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La construction desportes logiques
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Objectifs de ce chapitre
Etudier l’utilisation de l’algèbre deBoole pour construire les porteslogiques.
Découvrir la manière dont sont
construites les portes logiques à partirdes transistors.
En suivant ce chapitre vous allez :
La construction des portes logiques
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Plan du chapitre
L’algèbre de Boole.
La construction des porteslogiques.
Voici les parties que nous allons aborder :
La construction des portes logiques
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L’algèbre de Boole
La construction des portes logiques
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Plan de la partie
Rappels sur la théorie desensembles.
Rappels sur le prédicats.
Synthèse des 4 opérateurs.
George Boole.
Caractéristiques de +, x, ¯ .
Principe de dualité et lois de (De)Morgan.
Analogie entre , et , et +, x, ̄ .
L’opérateur .
Les tables de Karnaugh.
Voici les parties que nous allons aborder:
L’algèbre de Boole
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Rappels sur les prédicats
L’algèbre de Boole
Un prédicat est un test dont le résultat peut prendre deuxvaleurs : vrai ou faux.
Ces deux valeurs peuvent être codées (en informatique)par 1 et 0.
En définitive, l’ensemble {0,1} peut être manipulé selon lesrègles de l'algèbre binaire et celles de l'algèbre de Boole.
Introduction
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Rappels sur les prédicats
L’algèbre de Boole
Dans l'exemple ci-dessous, le prédicat (B C) est fauxalors que (A C) est vrai.
Exemple
Ensemble C
A
B
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Rappels sur les prédicats
L’algèbre de Boole
Les opérateurs :
Le « ou logique » noté ,
Le « et logique » noté ,
Le « ou exclusif » noté oue,
La « négation » noté ,
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Synthèse des 4 opérateurs
L’algèbre de Boole
La table de vérité
Les opérateurs qui ont été présentés précédemment,peuvent être décrits de manière plus concise grâce à unetable de vérité. Il s'agit d'un tableau séparé en deuxparties :
la partie de gauche indique l'état (vrai ou faux) desprédicats de départ
la partie de droite indique l'état du prédicatcorrespondant à l'opération
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Synthèse des 4 opérateurs
L’algèbre de Boole
La table de vérité
faux
faux
vrai
faux
vrai
faux
faux
vrai
vrai
A B A B
vrai vrai vrai
fauxfaux
vrai
fauxvrai
faux
fauxvrai
vrai
A B A oue B
vrai vrai faux
faux
faux
vrai
faux
vrai
faux
faux
faux
faux
A B A B
vrai vrai vrai
fauxvrai
vraifaux
A A
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Synthèse des 4 opérateurs
L’algèbre de Boole
Opérateurs unaires, binaires et ternaires
Nous constatons que les opérateurs , et oue utilisentdeux opérandes : ces opérateurs sont donc qualifiés debinaires.
A l’inverse, l’opérateur n’utilise qu’une opérande, il estdonc qualifié d’unaire.
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Analogie entre , , , et +, x, ¯
L’algèbre de Boole
Le principe
A l’instar des opérateur , et , les opérateurs +, x, ¯peuvent être présentées sous forme d'une table de vérité.
Si nous associons 1 à vrai et 0 à faux, nous constatonsqu’ il existe une équivalence entre
l'opérateur + et l'opérateur
l'opérateur x et l'opérateur
l'opérateur ¯ et l'opérateur
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Analogie entre , , , et +, x, ¯
L’algèbre de Boole
Les opérateurs et +
faux
fauxvrai
faux
vraifaux
faux
vraivrai
A B A B
vrai vrai vrai
0
01
0
10
0
11
A B A + B
1 1 1
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Analogie entre , , , et +, x, ¯
L’algèbre de Boole
Les opérateurs et (ainsi que )
faux
fauxvrai
faux
vraifaux
faux
fauxfaux
A B A B
vrai vrai vrai
0
01
0
10
0
00
A B A B
1 1 1
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Analogie entre , , , et +, x, ¯
L’algèbre de Boole
Les opérateurs et ̄ , (ainsi que !)
