ЛЕКЦИЯ 9
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ. ПОЛЕ НАПРЯ-
ЖЕНИЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ РАВ-
НОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. СВОЙСТВА ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ. ПРИМЕРЫ НАПРЯЖЕННЫХ
СОСТОЯНИЙ. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ. ТЕНЗОРЫ КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОБОБ-
ЩЁННЫЙ ЗАКОН ГУКА
6. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
Сплошная среда характеризуется наличием в любом еѐ элементарном объеме dV
массы dVdm ; плотность считается непрерывной функцией координат, определяю-
щих положение элементарного объѐма. Имеет место понятие натурального состояния сре-
ды, в котором она не напряжена.
Под влиянием внешних сил находящаяся в равновесии сплошная среда в объѐме V ,
ограниченном поверхностью S , приходит в новое равновесие, в котором еѐ объѐм равен
v ; s поверхность, ограничивающая этот новый объѐм.
Положение точек среды в начальном и конечном состояниях определяют соответст-
венно радиус-векторы jjXER и
jjxEr , а разность uRr перемещение точек
среды. Перемещения 321 ,, XXXu , рассматриваемые как функции координат точек среды
в еѐ начальном состоянии, непрерывны вместе с их производными по этим переменным
до требуемого в исследовании порядка. Предполагается также, что перемещения
321 ,, xxxu можно выразить как функции координат точек среды в еѐ конечном состоя-
нии. Уравнения 321321321 ,,,,,, xxxXXXxxx uRr однозначно разрешимы в замкну-
той области оV при условии 0detdet
k
ssk
k
s
X
u
X
xXJ .
По установившейся терминологии kX называют лагранжевыми, а sx эйлеровыми
координатами. Лучше называть kX материальными координатами, индивидуализирую-
щими точку и отличающими еѐ от других точек, а sx координатами еѐ места в объѐме v .
Квадрат линейного элемента, расстояние между двумя бесконечно близкими точками 2
3
2
2
2
1
2 dXdXdXdS либо 2
3
2
2
2
1
2 dxdxdxds определяет соответственно V мет-
рику, либо v метрику. Следует отметить, что строгое различие начального и конечного
состояний необходимо лишь при рассмотрении конечных деформаций сплошной среды. В
линейной теории упругости эта необходимость, как правило, отпадает.
В качестве координат могут быть использованы также и криволинейные координа-
ты: 321 ,, QQQR , 321 ,, qqqr , 321321 ,,,, qqqQQQ uu .
6.1. ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ.
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Силы, действующие на сплошную среду, подразделяются на внешние и внутренние.
К внешним массовым или поверхностным силам относят воздействие на точки среды тел,
не включенных в рассматриваемый объѐм.
Примерами массовых сил могут быть силы тяжести dVG и силы инерции
dVrωω . Эти силы имеют потенциал 2,2
rωrG SG ПП . Главный век-
тор и главный момент объѐмных сил равны VV
dVdV FrF , . Внешними поверхност-
ными силами являются силы, распределѐнные по поверхности рассматриваемого объѐма.
Примером поверхностной силы может служить гидростатическое давление dspn n(
нормаль к поверхности s , ограничивающий объѐм )v жидкости, в которое погружено те-
ло. Нормальная и касательная компоненты равны nFnFnnFFn , . Потенци-
альными являются поверхностные силы, сохраняющие неизменными величину и направ-
ление при деформировании тела из начального состояния в конечное. Главный вектор и
главный момент вычисляются аналогичным образом ss
dsds FrF , .
