Formelsammlung PackmitteltechnologieStand: 04/2015

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Herausgeber: Hauptverband Papier- und Kunststoffverarbeitung e.V. (HPV), Chausseestraße 22, 10115 Berlin.Unter Mitwirkung von: Josef Fröhlich, Pascal Fries Letzte Aktualisierung: 02.04.2015

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Formelsammlung PackmitteltechnologieStand: 04/2015

Einheiten und Größen ..................................................................................................................4Basisgrößen ............................................................................................................................................. 4Basiseinheiten ......................................................................................................................................... 5Prozentrechnung .................................................................................................................................... 6

Flächen & Körper .........................................................................................................................7Flächenberechnung ................................................................................................................................ 7Körperberechnung ............................................................................................................................... 10Masseberechnung ................................................................................................................................. 12Satz des Pythagoras .............................................................................................................................. 13

Papier ..........................................................................................................................................14Papierberechnung ................................................................................................................................ 14Die DIN-Formate ................................................................................................................................. 15

Lösungen ....................................................................................................................................16Mischen von Lösungen ....................................................................................................................... 16

Mechanische Arbeit ....................................................................................................................18

Elektrotechnik ............................................................................................................................19Riemenantrieb ...................................................................................................................................... 19Reihen- und Parallelschaltung............................................................................................................ 19Ohmsches Gesetz ................................................................................................................................. 20Elektrische Leistung ............................................................................................................................ 20Elektrische Arbeit ................................................................................................................................. 20

Pneumatik und Hydraulik ........................................................................................................21Pneumatik ............................................................................................................................................. 21Hydraulik............................................................................................................................................... 21

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Einheiten und Größen

Basisgrößen

Basisgröße Länge Masse Zeit elektrischeStromstärke

thermo-dynamischeTemperatur

Lichtstärke

Basiseinheit Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Candela

Kurzzeichen m kg s A K cd

Aus den Basisgrößen wurden viele für den Maschinenbau wichtige Größen und Einheiten abgeleitet, z.B.

AbgeleiteteGröße

Kraft Druck Energie(Arbeit)

Leistung elektrischeSpannung

Einheit Newton Pascal Joule Watt Volt

Kurzzeichen N Pa J W V

Beziehung 1 N=1 kgm / s2 1 Pa=1 N / m2 1 J=1 Nm 1 W=1 J / s 1 V=1 W/A

Außerdem lässt das Gesetz auch Einheiten zu, die nicht Basiseinheiten und nicht direkt abgeleitete Einheiten sind.Es handelt sich um Einheiten, die sich aus einem bestimmten Zahlenwert mal Einheit ergeben, z.B.

Größe Zeit Masse Druck Zeit Zeit

Einheit Minute Tonne Pascal / bar Stunde Tag

Kurzzeichen min t Pa h D

Beziehung 1 min = 60 s 1 t = 1000 kg 1 Pa = 0,00001 bar 1mbar = 100 Pa = 1hPa1 Pa = 0,0001 N / cm2

1h = 60 min1h = 3600 s

1d = 24h1d = 86.400 s

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Basiseinheiten

Größe Formelzeichen

SI - Einheit Zeichen Umrechnung in andere gesetzliche Einheiten

Formel oder DIN – Norm

Länge lWeg s

Meter m 1 m = 100 cm = 10 dm = 1000 mm

Zoll Inch in 1 Zoll = 1inch = 2,54 cm

Fläche A Quadratmeter m2 1 m2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2 = 106 mm2

Beispiel KreisflächeA = r 2 . Π

A = 4

2 p⋅d

Volumen V Kubikmeter m3 1 m3 = 1.000 dm3

1 dm3 = 1 LiterBeispiel PrismenV = A . h

Zeit t Sekunde s 1 s = 1/60 min

Geschwindigkeit v Meter durch Sekunde

sm 1m/s = 60m/min

v = ts

Beschleunigung aMeter durch Sek. hoch zwei 2s

mFallbeschleunigung (gerundet)

g = 9,81 2sm ≈ 10 2s

m

Volumenstrom Q Kubikmeter durch Sekunde

sm3

Liter durch Minute min

l

1 s

m3

= 60.000 min

l

Q = tV

Q = v . A

Umdrehungsfrequenz n(Drehzahl)

