CALCULO DIFERENCIAL

1

LA DERIVADA

- Recta tangente

- Recta secante

p0

p0

Q0

Tangente y seecante a una curva

La pendiente de una curva en un punto P es la pendiente, en caso de que exista, de la recta tangente en P.

x

yx

lim

xxf 2)(

Pndiente:

Si la derivada f`(x) puede evaluarse en x = x1, el número resultante f`(x1) se llama derivada de f en x1, y es la pendiente (m).

1

1

xx

yym

Derivada, Definición:

La derivada de una función f es la función, denotada por f’ y definida por:

Siempre que este límite exista. Si f’(x) puede encontrarse, se dice que f, es diferenciable

2.1.Reglas de derivación

1.

2.

3.

4.

5.

0)( cdx

d

1)( nn nxxdx

d

)()( xfcxcfdx

d

)()()()( xgxfxgxfdx

d

)().()().()().( xgxfxgxfxgxfdx

d

6.

7.

8.

9.

10.

2)()().()().(

)(

)(

xg

xgxfxgxf

xg

xf

dx

d

)().().()().().()().().()()().( xhxgxfxhxgxfxhxgxfxhxgxfdx

d

1)( xdx

d

)(1)(xf

dx

d

cc

xf

dx

d

)())(()( 2

xfdx

d

xf

c

xf

c

dx

d

11.

12. Regla de la cadena, y=f(u), u=f(x),

13. Regla de la potencia

14.

15.

))(())(())((( 1 xfdx

dxfnxf

dx

d nn

dx

du

du

dy

dx

dy.

dx

dunu

dx

dyuy nn ., 1

1,0,....log1

log bbex

xdx

dbb

x

Xdx

d 1ln

16.

17.

18.

19.

bbbdx

d xx ln

xx eedx

d

dx

duee

dx

d uu .

dx

due

uu

dx

dbb .log

1log

Derivada de las funciones trigonométricas

2.2. Propiedades de los logaritmos

1.

2.

3.

4.

5.

n

mnm lnlnln

unu n lnln

yxyx lnln).ln(

33 lnln uu

dx

du

uu

dx

d 1ln

6.

7.

8.

9.

dx

du

u

nu

dx

d n ln

ex xlogln

b

uub ln

lnlog

aea ln

2.4. Diferenciación implícita

Supóngase que las variables x e y, están relacionadas por alguna ecuación de la forma:  F(x, y) = 0, Si una función f, definida en un intervalo I es tal que la ecuación se transforma en una identidad cuando la variable y se reemplaza por f(x), se dice que f está definida implícitamente por medio de la ecuación

Procedimiento: diferenciación implícita1. Diferenciar ambos miembros de la ecuación respecto a x.2. Agrupar dy/dx en un miembro de la ecuación.3. Factorizar dy/dx.4. Despejar dy/dx

Derivadas de orden Superior

f’(x) = Primera derivada

f’’(x)= Segunda derivada

f’’’(x)= Tercera derivada

Criterio de la segunda derivada

1. ,valores críticos de x

2. , f tiene un máximo relativo f tiene un mínimo relativo

0)( 0 xf

,0)( 0 xf

,0)( 0 xf

Aplicación de máximos y mínimos

1. Dibujar diagrama con información del problema.

2. Formular función para la cantidad que se quiere maximizar o minimizar

3. Expresar la función en una sola variable, señale dominio

4. Encontrar valor critico de la función, probarlos y determinar el valor extremo absoluto, examinar puntos extremos en la función.

TABLA DERIVADAS

19

DERIVADAS POLINÓMICAS DERIVADA DE UNA CONSTANTE f(x) = k f’(x) = 0

Ejemplos y = 4 y’=0 y = -√3 y’=0 y = (e – 2) / π y’=0

DERIVADAS POLINÓMICAS n n - 1 f (x) = x f ‘ (x) = n. x

Ejemplos y = x4 y’= 4. x3 y = -x7 y’= -7. x6 y = x42 y’= 42. x41

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 20

DERIVADA DE LA INVERSA f(x) = 1/x f’(x) = -1/ x2

DERIVADA DE LA RAIZ f (x) = √x f ‘ (x) = 1 / 2.√x

También se obtendría como polinómica f (x) = √x f (x) = x1/2 f’(x) = (1/2). x(1/2 – 1)

DERIVADA DE LA EXPONENCIAL f(x) = ex f’(x) = ex

DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO f(x) = ln x f’(x) = 1 / x

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 21

OTRAS DERIVADAS

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

y = sen x y ‘ = cos x y = cos x y ‘ = - sen x y = tg x y ‘ = 1+tg2 x = 1 / cos2 x

También se obtendría como división de funciones y = tg x = sen x / cos x y’ = [cos x. cos x – sen x . (-sen x)] / cos2 x y’ = [cos2 x + sen2 x] / cos2 x = 1 / cos2 x

DERIVADA DE F. TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

y = arcsen x y ‘ = 1 / √(1 – x2) y = arccos x y ‘ = – 1 / √(1 – x2) y = arctg x y ‘ = 1 / (1 + x2)

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 22

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS