2 Revisão Bibliográfica
O esforço computacional inerente à simulação numérica da combustão
impediu que grandes avanços nesse campo fossem alcançados até a década de
1980, devido à limitação da capacidade computacional disponível. Desde então, a
evolução dos computadores permitiu que um grande número de trabalhos na área
de combustão fosse desenvolvido. Com base nisso, foi feita uma seleção dos
trabalhos recentemente publicados sobre técnicas de redução do custo
computacional associado à cinética química da combustão. O objetivo desta
procura foi encontrar técnicas de redução que não restrinjam seu uso a um
determinado sistema termoquímico.
A combustão pode ocorrer com combustíveis sólidos (carvão, madeira),
líquidos (petróleo, álcool) ou gasosos (gás natural, biogás). O combustível pode
ser pré-misturados ou não com oxidantes antes da combustão. Classicamente, a
chama presente no momento da combustão pode ser classificada como sendo de
difusão, quando o combustível e o oxidante são injetados separadamente; ou pré-
misturada, quando o combustível e o oxidante formam uma mistura homogênea.
A frente de chama, local onde acontecem as reações químicas, pode estar situada
em escoamento laminar ou turbulento. Essas são algumas das possíveis hipóteses
a respeito da estrutura da chama.
As abordagens seguintes, aplicáveis geralmente à modelagem de combustão
via técnica de Dinâmica dos Fluidos Computacional - CFD, seja simulação
numérica direta, simulação de grandes escalas ou método de função de densidade
de probabilidade transportada, são particularmente interessantes na diminuição do
custo computacional imposto pelo uso direto da cinética química detalhada em
cálculos de escoamento reativo:
Mecanismos Esqueleto: obtidos pela eliminação de espécies e
reações sem muita representatividade, mantendo uma boa acurácia;
Redução de Dimensão: tem como objetivo reduzir o número de
variáveis necessárias para descrever a química de forma acurada;
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 24
Armazenamento/Recuperação: tem como objetivo reduzir o
número dos cálculos químicos, que são extremamente caros
(exemplo: ISAT);
Química Adaptativa: substitui o mecanismo detalhado com um
número de mecanismos esqueleto localmente acurados, consistindo
de um número mínimo de espécies e reações.
Ao combinar tais abordagens, Pope & Ren (2009) dizem que pode haver
uma redução do custo computacional inerente à simulaçào da combustão, em um
fator de até 1.000, quando comparado com o uso do mecanismo detalhado.
Um panorama mais amplo sobre o histórico do desenvolvimento de técnicas
de redução de cinética química da combustão pode ser encontrado em Cunha
(2010).
Tendo o acima exposto como direção, este capítulo apresenta uma revisão
bibliográfica, dividida em três seções: a primeira versa sobre a técnica In Situ
Adaptive Tabulation (ISAT); a seção seguinte, a respeito de outras técnicas que
fazem alguma hipótese e respeito da estrutura da chama e a última, a respeito
daquelas que não fazem este tipo de hipótese. Serão apresentadas as
características mais importantes de cada uma das técnicas.
2.1.Evoluções da Técnica ISAT
Esta seção fará uma apresentação de alguns artigos que trazem a técnica
conhecida como In Situ Adaptive Tabulation (ISAT).
2.1.1.Introdução
A tabulação adaptativa in situ (In Situ Adaptive Tabulation - ISAT) é uma
técnica desenvolvida por Pope (1997) para tratar problemas de dimensionalidade
alta. Dados os estados iniciais de uma função, os estados finais são aproximados
por uma extrapolação linear a partir de uma solução vizinha usando, para isto,
uma matriz de sensibilidade. Uma vantagem desta técnica é que o erro dessas
aproximações pode ser controlado.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 25
Esta técnica mostrou ser até 1000 vezes mais rápida do que a integração
numérica direta das equações governantes (massa e energia) de todas as espécies
químicas. O seu aspecto mais importante é que não há restrições sobre o sistema
físico ao qual a técnica pode ser aplicada, logo, sua utilização independe de
hipóteses sobre a estrutura da chama na combustão. Entretanto, por esta ser uma
técnica de armazenamento e recuperação, uma importante limitação é associada
ao grande custo de armazenamento.
O propósito da técnica ISAT é tabular, em uma árvore binária, a função
f(φ0); no caso dos problemas de interesse, onde o objetivo é resolver as equações
da combustão turbulenta, φ0 consiste no estado termoquímico inicial e f(φ0) é o
resultado da solução de equações ordinárias diferenciais (ODE), dado como a
composição ao final do intervalo de tempo.
Considerando que nF é o número de folhas em uma árvore binária, a busca
completa por essa estrutura tem o número de operações da ordem de O(log2(nF))
caso ela esteja equilibrada. A árvore binária de busca é composta de ramificações
que retornam ponteiros para as folhas nas quais os registros são armazenados.
Assim, neste método, as entradas na tabela são referidas como folhas de
uma árvore binária. A enésima folha inclui: estado inicial φ0, o valor da função
f(φ0) (estado final); o elipsoide de acurácia; e a matriz gradiente A, também
chamada de matriz de sensibilidade, cujos componentes são:
(2.1)
Essa matriz é usada para construir a aproximação linear utilizada no ISAT.
Dada uma consulta, φq, o ISAT retorna uma aproximação linear baseada nas
soluções vizinhas, esta aproximação para fl(φ
q) com base na enésima folha é
definida como:
( ) ( ) ( )
(2.2)
e o erro dessa aproximação é dado por:
( ) ‖ ( ) ( )‖
(2.3)
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 26
Dada uma tolerância, , a aproximação é retornada com erros menores
do que . A região onde isso acontece é denominada região de acurácia, que é
aproximada por um elipsoide chamado elipsoide de acurácia (EOA).
2.1.2.ISAT-5
A mais recente melhoria proposta ao algoritmo ISAT, chamada de ISAT-5
(Lu e Pope, 2009), também é baseada em tabulação cuja construção ocorre
simultaneamente à simulação. De modo análogo à técnica original, apenas a
região do espaço de composição acessada durante a simulação é tabulada. No caso
dos sistemas termoquímicos de interesse, espera-se que esta seja uma pequena
fração do espaço total, tornando a tabulação economicamente viável, o que faz
desta uma técnica computacionalmente mais barata do que a integração numérica
direta.
A
Figura 2-1 mostra através de um diagrama simplificado do método ISAT-5,
que a técnica consiste, basicamente, de três etapas que serão posteriormente
detalhadas: tentativa de busca, tentativa de crescimento e adição.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 27
TENTATIVA DE RECUPERAÇÃO
Elipsoide de acurácia é encontrado?
fl(xq) é retornado
ADIÇÃO
Nova folha adicionada à tabela.
SIM
NÃO
NÂO
TENTATIVA DE CRESCIMENTO
Algumas folhas selecionadas para crescimento do elipsoide.
tol?
fl(xq) é retornado
SIM
Figura 2-1. Esquema simplificado da técnica ISAT-5.
Sabendo que as folhas são as entradas da tabela, O ISAT-5 traz algumas
contribuições a essas três etapas fundamentais da técnica ISAT, as quais podem
ser resumidas como:
(1) Tentativa de recuperação:
Uma contribuição do ISAT-5 é o fato de a tentativa de recuperação, a busca
na árvore binária poder ser feita de diferentes maneiras Dada uma composição
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 28
para consulta, φq, o objetivo dessa tentativa é identificar algum elipsoide de
acurácia (EOA) que cobre tal ponto. Um elipsoide pode ser representado pelo
seu centro φ0 (vetor de dimensão nφ) e por uma matriz nφ x nφ triangular inferior
de Cholesky L (matriz transposta - LT ), é definido como:
{ | ‖ ( )‖ }
(2.4)
No ISAT-5 os custos referentes à busca e ao teste que verifica se um ponto é
coberto pelo EOA são reduzidos pela introdução de um espaço afim de dimensão
na < nφ, que contém as projeções ortogonais de φq e de E, cuja geometria é
recalculada toda vez que o espaço afim for redefinido.
Nesta primeira etapa, podem-se usar, sucessivamente, quatro tipos de busca
na tentativa de identificação do EOA que cobre o ponto φq. Se o elipsoide for
encontrado, uma aproximação linear, fl(φ
q), é retornada.
O primeiro tipo de busca utiliza uma árvore binária (BT- binary tree), cujos
nós consistem em planos de corte no espaço de dimensão nφ. Dada uma consulta,
φq, a árvore é percorrida até que uma folha seja alcançada, a folha primária, então
o EOA da folha primária é testado para determinar se ele abrange o ponto de
consulta. Se isso acontecer, a busca termina com sucesso, caso contrário, a busca
na BT é mal sucedida. A partir daí, a projeção de φq no espaço afim é avaliada
para posterior utilização nos três outros tipos de busca, abaixo discriminados.
Em outro método de busca, há duas listas separadas: Na lista MRU (most
recently used), as folhas da árvore binária estão na ordem em que foram mais
recentemente usadas para recuperação de fl(φ
q) na tabela ISAT; na lista MFU
(most frequently used), as folhas estão na ordem em que foram mais
frequentemente usadas para a recuperação. Neste último caso, a eficácia da busca
é maior se a distribuição do uso de folhas for não uniforme.
Um determinado número, nMRU, de folhas no topo da lista MRU é testado
sucessivamente para determinar se seus EOAs cobrem o ponto de consulta. Com o
mesmo propósito, um número específico, nMFU, de folhas na lista MFU é testado,
ignorando as folhas previamente testadas na lista MRU. A busca termina com
sucesso se e quando um EOA que cobre o ponto de consulta é encontrado. Os
valores ideais de nMRU e nMFU dependem da aplicação, no entanto, os autores
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 29
afirmam que nMRU =5 e nMFU =30 resultaram em um bom desempenho em toda a
gama de casos investigados.
A Figura 2-2 mostra o esboço de uma árvore binária elipsoidal (EBT -
ellipsoidal binary tree) simples, cuja utilização será apresentada a seguir,
composta de três folhas (2, 4 e 5) e dois nós (1 e 3). Exemplificando o que
acontece em uma EBT, o ponto φq é coberto pelo elipsoide da folha 4, que por sua
vez é coberto pelos elipsoides dos nós anteriores (3 e 1). Note-se que pode ocorrer
interseção dos elipsoides de folhas que concorrem em um mesmo nó.
Figura 2-2. Esboço de uma árvore binária elipsoidal simples – EBT (Lu e Pope, 2009).
Na árvore binária elipsoidal (EBT), a folha está associada ao elipsoide de
acurácia projetado (PEOA) e o nó, a um elipsoide, que abrange os elipsoides de
ambos os filhos. Caso o ponto de consulta projetado não seja coberto pelo
elipsoide de um nó, então o ponto de consulta não e abrangido por qualquer EOA
da subárvore definida pelo nó, logo ela é considerada inviável e pode ser
eliminada da busca.
A busca começa na folha primária: Em uma folha é testado se o EOA cobre
o ponto de consulta. Se sim, a busca termina com sucesso, caso contrário, a
procura sobe na árvore para o nó-pai da folha. Em um nó, se ambas as subárvores
já tiverem sido testadas, move-se para o nó-pai do nó, caso ele não seja a raiz, pois
nessa situação a busca termina sem sucesso. Caso contrário, se o elipsoide do nó
não abrange o ponto de consulta, move-se para o nó-pai do nó; se abrange, para a
folha-filho direita ou esquerda, dependendo de qual ainda não tiver sido testada.
A busca EBT pode ser cara, assim, Lu & Pope (2009) aconselham limitar
esse tempo de busca como sendo uma fração especificada do tempo de CPU gasto
para avaliar a função f(φ0), esse valor está em torno de 0,5. Os autores afirmam
que o menor custo de busca é alcançado por este algoritmo quando todos os
quatro métodos são usados: BT, MRU, MFU, EBT.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 30
A
Figura 2-3 apresenta um diagrama explicativo do método das diferentes
tentativas de busca. Nele, P(φq) e P(E) representam, respectivamente, a projeção
do ponto φq e do elipsoide E no espaço reduzido; nMFU e nMRU representam um
número específico de folhas para a busca na tabela com valores mais
frequentemente usados (MFU) ou mais recentemente usados (MRU).
BT
Teste do EOA numa folha 1ia
com sucesso?
P(ϕq) é avaliado
em P(E)
MRU
Teste em um dado nMRU
EOA cobre o ponto?
MFU
Teste em um dado nMFU
excluindo as testadas antes.
EOA cobre o ponto?
EBT
EOA cobre o ponto?
Sobe para o nó-pai.
As 2 sub-árvores já foram
testadas?
Move-se para folha da dir.
(se a sub-árvore da dir. não
tiver sido testada) ou para a
folha da esquerda.
FIM
NÃO
NÃO
SIM
SIM
NÃO
NÃO
NÃO
SIM
SIM
SIM
Figura 2-3. Esquema explicativo da etapa de tentativa de busca na tabela ISAT.
(2) Tentativa de crescimento:
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 31
Usada quando a tentativa de busca não obtém sucesso. Neste caso, o
elipsoide de acurácia de uma folha só pode ser crescido se a aproximação linear
correspondente for acurada. Uma ou mais folhas próximas a φq são avaliadas e
selecionadas para a tentativa de crescimento. Para cada folha, o erro ε da
aproximação linear, [Eq.(2.3)], é avaliado e, se este for menor que a tolerância
dada (εtol), o EOA cresce para cobrir o ponto φq. Este elipsoide maior é definido
como o elipsoide mínimo, com o mesmo centro, que cobre tanto o elipsoide
original como o ponto de consulta φq. Se esta tentativa de crescimento for bem
sucedida, a aproximação linear é retornada.
Além de um EOA (e sua projeção), cada folha tem um elipsoide de
inacurácia (EOI), concêntrico com o EOA, e sua projeção (PEOI) no espaço afim.
De modo aproximado, o EOA e EOI podem ser tidos como limites inferior e
superior da região de acurácia. Um ponto, φq, coberto pelo EOA é considerado
acurado, enquanto que um ponto não coberto pelo EOI não é considerado acurado.
Os EOIs são usados para determinar as folhas que são boas candidatas ao
crescimento. Se um EOI cobrir φq, a aproximação linear pode ser acurada, e a
folha é, então, considerada uma candidata ao crescimento. Por outro lado, se o
EOI não cobrir φq, a aproximação linear é inacurada e a folha não é uma candidata
ao crescimento. A identificação de folhas candidatas ao crescimento, feita pelo
EOI, reduz o tempo computacional necessário à simulação.
(3) Adição:
Usada quando a recuperação e a tentativa de crescimento não obtém
sucesso. Esta etapa, que consiste em adicionar uma nova folha à tabela ISAT,
pode ser feita de duas maneiras:
i. Caso a tabela não esteja saturada:
Cálculo do EOA seguido de cálculo do EOI e inserção de nova folha na
tabela;
ii. Caso a tabela já esteja saturada, as opções são:
Retornar f(φ0) sem alterar a tabela ou substituir a última entrada da lista
(folha menos recentemente usada) MRU ou substituir a última entrada (folha
menos frequentemente usada) da lista MFU.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 32
Abrol (2009) destaca que a vantagem real no uso do ISAT ocorre quando
o número de recuperações realizadas pelo algoritmo ultrapassa em muito
número de crescimentos e adições na árvore binária.
2.1.3.Correção e Verificação de Erros
Lu & Pope (2009) acrescentam, ainda ao ISAT-5, um novo conceito à
técnica, que é a correção e verificação de erro (ECC - error checking and
correction), considerando o fato de que os maiores erros observados ocorrem
porque alguns EOAs são aumentados inadvertidamente para englobar regiões
inacuradas. Esse conceito, particularmente eficaz na redução do erro incorrido,
consiste em verificar aleatoriamente o erro incorrido, onde o valor exato f(φ0),
calculado por integração direta, é avaliado juntamente com o valor aproximado,
fl(φ
q), obtido com o ISAT e, caso este erro exceda a tolerância especificada (εtol),
o EOA responsável pela recuperação inacurada é diminuído. Devido às avaliações
diretas requeridas para realizar o ECC, este se torna um processo
computacionalmente caro.