Рассмотрение равновесия сплошной среды основано на двух
положениях: 1) при равновесии среды любая еѐ часть также нахо-
дится в равновесии (способ сечений), 2) условия равновесия любой
части среды является необходимыми условиями равновесия соот-
ветствующего твѐрдого тела (принцип затвердевания). По принципу
равенства действия и противодействия на любой ориентированной
площадке dsn в среде имеют место сила и момент Рис. 18
dsds nn pp dsds nn mm , (6.1)
описывающие воздействия частей среды друг на друга. Эти усилия определяют поля
внутренних сил и моментов, то есть поле напряжений в сплошной среде:
dsfds pn np dsfds mn nm . (6.2)
Рассмотрим равновесие элементарного тетраэдра. Площади ориентированных пло-
щадок ,,OACOCB ABCOBA, , ограничивающих тетраэдр с вершиной О и ребрами
321 ,, eee ( масштабный множитель) равны соответственно
23
2
12
1een ds , 31
2
22
1een ds , 12
2
32
1een ds ,
1312
2
2
1eeeen ds .
В силу тождества
neeeeeeeeee 1213123123
Рис. 19 имеем dsdsdsds nnnn 332211 . (6.3)
В равновесии главный вектор приложенных к тетраэдру поверх-
ностных и массовых сил равен нулю 0332211 dVdsdsdsds nnnn Fpppp . В этом ра-
венстве последнее слагаемое, пропорциональное элементарному объѐму
321
3
6
1eee dV , при 0 есть величина боле высокого порядка малости нежели ос-
тальные слагаемые, и оно должно быть отброшено. Итак,
dsdsdsds nnnn pppp 332211 . (6.4)
e3
e1
e2nds
λe1
λe2λe3
О A
BC
q
q
q1
2
3
ndspnds
p-nds
Соотношения (6.1), (6.3) и (6.4) позволяют (6.2) представить в виде
33212113321211 dsfdsfdsfdsdsdsf nnnnnn , чем доказывается линейность
функциональной зависимости dsf n
nmnp MP nn , , kkn in (6.5)
В координатном представлении
.
,
,
33323213133
32322212122
31321211111
pnpnpnP
pnpnpnP
pnpnpnP
n
n
n
inp
inp
inp
(6.6)
Эти соотношения, полученные рассмотрением равновесия элементарного тетраэдра
(с ребрами, направленными параллельно координатным осям), впервые сформулировал
Коши в 1827 г.
Можно лишь условно набор величин 321 ,, kkk ppp в выбранной системе координат
называть проекциями «вектора» kp , так как эти величины при повороте системы коорди-
нат преобразуются как компоненты тензора. Квазивекторы kp образуют тензор, который
в диадном представлении имеет вид
.333323231313
323222221212
313121211111
iiiiii
iiiiii
iiiiiipi
ppp
ppp
pppP kk
(6.7)
На рисунке показаны напряжения 0skp на гранях с внешними нормалями si . Поскольку
ss pp , то на гранях с нормалью si положительные skp
ориентированы по направлениям ki . Отсюда следует, что
положительные нормальные напряжения – растягивающие, а
отрицательные – сжимающие; моменты положительных каса
Рис. 18 тельных напряжений skp на гранях si и si относительно оси
ri имеют знак символа Леви- Чивита rksskre iii .
В технической литературе по теории упругости, сопротивлению материалов обще-
приняты обозначения нормальных и касательных напряжений буквами и так, что
матрица, изоморфная тензору напряжений, представляется в виде
33231
23221
13121
zzyzx
yzyyx
xzxyx
P (6.8)
Выделим в среде целиком расположенный внутри неѐ произвольный объѐм v , огра-
ниченный поверхностью s . Имеются две группы необходимых условий равновесия -
уравнения равновесия в объѐме v и уравнения равновесия на его поверхности s
0vvvv
ss
n dsPddsd nFpF ,
.0vvvv
sss
n
s
n dsMdsPddsdsd nnrFrmprFr
x1 x2
x3
p11 p12
p13 p21p22
p23p31 p32
p33
Преобразуем поверхностные интегралы в объѐмные, используя теорему Гаусса-
Остроградского dVdivdVx
fdSfd
VS V k
kkk
S
fSf :
vv
v,v dMdivdsMdPdivdsPss
nn
,v2vvvvv
dPdivdx
PdPdivdsPdsPkk
ss
ωr
rirrnnr
где
ωiii
ri 2tkssktkksskk pep
xP сопутствующий тензору P вектор, опреде-
ляемый его кососимметричной частью. Итак, приходим к равенствам
,02,0 vv
dvMdivPdivdvPdiv ωFrF
из которых следует, что 02,0 ωF MdivPdiv . (6.9)
Обычно поле M полагают равным нулю, тогда 0ω и тензор напряжений P сим-
метричен: 1221 nnnn PP . В дифференциальной форме имеем
.,,
,0
,0
,0
211213313223
3
3
33
2
23
1
13
2
3
32
2
22
1
12
1
3
31
2
21
1
11
pppppp
Fx
p
x
p
x
p
Fx
p
x
p
x
p
Fx
p
x
p
x
p
(6.10)
Эти уравнения легко получить из условия равенства нулю главного вектора и глав-
ного момента действующих на выделенный из среды элементарный параллелепипед по-
верхностных и объѐмных сил.
