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Stage ingénieur Maître de stage : D. GARCÍA MASIÁ.C Stagiaire : M. CERESA.P
DDOOSSSSII EERR AANNNNEEXXEE
Projet d’étude :
«« EEttuuddee cciinnéémmaatt iiqquuee eett ddyynnaammiiqquuee dd’’ uunn aaxxee ddee tt rr aannssmmiissssiioonn dd’’ eennggrr eennaaggee ccyyll iinnddrr iiqquuee àà ddeennttuurr ee ddrr ooii ttee »»
Université Polytechnique de Cartagena Année 2004 - 2005
Elève Ingénieur Productique 3ème année
Université de Savoie
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
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I. CONTENU THEORIQUE DE L’ETUDE 3
A. SOLIDE INDEFORMABLE 3 a) Axe de transmission (Modélisation, Montage) 3 b) Roulements (Modélisation, Montage) 4 c) Engrenage (Modélisation, Montage) 7 d) Engrenage (Etude cinématique) 11 e) Engrenage (Etude dynamique) 15 B. SOLIDE DEFORMABLE 18 1. ETUDE STATIQUE 18 a) Arbre de transmission (étude des contraintes) 18 b) Arbre de transmission (étude des déformations) 26 2. ETUDE DYNAMIQUE 30 a) Arbre de transmission 30 3. ETUDE VIBRATOIRE 32 a) Arbre de transmission (analyse modale) 32 b) Arbre de transmission (analyse harmonique) 33
II. ETUDE DETAILLEE 34
A. SOLIDE INDEFORMABLE 35 a) Engrenage (dimensionnement) 35 b) Engrenage (étude dynamique) 36 c) Roulements (dimensionnement) 37 B. SOLIDE DEFORMABLE 38 1. ETUDE STATIQUE 38 a) Arbre de transmission (étude des contraintes) 38 b) Arbre de transmission (étude des déformations) 50 2. ETUDE DYNAMIQUE 59 a) Arbre de transmission 59 b) Choix des roulements 62
III. CONCENTRATION DE CONTRAINTES 63
IV. COEFFICIENT DE SENSIBILITE « Q » 71
V. GRAPHIQUES DE L’ANALYSE HARMONIQUE 72
VI. TUTORIAL (EX. POUR « SOLIDWORKS ») 75
VII. ARTICLE 76
VIII. REFERENCES 77
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II.. CCoonntteennuu tthhééoorr iiqquuee ddee ll ’’ééttuuddee
AA.. SSooll iiddee iinnddééffoorrmmaabbllee
aa)) AAxxee ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((MMooddééll iissaattiioonn,, MMoonnttaaggee))
Axe ou arbre ?
- un axe est un élément de machine qui sert à supporter d’autres éléments de
machine qui seront soumis à un mouvement de rotation, telles que les poulies. Les
axes peuvent être immobiles vis-à-vis des éléments qu’ils supportent ou alors être
solidaire de ces derniers et tourner avec eux, mais jamais ne transmettent de
puissance due à un couple de torsion.
- Un arbre est également un élément de machine qui tourne solidairement avec les
éléments de machine qu’il supporte (les engrenages par exemple), mais à la
différence des axes, il transmet de la puissance.
Dans notre cas d’étude, il s’agit donc d’un arbre de transmission. Parmi les arbres, nous
pouvons distinguer trois grands groupes, dont celui des arbres droits, le quel va retenir notre
attention. Les arbres droits présentent une symétrie axiale (propre axe de rotation) et
constituent le type d’arbre le plus utilisé.
Utilisant un arbre droit pour réaliser notre transmission d’engrenage, il nous faut maintenant
définir la solution envisageable pour transmettre la puissance (liaison roue/arbre).
Dans certain cas, les éléments rotatifs sont intégrés directement sur l’arbre (par exemple, les
roues dentées de faible diamètre qui directement usinée sur le corps de l’arbre), cependant, de
manière générale, ces éléments rapportés sont fabriqués séparément et sont ensuite montés sur
les arbres. L’union entre l’élément rotatif et l’arbre peut être classifié selon eux groupes
fondamentaux :
- Union par frottement
- Union par « forme » (ou par obstacle)
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Nous allons nous concentrer sur l’union par « forme ». Dans ce cas, la transmission du couple
est assurée à l’aide d’une pièce spéciale, telle que la clavette, ou pour la forme des sections
des pièces à unir (par exemple les cannelures). Ce dernier cas est utilisé lorsque la valeur du
moment de torsion à transmettre est élevée.
Les unions les plus courants, dus à leur simplicité et sécurité de construction, facilité de
montage et démontage de l’ensemble, coûts très faibles sont ceux réalisés au moyen de
clavettes. Dans cette catégorie d’élément, il existe différents types de clavettes (de section
carrée, de section rectangulaire, de disque, …) répondant à différentes nécessités de
conception.
Dans notre cas, nous utiliserons une des plus fréquemment utilisée, celle de section
rectangulaire avec les extrémités arrondies.
Le problème de la transmission étant résolu, il faut penser a l’union entre les arbres, c'est-à-
dire entre l’arbre de transmission (porteur du pignon) et l’arbre moteur. On parle alors
d’accouplement, et dans ce cas, d’ « accouplement permanent ». Parmi ces accouplements
permanents, deux groupes se distinguent :
- Accouplements rigides
- Accouplements flexibles
L’application des accouplements rigides est limitée à des cas peu courants, où les arbres sont
colinéaires avec un très bon alignement. Dans le cas d’un défaut d’alignement ou de
colinéarité, ce type l’accouplement génère au niveau de la liaison, des arbres et de leurs
appuis des efforts supplémentaires qui peuvent entraîner la rupture prématurée du système.
Les problèmes générés par un faible désalignement entre les arbres peuvent s’éliminer (ou
mieux dit « corrigés ») en utilisant un accouplement flexible. Ce type d’accouplement permet
également de réduire les efforts négatifs de variation brusque des couples de torsion (et
vibration) qui pourraient être transférés entres les arbres accouplés. Pour notre étude, le choix
va se faire pour un accouplement flexible.
bb)) RRoouulleemmeennttss ((MMooddééll iissaattiioonn,, MMoonnttaaggee))
Dans notre cas, il n’est pas de notre ressort de faire une étude cinématique ou quelques autres
études que ce soit concernant les roulements.
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Nous sommes dans le cas de réaliser un montage ayant des caractéristiques précises
auxquelles nous devons satisfaire, ainsi nous allons définir la méthode ou expliquer comment
choisir le type de roulement nécessaire à notre étude.
A chaque type de roulement correspondent des propriétés et caractéristiques qui en font un
type adéquat ou non pour l’application donnée. Néanmoins, il n’est pas possible d’établir une
règle fixe pour le choix du type de roulement.
Dans de nombreux cas, les dimensions principales du roulement, notamment celle du
diamètre intérieur, sont déterminées par les caractéristiques de conception de la machine ou
du montage pour lequel il est destiné.
Par exemple, normalement nous utiliserons des roulements à billes pour axes de petits
diamètres, alors que pour des plus gros diamètres nous préfèrerons des roulements à aiguilles.
La détermination d’un type de roulement se fait surtout en fonction de l’application que l’on
va en faire, c'est-à-dire en fonction des charges qu’il devra supporter, ainsi que des conditions
de durées de vie et de fiabilité espérées (ou plus généralement imposées par le cahier des
charges). Ce qui, dans notre cas, est défini de façon implicite.
En effet, nous parlons d’une transmission d’engrenage, ainsi, prenant comme référence
l’expérience du fabriquant de roulement « SKF » [réf.1], nous pouvons observer que nous
nécessitons un roulement ayant une durée de vie appartenant à l’intervalle défini ci-après :
[10000 - 25000] en heures
Photo.1
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Dans un second temps, de relativement petites dimensions et soumis à des charges de faibles
intensités, notre montage nous incite à choisir des roulements à une rangée de billes.
Caractéristiques des roulements à une rangée de billes :
Ils peuvent supporter des charges axiales et radiales, de plus ils sont très appropriés dans le
cas d’un nombre de révolutions élevé. Pour ces raisons et du à son prix économique, les
roulements à billes sont les plus utilisés de tous les roulements.
C’est donc sur un roulement à une rangée de billes et ayant une durée de vie comprise dans
l’intervalle [10000 – 25000 [heures]] que notre choix s’est fait. Utilisant la formule de calcul
de durée de vie du roulement (étudiée ultérieurement) et après avoir réalisé l’étude structurale
de l’arbre de transmission, nous pourrons définir les dimensions du roulement choisi.
Tableau.1
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cc)) EEnnggrreennaaggee ((MMooddééll iissaattiioonn,, MMoonnttaaggee))
Taillage des roues cylindriques [réf.2] : Il existe deux méthodes de taillage des roues cylindriques :
- Taillage par fraise de forme
- Taillage par génération (de loin, le plus répandu)
Tableau.2
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Taillage par fraise de forme Ces fraises sont à profil constant dans tous les plans d’affûtage passant par l’axe. Dans le cas
d’une denture droite, ce profil est identique à celui de l’entre dents de la roue taillée. Les
fraises disques ne sont utilisées actuellement que sous la forme d’outils à très grande
productivité, avec lames en carbure (Photo.2), avec performance sans commune mesure
comparée aux anciennes fraises en acier rapide. Ainsi, elles permettent, par exemple, le
taillage ébauche des roues de grand diamètre et gros module, dans un temps très intéressant, le
taillage finition par fraise mère ou outil crémaillère introduisant la qualité de denture
suffisante. Les machines à tailler sont évidemment très simple.
Taillage par génération Nous distinguerons trois principaux procédés :
- taillage par outil crémaillère
- taillage par fraise mère
- taillage par outil pignon
Taillage par outil crémaillère Les outils crémaillères se présentent sous la forme d’une partie de crémaillère à dents
détalonnées, les arêtes tranchantes étant aménagées par un affûtage variant suivant le type et
le module de l’outil.
Durant le mouvement de coupe, il y a un mortaisage dirigé parallèlement à l’axe ou
obliquement par rapport à cet axe, selon que la denture taillée est droite ou hélicoïdale
(Photo.3), les arêtes tranchantes enveloppe la crémaillère équivalente de l’outil.
Le mouvement de génération consiste à faire rouler sans glisser le cylindre primitif de
génération de la roue taillée sur le plan primitif correspondant de la crémaillère équivalente
(Photo.4).
denture droite 0.mzd = eq. I.1
Photo.2
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Taillage par fraise mère Elle apparaît sous l’aspect d’une vis sans fin entaillée suivant un certain nombre de gorges
longitudinales de façon à aménager des arêtes tranchantes (Photo.5).
Nous appellerons « vis équivalente à la fraise » la vis qui contient toutes les arêtes tranchantes
(au cours des différents affûtages, cette vis équivalente diminue en diamètre). Cette vis forme
avec la roue taillée, un engrenage gauche hélicoïdal.
Relation normale entre la vitesse angulaire :
0
0
z
z
w
w = eq. I.2
Photo.3
Photo.4
Photo.5
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tailléeroueladedentsdenombrez
fraiseladefiletsdenombrez
droitedentureàroueunedangulairevitessew
fraiseulairedelavitesseangw
====
0
0
'
Avec (Photo.6) Taillage par outil pignon L’outil pignon se présente sous l’aspect d’une roue dentée cylindrique. Comme pour les
autres types d’outils, une opération de détalonnage est nécessaire pour obtenir des conditions
de coupe normales.
Les arêtes actives sont les intersections de la surface de détalonnage avec la surface
d’affûtage. Le mouvement de coupe est un simple mortaisage. Les arêtes actives enveloppent
la roue équivalente à l’outil. Celle-ci est une roue à denture droite comme l’illustre la Photo.7,
dans le cas d’un mortaisage rectiligne.
