ËÈÊÁÅÇ

Ëåêöèÿ 1: Ìàøèíû Òüþðèíãà. Îñíîâû òåîðèè

âû÷èñëèìîñòè. Áóëåâû ôóíêöèè è

ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû

Äìèòðèé Èöûêñîí

ÏÎÌÈ ÐÀÍ

21 ñåíòÿáðÿ 2008

1 / 38

Ïëàí

• O-ñèìâîëèêà è àññèìïòîòè÷åñêèå êëàññû ôóíêöèé

• Ìàøèíû Òüþðèíãà

• Ýëåìåíòû òåîðèè âû÷èñëèìîñòè: ðàçðåøèìûå èïåðå÷èñëèìûå ÿçûêè

• Áóëåâû ôóíêöèè è ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû

2 / 38

Ëèòåðàòóðà

1 Í. Ê. Âåðåùàãèí, À. Øåíü. Âû÷èñëèìûå ôóíêöèè.

2 Ò. Êîðìåí, ×. Ëåéçåðñîí, Ð. Ðèâåñò. Àëãîðèòìû.Ïîñòðîåíèå è àíàëèç.

3 / 38

O, o, Ω, Θ

Îáîçíà÷åíèÿÔóíêöèè f , g : N→ R+

• f (n) = O(g(n)), åñëè ∃c > 0∃n0∀n > n0, f (n) < cg(n);

• f (n) = o(g(n)), åñëè limn→∞

f (n)g(n) = 0;

• f (n) = Ω(g(n)), åñëè ∃c > 0∃n0∀n > n0, f (n) > cg(n);

• f (n) = Θ(g(n)), åñëè∃c1, c2 > 0∃n0∀n > n0, c1g(n) < f (n) < c2g(n);

f (n) = Θ(g(n)) ⇐⇒

f (n) = O(g(n))

g(n) = O(f (n))

4 / 38

Ïîëåçíî çíàòü

• f (n), g(n) ìíîãî÷ëåíû, deg f = deg g =⇒ f = Θ(g);

• f (n), g(n) ìíîãî÷ëåíû, deg f < deg g =⇒ f = o(g);

• log2 n = o(nk);

• log2 n = Θ(loga n) = Θ( êîëè÷åñòâî öèôð â ÷èñëå n);

• nk = o(2n);

• nk = o(nlog n);

• O(1) ýòî êîíñòàíòà;

• o(1) ýòî áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ.

5 / 38

Êëàññû ôóíêöèé

• poly êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ïîëèíîìèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ poly , åñëè ñóùåñòâóåò k ∈ N, ÷òî f = O(nk).

• Êëàññ poly çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèè ôóíêöèé.

• exp êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ exp, åñëè ñóùåñòâóåò g ∈ poly , ÷òî f = O(2g(n)).

• Êëàññ exp çàìêíóò îíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèåé ñ ýëåìåíòàìè êëàññà poly .

• log êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ëîãàðèôìè÷åñêîãîðîñòà.

• f ∈ log , åñëè f = O(logn).

6 / 38

Êëàññû ôóíêöèé

• poly êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ïîëèíîìèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ poly , åñëè ñóùåñòâóåò k ∈ N, ÷òî f = O(nk).

• Êëàññ poly çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèè ôóíêöèé.

• exp êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ exp, åñëè ñóùåñòâóåò g ∈ poly , ÷òî f = O(2g(n)).

• Êëàññ exp çàìêíóò îíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèåé ñ ýëåìåíòàìè êëàññà poly .

• log êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ëîãàðèôìè÷åñêîãîðîñòà.

• f ∈ log , åñëè f = O(logn).

6 / 38

Êëàññû ôóíêöèé

• poly êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ïîëèíîìèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ poly , åñëè ñóùåñòâóåò k ∈ N, ÷òî f = O(nk).

• Êëàññ poly çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèè ôóíêöèé.

• exp êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ exp, åñëè ñóùåñòâóåò g ∈ poly , ÷òî f = O(2g(n)).

• Êëàññ exp çàìêíóò îíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèåé ñ ýëåìåíòàìè êëàññà poly .

• log êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ëîãàðèôìè÷åñêîãîðîñòà.

• f ∈ log , åñëè f = O(logn).

6 / 38

Êëàññû ôóíêöèé

• poly êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ïîëèíîìèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ poly , åñëè ñóùåñòâóåò k ∈ N, ÷òî f = O(nk).

• Êëàññ poly çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèè ôóíêöèé.

• exp êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ exp, åñëè ñóùåñòâóåò g ∈ poly , ÷òî f = O(2g(n)).

• Êëàññ exp çàìêíóò îíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèåé ñ ýëåìåíòàìè êëàññà poly .

• log êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ëîãàðèôìè÷åñêîãîðîñòà.

• f ∈ log , åñëè f = O(logn).

6 / 38

Êëàññû ôóíêöèé

• poly êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ïîëèíîìèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ poly , åñëè ñóùåñòâóåò k ∈ N, ÷òî f = O(nk).

• Êëàññ poly çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèè ôóíêöèé.

• exp êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ exp, åñëè ñóùåñòâóåò g ∈ poly , ÷òî f = O(2g(n)).

• Êëàññ exp çàìêíóò îíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèåé ñ ýëåìåíòàìè êëàññà poly .

• log êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ëîãàðèôìè÷åñêîãîðîñòà.

• f ∈ log , åñëè f = O(logn).

6 / 38

Êëàññû ôóíêöèé

• poly êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ïîëèíîìèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ poly , åñëè ñóùåñòâóåò k ∈ N, ÷òî f = O(nk).

• Êëàññ poly çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèè ôóíêöèé.

• exp êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ exp, åñëè ñóùåñòâóåò g ∈ poly , ÷òî f = O(2g(n)).

• Êëàññ exp çàìêíóò îíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèåé ñ ýëåìåíòàìè êëàññà poly .

• log êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ëîãàðèôìè÷åñêîãîðîñòà.

• f ∈ log , åñëè f = O(logn).

6 / 38

Êëàññû ôóíêöèé

• poly êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ïîëèíîìèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ poly , åñëè ñóùåñòâóåò k ∈ N, ÷òî f = O(nk).

• Êëàññ poly çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèè ôóíêöèé.

• exp êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ exp, åñëè ñóùåñòâóåò g ∈ poly , ÷òî f = O(2g(n)).

• Êëàññ exp çàìêíóò îíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèåé ñ ýëåìåíòàìè êëàññà poly .

• log êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ëîãàðèôìè÷åñêîãîðîñòà.

• f ∈ log , åñëè f = O(logn).

6 / 38

Êëàññû ôóíêöèé

• poly êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ïîëèíîìèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ poly , åñëè ñóùåñòâóåò k ∈ N, ÷òî f = O(nk).

• Êëàññ poly çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèè ôóíêöèé.

• exp êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíîãîðîñòà.

• f ∈ exp, åñëè ñóùåñòâóåò g ∈ poly , ÷òî f = O(2g(n)).

• Êëàññ exp çàìêíóò îíîñèòåëüíî ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ èêîìïîçèöèåé ñ ýëåìåíòàìè êëàññà poly .

• log êëàññ ôóíêöèé íå áîëåå, ÷åì ëîãàðèôìè÷åñêîãîðîñòà.

• f ∈ log , åñëè f = O(logn).

6 / 38

Ìîäåëè âû÷èñëåíèé

Çà÷åì îíè íóæíû?

• Ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ àëãîðèòì;

• Ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ñëîæíîñòè àëãîðèòìà;

• Âîçìîæíîñòü ÷òî-òî äîêàçûâàòü ïðî âñå àëãîðèòìû.Äîêàçûâàòü íåâîçìîæíîñòü àëãîðèòìà.

Êàêèå Âû çíàåòå ìîäåëè âû÷èñëåíèÿ?

λ-èñ÷èñëåíèå, ìàøèíà Òüþðèíãà, ÐÀÌ-ìàøèíà, ìàøèíà Ïîñòà,íîðìàëüíûå àëãîðèòìû Ìàðêîâà...Ïî÷òè ëþáîé ÿçûê ïðîãðàììèðîâàíèÿ ìîæåò âûñòóïàòü â ðîëèìîäåëè âû÷èñëåíèÿ, åñëè åñòü âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòüíåîãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî ïàìÿòè.

7 / 38

Ìîäåëè âû÷èñëåíèé

Çà÷åì îíè íóæíû?

• Ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ àëãîðèòì;

• Ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ñëîæíîñòè àëãîðèòìà;

• Âîçìîæíîñòü ÷òî-òî äîêàçûâàòü ïðî âñå àëãîðèòìû.Äîêàçûâàòü íåâîçìîæíîñòü àëãîðèòìà.

Êàêèå Âû çíàåòå ìîäåëè âû÷èñëåíèÿ?

λ-èñ÷èñëåíèå, ìàøèíà Òüþðèíãà, ÐÀÌ-ìàøèíà, ìàøèíà Ïîñòà,íîðìàëüíûå àëãîðèòìû Ìàðêîâà...Ïî÷òè ëþáîé ÿçûê ïðîãðàììèðîâàíèÿ ìîæåò âûñòóïàòü â ðîëèìîäåëè âû÷èñëåíèÿ, åñëè åñòü âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòüíåîãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî ïàìÿòè.

7 / 38

Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ

Àëôàâèò

Àëôàâèò ýòî íåêîòîðîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ.Ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå: Σ.

Ñëîâà â àëôàâèòå

Ñëîâî ýòî êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèìâîëîâ. Åñëè Σ àëôàâèò, òî Σ∗ ìíîæåñòâî âñåõ ñëîâ â àëôàâèòå.Íàïðèìåð: Σ = a, b, òî Σ∗ = λ, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, . . . ,ãäå λ ïóñòîå ñëîâî.

8 / 38

ßçûêè è ôóíêöèè

ßçûêßçûêîì íàä àëôàâèòîì Σ íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî Σ∗.

Ïðèìåðû ÿçûêîâ

ßçûê ïðîñòûõ ÷èñåë, ÿçûê ÷åòíûõ ÷èñåë, ÿçûê äâóäîëüíûõãðàôîâ, ÿçûê âûïîëíèìûõ ôîðìóë â ÊÍÔ è ò.ä.

