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1
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
TÓPICOS DE MATEMATICA 1 (E.P.E.)
MA112 (EPE)
UPC
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2
Competencias:
1. Define el espacio Rn y sus propiedades
2. Explica el concepto de combinación lineal de vectores de Rn.
3. Define base de un E.V., conjunto LI y LD.
4. Explica el concepto de coordenadas de un vector respecto a una base B de Rn.
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3
ESPACIO VECTORIAL Rn
INTRODUCCIÓN
Se dá este nombre por que el conjunto de vectores
de Rn ( en particular R2 o R3 ) junto con las
operaciones de adición y multiplicación por un
escalar satisfacen una serie de axiomas. Así todo
conjunto de entes matemáticos que cumplan estos
axiomas se dice que es un espacio vectorial , esto
permite extender muchas propiedades a una gran
variedad de elementos matemáticos.
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4
1. x+y está en Rn.
2. .x está en Rn.
3 . x + y = y + x
4 . (x + y) +z = x+ (y + z)
AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL
Sean x,y,z vectores de Rn ; , escalares.
Rn es un espacio vectorial, ya que satisface
los sigientes axiomas
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5
5 . Existe un vector 0 de Rn tal que : 0 + x= x+ 0= x
6 . Para todo x de Rn existe un elemento –x en Rn tal que: x +(-x)= 0
7. 1. x= x
8 . (. x)= ( ).x
9 . ( + ).x=.x+ . x
10 . (x + y)= .x +.y
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6
V
V
Definamos el vector como un segmento de recta dirigido.
Sean P y Q dos puntos del espacio. El segmento de recta dirigido PQ, es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q.
P
Q
Definición 1: (Definición Geométrica de un vector)
VECTORES
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7
A
B
R = A+B
B
R = A+B
A
Método del triángulo
OPERACIONES CON VECTORES
Adición de vectores
x
z
y
Método del
paralelogramo.
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Definición:A los n números reales
ordenados le llamaremos n-upla o vector n-dimensional.
),...,,( 21 naaa
VECTOR n - DIMENSIONAL
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9
IGUALDAD
v (b , b , ... , b )n21
u (a , a , ... , a )21 n
u v
a = ba = b
a = bn n
11
2 2{
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10
SUMA
(b , b , ... , b )n21 (a , a , ... , a )21 n +
(a + b , a + b , ... , a + b )21 n1 2 n
PRODUCTO POR UN ESCALAR
21 nC CCC (a , a , ... , a )21 n ( a , a , ... , a )
c
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11
u (a ,a ,... ,a )
v (b , b ,..., b )n21
n21
2 n n1 21u.v a b + a b + ... + a b
PRODUCTO ESCALAR
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12
PRODUCTO ESCALAR
cosvuvu
u
v
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1. El producto escalar de dos vectores es un
número real.
2. El producto escalar es positivo si
y negativo si2
0
2
OBSERVACIONES:
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4. Si los vectores son perpendiculares el producto escalar es cero y viceversa.
5. a . a = a2
3. Si tienen la misma dirección y sentidovy
u
0 y a . b = a b
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Módulo de un vector en R3
Dado el vector a = (a1,a2,a3) de R3 sedefine a la norma o módulo de a :
23
22
21 aaaa
p(a1,a2,a3)z
x
y
a
a1
a2
a3
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16)1,0,0()0,1,0()0,0,1( kyj,i
Vectores unitarios:Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.
1u
Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores canónicos y se representan por
aaaa
aa
ua ),,( 321
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VECTORES UNITARIOS I, J , K
x
z
y
i
jk
Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente.
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Paralelismo de vectores
Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo:
Definición
),,( 321 aaau ),,( 321 bbbv Dado:
vu // kb
a
ba
ba
3
3
2
2
1
1
vku
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COMBINACION LINEAL
Se llama combinación lineal de V , V ,.. , V
Dados los vectores V , V ,..., V de R
y sean a , a ,..,a escalares .
La expresión1 2 n
2
n
1
1 n2
a V + a V +... + a V2 n11 2 n
n
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EJEMPLOS:
1. Expresar el vector u =(- 3;4) como combinación lineal de los vectores a=(1;2)
y b=(3;1).
