Download - 08 Teorema Stokes
-
KALKULUS VEKTOR
8
-
8
Teorema Stokes
Pada bagian ini, kita akan mempelajari:
Teorema Stokes dan
penggunaannya dalam integral.
KALKULUS VEKTOR
-
TEOREMA STOKES VS. TEOREMA GREEN
Teorema Stokes dapat dianggap sebagai
Teorema Green versi dimensi yang lebih
tinggi.
Teorema Green menghubungkan integral lipat dua
terhadap daerah/bidang datar D dengan integral garis
sepanjang kurva batas bidang tersebut.
Teorema Stokes menghubungkan integral permukaan
terhadap permukaan S dengan integral garis sepanjang
kurva batas S (kurva ruang).
-
PENDAHULUAN
Gambar berikut menunjukkan permukaan
berarah dengan vektor normal satuan n.
Arah S menunjukkan arah positif dari kurva batas
C.
-
Ini berarti bahwa:
Jika Anda berjalan dalam arah positif sepanjang C
dengan kepala Anda searah dengan arah n,
permukaan akan selalu berada di sebelah kiri Anda.
PENDAHULUAN
-
TEOREMA STOKES
Misalkan:
S merupakan suatu permukaan mulus sepotong-
sepotong berarah yang dibatasi oleh suatu kurva batas
C mulus sepotong-sepotong, sederhana, tertutup
dengan arah positif.
F merupakan medan vektor yang komponen-
komponennya memiliki turunan parsial kontinyu pada
daerah terbuka dalam ruang yang mengandung S.
Maka, curlC
S
d d F r F S
-
Sehingga, Teorema Stokes mengatakan:
Integral garis sepanjang kurva batas S dari komponen
tangensial F sama dengan integral permukaan
komponen normal dari curl F.
dan
curl curl
C C
S S
d ds
d d
F r F T
F S F n S
TEOREMA STOKES
-
Kurva batas berarah positif dari permukaan
berarah S sering dituliaskan sebagai S.
Jadi, teorema ini dapat dituliskan sebagai:
curlS
S
d d
F S F r
Persamaan 1 TEOREMA STOKES
-
TEOREMA STOKES, TEOREMA GREEN, TDK
Ada analogi diantara Teorema Stokes,
Teorema Green, dan Teorema Dasar Kalkulus
(TDK).
Seperti dinyatakan sebelumnya, ada integral yang
melibatkan turunan pada ruas kiri Persamaan 1 (ingat
kembali bahsa curl F merupakan bentuk ringkas dari
turunan F).
Ruas kanan melibatkan nilai F hanya pada batas S.
-
Kenyataannya, perhatikan kasus khusus
dimana permukaan S:
Datar.
Terletak pada bidang-xy dengan arah ke atas.
TEOREMA STOKES, TEOREMA GREEN, TDK
-
Maka,
Normal satuan adalah k.
Integral permukaan menjadi integral lipat dua.
Teorema Stokes menjadi:
curl curlC
S S
d d dA F r F S F k
TEOREMA STOKES, TEOREMA GREEN, TDK
-
Ini hampir sama dengan bentuk vector
Teorema Green yang diberikan pada
Persamaan 12 pada bagian 5
Sehingga, kita dapat melihat bahwa Teorema
Green merupakan kasus khusus dari Teorema
Stokes.
TEOREMA STOKES, TEOREMA GREEN, TDK
-
TEOREMA STOKES
Teorema Stokes terlalu sulit bagi kita untuk
membuktikan dalam bentuk umum.
Namun, kita dapat membuktikan ketika:
S merupakan grafik.
F, S, dan C berperilaku baik.
-
TEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
Kita anggap bahwa persamaan S
adalah:
z = g(x, y), (x, y) D
dengan:
g memiliki turunan parsial orde-kedua kontinyu.
D merupakan daerah bidang sederhana yang kurva
batas C1 bersesuaian dengan C.
Bukti
-
Jika arah S ke atas, arah positif C
bersesuaian dengan arah positif C1.
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
-
Kita juga ingat bahwa:
F = P i + Q j + R k
dengan turunan parsial dari P, Q, dan R
kontinyu.
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
-
S merupakan grafik suatu fungsi.
Sehingga, kita dapat menggunakan
Formula 10 pada bagian 7 dengan F diganti
dengan curl F.