ÑîãëàøåíèåÑ÷èòàåì, ÷òî ëþáîé àëãîðèòì ëèáî ïðîâåðÿåò ïðèíàäëåæíîñòüâõîäíîãî ñëîâà íåêîòîðîìó ÿçûêó, ëèáî âû÷èñëÿåò çíà÷åíèåôóíêöèè Σ∗ → Σ∗.

9 / 38

Ìàøèíà Òüþðèíãà

• Áåñêîíå÷íàÿ â îäíó ñòîðîíó ëåíòà, ðàçäåëåííàÿ íà ÿ÷åéêè. ñàìîé ëåâîé ÿ÷åéêå íàïèñàí ñèìâîë ..

• Q êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé. q0 ∈ Q íà÷àëüíîåñîñòîÿíèå. qf ∈ Q êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå.

• Σ àëôàâèò ñèìâîëîâ, êîòîðûå ìîãóò áûòü çàïèñàíû íàëåíòå. ., ”_” ∈ Σ.

• Ãîëîâêà ìàøèíû óêàçûâàåò íà îäíó èç ÿ÷ååê ëåíòû

• Ïðàâèëî ïåðåõîäà: δ : Σ× Q → Σ× Q × →,←, •• Ñîãëàñíî ïðàâèëó ïåðåõîäà ìàøèíà ïî ñèìâîëó, íàêîòîðûé óêàçûâàåò ãîëîâêà, è ïî òåêóùåìó ñîñòîÿíèþ,ïèøåò íà ýòî ìåñòî íîâûé ñèìâîë, ïåðåõîäèò â íîâîåñîñòîÿíèå è, âîçìîæíî, ñäâèãàåò ãîëîâêó íà 1 ñèìâîëâëåâî èëè âïðàâî.

• Íà÷èíàåò ðàáîòó â ñîñòîÿíèè q0, ãîëîâêà óêàçûâàåò íàïåðâûé ñèìâîë. Çàêàí÷èâàåò â ñîñòîÿíèè qf .

10 / 38

Ïðèìåð

Çàìåíèòü ÷èñëî â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ íà åãîîñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 2.

• (q0,01) 7→ (q0,

01 ,→);

• (q0,_) 7→ (q1,_,←);

• (q1, 0) 7→ (q2,_,←);

• (q1, 1) 7→ (q3,_,←);

• (q2q3

, 01) 7→ (q2

q3,_,←);

• (q2q3

, .) 7→ (q2q3

, .,→);

• (q2,_) 7→ (qf , 0, •);• (q3,_) 7→ (qf , 1, •).

11 / 38

Ïðèìåð

Äåëèòñÿ ëè ÷èñëî â 2-îé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ íà 3?

• (q0, 0) 7→ (q0, 0,→);

• (q0, 1) 7→ (q1, 1,→);

• (q1, 0) 7→ (q2, 0,→);

• (q1, 1) 7→ (q0, 1,→);

• (q2, 0) 7→ (q1, 0,→);

• (q2, 1) 7→ (q2, 1,→);

• (q0,_) 7→ (qyes ,_, •);• (q1,_) 7→ (qno ,_, •);• (q2,_) 7→ (qno ,_, •).

12 / 38

Ìàøèíà Òüþðèíãà

Âõîä ìàøèíû Òüþðèíãà òî, ÷òî çàïèñàíî íà ëåíòå. Çàâõîäîì ñëåäóåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ïðîáåëîâ.Âûõîä ìàøèíû Òüþðèíãà òî, ÷òî çàïèñàíî íà ëåíòå ïîñëåòîãî, êàê ìàøèíà ïðèøëà â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå.Åñëè ìàøèíà Òüþðèíãà ïðîâåðÿåò ïðèíàäëåæíîñòü ÿçûêó, òîóäîáíî èìåòü äâà êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèÿ: qyes è qno .Ìàøèíà Òüþðèíãà ìîæåò:

• çàêîí÷èòü ðàáîòó;

• ðàáîòàòü áåñêîíå÷íî.

13 / 38

Ñëîæíîñòíûå ïàðàìåòðû

Âðåìÿ

• Âðåìåíåì ðàáîòû ìàøèíû Òüþðèíãà íà âõîäå x íàçûâàåìêîëè÷åñòâî øàãîâ, êîòîðîå ìàøèíà äåëàåò, ÷òîáû ïðèéòè âêîíå÷íîå ñîñòîÿíèå.

• Âðåìåííîé ñëîæíîñòüþ ìàøèíû Òüþðèíãà íàçûâàåììàêñèìóì ïî âñåì âõîäàì äëèíû n âðåìåíè ðàáîòûìàøèíû íà ýòèõ âõîäàõ.

Ïàìÿòü

• Ñëîæíîñòüþ ïî ïàìÿòè ðàáîòû ìàøèíû Òüþðèíãà íàâõîäå x íàçûâàåì êîëè÷åñòâî ÿ÷ååê, â êîòîðûõ ïîáûâàëàãîëîâêà ìàøèíû.

• Åìêîñòíîé ñëîæíîñòüþ ìàøèíû Òüþðèíãà íàçûâàåììàêñèìóì ïî âñåì âõîäàì äëèíû n ñëîæíîñòè ïî ïàìÿòèðàáîòû ìàøèíû íà ýòèõ âõîäàõ.

14 / 38

Ìíîãîëåíòî÷íàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà

Åñòü k ëåíò, ãîëîâêà åñòü íà êàæäîé ëåíòå.Ïðàâèëî ïåðåõîäà: δ : Σk × Q → Σk × Q × →,←, •k

ÔàêòÏî ëþáîé ìíîãîëåíòî÷íîé ìàøèíå Òüþðèíãà ìîæíî ïîñòðîèòüîäíîëåíòî÷íóþ ìàøèíó Òüþðèíãà, âû÷èñëÿþùóþ òó æåôóíêöèþ. Ïðè÷åì ñëîæíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ýòîé ìàøèíûáóäóò ëèøü â ïîëèíîì ðàç õóæå.

Çàìå÷àíèåÈíîãäà óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìàøèíà ñíàáæåíà ñïåöèàëüíîéâõîäíîé ëåíòîé, äîñòóïíîé òîëüêî äëÿ ÷òåíèÿ è âûõîäíîéëåíòîé, äîñòóïíîé äëÿ çàïèñè, íî áåç èñïðàâëåíèé.

15 / 38

Íåäåòåðìèíèðîâàííàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà

• Ïðàâèëà ïåðåõîäà íåîäíîçíà÷íû. Âîçìîæíî, ÷òîñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ïðàâèë äëÿ îäíîé ïàðû (ñèìâîë,ñîñòîÿíèå);

• ÍÌÒ ïðèíèìàåò ñëîâî x , åñëè ñóùåñòâóåòïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëåãàëüíûõ øàãîâ, ïðèâîäÿùèõ âñîñòîÿíèå qyes ;

• Îïðåäåëåíèå íå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îòâåòîâ yes èno;

• Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìàøèíà ñíàáæåíà äîïîëíèòåëüíîéëåíòîé, äîñòóïíîé òîëüêî äëÿ ÷òåíèÿ ñëåâà íàïðàâî. Íàýòîé ëåíòå çàïèñàíà ïîäñêàçêà (êàêîå èç ïðàâèë ñåé÷àñïðèìåíÿòü). Ìàøèíà ïðèíèìàåò x , åñëè ñóùåñòâóåòïîäñêàçêà, ñ êîòîðîé îíà ïîïàäåò â ñîñòîÿíèå qyes ;

• Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ ÍÌÒ ïðîâåðÿåòïðèíàäëåæíîñòü ÿçûêó L, òî ñóùåñòâóåò èäåòåðìèíèðîâàííàÿ ÌÒ, ïðîâåðÿþùàÿ ïðèíàäëåæíîñòüÿçûêó L. 16 / 38

Íåäåòåðìèíèðîâàííàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà

• Ïðàâèëà ïåðåõîäà íåîäíîçíà÷íû. Âîçìîæíî, ÷òîñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ïðàâèë äëÿ îäíîé ïàðû (ñèìâîë,ñîñòîÿíèå);

• ÍÌÒ ïðèíèìàåò ñëîâî x , åñëè ñóùåñòâóåòïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëåãàëüíûõ øàãîâ, ïðèâîäÿùèõ âñîñòîÿíèå qyes ;

• Îïðåäåëåíèå íå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îòâåòîâ yes èno;

• Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìàøèíà ñíàáæåíà äîïîëíèòåëüíîéëåíòîé, äîñòóïíîé òîëüêî äëÿ ÷òåíèÿ ñëåâà íàïðàâî. Íàýòîé ëåíòå çàïèñàíà ïîäñêàçêà (êàêîå èç ïðàâèë ñåé÷àñïðèìåíÿòü). Ìàøèíà ïðèíèìàåò x , åñëè ñóùåñòâóåòïîäñêàçêà, ñ êîòîðîé îíà ïîïàäåò â ñîñòîÿíèå qyes ;

• Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ ÍÌÒ ïðîâåðÿåòïðèíàäëåæíîñòü ÿçûêó L, òî ñóùåñòâóåò èäåòåðìèíèðîâàííàÿ ÌÒ, ïðîâåðÿþùàÿ ïðèíàäëåæíîñòüÿçûêó L. 16 / 38

Íåäåòåðìèíèðîâàííàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà

• Ïðàâèëà ïåðåõîäà íåîäíîçíà÷íû. Âîçìîæíî, ÷òîñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ïðàâèë äëÿ îäíîé ïàðû (ñèìâîë,ñîñòîÿíèå);

• ÍÌÒ ïðèíèìàåò ñëîâî x , åñëè ñóùåñòâóåòïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëåãàëüíûõ øàãîâ, ïðèâîäÿùèõ âñîñòîÿíèå qyes ;

• Îïðåäåëåíèå íå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îòâåòîâ yes èno;

• Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìàøèíà ñíàáæåíà äîïîëíèòåëüíîéëåíòîé, äîñòóïíîé òîëüêî äëÿ ÷òåíèÿ ñëåâà íàïðàâî. Íàýòîé ëåíòå çàïèñàíà ïîäñêàçêà (êàêîå èç ïðàâèë ñåé÷àñïðèìåíÿòü). Ìàøèíà ïðèíèìàåò x , åñëè ñóùåñòâóåòïîäñêàçêà, ñ êîòîðîé îíà ïîïàäåò â ñîñòîÿíèå qyes ;

• Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ ÍÌÒ ïðîâåðÿåòïðèíàäëåæíîñòü ÿçûêó L, òî ñóùåñòâóåò èäåòåðìèíèðîâàííàÿ ÌÒ, ïðîâåðÿþùàÿ ïðèíàäëåæíîñòüÿçûêó L. 16 / 38

Íåäåòåðìèíèðîâàííàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà

• Ïðàâèëà ïåðåõîäà íåîäíîçíà÷íû. Âîçìîæíî, ÷òîñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ïðàâèë äëÿ îäíîé ïàðû (ñèìâîë,ñîñòîÿíèå);

• ÍÌÒ ïðèíèìàåò ñëîâî x , åñëè ñóùåñòâóåòïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëåãàëüíûõ øàãîâ, ïðèâîäÿùèõ âñîñòîÿíèå qyes ;

• Îïðåäåëåíèå íå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îòâåòîâ yes èno;

• Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìàøèíà ñíàáæåíà äîïîëíèòåëüíîéëåíòîé, äîñòóïíîé òîëüêî äëÿ ÷òåíèÿ ñëåâà íàïðàâî. Íàýòîé ëåíòå çàïèñàíà ïîäñêàçêà (êàêîå èç ïðàâèë ñåé÷àñïðèìåíÿòü). Ìàøèíà ïðèíèìàåò x , åñëè ñóùåñòâóåòïîäñêàçêà, ñ êîòîðîé îíà ïîïàäåò â ñîñòîÿíèå qyes ;

• Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ ÍÌÒ ïðîâåðÿåòïðèíàäëåæíîñòü ÿçûêó L, òî ñóùåñòâóåò èäåòåðìèíèðîâàííàÿ ÌÒ, ïðîâåðÿþùàÿ ïðèíàäëåæíîñòüÿçûêó L. 16 / 38

Íåäåòåðìèíèðîâàííàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà

• Ïðàâèëà ïåðåõîäà íåîäíîçíà÷íû. Âîçìîæíî, ÷òîñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ïðàâèë äëÿ îäíîé ïàðû (ñèìâîë,ñîñòîÿíèå);

• ÍÌÒ ïðèíèìàåò ñëîâî x , åñëè ñóùåñòâóåòïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëåãàëüíûõ øàãîâ, ïðèâîäÿùèõ âñîñòîÿíèå qyes ;

• Îïðåäåëåíèå íå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îòâåòîâ yes èno;

• Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìàøèíà ñíàáæåíà äîïîëíèòåëüíîéëåíòîé, äîñòóïíîé òîëüêî äëÿ ÷òåíèÿ ñëåâà íàïðàâî. Íàýòîé ëåíòå çàïèñàíà ïîäñêàçêà (êàêîå èç ïðàâèë ñåé÷àñïðèìåíÿòü). Ìàøèíà ïðèíèìàåò x , åñëè ñóùåñòâóåòïîäñêàçêà, ñ êîòîðîé îíà ïîïàäåò â ñîñòîÿíèå qyes ;

• Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ ÍÌÒ ïðîâåðÿåòïðèíàäëåæíîñòü ÿçûêó L, òî ñóùåñòâóåò èäåòåðìèíèðîâàííàÿ ÌÒ, ïðîâåðÿþùàÿ ïðèíàäëåæíîñòüÿçûêó L. 16 / 38

Ñëîæíîñòíûå ïàðàìåòðû ÍÌÒ

Âðåìÿ è ïàìÿòü ÍÌÒ ñ÷èòàþòñÿ, êàê ìàêñèìóì ïî âñåìâàðèàíòàì ïðèìåíåíèÿ ïðàâèëà äî ïðèõîäà â êîíå÷íîåñîñòîÿíèå. Åñëè ìàøèíà íå îñòàíàâëèâàåòñÿ ïðè êàêîì-òîâûáîðå ïðàâèë, òî âðåìÿ ðàáîòû ñ÷èòàåòñÿ áåñêîíå÷íûì.

17 / 38

Òåçèñ ×åð÷à-Òüþðèíãà

Ëþáîé àëãîðèòì ìîæíî ðåàëèçîâàòü â âèäå ìàøèíû Òüþðèíãà.

18 / 38

Ýëåìåíòû òåîðèè âû÷èñëèìîñòè

• Ìàøèíó Òüþðèíãà ìîæíî çàïèñàòü: àëôàâèò, ñîñòîÿíèÿ,ïðàâèëà... Êàæäîé ÌÒ ñîîòâåòñòâóåò ñòðî÷êà â íåêîòîðîìàëôàâèòå.

• Ìàøèí Òüþðèíãà ñ÷åòíîå ÷èñëî.

• Óíèâåðñàëüíàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà. Ñóùåñòâóåò òàêàÿìàøèíà Òüþðèíãà U, êîòîðàÿ ïî çàïèñè ìàøèíûÒüþðèíãà M è âõîäó x ìîäåëèðóåò ïîâåäåíèå ìàøèíû Míà âõîäå x . Ïðè ýòîì ñëîæíîñòíûå ïàðàìåòðû ìàøèíû Uíå áîëåå, ÷åì â ïîëèíîì îò çàïèñè M è |x | õóæå.

19 / 38

Ýëåìåíòû òåîðèè âû÷èñëèìîñòè

• Ìàøèíó Òüþðèíãà ìîæíî çàïèñàòü: àëôàâèò, ñîñòîÿíèÿ,ïðàâèëà... Êàæäîé ÌÒ ñîîòâåòñòâóåò ñòðî÷êà â íåêîòîðîìàëôàâèòå.

• Ìàøèí Òüþðèíãà ñ÷åòíîå ÷èñëî.

• Óíèâåðñàëüíàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà. Ñóùåñòâóåò òàêàÿìàøèíà Òüþðèíãà U, êîòîðàÿ ïî çàïèñè ìàøèíûÒüþðèíãà M è âõîäó x ìîäåëèðóåò ïîâåäåíèå ìàøèíû Míà âõîäå x . Ïðè ýòîì ñëîæíîñòíûå ïàðàìåòðû ìàøèíû Uíå áîëåå, ÷åì â ïîëèíîì îò çàïèñè M è |x | õóæå.

19 / 38

Ýëåìåíòû òåîðèè âû÷èñëèìîñòè

• Ìàøèíó Òüþðèíãà ìîæíî çàïèñàòü: àëôàâèò, ñîñòîÿíèÿ,ïðàâèëà... Êàæäîé ÌÒ ñîîòâåòñòâóåò ñòðî÷êà â íåêîòîðîìàëôàâèòå.

• Ìàøèí Òüþðèíãà ñ÷åòíîå ÷èñëî.

• Óíèâåðñàëüíàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà. Ñóùåñòâóåò òàêàÿìàøèíà Òüþðèíãà U, êîòîðàÿ ïî çàïèñè ìàøèíûÒüþðèíãà M è âõîäó x ìîäåëèðóåò ïîâåäåíèå ìàøèíû Míà âõîäå x . Ïðè ýòîì ñëîæíîñòíûå ïàðàìåòðû ìàøèíû Uíå áîëåå, ÷åì â ïîëèíîì îò çàïèñè M è |x | õóæå.

19 / 38

Ðàçðåøèìûå è ïåðå÷èñëèìûå ÿçûêè

Σ àëôàâèò, L ⊂ Σ∗ ÿçûê.ßçûê L íàçûâàåòñÿ àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìûì, åñëèñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà M, ÷òî

x ∈ L ⇐⇒ M(x) îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè qyes

x 6∈ L ⇐⇒ M(x) îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè qno

ßçûê L íàçûâàåòñÿ ïåðå÷èñëèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿìàøèíà Òüþðèíãà M, ÷òî

x ∈ L ⇐⇒ M(x) îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè qyes

x 6∈ L ⇐⇒ M(x) íå îñòàíàâëèâàåòñÿ

20 / 38

Ðàçðåøèìûå è ïåðå÷èñëèìûå ÿçûêè

Σ àëôàâèò, L ⊂ Σ∗ ÿçûê.ßçûê L íàçûâàåòñÿ àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìûì, åñëèñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà M, ÷òî

x ∈ L ⇐⇒ M(x) îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè qyes

x 6∈ L ⇐⇒ M(x) îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè qno

ßçûê L íàçûâàåòñÿ ïåðå÷èñëèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿìàøèíà Òüþðèíãà M, ÷òî

x ∈ L ⇐⇒ M(x) îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè qyes

x 6∈ L ⇐⇒ M(x) íå îñòàíàâëèâàåòñÿ

20 / 38

Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà

Ëåììà 1Ëþáîé ðàçðåøèìûé ÿçûê ÿâëÿåòñÿ ïåðå÷èñëèìûì.Äîñòàòî÷íî ñîñòîÿíèå qno çàìåíèòü íà q∞ è äîáàâèòü ïðàâèëà(q∞, ∗) 7→ (q∞, ∗,→)

Ëåììà 2ßçûê L ïåðå÷èñëèì ⇐⇒ ñóùåñòâóåò ÌÒ M ′, êîòîðàÿ,ðàáîòàÿ íà ïóñòîì âõîäå, ðàíî èëè ïîçäíî íàïå÷àòàåò ëþáîéýëåìåíò ÿçûêà L áåç ïîâòîðåíèé. (Ìàøèíà M ′ ìîæåò ðàáîòàòüáåñêîíå÷íî äîëãî).⇐ Ìàøèíà M áóäåò æäàòü, ïîêà M ′ íàïå÷àòàåò ñëîâî x .⇒ M ′ ìîäåëèðóåò M: 1 øàã íà ïåðâîì âõîäå, 2 øàãà íàïåðâîì, 2 øàãà íà âòîðîì, 3 øàãà íà ïåðâîì, âòîðîì, òðåòüåì,4 øàãà...

