1
Módulo 2Segunda Parte
Especialidad en Métodos EstadísticosCentro de Investigación en Matemáticas,
C IM AT
2
1. Nociones de Probabilidad2. Distribuciones Discretas.3. Distribuciones Continuas.4. Distribuciones muestrales.5. Distribución Normal.6. La distribución Ji-cuadrada.
Módulo 2C IM AT
1er Parte
2da Parte
3
1. Nociones de Probabilidad.2. Algunas distribuciones de probabilidad discretas.3. Algunas distribuciones continuas de probabilidad.
4. Distribuciones muestrales.5. Distribución Normal.6. La distribución Ji-cuadrada.
Módulo 2C IM AT
1er Parte
2da Parte
4
• 4. Distribuciones muestrales.– 4.1. Muestra Aleatoria Simple – 4.2. Distribución de Muestreo – 4.3. Distribución muestral de promedios en poblaciones.– 4.4. Distribución muestral de proporciones.
• 5. Distribución Normal.– 5.1. Importancia de la distribución Normal.– 5.2. Áreas tabuladas de la distribución de probabilidad normal.– 5.3. El teorema del límite central.– 5.4. Distribución binomial.– 5.5. La aproximación normal para la distribución binomial.– 5.6. Papel de probabilidad Normal.
• 6. La distribución Ji-cuadrada.– 6.1. Importancia de la Ji-cuadrada.– 6.2. Bondad de ajuste.– 6.3. Empleo de Ji-Cuadrada en normalidad y estimación de varianzas.– 6.4. Tablas de contingencia.– 6.5. Pruebas de significancia en cuadros mayores de 2 x 2.– 6.6. Restricciones en el empleo de la Ji-Cuadrada.
• 7 Teorema de Chebyshev
Segunda Parte Módulo 2
5
4. Distribuciones muestrales.5. Distribución Normal.6. La distribución Ji-cuadrada.
Módulo 2
2da Parte
6
4. Distribuciones Muestrales.
Objetivo
• Entender el concepto e importancia de distribución de muestreo.
• Aprender a utilizar las distribuciones de muetreo, su uso y aplicaciones. Para que sirven y como aplicarlas en casos prácticos.
7
8
Muestreo.• El muestreo es una herramienta de la
investigación científica. • Su función básica es determinar que
parte de una realidad en estudio (población o universo) debe examinarse con la finalidad de hacer inferencias sobre dicha población. (Ejemplo)
4. Distribuciones muestrales.
9
• La información de los estudios de muestreo es parte de nuestra vida diaria, casi en su totalidad. Tal información determina el rumbo que deberán tomar algunas políticas gubernamentales como, por ejemplo, la promoción de programas sociales o el control de la economía.
Revisión Conceptos de Muestreo
10
• Las encuestas de opinión son la base de muchas de las noticias proporcionadas en los medios. Los estudios de rating televisivo determinan cuales son los programas que permanecerán al aire en el futuro.
• No se diga los estudios de preferencias electorales, para definir estrategias por parte de los partidos políticos.
Revisión Conceptos de Muestreo
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• Las investigaciones de mercado indicaran cuales productos y con que características son los preferidos de los consumidores
• Por otro lado, están los estudios de muestreo en las ciencias biológicas, geológicas, del medio ambiente, marítimas entre otras.
• Muestreo de Aceptación (Industrial)
Revisión Conceptos de Muestreo
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• Aún cuando la terminología de las ciencias sociales difiere de las ciencias exactas, los científicos sociales conducen estudios de muestreo y los científicos de las áreas físicas realizan en su mayoria experimentos, ambos tienen el propósito de captar información en torno a los fenómenos naturales.
Revisión Conceptos de Muestreo
13
• Sin embargo, esas diferencias existen en el campo de la ciencia, debido a la naturaleza de las poblaciones y a la manera en que una muestra puede ser extraída. Por ejemplo, poblaciones de votantes, de cuentas financieras, o de animales de una especie particular pueden contener un número relativamente pequeño de elementos (finito).
Revisión Conceptos de Muestreo
14
• En contraste, la población conceptual de respuestas generadas por la medición de la producción de un proceso químico, es muy grande (infinito). Las limitaciones del procedimiento de muestreo también varían de un área de la ciencia a otra.
Revisión Conceptos de Muestreo
15
• El muestreo en las ciencias biológicas y físicas, puede frecuentemente ser realizado bajo condiciones experimentales controladas. Tal control es frecuentemente imposible en las ciencias sociales, negocios, y administración de recursos naturales (observación).
Revisión Conceptos de Muestreo
16
¿Cómo realizar un inventario?1.- Censo: es un conteo exhaustivo de los
individuos o elementos de la población bajo estudio.– Desventajas:
• Costos elevados.• Estático.• Requiere mucho tiempo.
2.- Muestreo: una parte representativa del recurso.– Ventajas:
• Reduce costos.• Puede ser dinámico.• Reduce tiempos.
Un Ejemplo: Población y Muestra
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Se ha manejado que la estadística moderna es la teoría de la información, cuyo objetivo es la inferencia. Nuestro interés se centra en un grupo de mediciones que existen o pueden ser generadas, una población. El medio de la inferencia es la muestra, la cual es un subgrupo de mediciones seleccionadas de la población.
Conceptos de Población y Muestra
18
Deseamos entonces realizar inferencias sobre la población basándonos en las características que observamos en la muestra, o equivalentemente, en la información contenida en la muestra.
Conceptos de Población y Muestra
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Población vs. MuestraN elementos en la población
n - elementos en la muestra
Conceptos de Población y Muestra
20
• El error que se comete debido al hecho de que se obtienen conclusiones sobre cierta realidad a partir de la observación de sólo una parte de ella, se denomina error de muestreo.
• Obtener una muestra adecuada, significa lograr una versión simplificada de la población, que reproduzca de algún modo sus rasgos y características básicas o de interés.
Conceptos de Población y Muestra
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• Elemento: es un objeto o persona en el cual se toman las mediciones.
• Población objetivo: conjunto de individuos de los que se quiere obtener una información.
• Unidades de muestreo: el conjunto de elementos no traslapados de la población que cubren a la población completa. Todo miembro de la población pertenecerá a una y sólo una unidad de muestreo.
Terminología
22
• Unidades de análisis: objeto o individuo del que hay que obtener la información.
• Marco muestral: lista de unidades o elementos de muestreo.
• Muestra: conjunto de unidades o elementos de análisis seleccionadas de un marco o varios marcos.
Terminología
23
• Muestreo probabilístico. El planteamiento clásico del problema de estimación estadística requiere que la aleatoriedad esté comprendida en el diseño de muestreo para así poder evaluar probabilísticamente, las propiedades de los estimadores. Al diseño de muestreo que plantea la selección, de unidades de muestreo, basada en la aleatoriedad se le llama muestreo probabilístico.
Terminología
24
• Límite para el error de estimación. Si q es la característica poblacional de interés y es un estimador (basándose en la información de la muestra) de , debemos especificar un límite para el error de estimación; esto es, debemos especificar que y difieran en valor absoluto a lo más en cierto valor B. Simbólicamente,
Terminología
Bestimacióndeerror ˆ
25
• puede ser cualquier característica de la población (el promedio, el total, un porcentaje, el valor mediano, el valor mínimo, etcétera) Se le llama parámetro
• es el estadístico obtenido a partir de la información de la muestra. En algunas veces llamado estadístico de prueba. (el promedio de la muestra, el total de la muestra, el mínimo de la muestra, la mediana de la muestra, etcétera)
Terminología
26
Parámetro poblacional vs.
