 65° ve m(D£OA) = 30° dir.

Buna göre, DC minör yayının ölçüsünü bulunuz.

COB bir ikizkenar üçgendir. ([OC] = [OB] = yarıçap)m(C£BA) = 65° ise m(B£CO) = 65°'dir.m(C£OB) = 180° - (65° + 65°) = 50°m(D£OA) = 30° olduğundan m(AÁ D) = 30°m(C£OB) = 50° olduğundan m(BÁ C) = 50°Çap, bir çemberi iki eş yaya bölündüğünden, m(AÁCB) = 180° dir.m(AÁ D) + m(DÁ C) + m(BÁ C) = 180° olur. 30° + m(DÁ C) + 50° = 180° ise m(DÁ C) = 100° dir.

3.

O

K

M

L

Yandaki O merkezli [KM] çaplı çemberde KL minör yayının ölçüsü 120° ise LMK açısının ölçüsü kaç derecedir? Oluşan LOM üçgeni hakkında ne söylenebilir?

KL minör yayının ölçüsü 120° ise bu yayı gören KOL merkez açısının ölçüsü 120° dir. Buna göre,

m(L£OM) = 180° – 120°

m(L£OM) = 60° dir.[OL] = [OM] = yarıçap olduğundan,

m(O£LM) = m(L£MK) = m(L£OM) = 60° dir.L◊OM bir eşkenar üçgendir.

Düzgün altıgen çemberi altı parçaya böler.

360° : 6 = 60° (Her bir yayın ölçüsü)

m(A£OE) = m(AÁFE) = 120°

m(A£OB) = m(AÁ B) = 60° dir. O hâlde 120° - 60° = 60° = x

SIRA SENDE

30°30°

D

C

A O65°50°

65° 50°

B

K

M

L

60°

120°

O60° 60°

120°

63


1.

O12 br

Çapı 12 br olan bir çemberin çevresi kaç br'dir? (π = 3 alınız.) Yarıçap 6 br'dir. Çevre = 2πr = 2.3.6 = 36 br'dir.

2. 36 cm uzunluğundaki gümüş bir telden çember yapılmıştır.Oluşturulan çemberin yarıçapı kaç cm'dir? (π = 3 alınız.)2πr = 362.3.r = 36 ise 6r = 36, r = 6 cm'dir.

3. Ağız kısmı çember şeklinde olan bir kandilin, ağız kısmının etrafına tek sıra kurde-la yapıştırılacaktır. Kandilin ağız kısmının yarıçapı 3 cm olduğuna göre kaç π cm uzunluğunda kur-dela gerektiğini bulunuz.

Yarıçap 3 cm olduğuna göre çevresi = 2.π.3 = 6π ise cevap 6’dır.

4. Yarıçapı 140 metre olan dairesel pisti dört tam tur koşan Ediz’in toplam kaç metre yol koştuğunu bulunuz.(π =

722 alınız.)

Ediz bir tam tur koştuğunda pistin çevre uzunluğu kadar yol alır. Buna göre pistin çevre uzunluğu,Çevre = 2πr = 2 . 22

7 . 140 = 880 metredir.

Ediz, dört tam tur koştuğuna göre, 880.4 = 3520 metre yol koşmuştur.

Çemberin çevre uzunluğu 360° lik çember yayı uzunluğuna eşittir.

DİKKAT

Bazı problemlerde çevre uzunluğu hesaplanırken kullanılan π değeri 3; 3,14 veya 722 olarak verilir. Ancak

bazı sorularda π değeri verilmez. Sonuç π cinsinden yazılır.

DİKKAT


65


1. Yarıçap uzunlukları 2, 4 ve 8 cm olan çemberlere ait 120° lik yayların uzunluklarını hesap-layınız. (π = 3 alınız.)

Yarıçapı 2 cm olan çemberin 120° lik yay uzunluğu

2.3.2. 120360

= 4 cm


2.3.4 . 120360

= 8 cm


2.3.8 . 120360

= 16 cm'dir.

✽ Ölçümlerinize göre gerekli hesaplamaları yaparak tabloyu doldurunuz.

YarıçapUzunluğu

ÇemberinÇevresi

Çember YayıUzunluğu

MerkezAçı

Yay UzunluğuÇemberinÇevresi

Merkez Açı360°

6 cm 30°

6 cm 60°

6 cm 90°

6 cm 180°

Sonuç: Tabloya göre, bir çemberde çember parçasına ait merkez açının ölçüsü arttıkça, çem-

ber parçasının uzunluğu da artar. Kısaca, çember parçasının (çember yayının) uzunluğu çember

parçasına ait merkez açının ölçüsü ile doğru orantılıdır. Çemberin çevresi 360° lik yay uzunluğu

olduğuna göre, çember yayının uzunluğu ile ilgili sorular orantı kurularak çözülebilir.


Yarıçap uzunluğu

120° lik yay uzunluğu

2 44 88 16

Yay ölçüsü birbirine eşit olan, ancak yarıçap uzunluğu farklı olan çember yay-larının uzunlukları arasında şu ilişki görülür.

Yay ölçüsü birbirine eşit olan yayların uzunlukları, yarıçap uzunluğu ile doğ-ru orantılıdır.

DİKKAT

66


2.

A

C

60°

B A merkezli bir çember parçasında |AB| = 8 cm ise |BÁ C|'nu bulunuz. (π = 3 alınız.)

Öncelikle 360° lik yay uzunluğunu; yarıçapı 8 cm olan çemberin çevresini hesaplayalım.

Buna göre çemberin çevresi 2.3.8 = 48 cm dir.

I. yol 60° lik yay uzunluğunu orantı kurarak bulalım.360°lik yay 48 cm

60° lik yay x cm

360°.x = 60°.48

x = 8 cm'dir.

II. yol

Yayın merkez açısı 60° dir. 60°, 360° nin 16 i olduğundan çember yayın uzunluğu da çem-

berin çevresinin 16 i kadardır.

Çemberin çevresi 48 cm olduğuna göre,

Çember yayının uzunluğu ise 48. 16 = 8 cm'dir.

3.

30°O

Nursel, 21 cm uzunluğundaki kalemi O noktasından bir ucunu sabitleye-rek, şekildeki gibi çeviriyor.

Kalemin sivri ucunun kaç cm yol aldığını bulunuz. (r722

= alınız.)

Nursel, kalemi bir kenarından döndürdüğünde kalem uzunluğu sabit oldu-ğundan uç kısmı; merkezi O noktası yarıçapı 21 cm olan 30° lik yay uzun-luğu kadar yol alır.

