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第十五章薄板的振动问题
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一 .工程中常见的震动方式
纵向振动
* 横向振动
§15-1 无阻尼自由振动
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二 .振动问题的特征
振动问题的解不是唯一的惯性力参与平衡
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三 .振动问题讨论常用符号
动挠度 静挠度 瞬时从平衡位置量得的挠度
初挠度 初速度
, ,tw x y t
,ew x y
t ew w w
0w
0v
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惯性力 /单位面积 频率 (第m阶 ) 弧度 /秒
振型 (第m阶 )
工程频率 Hz
2
ti
wq t m
t
m ,mW x y
mf
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四 .微分方程
4
4
4
224 4
2 2
2
2
, ,
, , ,
0
e
t t i
t e t i
t ett t
e
D w x y q x y
D w x y q q x y t q
D w w q q
w wwD w q m D w q m
t t
w
t
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无阻尼强迫震动微分方程
(15-27)无阻尼自由振动微分方程
(15-1)
24
2 t
wD w m q
t
24
20
wD w m
t
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关于振动方程的说明
1. (15-1)与 (15-27) 区别在于 ,前者为自由振动,求之得稳态振幅;后者为强迫震动,它的解为齐次解加特解,其齐次解即为 (15-1)的解,
而特解与惯性力 有关;2. (15-1)与 (15-27)本质是平衡,是
横向振动中瞬时的横向平衡;
0tq
tq
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3. 在 (15-1)与 (15-27)求解中,更为关注频率与振型,两者是相匹配的,例如一阶频率
对应一阶振型 ;4. 忽略转动惯性力的影响;5. 阻尼比 ,阻尼对
的影响很小。
1 1W
0 , ,W w
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五 .微分方程 (15-1)的解
(15-2)
特点:每一点挠度是由无数个简谐振动叠加 而成,其频率为 ;
每一时刻 t挠度是由无数个振型叠加而成,
取决于初始条 件, 的值。
1
cos sin ,M
mm m m mm
w A t B t W x y
mmW
,m mA B0 00t v w
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六 .振型方程
取
代入振动微分方程 (15-1)
得振型方程
令
cos sinw A t B t W
4 2 0D W w mW 2
4 mr
D
4 4 0W r W
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七 .振型方程解法
1. ** 正解法(圆板)2. ** 逆法(矩形)3. * 半逆法(矩形)4. 跌加法(圆、矩形)5. 差分法6. 有限元法7. ** 变分法(各种)
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§15-6 用能量法求板的自然频率
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一 . Raylei法
三要素:1. 选取满足板的几何边界条件(位移边
条)并与实际振型相接近的 ;2. 为计算能量方便,假定薄板上 q=0,即
薄板的 ,则 t=0, w=0;3. 薄板在震动中能量守恒,即 ;
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最大
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存在 存在
动能
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二 . Ritz法(改进的 Raylei法)
1. 设 可以含有多个待定系数;2.可以求基频,也可以求高阶频率;3.用的是变分原理;
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三 . 圆板的 Raylei法和 Ritz法计算公式
振形函数 ( 15-21)各种边界
( 15-22)周边夹支
最大型变势能 ( 15-24)轴对称 各种边界 ( 15-25)轴对称
周边夹支
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( 15-23)非轴对称
最大动能 ( 15-26)轴对称
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§15-7 用能量法 求 算例
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算例1.周边夹支矩形板,用 Raylei法
2.周边简支矩形板,用 Ritz法
3.周边夹支圆板,用 Raylei法
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§15-8 强迫振动(无阻尼)
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一 . 动力载荷
简谐动挠力1.周期性: 波浪力
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2.非周期性(随机)爆炸载荷
地震作用
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二 . 无阻尼强迫振动运动方程
( qt即单位面积上的动挠力)
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三 .方程的解
取决于自由振动动力特征
取决于动力问题初始条件 特解取决于
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四 . 特解的确定
令
用分离变量法,将所设带入 (15-27) 令其满足,得到关于 的方程
(g),即为定 的方程。
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算例 周期性简谐动载荷作用于薄板
1. 首先求解自由振动的2. 求特解3. 求全解 =齐次解 +特解 应用初始条件定 得到动态振幅
4. 讨论 共振现象 扰 设计控制: 扰
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第十五章 薄板的振动问题小结
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1.掌握无阻尼自用振动和强迫振动微分方 程 (15-1) (15-27);
2. 求解无阻尼自由振动的方法两类:
解析法 能量法(两种 R法的差异);
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3. 自由振动关注: 及其对应的 ,特别是 (基频)
强迫振动关注:动态振幅,共振的设计控制。
4.影响薄板动力特性 (即 , )的关连因素:质
量,几何尺寸,约束,刚度
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几种约束梁的 单位:梁的种类 一端固支
另一端自由
两端简支 一端固支另一端简支
两端固支
图示
3.515 9.870 15.40 22.37
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几种板的 单位:
序 1 2 3 4 5
图示
9.87 19.72 23.65 28.90 8.996
出处 §15-3 §15-2 §15-3 习题15-2
§15-7
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5. 当有集中质量作用时,用能量法,要把对动能的贡献考虑进去。