Estadístico muestral
Parámetrosm = media poblacionalP = proporciónMax = MáximoMediana poblacionals = desviación poblacional
Estadísticos
x = media muestralP = proporciónMax = MáximoMediana muestrals = desviación muestral
27
• También debemos definir una probabilidad, (1-a) que especifique la fracción de veces en muestreo repetido, que requeriremos que el error de estimación sea menor que B. Esto es
Terminología
1 BestimacióndeerrorP
28
• Muestreo no probabilístico. El muestreo no probabilístico no involucra ningún elemento aleatorio en el proceso de selección.
Terminología
29
4.1 Muestras aleatorias.
Definición 1: Si X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, decimos que constituyen una muestra aleatoria de la población infinita dada por su distribución común.
Si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad y X es una función con valor real definida con respecto a los elementos de S, entonces X se denomina Variable Aleatoria.
30
4.1 Muestras aleatorias.
Definimos a S un espacio muestral como al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento (aleatorio).
31
4.1. Muestras aleatorias.
Para un espacio muestral S dado, una Variable Aleatoria es cualquier regla que asocia un número con cada resultado de S.
Sa
b
d g
f
ec
10 Si a o b11 Si c
12 Si e o f
130 Si g
X =
32
• Unas muestra aleatoria simple de tamaño n, de una población finita de tamaño N, es una muestra seleccionada de tal manera que cada una de las muestras posibles de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser seleccionada.
4.1 Muestra Aleatoria Simple (Población Finita)
33
• Entrando al tema del muestreo probabilístico es importante definir y entender lo que es una distribución de muestreo.
• ¿Qué es una distribución muestral?
4.2 Distribución de Muestreo
34
¿Qué es una distribución muestral?
•La distribución muestral de un estadístico de prueba proporciona (1) una lista de todos los valores que puede tomar dicho estadístico y (2) la probabilidad de obtener cada valor, suponiendo que éste es producto sólo del azar.
4.2 Distribución de Muestreo
35
¿Qué es una distribución muestral?
•Definimos Distribución Muestral como la distribución de probabilidad de todos los posibles valores que puede tomar un estadístico, suponiendo que sólo influye el azar (Para un parámetro poblacional dado)
4.2 Distribución de Muestreo
36
•La distribución muestral de la media proporciona todos los valores que puede tomar la media, junto con la probabilidad de obtener cada valor si el muestreo es aleatorio a partir de la población hipotética. La media muestral posee las siguientes características:
1 mx= es la media de la distribución muestral.
sx = es la desviación estándar de la distribución muestral de la media
4.3 Distribución muestral de la media
37
2 La media muestral es igual a la media poblacional, mx= m.
3. La media muestral tiene una desviación estándar igual a la desviación estándar poblacional de datos crudos, dividida entre la raíz del número de datos. Es decir:
4. Presenta una forma de campananx
4.3 Distribución muestral de la media
38
A pesar que la demostración de la distribución muestral de la media va más allá de los alcances del curso, podemos hacer un ejemplo para la mejor comprensión de la distribución muestral de la media. Supongamos una población de solo cinco elementos 2, 3, 4, 5 y 6. La media m de la población es m = 4.0 y la desviación estándar de la población es s = 1.41.
4.3 Distribución muestral de la media
39
Ahora queremos deducir la distribución muestral de la media para muestras de tamaño 2 de la población. Extraemos todas las distintas muestras de tamaño n = 2. Y observamos cual es el valor de x-barra y su probabilidad.
4.3 Distribución muestral de la media
x
40
Estadísticos
x = (X1+ X2)/2n = 2
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
N = 10
X1, X2
4.3 Distribución muestral de la media
41
Muestra Numero Promedio
Muestra número Promedio
1 2 , 2 2.0 14 4 , 5 4.52 2 , 3 2.5 15 4 , 6 5.03 2 , 4 3.0 16 5 , 2 3.54 2 , 5 3.5 17 5 , 3 4.05 2 , 6 4.0 18 5 , 4 4.56 3 , 2 2.5 19 5 , 5 5.07 3 , 3 3.0 20 5 , 6 5.58 3 , 4 3.5 21 6 , 2 4.09 3 , 5 4.0 22 6 , 3 4.5
10 3 , 6 4.5 23 6 , 4 5.011 4 , 2 3.0 24 6 , 5 5.512 4 , 3 3.5 25 6 , 6 6.013 4 , 4 4.0
Datos muestrales
Datos muestrales
4.3 Distribución muestral de la media
42
Distribución muestral de la media n =2
X-Barra P(X-Barra)
2.0 0.042.5 0.083.0 0.123.5 0.164.0 0.204.5 0.165.0 0.125.5 0.086.0 0.04
P(X-Barra)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
P(X-Barra)
4.3 Distribución muestral de la media
43
Muestra Numero Promedio
Muestra número Promedio
1 2 , 2 2.0 14 4 , 5 4.52 2 , 3 2.5 15 4 , 6 5.03 2 , 4 3.0 16 5 , 2 3.54 2 , 5 3.5 17 5 , 3 4.05 2 , 6 4.0 18 5 , 4 4.56 3 , 2 2.5 19 5 , 5 5.07 3 , 3 3.0 20 5 , 6 5.58 3 , 4 3.5 21 6 , 2 4.09 3 , 5 4.0 22 6 , 3 4.5
10 3 , 6 4.5 23 6 , 4 5.011 4 , 2 3.0 24 6 , 5 5.512 4 , 3 3.5 25 6 , 6 6.013 4 , 4 4.0
Datos muestrales
Datos muestrales
0.4520
N
X 0.4
25100
n
Xx
Media de la
población
Media de la
muestra
Distribución muestral de la media n =24.3 Distribución muestral de la media
44
0.12
41.1 nx
Así, y también x
N
x xx
2)(
0.1)46(...)45.2()42( 222
Nx
Distribución muestral de la media n =2
4.3 Distribución muestral de la media
45
La distribución muestral de la media proporciona todos los valores que puede tomar la media, junto con la probabilidad de obtener cada valor, si el muestreo es aleatorio a partir de la población hipotética.
Distribución muestral de la media n =2
X-Barra P(X-Barra)
2.0 0.042.5 0.083.0 0.123.5 0.164.0 0.204.5 0.165.0 0.125.5 0.086.0 0.04
4.3 Distribución muestral de la media
46
Estadísticos
x = (X1+ X2)/2n = 2
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
N = ____
m = ____
s = ____
X1, X2Población hipotética
EDM
4.3 Distribución muestral de la media
47
Estadísticos
x = (X1+ X2)/2n = 2
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
N = _10_
m = _4.0
s = _1.0
X1, X2Población hipotética
EDM
4.3 Distribución muestral de la media
48
Distribución muestral de la media, para N = 10 población, con media poblacional =4,
varianza poblacional = 1 y tamaño de muestra n =2
X-Barra P(X-Barra)
2.0 0.042.5 0.083.0 0.123.5 0.164.0 0.204.5 0.165.0 0.125.5 0.086.0 0.04
P(X-Barra)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
P(X-Barra)
49
Distribución muestral de la media para N = 15, con media poblacional = 4 y tamaño de muestra
n =3
X-Barra P(X-Barra)%2.00 0.82.33 2.42.67 4.83.00 8.03.33 12.03.67 14.44.00 15.24.33 14.44.67 12.05.00 8.05.33 4.85.67 2.46.00 0.8
P(X-Barra)%
0.0
2.0
4.0
6.08.0
10.0
12.0
14.0
16.0
X-Bar
ra2.
333.
003.
674.
335.
005.
