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Introducao as funcoesMO DULO 1 - AULA 13
Aula 13 Introducao as funcoes
Objetivos:
Apos estudar esta aula voce sera capaz de:
Distinguir entre uma relacao e uma funcao entre dois conjuntos.
Definir domnio, contradomnio e esbocar graficos de funcoes.
Produto cartesiano
Dados dois conjuntos nao vaziosA e B, o produto cartesiano de A por
B e o conjunto formado pelos pares ordenados, nos quais o primeiro elemento
pertence a A e o segundo elemento pertence a B .
A B={(x, y)|xA e yB}.
Exemplo: Se A={1, 2}e B={a,b,c}, entao:
A B={(1, a);(1, b);(1, c);(2, a);(2, b);(2, c)}e
B A={(a, 1);(a, 2);(b, 1);(b, 2);(c, 1);(c, 2)}
Notas:
1) De modo geral A B=B A.
2) Se A = ou B =, por definicao A B =, isto e, A = ou B=.
3) Se A = B podemos escrever o produto cartesiano A Acomo A2, istoe, A A= A2.
4) O produto cartesiano de duas copias do conjunto de numeros reais R,
fornece
R2 ={(x, y)|x R e y R}.
Como vimos na Aula 1, os numeros reais podem ser identificados com
uma reta. Tambem R2, pode ser identificado com um plano, atraves deum sistema de coordenadas. Veja a figura abaixo, onde o ponto P do
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Introducao as funcoes
plano e identificado com um par de numeros reais: P = (x, y). Veja a
representacao do ponto Q = 1, 1
2.
Ae B saon(A) en(B) entao
para o numero de elementos de A B vale n(A B) =n(A) n(B).
Relacoes
Dados dois conjuntos Ae B, uma relacao R sobre Ae B (ou de Aem
B) e uma relacao que associa elementos xA a elementos yB, medianteuma lei previamente determinada (lei de associacao ou de relacao).
Como voce vera, atraves de exemplos, toda relacao de A em B deter-
mina um subconjunto de A B.
Exemplo: A={1, 0, 1, 3}B={0, 1, 9, 10}
Determine
a) R1 ={(x, y)A B|y = x2}Solucao:
R1 ={(1, 1), (0, 0), (1, 1), (3, 9)}
b) R2 =
{(x, y)
A
B
|x =
y
}Solucao:
R2 ={(1, 1), (3, 9), (0, 0)}
Domnio e imagem ou contradomnio
Dada uma relacao R de A em B, chama-se domnio de R ao conjunto
D de todos os elementos de A que aparecem como primeiros elementos nos
pares ordenados de R.
xD y, yB|(x, y)R.
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Introducao as funcoesMO DULO 1 - AULA 13
Denominamos imagem da relacao R (ou contradomnio) ao conjunto
Im de todos os elementos de B que aparecem como segundos elementos nos
pares ordenados de R.
yIm x, xA|(x, y) R.
Exemplo: Sejam A={0, 1, 2}, B ={1, 1, 2, 2, 6} e R={(0, 1), (0, 1), (2, 2), (2, 2)}.Entao
D={0, 2) e Im ={1, 1, 2, 2}.
Representacao grafica e diagramas de uma relacao
Para o ultimo exemplo dado podemos associar a representacao grafica
e o diagrama
y
2
1
1
2
-1
-2
x
Funcao e uma relacao com propriedades especiais. Uma relacao R do
conjunto Ano conjunto B e uma funcao se
I) o domnio da relacao R, D(R) =A;
II) para cada elemento xD(R) existe um unicoyB tal que (x, y)R
III) a imagem da relacao R, Im(R)B .
Uma relacaoR de Ae B que e uma funcao e mais comumente represen-
tada pela letra fe do seguinte modo: f: AB , onde, xy =f(x). Istosignifica que, dados os conjuntosAe B, a funcao tem a lei de correspondenciay = f(x).
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Introducao as funcoes
Exemplo: Sejam os conjuntosA ={0, 1, 2}e B ={0, 1, 2, 3, 4, 5}; vamos con-siderar a funcao f: A B definida por y = x + 1, ou seja,f(x) =x + 1
5
= 0y = 0 + 1 = 1x= 1y = 1 + 1 = 2x= 2y = 2 + 1 = 3
O conjunto A e o domnio da funcao.