As recuperações são selecionadas ao acaso para o tratamento do ECC, com
uma probabilidade escolhida de tal forma que, em média, a frequência de eventos
ECC pode ser definida usando um dos dois seguintes modos:
1. A frequência de verificação e correção do erro é controlada de forma que o
tempo de CPU gasto no ECC seja 10% do tempo total.
2. A frequência de verificação e correção do erro é controlada de forma que o
número de eventos ECC esteja em torno de 10% do número total de
eventos de crescimentos.
Os autores afirmam que o uso do ECC pode reduzir significativamente o
número necessário de entradas na tabela para um determinado valor de erro
incorrido.
Pope & Ren (2009) também descrevem as melhorias trazidas ao ISAT pela
incorporação de ECC. O erro incorrido tem uma distribuição caracterizada pelo
erro a 90 por cento, ε0.9, quer dizer, 90% das pesquisas feitas tem o erro ε, o qual é
definido como a diferença entre o valor retornado e o valor verdadeiro, menor do
que ε0.9. Para uma dada implementação do ISAT, o ε0.9 varia quase que
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 33
linearmente com εtol, no entanto a razão ε0.9/εtol pode ser afetada pelas
particularidades de cada implemantação.
A Figura 2-4 ilustra a influência da aplicação do ECC no desempenho do
ISAT, empregado num reator parcialmente misturado para combustão não pré-
misturada, usando mecanismo esqueleto de 16 espécies, 100 partículas, 106 passos
de tempo, resultando em 108 consultas. Observa-se que conforme a fração entre o
tempo dispendido no ECC e o tempo total de CPU, dada por ζ, aumenta, o erro ε0.9
diminui, mas o tempo médio de CPU por consulta aumenta. O valor ótimo de ζ é
em torno de 0.1, com esse valor, o tempo médio de CPU por consulta feita,
necessário para um dado valor de ε0.9 cai aproximadamente pela metade quando
comparado com ζ=0.
Figura 2-4. Tempo médio de CPU (μs) por consulta em função do erro a 90 por cento.
Tolerância do erro: εtol = 1×10−4
(verde); εtol= 2×10−4
(azul); εtol = 3×10−4
(vermelho). Os
números 0, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 0.5 indicam o valor da fração ζ, que controla a
quantidade de correção e verificação feita. (Pope e Ren, 2009)
Ressalta-se que o aumento do controle e verificação de erros no algoritmo
ISAT leva a uma diminuição significativa no erro de tabulação incorrido e
também diminui as chances de aproximações inacuradas em consultas
subsequentes.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 34
2.1.4.Aglomeração e Múltiplas Árvores
No trabalho de Abrol (2009), é apresentada uma formulação modificada
para o ISAT, chamada de mISAT, que visa melhorar a taxa de recuperação da
técnica.
Versões anteriores do ISAT envolvem o uso de uma única árvore de busca
binária para construir o banco de dados. No entanto, a desvantagem dessa busca
em árvore binária é que o registro mais próximo à composição desejada, nem
sempre é o recuperado. Para superar isso, algumas técnicas de busca envolvendo
múltiplas árvores binárias são sugeridas para aumentar a probabilidade de
encontrar o registro mais próximo, o que melhora a acurácia do resultado.
O autor mostra que várias estruturas de árvore binária podem ser usadas
para distribuir no banco de dados os registros, que são armazenados como folhas
no final da estrutura de árvore binária ramificada; essas várias estruturas de árvore
permitem estimativas mais precisas da matriz de sensibilidade A, uma vez que
melhora as a chances de se recuperar o registro mais próximo quando uma busca é
feita.
Uma primeira abordagem para a implemtação de múltiplas árvores binárias
é assim descrita: considerando nφ como sendo a dimensão do vetor de entrada,
mais de uma árvore pode ser construída para recuperar um conjunto de 4nφ folhas
próximas. Segundo Abrol (2009), 4nφ é a quantidade necessária para uma
estimativa precisa da matriz sensibilidade. Isto pode ser conseguido através da
distribuição das folhas entre 4nφ árvores binárias, onde se tem que de cada árvore,
uma única folha é recuperada.
Outra abordagem seria recuperar duas folhas em cada árvore e, nesse caso,
apenas nφ árvores binárias precisarim ser armazenadas. Para a recuperação dessas
duas folhas, uma árvore é percorrida em ambos os ramos e, de cada sub-ramo,
uma folha é recuperada.
Para evitar que o tempo de pesquisa para várias árvores seja afetado, as
folhas devem ser distribuídas uniformemente entre as diferentes árvores. Assim,
um tempo de busca aproximadamente igual é necessário para pesquisar
completamente cada uma das árvores em paralelo, no caso em que múltiplos
processadores estiverem disponíveis para o uso.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 35
Abrol (2009) apresenta diferentes técnicas de distribuição de folhas da
árvore binária para melhorar a decomposição espacial nas árvores. Tais técnicas
têm base na distribuição uniforme e em “k-means cluster”, que é uma técnica de
agrupamento com base na avaliação e comparação dos valores numéricos dos
dados, separação deles e realocação em grupos similares. O uso desse
agrupamento garantirá que os dados semelhantes sejam colocados próximos uns
dos outros e a busca na árvore binária resulte na recuperação mais acurada. Os
dados assim distribuídos em grupos, também melhoram o tempo de pesquisa.
2.1.5.Balanceamento Dinâmico da Árvore Binária
A árvore binária construída pelo ISAT não é necessariamente balanceada,
pois isso depende do vetor de consulta e do vetor armazenado. Tendo em vista que
tal árvore, desbalanceada, exige mais tempo para a localização de uma folha, uma
estrutura alternativa para a construção da árvore binária de busca do ISAT é
sugerida por Abrol (2009): a árvore AVL, que tem como objetivo reduzir o tempo
de busca na tabela ISAT, é uma árvore binária na qual a diferença entre a altura
das subárvores direita e esquerda nunca é maior que um, ou seja, ela é uma árvore
balanceada.
Ao contrário da árvore binária originalmente usada no ISAT, para uma
árvore AVL, cada nó é uma folha, que armazena também uma chave numérica, a
identificação dessa folha. Como o vetor de consulta é um conjunto de valores
numéricos, encontrar um único número que representa esse vetor pode ser uma
dificuldade. No entanto, segundo o autor, a decomposição em valores singulares
(SVD) do vetor fornece um valor único para cada folha, e pode ser usado como
chave numérica, isto é, uma identificação da folha.
Descrevendo brevemente o método, tem-se que, conforme a árvore é
construída, a folha com uma chave menor que a chave do registro encontrada no
nó, é adicionada à esquerda, e se tiver uma chave maior, à direita. O algoritmo
verifica a altura das subárvores após cada adição de nova folha e se a diferença
entre as subárvores da esquerda e da direita for maior do que um, ele executa
rotações na árvore para restabelecer seu equilíbrio.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 36
Com base no exposto acima, conclui-se que esta estrutura alternativa para a
construção do banco de dados do ISAT, onde a árvore tem os ramos equilibrados,
conhecida como árvore AVL é uma boa alternativa para reduzir
consideravelmente o tempo de busca, especialmente quando o número de folhas
na árvore é grande.
2.1.6.Especificação de Regiões de Acurácia e de Inacurácia
No algoritmo ISAT original, quando uma busca na árvore binária por um
registro é realizada, tem-se que no caso de o vetor inicial de consulta se encontrar
dentro de um determinado EOA, este é retornado como o registro mais próximo.
O problema com esta abordagem é que o EOA, tido como uma aproximação
para região de acurácia (ROA) e pertencente a certo ponto de dados pode cruzar
mais de uma ROA. Da mesma forma, a região a que este ponto tenha sido
atribuído pode conter outros EOAs.
Na Figura 2-5, são vistos os EOAs e as ROAs; como se nota, a função f(φq)
não pode ser aproximada usando f(φ1), mas pode ser aproximada usando f(φ2).
Como, φq e φ2 são de regiões diferentes, a busca na árvore binária usando o
algoritmo original ISAT não irá resultar na recuperação do registro mais próximo
possível.