O hâlde kalemin sivri ucu,

|AÁ B| = 2 . 227

. 21 . 30°360°

= 11 cm yol alır.

O

A

B

rα

Şekilde O merkezli r yarıçaplı çemberin AOB merkez açısını gören A ©B'nın uzunluğu

|A ©B| = 2πr°

α

360$

formülü ile hesaplanır.

DİKKAT

O

A

30°

B

21 cm

67


4.

12 cm

6 cmC

D

E

B

A 40°

40° açıyla açılmış olan yelpazeye ait uzunluklar verilmiştir.

Buna göre, pembe ile boyanmış bölgenin çevresini bulunuz. (π = 3 alınız.)

Verilenlere göre,

|BÁ D| = 2.3.12. 40°360°

= 8 cm'dir.

Orantı kurarak yarıçapı 18 cm olan 40° lik çember yayının uzunluğu-nu bulalım

Yarıçapı 12 cm uzunluk 8 cm

Yarıçapı 18 cm uzunluk x cm

x = 12 cm'dir.

Taralı bölgenin çevresindeki parçaların uzunlukları toplamı ise,

8 + 12 + 6 + 6 = 32 cm'dir.

5. 1 cm

Yukarıdaki noktalı kâğıt üzerinde yarım çemberlerle oluş-turulmuş şeklin çevresini bulunuz. (π = 3 alınız.)

Verilen şekil A ve C merkezli 3 cm yarıçaplı yarım çember-ler ile B merkezli 6 cm yarıçaplı yarım çemberin birleştiril-mesiyle oluşturulmuştur.

α 2x2a

aa

3x 4xO

B

AC

D

E

F

Yay ölçüsü α olmak üzere,

|OA| = 2a olduğundan|A©B| = 2x

|OC| = 3a olduğundan |C©D| = 3x

|OE| = 4a olduğundan |E©F| = 4x dir.

DİKKAT

6

12

C

B

A

D

E

40° 128

6

3 cm 3 cm 3 cm 3 cmD A B C E |DÁ B| = |BÁ E| = 2 . 3 . 3 .

12

= 9 cm

|DÁ E| = 2 . 3 . 6 . 12

= 18 cm

O hâlde şeklin çevresi,

18 + 9 + 9 = 36 cm dir.

68


6. Eş büyüklükteki çember camlardan oluşan güneş gözlüğünün etrafına şekildeki gibi bir sıra siyah şerit geçirilecektir.

Camların yarıçapı 2 cm ve camların mer-kezleri arasındaki mesafe ise 7 cm olduğuna göre, kullanılacak olan siyah şeridin uzunluğu-nu bulunuz. (π = 3 alınız.)

Verilen uzunluklar resim üzerinde gösterildiğinde,

|CD| = |EF| = 7 cm

|CÁ E| = |DÁ F| = 2 . 3 . 2 . 180°360°

= 6 cm olduğuna göre,

Şerit uzunluğu;

7 + 6 + 7 + 6 = 26 cm olur.

7. M

LOK


|OL| = 12 cm ve ( )( )MLKM

mm

72

=

> ?;;

> ?;; ise

taralı bölgenin çevre uzunluğunu bulunuz. (π = 3 alınız.)

dir.

Çemberin çevresi = 2.3.12 = 72 cm ise Yarım çember uzunluğu = 72:2 = 36 cm dir.

|KÁ L| = 2k + 7k = 9k olduğundan 9k = 36 k = 4 cm dir.

O hâlde, |MÁ L| = 7.4 = 28 cm olur.Buna göre, taralı bölgenin çevre uzunluğu12+12+28 = 52 cm dir.

Yarıçapı aynı olan çemberde, yay uzunlukları gördükleri merkez açı ile doğru orantılıdır.

DİKKAT

7 cm

7 cm

7 cm

C

B

FE

D

M

7k

2k

LOK

( )( )

| |

| |

m MLm ise

MLKM KM

72

72

= => ?;; > ?;;

' '

KARMA SORULAR

69


1. Aşağıda iki nokta arası mesafe 1 cm olan noktalı kağıda, çember parçaları kullanılarak çizilmiş şeklin çevre uzunluğunu hesaplayınız. (π = 3 alınız.)

Çevre = 24 cm

4 tane yarım çembe-rin uzunluğu2 tam çemberdir.2πr = 2.3.2 = 122.12 = 24 cm

2. Bir pergel 21 cm açılarak 60°'lik bir yay çizil-miştir.

Bu yayın uzunluğu kaç cm'dir? (π = 722 alınız.)

2πr. 60360 = 2.

227 .21 .

60360

= 22 cm

3. Bir aracın tekerleği 250 tam tur döndüğünde araç 450 metre yol aldığına göre, tekerleğin yarıçap uzunlu-ğunu bulunuz. (π = 3 alınız)

Araç 250 tam tur döndüğünde

450 metre = 45 000 cm yol aldığına göre,

bir tam tur döndüğünde

45 000:250 = 180 cm yol almıştır.

O halde, tekerleğin çevresi 180 cm dir.

Çevre = 2πr

180 = 2.3.r

r = 30 cm dir.

Tekerleğin yarıçapı 30 cm dir.

1.

I II III

Yukarıda verilen şekillerdeki taralı bölgelerin çevre uzunluklarının sıralaması aşağıdakiler-den hangisinde doğru olarak verilmiştir?

A) I < II < III B) I = II < IIIC) II < I < III D) II < I = III

2. A

C

B

O

Şekilde yarıçapı 10 cm olan O merkezli çem-berde |AB| = 10 cm ise |AÁCB| kaç cm dir?

A) 10 B) π3

10 C) 12 D) 12π

3.

AB

O

100°

Yukarıdaki şekilde yarıçapı 2 cm olan madeni para 100° lik bir yay etrafında döndürülerek A noktasından B noktasına getiriliyor.

Madeni para A noktasından B noktasına gelene kadar 10 tam tur döndüğüne göre, |OA| kaç cm dir? (π = 3 alınız.)

A) 36 B) 48 C) 72 D) 81

70


1. 12

1

2

3

4

67

8

9

10

11

5

Bir kenarı 25 cm olan kare şeklindeki duvar saatinin içine kenarları-na teğet çember şeklindeki çerçeveli cam yerleştirilip saat belirgin-leştirilmiştir.

Duvar saatinin iç ve dış çerçevesi için aynı cinste metal tel kullanıl-mıştır.

Buna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.

ÀKare dış çerçevede kaç cm metal tel kullanılmıştır?

25 . 4 = 100 cm tel kullanılmıştır.

ÀÇember şeklindeki iç çerçeve için kaç cm metal tel kullanıldığını tahmin ediniz.

