Alg~b
1. tey de ponentes
Sa 0
2. I '\
Sia
(ab)• =a"'il",
a"' m - n
-=a ' a•
(a"' )" = a"'",
divisi6nenrre cero no esta definida.
0 - = 0, a
0 = I. 0" = 0 a
a"''" = ra;;;
Para cualquter m1mcro a: a · 0 = 0 · a = 0
3. Quebrados
a c ac a fb a d -a 'a a
b. d = bd' -= - · -cfd b c b = - b = -b''
4. El teorema del binomio Para cualquier enteron p()Silivo.
n (n - I) n(n - l )(n - 2) (a+ b)"= a"+ na"- 1b + a"-2b2 + a"-3b3 +·· · +nab"- ' + b".
l • 2 I · 2 · 3
5. Diferencia de potencias enteras iguales, n > 1
a" - b" = (a- b)(an- l + a"-2b + a"- 3b 2 + · · · + ab"- 2 + b"- 1)
Por eJemplo.
a2 - b2 = (a - b)(a +b).
a3- b;, = (a - b)(a2 + ab + b2
),
a 4- b4 = (a - b)(a 3 + a 2b + ab2 + b3
).
6. Completando el cuadrado Si a # 0.
ax2 + bx + c = a (x2 + ~x) + c
7 La f6rmula cuadratica
(
A b b2 ) ( b2 ) = a x" + - x + - . +a -- + c a 4a2 4a2
b2 c--
4a -Llame a cs1a parte C.
(u = x + (b/ 2a))
Sia#O.
ax2 + bx +c = 0
-b ± .Jb2 - 4ac x = 2a
1. Triangulo
A = lbh 2
4. Paralelogramo
b
A== bh
Geometria
(!\ = area. B = area de Ia base. C = circunfcrencia, S - area lateral o area
superficial, V = volumen)
2. Triangulos semej_pntes
5. Trapezoide
a
I i· ~ b
A = l (a+ b)h 2
3. Teorema de Pitagoras
a
6. Circulo
7. Cualquiel' cilindro o prisma con bases paralelas 8. Cilindro circular recto
T h
1 V =Bh
9. Cualquier cono o piramide
V= l Bh 3
T h
1
10. Cono circular recto 11. Esfera
l h
j_
PRENTICE
HALL
ga. EDICI6N
calculo varias variables
George B. Thomas, Jr.
Massachusetts Institute of Technology
Ross L. Finney
Co.n la colaboraci6n de
Maurice D. Weir Naval Postgraduate School
TRADUCCION:
REVISION TECNICA:
PEARSON -
lng. Jose de Ia Cera Alonso
Profesor titular Universidad Aut6noma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco, Mexico
Javier Paez Cardenas Doctor en Ciencias Facultad de Ciencias Universidad Nacional Aut6noma de Mexico
Addison
Lo Wesley
ngman
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EL SALVADOR • ESPANA • G.UA1"E.MALA • HONDURAS • NTCARAGUA • PANAMA
PARAGUAY • PERU • PliERTO RlCO • REPUBLICA DOMTNlCANA• URUGUAY • VENEZUeLA
AMSTF:RllAM · HARLOW • MT.Al\11• MUNICH • NIJF.VA UCLHI• ME.NLO PAR K • NUEV,\ JeRSEY
NlTF.VA YORK • ONTARIO • PARiS · SINGAl'UR • SYDNEY • TOKIO • TORON'lU • ZUUCH
Datos de catalogaci()n hihliognilica
THOMAS, ,JR. GEORGE B.
CalcuJo varias variables, 9a. cdici6n
Addison Wesley Longman de Mexico, S.A. de C.V.
Mexico. 1<!99
ISBN: 968-444-344-7 Area: Universitarios
Formato: 21 x 25.5 ems Paginas: 504
~crsi6 n en cspafiol de Ia ohra titulada Calculustmd Analvtic Geomelry. Nimh Edition, de George fl. T h oma~ . Jr. y Ross L. Finney. publicada originalmeme en ingles
10r Addison-Wesley Publishing Company. Inc.,
~ea di n g, Massachusetts, E.U. A.
:Sta cdici6n en cspailol es Ia Liuica autorizada.
Jriginal English language tiJ/e by
\ddison Wesley Longman, lnc.