faux
vrai
vrai
faux
A A
0
1
1
0
A /A
L’ l èb d B l
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L’opérateur
L’algèbre de Boole
La construction de l’opérateur et sa table de vérité
Nous ajoutons un nouvel opérateur qui est défini de lamanière suivante :
Cet opérateur correspond « naturellement » à l'opérateuroue décrit précédemment.
a, b, a b = (a /b) + (b /a)
faux
faux
vrai
faux
vrai
faux
faux
vrai
vrai
A B A oue B
vrai vrai faux
0
0
1
0
1
0
0
1
1
A B A + B
1 1 0
1
1
0
/A
0
1
0
1
/B
0
0
0
1
A /B
0
0
1
0
B /A
0
L’ l èb d B l
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Les tables de Karnaugh
L’algèbre de Boole
Le principe
La table de Karnaugh est un outil qui a été inventé parMaurice Karnaugh, un ingénieur télécom des Bells Labs.
Elle permet de simplifier des expressions booléennes quise présentent sous la forme d’une suite de « ou logique »
dont les membres sont des « et logique » entre desvariables de base.
Exemple :
F = (A (B) C) (A B ( C)) (( A) B C)
L’ l èb d B l
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Les tables de Karnaugh
L’algèbre de Boole
Le principe d’utilisation est le suivant :
Construire la table de telle manière que nous passonsd’une variable à son complémentaire lorsque nouschangeons de ligne ou de colonne
Placer dans le tableau, des croix qui correspondent aux
variables apparaissant dans l’expression booléenne àsimplifier
Mettre en évidence les croix adjacentes qui indiquent laprésence d’un « ou logique » entre une variable et son
complémentaire dans une partie de l’expression Ecrire l’expression intermédiaire correspondant au
groupement des croix : l’expression finale est un « oulogique entre ces expressions intermédiaires
L’ l èb d B l
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Les tables de Karnaugh
L’algèbre de Boole
Exemple avec 3 variables
Nous considérons l’expression booléenne suivante :
F = (A (!B) C) + (A B (!C)) + ((!A) B C).
Nous construisons d’abord une table de Karnaugh vide
Nous plaçons alors les croix correspondant àl’expression.
Nous constatons alors que F n’est pas simplifiable carnous ne pouvons pas grouper les croix.
AB A(!B) (!A)(!B) (!A)B
C
!C
(A (!B) C) (A B (!C)) ((!A) B C)
X X
X
L’ l èb d B l
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Les tables de Karnaugh
L’algèbre de Boole
Un autre exemple avec 3 variables
Nous considérons l’expression booléenne suivante :
F = ((!A) B (!C)) + (A B (!C)) + ((!A) B C).
Le groupe formé par les croix bleue et rouge correspond
à l’expression (!A)B et le groupe formé par les croix verte et rouge (le tableau étant circulaire) correspond àl’expression B(!C).
F est donc finalement égal à (!A)B + B(!C).
AB A(!B) (!A)(!B) (!A)B
C
!C
X
X X
((!A) B (!C)) (A B (!C)) ((!A) B C)
L’algèbre de Boole
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Les tables de Karnaugh
L’algèbre de Boole
Un autre exemple avec 3 variables – Vérification
Nous construisons la table de vérité afin de comparer lesdeux expressions : nous constatons que les deuxcolonnes sont identiques donc les expressions sontéquivalentes.
