เลขยกก ำลง
6 Jun 2017
สารบญ
รากท 𝑛 ..................................................................................................................................................................................... 1
คาหลกรากท 𝑛 ......................................................................................................................................................................... 2
การ บวก ลบ คณ หาร รท ........................................................................................................................................................ 7
รทสองของจ านวนทตดรท ..................................................................................................................................................... 16
เลขยกก าลง ........................................................................................................................................................................... 19
สมการเลขชก าลง .................................................................................................................................................................. 26
อสมการเลขชก าลง ................................................................................................................................................................ 33
เลขยกก าลง 1
รากท 𝑛
รากท 𝑛 ของ 𝑥 คอ จ านวนทยกก าลง 𝑛 แลวได 𝑥 เชน รากท 2 ของ 16 → อะไร 2 = 16 → 4 กบ −4
รากท 2 ของ −16 → อะไร 2 = −16 → ไมม (รากท 2 ของ −16 หาคาไมได) รากท 3 ของ 8 → อะไร 3 = 8 → 2
รากท 3 ของ −8 → อะไร 3 = −8 → −2
สรป
แบบฝกหด
1. จงเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง 1. รากท 2 ของ 64 คอ ....................... 2. รากท 9 ของ 1 คอ ........................ 3. รากท 4 ของ −16 คอ ......................... 4. รากท 3 ของ −1 คอ ........................ 5. รากท 2 ของ 25 คอ ......................... 6. รากท 4 ของ 1 คอ ........................ 7. รากท 5 ของ −1 คอ ......................... 8. รากท 2 ของ −1 คอ ........................ 9. จ านวนทยกก าลง 2 ได 16 คอ ........................ 10. จ านวนทยกก าลง 3 ได 8 คอ ........................ 11. จ านวนทยกก าลง 4 ได −1 คอ ........................ 12. จ านวนทยกก าลง 5 ได −32 คอ ........................
2. ถา (𝑝 − 2)2 = 25 และ (𝑞 + 1)2 = 81 แลว คามากทสดทเปนไปไดของ 𝑝 − 2𝑞 เทากบเทาใด
[O-NET 54/26]
รากทค ของจ านวนบวก → มสองจ านวน (บวกกบลบ) รากทค ของจ านวนลบ → หาคาไมได
รากทค ของจ านวนบวก → มจ านวนเดยว และเปนบวก
รากทค ของจ านวนลบ → มจ านวนเดยว และเปนลบ
2 เลขยกก าลง
คาหลกรากท 𝑛
หวขอน คลายหวขอทแลว ตางกนแคมค าวา “คาหลก” โผลมา จากหวขอทแลว รากทคของจ านวนบวก จะมสองจ านวน (บวกกบลบ) เราจะเรยกรากทเปนบวกวาราก “คาหลก” เชน รากทสองของ 16 คอ 4 และ −4
แต “คาหลกรากทสอง” ของ 16 คอ 4 แคจ านวนเดยว
สวนรากทค จะมจ านวนเดยวอยแลว จ านวนนนเลยไดเปน “คาหลก” โดยอตโนมต เชน รากทสามของ 8 คอ 2 รากทสามของ −8 คอ −2
คาหลกรากทสามของ 8 กคอ 2 คาหลกรากทสามของ −8 กคอ −2
“คาหลกรากท 𝑛” จะแทนดวยสญลกษณ √ 𝑛
(อานกวา “กรณฑอนดบท 𝑛” หรอ “รทท 𝑛”) ในกรณท 𝑛 = 2 มกจะละ 𝑛 ไวในฐานทเขาใจ เชน √16 จะหมายถง √16
2 นนเอง เชน √16 = 4 √−16 = หาคาไมได √8
3= 2 √−8
3= −2
√433 = √64
3 = 4 √(−3)2 = √9 = 3
ตวอยางทแสดง ตวเลขไมเยอะ ท าใหคดงาย แตถาตวเลขมากๆ กตองใชอกวธ
เมอ 𝑥 มคาเยอะๆ ถาจะหา √𝑥𝑛 เรามกจะใชวธแยกตวประกอบ 𝑥 โดยการตงหารสนไปเรอยๆ
