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4ème : Chapitre08 : Puissances de 10 ; écritures scientifiques
1. Puissances, écritures, notations 34 = 3 × 3 × 3 × 3⏟
4𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠
= 81 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3⏟ 5𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠
= 243
46=4×4×4×4×4×4=4096
(-3)5=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=-243
(-2)8=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=256
-28=-2×2×2×2×2×2×2×2=-256
Ne pas confondre 46 et 4×6. En effet : 4×6=24 et 46=4096 Ne pas confondre (-2)8
et -28. En effet (-2)8=256 et -28=-256
Par convention, un nombre à la puissance zéro vaut 1. 20 = 1 ; 180 = 1 ; 30 = 1
Pour obtenir le résultat de
46 avec sa calculatrice, on
tape :
et on obtient sur l'écran :
Pour avoir le résultat de
(-2)8 on tape sur sa
calculatrice :
et on obtient sur l'écran :
Quelques touches de puissances :
Pour mettre à la puissance 2 :
Changement de signe :
Utilisation de la calculatrice :
https://youtu.be/1J1fis6vXG0
EXERCICES À CONNAITRE
ENONCES SOLUTIONS
EXERCICE1 : Sans calculatrice, trouver le
résultat de 𝐴 = 43 ; 𝐵 = 24 ; 𝐶 = 125 ;
𝐷 = 80
EXERCICE2 : Sans calculatrice, en étant très
attentif au signe du résultat, calculer :
𝐸 = −23 ; 𝐹 = (−2)5 ; G= (−4)2
EXERCICE3 : Ecrire chaque nombre sous forme
d’une puissance de 2 :
𝐻 = 100 ; 𝐼 = 25 ; 𝐽 = 49
EXERCICE4 : J’ai un cadenas à code. Je peux
saisir le code en faisant tourner des molettes. Mon cadenas possède 3 molettes et chaque molette contient 6 lettres (A ;B ;C ;D ;E ;F). Le problème est que je ne me souviens plus du code de ce cadenas. Je vais donc tester toutes les combinaisons possibles. Ecrire un calcul sans
puissance qui permet de connaitre le nombre de combinaisons qui existent en tout sur ce cadenas puis écrire ce calcul avec une puissance. Ecrire enfin le résultat de ce calcul sous forme d’un nombre entier.
EXERCICE5 : En utilisant la calculatrice,
trouver la valeur de (-12)8.
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2. Puissances de 10 ; introduction
2.1 Grands et petits nombres Distance terre-soleil : 150 000 000km
Diamètre de notre galaxie : 1 000 000 000 000 000 000 km
Épaisseur d'un cheveu : 0,000 05m
Diamètre d'un virus : 0,000 000 000 1m
Il n'est pas pratique d'écrire beaucoup de zéros. On transforme l'écriture de ces nombres avec des puissances de 10.
2.2 Écritures notations
2.3 Puissance avec exposant négatif Soit n un nombre entier ; on a :
𝟏𝟎−𝒏 =𝟏
𝟏𝟎𝒏
Exercice1 : On me demande de calculer A = 10−3
Solution : A = 10−3 donc A =1
103
donc A =1
10×10×10 donc A =
1
1000 donc A=0,001
Exercice2 : On me demande de calculer
B = 10−5 Solution : B = 10−5 donc B=0,000 01 Remarque : On peut directement passer à l’écriture
décimale car on sait qu’il y aura 5 chiffres après la
virgule (ou 5 zéros en tout)
Exercice3 : On me demande de calculer C = 10−12 Solution : 𝐶 = 10−12 donc C=0,000 000 000 001 Remarque : On peut directement passer à l’écriture
décimale car on sait qu’il y aura 12 chiffres après la
virgule (ou 12 zéros en tout)
Exercice4 : Ecrire l’épaisseur d’un cheveu et le diamètre d’un virus avec des puissances de 10 (voir 3.1). Solutions : 𝐶 = 0,000 05 donc 𝐶 = 5 × 0,000 01
donc 𝐶 = 5 × 10−5 L’épaisseur d’un cheveu peut s’écrire
𝟓 × 𝟏𝟎−𝟓 mètre.
D = 0,000 000 000 1 donc D = 10−10 Le diamètre d’un virus peut s’écrire
𝟏𝟎−𝟏𝟎 mètre.
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EXERCICES À CONNAITRE
ENONCES SOLUTIONS
EXERCICE6 : Donner
l’écriture décimale des
nombres suivants
𝐴 = 2,3 × 103
𝐵 = 2,3 × 10−3
𝐶 = 0,05 × 102
𝐷 = 50 × 10−4
EXERCICE7 : Ecrire
E ; F ; G et H sous la
forme 23 × 10…..
