![Page 1: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Primitives - Primitives - IntégrationIntégration
![Page 2: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/2.jpg)
2
La notion de PrimitiveLa notion de Primitive
Définition :
F(x) est une primitive de f (x) si F ’(x) = f (x)
Donc F(x) + Cste est aussi une primitive.
Dériver
Intégrerf
(x)f ’ (x)
Notation :
L’ensemble des primitives de f est noté
( )f x dx
![Page 3: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/3.jpg)
3
La notion de PrimitiveLa notion de Primitive
x2
ln (x)
exp (x)
2x
1 / x
exp (x)
Dériver
Intégrerf
(x)f ’ (x)
Formulaire dans MathSV et dans le fascicule Jaune
![Page 4: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Un premier Un premier exempleexemple
En médecineEn médecine
Quantité de médicament dans le Quantité de médicament dans le sang au temps sang au temps tt, après une injection , après une injection
par voie intraveineuse par voie intraveineuse
![Page 5: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Un modèle exponentielUn modèle exponentiel
0.13 tf t e
![Page 6: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Questions :Questions :
QMS = Quantité de médicament dans le QMS = Quantité de médicament dans le sang (h.mg/l)sang (h.mg/l)
Q1Q1 : QMS dans les 10 heures qui suivent : QMS dans les 10 heures qui suivent l’injection ?l’injection ?
Q2Q2 : QMS : QMS moyennemoyenne par heure pendant les par heure pendant les 10 heures qui suivent l’injection ?10 heures qui suivent l’injection ?
![Page 7: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/7.jpg)
7
10
0
f t dt
Q1 :Q1 : QMS sur les 10 premières QMS sur les 10 premières heuresheures
![Page 8: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Q2 :Q2 : QMS QMS moyennemoyenne par heure par heure
10
0
1
10 f t dt
![Page 9: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/9.jpg)
9
La notion d’intégraleLa notion d’intégrale
« La somme de a à b de est égale à la
différence entre la primitive de f au point b et la
primitive de f au point a »
f x dx
b
b
aa
F b F a f x dx F x
![Page 10: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Interprétation géométriqueInterprétation géométrique
ff est définie sur [a ; est définie sur [a ; b]b]
ff admet une admet une primitiveprimitive
a b
A
![Page 11: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Interprétation géométriqueInterprétation géométrique
n petits intervallesn petits intervalles xx = = xxii – – xxi+1i+1
xx = ( = (b – ab – a) /) / n n
f (xi) x
f (xi+1) x
![Page 12: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Interprétation géométriqueInterprétation géométrique
+-A <A<A
b
a
f x dxA
C’est une notation
![Page 13: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/13.jpg)
13
PropriétésPropriétés
a b
b a
f x dx f x dx 0a
a
f x dx
0 0b
a
f x f x dx
b b
a a
f x g x f x dx g x dx
Relation de CHASLES : b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
ATTENTION au signe
![Page 14: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/14.jpg)
14
ExempleExemple
10 10
0 0
5
5
f t dt f t dt f t dt
1
2
![Page 15: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Valeur moyenneValeur moyenne
1 b
a
f x dxb a
![Page 16: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/16.jpg)
16
0
paire 2a a
a
f f x dx f x dx
impaire 0a
a
f f x dx
Autres propriétésAutres propriétés
![Page 17: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Aire d’un domaineAire d’un domaine 2 2, / 0 1 et D x y x x y x
![Page 18: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Méthodes de Méthodes de calculcalcul
Décomposition en sommeDécomposition en somme
Changement de variablesChangement de variables
Décomposition en éléments Décomposition en éléments simples Intégration par partiesimples Intégration par partie
![Page 19: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Décomposition en sommeDécomposition en somme
b b b
a a a
f g x dx f x dx g x dx
b b b
a a a
f g x dx f x dx g x dx
Changement de variablesChangement de variables
b b
a a
f x dx f t t dt
![Page 20: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Intégration par partieIntégration par partie
![Page 21: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Un autre exempleUn autre exemple
La population du BotswanaLa population du Botswana
![Page 22: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Un exemple en Un exemple en DémographieDémographie
0.02910.7835 tP t e
24 ans
0
0.4
0.0128 millions d'hab. / an
a t dt
a
![Page 23: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Un dernier Un dernier exempleexemple
La probabilité de rencontre La probabilité de rencontre entre deux individus d’une entre deux individus d’une
même espècemême espèce
![Page 24: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Probabilité de se rencontrer Probabilité de se rencontrer au temps au temps tt
1
12
tf t t e
![Page 25: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Probabilité de se rencontrer Probabilité de se rencontrer entre entre tt11 et et tt22
t1
t2
2
1
t
t
p f t dt
![Page 26: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/26.jpg)
26
0
?f t dt
![Page 27: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/27.jpg)
27
0
1f t dt
![Page 28: 1 Primitives - Intégration. 2 La notion de Primitive Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F (x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012905/551d9d8f497959293b8c474b/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Prochain RDVProchain RDVLundi 27/09 à 16hLundi 27/09 à 16h
Les équations différentiellesLes équations différentielles
TD du lundi : Problèmes A-2, A-4, A-TD du lundi : Problèmes A-2, A-4, A-5, B-35, B-3
TD du vendredi : Série 2 + TD du vendredi : Série 2 + EVALEVAL