A B C ((!A) B (!C)) + (A B (!C)) + ((!A) B C) (!A)B + B(!C)
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
L’algèbre de Boole
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Les tables de Karnaugh
L’algèbre de Boole
Exercice avec 4 variables
Simplifier l’expression :
F = AB(!C)(!D) + (!A)B(!C)D + (!A)BC(!D) +(!A)B(!C)(!D) + (!A)BCD
AB A(!B) (!A)(!B) (!A)BCD
(!C)D
(!C)(!D)
C(!D)
L’algèbre de Boole
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Les tables de Karnaugh
L algèbre de Boole
Exercice avec 4 variables
Simplifier l’expression :
F = AB(!C)(!D) + (!A)B(!C)D + (!A)BC(!D) +(!A)B(!C)(!D) + (!A)BCD
En groupant X, X, X et X, nous obtenons (!A)Bet en groupant X et X, nous obtenons B(!C)(!D)
Finalement, nous avons F = (!A)B + B(!C)(!D)
AB A(!B) (!A)(!B) (!A)B
CD
(!C)D
X
X
(!C)(!D)
C(!D)
X X
X
L’algèbre de Boole
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Les tables de Karnaugh
L algèbre de Boole
Passage table de vérité vers table de Karnaugh
Nous pouvons construire une table de vérité depuis unetable de Karnaugh. Pour cela, il faut :
énumérer les différentes combinaisons entre lesvariables et leurs complémentaires dans la partie
gauche
placer, dans la partie droite du tableau, des 1correspondant au X du tableau (et des 0 pour signifierl’absence de X)
L’algèbre de Boole
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Les tables de Karnaugh
L algèbre de Boole
Passage table de vérité vers table de Karnaugh – Exemple
AB A(!B) (!A)(!B) (!A)B
CD
C(!D)
(!C)D
(!C)(!D)
A B C D
1
1
0 0 0 0
0 0 0 1
0
0
0 0 1 0
0 0 1 1
Expression
11
0 1 0 0
0 1 0 1
0
0
0 1 1 0
0 1 1 1
0
0
1 0 0 0
1 0 0 1
0
0
1 0 1 0
1 0 1 1
0
0
1 1 0 0
1 1 0 1
0
0
1 1 1 0
1 1 1 1
X X
X X
La construction de portes logiques
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Pause-réflexion sur cette 1ère partie
Avez-vous des questions ?
La construction de portes logiques
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La construction des portes
logiques
La construction des portes logiques
La construction des porte logiques
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Plan de la partie
Analogie électrique.
La porte ET.
La porte OU.
La porte NON.
Les autres portes.
Voici les parties que nous allons aborder :
La construction des porte logiques
La construction des portes logiques
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Analogie électrique
La construction des portes logiques
Transposition de la logique binaire
Nous supposons que nous avons un circuit électroniquequi ne peut avoir que deux niveaux d’intensité : 0 mA et 10
mA.
Nous associons
0 (ou faux) à 0 mA (pas de courant, ampoule éteinte) ;
1 (ou vrai) à 10 mA (du courant, ampoule allumée).
La construction des portes logiques
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Analogie électrique
La construction des portes logiques
Le transistor vu comme un interrupteur télécommandé
Nous assimilons le transistor, fonctionnant dans lesmodes blocage et saturation, à un interrupteur.
Nous associons
0 (ou faux) à l’interrupteur ouvert (le courant ne passepas, le transistor est bloqué) ;
1 (ou vrai) à l’interrupteur fermé (le courant passe, letransistor est saturé).
La construction des portes logiques
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Analogie électrique
La construction des portes logiques
Le transistor vu comme un interrupteur télécommandé
Cette analogie est limitée car elle ne permet pas demodéliser correctement les transistors MOSFET.
Nous avons vu qu’il existe de deux types, les N-MOS etles P-MOS, qui ont un fonctionnement inverse l’un par
rapport à l’autre.
Pour modéliser le fonctionnement des P-MOS, nousallons utiliser des interrupteurs « inversés ». Nousassocions donc :
0 (ou faux) à l’interrupteur fermé (le courant passe, letransistor est saturé) ;
1 (ou vrai) à l’interrupteur ouvert (le courant ne passepas, le transistor est bloqué).
La construction des portes logiques
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Analogie électrique
La construction des portes logiques
Le transistor vu comme un interrupteur télécommandé
Nous résumons cette analogie par le tableau de synthèseci-dessous.
Normaux
Interrupteurs Valeur logique
0 =
1 =
0 =
0 =
1 =
1 =
1 = 0 =
Inversés
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La porte ET
La construction des portes logiques
Rappel de la table de vérité
L’opérateur ET est un opérateur binaire qui renvoie 1 (ouvrai) si et seulement si ses deux entrées sont à 1 ou (vrai).
0
0
1
0
1
0
0
0
0
A B A B
1 1 1
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La porte ET
a co st uct o des po tes og ques
La table de vérité
Si nous disposons de deux interrupteurs A et B, d’une lampe témoin et d’une pile pour fournir le courant, la tablede vérité précédente peut être transposée de la manièresuivante.