E=2 300
F=23 000
G=0,23
H=0,002 3
3. Puissances de 10 et formules Soient m et n deux entiers relatifs :
10n×10m=10n+m
Exemple : 105×1025=105+25
=1030 Remarque : Priorité des
opérations : L'écriture 105+25
signifie 10(5+25)
Soient m et n deux entiers relatifs :
𝟏𝟎𝒏
𝟏𝟎𝒎= 𝟏𝟎𝒏−𝒎
Exemple : 1028
1030= 1028−30
= 10−2
Soient m et n deux entiers relatifs :
(10n)m=10n×m
Exemple : (1025)3=1025×3
=1075
EXERCICES À CONNAITRE
ENONCES SOLUTIONS
EXERCICE8 : Ecrire I sous forme
10𝑛 et J sous forme 𝑎 × 10𝑛 ; n
étant un entier relatif et a un nombre
relatif.
𝐼 = 10−3 × 10−9
𝐽 = 1,4 × 108 × 2 × 105
EXERCICE9 : Ecrire K sous forme
10𝑛 et L sous forme 𝑎 × 10𝑛 ; n
étant un entier relatif et a un nombre
relatif.
𝐾 =10−5
10−6 ; 𝐿 =
9,6
2×109
10−4
EXERCICE10 : Ecrire M sous
forme 10𝑛 et N sous forme 𝑎 × 10𝑛 ;
n étant un entier relatif et a un
nombre relatif.
𝑀 = (10−2)3 ; 𝑁 = (3 × 107)2
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4. Problèmes concrets Exercice résolu Commentaires élève
Enoncé1 : La masse d'un
atome de carbone est de
1,99×10-26kg. Quel est la masse
de 5×1022 atomes de carbones ?
Solution : 1,99 × 10−26 × 5 × 1022 = 5 × 1,99 × 10−26 × 1022
= 9,95 × 10−26+22 = 9,95 × 10−4
Les 5×1022 atomes de carbone pèsent 9,95×10-4kg soit 0,995 grammes.
Exercice résolu Commentaires élève
Enoncé2 : La distance
terre soleil est d’environ
𝟏, 𝟓 × 𝟏𝟎𝟖 km. La sonde
MathSpace est partie de
la terre et se dirige vers
le soleil. La sonde a une vitesse constante de 103km/h.
Combien d’heures sera nécessaire pour que la sonde
atteigne le soleil ?
Solution : 1,5×108
103= 1,5 ×
108
103
= 1,5 × 108−3 = 1,5 × 105
Il faudra environ 1,5 × 105 heures pour que la sonde atteigne le soleil.
5. Écritures scientifiques 5.1 Définition Tout nombre décimal positif peut s'écrire en écriture scientifique sous la forme :
a×10p où a est un nombre décimal tel que 𝟏 ⩽ 𝒂 < 𝟏𝟎 et p est un nombre entier relatif. Exemples :
0,0341=3,41×0,01
=3,41×10-2
3,41×10-2 est l'écriture scientifique de 0,0341
34 500=3,45×10 000 =3,45×104
3,45×104 est l'écriture scientifique de 34 500
Remarque : Un nombre décimal négatif peut aussi s'écrire en écriture scientifique. (on ajoute le
signe moins) -3,45×104 est l'écriture scientifique de -34 500
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EXERCICES À CONNAITRE
ENONCES SOLUTIONS
EXERCICE11 :
Donner les écritures
scientifiques de
238 123 et 0,00045
EXERCICE12 :
Donner les écritures
scientifiques de
A=238×105 et
B=0,045×1012
EXERCICE13 :
Donner un ordre de
grandeur de C=5 812 342×449 109 876 en utilisant les écritures
scientifiques.
