Download - 1. TEOREMA DE PITAGORAS
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“Formando líderes para la construcción de un nuevo país en paz”
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1. TEOREMA DE PITAGORAS
En esta página resolvemos problemas aplicando el Teorema de Pitágoras. Este teorema establece
que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la
hipotenusa:
Recordad que un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos interiores es recto (90 grados) y que la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.
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2. USO DE PROCESOS METRICOS ENLA SOLUCION DE PROBLEMAS
INTRODUCCION
El Rey de la Selva
En las siguientes imágenes se observa al rey león y a su amigo el mono analizando unos planos sobre la
selva, ellos intentan determinar sus medidas. Observa la imagen y responde las preguntas.
¿Cómo podemos llamar a todo el territorio?
_____________________________________________________________________________________
¿Será posible determinar la medida de la superficie?
_____________________________________________________________________________________
¿Por qué? Discute con tu docente que estrategia podría utilizar el león para hallar la medida de la
superficie.
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PERIMETRO, AREA O SUPERFICIE
PERIMETRO. La suma de todos los lados de una figura se le llama perímetro y nos permite conocer cuánto
mide su contorno.
Ejemplo:
El señor Jiménez tiene un terreno con la forma que se muestra en el siguiente plano, y va a rodearlo con
una malla para que no se lo invadan. ¿Cuánto tendrá que comprar de malla?
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EJERCICIOS:
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AREA O SUPERFICIE
La señora Balvina quiere pintar el techo de su sala comedor, para lo que va a la tienda de pintura y pide
que le vendan pintura vinílica. El encargado le pregunta que cuánta pintura necesita, a lo que la señora
Balvina dice que no sabe. Por lo que el encargado le explica que a dos manos, un litro le alcanza para diez
metros cuadrados, que cuántos metros cuadrados va a pintar. Como tampoco supo, el encargado le pidió
que tomara las medidas del techo y se las llevara para que le ayudara.
La señora Balvina hizo un croquis como este:
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El encargado de la tienda le explica que el área es la superficie que se encuentra dentro de una figura y
que su sala comedor es un rectángulo de 4.5 m de largo por 4.0 m de ancho.
En el
caso
de un
rectángulo, el área es la multiplicación del largo por el ancho. A = L1 (largo) x L2 (ancho) A = 4.5 m x 4 m =
18 m2 Como está multiplicando metros de un lado por metros del otro, entonces tendrá metros
cuadrados, lo cual se indica con un 2 pequeño sobre la m.
m x m = m2 Esto quiere decir que el área
de su sala comedor es de: 18 m2
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Entonces, con un bote de dos litros le alcanza para pintarlo; porque si dividimos 18 m2 entre los 10 m2
que rinde un litro, se obtiene que con 2 litros de pintura le alcanza:
18/10 = 1.8 Conviene comprar dos litros, porque no siempre venden fracciones de litro.
Como se vio en el problema de la pintura de la señora Balvina, en las actividades cotidianas, se utilizarán
diferentes tipos de figuras de las que constantemente se necesita calcular su área; por ello, se han
deducido fórmulas para calcular el área de estas figuras.
A continuación, se presentan algunas de las más comunes.
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La fórmula del triángulo se obtiene al partir un cuadrado a la mitad, porque: un cuadrado dividido en dos
da dos triángulos.
Algunos ejemplos:
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Ejercitación
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SISTEMA DE MEDIDAS
Convirtiendo Unidades de Medida
Para realizar conversiones, podemos observar varias unidades de longitud. Dentro de estas tenemos:
Kilómetro, Decámetro, Hectómetro, metro, decímetro, centímetro y milímetro.
Cuando tenemos estas unidades, podemos realizar cambios en las longitudes que tenemos de manera
inicial, por ejemplo, si queremos hallar la distancia en metros de 2,5 Km, ubicamos en la tabla cada número
hasta llegar a la unidad que queremos. Como no hay número después de la coma, entonces tendremos
que esto equivale a 2500 m.
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Tenemos entonces que: 2,5 Km equivalen a 2500 m. ¿recordaste cómo realizar una conversión de unidades
de longitud?
¿Y qué tal si hallamos la medida de 3500 mm a Dm? Observa y discute con tu docente:
De acuerdo a lo anterior, resuelve la siguiente actividad de conversión de unidades.