π = 3 alırsak 2πr = 2.3. 252

= 75 cm tel (yaklaşık değer)

ÀHangi çerçeve için kullanılan tel daha kısadır?

Çember için kullanılan tel daha kısadır.

2. Aşağıda çevre uzunlukları verilen çemberlerin yarıçap uzunluklarını hesaplayınız.

a. Çevre = 25,12 cm (π = 3,14 alınız.)

b. Çevre = 132 cm (π = 22–––7 alınız.)

c. Çevre = 48 cm (π = 3 alınız.)

a. 2 . 3,14 . r = 25,12 ise r = 4 cm

b. 2 . 22–––7 .r = 132 ise r = 21 cm

c. 2.3.r = 48 ise r = 8 cm

SIRA SENDE

71


3. Aşağıda verilen çember yaylarının uzunluklarını hesaplayınız. (π = 3 alınız.)

50°

4 cm

A

BO 7 cm

K

L

240° O

|AÁ B| = 103

cm |KÁ L| = 28 cm

2πr . 50360

= 103

2πr . 240360

= 28

4. Aşağıda verilen şekillerin çevre uzunluklarını hesaplayınız. (π = 3 alınız.)

120° 8 cm

OA

B 200°

5 cm OE

F

|AÁ B| = 2πr 120360

= 16 cm

16 + 8 + 8 = 32 cm

|EÁ F| = 2πr 200

360 = 50

3 cm

503

+ 5 + 5 = 26 23 cm

74


1. Çapı 12 br olan bir dairenin alanı kaç br2 dir? (π = 3 alınız.)

Çap 12 br ise yarıçap 6 br'dir. O hâlde alan,

πr2 = 3.62 = 3.36 = 108 br2 dir.

2. Çevresi 18π cm olan dairenin alanının kaç π cm2 olduğunu bulunuz.

Çevre = 2πr 18π = 2πr olduğundan r = 9 cm dir.Yarıçap uzunluğu 9 cm olan dairenin alanı ise; Alan = πr2

= 81π cm2'dir.

10 m

3. 10 m uzunluğundaki iple ağaca bağlı olan koyunun en fazla kaç m2 alanda otlayabileceğini bulunuz. (π = 3,14 alınız.)

Koyun, ağaç merkez olacak şekilde en büyük yarıçaplı daire-de otlayabilir. İpin uzunluğu yarıçap uzunluğu olacak şekilde en fazla otlayabileceği alan Alan = π.r2

Alan = 3,14 . 102 = 3,14 . 100 = 314 m2'dir.

4. Alanı 432 cm2 olan dairenin çevresini hesaplayınız.

(π = 3 alınız.)

Alanı 432 cm2 ise dairenin yarıçap uzunluğu bulalım. 432 = π.r2 = 3r2 ise r = 12 cm'dir.Yarıçap uzunluğu 12 cm olan çemberin çevresi iseÇevre = 2πr = 2 . 3 . 12 = 72 cm'dir.


75


5.

60°O

12cm

A

B

O merkezli daire diliminde

m(A£OB) = 60°

|OA| = 12 cm dir.

Buna göre, daire diliminin alanını hesaplayınız. (π = 3 alınız.)

Öncelikle yarıçap uzunluğu 12 cm olan dairenin alanını hesaplayalım.

Dairenin alanı = π.r2 = 3 . 122 = 432 cm2 dir. Orantı kurarak daire dilimin alanını bulalım.

6.

O

A

B20°

Yandaki şekilde taralı alan 6 cm2 ise O merkezli [OB] yarıçaplı çem-berin çevresini hesaplayınız. (π = 3 alınız.)

Dilim alanı: πr2 . 20°–––––360° = 6 ise

r = 6 cm'dir. Çemberin çevresi: 2πr = 2.3.6 = 36 cm'dir.

7. 12

6

9 348

57

111210

Yandaki saatte yelkovanın uzunluğu 12 cm, akrebin uzunluğu ise 6 cm'dir.

Saat 5.00 iken 30 dakikada yelkovan ve akrebin kaçar cm2 lik alan tarayacağını bulunuz. (π = 3 alınız.)

Yelkovanının taradığı alan:

Akrebin taradığı alan:

• Akrep bir saatte 360° : 12 = 30° lik daire dilimi kadar alan tarar.

• Akrep bir dakikada 30° : 60 = 0,5° lik daire dilimi kadar alan tarar.

• Yelkovan bir saatte 360° lik daire dilimi kadar alan tarar.

• Yelkovan bir dakikada 360° : 60 = 6° lik daire dilimi kadar alan tarar.

DİKKAT

cm dir3 12360180 3 144

21 2162 2$ $ $ $

c

c= = ·

cm dir3 636015 3 36

241 4 5· · ‚2 2$ $

c

c= = ·

360° 432 cm2

60° x cm2

360.x = 60.432 x = 72 cm2 dir.

6 1

KARMA SORULAR

76


1. 20° 20°

Yandaki sarkaçta ipin uzunluğu 15 cm'dir. Sar-kaç sağa ve sola doğru 20°'lik açı yaparak bir salınımı tamamlıyor.

Sarkacın ipi bir salınım sonunda kaç cm2 lik alan tarar? (π = 3 alınız.)

A) 75 B) 80 C) 90 D) 100

2. Yandaki şekilde taralı

O

A

B40°

alan 48 cm2 ise |AÁ B| kaç cm'dir?

(π = 3 alınız.)

A) 6 B) 8 C) 12 D) 16

1. 30°30°

10 cm uzunluğunda ipe bağlı olan sarkaç sağa ve sola doğru 30°'lik açı yaparak bir salınımı tamamlıyor.

Sarkacın ipinin bir salınım sonunda kaç cm2 lik alanı taradığını bulunuz. (π = 3 alınız.)Sarkaç bir salınımda 30° + 30° = 60° lik daire dilimi kadar alan tarar. İpin uzunluğu 10 cm olduğuna göre, yarıçap uzunluğu 10 cm olan daireye ait 60° lik diliminin alanını bulalım.

Tr2 . 16

= 3.102

6 = 50 cm2

Sarkacın ipinin taradığı alan = 50 cm2'dir.

2. Yanda O merkezli çember

O

D

A

C

B

ABCD karesine içten teğet-tir.

Taralı alan 9 cm2 ise çem-berin çevresini bulunuz.

(π = 3 alınız.)

Çemberin yarıçap uzunluğu a ise, karenin bir kenar uzunluğu 2a dır. Karenin alanı = (2a)2 = 4a2

Dairenin alanı = r . a2 = 3a2

Buna göre;Taralı alan 4a2 – 3a2 = a2 dir.Taralı alan 9 cm2 ise a2 = 9 a = 3 cm dir.Çemberin yarıçap uzunluğu 3 cm ise, Çevresi = 2 . 3 . 3 = 18 cm'dir.

