Definiciones
• Si la gráfica de una función
sube de izquierda a
derecha, se dice que es
creciente en ese intervalo.
• Una función f se dice que es
creciente en un intervalo
abierto del dominio, si para
todo valor en el intervalo,
• a < b implica que f(a) < f(b
Definiciones (cont.)
• Si la gráfica de una función
baja de izquierda a derecha,
se dice que es decreciente
en ese intervalo.
• Una función f se dice que es
decreciente en un intervalo
abierto del dominio, si para
todo valor en el intervalo,
• a < b implica que f(a) > f(b
• Una función f se dice
que es constante en un
intervalo abierto del
dominio, si para todo
valor en el intervalo,
f(a) = f(b).
Definiciones (cont.)
Indique los intervalos
donde f(x) es:
• creciente
• decreciente
• constante
Ejemplo
(-∞,-3) (1,4)
(-3,1)
(4,∞)
Indique los intervalos
donde f(x) es:
• decreciente
• creciente
• constante
Ejemplo
(-∞,3)
No hay intervalos del dominio
donde la función es constante.
(3,∞)
Indique los intervalos
donde f(x) es:
• creciente
• decreciente
• constante
Ejemplo
La función es creciente en todo su
dominio.
(- ∞,∞)
No hay intervalos donde la función
es constante.
No hay intervalos donde la función
es decreciente.
Gráficas de funciones cuadráticas:
vértice, máximo, mínimo
La gráfica de una función cuadrática se conoce como una
parabola.
El punto (h, k) en el cual la gráfica gira y cambia de dirección se
llama el vértice. La función f(x) alcanza su valor máximo o
mínimo en el vértice. La línea vertical x = h se llama el eje de
simetría y divide la gráfica en dos partes idénticas.
Gráficas de funciones cuadráticas:
vértice, máximo, mínimo
Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos
x = - 𝑏
2𝑎 y y = f(-
𝑏
2𝑎)
Ejemplo: Identificar el vértice de f(x) = 2x2 + 12x + 16
a = 2 b= 12 c = 16
x = (- 12
4 )= -3
f(-3)= 2(-3)2 +12(-3) + 16
= 18 - 36 + 16 =
El vértice es (-3, -2).
-2
Gráficas de funciones cuadráticas:
vértice, máximo, mínimo
Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos
x = - 𝑏
2𝑎 y = f(-
𝑏
2𝑎)
a = 2 b= -4 c = 5
x = (- −4
4 )= 1
f(1)= 2(1)2 -4(1) + 5
= 3
El vértice es
Ejemplo: Identificar el vértice de f(x) = 2x2 – 4x + 5
(1, 3).
Definición
Para f(x) = ax2 + bx + c, a se conoce como el coeficiente
principal.
Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola abre
hacia abajo.
Si la parábola abre hacia arriba, la función tiene un mínimo.
Si la parábola abre hacia abajo, la función tiene un máximo.
Ejemplo:
Ejemplo
Determinar el vértice , el eje de simetría, y el valor mínimo o máximo para f (x) = x2 + 10x + 23.
Solución:
Vértice:
(–5, –2)
Eje de simetría:
x = –5
Valor mínimo de f(x):
y= 2
Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos
x = - 𝑏
2𝑎 y = f(-
𝑏
2𝑎)
x = (- 10
2)= -5
f(-5)= (-5)2 + 10(-5) + 23
= 25 - 50 + 23
a = 1 b= 10 c = 23
= -2
Ejemplo (cont.)
Trazar la gráfica de f (x) = x2 + 10x + 23
X Y
-5 -2
X Y
-2
-4
-5 -2
-7
-8
X Y
-2 7
-4
-5 -2
-7
-8
X Y
-2 7
-4 -1
-5 -2
-7
-8
X Y
-2 7
-4 -1
-5 -2
-7 4
-8
X Y
-2 7
-4 -1
-5 -2
-7 2
-8 7
Vértice
Práctica:
Para la función g(x) = 2x2 + 13x 7:
a) Hallar el vértice.
g(-3.25)=
= -28.125
El vértice es .
b) Determinar si la función tiene un máximo o un mínimo.
Hallar ese valor.
El coeficiente principal es . Por lo tanto la gráfica abre
hacia y la función tiene un .
Para determinar el mínimo, evaluamos .
El valor mínimo es .
2(-3.25)2 + 13 • (-3.25) 7
arriba mínimo g(-3.25)
y= -28.125
(-3.25, -28.125)
2
x = - 13
2(2)= -
13
4= −3.25
Ejemplo (cont.)
Para la función g(x) = 2x2 + 13x 7:
c) Hallar el dominio y el campo de valores.
Dominio: ó .
