Download - ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се
![Page 1: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/1.jpg)
ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ
![Page 2: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/2.jpg)
1. ДЕФОРМАЦИЈСКА НЕОДРЕЂЕНОСТ СИСТЕМА
Основне непознате величине у методи деформације усвајају се параметри генералисаног померања.
У матричној формулацији то су:
померања и
обртања чворова.
Укупан број међусобно независних параметара генералисаног померања представља деформацијску неодређеност система.
![Page 3: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/3.jpg)
1. ДЕФОРМАЦИЈСКА НЕОДРЕЂЕНОСТ СИСТЕМА
У случају раванских система, сваки чвор може да има две компоненте померања, односно укупан број померања система од K чворова је једнак 2n. Број чворова у којима се јавља бар један крут угао обележавамо са (m).
![Page 4: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/4.jpg)
1. ДЕФОРМАЦИЈСКА НЕОДРЕЂЕНОСТ СИСТЕМА
Број међусобно независних параметара померања система (n) једнак је збиру двоструког броја померања чворова (2К) и независних обртања чворова (m) умањен за број спречених односно задатих померања у ослонцима (zo):
n=2К+m-zo
Овим је дефинисана статичка неодређеност носача у тачној методи деформације.
![Page 5: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/5.jpg)
2. МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА
У матричној анализи штап представља основни елемент.
Најједноставнији модел за анализу штапа је модел правог призматичног штапа са чворовима на његовим крајевима.
![Page 6: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/6.jpg)
2. МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА
ОСНОВНЕ СТАТИЧКЕ И ДЕФОРМАЦИЈСКЕ ВЕЛИЧИНЕ
Приказан је прав призматичан штап произвољног попречног пресека, дужине l.
На крајевима штапа се налазе чворови који су означени са i и k.
На левом крају штапа у чвору i постављен је Декартов правоугли координатни систем x, y, z тако да се оса xпоклапа са осом штапа , а осе y и z се поклапају са правцима главних оса инерције попречног пресека штапа. Координатни систем Оxyz се назива локални координатни систем и везан је за штап.
![Page 7: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/7.jpg)
2. МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА
Основне деформацијске величине у чворовима штапа су генералисана померања, односно:
померања u, v, w
обртања x, y, z
око оса x, y, z.
Основне статичке величине у чворовима штапа су генералисане силе, односно силе Nx, Ty, Tz и моменти Mx, My, Mz које одговарају генералисаним померањима.
![Page 8: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/8.jpg)
2. МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА
Генералисана померања у чворовима i и k могу да се прикажу као компоненте вектора qi и qk:
�� =
��
��
��
���
���
���
=> ��� = �� �� �� ��� ��� ���
��� = �� �� �� ��� ��� ���
генералисана померања штапа q:
�� = ��� ��
� = �� �� … ��
![Page 9: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/9.jpg)
2. МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА
Генералисане силе у чворовима i и k могу да се прикажу као компоненте вектора Ri и Rk:
��� = ��� ��� ��� ��� ��� ���
��� = ��� ��� ��� ��� ��� ���
Генералисане силе штапа, као компоненте вектора R:
�� = ��� ��
� = �� �� … ��
![Page 10: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/10.jpg)
2. МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА
ВЕКТОР ЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
Као што је познато при одређивању померања и обртања чворова система, спољашњи утицаји који делују дуж појединих штапова могу да се замене концентрисаним оптерећењем у чворовима, односно на крајевима штапа.
![Page 11: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/11.jpg)
2. МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА
ВЕКТОР ЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
Концентрисано оптерећење на крајевима штапа којим се замењују спољашњи утицаји који делују дуж осе штапа се назива еквивалентно оптерећење.
Еквивалентно оптерећење проузрокује иста померања и обртања чворова система као и одговарајући спољашњи утицаји који делују дуж појединих штапова система.
Спољашњи утицаји који могу да делују дуж осе штапа могу бити:
подељена и концентрисана оптерећења
температурне промене t и температурне разлике t
![Page 12: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/12.jpg)
2. МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА
ВЕКТОР ЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
За компоненте еквивалентног оптерећења у чворовима штапа важе исте конвенције као и за генералисане силе, односно, позитивне су ако су орјентисане у смеру одговарајуће координатне осе.
Компоненте еквивалентног оптерећења у чворовима i и k могу да се прикажу као компоненте вектора Qi и Qk:
��� = − ��� ��� ��� ��� ��� ���
��� = ��� ��� ��� ��� ��� ���
а за штап као компоненте вектора Q:
�� = ��� ��
�
![Page 13: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/13.jpg)
2. МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА
МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА
Матрица k помоћу које се успоставља непосредна веза између генералисаних сила и генералисаних померања на крајевима штапа назива се матрица крутости штапа.