O conjunto{1, 2, 3}, que e um subconjunto de B, e denominado con-junto imagem da funcao, que indicamos por Im. No exemplo acima,
Im ={1, 2, 3}.
Representacao de funcoes por diagramas
Um diagrama de setas representando uma relacao de um conjunto A
em um conjunto B e uma funcao se:
(I) De cada elemento de Aparte exatamente uma unica seta.
(II) Nenhuma seta termina em mais de um elemento de B
A B A B
funo funo
A B
no funo
A B
no funo
Representacao Grafica
Dados subconjuntos A e B de numeros reais e uma funcao f: AB ,podemos representar a funcao graficamente como pontos do plano. No eixohorizontal representamos o domnio e no eixo vertical, o contradomnio.
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Exemplo: A={1, 0, 2} e B={1, 0, 1, 2, 3, 4}e f(x) =x + 1, vem que
x=1y = 0x= 0y = 1x= 2y = 3
y=f(x)
2
1
1 3
2
3
-1 x
f ={(1, 0), (0, 1), (2.3)} e os tres pontos assinalados formam o grafico dafuncao.
Observacao sobre graficos: Sabemos que um dos requisitos ao qual uma relacao
deve satisfazer para ser uma funcao, x y = f(x), e que a cada x devecorresponder um unico y. Esta propriedade tem a seguinte interpretacao:
toda reta vertical passando pelo domnio intercepta o grafico da funcao em
exatamente um ponto.
Exemplos:
a) A relacao f de A em R, f(x) = x2 com A ={x R| 1 x 2},
representada abaixo e funcao, pois toda reta vertical passando por pontos deabscissa xA encontra o grafico de fnum so ponto.
y
2-1 x
b) O grafico da relacao Rde Aem R representada abaixo x2 + y2 = 1, onde
A ={x R| 1 x 1} nao e funcao, pois ha retas verticais passandopor pontos de Aque encontram o grafico de Rem dois pontos.
y
-1 1 x
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Esboco do Grafico de uma Funcao
Para esbocarmos o grafico cartesiano de uma funcaof
, atribuimos valo-res convenientes ax no domnio da funcao e determinamos os correspondentes
valores de y = f(x). O grafico, entao, e constitudo pelos pontos representa-
tivos dos pares (x, y).
Exemplo: (a) Se a funcao f: A B, e tal que x y = 2x, onde A ={0, 1, 2, 3}, B ={1, 0, 2, 4, 6}. E possvel calcular todos os pontos dografico cartesiano de f. Veja a tabela de valores abaixo.
x 0 1 2 3
y 0 2 4 6
Nesta situacao, representamos, ponto a ponto, a funcao.
y
2
1
10 3
2
3
4
5
6
x
(b) Seja f: R R x y = 2x. Para esta funcao e impossvel construiruma tabela indicando explicitamente todos os pontos do grafico. No en-
tanto podemos, com alguns pontos auxiliares, deduzir a forma do grafico f.Usando os valores ja calculados na tabela do exemplo a), esbocamos o grafico.
y
-1
10
2
-2
x
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Exerccios Resolvidos
1. Seja a funcao f: R
R
xy = x2 x
a) Calcular f(6), f
1
2
, f(
2), f(
3 2).
b) Determinar os elementos de D(f) cuja imagem pela fvale 2.
Solucao:
a) Para calcularmos a imagem de 6 pela f, basta substituir x por 6 em
f(x) =x2 x,f(6) = 62 6 = 30.
Do mesmo modo,
f
1
2
=
1
2
21
2=
1
41
2=1
4,
f(
2) = (
2)2
2 = 2
2 ,
f(
3 2) = (
3 2)2 (
3 2)= 3 43 + 4 3 + 2= 9 5
3 .
b) f(x) = 2x2 x= 2,x2 x 2 = 0
x=b b2 4ac
2a
x=1 1 + 8
2 =
1 32
x1 = 2, x2 =1sao os dois valores solucao.