Поверхностные силы на гранях, перпендикулярных оси 1i , равны
,2
1,,
2
1321
1
113232111 dxdxdx
xdxdxxxdxx
ppp
,2
1,,
2
1321
1
113232111 dxdxdx
xdxdxxxdxx
ppp
где 32113211 ,,,, xxxxxx pp значение силы в центре параллелепипеда. Начало систе-
мы координат возьмем в центре параллелепипеда, радиус-векторы точек приложения этих
сил можно считать равными 112
1dxi . Подобным же образом составляются выражения сил
и радиус-векторов их точек приложения для граней перпендикулярных 2i :
,2
1132
2
22 dxdxdx
x
pp 22132
2
22
2
1,
2
1dxdxdxdx
xi
pp
,
и для граней перпендикулярных 3i :
,2
1213
3
33 dxdxdx
x
pp 33213
3
33
2
1,
2
1dxdxdxdx
xi
pp
.
Объѐмная сила 321 dxdxdxF считается приложенной в центре параллелепипеда. Приравни-
вая нулю главный вектор всех сил и главный момент относительно центра параллелепи-
педа, после сокращения на 321 dxdxdx получаем
,03
3
2
2
1
1
F
ppp
xxx 0332211 pipipi . (6.11)
Это другая форма уравнений (6.10).
Уравнения равновесия на поверхности s , ограничивающей
объѐм v , представляют запись основного соотношения (6.5) , в ко-
тором np заменено распределѐнной по поверхности силой F :
Fn P . (6.12)
На площадке с нормалью n по (6.6) имеем
ksksn pnPP innp , kjksjsn nppnp 2
,
ksksn npnP nn , и kmkmrsrjksjsnnn npnnpppnp 222
Рис. 19 .
Для определения шести компонент тензора напряжений имеем три уравнения. По-
лучение достаточных условий равновесия требует рассмотрения физической модели сре-
ды (упругое тело, вязкая жидкость). Задача о равновесии сплошной среды статически не-
определима.
6.2. СВОЙСТВА ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ
Закон преобразования компонент тензора напряжений при повороте декартовой
системы осей следует из формул Коши (6.6). Совместим нормаль n с ортом ki ; тогда
kmmkmmn iiin . Напряжения на площадке с нормалью ki по (6.6) будут
332211 iiip mmmmmmk pnpnpn 332211 iii mkmmkmmkm ppp .
Спроектируем далее «квазивектор» kp на оси 321 xxx
rsmrkmsmkmmkmmkmskks ppppp iiiiip 332211 .
Эти формулы можно также получить из тождества EE PP , представив единичные
тензоры в виде kkss iiiiE : srsmrkmkssrmrmkkskks pppP iiiiiiiiii .
Главные значения тензора напряжений, называемые главными напряжениями, рав-
ны корням 321 ,, PPP его характеристического уравнения
0detdet
333231
232221
131211
Pppp
pPpp
ppPp
Pp sksk .
Главные направления – главные оси напряжений – образуют ортогональный триэдр
единичных векторов 321 ,, uuu ; косинусы их углов с осями координат kssku iu опреде-
ляются системой уравнений
u3
u1u2
nσn
τn
pn
.1,0
,0,0
2
3
2
2
2
1333232131
323222121313212111
SSSSSSS
SSSSSSSS
uuuuPpupup
upuPpupupupuPp
В главных осях на площадках с нормалями Su касательные напряжения отсутствуют, а
тензор напряжений записывается в виде
333222111333222111 uuuuuuuuuuuu PPPP .