Photo.6
Photo.7
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dd)) EEnnggrreennaaggee ((EEttuuddee cciinnéémmaattiiqquuee))
Génération de l’engrenage Dans la partie qui suit vont être développés les fondamentaux théoriques nécessaires à la
génération des superficies des dents d’un engrenage cylindrique à denture droite.
L’action conjuguée entre les superficies en contact linéaire et la génération de celles-ci au
moyen de la superficie d’un outil (crémaillère, disque, fraise, etc.) est basée sur le concept de
développante d’une famille de superficie.
Nous nommerons la superficie générée (2Σ ) et génératrice (1Σ ).
1ère étape :
La détermination de la superficie 2Σ à partir de la superficie 1Σ requière l’utilisation des
systèmes de coordonnées fSSS ,, 21 (fig.1) solidement connectés à1Σ , 2Σ et à la carcasse de
la transmission où sont montés respectivement les axes de rotation de 1Σ et 2Σ .
Avec I, centre instantané de rotation (CIR) Concernant les trois systèmes de coordonnées, nous pouvons définir 1S comme étant le repère
fixe de la crémaillère (par exemple), 2S celui de la roue dentée (pignon ou roue) et enfin fS
celui du point de rencontre entre les deux systèmes précédents.
Le profil de la crémaillère peut-être représenté de la façon suivante (fig.2)
x1
x2
xf
y1
y2
yf
r
φrS=
φ
2,OO f
1O I
fig.1
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Avec les équations suivantes :
αα
cos
sin
1
1
×=×=
uy
ux
Dans ce cas, nous avons alors « α » qui représente l’angle de pression, « u » est un paramètre
variable qui détermine la localisation instantanée du point situé sur le profil de la crémaillère
(avec u>0 pour le point M et u<0 pour le point M’).
Le déplacement « S » de la crémaillère et l’angle de rotation « φ » de l’engrenage sont mis
en relation par l’équation suivante :
φrS= Le problème, ou mieux dit, l’objectif va être de dériver l’équation d’engrènement :
( ) 0, =φuf En utilisant deux approches, considérant que :
- La normale au profil de la génératrice (crémaillère) au niveau du point de contact
doit passer par le centre instantané de rotation « I ».
- Le point instantané de contact est déterminé par l’équation :
( ) 01211 =⋅vN
Dans laquelle 1N est la normale au profil de la génératrice et ( )121v le glisseur (vecteur
vitesse). Les deux vecteurs sont représentés dans1S .
1ère approche :
Nous considérons les équations :
011
1111 =−
−−
yx N
yY
N
xX
où φrX =1 et 01 =Y et sont les coordonnées de I (CIR) représenté dans1S .
M
M’
x1
y1
1O
α
fig.2
eq. I.3
eq. I.4
eq. I.5
eq. I.6
eq. I.7
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[ ]TkTN 0sincos111 αα −=×=
où 1T et 1N sont la tangente et la normale au profil de la génératrice et 1k est le vecteur
unitaire de l’axe 1z .
De ces trois dernières équations, nous obtenons l’expression suivante pour l’équation
d’engrènement :
( ) 0sin, =−= αφφ ruuf 2ème approche :
Le vecteur glissant ( )121v est représenté par l’équation :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
−−
⋅
−⋅
−=×+×−−=−=
00
sin
cos
0
0111112
11
112
1 φαα
wr
wr
wu
wurw
wRrwrwivvv
( ) ( )
+−=0
sin
cos12
1 φαα
ruw
wu
v avec [ ]01 rrR −= φ qui représente le point 2O définit
dans 1S D’après les équations eq.4, eq.7 et eq.9 nous obtenons la même expression que précédemment
pour définir l’équation d’engrènement, soit l’équation :
( ) 0sin, =−= αφφ ruuf
2ème étape :
Avec les conditions de la première étape, nous dérivons les équations de ligne d’action dans
l’engrènement de la crémaillère et de l’engrenage généré.
Cette ligne d’action est représentée par les équations suivantes :
11rMr ff ×= avec
1fM la matrice de passage de 1S à fS
( ) 0sin, =−= αφφ ruuf
Nous obtenons alors :
0sin
cos
sin
=−
+=
−=
αφα
φα
ru
ruy
rux
f
f
et après modification nous nous retrouvons avec les deux équations suivantes :
eq. I.8
eq. I.9
eq. I.10
eq. I.11
eq. I.13 eq. I.12
eq. I.14
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ααφαφ
cossin
cos2
rry
rx
f
f
+=
−=
La ligne d’action LK (fig.3) est une ligne passant par I (CIR) et qui forme un angle « απ − »
avec l’axe « fx ». Les points appartenant au segment [IK] correspondent à l’inéquation 0≥φ
et ceux appartenant à [IL] à l’inéquation 0≤φ .
3ème étape :
Toujours avec les même conditions initiales vues dans la première étape, nous dérivons les
équations du profil de dent de l’engrenage généré. Le profil de dent de l’engrenage généré est
alors représenté par les équations suivantes :
( ) 0sin,1121212
=−=
××=×=
αφφ ruuf
rMMrMr ff
avec
( )( )
+−+−
=100
cossincossin
sincossincos
21 φφφφφφφφφφ
r
r
M
fy
απ −
α
r
I
K
L
fx fO
fig.3
eq. I.15
eq. I.16
eq. I.17
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La matrice de passage de 1S à 2S (combinaison d’une rotation et d’une translation) est donc
définie par la matrice vue ci-dessus.
Utilisant cette matrice ainsi que les deux premières équations, nous obtenons les expressions
suivantes :
( ) ( )( ) ( )
0sin
sincoscos
cossinsin
2
2
=−+++=
−++=
αφφφφαφφφφαφ
ru
ruy
rux
Ces équations représentent le profil généré (plan bombé). Cependant dans ce cas particulier,
comme l’équation d’engrènement est linéaire (en relation avec le paramètre « u »), il est
possible d’éliminer ce paramètre des équations et ainsi de ne représenter le profil généré
qu’au moyen d’équations à un seul paramètre de la forme suivante :
( )( )αφαφφ
αφαφφ++=+−=
sincoscos
coscossin
2
2
rry
rrx
Ces deux expressions représentent le profil des dents de l’engrenage généré.
ee)) EEnnggrreennaaggee ((EEttuuddee ddyynnaammiiqquuee))
Cette étude va nous permettre de déterminer les efforts générés dans le cas d’une transmission
d’engrenage cylindrique à denture droite.
Dans tout engrenage, il se traite de transmettre une puissance 1W , qui est générée par un
couple 1M sur l’arbre qui tourne avec une vitesse de rotation 1w , à un autre arbre ayant, quant
à lui, une vitesse de rotation 2w . Le couple 2M obtenu sur cet arbre grâce à la transmission
(par engrenage), générera la puissance en fonction de la relation suivante :
222 wMW ×=
11
22
1
2
wM
wM
W
W
××
==η
où l’équation « eq.21 » représente le rendement de l’engrenage. Considérant un engrenage
cylindrique à denture droite, supposons la roue 1 conductrice et la roue 2 menée, assurant le
contact au point A.
eq. I.18
eq. I.19
eq. I.20
eq. I.21
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L’effort exercé par la roue 1 sur la roue 2 est composé d’un effort normal N et d’un effort
tangentiel N⋅µ opposé au glissement. En conséquence, il s’agit d’un effort global « P » qui
forme un angle ϕ avec la ligne de pression (ligne d’action).
D’après la figure (Photo.8), le couple moteur 1M sera naturellement :
ATNNM 111 ⋅−= µρ Sachant également : αρ cos11 ×= R λα −=−= sin111 RABBTAT En intégrant ces deux dernières équations (eq.23 & eq.24) dans l’équation « eq.22 », nous
obtenons l’écriture suivante :
( )λαµα −−⋅= sincos 111 RNRNM Le couple résistant 2M reprend l’écriture trouvée pour 1M (avec un changement de signe):
222 ATNNM ⋅−= µρ λα
αρ+=
=sin
cos
22
22
RAT
R
De la même façon que précédemment, nous obtenons une nouvelle écriture pour 2M
correspondant à celle de1M , qui est la suivante :
eq. I.22
eq. I.23 eq. I.24
eq .I.25
eq. I.26 eq. I.27
Photo.8
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( )λαµα +−= sincos 222 RNNRM
Les puissances respectives peuvent alors s’exprimer :
( )[ ]( ) 111111
111111
sincos
sincos
wNwNRwMW
wRNNRwMW
λµαµαλαµα
+−=×=⋅−−=×=
et ( ) 222222 sincos wNwNRwMW λµαµα −−=×= Ainsi si nous reprenons l’équation définissant le rendement de l’engrenage, nous obtiendrons :
( )( ) 111
222
1
2
sincos
sincos
wNwNR
wNwNR
W
W
λµαµαλµαµαη
−−−−
==
D’après l’étude cinématique, nous savons que 1122 RwRw = , donc si nous reprenons l’écriture
précédente, nous obtenons :
( )
( )
( )
( )1
2
1
2
sincos
sincos
sincos
sincos
R
R
R
Rλϕϕα
λϕϕα
λµαµα
λµαµαη
×++
×−+=
+−
−−=
( )
( )1
2
cos
cos
R
Rλµϕα
λµϕαη
++
−+≈ prenant en compte que µϕϕ == tgsin
A mesure que l’engrènement va en s’approchant du point B, λ diminue et le rendement « η »
augmente. Quand le contact est au point B, nous obtenons les conditions suivantes :
0=λ et 1=η .
A partir de B et jusqu’au point E ; le rendement recommence à diminuer jusqu’à atteindre un
minimum au dernier point d’engrènement, ce qui nous indique le besoin d’atteindre des
valeurs excessivement importantes pourλ .
Le rendement est donc variable durant l’engrènement, pour cela, dans la pratique, nous
adoptons des valeurs moyennes. Le rendement total oscille entre 0,95 et 0,98 et, quelquefois,
peut atteindre la valeur de 0,99 dans le cas de superficies parfaitement rectifiées et lubrifiées.
eq. I.28
eq. I.29
eq. I.30
eq. I.31
eq. I.32
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Etant donnée la très faible ampleur des pertes, on considère pour l’étude de la transmission
des efforts, que l’effort d’une roue sur l’autre se réduit à la composante normaleN , réagissant
sur la ligne de pression (ligne d’action). Ce qui revient à supposer :
21 WW = et 2211 wMwM ×=× d’où nous déduisons la valeur deN :
αρ cos111 NRNM == On peut alors reprendre la forceN et la décomposée selon deux directions, la première,
tangente au cercle primitif :
1
1cosR
MNT == α
la seconde, radiale, de valeur :
αα tgR
MNR
1
1sin ==
BB.. SSooll iiddee ddééffoorrmmaabbllee
11.. EEttuuddee ssttaattiiqquuee
aa)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((ééttuuddee ddeess ccoonnttrraaiinntteess))
Dans la partie de l’étude du solide indéformable, dans le cas de l’étude dynamique, nous
avons défini la nature et la valeur des efforts générés au niveau du contact des dents de la
transmission d’engrenage. Ainsi, à partir de ces résultats, nous pouvons commencer notre
étude d’analyse de contraintes sur l’arbre de transmission.