1. ¿Qué procedimiento puedes utilizar para la conversión de unidades?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
2. Utilizando la tabla de conversión de unidades transforma:
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En las unidades para medir el área también existen múltiplos, submúltiplos y medidas en el sistema inglés.
Para hacer las conversiones de las unidades de área existen tablas de equivalencias, con las que, utilizando
la regla de tres, fácilmente se convierten a diferentes unidades. Observe la siguiente tabla y su uso.
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VOLUMEN
1. ¿Qué es el volumen?
Se puede definir como la extensión de un objeto en sus tres dimensiones, es decir, tomando en cuenta su longitud, ancho y altura. Todos los cuerpos físicos ocupan un espacio que varía según sus proporciones, y la medida de dicho espacio es el volumen.
Para calcular el volumen de un objeto bastará con multiplicar su longitud por su ancho y por su altura, o en el caso de sólidos geométricos, aplicar determinadas fórmulas a partir del área y la altura u otras variables parecidas. Por ejemplo:
• Volumen de un paralelepípedo. v = l x b x h, donde l es longitud, b es ancho y h es altura.
• Volumen de un cubo. v = a3, donde a es el lado del cubo, o a x a x a.
• Volumen de una esfera. v = 4/3 x π x r3, donde r es el radio.
• Volumen de un cilindro. v = π x r2 x h, donde h es la altura del cilindro y π x r2 es la superficie de la base circular.
¿Cómo se mide el volumen?
En un ámbito culinario el volumen puede medirse en taza, cucharada y cucharadita.
La unidad establecida en el Sistema Internacional (SI) para medir el volumen es el metro cúbico (m3), aunque para medir la capacidad (equivalente al volumen pero en presencia de fluidos) se emplean los litros. Esta distinción se debe a razones históricas, pero son medidas equivalentes: un litro (L) equivale a un decímetro cúbico (dm3). Esto quiere decir que puede hablarse también de kilómetros cúbicos o milímetros cúbicos, según sea la necesidad.
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Ejemplos modelo:
Ejercicio 1
Expresa en cm3:
a. 1 m3
b. 5 400 mm3
c. 0,003 dam3
Solución:
a. 1 m3 1 · 1 000 000 cm3 1 000 000 cm3
b. 5 400 mm3 5 400 : 1 000 cm3 5 4 cm3
c. 0,003 dam3 0,003 · 1 000 000 000 cm3 3 000 000 cm3
Ejercicio 2
Calcula el volumen de estos cuerpos:
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Solución:
Ejercicio 3
Halla el volumen de este prisma de base hexagonal regular:
333
32
3BASE
2
cm 4361 cm 0241 cm 942
714,33
4 168 122514,3
3
4
==
=====
====== rVhAVhrV
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Solución:
Ejercicio 4
Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 24 cm de lado y su
arista lateral es de 37 cm.
Solución:
cm 668510 22 ,a =−=
3
BASE
BASE
cm 4956258,259
cm 82592
66,860
2==
=
=
=
=
V
,aP
A
hAV
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Ejercicio 5
Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 25 cm y el radio de su base es de
12 cm.
Solución:
cm 9,3295,1637
cm 95,162
cm 9,332424
22
22
=−=
=
=+=
h
a
a
23BASE 24 32,9
6316 8 cm3 3
A hV ,
= = =
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE VOLUMEN
1. En una bodega industrial hay una pirámide de cajas iguales, y la empresa ha ofrecido un ascenso al trabajador que diga cuántas cajas faltan para ocupar mejor la bodega, es decir, completar su forma cúbica ¿a quién ascienden?
A. A Jorge, que dijo 24
B. A Benjamín, que dijo 34
C. A Orlando, que dijo 50 D. A Mariano, que dijo 70
2. La familia González gasta aproximadamente 6.000 litros de agua a la semana ¿aproximadamente cuantos metros cúbicos de agua usará la familia González en un año?
A) 30 m3 B) 300 m3 C) 1.000 m3 D) 3.000 m3
3. En una empresa necesitan embalar cajas cúbicas, cuyas aristas miden 1 m, en unos
contenedores como el que se muestra a continuación. ¿Cuál es la cantidad máxima de cajas que
se puede guardar en el contenedor?
A. 64
B. 32
cm 9211225 22 ,h =−=
23BASE 3,14 12 21,9
3300 8 cm3 3
A hV ,
= = =
2 cm
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C. 28 4m
D. 24 8m
4. Para servir el tinto en una oficina se encuentra con tres cafeteras de igual material
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