Figura 2-5. Interseção do elipsoide de acurácia com a região convexa. Os EOAs não são
conformes à região convexa (adaptado de (Abrol, 2009)).
Para superar essa deficiência, um novo algoritmo, chamado mISAT, é
sugerido por Abrol (2009): Consideram-se todos os pontos em que o EOA está
parcial ou totalmente contido na região a qual o vetor de consulta pertence; isto é
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 37
feito associando uma lista de pontos (e não apenas um único ponto) a uma
determinada região.
Um parâmetro list_size é definido como sendo o número máximo de
registros que podem ser adicionados a certa folha da árvore binária, isto é, número
máximo de EOAs associados a uma determinada região. Como o propósito de
uma estrutura de árvore binária, é reduzir o tempo de pesquisa, o parâmetro
list_size deve ser escolhido de forma a levar ao menor tempo de pesquisa, sem
comprometer a taxa de recuperação.
A procura em uma árvore binária é feita pela travessia por ela usando o
plano de corte definido para cada nó. Um novo registro é adicionado à mesma
folha (região) se o número de registros nela for menor que o parâmetro list_size;
se for maior, a região é dividida em duas sub-regiões.
Uma vez que o registro é adicionado em uma nova sub-região, uma busca
sequencial de todas as folhas da árvore é realizada para verificar se o novo
registro tem um elipsoide que poderia estar parcialmente contido em outra região.
Esta pesquisa sequencial não leva muito tempo, pois as folhas mantêm uma "lista"
de registros e para encontrar a intersecção do EOA com a região, apenas a região
(ou folha) que contém tal registro(s) deve ser considerada.
Manter uma "lista" de todos os EOAs que cruzam uma região convexa
melhora a possibilidade de se recuperar o registro mais próximo, o que melhora o
desempenho do ISAT. Pode-se inferir que o algoritmo apresentado por Abrol
(2009), é capaz de realizar recuperações simultaneamente, mantendo o controle de
todos os pontos cujos EOAs estão em uma região convexa, de forma total ou
parcial e ainda obter resultados mais acurados que a versão original do ISAT.
O trabalho de Liu & Pope (2005) apresenta um estudo abrangente da
caracterização do erro inerente ao uso do algoritmo ISAT, determinando a
precisão dos erros local e global associados ao armazenamento e à recuperação no
cálculo da chama turbulenta empregando o mecanismo esqueleto para a
combustão do metano com ar, constituído por 16 espécies e 41 reações.
O trabalho faz, ainda, uma discussão a respeito das três diferentes
estratégias para o crescimento do EOA, uma exposição da função de distribuição
acumulativa (cumulative distribution functions - CDF) do erro local e uma
caracterização do erro global, usando uma determinada configuração de teste.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 38
O crescimento do EOA é um método efetivo utilizado para aumentar o
número de recuperações no ISAT com um determinado tamanho de tabela, no
entanto, isto se torna uma das maiores causas de ocorrência de grandes erros
locais.
Liu & Pope (2005) apresentam diferentes estratégias de crescimento do
elipsoide de acurácia (EOA) possíveis:
I. Modo de crescimento 1 → crescimento do elipsoide:
Estratégia proposta originalmente por Pope (1997). Dado um EOA centrado
no ponto φ0, o novo EOA é o hiperelipsoide único, de volume mínimo, centrado
em φ0 que engloba ambos o EOA original e o ponto de consulta, φq, como
mostrado na Figura 2-6.
Figura 2-6. Ilustração do crescimento do EOA no modo 1 (Liu e Pope, 2005).
II. Modo de crescimento 2 → crescimento do elipsoide com
modificação de Chew
Mais conservador que o anterior. Para cada EOA, o hiperelipsoide é
primeiramente transformado em uma hiperesfera, como mostrado na Figura 2-7.
Um hipercubo é inscrito dentro dessa hiperesfera unitária, com os seus vértices
sobre a superfície da mesma. Quando o EOA cresce, o novo EOA (no espaço
transformado) é o hiperelipsoide único de volume mínimo que engloba o
hipercubo e o ponto de crescimento, φq.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 39
Figura 2-7. Ilustração do crescimento do elipsoide de acurácia usando o modo 1, no
espaço transformado. (Liu e Pope, 2005)
A Figura 2-8 ilustra o crescimento do elipsoide de acurácia e suas diferenças
usando os modos 1 e 2, no espaço transformado bidimensional.
Figura 2-8. Ilustração dos diferentes modos de crescimento. Linhas sólidas: modo1.
Linhas pontilhadas: hipercubo usado no modo 2. Linhas tracejadas: crescimento do EOA
usando o modo 2. (Liu e Pope, 2005)
I. Modo de crescimento 3 → crescimento cônico:
A Figura 2-9 mostra o crescimento do elipsoide de acurácia usando o modo
3, no espaço transformado.
Este é o modo mais conservativo dos 3 casos. O EOA cresce usando um
cone baseado no EOA atual e no ponto de crescimento; então, esse elipsoide é
transformado em uma hiperesfera unitária, com o ponto de crescimento φq
localizado no eixo a uma distância r da origem. O erro no ponto de crescimento é
ε. O ponto limite, φp, é definido como sendo o local no eixo onde o erro é o
mesmo da tolerância, isto é: φp = φ
q (εtol/ε)
1/2.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 40
Um cone é criado no espaço transformado, com o vértice no ponto limite φp.
O novo EOA é então o hiperelipsoide de volume máximo que pode ser inscrito
dentro do cone, e que não inclui o ponto de crescimento. É possível que o novo
EOA tenha um volume menor do que o EOA original. Neste caso, o EOA original
é mantido, e assim nenhum crescimento é realizado. Esta estratégia de
crescimento garante que, para o caso em que a região de acurácia (ROA) é
convexa, o EOA após crescimento encontra-se inteiramente dentro dela.
Figura 2-9. Ilustração do modo de crescimento 3. Linhas sólidas: EOA original. Linhas
pontilhadas: cone usado no modo 3. Linhas tracejadas: crescimento do EOA no modo 3
(Liu e Pope, 2005).
Também foram investigadas as possíveis razões para imprecisão devido ao
crescimento do elipsoide de acurácia. Existem três possíveis razões pelas quais
imprecisões surgem quando do crescimento do EOA; abaixo, uma breve discussão
a respeito delas é apresentada.
Em primeiro lugar, é possível que ao longo da região de acurácia, que é
aquela na qual o erro não excede a tolerância especificada e que é aproximada
para um elipsóide, a função tabulada seja significativamente não linear, e,
portanto, a análise da série de Taylor truncada pode ser imprecisa, originando a
possibilidade de comportamento não-monotônico do erro, ε.
Se este for o caso, então, dado um ponto de consulta φq, podem existir
seções sobre o segmento de linha entre φ0 e φq onde ε é maior do que εtol, embora
o ponto de crescimento em si tenha ε menor do que εtol. Contudo, em tal situação,
o EOA é aumentado para englobar essas regiões imprecisas, introduzindo a
possibilidade de que recuperações subsequentes sejam imprecisas. Este problema,
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 41
se existir, tende a desaparecer quando εtol se torna suficientemente pequeno,
porque a ROA encolhe e a precisão da série de Taylor aumenta nesta ROA.
Em segundo lugar, a ROA pode não ser convexa, com uma natureza
hiperbólica. Neste caso, todas as estratégias de crescimento podem fazer com que
o EOA, depois do crescimento, inclua as regiões imprecisas.
Em terceiro lugar, mesmo que a ROA seja convexa (por exemplo,
elipsoidal), as estratégias de crescimento do elipsoide podem levar à inclusão de
regiões imprecisas.
A caracterização do erro local, ε, para um grande número de recuperações, é
feita através do cálculo da função de distribuição acumulativa (CDF) do erro
local:
F(x) Pr b{ < x},
(2.5)
onde x é a variável correspondente ao erro.
A Tabela 2-1 mostra os valores tabelados dos erros estatísticos do ISAT
para os diferentes modos de crescimento com εtol=10-4
e εref= ε0.9 e os casos onde
não há crescimento do EOA. Para o caso onde o crescimento não é permitido, há
um número insignificante de amostras com erros superiores a εtol, por isso os erros
não aparecem na tabela. Neste caso a tabela ISAT está saturada, ou seja, todo o
espaço destinado a ela foi ocupado e não é possível fazer adições na árvore
binária.