Solución: Se quiere que u = ma +n b
es decir (-3;4) = m(1;2) +n (3;1)
de donde: m=3 , n =-2
luego: (-3;4) = 3(1;2) - 2 (3;1)
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x
y
b
3 a
a
u
-2 b
u = 3 a - 2 b
NOTA: La combinación lineal de dos vectores a y b siempre va a estar en el plano formado por ellos y en consecuencia cualquier vector del plano puede obtenerse (generarse) como la combinación lineal de dos vectores no paralelos.
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INDEPENDENCIA LINEAl
Antes de dar la definición, veamos los siguientes ejemplos geométricos.
1. Dados los vectores paralelos a y b
Se tiene : a = t b
Como a es una combinación lineal de b es decir a depende de b luego el conjunto { a , b} se dice que es LINEALMENTE DEPENDIENTE.
b
a
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2. Dados dos vectores no paralelos a y b
Como ninguno de ellos puede estar en terminos del otro como combinación lineal ,es decir, son independientes cada uno , se dice que el conjunto {a,b} es LINEALMENTE INDEPENDIENTE
b
a
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3. Dados los vectores a , b y c
Donde:
c = 3 a + 2 b ó
a = - 2/3b+1/3c ó
b =- 3/2a+1/2c
b
3 aa
c2 b
Como cualquiera de los vectores se puede expresar en terminos del los otros como combinación lineal se dice que el conjunto {a,b,c} es LINEALMENTE DEPENDIENTE
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4. Dado el conjunto de vectores {a,b,c} contenido en el plano P
a
b
c
x
z
y
¿ Es LI o LD el conjunto de vectores {a,b,c} ?
P
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4.
¿Es LI o LD el conjunto de vectores {a,b,c} ?
z
a
b
c
x
y
P
¿Se podra expresar el vector b en terminos de a y c ?
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INDEPENDENCIA LINEAL
INDEPENDIENTE si dada la ecuación
{v , v ,..., v }1 2 k
a v + a v +...+ a v 1 2 2 k k1
= 0
v , v ,..., v 1 2 k
: VECTORES DE R , El conjunto n
1 2a = a = ... = a = 0k1 2
se llama LINEALMENTE
y se llama LINEALMENTE DEPENDIENTE
si en al menosa v + a v +...+ a v 1 2 2 k k1
= 0
entonces
un a i no es cero.
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PROPIEDADES
1. Si {v , v ,..., v } 1 2 k es un conjunto L.I. de
a v + a v +...+ a v 1 2 2 k k1u =
vectores de Rn, y si u Rn entonces
existe un conjunto único de escalares
{a1,a 2,...,a k} tales que
Es decir el vector u se expresa de forma única
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2. Sea V = {v1 , v2 ,..., vk } un conjunto
de vectores en Rn, donde k > n.
Entonces V es linealmente dependiente.
Nota :Un conjunto S de vectores linealmente
independientes de Rn contine a lo sumo n
vectores.
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30
3. k=n y det(v1,v2, ...vk ) = 0 { v1,v2, ...vk } es LI
4. 0 V Rn V es LD
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Definición:Un conjunto {v1, v2 ,..., vk}
de vectores de Rn se llama base de Rn, si cada elemento de Rn se puede expresar de manera única comocombinación lineal de v1, v2 ,..., vk.
PROPIEDAD:Todo conjunto de n vectores linealmente independientes de Rn es una base de Rn.
BASE DE Rn
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Un conjunto finito de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn } de Rn es una BASE de Rn si:
1. {V1 ,V2 ,..,Vn} es linealmente
independiente.
2. {V1 ,V2 ,..,Vn} genera a Rn.
TEOREMA
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PROPIEDAD:
Un conjunto de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn}
de Rn es una BASE si y sólo si
det(v1,v2, ...vk ) = 0
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Definición: El número de elementosde cualquier base de Rn se llamadimensión del espacio vectorial Rn.
NOTA: En un espacio Rn su dimensión es n.
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COORDENADAS DE UN VECTOR EN Rn
Sea B = { v , v ,..., v } una BASE de Rn
SEA U Rn donde U = c V + c V +... +c V
COORDENADAS DE U EN BASE B
UB = ( c1, c2, ... , cn )
n21
11 nn22