Campo de valores:
Todos los valores .
ó .
d) ¿En qué intervalo es la función creciente?
¿…decreciente?
creciente:
decreciente:
Todos los reales (-∞, ∞)
mayores o iguales a -28.125
y -28.125 [-28.125, ∞)
(-3.25,∞)
(-∞,-3.25)
Ejemplo (cont.)
Para la función g(x) = 2x2 + 13x 7:
e) Hallar el int-y.
int – y : Para determinar el int-y, evaluamos
=
f) Hallar los ceros de la función.
Para hallar los ceros de la función resolvemos la
ecuación ________ que en este caso es
2x2 + 13x 7 = 0
Resolvemos la ecuación anterior ó
utilizando la .
g(0)
factorizando
- 7
g(x) = 0
fórmula cuadrática
Ejemplo (cont.)
f ) Hallar los ceros de la función g(x) = 2x2 + 13x 7:
2x2 + 13x 7 = 0
Para factorizar necesitamos hallar factores de
que sumen .
Los factores de -14 son: , , , .
Reescribimos la ecuación original como:
(2x2 x) + (14x 7) = 0 y factorizamos
x(2x 1) + 7(2x 1)=0
(2x 1)(x + 7) = 0
Igualamos cada factor a 0:
2x 1= 0 x + 7 = 0
x = ½ x = -7
Los ceros son x= ½ y x = -7 .
13
(1)(-14)
(a)(c) = -14
(-1)(14) (2)(7) (2)(7)
Ejemplo (cont.)
g) Hallar los int-x de la función g(x) = 2x2 + 13x 7:
Hallar los int-x de g(x) es lo mismo, en este caso, que
.
Los ceros son x = ½ y x = -7, por lo tanto, los int-x son
y .
h) Evaluar g(-7.5) y g(1)
g(-7.5) = 2(-7.5)2+ 13(-7.5) 7
= 8
g(1) = 2(1)2+ 13(1) 7
= 8
hallar los ceros de 2x2 + 13x 7 = 0
( ½ , 0) (7,0)
Ejemplo (cont.)
i) Trazar la gráfica de g(x) = 2x2 + 13x 7 = 0
Recopilemos la información que tenemos:
1) int-y:
(0, -7)
2) int-x:
(½ , 0) (-7, 0)
3) vértice:
(-3.25, -28.125)
4) dos puntos adicionales:
(-7.5,8) (1,8)
5. La gráfica es una que
abre hacia .
parábola
arriba
Práctica adicional:
Para la función f(x) = x2 + 14x 47:
a) Hallar el vértice.
f(7) =
= -49 + 98 – 47
= 2
El vértice es .
b) Determinar si la función tiene una máximo o un mínimo.
Hallar ese valor.
El coeficiente principal es . Por lo tanto la gráfica abre
hacia y la función tiene un .
Para determinar el máximo, evaluamos .
El valor máximo es .
72 + 14 • 7 47
abajo máximo
f(7)
y= 2
(7, 2).
-1
x =
Práctica adicional (cont.)
Para la función f(x) = x2 + 14x 47:
c) Hallar el dominio y el campo de valores.
Dominio: ó .
Campo de valores:
Todos los valores .
ó .
d) ¿En qué intervalo es la función creciente?
¿…decreciente?
creciente:
decreciente:
Todos los reales (-∞, ∞)
menores o iguales a 2
y 2 (-∞,2).
(-∞,7)
(7, ∞)
Práctica adicional
Determinar el vértice , el eje de simetría, y el valor mínimo o
máximo para
Solución:
g x x2
2 4x 8.
Para identificar el vértice, (x, y), de la cuadrática, utilizaremos
x = - 𝑏
2𝑎 y = f(-
𝑏
2𝑎)
x = (- −4
2(1
2))
f(4)=
= 8 - 16 + 8
= 0
Recuerde: g(x) también se puede escribir: g(𝑥) =1
2𝑥2 − 4𝑥 + 8
a = ½ b= -4 c = 8
Vértice:
Eje de simetría:
(4, 0)
x = 4
¿mínimo o máximo?
mínimo es y=0
= 4
1
2(4)2−4(4) + 8
Tenemos que:
Vértice: (4, 0)
Eje de simetría: x = 4
Valor mínimo de la función: 0
a= ½
int-y:
f(8)=
El punto (8,8) pertenece a la
gráfica.
f(x) es decreciente en:
f(x) es creciente en:
Práctica adicional
Trazar la gráfica de : g(𝑥) =1
2𝑥2 − 4𝑥 + 8
, parábola abre hacia arriba
(0, 8)
1
2(8)2−4(8) + 8
= 8
(-∞,4)
(4,∞)