ถาตวประกอบซ าครบ 𝑛 ตว จะกลายเปนผลลพธได 1 ตว ถาตวประกอบทซ าไมถง 𝑛 ตว จะกลายเปนผลลพธไมได ตองตดอยในเครองหมายราก
ตวอยาง จงหาคาของ √17283
วธท า เอา 1728 มาแยกตวประกอบโดยตงหารสนไปเรอยๆ
ขอน หารากท 3 ดงนน ตวประกอบซ า 3 ตว จะกลายเปนผลลพธ 1 ตว 2 ) 1728 2 ) 864 2 ) 432 2 ) 216 2 ) 108 2 ) 54 3 ) 27 3 ) 9 3
จะไดค าตอบคอ 2 × 2 × 3 = 12 #
ได 3 อกตว
ได 2 หนงตว
ได 2 อกตว
เลขยกก าลง 3
ตวอยาง จงหาคาของ √588 วธท า เอา 588 มาแยกตวประกอบโดยตงหารสนไปเรอยๆ
ตวประกอบซ า 2 ตว จะกลายเปนผลลพธ 1 ตว
2 ) 588 2 ) 294 3 ) 147 7 ) 49 7
จะเหนวา 2 กบ 7 มซ าครบค แต 3 ซ าไมครบสองตว ดงนน ค าตอบคอ 2 × 7 × √3 = 14√3 #
หมายเหต: ถาเหนตวเลขอยหนารท แปลวามนก าลง “คณ” กบรทอย กลาวคอ 14√3 = 14 × √3 = √3 × 14
แต 14√3 ไมเหมอนกบ √314
นะ
ตวอยาง จงหาคาของ √−5003
วธท า ขอน ถามรากทคของจ านวนลบ จะยงพอหาได (แตถาถามรากทคของจ านวนลบ จะหาไมได) จากหวขอทแลว รากทคของจ านวนลบ จะไดค าตอบเปนจ านวนลบ
ดงนน วธท าคอ เราจะท าโดยไมสนใจเครองหมายลบ แตตอนสดทาย เราจะเตมเครองหมายลบเคาไปกอนตอบ
ขอนหารากท 3 นนคอ ตวประกอบซ า 2 ตว จะกลายเปนผลลพธ 1 ตว
2 ) 500 2 ) 250 5 ) 125 5 ) 25 5
จะเหนวา 2 ไดไมครบสามตว ดงนน ไดตวเลขค าตอบ คอ 5√2 × 23
= 5√43
แตเนองจากรากทคของจ านวนลบ ตองไดจ านวนลบ ดงนน ค าตอบคอ −5√43 #
จะเหนวา ตองจบคครบ 𝑛 ตว จงจะสามารถโยนออกมานอก √𝑛 ได 1 ตว
ท านองกลบกน ถาเราจะหดตวนอก √𝑛 กลบเขาไปขางใน จะตองแตกซ า 𝑛 ตว เชน 2√3 = √2 × 2 × 3 = √12 3√5
3 = √3 × 3 × 3 × 5
3 = √135
3
2√24
= √2 × 2 × 2 × 2 × 24
= √324
√6
2 = √
6
2×2 = √
3
2
ได 2 หนงตว
ได 7 หนงตว
ได 5 หนงตว
14 คณรากทสองของ 3 คาหลกรากท 14 ของ 3
4 เลขยกก าลง
ตวอยาง จงเรยงล าดบจ านวนตอไปน จากมากไปหานอย 3√5 , 4√3 , 5√2
วธท า ขอน มทงตวเลขหนารทและหลงรท ท าใหเปรยบเทยบยาก
ดงนน เราจะหดตวเลขหนารท กลบเขาไปอยหลงรท ดงน
เนองจาก √45 < √48 < √50 ดงนน 3√5 < 4√3 < 5√2 #
ถาตองการดง “ตวแปร” ออกมาจาก √𝑛 กยงใชวธเดม คอ ตวแปรซ าครบ 𝑛 ตว ดงออกมาเปน 1 ตว
สงทตองระวง คอ ในกรณท 𝑛 เปนเลขค ผลลพธจะเปนลบไมได
ดงนน เราตองใสเครองหมาย คาสมบรณ เพอใหผลลพธเปนบวกเสมอ
เชน √𝑎7 = |𝑎3|√𝑎 √12𝑥3𝑦5
𝑧4 = 2|𝑥|𝑦2
𝑧2 √3𝑥𝑦
√𝑥2 = |𝑥| √𝑥12𝑦15𝑧164 = |𝑥3𝑦3|(𝑧4)(√𝑦34
)
แตถา 𝑛 เปนเลขค กท าเหมอนปกต ไมมอะไรตองระวง เชน √𝑎43
= 𝑎 √𝑎3
√𝑎6𝑏53 = 𝑎2𝑏 √𝑏23
√𝑎13𝑏155 = 𝑎2𝑏3 √𝑎35
√𝑎7𝑏12
𝑐3
3 = 𝑎
2𝑏4
𝑐∙ √𝑎
3
หมายเหต: คนสวนใหญมกคดวา √𝑥2 = 𝑥 ซงจะถกเฉพาะเมอ 𝑥 เปนบวกหรอศนยเทานน ประโยคทถกตองจรงๆ คอ √𝑥2 = |𝑥| ตามทแสดงในตวอยางขางตน
แบบฝกหด 1. ขอใดถกตอง
1. √(−3)33 = −3 2. √(−4)44
= −4
3. √−25
หาคาไมได 4. √𝑥2 = 𝑥
5. √𝑥2 = 𝑥 เมอ 𝑥 ≥ 0 6. √𝑥4 = 𝑥2
2. จงหาผลส าเรจของคาในแตละขอตอไปน
1. √814
2. √2163
3√5 = √3 × 3 × 5 = √45 4√3 = √4 × 4 × 3 = √48
5√2 = √5 × 5 × 2 = √50
ไมตองเอา 𝑧4 ไวในคาสมบรณกได
เพราะ 𝑧4 เปนบวกตลอดอยแลว
เลขยกก าลง 5
3. √−2435 4. √−432
3
5. √1764 6. √101253
7. √(−17)2 8. √𝑎10𝑏4
9. √8𝑥5𝑦6
𝑧7 10. √𝑥2𝑛+12𝑛+1 เมอ 𝑛 เปนจ านวนนบ
6 เลขยกก าลง
3. ก าหนดให 𝑎 เปนจ านวนจรงบวก และ 𝑛 เปนจ านวนคบวก ขอใดถกตองบาง [O-NET 53/9] 1. ( √𝑎
𝑛)
𝑛 = |𝑎| 2. √𝑎𝑛𝑛
= |𝑎|
4. (|4√3 − 5√2| − |3√5 − 5√2| + |4√3 − 3√5|)2 เทากบเทาใด [O-NET 53/8]
เลขยกก าลง 7
การ บวก ลบ คณ หาร รท
จ านวนทตดรท จะบวกลบกนได เมอสวนทเปนรทของทงสองตว เหมอนกน
เชน 2√5 + 3√5 บวกกนได เพราะสวนทเปนรทเทากน เทากบ √5 2√5 + 4√2 บวกกนไมได เพราะตวแรกเปน √5 แตตวหลงเปน √2 2√5 − 3√5
3 ลบกนไมได เพราะตวตงเปน √5 แตตวลบเปน √53
ในกรณทบวกลบกนได ผลลพธจะไดจากการเอาตวเลขหนารทมาบวกลบกน (ถาไมมตวเลขหนารท ใหถอวาเปน 1) เชน 2√5 + 3√5 = 5√5 √2
3+ 3√2
3 = 4√2