2. Seja a funcao f: [0, ) R dado por f(x) = x2 x + 1
x + 1 Calcule
f(0), f
1
2
e f(
2 1).
Solucao:
a) f(0) =02 0 + 1
0 + 1 = 1.
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Exemplos: Defina os domnios das funcoes abaixo.
a) f(x) = x + 3x 2
Basta impor que o denominador nao pode ser nulo: x 2= 0x= 2
Portanto, D(f) ={x R |x= 2}= R {2}.
b) f(x) =
2x 6Em R, o radicando de uma raiz quadrada nao pode ser negativo. Por-
tanto,
2x 602x6x3
Portanto, D(f) ={x R |x3}= [3, +).
c) f(x) = 3
2x 1O radicando de uma raiz de ndice mpar pode ser negativo ou nulo ou
positivo, ou seja, 2x
1 pode assumir todos os valores reais.
Portanto, D(f) = R.
d) f(x) =4
3 x22x + 1
Como as razes envolvidas sao todas de ndice par, e exigencia que os
radicandos sejam nao negativos. Alem disso, o denominador deve ser
nao nulo. Assim,
3
x2
0 e 2x + 1 > 0
Ou seja, 3x2 e x > 12
.
Veja as representacoes graficas:
-V3 V3
e
1/2
nio. Ou seja
D(f) =
x R | 12
< x 3
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Introducao as funcoes
Exerccios - Serie A
1. Sejam A ={
xZ
| 2
x
2}
, B ={
xZ
| 6
x
6}
e a
relacao R={(x, y)A B|x = y + y2}. Solicita-se:a) Enumerar os pares ordenados de R.
b) Indicar os conjuntos Domnio e Imagem.
2. Defina os maximos subconjuntos de numeros reais que sao domnios
das funcoes abaixo:
a) f(x) =2x 3
x 2 b) f(x) =
5
x + 2
3. Considere as relacoes G, H, J, Mdo conjunto A no conjunto B con-forme os graficos abaixo. Identifique as funcoes.
y
x
relao G
B
y
a x
relao H
B
AA
y
x
relao J
B
y
x
relao M
B
A A
4. Seja Zo conjunto dos numeros inteiros e sejam os conjuntos A ={xZ | 1< x2}e B ={3, 4, 5}se D={(x, y)(A B)|yx + 4}.Entao:
a) D= A Bb) D tem 2 elementos
c) D tem 1 elemento
d) D tem 8 elementos
e) D tem 4 elementos
5. y = 4x
12x 3 define uma relacao H R R, onde R sao os numerosreais. Determine o numero real x, tal que (x, 1)H.a) x= 0 b) x= 1 c) x=1 d) x= 5 e) x=5
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Introducao as funcoesMO DULO 1 - AULA 13
6. Determinado-se os pares (x, y) de numeros reais que satisfazem as
condicoes
x
2 + y2 1y= x
, temos:
a) 2 pares b) nenhum par c) 3 pares d) infinitos pares e) 1 par
7. Estabelecer se cada um dos esquemas abaixo define ou nao uma funcao
de A={1, 0, 1, 2}em B={2, 1, 0, 1, 2, 3}. Justificar.A
a) b)R
-10
1
2
-2-1
0
2
1
SB
3
-10
1
2
-2-1
0
1
A B
2
3
A
c) d)T
-1
0
1
2
-2
-1
0
2
1
VB
3
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
A B
2
3
8. (UFF-93 1a fase) Considere a relacao f de M em N, representada no
diagrama abaixo:
M N
x
y
z
w
k
t
p
q
r
s
1
2
3
4
5
Para que fseja uma funcao de M em N, basta:
a) apagar a seta (1) e retirar o elemento s
b) apagar as setas (1) e (4) e retirar o elemento k
c) retirar os elementos k e s
d) apagar a seta (4) e retirar o elemento k
e) apagar a seta (2) e retirar o elemento k
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Introducao as funcoes
9. (PUC-95) Dentre os 4 desenhos a seguir:
y
x
y
x
III
y
x
y
x
III IV
y = f(x).
b) I, III e IV podem ser graficos de funcoes da forma y = f(x).
c) Nenhum deles pode ser grafico de funcoes da forma y= f(x).
d) II e IV nao podem ser graficos de funcoes da forma y= f(x).
e) Nenhuma das respostas acima.