As estatísticas de ε normalizado por εtol mostram que os modos 1 e 2
apresentam resultados semelhantes, com o modo 2 sendo um pouco mais
conservador do que o modo 1, como esperado. O modo 3 apresenta melhor
controle de erro (em relação à tolerância do erro). Como esperado, a ausência de
crescimento fornece o melhor controle de erro entre todos.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 42
Tabela 2-1. Estatísticas de erro do ISAT para diferentes estratégias de crescimento com
εtol = 1×10-4
(Liu e Pope, 2005).
Modo de
crescimento 1 2 3
Sem
crescimento
εref x 106 342 303 67,8 -
ε0,99/εref 6,93 6,77 5,94 -
ε0,999/εref 19,77 18,65 15,04 -
Prob (ε>εref) % 20,02 19,89 7,14 0,0
ε0,9/εtol 3,42 3,42 0,678 -
ε0,99/ εtol 23,7 20,5 4,03 0,016
ε0,999/ εtol 67,6 56,5 10,2 0,027
Os autores afirmam que nenhum dos modos exibe um controle excelente de
erro, no entanto, para o modo 3, o desempenho do controle de erro piora quando
εtol diminui. Além disso, as principais conclusões sobre o erro local são
apresentadas a seguir:
1. Grandes erros locais são observados, embora com pequena
probabilidade;
2. Os grandes erros locais observados são resultados do processo de
crescimento do EOA. Quando o crescimento é suprimido, os
maiores erros são apenas uma pequena percentagem de εtol;
3. Os grandes erros locais não são causados pelo comportamento não
monotônico de ε. Se este fosse o caso, o controle de erros
melhoraria conforme εtol diminuísse, mas isso não foi observado;
4. Os erros grandes são associados a regiões de acurácia não
convexas;
5. É aconselhável o uso do modo mais simples de crescimento (modo
1) já que a função de distribuição cumulativa de ε/εref é
basicamente a mesma para todas as estratégias de crescimento e
valores de εtol.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 43
Liu & Pope (2005) também fazem uma caracterização do erro global, nos
cálculos que utilizam o transporte da PDF, decorrente dos erros locais incorridos
no algoritmo ISAT. Isto é realizado considerando o erro da média das frações de
massa das espécies químicas e da temperatura.
O erro global de qualquer quantidade ψ é definido como a diferença entre o
valor calculado de ψ, usando ISAT e o valor obtido com a integração direta. Se o
erro global for controlado, as quantidades consideradas devem convergir para o
valor resultante da integração numérica direta conforme o erro tende a zero.
Os autores afirmam que, para os quatro menores valores de εtol estudados
((1/64, 1/16, 1/4 e 1)×10-4
), todos os resultados calculados estão em concordância,
dentro dos intervalos de confiança. Isto indica que os erros devido ao ISAT são
pequenos em relação aos erros estatísticos para εtol=10-4
, além disso, os erros
diminuem conforme εtol é reduzido. Por outro lado, dentre os valores estudados
pelos autores, são observados grandes erros devidos ao ISAT para valores de
εtol=4×10-4
e 16×10-4
. Os autores afirmam, ainda, que o erro global do ISAT varia
linearmente com εtol como faz o erro local e como é desejado.
Cálculos foram realizados a fim de examinar o erro global no ISAT. As
seguintes observações e conclusões sobre o erro global podem ser feitas:
1. Os intervalos de confiança para os testes feitos são grandes para os
dois maiores valores de εtol, devido à ocorrência de grandes erros
estatísticos.
2. Em geral, para os quatro menores valores de εtol, os resultados
calculados são melhores, indicando que os erros do ISAT são
pequenos em relação aos erros estatísticos para εtol ≤ 10-4
(valores
estudados pelos autores).
3. O erro global varia linearmente com εtol, conforme o desejado.
Os autores descobriram que o cálculo do vetor de Householder, usado no
algoritmo para crescer os EOAs, em algumas raras situações é mal condicionado e
isso pode resultar em elipsoides inacurados, e consequenntemente, recuperações
inacuradas.
Por fim, cabe ressaltar que, em geral, os valores adequados de εtol dependem
de muitos fatores (por exemplo, o mecanismo químico, o intervalo de passo de
tempo, etc.). Assim, esse estudo deve ser tomado apenas a título de valores da
maneira de escolha de εtol.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 44
2.1.7.Operadores de Separação
Pope & Ren (2009) têm seu foco em questões relativas à aplicação eficiente
de mecanismos de cinética química detalhada em combustão computacional, para
tanto, se faz uma descrição do esquema computacionalmente eficiente de operador
de separação de fluxos, e também descrevem os desenvolvimentos recentes no
algoritmo de armazenamento e recuperação ISAT.
Duas classes de esquemas de separação são introduzidas: uma é baseada na
técnica de separação Strang, onde as reações químicas são separadas da difusão e
da convenção; e a outra é baseada em passos de tempo escalonado.
Para cada passo de tempo Δt, o esquema baseado na separação de Strang
requer 2 subpassos de reação de valor Δt/2 e 1 subpasso de transporte de valor Δt.
O esquema baseado em passos de tempo escalonado requer um único passo
fracionado de reação de tamanho Δt e um único subpasso de transporte de
tamanho Δt. As soluções dos subpassos de transporte são obtidas através de
métodos preditores corretores ou linearizações.
Os autores afirmam que quando o esquema de separação de Strang, baseado
no ISAT é aplicado a uma chama unidimensional de metano-ar, usando cinética
química detalhada (GRI3.0), um fator global de aceleração de cerca de 7,5 é
atingido após a tabela ISAT ser construída e preenchida. Testes realizados
mostraram que os esquemas de separação propostos atingiram uma acurácia de
segunda ordem no tempo.
A Figura 2-10 mostra o erro numérico para diferentes esquemas de
separação propostos, em função dos passos de tempo. Como podem ser
observados, os erros diminuem com Δt aproximadamente como Δt2, ilustrando a
acurácia de segunda ordem no tempo, isto é, εmax (Δt)~Δt2, como pode ser visto na
linha tracejada de inclinação 2.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 45
Figura 2-10. Erros numéricos. Esquemas de Strang (Strang-PC1, Strang-PC2, Strang-
Lin) e esquemas escalonados (Staggered-PC1) (Pope e Ren, 2009).
2.2.Algumas Técnicas que Consideram a Estrutura da Combustão
Nesta segunda parte será relatada uma análise de artigos que apresentam
técnicas com algum tipo de restrição sobre a estrutura da chama. Para cada um
desses artigos será feito um resumo da técnica.
2.2.1.F-TACLES (Tabulação Química Filtrada para Simulação de Grandes Escalas)
Ignição de chamas, extinção ou predição de poluentes são questões
importantes na simulação de grandes escalas (LES) de combustão pré-misturada.
A tabulação química filtrada para simulação de grandes escalas - Filtered
Tabulated Chemistry for Large Eddy Simulation (F-TACLES) (Fiorina,
Vicquelin, et al., 2010) - é um método de tabulação química em combustão pré-
misturada aplicado em simulação de grandes escalas. O objetivo desta tabulação é
garantir que a velocidade de propagação da frente de chama filtrada tende para a
da chama laminar quando a escala subfiltro de turbulência diminui e o modelo
tende para a simulação numérica direta.
Neste método, a estrutura a priori de uma chama laminar, plana,
unidimensional e pré-misturada é filtrada e usada para a construção de uma tabela
que armazena as propriedades termoquímicas filtradas de interesse para o cálculo
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 46
da propagação da chama. No trabalho de Fiorina, Vicquelin, et al. (2010) é
demonstrado que o formalismo β-PDF, quando aplicado à combustão pré-
misturada modelada em LES, não permite uma boa descrição da frente de chama
laminar filtrada.