Exemple d’arbre de transmission :
eq. I.33
eq. I.34
eq. I.35
d D
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Nous allons réaliser l’étude statique de cet arbre et calculer les efforts au niveau des appuis,
en prenant en compte les efforts « T » et « R », conséquence de la transmission d’engrenage,
et exprimés par les équations « eq. I.34 » et « eq. I.35 ». Nous prendrons également en compte
la présence du couple de torsion transmis par le moteur à l’arbre de transmission « xC »
NB : Les dimensions d’arbre de transmission et de roues d’engrenages peuvent varier d’un
montage à l’autre. Dans ce cas, il faudrait réaliser cette analyse autant de fois qu’il y a de
diamètres distincts formant l’engrenage. Ceci parce que le diamètre changeant et connaissant
la relation 2211 wMwM ⋅=⋅ , la valeur du couple transmis sera différente d’un arbre à
l’autre.
Ayant représenté les forces présentent sur le montage, avec d’une part les différents appuis
générant des efforts de réaction et d’autre part connaissant les dimensions du système, nous
pouvons effectuer le calculs des efforts. Nous allons nous appuyer sur le principe fondamental
de la dynamique (PFD), dont nous obtenons les équations suivantes :
∑∑
Ι=
Γ=
θ&&EXTF
EXT
M
mF
y
x
x
z
r
a a
A
A
O
O B
B Ay
Ax XC
By
Bx
Bx Ax
Az Bz
T
R
eq. I.36
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Dans le cas de l’étude statique, nous nous trouvons dans le cas particulier où les accélérations
sont nulles, ce qui revient à utiliser les équations suivantes :
∑∑
=
=
0
0
EXTF
EXT
M
F
Dans le cas de l’exemple traité (transmission d’engrenages cylindriques à denture droite),
l’équilibre nous donne les équations suivantes :
∑ EXTF :
=++=++
=+
0:'
0:'
0:'
TzzZaxelsur
RyyYaxelsur
xxXaxelsur
BA
BA
BA
∑ EXTFM :
=×+×=×−×−
=×−
02:)('
02:)('
0:)('
ayaRAenZaxeldeautour
azaTAenYaxeldeautour
rTCOenXaxeldeautour
B
B
X
De ces expressions, nous obtenons les résultats suivants :
0== BA xx 2
Ryy BA −==
2
Tzz BA −==
Connaissant les efforts présents sur l’arbre de transmission, nous réalisons les diagrammes des
efforts et des moments :
eq. I.37
A B
tM
[ ]mmN.
XC
y
x
Moment de torsion selon l’axe x
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Connaissant les efforts présents sur l’arbre de transmission (avec leur valeur respective), les
moments fléchissant et le moment de torsion, nous pouvons commencer à réaliser le calcul
des contraintes, dans le but de réaliser un prédimensionnement de l’arbre.
Ce calcul va se faire en fonction des caractéristiques géométriques de notre arbre de
transmission et des solutions mécaniques choisies pour effectuer le montage (ex : dans notre
cas, nous étudierons un arbre ayant deux changements de section, ainsi que la présence d’une
cavité sur la partie centrale de l’arbre qui servira de logement à une clavette, afin d’assurer la
transmission du mouvement entre l’arbre et la roue dentée montée sur ce dernier).
L’étude peut alors être réalisée suivant l’exemple suivant :
2
R
2
R−
B
B
B
B
A
A
A
A
2
Ra×
2
T
2
T−
2
Ta×−
[ ]N
[ ]N
[ ]mmN.
[ ]mmN.
x
x
y
z
fzM
fyM
Moments fléchissant selon les axes z et y, respectivement
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Cette étude va se diviser en deux étapes principales, avec la première qui permettra de
dimensionner le diamètre minimum de la partie de l’arbre supportant la roue dentée et la
seconde qui dimensionnera le diamètre des parties extrêmes de l’arbre sur lesquelles
viendront se positionner les roulements (par exemple).
Nous procédons au calcul des contraintes (pour le diamètre « D » de l’arbre)
Il existe deux méthodes de résolution (l’une plus rapide que l’autre et tout aussi performante
au niveau de la pertinence des résultats).
Méthode 1
v
I
M
Z
MaxifMaxi
)(=σ
avec 2
)(2
)()( MaxitMaxifrMaxif MMM +=
soit, avec l’étude précédente
( )[ ] 2222
)( 4 XMaxif CRTa
M ++−=
et 32
3D
v
I Z π=
Méthode 2 Nous utilisons la matrice des tenseurs
suivante :
000
00
0
: XY
XYXX
ττσ
σ
avec XXσ et XYτ qui représentent respectivement les contraintes de traction/compression dues à la flexion et celles de cisaillement dues à la torsion. Leur écriture est la suivante :
v
I
M
Z
MaxifrXX
)(=σ avec
( )
32
2
3
22
2)(
2)()(
D
v
I
et
RTa
MMM
Z
MaxifzMaxifyMaxifr
π=
+−=
+=
b
a a
h h
i
D d
fig.4
eq. I.38
eq. I.39
eq. I.40
eq. I.41
eq. I.42
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v
I
M MaxitXY
0
)(=τ avec
16
30
)(
D
v
I
et
CM XMaxit
π=
=
Nous calculons alors les contraintes principales Iσ , IIσ et IIIσ grâce aux formules suivantes :
0
42
1
2
42
1
2
22
22
=
+−=
++=
III
XYXXXX
II
XYXXXX
I
σ
τσσσ
τσσσ
Ainsi nous obtenons
III
II
I
σσ
σ
00
00
00
Ayant les contraintes principales, nous pouvons calculer les contraintes équivalentes selon Tresca ou Von Mises. Tresca :
( )IIIIIIIIIIIISup σσσσσσ −−− ;;
Von Mises :
( ) ( ) ( )2
222IIIIIIIIIIII σσσσσσ −+−+−
Dans le cas où nous calculons les deux contraintes équivalentes, mieux vaut se mettre dans le cas apportant le plus de sécurité, c'est-à-dire dans le cas où nous obtiendrons le plus grand diamètre.
eq. I.43
eq. I.44
eq. I.45
eq. I.46
eq. I.47
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NB : Lors d’essais numériques, j’ai pu me rendre compte que la contrainte équivalente de
Tresca (méthode 2) donne le même résultat que le calcul de la contrainte maximale dans la
méthode 1 (à deux décimale près). Mais ce point sera traité lors de l’application à mon étude.
Ayant alors la valeur de la contrainte maximale, avec comme seule inconnue, le diamètre
« D » de l’arbre, il nous faut résoudre l’inéquation suivante :
eTrescaeq R≤.σ avec eR , la limite élastique du matériel utilisé pour fabriquer l’arbre
de transmission. De cette inéquation, nous obtenons un diamètre minimum pour le diamètre « D » de l’arbre.
Ce prédimensionnement étant réalisé, nous devons à présent prendre en compte le logement
de la clavette. En effet, la conséquence de la présence de cette cavité sur l’arbre va être de
générer des concentrations de contrainte et ainsi fragiliser l’arbre de transmission.
Pour cela, nous devons utiliser des coefficients pour majorer les contraintes et ainsi augmenter
la valeur du diamètre « D ». Nous utiliserons, au cours de notre étude, les abaques tirée de la
seconde édition de « Peterson’s stress concentration factors » [réf.3].
Ainsi, dans le cas du logement d’une clavette, nous obtenons un coefficient de contrainte TK
(pour la flexion) et TSK (pour la torsion).
NB : Dans le cas de la combinaison des deux sollicitations, flexion et torsion, il existe une
table spécifique. Il ne faut donc pas prendre séparément la table de flexion et celle de torsion,
auquel cas les valeurs des coefficients seraient différentes et fausseraient les résultats.
Une fois que nous avons les coefficients, il faut reprendre le calcul des contraintes en
modifiant l’écriture des moments de flexion et de torsion, soit :
)(MaxifrM devient )(MaxifrT MK × et )(MaxitM devient )(MaxitT MK ×
Ensuite la méthode reste inchangée, il suffit de réitérer le calcul.
Nous passons alors à la deuxième étape et procédons au calcul des contraintes (pour le
diamètre « d » de l’arbre)
La méthode calcul des contraintes est la même que celle employée précédemment, nous
reprenons donc les formules citées.
eq. I.48
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Cependant, dans ce cas, la valeur des moments fléchissant va être modifiée. En effet, cette
fois-ci nous allons calculer le diamètre minimum « d » pour lequel, tout comme le diamètre
« D » avait la particularité d’avoir la présence du logement de la clavette, il y a une
caractéristique géométrique qui celle du changement de section. Soit le passage du diamètre
« D » au diamètre « d ». Par conséquent, le calcul des moments fléchissant doit être effectué
au niveau des épaulements, ce qui explique le changement de valeur de ces derniers.
Ainsi nous avons les relations suivantes : Torsion : XMaxit CM =)( (le moment de torsion reste constant)
Flexion : ( )22
)(
2)(
2)()(
2TR
hM
MMM
Maxifr
MaxifzMaxifyMaxifr
−+=
+=
Ensuite, la méthode est inchangée et nous permet d’obtenir une première valeur minimum
pour le diamètre « d » de l’arbre. Mais comme pour le diamètre « D », la particularité
géométrique (changement de section) produit un effet de concentration de contrainte. Ainsi,
toujours d’après la secondes édition de « Peterson’s stress concentration factors », nous
obtenons des coefficients TK et TSK (tables distinctes pour la flexion et la torsion, dans le cas
de changement de section il n’existe pas de table réalisant la combinaison des deux
sollicitations).
Comme pour la première étape, nous avons les relations suivantes :
)(MaxifrM devient )(MaxifrT MK ×
)(MaxitM devient )(MaxitT MK ×
Nous réitérons le calcul. Seulement cette fois-ci, la détermination des coefficients se fait grâce
à la valeur du diamètre « d » que nous avons initialement calculé. Cela veut dire qu’en
utilisant ces coefficients, le nouveau diamètre minimum obtenu devra être identique au
premier.
Dans le cas contraire, il faudra redéfinir les coefficients avec ce nouveau diamètre et réitérer
le calcul jusqu’à ce que la valeur du diamètre initial soit identique à celle calculée. Cette
condition validée, nous avons terminé le prédimensionnement de l’arbre de transmission.
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La méthode que nous avons traitée est bien sur valable quelque soient les dimensions de
l’arbre de transmission. En ce qui concerne la partie dédiée aux concentrations de contrainte,
il faut bien être conscient que dans notre cas, nous avons utilisé une solution particulière et
donc les tables de Peterson correspondantes. Mais il existait une très grande diversité de
montages différents. Il faut donc que l’utilisation de ces tables soit faite en fonction de la
solution choisie.
bb)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((ééttuuddee ddeess ddééffoorrmmaattiioonnss))
Dans le cas de la transmission d’engrenage cylindrique à denture droite, deux types de
déformation sont à prendre en compte. Ceci est du aux deux sollicitations auxquelles est
soumis l’arbre de transmission. Soit une déformation due à la flexion et une autre due à la
torsion. Dans un premier temps nous allons étudier le cas de la flexion.
Différentes méthodes peuvent être utilisée, la méthode du théorème de Castigliano en est une
par exemple. Cette méthode offre un procédé d’analyse de déformation hors du commun et
relativement simple d’utilisation. Ce théorème dit que quand des forces agissent sur le
système élastique étudié et que ce dernier est soumis à de petits déplacements, le déplacement
correspondant à une des forces, colinéaire à celle-ci, est égale à la dérivée partielle de
l’énergie de déformation totale (vis-à-vis de cette même force). Ce pendant, cette méthode
reste incomplète, puisqu’elle ne permet pas de calculer le déplacement en tout point du
système. Ainsi, il nous faut utiliser une autre méthode. Dans notre cas, nous allons utiliser la
méthode des moments.
