Курс лекций:Основы Вакуумной Техники

5 лекцияМаксквелловское распределение,

Длина свободного пробега и Деление Вакуума по Степеням

Деулин Евгений Алексеевич

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э. БАУМАНА

Распределение молекул по скоростям(Распределение Максвелла-Больцмана)

  Максвелл 1859г Больцман 1877г cоздали описание распределения молекул по скоростям (при данной температуре) :1.Свойства газа по всем направлением одинаковы (газ-изотропная среда)-  2. При любой заданной температуре всегда имеется одна и та же доля молекул с данными скоростями;-  3.Температура газа есть проявление скорости движения молекул: г k - постоянная Больцмана.4.Произвольно ориентированные скорости движения молекул могут быть определены выражением: V2 = где - соответствующие проекции рассматриваемой скорости на координатные оси. 5.Функция распределения скоростей вдоль одной оси , например, Х описывается выражением:

, где N – количество молекул в рассматриваемом объеме.

2 3

2 2

mVkT

2 2 2X Y Z

, ,X Y Z

23 / 21

( ) exp( )2 2

Vx

FN m mXf

N X kT kt N

Распределение молекул по скоростям-. 6. Функция распределения скоростей относительно всех трех координатных осей

, 7.Функция распределения скоростей молекул для произвольно взятых направлений

8. Вспомним, что по определению:

9.Максимум диаграммы распределения V , т.е. значение наиболее вероятной скорости Vp соответствует производной

2 2 23 / 21 (

( ) exp( )2 2XYZ

N m m X Y Zf

N X Y Z kT kt

22 3 / 21 4( ) exp( )2 2V

N m mVf V

N V kT kt

0

V

V

F dV N

0

1V

V

f dV

1/ 22( )P

kTV a

m 0Vdf

dV

Распределение молекул по скоростям 7.Функция распределения скоростей молекул для заданного числа молекул N

22 3 / 21 4( ) exp( )2 2V

N m mVf V

N V kT kt

0

V

V

F dV N

1/ 22( )P

kTV a

m

0

V

V

F dV N

Скорости молекул в реальных условиях 8. Рассчитаем реальные значения скоростей молекул Наиболее вероятная скорость VР :

VР = 398 м*с-1 (для воздуха при t=200С) , VР= 129 T/M –1/2

Средняя арифметическая скорость Vа :

Va= 453 м*с-1 (для воздуха при t=200С)

Средняя квадратичная скорость Vr :

Vr500м*с-1 (для воздуха при t = 20ОС)

1/ 22( )P

kTV a

m

8 3a

kT RTV

m M

3 3r

kT RTV

m M 158r

TV

M

145a

TV

M

Энергии молекул в реальных условиях 9. Рассчитаем реальные значения энергий молекул :

Энергия молекулы с наиболее вероятной скоростью VР :

ЕР= ½ m VР

2 = k T

Энергия молекулы со средней арифметической скоростью Vа :

Еа= ½ m Vа 2 = 4/пи k T

Энергия молекулы со средней квадратичной скоростью Vr :

Еа= ½ m Vr

2 = 3/2 k T

Средняя квадратичная скорость Vr :

Vr500м*с-1 (для воздуха при t = 20ОС)

1/ 22( )P

kTV a

m

8 3a

kT RTV

m M

3 3r

kT RTV

m M

Длина свободного пробега молекул Длина свободного пробега - расстояние, пробегаемое молекулой между двумя

последовательными соударениями - обозначается символом L, На рис, (смотри схему на след. стр.), мы рассматриваем движение одной

молекулы с диаметром dc=2dm, где dm –диаметр реальной молекулы. Другие

молекулы, с которыми соударяется “наша ” молекула, рассматриваются как материальные точки с диаметром d = 0. Тогда объем Vm, «вырезаемый»

“нашей” молекулой в пространстве :число соударений К “нашей” молекулы с другими, находящимися в объеме газа Vm вырезаемым в сек. “нашей” молекулой :