Выражения компонент тензора в системе осей 321 iii ,, через главные напряжения записы-
ваются в виде kskskskssk PPPp 333222111 iPi , где mssm ui .
Изотропный тензор ssPI ii
13
1 называется шаровой частью тензора P . Выделяя из
тензора P его шаровую часть, получаем тензор ssPIPPDev ii13
1 , называемый де-
виатором тензора P . Главные направления девиатора совпадают с главными направле-
ниями тензора, а главные значения равны :3
1321 ssd
.23
1,2
3
1,2
3
1213313223211 ddd
Девиатор характеризует отклонение напряжѐнного состояния от ”гидростатического”.
В главных осях упрощается запись соотношений Коши (6.6)
,,, 333322221111PnPPnPPnP nnn unpunpunp
где kn un k .
На площадке с нормалью n имеем
2
33
2
22
2
11 nPnPnPPn nn , 333222111 nPnPnPPPn uuunnp ,
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
222nPnPnPPPp nnn nn ,
.2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
22
33
2
22
2
11
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
222
kkkkkk
nnn
nPPPnnPPPnnPPPn
nPnPnPnPnPnPp
(6.13)
Эти соотношения совместно с условием 12
3
2
2
2
1 nnn позволят решить задачу об оты-
скании площадок, на которых нормальное и касательное напряжения имеют заданные
значения. Будем полагать, что 321 PPP . Искомое решение имеет вид
,
,,
,,
,
2313
32
3
1232
22
2
3121
12
1PPPP
fn
PPPP
fn
PPPP
fn nnnnnn
где
022
,
2
32
2
322
1
PPPPf nnnn ,
022
,
2
13
2
132
2
PPPPf nnnn ,
022
,
2
21
2
212
2
PPPPf nnnn .
Эти три функции на плоскости nn , выделяют область допустимых значений касатель-
ных и нормальных напряжений. Границей области являются окружности 3,2,1,0 kfk ,
круги Мора (1882).
Максимальному касательному напряжению
2
312max
PPn
(точка 2S ) соответствует нормальное
напряжение 2
31
2
PP , которые реализуется на пло-
щадке с нормалью 21,0,212
23
2
22
2
21 nnn .
Точкам 1S и 3S соответствуют напряжения
Рис. 20 2
,2
321
321
PPPP
и
2,
2
213
213
PPPP
.
Ориентация соответствующих площадок определяется нормалями
21,21,02
13
2
12
2
11 nnn ; 0,21,212
33
2
32
2
31 nnn .
Эти выделенные касательные напряжения действуют в главных плоскостях тензора на-
пряжения и направлены под углом 45 к его главным направлениям. Итак,
21,21,0,2
,2
2
13
2
12
2
1132
132
1
nnnPPPP
;
;21,0,21,2
,2
2
23
2
22
2
21
31
2
31
2
nnnPPPP
(6.14)
.0,21,21,2
,2
2
33
2
32
2
3121
321
3
nnnPPPP
Касательное напряжение (6.13) можно выразить через характерные напряжения
321 ,,
2
223
2
113
2
2
2
3
2
1
2
3
2
3
2
112
2
332
2
1
2
2
2
3
2
2
2
2
2
331
2
221
2
3
2
1
2
2
2
1
2
1
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
nPPnPPnPnPn
nPPnPPnPnPn
nPPnPPnPnPn
nPPPnnPPPnnPPPn kkkkkkn
.42
2
2
1
2
3
2
1
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
1
2
21
2
1
2
3
2
31
2
3
2
2
2
32
nnnnnn
nnPPnnPPnnPP
На площадке, одинаково наклонѐнной к главным осям, когда 333
321 uuun ,
имеем PIPPPPn 13213
1
3
1 nn ,
2
1
2
3
2
2
2
1
222
3
1
3
1PIPPPPPp nnn nn ,
PDevIPIPIp nnn 2
2
1
2
1
222
3
2
3
1
3
1
.