67
P(X-Barra)%
50
Distribución muestral aproximada de la media para N = 10000, con media poblacional = 40 y
tamaño de muestra n =300
0
20
40
60
80
100
120
140
0
20
40
60
80
100
120
140
No. de realizaciones = 500
Distribución Muestral de Medias con N= 10000 y n= 300
51
• Límite para el error de estimación. Si m es la característica poblacional de interés y es un estimador (basándose en la información de la muestra) de m, debemos especificar un límite para el error de estimación; esto es, debemos especificar que tanto difieren en
valor absoluto. Simbólicamente, Bxestimacióndeerror
x
4.3 Distribución muestral de la media
52
Definición 1: Si X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, decimos que constituyen una muestra aleatoria de la población infinita dada por su distribución común.
Definición 2 Si X1, X2, ..., Xn constituyen una muestra aleatoria, entonces:
n
xx
n
ii
1
Se denomina media de la muestra y1
)(1
2
2
n
xxs
n
ii
Se conoce como la varianza de la muestra.
4.3 Distribución muestral de la media
53
Distribución de la media(población infinita)
Teorema 1 Si X1, X2, ..., Xn constituyen una muestra aleatoria de una población infinita que tiene media y la varianza 2, entonces:
nxVaryxE
2
)()(
Definición de estadísticaUn estadística es cualquier cantidad cuyo valor se pueda calcular a partir de datos muestrales.
54
Teorema del límite central
Teorema 2 Si X1, X2, ..., Xn constituyen una muestra aleatoria de una población infinita que tiene la media y la varianza 2, entonces la distribución límite de:
nx
z/
Cuando n , es la distribución normal estándar.
),(~n
Nx xx
55
Teorema del límite central
Una forma sencilla de expresar el teorema del límite central es: “la suma (o promedio) de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, sigue una distribución límite normal con media n (ó ) y varianza 2/n.
56
Ejemplo
Una maquina vendedora de refrescos está programada para que la cantidad de refresco que se sirva sea una variable aleatoria con una media de 200 mililitros y una desviación estándar de 15 mililitros. ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad de refresco promedio (media) servida en una muestra tomada al azar de 36, sea cuando menos 204 mililitros.
57
Ejemplo
Según el teorema 1, la distribución de x-barra tiene la media x = 200 y la desviación estándar x=15/36 = 2.5, de acuerdo con el teorema del límite central, esta distribución es aproximadamente normal. Como z =(204 - 200)/2.5 = 1.6, se deduce de la tabla de la distribución normal estándar que la P(x-barra 204) = P(z 1.6) = 0.0548.
58
Distribución de la media(población finita)
Si x-barra es la media de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población finita de tamaño N con media y la varianza , entonces:
1)()(
2
NnN
nxVaryxE
59
Distribuciones muestralesDistribución Ji Cuadrada
Si x tiene distribución normal estándar, entonces x2 tiene la distribución gama especial a la que nos referimos como la distribución ji cuadrada con = 1 grado de libertad. La ji cuadrada es importante en problemas de muestreo de poblaciones normales.
Una variable aleatoria x tiene una distribución ji cuadrada (2) con (nu) grados de libertad, si su densidad está dada por:
formaotracualquierde
xparaexxf
x
0
0)2/(2
1)(
2/2
2
2/
60
Teorema 3. Si s2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal cuya varianza es 2, entonces:
2
22 )1(
sn
es el valor de una variable aleatoria que tiene distribución Ji-cuadrada con parámetro = n - 1 grados de libertad
61
62
inferencia.(De inferir).1. f. Acción y efecto de inferir.
inferir.(Del lat. inferre, llevar a).2. tr. Sacar una consecuencia o deducir algo
de otra cosa. U. t. c. prnl.3. tr. Llevar consigo, ocasionar, conducir a un
resultado.4. tr. Producir o causar ofensas, agravios,
heridas, etc.
Definiciones
Continuar
63
4.4 Distribución muestral de proporciones.
Definición 3: Si X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que solo toman valores de Xi = 1 ó Xi = 0, dependiendo si poseen o no la característica de interés respectivamente, decimos que constituyen una muestra aleatoria de un experimento binomial de la población infinita dada por su distribución común.
64
Definición 4 Si X1, X2, ..., Xn constituyen una muestra aleatoria de un experimento binomial, entonces:
n
xp
n
ii
1
Se denomina proporción de la muestra y
)1( pnp es la varianza de la muestra, ya que cumple con los requisitos de un experimento binomial.
4.4 Distribución muestral de proporciones.
65
Teorema 4 Si X1, X2, ..., Xn constituyen una muestra aleatoria de una población infinita donde Xi constituye un experimento Bernoulli, tal que que P es la proporción de la población con la característica de interés, entonces se cumple que:
npppVaryPpE /)1()()(
4.4 Distribución muestral de proporciones. (para un tamaño de muestra suficientemente grande)
66
Teorema del límite central(aproximación para proporciones)
De aquí se tiene la aproximación de que si X1, X2, ..., Xn constituyen una muestra aleatoria de una población infinita que tiene la proporción P de un experimento Bernoulli, entonces la distribución límite de:
npp
Ppz
)1(
Cuando n , entonces z tiene una distribución límite normal estándar.
67
Teorema del límite central (aproximación para proporciones)
También se puede ver este resultado como dada una muestra aleatoria X1, X2, ..., Xn de variables aleatorias Bernoulli, con x = el número de éxitos observados, en n intentos igualmente probables, entonces la distribución límite de:
)1( pnp
npxz
Con p = x/n, para n , z tiene una distribución límite normal estándar.
68
Teorema del límite central (aproximación para proporciones)
Ejemplo: La proporción de familias de la ciudad de Aguascalientes, que son dueñas, no arrendatarias, de sus casas es de 0.70. Si al azar se entrevistan a 84 familias de esta ciudad y sus respectivas respuestas –a la pregunta de si son dueñas o no de su casa- se consideran valores de variables aleatorias independientes que tienen distribución de Bernoulli idénticas con el parámetro P = 0.70, ¿Con qué probabilidad podemos afirmar que el valor que se obtenga de la muestra p será menor que 0.64
69
Teorema del límite central (aproximación para proporciones)
Respuesta:P = 0.70, p = 0.64, n = 84, sustituyendo.
1456.1
84)36.0(64.0
70.064.0
)1(
npp
Ppz
%59.121259.0)1456.1( zp
70
Distribuciones muestrales de la media muestral. Guía para el uso de la distribución t, normal estándar y el Teorema del Límite Central.
* Rigurosamente esn
SX
t
, pero para n 30 podemos aproximar la distribución t por una normal estándar, por el T.L.C.
Nota: La regla n 30 es una buena aproximación en la gran mayoría de los casos, salvo cuando la población tiene una distribución muy asimétrica, o muy distinta de la forma de campana.
Estadístico:
? = Consultar a un experto en estadística
Población
Normal
No Normal
s conocid
a
s desconocida
s desconocida
s conocida
n 30
n 30
n 30
n < 30
n < 30
n < 30
n 30
n < 30
n
XZ
n
SX
t
n
XZ
n
SX
Z
n
SX
Z
n
XZ
?
?
*
T.L.C.
No importa el tamaño de la muestra.
71
5.0 Distribución Normal o Gaussiana
72
La distribución de probabilidad más importante en el campo de la probabilidad y la estadística es la distribución de probabilidad normal, que tiene función de densidad de probabilidad (f.d.p.) a
xcon
xxf
,2
exp2
1),;( 2
2
2
2
5.1 Distribución Normal o Gaussiana
73
Donde y 2 son los parámetros de la distribución.