O

a

D

A 2a

C

B

77


1. Aşağıda çevre uzunlukları verilen dairelerin alanlarını hesaplayınız. (π = 3 alınız.)

a. Çevre = 24 cm Alan = 48 cm2

b. Çevre = 30 cm Alan = 75 cm2

c. Çevre = 48 cm Alan = 192 cm2

a. 2πr = 24 cm

2.3.r = 24 cm ise r = 4 cm Alan = πr2 = 3.42 = 3.16 = 48 cm2

b. 2πr = 30 cm

2.3.r = 30 ise r = 5 cm Alan = πr2 = 3.25 = 75 cm2

c. 2πr = 48 cm

2.3.r = 48 cm ise r = 8 cm Alan = πr2 = 3.64 = 192 cm2

2. Aşağıda verilen daire dilimlerinin alanlarını bulunuz.

(π = 3 alınız.)

100° 10 cm

80° 6 cm

2503

cm2 84 cm2

3. Aşağıda alanları ve yarıçap uzunlukları verilen daire dilimlerinin merkez açılarının ölçü-lerini hesaplayınız. (π = 3 alınız.)

9 cm

Dilimin alanı = 81 cm2

Merkez açı = 120°

8 cm

Dilimin alanı = 80 cm2

Merkez açı = 150°

SIRA SENDE

84


1. Grafik: Okunan SayfaSayfa Sayısı

Gün

60

55

50

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Yandaki grafikte Alara’nın sekiz gün boyunca kita-bından okuduğu sayfa sayıları verilmiştir.

Buna göre, Alara’nın okuduğu sayfa sayılarının toplamını bulunuz.

55 + 60 + 55 + 50 + 60 + 55 + 50 + 55 = 440'dır.

2. Grafik: Akaryakıt Tüketimi

Tüketilen Miktar (Milyon ton)

2006 2007 2008 2009 Yıl

Benzin

Mazot

100908070

5040

Yandaki sütun grafiğinde, iki farklı akaryakıt cinsinin yıllara göre dünya üzerindeki tüketimi verilmiştir.

Buna göre, uygun çizgi grafiğini oluşturunuz.

3. Aşağıdaki tabloda ikiz kardeşler Engin ve Ahmet’in LGS denemelerinde yaptıkları net sayı-ları verilmiştir.

LGS 1

LGS 2

LGS 3

LGS 4

LGS 5

LGS 6

LGS 7

LGS 8

Engin'in Net Sayısı 80 82 85 90 87 88 85 86Ahmet'in Net sayısı 82 84 83 81 87 89 90 89

Tablodaki bilgileri çizgi grafiğinde gösteriniz.Grafik: LGS Netleri

Net

LGS Denemeleri

9089888786858483828180

LGS 1

LGS 2

LGS 3

LGS 4

LGS 5

LGS 6

LGS 7

LGS 8

Tüketilen Miktar(Milyon ton)

2006 2007 2008 2009 Yıl

Benzin

Mazot100908070

5040

Engin

Ahmet


85


4. Yandaki grafikte bir mağazanın sattığı iki farklı ürünün satış adetleri verilmiştir.Buna göre, aşağıda verilenlerden hangileri doğrudur?a. A ürününün satış miktarı en fazla 2008 yılında olmuş-

tur.b. B ürününün satış miktarı en az 2003 yılında olmuştur.c. A ve B ürünlerinin satış miktarı 2005 yılında aynı mik-

tarda olmuştur.d. 2006 yılında A ürünü B ürününden 1000 adet fazla

satılmıştır.

b ve c doğrudur.

5. Yandaki grafikte üç arkadaşın okudukları kitaplardaki sayfa sayılarının günlere göre dağılımı verilmiştir.

Buna göre, aşağıda verilen soruları cevaplayalım.a. 6 gün sonunda Ahmet Sinem’den kaç sayfa fazla oku-

muştur?

b. Beste’nin 6 günde okuduğu sayfa sayısı 2. gün okuduğu sayfa sayısından kaç fazladır?

a) 65 sayfa fazla okumuştur.

b) 120 sayfa fazladır.

Grafik: Ayakkabı Satışı

Satış Miktarı (100 adet)

Yıllar

50

403530

20

10

2003

200420

0520

0620

0720

0820

09

A ürünüB ürünü

45403530252015105

1. 2. 3. 4. 5. 6.

AhmetBesteSinem

Grafik: Okunan Sayfalar

Sayfa Sayısı

Gün

86


✽ Her bir verinin miktarını göstermek ve veriler arası karşılaştırma grafiği istendiğinde çiz-

gi grafiği hataya sebep olacağından sıklık tablosu, sütun ve daire grafiği gösterimi daha

uygundur.

✽ Bir verinin bütün veriler içindeki yüzdesinin grafiği istendiğinde çizgi grafiği hataya sebep

olacağından sıklık tablosu, sütun ve daire grafiği gösterimi daha uygundur.

✽ İki veya daha fazla verinin sayı yüzdesinin grafiği istendiğinde çizgi grafiği hataya sebep ola-

cağından bu tür sorunlarda daire grafiği gösterimi daha uygundur.

1. Fiyat (TL)

Marka

1300

1200

1100

1000A B

Satış Sayısı

Marka

400

350

300 A B

Reklamını yaptığı A marka televiz-yon üreten bir şirket, başka bir rakip şirkete ait B marka televizyo-nu ile arasındaki farkı gösterebilmek için yanda verilen grafikleri kullan-mıştır.

Grafiklerin bu şekilde kullanılması ne gibi yanlış yorumlara neden olabilir?


Satış sayısının gösterildiği grafikte A marka televizyonunun satış miktarı, B marka tele-

vizyonun satış miktarının iki katı kadar gözükmektedir ve ayrıca fiyat grafiğine bakıldı-

ğında da A marka televizyonun satış fiyatının B marka televizyonunun satış fiyatının 31

i olduğu izlenimi verilmektedir.

İki grafik, fiyat anlamında en ucuz ve satış anlamında en çok satılan televizyonun, A

markası olduğu yorumunun yapılmasında birbirini destekler şekilde hazırlanmıştır.

Verilen grafikteki sayısal bilgilere bakıldığında ise bu yorumun bu derecede abartılacak

miktarlarda olmadığı görülmektedir.

87


2.

Grafik 1


Yıl

20

15

10

5

2006

2007

2008

2009

Grafik 2


Yıl

40

30

20

10

2006

2007

2008

2009

Yanda bir şirketin yıllara göre sattığı bir ürünün satış miktarla-rı iki farklı grafikte gösterilmiştir.

Bu iki grafikten hangisi yanlış yorumlara neden olabilir? Yanlış yoruma neden olan etken grafiklerdeki hangi farklılıktan kaynaklanmaktadır?

3. Grafik: Ehliyet alan sayısı

Yıl

Kişi Sayısı

KadınSayısı

ErkekSayısı

2016

2015

2014

20 40607090 100

Yandaki grafikte bir ile ait üç yıl boyunca ehliyet alan erkek ve kadın sayıları gösterilmiştir.

Buna göre, verilen bilgileri aynı çizgi grafiğinde gösteriniz.

Kişi sayısı

Erkek sayısı

Kadın sayısı

Yıl2014 2015 2016

1009080706050403020

Çizgi grafiklerinde dikkat edilirse satış miktarlarını gösteren eksendeki değerler 1. grafikte 5 er 5

er artarken, 2. grafikte 10 ar 10 ar artmaktadır.

Grafiklerde bilgilerin verildiği eksende veri aralığının farklı verilmesi grafiğin farklı yorumlanması-

na neden olabilir. Veri aralığının az olması, grafikteki iniş ve çıkışlar arasındaki farkın fazla olmasına

neden olmaktadır. Veri aralığının fazla olması ise grafikteki iniş ve çıkışlar arasındaki farkın az olma-

sına ve değerlerin birbirine yakın görünmesine neden olmaktadır.

Verilen örnekte 1. grafikteki satış miktarının gösterildiği eksende, veri aralığının az alınması, satış

miktarındaki artışın abartılı görünmesine neden olmaktadır. Bundan dolayı 1. grafik yanıltan grafiktir.

88


Ortalama

✽ Bir veri dizisindeki sayıların toplanıp veri sayısına bölünmesiyle aritmetik ortalama (ortala-

ma değer) bulunur.

1.

Günler

Harcanan Su (cm3)

108642

Grafik: Su Tüketimi

Pazartesi

Çarşam

ba

Perşem

beCumaSa

lı

Yandaki grafikte bir fabrikanın beş gün süresince harcadığı su miktarları verilmiştir.

Buna göre, günde ortalama kaç m3 su kullanıldığını bulunuz.

Kullanılan toplam su miktarı: 6 + 4 + 10 + 8 + 6 = 34 m3

Ortalama su kullanımı: 34 : 5 = 6,8 m3 olur.

2. Yıllar 2001 2002 2003 2004Satış Adedi 4200 4500 5000 3000

Tablo: Satış Dağılımı

Yukarıdaki tabloda bir firmanın yıllara göre yaptığı satış miktarları verilmiştir.

Buna göre, bu firmanın dört senede yaptığı ortalama satış miktarını bulunuz.

Toplam satış adedi: 4200 + 4500 + 5000 + 3000 = 16700

Ortalama değer: 16700 : 4 = 4175 olur.

3. Aritmetik ortalaması 120 olan 60 sayının herbiri 3 arttırıldığında ortalamanın kaç ola-cağını bulunuz.

Ortalaması alınan tüm sayılar 3 artırıldığında ortalama değer de 3 artar.

120 + 3 = 123 olur.

DİKKAT

Verilerin toplamı Veri sayısı

Ortalama=


89


4. Puan

KişiSayısı

252015105

1 2 3 4

Grafik: Yarışma Puanları Yandaki grafikte bir yarışmada alınan puanların kişi sayısına göre dağılımı verilmiştir.

Bu grafiğe göre, alınan puanların ortalamasını bulunuz.

Kişi sayısı ile aldıkları puanlar çarpılırsa toplam puanlar elde edilir.

1.15 + 2.10 + 3.25 + 4.20 = 15 + 20 + 75 + 80 = 190 puanKişi sayısı toplamı 1 + 2 + 3 + 4 = 10 kişi

Ortalama değer 190:10 = 19 olur.

5. a ve b sayılarının ortalaması 12; a, b, c, d, e sayılarının ortalaması 18 dir.

Buna göre c, d ve e sayılarının ortalamasını bulunuz.

a ve b nin ortalaması 12 ise toplamları 12.2 = 24 olur.

a, b, c, d ve e sayılarının ortalaması 18 ise toplamları

18.5 = 90 olur.

a + b = 24 ve 24 + c + d + e = 90 ise c + d + e = 66 olur.

c, d ve e sayılarının ortalaması, c + d + e3

= 663

= 22 dir.

DİKKAT

Bir veri grubundaki sayılar aynı miktar artırıldığında veya aynı miktarda azaltıldığında, ortalamadeğerde aynı miktarda artar veya azalır.

DİKKAT

Aritmetik ortalama çoğunlukla sayısal değerlerin birbirine yakın olduğu durumlarda ve gelecekle ilgili tahminlerde kullanılır.

90


Ortanca Değer (Medyan)

Büyüklük sırasına göre sıralanmış bir veri grubunda, verilen sayılardan ortadakine bu veri gru-

bunun ortanca değeri (medyan) denir.

Veri grubunda tek adet sayı varsa medyan ortadaki sayıdır. Veri grubunda çift adet sayı var-

sa medyan ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasıdır.

1. 2, 3, 5, 1, 3, 4, 5, 0, 4 sayı dizisinin ortanca değerini bulunuz.

2. 8, 9, 10, 12, 13, 15, 17, 18 sayı dizisinin ortanca değerini bulunuz.

8, 9, 10, 12, 13, 15, 17, 1814243 14243

12 + 132

= 252

= 12,5 ortanca değer

3. Yanda bir sınıfta alınan notların dağılımı verilmiştir.

Öğrencilerin aldığı notların oluşturduğu sayı dizisinin ortanca değerini bulunuz.

1 alan 2 kişi

2 alan 6 kişi

3 alan 2 kişi

4 alan 4 kişi

Buna göre, öğrencilerin aldıkları notlardan oluşan sayı dizisini yazalım.


Öğrenci Sayısı

6

4

2Not

1 2 3 4

0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 514243

↓ 14243

3 ortanca değer

14 tane sayı14444444244444443

1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4

Ortanca değer = 2 + 22

= 42

= 2 olur.

91


4. 2, 3, 5, 6, 8, k sıralanmış sayı dizisinin ortanca değeri ve ortalama değeri eşit olduğu-na göre k değerini bulunuz.

6 tane sayı1442443

2, 3, 5, 6, 8, k

Ortanca değer = 6 + 52

= 112

= 5,5 olur.