Umdrehungen je Sekunde

s1

s1 = 60/min

Umdrehungen je Minute min

1

Masse m Kilogramm kg m = V · ρDIN 1305

Dichte r kg durch Kubikmeter kg

m3

1 t/m3

1 kg/dm3

1 g/cm3

DIN 1306

Kraft F Newton N1 N = 1

kg · m

s2

F = m . aG = m . gDIN 1305

Druck p Bar bar

1 bar = 10 N

cm3= 105

2mN

p =

AF

DIN 1314

Newton durch Quadratmeter 2m

N

1 2mN

= 0,00001 bar = 1 Pa

Pascal Pa 1 Pa = 10-5 bar

Temperatur(thermo- TΘ dynamische)

(Celsiustemperatur) t,ϑ

Kelvin Celsius

K°C

Die Temperaturdifferenzen werden in K ausgedrückt.

T = t + T0T0 = 273,15 K

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Prozentrechnung

Der Prozentwert wird gesucht

Der Prozentwert wird auch Hundertwert genannt. Man streicht vom Grundwert zwei Stellen ab und nimmt mit dem Prozentsatz mal:

Prozentwert=Grundwert

100⋅Prozentsatz

Der Prozentsatz wird gesucht

Der Prozentsatz wird auch Hundertsatz genannt. Man nimmt den Prozentwert mit 100 mal und teilt dann durch den Grundwert.

Prozentsatz=Prozentwert⋅100

Grundwert

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Flächen & Körper

FlächenberechnungAls Flächen (A) bezeichnet man:

1. Regelmäßige Vierecke

Quadrat A= l2 Rhombus A= l⋅b

l

l

e

A = Flächel = Seitenflächee = Eckenmaß = l⋅√2u = Umfang = 4 ·l

l

lb

A = Flächel = Seitenlängeb = BreiteU = Umfang = 4 ·l

Rechteck A= l⋅b Rhomboid A= l1⋅b

l

e

b

A = Flächel = Längeb = Breitee = Eckenmaß = √l2+b2U = Umfang = 2(l+b)

l1

l2

b

A = Flächel1 = Längel2 = schräge Seitenlängeb = BreiteU = Umfang = 2(l1+l2)

2. Trapez, Dreieck und Vieleck

Trapez A= lm⋅b DreieckA= l⋅b

2

l2

lm

l1

b

A = Flächeb = Breitel1 = große Längel2 = kleine Länge lm = mittlere Länge

= l1 + l2

2

b

l

A = Flächel = Seitenlängeb = Breite

8

Unregelmäßiges Vieleck A= A1 + A2 + … Regelmäßiges VieleckA= n⋅l⋅d

4

b2

I1,I2

A2

A1b1

D

l

d

A = Gesamtfläche

A1, A2 = Teilflächen

l1, l2 = Längen

b1, b2 = Breiten

U = Umfang = Summe der Teillängen

n = Eckenzahl

A = Fläche = l⋅d2

⋅n

l = Seitenlänge = D⋅sin (180°n

)

D = Umkreisdurchmesser = √d2+l2

d = Inkreisdurchmesser = √D2−l2

α = Mittelpunktswinkel = 360°n

β = Eckenwinkel = 180°(n−2)n

U = Umfang = n ·l

9

3. Kreisförmige Flächen

KreisA=

π⋅d2

4

KreisausschnittA=

π⋅d2

4⋅

α360°

d

r d

Bl

l

A = Fläche

d = Durchmesser

U = Umfang = p . d

A = Fläche = lB⋅r

2

d = Durchmesser

r = Halbmesser

l = Sehnenlänge = 2⋅r⋅sinα2

lB = Bogenlänge = π⋅r⋅α180°

b = Breite

α = Mittelpunktswinkel

Kreisabschnitt/ Kreissegment A=

π⋅d2

4⋅

α360°

⋅l(r−b)

2Kreisring

A= π4⋅(D2−d2)

r

l

b

d

lB

D

d

dm

b

A = Fläche = (lB⋅r) − l⋅(r−b)