Si una variable aleatoria (v.a.) X tiene una f.d.p. como la anterior la denotaremos como
XN(,2 )
Distribución Normal o Gaussiana
74
Distribución Normal o Gaussiana
75
Distribución Normal o Gaussiana
76
Distribución Normal o Gaussiana
77
Propiedades de la Distribución Normal
• La distribución es simétrica con respecto a • E(x)= y VAR(x)= 2 • Aunque la v.a. X puede tomar cualquier valor
entre - y +, se tiene que –Aprox. 68% de la distribución, está en el
intervalo
78
Propiedades de la Distribución Normal (continuación)
–Aprox. 95% de la dist. está en el intervalo 2
–Aprox. 99% de la dist. está en el intervalo 3
o equivalentementeP[ - < X < + ] = 0.683P[ - 2 < X < + 2 ] = 0.954P[ - 3 < X < + 3 ] = 0.997
79
Distribución Normal o Gaussiana
80
La distribución con media =0 y varianza 2 =1 se llama Distribución Normal Estándar
z
zzf - ,
2exp
2
1)(
2
Usualmente se denota la v.a. normal estándar por Z. Entonces lo denotamos como
ZN(0,1)
Distribución Normal Estándar
81
Distribución Normal Estándar
82
Para determinar áreas bajo esta curva nos basamos en la tabla que tiene tabulados la función de distribución acumulativa de Z, esto es,
P(Z z)=(z)
(z)
z
5.2. Áreas tabuladas de la distribución de probabilidad normal.
83
Usando dicha tabla determinamos probabilidades correspondientes a valores específicos de z.
1) P( Z < 1.96 ) = ( 1.96 ) = 0.975
.975
1.96
2) P( Z > 1.96 ) = 1 - P( Z < 1.96 ) = 1 - (1.96)
= 1 - .975 = 0.025
0.025
1.96
84
4) P( 1.96 < Z < 2.31 ) = (2.31) - (1.96)
= .9896 - .975 = .0146
3) P( -1.96 < Z < 2.31 ) = (2.31) - (-1.96)
= .9896 - .025 = .9643
-1.96 2.31 2.311.96
.9643
.0146
85
Por otra parte nos puede interesar determinar z cuando hemos determinado de antemano la probabilidad, por ejemplo:
1) Determine z tal que P(Z>z)=0.2483
Respuesta: Como el área total bajo la curva es uno,
P(Z<z)=1 - P(Z>z)=1-0.2483=0.7517
entonces
(z)=0.7517
El valor de z corresponde a la entrada tabular 0.7517 es
z=0.68
86
2) Obtener el valor de z > 0 de tal forma que
P(-z<Z<z)=0.90
Respuesta: Por la simetría de la distribución tenemos que
P(Z<z) = P(Z>z) = 0.05
0.90
0.05 0.05
-z=? z=?
87
De la tabla tenemos que (1.64) = 0.9495 y (1.65) = 0.9505. Entonces z está entre 1.64 y 1.65. Así que z = 1.645 .
0.90
0.05 0.05
z=1.645
88
Estandarizando una Variable Normal
Si X N(,2) para calcular la probabilidad de algunos valores de X de manera fácil, primero estandarizamos X.
Si especificamos y 2 , entonces
Z = (X - ) / N(0,1)
89
Ejemplo: Supongamos X N(50,s2=4), entonces determine P( 48 < X < 53 ).
Respuesta: Primero estandarizamos X, para obtener una variable X N(0,1) .
P[48 < X < 53] = P[ (48-50)/2<(X-)/ <(53-50)/2]
= P [ (48-50)/2 < Z < (53-50)/2 ]
= P [ -1 < Z < 1.5 ]
90
Estandarizando una Variable Normal
91
Ejemplo:
Determine las probabilidades de que una variable aleatoria que tiene la distribución normal estándar tome un valor de:
a) menor que 1.72
b) menor que -0.88
c) entre 1.30 y 1.175
d entre -0.25 y 4.45
92
Mean,Std. dev.0,1
Normal Distribution
x
dens
ity
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
5.2. Áreas tabuladas de la distribución de probabilidad normal.
93
Ejemplo:
Supóngase que durante periodos de meditación la reducción del consumo de oxigeno de una persona es una variable aleatoria que tiene distribución normal con media = 37.6 centímetros cúbicos por minuto y = 4.6 cc por minuto. Determine las probabilidades de que durante un periodo de meditación el consumo de oxígeno de una persona se reduzca en :
a) Cuando menos 44.5 cc por minutob) Cuando mucho 35.0 cc por minutoc) entre 30.0 y 40. Cc por minuto
94
5.3 Teorema del Límite CentralAlgunas veces, el este teorema se interpreta incorrectamente, como aquel que implica que la distribución de x-barra tiende a una distribución normal cuando n tiende a infinito. Esto es incorrecto porque var(x-barra) tiende cero, cuando n tiende a infinito; por otra parte, el teorema del límite central justifica la aproximación de la x-barra con una distribución normal que tiene media m y la varianza s2/n cuando n es grande. En la práctica, esta aproximación se utiliza cuando n 30 sin importar la forma de la población que se muestrea
95
5.3 Teorema del Límite Central
Para valores menores de 30, la aproximación es cuestionable, sin embargo, es interesante observar que cuando la población que se muestrea es normal, la distribución de x-barra es una distribución normal sin importar el tamaño de n.
96
Distribuciones muestrales de la media muestral. Guía para el uso de la distribución t, normal estándar y el Teorema del Límite Central.
* Rigurosamente esn
SX
t
, pero para n 30 podemos aproximar la distribución t por una normal estándar, por el T.L.C.
Nota: La regla n 30 es una buena aproximación en la gran mayoría de los casos, salvo cuando la población tiene una distribución muy asimétrica, o muy distinta de la forma de campana.
Estadístico:
? = Consultar a un experto en estadística
Población
Normal
No Normal
s conocid
a
s desconocida
s desconocida
s conocida
n 30
n 30
n 30
n < 30
n < 30
n < 30
n 30
n < 30
n
XZ
n
SX
t
n
XZ
n
SX
Z
n
SX
Z
n
XZ
?
?
*
T.L.C.
No importa el tamaño de la muestra.
97
Distribución t-Student
Si x-barra y s2 son la media y la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal con media m y la varianza s2, entonces
tiene una distribución t-student con n-1 grados de libertad.
ns
xt
/
98
Distribución t-Student
Para usar la distribución normal es necesario conocer el valor de la desviación estandar poblacional s (distribución estándar poblacional). Como es más común el desconocimiento, entonces se estima s a través de s (desviación estándar muestral) y se usa la distribución t.
n
xz
/
ns
xt
/
99
Ditribución t-StudentComparación de una ditribución normal estándar con una distribución t con 1 grado de libertad
100
Ditribución t-StudentComparación de una ditribución normal estándar con una distribución t con 1 y 3 grados de libertad.
101
Ejemplo
Suponga que usted tiene una técnica que puede modificar la edad a la cual los niños empiezan a hablar. En su localidad, el promedio de edad, en la cual un niño emite su primera palabra, es 13 meses. No conoce la desviación estandar poblacional. Usted aplica dicha técnica a una muestra de 15 niños. Los resultados son los siguientes:8, 9, 10, 15, 18, 17, 12, 11, 7, 8, 10, 11, 8, 9, 12. n = 15, x-barra = 11.0, desviación estándar s = 3.34. Si la media poblacional (verdadera) es 13 meses, ¿cuál es la probabilidad de encontrar un valor igual o menor de x-barra de 11 meses?
102
Ditribución t-StudentSe tiene que m = 13, s = 3.34, x-barra = 11 y n = 15. Sustituyendo se obtiene:
32.215/34.3
1311
/
ns
xt
103
Ditribución t-Student
104
5.4 Distribución binomial
Un experimento binomial tiene las siguientes características:
1. El experimento consiste de n ensayos idénticos
2.Cada ensayo produce uno de dos resultados posibles (éxito o fracaso)
3.La probabilidad de éxito en un sólo ensayo es p, y es constante para todos los ensayos (la probabilidad de fracaso es q = 1 - p).