:opyright © 1996
'JJ Rights Reserved
.S.BN 0-201-53174-7
;:did6n en espaiiol:
:.ditDr. Guillermo Trujano Mcndo'.a
~deTroducci6n: L.orena Pomones Durand
~de Producci6n: Alejandro A. Gomez Ruiz
:.dic:i6nenina~:
~ i:ditor. La u ri e R ~too ~ ~em Editor. Mariann~ Le.pp llawging £ditor: Karen Guardino ~r Mar~ring M<mager: An d ~w f.isb~r
'do.rketing CoorriimJtar: Benjam)·n Ri vera
In Buyer. Joseph Vetere ln &#tors: SU.SIUI Lo1ldon-Payne, Conoie I Juh-:c:
ra:t Dtsfng: .M.anha Podrcn. Podrcn Design: Gt:ri Davis, Quadrata, Inc.
A< aDding: Marshall Henrichs 'AreTP/ww; John U10dfrooy Stone World wid<:
ri!cluUaaJ lllu.ttration: Tech Ciraphic:::
:reditos de fotogmfias:
"<i8inas 722. 875 y 1'199: PSSC Physics 2/c, 1965, D.C. Heath & Co., con Educ,ll.inn DevCk>prncnL Center, Inc., r>agina 872: ©Susan Van Etten, AP/Wide World
•bolos, Inc., ptfgirw 889: © 1994 NelsonL. Max, Uoiven;ity of California/Biological Photo Service., Grafiq por Alfred Gray: ptigim1 938: ND Roger-Viollct: p6gi11o
W68: NASNjet Propulsion L11boratory
'<OVEN A ED! CION. 1999
:>.R. © 1999 por AddiS()n Wesley l.o ngm~ n de Mexico. S./1. de C. V.
Calle 4 Num. 25-2do. pi so
Frace. Industrial Alee Blanco
53370 Nauca1pao de Juarez. Edo. de Mexico
::amara Nacional de Ia Industria Editorial Mexjcana Reg. Nli111. 1031.
~escrva dos Lodos lo ~ dcrccho:\: Ni Ia Lotalidac.l ni part" de csta pub li cadt~ n puedcn rcpr()(]udrsc, regisrrarsc o transmltin;e, por un sistema de recuperaci6u de
nfonnaci6n. en ninguna forma ni por ningun medio. sea electr6nico. rnecanico, fotoqufmico. magnetico oelectro6ptico, par fotocopia. grabaci6n o cuaJquicr otro,
;in penniso previa por escrito del editor.
~I prestamo, alquilcr o cualquier mra forma de ccsi6n de uso de estceJcmplar rcqucrira cambi.!n Ia autorizacl6n del editor ode. sus representames.
[SR N 968-444-344· 7
~u p r eso e.n.Mex'ico. Primed int'r!exim.
1234567890 . 0:>0201 0099
'J {-.j . I:;-.
[3~bL
r~) c, , 15
Secciones
c6nicas, curvas
parametricas y
coordenadas
pol ares
Vectores y
geotnetria
analitica en el
espacio
Funciones de
valores vectoriales
y movimiento en
el espacio
indice general
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5 9.6
9.7
9.8 9.9
10.1 10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
11 .1
11.2
11.3
11.4
11.5
Secciones c6nicas y ecuaciones cuadraticas 709
Clasiflcaei6n de las seeciones c6nicas por excentdcidad 723
& uaciones cuadraticas y rotacione.s 728
Parametrizaci6n de curvas planas 734
Calculo con eurvas parametrizadas 744
Coordenadas polares 75.1
Graticas en coordenadas polares 75.6
Ecuaciones polares para.secciones c6nicas 764
lntegracion en coonle.nadas polares 770
f>REGtiNTAS PARA GUIAR·SU REPASO 777 EJERCJCTOS DE PRACTTCA 778
EJERCICIOS ADICIONA LES. Tl:iORiA. E.JbMI'LOS Y APLICACIONES 783
Vectores en el plano 787 CQordenadas ca.rtesianas (rectangulares.) y vectores en el espacio 795
Productos punta 806
Producto cruz 815
Rectas y pianos en el espaci6 822
Cilindros y superficies cuadrieas 829
Coordenadas cilindricas y esfericas 841
PREGCNTAS PARA GUlAR SU REI~<\SO 847 EJERCTCTOS DE PRACTICA 848
E.tERCICIOS AD ICIONALF.S. TEORiA, EJEMPLOS Y ·AI'LICACIONGS 851
hmciones de valores vectodales y cm·vas en el espacio 855
Modelado dc.lmovimicnto de un proyectil 86iS
Longitud de. arco y el vector tatigente unitado T 876