Nous savons qu’à partir du diagramme des charges soumises à un système, nous pouvons
déduire le diagramme des moments de flexion. Nous savons également que ce diagramme
peut-être obtenu à partir de diagramme des charges en effectuant une double intégration. Mais
le diagramme des déformations peut également être s’obtenir à partir de diagramme des
moments, en faisant une double intégration. En conséquence, il est possible de déduire le
diagramme de déformation à partir de celui des moments, au moyen de l’application des
principes de la statique. Pour expliquer cette méthode, nous allons traiter un exemple :
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Reprenons les données de l’exemple vu lors de l’étude des contraintes.
Etude des déformations dues à la flexion
Plan XY (vertical) Méthode de calcul de déformation : Pour calculer la distance verticale entre un point appartenant à la courbe de flexion et un
autre point appartenant, quant à lui, à la tangente à la courbe de flexion, il suffit d’utiliser la
formule suivante :
« M » point de la courbe de flexion et « M’ » point de la tangente, la distance MM’ se calcule
en faisant la sommes des aires du diagramme des moments (diagramme des moments par
partie), multipliée par leur bras de levier respectif (bras de levier : distance horizontale du
centre de gravité de l’aire au point dont on veut calculer la déflexion). Chaque terme doit
ensuite être divisé par le produit « EI », avec « E » le module de Young et « I » le moment
quadratique de la section correspondant à l’aire du moment étudié.
O P B A
2
aR
2
hR
2
R
2
R
''P
'P
''O
'O
'B
R
h a
1 2
3
2’
4
5
y
x 1 2 3 4
D d
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Revenons à notre exemple, nous allons calculer la distance BB’ : Si nous prenons le diagramme des moments, nous pouvons distinguer 5 parties distinctes, 4
triangles (1, 3, 4, 5) et 1 rectangle (composé de 2 et 2’). Maintenant si nous revenons à l’arbre
de transmission étudié, nous constatons que nous avons 3 sections :
Section 12 ; Section 23 ; Section 34, avec 64
4
3412
dII
π== et 64
4
23
DI
π=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )342323
2312
3/22/2/22/3/2
2/2/
3/2
2/2/3/22
2
2/
'
EI
hhhR
EI
ahahR
EI
haahahRaR
EI
haahahRaR
EI
hahhR
BB
××+×−×+−−×−×−
+
−+×−×−
+−××
=
Ensuite, sachant BB’ avec B appartenant à la courbe de déflexion (où cette même déflexion a
la particularité d’être nulle) et B’ appartenant à la tangente de cette courbe de déflexion. Nous
pouvons donc connaître la pente de cette tangente qui esta
BB
2
', sachant cela, nous pouvons
calculer OO’ et PP’ avec la relation suivante :
a
BB
a
OO
h
PP
2
''' ==
a
hBBPP
BBOO
2''
2
''
=
=
Maintenant nous allons reprendre la méthode vue précédemment pour calculer les distances
P’P’’ et O’O’’ :
Calculons la distance P’P’’ ( )
12
3/2/2/'''
EI
hhhRPP
××= , ainsi la déflexion au niveau du
point P (ou de la section 2) est égale à '"'" PPPPPP −=
De la même façon, nous trouverons que la déflexion au niveau du point O sera égale à
"''" OOOOOO −= (après avoir calculé O’O’’).
Par symétrie, la déflexion au niveau de la section 2 sera égale à celle rencontrée au niveau de
la section 3. Voilà pour ce qui est de l’étude de déformation due à la flexion, dans le plan
vertical XY. Il faudrait réitérer le calcul dans le plan horizontal XZ, pour connaître les
déformations dues à la flexion dans ce même plan.
Les études faites, nous aurons alors les déformations horizontales et verticales suivantes :
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vh OOetOO "" vh PPetPP ""
De ces résultats, nous pouvons calculer la déformation résultante qui sera égale à la somme
vectorielle des déformations obtenues dans le plan horizontal et vertical, soit :
2222 """""" vhvh PPPPPPetOOOOOO +=+=
Etude des déformations dues à la torsion Reprenons l’arbre de transmission étudié précédemment Pour calculer la déformation angulaire subie par l’arbre, nous utilisons la formule suivante :
GI
LT
.
.
0
=Ω avec G le module d’élasticité transversale et 0I le moment quadratique
qui, dans ce cas vaut : 32
4
0
DI
π= , d’où nous obtenons GD
LT
.
..324π
=Ω
Dans le cas de notre exemple :
( )
−+×=Ω44.
.32
D
ha
d
h
G
T
π
Ainsi nous avons la déformation angulaire, qui vient s’ajouter à la déformation horizontale et
verticale calculée précédemment. Toutes deux résultats de la combinaison des deux
sollicitations précédentes sur l’arbre de transmission, que sont la flexion et la torsion.
h a
y
x 1 2 3 4
D d
eq. I.49
eq. I.50
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22.. EEttuuddee ddyynnaammiiqquuee
aa)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn
L’étude dynamique va nous permettre de vérifier le dimensionnement des arbres de
transmission, en incluant la caractéristique de fatigue, des arbres de transmission, en incluant
la caractéristique de fatigue. Dans un premier temps, il nous faut reprendre l’étude réalisée
précédemment « Etude statique Calcule de tensions ».
Si nous reprenons le calcul du diamètre de l’arbre réalisant la portée des roulements, nous
avions vu qu’il était nécessaire de prendre en compte des coefficients de concentration de
contraintes, ceci en conséquence de la présence du changement de section (passage du
diamètre « D » au diamètre « d »).
Seulement dans le cas de l’étude dynamique, un nouveau facteur doit être pris en compte, le
facteur « q », qui correspond à la sensibilité du congé de raccordement entre les deux sections.
De la même façon qu’il fallait un coefficient distinct pour chacune des sollicitations, soit un
pour la flexion et un autre pour la torsion, il nous faudra utiliser deux tables pour déterminer
le facteur « q » ( flexion) et le facteur « sq » ( torsion).
Pour cela, nous nous servons des tables proposées par le livre « Diseño en Ingenieria
Mecánica » de Joseph Edward Shigley et Charles R. Mischke [réf.4].
Ayant déterminé ces deux facteurs, nous pouvons alors déterminer deux nouveaux
coefficients de sécurité, à partir des expressions suivantes :
( )
( )11
11
−+=
−+=
Tssfs
Tf
KqK
KqK Coefficients de concentration de contrainte à la fatigue pour un
corps soumis respectivement à la flexion ou/et à la torsion. Maintenant que ces coefficients sont calculés, il suffit de reprendre la démonstration vue dans
l’étude statique, soit :
)(MaxifrM devient )(Maxifrf MK × et )(MaxitM devient )(Maxitfs MK ×
Ce changement de coefficient va permettre de vérifier la fiabilité de l’arbre et de son
dimensionnement (valeur du diamètre « d ») ou alors de le modifier.
Cette première étude faite, nous devrons dans un second temps réévaluer la valeur limite
élastique du matériel utilisé pour réaliser l’arbre de transmission.
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La formule à utiliser est la suivante :
'..... eedcbae SKKKKKS =
Avec aK le facteur de superficie et MPaRsiRS eee 1400504,0' ≤×=
bK le facteur de taille MPaRsiMPaS ee 1400700' >=
cK le facteur de charge
dK le facteur de température
eK le facteur d’effets divers
Par expérience, nous fixons généralement dK et eK égaux à 1. Concernant cK (facteur de
charge), il devrait être pris en compte, mais dans notre exemple, nous avons déjà majoré les
contraintes en utilisant les coefficients de concentration de contrainte, par conséquent, ce
facteur sera également fixé à 1.
Il nous reste alors à déterminer aK et bK :
bma RaK = avec a et b qui sont déterminés à partir d’une table tirée du livre « Diseño en
Ingenieria Mecánica » et qui dépendent de l’état de surface de l’élément étudié.
1133,0
62,7
−
= dKb [ ]mmd 5179,2 ≤≤ , pour des diamètres supérieurs, [ ]75.0;6.0∈bK
Les facteurs définis, le calcul de eS peut être fait. Nous pouvons constater que bK dépend du
diamètre, par conséquent nous aurons deux valeurs distinctes pour eS , que l’on soit sur le
diamètre « d » ou « D » de l’arbre de transmission.
Il suffit ensuite de reprendre l’étude statique et de remplacer la valeur limite de résistance
élastique « eR », par celle calculée ci-dessus « eS ».
Ainsi nous obtenons confirmation de la résistance et donc du bon dimensionnement de l’arbre
de transmission ou nous modifions les valeurs de ses diamètres pour répondre aux critères de
résistance.
eq. I.51
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33.. EEttuuddee vviibbrraattooiirree
aa)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((aannaallyyssee mmooddaallee))
L’analyse dynamique de fréquence permet de connaître les fréquences naturelles (ou propres)
de la structure étudiée, ainsi que ses modes de vibration associés et déterminer les problèmes
de résonances dus à la vitesse de rotation de l’arbre.
En conséquence, cela revient à déterminer la vitesse critique de rotation de l’arbre en
observant le mode de déformation qui coïncide avec le mode de rotation de l’arbre.
Que le système soit soumis à de la flexion ou à de la torsion, certes les formules se
distinguent, mais elles prennent une même et unique expression comme référence.
Nous prenons le cas d’un système à un seul degré de liberté. Comme cela est expliqué ci-
dessus, un modèle de référence est utilisé pour établir l’expression qui permettra le calcul de
la fréquence propre du système étudié.
Ce système référence est celui de la masse/ressort (sans amortissement)
Dans notre cas, pour calculer la fréquence propre du système, nous négligeons
l’amortissement. Ainsi, dans le cas de la flexion et de la torsion, nous respectons la forme de
l’expression donnée par le système référence, soit :
m
kwn = avec xw (pulsation propre du système)
k (rigidité du système étudié) m (masse du système étudié) nf (fréquence propre ou naturelle)
m
kwf n
n ππ 2
1
2==
K
C
m
fig.5 : Oscillateur élémentaire linéaire de la mécanique
eq. I.52
eq. I.53
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Système soumis à de la flexion :
Fréquence propre m
kwn = avec 3
48)(
l
EIrigiditék =
Avec « E » le module de Young (en GPa) et « I » caractéristique de la section que l’on appelle moment quadratique (en mm4) et « l » la longueur de la poutre, nous obtenons alors
l’expression modifiée : ml
EIwn 3
48=
Système soumis à de la torsion :
Fréquence propre I
kw t
n = avec L
dG
L
IGtorsionenrigiditékt .32
..)(
40 π==
Avec G le module de cisaillement (en GPa), 0I le moment quadratique polaire (torsion, en
mm4) et L la longueur de la poutre.
Nous pouvons observer que l’écriture reprend la forme du système référence, mais en
changeant la nature des termes. Comme nous sommes en torsion, ce n’est plus « m » (masse
du système) que l’on observe dans la formule, mais « I », le moment d’inertie.
bb)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((aannaallyyssee hhaarrmmoonniiqquuee))
L’analyse harmonique représente la réponse du système soumis à une force d’excitation. De
plus, l’amplitude du mouvement dépend des valeurs de la fréquence de la force d’excitation,
ainsi que des caractéristiques du système, de la masse et de la rigidité.
Si nous reprenons notre exemple de l’arbre de transmission, notre système est soumis aux
deux sollicitations (flexion et torsion). Dans ce cas, l’étude doit être faite de façon distincte
pour chacune de ces deux sollicitations.