Nos modelos clássicos, para acoplar a química tabulada com a combustão
turbulenta, quantidades médias devem ser determinadas utilizando funções de
densidade de probabilidade presumidas. Neste tipo de modelo o principal
problema encontrado é que a espessura da chama geralmente é menor do que o
tamanho da malha LES. Isto ocorre devido ao fato de o termo fonte da variável de
progresso da reação ser muito “rígido”, assim, a frente da chama não pode ser
diretamente resolvida em malhas LES, o que leva a problemas de representação.
Uma solução recentemente proposta para este problema é o modelo FPI-
PCM (Presumed Conditional Moment) (Galpin, Naudin, et al., 2008),
desenvolvido para introduzir os efeitos da cinética química em LES. O modelo
combina função densidade de probabilidade (PDF) e tabelas baseadas no
prolongamento da chama do tubo de distribuição intrínseco de baixa dimensão
(Flame Prolongation of Intrinsic low-dimensional manifolds – FPI) para
descrever a taxa de reação química da variável de progresso filtrada. Esse modelo
leva em conta a interação entre turbulência e cinética química ao nível de escala
subfiltro.
Em Fiorina, Vicquelin, et al. (2010) as propriedades termodinâmicas e
químicas são tabuladas em função de uma única variável de progresso de reação,
c, a qual se encontra relacionada com a temperatura ou com uma combinação de
espécies químicas. Por definição, c=0 corresponde aos gases frescos e c=1, aos
gases totalmente queimados. A tabela é acoplada à descrição do escoamento, por
adição da equação de transporte da variável de progresso às equações de Navier-
Stokes. Assim, as equações filtradas resolvidas neste modelo são as de: transporte
de massa, quantidade de movimento, energia total, variável de progressão e a
equação de estado.
O modelo proposto é capaz de representar a chama turbulenta dobrada em
situações nas quais os modelos clássicos falham:
1. O dobramento da chama é totalmente resolvido no tamanho de
filtro LES;
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 47
2. O dobramento ocorre na escala de subfiltro, logo, afeta a
velocidade da chama filtrada.
Considerando uma chama laminar, plana, filtrada e pré-misturada, caso não
ocorra nenhum enrugamento na escala subfiltro, a velocidade de propagação da
frente de chama filtrada é idêntica à velocidade da chama laminar.
Quando o tamanho do filtro é maior do que a frente de chama, a velocidade
de propagação da variável progresso filtrada é superestimada pela função β
presumida. Uma solução para propagar uma frente de chama na velocidade
correta é artificialmente engrossar a zona de reação, porém ela deixa de
corresponder à estrutura da frente de chamas filtrada. Uma alternativa a isso é
aplicar diretamente uma função filtro normalizada para estimar a taxa de reação
filtrada.
O procedimento de tabulação da estrutura de chama plana laminar pré-
misturada filtrada proposto nesta técnica é apresentado e consiste em criar uma
base de dados do termo de reação filtrado, com a variável sendo tabulada em uma
tabela bidimensional em função do tamanho do filtro.
Os autores também demonstram que a aproximação usual, a qual consiste
em desprezar os termos de difusão laminar filtrado ou aproximá-los usando os
valores médios das quantidades transportadas é grosseira e introduz erros de
primeira ordem na formulação. A proposta desse trabalho é modelar os termos de
difusão filtrados usando uma função filtro normalizada e criando uma tabela com
um fator de correção do termo de transporte da propriedade filtrada.
Estes fatores de correção são obtidos aplicando-se o processo de filtragem à
solução de uma chama laminar plana, o que implica na criação de uma biblioteca
parametrizada pelo tamanho do filtro. Cabe ressaltar que uma limitação desta
técnica é a hipótese de que a chama plana permanece válida no nível de escala
subfiltro.
A interação entre a turbulência e a combustão pode causar o dobramento da
frente de chama no nível de escala subfiltro. Os autores apresentam, também, uma
estratégia para estender o modelo descrito acima para esta situação de chama
turbulenta, baseada em um “fator de dobramento da chama”.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 48
2.2.2.MFM (Tubos Multidimensionais Gerados por Elemento de Chama)
O conceito de elemento de chama laminar tem sido largamente empregado
na modelagem da combustão turbulenta pré-misturada e não pré-misturada.
Nestes casos, as propriedades locais da chama turbulenta são obtidas pela média
do comportamento de um conjunto de chamas laminares, geralmente assumidas
como unidimensionais.
O conceito de elemento de chama pré-misturado também foi empregado
com sucesso para reduzir a complexidade da cinética química, a fim de manter os
custos computacionais em um nível moderado. Este é o caso, em particular, de
duas abordagens equivalentes conhecidas como Flame Prolongation of Intrinsic
low-dimensional manifolds (FPI) e Flamelet-Generated Manifolds (FGM)
(citados em (Nguyen, Vervisch, et al., 2010)), as quais consistem em resolver um
conjunto de chamas laminares pré-misturadas unidimensionais; a taxa de reação e
a fração de massa das espécies são, então, tabuladas em função de alguma
coordenada pré-definida.
No entanto, no trabalho de Nguyen, Vervisch, et al. (2010) conclui-se que
a tabulação de elemento de chama pré-misturado, em geral, falha quando aplicada
a chamas ricas parcialmente misturadas ou de difusão. A fim de superar esta
deficiência e descrever situações em que ocorrem os três regimes: de chama pré-
misturada, de chama parcialmente pré-misturada e de chama de difusão, (Nguyen,
Vervisch, et al., 2010) propõem um modelo de elemento de chama
multidimensional. Assim, o método chamado Multidimensional Flamelet-
Generated manifolds (MFM - tradução livre: tubos multidimensionais gerados por
elemento de chama) resolve um conjunto de chamas laminares nos três regimes.
Para este fim, as equações governantes são derivadas da projeção do conjunto de
equações de balanço de espécies e conservação de massa em um subconjunto do
espaço de composição, através de um sistema de coordenadas não ortogonal. Com
isso, os únicos parâmetros críticos do modelo são as taxas de dissipação
características i) da mistura, ii) do progresso de reação e iii) cruzada (escalar
reativo e não reativo).
Essa transformação leva a evolução temporal e a espacial do sistema a
serem expressas como função de uma combinação linear das frações de massa das
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 49
espécies e de taxas de dissipação dos escalares reativos. Utilizando-se parâmetros
de controle, como taxas de dissipação escalar, condições de contorno da chama,
etc., a solução das equações de espécies e de energia são, então, tabuladas.
2.3.Algumas Técnicas que Não Consideram a Estrutura da Combustão
Nesta terceira parte são abordados alguns trabalhos que apresentam técnicas
mais gerais, ou seja, que não fazem nenhum tipo de hipótese sobre a estrutura da
chama ou do processo de combustão. A técnica ISAT adotada neste estudo
pertence a esta categoria.
Embora essas técnicas não venham a ser usadas no trabalho aqui
desenvolvido, acredita-se que sua descrição serve para situar o grau de
complexidade associado à redução do custo computacional de mecanismos
cinéticos detalhados.
2.3.1.Redução por Análise dos Passos de Reação
Revel, Boettner, et al. (1994) apresentam um método baseado em análise
dos passos da reação e em cálculo do fluxo atômico para a redução dos
mecanismos de cinética química detalhada. A redução por análise e fluxo atômico
consiste em estudar os passos da reação ao longo da coordenada de reação,
retirando as espécies que se encontram em estado estacionário e determinando
uma reação global entre as espécies restantes.
O método foi aplicado à mistura CH4/O2/N2, incluindo as reações do NOx.
Um mecanismo global para a combustão de metano e da formação de NO foi
elaborado envolvendo apenas seis reações químicas e dez espécies. Este
mecanismo é capaz de reproduzir o tempo de ignição, a evolução da temperatura e
da concentração de espécies majoritárias e de NO sobre uma gama de condições
experimentais.
A estratégia de redução permite dissociar os efeitos térmicos e cinéticos.
Determina-se o fluxo atômico para cada átomo presente, derivado das taxas de
reação, então, obtêm-se os fluxogramas para cada um dos átomos, C, H, O, N, e
para diferentes tempos de reação. Comparando-se os gráficos dos diferentes
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 50
elementos, pode-se encontrar a reação envolvida em uma dada transformação,
assim, as espécies e os coeficientes estequiométricos podem ser calculados.