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
-
Hasilnya adalah:
dengan turunan parsial dari P, Q, dan R
dapat dihitung pada (x, y, g(x, y)).
curlS
D
d
R Q z P R z Q PdA
y z x z x y x y
F S
BuktiPers. 2TEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
-
Misalkan
x = x(t) y = y(t) a t b
merupakan persamaan parametric dari C1.
Maka, persamaan parametric dari C
adalah:
x = x(t) y = y(t) z = g(x(t), y(t)) a t b
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
-
Ini memungkinkan kepada kita, dengan
bantuan Dalil Rantai, untuk menghitung
integral integral garis seperti berikut ini:
C
b
a
b
a
d
dx dy dzP Q R dt
dt dt dt
dx dy z dx z dyP Q R dt
dt dt x dt y dt
F r
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
-
Kita gunakan Teorema Green pada langkah
terakhir.
1
b
a
C
D
z dx z dyP R Q R dt
x dt y dt
z zP R dx Q R dy
x y
z zQ R P R dA
x y y x
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
-
Selanjutnya, kita gunakan Dalil Rantai
lagi, ingat bahwa:
P, Q, dan R adalah fungsi dari x, y, dan z.
z sendiri merupakan fungsi dari x dan y.
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
-
Sehingga, diperoleh:
2
2
C
D
d
Q Q z R z R z z zR
x z x x y z x y x y
P P z R z R z z zR dA
y z y y x z y x y x
F r
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
-
Empat suku dalam integral lipat dua saling
menghilangkan.
Enam yang tersisa dapat disusun ulang
serupa dengan ruas kanan Persamaan 2.
Oleh karena itu, curlC
S
d d F r F S
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
-
TEOREMA STOKES
Hitung
dengan:
F(x, y, z) = y2 i + x j + z2 k
C adalah kurva perpotongan antara bidang
y + z = 2 dand silinder x2 + y2 = 1.
(Arah C berlawanan arah jarum jam jika dilihat
dari atas.)
Cd F r
Contoh 1
-
Kurva C (elips) ditunjukkan pada
gambar.
dapat dihitung
secara langsung.
Namun demikian, lebih
mudah menggunakan
Teorema Stokes.
Cd F r
Contoh 1 TEOREMA STOKES
-
Pertama kita hitung:
2 2
curl 1 2yx y z
y x z
i j k
F k
Contoh 1 TEOREMA STOKES
-
Ada banyak permukaan yang dibatasi C.
Pilihan paling sesuai adalahdaerah elips S pada bidang y + z = 2 yang dibatasi C.
Jika arah S ke atas, C memiliki arah positif.
Contoh 1 TEOREMA STOKES
-
Proyeksi D dari S pada bidang-xy
adalah cakram x2 + y2 1.
Jadi, menggunakan
Persamaan 10 pada bagian
7 dg z = g(x, y) = 2 y,
diperoleh hasil berikut.
Contoh 1 TEOREMA STOKES
-
2 1
0 0
12 3
2
00
21 22 30
12
curl 1 2
1 2 sin
2 sin2 3
sin
2 0
CS D
d d y dA
r r dr d
r rd
d
F r F S
Contoh 1 TEOREMA STOKES
-
Gunakan Teorema Stokes untuk menghitung
dengan:
F(x, y, z) = xz i + yz j + xy k
S adalah bagian dari
bola x2 + y2 + z2 = 4
yang terletak di
dalam silinder
x2 + y2 =1
dan di atas
bidang-xy.
curlS
d F S
Contoh 2 TEOREMA STOKES
-
Untuk mencari kurva batas C,
kita selesaikan:
x2 + y2 + z2 = 4 dan x2 + y2 = 1
dikurangkan,
diperoleh z2 = 3.
Jadi,
(karena z > 0).
Contoh 2
3z
TEOREMA STOKES
-
Jadi, C adalah lingkaran dengan
persamaan: x2 + y2 = 1, 3z
Example 2 TEOREMA STOKES
-
Persamaan vektor C adalah:
r(t) = cos t i + sin t j + k 0 t 2
Karena itu, r(t) = sin t i + cos t j
Juga, diperoleh:
3
Example 2
3cos 3sin cos sint t t t t F r i j k
TEOREMA STOKES
-
Sehingga, dengan Teorema Stokes,
2
0
2
0
2
0
curl
( ( )) '( )
3 cos sin 3 sin cos
3 0 0
CS
d d
t t dt
t t t t dt
dt
F S F r
F r r
Example 2 TEOREMA STOKES
-
Perhatikan, dalam Contoh 2, kita menghitung
integral permukaan sederhana dengan
mengetahui nilai F pada kurva batas C.