105
5.4 Distribución binomial
Un experimento binomial tiene las siguientes características:
4. Los ensayos son independientes entre si.
5. El experimentador está interesado en la variable y, que representa el número de aciertos observados en los n ensayos.
106
5.4 Distribución binomial
Ejemplo de lanzar una moneda:
Para n = 1 ensayo, como se tienen dos puntos muestrales, E1 representado por A = águila
(éxito), y E2 representado por S = sol (fracaso),
con probabilidades p y q respectivamente.
Dado que y es el número de aciertos en n los posibles resultados en un ensayo son y = 1 cuando ocurre águila y y = 0 cuando es sol.
107
5.4 Distribución binomial
Ejemplo de lanzar una moneda:
Para n = 2 ensayos, las probabilidades de los puntos muestrales se calculan fácilmente debido a que cada punto es una intersección de dos eventos independientes, que son los resultados del primer y segundo ensayos. Por lo tanto la probabilidad de los eventos se calcula por la ley multiplicativa de la probabilidad, esto es:
108
5.4 Distribución binomial
Ejemplo de lanzar una moneda:
P(E1) = P(AA) = P(A)P(A) = p2 y = 2
P(E2) = P(AS) = P(A)P(S) = pq y = 1
P(E3) = P(SA) = P(S)P(A) = pq y = 1
P(E4) = P(SS) = P(S)P(S) = q2 y = 0
109
5.4 Distribución binomial
Ejemplo de lanzar una moneda:
De esta forma, las probabilidades se representan como:
y p(y )
0 p2
1 2 pq
2 q2
110
5.4 Distribución binomial
Ejemplo de lanzar una moneda:
Si la moneda es legal, entonces p = 0.50, se tiene que:
y p(y ) Si p = 0.5
0 p20.25
1 2 pq 0.50
2 q20.25
111
5.4 Distribución binomial
Ejemplo de lanzar una moneda:
La distribución de probabilidad se obtiene de la expansión de (p + q)n; que para n = 2 es:
p y p q p pq qy
( ) ( ) 2 2 2
0
2
2 1
112
Si X es una v.a. Binomial que denota el número de éxitos en “n” experimentos independientes, entonces su función distribución de probabilidad está dada como:
donde x = 0,1,2,...,n.Además Media: = np Varianza: 2 = npq
xnxxn qpCpnxbxf ),;()(
5.4 Distribución binomial
113
5.5 Distribución Normal y las poblaciones discretas
Binomial
114
Aplicaciones.La distribución de normal se emplea muchas veces como una aproximación de valores en una población discreta. En situaciones, debe tenrse especial cuidado para asegurar que las probabilidades se calculan de manera precisa.
115
Aplicaciones.
Considérese el siguiente ejemplo: Se sabe que el CI de una población está distribuido normalmente en forma aproximada con =100 y = 15. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar tenga un CI de por lo menos 125? Si se hace X = IC de una persona elegida al azar, deseamos P(X 125).
116
Aplicaciones. (cont.)
La tentación aquí es estandarizar como en los ejemplos anteriores. Sin embargo, la población del CI es discreta en realidad, ya que los CI son de valor entero, y la curva normal es una aproximación a un histograma de probabilidad discreta.
117
Aplicaciones. (cont.)
Los rectángulos del histograma están centrados como enteros, y los CI de por lo menos 125 corresponden a rectángulos que se inician en 124.5. En realidad deseamos P(X 124.5), que ahora se puede estandarizar para obtener P(Z 1.63) = 0.0516.
118
Aplicaciones. (cont.)
Si hubieramos estandarizado X 125, habríamos obtenido P(Z 1.67) = 0.0475. La diferencia no es grande, pero la respuesta 0.0516 es más precisa. Análogamente, P(X = 125) sería más apropiado por el área entre 124.5 y 125.5. Ya que el área bajo la curva normal arriba del valor único de 125 es cero.
119
Aplicaciones. (cont.)
La corrección para la discretización de la distribución subyacente se llama con frecuencia corrección de continuidad. Es útil en la siguiente aplicación de la distribución normal
120
Aproximación normal a la distribución binomialRecordemos que el valor medio y la desviación estándar de una variable aleatoria X binomial son x = np x = (npq), respectivamente. El siguiente histograma muestra una distribución binomial con n = 20, p = 0.6 [así que = 12, = [20(0.6)(0.4)]1/2 = 2.19.
121
Aproximación normal a la binomialUna curva normal con valor medio y desviación estándar igual a los valores correspondientes para la distribución binomial se ha sobrepuesto en el histograma de probabilidad. Aun cuando el histograma esta un poco sesgado (porque p 0.5), la curva normal da una buena aproximación, en especial en la parte media de la figura.
122
Aproximación normal a la binomial
123
Aproximación normal a la distribución binomial
El área de cualquier rectángulo (probabilidad de cualquier valor de X particular), excepto los de las colas de los extremos, se puede aproximar con presición mediante el área de la curva normal correspondiente. Por ejemplo, P(X = 10) = b(X=10; n =20, p = 0.6) = 0.117, mientras que el área bajo la curva normal entre 9.5 y 10.5 es P(-1.14 < Z < -0.68) = 0.1212.
124
Aproximación normal a la distribución binomial
Más generalmente, mientras el histograma de probabilidad binomial no esté demasiado sesgado, las probabilidades binomiales se pueden aproximar bien por áres de curva normal. Se dice entonces que X tiene aproximadamente una distribución normal.
125
PROPOSICION.
Sea X una V.A. Binomial basada en n intentos con probabilidad de éxito p. Entonces, si el histograma de probabilidad binomial no está demasiado sesgado, X tiene aproximadamente una distribución normal con = np = (npq).
126
PROPOSICION.
En particular, para x = un valor posible de X, P(X x) = B(x;n,p) (área bajo la curva normal a la izquierda de x + 0.5)
En la práctica la aproximación es adecuada si np 5 y nq 5
npq
npx 5.0
127
5.6 Papel De Probabilidad Normal
La gráfica de papel de Probabilidad Normal, o simplemente gráfica de probabilidad normal, es un procedimiento útil para verificar si un conjunto de datos puede ser adecuadamente modelado por una distribución normal (Bondad de Ajuste). Este procedimiento consiste en construir una gráfica en el plano cartesiano, en donde, en el eje horizontal se grafican los datos y en el eje vertical la probabilidad empírica (acumulada) de los datos sobre una escala de probabilidad normal.
128
Es decir, es una gráfica que representa la distribución normal acumulada de los datos sobre una escala de probabilidad normal. Para construir la gráfica de probabilidad normal, deben disponerse los datos en orden ascendente y dibujar el k-ésimo de estos datos ordenados contra su punto de probabilidad acumulada Pk = (k - 1/2)/N sobre papel de probabilidad normal. Si la distribución de los datos es normal, esta gráfica deberá parecer una línea recta.