3 2√2 − √2 = √2 √2 + √3 = รวมกนไมได = √2 + √3
2√2 + 3√2 + √3 − √2 = 4√2 + √3
ในกรณทบวกลบกนไมได ใหลองพยายามจดรปดกอน โดยจะมวธจดคอ หดตวเลขเขาออกรท
เชน √8 = √2 × 2 × 2 = 2√2 √18 = √2 × 3 × 3 = 3√2
√50 = √2 × 5 × 5 = 5√2 √12 = √2 × 2 × 3 = 2√3 เปนตน
√( )𝑚𝑛 → คณหรอหาร 𝑚 และ 𝑛 ดวยตวเลขทเทากนได (เหมอนตดเศษสวน) เชน √269
= √223 √568 = √534
√226 = √2
3 √324
= √3
√33
= √326 √223
= √2812 เปนตน
ตวอยาง จงหาคาของ √8 + √18 − √44
วธท า ดเผนๆ ขอนเหมอนรวมกนไมได แตถาดดๆ จะพบวา √8 = √2 × 2 × 2 = 2√2
√18 = √2 × 3 × 3 = 3√2
√44
= √224 = √2
ดงนน √8 + √18 − √44
= 2√2 + 3√2 − √2
= (2 + 3 − 1)√2
= 4√2 #
ส าหรบการคณจ านวนตดรท จะคณกนไดเมอ “อนดบของรทเทากน” เชน 2√5 × 3√2 คณกนไดเลย เพราะเปนรากอนดบท 2 เหมอนกน
2√5 × 4√23
ตวแรกเปนรากทสอง แตตวหลงเปนรากทสาม ยงคณกนไมได (ตองจดรปใหอนดบรทเทากนกอน)
ในกรณทอนดบรทเทากน ใหเอาตวนอกรทคณตวนอกรท และ ตวในรทคณตวในรท
ถาตวในรท คณกนแลวเกด ซ ามากพอ กจบกลมดงออกไปนอกรทได
8 เลขยกก าลง
เชน 2√5 × 3√2 = 6√10
2√2 × 3√6 = 6√2 × 6 = 6√2 × 2 × 3 = 12√3
(√3)2
= √3 × √3 = √3 × 3 = 3
(√23
)6
= √23
× √23
× √23
× √23
× √23
× √23
= √2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 23
= 4
ถาอนดบรทไมเทากน ใหลองแปลง √( )𝑚𝑛 โดย คณหรอหาร 𝑚 กบ 𝑛 ดวยตวเลขทเทากนกอน
เชน √2 × √44
= √2 × √224 = √2 × √2 = 2
√2 × √33
= √236× √326
= √726
เปนตน
ถาตวทคณกน มการบวกกนอยดวย ใหเราใชวธกระจาย เหมอนตอนคณพหนาม
เชน (2 + √3)(4 − √3) = 8 − 2√3 + 4√3 − √3 × 3
= 8 + 2√3 − 3 = 5 + 2√3
(√3 + √2)2
= (√3 + √2)(√3 + √2) = 3 + √6 + √6 + 2
= 5 + 2√6
(5 + 2√2)(5 − 2√2) = 25 − 10√2 + 10√2 − 4√2 × 2
= 25 − 8 = 17
ส าหรบการหารจ านวนตดรท ใหท าเหมอนคณ คอ ตวหนารท กหารกบตวหนารท สวนตวในรท กหารกบตวในรท
เชน 8√6
2√3 = 4√2 3√6 ×
2
√2 = 6√3
10√2
5√10 =
2
√5
6 √33
2 √153 =
3
√53
แตในเรองการหาร จะมสงทตองท าเพมคอ ตองจดรปผลลพธให “ตวสวนไมตดรท” เพราะตวตดรท มกจะเปนตวเลขไมลงตว ถาเปนตวสวน จะคดเลขล าบากกวาเปนเศษ
วธจดรป ใหคณอะไรสกอยาง ใหรททตวสวนหายไป โดยตองคณทงเศษและสวน เพอไมใหคาเปลยน ดงน คณดวย “ตวทขาด” โดยเมอคณแลว ตวสวนจะซ าครบค และดงออกไปนอกรทได
เชน 2
√2 =
2
√2×
√2
√2 =
2√2
2 = √2
6
5√3 =
6
5√3×
√3
√3 =
6√3
(5)(3) =
2√3
5
4√2
√5 =
4√2
√5×
√5
√5 =
4√10
5
1
√23 =
1
√23 ×
√223
√223 = √43
2
เลขยกก าลง 9
คณดวย “คอนจเกต” ในกรณทตวสวน เปน √ บวกหรอลบ กบจ านวนอน ให
หมายเหต : “คอนจเกต” หรอ “สงยค” คอ จ านวนทเครองหมายตรงกลางเปลยนเปนตรงขาม
เชน คอนจเกตของ 5 + 2√2 คอ 5 − 2√2
คอนจเกตของ √3 − 4 คอ √3 + 4 เปนตน การคณดวยคอนจเกต จะท าใหเขาสตร (น − ล)(น + ล) = น2 − ล2 ท าให √ หายไปได
เชน
คณดวยตวอนๆ ทเขาสตร ผลบวก - ผลตาง ก าลง 𝑛
เชน ในกรณทตวสวน เปน √3 บวกหรอลบ กบจ านวนอน จะตองใหคณดวย (น2 ± นล + ล2)
เพอเขาสตร (น − ล)(น2 + นล + ล2) = น3 − ล3 (น + ล)(น2 − นล + ล2) = น3 + ล3
เชน 2
2− √23 =
2
2− √23 ∙
22+2 √23
+ √223
22+2 √23
+ √223
= (2)(22+2 √2
3+ √223
)
23− √233
= (2)(4+2 √2
3+ √4
3)
6 =
4+2 √23
+ √43
3
ตวอยาง ก าหนดให √2 = 1.414 จงหาคาประมาณของ 2
3√2
วธท า ขอน แทน √2 ลงไปตรงๆ จะได 2
3√2 =
2
3(1.414) =
2
4.242 → หารเลขล าบาก เพราะสวนเปนตวเลขไมสวย
เราจะจดรปใหสวนไมตดรทกอน จะได 2
3√2 =
2
3√2×
√2
√2 =
2√2
(3)(2) =
√2
3
แทน √2 = 1.414 จะได 1.414
3 = 0.471 → จะเหนวาคดเลขงายกวาเยอะเลย #
ตวอยาง จงหาคาของ 1
√2+√3+√5
วธท า ขอน ตวสวนม 3 ตว เราจะคอยๆก าจด √ โดยคอยๆคณดวยคอนจเกตทละเปลาะ
#
1−√3
√2+√3 =
1−√3
√2+√3×
√2−√3
√2−√3
= √2−√3−√6+3
2−3
= √2−√3−√6+3
−1
= −√2 + √3 + √6 − 3
2
√6−2 =
2
√6−2×
√6+2
√6+2