21 / 38

Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà

Ëåììà 1Ëþáîé ðàçðåøèìûé ÿçûê ÿâëÿåòñÿ ïåðå÷èñëèìûì.Äîñòàòî÷íî ñîñòîÿíèå qno çàìåíèòü íà q∞ è äîáàâèòü ïðàâèëà(q∞, ∗) 7→ (q∞, ∗,→)

Ëåììà 2ßçûê L ïåðå÷èñëèì ⇐⇒ ñóùåñòâóåò ÌÒ M ′, êîòîðàÿ,ðàáîòàÿ íà ïóñòîì âõîäå, ðàíî èëè ïîçäíî íàïå÷àòàåò ëþáîéýëåìåíò ÿçûêà L áåç ïîâòîðåíèé. (Ìàøèíà M ′ ìîæåò ðàáîòàòüáåñêîíå÷íî äîëãî).⇐ Ìàøèíà M áóäåò æäàòü, ïîêà M ′ íàïå÷àòàåò ñëîâî x .⇒ M ′ ìîäåëèðóåò M: 1 øàã íà ïåðâîì âõîäå, 2 øàãà íàïåðâîì, 2 øàãà íà âòîðîì, 3 øàãà íà ïåðâîì, âòîðîì, òðåòüåì,4 øàãà...

21 / 38

Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà

Ëåììà 1Ëþáîé ðàçðåøèìûé ÿçûê ÿâëÿåòñÿ ïåðå÷èñëèìûì.Äîñòàòî÷íî ñîñòîÿíèå qno çàìåíèòü íà q∞ è äîáàâèòü ïðàâèëà(q∞, ∗) 7→ (q∞, ∗,→)

Ëåììà 2ßçûê L ïåðå÷èñëèì ⇐⇒ ñóùåñòâóåò ÌÒ M ′, êîòîðàÿ,ðàáîòàÿ íà ïóñòîì âõîäå, ðàíî èëè ïîçäíî íàïå÷àòàåò ëþáîéýëåìåíò ÿçûêà L áåç ïîâòîðåíèé. (Ìàøèíà M ′ ìîæåò ðàáîòàòüáåñêîíå÷íî äîëãî).⇐ Ìàøèíà M áóäåò æäàòü, ïîêà M ′ íàïå÷àòàåò ñëîâî x .⇒ M ′ ìîäåëèðóåò M: 1 øàã íà ïåðâîì âõîäå, 2 øàãà íàïåðâîì, 2 øàãà íà âòîðîì, 3 øàãà íà ïåðâîì, âòîðîì, òðåòüåì,4 øàãà...

21 / 38

Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà

Ëåììà 1Ëþáîé ðàçðåøèìûé ÿçûê ÿâëÿåòñÿ ïåðå÷èñëèìûì.Äîñòàòî÷íî ñîñòîÿíèå qno çàìåíèòü íà q∞ è äîáàâèòü ïðàâèëà(q∞, ∗) 7→ (q∞, ∗,→)

Ëåììà 2ßçûê L ïåðå÷èñëèì ⇐⇒ ñóùåñòâóåò ÌÒ M ′, êîòîðàÿ,ðàáîòàÿ íà ïóñòîì âõîäå, ðàíî èëè ïîçäíî íàïå÷àòàåò ëþáîéýëåìåíò ÿçûêà L áåç ïîâòîðåíèé. (Ìàøèíà M ′ ìîæåò ðàáîòàòüáåñêîíå÷íî äîëãî).⇐ Ìàøèíà M áóäåò æäàòü, ïîêà M ′ íàïå÷àòàåò ñëîâî x .⇒ M ′ ìîäåëèðóåò M: 1 øàã íà ïåðâîì âõîäå, 2 øàãà íàïåðâîì, 2 øàãà íà âòîðîì, 3 øàãà íà ïåðâîì, âòîðîì, òðåòüåì,4 øàãà...

21 / 38

Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà

Ëåììà 3Åñëè ÿçûê L è åãî äîïîëíåíèå L = Σ∗ \ L ïåðå÷èñëèìû, òî Làëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèì.Ïàðàëëåëüíî çàïóñêàåì àëãîðèòì äëÿ L è L, îäèí èç íèõäîëæåí îñòàíîâèòüñÿ.

22 / 38

Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà

Ëåììà 3Åñëè ÿçûê L è åãî äîïîëíåíèå L = Σ∗ \ L ïåðå÷èñëèìû, òî Làëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèì.Ïàðàëëåëüíî çàïóñêàåì àëãîðèòì äëÿ L è L, îäèí èç íèõäîëæåí îñòàíîâèòüñÿ.

22 / 38

Âîïðîñû

Ñóùåñòâóþò ëè íåïåðå÷èñëèìûå ÿçûêè?

Ñóùåñòâóþò, òàê êàê ìàøèí Òüþðèíãà ñ÷åòíî, à ÿçûêîâêîíòèíóóì.Íåêîíñòðóêòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî

Ñóùåñòâóþò ëè àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå, íîïåðå÷èñëèìûå ÿçûêè?

Äà.

23 / 38

Âîïðîñû

Ñóùåñòâóþò ëè íåïåðå÷èñëèìûå ÿçûêè?

Ñóùåñòâóþò, òàê êàê ìàøèí Òüþðèíãà ñ÷åòíî, à ÿçûêîâêîíòèíóóì.Íåêîíñòðóêòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî

Ñóùåñòâóþò ëè àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå, íîïåðå÷èñëèìûå ÿçûêè?

Äà.

23 / 38

Âîïðîñû

Ñóùåñòâóþò ëè íåïåðå÷èñëèìûå ÿçûêè?

Ñóùåñòâóþò, òàê êàê ìàøèí Òüþðèíãà ñ÷åòíî, à ÿçûêîâêîíòèíóóì.Íåêîíñòðóêòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî

Ñóùåñòâóþò ëè àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå, íîïåðå÷èñëèìûå ÿçûêè?

Äà.

23 / 38

Ïðèìåð íåïåðå÷èñëèìîãî ÿçûêà

• Âñå çàïèñè ìàøèí Òüþðèíãà ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü ñïîìîùüþ àëãîðèòìà.

• Çàïèñü < n > îáîçíà÷àåò ÌÒ ñ íîìåðîì n.

• Ðàññìîòðèì ÿçûêL = n| < n > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n

• Ïóñòü L ïåðå÷èñëèì àëãîðèòìîì ñ íîìåðîì k .

• Åñëè k ∈ L, òî < k > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k >íå ïåðå÷èñëÿåò L.

• Åñëè k 6∈ L, òî < k > îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k > íåïåðå÷èñëÿåò L.

• Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò L íå ïåðå÷èñëÿåòñÿ íèêàêèìàëãîðèòìîì.

• L àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèì.

24 / 38

Ïðèìåð íåïåðå÷èñëèìîãî ÿçûêà

• Âñå çàïèñè ìàøèí Òüþðèíãà ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü ñïîìîùüþ àëãîðèòìà.

• Çàïèñü < n > îáîçíà÷àåò ÌÒ ñ íîìåðîì n.

• Ðàññìîòðèì ÿçûêL = n| < n > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n

• Ïóñòü L ïåðå÷èñëèì àëãîðèòìîì ñ íîìåðîì k .

• Åñëè k ∈ L, òî < k > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k >íå ïåðå÷èñëÿåò L.

• Åñëè k 6∈ L, òî < k > îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k > íåïåðå÷èñëÿåò L.

• Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò L íå ïåðå÷èñëÿåòñÿ íèêàêèìàëãîðèòìîì.

• L àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèì.

24 / 38

Ïðèìåð íåïåðå÷èñëèìîãî ÿçûêà

• Âñå çàïèñè ìàøèí Òüþðèíãà ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü ñïîìîùüþ àëãîðèòìà.

• Çàïèñü < n > îáîçíà÷àåò ÌÒ ñ íîìåðîì n.

• Ðàññìîòðèì ÿçûêL = n| < n > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n

• Ïóñòü L ïåðå÷èñëèì àëãîðèòìîì ñ íîìåðîì k .

• Åñëè k ∈ L, òî < k > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k >íå ïåðå÷èñëÿåò L.

• Åñëè k 6∈ L, òî < k > îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k > íåïåðå÷èñëÿåò L.

• Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò L íå ïåðå÷èñëÿåòñÿ íèêàêèìàëãîðèòìîì.

• L àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèì.

24 / 38

Ïðèìåð íåïåðå÷èñëèìîãî ÿçûêà

• Âñå çàïèñè ìàøèí Òüþðèíãà ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü ñïîìîùüþ àëãîðèòìà.

• Çàïèñü < n > îáîçíà÷àåò ÌÒ ñ íîìåðîì n.

• Ðàññìîòðèì ÿçûêL = n| < n > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n

• Ïóñòü L ïåðå÷èñëèì àëãîðèòìîì ñ íîìåðîì k .

• Åñëè k ∈ L, òî < k > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k >íå ïåðå÷èñëÿåò L.

• Åñëè k 6∈ L, òî < k > îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k > íåïåðå÷èñëÿåò L.

• Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò L íå ïåðå÷èñëÿåòñÿ íèêàêèìàëãîðèòìîì.

• L àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèì.

24 / 38

Ïðèìåð íåïåðå÷èñëèìîãî ÿçûêà

• Âñå çàïèñè ìàøèí Òüþðèíãà ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü ñïîìîùüþ àëãîðèòìà.

• Çàïèñü < n > îáîçíà÷àåò ÌÒ ñ íîìåðîì n.

• Ðàññìîòðèì ÿçûêL = n| < n > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n

• Ïóñòü L ïåðå÷èñëèì àëãîðèòìîì ñ íîìåðîì k .

• Åñëè k ∈ L, òî < k > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k >íå ïåðå÷èñëÿåò L.

• Åñëè k 6∈ L, òî < k > îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k > íåïåðå÷èñëÿåò L.

• Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò L íå ïåðå÷èñëÿåòñÿ íèêàêèìàëãîðèòìîì.

• L àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèì.

24 / 38

Ïðèìåð íåïåðå÷èñëèìîãî ÿçûêà

• Âñå çàïèñè ìàøèí Òüþðèíãà ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü ñïîìîùüþ àëãîðèòìà.