где n – молекулярная концентрация, м –3,тогда, число соудавений в сек.:

2* *mV V d

*mK V n

2 *K V d n

Длина свободного пробега молекул На предсталенной схеме мы рассматриваем движение одной молекулы с диаметром =2 в, где в –диаметр реальной молекулы (если учитывать индексацию курса ФОЭТ).Для молекулы воздуха для нормальной температуры Т=293K в = 3,710-10 м. Другие молекулы, с которыми соударяется “наша ” молекула, рассматриваются как материальные точки с диаметром d = 0. Тогда объем Vm, «вырезаемый» “нашей”

молекулой в пространстве :число соударений К “нашей” молекулы с другими, находящимися в объеме газа Vm

вырезаемым в сек. “нашей” молекулой :где n – молекулярная концентрация, м –3,тогда, число соудавений в сек.:

2* *mV V d

*mK V n

2 *K V d n

va

2

Длина свободного пробега молекул Исходя из схемы предыдущего рисунка длина свободного пробега может быть выражена: [м] = [м]

С учётом движения других молекул:

С учётом уменьшения диаметра молекул с увеличением температуры (фактор Сюзерленда) :

Окончательно для повседневной практики:

L= [м]

где: Р- давление газа , Па

VL

K

2

1

md n2

1

2 m

Ld n

2 2

1

2 (1 )m

LC

d nT

36,2*10

p

Длина свободного пробега и концентрация молекул Зависимость L= [м]

и выражение, определяющее давление:

могут быть изображены графиками

36,2*10

p

/P nkT kT m

Условное деление вакуума по степеням: как нам было показано в курсе ФОЭТ определяется:

Критерий степени вакуума Давление, Па Название вакуума Pd 1,2 мПа 105…102 Низкий 0,004 < Pd < 1,2 мПа 102…10-1 Средний Pd 0,004 мПа 10-1…10-4 Высокий < 1или P < 410-4/to P < 10-4 Сверхвысокий

Принимая характерное для практики время to = 1 с

получаем значение СВВ: Р < 10-4 Па.

На рис. представлено условное деление вакуума по степеням , принятое в обиходе среди низкоквалифицированных «вакуумщиков». Научно обоснованная взаимосвязь параметров L, n и степень вакуума будет показана дальше

Число ударов молекул о стенку в единицу времени. Мейером было показано, что число молекул ударяющихся о единицу поверхности в единицу времени определяются выражением: N1 = [1/м2с]

При нормальных условиях, для воздуха, при параметрах газа: Р=1 тор=133 Па, Т=293 К, М=29 (воздух) Va= 453 м*с-1 n= P/k T

N1 = 133 Па*2,7*1017м-3/4 = 4*1024 P[м-2 с-1] или [мол * м-2 с-1]

*

4an V

Приведённый объём газа, ударяющегося о единицу поверхности в единицу времени.. Объём газа V1 ударяющегося о единицу поверхности в единицу

времени может быть выражен: V1 = = = [м3/м2с]

При нормальных условиях, для воздуха

V1= [мc-1] = = [м3м-2с-2] или V1=11,7 [л*с-1 *см -2]

1N

n 4anV

n 4aV

145

4

T

M453

1174

4aV

Научное деление вакуума по степеням: низкий средний, высокий - определяется соотношением длины длины свободного пробега L и характерным размером вакуумного сосуда (обычно это диаметр вакуумной камеры или трубопровода d) , Научное деление вакуума по степеням: высокий -сверхвысокий определяется соотношением времени образования монослоя сорбата на поверхности и временем to изучаемого процесса

Далее рассмотрим, как должны быть получены соотношения, приведённыев курсе ФОЭТ: Критерий степени вакуума Давление, Па Название вакуума Pd 1,2 мПа 105…102 Низкий 0,004 < Pd < 1,2 мПа 102…10-1 Средний Pd 0,004 мПа 10-1…10-4 Высокий < 1или P < 410-4/to P < 10-4 Сверхвысокий

Принимая характерное для практики время to = 1 с

получаем значение СВВ: Р < 10-4 Па.