= (2)(√6+2)
6−4
= √6 + 2
1
√2+√3+√5 =
1
√2+√3+√5×
√2+√3−√5
√2+√3−√5
= √2+√3−√5
(√2+√3)2
−(√5)2
= √2+√3−√5
2+2√2√3+3−5
= √2+√3−√5
2√6
= √2+√3−√5
2√6×
√6
√6 =
2√3+3√2−√30
12
10 เลขยกก าลง
แบบฝกหด
1. จงหาผลบวกและผลลบของจ านวนตอไปน
1. 3√5 + 5√5 2. 2√3 − √3
3. √32 − √18 + √2 4. √3 + √1
3
5. √50 − √44
+ √9
2 6. 2√𝑥3 − 𝑥√𝑥 − 𝑥2√
1
𝑥
2. จงหาผลคณของจ านวนตอไปน
1. √6 × √2 2. 3√2 × √8
3. √33
× √93
4. √−23
× 3√43
5. √3 × √23
6. √94
× √5
เลขยกก าลง 11
7. √35
× √2 8. (√2 − 1)(√2 + √3)
9. (1 − √2)(1 + √2) 10. (1 − √2)2
11. (√3 − 1)2
12. (3√2 + 2√3)2
3. จงเขยนจ านวนตอไปน ใหอยในรปทตวสวนไมตดรท
1. 2
√5−√3 2. 1
√3+
√3
2
3. 1
√2 4. 2
√3+1
12 เลขยกก าลง
5. (√2
√3−
√6
2)
2
6. √2×√3×√10
√6×√5
7. 2−√3
2+√3 8. 6√3
3√2+2√3
9. √2+1
√2−1+
√2−1
√2+1 10. 4
√3+√4+√7
4. ก าหนดให √2 = 1.414 , √3 = 1.732 และ √5 = 2.236 จงหาคาประมาณของ จ านวนตอไปน ใหถกตอง
ถงทศนยมต าแหนงท 2
1. √8 − √1
2 2. √6 × √8
เลขยกก าลง 13
3. 3
√2 4. (√5 − 2)
−1
5. ถา 𝑎 = −5 และ 𝑏 = 8 แลว √𝑎2𝑏6
√𝑎4𝑏6
มคาเทาใด [O-NET 59/4]
6. (√2 + √8 + √18 + √32)2 มคาเทากบเทาใด [O-NET 49/1]
7. √18 + 2√−1253
− 3√44
มคาเทากบเทาใด [O-NET 51/3]
8. คาของ 1
(1−√3)2 อยในชวงใดตอไปน [O-NET 56/4]
1. [1.5, 1.6) 2. [1.6, 1.7) 3. [1.7, 1.8)
4. [1.8, 1.9) 5. [1.9, 2.0)
14 เลขยกก าลง
9. (√5
√6−
√2
√15)
2
มคาเทากบเทาใด [O-NET 51/1]
10. √3+2
√2−1÷
√2+2
2−√3 มคาเทากบขอใด [O-NET 56/5]
1. −1
√2 2. 1
√2 3. −√2 4. √2 5. 1
2
11. ถา 𝑥 = √2+√3
√2−√3 และ 𝑦 =
√2−√3
√2+√3 แลว 𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦2 เทากบเทาใด [O-NET 54/23]
12. ถา 𝑎 = √5+2
√5−2 แลว √𝑎 +
1
𝑎− 2 มคาเทากบเทาใด [O-NET 57/4]
เลขยกก าลง 15
13. ถา 𝑎 = √3+√2
√3−√2 แลว 𝑎2 +
1
𝑎2 มคาเทาใด [O-NET 58/8]
14. |1
2−
1
√2| − |2 − √2| มคาเทากบขอใดตอไปน [O-NET 50/1]
1. 3
2−
√2
2 2. √2
2−
3
2 3. 5
2−
3√2
2 4. 3√2
2−
5
2
15. (1 − √2)2
(2 + √8)2
(1 + √2)3
(2 − √8)3
มคาเทากบเทาใด [O-NET 50/3]
16 เลขยกก าลง
รทสองของจ านวนทตดรท
ในหวขอน จะเรยนเรองการหารท ของจ านวนทตดรท โดยจะพดถงการหารทสอง ของจ านวนในรป 𝑥 ± 2√𝑦
เนองจาก (√𝑎 + √𝑏)2
= (𝑎 + 𝑏) + 2√𝑎𝑏 ดงนน √(𝑎 + 𝑏) + 2√𝑎𝑏 = √𝑎 + √𝑏
ดงนน ถาจะหา √𝑥 + 2√𝑦 วธงายๆ คอ ใหหาตวเลขสองตวท “บวกกนได 𝑥 คณกนได 𝑦”
แลวเอาสองตวนนมาใสรท บวกกน ตอบไดทนท
ตวอยาง จงหาคาของ √17 + 2√72 วธท า ตองลองหาวาอะไรบวกกนได 17 คณกนได 72 ลองสมหาดซกพก จะได 9 กบ 8
ดงนน ค าตอบคอ √9 + √8 = 3 + 2√2 #
ในกรณทเครองหมายตรงกลางเปนลบ กท าเหมอนเดม และตอบค าตอบในรป √ตวมาก − √ตวนอย
เนองจาก √ จะใหผลลพธเปนบวกเทานน จงตองเอาตวมากขนกอนเสมอ
ตวอยาง จงหาคาของ √4 − 2√3 วธท า หาวาอะไรบวกกนได 4 คณกนได 3 ลองสมดซกพก จะได 1 กบ 3
แต 3 มากกวา 1 ดงนน ตองตอบโดยเอา 3 ขนกอน ดงนน ค าตอบคอ √3 − √1 = √3 − 1 #
ตวอยาง จงหารากทสองของ 11 − 2√24
วธท า ขอน เหมอนกนกบค าถามวา √11 − 2√24 เทากบเทาไหรนนเอง เพยงแตถาถาม “รากทสอง” แบบน ตองตอบสองคา คอคาบวกกบคาลบ หาวาอะไรบวกกนได 11 คณกนได 24 ลองสมดซกพก จะได 8 กบ 3 โดยจะได 8 เปนตวมาก
ดงนน ค าตอบคอ ±(√8 − √3) = ±(2√2 − √3) #
ตวอยาง จงหาคาของ √12 + 6√3 วธท า จะเหนวา ม 6 คณอยหนา √3 แตตามสตร จะตองม 2 คณอยหนา √
ดงนน ยงท าไมได ตองจดรปกอน 12 + 6√3 = 12 + (2)(3)√3 = 12 + 2√27
ดงนน ขอน เราตองหาวาอะไรบวกกนได 12 คณกนได 27 ซงจะได 9 กบ 3
ดงนน ค าตอบคอ √9 + √3 = 3 + √3 #
บวกกน
ได 𝑥
คณกน
ได 𝑦
หด 3 เขาไปในรท กลายเปน 9
เลขยกก าลง 17
ตวอยาง จงหาคาของ √4 − √15 วธท า จะเหนวาขอนไมมเลข 2 อยหนา √15 แตตามสตรมนตองมเลข 2 หนา √15 ถงจะตรงกบรปแบบของเรา
