Agenda
• Bagian 1: Vektor dan Kombinasi Linier
• Bagian 2: Panjang Vektor dan Perkalian Titik (Dot Products)
• Bagian 3: Matriks
Anny2011 2
Pendahuluan
• Inti dari aljabar linier ada pada dua operasi vektor
• Penjumlahan vektor: v + w
• Perkalian skalar dengan vektor: cv dan dw
• Gabungan dua operasi diatas disebut kombinasi linier: cv + dw
Anny2011 4
Kombinasi Linier
• Berapa nilai kombinasi linier cv + dw jika c = d = 1?
• Bagaimana jika c = 2, d = 1?
Anny2011 5
Vektor (1)
• Vektor kolom:
• Penulisan vektor: miring tebal, komponen vektor: miring tipis
• Penjumlahan vektor:
Anny2011 6
Vektor 3-Dimensi
• Memiliki 3 komponen
• Contoh:
• Ganti bidang datar xy dengan ruang 3 dimensi:
Anny2011 9
Tapi ini bukan vektor baris v = [1 1 -1]
Kombinasi Linier Vektor 3D (1)
• Contoh:
• Short Quizzes – What is the picture of all combinations cu ?– What is the picture of all combinations cu + dv ?– What is the picture of all combinations cu + dv + ew ?
Anny2011 10
• Jika u, v, dan w bukan zero vector:– The combinations cu fill a line.– The combinations cu + dv fill a plane.– The combinations cu + dv + ew fill 3D space.
Kombinasi Linier Vektor 3D (2)
• Contoh Soal: – Kombinasi linier v = (1, 1, 0) dan w = (0, 1, 1)
membentuk sebuah bidang datar.
– Jelaskan bidang datar yang terbentuk tsb.
– Berikan sebuah contoh vektor yang bukan merupakan kombinasi v dan w.
Anny2011 11
Kombinasi Linier Vektor 3D (3)
• Jawaban:– Kombinasi cv + dw membentuk bidang datar di ruang R3.
– Contoh vektor yang berada pada bidang tersebut adalah (0, 0, 0), (2, 3, 1), (5, 7, 2), dan (π, 2π, π).
– Komponen kedua = komponen pertama + komponen ketiga
– Contoh vektor yang tidak berada pada bidang cv + dw adalah (1, 2, 3)
Anny2011 12
Kombinasi Linier Vektor (1)
• Contoh Soal:– Tentukan dua persamaan untuk dua variabel
yang tidak diketahui c dan d sehingga kombinasi linier cv + dw sama dengan vektor b:
Anny2011 13
Kombinasi Linier Vektor (2)
• Jawaban:– Persamaan vektor:
– Persamaan untuk menentukan nilai c dan d:• 2c – d = 1
• -c + 2d = 0
– Solusi: c = 2/3, d = 1/3.
Anny2011 14
Perkalian Titik
• Juga disebut dot product atau inner product
• Perkalian titik vektor v = (v1, v2) dan w = (w1, w2) adalah nilai v · w :
• Contoh: Nilai perkalian titik vektor v = (4, 2) dan w = (-1, 2) adalah 0.
• Dua vektor saling tegak lurus jika nilai perkalian titiknya = 0.
Anny2011 16
Panjang Vektor
• Panjang vektor v adalah akar kuadrat dari v · v
• Contoh: jika v = (1, 2, 3) maka v · v = 1 + 4 + 9 = 14, sehingga panjang vektor v :
Anny2011 17
Vektor Unit
• Vektor unit u adalah vektor yang panjangnya = 1, sehingga u · u = 1.
• Contoh:
• Semua vektor nonzero v jika dibagi dengan panjangnya ||v|| akan menghasilkan vektor unit.
Anny2011 18
Sudut Antara Dua Vektor
• v · w = 0 v tegak lurus dengan w
• v · w > 0 sudut antara v dan w < 90
• v · w < 0 sudut antara v dan w > 90
• Rumus COS
Anny2011 19
Sudut Antara Dua Vektor
• Contoh Soal: Diketahui dua vektor v = (3, 4) dan w = (4, 3).1. Tunjukkan kebenaran Schwarz Inequality
dan Triangle Inequality2. Hitung berapa nilai cos Θ (Θ = sudut
antara vektor v dan w)3. Tentukan vektor unit u yang searah
dengan v4. Tentukan vektor unit U yang tegak lurus
dengan u
Anny2011 20
Sudut Antara Dua Vektor
• Jawab: Diketahui dua vektor v = (3, 4) dan w = (4, 3).v•w = 12 + 12 = 24. Panjang v dan w: ||v|| = 5, ||w|| = 5.v+w = (7,7), panjangnya: ||v+w|| = 7√2.1. Schwarz Inequality: |v•w| ≤ ||v|| ||w||
24 ≤ 25 Schwarz InequalityTriangle Inequality: ||v+w|| ≤ ||v||+||w||7√2 ≤ 10 Triangle Inequality
2. cos Θ = 24/25.3. u = v/||v|| = (3/5, 4/5).4. Vektor yang tegak lurus dengan v: V = (-4, 3).