Interrupteur A Interrupteur B Lampe
0 =
0 =
1 =
0 =
1 =
0 =
0 =
0 =
0 =
1 = 1 = 1 =
La construction des portes logiques
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La porte ET
p g q
Construction de la porte
Comment relier ces deux interrupteurs, le générateur et lalampe témoin afin d’obtenir le résultat décritprécédemment ?
La construction des portes logiques
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La porte ET
p g q
Construction de la porte – 0 0 = 0
Nous mettons l’interrupteur A et l’interrupteur B en série(l’un derrière l’autre).
Interrupteur A Interrupteur B
0
0
0
La construction des portes logiques
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La porte ET
p g q
Construction de la porte – 0 1 = 0
Nous mettons l’interrupteur A et l’interrupteur B en série(l’un derrière l’autre).
Interrupteur A Interrupteur B
0
0
1
La construction des portes logiques
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La porte ET
p g q
Construction de la porte – 1 0 = 0
Nous mettons l’interrupteur A et l’interrupteur B en série(l’un derrière l’autre).
Interrupteur A Interrupteur B
1
0
0
La construction des portes logiques
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La porte ET
p g q
Construction de la porte – 1 1 = 1
Nous mettons l’interrupteur A et l’interrupteur B en série(l’un derrière l’autre).
Interrupteur A Interrupteur B
1
1
1
La construction des portes logiques
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La porte ET
Symboles
Nous constatons (selon le logiciel de construction deportes utilisé) qu’il existe deux symboles pour représenterune porte ET.
&
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La porte OU
Rappel de la table de vérité
L’opérateur OU est un opérateur binaire qui renvoie 1 (ouvrai) lorsqu’au moins l’un de ses deux entrées sont à 1 ou
(vrai).
0
0
1
0
1
0
0
1
1
A B A + B
1 1 1
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La porte OU
La table de vérité
Si nous disposons de deux interrupteurs A et B, d’une lampe témoin et d’une pile pour fournir le courant, la tablede vérité précédente peut être transposée de la manièresuivante.
Interrupteur A Interrupteur B Lampe
0 =
0 =
1 =
0 =
1 =
0 =
0 =
1 =
1 =
1 = 1 = 1 =
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La porte OU
Construction de la porte
Comment relier ces deux interrupteurs, le générateur et lalampe témoin afin d’obtenir le résultat décritprécédemment ?
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La porte OU
Construction de la porte – 0 + 0 = 0
Nous mettons l’interrupteur A et l’interrupteur B enparallèle (l’un à côté de l’autre).
Interrupteur A
Interrupteur B
0
0
0
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La porte OU
Construction de la porte – 0 + 1 = 1
Nous mettons l’interrupteur A et l’interrupteur B enparallèle (l’un à côté de l’autre).
Interrupteur A
Interrupteur B
0
1
1
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La porte OU
Construction de la porte – 1 + 0 = 1
Nous mettons l’interrupteur A et l’interrupteur B enparallèle (l’un à côté de l’autre).
Interrupteur A
Interrupteur B
1
1
0
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La porte OU
Construction de la porte – 1 + 1 = 1
Nous mettons l’interrupteur A et l’interrupteur B enparallèle (l’un à côté de l’autre).
Interrupteur A
Interrupteur B
1
1
1
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La porte OU
Symboles
Nous constate (selon le logiciel de construction de portesutilisé) qu’il existe deux symboles pour représenter uneporte OU.
>=1
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La porte NON
Rappel de la table de vérité
L’opérateur NON est un opérateur unaire qui renvoie unevaleur inverse de la valeur d’entrée.
0
1
1
0
A /A
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La porte NON
La table de vérité
Nous ne disposons que d’un seul interrupteur inversé A,d’une lampe témoin et d’une pile pour fournir le courant, latable de vérité précédente peut être transposée de lamanière suivante.
Interrupteur A Lampe
0 =
1 =
1 =
0 =
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La porte NON
Construction de la porte – /0 = 1
Nous utilisons simplement un interrupteur inversé.