• Çàïèñü < n > îáîçíà÷àåò ÌÒ ñ íîìåðîì n.

• Ðàññìîòðèì ÿçûêL = n| < n > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n

• Ïóñòü L ïåðå÷èñëèì àëãîðèòìîì ñ íîìåðîì k .

• Åñëè k ∈ L, òî < k > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k >íå ïåðå÷èñëÿåò L.

• Åñëè k 6∈ L, òî < k > îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k > íåïåðå÷èñëÿåò L.

• Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò L íå ïåðå÷èñëÿåòñÿ íèêàêèìàëãîðèòìîì.

• L àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèì.

24 / 38

Ïðèìåð íåïåðå÷èñëèìîãî ÿçûêà

• Âñå çàïèñè ìàøèí Òüþðèíãà ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü ñïîìîùüþ àëãîðèòìà.

• Çàïèñü < n > îáîçíà÷àåò ÌÒ ñ íîìåðîì n.

• Ðàññìîòðèì ÿçûêL = n| < n > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n

• Ïóñòü L ïåðå÷èñëèì àëãîðèòìîì ñ íîìåðîì k .

• Åñëè k ∈ L, òî < k > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k >íå ïåðå÷èñëÿåò L.

• Åñëè k 6∈ L, òî < k > îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k > íåïåðå÷èñëÿåò L.

• Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò L íå ïåðå÷èñëÿåòñÿ íèêàêèìàëãîðèòìîì.

• L àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèì.

24 / 38

Ïðèìåð íåïåðå÷èñëèìîãî ÿçûêà

• Âñå çàïèñè ìàøèí Òüþðèíãà ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü ñïîìîùüþ àëãîðèòìà.

• Çàïèñü < n > îáîçíà÷àåò ÌÒ ñ íîìåðîì n.

• Ðàññìîòðèì ÿçûêL = n| < n > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n

• Ïóñòü L ïåðå÷èñëèì àëãîðèòìîì ñ íîìåðîì k .

• Åñëè k ∈ L, òî < k > íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k >íå ïåðå÷èñëÿåò L.

• Åñëè k 6∈ L, òî < k > îñòàíàâëèâàåòñÿ íà k =⇒ < k > íåïåðå÷èñëÿåò L.

• Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò L íå ïåðå÷èñëÿåòñÿ íèêàêèìàëãîðèòìîì.

• L àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèì.

24 / 38

Ïðèìåð ïåðå÷èñëèìîãî, íî íå

ðàçðåøèìîãî ÿçûêà

• L = n| < n > îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n;• L íåðàçðåøèì, òàê êàê èíà÷å è ÿçûê L áûë áûðàçðåøèìûì;

• L ïåðå÷èñëèì: ìîäåëèðóåì ìàøèíó < n > íà âõîäå n èæäåì, ïîêà îíà îñòàíîâèòñÿ.

25 / 38

Ïðèìåð ïåðå÷èñëèìîãî, íî íå

ðàçðåøèìîãî ÿçûêà

• L = n| < n > îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n;• L íåðàçðåøèì, òàê êàê èíà÷å è ÿçûê L áûë áûðàçðåøèìûì;

• L ïåðå÷èñëèì: ìîäåëèðóåì ìàøèíó < n > íà âõîäå n èæäåì, ïîêà îíà îñòàíîâèòñÿ.

25 / 38

Ïðèìåð ïåðå÷èñëèìîãî, íî íå

ðàçðåøèìîãî ÿçûêà

• L = n| < n > îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n;• L íåðàçðåøèì, òàê êàê èíà÷å è ÿçûê L áûë áûðàçðåøèìûì;

• L ïåðå÷èñëèì: ìîäåëèðóåì ìàøèíó < n > íà âõîäå n èæäåì, ïîêà îíà îñòàíîâèòñÿ.

25 / 38

Êîììåíòàðèé

• Çàäà÷à îñòàíîâêè ÌÒ: ïî ÌÒ è åå âõîäó îïðåäåëèòü,îñòàíîâèòñÿ îíà èëè íåò. Ýòà çàäà÷à àëãîðèòìè÷åñêèíåðàçðåøèìà;

• Ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà: äèàãîíàëèçàöèÿ;

• Âñå ðåçóëüòàòû îá àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòèèñïîëüçóþò íåðàçðåøèìîñòü çàäà÷è îñòàíîâêè ÌÒ.

Âåëèêàÿ òåîðåìà Ôåðìà

Åñëè áû çàäà÷à îñòàíîâêè áûëà áû ðàçðåøèìà, òî ìîæíî áûëîáû äîêàçàòü Âåëèêóþ òåîðåìó Ôåðìà òàê:

1 Ìàøèíà M íà ïóñòîì âõîäå ïåðåáèðàåò âñåx , y , z , n ∈ N, n > 2 è îñòàíàâëèâàåòñÿ, åñëè xn + yn = zn.

2 Óçíàåì, îñòàíàâëèâàåòñÿ ëè ìàøèíà M íà ïóñòîì âõîäå.

26 / 38

Êîììåíòàðèé

• Çàäà÷à îñòàíîâêè ÌÒ: ïî ÌÒ è åå âõîäó îïðåäåëèòü,îñòàíîâèòñÿ îíà èëè íåò. Ýòà çàäà÷à àëãîðèòìè÷åñêèíåðàçðåøèìà;

• Ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà: äèàãîíàëèçàöèÿ;

• Âñå ðåçóëüòàòû îá àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòèèñïîëüçóþò íåðàçðåøèìîñòü çàäà÷è îñòàíîâêè ÌÒ.

Âåëèêàÿ òåîðåìà Ôåðìà

Åñëè áû çàäà÷à îñòàíîâêè áûëà áû ðàçðåøèìà, òî ìîæíî áûëîáû äîêàçàòü Âåëèêóþ òåîðåìó Ôåðìà òàê:

1 Ìàøèíà M íà ïóñòîì âõîäå ïåðåáèðàåò âñåx , y , z , n ∈ N, n > 2 è îñòàíàâëèâàåòñÿ, åñëè xn + yn = zn.

2 Óçíàåì, îñòàíàâëèâàåòñÿ ëè ìàøèíà M íà ïóñòîì âõîäå.

26 / 38

Êîììåíòàðèé

• Çàäà÷à îñòàíîâêè ÌÒ: ïî ÌÒ è åå âõîäó îïðåäåëèòü,îñòàíîâèòñÿ îíà èëè íåò. Ýòà çàäà÷à àëãîðèòìè÷åñêèíåðàçðåøèìà;

• Ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà: äèàãîíàëèçàöèÿ;

• Âñå ðåçóëüòàòû îá àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòèèñïîëüçóþò íåðàçðåøèìîñòü çàäà÷è îñòàíîâêè ÌÒ.

Âåëèêàÿ òåîðåìà Ôåðìà

Åñëè áû çàäà÷à îñòàíîâêè áûëà áû ðàçðåøèìà, òî ìîæíî áûëîáû äîêàçàòü Âåëèêóþ òåîðåìó Ôåðìà òàê:

1 Ìàøèíà M íà ïóñòîì âõîäå ïåðåáèðàåò âñåx , y , z , n ∈ N, n > 2 è îñòàíàâëèâàåòñÿ, åñëè xn + yn = zn.

2 Óçíàåì, îñòàíàâëèâàåòñÿ ëè ìàøèíà M íà ïóñòîì âõîäå.

26 / 38

Êîììåíòàðèé

• Çàäà÷à îñòàíîâêè ÌÒ: ïî ÌÒ è åå âõîäó îïðåäåëèòü,îñòàíîâèòñÿ îíà èëè íåò. Ýòà çàäà÷à àëãîðèòìè÷åñêèíåðàçðåøèìà;

• Ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà: äèàãîíàëèçàöèÿ;

• Âñå ðåçóëüòàòû îá àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòèèñïîëüçóþò íåðàçðåøèìîñòü çàäà÷è îñòàíîâêè ÌÒ.

Âåëèêàÿ òåîðåìà Ôåðìà

Åñëè áû çàäà÷à îñòàíîâêè áûëà áû ðàçðåøèìà, òî ìîæíî áûëîáû äîêàçàòü Âåëèêóþ òåîðåìó Ôåðìà òàê:

1 Ìàøèíà M íà ïóñòîì âõîäå ïåðåáèðàåò âñåx , y , z , n ∈ N, n > 2 è îñòàíàâëèâàåòñÿ, åñëè xn + yn = zn.

2 Óçíàåì, îñòàíàâëèâàåòñÿ ëè ìàøèíà M íà ïóñòîì âõîäå.

26 / 38

Êîììåíòàðèé

• Çàäà÷à îñòàíîâêè ÌÒ: ïî ÌÒ è åå âõîäó îïðåäåëèòü,îñòàíîâèòñÿ îíà èëè íåò. Ýòà çàäà÷à àëãîðèòìè÷åñêèíåðàçðåøèìà;

• Ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà: äèàãîíàëèçàöèÿ;

• Âñå ðåçóëüòàòû îá àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòèèñïîëüçóþò íåðàçðåøèìîñòü çàäà÷è îñòàíîâêè ÌÒ.

Âåëèêàÿ òåîðåìà Ôåðìà

Åñëè áû çàäà÷à îñòàíîâêè áûëà áû ðàçðåøèìà, òî ìîæíî áûëîáû äîêàçàòü Âåëèêóþ òåîðåìó Ôåðìà òàê:

1 Ìàøèíà M íà ïóñòîì âõîäå ïåðåáèðàåò âñåx , y , z , n ∈ N, n > 2 è îñòàíàâëèâàåòñÿ, åñëè xn + yn = zn.

2 Óçíàåì, îñòàíàâëèâàåòñÿ ëè ìàøèíà M íà ïóñòîì âõîäå.

26 / 38

Êîììåíòàðèé

• Çàäà÷à îñòàíîâêè ÌÒ: ïî ÌÒ è åå âõîäó îïðåäåëèòü,îñòàíîâèòñÿ îíà èëè íåò. Ýòà çàäà÷à àëãîðèòìè÷åñêèíåðàçðåøèìà;

• Ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà: äèàãîíàëèçàöèÿ;

• Âñå ðåçóëüòàòû îá àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòèèñïîëüçóþò íåðàçðåøèìîñòü çàäà÷è îñòàíîâêè ÌÒ.