Ini berarti bahwa:
Jika kita memiliki permukaan berarah lainnya
dengan kurva batas C yang sama, kita peroleh hasil
yang sama untuk integral permukaan!
TEOREMA STOKES
-
Secara umum, jika S1 dan S2 adalah
permukaan berarah dengan kurva batas
berarah C yang sama dan keduanya
memenuhi hipotesis Teorema Stokes, maka
Pernyataan ini sangat berguna ketika kita mengalami
kesulitan untuk mengintegralkan terhadap satu
permukaan tetapi mudah untuk mengintegralkan
terhadap yang lain.
1 2
curl curlC
S S
d d d F S F r F S
Persamaan 3 TEOREMA STOKES
-
VEKTOR CURL
Sekarang kita gunakan Teorema Stokes
untuk menyoroti pada makna vektor curl.
Anggap bahwa C kurva tertutup berarah dan v
menunjukkan medan kecepatan aliran fluida.
-
VEKTOR CURL
Perhatikan integral garis
dan ingat bahwa v T adalah komponen v
dalam arah vector tangent satuan T.
Ini berarti bahwa semakin dekat arah v terhadap
arah T, semakinbesar nilai v T.
C Cd ds v r v T
-
SIRKULASI
Sehingga, merupakan ukuran
kecenderungan fluida bergerak sekitar C.
Ini disebut sirkulasi v sekitar C.
Cd v r
-
VEKTOR CURL
Sekarang, misalkan:
P0(x0, y0, z0) merupakan titik dalam fluida.
Sa cakram kecil dengan radius a dan pusat P0.
Maka, (curl F)(P) (curl F)(P0) untuk semua titik-titik
P pada Sa karena curl F kontinyu.
-
VEKTOR CURL
Sehingga, dengan Teorena Stokes, diperoleh
aproksimasi dari sirkulasi sekitar lingkaran
batas Ca:
0 0
2
0 0
curl curl
curl
curl
a
a a
a
CS S
S
d d dS
P P dS
P P a
v r v S v n
v n
v n
-
VEKTOR CURL
Aproksimasi menjadi lebih baik jika a 0.
Sehingga, diperoleh:
0 0 201
curl limaCa
P P da
v n v r
Persamaan 4
-
CURL & SIRKULASI
Persamaan 4 memberikan hubungan
antara curl dand sirkulasi.
Ini menunjukkan bahwa curl v n adalah ukuran
dari pengaruh rotasi fluida pada sumbu axis n.
Pengaruh curl terbesar pada sumbu sejajar
terhadap curl v.
-
Bayangkan roda pedal kecil ditempatkan
pada fluida di titik P.
Roda pedal berputar
paling cepat ketika
sumbunya sejajar
terhadap curl v.
CURL & SIRKULASI
-
KURVA TERTUTUP
Terakhir, kita sebutkan bahwa Teorema
Stokes dapat digunakan untuk membuktikan
Teorema 4 pada bagian 5:
Jika curl F = 0 dalam semua ruang dimensi 3,
maka F adalah konservatif.
-
Dari Teorema 3 dan 4 pada bagian 3,
kita tahu bahwa F konservatif jika
untuk setiap lintasan tertutup C.
Diberikan C, anggap kita dapat mencari permukaan
berarah S yang batasnya adalah C.
Ini dapat dilakukan, namun membutuhkan
pembuktian dengan teknik lanjut.
0C
d F r
KURVA TERTUTUP
-
Maka, Teorema Stokes memberikan:
Kurva yang tidak sederhana dapat dibagi menjadi
sejumlah kurva sederhana.
Integral sekitar kurva ini semuanya adalah 0.
curl 0 0C
S S
d d d F r F S S
KURVA TERTUTUP
-
Menambahkan integral ini,
diperoleh:
untuk sembarang kurva tertutup C.
0C
d F r
KURVA TERTUTUP