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Introduzione alla Teoria dei GiochiNozioni Preliminari

Lorenzo Rocco

Scuola Galileiana - Università di Padova

25 marzo 2010

Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 1 / 25

Giochi.

Dilemma del prigionieroprigioniero2

n.c. c.prigioniero1 n.c. -1,-1 -4,0

c. 0,-4 -3,-3

Corsa agli armamentiURSS

disarma riarmaUSA disarma 2,2 0,3

riarma 3,0 1,1

Bach o Stravinskydonna

Bach Strav.uomo Bach 2,1 0,0

Strav. 0,0 1,2


L�obiettivo

FactL�obiettivo della teoria dei giochi è quello di prevedere l�esito (o gli esiti)"ragionevoli" di un gioco.


La Teoria dei Giochi

La teoria dei giochi studia situazioni di interazione strategica tra decisorirazionali con conoscenza comune delle regole e della struttura del gioco

De�nitionSi parla di interazione strategica quando la "vincita" (payo¤) del giocatorei dipende sia dalle sue scelte (strategie) che da quelle degli altri giocatori(�i).


Giochi

Economia:

1 competizione tra oligopolisti2 competizione elettorale (ma anche scelta del manager)3 negoziazione4 aste5 ...

Biologia

1 Selezione naturale (giochi evolutivi)Università di Vienna

2 Cooperazione e competizione tra i lievitiLieviti

Filoso�aFiloso�aRocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 5 / 25

http://www.univie.ac.at/virtuallabs/

Giochi

Giochi

1 testa o croce (matching pennies)2 morra cinese3 scacchi4 ...

testa crocetesta -1,1 1,-1croce 1,-1 -1,1

forbice sasso cartaforbice 0,0 -1,1 1,-1sasso 1,-1 0,0 -1,1carta -1,1 1,-1 0,0


Razionalità e common knowledge

Ogni giocatore i è caratterizzato da una funzione di payo¤ de�nita sul setA dei possibili esiti del gioco, che associa valori più alti a esiti per lui"preferibili".

De�nitionUn individuo è razionale se punta a massimizzare il suo payo¤

De�nitionCommon knowledge: la struttura del gioco, le regole, i giocatori, le lorofunzioni di payo¤ e le strategie che possono adottare sono conosciute1) da tutti i giocatori2) tutti i giocatori sanno che i loro avversari le conoscono3) tutti i giocatori sanno che i loro avversari sanno che loro conoscono4)...


Giochi in Forma Normale

De�nitionUn gioco in forma normale è composto dall�insieme dei giocatori, dallospazio delle strategie disponibili per ogni giocatore e dalle funzioni dipayo¤ di ogni giocatore: ΓN = (I , fSig, fuig)

Le tre "matrici" viste all�inizio sono rappresentazioni della forma normaledi alcuni giochi.


Funzioni di payo¤

Il vettore delle strategie giocate dai giocatori si chiama pro�lostrategico

Ad ogni pro�lo strategico corrisponde un esito del gioco. Es: (forbice,sasso)!vince Mr. 2Ad ogni esito corrisponde un payo¤

ui : S1 � ...� SI ! R


Il primo concetto di soluzione

Il primo e più debole concetto di soluzione di un gioco in forma normale èquello di eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate.


Strategie dominate I

De�nitionUna strategia si 2 Si è strettamente dominata per il giocatore i nel giocoΓN se esiste una strategia s 0i 2 Si tale che

ui (si , s�i ) < ui (s 0i , s�i ) per tutti s�i 2 S�i

De�nitionUna strategia si 2 Si è debolmente dominata per il giocatore i nel giocoΓN se esiste una strategia s 0i 2 Si tale che

ui (si , s�i ) � ui (s 0i , s�i ) per tutti s�i 2 S�i .


Strategie dominate II

Strategie strettamente dominate possono essere eliminate sulla basedel principio di razionalitàDopo avere eliminato alcune strategie strettamente dominate, altrestrategie strettamente dominate possono emergere e possono essereulteriormente eliminate

L C RU 4, 3 3, 5 2, 4M 9, 4 2, 5 3, 4D 5, 3 0, 2 2, 3

L�eliminazione iterata su basa sulla common knowledge dellarazionalità: ogni iterazione richiede che tale CK sia più profonda.Se i sa che gli altri giocatori sono razionali, allora i può prevedere chei suoi rivali cancelleranno le loro strategie dominate che emergonodopo la sua eliminazioneMa solo se gli altri sanno che i è razionale, si può prevedere che essicancelleranno le strategie dominate che emergono.Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 12 / 25

Strategie dominate III

Quanto i giocatori "credono" nella razionalità altrui? E se gliavversari sbagliassero con una piccola probabilità?

A Ba 1000, 0 1, 1b �1000, 0 2, 1

Spesso non esitono strategie dominate ! nessun esito può essereescluso usando questo concetto (es. Bach vs Stavinsky)

La soluzione del dilemma del prigioniero si ottiene per eliminazionedelle strategie dominate


Strategie dominate IV

Vi convince la soluzione prevista per il dilemma del prigioniero?

Voi come giochereste?

Sperimentalmente: il 40% gioca "non confessare"


Il secondo concetto di soluzione

Il secondo concetto di soluzione di un gioco in forma normale è quello dieliminazione iterata delle strategie non razionalizzabili (never bestresponse).(ovvero: spingere ancor più sul pedale della razionalità)


Strategie Razionalizzabili I

De�nitionNel gioco ΓN la strategia si è una risposta ottima (best response) per ilgiocatore i rispetto alle strategie degli altri giocatori s�i se

ui (si , s�i ) � ui (s 0i , s�i ) per tutte s 0i 2 Si

De�nitionUna strategia si non è mai risposta ottima (never a best response) se nonesiste alcun s�i per il quale si sia una risposta ottima.