Âåëèêàÿ òåîðåìà Ôåðìà

Åñëè áû çàäà÷à îñòàíîâêè áûëà áû ðàçðåøèìà, òî ìîæíî áûëîáû äîêàçàòü Âåëèêóþ òåîðåìó Ôåðìà òàê:

1 Ìàøèíà M íà ïóñòîì âõîäå ïåðåáèðàåò âñåx , y , z , n ∈ N, n > 2 è îñòàíàâëèâàåòñÿ, åñëè xn + yn = zn.

2 Óçíàåì, îñòàíàâëèâàåòñÿ ëè ìàøèíà M íà ïóñòîì âõîäå.

26 / 38

ßçûê ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë

Γ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ.Γ = x1, x2, x3, . . . .• Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ ÿâëÿåòñÿïðîïîçèöèîíàëüíîé ôîðìóëîé

• Åñëè A ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà, òî (A) òîæåïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà.

• Åñëè A ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà, òî ¬A òîæåïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà.

• Åñëè A,B ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû, òî A ∧ B òîæå ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà.

• Åñëè A,B ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû, òî A ∨ B òîæå ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà.

• Åñëè A,B ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû, òî A→ B òîæå ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà.

27 / 38

Ïðèìåðû ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë

• x1;

• x1 ∧ ¬x1;

• x1 ∨ ¬x1;

• (x1 ∨ x2)→ x3;

• (x1 ∨ ¬x2) ∧ (¬x1 ∨ x3) ∧ (x3 ∨ x2);

• (x1 ∧ ¬x2) ∨ (¬x1 ∧ x3) ∨ (x3 ∧ x2);

28 / 38

Òàáëèöû èñòèííîñòè

¬a ¬a

0 11 0

∨a b a ∨ b

0 0 00 1 11 0 11 1 1

∧a b a ∧ b

0 0 00 1 01 0 01 1 1

→a b a→ b

0 0 10 1 11 0 01 1 1

29 / 38

Èíòåðïðåòàöèÿ

Ïóñòü ϕ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà ñ ïåðåìåííûìèx1, x2, . . . , xn.Èíòåðïðåòàöèåé ôîðìóëû ϕ íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåσ : x1, x2, . . . , xn → 0, 1.Çíà÷åíèå ôîðìóëû Iσ(ϕ) ïðè çàäàííîé èíòåðïðåòàöèèîïðåäåëÿåòñÿ èíäóêòèâíî ïî ïîñòðîåíèþ ôîðìóëû:

• Iσ(xi ) = σ(xi );

• Iσ((A)) = Iσ(A);

• Iσ(¬A) = ¬Iσ(A);

• Iσ(A ∧ B) = Iσ(A) ∧ Iσ(B);

• Iσ(A ∨ B) = Iσ(A) ∨ Iσ(B);

• Iσ(A→ B) = Iσ(A)→ Iσ(B).

30 / 38

Áóëåâû ôóíêöèè

Îïðåäåëåíèå. Áóëåâîé ôóíêöèåé ìû íàçûâàåì ôóíêöèþ èç0, 1n â 0, 1.Çàìå÷àíèå. Êàæäàÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà îò nïåðåìåííûõ çàäàåò áóëåâó ôóíêöèþ èç 0, 1n â 0, 1.Ïðèìåðû.

• Parity (÷åòíîñòü): f (x1, x2, . . . , xn) = x1 + x2 + · · ·+ xn mod 2

• Majority (áîëüøèíñòâî):

f (x1, x2, . . . , xn) =

1, åñëè x1 + x2 + · · ·+ xn ≥n

2

0, åñëè x1 + x2 + · · ·+ xn <n

2

• f (x1, x2, . . . , xn) =

1, åñëè x1x2 . . . xn − ïðîñòîå ÷èñëî

0, èíà÷å

31 / 38

Áóëåâû ôóíêöèè

Îïðåäåëåíèå. Áóëåâîé ôóíêöèåé ìû íàçûâàåì ôóíêöèþ èç0, 1n â 0, 1.Çàìå÷àíèå. Êàæäàÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà îò nïåðåìåííûõ çàäàåò áóëåâó ôóíêöèþ èç 0, 1n â 0, 1.Ïðèìåðû.

• Parity (÷åòíîñòü): f (x1, x2, . . . , xn) = x1 + x2 + · · ·+ xn mod 2

• Majority (áîëüøèíñòâî):

f (x1, x2, . . . , xn) =

1, åñëè x1 + x2 + · · ·+ xn ≥n

2

0, åñëè x1 + x2 + · · ·+ xn <n

2

• f (x1, x2, . . . , xn) =

1, åñëè x1x2 . . . xn − ïðîñòîå ÷èñëî

0, èíà÷å

31 / 38

Áóëåâû ôóíêöèè

Îïðåäåëåíèå. Áóëåâîé ôóíêöèåé ìû íàçûâàåì ôóíêöèþ èç0, 1n â 0, 1.Çàìå÷àíèå. Êàæäàÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà îò nïåðåìåííûõ çàäàåò áóëåâó ôóíêöèþ èç 0, 1n â 0, 1.Ïðèìåðû.

• Parity (÷åòíîñòü): f (x1, x2, . . . , xn) = x1 + x2 + · · ·+ xn mod 2

• Majority (áîëüøèíñòâî):

f (x1, x2, . . . , xn) =

1, åñëè x1 + x2 + · · ·+ xn ≥n

2

0, åñëè x1 + x2 + · · ·+ xn <n

2

• f (x1, x2, . . . , xn) =

1, åñëè x1x2 . . . xn − ïðîñòîå ÷èñëî

0, èíà÷å

31 / 38

Áóëåâû ôóíêöèè

Îïðåäåëåíèå. Áóëåâîé ôóíêöèåé ìû íàçûâàåì ôóíêöèþ èç0, 1n â 0, 1.Çàìå÷àíèå. Êàæäàÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà îò nïåðåìåííûõ çàäàåò áóëåâó ôóíêöèþ èç 0, 1n â 0, 1.Ïðèìåðû.

• Parity (÷åòíîñòü): f (x1, x2, . . . , xn) = x1 + x2 + · · ·+ xn mod 2

• Majority (áîëüøèíñòâî):

f (x1, x2, . . . , xn) =

1, åñëè x1 + x2 + · · ·+ xn ≥n

2

0, åñëè x1 + x2 + · · ·+ xn <n

2

• f (x1, x2, . . . , xn) =

1, åñëè x1x2 . . . xn − ïðîñòîå ÷èñëî

0, èíà÷å

31 / 38

ÊÍÔ è ÄÍÔ

Îïðåäåëåíèå. Ëèòåðàëîì íàçûâàåòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿïåðåìåííàÿ èëè åå îòðèöàíèå: xi , ¬xi .Îïðåäåëåíèå. Äèçúþíêòîì èëè êëîçîì íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) ëèòåðàëîâ: (x1 ∨ ¬x2 ∨ x3).Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëîé â ÊÍÔ íàçûâàåòñÿ êîíúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) äèçúþíêòîâ:(x1 ∨ ¬x2 ∨ x3) ∧ (¬x1 ∨ ¬x3) ∧ ¬x1.Îïðåäåëåíèå. Êîíúþíêòîì èëè ìîíîìîì íàçûâàåòñÿêîíúþíêöèÿ íåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) ëèòåðàëîâ:(x1 ∧ ¬x2 ∧ x3).Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëîé â ÄÍÔ íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) êîíúþíêòîâ:(x1 ∧ ¬x2 ∧ x3) ∨ (¬x1 ∧ ¬x3) ∨ ¬x1.

32 / 38

ÊÍÔ è ÄÍÔ

Îïðåäåëåíèå. Ëèòåðàëîì íàçûâàåòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿïåðåìåííàÿ èëè åå îòðèöàíèå: xi , ¬xi .Îïðåäåëåíèå. Äèçúþíêòîì èëè êëîçîì íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) ëèòåðàëîâ: (x1 ∨ ¬x2 ∨ x3).Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëîé â ÊÍÔ íàçûâàåòñÿ êîíúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) äèçúþíêòîâ:(x1 ∨ ¬x2 ∨ x3) ∧ (¬x1 ∨ ¬x3) ∧ ¬x1.Îïðåäåëåíèå. Êîíúþíêòîì èëè ìîíîìîì íàçûâàåòñÿêîíúþíêöèÿ íåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) ëèòåðàëîâ:(x1 ∧ ¬x2 ∧ x3).Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëîé â ÄÍÔ íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) êîíúþíêòîâ:(x1 ∧ ¬x2 ∧ x3) ∨ (¬x1 ∧ ¬x3) ∨ ¬x1.

32 / 38

ÊÍÔ è ÄÍÔ

Îïðåäåëåíèå. Ëèòåðàëîì íàçûâàåòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿïåðåìåííàÿ èëè åå îòðèöàíèå: xi , ¬xi .Îïðåäåëåíèå. Äèçúþíêòîì èëè êëîçîì íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) ëèòåðàëîâ: (x1 ∨ ¬x2 ∨ x3).Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëîé â ÊÍÔ íàçûâàåòñÿ êîíúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) äèçúþíêòîâ:(x1 ∨ ¬x2 ∨ x3) ∧ (¬x1 ∨ ¬x3) ∧ ¬x1.Îïðåäåëåíèå. Êîíúþíêòîì èëè ìîíîìîì íàçûâàåòñÿêîíúþíêöèÿ íåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) ëèòåðàëîâ:(x1 ∧ ¬x2 ∧ x3).Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëîé â ÄÍÔ íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) êîíúþíêòîâ:(x1 ∧ ¬x2 ∧ x3) ∨ (¬x1 ∧ ¬x3) ∨ ¬x1.