ดงนน ยงท าไมได ตองจดรปกอน วธจดคอ เราจะคณ 22 เขาไปท √15 แลวหด 1
2 เขาไป แตคง 2 ขางบนไว
นนคอ 4 − √15 = 4 − (2
2× √15) = 4 − 2√
15
2×2= 4 − 2√
15
4
ดงนน ขอน เราตองหาวาอะไรบวกกนได 4 คณกนได 15
4 คราวนยากหนอย เพราะเปนเศษสวน
สมดซกพก จะได 52 กบ 3
2 ดงนน ค าตอบคอ √5
2− √
3
2
แตบางคนกไมชอบใหมตวสวนในรท กตองจดรปตอ
จะได √5
2− √
3
2 = √
5
2×
2
2− √
3
2×
2
2 =
√10
2−
√6
2 =
√10−√6
2 #
แบบฝกหด 1. จงหาผลส าเรจของคาในแตละขอตอไปน
1. √13 + 2√30 2. √6 − 2√5
3. √9 − 2√20 4. √13 − 4√10
5. รากทสองของ 8 − 4√3 6. รากทสองของ 8 + 2√7
18 เลขยกก าลง
7. √7 − 4√3 8. √6 − √35
9. รากทสองของ 2 − √3 10. รากทสองของ 6 + 3√3
11. √17 − 12√24 12. รากท 4 ของ 7 + 4√3
2. จ านวนจรง √84 + 18√3 มคาเทาใด [O-NET 59/3]
3. คาของ √5 + √24 − √18 + √12 อยใดชวงใด [O-NET 58/7]
1. (2.2 , 2.3) 2. (2.3 , 2.4) 3. (2.4 , 2.5)
4. (2.5 , 2.6) 5. (2.6 , 2.7)
เลขยกก าลง 19
เลขยกก าลง หวขอน จะเปนการทบทวนความรเกยวกบเรองเลขยกก าลงทเคยเรยนมาเมอตอน ม. ตน
โดยเราจะไดเจอเลขชก าลงทเปนเศษสวน ทศนยม ดวย แตกฎเดมกยงใชได
ฐานเหมอนกน คณกน ใหเอาเลขชก าลงมาบวกกน
ฐานเหมอนกน หารกน ใหเอาเลขชก าลงมาลบกน
เชน 25 × 24 = 29 23 × 2 = 24
𝑚4
𝑚= 𝑚3 3
1
2 × 31
3 = 31
2+
1
3 = 35
6
31.5 × 32.2 = 33.7 (1
2)
3× (
1
2)
7= (
1
2)
10
𝑎2𝑏 ∙ 𝑎𝑏3 = 𝑎3𝑏4 𝑥5𝑦𝑧
𝑥𝑦3 =𝑥4𝑧
𝑦2
ยกก าลงซอน ใหเอาเลขชก าลงมาคณกน
เชน (23)4 = 212 ((𝑎2)3)4 = 𝑎24
(𝑚1
2)6
= 𝑚3
เลขยกก าลง กระจายเขาไปในคณหารได แตกระจายในบวกลบไมได
เชน (2 × 3)4 = 24 ∙ 34 (2 ∙ 32)4 = 24 ∙ (32)4 = 24 ∙ 38
(𝑎2𝑏1
3)6
= 𝑎12𝑏2 (𝑎2𝑏
𝑐3 )2
=𝑎4𝑏2
𝑐6
แต (2 + 3)4 ≠ 24 + 34
ยายบนลงลาง หรอลางขนบน เลขชก าลงจะเปลยนเครองหมาย บวก → ลบ , ลบ → บวก
เชน 2−3 =1
23 1
3−4 = 34
𝑎−2𝑏3𝑐−1 =𝑏3
𝑎2𝑐
𝑎−2
𝑏−3 =𝑏3
𝑎2 หมายเหต: ปกตเราจะไมชอบใหเลขชก าลงเปนลบ กอนตอบจงนยมยายขนลงใหเลขชก าลงเปนบวกกอนคอยตอบ
อะไรกตามยกก าลงศนย จะได 1 เสมอ และ ศนยยกก าลงอะไรกตาม จะได 0 เสมอ
ยกเวน 00 หาคาไมได
ถา “เลขชก าลง” เปนเศษสวน ใหเปลยน “สวน” ของเลขชก าลงเปน “รท” ถา “เลขชก าลง” เปนทศนยม ใหเปลยนทศนยมเปนเศษสวนอยางต า แลวเปลยนตวสวนใหเปนรท
เชน 21
3 = √213= √2
3 3
3
4 = √334
√2 ∙ √23 = 2
1
2 ∙ 21
3 = 25
6 = √256 250.5 = 251
2 = √25 = 5
20 เลขยกก าลง
จากสมบตขอหลงสดน จะเหนวา รท กคอการยกก าลงแบบหนง นนคอ √𝑎𝑛
= 𝑎1
𝑛 นนเอง ตรงจดน จะท าให รท มสมบตทกอยางของเรองเลขยกก าลง
ตวอยางเชน จากสมบตทวา “เลขยกก าลง กระจายเขาไปในคณหารได แตกระจายในบวกลบไมได”
ถาน ามาใชกบรท กเชน √2 × 3 = √2 × √3 และ √5
4=
√5
√4=
√5
2
แต √𝑥 + 2 ≠ √𝑥 + √2 เปนตน
อกเรองทโจทยนยมน ามาออกขอสอบ คอ การเปรยบเทยบเลขยกก าลง วาตวไหนมาก ตวไหนนอย
หลกคอ เราตองพยายามจดรปเลขยกก าลง ใหอยในรปอยางงายทสด ใหตวเลขนอยทสด กอน
ถาเลขชก าลงเปนเศษสวน เรามกยกก าลงทงสองขางดวยเลขเยอะๆ ทตดตวสวนทกสวนลงตว (ค.ร.น.) ถาเลขชก าลงเปนจ านวนเยอะๆ เรามกยกก าลงทงสองขางดวยเศษสวนททอนเลขชก าลงใหไดมากทสด (ห.ร.ม.)
ตวอยาง จงตรวจสอบวา √2 > √33
หรอไม
วธท า เนองจาก √2 = 21
2 และ √33
= 31
3 ดงนน ขอนถามวา 21
2 > 31
3 หรอไม นนเอง เราจะปรบ 1
2 กบ 1
3 ใหเปนจ านวนเตมงายๆกอน โดยการยกก าลง 6 ทงสองขาง (6 = ค.ร.น. ของ 2 กบ 3)
ดงนน √2 > √33
เปนประโยคทเปนเทจ #
ตวอยาง จงตรวจสอบวา 236 < 324 หรอไม วธท า จะเหนวา 36 กบ 24 สามารถทอนใหนอยลงได โดยยกก าลง 1
12 ทงสองขาง (12 = ห.ร.ม. ของ 36 กบ 24)
ดงนน 236 < 324 จรง #
อกเรองทตองระวง คอ ยงยกก าลงมาก ไมไดแปลวาจะไดผลลพธมากขนเสมอไป
เชน
จะเหนวา ถา “ฐานนอยกวา 1” ยงยกก าลงมาก กลบจะยงไดคานอย
เชน 0.55 > 0.59 30.5 > 30.2
(𝑥2
1+𝑥2)15
≥ (𝑥2
1+𝑥2)20
(sin 60°)6 < sin 60°
(√2)5
> (√2)4
(2