Papel De Probabilidad Normal
129
X X X X X-2.8 -3.4 -3.6 -2.6 -3.8-2.8 1.6 0.4 3.4 -0.85.2 -3.4 0.4 0.4 0.21.2 2.6 1.4 -2.6 4.2
-0.8 2.6 1.4 1.4 0.2
Ejemplo
Papel De Probabilidad Normal
130
EjemploOrden
K Xi
Pk = (k - 1/2)/25 Orden K Xi
Pk = (k - 1/2)/25
1 -3.8 0.02 14 0.4 0.542 -3.6 0.06 15 0.4 0.583 -3.4 0.10 16 1.2 0.624 -3.4 0.14 17 1.4 0.665 -2.8 0.18 18 1.4 0.706 -2.8 0.22 19 1.4 0.747 -2.6 0.26 20 1.6 0.788 -2.6 0.30 21 2.6 0.829 -0.8 0.34 22 2.6 0.86
10 -0.8 0.38 23 3.4 0.9011 0.2 0.42 24 4.2 0.9412 0.2 0.46 25 5.2 0.9813 0.4 0.50
Papel De Probabilidad Normal
131
Ejemplo
Papel De Probabilidad Normal
132
6543210-1-2-3-4
2
1
0
-1
-2
Nor
mal
Sco
re
Residual
Normal Probability Plot of the Residuals(response is respuest)
Papel De Probabilidad Normal
133
-
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8
densidad Acumulada
Distribución NormalMedia 4, Desviación Estandar 1.5
134
-
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8
densidad Acumulada
Distribución NormalMedia 4, varianza 1.5
135
Distribución NormalMedia 4, varianza 1.5
Acumulada
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Acumulada
136
Distribución NormalMedia 4, varianza 1.5
Acumulada
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Acumulada
137
EjemploOrden
K Xi
Pk = (k - 1/2)/25 Orden K Xi
Pk = (k - 1/2)/25
1 -3.8 0.02 14 0.4 0.542 -3.6 0.06 15 0.4 0.583 -3.4 0.10 16 1.2 0.624 -3.4 0.14 17 1.4 0.665 -2.8 0.18 18 1.4 0.706 -2.8 0.22 19 1.4 0.747 -2.6 0.26 20 1.6 0.788 -2.6 0.30 21 2.6 0.829 -0.8 0.34 22 2.6 0.86
10 -0.8 0.38 23 3.4 0.9011 0.2 0.42 24 4.2 0.9412 0.2 0.46 25 5.2 0.9813 0.4 0.50
Papel De Probabilidad Normal
138
A Pk = (k - 1/2)/N se le conoce como función empírica de distribución. Es muy utilizada en estimaciones no paramétricas, así como en estimaciones de datos de tiempos de vida y datos de confiabilidad.
NOTA: Así como se tiene papel de probabilidad normal, también existe otros tipos de gráficos de probabilidad para otras distribuciones.
Papel De Probabilidad Normal
139
Papel De Probabilidad Normal
Pk = (k - 1/2)/25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
140
Papel De Probabilidad Normal
Pk = (k - 1/2)/25
-6.0000
-4.0000
-2.0000
0.0000
2.0000
4.0000
6.0000
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
141
• Ejercicio de Papel de probabilidad Normal.
Se prueba la duración de un componente electrónico bajo condiciones de temperatura alta para acelerar el mecanismo de falla. A continuación se proporciona el tiempo de falla (en horas) de 20 componentes seleccionados al azar. Haga una gráfica de los datos sobre papel de probabilidad normal. ¿El tiempo de falla parece tener una distribución normal?
Papel De Probabilidad Normal
142
• Tiempos de falla
Papel De Probabilidad Normal
176.1 76.6 150.4 197.635.3 24.7 55.0 73.0
124.5 155.7 34.9 122.890.6 2.4 46.0 133.899.6 131.5 40.4 40.4
143
Papel De Probabilidad Normal
j Xj (j-0.5)/20 j Xj (j-0.5)/201 2.4 11 90.6 52.50%2 24.7 12 99.6 57.50%3 34.9 13 122.8 62.50%4 35.3 17.50% 14 124.5 67.50%5 40.4 22.50% 15 131.5 72.50%6 40.4 27.50% 16 133.8 77.50%7 46 32.50% 17 150.4 82.50%8 55 37.50% 18 155.7 87.50%9 73 42.50% 19 176.1 92.50%
10 76.6 47.50% 20 197.6
144
Papel De Probabilidad Normal
j Xj (j-0.5)/20 j Xj (j-0.5)/201 2.4 2.5% 11 90.6 52.5%2 24.7 7.5% 12 99.6 57.5%3 34.9 12.5% 13 122.8 62.5%4 35.3 17.5% 14 124.5 67.5%5 40.4 22.5% 15 131.5 72.5%6 40.4 27.5% 16 133.8 77.5%7 46 32.5% 17 150.4 82.5%8 55 37.5% 18 155.7 87.5%9 73 42.5% 19 176.1 92.5%
10 76.6 47.5% 20 197.6 97.5%
145
1460 30 60 90 120 150 180 210
j Xj (j-0.5)/20 j Xj (j-0.5)/201 2.4 2.5% 11 90.6 52.5%2 24.7 7.5% 12 99.6 57.5%3 34.9 12.5% 13 122.8 62.5%4 35.3 17.5% 14 124.5 67.5%5 40.4 22.5% 15 131.5 72.5%6 40.4 27.5% 16 133.8 77.5%7 46 32.5% 17 150.4 82.5%8 55 37.5% 18 155.7 87.5%9 73 42.5% 19 176.1 92.5%
10 76.6 47.5% 20 197.6 97.5%
147
Normal Probability Plot
0 40 80 120 160 200
Tiempos
0.1
1
5
20
50
80
95
99
99.9
perc
enta
gePapel De Probabilidad Normal
148
Normal Probability Plot
0 40 80 120 160 200
Tiempos
0.1
1
5
20
50
80
95
99
99.9
perc
enta
ge
149
6. Distribución Ji Cuadrada
Modulo I
Especialidad en Métodos Estadísticos
CIMAT – Unidad Aguascalientes
150
6.1 Importancia De La Distribución Ji Cuadrada
Hemos visto que el estimar (conocer) la varianza s2 resulta fundamental para procedimientos de distribución muestral de la media, así como para procedimientos de inferencia estadística, como se vera más adelante en la especialidad. Existen muchas aplicaciones prácticas en donde s2 es el objetivo primario de la investigación experimental. (Precisión en el llenado de bolsas). En estos casos s2 adquiere una mayor importancia que la media de la población.
151
Distribución Ji Cuadrada
Las partes producidas por un proceso de manufactura deben ser producidas con un mínimo de variabilidad para reducir el número de productos fuera del rango aceptable (defectuosos). En general se desea mantener una varianza mínima en las características de calidad de un producto industrial para alcanzar el control del proceso y minimizar el porcentaje de productos de baja calidad.
152
Distribución Ji Cuadrada
La varianza muestral
Es un estimador insesgado de la varianza de la población s2. La distribución muestral de s2, generada mediante muestras repetidas, es una distribución de probabilidad que empieza en s2 = 0 (ya que no puede ser negativa) con media igual a s2. La distribución no es simétrica.
1
)(1
2
2
n
xxs
n
ii
153
Distribución Ji Cuadrada
La forma de la distribución depende del número de datos, así como de la forma de la distribución de origen. Si la población de origen de las muestras es normal, entonces la distribución estandarizada que se obtiene es la Ji- cuadrada, calculada como en la siguiente expresión:
2
22 )1(
sn
154
Distribución Ji Cuadrada(Relación con la distribución normal)
Si X tiene distribución normal estándar, entonces X2 tiene la distribución gama especial a la que nos referimos como la distribución ji cuadrada con = 1 grado de libertad. La Ji cuadrada es importante en problemas de muestreo de poblaciones normales.
155
Distribución Ji Cuadrada
Una variable aleatoria x tiene una distribución ji cuadrada (2) con (nu) grados de libertad, si su densidad está dada por:
formaotracualquierde
xparaexxf
x
0
0)2/(2
1)(
2/2
2
2/
156
Distribución Ji Cuadrada
Función gama = ?
para > 0a
casos importantes:
para k entero.
0
1)( dyey y
)2/1(
)!1()( kk
157
Teorema 3. Si s2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal cuya varianza es 2, entonces:
2
22 )1(
sn
es el valor de una variable aleatoria que tiene distribución Ji-cuadrada con parámetro = n - 1 grados de libertad
Distribución Ji Cuadrada(6.3 Estimación de Varianzas)
158
Distribución Ji Cuadrada
• Ejemplo 8.2 libro Estadística Matemática (Freund & Walpole).