Vektor unit yang tegak lurus dengan u: U = V/||V|| = (-4/5, 3/5)
Anny2011 21
Perintah di MATLAB
• Input v dan w dalam satu baris, lalu gunakan tanda ‘ untuk mengubahnya dalam satu kolom. Contoh:v = [2 3 4]’; w = [1 1 1]’; u = 2 * v + 3 * w
• Perkalian titik (dot product) umumnya menggunakan perkalian baris dengan kolom
Anny2011 22
Perintah di MATLAB
• Panjang vektor v norm(v)
• Rumus cos
• PR: Buatlah sebuah file .m yang berisi fungsi cosine(v, w) untuk menghitung cos θ dan sudut θ.
Anny2011 23
Kombinasi Vektor Menggunakan Matriks (1)
• Diketahui tiga vektor u, v, w sbb:
• Kombinasi linier dalam ruang 3D: cu + dv+ ew :
Anny2011 25
Kombinasi Vektor Menggunakan Matriks (2)
• Kombinasi linier diatas dapat ditulis ulang menjadi:
Anny2011 26
• Ax = kombinasi linier b dari kolom-kolom pada matriks A.
Persamaan Linier
• Jika sebelumnya dicari hasil kombinasi linier x1u + x2v + x3w, dinotasikan dengan b
• Maka pada persamaan linier yang dicari adalah nilai x1, x2, x3, sedemikian hingga nilai kombinasi liniernya = b
Anny2011 27
Persamaan Linier
• Contoh:
• Persamaan diatas dapat diselesaikan urut dari atas ke bawah dikarenakan matriks A bersifat lower triangular
Anny2011 28
Persamaan Linier
• Bila nilai b = (0, 0, 0), berapa nilai x ?• Jawab: x = (0, 0, 0)
• Bila nilai b = (1, 3, 5), berapa nilai x ?• Jawab: x = (1, 4, 9)
• Matriks A disebut invertible, karena dari b dapat diperoleh nilai x
Anny2011 29
Matriks Invers
• Persamaan diatas dapat dipecahkan dengan:
• Untuk setiap b terdapat satu solusi untuk Ax = b.• Terdapat sebuah matriks S sedemikian hingga x =
Sb.• Dalam aljabar linier, notasi untuk matriks invers
adalah A-1.
Anny2011 30
Persamaan Linier
• Contoh 2:
• Kombinasi linier vektor u, v, dan w* membentuk matriks C :
• Matriks C diatas bukan termasuk triangular. • Solusi persamaan Cx = b tidak ada atau tak
terhingga, misal untuk b = (0, 0, 0):
Anny2011 31
Persamaan Linier
• Misal untuk b = (1, 3, 5):
• Tidak ada solusi untuk pers. linier Cx = b
Anny2011 32
Independen dan Dependen
• Contoh 1: vektor u, v, dan w
• Contoh 2: vektor u, v, dan w*
• Independen vektor w tidak berada di bidang uv
• Dependen vektor w* berada di bidang uv
• Vektor w* adalah kombinasi linier u dan v
Anny2011 33
Independen dan Dependen
• Pada matriks, vektor menjadi kolom.
• Untuk vektor dimensi n sebanyak n, akan membentuk matriks n x n.
• Kolom-kolom matriks yang independen: – Ax = 0 memiliki satu solusi. – A disebut matriks invertible.
• Kolom-kolom matriks yang dependen: – Ax = 0 memiliki banyak solusi. – A disebut matriks singular.
Anny2011 34
Contoh Soal
• Diketahui matriks A: . Tentukan solusi vektor x dari Ax = b untuk sembarang nilai b.
Anny2011 35
111
011
001
Contoh Soal
• Solusi dari atas ke bawah:– x1 = b1
– x2 = b1 + b2
– x3 = b2 + b3
• Ini berarti:
Anny2011 36