Ortanca değer ortalamaya eşit olduğuna göre,2+3+5+6+8+k

6 = 5,5

24 + k = 33

k = 9 olur.

5. 15, 25, 30, 30, 30 32, 33, 85, 80

Yukarıda bir apartmanda oturan insanların yaşlarının oluşturduğu sayı dizisi verilmiştir.

Bu sayı dizisinin ortanca değerini ve ortalamasını hesaplayalım. Hangisinin bu grubu daha iyi temsil edeceğini belirleyiniz.

Ortalama Değeri: 15+25+30+30+30+32+33+85+809

= 3609

= 40'dır

DİKKAT

Verilerde aşırı uçlu sayılar varsa ortanca, aritmetik ortalamaya göre daha güvenilirdir. Ortanca, veri grubundaki tüm sayılardan etkilenmez, veri sayısından etkilenir. Veri grubundaki en büyük ve en küçük değerler ortancayı etkilemez.

ise ortanca değer (medyan) 30’dur.15, 25, 30, 30 32, 33, 80, 8530

Gruptaki insanların çoğunluğu 30'lu yaşlarda olduğundan, grubun yaşlarını en iyi ortanca değer temsil edecektir.

92


1. 2, 4, 5, 3, 3, 5, 4, 3, 2, 4, 4 sayı dizisinin tepe değerini bulunuz.

En çok tekrar eden sayı 4 olduğu için sayı dizisinin tepe değeri 4'tür.

2. 1, 1, 2, 8, 10, 12, 2, 8, 15, 17 sayı dizisinin tepe değerini bulunuz.

En çok ve eşit sayıda tekrar eden sayılar 1, 2 ve 8 dir.

Tepe değeri; 1, 2 ve 8 dir.

Tepe Değer (Mod)

Bir veri grubundaki en çok tekrar eden veri ya da verilere o veri grubunun tepe değeri (modu)

denir.

Veri grubundaki sayılar tekrar etmiyorsa mod yoktur ve hesaplanamaz. Tepe değer bir veri

gurubunun en tipik özelliğinin belirlemesini sağlar.


DİKKAT

Bir veri grubunda ortanca tektir, fakat tepe değeri birden fazla olabilir. Hiç tekrar eden sayı yok-sa veri grubunun tepe değeri yoktur.

93


1. Sıcaklık (°C)

Günler

151413121110

Pazartesi

Salı

Çarşam

ba

Perşem

beCuma

Cuma

rtesi

Pazar

Yanda bir ile ait günlük sıcaklık değerleri veril-miştir.

Yedi günlük sıcaklık değerlerinin oluşturaca-ğı sayı grubunun ortalama, ortanca ve tepe değerini hesaplayınız.

2. Yanda Ahmet’in oynadığı beş basketbol maçının herbirinde Grafik: Basketbol maçlarında atılan basket sayılarının dağılımıAtılan Basket Sayısı

Maçlar

26

222018

1. ma

ç

2. ma

ç

3. ma

ç

4. ma

ç

5. ma

ç

attığı basket sayıları verilmiştir.

Atılan basket sayılarının oluşturduğu sayı dizisinin ortalama, ortanca ve tepe değerini hesaplayınız.

3. Bir sınıftaki öğrencilerin % 40'ı erkektir.

Erkeklerin yaş ortalaması 12 ve tüm sınıfın yaş ortalaması 18 olduğuna göre, bu sınıf-taki kızların yaş ortalaması kaçtır?Erkekleri 40, kızları 60 kişi düşünelim. Toplam 100 kişi olsun.

40 . 12 = 480

18 . 100 = 1800

1800 - 480 = 1320

1320 : 60 = 22 kızların yaş ortalaması

SIRA SENDE

Sayı grubumuzu sıralayarak yazarsak,

10, 11, 11, 12, 12, 13, 15 ortanca değeri 12 dir.

En çok tekrar eden sayılar 11 ve 12 olduğundan tepe değeri 11 ve 12 dir.

Ortalama = 847

= 12 dir.

20+22+20+26+18 = 106

106:5 = 21,2 ortalama değer

Basket sayılarını sıralayalım: 18, 20, 20, 22, 26123

↓ 123

ortanca değer

En fazla tekrar eden 20 olduğundan tepe değer 20'dir.

96


1. Yanda verilen daire grafiğinde, İstatistik Kurumu’nun yaptığı araştırmanın sonucunda ülkemizdeki toprakların kullanım alanla-rına göre dağılımı gösterilmiştir.

Buna göre, tarımın yapıldığı alanı temsil eden daire diliminin merkez açının ölçüsü kaç derecedir?

11 + 6 + 27 + 26 = %70

100 – 70 = %30 tarım360.30100

= 108°

2. Yandaki daire grafiğinde bir uçakta bulanan 400 yolcunun hangi ülke vatandaşı oldukları gösterilmiştir.

Buna göre, aşağıdaki soruları verilen bilgilere göre cevaplayalım.a. Uçakta bulunan Fransız yolcu sayısı kaçtır?

b. Uçakta bulunan Türk yolcuların sayısı Alman yolcuların sayısından kaç fazladır?

c. Alman yolcuların gösterildiği daire diliminin merkez açısı kaç derecedir?

a) Fransızlar 100 kişidir.

b) 150 - 100 = 50 kişi fazladır.

c) 90°


Grafik: Toprakların Dağılımı

?

%6

% 11

% 26

% 27Tarım

Orman

YerleşimAlanı

Çayır

Fransız

Türk

İtalyan%25Alman

14

45°

97


3. İngiliz, Alman ve İtalyanların bulunduğu bir turist kafilesinde 25 İngiliz, 30 Alman ve 5 İtalyan vardır.

Turist kafilesinin dağılımını gösteren daire grafiğinde, Alman turistleri temsil eden dai-re diliminin merkez açısının ölçüsünün kaç derece olduğunu bulunuz.25 + 30 + 5 = 60 turist

x360

= 3060

x = 180°

4. 48 kişilik bir topluluktaki kadın sayısı, dairesel grafikte 150° lik açıyla gösterildiğine göre, bu topluluktaki erkek sayısını bulunuz.

360° – 150° = 210° erkekleri gösteren açıx48

= 210°360° x = 28 erkek vardır.

KARMA SORULAR

Grafik: Okunan Gazeteler

C Gazetesi

A Gazetesi

B Gazetesi% 40

Yukarıdaki daire grafiğinde bir apartmanda okunan üç farklı gazetenin dağılımı verilmiştir.

B gazetesini okuyan 16 kişi olduğuna göre, C gazetesini okuyan kişi sayısı kaçtır?