Матрица крутости је квадратна матрица n-тог реда, где је n број генералисаних померања штапа.
Она је симетрична у односу на главну дијагоналу kij=kji, што је последица Максвеловог (Maxwell) става о узајамности померања.
![Page 14: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/14.jpg)
3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
Елементи матрице крутости и вектора еквивалентног оптерећења могу да се одреде на више начина.
Такође ћемо се бавити и проучавањем следећих типова штапова и то:
штап типа к- обострано укљештен штап,
штап типа g - штап који је на једној страни круто, а другој зглобно везан,
штап типа p- обострано злобно везан штап.
![Page 15: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/15.jpg)
3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
ОБОСТРАНО КРУТО ВЕЗАН ШТАП - ТИПА К
Аксијално напрезање
матрица крутости аксијално напрегнутог штапа
�� =��
�1 −1
−1 1
![Page 16: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/16.jpg)
3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
ОБОСТРАНО КРУТО ВЕЗАН ШТАП - ТИПА К
Аксијално напрезање
У случају дејства једнакоподељеног оптерећења po дуж осе штапа вектор еквивалентног оптерећења у матричном облику је
��� =
���
21 1
![Page 17: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/17.jpg)
3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
ОБОСТРАНО КРУТО ВЕЗАН ШТАП - ТИПА К
Приказан је штап дужине l, константног попречног пресека, који је изложен савијању у равни xOy.
Момент инерције попречног пресека штапа је I, а модул еластичности материјала E.
Генералисана померања на крајевима штапа су (ui, vi, i),(uk, vk, k). Конвенција о позитивним смеровима је показана код генералисаних померања, односно сила у чворовима штапа
E,I
![Page 18: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/18.jpg)
3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
ОБОСТРАНО КРУТО ВЕЗАН ШТАП - ТИПА К
Mатрица крутости штапа изложеног савијању има следећи облик:
�� =��
��
12 6� −12 6�6� 4�� −6� 2��
−12 −6� 12 −6�6� 2�� −6� 4��
E,I
![Page 19: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/19.jpg)
3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
ОБОСТРАНО КРУТО ВЕЗАН ШТАП - ТИПА К
Равни призматичан штап може да прими и пренесе спољашње утицаје који делују у равни штапа, односно оптерећење у правцу осе штапа и оптерећење управно на правац осе штапа, као и температуру у правцу осе штапа t и температурну разлику t дуж осе штапа.
![Page 20: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/20.jpg)
3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
ОБОСТРАНО КРУТО ВЕЗАН ШТАП - ТИПА К
Вектор еквивалентног оптерећења:
�� = �� �� �� �� �� �� ����∆�
ОПТЕРЕЋЕЊЕ
�� = �� =��
2
�� = −���
�, �� =
���
�
�� = −��� ����
�� , �� = −����
��
�� = −��� ����
�� , �� =����
��
![Page 21: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/21.jpg)
3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
ОБОСТРАНО КРУТО ВЕЗАН ШТАП - ТИПА К
Општи израз за матрицу крутости и вектор еквивалентног оптерећења равног призматичног штапа
�� =
��
�0 0 −
��
�0 0
012��
��
6��
��0 −
12��
��
6��
��
06��
��
4��
�0 −
6��
��
2��
�
−��
�0 0
��
�0 0
0 −12��
��−
6��
��0
12��
��−
6��
��
06��
��
2��
�0 −
6��
��
4��
�
![Page 22: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/22.jpg)
3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
ШТАП НА ЈЕДНОМ КРАЈУ КРУТО, А НА ДРУГОМ ЗГЛОБНО ВЕЗАН -ТИПА G
За разлику од обострано укљештеног штапа, штап у коме је на једном крају зглобна веза, моменат у том зглобу је једнак нули.
То омогућава да се број степени слободе за тај штап смањи за један, јер се из услова да је моменат у зглобу једнак нули, елиминишемо обртање у том зглобу.
Приказан је штап који је на левом крају круто, а у десном зглобно везан. Штап има пет степени слободе, и то три у крутој вези i и два у чвору g.