2

d = Durchmesser

r = Halbmesser

l = Sehnenlänge = 2⋅r⋅sinα2

lB = Bogenlänge = π⋅r⋅α180°

b = Breite = l2⋅tan⋅

α4

A = Fläche = π⋅dm⋅b

D = Außendurchmesser

dm = Innendurchmesser = D + d2

b = Breite

10

Kreisumfang

U= π⋅d

Kreisbogen

lB=π⋅d⋅α360

d

d

lB

Bezeichnungen:

U = Umfang

d = Durchmesser

lB = Bogenlänge

α = Mittelpunktswinkel

Körperberechnung

1. Körper mit gleichbleibendem Querschnitt Volumen = Fläche . Höhe | V= A · h

Würfel A = l2 Vierkantprisma A = l . b

l

h

l

l

h

b

ZylinderA=

π⋅d2

4

HohlzylinderA= π

4⋅(D2− d2)

h

d D

h

d

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2. Körper mit zugespitzten Querschnitt V=A⋅h3

Pyramide A= l2 oder l⋅b KegelA=

π⋅d2

4

l1

b

h

l

hs

hs h

d

3. Abgestumpfte Körper

Pyramidenstumpf Am=A1 + A22

Kegelstumpf

h

b 1

l1

l2

b 2

hs

D

d

hsh

Am=π⋅(dm)

2

4

dm=D + d2

4. Kugel

Kugel V= π6⋅d3

d

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Masseberechnung

Jeder Körper besteht aus einer bestimmten Menge eines Werkstoffs. Diese Stoffmenge bezeichnet man als spezifische Masse. Die spezifische Masse wird durch wägen auf der Waage gemessen und in folgenden Maßeinheiten angegeben.

Spezifische Masse= ϱ in gcm3

oder kgdm3

oder tm3

Die erhaltende spezifische Masse beziehen wir auf die jeweilige Volumeneinheit und nennen das Verhältnis Dichte. Daraus ergibt sich folgende Grundgleichung.

Masse = Volumen . Dichte flächenbezogene Masse* = FlächeMasse

m = V . ϱ m“ = Am

* Papierflächengewicht wird in flächenbezogene Masse (g / m2) angegeben.

Dichte einiger Stoffe

Stoff ϱ in kgdm3

Stoff ϱ in kgdm3

AluminiumEisen/Stahl

KupferPE - LDPE - HD

2,72 7,85 8,93ca. 0,92ca. 0,96

Wasser (rein)Öl

Spiritus

1,0ca. 0,92 0,81

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Satz des Pythagoras

b

c

a

Kathete Kathete

Hypotenuse

Abb. 1: Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck

Der Satz des Pythagoras lautet:

a2 + b2= c2

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat gleich der Summe der beiden Kathetenquadrate (Abb. 2).

c

b a

b2

= 9

a2

=

16

c2

= 25

Abb. 2: Der Satz des Pythagoras

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Papier

Papierberechnung

Bogenzahl=GesamtnutzenzahlNutzenproBogen

Bogenzahl (bei Stapel) =Gesamtgewicht Stapel (g)Gewicht pro Stapel (g)

Gesamtnutzenzahl= Nutzen pro Bogen⋅Bogenzahl

Quadratmeterpreisgewicht bei Bogen (€ /m2)=Gesamtgewicht pro Bogen (g)

Fläche des Bogens (m2)

Quadratmeterpreisgewicht bei Rolle(€ /m2)=Gesamtgewicht der Rolle (g)Gesamtfläche der Rolle (m2)

Papierdicke (mm) =Flächenmasse⋅Volumen

1.000

Länge bzw. Breite einer Papierrolle

1. Schritt Gesamtfläche (m2)=Gesamtgewicht (g)

Quadratmetergewicht(g /m2)

Wenn Breite gesucht Breite der Papierrolle (m)=Gesamtfläche (m2)

Länge (m)

Wenn Länge gesucht Länge der Papierrolle (m) =Gesamtfläche (m2)

Breite (m)