• Supóngase que el espesor de una parte utilizada en un semiconductor es la dimensión crítica y que el proceso de manufactura de estas partes se considera bajo control si la variación real o verdadera, entre los espesores de las partes, está dada por una desviación estándar no mayor que = 0,0006 pulgadas.
159
Distribución Ji Cuadrada
• Para mantener controlado el proceso se toman muestras aleatorias de tamaño n = 20 en forma periódica y se considera fuera de control” si la probabilidad es 0.01 o menor, de que S2 tome un valor mayor que o igual al valor al de la muestra observada. ¿Qué se puede concluir acerca del proceso si la desviación estándar de esta muestra aleatoria periódica es s = 0.84 milésimas de pulgada?
160
Distribución Ji Cuadrada
P(S2 > 0.842 | que = 0.60) 0.01
Solución:
El proceso se declara “fuera de control” si con n = 20 y = 0.60 excede .
191.36219,01.
161
Distribución Ji Cuadrada
Como
es mayor que 36.191, el proceso se declara fuera de control.
24.37)60.0(
)84.0)(120()1(2
2
2
22
sn
0074.0)24.37()84.0( 222 PSP
162
6.2 Uso de Chi-Cuadrada en pruebas de Bondad de Ajuste
163
Uso De Ji-cuadrada
• Prueba de Bondad de Ajuste: Es una
prueba que se aplica a situaciones en las
cuales se desea determinar si un conjunto de
datos tomados al azar puede considerarse
como una muestra de una población con
cierta distribución dada.
164
Uso de Ji-cuadrada• Procedimiento: El procedimiento consiste en
comparar una muestra aleatoria, con una distribución propuesta teórica. Se requiere de una muestra aleatoria de tamaño n proveniente de la población cuya distribución de probabilidad es desconocida. Estas observaciones se acomodan en un histograma de frecuencia, el cual tienen k intervalos de clase.
165
Uso de Ji-cuadrada
• Procedimiento: Sea Oi la frecuencia
observada en el i-ésimo intervalo de clase. Por
otro lado, de la distribución de probabilidad
propuesta se calcula la frecuencia esperada en
el i-ésimo intervalo de clase, la cual se denota
por Ei. Entonces el estadístico de prueba es:
166
Uso de Ji-cuadrada
k
i i
ii
E
EO
1
220
)(
c2 tiene una distribución aproximada Ji-cuadrada con k-p-1 grados de libertad, donde p representa el número de parámetros de la distribución propuesta estimada por los estadísticos muestrales k el número de intervalos.
167
Uso de Ji-cuadrada
Esta aproximación mejora a medida que n aumenta. Debe rechazarse la hipótesis de que la distribución de la población es la distribución propuesta, si el valor calculado del estadístico de prueba es
Pruebas de hipótesis.....
21,
20 pk
168
Uso de Ji-cuadradaDistribución especificada de manera completa
Ejemplo: un científico desarrolla un algoritmo para generar enteros seudoaleatorios en el intervalo 0 a 9. El científico codifica el algoritmo y genera 1000 dígitos seudoaleatorios. La siguiente tabla contiene los datos como frecuencias observadas. ¿Existe evidencia de que el generador de números aleatorios funciona de manera correcta?. Utilice un a = 0.05
169
Datos:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 nFrecuencias observadas Oi 94 93 112 101 104 95 100 99 108 94 1000Frecuencias esperadas Ei 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1000
Uso de Ji-cuadradaDistribución especificada de manera completa
170
Uso de Ji-cuadradaDistribución especificada de manera completa
Si el generador de números aleatorios trabaja correctamente, entonces los valores 0-9 deben tener una distribución uniforme discreta, lo que implica que cada uno de los enteros debe presentarse exactamente 100 veces. Por tanto las frecuencias esperadas son Ei = 100 para cada i = 0,1, . . ., 9.
171
Uso de Ji-cuadradaDistribución especificada de manera completa
Estas frecuencias esperadas también aparecieron en la tabla anterior. Puesto que las frecuencias esperadas pueden calcularse sin estimar ningún parámetro a partir de los datos muestrales, el estadístico de prueba Ji-cuadrada de bondad de ajuste tendrá k - p - 1 = 9 grados de libertad.
172
Uso de Ji-cuadradaDistribución especificada de manera completa
Aplicamos el procedimiento siguiendo los siguientes pasos:
1. La variable de interés es de la forma de la distribución de los enteros seudoaleatorios sobre el intervalos 0 a 9.
2. Ho: La distribución es uniforme discreta.
3. Ha: La forma de la distribución no es uniforme discreta.
4. a = 0.05
173
Uso de Ji-cuadradaDistribución especificada de manera completa
5. El estadístico de prueba es:
6. Rechazar Ho si:
k
i i
ii
E
EO
1
220
)(
92.1629,05.0
20
174
Uso de Ji-cuadradaDistribución especificada de manera completa
7. Calcular estadístico de prueba en base a valores esperados y observados.
8. Concluir: Puesto que
no es posible rechazar la hipótesis Ho. Por consiguiente parece ser que el generador de números aleatorios trabaja de forma consistente.
72.3100
)10094(...
100)10093(
100)10094()( 222
1
2
k
i i
ii
EEO
92.1672.3 29,05.0
20
175
6.3 Empleo de Chi-Cuadrada en pruebas de Bondad de Ajuste de
Normalidad
176
Uso de Ji-cuadradaDistribución continua
Ejemplo: un ingeniero del departamento de manufactura prueba una fuente de alimentación utilizada en una computadora portatil. Con un a = 0.05, desea determinar si el voltaje de salida está descrito de manera adecuada por una distribución normal. A partir de una muestra aleatoria de n = 100 unidades, obtiene las estimaciones muestrales de la media y la desviación estándar voltssyvoltsx 08.004.5
177
Uso de Ji-cuadradaDistribución continua
Una practica común en la construcción de intervalos de clase para la distribución de frecuencia empleada en la prueba ji-cuadrada de bondad de ajuste, es seleccionar los límites de las clases de modo que las frecuencias esperadas Ei = npi sean iguales para todas las celdas. Para utilizar este método, se desea escoger las fronteras de las celdas a0, a1, ..., ak para las k clases, de modo que las probabilidades pi sean iguales. Donde
i
i
a
a
iii dxxfaXaPp1
)()( 1
178
Uso de Ji-cuadradaDistribución continua
Supóngase que se desea utilizar k = 8 celdas. Para la distribución normal estándar, los intervalos que dividen la escala en ocho segmentos igualmente probables son [0, 0.32), [0.32, 0.675), [0.675, 1.15) y [1.15, ) junto con sus cuatro imágenes que están del otro lado del cero. Para cada intervalo pi = 1/8 = 0.125, de modo que las frecuencias esperadas de las celdas son Ei = npi = 100 (0.125) = 12.5. La tabla completa de frecuencias observadas y esperadas es la siguiente .
179
Uso de Ji-cuadradaDistribución continua
Intervalo de Clase
Frecuencia
observada Oi
Frecuencia
esperada Ei
X < 4.948 12 12.5
4.948 <= X < 4.986 14 12.5
4.986 <= X < 5.014 12 12.5
5.014 <= X < 5.04 13 12.5
5.04 <= X < 5.066 12 12.5
5.066 <= X < 5.094 11 12.5
5.094 <= X < 5.132 12 12.5
5.132 <= X 14 12.5
180
Uso de Ji-cuadradaDistribución continua
1. La variable de interés es la distribución del voltaje de la fuente de alimentación.
2. H0: La forma de la distribución es normal
3. H1: La forma de la distribución no es normal4. a = 0.055. El estadístico de prueba es
6. Como se han estimado los parámetros de la distribución, el estadístico de prueba tiene k - p - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 grados de libertad.
k
i i
ii
E
EO
1
220
)(
181
Uso de Ji-cuadradaDistribución continua
7. Cálculos
8. Conclusiones: Como
no se rechaza H0, por lo que no hay evidencia fuerte que indique que el voltaje de salida no esté distribuido de manera normal. El valor P para el estadístico ji-cuadrada es P = 0.9861
64.05.12
)5.1214(...