10. (UFF-94-1a fase) O grafico que melhor representa a funcao polinomial
p(x) = (x 1)2(x 4)(x + 49
) e:
A)y
x
B)y
x0 0
C)y
x
D)y
x0 0
E)y
x0
a) y = x2
1, D= R
b) f(x) =x 2, sendo D= [2, 2]
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Introducao as funcoesMO DULO 1 - AULA 13
12. Determine a e b, de modo que os pares ordenados (2a1, b+ 2) e(3a + 2, 2b 6) sejam iguais.
13. Determinar xe y, de modo que:
a) (x + 2, y 3) = (2x + 1, 3y 1)
b) (2x, x 8) = (1 3y, y)
c) (x2 + x, 2y) = (6, y2)
14. Se os conjuntos A e B possuem, respectivamente, 5 e 7 elementos,calcule o numero de elementos de A B.
15. (UFF/95 - 1a fase) Em um certo dia, tres maes deram a luz em uma
maternidade. A primeira teve gemeos; a segunda, trigemeos e a ter-
ceira, um unico filho. Considere, para aquele dia, o conjunto das tres
maes, o conjunto das seis criancas e as seguintes relacoes:
I) A que associa cada mae a seu filho;
II) A que associa cada filho a sua mae;
III) A que associa cada crianca a seu irmao.
Sao funcoes:
a) somente a I b) somente a II c) somente a III d) todas e) nenhuma
16. (PUC) Entre os graficos abaixo, o unico que pode representar uma
funcao de variavel real e:
x
a) y b) c)
x
y
x
y
d) y
x
e) y
x
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Introducao as funcoes
17. (UERJ/93) A funcao fdefinida no conjunto dos inteiros positivos por:
f(n) =
n
2, se n for par
3n + 1, se nfor mpar
O numero de solucoes da equacao f(n) = 25 e:
a) zero b) um c) dois d) quatro e) infinito
18. (UFC-CE) Qual dos graficos a seguir nao pode representar uma funcao?
a) y b) y c) y d) y e) y
l
f(x) =
1 se x e racional
0 se x e irracional
Podemos afirmar que:
a) f(2, 3) = 0b) f(3, 1415) = 0
c) 0f(a) + f(b) + f(c)3d) f[f(a)] = 0
e) f(0) + f(1) = 1
20. (SANTA CASA-82) Sejafuma funcao de Z em Z, definida por
f(x) =
0, se x e par
1, se x e mpar
Nestas condicoes, pode-se afirmar que:
a) f e injetora e nao sobrejetora
b) f e sobrejetora e nao injetora
c) f(5) f(2) = 1
d) f(f(x)) = 0, x R
e) O conjunto-imagem de f e{0, 1}
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Introducao as funcoesMO DULO 1 - AULA 13
21. (FUVEST-82) O numero real e solucao simultanea das equacoes
f(x) = 0 e g(x) = 0 se e somente se e raiz da equacao:
a) f(x) + f(x) = 0
b) [f(x)]2 + [g(x)]2 = 0
c) f(x) g(x) = 0
d) [f(x)]2 [g(x)]2 = 0
e) f(x) g(x) = 0
22. (PUC-93) Entre as funcoes T: R2 R2 abaixo, NAO e injetora adefinida por:
a) T(x, y) = (x, 0)
b) T(x, y) = (y, x)
c) T(x, y) = (2x, 2y)
d) T(x, y) = (y, x)e) T(x, y) = (x + 1, y+ 1)
Exerccios - Serie B
1. (UNIFICADO-92) Qual dos graficos abaixo representa, em R2 as solucoes
da equacao y2 =x(x2 1).A)
y
x
B)
y
x
D)
y
x
C)
y
x
E)
y
x
f, de R em R, tal que f(x+ 1) =
f(x) + 2 e f(2) = 3. Entao, f(50) e igual a:
a) 105 b) 103 c) 101 d) 99 e) 97
3. (FUVEST-SP) Sejafuma funcao tal que f(x + 3) =x2 + 1 para todo
x real. Entao f(x) e igual a:
a)x22 b) 103x c)3x2 + 16x20 d)x2 6x +10 e)x2 + 6x16
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Introducao as funcoes
4. (UGF-96-2o Sem.) Se f(3x) =x
2+ 1 entao f(x 1) e igual a:
a)
x + 5
6 b)
3x
1
2 c)
5x + 3
2 d)
3x
2 e) 3x 25. Se f(n+ 1) =
2 f(n) + 12
para n = 1, 2, 3, . . . e se f(1) = 2, entao o
valor de f(101) e:
a) 49 b) 50 c) 53 d) 52 e) 51
6. (FUVEST/93) Uma funcao de variavel real satisfaz a condicao
f(x+1) =f(x)+f(1), qualquer que seja o valor da variavelx. Sabendo
que f(2) = 1 podemos concluir que f(5) e igual a:
a) 12
b) 1 c) 53
d) 5 e) 10
7. (UFF/96) Para a funcao f: N N, que a cada numero natural nao-nulo associa o seu numero de divisores, considere as afirmativas:
I) existe um numero natural nao-nulontal que f(n) =n.