Nesta técnica, as espécies estacionárias são identificadas e eliminadas; em
seguida, obtêm-se as reações globais entre as demais espécies, aquelas não
estacionárias. O estudo da evolução da reação no tempo permite identificar e
separar cada passo importante e, então, elaborar um modelo global em acordo
com as características termoquímicas da combustão. O último passo consiste em
encontrar expressões para as taxas globais, que sejam numericamente estáveis, e
adaptá-las aos resultados oriundos do mecanismo de cálculo detalhado.
2.3.2.ICE-PIC
O estado termodinâmico de um sistema é completamente descrito pela
pressão, temperatura e frações molares, logo, quanto maior o número de espécies
no mecanismo de cinética química detalhada, maior é o custo computacional
associado ao cálculo das reações químicas. Assim, com o intuito de reduzir este
custo computacional, Ren, Pope, et al. (2006) apresentam um método de
simplificação da cinética química detalhada para reduzir o número de variáveis
necessárias à descrição do sistema. Este método é conhecido como Invariant
Constrained Equilibrium Edge Preimage Curve (ICE-PIC) e pode ser usado
juntamente com métodos de armazenamento, como o ISAT, para reduzir, em
muito, o custo computacional de uma simulação. Este método é, em grande parte,
baseado em considerações geométricas, envolvendo diversas superfícies curvas,
tubos de distribuição e suas interseções (Ren e Pope, 2005).
Esta é uma técnica cujos únicos parâmetros de entrada são o espaço de
composição reduzida das espécies químicas e o mecanismo cinético detalhado. Os
autores propõem um novo método baseado em um tubo de borda de equilíbrio
restrito invariante (ICE). Esse tubo é gerado pelas trajetórias de reação oriundas
da borda, onde a composição encontra-se em um estado de equilíbrio restrito. Em
cada local deste tubo o estado termodinâmico é completamente caracterizado pela
pressão, entalpia e número específico de moles das espécies. A técnica determina
um único ponto deste tubo, que corresponde a cada valor realizável das variáveis
representadas. A reconstrução de espécies, que é o processo de identificação do
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 51
ponto, tem como objetivo a determinação de uma estimativa da composição
completa no tubo de distribuição ICE considerado.
Também é apresentado um método local de reconstrução das espécies,
chamado de ICE-PIC, baseado num tubo ICE e usando pré-imagens de curvas
(PIC), no qual não há a necessidade de representar o tubo ou gerá-lo por inteiro, o
que seria mais custoso computacionalmente (Ren, Pope, et al., 2006).
Os autores demonstram como as equações de uma chama laminar plana em
regime permanente são resolvidas para gerar bibliotecas da composição completa
das espécies químicas como função da distância ao longo da chama. Uma vez que
a composição reduzida pode ser deduzida desta distância, uma das possíveis
metodologias para reconstrução de espécies é usada para estimar a composição
química completa e, a partir disso, o erro inerente à reconstrução das espécies.
O sistema de interesse consiste de ns, espécies químicas compostas de nel
elementos. A composição das espécies é dada pela matriz E de dimensão ns x nel,
onde o componente Eij indica o número de átomos do elemento j em uma
molécula da espécie i. Os autores usam o vetor { , , , } para
representar a fração molar, o qual pertence ao espaço de composição completa .
Considerando que a fração molar do elemento i denotada por é parte do
vetor , (onde T denota a matriz transposta) de dimensão nel, tem-se que,
dado que o número de moles ze é conservado, o sistema reativo pode ser descrito
no espaço afim, de dimensão ns - nel, definido por:
( ) { | , }
(2.6)
Define-se a região realizável do espaço reativo afim como:
( ) { | , , }
(2.7)
Para ilustrar a técnica, Ren, Pope, et al. (2006) usam o espaço
tridimensional (ns-nel=3) do sistema quimicamente reativo idealizado H2/O, sendo
ns=6 e nel=3. A Figura 2-11 mostra a região realizável ( ), projetada no
subespaço tridimensional C, com os vetores correspondentes espécies H2, O, e
H2O. A região realizável ( ) é um politopo convexo de cinco lados em forma
de cunha e a sua fronteira é composta por cinco faces (planas), em cada uma das
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 52
quais pelo menos um componente de z é zero, enquanto que no interior a região
realizável todos componentes de z são estritamente positivos. Observa-se que duas
trajetórias de reação hipotéticas estão representadas, através dos pontos z e z’, a
partir dos pontos de origem na fronteira zb(z) e z
b(z’) e terminando no ponto de
equilíbrio único zeq(ze).
Figura 2-11. Ilustração da região realizável para o sistema idealizado H2/O, com 2
trajetórias originando na fronteira e terminando no ponto de equilíbrio (Ren, Pope, et al.,
2006).
Devido às reações químicas, a composição z(t) evolui no tempo, t, de acordo
com o sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs):
( )
[ ( )],
(2.8)
onde S(z) é o vetor taxa de variação, determinado pelo mecanismo de cinética
química. As soluções da Eq.(2.8) fornecem o mapa de reação, R(z,t), que
representa a trajetória de reação no espaço de z:
( , ) , ( , )
[ ( , ) ]
(2.9)
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 53
Os autores mostram que a trajetória da reação através de z permanece na
região realizável tende para o ponto de equilíbrio, quando o tempo é grande, e
considerando-se a inversão da flecha do tempo, a trajetória intercepta a fronteira.
A composição reduzida, r, é definida como um conjunto de nr variáveis
representadas, sendo 1 ≤ nr ≤ (ns-nel), que são, por exemplo, as espécies químicas
majoritárias. Define-se, também, uma combinação linear das espécies, a qual
forma a composição reduzida, , onde B é um a matriz ns x nr. A
composição reduzida r é um vetor de dimensão nr no espaço de composição
reduzida, , e é confinada à região realizável reduzida :
( ) { | , ( )},
(2.10)
a essa região reduzida, correspondem as espécies químicas representadas, as
demais se constituem em espécies não representadas.
Redução de dimensão consiste, principalmente, da identificação de um tubo
de atração de dimensão nr, M(ze), na região de realizável ( ). Os autores
afirmam que, para cada ponto r na região realizável reduzida, ( ), existe um
único ponto correspondente ao tubo, denotado por ( , ), isto é, o tubo não é
dobrado: Por hipótese da técnica, as composições que se encontram perto do tubo,
são aproximadas por aquelas que estão dentro do tubo.
Na reconstrução das espécies, dados ze e r, determina-se ( , ), que é
um ponto e portanto não há necessidade de gerar ou representar o tubo por inteiro.
Nesse caso, define-se também a região viável, , que é a união da composição z
na região de e que contém a composição reduzida r:
( , ) { | , ( )}
(2.11)
Dados ze e r, sem outras considerações, geralmente não é possível
determinar z: as composições não representadas, u, não são conhecidas. Mas sabe-
se que z está na região viável, F.
A Figura 2-12 mostra a região reduzida realizável ( ) (área
sombreada), que é a projeção perpendicular da região realizável ( ) no
subespaço reduzido. O plano horizontal r1-r2 é o espaço de composição reduzido,
. Dada a composição z, a composição reduzida r é simplesmente a projeção
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 54
ortogonal no plano r1-r2. A composição não representada esta no eixo u1. A figura
também mostra as regiões viáveis (unidimensional) F(r) e F(r’), correspondente
aos pontos no interior r e na fronteira r’; a região viável de dimensão zero, F(r’’),
corresponde ao ponto r’’ na fronteira.
Figura 2-12. Ilustração da região realizável reduzida (hachurada), como a projeção da
região realizável C+. A figura também mostra a região viável F (Ren, Pope, et al., 2006).
Para um sistema considerado isobárico e isotérmico, define-se o tubo de
equilíbrio restrito (CEM), denotado por MCE
(ze), como sendo a união dos pontos,
( , ) na região viável onde a função de Gibbs é mínima:
( ) { ( , )| ( )}
(2.12)
A Figura 2-13 mostra o tubo CEM (grade) com H2 e O sendo as espécies
representadas para o sistema idealizado. O ponto é a composição de equilíbrio
químico do sistema. As linhas em negrito formam a borda de equilíbrio restrito,
que é a interseção entre o CEM e a fronteira da região realizável.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 55
Figura 2-13. Tubo CEM, em negrito está a borda equilíbrio restrito ( ) (Ren, Pope,
et al., 2006).