A) 13 B) 14 C 16 D) 17

Futbol

Müzik48°

72°

144°

Resim

Masa Tenisi

Grafik: Okuldaki Etkinlikler

Yukarıdaki daire grafiğinde bir okuldaki öğrencilerin katıldığı etkinlikler verilmiştir.

Futbola 44 öğrenci katıldığına göre, okul-daki etkinliklere katılan öğrenci sayısı kaçtır?

165 kişi

98


1. Aşağıdaki tabloda Nisan ayı boyunca hava durumu verilmiştir.

Tablo : Hava Durumu

Gün Sayısı 9 15 6

Tabloda verilen bilgilere göre hava durumunun dağılımını gösteren daire grafiğini çiziniz. Daire dilimlerinin merkez açılarını hesaplayınız.

2. PizzaSosisli

Hamb

urger

Tost72°

80°108°

Grafik: Kantindeki Yiyecekler

Yandaki grafikte bir okulun kantininde bir gün içerisinde öğrencilerin yedikleri yiyeceklerin dağılımı verilmiştir.

Tost yiyen 27 öğrenci olduğuna göre, hamburger yiyen kaç öğren-ci vardır?

25 öğrenci

SIRA SENDE

Güneşli

72° 108°

180°

Parçalıbulutlu

Yağmurlu

99


1. Ali’nin bir günde çözdüğü soru sayısının derslere göre dağılımı aşağıdaki sıklık tablosunda gösterilmiştir.

Türkçe Matematik Sosyal BilgilerSoru Sayısı 50 80 70

Tabloda verilen bilgileri gösteren daire grafiğini, sütun grafiğini ve çizgi grafiğini oluş-turunuz.

2. Yandaki sütun grafiğinde bir dershanedeki haftalık ders saatlerinin branşlara göre dağılımı verilmiştir.

Buna göre, verilen bilgileri daire grafiği ile gösteriniz.


Grafik: Ders DağılımıDers Saati

Ders

864

Matema

tik

Türkçe

Sosyal

Bilgiler

Fen Bilgis

i

Verilere Uygun Grafikleri Gösterme ve Bu Gösterimler Arasında Dönüşüm Yapma

Bir günde çözülen soru sayısı, 50+80+70=200'dür.Türkçe’nin merkez açısının ölçüsü 360° 200 soru x 50 soru

°x dir200

36050 90= =· ·Aynı yöntemle diğer derslerin merkez açıların ölçüleri bulunursa, Matematik 144°Sosyal Bilgiler 126°Bulunan bilgilere göre oluşturulacak daire grafiği yanda-ki gibi olur.

Soru sayısı Soru sayısı

Grafik: Soru dağılımı Grafik: Soru dağılımıT TM MS SDers Ders

80706050

80706050

Grafik: Ders Dağılımı

Matematik

FenBilgisiSosyal

Bilgiler

60°

Türkçe120°

Türkçe

Sosyal Bilgiler

Matematik144°

126°

Grafik: Soru Dağılımı

100


3. Aşağıdaki tabloda beş öğrencinin matematik sınavından aldıkları notlar verilmiştir.

Ali Can Sedef Alara MehmetNot 70 80 85 90 75

Tabloda verilen bilgileri sütun grafiği ile gösteriniz.

4. Yandaki grafik Betül’ün altı sınavındaki matematik netle-rini göstermektedir. Verilen bilgileri sütun grafiğinde ifa-de edip, ne amaçla hangi grafiğin kullanılması gerektiğini arkadaşlarınızla tartışın.

Betül’ün sınavlardaki genel gidişinin takip edilmesi, çizgi grafiği ile daha rahattır. Sınavların kendi arasında karşı-laştırılmasında ise sütun grafiği daha açıklayıcı olacaktır. LGS

Sınavlar

Net

1412108642

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Grafik: Matematik Netleri

Sütun grafiğinde de çizgi grafiğinde olduğu gibi yatay ve dikey eksenler kullanılır. Eksenlerde gösteri-len bilgilerin anlaşılır olması için eksenlere ve grafiğe isim verilir.

DİKKAT

Çizgi grafikleri ile bir değişkenin zaman içindeki değişimini (artma-azalma) daha kolay anlarız.

DİKKAT

Sütun grafiği birden fazla bilginin karşılaştırılmasında kullanılan en etkili grafik türüdür.

DİKKAT

LGS Sınavları

Grafik : Matematik NetleriNet

1412108642

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Grafik: Matematik NotlarıAlınan Not

Öğrenci

90

80

70

60

Ali CanSe

defAla

ra

Mehm

et

KARMA SORULAR

101


1. 10 tane sayının aritmetik ortalaması 18'dir.

Bu gruba ortalaması 12 olan iki sayı daha eklendiğinde yeni ortalamanın kaç olduğunu bulunuz.

10.18 = 180 (10 sayının toplamı)12.2 = 24 (eklenen 2 sayının toplamı)180+24 = 204 (12 sayının toplamı)204:12 = 17 yeni ortalama

2.

24, 24, 30, 41, 42, 24, 40, 42, 43, 40, 30, 42, 25, 26

Yukarıda bir ayakkabı satıcısının bir günde sat-tığı ayakkabıların numaraları verilmiştir.

Ayakkabı numaralarının oluşturacağı grubun ortanca ve tepe değerini hesaplayınız.

3. 1, 2, 2, 3, 3, 4, 10, 10, 12, 12, 12, 15, 17, 20, 45Yukarıda, işi için devamlı şehir dışına çıkan Alara Hanım’ın bir ay boyunca seyahat ettiği otobüs-lerde oturduğu koltuk numaraları verilmiştir.

Koltuk numaralarının oluşturacağı sayı dizisi-nin tepe değerini hesaplayınız.

En fazla tekrar eden sayı 12 olduğundan tepe değeri 12'dir.

1. 12 kişinin bulunduğu bir topluluğun yaş ortala-ması 20'dir.

Gruptan 14 ve 16 yaşlarında iki kişi ayrıldı-ğına göre, geriye kalan kişilerin yaş ortala-ması kaç olur?

A) 19 B) 20 C) 21 D) 22

2. 5, 6, 7, 8, x, 10, 12, 15 sıralanmış sayı dizisinin tepe değeri ve ortanca değeri eşit olduğuna göre, x kaçtır?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10

3.

Tost

Hamburger

Sandviç

Karışık

Tablo: Satılan Yiyecekler

Yanda bir okul kantininde satılan yiyeceklerin miktarları verilmiştir.

Buna göre, satılan yiyeceklerin oluşturduğu veri grubunun tepe değeri hangi yiyecektir?