Научное деление вакуума по степеням: низкий средний, высокий - определяется соотношением длины длины свободного пробега L и характерным размером вакуумного сосуда (обычно это диаметр вакуумной камеры или трубопровода d) :

Низкий вакуум: L << d (или 200 < d/L )откуда, учитывая, что L=

после подстановки получаем Pd 1,2 мПа

Средний вакуум: L =d ( 2/3 < d/L < 200)откуда, учитывая, что L=

получаем 0,004 < Pd < 1,2 мПа

Высокий вакуум: L d (или d/L <2/3), откуда, учитывая, что L=

после подстановки получаем Pd 0,004 мПа

Критерий степени вакуума Ориентир. давление, Па Название вакуума Pd 1,2 мПа 105…102 Низкий 0,004 < Pd < 1,2 мПа 102…10-1 Средний Pd 0,004 мПа 10-1…10-4 Высокий

36,2*10

p

36,2*10

p

36,2*10

p

Научное деление вакуума по степеням: высокий -сверхвысокий определяется

соотношением времени образования монослоя сорбата ts на поверхности и

временем to изучаемого процесса на поверхности:

to < ts

Время образования монослоя сорбата: ts = Nm / N1 , где число молекул в монослое:

Nm = 1/dm2 , dm – диаметр молекулы = 3 10-10 м , N1 =3 10 22 p [m-2 s-1 ] (где р в Па, см. слайд

№13)

, получаем: to < ts =1/d2 3 1022 p = 4 10-4/p , из полученного неравенства , учитывая,

что при to < ts давление Р соответствует Pсвв получаем критерий

сверхвысокого вакуума (СВВ) :

РСВВ 4 10-4/ to

Критерий степени вакуума Давление, Па Название вакуума Pd 0,004 мПа 10-1…10-4 Высокий < 1или P < 410-4/to P < 10-4 Сверхвысокий

Принимая характерное для практики время to = 1 с

получаем значение СВВ: Р < 10-4 Па.

ПримерОпределить характер работы ( по системе: плохо- хорошо) ш.п. в вакууме , считая,что в сверх высоком вакууме условия работы ш.п. плохие, т.к. контактирование ювенильных (абсолютно чистых) поверхностей вызывает их «схватывание».Параметры: Частота вращения n= 60 об/мин, число шариков Z=7. P= 10-3 Па (по определению, изученноиму в ФОЭТ это «высокий вакуум»)

Решение: Определяем, какому вакууму соответствуют ли указанные параметры и можно ли говорить о сверхвысоком вакууме? Вспомним, что СВВ существует при: РСВВ 4 10-4/ to

временем to изучаемого на поверхности процесса для нас будет время между двумя последующими контактированиями щариков с одним местом кольца с частотой

nконт = n Z / 60 2 = 60 7 /60 2 =3,5 конт/сек, откуда to = 1/nконт= 1/3 сек За это время

на контактирующих поверхностях шариков (и колец) формируется сорбат. Где граница СВВ для нашего процесса: РСВВ 4 10-4/ 0,33=1.2 10-3 Паиз чего мы видим, что наш рабочий вакуум P=1 10-3 Па при учёте критерия является сверхвысоким, т.е. Условия работы ш.п. «плохие»

Барометрическая формула Больцмана

Увеличение расстояния от земли на dZ ведёт к убыванию давления на величину dPdP= - g dZ , где -плотность газа, =n m=Pm/kT, т.к. Р= nkT. Тогда:p p

po dP/P = -z m/kT g dZ = ln P po =-mgz/kT

 ln P/P0 =-mgz/kT откуда P= P0 exp (-mgz/kT),

или P= P0 exp (-W/kT),

где W- потенциальная энергия, меняющаяся с расстоянием. Аналогично, распределение концентрации частиц в силовом поле n= n0 exp –W/kT