σn
τn
P1P2P3
f2=0
f3=0f1=0
S2
S1S3
Величина 2
3
2
2
2
1
2
23
2
2
3 nPDevI называется интенсивностью
касательных напряжений.
6.3. ПРИМЕРЫ НАПРЯЖУННЫХ С ОСТОЯНИЙ
1. Напряжѐнное состояние, определяется шаровым тензором sspP ii . На любой
поверхности выполняется условие nn pP .
2. Тензор напряжений задаѐтся равенством
121221 pP iiii и его характеристическое уравнение
.0
00
0
0
det2
12
2
21
12
ppp
p
pp
pp
определяет главные напряжения
1232121 ,0, pPPpP . Система уравнений
,0,0,0 13121212111212121112 upupupupup
12
13
2
12
2
11 uuu имеет решение Рис. 21
0,2
1131211 uuu . Аналогично для двух других главных напряжений
1,0 232221 uuu и 0,2
1333231 uuu .
В главных осях 122211 pP uuuu : 12
2
3
2
2
2
112212
313
2,,
2pp
p .
3. Напряженное состояние описывается тензором
232332131331 ppP iiiiiiii . Характеристическое
уравнение
00
0
det2
23
2
13
3
2313
23
13
pppp
ppp
pp
pp
даѐт главные напряжения
,0, 2
2
23
2
131 PppP 2
23
2
133 ppP Рис. 22
и ,,2
1 2
23
2
132
2
23
2
131 pppp 2
23
2
13
2
23
2
133 ,2
1pppp .
Главные направления определяются системой уравнений
,1,0
,0,0
2
3
2
2
2
13223113
32323131
iiiiiii
iiiiii
uuuuPupup
upuPupuP
из которой получаем
u3
u1
x
y
p12
p21
p12
p21
u3u1
z
u2
m
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
x
yα
u2
32112
1
2
sin
2
cosiiiu
, 212 cossin iiu ,
32132
1
2
sin
2
cosiiiu
, где
1
23
1
31 sin,cosP
p
P
p .
В осях 32 ,, ium тензор напряжений принимает вид 2
23
2
1333 ppP mimi .
4. Тензор одинаковых касательных напряжений задаѐтся равенствами
0, iioij pjipp . Его инварианты равны 3
3
2
21 2,3,0 oo pPIpPIPI и
главные направления, определяемые корнями кубического уравнения
023323 oo pppp , оказываются равными oo pPPpP 321 ,2 .
Касательные напряжения равны op3,0 321 . Первое главное направление, опре-
деляемое уравнениями ,02,02 131211131211 upupupupupup oooooo
,1,022
13
2
12
2
11131211 uuuupupup ooo есть 32113
1iiiu .
Два других главных направления в плоскости перпендикулярной 1u произвольны. В глав-
ных осях opP 3322112 uuuuuu .
5. Электростатическая система напряжений задаѐтся тензором
EEiiEE kk
qP
2
1
4
, gradVE , где диэлектрическая проницаемость, q
плотность зарядов, E вектор напряжѐнности электрического поля. Поле объѐмных сил,
действующих на диэлектрик, определяется тензором напряжений
EEEEiiEEF divq
divq
kk
42
1
4
.
По определению главных осей uuEEiiEE pq
kk
2
1
4
и EE
81
qP ,
E
Eu 1 , EE
832
qPP , 032 EuEu .
В направлении поля действует растягивающее напряжение, а в поперечных направлениях
равные им по величине сжимающие напряжения.
6.4. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ
Механика сплошной среды нуждается в математическом
аппарате, позволяющем по вектору перемещения u точек среды,
определять изменение расстояний между точками среды и изме-
нение углов между выбранными направлениями в рассматривае-
мой точке. Задача состоит в сопоставлении вектору Rd и ориен-
тированной площадке dSd NS начального состояния среды
вектора rd и ориентированной площадки dsd ns еѐ конечного Рис. 23
состояния.