A borda de equilíbrio restrito, outra curva de interesse, que representa a
interseção de ( ) e a fronteira da região realizável, é dada por:
( ) ( ) ( )
(2.13)
Para cada ponto na fronteira da região realizável reduzida, ( ), existe
um único correspondente ponto na borda de equilíbrio restrito, que é dado por:
( ) { ( , )| ( )}
(2.14)
O tubo ICE, ilustrado na Figura 2-14, é a união de todas as trajetórias reação
R(zg, t) progressivas no tempo t e provenientes da geração de pontos na, z
g, na
borda do tubo de equilíbrio restrito, ∂MCE
(ze). Assim, o tubo ICE (tubo de borda
de equilíbrio restrito e invariante) que contém os pontos de equilíbrio, é definido
como:
( ) { | ( , ), , ( )}
(2.15)
Observa-se da Figura 2-14 que, para cada ponto originado na fronteira
∂MCE
(ze), a trajetória de reação segue, quase como uma linha reta, em direção a
um tubo unidimensional altamente trator. Apesar de não ser evidente a partir da
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 56
figura, esta trajetória muda bruscamente para aderir ao tubo atrator seguindo para
o ponto de equilíbrio.
Figura 2-14. Tubo de equilíbrio invariante restrito (ICE), para um sistema idealizado, que
é a união das trajetórias de reação da borda linhas do equilíbrio restrito (em negrito)
(Ren, Pope, et al., 2006).
Para cada composição reduzida r existe um único ponto zICE
(ze,r)
correspondente no tubo, este ponto é definido como:
( , ) { | ( , ), }
(2.16)
As pré-imagens dos tubos (preimage manifold) mostrados na Figura 2-15,
são assim descritos: Dada a composição reduzida, a composição completa é
conhecida por estar na região viável, onde para cada ponto sobre ela, a trajetória
de reação pode ser seguida para trás no tempo, até que cruze a fronteira neste
determinado ponto. O preimage manifold é definido como a união de todas essas
trajetórias de reação. A Figura 2-15 mostra a região viável e o preimage manifold
gerado por ela, cujas fronteiras são as curvas b1 e b2, para o sistema idealizado
H2/O. Essas fronteiras são as intersecções entre preimage manifold e as fronteiras
da região realizável.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 57
Figura 2-15. Representação da região realizável e do preimage manifold (Ren, Pope, et
al., 2006).
Ren, Pope, et al. (2006) consideram que a pré-imagem de uma curva é
aquela situada no preimage manifold com uma extremidade na região viável e
outra na fronteira da região realizável; e ainda, que todos os pontos nessa curva
são pontos de equilíbrio restrito. Assim, a pré-imagem da curva de equilíbrio
restrito (CE-PIC) é a interseção entre preimage manifold e tubo de equilíbrio
restrito (CEM). Esta situação é apresentada na Figura 2-16:
Figura 2-16. Representação da interseção entre preimage manifold e tubo de equilíbrio
restrito (CEM). Essa interseção é a pré-imagem da curva de equilíbrio restrito (CE-PIC)
(Ren, Pope, et al., 2006).
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 58
Na redução da dimensão da cinética química da combustão, em
substituição ao método global para geração do tubo de distribuição completo, que
é computacionalmente inviável para a combustão química da maioria dos
combustíveis, a proposta dos autores é usar uma técnica local de reconstrução das
espécies, que identifica os pontos ( , ) no tubo ICE, para determinados
valores da composição reduzida ( , ). A técnica, chamada ICE-PIC, que usa
pré-imagem de curvas de equilíbrio restrito é ilustrada na Figura 2-17 e segue o
algoritmo:
1. A composição do equilíbrio restrito zCE
(ze,r) é determinada;
2. A pré-imagem da curva de equilíbrio restrito, CE-PIC, é seguida
partindo do fim da região viável zPIC
(0)=zCE
(ze,r) até a fronteira
zPIC
(sb)=z
g(z
e,r);
3. A trajetória de reação de zg(z
e,r) é seguida progressivamente no
tempo até interceptar a região viável em zF(s
b)=z
ICE(z
e,r).
A Figura 2-17 representa o método ICE-PIC, com uma divisão em espécies
representadas (r1 e r2) e não representadas (u1). São feitas uma representação
reduzida das espécies e uma redução da dimensão do sistema seguida da
reconstrução das espécies. Na figura, observa-se um esquema da região realizável
C+(z
e) mostrando a região viável F(r) e o ponto de equilíbrio restrito z
CE(r),
correspondendo à composição reduzida r dada. A pré-imagem da curva de
equilíbrio restrito CCE
vai de zCE
até sua borda terminando em zg, a qual está em
uma face de ∂C+(z
e) (triângulo à esquerda, no qual r1 vale zero). É ilustrada
também a borda do equilíbrio restrito ∂MCE
(ze) nesta face e a trajetória R(z
g, t’),
que intercepta a região viável em zICE
.
Baseado nos dois pontos do CE-PIC zPIC
(s1) e zPIC
(s2), o valor previsto z^g é
obtido por extrapolação de zg até a face. Uma iteração de Newton é feita e resulta
em uma sucessão de estimativas [z(0)
, z(1)
, ..., z(k)
, ...] de zg (todas em ∂M
CE(z
e)). O
chute inicial, z(0)
, tem o mesmo valor das variáveis representadas como z^g. A
iteração é baseada no refino de z(k)
com o cuidado de fazer a trajetória de reação
projetada BTR(z
(k), t’) passar por r.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 59
Figura 2-17. Esquema do método ICE-PIC (Ren, Pope, et al., 2006).
Os autores afirmam que das metodologias de reconstrução de espécies que
mostram bons resultados sobre uma gama de temperaturas, o ICE-PIC é o que
produz o menor erro máximo.
2.4.Considerações Finais
A simulação numérica de processos de combustão está se tornando uma
ferramenta de análise generalizada em diversas áreas, tais como turbinas a gás e
de fornos de combustão.
No entanto, um dos principais inconvenientes que limitam a descrição fiel
da realidade de modelos de combustão é o esforço computacional necessário para
a solução de equações de transporte. De fato, tais equações envolvem um grande
número de variáveis (fração de massa das espécies químicas) e incluem um termo
fonte não linear associado à lei de Arrhenius. A rigidez e o esforço computacional
relacionados com a determinação de tal termo, em grande parte, dominam o custo
incorrido às simulações.
Esta dissertação é parte de um estudo cujo objetivo é minimizar os custos de
avaliação de uma técnica de redução automática dos mecanismos de cinética
química. Assim, duas abordagens de técnicas de redução automática do custo
computacional associado aos mecanismos de cinética química foram analisadas: a
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica 60
primeira faz alguma restrição a respeito da estrutura da chama a que a técnica
pode ser aplicada, e nela foram estudas os métodos F-TACLES e MFM; a
segunda não faz nenhuma consideração sobre a estrutura da chama, podendo ser
aplicada a qualquer sistema, nela estão as técnicas ISAT, ICE-PIC e redução por
análise dos passos de reação.
Das técnicas apresentadas e considerando-se o estado de desenvolvimento
alcançado pela equipe de combustão da PUC-Rio, o ISAT é a técnica adotada
neste estudo, por ser, ainda, uma técnica geral cuja aplicação não tem restrições e
pode se dar a qualquer sistema. Durante a revisão bibliográfica, foi visto que o
ISAT é uma técnica que vem sendo objeto de estudo, em busca de melhorias, desde
que foi proposta, por isso, esse é um algoritmo que ainda está em constante evolução.
Sabendo que existem limitações de desempenho que podem ser reparadas,
modificações no algoritmo serão propostas nessa dissertação objetivando a
melhora da capacidade de armazenamento, do tempo de simulação, da acurácia
das respostas e da eficiência da técnica. Estas modificações são implantadas sobre
o algoritmo ISAT original, não fazendo parte do escopo deste trabalho a
implementação de versões mais atuais da técnica ou seu acoplamento com o ICE-
PIC.