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INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
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CONTENIDO
VER INTRODUCCIÓNVER TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN
VER VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN
GENERAL
VER C.F.S.
VER EJEMPLO DEL C.F.S.
VER C.F.T.
VER EJEMPLO DEL C.F.T.
VER WROSKIANO
VER PRIMER EJEMPLO APLICADO A WROSKIANO
VER BIBLIOGRAFÍA
VER SEGUNDO EJEMPLO APLICADO A
WROSKIANO
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INTRODUCCIÓN
La forma general de representa un ecuación diferencial de segundo orden es:
𝑦′′ + 𝑦′ ∗ 𝑃 𝑥 + 𝑦 ∗ 𝑞 𝑥 = 𝑔 𝑥
Se van a tener dos soluciones, es decir:
𝑦1 𝑦 𝑦2
Y también dos constantes, o sea:
𝐶1 𝑦 𝐶2
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TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN
Si 𝑦1 ^ 𝑦2 son soluciones de la ecuación diferencial
𝑦′′ + 𝑦´ ∗ 𝑃 𝑥 + 𝑦 ∗ 𝑞 𝑥 = 0
entonces la función
𝑦 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2
que también es solución de la ecuación diferencial.
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EJEMPLO DE VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN GENERAL APLICADO A UNA ECUACIÓN DIFERENCIALEJEMPLO:
𝑦′′ + 𝑦 = 0
Donde:𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 𝑦2 = 3 cos 𝑥
SOLUCIÓN:
Partiendo de la función general:𝑦 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2
𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝐶2 cos 𝑥
𝑦′ = 𝐶1 cos 𝑥 − 3𝐶2 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑦′′ = −𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 3𝐶2 cos 𝑥 REGRESAR AL CONTENIDO
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Se remplaza estos resultados con la ecuación diferencial del problema:
𝑦′′ + 𝑦 = 0
−𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 3𝐶2 cos 𝑥 + 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝐶2 cos 𝑥 = 0
−𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 3𝐶2 cos 𝑥 + 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝐶2 cos 𝑥
0 = 0
Entonces se dice que:
∴ 𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝐶2 cos 𝑥
Si es solución y se comportará como solución general de la ecuación diferencial 𝑦′′ + 𝑦 = 0.
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CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES (C. F. S.)
El conjunto de soluciones 𝑦1, 𝑦2 se llama fundamental de la ecuación diferenciallineal 𝑦′′ + 𝑦′ ∗ 𝑃 𝑥 + 𝑦 ∗ 𝑞 𝑥 = 0 si cualquier solución de la ecuación se puedaexpresar como una combinación lineal de 𝑦1 ^ 𝑦2 y con sus constantes apropiadas.Para que 𝑦1, 𝑦2 sean un conjunto fundamental de soluciones deben ser linealmenteindependientes.
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EJEMPLO REFERENTE AL C. F. S.
EJEMPLO:
𝑦′′ + 𝑦 = 0
SOLUCIÓN:
Se forma un conjunto de soluciones:2 cos 𝑥 , −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝐶. 𝐹. 𝑆.
−𝑠𝑒𝑛 𝑥, 5 cos 𝑥 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝐶. 𝐹. 𝑆.
𝑠𝑒𝑛 𝑥, 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝐶. 𝐹. 𝑆.
−3 cos 𝑥 , 2 cos 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝐶. 𝐹. 𝑆.
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CONJUNTO FUNDAMENTAL TÍPICO (C. F. T)
Es el conjunto fundamental donde las funciones que lo conforman tiene coeficiente uno.
𝑦1, 𝑦2 𝐶. 𝐹. 𝑆. → 𝑦1 ^ 𝑦2 son linealmente independientes
𝑦 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 solución general
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EJEMPLO REFERENTE AL C. F. T.
EJEMPLO:
𝐶. 𝐹. 𝑆. 𝑒𝑠 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 5 cos 𝑥
SOLUCIÓN:
𝐶. 𝐹. 𝑇. 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝑥, cos 𝑥
Regresando al ejemplo: 𝑦′′ + 𝑦 = 0
𝑦 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2
𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶2 cos 𝑥 REGRESAR AL CONTENIDO
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WROSKIANO
Y para encontrar 𝐶1 𝑦 𝐶2 nos tienen que dar dos condiciones o dos puntos de la solución. Para probar:
Wroskiano: El Wroskiano de “n” funciones se define como:
𝑊 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 =
𝑦1 . . . 𝑦𝑛. . . . . . . . .
𝑦1𝑛−1 . . . 𝑦𝑛
𝑛−1
Si 𝑊 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 ≠ 0, entonces 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 son linealmente independientes
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EJEMPLO APLICADO AL WROSKIANO
EJEMPLO: Determinar si las soluciones
𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y 𝑦2 = cos 𝑥
son linealmente independiente o linealmente dependientes
SOLUCIÓN:
De la fórmula de Wroskiano, existen dos soluciones, entonces:
𝑊 𝑦1, 𝑦2 =𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2
′
Así que solo basta con las dos soluciones y realizar la primera derivada en cada solución, es decir:
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𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y 𝑦2 = cos 𝑥
𝑦1′ = cos 𝑥 y 𝑦2
′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥
Entonces, sustituyendo:
𝑊 𝑦1, 𝑦2 =𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2
′
𝑊 𝑠𝑒𝑛 𝑥, cos 𝑥 =𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥cos 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥
=𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥cos 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥
= −𝑠𝑒𝑛2𝑥 − cos2 𝑥
= −1 ≠ 0
Por lo tanto las funciones 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 cos 𝑥 son linealmente independientes. Por lo tanto se tiene que:
𝑠𝑒𝑛 𝑥, cos 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝐶. 𝐹. 𝑆.
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EJEMPLO APLICADO AL WROSKIANO
EJEMPLO: Determinar si
𝑒6𝑥 , 𝑒−2𝑥
son un C.F.S. de
𝑦′′ − 4𝑦′ − 12𝑦 = 0
SOLUCIÓN:
𝑊 𝑦1, 𝑦2 =𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2
′
Así que solo basta con las dos soluciones y realizar la primera derivada en cada solución, es decir:REGRESAR AL CONTENIDO
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𝑦1 = 𝑒6𝑥 y 𝑦2 = 𝑒−2𝑥
𝑦1′ = 6𝑒6𝑥 y 𝑦2
′ = −2𝑒−2𝑥
Entonces, sustituyendo:
𝑊 𝑦1, 𝑦2 =𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2
′
𝑊 𝑒6𝑥, 𝑒−2𝑥 = 𝑒6𝑥 𝑒−2𝑥
6𝑒6𝑥 −2𝑒−2𝑥= 𝑒6𝑥 𝑒−2𝑥
6𝑒6𝑥 −2𝑒−2𝑥
= −2𝑒4𝑥 − 6𝑒4𝑥
= −8𝑒4𝑥 ≠ 0
∴ 𝑒6𝑥, 𝑒−2𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝐶. 𝐹. 𝑆.
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BIBLIOGRAFÍASCarmona Jover, I., & Filio López, E. (2011). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.
D. Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: CENGAGE Learning.
Espinosa Ramos, E. (1996). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Lima.
Jover, I. C. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.
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