Curvatura, torsion y el sistema de referenda TNB i58 1
Movimi.ento planetario y ~atelites 893
PREGUNTAS PAR'.'\ GUlAR SU REPASO 902 EJERC IC IOS DE I'RAC'nCA 902
EJERCJCJOS i\.DJCIOI\1\LES. TF:ORiA , EJ EMI'I.()S y AI'LI CACIOKES 905
278770 v
vi lndice general
Funciones de
multiples
variables y
derivadas
parciales
Integrates
multiples
lntegraci6n en
campos
vectoriales
12.1 12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
12.10
Funcioncs de varias variables 909 Lfmites y continuidad 9'1 7
Derivadas parciales 924
Difereneiabilidad. linealizaei6n y diferencialcs 933
La regia de Ia cadena 944
Derivadas parcialcs con variables restringidas 952
Derivadas di reccionalcs, vectores gradiente y pianos tangentes 957
Valorcs extremes y puntos sil lti 970 Multiplicadorcs de Lagrange 9H9
Formula de Taylor 989
PRE<illf\TAS PARA GUlAR S U REPASO 993 E.JER<.:ICIOS DE PRACTICA 994
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6 13.7
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
EJERCICIOS ADICIONAL.F.S. T F.ORfA. EJE\1PLOS Y API.ICACIONES 998
lntcgrales clobles 1001
Areas. momcntos y centros de masa I 012
Integrates dobles en forma polar 1020
Integrates triples en coordenadas rcctangulares 1026
Masas y momentos en tres dimensiones 1034
Integrales triples en coordcnadas cilfndricas y esfcricas 1039
Sust.ituciones en integrales multiples 1048
PREGLINTAS PA RA GUlAR su REf'ASO 1055 EJERCICIOS l)E f'RAC IICA
EJ F.RCICIOS AD!C.10NALES. T F.OR(A, EJEMPLOS Y APLICACIONF.S 1058
Integrates de lfnea I 061
Campos vcctoriales. trabajo. cir<.:ulaci6n y f1ujo I 067
Independencia de traycctor ias, fu nciones potencialcs
y campos cunscrvativos 1076
Teorema de Green en cl plano 1084
Area de superficie e integralcs de superficie 1096
Superficies parametrizadas II 06
Teorema de Stokes 1114
El tcorcma de Ia divergencia y una tcorfa unificada 11 23
PREG UNTAS i>ARA OUIAR st: REPASO 1134 EJERCIC'TOS DE .PRACTICA
liiERCICtOS ADfCIONAW S. T EORrA. F..I F.MPLOS Y APUCAC ION C.S 1137
Apendices A.1 La ley distributiva para productos cruz de: vectorcs A-1
A.2 Teorema de Euler y reorema del incremento A-2
Respuest as R-1
fndice 1-1
Una breve tabla de i nteg rales T-1
1056
11 ~4
•
Exploraciones y proyectos CAS*
(Ordenados por capitulo y secci6n)
Capitulo 9 Secciones c6nicas, curvas parametricas y
coordenadas polares 9.5 Exploraci6n de Ia geomelrfa de curvas que son definidas
implfcita o explfcitamente .por ecuacioncs paramctricas.
5stimaci6n mnm!rica de las longitudes d'e Lrayecwrias no
elementales
9.8 C6mo cs afpctada la grafica de r = kef( I + e co~ $) por
cambios en e y k. C6mo respnnde la ellpse r = a(l -
e2)/(l = e cos 8 ) a cam bios en a y e
Capitulo 10 Vectores y geometrla analitica
en el espacio 10.6 Observaei6n de superficies cuadniticas desde posiciones
diferenles
10.7 Ecuaciones de esferas en sistemas coordenados cilfndricos,
esfericos y rectangulares: Conversiones coo.r.denadas y gra
ficas de superficies
Capitulo 11 Funciones de valores vectoriales y
movimiento en el espacio 11.1 Trazo de. tangentes a curvas en el espacio. lnvestigaci6n de
Ia helice general
11.4 Dctemlinaci6n y trazo de cfrculos de curvatura en el plano.
Detenninaci6n de K, 'I, T, N y B para curvas en el cspacio
*CAS, Computer Algebrit Sysrem. ( N~ del E.)