3)
−5 > (
2
3)
−4
(0.2)0.5 < (0.2)0.4 (1
5)
−1
2 > (
1
5)
−1
3
(21
2)6
> (31
3)6
23 > 32 8 > 9 → ไมจรง
(236)1
12 < (324)1
12 23 < 32 8 < 9 → จรง
22 = 4
23 = 8 มากขน (0.8)2 = 0.64
(0.8)3 = 0.512 นอยลง
sin หรอ cos ของมมบวกทนอยกวา 90° จะนอยกวา 1 เสมอ
เลขยกก าลง 21
แบบฝกหด 1. ขอใดถกตอง
1. (−4)10 < 0 2. (−1)2
6 > 0
3. (−1)0 = 1 4. 1−5 = −1
2. จงเตมเครองหมาย มากกวา หรอ นอยกวา ใหถกตอง
1. 23 ...... 25 2. (1
2)
3 ...... (1
2)
5
3. 21
3 ...... 21
5 4. (√2)3
...... (√2)5
5. (√3)−3
...... (√3)−5
6. (√2 − 1)1
3 ...... (√2 − 1)1
5
7. √0.5 ...... (0.5)4 8. √1.53
...... √1.55
9. (0.2)3 ∙ (0.2)5 ...... (0.2)4 ∙ (0.2)6 10. √2√24
...... 2
11. √256
...... √10009
12. √1610
...... √2715
3. จงท าใหอยในรปผลส าเรจ
1. 330
60 2. 322
5 + 642
3
3. (21
3 ∙ √3)6
4. 1253
2 × √25−14
22 เลขยกก าลง
5. (−8)1
3 6. 51
2 × 51
3
7. 27 ∙ 31
3 8. 81
2 + 181
2 − 41
4
9. (𝑎
12𝑏
13
𝑎𝑏)
−6
10. (𝑎2𝑏3𝑐4
𝑥3 )
1
2(
𝑎√𝑏
23𝑥12
)−1
11. 5𝑛+2+5𝑛+1
5𝑛 12. 3𝑛−3𝑛−2
3𝑛−3𝑛−1
13. 3∙2𝑛+1+2𝑛
2𝑛−2𝑛−1
เลขยกก าลง 23
4. ก าหนดให 𝑎 และ 𝑥 เปนจ านวนจรงใดๆ ขอใดตอไปนถก [O-NET 50/27]
1. ถา 𝑎 < 0 แลว 𝑎𝑥 < 0 2. ถา 𝑎 < 0 แลว 𝑎−𝑥 < 𝑎
3. ถา 𝑎 > 0 แลว 𝑎−𝑥 > 0 4. ถา 𝑎 > 0 แลว 𝑎𝑥 > 𝑎
5. 823
√1444 ∙
(18)12
√6 มคาเทากบเทาใด [O-NET 50/2]
6. √−325
√273 +
26
(64)32
มคาเทากบเทาใด [O-NET 49/1-2]
7. คาของ √(−2)2 + (81/2+2√2
√32) เทากบเทาใด [O-NET 52/2]
8. ถา 𝑎 เปนจ านวนจรงบวก แลว √𝑎 √𝑎33
เทากบเทาใด [O-NET 58/5]
1. 𝑎1
9 2. 𝑎2
9 3. 𝑎4
9 4. 𝑎5
9 5. 𝑎7
9
24 เลขยกก าลง
9. ขอใดมคาตางจากขออน [O-NET 53/7]
1. (−1)0 2. (−1)0.2 3. (−1)0.4 4. (−1)0.8
10. ถา 𝑥 = 1 + √3 แลว 𝑥12 − √3𝑥
−12
𝑥 เทากบเทาใด [O-NET 59/6]
1. 1 + √3 2. (1 + √3)1
2 3. (1 + √3)−
1
2
4. (1 + √3)−1 5. (1 + √3)
−3
2
11. ขอใดตอไปนผด [O-NET 51/22] 1. (24)30 < 220 ∙ 330 ∙ 440 2. (24)30 < 230 ∙ 320 ∙ 440
3. 220 ∙ 340 ∙ 430 < (24)30 4. 230 ∙ 340 ∙ 420 < (24)30
12. อสมการในขอใดตอไปนเปนจรง [O-NET 49/1-18]
1. 21000 < 3600 < 10300 2. 3600 < 21000 < 10300
3. 3600 < 10300 < 21000 4. 10300 < 21000 < 3600
เลขยกก าลง 25
13. ให 𝐴 = 25
6⁄ , 𝐵 = 31
2⁄ และ 𝐶 = 51
3⁄ จงเรยงล าดบ 𝐴, 𝐵, 𝐶 จากนอยไปมาก [O-NET 57/2]
14. ให 𝐴 = 23
2 , 𝐵 = 32
3 และ 𝐶 = 2161
6 จงเรยงล าดบ 𝐴, 𝐵, 𝐶 จากนอยไปมาก [O-NET 58/6]
26 เลขยกก าลง
สมการเลขชก าลง หวขอน จะพดถงสมการทเอา 𝑥 ไปใชเปนเลขชก าลง หลกในการแกคอ ตองจดรปสมการให “ฐานเทากน” แลวฉดเลขชก าลงลงมาเทากน
ตวอยาง จงแกสมการ 3𝑥+1 = 9𝑥−2 วธท า ตองท าฐานใหเทากนกอน จะเหนวา ฝงซาย ฐาน = 3 ฝงขวา ฐาน = 9
ดงนน เราจะท าฐานฝงขวา จาก 9𝑥−2 ใหเปนฐาน 3
#
ตวอยาง จงแกสมการ (√8)𝑥+1
= 4𝑥+1 วธท า จะเหนวา ฐานของทงสองฝง สามารถแปลงใหเปนฐาน 2 ได ดงน
#
การเปลยนฐาน จะยากขนไดอก เมอเลขชก าลงเปนลบ
เพราะเมอเลขชก าลงเปนลบ จะมการกลบเศษสวน ท าใหรปฐานเปลยนไป
เชน (3
2)
−3= (
2
3)
3=
8
27
(2 − √3)−1
=1
2−√3=
1
2−√3×
2+√3
2+√3=
2+√3
4−3= 2 + √3
ดงนน 8
27 สามารถเปลยนเปนฐาน 3
2 ได
และ 2 + √3 กสามารถเปลยนเปนฐาน 2 − √3 ได เปนตน
ตวอยาง จงแกสมการ ( 8
27)
𝑥+4 = (
9
4)
𝑥−1
วธท า จะเหนวา ฐานของทงสองฝง สามารถแปลงใหเปนฐาน 2 กบ 3 ได ดงน #
3𝑥+1 = 9𝑥−2 3𝑥+1 = (32)𝑥−2
3𝑥+1 = 3(2)(𝑥−2) 3𝑥+1 = 32𝑥−4 𝑥 + 1 = 2𝑥 − 4 5 = 𝑥
เมอฐานเทากน จะฉดเลขชก าลงลงมาเทากนได
(√8)𝑥+1
= 4𝑥+1
(√23)𝑥+1
= (22)𝑥+1
(23
2)𝑥+1
= (22)𝑥+1
2(3
2)(𝑥+1)
= 2(2)(𝑥+1)
(3
2) (𝑥 + 1) = (2)(𝑥 + 1)
(3)(𝑥 + 1) = (4)(𝑥 + 1) 3𝑥 + 3 = 4𝑥 + 4 −1 = 𝑥
(8
27)
𝑥+4
= (9
4)
𝑥−1
(23
33)𝑥+4
= (32
22)𝑥−1
((2
3)
3
)𝑥+4
= ((3
2)
2