X x1 1( )
R
u
r
dr
dR
u+ ud
X x2 2( )
X x3 3( )
Поскольку uRr имеем uRr ddd . С другой стороны, рассматривая вектор
r , как функцию координат недеформированной среды, можем образовать диаду
riir gradX
r
s
kks
, и записать rRr dd , где
s
kskks
X
uiiuRr . Тензор
Ruu ddTпроизводная вектора u по направлению R представляют суммой его сим-
метричной и кососимметричной частей: ωεuRuuRuRu dddddd2
1
2
1.
Компоненты симметричной части этого тензора
uuuε
Tdef2
1, называе-
мого линейным тензором деформации, определяются соотношениями
i
j
j
iij
i
iii
X
u
X
u
X
u
2
1, .
Диагональные элементы в линейной теории упругости называют относительными удли-
нениями, а удвоенные недиагональные – сдвигами. Компоненты кососимметричной части
определяют сопутствующий тензору Ruu ddT вектор поворота
2
1
1
23
1
3
3
12
3
2
2
31
2222
1
X
u
X
u
X
u
X
u
X
u
X
uro
iiituω .
Итак, ,, ωεuωεRu dd RωRεRωRεu ddddd .
Прямым вычислением можно убедиться также в том, что Rω ddrot и следовательно
Rεω drotd . Рассмотренное построение линейного тензора деформации по вектору пе-
ремещения u применимо к любому вектору: skksdef iiRRRR
2
1, εEr def .
Определение трѐх компонент вектора u относительного перемещения двух близ-
ких точек среды состоит в интегрировании системы шести уравнений
ij
i
j
j
iii
i
i
X
u
X
u
X
u
2
1, , что конечно возможно только при соблюдении определѐн-
ных условий. Задача имеет решение только при некоторых условиях, на важность которых
указал Сен-Венан. В механике сплошной среды принят термин «зависимости Сен-
Венана», которые можно получить исключением компонент перемещения из самих урав-
нений. Левые части уравнений 12
2
1
1
222
2
211
1
1 2,,
X
u
X
u
X
u
X
u удов-
летворяют тождествам
2
1
1
2
21
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
X
u
X
u
XXX
u
XX
u
X
321
3
3
1
2
2
1
2
3
2
3
1
1
3
23
2
2
3
3
2
13
2
2XXX
u
X
u
X
u
XX
u
X
u
XXX
u
X
u
XX
и следовательно 21
12
2
2
1
22
2
2
2
11
2
2XXXX
,
21
33
2
3
12
2
31
1
23
3 XXXXXX
.
Остальные условия получаем из этих двух круговой перестановкой индексов. Все по-
строения допускают использование криволинейной системы координат.
6.5 ТЕНЗОРЫ КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Исследование конечных деформаций в криволинейной системе координат требует
введение базисов в недеформированном и деформированном объѐмах по отдельности
jik
jik
kk
jis
jis
ssqq rrr
rrr
rr
RRR
RRR
RR
,, .
Далее строятся компоненты метрических тензоров G и g :
,,p
i
k
ipkkpk
i
s
ikssr
q
x
q
xg
q
X
q
XG
rrRR
i
p
i
kpkkp
i
k
i
skssr
x
q
x
qg
X
q
X
qG
rrRR , .
Набла операторы определяются символическими векторами s
sr
s
sR
rR , ,
что приводит в операциях ковариантного и контравариантного дифференцирования к раз-
личным символам Кристоффеля. Тензоры-градиенты имеют диадные представления
,,,
.,,
s
kk
k
k
kr
s
s
Tr
k
k
k
kr
s
ks
s
s
sR
k
k
TR
s
s
s
sR
gqq
Gqq
rrr
rrrRRRrR
rR
RRR
RRRrrrRr
Rr
(6.15)
Из этих определений следуют формулы
,, RrrRRrRRrrr
TrR
TR
ddddd
(6.16)
,2 sk
ks
k
ks
ss
ks
k
TRR
dqdqgdqAdqdgdddddds
RRRRRRRrrRrr
где
s
ks
ks
sk
k
TRR
gA RRRrrRrr тензор, называемый первой мерой дефор-
мации или мерой деформации Коши. Контравариантные компоненты первой меры дефор-
мации определяются по общему правилу ks
jsikij AGGA и не равны контравариантным
компонентам ksskg rr .