![Page 23: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/23.jpg)
3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
ШТАП НА ЈЕДНОМ КРАЈУ КРУТО, А НА ДРУГОМ ЗГЛОБНО ВЕЗАН -ТИПА G
За случај штапа са константним попречним пресеком матрица крутости постаје:
�� =
��
�0 0 −
��
�0
03��
��
3��
��0 −
3��
��
03��
��
3��
�0 −
3��
��
−��
�0 0
��
�0
0 −3��
��−
3��
��0
3��
��
![Page 24: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/24.jpg)
3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
ШТАП ОБОСТРАНО ЗГЛОБНО ВЕЗАН - ТИПА P
За разлику од обострано укљештеног штапа, штап који је обострано зглобно везан, моменти у том зглобовима су једнаки нули.
То омогућава да се број степени слободе за тај штап смањи за четири. Штап има два степена слободе, и то један у чвору i и један у чвору p.
![Page 25: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/25.jpg)
3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА
ШТАП ОБОСТРАНО ЗГЛОБНО ВЕЗАН - ТИПА P
За случај штапа са константним попречним пресеком матрица крутости постаје:
�� =
��
�−
��
�
−��
�
��
�
![Page 26: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/26.jpg)
4. РАВНИ НОСАЧИ
Равне носаче чине штапови који су међусобно везани у чворовима и леже у једној равни, која се назива раван носача.
Код равних носача осе свих штапова са једном у главних централних оса инерције њихових попречних пресека леже у равни носача.
Оптерећење које делује на носач, такође лежи у равни носача. У зависности од начина преношења оптерећења могу бити гредни и решеткасти.
![Page 27: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/27.jpg)
4. РАВНИ НОСАЧИ
ТРАНСФОРМАЦИЈА ВЕКТОРА ГЕНЕРАЛИСАНИХ СИЛА- ПОМЕРАЊА ИЗ ЛОКАЛНОГ У ГЛОБАЛНИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ
У сваком носачу су дефинисана два координатна система:
локални координатни систем и
глобални координатни систем.
Локални координатни систем је везан за штап. Његов почетак је у чвору i на левом крају штапа, а оса x се поклапа са осом штапа, док се осе y и z поклапају са главним осама за моменте инерције Iy и Iz попречног пресека штапа. Одатле следи да сваки штап има дефинисан свој локални координатни систем.
![Page 28: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/28.jpg)
4. РАВНИ НОСАЧИ
ТРАНСФОРМАЦИЈА ВЕКТОРА ГЕНЕРАЛИСАНИХ СИЛА- ПОМЕРАЊА ИЗ ЛОКАЛНОГ У ГЛОБАЛНИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ
Приказане су компоненте вектора R и момента савијања M у локалном xOy и глобалном XOY координатном систему. Међусобан положај координатних система је дефинисан углом .
Све величине у глобалном координатном систему означићемо звездицом.
![Page 29: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/29.jpg)
4. РАВНИ НОСАЧИ
ТРАНСФОРМАЦИЈА ВЕКТОРА ГЕНЕРАЛИСАНИХ СИЛА- ПОМЕРАЊА ИЗ ЛОКАЛНОГ У ГЛОБАЛНИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ
разлагањем сила у тачки из локалног xOy у глобални XOYкоординатни систем добија веза:
� = �∗ cos � + �∗ sin �
� = −�∗ sin � + �∗cos�
док су моменти у локалном и глобалном систему исти:
� = �∗
![Page 30: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/30.jpg)
4. РАВНИ НОСАЧИ
ТРАНСФОРМАЦИЈА ВЕКТОРА ГЕНЕРАЛИСАНИХ СИЛА- ПОМЕРАЊА ИЗ ЛОКАЛНОГ У ГЛОБАЛНИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ
Веза се може показати и у матричном облику:���
=cos � sin � 0
− sin � cos � 00 0 1
�∗
�∗
�∗
![Page 31: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/31.jpg)
4. РАВНИ НОСАЧИ
ТРАНСФОРМАЦИЈА ВЕКТОРА ГЕНЕРАЛИСАНИХ СИЛА-ПОМЕРАЊА ИЗ ЛОКАЛНОГ У ГЛОБАЛНИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ
Матрица T се назива матрица трансформације штапа:
� =
cos � sin � 0 0 0 0− sin � cos � 0 0 0 0
0 0 1 0 0 00 0 0 cos � sin � 00 0 0 − sin � cos � 00 0 0 0 0 1
Везу између генералисаних сила у локалном и глобалном координатном систему можемо приказати:
� = ��∗
![Page 32: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/32.jpg)
4. РАВНИ НОСАЧИ
Трансформација матрице крутости за штап типа к:
�� =
cos � sin � 0 0 0 0− sin � cos � 0 0 0 0
0 0 1 0 0 00 0 0 cos � sin � 00 0 0 − sin � cos � 00 0 0 0 0 1
где је:��
∗ = �������
матрица крутости штапа типа к у глобалном координатном систему.