)𝑥−1
(2
3)
(3)(𝑥+4)
= (3
2)
(2)(𝑥−1)
(2
3)
(3)(𝑥+4)
= (2
3)
−(2)(𝑥−1)
กลบ เศษ - สวน เลขชก าลงเปลยนจาก บวก → ลบ
(3)(𝑥 + 4) = −(2)(𝑥 − 1) 3𝑥 + 12 = −2𝑥 + 2 5𝑥 = −10 𝑥 = −2
เลขยกก าลง 27
ตวอยาง จงแกสมการ (√5 + 2)𝑥−2
= (√5 − 2)𝑥−6
วธท า ขอน เรมจะดยากวาตองเปลยนเปนฐานอะไร ถานกไมออก ลองเอาฐานซกตว มายกก าลง −1 ด
จะได (√5 + 2)−1
= 1
√5+2 =
1
√5+2∙
√5−2
√5−2 =
√5−2
5−4 = √5 − 2 ซงโชคดไดเปนฐานอกตวพอด
ดงนน เราจะเปลยน √5 − 2 ในสมการ ใหกลายเปน (√5 + 2)−1
ดงน #
ในกรณทในสมการมมากกวา 2 พจน เรามกตองใชความรเรองการแกสมการก าลงสองเขามาผสม
สวนใหญ เรามกจะตองหา “ตวทเปนก าลงสองของอกตว” ใหจดใหอยในรป 𝑎( )2 + 𝑏( ) + 𝑐 = 0
จากนน แยกตวประกอบ จบแตละวงเลบเปนศนย แลวแกสมการแตละวงเลบ กจะไดค าตอบ
ตวอยาง จงแกสมการ 52𝑥 − 6 ∙ 5𝑥 + 5 = 0
วธท า ขอน ม 3 พจน มาบวกลบกนอย เราจะพยายามจดรปใหเปนสมการก าลงสอง เพอแยกตวประกอบ จะเหนวา 52𝑥 = (5𝑥)2 ดงนน เราจดรปใหเปน สมการก าลงสองไดดงน
จะไดค าตอบของสมการคอ 0 และ 1 #
ตวอยาง จงแกสมการ 4𝑥+1 + 7 ∙ 2𝑥 = 2
วธท า ขอนม 4𝑥 ทสามารถท าเปน (22)𝑥 แลวกลายเปน (2𝑥)2 ได แตกอนอน เราตองแยก 4𝑥+1 ออกเปน 4𝑥 ∙ 41 กอน ดงน
จะไดค าตอบของสมการคอ −2 #
(√5 + 2)𝑥−2
= (√5 − 2)𝑥−6
(√5 + 2)𝑥−2
= ((√5 + 2)−1
)𝑥−6
(√5 + 2)𝑥−2
= (√5 + 2)(−1)(𝑥−6)
𝑥 − 2 = (−1)(𝑥 − 6) 𝑥 − 2 = −𝑥 + 6 2𝑥 = 8 𝑥 = 4
4 ∙ 2𝑥 − 1 = 0 22 ∙ 2𝑥 = 1 2𝑥+2 = 20 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −2
2𝑥 + 2 = 0 2𝑥 = −2
(ไมมค าตอบ)
4𝑥+1 + 7 ∙ 2𝑥 = 2
4𝑥+1 + 7 ∙ 2𝑥 − 2 = 0
4𝑥 ∙ 41 + 7 ∙ 2𝑥 − 2 = 0
(22)𝑥 ∙ 4 + 7 ∙ 2𝑥 − 2 = 0
(2𝑥)2 ∙ 4 + 7 ∙ 2𝑥 − 2 = 0
4(2𝑥)2 + 7(2𝑥) − 2 = 0
(4 ∙ 2𝑥 − 1)(2𝑥 + 2) = 0 มอง 2𝑥 เปนเหมอนตวแปรตวใหม เปน 4𝐴2 + 7𝐴 − 2 = 0 (4𝐴 − 1)(𝐴 + 2) = 0
5𝑥 − 1 = 0 5𝑥 = 1 5𝑥 = 50 𝑥 = 0
5𝑥 − 5 = 0 5𝑥 = 5 5𝑥 = 51 𝑥 = 1
52𝑥 − 6 ∙ 5𝑥 + 5 = 0 (5𝑥)2 − 6(5𝑥) + 5 = 0 (5𝑥 − 1)(5𝑥 − 5) = 0
มอง 5𝑥 เปนเหมอนตวแปรตวใหม เปน 𝐴2 − 6𝐴 + 5 = 0 (𝐴 − 1)(𝐴 − 5) = 0
28 เลขยกก าลง
แบบฝกหด
1. จงแกสมการตอไปน
1. 2𝑥+2 = 4𝑥−5 2. (1
2)
𝑥2+𝑥 =
1
16𝑥+1
3. 25𝑥 = √5 4. √25
= 41
𝑥+3
5. √3𝑥2−1 = 9𝑥−1 6. 8−𝑥 = 1
32
7. (2
√3)
2𝑥+5 = 1 8. 3𝑥 = 2𝑥
เลขยกก าลง 29
9. 4𝑥
9𝑥 = √2
3 10. 5𝑥+1
32𝑥 = 95
252
11. 5𝑥+3
2𝑥+2 = 16
125 12. 22𝑥 − 5 ∙ 2𝑥 + 4 = 0
13. 52𝑥+1 − 26 ∙ 5𝑥 + 5 = 0 14. 2𝑥+1 − 2𝑥 = 64
15. 3𝑥 + 3𝑥−1 = 108 16. 22𝑥 + 4𝑥−1 + 64𝑥
3 = 576
30 เลขยกก าลง
2. ถา 4𝑎 = √2 และ 16−𝑏 =1
4 แลว 𝑎 + 𝑏 มคาเทากบเทาใด [O-NET 49/2-2]
3. ถา 64𝑘 = 16 แลว 8𝑘 + 8−𝑘 มคาเทากบเทาใด [O-NET 57/8]
4. ถา 2𝑥−1 = √2
8 แลว 𝑥 มคาเทากบเทาใด [O-NET 56/7]
5. ถา (√8
27)
4
= (16
81)
1
𝑥 และ 𝑦 = 3𝑥 แลว 𝑦 เทากบเทาใด [O-NET 54/24]
เลขยกก าลง 31
6. ถา (√8
125)
4
= (16
625)
1
𝑥 แลว 𝑥 มคาเทากบเทาใด [O-NET 51/2]
7. ถา (3 +3
8)
3𝑥=
16
81 แลว 𝑥 มคาเทากบเทาใด [O-NET 50/5]
8. ถา 𝐴 = { 𝑥 | 9𝑥2= (1 + √8
3)
𝑥 } แลว ผลบวกของสมาชกทกตวใน 𝐴 มคาเทากบเทาใด [O-NET 57/7]
9. คาของ 𝑥 ทสอดคลองกบสมการ √2𝑥2
=24𝑥
44 เทากบขอใด [O-NET 49/1-13]
32 เลขยกก าลง
10. ถา 𝑥 และ 𝑦 เปนจ านวนจรงซง 2𝑥2 = 16 และ −3 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 แลว
คาทมากทสดทเปนไปไดของ 𝑥𝑦 เทากบเทาใด [O-NET 58/35]
11. ถา 𝑥 เปนจ านวนจรงบวกทสอดคลองกบสมการ (4𝑥)2𝑥−1 = (16)4
22𝑥 แลว 𝑥 มคาเทากบเทาใด
[O-NET 59/35]
12. ถา 8𝑥 − 8𝑥+1 + 8𝑥+2 = 228 แลว 𝑥 มคาเทากบเทาใด [O-NET 50/21]
เลขยกก าลง 33
อสมการเลขชก าลง คราวนเปน “อ” สมการ นนคอ ในสมการจะมเครองหมายอนๆทไมใช = ซงไดแก > , < , ≥ , ≤ , ≠ วธท ายงคลายๆเดม คอ ตองจดรปสมการให “ฐานเทากน” แลวฉดเลขชก าลงลงมาคด