32 / 38

ÊÍÔ è ÄÍÔ

Îïðåäåëåíèå. Ëèòåðàëîì íàçûâàåòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿïåðåìåííàÿ èëè åå îòðèöàíèå: xi , ¬xi .Îïðåäåëåíèå. Äèçúþíêòîì èëè êëîçîì íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) ëèòåðàëîâ: (x1 ∨ ¬x2 ∨ x3).Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëîé â ÊÍÔ íàçûâàåòñÿ êîíúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) äèçúþíêòîâ:(x1 ∨ ¬x2 ∨ x3) ∧ (¬x1 ∨ ¬x3) ∧ ¬x1.Îïðåäåëåíèå. Êîíúþíêòîì èëè ìîíîìîì íàçûâàåòñÿêîíúþíêöèÿ íåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) ëèòåðàëîâ:(x1 ∧ ¬x2 ∧ x3).Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëîé â ÄÍÔ íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) êîíúþíêòîâ:(x1 ∧ ¬x2 ∧ x3) ∨ (¬x1 ∧ ¬x3) ∨ ¬x1.

32 / 38

ÊÍÔ è ÄÍÔ

Îïðåäåëåíèå. Ëèòåðàëîì íàçûâàåòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿïåðåìåííàÿ èëè åå îòðèöàíèå: xi , ¬xi .Îïðåäåëåíèå. Äèçúþíêòîì èëè êëîçîì íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) ëèòåðàëîâ: (x1 ∨ ¬x2 ∨ x3).Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëîé â ÊÍÔ íàçûâàåòñÿ êîíúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) äèçúþíêòîâ:(x1 ∨ ¬x2 ∨ x3) ∧ (¬x1 ∨ ¬x3) ∧ ¬x1.Îïðåäåëåíèå. Êîíúþíêòîì èëè ìîíîìîì íàçûâàåòñÿêîíúþíêöèÿ íåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) ëèòåðàëîâ:(x1 ∧ ¬x2 ∧ x3).Îïðåäåëåíèå. Ôîðìóëîé â ÄÍÔ íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿíåñêîëüêèõ (âîçìîæíî îäíîãî) êîíúþíêòîâ:(x1 ∧ ¬x2 ∧ x3) ∨ (¬x1 ∧ ¬x3) ∨ ¬x1.

32 / 38

Ïðåäñòàâëåíèå áóëåâûõ ôóíêöèé

ôîðìóëàìè

Òåîðåìà. Ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäåïðîïîçèöèîíàëüíîé ôîðìóëû â ÊÍÔ è ÄÍÔ.Èëëþñòðàöèÿ.

f (x1, x2, x3)

x1 x2 x3 f (x1, x2, x3)

0 0 0 10 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 0

Ôîðìóëà â ÄÍÔ:(¬x1 ∧ ¬x2 ∧ ¬x3)∨(¬x1 ∧ ¬x2 ∧ x3)∨(x1 ∧ ¬x2 ∧ ¬x3)Ôîðìóëà â ÊÍÔ:(x1 ∨ ¬x2 ∨ x3)∧(x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3)∧(¬x1 ∨ x2 ∨ ¬x3)∧(¬x1 ∨ ¬x2 ∨ x3)∧(¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3)

33 / 38

Ïðåäñòàâëåíèå áóëåâûõ ôóíêöèé

ôîðìóëàìè

Òåîðåìà. Ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäåïðîïîçèöèîíàëüíîé ôîðìóëû â ÊÍÔ è ÄÍÔ.Èëëþñòðàöèÿ.

f (x1, x2, x3)

x1 x2 x3 f (x1, x2, x3)

0 0 0 10 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 0

Ôîðìóëà â ÄÍÔ:(¬x1 ∧ ¬x2 ∧ ¬x3)∨(¬x1 ∧ ¬x2 ∧ x3)∨(x1 ∧ ¬x2 ∧ ¬x3)Ôîðìóëà â ÊÍÔ:(x1 ∨ ¬x2 ∨ x3)∧(x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3)∧(¬x1 ∨ x2 ∨ ¬x3)∧(¬x1 ∨ ¬x2 ∨ x3)∧(¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3)

33 / 38

Ôîðìóëû äå Ìîðãàíà

• çíà÷åíèå ¬(A ∨ B) ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì (¬A ∧ ¬B)

• çíà÷åíèå ¬(A ∧ B) ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì (¬A ∨ ¬B)

Ñëåäñòâèå. Îòðèöàíèå ôîðìóëû â ÄÍÔ åñòü ôîðìóëà â ÊÍÔÄîêàçàòåëüñòâî.¬((l1,1 ∧ l1,2 ∧ · · · ∧ l1,n1) ∨ (l2,1 ∧ l2,2 ∧ · · · ∧ l2,n2) ∨ . . .∨(lk,1 ∧ lk,2 ∧ · · · ∧ lk,nk

))ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå(¬l1,1 ∨ ¬l1,2 ∨ · · · ∨ ¬l1,n1) ∧ (¬l2,1 ∨ ¬l2,2 ∧ · · · ∨ ¬l2,n2) ∧ . . .∧(¬lk,1 ∨ ¬lk,2 ∨ · · · ∨ ¬lk,nk

)

34 / 38

Ôîðìóëû äå Ìîðãàíà

• çíà÷åíèå ¬(A ∨ B) ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì (¬A ∧ ¬B)

• çíà÷åíèå ¬(A ∧ B) ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì (¬A ∨ ¬B)

Ñëåäñòâèå. Îòðèöàíèå ôîðìóëû â ÄÍÔ åñòü ôîðìóëà â ÊÍÔÄîêàçàòåëüñòâî.¬((l1,1 ∧ l1,2 ∧ · · · ∧ l1,n1) ∨ (l2,1 ∧ l2,2 ∧ · · · ∧ l2,n2) ∨ . . .∨(lk,1 ∧ lk,2 ∧ · · · ∧ lk,nk

))ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå(¬l1,1 ∨ ¬l1,2 ∨ · · · ∨ ¬l1,n1) ∧ (¬l2,1 ∨ ¬l2,2 ∧ · · · ∨ ¬l2,n2) ∧ . . .∧(¬lk,1 ∨ ¬lk,2 ∨ · · · ∨ ¬lk,nk

)

34 / 38

Âûïîëíèìîñòü, îáùåçíà÷èìîñòü,

ïðîòèâîðå÷èâîñòü

Îïðåäåëåíèå. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿâûïîëíèìîé , åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ, ïðèêîòîðîé çíà÷åíèå ôîðìóëû ðàâíÿåòñÿ 1.Îïðåäåëåíèå. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿíåâûïîëíèìîé (èëè ïðîòèâîðå÷èâîé) , åñëè ïðè âñåõèíòåðïðåòàöèÿõ çíà÷åíèå ôîðìóëû ðàâíÿåòñÿ 0.Îïðåäåëåíèå. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿîáùåçíà÷èìîé (èëè òàâòîëîãèåé) , åñëè ïðè âñåõèíòåðïðåòàöèÿõ çíà÷åíèå ôîðìóëû ðàâíÿåòñÿ 1.Îïðåäåëåíèå. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿíåîáùåçíà÷èìîé , åñëè ïðè ñóùåñòâóåò èíòåðïðåòàöèÿ, ïðèêîòîðîé çíà÷åíèå ôîðìóëû ðàâíÿåòñÿ 0.

35 / 38

Âûïîëíèìîñòü, îáùåçíà÷èìîñòü,

ïðîòèâîðå÷èâîñòü

Îïðåäåëåíèå. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿâûïîëíèìîé , åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ, ïðèêîòîðîé çíà÷åíèå ôîðìóëû ðàâíÿåòñÿ 1.Îïðåäåëåíèå. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿíåâûïîëíèìîé (èëè ïðîòèâîðå÷èâîé) , åñëè ïðè âñåõèíòåðïðåòàöèÿõ çíà÷åíèå ôîðìóëû ðàâíÿåòñÿ 0.Îïðåäåëåíèå. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿîáùåçíà÷èìîé (èëè òàâòîëîãèåé) , åñëè ïðè âñåõèíòåðïðåòàöèÿõ çíà÷åíèå ôîðìóëû ðàâíÿåòñÿ 1.Îïðåäåëåíèå. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿíåîáùåçíà÷èìîé , åñëè ïðè ñóùåñòâóåò èíòåðïðåòàöèÿ, ïðèêîòîðîé çíà÷åíèå ôîðìóëû ðàâíÿåòñÿ 0.

35 / 38

Âûïîëíèìîñòü, îáùåçíà÷èìîñòü,

ïðîòèâîðå÷èâîñòü

Îïðåäåëåíèå. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿâûïîëíèìîé , åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ, ïðèêîòîðîé çíà÷åíèå ôîðìóëû ðàâíÿåòñÿ 1.Îïðåäåëåíèå. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿíåâûïîëíèìîé (èëè ïðîòèâîðå÷èâîé) , åñëè ïðè âñåõèíòåðïðåòàöèÿõ çíà÷åíèå ôîðìóëû ðàâíÿåòñÿ 0.Îïðåäåëåíèå. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿîáùåçíà÷èìîé (èëè òàâòîëîãèåé) , åñëè ïðè âñåõèíòåðïðåòàöèÿõ çíà÷åíèå ôîðìóëû ðàâíÿåòñÿ 1.Îïðåäåëåíèå. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿíåîáùåçíà÷èìîé , åñëè ïðè ñóùåñòâóåò èíòåðïðåòàöèÿ, ïðèêîòîðîé çíà÷åíèå ôîðìóëû ðàâíÿåòñÿ 0.

35 / 38

Î ñëîæíîñòè...

• Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå â ÊÍÔ, âûïîëíèìà ëèîíà, ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé (NP-òðóäíîé).

• Ïðîâåðèòü ôîðìóëó â ÊÍÔ, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà òàâòîëîãèåé,î÷åíü ïðîñòî. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî â êàæäîìäèçúþíêòå åñòü ïàðà: ïåðåìåííàÿ è åå îòðèöàíèå.

• Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå â ÄÍÔ, âûïîëíèìà ëèîíà, ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé: äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, åñòü ëè âíåé êîíúþíêò, â êîòîðûé îäíîâðåìåííî íå âõîäèòïåðåìåííàÿ è åå îòðèöàíèå.

• Ïðîâåðèòü ôîðìóëó â ÄÍÔ, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà òàâòîëîãèåé,ñëîæíî (NP-òðóäíî).

36 / 38

Î ñëîæíîñòè...

• Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå â ÊÍÔ, âûïîëíèìà ëèîíà, ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé (NP-òðóäíîé).