5.12)5.1214(
5.12)5.1212()( 222
1
2
k
i i
ii
EEO
07.1164.0 25,05.0
20
64.020
182
6.4 Empleo De Chi-cuadrada En Tablas De Contingencia.
183
Uso de Ji-cuadrada
Otra aplicación de la distribución Ji-cuadrada es en tablas de contingencia. Una tabla de contingencia es una tabla de frecuencias en dos direcciones.
La tabla de contingencia más simple está compuesta por dos columnas y dos renglones; se denomina tabla de 2 x 2.
184
6.5 Uso de Ji-cuadradaUso en tablas de contingencia 2 x 2
El siguiente ejemplo contiene los datos de una muestra de 917 delincuentes hombres, sentenciados en el Distrito Federal; considerando las variables estado civil (soltero y casado) y el tipo de delito cometido (contra las personas o contra la propiedad)
185
Uso de Ji-cuadradaUso en tablas de contingencia 2 x 2
Delincuentes sentenciados en el D.F. por tipo de delito y Edo civil
Estad civilDelitos contra la
propiedadContra las Personas Suma
Soltero 213 267 480Casado 137 300 437Suma 350 567 917
Lo que se quiere determinar es la existencia o no de asociación entre el estado civil y el tipo de delito.
186
Uso de Ji-cuadradaUso en tablas de contingencia 2 x 2
Para esta determinación se calculan las frecuencias que deberían esperarse de no existir ninguna relación entre las dos variables, esto es, en caso de que fueran independientes. Este cálculo lo hacemos con el siguiente razonamiento: Debería de haber igual proporción de solteros en las dos muestras, esto es, entre los delincuentes contra la propiedad y contra las personas.
187
Uso de Ji-cuadradaUso en tablas de contingencia 2 x 2
La proporción de solteros en las dos muestras es de 480/917 = 0.523; igual proporción debería existir entre las dos muestras que calculamos multiplicando 567 x 0.523 = 296.54 solteros en delitos contra las personas. Y 350 x 0.523 = 182.3 solteros en delitos contra la propiedad.
188
Uso de Ji-cuadradaUso en tablas de contingencia 2 x 2
OBSERVADOS
Estad civilDelitos contra la
propiedadContra las Personas Suma
Soltero 213 267 480Casado 137 300 437Suma 350 567 917
ESPERADOS
Estad civilDelitos contra la
propiedadContra las Personas Suma
Soltero 183.2 296.8 480Casado 166.8 270.2 437Suma 350 567 917
189
Uso de Ji-cuadradaUso en tablas de contingencia 2 x 2
Pasos a seguir:
1) Se desea probar si existe una asociación entre el estado civil y el tipo de delito cometido (Ho: No existe asociación).
2) Se calcula la Estadística de prueba
k
i i
ii
E
EO
1
220
)(
190
Uso de Ji-cuadradaUso en tablas de contingencia 2 x 2
Pasos a seguir:
3) Se compara con la Ji-cuadrada de tablas de un grado de libertad n = (r-1) (c-1) = 1. Donde r = número de renglones y c = número de columnas.
4) Si si c2 calculada > c2,a n entonces se rechaza
Ho y se concluye que si existe asociación, de lo contrario se concluye que no se tiene evidencia de asociación.
191
Uso de Ji-cuadradaUso en tablas de contingencia 2 x 2
En este ejemplo:
1) Ho: No existe asociación entre Edo. Civil y Tipo de Delito.
2) Se calcula la Estadística de prueba
k
i i
ii
EEO
1
220
)(
44.162.270
)2.270300(8.166
)8.166137(8.296
)8.296267(2.183
)2.183213( 2222
192
Uso de Ji-cuadradaUso en tablas de contingencia 2 x 2
En este ejemplo:
3) Se compara contra c0.01,1 = 6.63.
4) Como 16.44 es mayor que 6.63, se rechaza Ho y se concluye que si existe una asociación entre el estado civil del delincuente y el tipo de delito que comete.
193
Uso de Ji-cuadradaUso en tablas de contingencia 2 x 2
194
6.6 Restricciones en el uso de Ji-cuadradaDebe tenerse especial cuidado de emplear c2 de manera apropiada, ya que existen algunas restricciones en su empleo. Algunas de las restricciones se deben a que la formula empleada constituye una aproximación.
Restricciones:
1) Sólo deben emplearse datos expresados en sus frecuencias absolutas (No deben emplearse porcentajes o puntajes de escalas)
2) Los valores observados o esperados por celda, no deben ser inferior a 5
195
Uso de Ji-cuadradaRestricciones en el uso de Ji-cuadrada
3) La suma de las frecuencias esperadas debe ser igual a la suma de los frecuencias observadas.
4) Las unidades deben ser excluyentes, es decir sólo pueden asignarse en una sola casilla.
196
6.7 Teorema de Chebyshev
197
Áreas bajo la distribución Normal a más menos k desviaciones estándar
198
Áreas bajo la distribución Normal a más menos k desviaciones estándar estándar
199
Teorema de Chebyshev
Si m y s son, respectivamente, la media y la desviación estándar de la variable aleatoria X, entonces para una constante positiva k cualquiera la probabilidad es cuando menos 1 - 1/k2 de que X tomará un valor contenido en k desviaciones estándar de la media; en forma simbólica se tiene,
2
11)|(|
kkXP
200
Teorema de Chebyshev
2
11)|(|
kkXP
m - ks
m + ks m
menosal2
11
k
201
Teorema de Chebyshev
Por ejemplo, 3/4 es la probabilidad por lo menos, de que X tomará un valor contenido en dos desviaciones estándar; 8/9 es la probabilidad es cuando menos, de que X tomará un valor contenido en tres desviaciones estándar y 24/25 es por lo menos la probabilidad, de que X tomará un valor contenido en cinco desviaciones estándar de la media. En este sentido la s controla la diseminación o dispersión de la distribución de una variable aleatoria.
202
Teorema de Chebyshev
La probabilidad del teorema de Chebyshev es, claramente sólo un límite inferior; si la probabilidad de que una variable aleatoria dada tome un valor contenido en k desviaciones estándar de la media es mayor que 1 - 1/k2, esta bien, pero esta es solo una cota inferior. Sólo cuando se conoce la distribución de una variable aleatoria puede determinarse exactamente la probabilidad
203
Áreas bajo la distribución Normal a más menos k desviaciones estándar estándar
3/4 =75%
8/9=89%
15/16=93.7%
0%
1-1/k porcentaje del áreas debajo de la distribución F a k desviaciones estándares
204
Distribuciones muestrales de la media muestral. Guía para el uso de la distribución t, normal estándar y el Teorema del Límite Central.
* Rigurosamente esn
SX
t
, pero para n 30 podemos aproximar la distribución t por una normal estándar, por el T.L.C.
Nota: La regla n 30 es una buena aproximación en la gran mayoría de los casos, salvo cuando la población tiene una distribución muy asimétrica, o muy distinta de la forma de campana.
Estadístico:
? = Consultar a un experto en estadística
Población
Normal
No Normal
s conocid
a
s desconocida
s desconocida
s conocida
n 30
n 30
n 30
n < 30
n < 30
n < 30
n 30
n < 30
n
XZ
n
SX
t
n
XZ
n
SX
Z
n
SX
Z
n
XZ
?
?
*
T.L.C.
No importa el tamaño de la muestra.