Dans le cas de la flexion, la formule utilisée est la suivante :
220
20
11
/
−
=
−
=−
=
n
e
s
n
ee
w
w
X
w
w
kF
mwk
FX
Le passage d’une égalité à l’autre se fait grâce à la formule vue précédemment (eq.53).
eq. I.54
eq.I.55
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Avec nw la pulsation naturelle (ou propre)
0F la force statique
k la rigidité du système m la masse du système ew la pulsation de la force d’excitation
sX la déformation élastique statique
Dans le cas de la torsion, la formule est :
220
20
11
/
−
=
−
=−
=
n
e
s
n
e
t
et
w
w
w
w
kT
Iwk
T θθ
Le passage d’une égalité à l’autre se fait grâce à la formule vue précédemment (eq.I.54). Avec nw la pulsation naturelle (ou propre)
0T le couple de torsion
tk la rigidité du système
I l’inertie du système ew la pulsation de la force d’excitation
sθ la déformation élastique statique
IIII.. EEttuuddee ddééttaaii ll llééee Données de l’étude : Dimensions de la boîte de réduction 360 x 360 x 160 Type de transmission Engrenage cylindrique à denture droite Module m = 5
Relation de transmission R = 2 soit 21
2
2
1 ==Z
Z
w
w
Nombre de dents du pignon dentsZ 201 = Puissance du moteur 4ch (2942 W) Vitesse de rotation 1800 tr/min (188,5 rad/sec)
eq.I.56
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Caractéristiques d’un engrenage cylindrique à denture droite : Diamètre primitif zmd .= Pas π.mp=
Saillie mha=
Creux mhf .25,1=
Hauteur de dent mhfhah .25,2=+=
Diamètre de tête mdhadda .2.2 +=+=
Diamètre de pied mdhfddf .5,2.2 −=−=
AA.. SSooll iiddee iinnddééffoorrmmaabbllee
aa)) EEnnggrreennaaggee ((ddiimmeennssiioonnnneemmeenntt))
Nous connaissons le nombre de dents du pignon (201 =Z ), ainsi que la relation de
transmission (rapport de réduction égal à 2). Dans ce cas nous pouvons déduire que la roue
conduite par le pignon aura un nombre de dents 402 12 =×= ZZ .
Si nous reprenons les caractéristiques de cette transmission, nous obtenons alors les valeurs
suivantes :
Nombre de dents (Z) Module (m) Diamètre primitif ( zmd .= )
Pignon 20 5 100 [mm]
Roue 40 5 200 [mm]
Ayant ces données dimensionnelles de la roue et du pignon, formant la transmission
d’engrenage cylindrique à denture droite, il me reste à définir la largeur des deux éléments,
désignée par la lettre « b ». Pour cela je dois respecter deux points, le premier qui permettra
de fixer une valeur pour « b », puis le second qui validera ou non la valeur proposée.
1ère étape :
La relation suivante nous permet de fixer la valeur de « b » ψ=d
b avec dans
notre cas une valeur de ψ égale 0,9 (cette valeur dépend du matériel et de son traitement).
Ayant ce rapport fixé, nous pouvons déduire la valeur de « b » (diamètre du pignon), soit
[ ]mmdb 909,01 =×=
eq.II.1
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2ème étape :
Nous allons maintenant vérifier que cette largeur « b » est vérifiée par la valeur minimale
calculée grâce à la formule suivante :
( )u
u
K
C
db i
112
1
min
+××= avec C la valeur du couple transmis par le pignon
K facteur d’application (dépend du matériel)
[ ][ ]sec/5,188
2942
rad
W
w
PC == u rapport
1
2
Z
Z
Nous obtenons alors (avec [ ]mmNC .15296= , [ ]MPaK 25,0= et 2=u ) une valeur minimale
pour « b » de 9,17 [mm]. Ce qui est très nettement inférieur à notre valeur de 90 [mm].
Cependant le diamètre 1d étant fixé, je peux simplement constater que les dimensions sont
très nettement suffisante (pour ne pas dire excessive). Ceci est également du au module qui a
été fixé et non choisi lors du dimensionnement. En effet, le module « m » égal à 5 est
important. Une valeur de 2 ou 2,5 serait plus appropriée. Mais continuons avec les données de
l’étude. Si nous faisons un bilan dimensionnel de la transmission d’engrenage, nous avons les
valeurs suivantes :
Nombre de dents Module Diamètre primitif Largeur de denture
Pignon Z1 = 20 m = 5 d1 = 100 [mm] b = 90 [mm]
Roue Z2 = 40 m = 5 d2 = 200 [mm] b = 90 [mm]
bb)) EEnnggrreennaaggee ((ééttuuddee ddyynnaammiiqquuee))
Si nous reprenons les formules vues dans la partie théorique (eq.I.34, eq.I.35 et eq.I.36) et
connaissant le couple transmis par le moteur, nous obtenons les relations suivantes :
[ ][ ][ ]NNT
NNR
Nd
CN
16,312cos
62,113sin
19,332cos
12
=×==×=
=××=
αα
α
De plus connaissant le rapport de transmission « 2=u » et sachant que le couple transmis par
le pignon est [ ]mmNC .152961 = , nous avons le couple transmis par la roue [ ]mmNC .305922 =
eq.II.2
eq.II.3
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cc)) RRoouulleemmeennttss ((ddiimmeennssiioonnnneemmeenntt))
Nous avons pu constater dans la partie théorique, que des roulements à une rangée de billes
correspondaient à notre montage.
Nous allons réaliser un calcul préliminaire de déterminer un intervalle dans lequel nous
pourrons trouver le roulement adéquat à notre étude.
Tout d’abord, le montage des roulements sur chacun des arbres de la transmission se fera de
façon symétrique de part et d’autre de la roue et du pignon (fig.6).
Si nous calculons les réactions au niveau de chacun des roulements, nous obtenons la relation
suivante : [ ]NRRRR BBAA 095,1662121
====
De plus nous savons également que, suivant notre étude, la durée de vie nécessaire aux
roulements est comprise dans l’intervalle [ ]2500010000− heures. Utilisant une fiabilité de
90% (F90), j’utilise la formule de durée de vie : n
P
CL
=10 avec 3=n (roulements à
billes)
Roulement 1
Roulements 2
a a
fig.6
1A
2A
1B
2B
eq.II.4
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
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Maintenant, nous renversons la formule, de manière à calculer la charge dynamique maximale
que peut supporter le roulement : PLC n ×=1
10 , en sachant également que P = FR,
soit P = 166,05 [N] et nous prenons une durée de vie de 20000 heures.
NB : 10L s’exprime en millions de révolution
Dans notre cas, [ ] [ ] [ ]toursdemillionstrhL 2160min/1800602000010 =××=
Nous en déduisons la charge dynamique maximale : [ ]kNC 147,2=
Si nous reprenons le tableau de caractéristiques des roulements à une rangée de billes, nous
obtenons un intervalle de diamètre intérieur « d » pour le roulement, qui est le suivant :
[ ]205− [mm], ce qui veut dire que le diamètre de l’arbre sur lequel viendra se monter les
roulements sera compris dans cet intervalle. Dans les cas où je devrais utiliser un diamètre
supérieur, j’aurai une durée de vie plus importante pour les roulements (dont je n’ai pas
besoin, mais qui présenterait une sécurité).
BB.. SSooll iiddee ddééffoorrmmaabbllee
11.. EEttuuddee ssttaattiiqquuee
aa)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((ééttuuddee ddeess ccoonnttrraaiinntteess))
Pour réaliser cette étude, je vais reprendre point par point, les différentes étapes traitées dans
la partie théorique, je ne vais donc pas répéter les équations nécessaire, sinon les citées. De
plus, j’avais réalisé une première étude, négligeant le poids de chacun des éléments de la
transmission (la roue et le pignon), mais en réalisant la modélisation avec Solidworks, je me
suis aperçu, qu’en plus de ne pas être négligeable, le poids de ces deux éléments était du
même ordre de grandeur, voire supérieur, aux forces de contact, conséquence de la
transmission. Par conséquent, je ne vais pas traiter cette première étude (qui serait fausse) et
passer directement à la seconde, prenant en compte la masse du pignon et de la roue.
Concernant les dimensions de l’arbre (non son diamètre, mais sa longueur), elle est fixée par
la grandeur de la boîte d’engrenage qui est de 360 [mm]. C’est donc cette valeur limite que
j’ai utilisé pour définir la longueur de l’arbre. Ensuite, ayant calculé une largeur de dent de 90
[mm], je laisse une portée de 100 [mm] sur l’arbre pour positionner le pignon.
eq.II.5
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-39/77-
Ainsi, les dimensions de l’arbre sont les suivantes (valables pour l’arbre 1 et 2) :
Les 360 [mm] correspondent à la longueur de la boîte d’engrenage. Ensuite, j’ai fixé
arbitrairement la longueur de la portée du pignon (ou de la roue) à 100 [mm], sachant que la
largeur de dent est de 90 [mm] (valeur calculée dans la partie antérieure de l’étude).
La suite de l’étude va permettre de dimensionner totalement l’arbre de transmission et ainsi
obtenir les valeurs des diamètres « d » et « D ».
Arbre 1 (support du pignon) :
Nous reprenons l’équilibre réalisé lors de l’étude théorique.
y
x
x
z
r
[ ]mm180 [ ]mm180
A
A
O
O B
B Ay
Ax XC
By
Bx
Bx Ax
Az Bz
[ ]NT 312=
[ ]NR 113= [ ]NMg 50=
100 130 130
360
Ø D Ø d
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Dans le cas de prendre en compte la masse, je me mets dans le cas le plus défavorable et
l’ajoute à la force normale « R ».
L’équilibre réalisé, j’obtiens les efforts suivant au niveau des appuis :
[ ]Nxx BA 0== [ ]Nyy BA 5,812
163 −=−== [ ]Nzz BA 1562
312 −=−==
Je peux alors réaliser les diagrammes des moments :
A B
tM
[ ]mmN.
15296
y
x
Moment de torsion selon l’axe x
5,81
5,81−
B
B
B
B
A
A
A
A
14670
156
156−
28080−
[ ]N
[ ]N
[ ]mmN.
[ ]mmN.
x
x
y
z
fzM
fyM
Moments fléchissant selon les axes z et y, respectivement
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-41/77-
Nous passons à la seconde étape, qui est celle de définir les relations de contrainte pour
ensuite fixer la valeur des différents diamètres de l’arbre de transmission. Nous savons,
d’après l’étude théorique, que deux méthodes peuvent être utilisée.
De plus, comme cela avait été dit dans cette étude théorique, les deux études permettent
d’obtenir des résultats identiques, par conséquent, les deux méthodes vont être
traitées dans le cas de l’arbre du pignon, de façon à montrer la similitude des résultats
numérique. En revanche pour l’arbre de la roue, seule la méthode la plus rapide, soit la
première, sera traitée.
De la même façon que vue dans la partie théorique, nous allons déterminer le diamètre « D »
de l’arbre du pignon, dans un premier temps, puis nous passerons au diamètre « d ».
Méthode 1 D’après l’équation (eq.I.38),
31
31
92,3583443243,35180
DDMaxi =
××=
πσ
avec [ ]mmNM Maxif .43,35180)( =
Méthode 2 D’après le tenseur (eq.I.40), nous calculons les équations (eq.I.41) et (eq.I.42), respectivement contrainte de traction/compression et contrainte de cisaillement :
31
31
54,3227013215,31681
DDXX =
××=
πσ avec
[ ]mmNM Maxifr .15,31681)( =
31
31
89,779011615296
DDXY =
××=
πτ avec
[ ]mmNM Maxit .15296)( =
Nous calculons alors les contraintes principales Iσ , IIσ et IIIσ grâce à l’équation (eq.I.45):
0
70,17821
24,340523
31
31
=
−=
=
III
II
I
D
D
σ
σ
σ
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Ayant les contraintes principales, nous pouvons calculer les contraintes équivalentes selon Tresca ou Von Mises, d’après (eq.I.46) et (eq.I.47) :
Tresca : 31
92,358344
DeqT =σ
Von Mises :
31
.