Capitulo 12 Funciones de multiples variables y
derivadas parciales 12.1 Graficaci6n de superficies z. = j(x, y) y curvas de nivel aso
ciadas. Supcrticics implfcitas y superficies parametrizadas
IV~ Clasificaci6n de puntos crfticos e .identifi<.:aci6I1 de valol'c-s
extrcmos usando informacion obtenida de gn1ficas de
superficies, cnrvas de ni vel y valores (ie discriminantes
t2. 9 Implementation del mctodo de Ips multiplicadores de
Lagrange para funciones de tres y cuatro variables indepcn
dieiites
Capitulo 13 lntegrales multiples 13.3 Cambio de int.egrales cartesiana~ en i1itegrales pol ares
e.quivalentes p.ara su evaluaci6n
13.4 Evaluacior1 de.integ.rales triples sobre regiones s<'S iidas
Capitulo 14 lntegraci6n en campos vectoriales
14.1 Evaluaci6n numerica de fcf (x. v. z) ds
14.2 Bstimacj6n del trabajo heclw por un campo vectorial a lo
largo de una tr:aycctoria dada en el espacio
lAA Aplicacir\n del teorema de Green para encontrar Ia eircu
lacion antihoraria
vii
I iii
AI profesor
La importancia de esta nueva edici6n
Durante 40 aiios, se ha usado esta obra de Thomas/Finney como apoyo de eli versos metodos de ensefianza. desde los tradicionales hasta los experimentales. En respuesta a las
mUltiples e interesantes corrientes de cnsefianza del calculo en los afios 90. esta nueva
edicion es la revision mas cxtensa que se ha hecho del TI1omas/Finney. Basandonos en lo
mejor de ediciones anteriores (excelentes ejercicios, conecci6n matetmitiea, aplicacio
nes diversas), hemos producido un texto tlexiblc con todos los elementos necesarios
para los difcrentes cursos que se imparten actual mente.
Un Jibro no hace un curso: son e l profesor y los estudiantes quiencs lo hacen. Con
base en esto, hemos cnriquecido Ia 9a. edici6n del Thomas/Finney con algunas carac
tcrlsticas que lo hacen e llibro de calculo mas flex ible hasta el momento:
A fin de facilitar al maestro Ia asignaci6n de trabajos en casa, han sido rcor
ganizaclos los ejercicios de una parte de los temas de una secci6n.
Se han aumentado los ejercicios de exploraci6n con herramienta para gnlfi
cas, todos ellos rcalizables con cualquier calculadora gratica.
Sc han i.ncluido nuevas cxploraciones para programas de algebra simb6lica
(CAS. por sus siglas en ingles). asf como proyecto.s que requicrcn el uso de
CAS. Algunos se pueclen hacer nipidamente. pero otros pueden nccesitar al
gunas horas. Todos son apropiaclos para el trabajo tanto individual como en
cquipo. Despues del fndice general hay una lista de los ejercicios querequic
ren el uso de CAS.
• En el texto aparecen notas sobre concxiones con Ia tecnologfa. que sugiercn
cxperimentos que puedcn hacerse con herramicnta para graficas, para com
plementar la comprension de algun tema. Con elias se pretcnde que los estu
diantes utilicen esta hcrramienta con regularidad, como si se tratara de un
lapi.z .
Hemos rcvisado las secciones que conesponden al primer semestre y algu
nas partes de lo correspondientc al segundo y tercero, para ofrecer lo que
creemos que es un libro mas claro, rnas atractivo a la vista y mas accesible.
Con estos cam bios. reafinnamos nucstra conviccion de que Ia meta fundamental de un
libro de calculo es prcparar a los cstudiantes para integrarsc a Ia comunidad ciemit1ca.