Замена в выражении первой меры деформации радиус-вектора r его значением че-
рез вектор перемещения uRr даѐт
12E
s
k
TRR
TRR
s
k
TR
s
k
Rs
k
TRR
GG
GGA
uuuu
uuuRuR
(6.17)
В этом выражении
TRR
TRR
uuuu2
11E симметричный тензор второго ран-
га, называемый первым тензором конечной деформации (Коши-Грина).
Первая мера деформации позволяет определять значения геометрических объектов в
деформированном объѐме по их значениям в недеформированном объѐме. Обратную за-
дачу – определение значений этих объектов в исходном недеформированном объѐме по их
значениям в деформированном объѐме решает вторая мера и второй тензор конечной де-
формации.
Исходным соотношением теперь является RrrRRr
Tr
ddd
,2 ks
sk
k
ks
sk
sk
s
Trr
dqdqGdqadqdGddddddS
rrrrrrrRRrRR
где
k
sk
sk
ks
s
Trr
Ga rrrRRrRR тензор, называемый второй мерой деформа-
ции. Контравариантные компоненты второй меры деформации определяются по общему
правилу ks
jsikij agga и не равны контравариантным компонентам ksskG RR .
Второй тензор конечной деформации возникает при рассмотрении операции
uurRr
s
k
rr
g :
.2 2E
s
k
Trr
Trr
s
k
Tr
s
k
rs
k
Trr
gg
gga
uuuu
uuRR
(6.18)
Здесь введѐн тензор деформации Альманзи-Гамеля
Trr
Trr
uuuu2
12E .
6.6. ОБОБЩЁННЫЙ ЗАКОН ГУКА
Возможность замены тензоров конечной деформации линейным тензором деформа-
ции обусловлена малостью компонент тензора-градиента вектора перемещения u и век-
тора поворота ω . При этих условиях отпадает необходимость различать производные по
координатам недеформированного и деформированного состояний
x
f
X
u
x
f
x
f
X
u
X
X
x
f
X
x
x
f
X
f
.
Здесь 321 ,, XXX декартовы координаты в ненапряжѐнном, натуральном состоянии, а
321 ,, xxx координаты в напряжѐнном состоянии.
В линейной теории равновесия сплошной среды отпадает также необходимость в
различии тензоров конечной деформации 212
1EE
T
uu .
Фактически реализуемые состояния равновесия сплошной среды определяются еѐ
свойствами. Для многих сред эти свойства формализуются заданием связи между тензо-
рами напряжения и мерой деформации. В линейной теории упругости это – линейное со-
отношение между тензором напряжения и тензором деформации, обобщѐнный закон Гука.
В выражение закона состояния входит также температура среды. Задание закона состоя-
ния приводит к замкнутой системе дифференциальных уравнений, по которой определя-
ется реализуемое напряжѐнное состояние и далее векторы перемещения точек среды. Та-
ким образом, в линейной постановке задача перемещения точек среды отодвигается на
второй план, то есть напряжѐнное состояние определяется для недеформированного тела.
Этот приѐм представляет собой первый шаг последовательных приближений нелинейной
теории упругости, в которой напряжѐнное состояние приходится разыскивать в деформи-
рованном теле с неизвестной границей.
Изотропную однородную среду, подчиняющуюся закону состояния bEaP , на-
зывают средой Генки. Среда Генки линейна геометрически, но физически нелинейная, по-
скольку параметры ba, зависят от инвариантов тензора деформаций, и эти соотношения
нелинейны. В записи закона Гука может быть использована любая пара из модулей
mEGk
1,,,, . Часто за такую пару принимают , , тогда
EPEP
12
1,
212 ,
где PIdivI 11 , u .