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Die DIN-Formate

Klasse Endformat mm Rohformat mm

DIN A 0 841 × 1189 860 × 1220DIN A 1 594 × 841 610 × 860DIN A 2 420 × 594 430 × 610DIN A 3 297 × 420 305 × 430DIN A 4 210 × 297 215 × 305DIN A 5 148 × 210 153 × 215DIN A 6 105 × 148 108 × 153DIN A 7 74 × 105 77 × 108DIN A 8 52 × 74 54 × 77

Tabelle zur Entnahme von DIN Formatmaßen

A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 0 2 4 8 16 32 64 128 256 A 1 2 4 8 16 32 64 128 A 2 2 4 8 16 32 64 A 3 2 4 8 16 32 A 4 2 4 8 16 A 5 2 4 8 A 6 2 4 A 7 2

Formel:

2(n1 −n )

n1 = Entnahmemaßen = Endmaß

Beispiel: Wieviele DIN A4-Blätter können einem DIN A1-Bogen entnommen werden?Antwort: 8Lösungsweg:n1 = DIN A4 = 4n = DIN A1 = 1=> 2(4-1) = 23 = 8

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Lösungen

Mischen von Lösungen

Formel:

G= P⋅L100

G = Gehalt (Konzentration / Substanzen z.B. Stärke)P = Prozent der KonzentrationL = Lösung (fertiger Klebstoff)

Berechnen von Mischungen

Mit der folgenden Formel können Mischungen aus beliebig vielen Stoffen berechnet werden.

Stoff1 + Stoff2 +… + Stoffn= MischungM

c1 m1 + c2 m2 +… + cn mn= cM mM

Darin sind:

c1, c2 … cnDie Konzentrationen der zu mischenden Stoffe in % oder ‰

m1, m2 … mnDie Masse der zu mischenden Stoffe in g, kg, …

cmDie Konzentration der Mischung in % oder ‰

mM Die Masse der Mischung in g, kg, … (mM = m1+m2+…mn)

Durch Umstellen der Formel kann die gesuchte Größe bestimmt werden. Die Einheiten für die Konzentrationen und die Masse müssen jeweils gleich sein.

Anwendungsbeispiel: Klebstoff aus mindestens drei Komponenten

Werden nur zwei verschiedene Stoffe gemischt, zum Beispiel Wasser und Stärke, vereinfacht sich die Formel wie folgt:

Mischzahl

Das Verhältnis der Mischung wird mit der Mischzahl angegeben. Sie sagt aus, wie viele Teile von Stoff2 zu einem Teil von Stoff1 gemischt werden.

Beispiel: Verhältnis Leim (Stoff1) zu Wasser (Stoff2) sei 1:4. Das heißt: 4 Teile Wasser auf 1 Teil Leim.

Berechnen von Rezepturen nach Mischzahlen für mehrere Stoffe:

• Bestimmung der Summe aller Teile• Es wird bestimmt, wie viel Teil bezogen auf die Gesamtmenge ist• Berechnung der einzelnen Mengen für die Zutaten

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Berechnung des Mischverhältnisses

KonzentratLösungsmittel

= 1:x

Kreuzregel

Soll aus einer höherprozentigen Lösung eine niedrigerprozentige Lösung hergestellt werden, so kann man nach der Kreuzregel verfahren.

starke Lösung in %

Anteil starke Lösung in %

Gesuchte Lösung in %

schwache Lösung in %

Anteil schwache Lösung in %

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Mechanische Arbeit

Mechanische Arbeit [J] = Kraft [N] . Kraftweg [m] W = F . s

Größenwertgleichung Bezeichnungen und Einheiten

s F =W ⋅ W = Arbeit in J F = Kraft in N

s g m =W ⋅⋅ s = Kraftweg in m m = Masse in kg g = Fallbeschleunigung in m / s2

Mechanische Leistung ist die in Zeiteinheit (z.B. in 1 Sekunde) verrichtete Arbeit.