และเนองจาก ในหวขอกอนหนา จะเหนวา ถา “ฐานนอยกวา 1” ยงยกก าลงมาก กลบจะยงไดคานอย ดงนน ตอนฉดเลขชก าลงลงมา ถา ฐานนอยกวา 1 ตองเปลยน “มากกวา” เปน “นอยกวา” “นอยกวา” เปน “มากกวา” ดวย
ตวอยาง จงแกอสมการ (1
2)
𝑥+1≤ (
1
2)
3
วธท า ขอน ฐานคอ 12 ซงนอยกวา 1 ดงนน ตอนดงเลขชก าลงลงมา ตองกลบเครองหมาย ≤ เปน ≥
ดงนน ค าตอบของอสมการน คอ [ 2 , ∞ ) #
ตวอยาง จงแกอสมการ (√3)𝑥−4
> (√3)3𝑥
วธท า ขอน ฐานคอ √3 ซงมคาประมาณ 1.732 ซงมากกวา 1 ดงนน ตอนดงเลขชก าลงลงมา ไมตองกลบเครองหมาย
ดงนน ค าตอบของอสมการน คอ (−∞, −2) #
ตวอยาง จงแกอสมการ (3
2)
4−𝑥2
< (2
3)
3𝑥
วธท า ขอน ตองท าฐานทง 2 ขางใหเทากนกอน จะเหนวา 32 กคอ (2
3)
−1 นนเอง
ดงนน ค าตอบของอสมการน คอ (−∞, −1) ∪ (4, ∞) #
(√3)𝑥−4
> (√3)3𝑥
𝑥 − 4 > 3𝑥 −4 > 2𝑥 −2 > 𝑥
ฐาน คอ √3 ซงมากกวา 1 ดงนนตอนฉดก าลงลงมา ไมตองเปลยนเครองหมาย
(1
2)
𝑥+1
≤ (1
2)
3
𝑥 + 1 ≥ 3 𝑥 ≥ 2
ฐาน คอ 12 ซงนอยกวา 1 ดงนนตอนฉดก าลง
ลงมา ตองเปลยนนอยกวาเปนมากกวา
−1 4
+ − +
(3
2)
4−𝑥2
< (2
3)
3𝑥
((2
3)
−1
)4−𝑥2
< (2
3)
3𝑥
(2
3)
(−1)(4−𝑥2)
< (2
3)
3𝑥
(−1)(4 − 𝑥2) > 3𝑥
(−1)(4 − 𝑥2) > 3𝑥 −4 + 𝑥2 > 3𝑥 𝑥2 − 3𝑥 − 4 > 0 (𝑥 − 4)(𝑥 + 1) > 0
34 เลขยกก าลง
แบบฝกหด
1. จงแกอสมการตอไปน
1. 2𝑥 < 4 2. 32𝑥+1 > √3
3. (1
2)
𝑥 ≥
1
16 4. (
𝑎2
𝑎2+1)
2𝑥+3
≤ (𝑎2
𝑎2+1)
5
5. (1
9)
2𝑥 < 3𝑥−1 6. (
1
8)
3−𝑥 ≥ 45𝑥−1
7. 3𝑥2+𝑥 > 93𝑥−3 8. 0.8 < (0.8)𝑥2
9. (0.09)𝑥2+3𝑥 > (0.3)𝑥+3 10. 2𝑥−2 ≥ 1
4𝑥2+𝑥
เลขยกก าลง 35
2. ขอใดตอไปน ผด [O-NET 50/23]
1. √0.9 + 10 < √0.9 + √10 2. (√0.9)(√0.94
) < 0.9
3. (√0.9)(√1.13
) < (√1.1)(√0.93
) 4. √125300
< √100200
3. จงหาเซตค าตอบของอสมการ 42𝑥2−4𝑥−5 ≤ 1
32 [O-NET 50/28]
36 เลขยกก าลง
รากท 𝑛
1. 1. 8 , −8 2. 1 3. ไมม 4. −1
5. 5 , −5 6. 1 , −1 7. −1 8. ไมม 9. 4 , −4 10. 2 11. ไมม 12. −2
2. 27
คาหลกรากท 𝑛
1. 1, 5, 6
2. 1. 3 2. 6 3. −3 4. −6√23
5. 42 6. 15√33 7. 17 8. |𝑎5|𝑏2
9. 2𝑥2|𝑦3|
|𝑧3|√
2𝑥
𝑧 10. 𝑥
3. 1, 2 4. 0
การ บวก ลบ คณ หาร รท
1. 1. 8√5 2. √3 3. 2√2 4. 4√3
3
5. 11√2
2 6. 0
2. 1. 2√3 2. 12 3. 3 4. −6
5. √1086
6. √15 7. √28810
8. 2 + √6 − √2 − √3
9. −1 10. 3 − 2√2 11. 4 − 2√3 12. 30 + 12√6
3. 1. √5 + √3 2. 5√3
6 3. √2
2 4. √3 − 1
5. 1
6 6. √2 7. 7 − 4√3 8. 3√6 − 6
9. 6 10. 3+2√3−√21
3
4. 1. 2.121 2. 6.928 3. 2.121 4. 4.236
5. 10 6. 200 7. −10 8. 4
9. 0.3 10. 2 11. 94 12. 4
13. 98 14. 4 15. −32
รทสองของจ านวนทตดรท
1. 1. √10 + √3 2. √5 − 1 3. √5 − 2 4. 2√2 − √5
5. ±(√6 − √2) 6. ±(√7 + 1) 7. 2 − √3 8. √14−√10
2
9. ± (√6−√2
2) 10. ± (
√18+√6
2)
เลขยกก าลง 37
11. √2 − 1
√17 − 12√24
= √√17 − 12√2
= √√17 − 2√72
= √ √9 − √8
= √ 3 − 2√2
= √2 − √1
= √2 − 1
12. ± (√6+√2
2)
2. 9 + √3 3. 2
เลขยกก าลง
1. 3
2. 1. < 2. > 3. > 4. <
5. > 6. < 7. > 8. >
9. > 10. < 11. < 12. >
3. 1. √3 2. 20 3. 108 4. 625
5. −2 6. 55
6 7. 310
3 8. 4√2
9. 𝑎3𝑏4 10 8𝑏𝑐2
𝑥 11. 30 12. 4
3
13. 14
4. 3 5. 2 6. −13
24 7. 3
8. 3 9. 2 10. 5 11. 3
12. 3 13. 𝐶 < 𝐵 < 𝐴 14. 𝐵 < 𝐶 < 𝐴
สมการเลขชก าลง
1. 1. 12 2. −1 , 4 3. 1
4 4. −
4
7
5. 1 , 3 6. 5
3 7. −
5
2 8. 0
9. 1
4 10. −5 11. −6 12. 0 , 2
13. 1, −1 14. 6 15. 4 16. 4
2. 0.75 3. 17
4 4. −
3
2 5. 2
6. 2
3 7. −
4
9 8. 0.5 9. 4
10. 6 11. 2 12. 2
3
38 เลขยกก าลง
อสมการเลขชก าลง
1. 1. 𝑥 < 2 2. 𝑥 > −1
4 3. 𝑥 ≤ 4 4. 𝑥 ≥ 1
5. 𝑥 >1
5 6. 𝑥 ≤ −1 7. 𝑥 ∈ (−∞, 2) ∪ (3, ∞)
8. 𝑥 ∈ (−1 ,1) 9. 𝑥 ∈ (−3 ,1
2) 10. 𝑥 ∈ (−∞, −2] ∪ [
1
2, ∞)
2. 2 3. [−1
2,
5
2]
ขอบคณ คณครเบรด จาก กวดวชาคณตศาสตรครเบรด ยานบางแค 081-8285490 ทชวยตรวจสอบความถกตองของเอกสารครบ