Qualsiasi sia l�aspettativa del giocatore i circa le strategie dei suoiavversari s�i , una never best response è sempre peggiore di un�altrastrategia. Quindi una never best response non può essere giusti�cata,qualsiasi siano le aspettative del giocatore sul comportamento degli altri.


Strategie Razionalizzabili II

De�nitionNel gioco ΓN le strategie in Si che sopravvivono all�eliminazione iteratadelle strategie never best response sono de�nite come strategierazionalizzabili del giocatore i .

Il set di strategie razionalizzabili è un sottoinsieme del set delle strategienon strettamente dominate. Quindi l�insieme degli esiti ragionevoli delgioco si restringe.


Strategie Razionalizzabili III

b1 b2 b3 b4a1 0, 7 2, 5 7, 0 0, 1a2 5, 2 3, 3 5, 2 0, 1a3 7, 0 2, 5 0, 7 0, 1a4 0, 0 0,�2 0, 0 10,�1

Qual è l�insieme della strategie razionalizzabili?

1) b4 è never best response; 2) a4 diventa never best response

Qual è l�insieme delle strategie non dominate?

non ci sono strategie strettamente dominate


Il terzo concetto di soluzione

Il terzo concetto di soluzione di un gioco in forma normale è quello diEquilibrio di Nash.


Equilibrio di Nash

Il concetto di Equilibrio di Nash è il concetto di soluzione più famoso eapplicato

De�nitionUn pro�lo strategico s è un equilibrio di Nash del giocoΓN = (I ; fSig ; ui (�)) se per ogni giocatore i 2 I

ui (si , s�i ) � ui (s 0i , s�i ) per tutte s 0i 2 Si

Ogni giocatore adotta la sua best response, non rispetto a unqualsiasi pro�lo strategico adottato dai suoi avversari, ma rispetto allestrategie giocate dai sui avversari in equilibrio.

Non basta solo la razionalità: il concetto di EN richiede che igiocatori prevedano correttamente quali strategie saranno adottatedagli avversari.

In equilibrio di Nash, nessun giocatore ha un incentivo a deviare.


Equilibrio di Nash - Esempi

S C Da 4, 4 5, 3 1, 2b 3, 2 4, 5 3, 6

L RU 3, 4 4, 6D 2, 6 5, 4


Equilibrio di Nash III

Ogni strategia parte di un equilibrio di Nash è razionalizzabile (è unabest respose): quindi ci sono almeno tanti esiti in strategierazionalizzabili quanti sono gli equilibri di Nash

Possono esistere più equilibri di Nash (Bach vs Stravinsky). In questocaso l�assunzione di aspettative corrette è molto forte: i giocatoridevono prevedere correttamente quale equilibrio sarà giocato, mentrela teoria dei giochi è incapace di "selezionare" un equilibrio.

B SB 2, 1 0, 0S 0, 0 1, 2


Equilibrio di Nash IV

De�nizione alternativa

De�nitionLa corrispondenza di risposta ottima (best response correspondence) delgiocatore i , bi : S�i ! Si nel gioco ΓN = (I , fSig, fuig) è lacorrispondenza che assegna a ogni pro�lo s�i 2 S�i l�insieme delle risposteottime di i

bi (s�i ) =�si 2 Si : u(si , s�i ) > u(s 0i , s�i ) for all s 0i 2 Si

De�nitionIl pro�lo (s1, ...sI ) è un Equilibrio di Nash del gioco ΓN = (I , fSig, fuig)se e solo se

si 2 bi (s�i ) per i = 1, ..., I


Interpretazione del concetto di E.N. I

Il concetto di Equilibrio di Nash è ragionevole? Ecco alcune possibiligiusti�cazioni

Giocatori razionali devono necessariamente capire qual è l�esitoragionevole del gioco e devono giocarlo. (Falso: abbiamo visto che larazionalità consente solamente di identi�care le strategierazionalizzabili)

Se esiste un unico modo ovvio ed evidente per giocare, questo deveessere un equilibrio di Nash (giocatori razionali devono individuarequesto modo ovvio e aspettarsi che anche i loro avversari loindividuino)

Se un esito è un focal point questo è un equilibrio di Nash: certi esitisono "attrattivi" per ragioni culturali, oppure potrebbero avere unqualche natural appeal (Shelling)


Interpretazione del concetto di E.N. II

L�equilibrio di Nash può essere pensato come un self-enforcingagreement (i giocatori comunicano prima del gioco, si accordano"senza impegno" su un esito e si aspettano che gli altri giochinosecondo l�accordo - accordo credibile solo se non ci sono deviazionipro�ttevoli)

L�equilibrio di Nash può essere visto come lo steady state di unprocesso di aggiustamento dinamico, dove i giocatori formanoaspettative "ingenue" sul comportamento degli avversari (ad esempio:Cournot tatonnement - i giocatori si aspettano che l�avversario giochioggi come ha giocato ieri).

L�equilibrio di Nash come esito evolutivo: i geni determinano lastrategia che un giocatore adotta (non ci sono più rational decisionmakers): la popolazione dei giocatori che scelgono le strategiesbagliate scompare


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