5.2 Calculatrice
6. Les préfixes et les puissances de dix
Le tableau ci-dessous reprend les préfixes les plus connus et les puissances de dix qui leur sont associées :
Préfixe des multiples d'unité de base Préfixes des sous-multiples d'unité de base
101 da (déca) 10-1 d (déci)
102 h (hecto) 10-2 c (centi)
103 k (kilo) 10-3 m (milli)
106 M (méga) 10-6 µ (micro)
109 G (giga) 10-9 n (nano)
1012 T (tera) 10-12 p (pico)
Exercice : La phrase ci-dessous (Source) vient du site « Wikipédia ». Il s’agit de l’écrire à
nouveau (Destination) en remplaçant « micromètre » par « nanomètre ». Source : Vers 1925, un virus était défini comme un « agent responsable d'une maladie infectieuse, parasite, de nature particulaire et de taille comprise entre 0,01 et 0,3 micromètre ». Destination : Vers 1925, un virus était défini comme un « agent responsable d'une maladie infectieuse, parasite, de nature particulaire et de taille comprise entre ………………………………... En effet :
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Unités et ordres de grandeurs avec deux dessins
Petites unités
Grandes unités
Source : https://artemis.oca.eu/fr/rechercheartemis/projets/173-art-telemetrie-laser/341-unites-de-longueur-les-grandes-les-petites
Quelques données chiffrées pour votre culture générale
Ecritures trouvées sur Internet
Ecriture scientifique
Taille d’un atome Environ 10 nanomètres 1×10-10m
Taille d’une bactérie Environ 1 micromètre 1×10-6m
Taille d’une alvéole pulmonaire Environ 0,2 millimètre 2×10-4m
Longueur de l’intestin Environ 7 m 7×100m
Capacité de stockage d’un disque dur Environ 1 téraoctet 1×1012 octets
Vitesse du son Environ 340 m/s 3,4×102m/s
Vitesse de la lumière Environ 300 000 km/s 3×108m/s
Population française Environ 70 millions de français 7×107 français
Population mondiale Environ 7,7 milliards d’habitants 7,7×109 habitants
Distance Terre-Lune Environ 380 000 km 3,8×108 m
Distance Terre Soleil Environ 150 millions de kilomètres 1,5×1011 m
EXERCICES À CONNAITRE
ENONCES SOLUTIONS
EXERCICE14 : Convertir
5 000 nanomètres en
millimètres
EXERCICE15 :
Convertir 20 Mégatonnes en
kilotonnes
4ème - Objectifs – Chapitre08 : Puissances de 10, écritures scientifiques
A10 : Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
A30 Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées
Simplex : La rumeur : la puissance d'un nombre
https://youtu.be/RQlSEC5aLy0
Maths et tiques : Utiliser la notation des puissances -
Quatrième
https://youtu.be/jts9wiXPHtk
Maths et tiques : Calculer les puissances avec les nombres
relatifs - Quatrième
https://youtu.be/4CEYTrvUP0I
Ecrire un nombre avec des puissances de 10 (1) –
Quatrième
https://youtu.be/D5Fe9Fv6CqQ
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Ecrire un nombre avec des puissances de 10 (2) - Quatrième
https://youtu.be/vRPOgw3Sfnk
Utiliser les puissances de 10 d'exposant négatif - Quatrième
https://youtu.be/TSeL-rVZNPQ
Ecrire un nombre sous forme scientifique - Quatrième
https://youtu.be/tzhNCpLRtCY
EXERCICE : Ecrire un nombre sous forme scientifique - Quatrième
https://youtu.be/W9ZjP-7jk50
Calculer des puissances (notation scientifique) - Tutoriel CASIO Collège
https://youtu.be/xMR4hFMdTMY
Calculer des puissances (notation scientifique) - Tutoriel HP Collège
https://youtu.be/IIOkQuUy_ow
Calculer des puissances (notation scientifique) - Tutoriel TI-Collège
https://youtu.be/7eKVelM9lF8
Les 1% les plus riches possèdent autant que les 99% restants... et ?
https://youtu.be/L1szCTCgB3M
Je possède un livre qui contient 100 000 000 000 000 de poèmes
https://youtu.be/FxsEBlwDViQ
Le grand zoom de tout l'univers (aller-retour et en HD)
https://youtu.be/1VOXpmqtze4
Fiche élève de fin de chapitre
Carte mentale - sketchnote
Emotion(s) :
Remarque : Sur cette « fiche élève de fin de chapitre » c’est l’élève qui est l’auteur des traces écrites qui ne seront pas corrigées par l’enseignant.
Mathématiques : évaluation du cahier partie COURS (pour ce chapitre)
Code correcteur1 Code correcteur2
LA PARTIE COURS de ce chapitre est
soignée et esthétiquement agréable. Le contenu de LA PARTIE COURS est
complet. On peut utiliser LA PARTIE COURS pour
réviser, s’entrainer, apprendre ses leçons.
Conseil(s) donné(s) par le correcteur2 pour améliorer ce cahier :
Correcteur1 : propriétaire du cahier
Correcteur2 : (camarade, surveillant,
professeur, parent, …) : ……………………………..…….
………………………………..….