• Ïðîâåðèòü ôîðìóëó â ÊÍÔ, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà òàâòîëîãèåé,î÷åíü ïðîñòî. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî â êàæäîìäèçúþíêòå åñòü ïàðà: ïåðåìåííàÿ è åå îòðèöàíèå.

• Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå â ÄÍÔ, âûïîëíèìà ëèîíà, ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé: äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, åñòü ëè âíåé êîíúþíêò, â êîòîðûé îäíîâðåìåííî íå âõîäèòïåðåìåííàÿ è åå îòðèöàíèå.

• Ïðîâåðèòü ôîðìóëó â ÄÍÔ, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà òàâòîëîãèåé,ñëîæíî (NP-òðóäíî).

36 / 38

Î ñëîæíîñòè...

• Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå â ÊÍÔ, âûïîëíèìà ëèîíà, ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé (NP-òðóäíîé).

• Ïðîâåðèòü ôîðìóëó â ÊÍÔ, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà òàâòîëîãèåé,î÷åíü ïðîñòî. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî â êàæäîìäèçúþíêòå åñòü ïàðà: ïåðåìåííàÿ è åå îòðèöàíèå.

• Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå â ÄÍÔ, âûïîëíèìà ëèîíà, ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé: äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, åñòü ëè âíåé êîíúþíêò, â êîòîðûé îäíîâðåìåííî íå âõîäèòïåðåìåííàÿ è åå îòðèöàíèå.

• Ïðîâåðèòü ôîðìóëó â ÄÍÔ, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà òàâòîëîãèåé,ñëîæíî (NP-òðóäíî).

36 / 38

Î ñëîæíîñòè...

• Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå â ÊÍÔ, âûïîëíèìà ëèîíà, ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé (NP-òðóäíîé).

• Ïðîâåðèòü ôîðìóëó â ÊÍÔ, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà òàâòîëîãèåé,î÷åíü ïðîñòî. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî â êàæäîìäèçúþíêòå åñòü ïàðà: ïåðåìåííàÿ è åå îòðèöàíèå.

• Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå â ÄÍÔ, âûïîëíèìà ëèîíà, ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé: äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, åñòü ëè âíåé êîíúþíêò, â êîòîðûé îäíîâðåìåííî íå âõîäèòïåðåìåííàÿ è åå îòðèöàíèå.

• Ïðîâåðèòü ôîðìóëó â ÄÍÔ, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà òàâòîëîãèåé,ñëîæíî (NP-òðóäíî).

36 / 38

Ïðèâåäåíèå ôîðìóëû â ÄÍÔ

• Èçáàâëÿåìñÿ îò èìïëèêàöèè: A→ B çàìåíÿåì íà ¬A ∨ B.

• Ïî ïðàâèëàì äå Ìîðãàíà ïðîíîñèì îòðèöàíèÿ äîïåðåìåííûõ

• Ïîëüçóÿñü äèñòðèáóòèâíîñòüþ A∧ (C ∨D) = A∧C ∨A∧Dðàñêðûâàåì ñêîáêè.

• Óïðîùàåì, âûêèäûâàÿ íåâûïîëíèìûå êîíúþíêòû

Ïðèìåð. ((A ∨ C )→ B) ∧ (A ∨ C )èçáàâëÿåìñÿ îò èìïëèêàöèè: (¬(A ∨ C ) ∨ B) ∧ (A ∨ C )ïðîíîñèì îòðèöàíèÿ: ((¬A ∧ ¬C ) ∨ B) ∧ (A ∨ C )ðàñêðûâàåì ñêîáêè:(¬A ∧ ¬C ∧ A) ∨ (¬A ∧ ¬C ∧ C ) ∨ (B ∧ A) ∨ (B ∧ C )óïðîùàåì: (B ∧ A) ∨ (B ∧ C )

37 / 38

Ïðèâåäåíèå ôîðìóëû â ÄÍÔ

• Èçáàâëÿåìñÿ îò èìïëèêàöèè: A→ B çàìåíÿåì íà ¬A ∨ B.

• Ïî ïðàâèëàì äå Ìîðãàíà ïðîíîñèì îòðèöàíèÿ äîïåðåìåííûõ

• Ïîëüçóÿñü äèñòðèáóòèâíîñòüþ A∧ (C ∨D) = A∧C ∨A∧Dðàñêðûâàåì ñêîáêè.

• Óïðîùàåì, âûêèäûâàÿ íåâûïîëíèìûå êîíúþíêòû

Ïðèìåð. ((A ∨ C )→ B) ∧ (A ∨ C )èçáàâëÿåìñÿ îò èìïëèêàöèè: (¬(A ∨ C ) ∨ B) ∧ (A ∨ C )ïðîíîñèì îòðèöàíèÿ: ((¬A ∧ ¬C ) ∨ B) ∧ (A ∨ C )ðàñêðûâàåì ñêîáêè:(¬A ∧ ¬C ∧ A) ∨ (¬A ∧ ¬C ∧ C ) ∨ (B ∧ A) ∨ (B ∧ C )óïðîùàåì: (B ∧ A) ∨ (B ∧ C )

37 / 38

Ïðèâåäåíèå ôîðìóëû â ÄÍÔ

• Èçáàâëÿåìñÿ îò èìïëèêàöèè: A→ B çàìåíÿåì íà ¬A ∨ B.

• Ïî ïðàâèëàì äå Ìîðãàíà ïðîíîñèì îòðèöàíèÿ äîïåðåìåííûõ

• Ïîëüçóÿñü äèñòðèáóòèâíîñòüþ A∧ (C ∨D) = A∧C ∨A∧Dðàñêðûâàåì ñêîáêè.

• Óïðîùàåì, âûêèäûâàÿ íåâûïîëíèìûå êîíúþíêòû

Ïðèìåð. ((A ∨ C )→ B) ∧ (A ∨ C )èçáàâëÿåìñÿ îò èìïëèêàöèè: (¬(A ∨ C ) ∨ B) ∧ (A ∨ C )ïðîíîñèì îòðèöàíèÿ: ((¬A ∧ ¬C ) ∨ B) ∧ (A ∨ C )ðàñêðûâàåì ñêîáêè:(¬A ∧ ¬C ∧ A) ∨ (¬A ∧ ¬C ∧ C ) ∨ (B ∧ A) ∨ (B ∧ C )óïðîùàåì: (B ∧ A) ∨ (B ∧ C )

37 / 38

Ïðèâåäåíèå ôîðìóëû â ÄÍÔ

• Èçáàâëÿåìñÿ îò èìïëèêàöèè: A→ B çàìåíÿåì íà ¬A ∨ B.

• Ïî ïðàâèëàì äå Ìîðãàíà ïðîíîñèì îòðèöàíèÿ äîïåðåìåííûõ

• Ïîëüçóÿñü äèñòðèáóòèâíîñòüþ A∧ (C ∨D) = A∧C ∨A∧Dðàñêðûâàåì ñêîáêè.

• Óïðîùàåì, âûêèäûâàÿ íåâûïîëíèìûå êîíúþíêòû

Ïðèìåð. ((A ∨ C )→ B) ∧ (A ∨ C )èçáàâëÿåìñÿ îò èìïëèêàöèè: (¬(A ∨ C ) ∨ B) ∧ (A ∨ C )ïðîíîñèì îòðèöàíèÿ: ((¬A ∧ ¬C ) ∨ B) ∧ (A ∨ C )ðàñêðûâàåì ñêîáêè:(¬A ∧ ¬C ∧ A) ∨ (¬A ∧ ¬C ∧ C ) ∨ (B ∧ A) ∨ (B ∧ C )óïðîùàåì: (B ∧ A) ∨ (B ∧ C )

37 / 38

Ïðèâåäåíèå ôîðìóëû â ÄÍÔ

• Èçáàâëÿåìñÿ îò èìïëèêàöèè: A→ B çàìåíÿåì íà ¬A ∨ B.

• Ïî ïðàâèëàì äå Ìîðãàíà ïðîíîñèì îòðèöàíèÿ äîïåðåìåííûõ

• Ïîëüçóÿñü äèñòðèáóòèâíîñòüþ A∧ (C ∨D) = A∧C ∨A∧Dðàñêðûâàåì ñêîáêè.

• Óïðîùàåì, âûêèäûâàÿ íåâûïîëíèìûå êîíúþíêòû

Ïðèìåð. ((A ∨ C )→ B) ∧ (A ∨ C )èçáàâëÿåìñÿ îò èìïëèêàöèè: (¬(A ∨ C ) ∨ B) ∧ (A ∨ C )ïðîíîñèì îòðèöàíèÿ: ((¬A ∧ ¬C ) ∨ B) ∧ (A ∨ C )ðàñêðûâàåì ñêîáêè:(¬A ∧ ¬C ∧ A) ∨ (¬A ∧ ¬C ∧ C ) ∨ (B ∧ A) ∨ (B ∧ C )óïðîùàåì: (B ∧ A) ∨ (B ∧ C )

37 / 38

Óïðàæíåíèÿ è çàäà÷è

1 Ïîñòðîéòå ìàøèíó Òüþðèíãà, êîòîðàÿ ïðèáàâëÿåò 1 êíàïèñàííîìó äâîè÷íîìó ÷èñëó.

2 Ïîñòðîéòå ìàøèíó Òüþðèíãà, êîòîðàÿ ïðîâåðèò, ÿâëÿåòñÿëè ñòðîêà ïàëèíäðîìîì.

3 Äîêàæèòå, ÷òî íåò àëãîðèòìà, êîòîðûé îïðåäåëÿë áû,çàêîí÷èò ëè ÌÒ ðàáîòó íà ïóñòîì âõîäå.

4 Ñóùåñòâóåò ëè àëãîðèòì, ïðîâåðÿþùèé, ðàáîòàåò ëèäàííàÿ ÌÒ ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ èëè íåò?

5 Äîêàæèòå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò àëãîðèòìà, êîòîðûéîïðåäåëèë áû ïî ÌÒ M îïðåäåëèë áû, ÿâëÿåòñÿ ëèïîñëåäîâàòåëüíîñòü M(1),M(2),M(3) . . . ïåðèîäè÷åñêîé ñíåêîòîðîãî ìåñòà.

38 / 38