![Page 33: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/33.jpg)
4. РАВНИ НОСАЧИ
Трансформација матрице крутости за штап типа g:
�� =
cos � sin � 0 0 0− sin � cos � 0 0 0
0 0 1 0 00 0 0 cos � sin �0 0 0 − sin � cos �
За штап који је на левом крају круто, а на десном зглобно везан матрица трансформације се редукује тако што брише последња врста и последња колона јер је моменат на десном крају једнак нули. По аналогији, ако је штап на левом крају зглобно везан а на десном круто бришу се трећа врста и трећа колона.
��*= ����� ��
матрица крутости штапа типа g у глобалном координатном систему
![Page 34: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/34.jpg)
4. РАВНИ НОСАЧИ
трансформација матрице крутости за штап типа p:
�� =cos � sin �
− sin � cos �
где је:
��*= ����� ��
матрица крутости штапа типа у глобалном координатном систему.
![Page 35: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/35.jpg)
ДИРЕКТНО ФОРМИРАЊЕ ЈЕДНАЧИНА СИСТЕМА - ПОСТУПАК КОДНИХ БРОЈЕВА
За добијање система једначина система постоји неколико начина. Један од најједноставнијих и најбржих за решавање помоћу директне методе.
Везу између генералисаних сила и генералисаних померања на крајевима штапа можемо приказати изразом:
�∗�
= �∗�
�∗�
− �∗�
, � = 1,2, … , �
где су R*j вектор генералисаних сила, K*ј матрица крутости система, q*ј вектор генералисаних померања, Q*ј вектор еквивалентног оптерећења који одговара задатим спољашњим утицајима дуж осе штапа, а М укупан број штапова система.
![Page 36: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/36.jpg)
ДИРЕКТНО ФОРМИРАЊЕ ЈЕДНАЧИНА СИСТЕМА - ПОСТУПАК КОДНИХ БРОЈЕВА
Матрицу крутости система К* и вектор еквивалентног оптерећења система Q* формирамо непосредно полазећи од матрица K*ј и вектора Q*ј, ј=1, 2, ..., М, за поједине штапове система.
Веза између генералисаних сила и генералисаних померања на крајевима штапа може да се прикаже у следећем облику:
��
∗�
��∗� =
���∗�
���∗�
���∗�
���∗�
��∗
��∗ −
��∗�
��∗�
где индекс j означава штап, а индекси i и k крајеве штапа односно чворове.
![Page 37: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/37.jpg)
ДИРЕКТНО ФОРМИРАЊЕ ЈЕДНАЧИНА СИСТЕМА - ПОСТУПАК КОДНИХ БРОЈЕВА
Поступак се састоји у следећим корацима:
одреде се матрице крутости свих штапова и изврши њихова трансформација у односу на глобални координатни систем
изврши се кодирање (нумерисање) врста и колона матрица штапова према глобалним координатама (генералисаним померањима) чворова. На тај начин, сваки елеменат матрице крутости има два индекса, помоћу којих се одређује положај елемента у матрици система.
![Page 38: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/38.jpg)
ПОСТУПАК КОДНИХ БРОЈЕВА
једначине система- директно формирање једначина система. поступак кодних бројева
Формира се квадратна нула матрица реда N, где је N укупан број степени слободе система. Врсте матрице одговарају генералисаним силама, а колоне генералисаним померањима у чворовима система.
У ову матрицу се уносе елементи матрица крутости појединих штапова на позиције које одговарају њиховим ознакама, односно индексима у глобалном координатном систему. Када се на истој позицији нађу елементи матрица два или више штапова они се сабирају.
На сличан начин се добија и вектор еквивалентног оптерећења Q*.
![Page 39: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/39.jpg)
ДИРЕКТНО ФОРМИРАЊЕ ЈЕДНАЧИНА СИСТЕМА - ПОСТУПАК КОДНИХ БРОЈЕВА
Разликујемо два случаја контурних услова:
хомогени контурни услови, где су потпуно спречена генералисана померања у ослонцима
нехомогени контурни услови, где су омогућена (задата) генералисана померања ослонаца
![Page 40: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/40.jpg)
5. ПОВРШИНСКИ НОСАЧИ
Површински носачи могу бити:
равни површински носачи –плоче
просторни површински носачи – љуске
РАВНИ ПОВРШИНСКИ НОСАЧИ –ПЛОЧЕ
Плоче су тела ограничена са две паралелне равни (основе) на растојању h које је мало у односу на друге две димензије плоче
Средња раван плоче је раван која полови висину плоче. При деформацији плоче под оптерећењем ова раван прелази у еластичну површину плоче.