{Uenerado por Mathematica)
Esta grafica generada por
computadora de
w =cos (1 .7 X 1Q-2t- 0.2x)e-0.2x
muestra Ia variaci6n estacional de Ia
temperatura abajo del terreno como una
fracci6n de Ia temperatura superficial. En
x = 15ft, Ia variaci6n es solo 5% de Ia
variaci6n en Ia superficie. En x = 30ft,
Ia variaci6n es me nor que 0.25% de Ia
variaci6n en Ia superficie. (Adaptado de los dibujos proporcionados por Norton Starr
para ell ibro de G.C. Berresford "Differential
Equations and Root Cellars", The UMAP
Journal, Vol. 2, No.3 [1981), pags. 53-75.)
AI profesor ix
Los estudiantes encontraran mas apoyo para resolver problemas creativamente
A lo largo dellibro, hemos incluido cjcmplos y amHisis que alentanln a los estudian
tes a pensar en forma visual y numerica. Casi todos los ejercicios van desde los mas
sencillos hasta los de dificultad media, que rcqucriran que los estudiantes hagan gra-
EJEMPLO 9 La figura 12.9 muestra una gnHica generada por computadora de Ia
funci6n "W = cos (1.7 X w-2,- 0.2x)e-n.2x, dondc testa en clfas y X en pies. La gnl
fica muestra como, con el tiernpo. varfa Ia temperatura clebajo de la superficie de Ia
Tierra. La variaci6n esta dada como una fracci<~n de la variaci6n en Ia superficic. A
una profunclidad de 15ft, Ia variaci6n (cumbio en amplitud vertical en Ia figura) cs
aproximadamente 5% de Ia variac ion superficial. A 30 ft, casino hay variacion duran
te el aiio.
La gnifica muestra tambien que Ia temperatura a 15 tt clebajo de la superficie cs
ta aproximadamente medio aiio desfasada rcspccto a Ia tempe.ratura de Ia supe1ficic.
Cuanclo la temperatura. es m(nima sobre Ia supcrficic (digamos a fines de enero), cs
m<lxima a 15ft debajo de est.a. por lo que podcmos dccir que a esta profundidad las es
tac.:ioncs cstan invertidas.
ficas y !as interpreten. como un vehiculo para entender relacioncs tanto matematicas
como del mundo real. Much as sccciones adermis cuentan con algunos problemas mas
dificiles. para los estudiantes mas intcresados en las matematicas.
Esta edici6n tiene una gran cantidad de tiguras. con elfin de apclar ala intuici6n
geometrica de los estudiantes. Las lcccioncs de dibujo inc!uidas en estc texro les ayu
daran con los esquemas en tres dimensiones mas diffciles. para mejorar su capacidad
de pensar en el espacio tridimensional. Tam bien hemos aumentado cl uso de la repre
sentaci6n visual dentro del amilisis de los temas. Se han utilizado diagramas para
compartir el peso de la ex posicion cuando nos ha parecido que las imagenes y el tex
to juntos transmiten una idea mas clara que las simples palabras.
5. Una partfcula P dcsprovista de f1icci6n, que parte del reposo en cl
tiempo 1 = 0 en cl pun to (CI. 0, 0), se desliza hacla abajo de Ia bel icc
r (8) = (a cos 8) i +(a sen 8)j + b8k (a,b > 0)
bajo Ia influencia de la gravedad, como se muestra en Ia figura
I 1.46. La e en esra ecuaci6n es Ia coordcnada ci llndrica By Ia be
lice es Ia curva r = a,<. = b8, 8 2: 0 en coordenadas cilfndricas.
Suponemos que 8 cs una funcion diferenciable de 1 para el movi
mienro. La ley de Ia conscrvacion de Ia energfa nos dice que Ia ra
pidez de Ia partfcula dcspues de que ha cafdo tllla disrancia z cs
-.J2gz.. dondc g cs Ia accleracion consLante de Ia gravedad.
a) Encuemre Ia vclocidad angular d8/ dt cuando 8 = 2n.
b) Exprese las coordenadas 9y.:: como funciones de t.
c) Exprese las componemes tangencial y nonnal de Ia velocidad
dr/ dt y de Ia aceleraci6n cf-r j d(! como funciones de 1. £,La
aceleraeidn 1iene alguna componcntc no nul a en Ia direcci6n
del vector binonnal B?
I X
I' L....- La helice
/ j r = a, ~ = IJ9
I - -1--/, I ....
~~/· I_....- Eje z positivo dirigido
• bacia aba jo
La helice circular del ejercicio 5.