Interrupteur A
01
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La porte NON
Construction de la porte – /1 = 0
Nous utilisons simplement un interrupteur inversé.
Interrupteur A
10
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Nous constatons (selon le logiciel de construction deportes utilisé) qu’il n’existe pas de symbole pourreprésenter la porte NON.
Certains logiciels la représente à l’aide d’un triangle suivi
d’un rond pour d’autres, il faudra utiliser les portes NON-ET et NON-OU en reliant les deux entrées au mêmesignal.
Remarque : Nous désignons souvent cette porte commeun inverseur (de signaux) car elle transforme le 0 en 1 etle 1 en 0.
La porte NON
Symbole
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D’un point de vue logique, il s’agit d’une porte ET suivied’une porte NON
Les autres portes
La porte NON-ET (NAND)
0
0
1
0
1
0
1
1
1
A B sortie
1 1 0
&
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D’un point de vue logique, il s’agit d’une porte OU suivied’une porte NON
Les autres portes
La porte NON-OU (NOR)
0
0
1
0
1
0
1
0
0
A B sortie
1 1 0
>=1
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C’est la porte « OU exclusif » qui est formée par lacombinaison de portes de bases selon la formule :
A B = (A /B) + (/A B)
Les autres portes
La porte XOR
0
01
0
10
0
11
A B sortie
1 1 0
=1
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C’est la porte XOR suivi d’un inverseur
Les autres portes
La porte NON-XOR
0
0
1
0
1
0
1
0
0
A B sortie
1 1 1
=
é è
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Pause-réflexion sur cette 2ème partie
Avez-vous des questions ?
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Construction desportes logiques
Mise enpratique del’algèbre de
Boole
Prédicat
Table deKarnaugh
Résumé du chapitre
Algèbre deBoole
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Publications
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Chapitres de cours
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Chapitre 3 du cours d’AO : L’interconnexion des portes
logiques dans les circuits électroniques.
Chapitre 4 du cours d’AO : La construction desmémoires.
Chapitre 5 du cours d’AO : Le processeur et son
environnement
Chapitre 6 : L’assembleur
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Partie 1 :
http://chimie.net.free.fr/nombres_quantiques_et_orbitales.htm
http://www.orbitals.com/orb/index.html http://www.sciences.ch/htmlfr/chimie/chimiequantique01.php
http://www2.cegep-st-laurent.qc.ca/depar/chimie/tp.html
http://www.eudil.fr/eudil/bbsc/sc00a.htm
http://www.webelements.com/webelements/scholar/
http://www.falstad.com/mathphysics.html#qm
http://www.unifr.ch/physics/me/cours/methodes/node55.html
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Partie 2 :
http://www.abcelectronique.com/
http://www.bedwani.ch/electro/ch12/index.htm http://perso.orange.fr/f5zv/RADIO/RM/RM23/RM23D/RM23D06.html
http://www.bibsciences.org/bibsup/opt-coll/pub/page.php?vol=2&art=devos&cont=info
http://hebergement.ac-poitiers.fr/l-cc-angouleme/coulomb-exos-
phy/applets/transist_fonct/transist_fonct.htm
http://www.unifr.ch/physics/me/cours/methodes/node56.html
http://perso.orange.fr/e-lektronik/LEKTRONIK/C4.htm
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Partie 3 :
http://www.allaboutcircuits.com/vol_3/index.html
http://www.comelec.enst.fr/tpsp/eni/poly/enich4.html http://etronics.free.fr/dossiers/num/num03/porteset.htm
http://www.ptitrain.com/electronique/tekno/pages/51non-
et_logique.htm
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Partie 4 :
http://solutions.journaldunet.com/dossiers/pratique/fabrication-processeur/1.shtml
http://www.x86-secret.com/popups/articleswindow.php?id=64
http://www.microelectronique.univ-rennes1.fr/
http://jas.eng.buffalo.edu/education/fab/pn/diodeframe.html
http://www.sfc.fr/Donnees/mine/si/texsi.htm#Silicium_pour_
http://fr.wikipedia.org/wiki/Silicium
http://www.futura-sciences.com/comprendre/d/dossier567-1.php
http://perso.orange.fr/f6crp/elec/index.htm
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Fin