![Page 41: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/41.jpg)
5. ПОВРШИНСКИ НОСАЧИ
СИЛЕ У ПРЕСЕКУ И ВРСТЕ НАПРЕЗАЊА
Силе у пресеку, слично као и код линијских носача дефинисаћемо преко унутрашњих сила, односно преко одговарајућих напона.
Издвојићемо из плоче елемент са два пресека паралелна са равни zOy на међусобном растојању dx и са два пресека паралелна равни zOx на растојању dy
![Page 42: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/42.jpg)
5. ПОВРШИНСКИ НОСАЧИ
СИЛЕ У ПРЕСЕКУ И ВРСТЕ НАПРЕЗАЊА
Усвојени правоугли координатни систем Oxyz има x и y осе у средњој равни плоче, а z оса је орјентисана наниже.
Ако посматрамо раван са нормалом у правцу x осе, напони који се у њој јављају су x,zx,xy.
![Page 43: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/43.jpg)
5. ПОВРШИНСКИ НОСАЧИ
СИЛЕ У ПРЕСЕКУ И ВРСТЕ НАПРЕЗАЊА
Укупан број непознатих пресечних сила код плоче осам.
Када се све појављују наведене пресечне силе тада говоримо о сложеном напрезању. Овакво напрезање се може разложити на две врсте напрезања која се засебно третирају.
Када се од свих набројаних пресечних сила појављују само моменти савијања, торзиони моменти и трансверзалне силе,односно Mx, Mxy, My, Tzx, Tzy,тада је плоча напрегнута на савијање.
![Page 44: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/44.jpg)
5. ПОВРШИНСКИ НОСАЧИ
СИЛЕ У ПРЕСЕКУ И ВРСТЕ НАПРЕЗАЊА
Ако се јављају само оне силе које леже у средњој равни плоче, односно Nx, Ny, Nxy, тада је плоча напрегнута у својој равни и такво напрезање се у Теорији еластичности назива равним напрезањем.
![Page 45: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/45.jpg)
5. ПОВРШИНСКИ НОСАЧИ
ПЛОЧЕ НАПРЕГНУТЕ НА САВИЈАЊЕ
Савремену теорију савијања плоча поставио је Кирхоф (Kirchoff) на бази следећих хипотеза:
Линијски елемент управан на средњу раван пре деформације остаје прав, непромењене дужине и управан на деформисану средњу раван (еластичну површину) и после деформације.
Приликом деформације се не мења дужина елемента ни угао између елемената средње равни.
Нормални напон z за равни паралелне са средњом равни, сматрају се малим у поређењу са осталим компоненталним напонима и могу се занемарити.
![Page 46: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/46.jpg)
5. ПОВРШИНСКИ НОСАЧИ
ПЛОЧЕ НАПРЕГНУТЕ НА САВИЈАЊЕ
Плоче се деле у три групе:
Веома танке плоче – мембране, код којих је однос дебљине према мањој димензији приближно
ℎ
�<
1
8÷
1
100
Овакве плоче имају веома малу крутост на савијање, тако да се код њих померања у правцу нормале на средњу раван (угиби), велики у односу на дебљину плоче. У овим плочама се најчешће јавља затезање средње равни које је деформише, па друга хипотеза постаје неодржива. Ове плоче неће бити предмет нашег излагања
![Page 47: ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА Матрица kпомоћу које се](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5f5ad9572f81e3013b729b94/html5/thumbnails/47.jpg)
5. ПОВРШИНСКИ НОСАЧИ
ПЛОЧЕ НАПРЕГНУТЕ НА САВИЈАЊЕ
Танке плоче, по неким поделама се називају и плоче средње дебљине, имају однос који је приближно .Овакве плоче се најчешће примењују у грађевинарству и за њих важе све три наведене хипотезе. Даља излагања ће се односити на ову групу плоча.
1
8÷
1
100<
ℎ
�<
1
5÷
1
8
Дебеле плоче, код којих је не подлежу наведеним хипотезама јер би такав прорачун довео до грешака у односу на стварно понашање плоче.
ℎ
�>
1
5÷
1
8