77,349774
DMeqV =σ
Maintenant que nous avons les écritures des contraintes selon deux méthodes distinctes, nous
prenons les cas le plus sécurisant, de manière à obtenir un diamètre correct. Nous constatons
alors qu’il s’agit de la contrainte équivalente selon Tresca que nous devons retenir. Or,
comparant les deux méthodes, nous apercevons que les deux contraintes sont identiques
jusqu’à deux décimales. Par conséquent, lors des prochains calculs de contraintes, nous
utiliserons la méthode 1 (beaucoup plus efficace en terme de pertinence du résultat et de
rapidité).
Mais revenons aux contraintes calculées précédemment, nous retenons l’écriture suivante :
31
92,358344
D=σ
Le matériel utilisé est un acier F-114 (norme UNE) ou XC45 (norme Afnor) ayant une limite
élastique MPaRe 400= et une limite à la rupture MPaRm 700= .
Nous devons respecter l’inéquation suivante pour déterminer la valeur du diamètre « 1D » :
[ ]mmDRenom 64,9400
92,3583443
1 =≥→≤σ nous fixons alors 1D = 10 [mm]
Le diamètre 1D correspond au diamètre sur lequel va être montée la clavette, ainsi que ce
diamètre a une cavité (logement de la clavette). Comme nous l’avons vu dans la partie
théorique, cela va générer des concentrations de contrainte. Dans un premier temps nous
devons dimensionner le logement de la clavette :
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4
1
1
=D
b [ ]mmb 5,2=
8
1
1
=D
t [ ]mmt 25,1=
48
1
1
=D
r [ ]mmr 208,0=
Maintenant, nous allons quantifier les concentrations de contrainte. Pour cela nous utilisons
les diagrammes tirés de la seconde édition de « Peterson’s Stress Concentration Factors ».
Dans la table permettant de définir le coefficient de contrainte dans le cas du logement de la
clavette, il faut déterminer le rapport T
Mou
M
T (l’un ou l’autre, mais en ayant un rapport
inférieur ou égal à 1 et avec T correspondant moment de torsion et M au moment de flexion.
Dans notre cas, 48,0=M
T à partir du diagramme nous obtenons
4,1
3,2
==
TS
T
K
K
Nous modifions la valeur des moments de flexion et de torsion en les majorants par ces
coefficients.
Ainsi, en utilisant la méthode 1 (eq.I.38), nous obtenons la contrainte suivante :
1
7,773601
DMaxi =σ , nous reprenons l’inéquation (eq.I.48) et pouvons déterminer le nouveau
diamètre 1D . [ ]mmD 46,12400
7,7736013
1 =≥ soit 1D = 14 [mm].
Les coefficients de concentration de contrainte ne dépendant pas du diamètre de l’arbre, dans
le cas du logement de la clavette, ainsi ces coefficients restent inchangés. Le diamètre « 1D »
final est donc de 14 [mm].
En revanche il faut redimensionner le logement de la clavette :
4
1
1
=D
b [ ]mmb 5,3=
8
1
1
=D
t [ ]mmt 75,1=
48
1
1
=D
r [ ]mmr 29,0=
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Le diamètre « D » étant déterminé, il nous reste à définir le diamètre « d ». Pour cela, nous
allons étudier la valeur des contraintes au niveau des épaulements de l’arbre (lieu particulier
de l’arbre où nous rencontrons un changement de section et donc une concentration de
contrainte).
Il faut donc calculer les moments de flexion et de torsion au niveau de l’épaulement :
- dans le cas de la torsion, le moment reste inchangé [ ]mmNM t .15296=
- flexion [ ]mmNM fy .20280−= et [ ]mmNM fz .10595=
Toujours selon la méthode 1 (eq.I.38), nous obtenons la contrainte suivante3
1
11,280344
dMaxi =σ .
[ ]mmd 88,8400
11,2803443
1 =≥ , soit 1d = 9 [mm]
Dans ce cas, nous avons donc 1D = 14 [mm] et 1d = 9 [mm]. Maintenant, comme pour le
logement de la clavette, l’épaulement génère une concentration de contrainte. Tirée du même
ouvrage, nous allons utiliser une table pour définir les coefficients de contrainte.
Pour cela, il nous faut calculer les relations suivantes :
5,22
11 =−= dDr ; 556,1
1
1 =d
D ; 278,0
1
=d
r
De ces différents rapports, nous pouvons déterminer les coefficients de concentration de
contrainte (un pour la flexion et un pour la torsion comme précédemment, mais en utilisant
une table pour chacune des deux sollicitations) 17,1
4,1
==
TS
T
K
K
Je poursuis en définissant le coefficient de la sensibilité du rayon de raccordement « q » :
- à la torsion 825,0=q ( ) 33,111 =−+= Tf KqK
- à la flexion 975,0=sq ( ) 17,111 =−+= TSsfs KqK
Ayant déterminé les coefficients de concentration de contrainte, je majore les moments de
flexion et de torsion, pour obtenir (au moyen de la méthode 1, eq.I.38) la contrainte suivante :
31
05,359601
dMaxi =σ [ ]mmd 65,9
400
05,3596013
1 =≥ , soit 1d = 10 [mm]
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
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Contrairement au cas du logement de la clavette, la définition des coefficients de
concentration de contrainte pour le cas de l’épaulement dépend du diamètre « 1d », par
conséquent, il faut redéfinir ces coefficients et réitérer le calcul pour définir le diamètre « 1d »
de l’arbre. Nouveaux coefficients : 225,1
42,1
==
TS
T
K
K
Coefficient de la sensibilité du rayon de raccordement « q » :
- à la torsion 8,0=q ( ) 34,111 =−+= Tf KqK
- à la flexion 975,0=sq ( ) 22,111 =−+= TSsfs KqK
Une nouvelle fois nous majorons les moments de flexion et de torsion par ces nouveaux
coefficients et je calcule à nouveau la contrainte maximale :
31
94,365600
dMaxi =σ [ ]mmd 7,9
400
94,3656003
1 =≥ , soit 1d = 10 [mm]
Nous observons que malgré le changement des coefficients de concentration de contrainte, le
diamètre reste inchangé, par conséquent le dimensionnement de l’arbre est le suivant :
1D = 14 [mm] et 1d = 10 [mm]
Arbre 2 (support de la roue) :
Nous reprenons l’équilibre réalisé lors de l’étude théorique.
y
x
x
z
r
[ ]mm180 [ ]mm180
A
A
O
O B
B Ay
Ax XC
By
Bx
Bx Ax
Az Bz
[ ]NT 312=
[ ]NR 113=
[ ]NMg 227=
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Après avoir réaliser l’équilibre statique, nous obtenons les efforts suivants :
[ ]Nxx BA 0== [ ]Nyy BA 1702
340=== [ ]Nzz BA 1562
312=−==
Nous pouvons construire les diagrammes des moments :
170
170−
B
B
B
B
A
A
A
A
30600−
156−
156
28080
[ ]N
[ ]N
[ ]mmN.
[ ]mmN.
x
x
y
z
fzM
fyM
Moments fléchissant selon les axes z et y, respectivement
A B
tM
[ ]mmN.
30592−
y
x
Moment de torsion selon l’axe x
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Ayant les diagrammes des moments, nous pouvons commencer le dimensionnement de
l’arbre en calculant les contraintes. Comme pour l’arbre du pignon, nous allons tout d’abord
définir le diamètre central « 2D », sur lequel vient se loger la clavette, puis nous
dimensionnerons le diamètre « 2d ».
Nous utilisons la méthode 1 (eq.I.38) et obtenons la contrainte maximale suivante :
32
)( 33,525411
Dv
I
M
Z
MaxifMaxi ==σ , ainsi pour satisfaire l’inéquation (eq.I.48), nous obtenons le
diamètre « 2D » [ ]mmD 95,10400
33,5254113
2 =≥ , soit 2D = 11 [mm]
A partir de cette première définition du diamètre2D , je peux dimensionner le logement de la
clavette.
4
1
1
=D
b [ ]mmb 75,2=
8
1
1
=D
t [ ]mmt 375,1=
48
1
1
=D
r [ ]mmr 23,0=
Comme sur l’arbre du pignon, le logement de la clavette entraîne des concentrations de
contrainte que nous allons quantifier en calculant les coefficients à partir des tables déjà
utilisées précédemment.
D’après le rapport 74,0=M
T et en lisant le diagramme j’obtiens les coefficients 35,2=TK et
65,1=TSK , respectivement pour la flexion et la torsion.
Il faut donc majorer les moments et recalculer la contrainte maximale pour définir un nouveau
diamètre 2D : [ ]mmDD
Maxi 09,14400
23,111921723,11192173
232
=≥→=σ , soit 2D = 16 [mm]
Maintenant, comme nous l’avons vu dans l’étape précédente, le diamètre n’intervient pas dans
la détermination des coefficients, par conséquent le diamètre 2D final est de 16 [mm].
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
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Je redimensionne le logement de la clavette :
4
1
1
=D
b [ ]mmb 4=
8
1
1
=D
t [ ]mmt 2=
48
1
1
=D
r [ ]mmr 33,0=
Maintenant que le diamètre 2D est défini, nous passons au diamètre2d , tout comme pour le
premier arbre, en calculant les contraintes au niveau de l’épaulement :
Nous obtenons, dans un premier temps, les moments de flexion et de torsion suivant :
- flexion [ ] [ ]mmNMetmmNM fyfz .20280.22100 =−=
- torsion [ ]mmNM t .30592−=
Je calcule alors la contrainte maximale (toujours selon la méthode 1, eq.I.38) :
32
52,436399
dMaxi =σ (d’après l’inéquation eq.I.48) [ ]mmd 29,10
400
52,4363993
2 =≥ , soit un
diamètre « 2d » de 11 [mm].
Connaissant le diamètre 2D (16 [mm]), ainsi que 2d (11 [mm]), je peux déterminer les
coefficients de concentration me permettant de majorer la valeur de la contrainte maximale au
niveau de l’épaulement.
En utilisant les mêmes tables que citées dans l’étape précédente, j’obtiens les coefficients
suivants :
Grâce aux relations [ ] 23,0;45,1;5,22 22
222 ===−
=d
r
d
Dmm
dDr
Nous obtenons les coefficients17,1
42,1
==
TS
T
K
K, respectivement à la flexion et à la torsion.
La détermination du coefficient de la sensibilité au rayon de raccordement « q » nous donne :
- à la torsion 825,0=Sq ( ) 17,111 =++= TSSfS KqK
- à la flexion 975,0=q ( ) 35,111 =++= Tf KqK
Je majore les moments de flexion et de torsion, puis recalcule la contrainte maximale :
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
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32
55,550491
dMaxi =σ (d’après l’inéquation eq.I.48) [ ]mmd 12,11
400
55,5504913
2 =≥ , soit un
diamètre « 2d » de 12 [mm].
Il faut donc déterminer, à nouveau, les coefficients de concentration de contrainte et réitérer le
calcul de la contrainte maximale :
Grâce aux relations [ ] 17,0;33,1;22 22
222 ===−
=d
r
d
Dmm
dDr
Nous obtenons les coefficients23,1
52,1
==
TS
T
K
K, respectivement à la flexion et à la torsion.
La détermination du coefficient de la sensibilité au rayon de raccordement « q » nous donne :
- à la torsion 975,0=Sq ( ) 22,111 =++= TSSfS KqK
- à la flexion 8,0=q ( ) 416,111 =++= Tf KqK
Je majore les moments de flexion et de torsion, puis recalcule la contrainte maximale :
32
05,575921
dMaxi =σ (d’après l’inéquation eq.I.48) [ ]mmd 29,11
400
05,5759213
2 =≥ , soit un
diamètre « 2d » de 12 [mm].