II) f e crescente
III) f nao e injetiva.
Assinale a opcao que contem a(s) afirmativa(s) correta(s):
a) apenas II b) apenas I e III c) I, II e III
d) apenas I e) apenas I e II
8. (UFMG) A funcao f: R R associa a cada numero real x o me-nor inteiro maior do que 2x. O valor de f(2) + f
1
5
+ f
2
3
e:
9. (UFRJ/93) Uma funcao f(x) tem o seguinte grafico:
g(x) =f(x + 1).
a) Determine as razes da equacao g(x) = 0
b) Determine os intervalos do domnio de g (x) nos quais esta funcao eestritamente crescente.
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Introducao as funcoesMO DULO 1 - AULA 13
10. (CESGRANRIO) Seja f(x) a funcao que associa, a cada numero real
x, o menor dos numeros (x + 1) e (x + 5). Entao o valor maximo def(x) e:
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
11. Definimos: f: N N
f(0) = 1
f(n + 1) = 2f(n)
Calcule f(3).
12. (FEI-73) Chama-se ponto fixo de uma funcao fum numero real x tal
que f(x) =x. Os pontos fixos da funcao f(x) = 1 +1
x sao:
a) x=1
b) x=1 5
2
c) nao tem ponto fixo
d) tem infinitos pontos fixos
13. (PUC-92) Um reservatorio tem a forma de um cone de revolucao de eixo
vertical e vertice para baixo. Enche-se o reservatorio por intermedio
de uma torneira de vazao constante. O grafico que melhor representa
o nvel da agua em funcao do tempo, contado a partir do instante em
que a torneira foi aberta e:
A)nvel
tempo
B)nvel
tempo
C)nvel
tempo
D)nvel
tempo
E)nvel
tempo
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Introducao as funcoes
Gabarito
Serie A
1. a) R ={(2, 2), (0, 1), (0, 0), (2, 1)}. b) D(R) ={0, 2}, Im(R) ={2, 1, 0, 1}. 2. a) D(f) ={x R| x= 2} = (, 2)(2, ).b) D(f) ={x R|x >2}= (2, ). 3. Apenas G e funcao. 4. d)5. c) 6. d) 7. a) nao b) nao c) sim d) sim. 8. d) 9.b) 10. d)
11.
a =3; b = 8 13. a) x = 1 e y =1 b) x = 5 e y =3,c) x = 3 ou x = 2 e y = 0 o u y = 2, d) x =2 e y =3.14. 35 15. b) 16. d) 17. b) 18. c) 19. c) 20. e) 21. b) 22. a)
Serie B
1. a) 2. d) 3 d) 4. a) 5. d) 6. c) 7. b) 8. -2
9. a) x {2, 0, 3} b) (3, 1) e (0,1) 10. b) 11. f(3) = 1612. b) 13. b)
Auto-avaliacao
Antes de passar a aula seguinte, voce deve resolver todos os exerccios
da Serie A. A Serie B fica como exerccio de aprofundamento.
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