A) Tost B) HamburgerC) Sandviç D) Karışık

Ayakkabı numaraları sıralanırsa 14 sayı144444444424444444443

24, 24, 24, 25, 26, 30, 30, 40, 40, 41, 42, 42, 42, 43

Ortanca değer = 30+40

2 = 35 olur.

En çok tekrar eden sayı 42 ve 24 olduğundan tepe değeri 42 ve 24 tür.

102


1. Tablo: Yıllara Göre Göç Sayısı

2012 2013 2014 2015 2016 2017Göç Eden Kuş Miktarı 6000 5800 5500 5600 4000 3100

Yukarıdaki tabloda sulak bir alana her yıl göç eden kuşların sayıları verilmiştir.

Bu tabloya ait çizgi ve sütun grafiklerini oluşturunuz.

2. Yandaki grafikte lise öğrencilerinin tercih edecekleri mes-lek grupları verilmiştir. 70 öğrenci mühendis olmak istiyor.

Bu daire grafiğinden yararlanarak sıklık tablosu ve sütun grafiğini oluşturunuz.

A: DoktorB: AvukatC: ÖğretmenD: Mühendis

A

CD

B% 3036°

41

Grafik: Meslek Seçimi

SIRA SENDE

Kuş sayısı

Grafik: Göç eden kuşlar2012 2013 2014 2015 2016 2017

Yıl3100

4000

5500560058006000

Kuş sayısı

Grafik: Göç eden kuşlar2012 2013 2014 2015 2016 2017

Yıl3100

4000

5500560058006000

Öğrenci sayısı

Grafik: Meslek seçimiDoktor Avukat Öğretmen Mühendis

20

506070

Tablo: Meslek seçimiDoktor Avukat Öğretmen Mühendis

Öğrenci sayısı 60 20 50 70


103

CİSİMLERİN FARKLI YÖNLERDEN GÖRÜNÜMLERİ

sol

sağ

ön

Yandaki birim küplerle oluşturulmuş yapıda kaç tane birimküp kulla-nıldığını bulup, şeklin önden, arkadan, sağdan, soldan ve üstten görünüşlerini çizelim.

6 birimküp kullanılmıştır.

Önden Arkadan Sağdan Soldan Üstten

1. Üst

Sol

Sağ

Ön

Yanda verilen birim küplerden oluşmuş cismin belirtilen yönlerden görünümünü çiziniz.

Üst Sol Ön Sağ

ÖRNEK

• Bir geometrik cismin herhangi bir yönden görünümü çizilirken derinliğe bakılmadan tüm görünen yüz, iki boyutlu sayfa düzlemine geçirilir.

• Cisimlerin önden görüntüsü ile arkadan görüntüsü, sağdan görüntüsü ile soldan görüntüsü birbirinin simetriğidir.

DİKKAT


Üç Boyutlu Cisimlerin Farklı Yönlerden İki Boyutlu Görünümlerini Çizme

104


2. Üst

Sağ

Sol

Ön

Birim küpler yanyana getirilerek yandaki yapı oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan yapının tüm yönlerden görünümlerini çizi-niz.

Önden görünüm Arkadan görünüm Sağdan görünüm Soldan görünüm Üstten görünüm

3. Üst

Sağ

Sol

Ön

Yandaki eş küplerden oluşmuş yapıya önden, arkadan, sağdan, soldan ve üstten baktığımızda oluşan görüntüleri çiziniz.


105


4.

önsağ

sol

üst Yanda verilen yapının önden, arkadan, sağdan, soldan ve üstten görünümlerini kareli zemin üzerinde çiziniz.


5.

Koni Silindir Küre

Yukarıdaki koni, silindir ve kürenin üstten ve önden görünümlerini kareli kâğıda çiziniz.

Üsttengörünüm

Koni Silindir Küre

Öndengörünüm

106


1. Yanda verilen yapının önden, arkadan, sağdan, soldan ve yuka-rıdan görünümlerini kareli zemin üzerinde çiziniz.

2.

★ ★

★

★ ★

★

★ ★

★

ÖnSağ

Yanda verilen yapının önden, arkadan, sağdan, soldan ve yukarıdan görünümlerini kareli zemin üzerinde çiziniz.

önsağ

SIRA SENDE

★ ★ ★

★ ★ ★

★ ★ ★



107


3. Aşağıda verilen birim küplerden oluşmuş cisimlerin sağdan görünümlerini çiziniz. Fark-lı olanı belirleyiniz.

SağSağ Sağ

4. Yanda verilen yapının üstten ve önden görünümlerini kareli zemin üzerinde çiziniz.

Önden görünüm Üstten görünüm

✗

109


1. 3

1 2

1

Üstten görünümü verilen ve o sütunun kaç küpten oluştuğu verilmiş olan yapı-yı izometrik kâğıda çiziniz.

2. Değişik yönlerden görüntüsü verilen yapıyı izometrik kâğıda çiziniz.


SoldanSağdan

ÜsttenÖnden

İZOMETRİK KÂĞIT

Önce birim küplerle bu yapıyı oluşturalım.

Üstten görünümde üzerindeki rakamlar, yapı-da yukarıdan aşağıya doğru çizilmiş küp sayısı-nı gösterir.

Şimdi bu yapıyı izometrik kağıda çizelim.

önsağ

KARMA SORULAR

110


1.

SolÖn

Yandaki şeklin soldan görünüşünü çiziniz.

2.

Sağ

Ön

Üst

Şekilde birbirine eş küplerden oluşan bir yapı verilmiştir.

Buna göre geometrik cismin önden, sağdan ve üstten görünüşlerini çiziniz.

1. Aşağıdaki cisimlerin hangisinin önden görü-nümü diğerlerinden farklıdır?

A) B)

C) D)

2.

Önden Sağdan Üstten

Yukarıda farklı yönlerden görünüşleri verilen yapı aşağıdakilerden hangisidir?

A)

Ön Sağ

B)

SağÖn

C)

SağÖn

D)

SağÖn

önden sağdan üstten

111


1. Bir yapının üstten görünümü ve yapıyı oluşturmak için kullanılan küp sayıları verilmiştir.

Bu yapıyı aşağıdaki izometrik kâğıda çiziniz.

İZOMETRİK KÂĞIT

3112

2. Üst

Sağ

1

2 56

3 4

11 tane birim küpten oluşan yandaki şekilde hangi parçalar çıkarılırsa, yapının üstten ve sağdan görünümü değişmez?

5, 6 veya 2, 6

3. Yandaki şeklin oluşturulmasında kaç tane eş küp kullanılmış-tır?

20

SIRA SENDE

doşrular ve aÇilar...7 temat˜k 5.Üşte doşrular ve aÇilar 3 1. aşağıdaki kareli...

Documents