Mechanische Leistung [W] = mechanische Arbeit [J]Zeit [s]

Größenwertgleichung Bezeichnungen und Einheiten

P= Wt= F⋅s

t=F⋅v

P = Leistung in W

W = Arbeit in J s = Kraftweg in m t = Zeit in s v = Geschwindigkeit in m / s

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Elektrotechnik

Riemenantrieb

Bezeichnungen und Einheiten

n1

iv

d2d1

n2

treibend getrieben

v = Umfangsgeschwindigkeit in ms

d1 = Durchmesser der treibenden Scheibe in mmd2 = Durchmesser der getriebenen Scheibe in mmn1 = Drehzahl (Umdrehungsfrequenz) der treibenden Scheibe in 1/min n2 = Drehzahl (Umdrehungsfrequenz) der getriebenen Scheibe in 1/min

Übersetzungsverhältnis n1⋅d1= n2⋅d2

Übersetzungsverhältnis i=n1n2

bzw.d2d1

Umdrehungsgeschwindigkeit v=Umfang (m)⋅Anzahl der Umdrehungen

Zeit (s)

Reihen- und Parallelschaltung

U1

R1

U2

R2

U3

R3

UgesI

R3I3

R2I2

R1I1

Iges U

Bei Reihenschaltungen bleibt der Strom (Ampere) gleich.

Bei Parallelschaltungen bleibt die Spannung (Volt) gleich.

Uges = U1 + U2 + U3 U= U1= U2= U3

I= I1= I2= I3 Iges = I1 + I2 + I3

Rges = R1 + R2 + R3 Rges =1R1

+1R2

+1R3

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Ohmsches Gesetz

In einem Stromkreis besteht zwischen Spannung, Strom und Widerstand folgender Zusammenhang:

U

I

R

In einem Stromkreis besteht zwischen Spannung, Strom und Widerstand folgender Zusammenhang:

Formel:

Strom= SpannungWiderstand

I= UR

Bezeichnungen und Einheiten:

U = Spannung in Volt (V)

R = Widerstand in Ohm (Ω)

I = Strom in Ampere (A)

Elektrische Leistung

Im Gleichstromkreis und im Wechselstromkreis z.B. bei Wärmegeräten errechnet man die elektrische Leistung wie folgt:

elektrische Leistung (P)= Spannung (U)⋅Strom (I)

P= U⋅I

P = Leistung in Watt (W)U = Spannung in Volt (V)I = Strom in Ampere (A)

Elektrische Arbeit Die elektrische Arbeit ist das Produkt aus Leistung und Zeit.

elektrische Arbeit= Leistung⋅Zeit

W= P⋅t

W = elektrische Arbeit in Kilowattstunden (kWh)P = elektrische Leistung in Kilowatt (kW)t = Zeit in Stunden (h)

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Pneumatik und Hydraulik

Pneumatik

Formel Bezeichnungen und EinheitenKraft = Betriebsdruck (p) . Kolbenfläche (A) . Wirkungsgrad (η) F1 F2 wirksame Kolbenkraft in N

F= pe⋅A⋅η p e Betriebsdruck in bar

A1 Kolbenfläche in cm 2

A2 Kolbenstangenfläche in cm 2

h Wirkungsgrad in %

1 bar= 10 Ncm2

= 100.000Pa= 100.000 Nm2

Hydraulik

Unter Hydraulik versteht man die Lehre vom Gleichgewicht ruhender und bewegter Flüssigkeiten.Ein durch äußere Kräfte hervorgerufener Druck pflanzt sich in einer Flüssigkeit allseitig und in gleicher Stärke fort.

Hydraulische Kraftübertragung:

Druckkolben

F1 F2

s1

s2V1=V2A1

A2

Arbeitskolben Bezeichnungen und Einheiten

F 1 Kraft auf den Druckkolben in N

A 1 Fläche des Druckkolbens in cm 2

s 1 Hub des Druckkolbens in cm

F 2 Kraft auf den Arbeitskolben in N

A 2 Fläche des Arbeitskolbens in cm 2

s 2 Hub des Arbeitskolbens in cm

V 1 bewegte Flüssigkeit unter in cm 3

dem Druckkolben

V 2 bewegte Flüssigkeit unter in cm 3

Druck: 2

2

1

1

AF

AFP ==

Die Kräfte verhalten sich wie die Kolbenflächen 2

2

1

1

AF

AF

= oder 2

1

2

1

AA

FF

= .

Das Übersetzungsverhältnis: i=F1F2

=A1A2

=s2

s1