Malgré le changement des valeurs des coefficients, nous observons que le diamètre 2d reste
inchangé, nous pouvons donc conserver cette valeur. Le dimensionnement de l’arbre de la
roue est donc le suivant : 2D = 16 [mm] et 2d = 12 [mm]
Le dimensionnement des deux arbres est donc terminé et nous donne les caractéristiques
suivantes :
Arbre 1 (support du pignon) :
100 130 130
360
Ø 14 Ø 10
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Moments de flexion Maxiσ
[MPa] fyM [N.mm] fzM [N.mm] Moment de torsion
[N.mm]
Diamètre 1d (épaulement)
365,6 - 20280 10595 15296
Diamètre 1D (logement de la clavette)
281,92 - 28080 14670 15296
Arbre 2 (support de la roue) :
Moments de flexion Maxiσ
[MPa] fyM [N.mm] fzM [N.mm] Moment de torsion
[N.mm]
Diamètre 1d (épaulement)
333,29 20280 - 22100 - 30592
Diamètre 1D (logement de la clavette)
273,25 28080 - 30600 - 30592
bb)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((ééttuuddee ddeess ddééffoorrmmaattiioonnss))
Comme je l’ai présenté dans l’étude théorique, c’est la méthode des moments que j’utilise
pour déterminer les différentes valeurs de la déformation de l’arbre de transmission soumis
aux deux sollicitations de flexion et de torsion.
Dans un premier temps, je vais calculer les déformations dues à la flexion, puis je passerai à
celles due à la torsion et ceci sur les deux arbres de la transmission d’engrenage, 1 et 2
respectivement.
100 130 130
360
Ø 16 Ø 12
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Flexion dans le plan vertical XY (arbre 1):
Distance BBv’ :
Section 12 ; Section 23 ; Section 34
[ ]44
3412 87,49064
mmd
II === π et [ ]4
4
23 74,188564
mmD
I == π
De plus le matériel utilisé nous donne les caractéristiques suivantes :
- E (module d’élasticité longitudinale ou de Young) = 210 GPa
- G (module d’élasticité transversale) = 80 GPa
Pour réaliser les calculs qui suivent, je reprends les équations de la partie théorique.
vO vP vB vA
[ ]mmN.14670 [ ]mmN.10595
[ ]N5,81 [ ]N5,81
''vP
'vP
''vO
'vO
'vB
[ ]N163
[ ]mm130 [ ]mm180
1 2
3
2’
4
5
y
x 1 2 3 4 [ ]mm14 [ ]mm10
vQ
''vQ
'vQ
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( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )
( )[ ]mm
BBv
98,287,490210000
3/13022
13010595
74,1885210000
180130180210595
74,1885210000
3/1301801802
1301801059514670
74,1885210000
3/1301801802
1301801059514670
87,490210000
3/130218022
13010595
'
=×
×××
+
××−×+
×
−−×−×−
+
×
−+×−×−
+×
×−×××
=
Je calcule à présent la pente de la tangente à la courbe de déflexion :
0083,0360
'=vBB
360
'
180
'
130
' vvv BBOOPP==
[ ]
[ ]mmBBPP
mmBB
OO
vv
vv
08,1360
130''
49,12
''
==
==
Maintenant nous allons reprendre la méthode vue précédemment pour calculer les distances
P’Pv’’ et O’Ov’’ :
P’Pv’’ ( ) [ ]mmPP v 29,0
87,490210000
3/1302/13010595''' =
×××= , ainsi la déflexion au niveau du point P
(ou de la section 2) est égale à [ ]mmPPPPPP vvv 79,029,008,1'"'" =−=−=
O’Ov’’
La déflexion au niveau du point O est alors égale à
[ ]mmOOOOOO vvv 83,066,049,1"''" =−=−=
Par symétrie, la déflexion au niveau de la section 2 sera égale à celle rencontrée au niveau de
la section 3. Cependant, pour le premier arbre, nous allons réaliser le calcul pour vérifier la
justesse de la méthode, chose que nous ne réitérerons pas lors de l’étude du second arbre.
Nous avons donc la relation suivante 360
'
230
' vv BBQQ= [ ]mmBBQQ vv 9,1
360
230'' ==
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]mm
OO v
66,074,1885210000
3
)130180(
2
1301801059514670
74,18852100002
13018013018010595
87,490210000
1301803/1302
)13010595(
'''
=×
−×−×−
+
×
−×−×+
×
−+××
=
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-53/77-
Q’Qv’’
La déflexion au niveau du point Q est donc égale à
[ ]mmQQQQQQ vvv 79,011,19,1"''" =−=−= , on peut donc bien constater que la symétrie est
respectée avec [ ]mmQQPP vv 79,0"" == .
Flexion dans le plan horizontal XZ (arbre 1):
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]mm
QQ v
11,174,1885210000
3
2130180
2
1301801059514670
74,18852100002
13018013018010595
74,1885210000
1301803
)130180(
2
1301801059514670
74,1885210000
1301802
13018013018010595
87,490210000
13018023/1302
)13010595(
'''
=×
×−×−×−
+
×
−×−×+
×
−+−×−×−
+
×
−+−×−×+
×
−×+××
=
hO hP hB hA
[ ]mmN.28080 [ ]mmN.20280
[ ]N156 [ ]N156
''hP
'hP
''hO
'hO
'hB
[ ]N312
[ ]mm130 [ ]mm180
1 2
3
2’
4
5
y
x 1 2 3 4 [ ]mm14 [ ]mm10
hQ
''hQ
'hQ
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-54/77-
Distance BBh’ :
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )
( )[ ]mm
BBh
7,587,490210000
3/13022
13020280
74,1885210000
180130180220280
74,1885210000
3/1301801802
1301802028028080
74,1885210000
3/1301801802
1301802028028080
87,490210000
3/130218022
13020280
'
=×
×××
+
××−×+
×
−−×−×−
+
×
−+×−×−
+×
×−×××
=
Je calcule à présent la pente de la tangente à la courbe de déflexion :
0158,0360
'=hBB
360
'
180
'
130
' hhh BBOOPP==
[ ]
[ ]mmBBPP
mmBB
OO
hh
hh
06,2360
130''
85,22
''
==
==
P’Ph’’ ( ) [ ]mmPP h 55,0
87,490210000
3/1302/13020280''' =
×××= , ainsi la déflexion au niveau du point P
(ou de la section 2) est égale à [ ]mmPPPPPP hhh 51,155,006,2'"'" =−=−=
O’Oh’’
La déflexion au niveau du point O est alors égale à
[ ]mmOOOOOO hhh 58,127,185,2"''" =−=−=
Par symétrie, la distance QQh’’= 1,51 [mm]
Nous pouvons calculer la déformation globale : 22vhTOTALE DéfDéfDéf +=
( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]mmQQPPPPPP
mmOOOOOO
vh
vh
70,151,179,0""""
78,158,183,0"""
2222
2222
=+==+=
=+=+=
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]mm
OO h
27,174,1885210000
3
)130180(
2
1301802028028080
74,18852100002
13018013018020280
87,490210000
1301803/1302
)13020280(
'''
=×
−×−×−
+
×
−×−×+
×
−+××
=
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-55/77-
Torsion (arbre 1):
Je reprends l’équation (eq.I.50) pour déterminer la déformation angulaire et obtenir l’écriture
suivante : ( ) [ ]deg028,0
14
130180
10
130
80000.
15296.3244
=
−+×=Ωπ
Ainsi nous avons la déformation angulaire, qui vient s’ajouter aux déformations horizontale et
verticale calculées précédemment.
Il faut cette fois-ci réitérer le calcul pour l’arbre 2 (support de la roue)
Flexion dans le plan vertical XY (arbre 2):
130 180
y
x 1 2 3 4
14 10
vO vP vB vA
[ ]mmN.30600 [ ]mmN.22100
[ ]N170 [ ]N170
''vP
'vP
''vO
'vO
'vB
[ ]N340
[ ]mm130 [ ]mm180
1 2
3
2’
4
5
y
x 1 2 3 4 [ ]mm16 [ ]mm12
vQ
''vQ
'vQ
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-56/77-
Distance BBv’ :
Section 12 ; Section 23 ; Section 34
[ ]44
3412 88,101764
mmd
II === π et [ ]4
4
23 99,321664
mmD
I == π
Pour réaliser les calculs qui suivent, je reprends les équations de la partie théorique.
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )
( )[ ]mm
BBv
12,388,1017210000
3/13022
13022100
99,3216210000
180130180222100
99,3216210000
3/1301801802
1301802210030600
99,3216210000
3/1301801802
1301802210030600
88,1017210000
3/130218022
13022100
'
=×
×××
+
××−×+
×
−−×−×−
+
×
−+×−×−
+×
×−×××
=
Je calcule à présent la pente de la tangente à la courbe de déflexion :
0087,0360
'=vBB
360
'
180
'
130
' vvv BBOOPP==
[ ]
[ ]mmBBPP
mmBB
OO
vv
vv
13,1360
130''
56,12
''
==
==
Maintenant nous allons reprendre la méthode vue précédemment pour calculer les distances
P’Pv’’ et O’Ov’’ :
P’Pv’’ ( ) [ ]mmPP v 29,0
88,1017210000
3/1302/13022100''' =
×××= , ainsi la déflexion au niveau du point P
(ou de la section 2) est égale à [ ]mmPPPPPP vvv 84,029,013,1'"'" =−=−=
O’Ov’’
La déflexion au niveau du point O est alors égale à
[ ]mmOOOOOO vvv 89,067,056,1"''" =−=−=
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]mm
OO v
67,099,3216210000
3
)130180(
2
1301802210030600
99,32162100002
13018013018022100
88,1017210000
1301803/1302
)13022100(
'''
=×
−×−×−
+
×
−×−×+
×
−+××
=
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-57/77-
Par symétrie, la déflexion au niveau de la section 2 sera égale à celle rencontrée au niveau de
la section 3. La déflexion au niveau du point Q est donc égale à [ ]mmQQPP vv 84,0"" == .
Flexion dans le plan horizontal XZ (arbre 2):
Distance BBh’ :
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )
( )[ ]mm
BBh
86,288,1017210000
3/13022
13020280
99,3216210000
180130180220280
99,3216210000
3/1301801802
1301802028028080
99,3216210000
3/1301801802
1301802028028080
88,1017210000
3/130218022
13020280
'
=×
×××
+
××−×+
×
−−×−×−
+
×
−+×−×−
+×
×−×××
=
hO hP hB hA
[ ]mmN.28080 [ ]mmN.20280
[ ]N156 [ ]N156
''hP
'hP
''hO
'hO
'hB
[ ]N312
[ ]mm130 [ ]mm180
1 2
3
2’
4
5
y
x 1 2 3 4
[ ]mm16 [ ]mm12
hQ
''hQ
'hQ
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-58/77-
Je calcule à présent la pente de la tangente à la courbe de déflexion :
008,0360
'=hBB
360
'
180
'
130
' hhh BBOOPP==
[ ]
[ ]mmBBPP
mmBB
OO
hh
hh
03,1360
130''
43,12
''
==
==
P’Ph’’ ( ) [ ]mmPP h 27,0
88,1017210000
3/1302/13020280''' =
×××= , ainsi la déflexion au niveau du point P
(ou de la section 2) est égale à [ ]mmPPPPPP hhh 78,026,004,1'"'" =−=−=
O’Oh’’
La déflexion au niveau du point O est alors égale à
[ ]mmOOOOOO hhh 81,062,043,1"''" =−=−=
Concernant le point Q, toujours par symétrie, la distance QQh’’= 0,78 [mm]
Nous pouvons calculer la déformation globale : 22vhTOTALE DéfDéfDéf +=
( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]mmQQPPPPPP
mmOOOOOO
vh
vh
15,178,084,0""""
2,181,089,0"""
2222
2222
=+==+=
=+=+=
Torsion (arbre 2):
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]mm
OO h
62,099,3216210000
3
)130180(
2
1301802028028080
99,32162100002
13018013018020280
88,1017210000
1301803/1302
)13020280(
'''
=×
−×−×−
+
×
−×−×+
×
−+××
=
130 180
y
x 1 2 3 4
16 12
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-59/77-
Je reprends l’équation (eq.I.50) pour déterminer la déformation angulaire et obtenir l’écriture
suivante : ( ) [ ]deg027,0
16
130180
12
130
80000.
30592.3244
=
−+×=Ωπ
Voilà donc l’étude des déformations terminée.
Flexion [mm]
en O en P Torsion [°]
Arbre 1 1,78 1,7 0,028
Arbre 2 1,2 1,15 0,027
22.. EEttuuddee DDyynnaammiiqquuee
aa)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn
Cette étude permet de vérifier la résistance de l’arbre de transmission à la fatigue et ainsi de
valider les dimensions actuelles ou de les modifier.
Pour cela, il faut utiliser l’équation vue dans la partie théorique (eq.I.51), dont les paramètres
sont les suivants :
Avec aK le facteur de superficie et MPaRsiRS eee 1400504,0' ≤×=
bK le facteur de taille MPaRsiMPaS ee 1400700' >=
cK le facteur de charge
dK le facteur de température
eK le facteur d’effets divers
Je rappelle que dans notre cas, les facteursdK , eK sont fixés à 1 et le facteur de chargecK est
également fixé à 1, puisque nous avons pris en compte les coefficients de concentration de
contrainte dans le calcul statique, incluant le facteur de fatigue.
Par conséquent, il ne reste que les deux facteursaK et bK que je calcule d’après les équations
bma RaK = et
1133,0
62,7
−
= dKb .
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-60/77-
Dans ce cas, nous pouvons constater que de l’arbre 1 à 2, le facteur aK restera inchangé,
puisque ne dépendant que du matériel « Rm » utilisé et de son traitement, en revanche le
facteur bK lui sera différent d’un arbre à l’autre et même d’une section à l’autre, puisque la
valeur du diamètre intervient dans sa détermination.
De la même manière que pour le facteuraK , la valeur de eS' sera fixe pour chacun des deux
arbres, dépendant elle aussi uniquement du matériel « Rm ».
Ainsi, nous aurons pour commencer, les valeurs suivantes :
aK bK eS' [MPa] eS [MPa]
Arbre 1 (d) 0,97 272,06
Arbre 1 (D) 0,93 260,84
Arbre 2 (d) 0,95 266,45
Arbre 2 (D)
0,795
0,92
352,8
258,04
Il suffit alors de reprendre les calculs effectués lors de l’étude statique et de remplacer la
valeur de « Re » par celle de « eS »calculée ci-dessus. Ayant déjà présenté la méthode et
défini les différentes étapes nécessaires à l’obtention du résultat, je ne donnerai que les
résultats.
Arbre 1
Nous obtenons les diamètres suivants : [ ]mmd 101 = devient [ ]mmd 121 =
[ ]mmD 141 = devient [ ]mmd 161 =
Arbre 2
Nous obtenons les diamètres suivants : [ ]mmd 121 = devient [ ]mmd 151 =
[ ]mmD 161 = devient [ ]mmd 181 =
Ayant ces nouveaux diamètres, je calcule les contraintes réelles obtenues sur chacun des
arbres au niveau de l’épaulement et du logement de la clavette pour les comparer à leur valeur
limite respective « eS ».
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-61/77-
Maxiσ [MPa]
Epaulement Logement clavette
Arbre 1 220,39 188,87
Arbre 2 186,54 191,91
Maintenant le tableau définissant les valeurs de nous donne :
aK bK eS' [MPa] eS [MPa]
Arbre 1 (d) 0,95 266,45
Arbre 1 (D) 0,92 258,04
Arbre 2 (d) 0,926 259,72
Arbre 2 (D)
0,795
0,907
352,8
254,39
Ainsi nous pouvons constater que les limites sont bien respectées :
Arbre 1 04,25887,188
45,26639,220
<<
Arbre 2 39,25491,191
72,25954,186
<<
Après avoir réalisé cette étude dynamique, les dimensions de chacun des deux arbres ont été
modifiées, par conséquent les valeurs des contraintes maximales diffèrent de l’étude réalisée
précédemment, c’est pourquoi les nouvelles valeurs ont été calculées et reportées dans le
tableau ci-dessus. Cependant, ce changement de dimensions des arbres génère également un
changement au niveau de l’amplitude des déformations calculée précédemment. Je ne vais pas
répéter l’étude faite, mais donner les nouvelles valeurs des déformations dans le tableau qui
suit :
Flexion [mm]
en O en P Torsion [°]
Arbre 1 0,917 (1,78) 0,868 (1,7) 0,014 (0,028)
Arbre 2 0,581 (1,2) 0,538 (1,15) 0,012 (0,27)
(en rouge, les anciennes valeurs)
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-62/77-
bb)) CChhooiixx ddeess rroouulleemmeennttss
D’après l’étude réalisée dans la partie II.A.c) et connaissant les diamètres de chacun des deux
arbres, je peux déterminer les roulements que je vais utiliser pour réaliser le montage.
Arbre 1
Désignation : Roulement SKF 61801
Arbre 1
Désignation : Roulement SKF 61802
Le calcul de dimensionnement est réalisé, je peux ainsi passer à l’étape suivante qui va être de
modéliser la transmission d’engrenage pour faire une nouvelle étude par la méthode des
éléments finis.
Cette étude est traitée dans la partie principale du rapport. L’annexe avait pour but de montrer
les détails du calcul de dimensionnement, ainsi que de définir toute la théorie contenue dans
mon étude.
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-63/77-
IIIIII.. CCoonncceennttrraatt iioonn ddee ccoonnttrraaiinntteess
Lors du calcul de contrainte sur des éléments ayant une géométrie particulière tels qu’un
changement section, une cavité ou tout autre type d’usinage, il en résulte qu’au niveau de ces
particularités, l’amplitude des contraintes augmente considérablement. De ce fait, le calcul
théorique s’éloigne de la réalité, mais dans le mauvais sens, puisque la théorie minore les
contraintes réellement présentes sur l’élément mécanique.
C’est pour cela qu’il existe ce que l’on appelle des coefficients de concentration de contrainte,
qui permettent de majorer les contraintes et ainsi être plus proche de la réalité.
Pour mon étude, je me suis basé sur la seconde édition du livre « Peterson’s stress
concentration factors » (référence). Dans les pages suivantes se trouvent les abaques que j’ai
utilisés au cours de mon étude. En effet, il existe un nombre important d’abaques et donc de
méthodes d’obtention des coefficients de concentration de contrainte, ceci en fonction de la
géométrie de l’élément, mais également de la sollicitation (traction/compression, flexion,
torsion ou encore combinaison de ces sollicitations).
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-64/77-
Fig.III-1 : facteur de concentration de contrainte KT pour la flexion, dans le cas du
changement de section (pour des sections circulaires) et ayant un rayon de raccordement
(basé sur le test de photoélasticité de Leven et Hartman 1951 ; Wilson et White 1973)
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-65/77-
Fig.III-2 : facteur de concentration de contrainte KT pour la flexion, dans le cas du
changement de section (pour des sections circulaires) et ayant un rayon de raccordement
(basé sur le test de photoélasticité de Leven et Hartman, 1951 ; Wilson et White, 1973)
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-66/77-
Fig.III-3 : facteur de concentration de contrainte KTS pour la torsion, dans le cas du
changement de section (pour des sections circulaires) et ayant un rayon de raccordement
(données de Matthews et Hooke, 1971)
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-67/77-
Fig.III-4 : facteur de concentration de contrainte KTS pour la torsion, dans le cas du
changement de section (pour des sections circulaires) et ayant un rayon de raccordement
(données de Matthews et Hooke, 1971)
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-68/77-
Fig.III-5 : facteur de concentration de contrainte KT pour la flexion, dans le cas du logement
de clavette (pour des sections circulaires) (basé sur les données de Fessler et al., 1969)
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-69/77-
Fig.III-6 : facteur de concentration de contrainte KT et KTS pour la torsion, dans le cas du
logement de clavette (pour des sections circulaires) (Leven, 1949 ; Okubo et al., 1968)
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-70/77-
Fig.III-7 : facteur de concentration de contrainte KT et KTS pour la combinaison flexion/torsion,
dans le cas du logement de clavette (pour des sections circulaires), avec b/d = 1/4, t/d =1/8, r/d
= 1/48 (valeurs approximatives basées sur la méthode de Fessler et al., 1969)
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-71/77-
IIVV.. CCooeeff ff iicc iieenntt ddee sseennssiibbii ll ii ttéé «« qq »»
fig.IV-2 : Diagramme de sensibilité au niveau du rayon de raccordement, pour matériel soumis à de la torsion
fig.IV-1 : Diagramme de sensibilité au niveau du rayon de raccordement, pour les aciers et alliages d’aluminium forgé UNS A92024-T, soumis à de la flexion (basé sur les données de George Sines et J.L. Waisman, Métal Fatigue, McGraw-Hill, New-York, 1959)
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-72/77-
VV.. GGrraapphhiiqquueess ddee ll ’’aannaallyyssee hhaarrmmoonniiqquuee
Dans le rapport principal, je parle de l’analyse harmonique. Cette étude, je l’ai réalisée grâce
au logiciel « Designspace ». Je rappelle que dans mon cas, l’arbre de transmission est soumis
à deux sollicitations que sont la flexion et la torsion. Cependant, la combinaison ne peut être
étudiée lors de l’analyse harmonique. Dans un premier temps, j’ai réalisé une première
analyse harmonique de l’arbre soumis à de la flexion pure, puis, dans un second temps,
soumis uniquement à de la torsion. Les valeurs reprises dans le rapport principal
correspondent à la fréquence de rotation du moteur qui est de 30 Hz. Les graphiques à partir
desquels j’ai pu obtenir ces valeurs sont les suivants :
Arbre 1
Axe X
Flexion
Axe Y
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-73/77-
Flexion Axe Z
Torsion Axe X
Arbre 2
Flexion Axe X
°
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-74/77-
Axe
Y
Flexion
Axe
Z
Torsion Axe
X
°
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-75/77-
VVII.. TTuuttoorr iiaall ((eexx.. ppoouurr «« SSooll iiddwwoorrkkss »»))
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-76/77-
VVIIII.. AArr tt iicc llee
Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)
-77/77-
VVIIIIII.. RRééfféérreenncceess
Livres
[réf.1] SKF - Catalogue général
Copyright © SKF - 1982
[réf.2] George Henriet « Engrenages »
Conception – Fabrication – Mise ne œuvre, 7ème édition
Copyright © DUNOD, Paris 1999
[réf.3] Walter D. Pilkey « Peterson’s Stress Concentration Factors », seconde édition
Copyright © 1997 by John Wiley & Sons, Inc.
[réf.4] Joseph Edgard Shigley, Charles R. Mischke « Diseño en Ingeniería
Mecánica », quinta edición
Traduit de l’édition anglaise « Mechanical Engineering »
Copyright © MCMLXXXIX, by Mc Graw-Hill, Inc., USA
Sites Internet
[C] http://www.engdyn.com/torsional/torsanal_SSscf.htm
[C] : Concentration de contraintes